1. મૂળભૂત પદ્ધતિસરની જોગવાઈઓ.

સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પદ્ધતિ અગાઉના અવલોકનોના તમામ ડેટાની ભારિત (ઘાતાંકીય) મૂવિંગ એવરેજનો ઉપયોગ કરે છે. આ મોડેલ મોટાભાગે ડેટા પર લાગુ થાય છે જેમાં વિશ્લેષિત સૂચકાંકો (વલણ) અથવા વિશ્લેષિત ડેટાની અવલંબન વચ્ચેના સંબંધની હાજરીનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે. ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગનો હેતુ અંદાજ કાઢવાનો છે વર્તમાન સ્થિતિ, જેનાં પરિણામો અનુગામી તમામ આગાહીઓ નક્કી કરશે.

ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પ્રદાન કરે છેનવીનતમ ડેટાનો ઉપયોગ કરીને મોડેલનું સતત અપડેટ. આ પદ્ધતિ ઉતરતા (ઘાતાંકીય) દિશામાં ભૂતકાળના અવલોકનોની સરેરાશ (સુગમતા) સમય શ્રેણી પર આધારિત છે. એટલે કે, તાજેતરની ઘટનાઓને વધુ વજન આપવામાં આવે છે. વજન નીચે પ્રમાણે અસાઇન કરવામાં આવ્યું છે: છેલ્લા અવલોકન માટે વજન α હશે, ઉપાંત્ય માટે - (1-α), તે પહેલાંના માટે - (1-α) 2, વગેરે.

સ્મૂથ સ્વરૂપમાં, નવી આગાહી (સમય સમયગાળા t+1 માટે)ને t સમયે જથ્થાના છેલ્લા અવલોકન અને સમાન સમયગાળા t માટે તેની અગાઉની આગાહીની ભારિત સરેરાશ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે. તદુપરાંત, વજન α એ અવલોકન કરેલ મૂલ્યને સોંપવામાં આવે છે, અને વજન (1- α) આગાહીને સોંપવામાં આવે છે; એવું માનવામાં આવે છે કે 0< α<1. Это правило в общем виде можно записать следующим образом.

નવી આગાહી = [α*(છેલ્લું અવલોકન)]+[(1- α)*છેલ્લી આગાહી]

અનુમાનિત મૂલ્ય ક્યાં છે આગામી સમયગાળો;

α - સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ;

Y t - માટે મૂલ્યનું અવલોકન વર્તમાન સમયગાળો t;

પીરિયડ t માટે આ મૂલ્યની અગાઉની સુગમ આગાહી.

ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ એ સૌથી તાજેતરની ઘટનાઓના પ્રકાશમાં આગાહીના પરિણામોને સતત સુધારવા માટેની પ્રક્રિયા છે.

સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ α એ ભારિત પરિબળ છે. વર્તમાન અવલોકન અનુમાનિત મૂલ્યને કેટલી હદે પ્રભાવિત કરે છે તેના દ્વારા તેનું વાસ્તવિક મૂલ્ય નક્કી કરવામાં આવે છે. જો α 1 ની નજીક છે, તો આગાહી નોંધપાત્ર રીતે છેલ્લા આગાહીની ભૂલની તીવ્રતાને ધ્યાનમાં લે છે. તેનાથી વિપરીત, α ના નાના મૂલ્યો માટે, અનુમાનિત મૂલ્ય અગાઉની આગાહીની સૌથી નજીક છે. તમામ ભૂતકાળના અવલોકનોની ભારાંકિત સરેરાશ તરીકે વિચારી શકાય છે, જેમાં ડેટાની ઉંમરની જેમ વજન ઝડપથી ઘટતું જાય છે.

કોષ્ટક 2.1

સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ્સના વિવિધ મૂલ્યોના પ્રભાવની સરખામણી

સ્થિર α એ ડેટા વિશ્લેષણની ચાવી છે. જો તે જરૂરી છે કે અનુમાનિત મૂલ્યો સ્થિર છે અને રેન્ડમ વિચલનો સરળ છે, તો α નું નાનું મૂલ્ય પસંદ કરવું જરૂરી છે. જો અવલોકનોના સ્પેક્ટ્રમમાં ફેરફારો માટે ઝડપી પ્રતિસાદની જરૂર હોય તો સ્થિર α નું મોટું મૂલ્ય અર્થપૂર્ણ છે.

2. ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગનું પ્રાયોગિક ઉદાહરણ.

સાત વર્ષ માટે વેચાણ વોલ્યુમ (હજાર એકમો) પર કંપનીનો ડેટા રજૂ કરવામાં આવે છે, સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ 0.1 અને 0.6 ની બરાબર લેવામાં આવે છે. 7 વર્ષ માટેનો ડેટા પરીક્ષણ ભાગ બનાવે છે; તેમના આધારે, દરેક મોડેલની અસરકારકતાનું મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે. શ્રેણીના ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ માટે, પ્રારંભિક મૂલ્ય 500 ની બરાબર લેવામાં આવે છે (વાસ્તવિક ડેટાનું પ્રથમ મૂલ્ય અથવા 3-5 સમયગાળા માટે સરેરાશ મૂલ્ય 2જી ક્વાર્ટર માટે સ્મૂથ મૂલ્યમાં રેકોર્ડ કરવામાં આવે છે).

કોષ્ટક 2.2

પ્રારંભિક ડેટા

સમય	વાસ્તવિક મૂલ્ય (વાસ્તવિક)	સુંવાળી કિંમત	આગાહી ભૂલ
વર્ષ	ક્વાર્ટર	0,1	0,1
એક્સેલ	સૂત્ર અનુસાર
			#N/A		0,00
		500,00		-150,00
		485,00	485,00	-235,00
		461,50	461,50	-61,50
			455,35	455,35	-5,35
		454,82	454,82	-104,82
		444,33	444,33	-244,33
		419,90	419,90	-119,90
			407,91	407,91	-57,91
		402,12	402,12	-202,12
		381,91	381,91	-231,91
		358,72	358,72	41,28
			362,84	362,84	187,16
		381,56	381,56	-31,56
		378,40	378,40	-128,40
		365,56	365,56	184,44
			384,01	384,01	165,99
		400,61	400,61	-0,61
		400,55	400,55	-50,55
		395,49	395,49	204,51
			415,94	415,94	334,06
		449,35	449,35	50,65
		454,41	454,41	-54,41
		448,97	448,97	201,03
			469,07	469,07	380,93

ફિગ માં. આકૃતિ 2.1 0.1 ની બરાબર સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ સાથે ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પર આધારિત આગાહી રજૂ કરે છે.

ચોખા. 2.1. ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ

Excel માં ઉકેલ.

1. મેનુ “ટૂલ્સ” – “ડેટા એનાલિસિસ” પસંદ કરો. વિશ્લેષણ સાધનોની સૂચિમાં, ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પસંદ કરો. જો "ટૂલ્સ" મેનૂમાં કોઈ ડેટા વિશ્લેષણ નથી, તો તમારે "વિશ્લેષણ પેકેજ" ઇન્સ્ટોલ કરવાની જરૂર છે. આ કરવા માટે, "વિકલ્પો" માં "સેટિંગ્સ" આઇટમ શોધો અને દેખાતા સંવાદ બોક્સમાં, "વિશ્લેષણ પેકેજ" બોક્સને ચેક કરો અને બરાબર ક્લિક કરો.

2. આકૃતિ 1 માં દર્શાવેલ ડાયલોગ બોક્સ સ્ક્રીન પર ખુલશે. 2.2.

3. "ઇનપુટ અંતરાલ" ફીલ્ડમાં, સ્રોત ડેટાના મૂલ્યો દાખલ કરો (વત્તા એક મફત સેલ).

4. "લેબલ્સ" ચેકબોક્સ પસંદ કરો (જો ઇનપુટ શ્રેણીમાં કૉલમ નામો હોય તો).

5. "એટેન્યુએશન ફેક્ટર" ફીલ્ડમાં મૂલ્ય (1-α) દાખલ કરો.

6. "ઇનપુટ અંતરાલ" ફીલ્ડમાં, કોષનું મૂલ્ય દાખલ કરો જેમાં તમે પરિણામી મૂલ્યો જોવા માંગો છો.

7. તેને આપમેળે બનાવવા માટે "વિકલ્પો" - "ગ્રાફ આઉટપુટ" ચેકબોક્સને તપાસો.

ચોખા. 2.2. ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ માટે ડાયલોગ બોક્સ

3. પ્રયોગશાળા સોંપણી.

2 વર્ષ માટે તેલ ઉત્પાદક એન્ટરપ્રાઇઝના ઉત્પાદન વોલ્યુમો પર પ્રારંભિક ડેટા છે, જે કોષ્ટક 2.3 માં પ્રસ્તુત છે:

કોષ્ટક 2.3

પ્રારંભિક ડેટા

શ્રેણીનું ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ કરો. 0.1 ની બરાબર ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ ગુણાંક લો; 0.2; 0.3. પ્રાપ્ત પરિણામો પર ટિપ્પણી કરો. તમે પરિશિષ્ટ 1 માં પ્રસ્તુત આંકડાઓનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

આગાહીની સમસ્યાઓ સમયાંતરે ચોક્કસ ડેટામાં થતા ફેરફારો (વેચાણ, માંગ, પુરવઠો, જીડીપી, કાર્બન ઉત્સર્જન, વસ્તી...) અને ભવિષ્યમાં આ ફેરફારોને રજૂ કરવા પર આધારિત છે. કમનસીબે, ઐતિહાસિક માહિતી પરથી ઓળખાયેલ વલણો ઘણા અણધાર્યા સંજોગો દ્વારા વિક્ષેપિત થઈ શકે છે. તેથી ભવિષ્યમાં ડેટા ભૂતકાળમાં જે બન્યું તેનાથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ હોઈ શકે છે. આ આગાહીની સમસ્યા છે.

જો કે, એવી તકનીકો છે (જેને ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ કહેવાય છે) કે જે તમને માત્ર ભવિષ્યની આગાહી કરવાનો પ્રયાસ કરવા માટે જ નહીં, પણ આગાહી સાથે સંકળાયેલી દરેક વસ્તુની અનિશ્ચિતતાને માપવાની પણ મંજૂરી આપે છે. આગાહીના અંતરાલોની રચના દ્વારા સંખ્યાત્મક રીતે અનિશ્ચિતતા વ્યક્ત કરવી એ ખરેખર અમૂલ્ય છે, પરંતુ આગાહીની દુનિયામાં ઘણી વાર તેની અવગણના કરવામાં આવે છે.

નોંધ ડાઉનલોડ કરો અથવા ફોર્મેટ કરો, ઉદાહરણો ફોર્મેટમાં

પ્રારંભિક ડેટા

ચાલો કહીએ કે તમે "ધ લોર્ડ ઓફ ધ રિંગ્સ" ના ચાહક છો અને હવે ત્રણ વર્ષથી તલવારો બનાવી અને વેચી રહ્યા છો (ફિગ. 1). ચાલો વેચાણને ગ્રાફિકલી પ્રદર્શિત કરીએ (ફિગ. 2). ત્રણ વર્ષમાં માંગ બમણી થઈ છે - કદાચ આ એક વલણ છે? અમે થોડા સમય પછી આ વિચાર પર પાછા આવીશું. આલેખમાં અનેક શિખરો અને ખીણો છે, જે મોસમની નિશાની હોઈ શકે છે. ખાસ કરીને, શિખરો 12, 24 અને 36 નંબરના મહિનામાં થાય છે, જે ડિસેમ્બરમાં થાય છે. પરંતુ કદાચ આ માત્ર એક સંયોગ છે? ચાલો શોધીએ.

સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ

ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પદ્ધતિઓ ભૂતકાળના ડેટા પરથી ભવિષ્યની આગાહી કરવા પર આધાર રાખે છે, જ્યાં નવા અવલોકનો જૂના કરતાં વધુ ભારે હોય છે. સ્થિરાંકોને સુંવાળી કરવા માટે આ વજન શક્ય છે. અમે જે પ્રથમ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પદ્ધતિનો પ્રયાસ કરીશું તેને સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ (SES) કહેવાય છે. તે માત્ર એક સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટનો ઉપયોગ કરે છે.

સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ ધારે છે કે તમારી સમય શ્રેણી ડેટા બે ઘટકો ધરાવે છે: એક સ્તર (અથવા સરેરાશ) અને તે મૂલ્યની આસપાસ કેટલીક ભૂલ. ત્યાં કોઈ વલણ અથવા મોસમી વધઘટ નથી - ત્યાં ફક્ત એક સ્તર છે જેની આસપાસ માંગમાં વધઘટ થાય છે, અહીં અને ત્યાં નાની ભૂલોથી ઘેરાયેલા છે. નવા અવલોકનોને પ્રાધાન્ય આપીને, TEC આ સ્તરમાં ફેરફારનું કારણ બની શકે છે. સૂત્રોની ભાષામાં,

t સમયે માંગ = સ્તર + સ્તરની આસપાસ રેન્ડમ ભૂલ t સમયે

તો તમે અંદાજિત સ્તર મૂલ્ય કેવી રીતે શોધી શકશો? જો આપણે બધા સમયના મૂલ્યોને સમાન મૂલ્ય ધરાવતા તરીકે સ્વીકારીએ, તો આપણે ફક્ત તેમના સરેરાશ મૂલ્યની ગણતરી કરવી જોઈએ. જો કે, આ એક ખરાબ વિચાર છે. તાજેતરના અવલોકનોને વધુ વજન આપવું જોઈએ.

ચાલો ઘણા સ્તરો બનાવીએ. ચાલો ગણતરી કરીએ આધારરેખાપ્રથમ વર્ષમાં:

સ્તર 0 = પ્રથમ વર્ષ માટે સરેરાશ માંગ (1-12 મહિના)

તલવારોની માંગ માટે તે 163 છે. અમે મહિના 1 માટે માંગની આગાહી તરીકે સ્તર 0 (163) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ. મહિના 1 ની માંગ 165 છે, એટલે કે, તે સ્તર 0 થી ઉપર 2 તલવારો છે. તે બેઝલાઇન અંદાજને અપડેટ કરવા યોગ્ય છે. સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ માટેનું સમીકરણ છે:

સ્તર 1 = સ્તર 0 + થોડા ટકા × (માગ 1 - સ્તર 0)

સ્તર 2 = સ્તર 1 + થોડા ટકા × (માગ 2 - સ્તર 1)

વગેરે. "થોડા ટકા" ને સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ કહેવામાં આવે છે, અને આલ્ફા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. આ 0 થી 100% (0 થી 1) સુધીની કોઈપણ સંખ્યા હોઈ શકે છે. તમે પછીથી આલ્ફા મૂલ્ય કેવી રીતે પસંદ કરવું તે શીખી શકશો. સામાન્ય રીતે, સમયના વિવિધ બિંદુઓ માટેનું મૂલ્ય:

સ્તર વર્તમાન સમયગાળો = સ્તર અગાઉના સમયગાળા +
આલ્ફા × (માગ વર્તમાન સમયગાળો - સ્તર અગાઉના સમયગાળા)

ભાવિ માંગ છેલ્લા ગણતરી કરેલ સ્તર (ફિગ. 3) જેટલી છે. તમે આલ્ફા શું છે તે જાણતા ન હોવાથી, સેલ C2 ને શરૂ કરવા માટે 0.5 પર સેટ કરો. મૉડલ બાંધ્યા પછી, એક આલ્ફા શોધો કે જેમાં ચોરસ ભૂલનો સરવાળો - E2 (અથવા પ્રમાણભૂત વિચલન - F2) ન્યૂનતમ હોય. આ કરવા માટે, વિકલ્પ ચલાવો ઉકેલ શોધવો. આ કરવા માટે, મેનુ મારફતે જાઓ ડેટા –> ઉકેલ શોધવો, અને વિન્ડોમાં ઇન્સ્ટોલ કરો ઉકેલ શોધ વિકલ્પોજરૂરી મૂલ્યો (ફિગ. 4). ચાર્ટ પર અનુમાન પરિણામો પ્રદર્શિત કરવા માટે, પ્રથમ શ્રેણી A6:B41 પસંદ કરો અને એક સરળ રેખા ચાર્ટ બનાવો. આગળ, ડાયાગ્રામ પર જમણું-ક્લિક કરો અને વિકલ્પ પસંદ કરો ડેટા પસંદ કરો.ખુલતી વિંડોમાં, બીજી પંક્તિ બનાવો અને તેમાં A42:B53 શ્રેણીમાંથી અનુમાનો દાખલ કરો (ફિગ. 5).

કદાચ તમારી પાસે વલણ છે

આ ધારણાને ચકાસવા માટે, તે ફિટ થવા માટે પૂરતું છે રેખીય રીગ્રેસનમાંગ ડેટા હેઠળ અને આ ટ્રેન્ડ લાઇનના ઉદય પર ટી-ટેસ્ટ કરો (જેમ કે). જો રેખાનો ઢોળાવ બિન-શૂન્ય હોય અને આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર હોય (વિદ્યાર્થીની ટી ટેસ્ટનો ઉપયોગ કરીને પરીક્ષણમાં, મૂલ્ય આર 0.05 કરતા ઓછા), ડેટામાં વલણ છે (ફિગ. 6).

અમે LINEST ફંક્શનનો ઉપયોગ કર્યો છે, જે 10 વર્ણનાત્મક આંકડા આપે છે (જો તમે આ ફંક્શનનો પહેલાં ઉપયોગ ન કર્યો હોય, તો હું તેનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરું છું) અને INDEX ફંક્શન, જે તમને ફક્ત ત્રણ જરૂરી આંકડાઓને "ખેંચવા" માટે પરવાનગી આપે છે, સમગ્ર સેટને નહીં. તે બહાર આવ્યું છે કે ઢોળાવ 2.54 છે, અને તે નોંધપાત્ર છે, કારણ કે વિદ્યાર્થીની કસોટી દર્શાવે છે કે 0.000000012 0.05 કરતા નોંધપાત્ર રીતે ઓછો છે. તેથી, ત્યાં એક વલણ છે, અને જે બાકી છે તે તેને આગાહીમાં શામેલ કરવાનું છે.

ટ્રેન્ડ એડજસ્ટમેન્ટ સાથે હોલ્ટ એક્સપોનેન્શિયલ સ્મૂથિંગ

તેને ઘણીવાર ડબલ એક્સપોનેન્શિયલ સ્મૂથિંગ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેમાં એક સ્મૂથિંગ પેરામીટર નથી - આલ્ફા, પરંતુ બે. જો સમય ક્રમમાં રેખીય વલણ હોય, તો પછી:

સમય t = સ્તર + t × વલણ + સમય t પર રેન્ડમ સ્તર વિચલનની માંગ

ટ્રેન્ડ એડજસ્ટમેન્ટ સાથે હોલ્ટ એક્સ્પોનેન્શિયલ સ્મૂથિંગમાં બે નવા સમીકરણો છે, એક તે સ્તર માટે જે તે સમય પસાર કરે છે અને બીજું વલણ માટે. સ્તરના સમીકરણમાં સ્મૂથિંગ પેરામીટર આલ્ફા હોય છે, અને વલણ સમીકરણમાં ગામા હોય છે. નવું સ્તર સમીકરણ કેવું દેખાય છે તે અહીં છે:

સ્તર 1 = સ્તર 0 + વલણ 0 + આલ્ફા × (માગ 1 – (સ્તર 0 + વલણ 0))

તેની નોંધ કરો સ્તર 0 + વલણ 0પ્રારંભિક મૂલ્યોથી મહિના 1 સુધીની માત્ર એક-પગલાની આગાહી છે, તેથી માંગ 1 - (સ્તર 0 + વલણ 0)- આ એક-પગલાની વિચલન છે. આમ, મૂળભૂત સ્તર અંદાજિત સમીકરણ હશે:

સ્તર વર્તમાન સમયગાળો = સ્તર અગાઉના સમયગાળા + વલણ અગાઉના સમયગાળા + આલ્ફા × (માગ વર્તમાન સમયગાળો - (સ્તર અગાઉના સમયગાળા) + વલણ અગાઉના સમયગાળા))

ટ્રેન્ડ અપડેટ સમીકરણ:

વલણ વર્તમાન સમયગાળો = વલણ અગાઉનો સમયગાળો + ગામા × આલ્ફા × (માગ વર્તમાન સમયગાળો - (સ્તર અગાઉના સમયગાળા) + વલણ અગાઉના સમયગાળા))

એક્સેલમાં હોલ્ટ સ્મૂથિંગ સમાન છે સરળ લીસું કરવું(ફિગ. 7), અને ઉપર મુજબ, ધ્યેય એ છે કે સ્ક્વેર્ડ ભૂલોના સરવાળાને ઘટાડીને બે ગુણાંક શોધવાનું છે (ફિગ. 8). પ્રારંભિક સ્તર અને વલણ મૂલ્યો (આકૃતિ 7 માં કોષો C5 અને D5 માં) મેળવવા માટે, વેચાણના પ્રથમ 18 મહિના માટે એક ગ્રાફ બનાવો અને તેમાં સમીકરણ સાથે વલણ રેખા ઉમેરો. સેલ C5 અને D5 માં 0.8369 નું પ્રારંભિક વલણ મૂલ્ય અને 155.88 નું પ્રારંભિક સ્તર દાખલ કરો. આગાહીનો ડેટા ગ્રાફિકલી રજૂ કરી શકાય છે (ફિગ. 9).

ચોખા. 7. ટ્રેન્ડ એડજસ્ટમેન્ટ સાથે હોલ્ટ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ; છબીને મોટું કરવા માટે, તેના પર જમણું-ક્લિક કરો અને પસંદ કરો નવી ટેબમાં છબી ખોલો

ડેટામાં પેટર્નની ઓળખ કરવી

અનુમાનિત મોડેલની મજબૂતાઈને ચકાસવાની એક રીત છે - એક પગલું (અથવા ઘણા પગલાઓ) દ્વારા સ્થાનાંતરિત, પોતાની સાથે ભૂલોની તુલના કરો. જો વિચલનો રેન્ડમ હોય, તો મોડેલ સુધારી શકાતું નથી. જો કે, માંગ ડેટામાં મોસમી પરિબળ હોઈ શકે છે. ભૂલ શબ્દની વિભાવના કે જે અન્ય સમયગાળાની પોતાની આવૃત્તિ સાથે સહસંબંધ ધરાવે છે તેને સ્વતઃસંબંધ કહેવાય છે (સ્વતઃસંબંધ પર વધુ માટે, જુઓ). સ્વતઃસંબંધની ગણતરી કરવા માટે, દરેક સમયગાળા માટે આગાહી ભૂલ ડેટા સાથે પ્રારંભ કરો (આકૃતિ 7 માં કૉલમ F આકૃતિ 10 માં કૉલમ B પર ખસે છે). આગળ, વ્યાખ્યાયિત કરો સરેરાશ ભૂલઆગાહી (ફિગ. 10, સેલ B39; કોષમાં સૂત્ર: =AVERAGE(B3:B38)). કૉલમ C માં, સરેરાશમાંથી આગાહી ભૂલના વિચલનની ગણતરી કરો; સેલ C3 માં સૂત્ર: =B3-B$39. આગળ, ક્રમિક રીતે કૉલમ C એક કૉલમ જમણી તરફ અને એક પંક્તિ નીચે શિફ્ટ કરો. કોષો D39: =SUMPRODUCT($C3:$C38,D3:D38), D41: =D39/$C39, D42: =2/SQRT(36), D43: =-2/SQRT(36).

