समाधान।
संभावना है कि कोई प्रतीक नहीं खींचा गया: P(0) = 0.5*0.5*0.5= 0.125
पी(1)= 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
पी(2)= 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
हथियारों के तीन कोट प्राप्त करने की संभावना: पी(3) = 0.5*0.5*0.5 = 0.125
यादृच्छिक चर X का वितरण नियम:
| एक्स | 0 | 1 | 2 | 3 |
| पी | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
उदाहरण क्रमांक 2. पहले निशानेबाज के लिए एक निशानेबाज द्वारा एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.8 है, दूसरे निशानेबाज के लिए - 0.85। निशानेबाजों ने लक्ष्य पर एक गोली चलाई। लक्ष्य को भेदने को व्यक्तिगत निशानेबाजों के लिए स्वतंत्र घटनाओं के रूप में मानते हुए, घटना ए की संभावना ज्ञात कीजिए - लक्ष्य पर ठीक एक प्रहार।
समाधान।
घटना ए पर विचार करें - लक्ष्य पर एक प्रहार। संभावित विकल्पइस घटना की घटना इस प्रकार है:
- पहला शूटर मारा, दूसरा शूटर चूक गया: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- पहला निशानेबाज चूक गया, दूसरे निशानेबाज ने लक्ष्य मारा: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- पहला और दूसरा तीर एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से लक्ष्य पर प्रहार करते हैं: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक चर है जो विभिन्न परिस्थितियों के आधार पर कुछ निश्चित मान ले सकता है, और बदले में, यादृच्छिक मूल्यबुलाया अलग , यदि इसके मानों का समुच्चय परिमित या गणनीय है।
असतत यादृच्छिक चर के अलावा, निरंतर यादृच्छिक चर भी होते हैं।
आइए यादृच्छिक चर की अवधारणा पर अधिक विस्तार से विचार करें। व्यवहार में, अक्सर ऐसी मात्राएँ होती हैं जो कुछ निश्चित मान ले सकती हैं, लेकिन यह विश्वसनीय रूप से भविष्यवाणी करना असंभव है कि उनमें से प्रत्येक विचाराधीन अनुभव, घटना या अवलोकन में क्या मूल्य लेगा। उदाहरण के लिए, अगले दिन मॉस्को में पैदा होने वाले लड़कों की संख्या भिन्न हो सकती है। यह शून्य के बराबर हो सकता है (एक भी लड़का पैदा नहीं होगा: सभी लड़कियाँ पैदा होंगी या कोई नवजात शिशु नहीं होगा), एक, दो, और इसी तरह कुछ सीमित संख्या तक एन. ऐसे मूल्यों में शामिल हैं: साइट पर चुकंदर की जड़ों का द्रव्यमान, एक तोपखाने के गोले की उड़ान सीमा, एक बैच में दोषपूर्ण भागों की संख्या, और इसी तरह। ऐसी मात्राओं को हम यादृच्छिक कहेंगे। वे हर चीज़ का वर्णन करते हैं संभावित परिणाममात्रात्मक पक्ष से अनुभव या अवलोकन।
असतत यादृच्छिक चर के उदाहरण मूल्यों की एक सीमित संख्या के साथ दिन के दौरान पैदा हुए बच्चों की संख्या हो सकती है इलाका, बस यात्रियों की संख्या, प्रति दिन मास्को मेट्रो द्वारा ले जाए जाने वाले यात्रियों की संख्या, आदि।
असतत यादृच्छिक चर के मानों की संख्या एक अनंत, लेकिन गणनीय सेट हो सकती है। लेकिन किसी भी मामले में, उन्हें किसी क्रम में क्रमांकित किया जा सकता है, या, अधिक सटीक रूप से, यादृच्छिक चर के मूल्यों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सकता है और प्राकृतिक संख्या 1, 2, 3, ..., एन.
ध्यान दें: संभाव्यता सिद्धांत में एक नई, बहुत महत्वपूर्ण अवधारणा - वितरण कानून
. होने देना एक्सस्वीकार कर सकते हैं एनमान: . हम मान लेंगे कि वे सभी अलग-अलग हैं (अन्यथा समान को संयोजित किया जाना चाहिए) और आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जाएगा। के लिए पूर्ण विशेषताएँअसतत यादृच्छिक चर न केवल इसके सभी मान, बल्कि संभावनाएं भी निर्दिष्ट की जानी चाहिए
, जिसके साथ यादृच्छिक चर प्रत्येक मान लेता है, अर्थात। 
.
