نتیجه گیری در منطق استدلال استقرایی یا قیاسی

نوع بولی مقادیر از نوع بولی 1 بایت را اشغال می کنند و یکی از دو مقدار مشخص شده توسط ثابت های از پیش تعریف شده True (true) و False (false) را می گیرند. روش های استاتیک برای نوع منطقی تعریف شده است: boolean.Parse(s) - تابعی که یک رشته را تبدیل می کند

26. تحلیل منطقی

26. تحلیل منطقی اتوبوس.سایت.سایت اتوبوس. این مکان ظهر است.تقریباً ظهر است. وقتشه.مسافران.. نزاع.. دعوای مسافران. این عمل است مرد جوان کلاه گردن لاغر بلند. مرد جوانی که کلاهی بر سر دارد که دور آن بافته شده است. این

راه منطقی

بخش اول. استدلال قیاسی و قابل قبول

فصل 1. موضوع و وظایف منطق

1.1. منطق به عنوان یک علم

منطق یکی از کهن ترین علومی است که نخستین آموزه های آن در مورد اشکال و روش های استدلال در تمدن ها پدید آمده است. شرق باستان(چین، هند). اصول و روش های منطق عمدتاً با تلاش یونانیان باستان وارد فرهنگ غربی شد. توسعه یافته زندگی سیاسیدر دولت شهرهای یونان، مبارزه احزاب مختلف برای نفوذ بر توده های شهروندان آزاد، میل به حل و فصل مالکیت و سایر درگیری هایی که از طریق دادگاه به وجود آمد - همه اینها مستلزم توانایی متقاعد کردن مردم، دفاع از موقعیت خود در موارد مختلف بود. انجمن های محبوب، در نهادهای دولتی، جلسات دادگاه و غیره

هنر متقاعدسازی، استدلال، مهارت دفاع معقول از عقیده و اعتراض به مخالف در حین بحث و جدل در چارچوب بلاغت باستانی، با تمرکز بر بهبود خطابه و اریستیک، آموزه خاصی در مورد استدلال پرورش داده شد. اولین معلمان بلاغت برای انتشار و توسعه دانش در مورد مهارت اقناع، روش های استدلال و ساختن سخنرانی عمومی، عطف انجام دادند. توجه ویژهبر جنبه ها و ویژگی های عاطفی، روانی، اخلاقی و کلامی آن. با این حال، بعدها، زمانی که مکاتب بلاغت به رهبری سوفسطاییان آغاز شد، آنها به دنبال این بودند که به شاگردان خود بیاموزند که از طریق استدلال به دنبال حقیقت نباشند، بلکه بیشتر پیروز شوند، تا به هر قیمتی شده در رقابت لفظی پیروز شوند. برای این اهداف، خطاهای منطقی عمدی به طور گسترده ای مورد استفاده قرار گرفت که بعدها به عنوان شناخته شد سفسطه،و همچنین ترفندها و تکنیک های روانشناختی مختلف برای منحرف کردن توجه، پیشنهاد، تغییر اختلاف از موضوع اصلی به موضوعات فرعی و غیره.

فیلسوفان بزرگ باستانی سقراط، افلاطون و ارسطو قاطعانه با این گرایش در بلاغت مخالفت کردند که ابزار اصلی اقناع را اعتبار احکام مندرج در کلام سخنوری، ارتباط صحیح آنها در فرآیند استدلال، یعنی. استنباط برخی قضاوت ها از دیگران ارسطو (قرن چهارم قبل از میلاد) برای تحلیل استدلال اولین نظام منطقی را به نام قیاس شناسیاین ساده ترین و در عین حال پرکاربردترین شکل استدلال قیاسی است که در آن نتیجه (نتیجه گیری) از مقدمات طبق قواعد استنتاج منطقی به دست می آید. توجه داشته باشید که اصطلاح کسرترجمه از لاتین به معنای نتیجه.

برای توضیح این موضوع، اجازه دهید به قیاس باستانی بپردازیم:

همه مردم فانی هستند.

کای انسان است.____________

بنابراین، کای فانی است.

در اینجا نیز مانند سایر قیاس‌ها، استنباط از دانش عمومی درباره طبقه معینی از اشیاء و پدیده‌ها به دانش خاص و فردی صورت می‌گیرد. بیایید فوراً تأکید کنیم که در موارد دیگر کسر می تواند از جزئی به جزئی یا از عام به عام انجام شود.

اصلی‌ترین چیزی که همه استنتاج‌های قیاسی را متحد می‌کند این است که نتیجه بر اساس قواعد منطقی استنتاج از مقدمات به دست می‌آید و دارای ویژگی قابل اعتماد و عینی است. به عبارت دیگر، نتیجه گیری به اراده، تمایلات و ترجیحات موضوع استدلال بستگی ندارد. اگر مقدمات چنین نتیجه‌گیری را قبول دارید، باید نتیجه‌گیری آن را بپذیرید.

همچنین اغلب بیان می شود که ویژگی تعیین کننده استنتاج های قیاسی، ماهیت منطقی ضروری نتیجه، حقیقت قابل اعتماد آن است. به عبارت دیگر، در چنین استنباط هایی، ارزش صدق مقدمات به طور کامل به نتیجه منتقل می شود. به همین دلیل است که استدلال قیاسی بیشترین قدرت اقناع را دارد و نه تنها برای اثبات قضایای ریاضیات، بلکه در هر جایی که نیاز به نتیجه‌گیری قابل اعتماد باشد، به طور گسترده مورد استفاده قرار می‌گیرد.

