Domov Stomatitida Čára protínající dvě šikmé čáry. Relativní poloha čar v prostoru

Stomatitida

Čára protínající dvě šikmé čáry. Relativní poloha čar v prostoru

Přednáška: Protínající se, rovnoběžné a křížící se čáry; kolmost čar

Protínající se čáry

Pokud je v rovině několik přímek, dříve nebo později se buď libovolně protnou, nebo v pravém úhlu, nebo budou rovnoběžné. Podívejme se na každý případ.

Ty čáry, které mají alespoň jeden průsečík, lze nazvat protínající se.

Můžete se ptát, proč alespoň jedna přímka nemůže dvakrát nebo třikrát protnout jinou přímku. Máš pravdu! Přímé čáry se však mohou zcela shodovat. V tomto případě bude nekonečně mnoho společných bodů.

Rovnoběžnost

Paralelní Můžete pojmenovat ty čáry, které se nikdy nebudou protínat, dokonce ani v nekonečnu.

Jinými slovy, paralelní jsou ty, které nemají jediný společný bod. Vezměte prosím na vědomí, že tato definice je platná pouze v případě, že čáry jsou ve stejné rovině, ale pokud nemají společné body a jsou v různých rovinách, pak jsou považovány za protínající se.

Příklady paralelních čar v životě: dva protilehlé okraje obrazovky monitoru, čáry v noteboocích, stejně jako mnoho dalších částí věcí, které mají čtvercové, obdélníkové a jiné tvary.

Když chtějí písemně ukázat, že jedna čára je rovnoběžná s druhou, použijí následující zápis a||b. Tento záznam říká, že přímka a je rovnoběžná s přímkou b.

Při studiu tohoto tématu je důležité pochopit ještě jedno tvrzení: přes určitý bod v rovině, který nepatří k dané přímce, lze nakreslit jednu rovnoběžnou čáru. Ale pozor, opět je korekce na rovinu. Pokud vezmeme v úvahu trojrozměrný prostor, pak můžeme nakreslit nekonečné množství čar, které se nebudou protínat, ale budou se protínat.

Výrok, který byl popsán výše, se nazývá axiom rovnoběžných čar.

Kolmost

Přímé linky lze volat pouze pokud kolmý, pokud se protínají pod úhlem rovným 90 stupňům.

V prostoru, přes určitý bod na přímce, lze nakreslit nekonečné množství kolmých čar. Pokud však mluvíme o rovině, pak jedním bodem na přímce můžete nakreslit jednu kolmou čáru.

Překřížené rovné čáry. Secant

Pokud se některé přímky protínají v určitém bodě pod libovolným úhlem, lze je zavolat křížení.

Jakékoli protínající se čáry mají svislé a sousední úhly.

Pokud úhly tvořené dvěma protínajícími se přímkami mají jednu stranu společnou, pak se nazývají sousední:

Sousední úhly sčítají až 180 stupňů.

Teorém. Leží-li jedna přímka v dané rovině a další přímka tuto rovinu protíná v bodě, který do první přímky nepatří, pak se tyto dvě přímky protnou. Znamení křížení čar Důkaz. Nechť přímka a leží v rovině a přímka b protíná rovinu v bodě B, který do přímky a nepatří. Pokud by přímky a a b ležely ve stejné rovině, pak by v této rovině ležel i bod B. Protože přímkou prochází pouze jedna rovina a bod mimo tuto přímku, pak tato rovina musí být rovinou. Pak by ale přímka b ležela v rovině, což je v rozporu s podmínkou. V důsledku toho přímky a a b neleží ve stejné rovině, tzn. křížit se.

Kolik párů šikmých čar obsahuje hrany pravidelného trojúhelníkového hranolu? Řešení: Pro každou hranu základen existují tři hrany, které se s ní protínají. Pro každou boční hranu jsou dvě žebra, která se s ní protínají. Požadovaný počet párů šikmých čar je tedy cvičení 5

Kolik párů šikmých čar obsahuje hrany pravidelného šestibokého hranolu? Řešení: Každá hrana základen se účastní 8 párů křížících se čar. Každá boční hrana se účastní 8 párů křížících se čar. Požadovaný počet párů šikmých čar je tedy cvičení 6

Relativní poloha dvou čar v prostoru.

