વિશ્લેષણાત્મક સ્તરીકરણની પદ્ધતિમાં રીગ્રેસન સમીકરણ રચવામાં આવે છે જે સમય ચલ પર શ્રેણી સ્તરોની અવલંબનને દર્શાવે છે.
સેવાનો હેતુ. સેવા તમને ઑનલાઇન મોડમાં સીધી વેબસાઇટ પર શ્રેણી y t ની વિશ્લેષણાત્મક ગોઠવણી કરવા, ડર્બિન-વોટસન પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરીને અવશેષોની હેટરોસ્કેડસ્ટીસીટી અને સ્વતઃસંબંધની હાજરી તપાસવાની મંજૂરી આપશે (વિશ્લેષણાત્મક સીધી રેખા ગોઠવણીનું ઉદાહરણ જુઓ).
સૂચનાઓ. ડેટાની માત્રા સ્પષ્ટ કરો (પંક્તિઓની સંખ્યા), આગલું ક્લિક કરો. પરિણામી સોલ્યુશન વર્ડ ફાઇલમાં સાચવવામાં આવે છે.
રેખીય ઉપયોગ માટે બિનરેખીય અવલંબન લાવવા માટે સંરેખણ પદ્ધતિ(રેખીકરણ).
| y = f(x) | રૂપાંતર | લીનિયરાઇઝેશન પદ્ધતિ |
| y = b x a | Y = log(y); X = લોગ(x) | લઘુગણક |
| y = b e કુહાડી | Y = log(y); X = x | સંયુક્ત |
| y = 1/(ax+b) | Y = 1/y; X = x | ચલોને બદલી રહ્યા છીએ |
| y = x/(ax+b) | Y = x/y; X = x | ચલોને બદલી રહ્યા છીએ. ઉદાહરણ |
| y = aln(x)+b | Y = y; X = લોગ(x) | સંયુક્ત |
| y = a + bx + cx 2 | x 1 = x; x 2 = x 2 | ચલોને બદલી રહ્યા છીએ |
| y = a + bx + cx 2 + dx 3 | x 1 = x; x 2 = x 2 ; x 3 = x 3 | ચલોને બદલી રહ્યા છીએ |
| y = a + b/x | x 1 = 1/x | ચલોને બદલી રહ્યા છીએ |
| y = a + sqrt(x)b | x 1 = sqrt(x) | ચલોને બદલી રહ્યા છીએ |
IN સામાન્ય કેસવિશ્લેષણાત્મક ગોઠવણી માટે પદ્ધતિનો ઉપયોગ થાય છે ઓછામાં ઓછા ચોરસ:
લાક્ષણિક કાર્ય. વિશ્લેષણાત્મક ગોઠવણી કરો અને વ્યક્ત કરો સામાન્ય વલણઅનુરૂપ વિશ્લેષણાત્મક સમીકરણ સાથે ટ્રેડિંગ હાઉસના છૂટક ટર્નઓવરનો વિકાસ. સમય શ્રેણીના વિશ્લેષણાત્મક (લેવલ્ડ) સ્તરોની ગણતરી કરો અને વાસ્તવિક ડેટા સાથે તેમને ગ્રાફ પર પ્લોટ કરો.
ઉદાહરણ. SD માટે, રહેણાંક ઇમારતો અને શયનગૃહોના કમિશનિંગ પર ડેટા છે, હજાર મીટર 2. રહેણાંક ઇમારતો અને શયનગૃહોના કમિશનિંગ દરની ગતિશીલતાનું વિશ્લેષણ કરવા માટે, ગણતરી કરો:
- સંપૂર્ણ વૃદ્ધિ, વૃદ્ધિ દર અને વર્ષ અને 1998 સુધીમાં વૃદ્ધિ દર, વૃદ્ધિના એક ટકાની સંપૂર્ણ સામગ્રી. કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં પ્રાપ્ત સૂચકાંકો પ્રસ્તુત કરો;
- સરેરાશ વાર્ષિક સૂચકાંકો - શ્રેણીના સ્તરનું મૂલ્ય; વૃદ્ધિ અને વૃદ્ધિનો સંપૂર્ણ વૃદ્ધિ દર. તારણો દોરો.
