घर प्रोस्थेटिक्स और इम्प्लांटेशन मानक रूप परिभाषा का एकपदी क्या है? एकपदी की परिभाषा: संबंधित अवधारणाएँ, उदाहरण

प्रोस्थेटिक्स और इम्प्लांटेशन

मानक रूप परिभाषा का एकपदी क्या है? एकपदी की परिभाषा: संबंधित अवधारणाएँ, उदाहरण

एकपदी की शक्ति

एकपदी के लिए उसकी डिग्री की अवधारणा होती है। आइए जानें कि यह क्या है।

परिभाषा।

एकपदी की शक्तिमानक रूप उसके रिकॉर्ड में शामिल सभी चरों के घातांकों का योग है; यदि किसी एकपदी के अंकन में कोई चर न हो और वह शून्य से भिन्न हो, तो उसकी डिग्री शून्य के बराबर मानी जाती है; संख्या शून्य को एकपदी माना जाता है जिसकी डिग्री अपरिभाषित है।

एकपदी की डिग्री निर्धारित करने से आप उदाहरण दे सकते हैं। एकपदी a की घात एक के बराबर है, क्योंकि a एक 1 है। एकपदी 5 की घात शून्य है, क्योंकि यह गैर-शून्य है और इसके अंकन में चर नहीं हैं। और गुणनफल 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 आठवीं डिग्री का एकपदी है, क्योंकि सभी चर a, x और y के घातांकों का योग 2+1+3+2=8 के बराबर है।

वैसे, मानक रूप में न लिखे गए एकपदी की डिग्री मानक रूप के संगत एकपदी की डिग्री के बराबर होती है। इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए हम एकपदी की डिग्री की गणना करें 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. मानक रूप में इस एकपदी का रूप −6·x 8·y 4 है, इसकी घात 8+4=12 है। इस प्रकार, मूल एकपदी की घात 12 है।

एकपदी गुणांक

मानक रूप में एकपदी, जिसके अंकन में कम से कम एक चर होता है, एक एकल संख्यात्मक कारक वाला एक उत्पाद है - एक संख्यात्मक गुणांक। इस गुणांक को एकपदी गुणांक कहा जाता है। आइए उपरोक्त तर्कों को एक परिभाषा के रूप में तैयार करें।

परिभाषा।

एकपदी गुणांकमानक रूप में लिखे गए एकपदी का संख्यात्मक गुणनखंड है।

अब हम विभिन्न एकपदों के गुणांकों के उदाहरण दे सकते हैं। परिभाषा के अनुसार संख्या 5 एकपदी 5·ए 3 का गुणांक है, इसी प्रकार एकपदी (−2,3)·x·y·z का गुणांक −2,3 है।

1 और −1 के बराबर एकपदी के गुणांक विशेष ध्यान देने योग्य हैं। यहां मुद्दा यह है कि वे आम तौर पर रिकॉर्डिंग में स्पष्ट रूप से मौजूद नहीं होते हैं। ऐसा माना जाता है कि मानक रूप मोनोमियल का गुणांक जिनके अंकन में कोई संख्यात्मक कारक नहीं होता है, एक के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, एकपद a, x·z 3, a·t·x, आदि। 1 का गुणांक है, क्योंकि a को 1·a, x·z 3 - 1·x·z 3, आदि के रूप में माना जा सकता है।

इसी प्रकार, एकपदी का गुणांक, जिसकी प्रविष्टियों में मानक रूप में कोई संख्यात्मक कारक नहीं होता है और ऋण चिह्न से शुरू होता है, को ऋण चिह्न माना जाता है। उदाहरण के लिए, एकपद −x, −x 3 y z 3, आदि। एक गुणांक −1 है, चूँकि −x=(−1) x, −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3वगैरह।

वैसे, एकपदी के गुणांक की अवधारणा को अक्सर मानक रूप के एकपदी के रूप में जाना जाता है, जो अक्षर कारकों के बिना संख्याएं हैं। ऐसे एकपदी-संख्याओं के गुणांक ये संख्याएँ माने जाते हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, एकपदी 7 का गुणांक 7 के बराबर माना जाता है।

सन्दर्भ.

