બિનરેખીય વલણો માટે મૂલ્યોના કોષ્ટકો. વલણ સમીકરણના પરિમાણો નક્કી કરવા માટેની પદ્ધતિઓ

ચાલો કેલ્ક્યુલેટરનો ઉપયોગ કરીને નીચેના ડેટા (કોષ્ટક જુઓ)ના આધારે વલણ સમીકરણના પરિમાણોની વિગતવાર ગણતરીનું ઉદાહરણ બતાવીએ.

રેખીય વલણ સમીકરણ y = at + b છે.
1. પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને સમીકરણના પરિમાણો શોધો ઓછામાં ઓછા ચોરસ .
ઓછામાં ઓછા ચોરસના સમીકરણોની સિસ્ટમ:
a 0 n + a 1 ∑t = ∑y
a 0 ∑t + a 1 ∑t 2 = ∑y t

t	y	ટી 2	y 2	t y	y(t)	(y-y cp) 2	(y-y(t)) 2	(t-t p) 2	(y-y(t)): y
1	17.4	1	302.76	17.4	12.26	895.01	26.47	30.25	0.3
2	26.9	4	723.61	53.8	18.63	416.84	68.39	20.25	0.31
3	23	9	529	69	25	591.3	4.02	12.25	0.0872
4	23.7	16	561.69	94.8	31.38	557.75	58.98	6.25	0.32
5	27.2	25	739.84	136	37.75	404.68	111.4	2.25	0.39
6	34.5	36	1190.25	207	44.13	164.27	92.72	0.25	0.28
7	50.7	49	2570.49	354.9	50.5	11.45	0.0383	0.25	0.0039
8	61.4	64	3769.96	491.2	56.88	198.34	20.44	2.25	0.0736
9	69.3	81	4802.49	623.7	63.25	483.27	36.56	6.25	0.0872
10	94.4	100	8911.36	944	69.63	2216.84	613.62	12.25	0.26
11	61.1	121	3733.21	672.1	76	189.98	222.11	20.25	0.24
12	78.2	144	6115.24	938.4	82.38	953.78	17.46	30.25	0.0534
78	567.8	650	33949.9	4602.3	567.8	7083.5	1272.21	143	2.41

અમારા ડેટા માટે, સમીકરણોની સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે:
12a 0 + 78a 1 = 567.8
78a 0 + 650a 1 = 4602.3
પ્રથમ સમીકરણમાંથી આપણે 0 વ્યક્ત કરીએ છીએ અને તેને બીજા સમીકરણમાં બદલીએ છીએ
આપણને 0 = 6.37, a 1 = 5.88 મળે છે

નોંધ: કૉલમ નંબર 6 y(t) ના મૂલ્યો પ્રાપ્ત વલણ સમીકરણના આધારે ગણવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, t = 1: y(1) = 6.37*1 + 5.88 = 12.26

વલણ સમીકરણ

y = 6.37 t + 5.88

ચાલો ચોક્કસ અંદાજની ભૂલનો ઉપયોગ કરીને વલણ સમીકરણની ગુણવત્તાનું મૂલ્યાંકન કરીએ.

ભૂલ 15% થી વધુ હોવાથી, આ સમીકરણનો ઉપયોગ વલણ તરીકે કરવો યોગ્ય નથી.

સરેરાશ મૂલ્યો:

વિખેરી નાખવું

પ્રમાણભૂત વિચલન

સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંક


સ્થિતિસ્થાપકતા ગુણાંક 1 કરતા ઓછો છે. તેથી, જો X 1% બદલાય છે, તો Y 1% કરતા ઓછા બદલાશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, Y પર X નો પ્રભાવ નોંધપાત્ર નથી.

નિર્ધારણ ગુણાંક

તે 82.04% કિસ્સાઓમાં તે ડેટાના ફેરફારોને અસર કરે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વલણ સમીકરણ પસંદ કરવાની ચોકસાઈ ઊંચી છે

2. વલણ સમીકરણના પરિમાણોના અંદાજો નક્કી કરવાની ચોકસાઈનું વિશ્લેષણ.
સમીકરણ ભૂલ તફાવત.

જ્યાં m = 1 એ વલણ મોડેલમાં પ્રભાવિત પરિબળોની સંખ્યા છે.

સમીકરણની પ્રમાણભૂત ભૂલ.

3. ગુણાંક સંબંધિત પૂર્વધારણાઓનું પરીક્ષણ રેખીય સમીકરણવલણ.
1) t-આંકડા. વિદ્યાર્થીની ટી ટેસ્ટ.
વિદ્યાર્થીના ટેબલનો ઉપયોગ કરીને આપણે Ttable શોધીએ છીએ
T ટેબલ (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228

>
ગુણાંક a 0 ના આંકડાકીય મહત્વની પુષ્ટિ થાય છે. પરિમાણ અંદાજ 0 નોંધપાત્ર છે અને સમય શ્રેણીમાં વલણ છે.


ગુણાંક a 1 ના આંકડાકીય મહત્વની પુષ્ટિ થઈ નથી.

વલણ સમીકરણ ગુણાંક માટે વિશ્વાસ અંતરાલ.
ચાલો આપણે વલણ ગુણાંકના વિશ્વાસ અંતરાલોને નિર્ધારિત કરીએ, જે 95% ની વિશ્વસનીયતા સાથે નીચે મુજબ હશે:
(a 1 - t obs S a 1 ;a 1 + t obs S a 1)
(6.375 - 2.228*0.943; 6.375 + 2.228*0.943)
(4.27;8.48)
(a 0 - t obs S a 0 ;a 0 + t obs S a 0)
(5.88 - 2.228*6.942; 5.88 + 2.228*6.942)
(-9.59;21.35)
કારણ કે બિંદુ 0 (શૂન્ય) અંદર આવેલું છે આત્મવિશ્વાસ અંતરાલ, પછી ગુણાંક a 0 નો અંતરાલ અંદાજ આંકડાકીય રીતે નજીવો છે.
2) F-આંકડા. ફિશર માપદંડ.


Fkp = 4.84
F > Fkp થી, નિર્ધારણનો ગુણાંક આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર છે

અવશેષોના સ્વતઃસંબંધ માટે તપાસી રહ્યું છે.
મકાન ગુણવત્તા માટે એક મહત્વપૂર્ણ પૂર્વશરત રીગ્રેશન મોડલ OLS મુજબ અન્ય તમામ અવલોકનોમાં વિચલનોના મૂલ્યોથી રેન્ડમ વિચલનોના મૂલ્યોની સ્વતંત્રતા છે. આ સુનિશ્ચિત કરે છે કે કોઈપણ વિચલનો અને ખાસ કરીને નજીકના વિચલનો વચ્ચે કોઈ સંબંધ નથી.
સ્વયંસંબંધ (સીરીયલ સહસંબંધ)સમય (સમય શ્રેણી) અથવા અવકાશ (ક્રોસ સિરીઝ) માં ઓર્ડર કરેલ અવલોકન કરેલ સૂચકાંકો વચ્ચેના સહસંબંધ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સમય શ્રેણીના ડેટાનો ઉપયોગ કરતી વખતે રીગ્રેશન વિશ્લેષણમાં અવશેષો (વિવિધતાઓ) નો સ્વતઃસંબંધ સામાન્ય છે અને ક્રોસ-વિભાગીય ડેટાનો ઉપયોગ કરતી વખતે ખૂબ જ દુર્લભ છે.
આર્થિક સમસ્યાઓમાં તે વધુ સામાન્ય છે હકારાત્મક સ્વતઃસંબંધ, તેના બદલે નકારાત્મક સ્વતઃસંબંધ. મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં, સકારાત્મક સ્વતઃસંબંધ દિશાને કારણે થાય છે સતત એક્સપોઝરમોડેલમાં કેટલાક પરિબળો ધ્યાનમાં લેવામાં આવતા નથી.
નકારાત્મક સ્વતઃસંબંધવાસ્તવમાં અર્થ એ છે કે હકારાત્મક વિચલન પછી નકારાત્મક વિચલન અને ઊલટું. જો સોફ્ટ ડ્રિંક્સની માંગ અને આવક વચ્ચેના સમાન સંબંધને મોસમી ડેટા (શિયાળો-ઉનાળો) અનુસાર ગણવામાં આવે તો આ સ્થિતિ આવી શકે છે.
વચ્ચે મુખ્ય કારણો જે સ્વયંસંબંધનું કારણ બને છે, નીચેનાને ઓળખી શકાય છે:
1. સ્પષ્ટીકરણ ભૂલો. મોડેલમાં કોઈપણ મહત્વપૂર્ણ સમજૂતીત્મક ચલને ધ્યાનમાં લેવામાં નિષ્ફળતા અથવા પરાધીનતાના સ્વરૂપની ખોટી પસંદગી સામાન્ય રીતે રીગ્રેસન લાઇનમાંથી અવલોકન બિંદુઓના પ્રણાલીગત વિચલનો તરફ દોરી જાય છે, જે સ્વતઃસંબંધ તરફ દોરી શકે છે.
2. જડતા. ઘણા આર્થિક સૂચકાંકો(ફુગાવો, બેરોજગારી, GNP, વગેરે) વ્યાપારી પ્રવૃત્તિના અનડ્યુલેશન સાથે સંકળાયેલ ચોક્કસ ચક્રીય પ્રકૃતિ ધરાવે છે. તેથી, સૂચકોમાં ફેરફાર તરત જ થતો નથી, પરંતુ ચોક્કસ જડતા ધરાવે છે.
3. સ્પાઈડર વેબ ઈફેક્ટ. ઘણા ઉત્પાદન અને અન્ય ક્ષેત્રોમાં, આર્થિક સૂચકાંકો વિલંબ (સમય વિલંબ) સાથે આર્થિક સ્થિતિમાં ફેરફારોને પ્રતિભાવ આપે છે.
4. ડેટા સ્મૂથિંગ. ઘણીવાર, ચોક્કસ લાંબા સમય ગાળા માટેનો ડેટા તેના ઘટક અંતરાલોમાં સરેરાશ ડેટા દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. આનાથી વિચારણા હેઠળના સમયગાળામાં અસ્તિત્વમાં રહેલા વધઘટની ચોક્કસ સ્મૂથિંગ થઈ શકે છે, જે બદલામાં સ્વયંસંબંધનું કારણ બની શકે છે.
સ્વતઃસંબંધના પરિણામો તેના જેવા જ છે હેટરોસ્કેડસ્ટીસીટી: ટી- અને એફ-આંકડાઓમાંથી તારણો કે જે રીગ્રેસન ગુણાંક અને નિર્ધારણના ગુણાંકનું મહત્વ નક્કી કરે છે તે ખોટા હોઈ શકે છે.