ઉકેલ. સૌથી સરળ ગાણિતિક મોડેલરજૂ કરે છે રેખીય સમીકરણફોર્મનું વલણ y = bt + a. આ મોડેલના પરિમાણો શોધવા માટે, અમે ઓછામાં ઓછી ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. સમીકરણોની સિસ્ટમમાં નીચેનું સ્વરૂપ હશે:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t
| t | y | ટી 2 | y 2 | t y |
| 1 | 186.9 | 1 | 34931.61 | 186.9 |
| 2 | 219 | 4 | 47961 | 438 |
| 3 | 257 | 9 | 66049 | 771 |
| 4 | 276.66 | 16 | 76540.2 | 1106.64 |
| 5 | 353.5 | 25 | 124962.25 | 1767.5 |
| 6 | 310.1 | 36 | 96162.01 | 1860.6 |
| 7 | 360.9 | 49 | 130248.81 | 2526.3 |
| 8 | 371.7 | 64 | 138160.89 | 2973.6 |
| 9 | 423.9 | 81 | 179691.21 | 3815.1 |
| 45 | 2759.66 | 285 | 894706.98 | 15445.64 |
9a 0 + 45a 1 = 2759.66
45a 0 + 285a 1 = 15445.64
સમીકરણોની આ સિસ્ટમ અનેક દ્વારા ઉકેલી શકાય છે
સમય શ્રેણીનું મોડેલ બનાવવાની સૌથી સામાન્ય રીતોમાંની એક વલણ અથવા વિશ્લેષણાત્મક કાર્યનું નિર્માણ કરવું છે જે સમયસર શ્રેણીના સ્તરોની અવલંબનને દર્શાવે છે. આ પદ્ધતિને વિશ્લેષણાત્મક સમય શ્રેણી ગોઠવણી કહેવામાં આવે છે. વિશ્લેષણાત્મક ગોઠવણી માટે નીચેના કાર્યોનો ઉપયોગ કરી શકાય છે: · રેખીય · હાઇપરબોલિક ; · ઘાતાંકીય · બીજા અને ઉચ્ચ ક્રમના પાવર બહુપદી  ઉપરોક્ત દરેક વલણોના પરિમાણો સ્વતંત્ર ચલ તરીકે સમયનો ઉપયોગ કરીને, અને નિર્ભર ચલ તરીકે સમય શ્રેણી yt ના વાસ્તવિક સ્તરો, સામાન્ય OLS દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે. બિનરેખીય વલણો માટે, પ્રથમ હાથ ધરો પ્રમાણભૂત પ્રક્રિયાતેમનું રેખીયકરણ. વલણોના પ્રકારને નિર્ધારિત કરવાની ઘણી રીતો છે. સૌથી સામાન્ય બાબતોમાં અભ્યાસ હેઠળની પ્રક્રિયાનું ગુણાત્મક પૃથ્થકરણ, સમયસર શ્રેણીના સ્તરોની અવલંબનના ગ્રાફનું નિર્માણ અને દ્રશ્ય વિશ્લેષણ, ગતિશીલતાના કેટલાક મૂળભૂત સૂચકાંકોની ગણતરી અને શ્રેણી સ્તરોના સ્વતઃસંબંધ ગુણાંકનો સમાવેશ થાય છે. શ્રેણીના મૂળ અને રૂપાંતરિત સ્તરોમાંથી ગણતરી કરાયેલ પ્રથમ-ક્રમના સ્વતઃસંબંધ ગુણાંકની તુલના કરીને વલણનો પ્રકાર નક્કી કરી શકાય છે. જો સમય શ્રેણીમાં રેખીય વલણ હોય, તો તેના પડોશી સ્તરો નજીકથી સંબંધિત છે. આ કિસ્સામાં, મૂળ શ્રેણીના સ્તરોનો પ્રથમ-ક્રમનો સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક ઊંચો હોવો જોઈએ. જો સમય શ્રેણીમાં બિનરેખીય વલણ હોય, ઉદાહરણ તરીકે, ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં, તો પછી મૂળ શ્રેણીના સ્તરોના લઘુગણકના આધારે પ્રથમ-ક્રમના સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક, સ્તરોમાંથી ગણવામાં આવતા અનુરૂપ ગુણાંક કરતા વધારે હશે. શ્રેણી અભ્યાસ કરવામાં આવતી સમય શ્રેણીમાં બિનરેખીય વલણ વધુ સ્પષ્ટ હશે, સૂચવેલ ગુણાંકના મૂલ્યો વધુ અલગ હશે. |
ચકાસણી
| શ્રેષ્ઠ સમીકરણની પસંદગી જો શ્રેણીમાં બિનરેખીય વલણ હોય તો તે વલણના મુખ્ય સ્વરૂપોની ગણતરી કરીને, દરેક સમીકરણ માટે નિર્ધારણના સમાયોજિત ગુણાંકની ગણતરી કરીને કરી શકાય છે. આર 2, જેનું મહત્વ ફિશર માપદંડનો ઉપયોગ કરીને મૂલ્યાંકન કરવામાં આવે છે, અને નિર્ધારણના સમાયોજિત ગુણાંકના મહત્તમ મૂલ્ય સાથે વલણ સમીકરણની પસંદગી. કમ્પ્યુટર ડેટા પ્રોસેસિંગમાં આ પદ્ધતિનો અમલ પ્રમાણમાં સરળ છે. ગર્ભિતની હાજરીમાં બિનરેખીય વલણશ્રેષ્ઠ વલણ સમીકરણ પસંદ કરવા માટે ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિઓનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહેલા સૂચકની ગતિશીલતાના ગુણાત્મક પૃથ્થકરણ સાથે પૂરક હોવો જોઈએ જેથી વલણનો પ્રકાર પસંદ કરતી વખતે સ્પષ્ટીકરણની ભૂલો ટાળી શકાય. ગુણાત્મક વિશ્લેષણમાં સમસ્યાઓની શોધનો સમાવેશ થાય છે શક્ય ઉપલબ્ધતાસંખ્યાબંધ પરિબળોના પ્રભાવ હેઠળ સમયના ચોક્કસ બિંદુ (અવધિ) થી શરૂ કરીને, ટર્નિંગ પોઈન્ટ અને વૃદ્ધિ દરમાં ફેરફારોની અભ્યાસ કરેલ સમય શ્રેણીમાં. જો વલણ સમીકરણ મોટા નમૂના મૂલ્યો (સ્પેસિફિકેશન એરર) માટે ખોટી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યું હોય, તો પસંદ કરેલ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમય શ્રેણીની ગતિશીલતાના વિશ્લેષણ અને આગાહીના પરિણામો અવિશ્વસનીય હશે. |
કારણ કે ઉચ્ચતમ મૂલ્યજો 0.98 ના નિર્ધારણના ગુણાંકમાં ઘન બહુપદી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સમીકરણ હોય, તો આ સમીકરણનો ઉપયોગ મોડેલ તરીકે થઈ શકે છે (આકૃતિ 16). જો કે, રેખીય વલણના નિર્ધારણના ગુણાંકનું મૂલ્ય 0.96 છે, જે આગાહી માટે તેનો ઉપયોગ કરવાનો અધિકાર પણ આપે છે. નિયમ પ્રમાણે, આગાહી કરતી વખતે, રેખીય વલણને પ્રાધાન્ય આપવામાં આવે છે જો તેની ગુણવત્તા બિનરેખીય કરતાં સહેજ હલકી હોય.