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम किसी भी नियम (फ़ंक्शन, टेबल) को कॉल किया जाता है पी(एक्स), जो आपको एक यादृच्छिक चर से जुड़ी सभी प्रकार की घटनाओं की संभावनाओं को खोजने की अनुमति देता है (उदाहरण के लिए, संभावना है कि यह कुछ मूल्य का एक उदाहरण है या कुछ अंतराल में आता है)।
असतत यादृच्छिक चर के वितरण नियम को निम्नलिखित तालिका के रूप में सेट करना सबसे सरल और सुविधाजनक है:
| अर्थ | ... | |||
| संभावना | ... |
इस तालिका को कहा जाता है एक असतत यादृच्छिक चर के वितरण के निकट. वितरण श्रृंखला की शीर्ष पंक्ति सभी को आरोही क्रम में सूचीबद्ध करती है संभावित मानअसतत यादृच्छिक चर (x), और निचले भाग में - इन मानों की संभावना ( पी).
आयोजन 
असंगत और एकमात्र संभव हैं: वे घटनाओं की एक पूरी प्रणाली बनाते हैं। इसलिए, उनकी संभावनाओं का योग एक के बराबर है:
.
उदाहरण 1।छात्र समूह में लॉटरी का आयोजन किया गया। 1,000 रूबल मूल्य की दो वस्तुएँ खरीदने के लिए उपलब्ध हैं। और एक की कीमत 3,000 रूबल है। 100 रूबल के लिए एक टिकट खरीदने वाले छात्र के लिए शुद्ध जीत की राशि के लिए एक वितरण कानून बनाएं। कुल 50 टिकट बिके।
समाधान। जिस यादृच्छिक चर में हम रुचि रखते हैं वह है एक्सतीन मान ले सकते हैं:- 100 रूबल। (यदि छात्र जीतता नहीं है, लेकिन वास्तव में टिकट के लिए भुगतान किए गए 100 रूबल हार जाता है), 900 रूबल। और 2900 रूबल। (वास्तविक जीत टिकट की कीमत से 100 रूबल कम हो जाती है)। पहले परिणाम को 50 में से 47 बार, दूसरे को 2, और तीसरे को एक बार पसंद किया गया। इसलिए उनकी संभावनाएँ हैं: पी(एक्स=-100)=47/50=0,94 , पी(एक्स=900)=2/50=0,04 , पी(एक्स=2900)=1/50=0,02 .
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक्सकी तरह लगता है
| जीत की रकम | -100 | 900 | 2900 |
| संभावना | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य: निर्माण
एक वितरण श्रृंखला का निर्माण केवल एक असतत यादृच्छिक चर के लिए किया जा सकता है (एक गैर-असतत यादृच्छिक चर के लिए इसका निर्माण नहीं किया जा सकता है, यदि केवल इसलिए कि ऐसे यादृच्छिक चर के संभावित मानों का सेट बेशुमार है, तो उन्हें शीर्ष में सूचीबद्ध नहीं किया जा सकता है मेज की पंक्ति).
अधिकांश सामान्य फ़ॉर्मवितरण कानून, सभी यादृच्छिक चर (असतत और गैर-असतत दोनों) के लिए उपयुक्त, वितरण फ़ंक्शन है।
असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्यया अभिन्न कार्यफ़ंक्शन कहा जाता है 
, जो यादृच्छिक चर के मान की संभावना निर्धारित करता है एक्ससीमा मान से कम या उसके बराबर एक्स.
