बीजगणितीय संकेतन जटिल संख्या................................................................
		सम्मिश्र संख्याओं का तल................................................... .................................................. ................................... ...
		सम्मिश्र संयुग्म संख्याएँ....................................................... ................................................... ..................................
	बीजगणितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं के साथ संक्रियाएँ................................................... ......... ....
		सम्मिश्र संख्याओं का योग................................................... ........... ....................................... .................
		सम्मिश्र संख्याओं को घटाना................................................... ................................................... ......................
		सम्मिश्र संख्याओं का गुणन................................................... ………………………………… ..................
		सम्मिश्र संख्याओं को विभाजित करना................................................... ................................................... ................................... ...
	किसी सम्मिश्र संख्या को लिखने का त्रिकोणमितीय रूप................................................... ......... .........
	त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं के साथ संक्रियाएँ................................................... .........
		सम्मिश्र संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में गुणा करना................................................... ........
		सम्मिश्र संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में विभाजित करना................................................... ........ ...
		किसी सम्मिश्र संख्या को धनात्मक पूर्णांक घात तक बढ़ाना.................................................. ...........
		एक सम्मिश्र संख्या से एक धनात्मक पूर्णांक घात का मूल निकालना...................................
		किसी सम्मिश्र संख्या को तर्कसंगत घात तक बढ़ाना................................................... ................... ......
		जटिल शृंखला................................................. ... ....................................................... .......................................
		सम्मिश्र संख्या शृंखला....................................................... ................................................... ..................................
		जटिल तल में शक्ति श्रृंखला................................................. ........ .......................................
		दोहरा बिजली की श्रृंखलाजटिल तल में................................................... ......
		एक जटिल चर के कार्य................................................... ....... .......................................
		बुनियादी प्राथमिक कार्य................................................................. .......... ................................................. .
		यूलर के सूत्र................................................. ... ....................................................... .......................................
		किसी सम्मिश्र संख्या को निरूपित करने का घातांकीय रूप................................................... ...................... .
		त्रिकोणमितीय और अतिपरवलयिक फलनों के बीच संबंध...................................
		लघुगणकीय फ़ंक्शन................................................. ... ....................................................... ........... ...
		सामान्य घातांकीय और सामान्य शक्ति फलन................................................... ........ ...............
	एक जटिल चर के कार्यों का विभेदन................................................... ........... ...
		कॉची-रीमैन स्थितियाँ...................................................... .................................................... ........... ............
		व्युत्पन्न की गणना के लिए सूत्र................................................... ....... ...................................
		विभेदन संक्रिया के गुण……………………………… ..................................................................
		किसी विश्लेषणात्मक फलन के वास्तविक और काल्पनिक भागों के गुण...................................

	किसी जटिल चर के फ़ंक्शन का उसके वास्तविक या काल्पनिक से पुनर्निर्माण
		विधि संख्या 1. वक्र समाकलन का उपयोग करना................................................... ...... .......
		विधि संख्या 2. कॉची-रीमैन स्थितियों का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग...................................
		विधि संख्या 3. वांछित फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के माध्यम से................................................... ......... .........
	एक जटिल चर के कार्यों का एकीकरण................................................... ......... .........
	इंटीग्रल कॉची फॉर्मूला...................................................... .................................................... ........... ...
	टेलर और लॉरेंट श्रृंखला में कार्यों का विस्तार.................................................. ............ ...................................
	एक जटिल चर के फ़ंक्शन के शून्य और एकवचन बिंदु................................................. .............. ......
		एक जटिल चर के फ़ंक्शन के शून्य................................................... .......... ..................................
		एक जटिल चर के फ़ंक्शन के पृथक एकवचन बिंदु...................................

14.3 एक जटिल चर के फ़ंक्शन के एकवचन बिंदु के रूप में अनंत पर एक बिंदु

	कटौतियाँ................................................. ....... ................................................... ......................................................... ...
		अंतिम बिंदु पर कटौती................................................... ................................................... ............ ......
		अनंत पर एक बिंदु पर किसी फलन का अवशेष................................................. ........... ...............
	अवशेषों का उपयोग करके अभिन्नों की गणना................................................... ....... ...................................
	स्व-परीक्षण प्रश्न................................................. ………………………………… ........................... .......
	साहित्य................................................. .................................................. ...................................................
	विषय अनुक्रमणिका................................................. .................................................. ………………