સ્વતઃસંબંધ શોધ
1. ગ્રાફિક પદ્ધતિ
સ્વતઃસંબંધને ગ્રાફિકલી વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે ઘણા બધા વિકલ્પો છે. તેમાંથી એક વિચલનો e i ને તેમની પ્રાપ્તિની ક્ષણો સાથે લિંક કરે છે i. આ કિસ્સામાં, એબ્સીસા અક્ષ ક્યાં તો આંકડાકીય માહિતી મેળવવાનો સમય દર્શાવે છે, અથવા સીરીયલ નંબરઅવલોકનો, અને ઓર્ડિનેટ સાથે - વિચલનો e i (અથવા વિચલનોનો અંદાજ).
એવું માનવું સ્વાભાવિક છે કે જો વિચલનો વચ્ચે ચોક્કસ જોડાણ હોય, તો સ્વતઃસંબંધ થાય છે. અવલંબનની ગેરહાજરી મોટે ભાગે સ્વતઃસંબંધની ગેરહાજરી સૂચવે છે.
જો તમે e i-1 પર e i ની અવલંબનનું કાવતરું કરો છો તો સ્વતઃસંબંધ વધુ સ્પષ્ટ બને છે
ડર્બિન-વોટસન ટેસ્ટ.
આ માપદંડ સ્વયંસંબંધને શોધવા માટે સૌથી વધુ જાણીતો છે.
આંકડાકીય રીતે રીગ્રેસન સમીકરણોનું વિશ્લેષણ કરતી વખતે, પ્રારંભિક તબક્કે એક પૂર્વશરતની શક્યતા ઘણીવાર તપાસવામાં આવે છે: એકબીજા વચ્ચેના વિચલનોની આંકડાકીય સ્વતંત્રતા માટેની શરતો. આ કિસ્સામાં, પડોશી મૂલ્યો e i ની અસંબંધિતતા તપાસવામાં આવે છે.

y	y(x)	e i = y-y(x)	e 2	(e i - e i-1) 2
17.4	12.26	5.14	26.47	0
26.9	18.63	8.27	68.39	9.77
23	25	-2	4.02	105.57
23.7	31.38	-7.68	58.98	32.2
27.2	37.75	-10.55	111.4	8.26
34.5	44.13	-9.63	92.72	0.86
50.7	50.5	0.2	0.0384	96.53
61.4	56.88	4.52	20.44	18.71
69.3	63.25	6.05	36.56	2.33
94.4	69.63	24.77	613.62	350.63
61.1	76	-14.9	222.11	1574.09
78.2	82.38	-4.18	17.46	115.03
			1272.21	2313.98

વિચલનોના સહસંબંધનું વિશ્લેષણ કરવા માટે, ઉપયોગ કરો ડર્બિન-વોટસન આંકડા:


નિર્ણાયક મૂલ્યો d 1 અને d 2 જરૂરી મહત્વના સ્તર α, અવલોકનોની સંખ્યા n = 12 અને સમજૂતીત્મક ચલોની સંખ્યા m = 1 માટે વિશિષ્ટ કોષ્ટકોના આધારે નક્કી કરવામાં આવે છે.
જો નીચેની શરત પૂરી થઈ હોય તો કોઈ સ્વતઃસંબંધ નથી:
ડી 1< DW и d 2 < DW < 4 - d 2 .
કોષ્ટકોનો ઉલ્લેખ કર્યા વિના, તમે અંદાજિત નિયમનો ઉપયોગ કરી શકો છો અને ધારી શકો છો કે જો 1.5 હોય તો અવશેષોનો કોઈ સ્વતઃસંબંધ નથી.< DW < 2.5. Поскольку 1.5 < 1.82 < 2.5, то автокорреляция остатков ગેરહાજર.
વધુ વિશ્વસનીય નિષ્કર્ષ માટે, ટેબ્યુલર મૂલ્યોનો સંદર્ભ લેવાની સલાહ આપવામાં આવે છે.
n=12 અને k=1 (5% મહત્વ સ્તર) માટે ડર્બિન-વોટસન ટેબલનો ઉપયોગ કરીને, અમે શોધીએ છીએ: d 1 = 1.08; d2 = 1.36.
1.08 થી< 1.82 и 1.36 < 1.82 < 4 - 1.36, то автокорреляция остатков ગેરહાજર.

હેટરોસેડેસ્ટીસીટી માટે તપાસી રહ્યું છે.
1) અવશેષોના ગ્રાફિકલ વિશ્લેષણ દ્વારા.
આ કિસ્સામાં, સમજૂતીત્મક ચલ X ના મૂલ્યો એબ્સીસા અક્ષ સાથે રચાયેલ છે, અને વિચલનો e i અથવા તેમના ચોરસ e 2 i ઓર્ડિનેટ અક્ષ સાથે રચાયેલ છે.
જો વિચલનો વચ્ચે કોઈ ચોક્કસ જોડાણ હોય, તો પછી વિજાતીયતા થાય છે. પરાધીનતાની ગેરહાજરી મોટે ભાગે વિજાતીયતાની ગેરહાજરી સૂચવે છે.
2) પરીક્ષણનો ઉપયોગ કરવો ક્રમ સહસંબંધસ્પીયરમેન.
સ્પીયરમેનનો ક્રમ સહસંબંધ ગુણાંક.
ચાલો Y અને અવયવ X માટે રેન્ક અસાઇન કરીએ. વર્ગો d 2 ના તફાવતનો સરવાળો શોધો.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને, અમે સ્પીયરમેન રેન્ક સહસંબંધ ગુણાંકની ગણતરી કરીએ છીએ.

t ટેબલ (n-m-1;α/2) = (10;0.05/2) = 2.228
Tob થી< tтабл, то принимаем гипотезу о равенстве 0 коэффициента ранговой корреляции. Другими словами, коэффициент ранговой корреляции статистически - не значим.
ચાલો પૂર્વધારણા H 0 ને તપાસીએ: ત્યાં કોઈ વિષમતા નથી.
2.228 > 0.45 થી, હેટરોસ્કેડેસ્ટીસીટીની ગેરહાજરીની પૂર્વધારણા સ્વીકારવામાં આવે છે.

t	e i	ક્રમ X, d x	રેન્ક e i, d y	(d x - d y) 2
1	-5.14	1	4	9
2	-8.27	2	2	0
3	2	3	7	16
4	7.68	4	9	25
5	10.55	5	11	36
6	9.63	6	10	16
7	-0.2	7	6	1
8	-4.52	8	5	9

મોટેભાગે વલણ લાગે છે રેખીય અવલંબન જે પ્રકારનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે

જ્યાં y એ રસનું ચલ છે (ઉદાહરણ તરીકે, ઉત્પાદકતા) અથવા આશ્રિત ચલ;
x એ એવી સંખ્યા છે જે આગાહીના સમયગાળા અથવા સ્વતંત્ર ચલમાં વર્ષની સ્થિતિ (બીજી, ત્રીજી, વગેરે) નક્કી કરે છે.

જ્યારે રેખીય રીતે બે પરિમાણો વચ્ચેના સંબંધને અનુમાનિત કરવામાં આવે છે, ત્યારે સૌથી ઓછી ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ રેખીય કાર્યના પ્રયોગમૂલક ગુણાંકને શોધવા માટે થાય છે. પદ્ધતિનો સાર એ છે કે રેખીય કાર્ય"શ્રેષ્ઠ ફિટ" માપેલા પરિમાણના ચોરસ વિચલનોના લઘુત્તમ સરવાળાને અનુરૂપ ગ્રાફના બિંદુઓમાંથી પસાર થાય છે. આ સ્થિતિ આના જેવી લાગે છે:

જ્યાં n એ અભ્યાસ હેઠળની વસ્તીનું પ્રમાણ છે (નિરીક્ષણ એકમોની સંખ્યા).

ચોખા. 5.3. ઓછામાં ઓછા ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વલણ બનાવવું

સ્થિરાંકોના મૂલ્યો b અને a અથવા ચલ X ના ગુણાંક અને સમીકરણના મુક્ત પદ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

કોષ્ટકમાં 5.1 ડેટામાંથી રેખીય વલણની ગણતરીનું ઉદાહરણ બતાવે છે.

કોષ્ટક 5.1. રેખીય વલણ ગણતરી

ઓસિલેશનને સરળ બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ.

જો પડોશી મૂલ્યો વચ્ચે મજબૂત વિસંગતતાઓ હોય, તો રીગ્રેસન પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલ વલણનું વિશ્લેષણ કરવું મુશ્કેલ છે. આગાહી કરતી વખતે, જ્યારે કોઈ શ્રેણીમાં પડોશી મૂલ્યોમાં વધઘટના મોટા ફેલાવા સાથેનો ડેટા હોય, ત્યારે તમારે ચોક્કસ નિયમો અનુસાર તેમને સરળ બનાવવું જોઈએ, અને પછી આગાહીમાં અર્થ શોધવો જોઈએ. સ્મૂથિંગ ઓસિલેશનની પદ્ધતિ માટે
સમાવેશ થાય છે: મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિ (એન-પોઇન્ટ એવરેજ ગણવામાં આવે છે), ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પદ્ધતિ. ચાલો તેમને જોઈએ.

મૂવિંગ એવરેજ મેથડ (MAM).

MSS તમને વલણને પ્રકાશિત કરવા માટે શ્રેણીબદ્ધ મૂલ્યોને સરળ બનાવવા માટે પરવાનગી આપે છે. આ પદ્ધતિ મૂલ્યોની નિશ્ચિત સંખ્યાની સરેરાશ (સામાન્ય રીતે અંકગણિત સરેરાશ) લે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ત્રણ-બિંદુની મૂવિંગ એવરેજ. જાન્યુઆરી, ફેબ્રુઆરી અને માર્ચ (10 + 12 + 13) માટેના ડેટામાંથી સંકલિત પ્રથમ ત્રણ મૂલ્યો લેવામાં આવે છે અને સરેરાશ 35: 3 = 11.67 નક્કી કરવામાં આવે છે.

11.67 નું પરિણામી મૂલ્ય શ્રેણીની મધ્યમાં મૂકવામાં આવે છે, એટલે કે. ફેબ્રુઆરી લાઇન અનુસાર. પછી આપણે "એક મહિનાથી સ્લાઇડ" કરીએ છીએ અને ફેબ્રુઆરીથી એપ્રિલ (12 + 13 + 16) થી શરૂ થતી બીજી ત્રણ સંખ્યાઓ લઈએ છીએ, અને સરેરાશ 41: 3 = 13.67 ની બરાબર ગણતરી કરીએ છીએ, અને આ રીતે આપણે ડેટા પર પ્રક્રિયા કરીએ છીએ. સમગ્ર શ્રેણી. પરિણામી સરેરાશ વલણ અને તેના અંદાજના નિર્માણ માટે ડેટાની નવી શ્રેણીનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. મૂવિંગ એવરેજની ગણતરી કરવા માટે જેટલા વધુ પોઈન્ટ લેવામાં આવે છે, તેટલી જ મજબૂતી વધઘટનું સ્મૂથિંગ થાય છે. વલણ નિર્માણનું MBA નું ઉદાહરણ કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યું છે. 5.2 અને ફિગમાં. 5.4.