|
|
આકૃતિ 16 - વલણ રેખા પસંદગી
આગાહી
ટ્રેન્ડ લાઇન (ક્યુબિક બહુપદી) નો ઉપયોગ કરીને, ઉત્પાદન આઉટપુટની આગાહી કરવામાં આવી છે, જે 2011 માં 44,208 એકમો જેટલી હશે. રેખીય વલણ અનુસાર ઉત્પાદન આઉટપુટ અનુમાન 38,214.5 યુનિટ હશે. નોંધ કરો કે બહુપદી ઉપલબ્ધ નમૂનાનું વધુ સારી રીતે વર્ણન કરે છે, પરંતુ અનુમાનિત મૂલ્ય અવલોકન કરેલ મૂલ્યોની તુલનામાં તીવ્રપણે વધે છે. રેખીય વલણ પર આધારિત આગાહી વધુ વિશ્વસનીય છે.
સ્વ-નિયંત્રણ માટે પ્રશ્નો
1. ટાઇમ સિરીઝ મોડલની વ્યાખ્યા શું છે?
2. સમય શ્રેણીના જાણીતા મુખ્ય ઘટકો શું છે?
3. સમય શ્રેણી સંશોધનના મુખ્ય ઉદ્દેશો શું છે?
4. સમય શ્રેણીના બંધારણનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે ઓટોકોરિલેશન ફંક્શનનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો?
5. પાંચમા ક્રમના સ્વતઃસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે?
6. કોરીલોગ્રામ કેવી રીતે બાંધવામાં આવે છે?
7. શું છે સામાન્ય સ્વરૂપગુણાકાર અને ઉમેરણ સમય શ્રેણી મોડેલો?
8. સમય શ્રેણીમાં મોસમી વધઘટની રચનાનું વિશ્લેષણ કરવાનો હેતુ શું છે?
9. સમય શ્રેણીની માળખાકીય સ્થિરતા વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે કયા પરીક્ષણોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે?
10. કયા કિસ્સામાં સમય શ્રેણીની માળખાકીય સ્થિરતાનું ઉલ્લંઘન થાય છે?
11. સમય શ્રેણીના વિશ્લેષણાત્મક સંરેખણનો અર્થ શું છે?
12. સમય શ્રેણીના વિશ્લેષણાત્મક સંરેખણ માટે ઉપયોગમાં લેવાતા સૌથી સામાન્ય મોડલ કયા છે?
13. રેખીય પરિવર્તનનો અર્થ શું થાય છે? MNCs માં તેનો ઉપયોગ કેવી રીતે થાય છે?
14. બાંધવામાં આવેલા મોડેલની ગુણવત્તાનું મૂલ્યાંકન કેવી રીતે કરવામાં આવે છે?
15. ટાઈમ સિરીઝ મોડલનો ઉપયોગ કરીને પોઈન્ટની આગાહી કેવી રીતે કરવામાં આવે છે?
વ્યક્તિગત કાર્ય
ચોક્કસ એન્ટરપ્રાઇઝના ઉત્પાદન આઉટપુટની ગતિશીલતા કોષ્ટક 25 માં પ્રસ્તુત ડેટા દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે (દરેક વિકલ્પમાં
આઉટપુટના વોલ્યુમમાં 120 × નંબર ઉમેરવો આવશ્યક છે k, ક્યાં k- ગ્રુપ જર્નલમાં વિદ્યાર્થીનો સીરીયલ નંબર). નીચેના કરો:
· સમય શ્રેણીની રચનાનું વિશ્લેષણ કરો;
· શ્રેણીની માળખાકીય સ્થિરતા વિશેની પૂર્વધારણા તપાસો;
· સમય શ્રેણીના વિશ્લેષણાત્મક સંરેખણ હાથ ધરવા;
· 2011 માટે આગાહી કરો;
રિપોર્ટ પૂર્ણ કરો.
સમય શ્રેણીનું વિશ્લેષણાત્મક સંરેખણ એ વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય, વલણ મોડેલનું નિર્માણ છે. આ હેતુ માટે તેઓ ઉપયોગ કરે છે વિવિધ પ્રકારનાકાર્યો: રેખીય, મેદાન, પેરાબોલિક, વગેરે.