D:O કૉલમમાંથી એક કૉલમ C સાથે "સિંક્રનસ" હોવાનો અર્થ શું છે, ઉદાહરણ તરીકે, જો કૉલમ C અને D સિંક્રનસ હોય, તો તેમાંથી એકમાં નકારાત્મક હોય તેવી સંખ્યા બીજામાં ઋણ હોવી જોઈએ? એકમાં, મિત્રમાં સકારાત્મક. આનો અર્થ એ છે કે બે કૉલમના ઉત્પાદનોનો સરવાળો નોંધપાત્ર હશે (તફાવત એકઠા થાય છે). અથવા, જે સમાન વસ્તુ છે, કરતાં નજીકનું મૂલ્ય D41:O41 થી શૂન્યની શ્રેણીમાં, કૉલમ C (અંજીર 11) સાથે કૉલમનો સહસંબંધ (અનુક્રમે D થી O) નીચો.

એક સ્વયંસંબંધ ઉચ્ચ નિર્ણાયક મૂલ્ય. એક વર્ષ દ્વારા સ્થાનાંતરિત ભૂલ પોતાની સાથે સંકળાયેલ છે. આનો અર્થ છે 12 ​​મહિનાનું મોસમી ચક્ર. અને આ આશ્ચર્યજનક નથી. જો તમે માંગના ગ્રાફ (ફિગ. 2) પર નજર નાખો, તો તે તારણ આપે છે કે દર ક્રિસમસ અને એપ્રિલ-મેમાં ચાટની માંગમાં ટોચ હોય છે. ચાલો આગાહી કરવાની તકનીકને ધ્યાનમાં લઈએ જે મોસમને ધ્યાનમાં લે છે.

હોલ્ટ-વિન્ટર્સ ગુણાકાર ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ

પદ્ધતિને ગુણાકાર કહેવામાં આવે છે (ગુણાકારમાંથી - ગુણાકાર), કારણ કે તે મોસમને ધ્યાનમાં લેવા માટે ગુણાકારનો ઉપયોગ કરે છે:

સમયની માંગ t = (સ્તર + t × વલણ) × સમય માટે મોસમી ગોઠવણ × કોઈપણ બાકીના અનિયમિત ગોઠવણો કે જેને આપણે ધ્યાનમાં લઈ શકતા નથી

હોલ્ટ-વિન્ટર્સ સ્મૂથિંગને ટ્રિપલ એક્સપોનેન્શિયલ સ્મૂથિંગ પણ કહેવામાં આવે છે કારણ કે તેમાં ત્રણ સ્મૂથિંગ પેરામીટર્સ (આલ્ફા, ગામા અને ડેલ્ટા) છે. ઉદાહરણ તરીકે, જો 12 મહિનાનું મોસમી ચક્ર હોય તો:

39 મહિના માટે આગાહી = (સ્તર 36 + 3 × વલણ 36) x મોસમ 27

ડેટાનું પૃથ્થકરણ કરતી વખતે, ડેટા શ્રેણીમાં વલણ શું છે અને મોસમ શું છે તે શોધવાનું જરૂરી છે. હોલ્ટ-વિન્ટર્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને ગણતરીઓ કરવા માટે, તમારે:

• મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સરળ ઐતિહાસિક ડેટા.
• મોસમનો આશરે અંદાજ મેળવવા માટે ડેટાની ટાઇમ સિરીઝના સ્મૂથ વર્ઝનની મૂળ સાથે સરખામણી કરો.
• મોસમી ઘટક વિના નવો ડેટા મેળવો.
• આ નવા ડેટાના આધારે સ્તર અને વલણના અંદાજો શોધો.

મૂળ ડેટાથી પ્રારંભ કરો (આકૃતિ 12 માં કૉલમ A અને B) અને મૂવિંગ એવરેજ સ્મૂથ મૂલ્યો સાથે કૉલમ C ઉમેરો. સિઝનાલિટીમાં 12-મહિનાના ચક્ર હોવાથી, 12-મહિનાની સરેરાશનો ઉપયોગ કરવો અર્થપૂર્ણ છે. આ સરેરાશ સાથે થોડી સમસ્યા છે. 12 એ સમ સંખ્યા છે. જો તમે 7 મહિનાની માંગને સરળ બનાવો છો, તો તમારે તેને મહિના 1 થી 12 અથવા મહિના 2 થી 13 સુધીની સરેરાશ માંગ ગણવી જોઈએ? આ મુશ્કેલીને દૂર કરવા માટે, તમારે "2x12 મૂવિંગ એવરેજ" નો ઉપયોગ કરીને માંગને સરળ બનાવવાની જરૂર છે. એટલે કે, મહિના 1 થી 12 અને મહિના 2 થી 13 ની બે સરેરાશમાંથી અડધી લો. સેલ C8 માં સૂત્ર: =(AVERAGE(B3:B14)+AVERAGE(B2:B13))/2.

1-6 અને 31-36 મહિના માટેનો સ્મૂથ ડેટા મેળવી શકાતો નથી, કારણ કે ત્યાં પૂરતા પહેલાના અને પછીના સમયગાળા નથી. સ્પષ્ટતા માટે, મૂળ અને સરળ ડેટા ડાયાગ્રામમાં પ્રતિબિંબિત થઈ શકે છે (ફિગ. 13).

હવે કૉલમ Dમાં, મૂળ મૂલ્યને સ્મૂથ કરેલા વડે વિભાજીત કરો અને અંદાજિત મોસમી ગોઠવણ મૂલ્ય મેળવો (અંજીર 12માં કૉલમ D). સેલ D8 માં સૂત્ર =B8/C8 છે. 12 અને 24 (ડિસેમ્બર) મહિનામાં સામાન્ય માંગ કરતાં 20% વધુ વધારો નોંધો, જ્યારે વસંતઋતુમાં ચાટ જોવા મળે છે. આ સ્મૂથિંગ ટેકનિક તમને બે આપી બિંદુ અંદાજદરેક મહિના માટે (કુલ 24 મહિના). કૉલમ E આ બે પરિબળોની સરેરાશ શોધે છે. સેલ E1 માં ફોર્મ્યુલા: =AVERAGE(D14,D26). સ્પષ્ટતા માટે, મોસમી વધઘટનું સ્તર ગ્રાફિકલી રજૂ કરી શકાય છે (ફિગ. 14).

સીઝનલી એડજસ્ટેડ ડેટા હવે મેળવી શકાય છે. સેલ G1 માં સૂત્ર છે: =B2/E2. કૉલમ G માં ડેટાના આધારે ગ્રાફ બનાવો, તેને ટ્રેન્ડ લાઇન સાથે પૂરક બનાવો, ચાર્ટ પર વલણ સમીકરણ દર્શાવો (ફિગ. 15), અને અનુગામી ગણતરીઓમાં ગુણાંકનો ઉપયોગ કરો.

ફિગમાં બતાવ્યા પ્રમાણે નવી શીટ બનાવો. 16. અંજીરમાંથી E5:E16 શ્રેણીમાંના મૂલ્યોને બદલો. 12 વિસ્તારો E2:E13. ફિગમાં વલણ રેખા સમીકરણમાંથી C16 અને D16 ના મૂલ્યો લો. 15. 0.5 થી શરૂ થવા માટે સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ્સની કિંમતો સેટ કરો. 1 થી 36 મહિનાની શ્રેણીને આવરી લેવા માટે લાઇન 17 માં મૂલ્યોને ખેંચો. ચલાવો ઉકેલ શોધવોસ્મૂથિંગ ગુણાંકને ઑપ્ટિમાઇઝ કરવા માટે (ફિગ. 18). સેલ B53 માં સૂત્ર છે: =(C$52+(A53-A$52)*D$52)*E41.

હવે તમારે કરેલી આગાહીમાં સ્વતઃસંબંધો તપાસવાની જરૂર છે (ફિગ. 18). તમામ મૂલ્યો ઉપલા અને નીચલી સીમાઓ વચ્ચે સ્થિત હોવાથી, તમે સમજો છો કે મોડેલે માંગ મૂલ્યોની રચનાને સમજવાનું સારું કામ કર્યું છે.

આગાહી માટે વિશ્વાસ અંતરાલનું નિર્માણ

તેથી, અમારી પાસે સંપૂર્ણ કાર્યકારી આગાહી છે. તમે ઉપલા અને નીચલા સીમાઓ કેવી રીતે સેટ કરો છો જેનો ઉપયોગ વાસ્તવિક ધારણાઓ કરવા માટે થઈ શકે છે? મોન્ટે કાર્લો સિમ્યુલેશન કે જેનો તમે પહેલેથી જ સામનો કર્યો છે (આ પણ જુઓ) તમને આમાં મદદ કરશે. આ વિચાર માંગની વર્તણૂકના ભાવિ દૃશ્યો બનાવવા અને તે જૂથને ઓળખવાનો છે જેમાં તેમાંથી 95% આવે છે.

એક્સેલ શીટમાંથી B53:B64 કોષોમાંથી આગાહી દૂર કરો (ફિગ. 17 જુઓ). તમે સિમ્યુલેશનના આધારે ત્યાં માંગ રેકોર્ડ કરશો. બાદમાં NORMINV ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીને જનરેટ કરી શકાય છે. ભવિષ્યના મહિનાઓ માટે, તમારે તેને માત્ર સરેરાશ (0), પ્રમાણભૂત વિતરણ (સેલ $H$2 માંથી 10.37) અને રેન્ડમ નંબર 0 થી 1 સુધી. કાર્ય ઘંટડી આકારના વળાંકને અનુરૂપ સંભાવના સાથે વિચલન પરત કરશે. સેલ G53 માં વન-સ્ટેપ એરર સિમ્યુલેશન મૂકો: =NORMIN(RAND(),0,H$2). આ સૂત્રને G64 સુધી ખેંચો અને તમને એક-પગલાની આગાહીના 12 મહિના માટે આગાહી ભૂલ સિમ્યુલેશન મળશે (આકૃતિ 19). તમારા સિમ્યુલેશન મૂલ્યો આકૃતિમાં બતાવેલ મૂલ્યો કરતા અલગ હશે (તેથી તે સિમ્યુલેશન છે!).

આગાહીની અનિશ્ચિતતા સાથે, તમારી પાસે સ્તર, વલણ અને મોસમી ગુણાંકને અપડેટ કરવા માટે જરૂરી બધું છે. તેથી સેલ C52:F52 પસંદ કરો અને તેમને પંક્તિ 64 સુધી લંબાવો. પરિણામે, તમારી પાસે સિમ્યુલેટેડ આગાહી ભૂલ છે અને આગાહી પોતે જ છે. વિરુદ્ધના આધારે, અમે માંગ મૂલ્યોની આગાહી કરી શકીએ છીએ. B53 સેલમાં ફોર્મ્યુલા દાખલ કરો: =F53+G53 અને તેને B64 સુધી ખેંચો (ફિગ. 20, શ્રેણી B53:F64). હવે તમે F9 બટન દબાવી શકો છો, દરેક વખતે આગાહી અપડેટ કરી શકો છો. 1000 સિમ્યુલેશનના પરિણામોને સેલ A71:L1070 માં મૂકો, દરેક વખતે B53:B64 શ્રેણીમાંથી A71:L71, A72:L72, ... A1070:L1070 શ્રેણીમાં મૂલ્યો સ્થાનાંતરિત કરો. જો આ તમને પરેશાન કરે છે, તો કેટલાક VBA કોડ લખો.