प्रस्तावना

किसी परीक्षा या मॉड्यूल प्रमाणन के सैद्धांतिक और व्यावहारिक भागों की तैयारी करते समय समय और प्रयास को सही ढंग से वितरित करना काफी कठिन होता है, खासकर जब से सत्र के दौरान हमेशा पर्याप्त समय नहीं होता है। और जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, हर कोई इसका सामना नहीं कर सकता। परिणामस्वरूप, परीक्षा के दौरान, कुछ छात्र समस्याओं को तो सही ढंग से हल कर लेते हैं, लेकिन सबसे सरल उत्तर देने में उन्हें कठिनाई होती है सैद्धांतिक मुद्दे, जबकि अन्य प्रमेय तैयार कर सकते हैं, लेकिन इसे लागू नहीं कर सकते।

"कॉम्प्लेक्स वेरिएबल के कार्यों का सिद्धांत" (टीएफसीपी) पाठ्यक्रम में परीक्षा की तैयारी के लिए ये दिशानिर्देश इस विरोधाभास को हल करने और पाठ्यक्रम की सैद्धांतिक और व्यावहारिक सामग्री की एक साथ पुनरावृत्ति सुनिश्चित करने का एक प्रयास हैं। सिद्धांत "अभ्यास के बिना सिद्धांत मृत है, सिद्धांत के बिना अभ्यास अंधा है" द्वारा निर्देशित, उनमें परिभाषाओं और फॉर्मूलेशन के स्तर पर पाठ्यक्रम के दोनों सैद्धांतिक प्रावधान शामिल हैं, साथ ही प्रत्येक दिए गए सैद्धांतिक स्थिति के अनुप्रयोग को दर्शाने वाले उदाहरण भी शामिल हैं, और इस प्रकार सुविधा मिलती है। इसे याद रखना और समझना।

प्रस्तावित का उद्देश्य पद्धति संबंधी सिफ़ारिशें- छात्र को बुनियादी स्तर पर परीक्षा की तैयारी में मदद करें। दूसरे शब्दों में, एक विस्तारित कामकाजी संदर्भ पुस्तक संकलित की गई है जिसमें टीएफकेपी पाठ्यक्रम पर कक्षाओं में उपयोग किए जाने वाले मुख्य बिंदु शामिल हैं और प्रदर्शन करते समय आवश्यक हैं गृहकार्यऔर नियंत्रण घटनाओं की तैयारी। अलावा स्वतंत्र कामछात्र, इस इलेक्ट्रॉनिक शैक्षिक प्रकाशन का उपयोग कक्षाएं संचालित करते समय किया जा सकता है इंटरैक्टिव फॉर्मइलेक्ट्रॉनिक बोर्ड का उपयोग करना या दूरस्थ शिक्षा प्रणाली में प्लेसमेंट के लिए।

कृपया ध्यान दें कि यह कार्य पाठ्यपुस्तकों या व्याख्यान नोट्स को प्रतिस्थापित नहीं करता है। सामग्री के गहन अध्ययन के लिए, MSTU द्वारा प्रकाशित प्रासंगिक अनुभागों को देखने की अनुशंसा की जाती है। एन.ई. बाउमन बुनियादी पाठ्यपुस्तक।

मैनुअल के अंत में अनुशंसित साहित्य की एक सूची और एक विषय सूचकांक है, जिसमें पाठ में हाइलाइट की गई सभी चीजें शामिल हैं बोल्ड इटैलिकशर्तें। सूचकांक में उन अनुभागों के हाइपरलिंक होते हैं जिनमें इन शब्दों को सख्ती से परिभाषित या वर्णित किया जाता है और जहां उनके उपयोग को दर्शाने के लिए उदाहरण दिए जाते हैं।

यह मैनुअल MSTU के सभी संकायों के द्वितीय वर्ष के छात्रों के लिए है। एन.ई. बौमन.

1. सम्मिश्र संख्या लिखने का बीजगणितीय रूप

फॉर्म z = x + iy का नोटेशन, जहां x,y वास्तविक संख्याएं हैं, i एक काल्पनिक इकाई है (यानी i 2 = - 1)

किसी सम्मिश्र संख्या z को लिखने का बीजीय रूप कहा जाता है। इस स्थिति में, x को सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग कहा जाता है और इसे Re z (x = Re z) द्वारा दर्शाया जाता है, y को सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग कहा जाता है और इसे Im z (y = Im z) द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण। सम्मिश्र संख्या z = 4− 3i का वास्तविक भाग Rez = 4 और काल्पनिक भाग Imz = − 3 है।

2. सम्मिश्र संख्या तल

में एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांतों पर विचार किया जाता हैसम्मिश्र संख्या तल, जिसे जटिल संख्याओं z, w, आदि को दर्शाने वाले अक्षरों द्वारा या उनका उपयोग करके दर्शाया जाता है।