વલણના પરિમાણો કેસની જેમ જ નક્કી કરવામાં આવે છે રેખીય રીગ્રેસનઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ, જ્યાં સમય સ્વતંત્ર ચલ છે અને સમય શ્રેણી સ્તરો આશ્રિત ચલ છે. પસંદગીનું માપદંડ શ્રેષ્ઠ આકારવલણ નિર્ધારણ, ફિશર અને વિદ્યાર્થી પરીક્ષણોના ગુણાંકના સૌથી મોટા મૂલ્ય દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
ચાલો ધારીએ કે કેટલાક સૈદ્ધાંતિક મોડેલધારે છે રેખીય અવલંબનઅન્યમાંથી એક સિસ્ટમ લાક્ષણિકતાઓ:
y= Y i k i · x i
(i- સ્વતંત્ર ચલોની સંખ્યા). કાર્ય નીચે મુજબ છે: નિશ્ચિત પરિમાણો સાથે xઅને માપેલ મૂલ્યો yપરિમાણોના વેક્ટરની ગણતરી કરો k , કેટલાક શ્રેષ્ઠતા માપદંડને સંતોષે છે.
ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિમાં, આ માપદંડ એ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોના વર્ગ વિચલનોનો લઘુત્તમ સરવાળો છે yઅવલોકન (પ્રાયોગિક):
મિનિટ У i (y s, i - y i)І.
ફંક્શનનું ન્યૂનતમ શોધવા માટે, આ અભિવ્યક્તિને પરિમાણોના સંદર્ભમાં અલગ પાડવી જોઈએ અને શૂન્ય (લઘુત્તમ સ્થિતિ) ની બરાબર સેટ કરવી જોઈએ. પરિણામે, ચોરસના લઘુત્તમ સરવાળાની શોધમાં ઘટાડો થાય છે સરળ કામગીરીમેટ્રિસિસ સાથે.
જો સૈદ્ધાંતિક મોડેલ એક પરિમાણ પર રેખીય અવલંબન રજૂ કરે છે ( y = a + b· x), પછી ઉકેલ સરળ સૂત્રોના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત થાય છે:
ઝેડ = nયુ x iહું - (યુ x i)І;
a= (વાય y iયુ x iહું - યુ y i x iયુ x i) / ઝેડ; એસ a І = એસ yહું યુ x i І / ઝેડ;
b = (nયુ y i x i- યુ y iયુ x i) / ઝેડ; એસ b І = એસ y І n / ઝેડ;
એસ y I = Y( y s, i - y i)І / ( n - 2)
(y s, i- ગણતરી કરેલ મૂલ્ય, y i- પ્રાયોગિક રીતે માપેલ મૂલ્ય)
ભૂલોની ગણતરી કરતી વખતે, એવું માનવામાં આવે છે કે x મૂલ્યોની ચોકસાઈ માપેલા મૂલ્યોની ચોકસાઈ કરતાં નોંધપાત્ર રીતે વધી જાય છે. y, જેનું માપન ભૂલ સામાન્ય વિતરણને અનુસરે છે.
અવશેષોમાં સ્વતઃસંબંધ એ સમયના વર્તમાન અને અગાઉના બિંદુઓ માટેના અવશેષોના મૂલ્યો વચ્ચેનો સહસંબંધ છે.
હોમોસેડેસ્ટિક અને હેટરોસેડેસ્ટિક, સ્વતંત્ર અને સ્વતઃસંબંધિત અવશેષો સાથે રેખીય રીગ્રેશન મોડલ્સ. જેમ આપણે ઉપરથી જોઈ શકીએ છીએ, મુખ્ય વસ્તુ રેન્ડમ વિચલનોથી સમય શ્રેણીને "સાફ" કરવાની છે, એટલે કે. ગાણિતિક અપેક્ષાનો અંદાજ. અહીંથી, વધુ જટિલ મોડેલો કુદરતી રીતે બહાર આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, તફાવત સમય પર આધાર રાખે છે. આવા મોડેલોને હેટરોસેડેસ્ટિક કહેવામાં આવે છે, અને જેમાં સમય પર કોઈ અવલંબન નથી તેને હોમોસેડેસ્ટિક કહેવામાં આવે છે. (વધુ સ્પષ્ટ રીતે, આ શબ્દો ફક્ત "સમય" ચલનો જ નહીં, પણ અન્ય ચલોનો પણ ઉલ્લેખ કરી શકે છે.) જો ભૂલો એકબીજા સાથે કોઈ રીતે સંબંધિત નથી, તો સ્વતઃસંબંધ કાર્ય અધોગતિ પામવું જોઈએ - જો દલીલો 1 ની બરાબર હોય સમાન અને 0 જો તેઓ અસમાન હોય. તે સ્પષ્ટ છે કે વાસ્તવિક સમય શ્રેણી માટે આ હંમેશા કેસ નથી. જો અવલોકન પ્રક્રિયામાં ફેરફારોનો કુદરતી માર્ગ ક્રમિક અવલોકનો વચ્ચેના અંતરાલની તુલનામાં પૂરતો ઝડપી છે, તો પછી સ્વયંસંબંધના "ક્ષીણ" અને વ્યવહારીક રીતે સ્વતંત્ર અવશેષો મેળવવાની આગાહી કરવી શક્ય છે, અન્યથા અવશેષો સ્વયંસંબંધિત હશે.