बीजगणित:पाठयपुस्तक 7वीं कक्षा के लिए. सामान्य शिक्षा संस्थान / [यू. एन. मकार्यचेव, एन. जी. माइंड्युक, के. आई. नेशकोव, एस. बी. सुवोरोवा]; द्वारा संपादित एस. ए. तेल्यकोवस्की। - 17वाँ संस्करण। - एम.: शिक्षा, 2008. - 240 पी। : बीमार। - आईएसबीएन 978-5-09-019315-3।
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एकपदी की अवधारणा

एकपदी की परिभाषा: एकपदी है बीजगणितीय अभिव्यक्ति, जो केवल गुणन का उपयोग करता है।

एकपदी का मानक रूप

एकपदी का मानक रूप क्या है? एकपदी को मानक रूप में लिखा जाता है, यदि उसमें पहले स्थान पर एक संख्यात्मक गुणनखंड हो और इस कारक को एकपदी का गुणांक कहा जाता है, एकपदी में केवल एक ही होता है, एकपदी के अक्षरों को वर्णानुक्रम में व्यवस्थित किया जाता है और प्रत्येक अक्षर केवल एक बार प्रकट होता है.

मानक रूप में एकपदी का एक उदाहरण:

यहां पहले स्थान पर एक संख्या है, एकपदी का गुणांक, और यह संख्या हमारे एकपदी में केवल एक है, प्रत्येक अक्षर केवल एक बार आता है और अक्षरों को वर्णमाला क्रम में व्यवस्थित किया जाता है, इस मामले मेंयह लैटिन वर्णमाला है.

मानक रूप में एकपदी का दूसरा उदाहरण:

प्रत्येक अक्षर केवल एक बार आता है, उन्हें लैटिन वर्णमाला क्रम में व्यवस्थित किया गया है, लेकिन एकपदी का गुणांक कहां है, अर्थात वह संख्यात्मक कारक जो पहले आना चाहिए? यहां यह एक के बराबर है: 1adm.

क्या एकपदी का गुणांक ऋणात्मक हो सकता है? हाँ, हो सकता है, उदाहरण: -5ए।

क्या एकपदी का गुणांक भिन्नात्मक हो सकता है? हाँ, शायद, उदाहरण: 5.2ए।

यदि एकपदी में केवल एक संख्या होती है, अर्थात इसे कैसे लाया जाए, इसके बारे में कोई पत्र नहीं है मानक दृश्य? कोई भी एकपदी जो एक संख्या है वह पहले से ही मानक रूप में है, उदाहरण के लिए: संख्या 5 मानक रूप में एक एकपदी है।

एकपदी को मानक रूप में कम करना

एकपदी को मानक रूप में कैसे लाया जाए? आइए उदाहरण देखें.

मान लीजिए कि एकपद 2a4b दिया गया है, हमें इसे मानक रूप में लाने की आवश्यकता है। हम इसके दो संख्यात्मक गुणनखंडों को गुणा करते हैं और 8ab प्राप्त करते हैं। अब एकपदी को मानक रूप में लिखा जाता है, अर्थात। इसमें केवल एक संख्यात्मक कारक होता है, जिसे पहले स्थान पर लिखा जाता है, एकपदी में प्रत्येक अक्षर केवल एक बार आता है और इन अक्षरों को वर्णमाला क्रम में व्यवस्थित किया जाता है। तो 2a4b = 8ab.