કોષ્ટક 5.2 ત્રણ-બિંદુ મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને વલણની ગણતરી

મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિ દ્વારા મેળવેલા મૂળ ડેટા અને ડેટામાં વધઘટની પ્રકૃતિ ફિગમાં દર્શાવવામાં આવી છે. 5.4. પ્રારંભિક મૂલ્યોની શ્રેણી (શ્રેણી 3) અને ત્રણ-બિંદુ મૂવિંગ એવરેજ (શ્રેણી 4) ના આલેખની સરખામણીથી, તે સ્પષ્ટ છે કે વધઘટને સરળ બનાવી શકાય છે. કેવી રીતે મોટી સંખ્યામૂવિંગ એવરેજની ગણતરીની શ્રેણીમાં પોઈન્ટ સામેલ થશે, વલણ વધુ સ્પષ્ટ રીતે ઉભરી આવશે (પંક્તિ 1). પરંતુ શ્રેણીને વિસ્તૃત કરવાની પ્રક્રિયા અંતિમ મૂલ્યોની સંખ્યામાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે અને આ આગાહીની ચોકસાઈ ઘટાડે છે.

પ્રારંભિક ડેટાના મૂલ્યો અથવા મૂવિંગ એવરેજના આધારે રીગ્રેસન લાઇનના અંદાજોના આધારે આગાહી કરવી જોઈએ.

ચોખા. 5.4. વર્ષના મહિના દ્વારા વેચાણની માત્રામાં ફેરફારની પ્રકૃતિ:
પ્રારંભિક ડેટા (પંક્તિ 3); મૂવિંગ એવરેજ (પંક્તિ 4); ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ(પંક્તિ 2); રીગ્રેસન પદ્ધતિ દ્વારા બાંધવામાં આવેલ વલણ (પંક્તિ 1)

ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પદ્ધતિ.

શ્રેણી મૂલ્યોનો ફેલાવો ઘટાડવાનો વૈકલ્પિક અભિગમ ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનો છે. આ પદ્ધતિને "ઘાતાંકીય સ્મૂથિંગ" કહેવામાં આવે છે કારણ કે ભૂતકાળમાં જતા પીરિયડ્સનું દરેક મૂલ્ય એક પરિબળ (1 – α) દ્વારા ઘટાડવામાં આવે છે.

દરેક સુંવાળી મૂલ્યની ગણતરી ફોર્મના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે:

St =aYt +(1−α)St−1,

જ્યાં સેન્ટ વર્તમાન સુંવાળી કિંમત છે;
Yt - સમય શ્રેણીનું વર્તમાન મૂલ્ય; St – 1 – અગાઉનું સુંવાળું મૂલ્ય; α એ સ્મૂથિંગ કોન્સ્ટન્ટ છે, 0 ≤ α ≤ 1.

કેવી રીતે ઓછું મૂલ્યસતત α, આપેલ સમય શ્રેણીમાં વલણમાં ફેરફાર માટે તે ઓછું સંવેદનશીલ હોય છે.

પ્રકરણ 2 સમય શ્રેણીના વલણની વિભાવનાની ચર્ચા કરે છે, એટલે કે. અભ્યાસ કરવામાં આવતા સૂચકના વિકાસની ગતિશીલતામાં વલણો. આ પ્રકરણનો હેતુ આવા વલણોના મુખ્ય પ્રકારો, તેમના ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લેવાનો છે, જે ટ્રેન્ડ લાઇન સમીકરણ દ્વારા વધુ કે ઓછા પ્રમાણમાં પૂર્ણતા સાથે પ્રતિબિંબિત થાય છે. ચાલો આપણે નિર્દેશ કરીએ કે, મિકેનિક્સની સરળ પ્રણાલીઓથી વિપરીત, જટિલ સામાજિક, આર્થિક, જૈવિક અને તકનીકી પ્રણાલીઓના સૂચકાંકોમાં ફેરફારોના વલણો માત્ર એક અથવા બીજા સમીકરણ, વલણ રેખા દ્વારા અમુક અંદાજ સાથે પ્રતિબિંબિત થાય છે.

આ પ્રકરણ ગણિતમાં જાણીતી તમામ રેખાઓ અને તેમના સમીકરણોને ધ્યાનમાં લેતું નથી, પરંતુ માત્ર તેમના પ્રમાણમાં સરળ સ્વરૂપોનો સમૂહ છે, જેને અમે વ્યવહારમાં જોવા મળેલા મોટા ભાગના સમય શ્રેણીના વલણોને પ્રદર્શિત કરવા અને તેનું વિશ્લેષણ કરવા માટે પૂરતા ગણીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, હંમેશા વિવિધ પ્રકારની રેખાઓમાંથી એક સરળ લાઇન પસંદ કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે જે વલણને એકદમ નજીકથી વ્યક્ત કરે છે. આ "સરળતાનો સિદ્ધાંત" એ હકીકત દ્વારા વાજબી છે કે ટ્રેન્ડ લાઇન સમીકરણ જેટલું જટિલ છે, તેમાં પરિમાણોની સંખ્યા જેટલી વધારે છે, આ પરિમાણોનો વિશ્વાસપાત્ર અંદાજ આપવો, આશરે સમાન ડિગ્રી સાથે, તે વધુ મુશ્કેલ છે. શ્રેણીના સ્તરોની મર્યાદિત સંખ્યાના આધારે અને આ પરિમાણોનો અંદાજ કાઢવામાં જેટલી મોટી ભૂલ, અનુમાનિત સ્તરોમાં ભૂલો.

4.1. સ્ટ્રેટ-લાઇન વલણ અને તેના ગુણધર્મો

સૌથી વધુ સરળ પ્રકારવલણ રેખા એ રેખીય (એટલે ​​​​કે પ્રથમ ડિગ્રી) વલણ સમીકરણ દ્વારા વર્ણવેલ સીધી રેખા છે:

જ્યાં - સંરેખિત, એટલે કે વધઘટથી રહિત, નંબર i સાથે વર્ષો સુધી વલણ સ્તર;

એ- સમીકરણની મુક્ત મુદત, મૂળ તરીકે લેવામાં આવેલ ક્ષણ અથવા સમયગાળા માટે આંકડાકીય રીતે સરેરાશ સ્તરીય સ્તરની સમાન, એટલે કે. માટે

t = 0;

b - સમય બદલાતા એકમ દીઠ શ્રેણી સ્તરોમાં સરેરાશ ફેરફાર;

ti - ક્ષણોની સંખ્યા અથવા સમયગાળાની સંખ્યા કે જેની સાથે સમય શ્રેણીના સ્તરો સંબંધિત છે (વર્ષ, ત્રિમાસિક, મહિનો, તારીખ).

સમયના એકમ દીઠ શ્રેણી સ્તરોમાં સરેરાશ ફેરફાર એ રેખીય વલણનું મુખ્ય પરિમાણ અને સ્થિરતા છે. તેથી, આ પ્રકારનું વલણ સ્તરોમાં લગભગ સમાન ફેરફારો માટે વલણ પ્રદર્શિત કરવા માટે યોગ્ય છે: સમાન સમયગાળામાં સમાન સરેરાશ સંપૂર્ણ વધારો અથવા સ્તરોમાં સંપૂર્ણ ઘટાડો. પ્રેક્ટિસ બતાવે છે કે આ પ્રકારની ગતિશીલતા ઘણી વાર થાય છે. શ્રેણીના સ્તરોમાં લગભગ સમાન સંપૂર્ણ ફેરફારોનું કારણ નીચે મુજબ છે: ઘણી ઘટનાઓ, જેમ કે કૃષિ ઉપજ, પ્રદેશની વસ્તી, શહેર, વસ્તીની આવકની માત્રા, કોઈપણ ખાદ્ય ઉત્પાદનનો સરેરાશ વપરાશ, વગેરે, મોટી સંખ્યામાં વિવિધ પરિબળો પર આધાર રાખે છે. તેમાંના કેટલાક અભ્યાસ હેઠળની ઘટનાની ઝડપી વૃદ્ધિને પ્રભાવિત કરે છે, અન્ય - ધીમી વૃદ્ધિ, અન્ય - સ્તરોમાં ઘટાડો, વગેરે. પરિબળોના બહુ-દિશા અને ભિન્ન ત્વરિત (ધીમી) દળોનો પ્રભાવ પરસ્પર સરેરાશ, આંશિક રીતે રદ કરવામાં આવે છે અને તેમના પ્રભાવના પરિણામે એક સમાન વલણની નજીકનું પાત્ર પ્રાપ્ત થાય છે. તેથી, ગતિશીલતા (અથવા સ્થિરતા) નો સમાન વલણ એ અભ્યાસ કરવામાં આવતા સૂચકમાં પરિવર્તન પર મોટી સંખ્યામાં પરિબળોના પ્રભાવને ઉમેરવાનું પરિણામ છે.

લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં બંને અક્ષો પર રેખીય (અંકગણિત) સ્કેલ સાથેની લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં એક સીધી રેખા છે. રેખીય વલણનું ઉદાહરણ ફિગમાં આપવામાં આવ્યું છે. 4.1.

જુદા જુદા વર્ષોમાં સ્તરોમાં સંપૂર્ણ ફેરફારો બરાબર એકસરખા નહોતા, પરંતુ એકંદરે વલણમાં રોજગારી મેળવતા લોકોની સંખ્યામાં ઘટાડો થયો હતો. રાષ્ટ્રીય અર્થતંત્રરેખીય વલણ દ્વારા ખૂબ જ સારી રીતે પ્રતિબિંબિત થાય છે. તેના પરિમાણોની ગણતરી પ્રકરણમાં કરવામાં આવે છે. 5 (કોષ્ટક 5.3).

સીધી રેખાના સ્વરૂપમાં વલણના મુખ્ય ગુણધર્મો નીચે મુજબ છે:

સમાન સમયગાળામાં સમાન ફેરફારો;

જો સરેરાશ સંપૂર્ણ વધારો હકારાત્મક મૂલ્ય છે, તો પછી સંબંધિત વધારો અથવા વૃદ્ધિ દર ધીમે ધીમે ઘટે છે;

જો સરેરાશ નિરપેક્ષ ફેરફાર નકારાત્મક હોય, તો સંબંધિત ફેરફારો અથવા ઘટાડાનો દર ધીમે ધીમે તે મુજબ વધે છે સંપૂર્ણ મૂલ્યપાછલા સ્તરે ઘટાડો;

જો વલણ સ્તરોમાં ઘટાડા તરફ છે, અને જે મૂલ્યનો અભ્યાસ કરવામાં આવી રહ્યો છે તે વ્યાખ્યા દ્વારા હકારાત્મક છે, તો સરેરાશ ફેરફાર bસરેરાશ કરતાં વધુ ન હોઈ શકે એ;

રેખીય વલણ સાથે, પ્રવેગક, એટલે કે. ક્રમિક સમયગાળામાં સંપૂર્ણ ફેરફારોમાં તફાવત શૂન્ય બરાબર છે.