اغلب در کتاب های درسی منطق هامشخص به عنوان علمی در مورد قوانین تفکر صحیح یا اصول و روش های نتیجه گیری صحیح.با این حال، از آنجایی که مشخص نیست چه نوع تفکری صحیح تلقی می شود، قسمت اول تعریف حاوی یک توتولوژی پنهان است، زیرا تلویحاً فرض می شود که چنین درستی با رعایت قواعد منطق حاصل می شود. در بخش دوم، موضوع منطق به طور دقیق‌تری تعریف می‌شود، زیرا وظیفه اصلی منطق به تحلیل استنتاج‌ها خلاصه می‌شود، یعنی. برای شناسایی راه های به دست آوردن برخی قضاوت ها از دیگران. به راحتی می توان متوجه شد که وقتی از استنتاج های صحیح صحبت می کنند، به طور ضمنی یا حتی صریح به معنای منطق قیاسی هستند. دقیقاً در آن است که قوانین کاملاً مشخصی برای استنتاج منطقی نتیجه گیری از مقدمات وجود دارد که بعداً با جزئیات بیشتری آشنا خواهیم شد. غالباً منطق قیاسی نیز با منطق صوری شناسایی می شود، به این دلیل که دومی اشکال استنتاج را به صورت انتزاعی از محتوای خاص احکام مطالعه می کند. اما این دیدگاه، روش‌ها و اشکال دیگر استدلالی را که هم در علوم تجربی که طبیعت را مطالعه می‌کنند و هم در علوم اجتماعی-اقتصادی و انسانی بر اساس واقعیات و نتایج زندگی اجتماعی به‌طور گسترده مورد استفاده قرار می‌دهند، در نظر نمی‌گیرد. و در عمل روزمره، ما اغلب تعمیم می‌دهیم و بر اساس مشاهدات موارد خاص، فرضیاتی می‌سازیم.

استدلالی از این دست که در آن بر اساس تحقیق و بررسی موارد خاص، در مورد موارد مطالعه نشده یا در مورد همه پدیده های طبقه به طور کلی به نتیجه می رسد، نامیده می شود. القائی.مدت، اصطلاح القاءبه معنای راهنماییو جوهر چنین استدلالی را به خوبی بیان می کند. آنها معمولاً خواص و روابط تعداد معینی از اعضای یک کلاس خاص از اشیاء و پدیده ها را مطالعه می کنند. سپس ویژگی یا رابطه کلی حاصل به اعضای ناشناخته یا به کل کلاس منتقل می شود. بدیهی است که چنین نتیجه‌گیری را نمی‌توان به‌طور قابل اعتمادی درست در نظر گرفت، زیرا در میان اعضای ناشناخته کلاس و به‌ویژه کلاس به‌عنوان یک کل، ممکن است اعضایی وجود داشته باشند که دارای ویژگی مشترک فرضی نباشند. بنابراین، نتایج استقراء قابل اعتماد نیستند، بلکه فقط احتمالاتی هستند. اغلب چنین نتیجه‌گیری‌هایی قابل قبول، فرضی یا حدسی نیز نامیده می‌شوند، زیرا دستیابی به حقیقت را تضمین نمی‌کنند، بلکه فقط به آن اشاره می‌کنند. آنها دارند ابتکاری(جستجو) نه ماهیت قابل اعتماد، کمک به جستجوی حقیقت به جای اثبات آن. همراه با استدلال استقرایی، این شامل نتیجه گیری های قیاسی و تعمیم های آماری نیز می شود.

ویژگی متمایزاز این گونه استدلال های غیر قیاسی این است که نتیجه گیری در آنها منطقی نیست، یعنی. طبق قوانین کسر، از محل. مقدمات فقط تا حدی نتیجه را تأیید می کنند، آن را کم و بیش محتمل یا قابل قبول می کنند، اما صدق قابل اعتماد آن را تضمین نمی کنند. بر این اساس، استدلال احتمالی گاهی به وضوح دست کم گرفته می شود، ثانویه، کمکی و حتی از منطق حذف می شود.

این نگرش نسبت به منطق غیر قیاسی و به ویژه منطق استقرایی عمدتاً با دلایل زیر توضیح داده می شود:

اولا، و این نکته اصلی است، ماهیت مشکل دار، احتمالی نتیجه گیری های استقرایی و وابستگی مرتبط نتایج به داده های موجود، جدایی ناپذیری از مقدمات و ناقص بودن نتیجه گیری ها. از این گذشته، با در دسترس قرار گرفتن داده های جدید، احتمال چنین نتیجه گیری نیز تغییر می کند.

ثانیاً وجود جنبه های ذهنی در ارزیابی رابطه منطقی احتمالی بین مقدمات و نتیجه استدلال. این مقدمات، مانند حقایق و شواهد، ممکن است برای یک نفر قانع کننده به نظر برسد، اما برای دیگری نه. یکی معتقد است که آنها به شدت از نتیجه گیری حمایت می کنند، دیگری نظر مخالف دارد. چنین اختلافاتی در استنتاج قیاسی به وجود نمی آید.

ثالثاً این نگرش نسبت به استقرا با شرایط تاریخی نیز تبیین می شود. هنگامی که منطق استقرایی برای اولین بار پدید آمد، پدیدآورندگان آن، به ویژه F. Bacon، معتقد بودند که با کمک قوانین، یا قواعد آن، می توان حقایق جدیدی را در علوم تجربی به روشی تقریباً کاملاً مکانیکی کشف کرد. او می‌نویسد: «مسیر ما برای اکتشاف علوم، چیزی از تیزبینی و قدرت استعداد باقی نمی‌گذارد، اما تقریباً آنها را یکسان می‌کند. همانطور که در کشیدن یک خط مستقیم یا توصیف یک دایره کامل، استحکام، مهارت و آزمایش دست معنی می‌دهد. زیاد، اگر فقط با دست خود عمل کنید، اگر از قطب نما و خط کش استفاده کنید، به معنای کم است یا اصلاً معنی ندارد. روش ما اینطور است.» صحبت كردن زبان مدرن، پدیدآورندگان منطق استقرایی قوانین خود را الگوریتم های کشف می دانستند. با پیشرفت علم، بیشتر و بیشتر آشکار شد که با کمک چنین قوانین (یا الگوریتم‌هایی) می‌توان تنها ساده‌ترین ارتباطات تجربی را بین پدیده‌های مشاهده شده تجربی و کمیت‌هایی که آنها را مشخص می‌کند، کشف کرد. افتتاحیه اتصالات پیچیدهو قوانین عمیق نظری مستلزم استفاده از همه ابزارها و روشهای تجربی و تحقیق نظری, حداکثر کاربردتوانایی های ذهنی و فکری دانشمندان، تجربه، شهود و استعداد آنها. و این نمی تواند باعث ایجاد نگرش منفی نسبت به رویکرد مکانیکی به کشف شود که قبلاً در منطق استقرایی وجود داشت.