दिया गया है: एकपदी 2a4a, एकपदी को मानक रूप में लाएँ। हम संख्या 2 और 4 को गुणा करते हैं, गुणनफल aa को 2 की दूसरी घात से प्रतिस्थापित करते हैं। हमें मिलता है: 8ए 2। यह इस एकपदी का मानक रूप है। तो 2a4a = 8a 2।

समान एकपदी

समान एकपदी क्या हैं? यदि एकपदी केवल गुणांकों में भिन्न हों या समान हों, तो उन्हें समरूप कहा जाता है।

समान एकपदी का उदाहरण: 5ए और 2ए। ये मोनोमियल केवल गुणांक में भिन्न होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे समान हैं।

क्या एकपदी 5abc और 10cba समान हैं? आइए दूसरे एकपदी को मानक रूप में लाएं और 10abc प्राप्त करें। अब हम देख सकते हैं कि एकपद 5abc और 10abc केवल उनके गुणांकों में भिन्न हैं, जिसका अर्थ है कि वे समान हैं।

एकपदी का योग

एकपदी का योग कितना होता है? हम केवल समान एकपदी का ही योग कर सकते हैं। आइए एकपदी जोड़ने का एक उदाहरण देखें। एकपदी 5a और 2a का योग क्या है? इन एकपदी का योग उनके समान एकपदी होगा, जिसका गुणांक होगा योग के बराबरशर्तों के गुणांक. तो, एकपदी का योग 5a + 2a = 7a है।

एकपदी जोड़ने के और उदाहरण:

2ए 2 + 3ए 2 = 5ए 2
2ए 2 बी 3 सी 4 + 3ए 2 बी 3 सी 4 = 5ए 2 बी 3 सी 4

दोबारा। आप केवल समान एकपदी ही जोड़ सकते हैं; जोड़ उनके गुणांकों को जोड़ने तक ही सीमित रहता है।

एकपदी घटाना

एकपदी में क्या अंतर है? हम केवल समान एकपदी को घटा सकते हैं। आइए एकपदी घटाने का एक उदाहरण देखें। एकपदी 5ए और 2ए के बीच क्या अंतर है? इन एकपदी का अंतर उनके समान एकपदी होगा, जिसका गुणांक इन एकपदी के गुणांक के अंतर के बराबर है। तो, एकपदी का अंतर 5a - 2a = 3a है।

एकपदी घटाने के और उदाहरण:

10ए 2 - 3ए 2 = 7ए 2
5ए 2 बी 3 सी 4 - 3ए 2 बी 3 सी 4 = 2ए 2 बी 3 सी 4

एकपदी को गुणा करना

एकपदी का गुणनफल क्या है? आइए एक उदाहरण देखें:

वे। एकपदी का गुणनफल एकपदी के बराबर होता है जिसके गुणनखंड मूल एकपदी के गुणनखंडों से बने होते हैं।

एक और उदाहरण:

2ए 2 बी 3 * ए 5 बी 9 = 2ए 7 बी 12।

यह परिणाम कैसे आया? प्रत्येक कारक में घात के लिए "a" होता है: पहले में - 2 की घात के लिए "a", और दूसरे में - 5 की घात के लिए "a" होता है। इसका मतलब है कि उत्पाद में घात के लिए "a" होगा 7 में से, क्योंकि समान अक्षरों को गुणा करने पर, उनकी घातों के घातांक जुड़ जाते हैं:

ए 2 * ए 5 = ए 7।

यही बात कारक "बी" पर भी लागू होती है।

पहले कारक का गुणांक दो है, और दूसरे का एक है, इसलिए परिणाम 2 * 1 = 2 है।

इस प्रकार परिणाम की गणना की गई: 2ए 7 बी 12।

इन उदाहरणों से यह स्पष्ट है कि एकपदी के गुणांकों को गुणा किया जाता है, और उत्पाद में समान अक्षरों को उनकी शक्तियों के योग से प्रतिस्थापित किया जाता है।

एकपदी स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम में अध्ययन किए जाने वाले मुख्य प्रकार के भावों में से एक है। इस सामग्री में हम आपको बताएंगे कि ये भाव क्या हैं, उनके मानक रूप को परिभाषित करेंगे और उदाहरण दिखाएंगे, और एकपदी की डिग्री और उसके गुणांक जैसी संबंधित अवधारणाओं को भी समझेंगे।