રેખીય વલણના ગુણધર્મો કોષ્ટકમાં દર્શાવવામાં આવ્યા છે. 4.1. વલણ સમીકરણ: = 100 +20 *ti.

ઘટતા સ્તર તરફના વલણની હાજરીમાં ડાયનેમિક્સ સૂચકાંકો કોષ્ટકમાં આપવામાં આવ્યા છે. 4.2.

કોષ્ટક 4.1

વધતા સ્તરો તરફ રેખીય વલણ સાથે ડાયનેમિક્સ સૂચકાંકો = 100 +20 *ti.

પીરિયડ નંબર ti			દરો (સાંકળ), %	પ્રવેગક

કોષ્ટક 4.2

ઘટતા સ્તરના રેખીય વલણ સાથે ડાયનેમિક્સ સૂચકાંકો: = 200 -20 *ti.

પીરિયડ નંબર ti		પાછલા સમયગાળાથી સંપૂર્ણ ફેરફાર	અગાઉના સમયગાળાની સરખામણીમાં દર, %	પ્રવેગક

સૂત્ર (9.29) મુજબ, રેખીય વલણના પરિમાણો સમાન છે a = 1894/11 = 172.2 c/ha; b= 486/110 = 4.418 c/ha. રેખીય વલણ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે:

y = 172,2 + 4,418t, ક્યાં t = 1987 માં 0 આનો અર્થ એ છે કે સરેરાશ વાસ્તવિક અને સમાન સ્તર જે સમયગાળાના મધ્યમાં ઉલ્લેખિત છે, એટલે કે. 1991 સુધીમાં, દર વર્ષે 172 c/ha ની બરાબર છે, જે દર વર્ષે 4.418 c/ha છે

(9.23) અનુસાર પેરાબોલિક વલણના પરિમાણો સમાન છે b = 4,418; a = 177,75; c =-0.5571. પેરાબોલિક વલણ સમીકરણનું સ્વરૂપ છે у̃ = 177,75 + 4,418t - 0.5571ટી 2 ; t 1991માં = 0. આનો અર્થ એ છે કે ઉપજમાં ચોક્કસ વધારો દર વર્ષે સરેરાશ 2·0.56 c/ha દ્વારા ધીમો પડી જાય છે. સંપૂર્ણ વૃદ્ધિ પોતે હવે પેરાબોલિક વલણનો સ્થિર નથી, પરંતુ તે સમયગાળા માટે સરેરાશ મૂલ્ય છે. પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે લેવામાં આવેલ વર્ષમાં એટલે કે. 1991, વલણ 77.75 c/ha ના ઓર્ડિનેટ સાથે બિંદુમાંથી પસાર થાય છે; પેરાબોલિક વલણનો મફત શબ્દ એ સમયગાળા માટે સરેરાશ સ્તર નથી. ઘાતાંકીય વલણના પરિમાણોની ગણતરી સૂત્રો (9.32) અને (9.33) ln નો ઉપયોગ કરીને કરવામાં આવે છે. એ= 56.5658/11 = 5.1423; પોટેન્શિએટિંગ, અમને મળે છે એ= 171.1; ln k= 2.853:110 = 0.025936; પોટેન્શિએટિંગ, અમને મળે છે k = 1,02628.

ઘાતાંકીય વલણ સમીકરણ છે: y = 171.1 1.02628 t.

આનો અર્થ એ થયો કે આ સમયગાળા માટે સરેરાશ વાર્ષિક ઉપજ દર 102.63% હતો. બિંદુ K ને પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે લેવામાં આવે છે, ત્યારે વલણ ઓર્ડિનેટ 171.1 c/ha સાથે બિંદુને પસાર કરે છે.

વલણ સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરેલ સ્તરો કોષ્ટકની છેલ્લી ત્રણ કૉલમમાં લખવામાં આવે છે. 9.5. આ ડેટા પરથી જોઈ શકાય છે. ત્રણેય પ્રકારના વલણો માટેના સ્તરોના ગણતરી કરેલ મૂલ્યો બહુ અલગ નથી, કારણ કે પેરાબોલાના પ્રવેગક અને ઘાતાંકીય વૃદ્ધિ દર બંને નાના છે. પેરાબોલામાં નોંધપાત્ર તફાવત છે - સ્તરોની વૃદ્ધિ 1995 થી બંધ થઈ ગઈ છે, જ્યારે રેખીય વલણ સાથે સ્તરો વધતા રહે છે, અને ઘાતાંકીય વલણ સાથે તેમનો દર ઝડપી બને છે. તેથી, ભવિષ્ય માટેની આગાહીઓ માટે, આ ત્રણ વલણો સમાન નથી: જ્યારે ભાવિ વર્ષોમાં પેરાબોલાને એક્સ્ટ્રાપોલેટ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સ્તરો સીધી રેખા અને ઘાતાંકીયથી ઝડપથી અલગ થઈ જશે, જેમ કે કોષ્ટકમાંથી જોઈ શકાય છે. 9.6. આ કોષ્ટક સમાન ત્રણ વલણો માટે સ્ટેટગ્રાફિક્સ પ્રોગ્રામનો ઉપયોગ કરીને પીસી પરના ઉકેલની પ્રિન્ટઆઉટ બતાવે છે. તેમની મફત શરતો અને ઉપર આપેલ વચ્ચેનો તફાવત એ હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યો છે કે પ્રોગ્રામ મધ્યથી નહીં, પરંતુ શરૂઆતથી વર્ષોની સંખ્યા આપે છે, જેથી વલણોની મફત શરતો 1986 નો સંદર્ભ આપે છે, જેના માટે t = 0. ધ પ્રિન્ટઆઉટ પર ઘાતાંકીય સમીકરણ લઘુગણક સ્વરૂપમાં બાકી છે. આગાહી 5 વર્ષ અગાઉથી કરવામાં આવે છે, એટલે કે. 2001 સુધી. જ્યારે પેરાબોલાના સમીકરણમાં કોઓર્ડિનેટ્સ (સમય સંદર્ભ) ની ઉત્પત્તિ બદલાય છે, ત્યારે સરેરાશ સંપૂર્ણ વધારો, પરિમાણ bકારણ કે નકારાત્મક પ્રવેગકના પરિણામે વૃદ્ધિ દર વખતે ઘટે છે, અને તેની મહત્તમ અવધિની શરૂઆતમાં છે. પેરાબોલાનો એકમાત્ર સ્થિરતા પ્રવેગક છે.

"ડેટા" લાઇન મૂળ શ્રેણીના સ્તરો બતાવે છે; "અનુમાનનો સારાંશ" નો અર્થ છે આગાહી માટેનો સારાંશ ડેટા. નીચેની લીટીઓમાં સીધી રેખા, પેરાબોલાસ, ઘાતાંકના સમીકરણો છે - લઘુગણક સ્વરૂપમાં. ME કૉલમનો અર્થ મૂળ શ્રેણીના સ્તરો અને વલણના સ્તરો (સંરેખિત) વચ્ચેનો સરેરાશ તફાવત છે. સીધી રેખા અને પેરાબોલા માટે, આ વિસંગતતા હંમેશા શૂન્ય હોય છે. ઘાતાંક સ્તરો મૂળ શ્રેણીના સ્તરો કરતાં સરેરાશ 0.48852 નીચા છે. જો સાચું વલણ ઘાતાંકીય હોય તો ચોક્કસ મેચ શક્ય છે; વી આ કિસ્સામાંત્યાં કોઈ સંયોગ નથી, પરંતુ તફાવત નાનો છે. MAE ગ્રાફ એ ભિન્નતા છે s 2 -વલણની તુલનામાં વાસ્તવિક સ્તરોની પરિવર્તનશીલતાનું માપ, ફકરા 9.7 માં ચર્ચા કર્યા મુજબ. કૉલમ MAE - ચોક્કસ મૂલ્યમાં વલણમાંથી સ્તરોનું સરેરાશ રેખીય વિચલન (ફકરો 5.8 જુઓ); કૉલમ MARE - ટકાવારી તરીકે સંબંધિત રેખીય વિચલન. અહીં તેઓ પસંદ કરેલ વલણ પ્રકારની યોગ્યતાના સૂચક તરીકે રજૂ કરવામાં આવ્યા છે. પેરાબોલામાં એક નાનું વિક્ષેપ અને વિચલન મોડ્યુલસ છે: 1986 - 1996 સમયગાળા માટે. વાસ્તવિક સ્તરોની નજીક. પરંતુ વલણના પ્રકારની પસંદગી ફક્ત આ માપદંડ સુધી ઘટાડી શકાતી નથી. વાસ્તવમાં, વૃદ્ધિમાં મંદી એ મોટા નકારાત્મક વિચલનનું પરિણામ છે, એટલે કે, 1996માં પાકની નિષ્ફળતા.

કોષ્ટકનો બીજો ભાગ વર્ષોથી ત્રણ પ્રકારના વલણો માટે ઉપજ સ્તરની આગાહી છે; t = 12, 13, 14, 15 અને 16 મૂળમાંથી (1986). 16મા વર્ષ સુધીના ઘાતાંકીય માટે અનુમાનિત સ્તરો સીધી રેખા કરતા વધારે નથી. પેરાબોલિક વલણનું સ્તર ઘટી રહ્યું છે, વધુને વધુ અન્ય વલણોથી અલગ થઈ રહ્યું છે.

કોષ્ટકમાં જોઈ શકાય છે. 9.4, ટ્રેન્ડ પેરામીટર્સની ગણતરી કરતી વખતે, મૂળ શ્રેણીના સ્તરો વિવિધ વજન - મૂલ્યો સાથે સમાવવામાં આવે છે ટીપીઅને તેમના ચોરસ. તેથી, વલણના પરિમાણો પર સ્તરની વધઘટનો પ્રભાવ કયા વર્ષના નંબર પર લણણીનું વર્ષ છે અથવા દુર્બળ વર્ષ છે તેના પર નિર્ભર છે. જો શૂન્ય સંખ્યા સાથે એક વર્ષમાં તીવ્ર વિચલન થાય છે ( t i = 0), પછી તે વલણના પરિમાણો પર કોઈ અસર કરશે નહીં, પરંતુ જો તે શ્રેણીની શરૂઆત અને અંતને હિટ કરે છે, તો તેની મજબૂત અસર પડશે. પરિણામે, એકલ વિશ્લેષણાત્મક સંરેખણ વલણના પરિમાણોને વધઘટના પ્રભાવથી સંપૂર્ણપણે મુક્ત કરતું નથી, અને મજબૂત વધઘટ સાથે તે મોટા પ્રમાણમાં વિકૃત થઈ શકે છે, જે અમારા ઉદાહરણમાં પેરાબોલા સાથે થયું છે. વલણના પરિમાણો પરના વધઘટના વિકૃત પ્રભાવને વધુ દૂર કરવા માટે, વ્યક્તિએ અરજી કરવી જોઈએ બહુવિધ સ્લાઇડિંગ ગોઠવણી પદ્ધતિ.