મોડલ ઓળખનો સામાન્ય રીતે અર્થ થાય છે તેમની રચનાને ઓળખવી અને પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવો. માળખું પણ એક પરિમાણ હોવાથી, બિન-સંખ્યાત્મક હોવા છતાં, અમે તેમાંથી એક વિશે વાત કરી રહ્યા છીએ લાક્ષણિક કાર્યોઇકોનોમેટ્રિક્સ - પરિમાણ અંદાજ.
હોમોસેડેસ્ટિક સ્વતંત્ર અવશેષો સાથે રેખીય (પરિમાણોની દ્રષ્ટિએ) મોડેલો માટે અંદાજની સમસ્યા સૌથી સરળતાથી ઉકેલી શકાય છે. સમય શ્રેણીમાં નિર્ભરતાની પુનઃસ્થાપન ઓછામાં ઓછા ચોરસ અને ઓછામાં ઓછા મોડ્યુલીની પદ્ધતિઓના આધારે હાથ ધરવામાં આવી શકે છે, ખાસ કરીને સમય શ્રેણીના કિસ્સામાં સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે મર્યાદા ભૌમિતિક વિતરણત્રિકોણમિતિ બહુપદીની ડિગ્રીનો અંદાજ.
જો કે, વધુ માટે સામાન્ય પરિસ્થિતિઆવા સરળ ટ્રાન્સફર કરવાની ભલામણ કરવામાં આવતી નથી. ધ્યાનમાં લો, ઉદાહરણ તરીકે, હેટરોસેડેસ્ટિક અને સ્વતઃસંબંધિત અવશેષો સાથે સમય શ્રેણીના કિસ્સામાં, તમે ફરીથી ઉપયોગ કરી શકો છો સામાન્ય અભિગમઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ, પરંતુ ઓછામાં ઓછા ચોરસ સમીકરણોની સિસ્ટમ અને, સ્વાભાવિક રીતે, તેનો ઉકેલ અલગ હશે. સૂત્રો અલગ-અલગ હશે. આ સંબંધમાં આ પદ્ધતિ"સામાન્યકૃત લઘુત્તમ ચોરસ (GLS)" કહેવાય છે.
ચાલો ગ્રાહક ભાવ સૂચકાંક (ફુગાવા સૂચકાંક) ની વૃદ્ધિનું વર્ણન કરતી સમય શ્રેણીના અર્થમિતિ મૉડલનું વિશ્લેષણ કરીએ. I(t) મહિનામાં t માં ભાવ વધારો થવા દો. પછી, કેટલાક અર્થશાસ્ત્રીઓના મતે, એવું માનવું સ્વાભાવિક છે કે:
I(t)=cI(t-1)+a+dS(t-4)+
જ્યાં I(t-1) એ પાછલા મહિનામાં ભાવ વધારો છે (અને c એ ચોક્કસ ભીનાશ ગુણાંક છે, જે સૂચવે છે કે ગેરહાજરીમાં બાહ્ય પ્રભાવોભાવ વૃદ્ધિ અટકી જશે), a એ સ્થિર છે (તે સમય જતાં I(t) ના મૂલ્યમાં રેખીય ફેરફારને અનુરૂપ છે), bS(t-4) એ મની ઉત્સર્જનના પ્રભાવને અનુરૂપ શબ્દ છે (એટલે કે, વધારો દેશના અર્થતંત્રમાં નાણાંના જથ્થામાં, હાથ ધરવામાં આવે છે સેન્ટ્રલ બેંક) S(t-4) ની માત્રામાં અને ગુણાંક b સાથે ઉત્સર્જનના પ્રમાણસર, અને આ પ્રભાવ તરત જ દેખાતો નથી, પરંતુ 4 મહિના પછી; છેવટે, આ એક અનિવાર્ય ભૂલ છે.
મોડેલ, તેની સરળતા હોવા છતાં, ઘણા દર્શાવે છે પાત્ર લક્ષણોવધુ જટિલ ઇકોનોમેટ્રિક મોડલ. પ્રથમ, ચાલો નોંધ કરીએ કે કેટલાક ચલોને I(t) તરીકે મોડેલની અંદર વ્યાખ્યાયિત (ગણતરી) કરવામાં આવે છે. તેમને એન્ડોજેનસ (આંતરિક) કહેવામાં આવે છે. અન્ય બહારથી સેટ કરવામાં આવે છે (આ એક્ઝોજેનસ ચલો છે). કેટલીકવાર, મેનેજમેન્ટ થિયરીની જેમ, એક્ઝોજેનસ ચલોમાં, નિયંત્રિત ચલોને અલગ પાડવામાં આવે છે - તે જેની મદદથી મેનેજર સિસ્ટમને તેની જરૂરિયાતની સ્થિતિમાં લાવી શકે છે.
બીજું, નવા પ્રકારનાં ચલો સંબંધમાં દેખાય છે - લેગ્સ સાથે, એટલે કે. ચલોમાંની દલીલો સમયની વર્તમાન ક્ષણનો ઉલ્લેખ કરતી નથી, પરંતુ કેટલીક ભૂતકાળની ક્ષણોનો સંદર્ભ આપે છે.
ત્રીજું, આ પ્રકારનું ઈકોનોમેટ્રિક મોડલ બનાવવું એ કોઈ પણ રીતે નિયમિત કામગીરી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, નાણાંના મુદ્દા સાથે સંકળાયેલ મુદતમાં બરાબર 4 મહિનાનો વિલંબ એ એક જગ્યાએ જટિલ પ્રારંભિક આંકડાકીય પ્રક્રિયાનું પરિણામ છે.