હવે તમારી પાસે દરેક મહિના માટે 1000 દૃશ્યો છે, અને તમે 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલની મધ્યમાં ઉપલા અને નીચલા બાઉન્ડ્સ મેળવવા માટે PERCENTILE ફંક્શનનો ઉપયોગ કરી શકો છો. સેલ A66 માં સૂત્ર છે: =PERCENTILE(A71:A1070,0.975), અને સેલ A67 માં: =PERCENTILE(A71:A1070,0.025).

હંમેશની જેમ, સ્પષ્ટતા માટે, ડેટા ગ્રાફિકલી રજૂ કરી શકાય છે (ફિગ. 21).

ગ્રાફમાં બે રસપ્રદ મુદ્દાઓ છે:

• સમય જતાં ભૂલ વધુ વ્યાપક બને છે. તે અર્થમાં બનાવે છે. દરેક પસાર થતા મહિના સાથે અનિશ્ચિતતા એકઠી થાય છે.
• તે જ રીતે, માંગમાં મોસમી વધારાના સમયગાળા દરમિયાન પડતા ભાગોમાં ભૂલ વધે છે. તેના અનુગામી પતન સાથે, ભૂલ સંકોચાય છે.

જ્હોન ફોરમેન દ્વારા પુસ્તક પર આધારિત લખાયેલ. – એમ.: અલ્પિના પબ્લિશર, 2016. – પૃષ્ઠ 329–381

ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ એ વધુ જટિલ ભારિત સરેરાશ પદ્ધતિ છે. દરેક નવી આગાહી અગાઉની આગાહી વત્તા તે આગાહી અને તે સમયે શ્રેણીના વાસ્તવિક મૂલ્ય વચ્ચેના તફાવતની ટકાવારી પર આધારિત છે.

F t = F t -1 + (A t -1 - F t -1) (2)

ક્યાં: ફીટ - સમયગાળા માટે આગાહી ટી

F t -1- સમયગાળા t-1 માટે આગાહી

- સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ

એ ટી - 1 - સમયગાળા માટે વાસ્તવિક માંગ અથવા વેચાણ t-1

સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ એ આગાહીની ભૂલની ટકાવારી છે. દરેક નવી આગાહી અગાઉની આગાહી વત્તા અગાઉની ભૂલની ટકાવારી જેટલી હોય છે.

ભૂલ માટે અનુમાન ગોઠવણની સંવેદનશીલતા સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, તેનું મૂલ્ય 0 ની નજીક છે, આગાહી ભૂલોને અનુમાનિત કરવામાં ધીમી રહેશે (એટલે ​​​​કે, સ્મૂથિંગની ડિગ્રી વધુ). તેનાથી વિપરિત, મૂલ્ય 1.0 ની જેટલી નજીક છે, સંવેદનશીલતા વધારે છે અને ઓછી સ્મૂથિંગ.

સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટની પસંદગી મોટે ભાગે મફત પસંદગી અથવા અજમાયશ અને ભૂલની બાબત છે. ધ્યેય એ છે કે સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ પસંદ કરવાનું છે કે, એક તરફ, આગાહી સમય શ્રેણીના ડેટામાં વાસ્તવિક ફેરફારો માટે પૂરતા પ્રમાણમાં સંવેદનશીલ રહે છે, અને બીજી તરફ, તે રેન્ડમ પરિબળોને કારણે થતા કૂદકાઓને સારી રીતે સરળ બનાવે છે. સામાન્ય રીતે વપરાતી કિંમતો 0.05 થી 0.50 સુધીની હોય છે.

ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ એ સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતી આગાહી પદ્ધતિઓમાંની એક છે, અંશતઃ તેની ન્યૂનતમ ડેટા સ્ટોરેજ જરૂરિયાતો અને ગણતરીની સરળતાને કારણે, અને અંશતઃ તે સરળતાને કારણે કે જેની સાથે મહત્વના ગુણાંકની સિસ્ટમ ફક્ત નું મૂલ્ય બદલીને બદલી શકાય છે.

કોષ્ટક 3. ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ

સમયગાળો	વાસ્તવિક માંગ	α = 0.1	α = 0.4
આગાહી	ભૂલ	આગાહી	ભૂલ
	10 000	-	-	-	-
	11 200	10 000	11 200-10 000=1 200	10 000	11 200-10 000=1 200
	11 500	10 000+0,1(11 200-10 000)=10 120	11 500-10 120=1 380	10 000+0,4(11 200-10 000)=10 480	11 500-10 480=1 020
	13 200	10 120+0,1(11 500-10 120)=10 258	13 200-10 258=2 942	10 480+0,4(11 500-10 480)=10 888	13 200-10 888=2 312
	14 500	10 258+0,1(13 200-10 258)=10 552	14 500-10 552=3 948	10 888+0,4(13 200-10 888)=11 813	14 500-11 813=2 687
	-	10 552+0,1(14 500-10 552)=10 947	-	11 813+0,4(14 500-11 813)=12 888	-

વલણ માટેની પદ્ધતિઓ

બે છે મહત્વપૂર્ણ પદ્ધતિઓ, જેનો ઉપયોગ વલણ હાજર હોય ત્યારે આગાહી વિકસાવવા માટે થઈ શકે છે. તેમાંના એકમાં વલણ સમીકરણનો ઉપયોગ સામેલ છે; અન્ય - ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગનું વિસ્તરણ.

વલણ સમીકરણ:

રેખીય સમીકરણવલણો આના જેવો દેખાય છે:

Y t = a + δ∙ t (3)

ક્યાં: t - ચોક્કસ સમયગાળાની સંખ્યાસમય સમય પર t = 0;

વાય ટી- સમયગાળાની આગાહી t;

α - અર્થ વાય ટીખાતે t=0

δ - લાઇનનો ઢોળાવ.

પ્રત્યક્ષ ગુણાંક α અને δ , નીચેના બે સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને ચોક્કસ સમયગાળા માટે આંકડાકીય માહિતીમાંથી ગણતરી કરી શકાય છે:

δ= , (4)

α = , (5)

ક્યાં: n - સમયગાળાની સંખ્યા,

y- સમય શ્રેણી મૂલ્ય

કોષ્ટક 3. વલણ સ્તર.

સમયગાળો (t)	વર્ષ	વેચાણ સ્તર (y)	t∙y	ટી 2
		10 000	10 000
			11 200	22 400
			11 500	34 500
			13 200	52 800
			14 500	72 500
કુલ:		-	60 400	192 200

ચાલો ટ્રેન્ડ લાઇન ગુણાંકની ગણતરી કરીએ:

δ=

તેથી વલણ રેખા Y t = α + δ ∙ t

અમારા કિસ્સામાં, Y t = 43 900+1 100 ∙t,

જ્યાં t = 0સમયગાળા 0 માટે.

ચાલો સમયગાળા 6 (2015) અને 7 (2016) માટે સમીકરણ બનાવીએ:

- 2015 માટે આગાહી.

Y 7 = 43,900+1,100*7= 51,600

ચાલો ગ્રાફ બનાવીએ:

વલણોનું ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ

જ્યારે ટાઈમ સીરિઝ કોઈ ટ્રેન્ડ દર્શાવે છે ત્યારે સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગના સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. આ વિવિધતાને ટ્રેન્ડિંગ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ અથવા ક્યારેક ડબલ સ્મૂથિંગ કહેવામાં આવે છે. તે સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગથી અલગ છે, જેનો ઉપયોગ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે ડેટા અમુક સરેરાશ મૂલ્યની આસપાસ બદલાય છે અથવા તેમાં અચાનક અથવા ક્રમિક ફેરફારો થાય છે.

જો કોઈ શ્રેણી વલણ બતાવે છે અને સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, તો બધી આગાહીઓ વલણથી પાછળ રહેશે. ઉદાહરણ તરીકે, જો ડેટા વધે છે, તો દરેક આગાહી ઓછો અંદાજવામાં આવશે. તેનાથી વિપરિત, ડેટા ઘટાડવાથી વધુ પડતી અંદાજ મળે છે. ડેટાને ગ્રાફિકલી ડિસ્પ્લે કરવાથી એ બતાવી શકાય છે કે સિંગલ સ્મૂથિંગ કરતાં ડબલ સ્મૂથિંગ ક્યારે પ્રાધાન્યક્ષમ હશે.

ટ્રેન્ડ-એડજસ્ટેડ ફોરકાસ્ટ (TAF) બે ઘટકો ધરાવે છે: એક સરળ ભૂલ અને વલણ પરિબળ.

TAF t +1 = S t + T t, (6)

ક્યાં: એસ ટી - સરળ આગાહી;

ટી ટી - વર્તમાન વલણનું મૂલ્યાંકન

અને S t = TAF t + α 1 (A t - TAF t) , (7)

T t = T t-1 + α 2 (TAF t –TAF t-1 – T t-1) (8)

જ્યાં α 1, α 2- સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ્સ.

આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવા માટે, તમારે મૂલ્યો α 1, α 2 (સામાન્ય પસંદગી દ્વારા) પસંદ કરવાની જરૂર છે અને પ્રારંભિક આગાહીઅને વલણોનું મૂલ્યાંકન.

કોષ્ટક 4. ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ વલણ.

એક સરળ અને તાર્કિક રીતે સ્પષ્ટ સમય શ્રેણી મોડેલ આના જેવો દેખાય છે:

જ્યાં b એક સ્થિર છે, અને ε - રેન્ડમ ભૂલ. સતત b દરેક સમય અંતરાલ પર પ્રમાણમાં સ્થિર છે, પરંતુ સમય જતાં ધીમે ધીમે પણ બદલાઈ શકે છે. અર્થને પ્રકાશિત કરવાની સાહજિક રીતોમાંની એક b ડેટાનો મૂવિંગ એવરેજ સ્મૂથિંગનો ઉપયોગ કરવાનો છે, જેમાં સૌથી તાજેતરના અવલોકનોને ઉપાંત્ય કરતાં વધુ વજન, ઉપાંતીય અવલોકનોને ઉપાંત્ય કરતાં વધુ વજન આપવામાં આવે છે, વગેરે. સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ બરાબર આ રીતે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે. અહીં, જૂના અવલોકનોને ઝડપથી ઘટતા વજનને સોંપવામાં આવે છે, અને, મૂવિંગ એવરેજથી વિપરીત, શ્રેણીના તમામ અગાઉના અવલોકનોને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે, અને માત્ર તે જ નહીં જે ચોક્કસ વિન્ડોની અંદર આવે છે. સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ માટેનું ચોક્કસ સૂત્ર છે:

જ્યારે આ સૂત્ર પુનરાવર્તિત રીતે લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે દરેક નવી સ્મૂથેડ વેલ્યુ (જે એક આગાહી પણ છે) ની ગણતરી વર્તમાન અવલોકન અને સ્મૂથ શ્રેણીની ભારિત સરેરાશ તરીકે કરવામાં આવે છે. દેખીતી રીતે, લીસું પરિણામ પરિમાણ પર આધાર રાખે છે α . જો α 1 બરાબર છે, પછી અગાઉના અવલોકનો સંપૂર્ણપણે અવગણવામાં આવે છે. જો a 0 હોય, તો વર્તમાન અવલોકનો અવગણવામાં આવે છે. મૂલ્યો α 0 અને 1 ની વચ્ચે મધ્યવર્તી પરિણામો આપે છે. પ્રયોગમૂલક સંશોધનદર્શાવે છે કે સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ ઘણીવાર પૂરતું આપે છે સચોટ આગાહી.