આ ટેકનિક એ હકીકતમાં સમાવે છે કે સમગ્ર શ્રેણી માટે વલણ પરિમાણોની ગણતરી તરત જ કરવામાં આવતી નથી, પરંતુ સ્લાઇડિંગ પદ્ધતિ, પ્રથમ માટે પ્રથમ ટીસમય અથવા ક્ષણોનો સમયગાળો, પછી 2જી થી સમયગાળા માટે t + 1, 3જી થી (t + 2) સ્તર, વગેરે. જો શ્રેણીના પ્રારંભિક સ્તરોની સંખ્યા બરાબર છે p,અને પરિમાણોની ગણતરી માટે દરેક સ્લાઇડિંગ આધારની લંબાઈ બરાબર છે ટી,પછી આવા મૂવિંગ બેઝ ટી અથવા વ્યક્તિગત પેરામીટર મૂલ્યોની સંખ્યા જે તેમાંથી નક્કી કરવામાં આવશે તે હશે:

એલ = n + 1 - ટી.

સ્લાઇડિંગ બહુવિધ સંરેખણ તકનીકનો ઉપયોગ, ઉપરની ગણતરીઓમાંથી જોઈ શકાય છે, ફક્ત શ્રેણીમાં પૂરતી મોટી સંખ્યામાં સ્તરો સાથે જ શક્ય છે, સામાન્ય રીતે 15 કે તેથી વધુ. ચાલો ઉદાહરણ તરીકે કોષ્ટક 1 માં ડેટાનો ઉપયોગ કરીને આ તકનીકને ધ્યાનમાં લઈએ. 9.4 - બિન-ઇંધણ માલ માટે કિંમતોની ગતિશીલતા વિકાસશીલ દેશો, જે ફરીથી વાચકને નાનામાં ભાગ લેવાની તક આપે છે વૈજ્ઞાનિક સંશોધન. સમાન ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીને, અમે વિભાગ 9.10 માં આગાહી કરવાની તકનીક ચાલુ રાખીશું.

જો આપણે 11-વર્ષના સમયગાળામાં (11 સ્તરે) અમારી શ્રેણીમાં પરિમાણોની ગણતરી કરીએ, તો t= 17 + 1 - 11 = 7. બહુવિધ સ્લાઇડિંગ સંરેખણનો અર્થ એ છે કે પરિમાણોની ગણતરી માટેના આધારની ક્રમિક પાળી સાથે, છેડે અને મધ્યમાં હશે. વિવિધ સ્તરોવિવિધ ચિહ્ન અને તીવ્રતાના વલણમાંથી વિચલનો સાથે. તેથી, આધારમાં કેટલીક પાળીઓ સાથે, પરિમાણોને વધુ પડતો અંદાજવામાં આવશે, અન્ય સાથે, તેઓને ઓછો અંદાજવામાં આવશે, અને ગણતરીના આધારની તમામ પાળીઓ પર પેરામીટર મૂલ્યોની અનુગામી સરેરાશ સાથે, વિકૃતિઓનું વધુ પરસ્પર રદ થશે. સ્તરોમાં વધઘટ દ્વારા વલણના પરિમાણોમાં.

બહુવિધ સ્લાઇડિંગ સંરેખણ તમને વલણ પરિમાણોનો વધુ સચોટ અને વિશ્વસનીય અંદાજ મેળવવા માટે જ નહીં, પણ વલણના સમીકરણના પ્રકારની યોગ્ય પસંદગીને નિયંત્રિત કરવાની પણ મંજૂરી આપે છે. જો તે તારણ આપે છે કે અગ્રણી વલણ પરિમાણ, જ્યારે મૂવિંગ બેઝનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે ત્યારે તેનું સ્થિરાંક, અવ્યવસ્થિત રીતે વધઘટ કરતું નથી, પરંતુ વ્યવસ્થિત રીતે તેના મૂલ્યને નોંધપાત્ર રીતે બદલે છે, તો તેનો અર્થ એ કે વલણનો પ્રકાર ખોટી રીતે પસંદ કરવામાં આવ્યો હતો, આ પરિમાણ સ્થિર નથી. .

મલ્ટિપલ ઇક્વલાઇઝેશન દરમિયાન ફ્રી ટર્મની વાત કરીએ તો, ત્યાં કોઈ જરૂર નથી અને વધુમાં, તમામ બેઝ શિફ્ટની સરેરાશ તરીકે તેના મૂલ્યની ગણતરી કરવી તે ફક્ત ખોટું છે, કારણ કે આ પદ્ધતિ સાથે, મૂળ શ્રેણીના વ્યક્તિગત સ્તરો ગણતરીમાં સમાવવામાં આવશે. વિવિધ વજન સાથેની સરેરાશની, અને સમાન સ્તરોનો સરવાળો મૂળ શ્રેણીની શરતોના સરવાળા સાથે અલગ થઈ જશે. વલણની મુક્ત મુદત એ સમયગાળા માટેના સ્તરનું સરેરાશ મૂલ્ય છે, જો કે તે સમયગાળાની મધ્યથી ગણતરી કરવામાં આવે. જ્યારે શરૂઆતથી ગણતરી, જો પ્રથમ સ્તર t i= 1, મફત શબ્દ સમાન હશે: a 0 = у̅ - b((એન-1)/2). વલણના પરિમાણોની ગણતરી કરવા માટે મૂવિંગ બેઝની લંબાઈને ઓછામાં ઓછા 9-11 સ્તરો પસંદ કરવા માટે ભલામણ કરવામાં આવે છે જેથી સ્તરોમાં વધઘટને પૂરતા પ્રમાણમાં ભીના કરી શકાય. જો પ્રારંભિક પંક્તિ ખૂબ લાંબી હોય, તો આધાર તેની લંબાઈના 0.7 - 0.8 સુધી હોઈ શકે છે. ટ્રેન્ડ પેરામીટર્સ પર લાંબા-સામયિક (ચક્રીય) વધઘટના પ્રભાવને દૂર કરવા માટે, બેઝ શિફ્ટની સંખ્યા ઓસિલેશન સાયકલની લંબાઈની બરાબર અથવા બહુવિધ હોવી જોઈએ. પછી પાયાની શરૂઆત અને અંત ચક્રના તમામ તબક્કાઓ ક્રમિક રીતે "રન થ્રૂ" કરશે અને જ્યારે તમામ પાળી પર પેરામીટરની સરેરાશ નક્કી કરવામાં આવશે, ત્યારે ચક્રીય ઓસિલેશન્સથી તેની વિકૃતિઓ એકબીજાને રદ કરશે. બીજી રીત એ છે કે મૂવિંગ બેઝની લંબાઈને ચક્રની લંબાઈ જેટલી લેવી, જેથી બેઝની શરૂઆત અને બેઝનો અંત હંમેશા ઓસિલેશન ચક્રના સમાન તબક્કામાં આવે.

ત્યારથી ટેબલ મુજબ. 9.4, તે પહેલેથી જ સ્થાપિત કરવામાં આવ્યું છે કે વલણ એક રેખીય સ્વરૂપ ધરાવે છે, અમે સરેરાશ વાર્ષિક સંપૂર્ણ વધારાની ગણતરી કરીએ છીએ, એટલે કે પરિમાણ b 11-વર્ષના પાયા પર સ્લાઇડિંગ રીતે રેખીય વલણ સમીકરણો (કોષ્ટક 9.7 જુઓ). તેમાં ફકરા 9.7 માં પરિવર્તનશીલતાના અનુગામી અભ્યાસ માટે જરૂરી ડેટાની ગણતરી પણ શામેલ છે. ચાલો સ્લાઇડિંગ પાયાનો ઉપયોગ કરીને બહુવિધ ગોઠવણીની તકનીક પર નજીકથી નજર કરીએ. ચાલો પરિમાણની ગણતરી કરીએ bબધા ડેટાબેસેસ માટે:

સૈદ્ધાંતિક સ્તરોના અનુમાનિત કાર્ય તરીકે સીધી રેખાને લઈને, અમે પછીના પરિમાણો નક્કી કરીએ છીએ:

આ સિસ્ટમને સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલી શકાય છે:

તેથી ઇચ્છિત વલણ સમીકરણ: . પરિણામી સમીકરણમાં મૂલ્યો 1, 2, 3, 4, 5 ને સ્થાનાંતરિત કરીને, અમે શ્રેણીના સૈદ્ધાંતિક સ્તરો નક્કી કરીએ છીએ (કોષ્ટક 4.3 ની ઉપાંતીય કૉલમ જુઓ). પ્રયોગમૂલક અને સૈદ્ધાંતિક સ્તરોના મૂલ્યોની તુલના કરીને, આપણે જોઈએ છીએ કે તેઓ નજીક છે, એટલે કે. આપણે કહી શકીએ કે સમીકરણ ખૂબ જ સફળતાપૂર્વક જોવા મળે છે તે એક રેખીય કાર્ય તરીકે ચોક્કસ રીતે સ્તરોમાં ફેરફારોની મુખ્ય વલણને દર્શાવે છે.

જો શ્રેણીની મધ્યમાંથી સમયની ગણતરી કરવામાં આવે તો સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમ સરળ બને છે. ઉદાહરણ તરીકે, જ્યારે સ્તરોની વિચિત્ર સંખ્યામધ્યબિંદુ (વર્ષ, મહિનો) શૂન્ય તરીકે લેવામાં આવે છે. પછી અગાઉના સમયગાળાને અનુક્રમે -1, -2, -3, વગેરે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે, અને અનુક્રમે સરેરાશ - +1, +2, +3, વગેરેને અનુસરે છે. સ્તરોની સમાન સંખ્યા સાથે, સમયની બે મધ્ય ક્ષણો (અવધિ) −1 અને +1, અને અનુક્રમે તમામ અનુગામી અને પહેલાની ક્ષણો, બે અંતરાલે નિયુક્ત કરવામાં આવે છે: વગેરે

સમયની ગણતરીના આ ક્રમ સાથે (પંક્તિની મધ્યમાંથી), સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમ નીચેના બે સમીકરણોમાં સરળ બને છે, જેમાંથી દરેક સ્વતંત્ર રીતે ઉકેલાય છે:

મહત્વપૂર્ણસમય શ્રેણીનું મોડેલ બનાવતી વખતે, મોસમી અને ચક્રીય વધઘટને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. મોડેલમાં મોસમી અને ચક્રીય વધઘટને ધ્યાનમાં લેવાનો સૌથી સરળ અભિગમ એ છે કે મોસમી/ચક્રીય ઘટકના મૂલ્યોની ગણતરી કરવી અને ઉમેરણ અને ગુણાકાર સમય શ્રેણીનું મોડેલ બનાવવું.