किसी भी असतत यादृच्छिक चर का वितरण फ़ंक्शन एक असंतत चरण फ़ंक्शन है, जिसकी छलांग यादृच्छिक चर के संभावित मूल्यों के अनुरूप बिंदुओं पर होती है और इन मूल्यों की संभावनाओं के बराबर होती है।
उदाहरण 2.असतत यादृच्छिक चर एक्स- पासा फेंकने पर प्राप्त अंकों की संख्या। इसके वितरण फलन की गणना करें।
समाधान। असतत यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला एक्सइसका रूप है:
| अर्थ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| संभावना | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
वितरण समारोह एफ(एक्स) में 1/6 परिमाण के बराबर 6 छलाँगें हैं (नीचे दिए गए चित्र में)।
उदाहरण 3.कलश में 6 सफेद गेंदें और 4 काली गेंदें हैं। कलश से 3 गेंदें निकाली जाती हैं। निकाली गई गेंदों में से सफेद गेंदों की संख्या एक अलग यादृच्छिक चर है एक्स. इसके अनुरूप एक वितरण कानून बनाएं।
एक्स 0, 1, 2, 3 मान ले सकते हैं। संबंधित संभावनाओं की गणना सबसे आसानी से की जा सकती है संभाव्यता गुणन नियम. हमें असतत यादृच्छिक चर के वितरण का निम्नलिखित नियम प्राप्त होता है:
| अर्थ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| संभावना | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
उदाहरण 4.एक असतत यादृच्छिक चर के लिए एक वितरण कानून बनाएं - चार शॉट्स के साथ लक्ष्य पर हिट की संख्या, यदि एक शॉट के साथ हिट की संभावना 0.1 है।
समाधान। असतत यादृच्छिक चर एक्सपाँच अलग-अलग मान ले सकते हैं: 1, 2, 3, 4, 5. हम इसका उपयोग करके संगत संभावनाएँ पाते हैं बर्नौली का सूत्र
. पर
एन = 4 ,
पी = 1,1 ,
क्यू = 1 - पी = 0,9 ,
एम = 0, 1, 2, 3, 4
हम पाते हैं
नतीजतन, एक असतत यादृच्छिक चर का वितरण कानून एक्सकी तरह लगता है
यदि असतत यादृच्छिक चर के मानों की संभावनाओं को बर्नौली सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है, तो यादृच्छिक चर है द्विपद वितरण .
यदि परीक्षणों की संख्या काफी बड़ी है, तो संभावना है कि इन परीक्षणों में रुचि की घटना घटित होगी एमकई बार, कानून का पालन करता है पॉसों वितरण .
असतत यादृच्छिक चर का वितरण कार्य: गणना
असतत यादृच्छिक चर के वितरण फ़ंक्शन की गणना करने के लिए एफ(एक्स), उन सभी मानों की संभावनाओं को जोड़ना आवश्यक है जो सीमा मान से कम या उसके बराबर हैं एक्स.
उदाहरण 5.तालिका विवाह की अवधि पर वर्ष के दौरान विघटित विवाहों की संख्या की निर्भरता को दर्शाती है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि अगली तलाकशुदा शादी 5 वर्ष से कम या उसके बराबर चली।
| विवाह की अवधि (वर्ष) | संख्या | संभावना | एफ(एक्स) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 या अधिक | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| कुल | 6010 | 1 |
समाधान। संभावनाओं की गणना संगत विघटित विवाहों की संख्या को 6010 की कुल संख्या से विभाजित करके की जाती है। संभावना है कि अगला विघटित विवाह 5 साल तक चलेगा 0.056 है। अगले तलाकशुदा विवाह की अवधि 5 वर्ष से कम या उसके बराबर होने की संभावना 0.186 है। हमने इसे मूल्य में जोड़कर प्राप्त किया एफ(एक्स) 4 वर्ष की अवधि वाले विवाहों के लिए, 5 वर्ष की अवधि वाले विवाहों की संभावना।
असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून और गणितीय अपेक्षा और फैलाव के बीच संबंध
अक्सर असतत यादृच्छिक चर के सभी मान ज्ञात नहीं होते हैं, लेकिन श्रृंखला से कुछ मान या संभावनाएँ ज्ञात होती हैं, साथ ही गणितीय अपेक्षा और (या) एक यादृच्छिक चर का विचरण, जिसके लिए एक अलग पाठ समर्पित है।
आइए यहां इस पाठ से कुछ सूत्र प्रस्तुत करें जो असतत यादृच्छिक चर के वितरण कानून को तैयार करते समय मदद कर सकते हैं और ऐसी समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।
एक असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा उसके सभी संभावित मूल्यों और इन मूल्यों की संभावनाओं के उत्पादों का योग है:
(1)
परिभाषा के अनुसार असतत यादृच्छिक चर के विचरण का सूत्र है:
अक्सर गणना के लिए निम्नलिखित फैलाव सूत्र अधिक सुविधाजनक होता है:
, (2)
कहाँ 
.