વ્યવહારમાં તે સામાન્ય રીતે લેવાની ભલામણ કરવામાં આવે છે α 0.30 કરતા ઓછા. જો કે, 0.30 થી વધુ પસંદ કરવાથી ક્યારેક વધુ સચોટ અનુમાન મળે છે. આનો અર્થ એ છે કે મૂલ્યાંકન કરવું વધુ સારું છે શ્રેષ્ઠ મૂલ્ય α સામાન્ય ભલામણોનો ઉપયોગ કરવાને બદલે વાસ્તવિક ડેટા પર આધારિત.

વ્યવહારમાં, શ્રેષ્ઠ સ્મૂથિંગ પેરામીટર ઘણીવાર ગ્રીડ શોધ પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીને જોવા મળે છે. પરિમાણ મૂલ્યોની સંભવિત શ્રેણીને ચોક્કસ પગલા સાથે ગ્રીડમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, માંથી મૂલ્યોની ગ્રીડ ધ્યાનમાં લો α =0.1 થી α = 0.1 ના વધારામાં 0.9. પછી આ મૂલ્ય પસંદ થયેલ છે α , જેના માટે અવશેષોના ચોરસ (અથવા સરેરાશ ચોરસ) નો સરવાળો (અવલોકન કરેલ મૂલ્યો ઓછા સ્ટેપ-ફોરવર્ડ અનુમાનો) ન્યૂનતમ છે.

માઈક્રોસોફ્ટ એક્સેલએક ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ ફંક્શન ધરાવે છે, જેનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પદ્ધતિના આધારે પ્રયોગમૂલક સમય શ્રેણીના સ્તરોને સરળ બનાવવા માટે થાય છે. આ ફંક્શનને કૉલ કરવા માટે, મેનુ બાર પર Tools - Data Analysis આદેશ પસંદ કરો. સ્ક્રીન પર ડેટા એનાલિસિસ વિન્ડો ખુલશે, જેમાં તમારે એક્સપોનેન્શિયલ સ્મૂથિંગ વેલ્યુ પસંદ કરવી જોઈએ. પરિણામે, એક સંવાદ બોક્સ દેખાશે ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ, ફિગ માં પ્રસ્તુત. 11.5.

એક્સપોનેન્શિયલ સ્મૂથિંગ ડાયલોગ બોક્સમાં, ઉપર ચર્ચા કરેલ મૂવિંગ એવરેજ ડાયલોગ બોક્સમાં લગભગ સમાન પરિમાણો સેટ કરવામાં આવ્યા છે.

1. ઇનપુટ શ્રેણી - અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા પરિમાણના મૂલ્યો ધરાવતી કોષોની શ્રેણી આ ક્ષેત્રમાં દાખલ કરવામાં આવી છે.

2. લેબલ્સ - જો ઇનપુટ શ્રેણીમાં પ્રથમ પંક્તિ (કૉલમ) માં શીર્ષક હોય તો આ વિકલ્પ ચેકબોક્સ પસંદ કરવામાં આવે છે. જો ત્યાં કોઈ શીર્ષક નથી, તો ચેકબોક્સ સાફ કરવું જોઈએ. આ કિસ્સામાં, આઉટપુટ રેન્જ ડેટા માટે પ્રમાણભૂત નામો આપમેળે બનાવવામાં આવશે.

3. ડેમ્પિંગ ફેક્ટર - પસંદ કરેલ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ ગુણાંકનું મૂલ્ય આ ક્ષેત્રમાં દાખલ કરવામાં આવ્યું છે α . ડિફૉલ્ટ મૂલ્ય છે α = 0,3.

4. આઉટપુટ વિકલ્પો - આ જૂથમાં, આઉટપુટ રેન્જ ફીલ્ડમાં આઉટપુટ ડેટા માટે કોષોની શ્રેણીનો ઉલ્લેખ કરવા ઉપરાંત, તમે ચાર્ટ આઉટપુટ વિકલ્પને તપાસીને ચાર્ટ આપમેળે જનરેટ થાય તેવી વિનંતી પણ કરી શકો છો અને ચેક કરીને પ્રમાણભૂત ભૂલોની ગણતરી કરી શકો છો. માનક ભૂલો વિકલ્પ.

ચાલો ફંક્શનનો ઉપયોગ કરીએ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગઉપર ચર્ચા કરેલ સમસ્યાને ફરીથી ઉકેલવા માટે, પરંતુ સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને. સ્મૂથિંગ પેરામીટર્સના પસંદ કરેલા મૂલ્યો ફિગમાં રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. 11.5. ફિગ માં. 11.6 ગણતરી કરેલ સૂચકાંકો અને ફિગ બતાવે છે. 11.7 - રચાયેલ આલેખ.

વિષય 3. ટ્રેન્ડ મોડલ્સ પર આધારિત સમય શ્રેણીનું સ્મૂથિંગ અને આગાહી

હેતુઆ વિષયનો અભ્યાસ એ મોડેલ બિલ્ડિંગના ક્ષેત્રમાં વિશેષતા 080507 માં તાલીમ સંચાલકો માટે મૂળભૂત આધાર બનાવવાનો છે. વિવિધ કાર્યોઅર્થશાસ્ત્રના ક્ષેત્રમાં, વિદ્યાર્થીઓમાં આગાહી સમસ્યાઓ સેટ કરવા અને ઉકેલવા માટે વ્યવસ્થિત અભિગમ વિકસાવવો. સૂચિત અભ્યાસક્રમ નિષ્ણાતોને પ્રાયોગિક કાર્યમાં ઝડપથી અનુકૂલન કરવા, તેમની વિશેષતામાં વૈજ્ઞાનિક અને તકનીકી માહિતી અને સાહિત્યને વધુ સારી રીતે નેવિગેટ કરવાની અને તેમના કાર્યમાં ઉદ્ભવતા નિર્ણયો લેવામાં વધુ વિશ્વાસ રાખવાની મંજૂરી આપશે. મુખ્ય કાર્યોવિષયનો અભ્યાસ કરી રહ્યા છે: વિદ્યાર્થીઓ અનુમાન મોડલના ઉપયોગ અંગે ઊંડાણપૂર્વકનું સૈદ્ધાંતિક જ્ઞાન મેળવે છે, સંશોધન કાર્ય કરવા માટે ટકાઉ કૌશલ્ય મેળવે છે, બહુપરિમાણીય મુદ્દાઓ સહિત મોડેલોના નિર્માણ સાથે સંકળાયેલ જટિલ વૈજ્ઞાનિક સમસ્યાઓ હલ કરવાની ક્ષમતા, તાર્કિક રીતે વિશ્લેષણ કરવાની ક્ષમતા પ્રાપ્ત પરિણામો અને સ્વીકાર્ય નિર્ણયો શોધવાની રીતો નક્કી કરે છે.

પૂરતૂ સરળ પદ્ધતિવિકાસના વલણોને ઓળખવા એ સમયની શ્રેણીને સરળ બનાવે છે, એટલે કે વાસ્તવિક સ્તરોને ગણતરી કરેલ સ્તરો સાથે બદલવા કે જેમાં મૂળ ડેટા કરતા નાના ફેરફારો હોય. અનુરૂપ રૂપાંતરણ કહેવામાં આવે છે ફિલ્ટરિંગ. ચાલો સ્મૂથિંગની ઘણી પદ્ધતિઓ જોઈએ.

3.1. સરળ સરેરાશ

સ્મૂથિંગનો હેતુ ભૂતકાળના અવલોકનોના આધારે અનુગામી સમયગાળા માટે આગાહી મોડેલ બનાવવાનો છે. સરળ સરેરાશની પદ્ધતિમાં, ચલના મૂલ્યો પ્રારંભિક ડેટા તરીકે લેવામાં આવે છે વાયસમયની ક્ષણો પર t, અને અનુમાન મૂલ્યને આગલા સમયગાળા માટે સરળ સરેરાશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. ગણતરી સૂત્રજેવો દેખાય છે

જ્યાં nઅવલોકનોની સંખ્યા.

જ્યારે નવું અવલોકન ઉપલબ્ધ થાય છે, ત્યારે આગામી સમયગાળા માટે આગાહી કરતી વખતે નવી પ્રાપ્ત આગાહીને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતી વખતે, પૂર્વાનુમાન અગાઉના તમામ ડેટાની સરેરાશ દ્વારા કરવામાં આવે છે, જો કે, આવી આગાહીનો ગેરલાભ એ ટ્રેન્ડ મોડલમાં તેનો ઉપયોગ કરવામાં મુશ્કેલી છે.

3.2. મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિ

આ પદ્ધતિ એકદમ સરળ વલણ અને રેન્ડમ ઘટકના સરવાળા તરીકે શ્રેણીને રજૂ કરવા પર આધારિત છે. આ પદ્ધતિ સ્થાનિક અંદાજના આધારે સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યની ગણતરી કરવાના વિચાર પર આધારિત છે. એક બિંદુ પર વલણ અંદાજ બાંધવા માટે tસમય અંતરાલથી શ્રેણીના મૂલ્યો પર આધારિત શ્રેણીના સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યની ગણતરી કરો. સ્મૂથિંગ સિરીઝની પ્રેક્ટિસમાં સૌથી વધુ વ્યાપક કેસ એ છે જ્યારે અંતરાલના ઘટકો માટે તમામ વજન એકબીજાની સમાન છે. આ કારણોસર આ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિ,પ્રક્રિયા કરતી વખતે, ની પહોળાઈવાળી વિંડો (2 મીટર + 1)સમગ્ર પંક્તિ સાથે. વિન્ડોની પહોળાઈ સામાન્ય રીતે વિષમ તરીકે લેવામાં આવે છે, કારણ કે સૈદ્ધાંતિક મૂલ્ય માટે ગણતરી કરવામાં આવે છે કેન્દ્રિય મહત્વ: શરતોની સંખ્યા k = 2m + 1ક્ષણની ડાબી અને જમણી બાજુએ સમાન સંખ્યામાં સ્તરો સાથે t.

આ કિસ્સામાં મૂવિંગ એવરેજની ગણતરી કરવા માટેનું સૂત્ર આ સ્વરૂપ લે છે:

મૂવિંગ એવરેજનો તફાવત આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે σ 2 /k,જ્યાં મારફતે σ 2શ્રેણીની મૂળ શરતોના વિક્ષેપને સૂચવે છે, અને kસ્મૂથિંગ અંતરાલ, તેથી, સ્મૂથિંગ અંતરાલ જેટલો મોટો, ડેટાની સરેરાશ મજબૂત અને ઓળખાયેલ વલણ ઓછું ચલ. મોટેભાગે, મૂળ શ્રેણીના ત્રણ, પાંચ અને સાત સભ્યોનો ઉપયોગ કરીને સ્મૂથિંગ કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, મૂવિંગ એવરેજની નીચેની વિશેષતાઓને ધ્યાનમાં લેવી જોઈએ: જો આપણે સતત લંબાઈના સામયિક વધઘટ સાથેની શ્રેણીને ધ્યાનમાં લઈએ, તો જ્યારે મુવિંગ એવરેજના આધારે સ્મૂથિંગ સમયગાળો અથવા તેના ગુણાંકની સમાન સ્મૂથિંગ અંતરાલ સાથે, વધઘટ સંપૂર્ણપણે દૂર થઈ જશે. ઘણીવાર, મૂવિંગ એવરેજ પર આધારિત સ્મૂથિંગ શ્રેણીને એટલી મજબૂત રીતે પરિવર્તિત કરે છે કે ઓળખાયેલ વિકાસ વલણ ફક્ત સૌથી વધુ સામાન્ય રૂપરેખા, અને નાના, પરંતુ વિશ્લેષણ વિગતો માટે મહત્વપૂર્ણ (તરંગો, વળાંક, વગેરે) અદૃશ્ય થઈ જાય છે; સ્મૂથિંગ પછી, નાની તરંગો કેટલીકવાર "શિખરો" ની જગ્યાએ વિપરીત "છિદ્રો" તરફ દિશા બદલી શકે છે, અને ઊલટું. આ બધા માટે સરળ મૂવિંગ એવરેજના ઉપયોગમાં સાવધાની જરૂરી છે અને અમને વર્ણનની વધુ સૂક્ષ્મ પદ્ધતિઓ જોવા માટે દબાણ કરે છે.

મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિ પ્રથમ અને છેલ્લા માટે વલણ મૂલ્યો પ્રદાન કરતી નથી mશ્રેણીના સભ્યો. જ્યારે પંક્તિની લંબાઈ ટૂંકી હોય ત્યારે આ ગેરલાભ ખાસ કરીને નોંધનીય છે.

3.3. ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ

ઘાતાંકીય સરેરાશ y tઅસમપ્રમાણ વેઇટેડ મૂવિંગ એવરેજનું ઉદાહરણ છે, જે ડેટાના વૃદ્ધત્વની ડિગ્રીને ધ્યાનમાં લે છે: ઓછા વજનવાળી જૂની માહિતી શ્રેણીના સ્તરના સુંવાળું મૂલ્યની ગણતરી માટેના સૂત્રમાં શામેલ છે.

અહીં — ઘાતાંકીય સરેરાશ, શ્રેણીના અવલોકન કરેલ મૂલ્યને બદલીને y t(સુગમતામાં આજ સુધી પ્રાપ્ત થયેલ તમામ ડેટાનો સમાવેશ થાય છે t), α વર્તમાન (નવા) અવલોકનનું વજન દર્શાવતું સ્મૂથિંગ પેરામીટર; 0< α <1.

પદ્ધતિનો ઉપયોગ સ્તર અને ઢાળમાં રેન્ડમ ફેરફારો સાથે બિન-સ્થિર સમય શ્રેણીની આગાહી કરવા માટે થાય છે. જેમ જેમ આપણે વર્તમાન ક્ષણથી ભૂતકાળમાં આગળ વધીએ છીએ તેમ, શ્રેણીના અનુરૂપ સભ્યનું વજન ઝડપથી (ઘાતી રીતે) ઘટે છે અને વ્યવહારીક રીતે મૂલ્ય પર કોઈ અસર કરવાનું બંધ કરે છે.

તે મેળવવું સરળ છે કે છેલ્લો સંબંધ આપણને ઘાતાંકીય સરેરાશનું નીચેનું અર્થઘટન આપવા દે છે: જો — શ્રેણી મૂલ્યની આગાહી y t, પછી તફાવત એ આગાહીની ભૂલ છે. આમ, સમયના આગલા બિંદુ માટે આગાહી t+1આ ક્ષણે શું જાણીતું બન્યું તે ધ્યાનમાં લે છે tઆગાહી ભૂલ.

સ્મૂથિંગ પેરામીટર α વજનનું પરિબળ છે. જો α એકતાની નજીક છે, તો પછી આગાહી નોંધપાત્ર રીતે છેલ્લી આગાહીની ભૂલની તીવ્રતાને ધ્યાનમાં લે છે. નાના મૂલ્યો પર α અનુમાનિત મૂલ્ય અગાઉના અનુમાનની નજીક છે. સ્મૂથિંગ પેરામીટર પસંદ કરવું એ એક જટિલ સમસ્યા છે. સામાન્ય બાબતો નીચે મુજબ છે: એકદમ સરળ શ્રેણીની આગાહી કરવા માટે પદ્ધતિ સારી છે. આ કિસ્સામાં, તમે શ્રેણીના છેલ્લા ત્રીજા ભાગથી અનુમાનિત એક-પગલાની આગળની આગાહી ભૂલને ઘટાડી એક સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ પસંદ કરી શકો છો. કેટલાક નિષ્ણાતો સ્મૂથિંગ પેરામીટરના મોટા મૂલ્યોનો ઉપયોગ કરવાની ભલામણ કરતા નથી. ફિગ માં. આકૃતિ 3.1 ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સ્મૂથ શ્રેણીનું ઉદાહરણ બતાવે છે α= 0,1.

ચોખા. 3.1. ખાતે ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગનું પરિણામ α =0,1
(1 મૂળ શ્રેણી; 2 સુંવાળી શ્રેણી; 3 બાકી)

3.4. ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ
વલણને ધ્યાનમાં લેવું (હોલ્ટ પદ્ધતિ)

આ પદ્ધતિ સમય શ્રેણીમાં હાજર સ્થાનિક રેખીય વલણને ધ્યાનમાં લે છે. જો સમય શ્રેણીમાં ઉપરનું વલણ હોય, તો વર્તમાન સ્તરના મૂલ્યાંકનની સાથે, ઢાળનું મૂલ્યાંકન પણ જરૂરી છે. હોલ્ટ ટેકનિકમાં, દરેક પેરામીટર માટે અલગ-અલગ સ્થિરાંકોનો ઉપયોગ કરીને સ્તર અને ઢોળાવની કિંમતો સીધી રીતે સુંવાળી કરવામાં આવે છે. સતત સ્મૂથિંગ તમને વર્તમાન સ્તર અને ઢોળાવનો અંદાજ કાઢવાની મંજૂરી આપે છે, જ્યારે પણ નવા અવલોકનો દેખાય ત્યારે તેમને રિફાઇન કરીને.

હોલ્ટ પદ્ધતિ ત્રણ ગણતરી સૂત્રોનો ઉપયોગ કરે છે:

1. ત્વરિત રીતે સુંવાળી શ્રેણી (વર્તમાન સ્તરનો અંદાજ)

(3.2)

1. વલણ આકારણી

(3.3)

1. માટે આગાહી આરઆગળના સમયગાળા

(3.4)

જ્યાં α, β અંતરાલથી સ્થિરાંકોને સરળ બનાવવું.

સમીકરણ (3.2) એ ટ્રેન્ડ ટર્મ સિવાય સરળ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ માટે સમીકરણ (3.1) જેવું જ છે. સતત β વલણના અંદાજને સરળ બનાવવા માટે જરૂરી છે. આગાહી સમીકરણ (3.3) માં, વલણ અંદાજ સમયગાળાની સંખ્યા દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે આર, જેના પર અનુમાન આધારિત છે, અને પછી આ ઉત્પાદન સ્મૂથ ડેટાના વર્તમાન સ્તરમાં ઉમેરવામાં આવે છે.

કાયમી α અને β વ્યક્તિલક્ષી રીતે અથવા આગાહી ભૂલને ઘટાડીને પસંદ કરવામાં આવે છે. જેટલું મોટું વજન લેવામાં આવશે, ફેરફારોનો પ્રતિસાદ ઝડપી થશે અને ડેટા વધુ સરળ હશે. નાના વજનો સુંવાળી મૂલ્યોની રચનાને ઓછી સરળ બનાવે છે.

ફિગ માં. 3.2 મૂલ્યો સાથે હોલ્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીને સરળ બનાવવાનું ઉદાહરણ બતાવે છે α અને β , 0.1 ની બરાબર.

ચોખા. 3.2. હોલ્ટ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સ્મૂથિંગનું પરિણામ
ખાતે α = 0,1 અને β = 0,1

3.5. વલણ અને મોસમી વિવિધતાને ધ્યાનમાં લેતા ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ (શિયાળાની પદ્ધતિ)

જ્યારે ડેટા સ્ટ્રક્ચરમાં મોસમી ભિન્નતા હોય છે, ત્યારે વિન્ટર્સ દ્વારા પ્રસ્તાવિત ત્રણ-પેરામીટર ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ મોડલનો ઉપયોગ આગાહીની ભૂલોને ઘટાડવા માટે થાય છે. આ અભિગમ હોલ્ટના અગાઉના મોડલનું વિસ્તરણ છે. મોસમી વિવિધતાઓને ધ્યાનમાં લેવા માટે, અહીં વધારાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, અને આ પદ્ધતિ ચાર સમીકરણો દ્વારા સંપૂર્ણપણે વર્ણવવામાં આવી છે:

1. ત્વરિત રીતે સુંવાળી શ્રેણી

(3.5)

1. વલણ આકારણી

(3.6)

1. મોસમનું મૂલ્યાંકન

.

(3.7)

1. માટે આગાહી આરઆગળના સમયગાળા

(3.8)

જ્યાં α, β, γ અનુક્રમે સ્તર, વલણ અને મોસમ માટે સતત સ્મૂથિંગ; s- મોસમી વધઘટના સમયગાળાની અવધિ.

સમીકરણ (3.5) સુંવાળી શ્રેણીને સુધારે છે. આ સમીકરણમાંનો શબ્દ સ્રોત ડેટામાં મોસમને ધ્યાનમાં લે છે. સમીકરણો (3.6), (3.7) માં મોસમીતા અને વલણને ધ્યાનમાં લીધા પછી, અનુમાનો સરળ કરવામાં આવે છે, અને સમીકરણમાં આગાહી કરવામાં આવે છે (3.8).

અગાઉની પદ્ધતિની જેમ જ, વજન α, β, γ વ્યક્તિલક્ષી રીતે પસંદ કરી શકાય છે અથવા આગાહી ભૂલને ઘટાડી શકાય છે. સમીકરણ (3.5) લાગુ કરતાં પહેલાં, સરળ શ્રેણી માટે પ્રારંભિક મૂલ્યો નક્કી કરવા જરૂરી છે લે, વલણ ટી ટી, મોસમી ગુણાંક એસ ટી. સામાન્ય રીતે, સુંવાળી શ્રેણીનું પ્રારંભિક મૂલ્ય પ્રથમ અવલોકન જેટલું લેવામાં આવે છે, પછી વલણ શૂન્યની બરાબર હોય છે, અને મોસમના ગુણાંક એકની બરાબર સેટ કરવામાં આવે છે.

ફિગ માં. આકૃતિ 3.3 વિન્ટર્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને શ્રેણીને સરળ બનાવવાનું ઉદાહરણ બતાવે છે.

ચોખા. 3.3. વિન્ટર્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સ્મૂથિંગનું પરિણામ
ખાતે α = 0,1 ;β = 0.1; γ = 0.1(1 - મૂળ શ્રેણી; 2 સુંવાળી શ્રેણી; 3 બાકી)

3.6. ટ્રેન્ડ મોડલ પર આધારિત આગાહી

ઘણી વાર, સમય શ્રેણીમાં રેખીય વલણ (વલણ) હોય છે. એક રેખીય વલણ ધારી રહ્યા છીએ, એક સીધી રેખા બનાવવી જરૂરી છે જે વિચારણા હેઠળના સમયગાળા દરમિયાન ગતિશીલતામાં ફેરફારને સૌથી સચોટ રીતે પ્રતિબિંબિત કરે. સીધી રેખા બનાવવા માટે ઘણી પદ્ધતિઓ છે, પરંતુ ઔપચારિક દૃષ્ટિકોણથી સૌથી ઉદ્દેશ્ય સીધી રેખામાંથી શ્રેણીના પ્રારંભિક મૂલ્યોના નકારાત્મક અને હકારાત્મક વિચલનોના સરવાળાને ઘટાડવા પર આધારિત બાંધકામ હશે.