एकपदी क्या है

स्कूली पाठ्यपुस्तकें आमतौर पर इस अवधारणा की निम्नलिखित परिभाषा देती हैं:

परिभाषा 1

मोनोमियल्स में शामिल हैंसंख्याएँ, चर, साथ ही प्राकृतिक घातांक के साथ उनकी घातें और अलग - अलग प्रकारउनसे संकलित कार्य।

इस परिभाषा के आधार पर हम ऐसे भावों के उदाहरण दे सकते हैं। इस प्रकार, सभी संख्याएँ 2, 8, 3004, 0, - 4, - 6, 0, 78, 1 4, - 4 3 7 एकपदी होंगी। सभी चर, उदाहरण के लिए, x, a, b, p, q, t, y, z, परिभाषा के अनुसार एकपदी भी होंगे। इसमें चरों और संख्याओं की घातें भी शामिल हैं, उदाहरण के लिए, 6 3, (− 7, 41) 7, x 2 और टी 15, साथ ही फॉर्म 65 · x, 9 · (− 7) · x · y 3 · 6, x · x · y 3 · x · y 2 · z, आदि के भाव। कृपया ध्यान दें कि एकपदी में एक संख्या या चर, या कई हो सकते हैं, और उनका उल्लेख एक बहुपद में कई बार किया जा सकता है।

पूर्णांक, परिमेय संख्या और प्राकृतिक संख्या जैसी संख्याएँ भी एकपदी से संबंधित होती हैं। आप वैध और भी शामिल कर सकते हैं सम्मिश्र संख्याएँ. इस प्रकार, 2 + 3 · i · x · z 4, 2 · x, 2 · π · x 3 के रूप के व्यंजक भी एकपदी होंगे।

एकपदी का मानक रूप क्या है और किसी व्यंजक को इसमें कैसे परिवर्तित किया जाए

उपयोग में आसानी के लिए, सभी मोनोमियल को पहले एक विशेष रूप में घटाया जाता है जिसे मानक कहा जाता है। आइए हम विशेष रूप से बताएं कि इसका क्या अर्थ है।

परिभाषा 2

एकपदी का मानक रूपवे इसका वह रूप कहते हैं जिसमें यह एक संख्यात्मक कारक और विभिन्न चरों की प्राकृतिक शक्तियों का उत्पाद होता है। संख्यात्मक कारक, जिसे एकपदी का गुणांक भी कहा जाता है, आमतौर पर पहले बाईं ओर लिखा जाता है।

स्पष्टता के लिए, आइए मानक रूप के कई एकपदों का चयन करें: 6 (यह चर के बिना एक एकपदी है), 4 · ए, − 9 · एक्स 2 · वाई 3, 2 3 5 · एक्स 7। इसमें अभिव्यक्ति भी शामिल है x y(यहाँ गुणांक 1 के बराबर होगा), − x 3(यहाँ गुणांक -1 है)।

अब हम एकपदी के उदाहरण देते हैं जिन्हें मानक रूप में लाने की आवश्यकता है: 4 ए 2 ए 3(यहां आपको समान वेरिएबल्स को संयोजित करने की आवश्यकता है), 5 एक्स (− 1) 3 वाई 2(यहां आपको बाईं ओर संख्यात्मक कारकों को संयोजित करने की आवश्यकता है)।

आमतौर पर, जब एकपदी में कई चर अक्षरों में लिखे जाते हैं, तो अक्षर कारक वर्णमाला क्रम में लिखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, लिखना बेहतर है 6 ए बी 4 सी जेड 2, कैसे बी 4 6 ए जेड 2 सी. हालाँकि, यदि गणना के उद्देश्य के लिए इसकी आवश्यकता होती है तो आदेश भिन्न हो सकता है।

किसी भी एकपदी को मानक रूप में घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आपको सभी आवश्यक पहचान परिवर्तन करने होंगे।