सम्मिश्र तल का क्षैतिज अक्ष कहलाता है वास्तविक अक्ष, वास्तविक संख्याएँ z = x + 0i = x इस पर रखी गई हैं।

जटिल तल के ऊर्ध्वाधर अक्ष को काल्पनिक अक्ष कहा जाता है;

3. जटिल संयुग्म संख्याएँ

संख्याएँ z = x + iy और z = x - iy कहलाती हैं जटिल सन्युग्म. जटिल तल पर वे उन बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जो वास्तविक अक्ष के बारे में सममित होते हैं।

4. बीजगणितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं के साथ संक्रियाएँ

4.1 सम्मिश्र संख्याओं का योग

दो सम्मिश्र संख्याओं का योग

जेड 1= एक्स 1+ आईवाई 1

और z 2 = x 2 + iy 2 को सम्मिश्र संख्या कहा जाता है

z 1+ z 2

= (x 1+ iy 1) + (x 2+ iy 2) = (x 1+ x 2) + i (y 1+ y 2) .

संचालन

जोड़ना

सम्मिश्र संख्याएँ बीजगणितीय द्विपदों को जोड़ने की क्रिया के समान है।

उदाहरण। दो सम्मिश्र संख्याओं z 1 = 3+ 7i और z 2 का योग

= −1 +2 i

एक सम्मिश्र संख्या होगी

z 1 +z 2 =(3 +7 i ) +(−1 +2 i ) =(3 −1 ) +(7 +2 ) i =2 +9 i .

ज़ाहिर तौर से,

व्यापक तरीके से योग करें

संयुग्म

है

असली

z + z = (x+ iy) + (x− iy) = 2 x= 2 Re z.

4.2 सम्मिश्र संख्याओं का घटाव

दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर z 1 = x 1 + iy 1

एक्स 2 +आईवाई 2

बुलाया

विस्तृत

संख्या z 1− z 2= (x 1+ iy 1) − (x 2+ iy 2) = (x 1− x 2) + i (y 1− y 2) .

उदाहरण। दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर

z 1 =3 −4 i

और z 2

= −1 +2 i

एक व्यापक होगा

संख्या z 1 − z 2 = (3− 4i ) − (− 1+ 2i ) = (3− (− 1) ) + (− 4− 2) i = 4− 6i .

अंतर से

जटिल सन्युग्म

है

z − z = (x+ iy) − (x− iy) = 2 iy= 2 iIm z.

4.3 सम्मिश्र संख्याओं का गुणन

दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल

जेड 1= एक्स 1+ आईवाई 1

और z 2= x 2+ iy 2

जटिल कहा जाता है

z 1z 2= (x 1+ iy 1)(x 2+ iy 2) = x 1x 2+ iy 1x 2+ iy 2x 1+ i 2 y 1y 2

= (x 1x 2− y 1y 2) + i (y 1x 2+ y 2x) .

इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करने की प्रक्रिया बीजगणितीय द्विपदों को गुणा करने की प्रक्रिया के समान है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि i 2 = − 1.

पेज 2 का 3

सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप.
जटिल संख्याओं का जोड़, घटाव, गुणा और भाग।

हम सम्मिश्र संख्या के बीजगणितीय रूप से पहले ही परिचित हो चुके हैं - यह सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप है। हम फॉर्म के बारे में क्यों बात कर रहे हैं? तथ्य यह है कि जटिल संख्याओं के त्रिकोणमितीय और घातांकीय रूप भी होते हैं, जिनकी चर्चा अगले पैराग्राफ में की जाएगी।

जटिल संख्याओं के साथ संक्रियाएँ विशेष रूप से कठिन नहीं होती हैं और सामान्य बीजगणित से बहुत भिन्न नहीं होती हैं।

सम्मिश्र संख्याओं का योग

उदाहरण 1

दो सम्मिश्र संख्याएँ जोड़ें,

दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ने के लिए, आपको उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को जोड़ना होगा:

सरल, है ना? कार्रवाई इतनी स्पष्ट है कि इसमें अतिरिक्त टिप्पणियों की आवश्यकता नहीं है।

इस सरल तरीके से आप किसी भी संख्या के पदों का योग ज्ञात कर सकते हैं: वास्तविक भागों का योग करें और काल्पनिक भागों का योग करें।

जटिल संख्याओं के लिए, प्रथम श्रेणी नियम मान्य है: - शर्तों को पुनर्व्यवस्थित करने से योग नहीं बदलता है।