સામાન્ય દૃશ્યએડિટિવ મોડલ નીચે મુજબ છે: Y=T+S+E. આ મોડેલ ધારે છે કે શ્રેણીના દરેક સમયના સ્તરને વલણના સરવાળા તરીકે રજૂ કરી શકાય છે ટી, મોસમી એસઅને રેન્ડમ ઘટક. ગુણાકાર મોડેલનો સામાન્ય દેખાવ આના જેવો દેખાય છે: Y=T∙S∙E.

બે મોડલમાંથી એકની પસંદગી મોસમી વધઘટની રચનાના વિશ્લેષણ પર આધારિત છે. જો ઓસિલેશનનું કંપનવિસ્તાર લગભગ સ્થિર હોય, તો એક એડિટિવ ટાઈમ સિરીઝ મોડલ બનાવવામાં આવે છે જેમાં મોસમી ઘટકના મૂલ્યો વિવિધ ચક્રો માટે સતત હોવાનું માનવામાં આવે છે. જો મોસમી વધઘટનું કંપનવિસ્તાર વધે અથવા ઘટે, તો ગુણાકાર સમય શ્રેણીનું મોડેલ બનાવવામાં આવે છે, જે શ્રેણીના સ્તરોને મોસમી ઘટકના મૂલ્યો પર નિર્ભર બનાવે છે.

ઉમેરણ અને ગુણાકારના મોડલનું નિર્માણ ગણતરીમાં આવે છે ટી, એસ, ઇદરેક પંક્તિ સ્તર માટે. મોડેલ બનાવવાના તબક્કામાં નીચેના પગલાં શામેલ છે:

1. મૂવિંગ એવરેજ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને મૂળ શ્રેણીનું સંરેખણ

2. મોસમી ઘટક મૂલ્યોની ગણતરી એસ.

3. શ્રેણીના પ્રારંભિક સ્તરોમાંથી મોસમી ઘટકને દૂર કરવું અને ઉમેરણમાં સંરેખિત ડેટા મેળવવો ( T+E)અથવા ગુણાકાર ( T∙E)મોડેલો

4. વિશ્લેષણાત્મક સ્તરીકરણ ( T+E)અથવા ( T∙E)અને મૂલ્યોની ગણતરી ટીપરિણામી વલણ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને.

5. મોડેલમાંથી મેળવેલ મૂલ્યોની ગણતરી ( T+E)અથવા ( T∙E).

6. સંપૂર્ણ અને/અથવા ગણતરી સંબંધિત ભૂલો. જો પ્રાપ્ત મૂલ્યોમાં સ્વતઃસંબંધ નથી, તો તેનો ઉપયોગ શ્રેણીના મૂળ સ્તરોને બદલવા માટે અને ત્યારબાદ ભૂલોની સમય શ્રેણીનો ઉપયોગ કરવા માટે થઈ શકે છે. ઇમૂળ શ્રેણી અને અન્ય સમય શ્રેણી વચ્ચેના સંબંધનું વિશ્લેષણ કરવા માટે.

ચાલો સંબંધોના પૃથ્થકરણ માટેની અન્ય પદ્ધતિઓનો વિચાર કરીએ, એમ માનીને કે અભ્યાસ કરવામાં આવતી સમય શ્રેણીમાં સામયિક વધઘટ નથી. ચાલો ધારીએ કે આપણે શ્રેણી વચ્ચેની અવલંબનનો અભ્યાસ કરી રહ્યા છીએ એક્સઅને ખાતે. આ અવલંબનને માત્રાત્મક રીતે દર્શાવવા માટે, અમે ઉપયોગ કરીએ છીએ રેખીય ગુણાંકસહસંબંધ જો પ્રશ્નમાં સમય શ્રેણી વલણમાં હોય, તો ચોક્કસ મૂલ્ય સહસંબંધ ગુણાંક ઊંચો હશે. જો કે, આનો અર્થ એ નથી એક્સકારણ ખાતે. આ કિસ્સામાં ઉચ્ચ સહસંબંધ ગુણાંક એ હકીકતનું પરિણામ છે કે એક્સઅને ખાતેસમય પર આધાર રાખે છે, અથવા વલણ ધરાવે છે. આ કિસ્સામાં, શ્રેણી કે જે કારણ-અને-અસર અવલંબન દ્વારા એકબીજા સાથે સંપૂર્ણપણે અસંબંધિત હોય છે તે સમાન અથવા વિરુદ્ધ વલણ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1970-1990 ના સમયગાળામાં યુનિવર્સિટીના સ્નાતકોની સંખ્યા અને રશિયન ફેડરેશનમાં રજાના ઘરોની સંખ્યા વચ્ચેનો સહસંબંધ ગુણાંક 0.8 હતો. જો કે, આનો અર્થ એ નથી કે હોલિડે હોમ્સની સંખ્યા સ્નાતકોની સંખ્યામાં વધારો કરવા અથવા તેનાથી વિપરીત ફાળો આપે છે.

અભ્યાસ કરવામાં આવતી શ્રેણી વચ્ચેના કારણ-અને-અસર સંબંધને દર્શાવતા સહસંબંધ ગુણાંક મેળવવા માટે, દરેક શ્રેણીમાં વલણની હાજરીને કારણે કહેવાતા ખોટા સહસંબંધથી છુટકારો મેળવવો જરૂરી છે, જે એક દ્વારા દૂર કરવામાં આવે છે. પદ્ધતિઓની.

ચાલો ધારીએ કે બે વખતની શ્રેણી માટે x tઅને y tએક જોડી રીગ્રેસન સમીકરણ બનાવવામાં આવે છે રેખીય રીગ્રેસનપ્રકાર: . આ દરેક સમય શ્રેણીમાં વલણની હાજરીનો અર્થ છે કે આશ્રિત y tઅને સ્વતંત્ર x tમોડલ ચલો સમયના પરિબળથી પ્રભાવિત થાય છે, જેને મોડેલમાં સીધી રીતે ધ્યાનમાં લેવામાં આવતું નથી. સમય પરિબળનો પ્રભાવ સમયના વર્તમાન અને અગાઉના બિંદુઓ માટેના અવશેષોના મૂલ્યો વચ્ચેના સહસંબંધમાં વ્યક્ત કરવામાં આવશે, જેને અવશેષોમાં સ્વતઃસંબંધ કહેવામાં આવે છે.

અવશેષોમાં સ્વતઃસંબંધ એ OLS ના મુખ્ય પરિસરમાંના એકનું ઉલ્લંઘન છે - એવી ધારણા છે કે રીગ્રેસન સમીકરણમાંથી મેળવેલ અવશેષો રેન્ડમ છે. એક શક્ય માર્ગોઆ સમસ્યાનો ઉકેલ સામાન્યકૃત લઘુત્તમ ચોરસ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરવાનો છે.

વલણને દૂર કરવા માટે, પદ્ધતિઓના બે જૂથોનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

મૂળ શ્રેણીના સ્તરોને નવા ચલોમાં રૂપાંતરિત કરવા પર આધારિત પદ્ધતિઓ જેમાં વલણો નથી (ક્રમિક તફાવતોની પદ્ધતિ અને વલણોમાંથી વિચલનની પદ્ધતિ);

મોડલના આશ્રિત અને સ્વતંત્ર ચલો પર સમય પરિબળની અસરને દૂર કરતી વખતે સમય શ્રેણીના પ્રારંભિક સ્તરો વચ્ચેના સંબંધનો અભ્યાસ કરવા પર આધારિત પદ્ધતિઓ (સમય શ્રેણી માટે રીગ્રેસન મોડેલમાં સમય પરિબળનો સમાવેશ).

ચાલો ત્યાં બે સમય શ્રેણી અને , જેમાંના દરેકમાં વલણ ઘટક હોય ટીઅને રેન્ડમ ઘટક. આ દરેક શ્રેણીનું વિશ્લેષણાત્મક સંરેખણ અમને અનુરૂપ વલણ સમીકરણોના પરિમાણો શોધવા અને વલણ અને અનુરૂપ રાશિઓ દ્વારા ગણતરી કરેલ સ્તરો નક્કી કરવા દે છે. આ ગણતરી કરેલ મૂલ્યોને વલણ ઘટકના અંદાજ તરીકે લઈ શકાય છે ટીદરેક પંક્તિ. તેથી, વાસ્તવિક રાશિઓમાંથી શ્રેણી સ્તરોના ગણતરી કરેલ મૂલ્યોને બાદ કરીને વલણના પ્રભાવને દૂર કરી શકાય છે. આ પ્રક્રિયા મોડેલમાં દરેક વખતની શ્રેણી માટે કરવામાં આવે છે. શ્રેણી વચ્ચેના સંબંધનું વધુ વિશ્લેષણ પ્રારંભિક સ્તરોનો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવે છે, પરંતુ વલણમાંથી વિચલનો અને . આ તે બરાબર છે વલણ વિચલન પદ્ધતિ.

કેટલાક કિસ્સાઓમાં, વલણને દૂર કરવા માટે સમય શ્રેણીને વિશ્લેષણાત્મક રીતે ગોઠવવાને બદલે, એક સરળ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરી શકાય છે. - ક્રમિક તફાવતોની પદ્ધતિ.જો સમય શ્રેણીમાં મજબૂત રેખીય વલણ હોય, તો તે શ્રેણીના પ્રારંભિક સ્તરોને સાંકળો સંપૂર્ણ વૃદ્ધિ (પ્રથમ તફાવતો) સાથે બદલીને દૂર કરી શકાય છે.

ગુણાંક b- એક સ્થિર જે સમય પર નિર્ભર નથી. મજબૂત રેખીય વલણની હાજરીમાં, રાજીનામું ખૂબ નાનું છે અને, OLS ધારણાઓ અનુસાર, પ્રકૃતિમાં રેન્ડમ છે. તેથી, શ્રેણીના સ્તરો વચ્ચેનો પ્રથમ તફાવત સમય ચલ પર આધાર રાખતો નથી; તેનો વધુ વિશ્લેષણ માટે ઉપયોગ કરી શકાય છે.

જો સમય શ્રેણીમાં બીજા-ક્રમના પેરાબોલાના રૂપમાં વલણ હોય, તો તેને દૂર કરવા માટે, તમે શ્રેણીના પ્રારંભિક સ્તરોને બીજા તફાવતો સાથે બદલી શકો છો: .

જો સમય શ્રેણીનો વલણ ઘાતાંકીય અથવા પાવર કાયદાના વલણને અનુસરે છે, તો ક્રમિક તફાવત પદ્ધતિ આના પર લાગુ થવી જોઈએ નહીં મૂળ સ્તરોશ્રેણી, પરંતુ તેમના લઘુગણક માટે.