उदाहरण 6.असतत यादृच्छिक चर एक्सकेवल दो मान ले सकते हैं। यह संभाव्यता के साथ छोटा मान लेता है पी= 0.6. असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम ज्ञात कीजिए एक्स, यदि यह ज्ञात हो कि इसकी गणितीय अपेक्षा और विचरण हैं।
समाधान। संभावना है कि एक यादृच्छिक चर एक बड़ा मान लेगा एक्स2 , 1 − 0.6 = 4 के बराबर है। गणितीय अपेक्षा के सूत्र (1) का उपयोग करके, हम एक समीकरण बनाते हैं जिसमें अज्ञात हमारे असतत यादृच्छिक चर के मान हैं:
विचरण सूत्र (2) का उपयोग करते हुए, हम एक और समीकरण बनाते हैं जिसमें अज्ञात भी एक असतत यादृच्छिक चर के मान होते हैं:
दो प्राप्त समीकरणों की एक प्रणाली
प्रतिस्थापन विधि से हल करें। पहले समीकरण से हमें प्राप्त होता है
इस अभिव्यक्ति को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, सरल परिवर्तनों के बाद हमें प्राप्त होता है द्विघात समीकरण
,
जिसके दो मूल हैं: 7/5 और -1। चूंकि, पहली जड़ समस्या की शर्तों को पूरा नहीं करती है एक्स2 < एक्स 1 . इस प्रकार, वे मान जो एक असतत यादृच्छिक चर ले सकते हैं एक्सहमारे उदाहरण की शर्तों के अनुसार, बराबर हैं एक्स1 = −1 और एक्स2 = 2 .
इस पृष्ठ पर हमने शैक्षिक समाधानों के उदाहरण एकत्र किए हैं असतत यादृच्छिक चर के बारे में समस्याएं. यह एक काफी व्यापक अनुभाग है: विभिन्न वितरण कानून (द्विपद, ज्यामितीय, हाइपरजियोमेट्रिक, पॉइसन और अन्य), प्रत्येक वितरण श्रृंखला के लिए गुणों और संख्यात्मक विशेषताओं का अध्ययन किया जाता है, ग्राफिकल प्रतिनिधित्व बनाया जा सकता है: संभावनाओं का बहुभुज (बहुभुज), वितरण फ़ंक्शन;
नीचे आपको असतत यादृच्छिक चर के बारे में निर्णयों के उदाहरण मिलेंगे, जिसमें आपको वितरण कानून तैयार करने के लिए संभाव्यता सिद्धांत के पिछले अनुभागों से ज्ञान लागू करने की आवश्यकता है, और फिर गणितीय अपेक्षा, फैलाव, मानक विचलन की गणना करें, एक वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें, उत्तर दें डीएसवी आदि के बारे में प्रश्न। पी.
लोकप्रिय संभाव्यता वितरण कानूनों के उदाहरण:
डीएसवी विशेषताओं के लिए कैलकुलेटर
- डीएसवी की गणितीय अपेक्षा, फैलाव और मानक विचलन की गणना।
डीएसवी के बारे में समस्याओं का समाधान किया गया
ज्यामितीय के करीब वितरण
कार्य 1।कार के रास्ते में 4 ट्रैफिक लाइटें हैं, जिनमें से प्रत्येक 0.5 की संभावना के साथ कार की आगे की गति को रोकती है। पहले पड़ाव से पहले कार द्वारा गुजरी गई ट्रैफिक लाइटों की संख्या की वितरण श्रृंखला ज्ञात कीजिए। इस यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा और विचरण क्या हैं?