एकपदी की डिग्री की अवधारणा

एकपदी की डिग्री की संलग्न अवधारणा बहुत महत्वपूर्ण है। आइए इस अवधारणा की परिभाषा लिखें।

परिभाषा 3

एकपदी की शक्ति सेमानक रूप में लिखा गया, इसके अंकन में शामिल सभी चरों के घातांकों का योग है। यदि इसमें एक भी चर न हो और एकपदी स्वयं 0 से भिन्न हो तो उसकी घात शून्य होगी।

आइए हम एकपदी की घातों का उदाहरण दें।

उदाहरण 1

इस प्रकार, एकपदी a की घात 1 के बराबर है, क्योंकि a = a 1 है। यदि हमारे पास एकपदी 7 है, तो इसकी घात शून्य होगी, क्योंकि इसमें कोई चर नहीं है और यह 0 से भिन्न है। और यहाँ रिकॉर्डिंग है 7 ए 2 एक्स वाई 3 ए 2 8वीं डिग्री का एकपदी होगा, क्योंकि इसमें शामिल चरों की सभी डिग्री के घातांकों का योग 8 के बराबर होगा: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

मानक रूप में परिवर्तित एकपदी और मूल बहुपद की घात समान होगी।

उदाहरण 2

हम आपको दिखाएंगे कि एकपदी की डिग्री की गणना कैसे करें 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. मानक रूप में इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है − 6 x 8 y 4. हम डिग्री की गणना करते हैं: 8 + 4 = 12 . इसका अर्थ यह है कि मूल बहुपद की घात भी 12 के बराबर है।

एकपदी गुणांक की अवधारणा

यदि हमारे पास एकपदी को मानक रूप में घटा दिया गया है जिसमें कम से कम एक चर शामिल है, तो हम इसके बारे में एक संख्यात्मक कारक वाले उत्पाद के रूप में बात करते हैं। इस कारक को संख्यात्मक गुणांक, या एकपदी गुणांक कहा जाता है। आइए परिभाषा लिखें।

परिभाषा 4

एकपदी का गुणांक मानक रूप में घटाए गए एकपदी का संख्यात्मक कारक है।

आइए एक उदाहरण के रूप में विभिन्न एकपदों के गुणांकों को लें।

उदाहरण 3

तो, अभिव्यक्ति में 8 ए 3गुणांक संख्या 8 होगा, और में (− 2 , 3) x y zवे होंगे − 2 , 3 .

एक और माइनस एक के बराबर गुणांकों पर विशेष ध्यान दिया जाना चाहिए। एक नियम के रूप में, उन्हें स्पष्ट रूप से इंगित नहीं किया गया है। ऐसा माना जाता है कि मानक रूप के एकपदी में, जिसमें कोई संख्यात्मक कारक नहीं है, गुणांक 1 के बराबर है, उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति ए, एक्स · जेड 3, ए · टी · एक्स में, क्योंकि वे हो सकते हैं 1 · ए, एक्स · जेड 3 के रूप में माना जाता है - कैसे 1 एक्स जेड 3वगैरह।

इसी प्रकार, ऐसे एकपदों में जिनमें कोई संख्यात्मक गुणनखंड नहीं होता और जो ऋण चिह्न से शुरू होते हैं, हम -1 को गुणांक मान सकते हैं।

उदाहरण 4

उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति − x, − x 3 · y · z 3 में ऐसा गुणांक होगा, क्योंकि उन्हें − x = (− 1) · x, − x 3 · y · z 3 = (− 1) के रूप में दर्शाया जा सकता है ) · x 3 y z 3 आदि।

यदि एकपदी में एक भी अक्षर गुणनखंड नहीं है, तो हम इस मामले में गुणांक के बारे में बात कर सकते हैं। ऐसे एकपदी-संख्याओं के गुणांक ये संख्याएँ ही होंगी। इसलिए, उदाहरण के लिए, एकपदी 9 का गुणांक 9 के बराबर होगा।