મોડલ દૃશ્ય: મોડલના જૂથનો પણ ઉલ્લેખ કરે છે જેમાં સમય પરિબળ શામેલ હોય છે. વલણો અને અનુક્રમિક તફાવતોમાંથી વિચલનની પદ્ધતિઓ પર આ મોડેલનો ફાયદો એ છે કે તે અમને મૂળ ડેટામાં સમાવિષ્ટ તમામ માહિતીને ધ્યાનમાં લેવાની મંજૂરી આપે છે, કારણ કે મૂલ્યો અને મૂળ સમય શ્રેણીના સ્તરો છે. આ ઉપરાંત, અનુક્રમિક તફાવતોની પદ્ધતિથી વિપરીત, વિચારણા હેઠળના સમયગાળા માટેના ડેટાના સંપૂર્ણ સેટનો ઉપયોગ કરીને મોડેલ બનાવવામાં આવ્યું છે, જે અવલોકનોની સંખ્યામાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે. આ મોડેલના પરિમાણો સામાન્ય ઓછામાં ઓછા ચોરસ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

ઉદાહરણ.ચાલો કોષ્ટક 4.4 માં પ્રારંભિક ડેટાના આધારે વલણ સમીકરણ બનાવીએ.

કોષ્ટક 4.4

અંતિમ વપરાશ અને કુલ આવક પર ખર્ચ (પરંપરાગત એકમો)

સામાન્ય સમીકરણોની સિસ્ટમનું સ્વરૂપ છે:

પ્રારંભિક ડેટાનો ઉપયોગ કરીને, અમે જરૂરી મૂલ્યોની ગણતરી કરીએ છીએ અને તેમને સિસ્ટમમાં બદલીએ છીએ:

રીગ્રેસન સમીકરણનું સ્વરૂપ છે: .

સમીકરણ પરિમાણોનું અર્થઘટન નીચે મુજબ છે: તે લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે કે કુલ આવકમાં 1 એકમના વધારા સાથે. સતત વલણ ધારીને અંતિમ વપરાશ ખર્ચમાં સરેરાશ CU 0.49 નો વધારો થશે. પરિમાણનો અર્થ એ છે કે કુલ આવક સિવાયના તમામ પરિબળોની અસર અંતિમ વપરાશ ખર્ચ પર તેના સરેરાશ વાર્ષિક નિરપેક્ષ વધારો 0.63 cu તરફ ​​દોરી જશે.

ફોર્મના રીગ્રેસન સમીકરણને ધ્યાનમાં લો: . સમયની દરેક ક્ષણ માટે, ઘટકોના મૂલ્યને અથવા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. અવશેષોના ક્રમને સમય શ્રેણી તરીકે ધ્યાનમાં લેતા, તમે સમય પર તેમની નિર્ભરતાને કાવતરું કરી શકો છો. OLS ની ધારણાઓ અનુસાર, અવશેષો રેન્ડમ હોવા જોઈએ (આકૃતિ 4.4).

ચોખા. 4.4 રેન્ડમ અવશેષો

જો કે, સમય શ્રેણીનું મોડેલિંગ કરતી વખતે, ઘણી વખત એવી પરિસ્થિતિઓ હોય છે કે જ્યાં અવશેષોમાં વલણ અથવા ચક્રીય વધઘટ હોય છે (ફિગ. 4.5). આ સૂચવે છે કે અવશેષોનું દરેક અનુગામી મૂલ્ય અગાઉના મૂલ્યો પર આધારિત છે. આ કિસ્સામાં, તેઓ અવશેષોમાં સ્વતઃસંબંધની હાજરી વિશે વાત કરે છે.

a) b)

ચોખા. 4.5 ડાઉનવર્ડ ટ્રેન્ડ ( એ) અને ચક્રીય વધઘટ ( b)

અવશેષોમાં

રેન્ડમ ઘટકનો સ્વતઃસંબંધ- રેન્ડમ ઘટકના વર્તમાન અને અગાઉના મૂલ્યોની સહસંબંધ અવલંબન. રેન્ડમ ઘટક સ્વતઃસંબંધના પરિણામો:

રીગ્રેસન ગુણાંક બિનઅસરકારક બની જાય છે;

રીગ્રેસન ગુણાંકની પ્રમાણભૂત ભૂલો અને મૂલ્યો ઓછો અંદાજવામાં આવે છે t- માપદંડ વધુ પડતો અંદાજ છે.

અવશેષોના સ્વયંસંબંધને નિર્ધારિત કરવા માટે, બે સૌથી સામાન્ય પદ્ધતિઓ અવશેષોના સ્વતઃસંબંધને નક્કી કરવા માટે જાણીતી છે. પ્રથમ પદ્ધતિ એ છે કે સમય વિરુદ્ધ અવશેષોનું કાવતરું કરવું અને સ્વયંસંબંધની હાજરી અથવા ગેરહાજરી દૃષ્ટિની રીતે નક્કી કરવી. બીજી પદ્ધતિ ડર્બિન-વોટસન ટેસ્ટનો ઉપયોગ છે, જે પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે ઉકળે છે:

H0 (મુખ્ય પૂર્વધારણા): ત્યાં કોઈ સ્વતઃસંબંધ નથી;

H1 અને H2 (વૈકલ્પિક પૂર્વધારણા): અવશેષોમાં અનુક્રમે હકારાત્મક અથવા નકારાત્મક સ્વતઃસંબંધ છે.

મુખ્ય પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે, ડર્બિન-વોટસન પરીક્ષણ આંકડાઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

ક્યાં.

મોટા નમૂનાઓ પર d≈2(1-), ક્યાં - 1 લી ઓર્ડર સ્વતઃસંબંધ ગુણાંક.

.

જો અવશેષોમાં સંપૂર્ણ હકારાત્મક સ્વતઃસંબંધ હોય અને =1, પછી d=0;જો અવશેષોમાં સંપૂર્ણ નકારાત્મક સ્વતઃસંબંધ હોય, તો પછી = -1 અને d=4;જો અવશેષોનો કોઈ સ્વયંસંબંધ નથી, તો પછી = 0, પછી d=2.તેથી, 0.

નીચલા અને ઉપલા નિર્ણાયક મર્યાદાઓ નક્કી કરવા માટે વિશેષ આંકડાકીય કોષ્ટકો છે ડી- આંકડા -ડી એલઅને ડી યુ. તેઓ પર આધાર રાખીને નક્કી કરવામાં આવે છે n,સ્વતંત્ર ચલોની સંખ્યા kઅને મહત્વનું સ્તર.

જો ડોબ ‹ ડી એલ,પછી પૂર્વધારણા H1 સ્વીકારવામાં આવે છે: હકારાત્મક સ્વતઃસંબંધ.

જો d અને ‹d obs ‹2,

જો 2‹d obs‹4-d અને,પછી પૂર્વધારણા H0 સ્વીકારવામાં આવે છે: ત્યાં કોઈ સ્વતઃસંબંધ નથી.

જો d obs › 4-d L ,પછી પૂર્વધારણા H2 સ્વીકારવામાં આવે છે: નકારાત્મક સ્વતઃસંબંધ.

જો 4-d અને ‹d obs ‹ 4-d L ,અને d L ‹d obs ‹d અને,પછી અનિશ્ચિતતાનો કેસ છે.

0 d L d U 2 4- d U 4- d L 4

ચોખા. 4.6 અવશેષોના સ્વતઃસંબંધની હાજરી વિશેની પૂર્વધારણાને ચકાસવા માટે અલ્ગોરિધમ

ડર્બિન-વોટસન ટેસ્ટની અરજી માટે મર્યાદાઓ છે. તે એવા મોડેલો માટે લાગુ પડતું નથી કે જેમાં સ્વતંત્ર ચલ તરીકે પરિણામી લાક્ષણિકતાના પાછળ રહેલા મૂલ્યોનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે. ઓટોરેગ્રેસિવ મોડલ્સ માટે. આ ટેકનિકનો હેતુ ફર્સ્ટ-ઓર્ડર અવશેષોના સ્વતઃસંબંધને ઓળખવાનો છે. મોટા નમૂનાઓ સાથે કામ કરતી વખતે પરિણામો વધુ વિશ્વસનીય છે.

એવા કિસ્સામાં જ્યાં અવશેષોનો સ્વતઃસંબંધ હોય, પરિમાણ અંદાજો નક્કી કરવા a, bસામાન્ય પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરો MNC, જે ક્રમમાં સમાવે છે આગળનાં પગલાં:

1. મૂળ ચલોને કન્વર્ટ કરો y tઅને xtમન માટે

2. સમીકરણમાં સામાન્ય લઘુત્તમ ચોરસ પદ્ધતિ લાગુ કરવી , ક્યાં પરિમાણ અંદાજ નક્કી કરો અને b

4. લખો મૂળ સમીકરણ .

સમયના ડેટાનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવેલા ઇકોનોમેટ્રિક મોડલ્સમાં, ડાયનેમિક મોડલ્સને અલગ પાડવામાં આવે છે.

ઇકોનોમેટ્રિક મોડલ છે ગતિશીલ , જો માં આ ક્ષણેસમય tતે સમયના વર્તમાન અને અગાઉના બંને બિંદુઓને લગતા તેના ઘટક ચલોના મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લે છે, એટલે કે. આ મોડેલ સમયના દરેક બિંદુએ અભ્યાસ કરેલ ચલોની ગતિશીલતાને પ્રતિબિંબિત કરે છે.

ડાયનેમિક ઇકોનોમેટ્રિક મોડલ્સના બે મુખ્ય પ્રકાર છે. પ્રથમ પ્રકારનાં મોડલ્સમાં ઑટોરેગ્રેસિવ મૉડલ્સ અને ડિસ્ટ્રિબ્યુટેડ લેગ મૉડલ્સનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં પાછલા સમયગાળાના ચલનું મૂલ્ય (લૅગ્ડ ચલો) મોડેલમાં સીધા જ સમાવિષ્ટ હોય છે. બીજા પ્રકારનાં મોડેલો ગતિશીલ માહિતીને ગર્ભિત રીતે ધ્યાનમાં લે છે. આ મોડેલોમાં એવા ચલોનો સમાવેશ થાય છે જે પરિણામના અપેક્ષિત અને ઇચ્છિત સ્તરને દર્શાવે છે, અથવા સમયાંતરે પરિબળો પૈકી એક t.

વિતરિત લેગ મોડેલફોર્મ ધરાવે છે:

ડિસ્ટ્રિબ્યુટેડ લેગ અને ઓટોરેગ્રેસિવ મોડલ્સનું નિર્માણ તેની પોતાની વિશિષ્ટતાઓ ધરાવે છે. સૌપ્રથમ, ઓટોરેગ્રેસિવ મોડલ્સના પરિમાણોનો અંદાજ, અને મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, વિતરિત લેગ મોડલ્સ, તેના પરિસરના ઉલ્લંઘનને કારણે પરંપરાગત OLS નો ઉપયોગ કરીને હાથ ધરવામાં આવી શકતા નથી અને ખાસ આંકડાકીય પદ્ધતિઓની જરૂર છે. બીજું, સંશોધકોએ શ્રેષ્ઠ લેગ મૂલ્ય પસંદ કરવાની અને તેનું માળખું નક્કી કરવાની સમસ્યા હલ કરવી પડશે. છેલ્લે, ત્રીજે સ્થાને, વિતરિત લેગ મોડલ્સ અને ઓટોરેગ્રેસિવ મોડલ્સ વચ્ચે ચોક્કસ સંબંધ છે, અને કેટલાક કિસ્સાઓમાં એક પ્રકારનાં મોડેલમાંથી બીજામાં સંક્રમણ કરવું જરૂરી છે.