कार्य 2.शिकारी खेल में पहली हिट तक गोली चलाता है, लेकिन चार से अधिक गोली नहीं चला पाता है। यदि एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.7 है तो चूक की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं। इस यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
कार्य 3.शूटर, जिसके पास 3 कारतूस हैं, पहली हिट होने तक लक्ष्य पर गोली चलाता है। पहले, दूसरे और तीसरे शॉट के लिए हिट संभावनाएँ क्रमशः 0.6, 0.5, 0.4 हैं। एस.वी. $\xi$ - शेष कारतूसों की संख्या। एक यादृच्छिक चर की वितरण श्रृंखला संकलित करें, गणितीय अपेक्षा, विचरण, माध्य ज्ञात करें मानक विचलनआर.वी., आर.वी. वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें, $P(|\xi-m| \le \sigma$ ढूंढें।
कार्य 4.बॉक्स में 7 मानक और 3 दोषपूर्ण भाग हैं। वे हिस्सों को क्रमानुसार तब तक निकालते हैं जब तक कि मानक हिस्सा सामने न आ जाए, उन्हें वापस लौटाए बिना। $\xi$ पुनर्प्राप्त किए गए दोषपूर्ण भागों की संख्या है।
एक असतत यादृच्छिक चर $\xi$ के लिए एक वितरण कानून बनाएं, इसकी गणितीय अपेक्षा, विचरण, मानक विचलन की गणना करें, एक वितरण बहुभुज और वितरण फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं।
स्वतंत्र घटनाओं के साथ कार्य
कार्य 5.संभाव्यता सिद्धांत में 3 छात्र दोबारा परीक्षा में शामिल हुए। पहले व्यक्ति के परीक्षा उत्तीर्ण करने की प्रायिकता 0.8, दूसरे की 0.7 और तीसरे की 0.9 है। परीक्षा उत्तीर्ण करने वाले छात्रों की संख्या के यादृच्छिक चर $\xi$ की वितरण श्रृंखला खोजें, वितरण फ़ंक्शन को प्लॉट करें, $M(\xi), D(\xi)$ खोजें।
कार्य 6.एक शॉट से लक्ष्य को भेदने की संभावना 0.8 है और प्रत्येक शॉट के साथ 0.1 कम हो जाती है। यदि तीन गोलियां चलाई जाती हैं तो लक्ष्य पर हिट की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं। अपेक्षित मान, विचरण और S.K.O ज्ञात करें। यह यादृच्छिक चर. वितरण फलन का ग्राफ बनाइये।
कार्य 7.लक्ष्य पर 4 गोलियाँ चलाई गईं। हिट की संभावना इस प्रकार बढ़ती है: 0.2, 0.4, 0.6, 0.7। यादृच्छिक चर $X$ के वितरण का नियम ज्ञात करें - हिट की संख्या। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि $X \ge 1$।
कार्य 8.दो सममित सिक्कों को उछाला जाता है और सिक्कों के दोनों ऊपरी किनारों पर हथियारों के कोट की संख्या गिना जाता है। हम एक अलग यादृच्छिक चर $X$ पर विचार करते हैं - दोनों सिक्कों पर हथियारों के कोट की संख्या। यादृच्छिक चर $X$ का वितरण नियम लिखें, इसकी गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें।
डीएसवी के वितरण की अन्य समस्याएं और कानून
कार्य 9.दो बास्केटबॉल खिलाड़ी टोकरी में तीन शॉट लगाते हैं। पहले बास्केटबॉल खिलाड़ी के लिए हिट होने की संभावना 0.6 है, दूसरे के लिए - 0.7। मान लीजिए $X$ पहले और दूसरे बास्केटबॉल खिलाड़ियों के सफल शॉट्स की संख्या के बीच का अंतर है। यादृच्छिक चर $X$ की वितरण श्रृंखला, मोड और वितरण फ़ंक्शन खोजें। एक वितरण बहुभुज और वितरण फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं। अपेक्षित मान, विचरण और मानक विचलन की गणना करें। घटना $(-2 \lt X \le 1)$ की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
समस्या 10.एक निश्चित बंदरगाह पर लोडिंग के लिए प्रतिदिन आने वाले अनिवासी जहाजों की संख्या एक यादृच्छिक चर $X$ है, जो इस प्रकार दी गई है:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
ए) सुनिश्चित करें कि वितरण श्रृंखला निर्दिष्ट है,
बी) यादृच्छिक चर $X$ का वितरण फ़ंक्शन ढूंढें,
सी) यदि किसी दिन तीन से अधिक जहाज आते हैं, तो बंदरगाह अतिरिक्त ड्राइवरों और लोडरों को किराए पर लेने की आवश्यकता के कारण लागत की जिम्मेदारी लेता है। इसकी क्या संभावना है कि बंदरगाह पर अतिरिक्त लागत लगेगी?