ઓછામાં ઓછા ચોરસ પ્રક્રિયાના ચોક્કસ અમલીકરણ આ મુદ્દાના ઉકેલ પર આધાર રાખે છે.
બીજી બાજુ, મોડેલ (1) માં ફક્ત 3 અજાણ્યા પરિમાણો છે, અને ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિની રચના લખવી મુશ્કેલ નથી:
આગળ, સાથે આ પ્રકારના એક મોડેલને ધ્યાનમાં લો મોટી સંખ્યામાંઅંતર્જાત અને બાહ્ય ચલો, લેગ્સ અને જટિલ સાથે આંતરિક માળખું. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, તે ક્યાંયથી અનુસરતું નથી કે આવી સિસ્ટમ માટે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે. આ એક નહીં, પરંતુ બે સમસ્યાઓ ઊભી કરે છે. શું ઓછામાં ઓછો એક ઉપાય છે? જો એમ હોય, તો આપણે શ્રેષ્ઠ સંભવિત ઉકેલ કેવી રીતે શોધી શકીએ? (આ આંકડાકીય પરિમાણ અંદાજની સમસ્યા છે.)
બંને કાર્યો તદ્દન મુશ્કેલ છે. બંને સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે, ઘણી પદ્ધતિઓ વિકસાવવામાં આવી છે, સામાન્ય રીતે તદ્દન જટિલ, જેમાંથી માત્ર કેટલીકનો વૈજ્ઞાનિક આધાર છે. ખાસ કરીને, ઘણી વાર તેઓ આંકડાકીય અંદાજોનો ઉપયોગ કરે છે જે સુસંગત નથી (સખત રીતે કહીએ તો, તેમને અંદાજ પણ કહી શકાય નહીં).
ચાલો રેખીય અર્થમિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમો સાથે કામ કરતી વખતે કેટલીક સામાન્ય તકનીકોનું ટૂંકમાં વર્ણન કરીએ.
રેખીય એક સાથે ઇકોનોમેટ્રિક સમીકરણોની સિસ્ટમ. કેવળ ઔપચારિક રીતે, બધા ચલો એવા ચલ દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે જે ફક્ત વર્તમાન ક્ષણ પર આધાર રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઉપરોક્ત સમીકરણના કિસ્સામાં તે મૂકવા માટે પૂરતું છે
H(t)=I(t-1), G(t)=S(t-4)
પછી ઉદાહરણ સમીકરણ છે
I(t)=cH(t)+a+bG(t)+
ચાલો તરત જ ઉપયોગની શક્યતાને નોંધીએ રીગ્રેસન મોડેલોડમી ચલો રજૂ કરીને વેરિયેબલ સ્ટ્રક્ચર સાથે. આ ચલો અમુક સમયે મૂલ્યો (કહો, પ્રારંભિક રાશિઓ) ધ્યાનપાત્ર મૂલ્યો લે છે, અને અન્ય સમયે તેઓ અદૃશ્ય થઈ જાય છે (વાસ્તવમાં 0 ની બરાબર બને છે). પરિણામે, ઔપચારિક રીતે (ગાણિતિક રીતે) સમાન મોડેલ સંપૂર્ણપણે અલગ અવલંબનનું વર્ણન કરે છે.
ઉપર નોંધ્યું છે તેમ, ઇકોનોમેટ્રિક સમીકરણોની સિસ્ટમોના હ્યુરિસ્ટિક વિશ્લેષણ માટે ઘણી બધી પદ્ધતિઓ બનાવવામાં આવી છે. આ પદ્ધતિઓનો હેતુ સમીકરણોની સિસ્ટમોના સંખ્યાત્મક ઉકેલો શોધવાનો પ્રયાસ કરતી વખતે ઊભી થતી કેટલીક સમસ્યાઓને ઉકેલવા માટે છે.
સમસ્યાઓ પૈકી એક અંદાજિત પરિમાણો પર પ્રાથમિક પ્રતિબંધોની હાજરી છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘરની આવક કાં તો વપરાશ અથવા બચત પર ખર્ચી શકાય છે. આથી, આ બે પ્રકારના ખર્ચના શેરનો સરવાળો 1 ની સમાન પ્રાથમિકતા છે. અને અર્થમિતિ સમીકરણોની સિસ્ટમમાં, આ શેરો સ્વતંત્ર રીતે ભાગ લઈ શકે છે. આ પ્રાથમિક મર્યાદાને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને તેમનો અંદાજ કાઢવાના વિચારને જન્મ આપે છે, અને પછી તેમને સુધારે છે. આ અભિગમને પરોક્ષ લઘુત્તમ ચોરસ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે.