Relativní poloha dvou čar v prostoru je charakterizována následujícími třemi možnostmi.

Přímky leží ve stejné rovině a nemají společné body – rovnoběžné přímky.

Přímky leží ve stejné rovině a mají jeden společný bod – přímky se protínají.

V prostoru mohou být dvě přímky umístěny také tak, že neleží v žádné rovině. Takové čáry se nazývají šikmé (neprotínají se nebo jsou rovnoběžné).

PŘÍKLAD:

ÚLOHA 434 Trojúhelník ABC leží v rovině, a

Trojúhelník ABC leží v rovině, ale bod D v této rovině není. Body M, N a K jsou středy segmentů DA, DB a DC

Teorém. Pokud jedna ze dvou přímek leží v určité rovině a druhá tuto rovinu protíná v bodě, který neleží na první přímce, pak se tyto přímky protnou.

Na Obr. 26 přímka a leží v rovině a přímka c se protíná v bodě N. Přímky a a c se protínají.

Teorém. Každou ze dvou protínajících se čar prochází pouze jedna rovina rovnoběžná s druhou přímkou.

Na Obr. 26 přímek aab se protíná. Nakreslí se přímka a nakreslí se rovina (alfa) || b (v rovině B (beta) je vyznačena přímka a1 || b).

Věta 3.2.

Dvě čáry rovnoběžné se třetí jsou rovnoběžné.

Tato vlastnost se nazývá průchodnost rovnoběžnost čar.

Důkaz

Nechť jsou přímky a a b současně rovnoběžné s přímkou c. Předpokládejme, že a není rovnoběžné s b, pak přímka a protíná přímku b v nějakém bodě A, který neleží na přímce c podle podmínky. V důsledku toho máme dvě přímky a a b, procházející bodem A, neležící na dané přímce c a zároveň s ní rovnoběžné. To je v rozporu s axiomem 3.1. Věta byla prokázána.

Věta 3.3.

Prostřednictvím bodu, který neleží na dané přímce, lze nakreslit pouze jednu přímku rovnoběžnou s danou.

Důkaz

Nechť (AB) je daná přímka, C bod, který na ní neleží. Přímka AC rozděluje rovinu na dvě poloroviny. Bod B leží v jednom z nich. V souladu s axiomem 3.2 je možné uložit úhel (ACD) z paprsku C A rovný úhlu (CAB) do jiné poloroviny. ACD a CAB jsou stejné vnitřní příčně ležící s úsečkami AB a CD a sečnou (AC) Pak podle věty 3.1 (AB) || (CD). S přihlédnutím k axiomu 3.1. Věta byla prokázána.

Vlastnost rovnoběžných čar je dána následující větou, obrácenou k větě 3.1.

Věta 3.4.

Pokud dvě rovnoběžné přímky protíná třetí přímka, pak jsou vnitřní úhly protínající se stejné.

Důkaz

Nechť (AB) || (CD). Předpokládejme, že ACD ≠ BAC. Bodem A vedeme přímku AE tak, že EAC = ACD. Ale pak, podle věty 3.1 (AE ) || (CD ), a podle podmínky – (AB ) || (CD). V souladu s větou 3.2 (AE ) || (AB). To je v rozporu s větou 3.3, podle níž lze bodem A, který neleží na přímce CD, nakreslit jedinečnou přímku, která je s ním rovnoběžná. Věta byla prokázána.

Obrázek 3.3.1.

Na základě této věty lze snadno zdůvodnit následující vlastnosti.

Pokud dvě rovnoběžné přímky protne třetí přímka, pak jsou odpovídající úhly stejné.

Pokud dvě rovnoběžné přímky protne třetí přímka, pak součet vnitřních jednostranných úhlů je 180°.

Důsledek 3.2.

Je-li přímka kolmá k jedné z rovnoběžných přímek, je kolmá i k druhé.

Koncept paralelismu nám umožňuje představit následující nový koncept, který bude potřeba později v kapitole 11.