ચાલો એ ધારણા હેઠળ વિતરિત લેગ સાથેના મોડેલને ધ્યાનમાં લઈએ કે મહત્તમ લેગ મૂલ્ય મર્યાદિત છે:

આ મોડેલ કહે છે કે જો કોઈ સમયે tસ્વતંત્ર ચલ ફેરફારો x, તો પછી આ ફેરફાર ચલના મૂલ્યોને અસર કરશે yમાટે lસમયની આગલી ક્ષણો.

રીગ્રેસન ગુણાંક b 0ચલ સાથે xtસરેરાશ નિરપેક્ષ ફેરફારને દર્શાવે છે y tજ્યારે બદલાય છે xt 1 યુનિટ માટે સમયના અમુક નિશ્ચિત બિંદુએ તેનું માપન t, પરિબળના પાછળ રહેલા મૂલ્યોની અસરને ધ્યાનમાં લીધા વિના xઆ ગુણાંક કહેવામાં આવે છે ટૂંકા ગાળાના ગુણક.

અત્યારે t+1પરિબળ ચલનો પ્રભાવ xtપરિણામ પર y tહશે ( b 0 + b 1)પરંપરાગત એકમો; એક સમયે t+2આ અસર સરવાળા દ્વારા દર્શાવી શકાય છે ( b 0 + b 1 + b 2)વગેરે આ રીતે મેળવેલ રકમ કહેવામાં આવે છે મધ્યવર્તી ગુણક.

લેગના મર્યાદિત મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા, આપણે કહી શકીએ કે ચલમાં ફેરફાર xtએક સમયે tદ્વારા 1 પરંપરાગત એકમ પરિણામમાં સામાન્ય ફેરફાર તરફ દોરી જશે lસમય માં ક્ષણો (b 0 +b 1 +b 2 +…+b l).

ચાલો નીચે આપેલ સૂચન રજૂ કરીએ: b=(b 0 +b 1 +b 2 +…+b l). કદ bકહેવાય છે લાંબા ગાળાના ગુણક, જે લાંબા ગાળે સંપૂર્ણ ફેરફાર દર્શાવે છે t+lપરિણામ y 1 એકમના ફેરફારથી પ્રભાવિત. પરિબળ x.

જથ્થો કહેવાય છે સંબંધિત મતભેદવિતરિત લેગ મોડલ. જો બધા ગુણાંક b jસમાન ચિહ્નો છે તે . સંબંધિત ગુણાંક અનુરૂપ ગુણાંક માટે વજન છે b j. તેમાંના દરેક એક સમયે પરિણામી લાક્ષણિકતામાં કુલ ફેરફારના પ્રમાણને માપે છે t+j.

પ્રમાણને જાણીને, પ્રમાણભૂત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને તમે વધુ બે નક્કી કરી શકો છો મહત્વપૂર્ણ લાક્ષણિકતાઓમોડેલો બહુવિધ રીગ્રેસન: સરેરાશ અને મધ્ય લેગનું મૂલ્ય.

સરેરાશ લેગભારિત અંકગણિત સરેરાશ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરવામાં આવે છે:

અને સરેરાશ સમયગાળાનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે જે દરમિયાન પરિબળમાં ફેરફારના પ્રભાવ હેઠળ પરિણામ બદલાશે xઆ ક્ષણે t.જો સરેરાશ લેગ મૂલ્ય નાનું છે, તો આ એકદમ ઝડપી પ્રતિસાદ સૂચવે છે yપરિવર્તન માટે xસરેરાશ લેગનું ઊંચું મૂલ્ય સૂચવે છે કે પરિણામ પર પરિબળની અસર અંદર અનુભવાશે લાંબી અવધિસમય

મધ્ય લેગ (L Me) -આ તે લેગ વેલ્યુ છે જેના માટે સમયગાળો જે દરમિયાન . આ સમયનો સમયગાળો છે જે દરમિયાન સમયની ક્ષણથી tપરિણામ પર પરિબળની કુલ અસરનો અડધો ભાગ સાકાર થશે.

વિતરિત લેગ સાથેના મોડેલના પરિમાણોનું વિશ્લેષણ કરવા માટે ઉપર દર્શાવેલ પદ્ધતિઓ ફક્ત એવી ધારણા હેઠળ માન્ય છે કે અભ્યાસ હેઠળના પરિબળના વર્તમાન અને પાછળ રહેલા મૂલ્યો માટેના તમામ ગુણાંક સમાન સંકેતો ધરાવે છે. આ ધારણા આર્થિક દૃષ્ટિકોણથી સંપૂર્ણપણે ન્યાયી છે: પરિણામ પર સમાન પરિબળની અસર દિશાવિહીન હોવી જોઈએ, આ લાક્ષણિકતાઓ વચ્ચેના સંબંધની મજબૂતાઈ અથવા નિકટતાને માપવામાં આવે તે સમયના અંતરને ધ્યાનમાં લીધા વિના. જો કે, વ્યવહારમાં, આંકડાકીય રીતે નોંધપાત્ર મોડેલ મેળવવું કે જેના પરિમાણોમાં સમાન ચિહ્નો હશે, ખાસ કરીને મોટા અંતર સાથે l, અત્યંત મુશ્કેલ.

આવા મોડલ્સ માટે પરંપરાગત ઓછામાં ઓછા ચોરસનો ઉપયોગ મોટા ભાગના કિસ્સાઓમાં કારણે મુશ્કેલ છે નીચેના કારણો:

સ્વતંત્ર ચલના વર્તમાન અને પાછળ રહેલા મૂલ્યો, એક નિયમ તરીકે, એકબીજા સાથે ગાઢ રીતે સંકળાયેલા છે, આમ મોડલ પરિમાણોનું અનુમાન ઉચ્ચ મલ્ટિકોલિનરીટીની શરતો હેઠળ હાથ ધરવામાં આવે છે;

મોટા અંતર સાથે, અવલોકનોની સંખ્યા કે જેના પર મોડેલ બનાવવામાં આવ્યું છે તે ઘટે છે, અને તેની પરિબળ લાક્ષણિકતાઓની સંખ્યામાં વધારો થાય છે, જે મોડેલમાં સ્વતંત્રતાની ડિગ્રીની સંખ્યામાં ઘટાડો તરફ દોરી જાય છે;

વિતરિત લેગ મોડલ્સ ઘણીવાર અવશેષોના સ્વતઃસંબંધની સમસ્યાનો સામનો કરે છે.

વિતરિત લેગ મોડેલની જેમ, b 0આ મોડેલમાં ટૂંકા ગાળાના ફેરફારની લાક્ષણિકતા છે y tપરિવર્તનના પ્રભાવ હેઠળ xt 1 યુનિટ માટે જો કે, ઓટોરેગ્રેસિવ મોડેલમાં મધ્યવર્તી અને લાંબા ગાળાના ગુણક કંઈક અંશે અલગ છે. સમય સુધીમાં t+1પરિણામ y tસમયના એક તબક્કે અભ્યાસ કરવામાં આવતા પરિબળમાં ફેરફારોના પ્રભાવ હેઠળ બદલાયેલ છે tપર b 0એકમો, અને y t +1- સમયના તુરંત પહેલાના બિંદુએ તેના ફેરફારના પ્રભાવ હેઠળ 1 થીએકમો આમ, તે સમયે પરિણામમાં કુલ સંપૂર્ણ ફેરફાર t+1હશે b 0 s 1 .તેવી જ રીતે તે સમયે t+2પરિણામમાં સંપૂર્ણ ફેરફાર હશે b 0 s 1 2એકમો, વગેરે. તેથી, ઓટોરેગ્રેસિવ મોડેલમાં લાંબા ગાળાના ગુણકની ગણતરી ટૂંકા ગાળાના અને મધ્યવર્તી ગુણકના સરવાળા તરીકે કરી શકાય છે:

ઓટોરેગ્રેસિવ મોડલના ગુણાંકનું આ અર્થઘટન અને લાંબા ગાળાના ગુણકની ગણતરી એ આધાર પર આધારિત છે કે તેના ભાવિ મૂલ્યો પર આશ્રિત ચલના વર્તમાન મૂલ્યની અસરમાં અનંત વિરામ છે.

ઉદાહરણ.ચાલો ધારીએ કે, આ પ્રદેશમાં વપરાશની ગતિશીલતા અને આવક સૂચકાંકો પરના ડેટાના આધારે, એક ઓટોરિગ્રેશન મોડલ પ્રાપ્ત થયું હતું જે વર્ષ માટે સરેરાશ માથાદીઠ વપરાશ વોલ્યુમ (C, મિલિયન રુબેલ્સ) ની સરેરાશ માથાદીઠ કુલ પર નિર્ભરતાને વર્ણવે છે. વાર્ષિક આવક (Y, મિલિયન રુબેલ્સ) અને પાછલા વર્ષના વપરાશનું પ્રમાણ :

.

ટૂંકા ગાળાના ગુણક 0.85 છે. આ મોડેલમાં, તે ટૂંકા ગાળામાં વપરાશ કરવાની સીમાંત વૃત્તિનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે. પરિણામે, સરેરાશ માથાદીઠ કુલ આવકમાં 1 મિલિયન રુબેલ્સનો વધારો. તે જ વર્ષમાં સરેરાશ 850 હજાર રુબેલ્સ દ્વારા વપરાશમાં વધારો થાય છે. આ મોડેલમાં વપરાશ કરવાની લાંબા ગાળાની સીમાંત વૃત્તિ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે

.

લાંબા ગાળે, સરેરાશ માથાદીઠ કુલ આવકમાં 1 મિલિયન રુબેલ્સનો વધારો. સરેરાશ 944 હજાર રુબેલ્સ દ્વારા વપરાશમાં વધારો થશે. વપરાશની સીમાંત વૃત્તિના મધ્યવર્તી સૂચકાંકો અનુરૂપ સમયગાળા માટે જરૂરી આંશિક રકમની ગણતરી કરીને નક્કી કરી શકાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમયના બિંદુ માટે t+1અમને મળે છે:

આનો અર્થ એ થયો કે સરેરાશ માથાદીઠ કુલ આવકમાં વધારો વર્તમાન સમયગાળો 1 મિલિયન રુબેલ્સ માટે. સરેરાશ 935 હજાર રુબેલ્સ દ્વારા વપરાશમાં વધારો થાય છે. આગામી આગામી સમયગાળામાં.