બે-સંકલન પ્રણાલીમાં એક સીધી રેખા (x,y)કોઓર્ડિનેટ્સમાંથી એકના આંતરછેદ બિંદુ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે ખાતેઅને ધરી તરફ ઝોકનો કોણ એક્સ.આવી રેખાનું સમીકરણ આના જેવું દેખાશે જ્યાં a-આંતરછેદ બિંદુ; bનમવું કોણ.

ગતિશીલતાના અભ્યાસક્રમને પ્રતિબિંબિત કરવા માટે સીધી રેખા માટે, ઊભી વિચલનોનો સરવાળો ઓછો કરવો જરૂરી છે. લઘુત્તમીકરણનું મૂલ્યાંકન કરવા માટેના માપદંડ તરીકે વિચલનોના સરળ સરવાળાનો ઉપયોગ કરતી વખતે, પરિણામ બહુ સારું નહીં આવે, કારણ કે નકારાત્મક અને સકારાત્મક વિચલનો પરસ્પર એકબીજાને વળતર આપે છે. નિરપેક્ષ મૂલ્યોના સરવાળાને ઘટાડવાથી પણ સંતોષકારક પરિણામો પ્રાપ્ત થતા નથી, કારણ કે આ કિસ્સામાં પરિમાણના અંદાજો અસ્થિર છે, અને આવી અંદાજ પ્રક્રિયાના અમલીકરણમાં કોમ્પ્યુટેશનલ મુશ્કેલીઓ પણ છે. તેથી, સૌથી સામાન્ય રીતે ઉપયોગમાં લેવાતી પ્રક્રિયા એ છે કે વર્ગના વિચલનોનો સરવાળો ઓછો કરવો અથવા ઓછામાં ઓછી ચોરસ પદ્ધતિ(MNC).

પ્રારંભિક મૂલ્યોની શ્રેણીમાં વધઘટ હોવાથી, શ્રેણીના મોડેલમાં ભૂલો હશે, જેના ચોરસ ઓછા કરવા જોઈએ

જ્યાં મેં મૂલ્યનું અવલોકન કર્યું; y i * મોડેલના સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યો; અવલોકન નંબર.

રેખીય વલણનો ઉપયોગ કરીને મૂળ સમય શ્રેણીના વલણનું મોડેલિંગ કરતી વખતે, અમે તે ધારીએ છીએ

પ્રથમ સમીકરણ દ્વારા વિભાજન n, અમે આગળ આવીએ છીએ

ગુણાંક માટે પરિણામી અભિવ્યક્તિને સિસ્ટમના બીજા સમીકરણ (3.10) માં બદલીને b*અમને મળે છે:

3.7. મોડેલ ફિટ તપાસી રહ્યું છે

ફિગમાં ઉદાહરણ તરીકે. 3.4 કાર પાવર વચ્ચે રેખીય રીગ્રેશન ગ્રાફ બતાવે છે એક્સઅને તેની કિંમત ખાતે.

ચોખા. 3.4. લીનિયર રીગ્રેશન પ્લોટ

આ કેસ માટે સમીકરણ છે: ખાતે=1455,3 + 13,4 એક્સ. આ આંકડાનું વિઝ્યુઅલ વિશ્લેષણ દર્શાવે છે કે સંખ્યાબંધ અવલોકનો માટે સૈદ્ધાંતિક વળાંકમાંથી નોંધપાત્ર વિચલનો છે. શેષ પ્લોટ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 3.5.

ચોખા. 3.5. બેલેન્સ ચાર્ટ

રીગ્રેશન લાઇનના અવશેષોનું વિશ્લેષણ અંદાજિત રીગ્રેસન વાસ્તવિક ડેટાને કેટલી સારી રીતે પ્રતિબિંબિત કરે છે તેનું ઉપયોગી માપ પ્રદાન કરી શકે છે. સારું રીગ્રેસન તે છે જે વિભિન્નતાના નોંધપાત્ર ભાગને સમજાવે છે અને તેનાથી વિપરીત, ખરાબ રીગ્રેસન મૂળ ડેટામાં મોટી માત્રામાં વિવિધતાને ટ્રૅક કરતું નથી. તે સાહજિક રીતે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ વધારાની માહિતી મોડેલને સુધારશે, એટલે કે, ચલમાં ભિન્નતાના અસ્પષ્ટ ભાગને ઘટાડશે. ખાતે. રીગ્રેસનનું વિશ્લેષણ કરવા માટે, અમે ભિન્નતાને ઘટકોમાં વિઘટિત કરીશું. તે સ્પષ્ટ છે કે

છેલ્લું પદ શૂન્યની બરાબર હશે, કારણ કે તે શેષના સરવાળાને રજૂ કરે છે, તેથી અમે નીચેના પરિણામ પર આવીએ છીએ

જ્યાં SS 0, SS 1, SS 2અનુક્રમે ચોરસના કુલ, રીગ્રેસન અને શેષ સરવાળો નક્કી કરો.

ચોરસનો રીગ્રેસન સરવાળો રેખીય સંબંધ દ્વારા સમજાવાયેલ વિભિન્નતાના ભાગને માપે છે; ભિન્નતાનો શેષ ભાગ જે રેખીય સંબંધ દ્વારા સમજાવાયેલ નથી.

આમાંની દરેક રકમ સ્વતંત્રતાની ડિગ્રી (DOF) ની અનુરૂપ સંખ્યા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, જે એકબીજાથી સ્વતંત્ર ડેટા એકમોની સંખ્યા નક્કી કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, હૃદય દર અવલોકનોની સંખ્યા સાથે સંબંધિત છે nઅને ડેટાની કુલતામાંથી ગણતરી કરેલ પરિમાણોની સંખ્યા. વિચારણા હેઠળના કિસ્સામાં, ગણતરી કરવી SS 0 માત્ર એક જ સ્થિરાંક નક્કી કરવામાં આવે છે (સરેરાશ મૂલ્ય), તેથી હૃદય દર SS 0 હશે (એન– 1), માટે હૃદય દર SS 2 – (n – 2)અને માટે હૃદય દર એસએસ 1હશે n – (n – 1)=1, કારણ કે રીગ્રેસન સમીકરણમાં n – 1 સ્થિર બિંદુઓ છે. ચોરસના સરવાળાની જેમ, હૃદયના ધબકારા પણ સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

ભિન્નતાના વિઘટન સાથે સંકળાયેલા ચોરસનો સરવાળો, અનુરૂપ HRs સાથે, વિભિન્ન કોષ્ટકના કહેવાતા વિશ્લેષણમાં મૂકી શકાય છે (ANOVA ટેબલ એનાલિસિસ ઑફ વેરિયન્સ) (કોષ્ટક 3.1).

કોષ્ટક 3.1

ANOVA ટેબલ

સ્ત્રોત	ચોરસનો સરવાળો		મધ્ય ચોરસ
પ્રત્યાગમાન			એસએસ 2/(n-2)

ચોરસના સરવાળા માટે પરિચયિત સંક્ષેપનો ઉપયોગ કરીને, અમે વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ નિર્ધારણ ગુણાંકફોર્મમાં ચોરસના કુલ સરવાળા સાથે રીગ્રેશનના ચોરસના સરવાળાના ગુણોત્તર તરીકે

(3.13)

નિર્ધારણનો ગુણાંક ચલની પરિવર્તનશીલતાના પ્રમાણને માપે છે વાય, જે સ્વતંત્ર ચલની પરિવર્તનશીલતા વિશેની માહિતીનો ઉપયોગ કરીને સમજાવી શકાય છે એક્સ.નિર્ધારણનો ગુણાંક જ્યારે શૂન્યમાંથી બદલાય છે એક્સઅસર કરતું નથી વાય,એક જ્યારે ફેરફાર વાયફેરફાર દ્વારા સંપૂર્ણ રીતે સમજાવાયેલ એક્સ.

3.8. રીગ્રેસન આગાહી મોડેલ

ન્યૂનતમ વિસંગતતા સાથેની શ્રેષ્ઠ આગાહી છે. અમારા કિસ્સામાં, સામાન્ય OLS એ તમામ પદ્ધતિઓની શ્રેષ્ઠ આગાહી કરે છે જે રેખીય સમીકરણોના આધારે નિષ્પક્ષ અંદાજો ઉત્પન્ન કરે છે. આગાહી પ્રક્રિયા સાથે સંકળાયેલ આગાહી ભૂલ ચાર સ્ત્રોતોમાંથી આવી શકે છે.

પ્રથમ, રેખીય રીગ્રેસન દ્વારા નિયંત્રિત એડિટિવ ભૂલોની રેન્ડમ પ્રકૃતિ એ સુનિશ્ચિત કરે છે કે જો મોડેલ યોગ્ય રીતે નિર્દિષ્ટ કરવામાં આવ્યું હોય અને તેના પરિમાણો ચોક્કસ રીતે જાણીતા હોય તો પણ આગાહી સાચા મૂલ્યોથી વિચલિત થશે.

બીજું, અંદાજની પ્રક્રિયા પોતે જ પરિમાણોના અંદાજમાં ભૂલનો પરિચય આપે છે, તેઓ ભાગ્યે જ સાચા મૂલ્યોની સમાન હોઈ શકે છે, જો કે તેઓ સરેરાશ સમાન હોય છે.

ત્રીજે સ્થાને, શરતી આગાહીના કિસ્સામાં (સ્વતંત્ર ચલોના ચોક્કસ અજ્ઞાત મૂલ્યોના કિસ્સામાં), સમજૂતીત્મક ચલોની આગાહી સાથે ભૂલ રજૂ કરવામાં આવે છે.

ચોથું, એક ભૂલ આવી શકે છે કારણ કે મોડેલ સ્પષ્ટીકરણ અચોક્કસ છે.

પરિણામે, ભૂલના સ્ત્રોતોને નીચે પ્રમાણે વર્ગીકૃત કરી શકાય છે:

1. ચલની પ્રકૃતિ;
2. મોડેલની પ્રકૃતિ;
3. સ્વતંત્ર રેન્ડમ ચલોની આગાહી દ્વારા રજૂ કરાયેલ ભૂલ;
4. સ્પષ્ટીકરણ ભૂલ.

જ્યારે સ્વતંત્ર ચલો સરળતાથી અને સચોટ રીતે અનુમાન કરવામાં આવે ત્યારે અમે બિનશરતી આગાહીને ધ્યાનમાં લઈશું. ચાલો જોડી કરેલ રીગ્રેસન સમીકરણ સાથે આગાહી ગુણવત્તાની સમસ્યાને ધ્યાનમાં લેવાનું શરૂ કરીએ.

આ કિસ્સામાં સમસ્યાનું નિવેદન નીચે પ્રમાણે ઘડી શકાય છે: મોડેલમાં જો કે T+1 ની શ્રેષ્ઠ આગાહી શું હશે y = a + bxવિકલ્પો એઅને bસચોટ અંદાજ છે, અને મૂલ્ય x T+1જાણીતું

પછી અનુમાનિત મૂલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે

આગાહી ભૂલ હશે

.

આગાહી ભૂલમાં બે ગુણધર્મો છે:

રેખીય સમીકરણો પર આધારિત તમામ સંભવિત અંદાજોમાં પરિણામી તફાવત ન્યૂનતમ છે.

જોકે એઅને b જાણીતા છે, આગાહી ભૂલ એ હકીકતને કારણે દેખાય છે કે T+1 પરભૂલને કારણે રીગ્રેસન લાઇન પર ન હોઈ શકે ε T+1, શૂન્ય સરેરાશ અને ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણને આધીન σ 2. આગાહીની ગુણવત્તા ચકાસવા માટે, અમે સામાન્ય મૂલ્ય રજૂ કરીએ છીએ

પછી તમે 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલને નીચે પ્રમાણે વ્યાખ્યાયિત કરી શકો છો:

જ્યાં β 0.05સામાન્ય વિતરણની માત્રા.