چهارم، گسترش اشکال استدلال قیاسی، پیدایش منطق رابطه ای و به ویژه کاربرد روش های ریاضیبرای تجزیه و تحلیل استنتاج، که در ایجاد منطق نمادین (یا ریاضی) به اوج خود رسید، که تا حد زیادی به پیشرفت منطق قیاسی کمک کرد.

همه اینها روشن می کند که چرا آنها اغلب ترجیح می دهند منطق را به عنوان علم روش ها، قواعد و قوانین استنتاج قیاسی یا به عنوان نظریه استنتاج منطقی تعریف کنند. اما نباید فراموش کرد که استقرا، قیاس و آمار هستند از راه های مهمجستجوی اکتشافی برای حقیقت، و بنابراین آنها به عنوان روش های عقلانی استدلال عمل می کنند. به هر حال، جستجوی حقیقت را می توان به صورت تصادفی، از طریق آزمون و خطا انجام داد، اما این روش بسیار ناکارآمد است، اگرچه گاهی اوقات از آن استفاده می شود. علم به ندرت به آن متوسل می شود، زیرا بر جستجوی سازمان یافته، هدفمند و سیستماتیک تمرکز می کند.

همچنین باید در نظر داشت که حقایق کلی (قوانین تجربی و نظری، اصول، فرضیه‌ها و تعمیم‌ها) که به عنوان مقدمات نتیجه‌گیری قیاسی به کار می‌روند را نمی‌توان به صورت قیاسی اثبات کرد. اما ممکن است اعتراض شود که به صورت استقرایی باز نمی شوند. با این حال، از آنجایی که استدلال استقرایی بر جستجوی حقیقت متمرکز است، معلوم می شود که ابزار اکتشافی مفیدتری برای تحقیق است. البته در آزمايش مفروضات و فرضيه ها از استنباط نيز استفاده مي شود، به ويژه براي نتيجه گيري از آنها. بنابراین، استنتاج را نمی توان در مقابل استقراء قرار داد، زیرا در فرآیند واقعی معرفت علمی، یکدیگر را مفروض و تکمیل می کنند.

بنابراین، منطق را می‌توان به عنوان علم روش‌های استدلال عقلانی تعریف کرد که هم تحلیل قواعد استنتاج (استنتاج نتیجه‌گیری از مقدمات) و هم مطالعه درجه تأیید نتایج احتمالی یا قابل قبول (فرضیه‌ها، تعمیم‌ها، مفروضات) را در بر می‌گیرد. ، و غیره.).

منطق سنتی که بر اساس آموزه های منطقی ارسطو شکل گرفت، بعداً با روش های منطق استقرایی که توسط F. Bacon فرموله شد و توسط J.S. میلم. این منطق است که مدت هاست در مدارس و دانشگاه ها تحت عنوان تدریس می شود منطق رسمی

خروج، اورژانس منطق ریاضیرابطه بین منطق قیاسی و غیرقیاسی را که در منطق سنتی وجود داشت، به شدت تغییر داد. این تغییر به نفع کسر انجام شد. به لطف نمادسازی و استفاده از روش های ریاضی، منطق قیاسی خود شخصیت کاملاً رسمی پیدا کرد. در واقع، در نظر گرفتن چنین منطقی کاملاً مشروع است مدل ریاضیاستدلال استقرایی یا قیاسی. بنابراین، اغلب آن را مرحله ای مدرن در توسعه منطق صوری می دانند، اما فراموش می کنند اضافه کنند که ما در مورد منطق قیاسی صحبت می کنیم.

همچنین اغلب گفته می شود که منطق ریاضی فرآیند استدلال را به ساختن سیستم های محاسباتی مختلف تقلیل می دهد و در نتیجه فرآیند طبیعی تفکر را جایگزین محاسبات می کند. با این حال، مدل همیشه با ساده سازی همراه است، بنابراین نمی تواند جایگزین اصلی شود. در واقع، منطق ریاضی عمدتاً بر روی آن متمرکز است برهان های ریاضیبنابراین، انتزاعی از ماهیت مقدمات (یا ادله)، اعتبار و مقبولیت آنهاست. او چنین مقدماتی را داده شده یا قبلاً اثبات شده می داند.

این در حالی است که در فرآیند واقعی استدلال، در بحث، بحث، جدل، تحلیل و ارزیابی مقدمات جنبه خاصی پیدا می کند. مهم. در جریان استدلال باید تزها و گزاره های خاصی را مطرح کرد، در دفاع از آنها دلایل قانع کننده ای یافت، آن ها را تصحیح و تکمیل کرد، استدلال های متقابل ارائه کرد و .... در اینجا باید به روش‌های استدلال غیررسمی و غیر قیاسی، به ویژه تعمیم استقرایی حقایق، نتیجه‌گیری از طریق قیاس، تحلیل آماری و غیره روی آوریم.

با در نظر گرفتن منطق به عنوان علم روش های عقلانی استدلال، ما نباید سایر اشکال تفکر - مفاهیم و قضاوت ها را فراموش کنیم که هر کتاب درسی منطق با آنها شروع می شود. اما احکام و به ویژه مفاهیم نقش کمکی در منطق دارند. به کمک آنها ساختار استنباط ها و پیوند قضاوت ها در انواع مختلفاستدلال مفاهیم در ساختار هر حکمی به صورت موضوع، یعنی یک موضوع فکری، و یک محمول - به عنوان نشانه ای که موضوع را مشخص می کند، یعنی ادعای وجود یا عدم وجود خاصیت خاصی در شیء گنجانده می شود. فکر. در ارائه خود، ما به سنت عمومی پذیرفته شده پایبند هستیم و بحث را با تحلیل مفاهیم و قضاوت ها آغاز می کنیم و سپس روش های استدلالی قیاسی و غیر قیاسی را با جزئیات بیشتری پوشش می دهیم. فصلی که در آن گزاره ها تجزیه و تحلیل می شوند، عناصر حساب گزاره ای را بررسی می کند که معمولاً نقطه شروع هر درس در منطق ریاضی است.

