Goniometrické vzorce pro dvojité úhly. Kupte si levně vysokoškolský diplom

Sčítací vzorce umožňují vyjádřit sin(2*a), cos(2*a) a tan(a) pomocí goniometrických funkcí úhlu a.

1. cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

2. sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b).

3. tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Do těchto vzorců dáme a = b. V důsledku toho získáme následující identity:

1. sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a).

2. cos(2*a) = (cos(a)) 2 - (sin(a)) 2 .

3. tg(2*a) = (2*tg(a))/(1-(tg(a)) 2).

Tyto identity se nazývají vzorce dvojitého úhlu. Podívejme se na několik příkladů použití vzorců pro dvojitý úhel.

Příklad 1 Najděte hodnotu sin(2*a) s vědomím, že cos(a) = -0,8 a a je 3. čtvrtinový úhel. Řešení:

Nejprve vypočítejme sin(a). Protože úhel a je třetí čtvrtina, sinus ve třetí čtvrtině bude záporný:

sin(a) = -v(1-(cos(a))2) = -v(1-0,64) = -v0,36 = -0,6.

Pomocí vzorce s dvojitým úhlem sinusu máme:

sin(2*a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*sin(a)*cos(a) = 2*(-0,6)*(-0,8) = 0,96 .

Odpověď: sin(2*a) = 0,96.

Příklad 2 Zjednodušte výraz sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a). Řešení:

Vyjmeme sin(a)*cos(a) ze závorek. Dostáváme:

sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = sin(a)*cos(a)*(cos(a)) 2 - (sin(a)) 2).

Nyní použijeme vzorce pro dvojitý úhel:

= (1/2)*(2*sin(a)*cos(a))*cos(2*a) = (1/2)*sin(2*a)*sin(2*a) = (1 /4)*hřích(4*a).

Odpověď: sin(a)*(cos(a)) 3 - (sin(a)) 3 *cos(a) = (1/4)*sin(4*a).

Pomocí vzorců pro dvojitý úhel můžete získat následující výrazy

1 - cos(2*a) = 2*(sin(a)) 2,

1 + cos(2*a) = 2*(cos(a))2.

Někdy je při řešení příkladů velmi vhodné použít tyto vzorce. Zvažte následující příklad:

Příklad 3 Zjednodušte výraz (1-cos(a))/(1+cos(a)). Řešení:

Aplikujme výše napsané vzorce pro výrazy (1-cos(a)) a (1+cos(a)). K tomu nejprve znázorníme úhel a ve tvaru následujícího součinu 2*(a/2).

V důsledku transformací dostaneme:

(1-cos(a))/(1+cos(a)) = (2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2),

Pomocí definice tečny máme:

(2*(sin(a/2)) 2)/(2*(cos(a/2)) 2)= (tg(a/2)) 2.

Odpověď: (1-cos(a))/(1+cos(a))= (tg(a/2)) 2 .

Nejčastější dotazy

Je možné vyrobit razítko na doklad podle poskytnutého vzoru? Odpověď Ano, je to možné. Pošlete naskenovanou kopii nebo fotografii na naši e-mailovou adresu dobrá kvalita a vyrobíme potřebný duplikát.

Jaké typy plateb přijímáte? Odpověď Za dokument můžete zaplatit při převzetí kurýrem, po kontrole správnosti vyplnění a kvality provedení diplomu. To lze provést i na pobočkách poštovních společností nabízejících dobírkové služby.
Všechny dodací podmínky a platby za dokumenty jsou popsány v části „Platba a dodání“. Jsme také připraveni vyslechnout vaše návrhy týkající se podmínek dodání a platby za dokument.

Mohu si být jistý, že po zadání objednávky nezmizíte s mými penězi? Odpověď V oboru diplomové výroby máme poměrně dlouholeté zkušenosti. Máme několik webů, které neustále aktualizujeme. Naši specialisté pracují v různých částech země a vyrobí více než 10 dokumentů denně. V průběhu let naše dokumenty pomohly mnoha lidem vyřešit problémy se zaměstnáním nebo se přestěhovat vysoce placená práce. Mezi klienty jsme si získali důvěru a uznání, takže k tomu není absolutně žádný důvod. Navíc je to prostě fyzicky nemožné: objednávku zaplatíte v okamžiku, kdy ji dostanete do rukou, neplatí se žádná platba předem.