सम्मिश्र संख्याओं को घटाना

उदाहरण 2

जटिल संख्याओं के बीच अंतर खोजें और, यदि,

क्रिया जोड़ के समान है, एकमात्र ख़ासियत यह है कि सबट्रेंड को कोष्ठक में रखना होगा, और फिर कोष्ठक को चिह्न के परिवर्तन के साथ मानक तरीके से खोलना होगा:

परिणाम भ्रमित करने वाला नहीं होना चाहिए; परिणामी संख्या में दो नहीं, बल्कि तीन भाग होंगे। बस वास्तविक भाग यौगिक है:। स्पष्टता के लिए, उत्तर को इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है:।

आइए दूसरे अंतर की गणना करें:

यहाँ वास्तविक भाग भी समग्र है:

किसी भी अल्पकथन से बचने के लिए, मैं दूंगा संक्षिप्त उदाहरणएक "बुरे" काल्पनिक भाग के साथ:। यहां अब आप कोष्ठक के बिना नहीं रह सकते।

जटिल संख्याओं को गुणा करना

समय आ गया है कि आपको प्रसिद्ध समानता से परिचित कराया जाए:

उदाहरण 3

सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए,

जाहिर है, काम इस तरह लिखा जाना चाहिए:

इससे क्या पता चलता है? यह बहुपदों के गुणन के नियम के अनुसार कोष्ठक खोलने का सुझाव देता है। आपको यही करना है! सभी बीजीय संक्रियाओं से आप परिचित हैं, मुख्य बात यह याद रखना है और सावधान रहें.

आइए हम दोहराएँ, हे भगवान, बहुपदों को गुणा करने का स्कूल नियम: एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करने के लिए, आपको एक बहुपद के प्रत्येक पद को दूसरे बहुपद के प्रत्येक पद से गुणा करना होगा।

मैं इसे विस्तार से लिखूंगा:

मुझे आशा है कि यह हर किसी के लिए स्पष्ट था

ध्यान, और फिर ध्यान, अक्सर संकेतों में गलतियाँ हो जाती हैं।

योग की तरह, सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल परिवर्तनीय होता है, अर्थात समानता सत्य है:।

में शैक्षिक साहित्यऔर इंटरनेट पर सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल की गणना के लिए एक विशेष सूत्र खोजना आसान है। यदि आप चाहें तो इसका उपयोग करें, लेकिन मुझे ऐसा लगता है कि बहुपदों को गुणा करने का दृष्टिकोण अधिक सार्वभौमिक और स्पष्ट है। मैं फॉर्मूला नहीं दूंगा, मुझे लगता है कि इसमें इस मामले में- यह आपके सिर को चूरा से भरना है।

सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन

उदाहरण 4

सम्मिश्र संख्याएँ दी गई हैं। भागफल ज्ञात कीजिये.

आइए एक भागफल बनाएं:

संख्याओं का विभाजन किया जाता है हर और अंश को हर के संयुग्मी व्यंजक से गुणा करके.

आइए दाढ़ी वाले सूत्र को याद रखें और हमारे हर को देखें:। हर में पहले से ही है, इसलिए इस मामले में संयुग्म अभिव्यक्ति है, यानी

नियम के अनुसार, हर को से गुणा किया जाना चाहिए, और, ताकि कुछ भी न बदले, अंश को उसी संख्या से गुणा किया जाना चाहिए:

मैं इसे विस्तार से लिखूंगा:

मैंने एक "अच्छा" उदाहरण चुना: यदि आप "शुरुआत से" दो संख्याएँ लेते हैं, तो विभाजन के परिणामस्वरूप आपको लगभग हमेशा भिन्न मिलेंगे, कुछ इस तरह।

कुछ मामलों में, किसी भिन्न को विभाजित करने से पहले, उसे सरल बनाने की सलाह दी जाती है, उदाहरण के लिए, संख्याओं के भागफल पर विचार करें:। विभाजित करने से पहले, हम अनावश्यक ऋणों से छुटकारा पाते हैं: अंश और हर में हम ऋणों को कोष्ठक से बाहर निकालते हैं और इन ऋणों को कम करते हैं: . जो लोग हल करना चाहते हैं, उनके लिए मैं सही उत्तर दूंगा:

शायद ही कभी, लेकिन निम्नलिखित कार्य होता है:

उदाहरण 5

एक जटिल संख्या दी गई है. इस संख्या को बीजगणितीय रूप में (अर्थात रूप में) लिखें।

तकनीक वही है - हम हर और अंश को हर से जुड़े व्यंजक से गुणा करते हैं। आइए सूत्र को फिर से देखें। हर में पहले से ही शामिल है, इसलिए हर और अंश को संयुग्म अभिव्यक्ति से गुणा करने की आवश्यकता है, अर्थात:

व्यवहार में, वे आसानी से एक परिष्कृत उदाहरण पेश कर सकते हैं जहां आपको जटिल संख्याओं के साथ कई ऑपरेशन करने की आवश्यकता होती है। घबराए नहीं: ध्यान से, बीजगणित के नियमों, सामान्य बीजगणितीय प्रक्रिया का पालन करें, और इसे याद रखें।

सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय और घातांकीय रूप

इस पैराग्राफ में और भी बहुत कुछ है हम बात करेंगेसम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप के बारे में. प्रदर्शनात्मक रूप में व्यावहारिक कार्यबहुत कम बार होता है. मैं डाउनलोड करने और, यदि संभव हो तो, त्रिकोणमिति तालिकाएँ प्रिंट करने की सलाह देता हूँ, कार्यप्रणाली सामग्रीपृष्ठ पर पाया जा सकता है गणितीय सूत्रऔर टेबल. आप टेबल के बिना ज्यादा दूर तक नहीं जा सकते।

किसी भी जटिल संख्या (शून्य को छोड़कर) को त्रिकोणमितीय रूप में लिखा जा सकता है:
, कहाँ है एक सम्मिश्र संख्या का मापांक, ए - सम्मिश्र संख्या तर्क. आइए भागें नहीं, सब कुछ जितना लगता है उससे कहीं अधिक सरल है।

आइए हम सम्मिश्र तल पर संख्या का प्रतिनिधित्व करें। स्पष्टीकरण की निश्चितता और सरलता के लिए, हम इसे पहले समन्वय चतुर्थांश में रखेंगे, अर्थात। ऐसा हमारा विश्वास है:

एक सम्मिश्र संख्या का मापांकजटिल तल में मूल बिंदु से संगत बिंदु तक की दूरी है। सीधे शब्दों में कहें, मॉड्यूल लंबाई हैत्रिज्या वेक्टर, जिसे चित्र में लाल रंग से दर्शाया गया है।

किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक आमतौर पर निम्न द्वारा दर्शाया जाता है: या

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, किसी सम्मिश्र संख्या का मापांक ज्ञात करने के लिए एक सूत्र प्राप्त करना आसान है:। यह सूत्रगोरा किसी के लिएजिसका अर्थ है "ए" और "बी"।

टिप्पणी: सम्मिश्र संख्या का मापांक अवधारणा का सामान्यीकरण है वास्तविक संख्या का मापांक, एक बिंदु से मूल बिंदु तक की दूरी के रूप में।

सम्मिश्र संख्या का तर्कबुलाया कोनाबीच में सकारात्मक अर्ध-अक्षवास्तविक अक्ष और त्रिज्या वेक्टर मूल बिंदु से संबंधित बिंदु तक खींचा गया है। तर्क परिभाषित नहीं है एकवचन: .

विचाराधीन सिद्धांत वास्तव में समान है धुवीय निर्देशांक, जहां ध्रुवीय त्रिज्या और ध्रुवीय कोण विशिष्ट रूप से बिंदु को परिभाषित करते हैं।

एक जटिल संख्या का तर्क मानक रूप से दर्शाया गया है: या

ज्यामितीय विचारों से, हमें तर्क खोजने के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:
. ध्यान!यह सूत्र केवल दाएँ आधे तल में ही काम करता है! यदि सम्मिश्र संख्या पहले या चौथे निर्देशांक चतुर्थांश में स्थित नहीं है, तो सूत्र थोड़ा अलग होगा। हम इन मामलों का भी विश्लेषण करेंगे.

लेकिन पहले, आइए सबसे सरल उदाहरण देखें जब सम्मिश्र संख्याएँ निर्देशांक अक्षों पर स्थित होती हैं।

उदाहरण 7

आइए चित्र बनाएं:

वस्तुतः यह कार्य मौखिक है। स्पष्टता के लिए, मैं एक सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप को फिर से लिखूंगा:

आइए दृढ़ता से याद रखें, मॉड्यूल - लंबाई(जो हमेशा गैर-नकारात्मक होता है), तर्क यह है कोना.

1) आइए संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें। आइए इसका मापांक और तर्क खोजें। यह तो स्पष्ट है. सूत्र का उपयोग करके औपचारिक गणना:।
यह स्पष्ट है कि (संख्या सीधे वास्तविक सकारात्मक अर्ध-अक्ष पर स्थित है)। तो त्रिकोणमितीय रूप में संख्या है: .

रिवर्स चेक कार्रवाई दिन की तरह स्पष्ट है:

2) आइए संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें। आइए इसका मापांक और तर्क खोजें। यह स्पष्ट है कि. सूत्र का उपयोग करके औपचारिक गणना:।
जाहिर है (या 90 डिग्री)। चित्र में कोने को लाल रंग से दर्शाया गया है। तो त्रिकोणमितीय रूप में संख्या है: .