عناصر منطق محمول در فصل بعدی که در آن نظریه قیاس مقوله ای به عنوان یک مورد خاص در نظر گرفته شده است، پرداخته شده است. فرم های مدرناستدلال غیر قیاسی را نمی توان بدون تمایز واضح بین تفسیر منطقی و آماری احتمال درک کرد، زیرا در زیر احتمالآنچه که اغلب به آن اشاره می شود دقیقاً تفسیر آماری آن است که معنای کمکی در منطق دارد. در این راستا، در فصل استدلال احتمالی، به طور خاص بر روشن کردن تفاوت بین دو تفسیر احتمال تمرکز می کنیم و ویژگی های احتمال منطقی را با جزئیات بیشتر توضیح می دهیم.

بنابراین، کل ماهیت ارائه در کتاب، خواننده را به این واقعیت سوق می دهد که استنتاج و استقراء، اعتبار و احتمال، حرکت فکر از کلی به جزئی و از جزئی به کلی را حذف نمی کند، بلکه مکمل آن است. یکدیگر در روند کلیاستدلال عقلانی هم برای یافتن حقیقت و هم برای اثبات آن است.

ویژگی‌های مفاهیم اساسی در آشکار می‌شود بدیهیات- پیشنهادات بدون مدرک پذیرفته می شود.

به عنوان مثال، در هندسه مدرسه بدیهیاتی وجود دارد: "از طریق هر دو نقطه می توانید یک خط مستقیم و فقط یک نقطه بکشید" یا "یک خط مستقیم یک صفحه را به دو نیم صفحه تقسیم می کند."

سیستم بدیهیات هر نظریه ریاضی که ویژگی های مفاهیم اساسی را آشکار می کند، تعاریف آنها را ارائه می دهد. این گونه تعاریف نامیده می شود بدیهی

خواص مفاهیمی که باید اثبات شوند نامیده می شوند قضایا, عواقب، نشانه ها، فرمول ها، قوانین.

قضیه را ثابت کنید آکه در- به این معنی است که به روشی منطقی ایجاد شود که هر گاه ملکی راضی شد آ، ملک اجرا می شود که در.

اثباتدر ریاضیات به دنباله ای متناهی از گزاره های یک نظریه می گویند که هر یک یا بدیهی است یا بر اساس قواعد استنتاج منطقی از یک یا چند گزاره از این دنباله استنتاج می شود.

اساس برهان استدلال است - عملیات منطقی، که در نتیجه از یک یا چند جمله به هم پیوسته در معنا، جمله ای حاوی دانش جدید به دست می آید.

به عنوان مثال، استدلال یک دانش آموز را در نظر بگیرید که باید رابطه "کمتر از" را بین اعداد 7 و 8 برقرار کند. دانش آموز می گوید: "7< 8, потому что при счете 7 называют раньше, чем 8».

اجازه دهید دریابیم که نتیجه به دست آمده در این استدلال بر چه حقایقی استوار است.

دو حقیقت وجود دارد: اول: اگر عدد آهنگام شمارش، اعداد از قبل فراخوانی می شوند ب، آن آ< ب. دوم: هنگام شمارش 7 زودتر از 8 خوانده می شود.

جمله اول این است شخصیت کلی، از آنجایی که حاوی یک کمیت کلی است - به آن یک مقدمه کلی می گویند. جمله دوم مربوط به اعداد خاص 7 و 8 است - به آن یک فرض خصوصی می گویند. دریافت شده از دو بسته واقعیت جدید: 7 < 8, его называют заключением.

ارتباط خاصی بین مقدمات و نتیجه وجود دارد که به لطف آن استدلال را تشکیل می دهند.

استدلالی که در آن یک رابطه ضمنی بین مقدمات و نتیجه وجود دارد نامیده می شود استقرایی.

در منطق، به جای اصطلاح "استدلال"، بیشتر از کلمه "استنتاج" استفاده می شود.

استنتاج- این راهی برای به دست آوردن دانش جدید بر اساس برخی از دانش های موجود است.

یک استنتاج شامل مقدمات و یک نتیجه است.

بسته ها- اینها حاوی دانش اولیه هستند.

نتیجه- این بیانیه ای است که حاوی دانش جدید به دست آمده از اصل است.

به عنوان یک قاعده، نتیجه گیری با استفاده از کلمات "بنابراین"، "وسیله" از مقدمات جدا می شود. استنباط با مقدمات آر 1، آر 2, …, рnو نتیجه گیری آرآن را به شکل زیر می نویسیم: یا (ر 1، آر 2, …, рn) آر.

مثال ها استنباط: الف) عدد a =بعدد b = c. بنابراین، تعداد a = c.

ب) اگر صورت کسری از مخرج کوچکتر باشد، کسر مناسب است. در کسری صورت کوچکتر از مخرج است (5<6) . بنابراین، کسر - درست.

ج) اگر باران می بارد، پس ابر در آسمان است. ابر در آسمان وجود دارد، بنابراین باران می بارد.

نتیجه گیری می تواند درست یا نادرست باشد.

استنتاج نامیده می شود درستاگر فرمول مربوط به ساختار آن و نمایانگر ترکیبی از مقدمات است که با یک علامت ضمنی به نتیجه متصل می شود، به طور یکسان درست است.

برای آن برای تعیین اینکه آیا نتیجه گیری درست است، به صورت زیر عمل کنید:

1) تمام مقدمات و نتیجه گیری را رسمی کنید.