Mohu si objednat diplom z jakékoli univerzity? Odpověď Obecně ano. V této oblasti působíme již téměř 12 let. Za tuto dobu se vytvořila téměř kompletní databáze dokumentů vydaných téměř všemi univerzitami v zemi i mimo ni. různé roky vydání. Vše, co potřebujete, je vybrat si univerzitu, specializaci, dokument a vyplnit objednávkový formulář.

Co dělat, když v dokumentu najdete překlepy a chyby? Odpověď Při přebírání dokumentu od našeho kurýra nebo poštovní společnosti doporučujeme pečlivě zkontrolovat všechny podrobnosti. V případě zjištění překlepu, chyby nebo nepřesnosti máte právo si diplom nevyzvedávat, zjištěné nedostatky však musíte oznámit osobně kurýrovi nebo písemně zasláním dopisu na e-mail.
V co nejdříve Dokument opravíme a znovu zašleme na uvedenou adresu. Poštovné samozřejmě hradí naše společnost.
Aby k takovým nedorozuměním nedocházelo, před vyplněním originálního formuláře zašleme zákazníkovi e-mailem maketu budoucího dokumentu ke kontrole a schválení konečné verze. Před odesláním dokumentu kurýrem nebo poštou pořídíme také další fotografie a videa (i v ultrafialovém světle), abyste měli jasnou představu o tom, co nakonec dostanete.

Co mám udělat, abych si u vaší společnosti objednal diplom? Odpověď Pro objednání dokumentu (certifikát, diplom, akademický vysvědčení atd.) je nutné vyplnit online objednávkový formulář na našem webu nebo uvést svůj email, abychom vám mohli zaslat přihlášku, kterou je potřeba vyplnit a odeslat zpět nám.
Pokud nevíte, co v některém poli objednávkového formuláře/dotazníku uvést, ponechte je prázdné. Vše chybějící informace Proto si to vyjasníme po telefonu.

Nejnovější recenze

Torywild:

Rozhodl jsem se koupit diplom od vaší společnosti, když jsem se přestěhoval do jiného města a nemohl jsem najít svůj diplom mezi svými věcmi. Bez něj by mě nevzali na dobrou a dobře placenou práci. Váš poradce mě o tom ujistil tyto informace není zveřejněn a nikdo nerozezná dokument od originálu. Nebyly žádné pochybnosti, ale musel jsem riskovat. Líbilo se mi, že není vyžadována platba předem. Obecně jsem diplom dostal včas a nebyl jsem oklamán. Děkuju!

Oksana Ivanovna:

Když mi ukradli diplom, strašně mě to naštvalo. Koneckonců, právě v té době jsem byl vyhozen, ale nyní je mohu najít dobrá práce bez diplomu vysokoškolské vzdělání téměř nemožné. Naštěstí soused navrhl kontaktovat vaši organizaci. Zpočátku jsem byl skeptický, ale rozhodl jsem se riskovat. Zavolal jsem manažerovi společnosti a vysvětlil mu svou situaci. A to mám štěstí! Vše udělali promptně a hlavně slíbili, že mé tajemství neprozradí. Obával jsem se, že to, že jsem si diplom zakoupil, později nevyjde.

Máša Kutenková:

Díky za práci! Objednal jsem si diplom z roku 1991. Když začali zvedat dokumenty, ukázalo se, že je málo zkušeností a potřebovali také papír potvrzující jejich vzdělání. Neměl jsem žádnou a šéfka to věděla a sama doporučila vaši společnost (zřejmě nejsem jako zaměstnanec). Na dokladu mě upozornila na detaily - prý v jakých letech používají inkoust nebo inkoust, tloušťku podpisu atd. Děkuji za pečlivost a kvalitu!

LenOK:

Po přečtení příběhů o ostudných propouštěních zaměstnanců, jejichž diplomy byly vytištěny na barevné tiskárně, jsem šel podat přihlášku na univerzitu. Bohužel, není žádný rozpočet, žádné peníze na studium a žádné peníze na zaplacení sezení, takže jsem musel riskovat. I když jsem moc rád, že jsem potkal vaši společnost. I když jsem nebyl přijat s vaším diplomem kvůli selhání praktického bloku, není to vaše chyba. Jakmile najdu nové místo, přijdu přímo za vámi, bez prodlení!