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इस पाठ में हम एकपदी की सख्त परिभाषा देंगे और पाठ्यपुस्तक से विभिन्न उदाहरण देखेंगे। आइए हम समान आधारों से घातों को गुणा करने के नियमों को याद करें। आइए हम एकपदी के मानक रूप, एकपदी के गुणांक और उसके अक्षर भाग को परिभाषित करें। आइए एकपदी पर दो मुख्य विशिष्ट परिचालनों पर विचार करें, अर्थात् एक मानक रूप में कमी और इसमें शामिल शाब्दिक चर के दिए गए मानों के लिए एकपदी के विशिष्ट संख्यात्मक मान की गणना। आइए एकपदी को मानक रूप में घटाने के लिए एक नियम बनाएं। आइए हल करना सीखें विशिष्ट कार्यकिसी भी एकपदी के साथ.

विषय:एकपदी। एकपदी पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

पाठ:एकपदी की अवधारणा. एकपदी का मानक रूप

कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

3. ;

हम ढूंढ लेंगे सामान्य सुविधाएंदिए गए भावों के लिए. तीनों मामलों में, अभिव्यक्ति एक घात तक बढ़ाई गई संख्याओं और चरों का गुणनफल है। इसी के आधार पर हम देते हैं एकपदी परिभाषा : एकपदी एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें घातों और संख्याओं का गुणनफल होता है।

अब हम ऐसे व्यंजकों के उदाहरण देते हैं जो एकपदी नहीं हैं:

आइए इन अभिव्यक्तियों और पिछली अभिव्यक्तियों के बीच अंतर खोजें। यह इस तथ्य में निहित है कि उदाहरण 4-7 में जोड़, घटाव या विभाजन संक्रियाएँ हैं, जबकि उदाहरण 1-3 में, जो एकपदी हैं, ये संक्रियाएँ नहीं हैं।

यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

अभिव्यक्ति संख्या 8 एकपदी है क्योंकि यह एक घात और एक संख्या का गुणनफल है, जबकि उदाहरण 9 एकपदी नहीं है।

अब आइए जानें एकपदी पर कार्रवाई .

1. सरलीकरण. आइए उदाहरण संख्या 3 देखें ;और उदाहरण संख्या 2 /

दूसरे उदाहरण में हम केवल एक गुणांक देखते हैं - प्रत्येक चर केवल एक बार होता है, अर्थात चर " ए" को एक ही प्रतिलिपि में "" के रूप में दर्शाया गया है, इसी प्रकार, चर "" और "" केवल एक बार दिखाई देते हैं।

उदाहरण संख्या 3 में, इसके विपरीत, दो अलग-अलग गुणांक हैं - और, हम चर "" को दो बार देखते हैं - जैसे "" और "", इसी तरह, चर "" दो बार दिखाई देता है। अर्थात इस अभिव्यक्ति को सरल बनाया जाना चाहिए, इस प्रकार हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं एकपदी पर की जाने वाली पहली क्रिया एकपदी को मानक रूप में कम करना है . ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति को उदाहरण 3 से मानक रूप में कम करेंगे, फिर हम इस ऑपरेशन को परिभाषित करेंगे और सीखेंगे कि किसी एकपदी को मानक रूप में कैसे कम किया जाए।

तो, एक उदाहरण पर विचार करें:

मानक रूप में कमी के संचालन में पहली क्रिया हमेशा सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करना है:

;

इस कार्रवाई का परिणाम कहा जाएगा एकपदी का गुणांक .