95% અંતરાલની સીમાઓ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે

નોંધ કરો કે આ કિસ્સામાં પહોળાઈ આત્મવિશ્વાસ અંતરાલકદ પર આધાર રાખતો નથી X,અને અંતરાલની સીમાઓ રીગ્રેશન લાઇનની સમાંતર સીધી રેખાઓ છે.

વધુ વખત, રીગ્રેસન લાઇન બનાવતી વખતે અને આગાહીની ગુણવત્તા તપાસતી વખતે, ફક્ત રીગ્રેસન પરિમાણોનું જ નહીં, પણ આગાહીની ભૂલના તફાવતનું પણ મૂલ્યાંકન કરવું જરૂરી છે. તે બતાવી શકાય છે કે આ કિસ્સામાં ભૂલ ભિન્નતા મૂલ્ય () પર આધારિત છે, જ્યાં સ્વતંત્ર ચલનું સરેરાશ મૂલ્ય છે. વધુમાં, શ્રેણી જેટલી લાંબી છે, તેટલી વધુ સચોટ આગાહી. જો X T+1 નું મૂલ્ય સ્વતંત્ર ચલના સરેરાશ મૂલ્યની નજીક હોય તો આગાહીની ભૂલ ઘટે છે, અને તેનાથી વિપરીત, જ્યારે સરેરાશ મૂલ્યથી દૂર જાય છે, ત્યારે આગાહી ઓછી સચોટ બને છે. ફિગ માં. આકૃતિ 3.6 આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો સાથે આગળના 6 સમય અંતરાલ માટે રેખીય રીગ્રેશન સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને આગાહીના પરિણામો દર્શાવે છે.

ચોખા. 3.6. રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણ દ્વારા આગાહી

ફિગમાંથી જોઈ શકાય છે. 3.6, આ રીગ્રેશન લાઇન મૂળ ડેટાનું પર્યાપ્ત રીતે વર્ણન કરતી નથી: ફિટિંગ લાઇનની તુલનામાં મોટી વિવિધતા છે. મોડલની ગુણવત્તા પણ અવશેષો દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે, જે, જો મોડેલ સંતોષકારક હોય, તો સામાન્ય કાયદા અનુસાર લગભગ વિતરિત થવું જોઈએ. ફિગ માં. આકૃતિ 3.7 સંભાવના સ્કેલનો ઉપયોગ કરીને બાંધવામાં આવેલા અવશેષોનો ગ્રાફ બતાવે છે.

ફિગ.3.7. બેલેન્સ ચાર્ટ

આવા સ્કેલનો ઉપયોગ કરતી વખતે, ડેટા કે જે સામાન્ય કાયદાનું પાલન કરે છે તે સીધી રેખા પર રહેલો હોવો જોઈએ. ઉપરોક્ત આકૃતિમાંથી નીચે મુજબ, અવલોકન સમયગાળાની શરૂઆતમાં અને અંતના બિંદુઓ સીધી રેખાથી કંઈક અંશે વિચલિત થાય છે, જે સૂચવે છે કે રેખીય રીગ્રેસન સમીકરણના રૂપમાં પસંદ કરેલ મોડેલ પૂરતી ઉચ્ચ ગુણવત્તાનું નથી.

કોષ્ટકમાં કોષ્ટક 3.2 95% આત્મવિશ્વાસ અંતરાલો (અનુક્રમે નીચલા ત્રીજા અને ઉપલા ચોથા કૉલમ) સાથે આગાહી પરિણામો (બીજી કૉલમ) બતાવે છે.

કોષ્ટક 3.2

આગાહી પરિણામો

3.9. મલ્ટિવેરિયેટ રીગ્રેશન મોડલ

મલ્ટિવેરિયેટ રીગ્રેશનમાં, દરેક કેસ માટેના ડેટામાં આશ્રિત ચલના મૂલ્યો અને દરેક સ્વતંત્ર ચલનો સમાવેશ થાય છે. આશ્રિત ચલ yઆ નીચેના સંબંધ દ્વારા સ્વતંત્ર ચલો સાથે સંબંધિત રેન્ડમ ચલ છે:

જ્યાં રીગ્રેસન ગુણાંક નક્કી કરવા જોઈએ; ε સાચા સંબંધમાંથી આશ્રિત ચલના મૂલ્યોના વિચલનને અનુરૂપ ભૂલ ઘટક (એવું માનવામાં આવે છે કે ભૂલો સ્વતંત્ર છે અને શૂન્ય ગાણિતિક અપેક્ષા અને અજ્ઞાત ભિન્નતા સાથે સામાન્ય વિતરણ ધરાવે છે. σ ).

આપેલ ડેટા સેટ માટે, OLS નો ઉપયોગ કરીને રીગ્રેસન ગુણાંકના અંદાજો શોધી શકાય છે. જો OLS અંદાજો દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે, તો અનુરૂપ રીગ્રેશન ફંક્શનમાં ફોર્મ હશે:

અવશેષો એ ભૂલના ઘટકનો અંદાજ છે અને સરળ રેખીય રીગ્રેશનના કિસ્સામાં અવશેષો સમાન છે.

મલ્ટિવેરિયેટ રીગ્રેશન મોડલનું આંકડાકીય વિશ્લેષણ સરળ રેખીય રીગ્રેસન વિશ્લેષણની જેમ જ હાથ ધરવામાં આવે છે. માનક આંકડાકીય સોફ્ટવેર પેકેજો મોડેલ પરિમાણો અને તેમની પ્રમાણભૂત ભૂલોના અંદાજો માટે OLS અંદાજો મેળવવાનું શક્ય બનાવે છે. વૈકલ્પિક રીતે, તમે મૂલ્ય મેળવી શકો છો t-રીગ્રેશન મોડલની વ્યક્તિગત શરતો અને મૂલ્યનું મહત્વ ચકાસવા માટેના આંકડા એફરીગ્રેસન અવલંબનનું મહત્વ ચકાસવા માટેના આંકડા.

મલ્ટિવેરિયેટ રીગ્રેશનના કિસ્સામાં ચોરસના સરવાળાના વિભાજનનું સ્વરૂપ અભિવ્યક્તિ (3.13) જેવું જ છે, પરંતુ હૃદયના ધબકારા માટેનો સંબંધ નીચે મુજબ હશે.

ચાલો ફરી એકવાર તેના પર ભાર મુકીએ nઅવલોકનોનું પ્રમાણ રજૂ કરે છે, અને kમોડેલમાં ચલોની સંખ્યા. આશ્રિત ચલની કુલ ભિન્નતામાં બે ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે: રીગ્રેસન કાર્ય દ્વારા સ્વતંત્ર ચલો દ્વારા સમજાવાયેલ ભિન્નતા, અને ન સમજાય તેવી વિવિધતા.

મલ્ટિવેરિયેટ રીગ્રેશનના કેસ માટે ANOVA કોષ્ટકમાં કોષ્ટકમાં બતાવેલ ફોર્મ હશે. 3.3.

કોષ્ટક 3.3

ANOVA ટેબલ

સ્ત્રોત	ચોરસનો સરવાળો		મધ્ય ચોરસ
પ્રત્યાગમાન			એસએસ 2/(n-k-1)

મલ્ટિવેરિયેટ રીગ્રેશનના ઉદાહરણ તરીકે, અમે સ્ટેટિસ્ટિકા પેકેજમાંથી ડેટાનો ઉપયોગ કરીશું (ડેટા ફાઇલ ગરીબી.સ્ટા)પ્રસ્તુત ડેટા 1960 અને 1970ની વસ્તી ગણતરીના પરિણામોની સરખામણી પર આધારિત છે. 30 દેશોના રેન્ડમ નમૂના માટે. દેશના નામો સ્ટ્રિંગ નામો તરીકે દાખલ કરવામાં આવ્યા હતા, અને આ ફાઇલમાંના તમામ ચલોના નામ નીચે આપેલ છે:

POP_CHNG 1960-1970 માટે વસ્તી ફેરફાર;

N_EMPLD કૃષિમાં કાર્યરત લોકોની સંખ્યા;

ગરીબી સ્તરથી નીચે જીવતા પરિવારોની PT_POOR ટકાવારી;

TAX_RATE કર દર;

ટેલિફોન સાથેના એપાર્ટમેન્ટની PT_PHONE ટકાવારી;

ગ્રામીણ વસ્તીની PT_RURAL ટકાવારી;

AGE મધ્યમ વય.

આશ્રિત ચલ તરીકે આપણે સાઇન પસંદ કરીએ છીએ પં._ગરીબ, અને સ્વતંત્ર તરીકે - બાકીના બધા. પસંદ કરેલ ચલો વચ્ચેના ગણતરી કરેલ રીગ્રેસન ગુણાંક કોષ્ટકમાં આપેલ છે. 3.4

કોષ્ટક 3.4

રીગ્રેસન ગુણાંક

આ કોષ્ટક રીગ્રેસન ગુણાંક બતાવે છે ( IN) અને પ્રમાણિત રીગ્રેશન ગુણાંક ( બેટા). ગુણાંકનો ઉપયોગ કરીને INરીગ્રેસન સમીકરણનું સ્વરૂપ સ્થાપિત થયેલ છે, જે આ કિસ્સામાં ફોર્મ ધરાવે છે:

જમણી બાજુએ ફક્ત આ ચલોનો સમાવેશ એ હકીકતને કારણે છે કે માત્ર આ ચિહ્નોનું સંભવિત મૂલ્ય છે આર 0.05 કરતાં ઓછી (કોષ્ટક 3.4 ની ચોથી કૉલમ જુઓ).

ગ્રંથસૂચિ

1. બાસોવ્સ્કી એલ. ઇ.બજારની પરિસ્થિતિઓમાં આગાહી અને આયોજન. – એમ.: ઇન્ફ્રા - એમ, 2003.
2. બોક્સ જે., જેનકિન્સ જી.સમય શ્રેણી વિશ્લેષણ. અંક 1. આગાહી અને સંચાલન. - એમ.: મીર, 1974.
3. બોરોવિકોવ વી. પી., ઇવચેન્કો જી. આઇ.વિન્ડોઝ પર્યાવરણમાં સ્ટેટિસ્ટિકા સિસ્ટમમાં આગાહી. – એમ.: ફાઇનાન્સ એન્ડ સ્ટેટિસ્ટિક્સ, 1999.
4. ડ્યુક વી.ઉદાહરણમાં પીસી પર ડેટા પ્રોસેસિંગ. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: પીટર, 1997.
5. ઇવચેન્કો બી. પી., માર્ટિશ્ચેન્કો એલ. એ., ઇવંતસોવ આઇ. બી.માહિતી સૂક્ષ્મ અર્થશાસ્ત્ર. ભાગ 1. વિશ્લેષણ અને આગાહીની પદ્ધતિઓ. - સેન્ટ પીટર્સબર્ગ: નોર્ડમેડ-ઇઝદાત, 1997.
6. ક્રિચેવ્સ્કી એમ. એલ.કૃત્રિમ ન્યુરલ નેટવર્ક્સનો પરિચય: પાઠ્યપુસ્તક. ભથ્થું – SPb.: SPb. રાજ્ય દરિયાઈ તકનીક. યુનિવર્સિટી, 1999.
7. સોશ્નિકોવા L. A., Tamashevich V. N., Uebe G. et al.અર્થશાસ્ત્રમાં બહુવિધ આંકડાકીય વિશ્લેષણ. – એમ.: યુનિટી-ડાના, 1999.