Jerry Terry:

Sledovat s jakými rozpaky mého kolegu vyhodili z práce kvůli falešnému diplomu, bylo děsivé následovat jeho příklad. Nebýt kmotry, která si u vás objednala, neriskoval bych. Ujistila, že tady je všechno hladké a moje jméno bude všude, kde bude potřeba. Na všechno jsem měl 4 dny. Děkujeme za vaši rychlost - dokončili jsme to za 3 a také se nám podařilo pečlivě prostudovat způsoby padělání dokumentů, ale váš formulář se nekvalifikuje jako falešný, což znamená, že projde za originál.

Andrey:

Nikdy by mě nenapadlo, že si budu muset kupovat diplom. Dcera po škole odjela pracovat do Polska, když se po 5 letech vrátila, chtěla se zaměstnat jako oděvní návrhářka v místním módním domě. Bez diplomu ji nikdo nechtěl zaměstnat. Pochopil, že pokud tuto práci nezíská, znovu odejde. Večer jsem strávil surfováním na internetu a ráno jsem už byl v kanceláři s dokumenty mé dcery. O týden později si s ní odnesl diplom a ona nakonec zůstala pracovat ve svém městě na vytoužené pozici. Ani nevíte, jak jsem vám vděčný!

Nejčastější dotazy

Je možné vyrobit razítko na doklad podle poskytnutého vzoru? Odpověď Ano, je to možné. Pošlete naskenovanou kopii nebo kvalitní fotografii na naši e-mailovou adresu a my zhotovíme potřebný duplikát.

Jaké typy plateb přijímáte? Odpověď Za dokument můžete zaplatit při převzetí kurýrem, po kontrole správnosti vyplnění a kvality provedení diplomu. To lze provést i na pobočkách poštovních společností nabízejících dobírkové služby.
Všechny dodací podmínky a platby za dokumenty jsou popsány v části „Platba a dodání“. Jsme také připraveni vyslechnout vaše návrhy týkající se podmínek dodání a platby za dokument.

Mohu si být jistý, že po zadání objednávky nezmizíte s mými penězi? Odpověď V oboru diplomové výroby máme poměrně dlouholeté zkušenosti. Máme několik webů, které neustále aktualizujeme. Naši specialisté pracují v různých částech země a vyrobí více než 10 dokumentů denně. V průběhu let naše dokumenty pomohly mnoha lidem vyřešit problémy se zaměstnáním nebo přejít na lépe placená místa. Mezi klienty jsme si získali důvěru a uznání, takže k tomu není absolutně žádný důvod. Navíc je to prostě fyzicky nemožné: objednávku zaplatíte v okamžiku, kdy ji dostanete do rukou, neplatí se žádná platba předem.

Mohu si objednat diplom z jakékoli univerzity? Odpověď Obecně ano. V této oblasti působíme již téměř 12 let. Za tuto dobu vznikla téměř kompletní databáze dokumentů vydaných téměř všemi univerzitami v zemi a pro různé roky vydání. Vše, co potřebujete, je vybrat si univerzitu, specializaci, dokument a vyplnit objednávkový formulář.

Co dělat, když v dokumentu najdete překlepy a chyby? Odpověď Při přebírání dokumentu od našeho kurýra nebo poštovní společnosti doporučujeme pečlivě zkontrolovat všechny podrobnosti. V případě zjištění překlepu, chyby nebo nepřesnosti máte právo si diplom nevyzvednout, zjištěné vady však musíte oznámit osobně kurýrovi nebo písemně e-mailem.
Dokument co nejdříve opravíme a znovu zašleme na uvedenou adresu. Poštovné samozřejmě hradí naše společnost.
Aby k takovým nedorozuměním nedocházelo, před vyplněním originálního formuláře zašleme zákazníkovi e-mailem maketu budoucího dokumentu ke kontrole a schválení konečné verze. Před odesláním dokumentu kurýrem nebo poštou pořídíme také další fotografie a videa (i v ultrafialovém světle), abyste měli jasnou představu o tom, co nakonec dostanete.

Co mám udělat, abych si u vaší společnosti objednal diplom? Odpověď Pro objednání dokumentu (certifikát, diplom, akademický vysvědčení atd.) je nutné vyplnit online objednávkový formulář na našem webu nebo uvést svůj email, abychom vám mohli zaslat přihlášku, kterou je potřeba vyplnit a odeslat zpět nám.
Pokud nevíte, co v některém poli objednávkového formuláře/dotazníku uvést, ponechte je prázdné. Všechny chybějící informace si proto upřesníme po telefonu.