2) فرمولی را بنویسید که نشان دهنده ترکیبی از مکان های مرتبط با یک علامت ضمنی با یک نتیجه است.

3) یک جدول حقیقت برای این فرمول تهیه کنید.

4) اگر فرمول به طور یکسان درست باشد، نتیجه گیری صحیح است، اگر نه، نتیجه گیری نادرست است.

در منطق، اعتقاد بر این است که صحت یک نتیجه گیری با شکل آن تعیین می شود و به محتوای خاص عبارات موجود در آن بستگی ندارد. و در منطق قواعدی پیشنهاد می شود که به دنبال آن می توان نتیجه گیری های قیاسی کرد. این قوانین نامیده می شوند قوانین استنباطیا الگوهای استدلال قیاسی.

قوانین زیادی وجود دارد، اما رایج ترین آنها موارد زیر است:

1. - قاعده نتیجه گیری؛

2. - قاعده نفی؛

3. - قاعده قیاس.

بدهیم مثال استنباط های انجام شده ازقانون نتیجه گیری:«اگر ضبط یک عدد ایکسبا یک عدد به پایان می رسد 5, آن عدد ایکستقسیم بر 15. نوشتن یک عدد 135 با یک عدد به پایان می رسد 5 . بنابراین، تعداد 135 تقسیم بر 5 ».

فرض کلی در این نتیجه گیری این است که «اگر اوه)که B(x)"، جایی که اوه)- این یک "رکورد تعداد" است ایکسبا یک عدد به پایان می رسد 5 "، آ B(x)- "عدد ایکستقسیم بر 5 " مقدمه خاص عبارتی است که از شرط کلیات زمانی حاصل می شود
x = 135(آنها الف (135)). نتیجه گیری عبارتی است که از آن به دست می آید B(x)در x = 135(آنها V(135)).

بدهیم نمونه ای از نتیجه گیری بر اساس قاعده موارد منفی:«اگر ضبط یک عدد ایکسبا یک عدد به پایان می رسد 5, آن عدد ایکستقسیم بر 5 . عدد 177 قابل تقسیم بر 5 . بنابراین به عدد ختم نمی شود 5 ».

می بینیم که در این استنتاج، مقدمه ی عام همان است که در مورد قبل آمده است و خاص، نفی گزاره «عدد» است. 177 تقسیم بر 5 "(یعنی). نتیجه نفی جمله «نوشتن عدد 177 با یک عدد به پایان می رسد 5 "(یعنی).

در نهایت بیایید در نظر بگیریم نمونه ای از استنتاج بر اساس قاعده قیاس: «اگر شماره ایکسچندگانه 12, سپس آن چند برابر است 6. اگر شماره ایکسچندگانه 6 ، پس مضرب است 3 . بنابراین، اگر تعداد ایکسچندگانه 12, سپس آن چند برابر است 3 ».

این نتیجه دو پیش فرض دارد: «اگر اوه)که B(x)" و اگر B(x)،که C(x)"، که در آن A(x) "عدد است ایکسچندگانه 12 », B(x)- "عدد ایکسچندگانه 6 " و C(x)- "عدد ایکسچندگانه 3 " نتیجه گیری عبارتی است «اگر اوه)که C(x)».

بیایید بررسی کنیم که آیا نتایج زیر درست است یا خیر:

1) اگر چهار ضلعی لوزی باشد، قطرهای آن بر هم عمود هستند. ABCD- لوزی بنابراین، قطرهای آن متقابل عمود هستند.

2) اگر عدد بر بخش پذیر باشد 4 ، سپس بر تقسیم می شود 2 . عدد 22 تقسیم بر 2 . بنابراین تقسیم می شود 4.

3) همه درختان گیاه هستند. کاج یک درخت است. این بدان معنی است که کاج یک گیاه است.

4) همه دانش آموزان این کلاس به تئاتر رفتند. پتیا در تئاتر نبود. بنابراین، پتیا دانش آموز این کلاس نیست.

5) اگر صورت کسری از مخرج کوچکتر باشد، کسر صحیح است. اگر کسری مناسب باشد، کوچکتر از 1 است. بنابراین، اگر صورت کسری از مخرج کوچکتر باشد، آن کسری کوچکتر از 1 است.

راه حل: 1) برای حل مسئله صحت استنباط، اجازه دهید شکل منطقی آن را مشخص کنیم. اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم: C(x)- "چهار ضلعی" ایکس- لوزی" B(x)- «در یک چهار گوش ایکسمورب ها بر هم عمود هستند." سپس فرض اول را می توان به صورت زیر نوشت:
C(x) B(x)،دومین - ج (الف)،و نتیجه گیری ب (الف).

بنابراین، شکل این استنتاج به این صورت است: . طبق قاعده نتیجه گیری ساخته شده است. بنابراین این استدلال صحیح است.

2) اجازه دهید نماد را معرفی کنیم: اوه)- "عدد ایکستقسیم بر 4 », B(x)- "عدد ایکستقسیم بر 2 " سپس فرض اول را می نویسیم: اوه)B(x)،دومین ب (الف)،و نتیجه این است الف (الف).نتیجه گیری به شکل زیر خواهد بود: .

در میان افراد شناخته شده چنین شکل منطقی وجود ندارد. به راحتی می توان فهمید که هر دو فرض درست و نتیجه نادرست است.

یعنی این استدلال نادرست است.

3) اجازه دهید برخی از نمادها را معرفی کنیم. اجازه دهید اوه)- "اگر ایکسدرخت" B(x) - « ایکسگیاه". سپس بسته ها به شکل زیر در می آیند: اوه)B(x)، A(a)،و نتیجه گیری ب (الف).نتیجه گیری ما به شکل زیر ساخته شده است: - قوانین نتیجه گیری

این بدان معناست که استدلال ما به درستی ساختار یافته است.