બે-પગલાની ઓછામાં ઓછી ચોરસ પદ્ધતિ એ હકીકતમાં સમાવિષ્ટ છે કે આપેલ પદ્ધતિમાં સિસ્ટમના વ્યક્તિગત સમીકરણના પરિમાણોને સમગ્ર સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લેવાને બદલે અંદાજવામાં આવે છે. અને ત્રણ-પગલાની ઓછામાં ઓછી ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ એક સાથે સમીકરણોની સિસ્ટમના પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે. શરૂઆતમાં, દરેક સમીકરણના ગુણાંક અને ભૂલોનો અંદાજ કાઢવાના એકમાત્ર હેતુ સાથે દરેક સમીકરણ પર બે-પગલાની પદ્ધતિ લાગુ કરવામાં આવે છે, અને ત્યારબાદ ભૂલોના સહપ્રવાહ મેટ્રિક્સ માટે અંદાજ બાંધવામાં આવે છે. સામાન્યકૃત લઘુત્તમ ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ પછી સમગ્ર સિસ્ટમના ગુણાંકનો અંદાજ કાઢવા માટે થાય છે.
મેનેજર અને અર્થશાસ્ત્રી માટે ઇકોનોમેટ્રિક સમીકરણોના કમ્પાઇલિંગ અને સોલ્વિંગ સિસ્ટમ્સના ક્ષેત્રમાં નિષ્ણાત બનવાની ભલામણ કરવામાં આવતી નથી, ભલે તે વિશેષ ઉપયોગ સાથે હોય. સોફ્ટવેરજો કે, તેને અર્થમિતિશાસ્ત્રના નિષ્ણાતો માટે કુશળતાપૂર્વક કાર્ય ઘડવા માટે, ઉત્પાદનની જરૂરિયાતના કિસ્સામાં, અર્થમિતિશાસ્ત્રના આ ક્ષેત્રની સંભાવના વિશે જાણ કરવી આવશ્યક છે.
વલણ (મુખ્ય વલણ) નું મૂલ્યાંકન કરવાથી આપણે સમય શ્રેણી અર્થમિતિના બીજા મુખ્ય કાર્ય તરફ આગળ વધીએ છીએ - સમયગાળા (ચક્ર) નું મૂલ્યાંકન કરવું.
હેટરોસ્કેડેસ્ટીસીટીની સમસ્યા. પ્રથમ, ચાલો સ્થિર મોડલ્સને પ્રકાશિત કરીએ. તેઓ કોઈપણ સંખ્યાના સમય બિંદુ k માટે સંયુક્ત વિતરણ કાર્યો F(t 1 , t 2 ,…,t k) ધરાવે છે, અને તેથી સમય શ્રેણીની ઉપરોક્ત તમામ લાક્ષણિકતાઓ સમય સાથે બદલાતી નથી. વિશેષ રીતે, અપેક્ષિત મૂલ્યઅને વિક્ષેપ એ સતત મૂલ્યો છે, સ્વતઃસંબંધ કાર્ય ફક્ત તેના પર આધાર રાખે છે તફાવતો t-s. સમય શ્રેણી જે સ્થિર નથી તેને બિન-સ્થિર કહેવામાં આવે છે.
વિજાતીયતા એ મૂળની મિલકત છે, જ્યારે ભૂલનો તફાવત અવલોકન નંબર પર આધાર રાખે છે. આલેખ પર, હેટરોસ્કેડસ્ટીસીટી એ હકીકતમાં પોતાને મેનીફેસ્ટ કરે છે કે વધારો અથવા ઘટાડો સાથે અનુક્રમ નંબરમાપન, વલણ રેખાની આસપાસ માપનો ફેલાવો વધે છે. આ રીગ્રેસન સમીકરણના ગુણાંકના અંદાજમાં નોંધપાત્ર ભૂલો તરફ દોરી શકે છે. જ્યારે વસ્તુઓ સામાન્ય રીતે વિજાતીય હોય ત્યારે વિજાતીયતા થાય છે. ત્યાં ઘણી સુધારણા પદ્ધતિઓ છે, સમસ્યાનું નિરાકરણહેટરોસ્કેડસ્ટીસીટી. આમાંથી સૌથી વધુ કાર્યક્ષમ એ વેઇટેડ ન્યૂનતમ ચોરસ પદ્ધતિ છે.
પદ્ધતિનો સાર અત્યંત સરળ છે. મૂળ મૉડલનું સ્વરૂપ રહેવા દો
પછી, સિસ્ટમના દરેક તત્વને મૂલ્ય yt દ્વારા વિભાજીત કરીને આપણે બીજી સિસ્ટમ પર પહોંચીએ છીએ
જ્યાં y t2 = y 2у, ભારિત વિચલન;
Шt = n, n - માપની સંખ્યા.
આમ, આ રૂપાંતર સાથે આપણે હેટરોસેડેસ્ટીસીટીને દૂર કરીએ છીએ.
આ ઉપરાંત, ઇનપુટ ડેટાના લોગરીધમને પણ લેવાથી, કેટલાક કિસ્સાઓમાં, હેટરોસ્કેડેસ્ટીસીટીને કારણે મોડેલ પરિમાણો નક્કી કરવામાં ભૂલો ઓછી થાય છે.
સમય શ્રેણીના વલણને મોડેલ કરવાની સૌથી સામાન્ય રીતોમાંની એક વિશ્લેષણાત્મક કાર્ય (એક વલણ, અથવા ચક્રીય અને/અથવા મોસમી ઘટક સાથેનું વલણ) બનાવવું છે, જે સમયસર શ્રેણી સ્તરોની અવલંબનને પાત્ર બનાવે છે. આ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છે સમય શ્રેણીનું વિશ્લેષણાત્મક સંરેખણ.
આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે પ્રથમ કાર્યનો પ્રકાર પસંદ કરવાની જરૂર છે. સૌથી વધુ ઉપયોગમાં લેવાતા કાર્યો છે:
રેખીય -
બહુપદી -
· ઘાતાંકીય -
લોજિસ્ટિક્સ - 
ગોમ્પર્ટ્ઝ -
આ સંશોધનનો ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ તબક્કો છે. યોગ્ય કાર્ય પસંદ કરતી વખતે, અર્થપૂર્ણ વિશ્લેષણ (જે પ્રક્રિયાની ગતિશીલતાની પ્રકૃતિ સ્થાપિત કરી શકે છે) અને દ્રશ્ય અવલોકનો (સમય શ્રેણીની ગ્રાફિકલ રજૂઆત પર આધારિત) નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. બહુપદી કાર્ય પસંદ કરતી વખતે, ક્રમિક તફાવતોની પદ્ધતિ લાગુ કરી શકાય છે (પ્રથમ ક્રમ, બીજા ક્રમના તફાવતોની ગણતરીનો સમાવેશ થાય છે. 
વગેરે), અને તફાવતોનો ક્રમ, જેના પર તેઓ લગભગ સમાન હશે, તેને બહુપદીની ડિગ્રી તરીકે લેવામાં આવે છે.
બે વિધેયોમાંથી, પ્રાધાન્ય સામાન્ય રીતે એકને આપવામાં આવે છે કે જેના માટે આ ફંક્શનના આધારે ગણતરી કરાયેલ વાસ્તવિક ડેટાના વર્ગ વિચલનોનો સરવાળો ઓછો હોય છે. પરંતુ આ સિદ્ધાંતને વાહિયાતતાના મુદ્દા પર લઈ જઈ શકાતો નથી: ઉદાહરણ તરીકે, કોઈપણ બિંદુઓની શ્રેણી માટે તમામ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી મી ડિગ્રીની બહુપદી પસંદ કરવી શક્ય છે અને તે મુજબ, લઘુત્તમ - શૂન્ય - વર્ગ વિચલનોના સરવાળા સાથે, પરંતુ આ કિસ્સામાં, દેખીતી રીતે, કોઈએ આ મુદ્દાઓની રેન્ડમ પ્રકૃતિને જોતાં, મુખ્ય વલણને અલગ કરવા વિશે વાત કરવી જોઈએ નહીં. તેથી, અન્ય વસ્તુઓ સમાન હોવાથી, સરળ કાર્યોને પ્રાધાન્ય આપવું જોઈએ.
ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મુખ્ય વલણના પરિમાણો નક્કી કરી શકાય છે. આ કિસ્સામાં, સમય શ્રેણીના મૂલ્યોને આશ્રિત ચલ તરીકે અને સમયને સમજૂતીત્મક ચલ તરીકે ગણવામાં આવે છે:
વિક્ષેપો ક્યાં છે જે રીગ્રેશન વિશ્લેષણના મૂળભૂત પરિસરને સંતોષે છે, એટલે કે. સ્વતંત્ર અને સમાન રીતે વિતરિત રજૂ કરે છે રેન્ડમ ચલો, જેનું વિતરણ સામાન્ય માનવામાં આવે છે.
ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિ અનુસાર, રેખાના પરિમાણો 
સામાન્ય સમીકરણો (2.5) ની સિસ્ટમમાંથી જોવા મળે છે, જેમાં આપણે આ રીતે લઈએ છીએ:
(7.10)
ચલના મૂલ્યો 1 થી ની સંખ્યાની કુદરતી શ્રેણી બનાવે છે તે ધ્યાનમાં લેતા, ગણિતમાં જાણીતા સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સરવાળો શ્રેણીના પદોની સંખ્યાના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:
(7.11)
પૃષ્ઠ 79 પરના ઉદાહરણ 2 માં, સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે:
,
તેથી વલણ સમીકરણ, એટલે કે. માંગ વાર્ષિક સરેરાશ 25.7 એકમો દ્વારા વધે છે.
ચાલો દ્વારા પરિણામી વલણ સમીકરણનું મહત્વ તપાસીએ એફ-5% મહત્વના સ્તરે માપદંડ, અમે સૂત્ર (3.40) નો ઉપયોગ કરીને ચોરસના સરવાળાની ગણતરી કરીએ છીએ:
a) રીગ્રેશનને કારણે -
b) સામાન્ય -
c) શેષ
ચાલો આંકડાનું મૂલ્ય શોધીએ:
.
ત્યારથી, વલણ સમીકરણ નોંધપાત્ર છે.
ટાઈમ સીરિઝને લેવલિંગ (સ્મૂથિંગ) કરવાની બીજી પદ્ધતિ, એટલે કે. બિન-રેન્ડમ ઘટકને પ્રકાશિત કરવું એ મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિ છે. તે સમય અંતરાલમાં શ્રેણીના સભ્યોના પ્રારંભિક મૂલ્યોથી તેમના સરેરાશ મૂલ્યોમાં સંક્રમણ પર આધારિત છે, જેની લંબાઈ અગાઉથી નક્કી કરવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, પસંદ કરેલ સમય અંતરાલ શ્રેણી સાથે "સ્લાઇડ્સ" કરે છે.
શ્રેણીના વિચલનોની સરેરાશને કારણે પરિણામી મૂવિંગ એવરેજ શ્રેણી મૂળ શ્રેણી કરતાં વધુ સરળ રીતે વર્તે છે.