Dva paprsky se nazývají stejně směrované, jestliže existuje přímka taková, že za prvé jsou k této přímce kolmé a za druhé paprsky leží ve stejné polorovině vzhledem k této přímce.

Dva paprsky se nazývají opačně zaměřené, pokud je každý z nich stejně směrován s paprskem komplementárním k druhému.

Budeme označovat shodně směrované paprsky AB a CD: a opačně směrované paprsky AB a CD -

Obrázek 3.3.2.

Znamení překračování čar.

Pokud jedna ze dvou přímek leží v určité rovině a druhá přímka tuto rovinu protíná v bodě, který neleží na první přímce, pak se tyto přímky protnou.

Případy vzájemného uspořádání čar v prostoru.

Existují čtyři různé případy uspořádání dvou čar v prostoru:

– přímý přechod, tzn. neležte ve stejné rovině;

– přímky se protínají, tzn. leží ve stejné rovině a mají jeden společný bod;

– rovnoběžné čáry, tzn. leží ve stejné rovině a neprotínají se;

- čáry se shodují.

Získáme charakteristiky těchto případů vzájemné polohy přímek dané kanonickými rovnicemi

Kde — body patřící čarám A v souladu s tím, a— směrové vektory (obr. 4.34). Označme podlevektor spojující dané body.

Následující charakteristiky odpovídají případům vzájemné polohy čar uvedených výše:

– přímé a křížící se vektory nejsou koplanární;

– přímky a protínající se vektory jsou koplanární, ale vektory nejsou kolineární;

– přímé a paralelní vektory jsou kolineární, ale vektory kolineární nejsou;

– přímky a shodné vektory jsou kolineární.

Tyto podmínky lze zapsat pomocí vlastností smíšených a vektorových produktů. Připomeňme, že smíšený součin vektorů v pravém pravoúhlém souřadnicovém systému se nalézá podle vzorce:

a determinant protíná je nula a jeho druhý a třetí řádek nejsou proporcionální, tzn.
– přímá a rovnoběžná druhá a třetí čára determinantu jsou úměrné, tzn. a první dva řádky nejsou proporcionální, tzn.

– přímky a všechny přímky determinantu se shodují a jsou úměrné, tzn.

Důkaz testu šikmé čáry.

Leží-li jedna ze dvou přímek v rovině a druhá tuto rovinu protíná v bodě, který nepatří do první přímky, pak se tyto dvě přímky protnou.

Důkaz

Nechť a patří do α, b protíná α = A, A nepatří do a (Výkres 2.1.2). Předpokládejme, že přímky aab se nekříží, to znamená, že se protínají. Pak existuje rovina β, do které patří přímky aab. V této rovině β leží přímka a a bod A. Protože přímka a a bod A mimo ni definují jednu rovinu, pak β = α. Ale b řídí β a b nepatří k α, proto rovnost β = α není možná.

Pokud mají dvě přímky v prostoru společný bod, pak se říká, že se tyto dvě přímky protínají. Na následujícím obrázku se přímky a a b protínají v bodě A. Přímky a a c se neprotínají.

Jakékoli dvě přímky mají buď pouze jeden společný bod, nebo nemají žádné společné body.

Rovnoběžky

Dvě přímky v prostoru se nazývají rovnoběžné, pokud leží ve stejné rovině a neprotínají se. K označení rovnoběžných čar použijte speciální ikonu - ||.

Zápis a||b znamená, že přímka a je rovnoběžná s přímkou b. Na výše uvedeném obrázku jsou přímky a a c rovnoběžné.

Věta o paralelních přímkách

Jakýmkoli bodem v prostoru, který neleží na dané přímce, prochází přímka rovnoběžná s danou a navíc pouze jedna.

Křížení čar

Dvě přímky, které leží ve stejné rovině, se mohou protínat nebo být rovnoběžné. Ale v prostoru dvě přímky nemusí nutně patřit do této roviny. Mohou být umístěny ve dvou různých rovinách.

Je zřejmé, že přímky umístěné v různých rovinách se neprotínají a nejsou rovnoběžné. Nazývají se dvě přímky, které neleží ve stejné rovině překračování rovných čar.

Následující obrázek ukazuje dvě protínající se přímky a a b, které leží v různých rovinách.