4) اجازه دهید اوه) - « ایکس- دانش آموزان کلاس ما، B(x)- "دانش آموزان ایکسبه تئاتر رفت.» سپس بسته ها به شرح زیر خواهد بود: اوه)B(x)،، و نتیجه گیری

این نتیجه بر اساس قاعده نفی است:

- یعنی درست است.

5) بیایید شکل منطقی استنتاج را شناسایی کنیم. اجازه دهید تبر) -"شمار کسری ایکسکمتر از مخرج». B(x) - "کسری ایکس- درست." C(x)- "کسر" ایکسکمتر 1 " سپس بسته ها به شکل زیر در می آیند: اوه)B(x)، B(x) C(x)،و نتیجه گیری اوه)C(x).

نتیجه گیری ما شکل منطقی زیر را خواهد داشت: - قاعده قیاس.

یعنی این نتیجه گیری درست است.

در منطق راه های مختلفی برای بررسی صحت استنباط در نظر گرفته می شود از جمله تجزیه و تحلیل صحت استنتاج با استفاده از دایره های اویلر.به صورت زیر انجام می شود: نتیجه را به زبان نظری مجموعه ها بنویسید. با در نظر گرفتن درستی، مقدمات حلقه های اویلر را به تصویر بکشید. آنها به دنبال این هستند که ببینند آیا نتیجه گیری همیشه درست است یا خیر. اگر بله، پس آنها می گویند که استنتاج به درستی ساخته شده است. اگر ترسیمی ممکن باشد که از آن معلوم شود نتیجه نادرست است، می گویند نتیجه نادرست است.

جدول 9

اجازه دهید نشان دهیم که استنتاج بر اساس قاعده استنتاج قیاسی است. ابتدا اجازه دهید این قانون را به زبان نظری مجموعه ها بنویسیم.

بسته اوه)B(x)را می توان به صورت نوشت TAتلویزیون، جایی که TAو تلویزیون- مجموعه صدق اشکال گزاره ای اوه)و B(x).

بسته اختصاصی الف(الف)یعنی که آTA،و نتیجه گیری ب(الف)نشان میدهد که آتلویزیون.

کل استنتاج ساخته شده بر اساس قاعده استنتاج به زبان نظری مجموعه ها به صورت زیر نوشته می شود: .

برنج. 58.

مثال ها.

1. آیا نتیجه گیری "اگر عددی به عددی ختم شود" صحیح است؟ 5, سپس عدد بر آن بخش پذیر است 5. عدد 125 تقسیم بر 5. بنابراین، شماره را بنویسید 125 با یک عدد به پایان می رسد 5 »?

راه حل:این نتیجه گیری طبق طرح انجام می شود ، که مطابقت دارد . چنین طرحی برای ما شناخته شده نیست. بیایید دریابیم که آیا این قاعده استنتاج قیاسی است؟

بیایید از حلقه های اویلر استفاده کنیم. به زبان نظری مجموعه ها

قانون حاصل را می توان به صورت زیر نوشت:

. اجازه دهید مجموعه ها را روی دایره های اویلر به تصویر بکشیم TAو تلویزیونو عنصر را مشخص کنید آاز بسیاری تلویزیون.

به نظر می رسد که می توان آن را در یک مجموعه قرار داد TA،یا ممکن است متعلق به او نباشد (شکل 59). در منطق، اعتقاد بر این است که چنین طرحی یک قاعده استنتاج قیاسی نیست، زیرا صدق نتیجه را تضمین نمی کند.

این نتیجه گیری صحیح نیست، زیرا بر اساس طرحی انجام شده است که صدق استدلال را تضمین نمی کند.

برنج. 59.

ب) همه افعال به سؤال "چه باید کرد؟" پاسخ می دهند. یا "چه باید بکنم؟" کلمه "گل ذرت" به هیچ یک از این سوالات پاسخ نمی دهد. بنابراین «گل ذرت» فعل نیست.

راه حل:الف) اجازه دهید این نتیجه را به زبان نظری مجموعه ها بنویسیم. اجازه دهید با نشان دادن آ- بسیاری از دانشجویان دانشکده تعلیم و تربیت، از طریق که در- بسیاری از دانش آموزان که معلم هستند، از طریق با- بسیاری از دانش آموزان بالای 20 سال.

سپس نتیجه گیری به شکل زیر در می آید: .

اگر این مجموعه ها را روی دایره ها ترسیم کنیم، 2 مورد ممکن است:

1) مجموعه ها الف، ب، جتقاطع

2) مجموعه که دربا بسیاری تلاقی می کند باو آ،و خیلی آتقاطع می کند که در، اما با آن تلاقی نمی کند با.

ب) اجازه دهید با نشان دهیم آبسیاری از افعال، و از طریق که درکلمات زیادی که به سوال "چه باید کرد؟" پاسخ می دهد. یا "چه باید بکنم؟"

سپس نتیجه را می توان به صورت زیر نوشت:

بیایید به چند نمونه نگاه کنیم.

مثال 1. از دانش آموز خواسته می شود توضیح دهد که چرا عدد 23 را می توان به صورت مجموع 20 + 3 نشان داد. او دلیل می کند: «عدد 23 دو رقمی است. هر عدد دو رقمی را می توان به صورت مجموع عبارات رقمی نشان داد. بنابراین، 23 = 20 + 3."

جملات اول و دوم در این نتیجه گیری مقدماتی هستند و یکی از ماهیت کلی این جمله است که "هر عدد دو رقمی را می توان به عنوان مجموع عبارات رقمی نشان داد" و دیگری خاص است و فقط عدد 23 را مشخص می کند - دو رقمی است نتیجه - این جمله که بعد از کلمه "بنابراین" آمده است - ماهیت خصوصی نیز دارد، زیرا به عدد خاص 23 اشاره دارد.

استنتاج‌هایی که معمولاً در اثبات قضایا به کار می‌روند، مبتنی بر مفهوم دلالت منطقی هستند. علاوه بر این، از تعریف دلالت منطقی چنین برمی‌آید که برای تمام مقادیر متغیرهای گزاره‌ای که گزاره‌های اولیه (مقدمات) برای آنها صادق است، نتیجه‌گیری قضیه نیز صادق است. چنین نتیجه گیری هایی قیاسی هستند.