Nejnovější recenze

Torywild:

Rozhodl jsem se koupit diplom od vaší společnosti, když jsem se přestěhoval do jiného města a nemohl jsem najít svůj diplom mezi svými věcmi. Bez něj by mě nevzali na dobrou a dobře placenou práci. Váš konzultant mě ujistil, že tyto informace nejsou zveřejněny a nikdo nerozezná dokument od originálu. Nebyly žádné pochybnosti, ale musel jsem riskovat. Líbilo se mi, že není vyžadována platba předem. Obecně jsem diplom dostal včas a nebyl jsem oklamán. Děkuju!

Oksana Ivanovna:

Když mi ukradli diplom, strašně mě to naštvalo. Koneckonců, právě v té době jsem byl vyhozen a nyní je téměř nemožné najít dobrou práci bez vysokoškolského diplomu. Naštěstí soused navrhl kontaktovat vaši organizaci. Zpočátku jsem byl skeptický, ale rozhodl jsem se riskovat. Zavolal jsem manažerovi společnosti a vysvětlil mu svou situaci. A to mám štěstí! Vše udělali promptně a hlavně slíbili, že mé tajemství neprozradí. Obával jsem se, že to, že jsem si diplom zakoupil, později nevyjde.

Máša Kutenková:

Díky za práci! Objednal jsem si diplom z roku 1991. Když začali zvedat dokumenty, ukázalo se, že je málo zkušeností a potřebovali také papír potvrzující jejich vzdělání. Neměl jsem žádnou a šéfka to věděla a sama doporučila vaši společnost (zřejmě nejsem jako zaměstnanec). Na dokladu mě upozornila na detaily - prý v jakých letech používají inkoust nebo inkoust, tloušťku podpisu atd. Děkuji za pečlivost a kvalitu!

LenOK:

Po přečtení příběhů o ostudných propouštěních zaměstnanců, jejichž diplomy byly vytištěny na barevné tiskárně, jsem šel podat přihlášku na univerzitu. Bohužel, není žádný rozpočet, žádné peníze na studium a žádné peníze na zaplacení sezení, takže jsem musel riskovat. I když jsem moc rád, že jsem potkal vaši společnost. I když jsem nebyl přijat s vaším diplomem kvůli selhání praktického bloku, není to vaše chyba. Jakmile najdu nové místo, přijdu přímo za vámi, bez prodlení!

Jerry Terry:

Sledovat s jakými rozpaky mého kolegu vyhodili z práce kvůli falešnému diplomu, bylo děsivé následovat jeho příklad. Nebýt kmotry, která si u vás objednala, neriskoval bych. Ujistila, že tady je všechno hladké a moje jméno bude všude, kde bude potřeba. Na všechno jsem měl 4 dny. Děkujeme za vaši rychlost - dokončili jsme to za 3 a také se nám podařilo pečlivě prostudovat způsoby padělání dokumentů, ale váš formulář se nekvalifikuje jako falešný, což znamená, že projde za originál.

Andrey:

Nikdy by mě nenapadlo, že si budu muset kupovat diplom. Dcera po škole odjela pracovat do Polska, když se po 5 letech vrátila, chtěla se zaměstnat jako oděvní návrhářka v místním módním domě. Bez diplomu ji nikdo nechtěl zaměstnat. Pochopil, že pokud tuto práci nezíská, znovu odejde. Večer jsem strávil surfováním na internetu a ráno jsem už byl v kanceláři s dokumenty mé dcery. O týden později si s ní odnesl diplom a ona nakonec zůstala pracovat ve svém městě na vytoužené pozici. Ani nevíte, jak jsem vám vděčný!

– určitě budou úkoly na trigonometrii. Trigonometrie se často nelíbí, protože vyžaduje napěchování obrovské množství obtížné vzorce, hemžící se sinus, kosinus, tangens a kotangens. Stránky již jednou radily, jak si zapamatovat zapomenutý vzorec, na příkladu vzorce Euler a Peel.

A v tomto článku se pokusíme ukázat, že stačí pevně znát pouze pět nejjednodušších trigonometrické vzorce, a o zbytku mají obecná myšlenka a vynášej je za pochodu. Je to jako s DNA: není uložena v molekule. kompletní výkresy hotová živá bytost. Spíše obsahuje návod na jeho sestavení z dostupných aminokyselin. Takže v trigonometrii znát některé obecné zásady, získáme všechny potřebné vzorce z malé sady těch, které je třeba mít na paměti.