आगे आपको शक्तियों को गुणा करने की आवश्यकता है। आइए चर की शक्तियों को गुणा करें " एक्स"समान आधारों से घातों को गुणा करने के नियम के अनुसार, जिसमें कहा गया है कि गुणा करते समय, घातांक जोड़े जाते हैं:

आइए अब शक्तियों को गुणा करें" पर»:

;

तो, यहाँ एक सरलीकृत अभिव्यक्ति है:

;

किसी भी एकपदी को मानक रूप में घटाया जा सकता है। आइए सूत्रबद्ध करें मानकीकरण नियम :

सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करें;

परिणामी गुणांक को पहले स्थान पर रखें;

सभी अंशों को गुणा करें, अर्थात अक्षर भाग प्राप्त करें;

अर्थात्, किसी भी एकपदी की विशेषता एक गुणांक और एक अक्षर भाग होता है। आगे देखते हुए, हम देखते हैं कि जिन एकपदों का अक्षर भाग समान होता है, उन्हें समान कहा जाता है।

अब हमें वर्कआउट करने की जरूरत है एकपदी को मानक रूप में कम करने की तकनीक . पाठ्यपुस्तक से उदाहरणों पर विचार करें:

असाइनमेंट: एकपदी को मानक रूप में लाएँ, गुणांक और अक्षर भाग को नाम दें।

कार्य को पूरा करने के लिए, हम एकपदी को मानक रूप में और घातों के गुणों को कम करने के नियम का उपयोग करेंगे।

1. ;

3. ;

पहले उदाहरण पर टिप्पणियाँ: सबसे पहले, आइए यह निर्धारित करें कि क्या यह अभिव्यक्ति वास्तव में एकपदी है; ऐसा करने के लिए, आइए जाँच करें कि क्या इसमें संख्याओं और घातों के गुणन की संक्रियाएँ शामिल हैं और क्या इसमें जोड़, घटाव या विभाजन की संक्रियाएँ शामिल हैं। हम कह सकते हैं कि यह अभिव्यक्ति एकपदी है क्योंकि उपरोक्त शर्त संतुष्ट है। अगला, एकपदी को मानक रूप में कम करने के नियम के अनुसार, हम संख्यात्मक कारकों को गुणा करते हैं:

- हमें किसी दिए गए एकपदी का गुणांक मिला;

; ; ; अर्थात अभिव्यक्ति का शाब्दिक भाग प्राप्त होता है:;

आइए उत्तर लिखें: ;

दूसरे उदाहरण पर टिप्पणियाँ: नियम का पालन करते हुए हम कार्य करते हैं:

1) संख्यात्मक कारकों को गुणा करें:

2) शक्तियों को गुणा करें:

वेरिएबल्स को एक ही प्रतिलिपि में प्रस्तुत किया जाता है, अर्थात, उन्हें किसी भी चीज़ से गुणा नहीं किया जा सकता है, उन्हें बिना बदलाव के फिर से लिखा जाता है, डिग्री गुणा की जाती है:

आइए उत्तर लिखें:

;

इस उदाहरण में, एकपदी का गुणांक एक के बराबर है, और अक्षर भाग है।

तीसरे उदाहरण पर टिप्पणियाँ: aपिछले उदाहरणों के समान, हम निम्नलिखित क्रियाएं करते हैं:

1) संख्यात्मक कारकों को गुणा करें:

;

2) शक्तियों को गुणा करें:

;

आइए उत्तर लिखें: ;

इस मामले में, एकपदी का गुणांक "" है, और अक्षर भाग है .

अब आइये विचार करें एकपदी पर दूसरा मानक संचालन . चूँकि एकपदी एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें शाब्दिक चर शामिल होते हैं जो विशिष्ट हो सकते हैं संख्यात्मक मान, तो हमारे पास एक अंकगणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जिसकी गणना की जानी चाहिए। अर्थात् बहुपदों पर अगला संक्रिया है उनके विशिष्ट संख्यात्मक मान की गणना .