मानों की तालिका का उपयोग करना त्रिकोणमितीय कार्य, संख्या का बीजगणितीय रूप वापस पाना आसान है (एक ही समय में जाँच करते समय):

3) आइए संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें। आइए इसका मापांक और तर्क खोजें। यह तो स्पष्ट है कि. सूत्र का उपयोग करके औपचारिक गणना:।
जाहिर है (या 180 डिग्री)। ड्राइंग में कोने को नीले रंग में दर्शाया गया है। तो त्रिकोणमितीय रूप में संख्या है: .

इंतिहान:

4) और चौथा दिलचस्प मामला. आइए संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें। आइए इसका मापांक और तर्क खोजें। यह स्पष्ट है कि. सूत्र का उपयोग करके औपचारिक गणना:।

तर्क दो तरीकों से लिखा जा सकता है: पहला तरीका: (270 डिग्री), और, तदनुसार: . इंतिहान:

हालाँकि, निम्नलिखित नियम अधिक मानक है: यदि कोण 180 डिग्री से अधिक है, फिर इसे ऋण चिह्न और कोण के विपरीत अभिविन्यास ("स्क्रॉलिंग") के साथ लिखा जाता है: (शून्य से 90 डिग्री), कोण को ड्राइंग में चिह्नित किया गया है हरा. इसे देखना आसान है और यह एक ही कोण पर है।

इस प्रकार, प्रविष्टि इस रूप में होती है:

ध्यान!किसी भी स्थिति में आपको कोसाइन की समता, साइन की विषमता का उपयोग नहीं करना चाहिए, और नोटेशन को और "सरल" करना चाहिए:

वैसे, यह याद रखना उपयोगी है उपस्थितिऔर त्रिकोणमितीय और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के गुण, संदर्भ सामग्री पृष्ठ के अंतिम पैराग्राफ में हैं मुख्य के रेखांकन और गुण प्राथमिक कार्य . और सम्मिश्र संख्याएँ बहुत आसानी से सीखी जा सकेंगी!

सबसे सरल उदाहरणों के डिज़ाइन में, किसी को लिखना चाहिए: "यह स्पष्ट है कि मॉड्यूल बराबर है... यह स्पष्ट है कि तर्क बराबर है..."। यह वास्तव में स्पष्ट है और मौखिक रूप से हल करना आसान है।

आइए अधिक सामान्य मामलों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, मॉड्यूल के साथ कोई समस्या नहीं है, आपको हमेशा सूत्र का उपयोग करना चाहिए। लेकिन तर्क खोजने के सूत्र अलग-अलग होंगे, यह इस पर निर्भर करता है कि संख्या किस समन्वय तिमाही में है। इस मामले में, तीन विकल्प संभव हैं (उन्हें अपनी नोटबुक में कॉपी करना उपयोगी है):

1) यदि (पहला और चौथा निर्देशांक क्वार्टर, या दायां आधा-तल), तो सूत्र का उपयोग करके तर्क पाया जाना चाहिए।

2) यदि (दूसरा समन्वय तिमाही), तो सूत्र का उपयोग करके तर्क पाया जाना चाहिए .

3) यदि (तीसरा समन्वय तिमाही), तो सूत्र का उपयोग करके तर्क पाया जाना चाहिए .

उदाहरण 8

सम्मिश्र संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें: , , , .

चूंकि तैयार सूत्र मौजूद हैं, इसलिए ड्राइंग को पूरा करना आवश्यक नहीं है। लेकिन एक बात है: जब आपसे किसी संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में दर्शाने के लिए कहा जाता है वैसे भी ड्राइंग बनाना बेहतर है. तथ्य यह है कि ड्राइंग के बिना समाधान को अक्सर शिक्षकों द्वारा अस्वीकार कर दिया जाता है; ड्राइंग की अनुपस्थिति माइनस और विफलता का एक गंभीर कारण है;

एह, मैंने सौ वर्षों से हाथ से कुछ भी नहीं बनाया है, यहाँ आप जाएँ:

हमेशा की तरह, यह थोड़ा गंदा निकला =)

मैं प्रस्तुत करूंगा जटिल रूपअंक और, पहला और तीसरा अंक स्वतंत्र निर्णय के लिए होगा।

आइए संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें। आइए इसका मापांक और तर्क खोजें।

शिक्षण योजना।

1. संगठनात्मक क्षण.

2. सामग्री की प्रस्तुति.