در مثال فوق، استنتاج ارائه شده قیاسی است.

مثال 2. یکی از تکنیک های آشنایی دانش آموزان دبستانی با خاصیت جابجایی ضرب به شرح زیر است. با استفاده از وسایل مختلف بصری، دانش آموزان مدرسه، همراه با معلم، ثابت می کنند که به عنوان مثال، 6 3 = 36, 52 = 25. سپس بر اساس برابری های به دست آمده نتیجه می گیرند: برای همه اعداد طبیعی آو ببرابری درست است ab = ba.

در این نتیجه، مقدمات دو برابر اول هستند. آنها ادعا می کنند که چنین خاصیتی برای اعداد طبیعی خاص صادق است. نتیجه گیری در این مثال یک عبارت کلی است - خاصیت جابجایی ضرب اعداد طبیعی.

در این نتیجه، مقدمات با ماهیت خاص نشان می دهد که مقداریاعداد طبیعی دارای ویژگی زیر هستند: مرتب کردن مجدد عوامل، حاصلضرب را تغییر نمی دهد. و بر این اساس نتیجه گرفته شد که تمامی اعداد طبیعی دارای این خاصیت هستند. این گونه استنتاج ها را استقرای ناقص می نامند.

آن ها برای برخی از اعداد طبیعی می توان استدلال کرد که مجموع آنها از حاصل ضرب آنها کمتر است. به این معنی که با توجه به اینکه برخی از اعداد دارای این ویژگی هستند، می توان نتیجه گرفت که همه اعداد طبیعی دارای این ویژگی هستند:

این مثال نمونه ای از استدلال قیاسی است.

زیر مقایسهاستنتاجی را درک کنید که در آن بر اساس شباهت دو شیء در برخی خصوصیات و وجود ویژگی اضافی در یکی از آنها، در مورد وجود همان ویژگی در شیء دیگر نتیجه گیری شود.

نتیجه گیری از طریق قیاس ماهیت یک فرض، یک فرضیه است و بنابراین نیاز به اثبات یا ابطال دارد.

هنگام نتیجه گیری، ارائه قوانین برای معرفی و حذف اتصالات منطقی به همان روشی که قوانین استنتاج ارائه می شود راحت است:

قانون 1.اگر مقدمات $F_1$ و $F_2$ به معنای "و" باشند، پیوند آنها درست است، یعنی.

$$\frac(F_1 ; F_2)((F_1\&F_2))$$

این ورودی، اگر مقدمات $F_1$ و $F_2$ درست باشد، امکان وارد کردن یک رابطه منطقی از یک ربط را در نتیجه فراهم می‌کند. این قانون با اصل A5 یکسان است (نگاه کنید به)؛

قانون 2.اگر $(F_1\&F_2)$ دارای مقدار "and" باشد، پس فرمول های فرعی $F_1$ و $F_2$ درست هستند، یعنی.

$$\frac((F_1\&F_2))(F_1) \: و \: \frac((F_1\&F_2))(F_2)$$

این نماد، اگر $(F_1\&F_2)$ درست باشد، امکان حذف پیوند منطقی پیوند را در نتیجه گیری و در نظر گرفتن مقادیر واقعی زیرفرمول های $F_1$ و $F_2$ فراهم می کند. این قانون با بدیهیات A3 و A4 یکسان است.

قانون 3.اگر $F_1$ دارای مقدار "and" باشد، و $(F_1\&F_2)$ دارای مقدار "l" باشد، پس فرمول فرعی $F_2$ نادرست است، یعنی.

$$\frac(F_1;\left\rceil\right. \!\!(F_1\&F_2))( \left\rceil\right. \!\!F_2)$$

این ورودی، اگر $(F_1\&F_2)$ نادرست باشد و یکی از زیرفرمول‌ها درست باشد، امکان حذف پیوند منطقی حرف ربط در نتیجه‌گیری و نادرست بودن مقدار زیرفرمول دوم را فراهم می‌کند.

قانون 4.اگر حداقل یک فرض $F_1$ یا $F_2$ درست باشد، پس تفکیک آنها درست است، یعنی.

$$\frac(F_1)( (F_1\vee F_2)) \: یا \: \frac(F_2)( (F_1\vee F_2))$$

این نماد، اگر حداقل یک زیرفرمول $F_1$ یا $F_2$ درست باشد، امکان معرفی یک پیوند منطقی تفکیک را در نتیجه گیری فراهم می کند. این قانون با بدیهیات A6 و A7 یکسان است.

قانون 5.اگر $(F_1\vee F_2)$ مقدار "and" را داشته باشد و یکی از زیرفرمول های $F_1$ یا $F_2$ دارای مقدار "l" باشد، آنگاه زیرفرمول دوم $F_2$ یا $F_1$ درست است، یعنی.

$$\frac((F_1\vee F_2); \left\rceil\right. \!\!F_1 )( (F_2) \: یا \: \frac((F_1\vee F_2)؛ \left\rceil\right . \!\!F_2 )( (F_1)$$

این نماد، اگر $(F_1\vee F_2)$ درست باشد، امکان حذف پیوند منطقی تفکیک در نتیجه گیری و در نظر گرفتن مقادیر واقعی زیرفرمول های $F_1$ یا $F_2$ را فراهم می کند.

قانون 6.اگر زیرفرمول $F_2$ دارای مقدار "and" باشد، فرمول $(F_1\rightarrow F_2)$ برای هر مقدار از زیرفرمول $F_1$ صادق است، یعنی.

$$\frac(F_2)( (F_1\فلش راست F_2))$$

این نماد، با مقدار واقعی $F_2$، امکان وارد کردن یک مفهوم را در نتیجه یک اتصال منطقی برای هر مقدار از زیرفرمول $F_1$ ("حقیقت از هر چیزی") فراهم می کند. این قانون با اصل 1 یکسان است.