आइए एक उदाहरण देखें. एकपद दिया गया:

इस एकपदी को पहले ही मानक रूप में घटा दिया गया है, इसका गुणांक एक के बराबर है, और अक्षर भाग

पहले हमने कहा था कि एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति की हमेशा गणना नहीं की जा सकती है, यानी इसमें शामिल चर कोई मान नहीं ले सकते हैं। एकपदी के मामले में, इसमें शामिल चर कोई भी हो सकते हैं; यह एकपदी की एक विशेषता है।

तो, में उदाहरण दिया, , , पर एकपदी के मान की गणना करना आवश्यक है।

इस पाठ में हम एकपदी की सख्त परिभाषा देंगे और पाठ्यपुस्तक से विभिन्न उदाहरण देखेंगे। आइए हम समान आधारों से घातों को गुणा करने के नियमों को याद करें। आइए हम एकपदी के मानक रूप, एकपदी के गुणांक और उसके अक्षर भाग को परिभाषित करें। आइए एकपदी पर दो मुख्य विशिष्ट परिचालनों पर विचार करें, अर्थात् एक मानक रूप में कमी और इसमें शामिल शाब्दिक चर के दिए गए मानों के लिए एकपदी के विशिष्ट संख्यात्मक मान की गणना। आइए एकपदी को मानक रूप में घटाने के लिए एक नियम बनाएं। आइए जानें कि किसी एकपदी के साथ मानक समस्याओं को कैसे हल किया जाए।

विषय:एकपदी। एकपदी पर अंकगणितीय संक्रियाएँ

पाठ:एकपदी की अवधारणा. एकपदी का मानक रूप

कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

3. ;

आइए दिए गए भावों के लिए सामान्य विशेषताएं खोजें। तीनों मामलों में, अभिव्यक्ति एक घात तक बढ़ाई गई संख्याओं और चरों का गुणनफल है। इसी के आधार पर हम देते हैं एकपदी परिभाषा : एकपदी एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें घातों और संख्याओं का गुणनफल होता है।

अब हम ऐसे व्यंजकों के उदाहरण देते हैं जो एकपदी नहीं हैं:

यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

अब आइए जानें एकपदी पर कार्रवाई .

1. सरलीकरण. आइए उदाहरण संख्या 3 देखें ;और उदाहरण संख्या 2 /

तो, एक उदाहरण पर विचार करें:

;

इस कार्रवाई का परिणाम कहा जाएगा एकपदी का गुणांक .

आइए अब शक्तियों को गुणा करें" पर»:

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तो, यहाँ एक सरलीकृत अभिव्यक्ति है:

;

सभी संख्यात्मक कारकों को गुणा करें;

परिणामी गुणांक को पहले स्थान पर रखें;

सभी अंशों को गुणा करें, अर्थात अक्षर भाग प्राप्त करें;

असाइनमेंट: एकपदी को मानक रूप में लाएँ, गुणांक और अक्षर भाग को नाम दें।

1. ;

3. ;

- हमें किसी दिए गए एकपदी का गुणांक मिला;

; ; ; अर्थात अभिव्यक्ति का शाब्दिक भाग प्राप्त होता है:;

आइए उत्तर लिखें: ;

दूसरे उदाहरण पर टिप्पणियाँ: नियम का पालन करते हुए हम कार्य करते हैं:

1) संख्यात्मक कारकों को गुणा करें:

2) शक्तियों को गुणा करें:

आइए उत्तर लिखें:

;

इस उदाहरण में, एकपदी का गुणांक एक के बराबर है, और अक्षर भाग है।

1) संख्यात्मक कारकों को गुणा करें:

;

2) शक्तियों को गुणा करें:

;

आइए उत्तर लिखें: ;

इस मामले में, एकपदी का गुणांक "" है, और अक्षर भाग है .

अब आइये विचार करें एकपदी पर दूसरा मानक संचालन . चूँकि एकपदी एक बीजगणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें शाब्दिक चर होते हैं जो विशिष्ट संख्यात्मक मान ले सकते हैं, हमारे पास एक अंकगणितीय संख्यात्मक अभिव्यक्ति है जिसका मूल्यांकन किया जाना चाहिए। अर्थात् बहुपदों पर अगला संक्रिया है उनके विशिष्ट संख्यात्मक मान की गणना .

आइए एक उदाहरण देखें. एकपद दिया गया:

इसलिए, दिए गए उदाहरण में, आपको , , , पर एकपदी के मान की गणना करने की आवश्यकता है।