3. गृहकार्य.

4. पाठ का सारांश।

कक्षाओं के दौरान

I. संगठनात्मक क्षण.

द्वितीय. सामग्री की प्रस्तुति.

प्रेरणा।

वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के विस्तार में वास्तविक संख्याओं में नई संख्याएँ (काल्पनिक) जोड़ना शामिल है। इन संख्याओं का परिचय वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक संख्या का मूल निकालने की असंभवता के कारण है।

सम्मिश्र संख्या की अवधारणा का परिचय.

काल्पनिक संख्याएँ, जिनसे हम वास्तविक संख्याओं की पूर्ति करते हैं, प्रपत्र में लिखी जाती हैं द्वि, कहाँ मैंएक काल्पनिक इकाई है, और मैं 2 = - 1.

इसके आधार पर, हमें सम्मिश्र संख्या की निम्नलिखित परिभाषा प्राप्त होती है।

परिभाषा. सम्मिश्र संख्या रूप की अभिव्यक्ति है ए+बी, कहाँ एऔर बी- वास्तविक संख्या। इस मामले में, निम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

ए) दो सम्मिश्र संख्याएँ ए 1 + बी 1 आईऔर ए 2 + बी 2 आईयदि और केवल यदि के बराबर ए 1 =ए 2, बी 1 = बी 2.

बी) सम्मिश्र संख्याओं का योग नियम द्वारा निर्धारित होता है:

(ए 1 + बी 1 आई) + (ए 2 + बी 2 आई) = (ए 1 + ए 2) + (बी 1 + बी 2) आई.

ग) सम्मिश्र संख्याओं का गुणन नियम द्वारा निर्धारित होता है:

(ए 1 + बी 1 आई) (ए 2 + बी 2 आई) = (ए 1 ए 2 - बी 1 बी 2) + (ए 1 बी 2 - ए 2 बी 1) आई.

सम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप.

प्रपत्र में सम्मिश्र संख्या लिखना ए+बीसम्मिश्र संख्या का बीजगणितीय रूप कहा जाता है, जहाँ ए- वास्तविक भाग, द्विकाल्पनिक भाग है, और बी- वास्तविक संख्या।

जटिल संख्या ए+बीइसे शून्य के बराबर माना जाता है यदि इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग शून्य के बराबर हों: ए = बी = 0

जटिल संख्या ए+बीपर बी = 0वास्तविक संख्या के समान ही माना जाता है ए: ए + 0आई = ए.

जटिल संख्या ए+बीपर ए = 0पूर्णतः काल्पनिक कहा जाता है और निरूपित किया जाता है द्वि: 0 + द्वि = द्वि.

दो सम्मिश्र संख्याएँ z = ए + द्विऔर = ए - द्वि, जो केवल काल्पनिक भाग के चिह्न में भिन्न होते हैं, संयुग्म कहलाते हैं।

बीजगणितीय रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर संक्रियाएँ।

आप बीजगणितीय रूप में जटिल संख्याओं पर निम्नलिखित परिचालन कर सकते हैं।

1) जोड़.

परिभाषा. सम्मिश्र संख्याओं का योग जेड 1 = ए 1 + बी 1 आईऔर जेड 2 = ए 2 + बी 2 आईसम्मिश्र संख्या कहलाती है जेड, जिसका वास्तविक भाग वास्तविक भागों के योग के बराबर है z 1और z 2, और काल्पनिक भाग संख्याओं के काल्पनिक भागों का योग है z 1और z 2, वह है जेड = (ए 1 + ए 2) + (बी 1 + बी 2)आई.

नंबर z 1और z 2पद कहलाते हैं.

सम्मिश्र संख्याओं के योग में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1º. क्रमपरिवर्तनशीलता: जेड 1 + जेड 2 = जेड 2 + जेड 1.

2º. साहचर्य: (जेड 1 + जेड 2) + जेड 3 = जेड 1 + (जेड 2 + जेड 3)।

3º. जटिल संख्या -ए -द्विसम्मिश्र संख्या का विपरीत कहा जाता है z = ए + द्वि. सम्मिश्र संख्या, सम्मिश्र संख्या के विपरीत जेड, निरूपित -जेड. सम्मिश्र संख्याओं का योग जेडऔर -जेडशून्य के बराबर: z + (-z) = 0

उदाहरण 1: जोड़ निष्पादित करें (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) घटाव.

परिभाषा।किसी सम्मिश्र संख्या से घटाएँ z 1जटिल संख्या z 2 जेड,क्या जेड + जेड 2 = जेड 1.