Budeme se spoléhat na následující vzorce:

Ze vzorců pro součty sinus a kosinus, když víme o paritě funkce kosinus a lichosti funkce sinus, dosadíme -b místo b, získáme vzorce pro rozdíly:

1. Sinus rozdílu: hřích(a-b) = hříchAcos(-b)+cosAhřích(-b) = hříchAcosb-cosAhříchb
2. Kosinus rozdílu: cos(a-b) = cosAcos(-b)-hříchAhřích(-b) = cosAcosb+hříchAhříchb

Vložením a = b do stejných vzorců získáme vzorce pro sinus a kosinus dvojitých úhlů:

1. Sinus dvojitého úhlu: hřích2a = hřích(a+a) = hříchAcosA+cosAhříchA = 2hříchAcosA
2. Kosinus dvojitého úhlu: cos2a = cos(a+a) = cosAcosA-hříchAhříchA = cos2a-hřích2a

Vzorce pro další vícenásobné úhly se získají podobně:

1. Sinus trojitého úhlu: hřích3a = hřích(2a+a) = hřích2acosA+cos2ahříchA = (2hříchAcosA)cosA+(cos2a-hřích2a)hříchA = 2hříchAcos2a+hříchAcos2a-hřích 3 a = 3 hříchAcos2a-hřích 3 a = 3 hříchA(1-hřích2a)-hřích 3 a = 3 hříchA-4hřích 3a
2. Kosinus trojitého úhlu: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosA-hřích2ahříchA = (cos2a-hřích2a)cosA-(2hříchAcosA)hříchA = cos 3 a- hřích2acosA-2hřích2acosA = cos 3 a-3 hřích2acosA = cos 3 a-3 (1- cos2a)cosA = 4cos 3 a-3 cosA

Než budeme pokračovat, podívejme se na jeden problém.
Dáno: úhel je ostrý.
Najděte jeho kosinus if
Řešení zadané jedním studentem:
Protože , To hříchA= 3,a cosA = 4.
(z matematického humoru)

Definice tečny tedy vztahuje tuto funkci jak na sinus, tak na kosinus. Ale můžete získat vzorec, který vztahuje tečnu pouze ke kosinusu. Abychom to odvodili, vezmeme hlavní trigonometrickou identitu: hřích 2 A+cos 2 A= 1 a vydělte to cos 2 A. Dostáváme:

Takže řešení tohoto problému by bylo:

(Protože úhel je ostrý, při extrakci kořene se bere znaménko +)

Těžko zapamatovatelný vzorec pro tangens součtu je další. Vypíšeme to takto:

Okamžitě se zobrazí a

Ze vzorce kosinus pro dvojitý úhel můžete získat vzorce sinus a kosinus pro poloviční úhly. Chcete-li to provést, použijte na levou stranu vzorce s dvojitým úhlem kosinus:
cos2 A = cos 2 A-hřích 2 A
přidáme jednu a vpravo - trigonometrickou jednotku, tj. součet druhých mocnin sinus a kosinus.
cos2a+1 = cos2a-hřích2a+cos2a+hřích2a
2cos 2 A = cos2 A+1
Vyjadřování cosA přes cos2 A a provedením změny proměnných dostaneme:

Znaménko se bere v závislosti na kvadrantu.

Podobně, odečtením jedničky od levé strany rovnosti a součtu druhých mocnin sinus a kosinus od pravé, dostaneme:
cos2a-1 = cos2a-hřích2a-cos2a-hřích2a
2hřích 2 A = 1-cos2 A

A nakonec převést částku goniometrické funkce do práce, používáme další schůzka. Řekněme, že potřebujeme reprezentovat součet sinů jako součin hříchA+hříchb. Zaveďme proměnné x a y takové, že a = x+y, b+x-y. Pak
hříchA+hříchb = hřích(x+y)+ hřích(x-y) = hřích x cos y+ cos x hřích y+ hřích x cos y- cos x hřích y=2 hřích x cos y Vyjádřeme nyní x a y pomocí a a b.

Protože a = x+y, b = x-y, pak . Proto

Můžete okamžitě odstoupit

1. Vzorec pro rozdělení součin sinu a kosinu PROTI množství: hříchAcosb = 0.5(hřích(a+b)+hřích(a-b))

Vzorce pro převod rozdílu sinů a součtu a rozdílu kosinus na součin, stejně jako pro dělení součinů sinů a kosinus na součet doporučujeme procvičit a odvodit sami. Po absolvování těchto cvičení si důkladně osvojíte dovednost odvozování goniometrických vzorců a neztratíte se ani v tom nejtěžším testu, olympiádě nebo testování.