قانون 7.اگر زیرفرمول $F_1$ دارای مقدار "l" باشد، فرمول $(F_1\rightarrow F_2)$ برای هر مقدار از زیرفرمول $F_2$ صادق است، یعنی.

$$\frac(\چپ\rceil\راست. \!\!F_1 )( (F_1\ فلش راست F_2))$$

این نماد، اگر مقدار $F_1$ نادرست باشد، امکان وارد کردن یک پیوند منطقی از مفهوم را در نتیجه گیری برای هر مقدار از زیرفرمول $F_2$ ("هر چیزی از نادرست") فراهم می کند.

قانون 8.اگر فرمول $(F_1\rightarrow F_2)$ دارای مقدار "and" باشد، فرمول $(\left\rceil\right. \!\!F_2\rightarrow \left\rceil\right. \!\!F_1) $ درست است، یعنی

$$\frac((F_1\راست فلش F_2) )((\چپ\rceil\راست. \!\!F_2\راست فلش \چپ\rceil\راست. \!\!F_1))$$

این ورودی، با مقدار واقعی $(F_1\rightarrow F_2)$، امکان تعویض قطب های مفهوم ضمنی را تعیین می کند و همزمان مقادیر آنها را تغییر می دهد. این قانون تضاد است.

قانون 9.اگر فرمول $(F_1\rightarrow F_2)$ دارای مقدار "and" باشد، فرمول $((F_1\vee F_3)\rightarrow (F_2\vee F_3)$ برای هر مقدار $F_3$ درست است، یعنی.

$$\frac((F_1\راست فلش F_2))(((F_1\vee F_3)\راست فلش (F_2\vee F_3)) $$

این ورودی، با مقدار واقعی $(F_1\rightarrow F_2)$، توانایی انجام عملیات تفکیک را برای هر مقدار از فرمول $F_3$ روی هر قطب مفهوم تعیین می کند. این قانون با اصل A11 یکسان است.

قانون 10.اگر فرمول $(F_1\rightarrow F_2)$ دارای مقدار "and" باشد، فرمول $((F_1\&F_3)\rightarrow (F_2\&F_3)$ برای هر مقدار $F_3$ درست است، یعنی.

$$\frac((F_1\ فلش راست F_2) )(((F_1\&F_3)\راست (F_2\&F_3))$$

این ورودی، با مقدار واقعی $(F_1\rightarrow F_2)$، توانایی انجام عملیات ربط را برای هر مقدار از فرمول $F_3$ روی هر قطب مفهوم مشخص می‌کند. این قانون با اصل A10 یکسان است.

قانون 11.اگر فرمول‌های $(F_1\rightarrow F_2)$ و $(F_2\rightarrow F_3)$ دارای مقدار "and" باشند، فرمول $(F_1\rightarrow F_3)$ درست است، یعنی.

$$\frac((F_1\ فلش راست F_2)؛ (F_2\ فلش راست F_3) )((F_1\ فلش راست F_3))$$

این مدخل، با مقدار واقعی $(F_1\rightarrow F_2)$ و $(F_2\rightarrow F_3)$ امکان تشکیل مفهوم $(F_1\rightarrow F_3)$ (قانون قیاس) را فراهم می کند. این قانون با اصل A2 یکسان است.

قانون 12.اگر فرمول‌های $F_1$ و $(F_1\rightarrow F_2)$ دارای مقدار "and" باشند، فرمول $F_2$ درست است، یعنی.

$$\frac(F_1; (F_1\ فلش راست F_2) )(F_2)$$

این مدخل، با توجه به ارزش واقعی مقدمه $F_1$ و مفهوم $(F_1\rightarrow F_2)$، به شما امکان می دهد پیوند منطقی مفهوم را حذف کنید و ارزش واقعی نتیجه $F_2$ را تعیین کنید.

قانون 13.اگر فرمول ها $\left\rceil\right هستند. \!\!F_2 و (F_1\rightarrow F_2)$ به معنای "و" هستند، سپس فرمول $\left\rceil\right درست است. \!\!F_1$، یعنی.

$$\frac(\left\rceil\right. \!\!F_2; (F_1\right arrow F_2) )( \left\rceil\right. \!\!F_1)$$

به این ورودی مقدار واقعی فرض $\left\rceil\right داده می شود. \!\!F_2$ و مفاهیم $(F_1\rightarrow F_2)$ به شما امکان می دهد پیوند منطقی مفهوم را حذف کنید و مقدار واقعی نتیجه $\left\rceil\right را تعیین کنید. \!\!F_1$;

قانون 14.اگر فرمول‌های $(F_1\rightarrow F_2)$ و $(F_2\rightarrow F_1)$ دارای مقدار "and" باشند، فرمول $(F_1\rightarrow F_2)$ درست است، یعنی.

$$\frac((F_1\ فلش راست F_2)؛ (F_2\ فلش راست F_1) )( (F_1\ فلش سمت راست F_2))$$

این ورودی، با مقدار واقعی $(F_1\rightarrow F_2)$ و $(F_2\rightarrow F_1)$، به شما امکان می دهد یک پیوند معادل منطقی را معرفی کنید و مقدار فرمول $(F_1\rightarrow F_2)$ را تعیین کنید.

قانون 15.اگر فرمول $(F_1\rightarrow F_2)$ دارای مقدار "and" باشد، فرمول های $(F_1\rightarrow F_2)$ و $(F_2\rightarrow F_1)$ درست هستند، یعنی.

$$\frac((F_1\ فلش راست چپ F_2) )( (F_1\ فلش راست F_2) ) \: و \: \frac((F_1\ فلش راست چپ F_2) )( (F_2\ فلش راست F_1) )$$

این ورودی، با مقدار واقعی $(F_1\leftrightarrow F_2)$، به شما این امکان را می دهد که پیوند منطقی معادل را حذف کنید و مقدار واقعی فرمول های $(F_1\rightarrow F_2)$ و $(F_2\راست فلش F_1) را تعیین کنید. $.