प्रमेय. जटिल संख्याओं के बीच अंतर मौजूद है और अद्वितीय है।

उदाहरण 2: घटाव करें (4 – 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2आई) - (-3 + 2आई) = (4 - (-3)) + (-2 - 2) आई = 7 - 4आई.

3) गुणन.

परिभाषा. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल जेड 1 =ए 1 +बी 1 आईऔर जेड 2 =ए 2 +बी 2 मैंसम्मिश्र संख्या कहलाती है जेड, समानता द्वारा परिभाषित: z = (ए 1 ए 2 - बी 1 बी 2) + (ए 1 बी 2 + ए 2 बी 1)i.

नंबर z 1और z 2कारक कहलाते हैं।

सम्मिश्र संख्याओं के गुणन में निम्नलिखित गुण होते हैं:

1º. क्रमपरिवर्तनशीलता: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2º. साहचर्य: (जेड 1 जेड 2)जेड 3 = जेड 1 (जेड 2 जेड 3)

3º. जोड़ के सापेक्ष गुणन की वितरणशीलता:

(जेड 1 + जेड 2) जेड 3 = जेड 1 जेड 3 + जेड 2 जेड 3.

4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- वास्तविक संख्या।

व्यवहार में, सम्मिश्र संख्याओं का गुणन किसी योग को योग से गुणा करने और वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने के नियम के अनुसार किया जाता है।

निम्नलिखित उदाहरण में, हम सम्मिश्र संख्याओं को दो तरीकों से गुणा करने पर विचार करेंगे: नियम से और योग को योग से गुणा करके।

उदाहरण 3: गुणा करें (2 + 3i) (5 - 7i).

1 रास्ता. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) )i = 31 + i.

विधि 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) प्रभाग.

परिभाषा. किसी सम्मिश्र संख्या को विभाजित करें z 1एक जटिल संख्या के लिए z 2, का अर्थ है ऐसी सम्मिश्र संख्या ज्ञात करना जेड, क्या जेड जेड 2 = जेड 1.

प्रमेय.सम्मिश्र संख्याओं का भागफल मौजूद है और अद्वितीय है यदि z 2 ≠ 0 + 0i.

व्यवहार में, सम्मिश्र संख्याओं का भागफल अंश और हर को हर के संयुग्मक से गुणा करके पाया जाता है।

होने देना जेड 1 = ए 1 + बी 1 आई, जेड 2 = ए 2 + बी 2 आई, तब

.

निम्नलिखित उदाहरण में, हम हर से संयुग्मित संख्या द्वारा सूत्र और गुणा के नियम का उपयोग करके विभाजन करेंगे।

उदाहरण 4. भागफल ज्ञात कीजिए .

5) एक सकारात्मक संपूर्ण शक्ति की ओर बढ़ना।

a) काल्पनिक इकाई की शक्तियाँ।

समानता का लाभ उठा रहे हैं मैं 2 = -1, काल्पनिक इकाई की किसी भी सकारात्मक पूर्णांक शक्ति को परिभाषित करना आसान है। हमारे पास है:

मैं 3 = मैं 2 मैं = -मैं,

मैं 4 = मैं 2 मैं 2 = 1,

मैं 5 = मैं 4 मैं = मैं,

मैं 6 = मैं 4 मैं 2 = -1,

मैं 7 = मैं 5 मैं 2 = -मैं,

मैं 8 = मैं 6 मैं 2 = 1वगैरह।

इससे पता चलता है कि डिग्री मान में, कहाँ एन- एक धनात्मक पूर्णांक, संकेतक बढ़ने पर समय-समय पर दोहराया जाता है 4 .

इसलिए संख्या बढ़ानी है मैंएक सकारात्मक संपूर्ण शक्ति के लिए, हमें घातांक को विभाजित करना होगा 4 और निर्माण मैंउस घात के लिए जिसका घातांक भाग के शेष भाग के बराबर है।

उदाहरण 5: गणना करें: (आई 36 + आई 17) आई 23.

मैं 36 = (मैं 4) 9 = 1 9 = 1,

मैं 17 = मैं 4 × 4+1 = (मैं 4) 4 × मैं = 1 · मैं = मैं।

मैं 23 = मैं 4 × 5+3 = (मैं 4) 5 × मैं 3 = 1 मैं 3 = - मैं।

(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.

बी) एक जटिल संख्या को एक सकारात्मक पूर्णांक शक्ति तक बढ़ाना एक द्विपद को संबंधित शक्ति तक बढ़ाने के नियम के अनुसार किया जाता है, क्योंकि यह प्रतिनिधित्व करता है विशेष मामलासमान जटिल कारकों का गुणन।

उदाहरण 6: गणना करें: (4+2आई)3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.