डी) यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें।
समस्या 11.फेंकना 4 पासा. सभी पक्षों पर दिखाई देने वाले अंकों की संख्या के योग की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।
समस्या 12.दोनों बारी-बारी से एक सिक्का उछालते हैं जब तक कि हथियारों का कोट पहली बार सामने न आ जाए। जिस खिलाड़ी को हथियारों का कोट मिला, उसे दूसरे खिलाड़ी से 1 रूबल मिलता है। प्रत्येक खिलाड़ी के लिए जीत की गणितीय अपेक्षा ज्ञात कीजिए।
जैसा कि ज्ञात है, अनियमित परिवर्तनशील वस्तु एक परिवर्तनशील मात्रा कहलाती है जो मामले के आधार पर कुछ निश्चित मान ले सकती है। यादृच्छिक चर निरूपित करते हैं बड़े अक्षर में लैटिन वर्णमाला(एक्स, वाई, जेड), और उनके मान संबंधित लोअरकेस अक्षरों (एक्स, वाई, जेड) में दर्शाए गए हैं। यादृच्छिक चर को असंतत (असतत) और निरंतर में विभाजित किया गया है।
असतत यादृच्छिक चर एक यादृच्छिक चर है जो कुछ गैर-शून्य संभावनाओं के साथ मूल्यों का केवल एक सीमित या अनंत (गणनीय) सेट लेता है।
असतत यादृच्छिक चर का वितरण नियम एक फ़ंक्शन है जो एक यादृच्छिक चर के मानों को उनकी संबंधित संभावनाओं से जोड़ता है। वितरण कानून को निम्नलिखित में से किसी एक तरीके से निर्दिष्ट किया जा सकता है।
1 . वितरण कानून तालिका द्वारा दिया जा सकता है:
जहां λ>0, k = 0, 1, 2,…।
वी)का उपयोग करके वितरण फलन F(x) , जो प्रत्येक मान x के लिए संभावना निर्धारित करता है कि यादृच्छिक चर X, x से कम मान लेगा, अर्थात। एफ(एक्स) = पी(एक्स< x).
फ़ंक्शन के गुण F(x)
3 . वितरण कानून को रेखांकन द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है – वितरण बहुभुज (बहुभुज) (समस्या 3 देखें)।
ध्यान दें कि कुछ समस्याओं को हल करने के लिए वितरण कानून को जानना आवश्यक नहीं है। कुछ मामलों में, एक या अधिक संख्याओं को जानना पर्याप्त है जो सबसे अधिक प्रतिबिंबित करती हैं महत्वपूर्ण विशेषताएंवितरण का नियम. यह एक ऐसी संख्या हो सकती है जिसमें किसी यादृच्छिक चर के "औसत" का अर्थ हो, या कोई संकेत देने वाली संख्या हो औसत आकारकिसी यादृच्छिक चर का उसके माध्य मान से विचलन। इस प्रकार की संख्याओं को यादृच्छिक चर की संख्यात्मक विशेषताएँ कहा जाता है।
असतत यादृच्छिक चर की बुनियादी संख्यात्मक विशेषताएँ :
- गणितीय अपेक्षा
एक असतत यादृच्छिक चर का (औसत मान)। एम(एक्स)=Σ एक्स आई पी आई.
द्विपद वितरण के लिए M(X)=np, पॉइसन वितरण के लिए M(X)=λ - फैलाव
असतत यादृच्छिक चर डी(एक्स)=एम2या डी(एक्स) = एम(एक्स 2)− 2. अंतर X-M(X) को गणितीय अपेक्षा से यादृच्छिक चर का विचलन कहा जाता है।
द्विपद वितरण के लिए D(X)=npq, पॉइसन वितरण के लिए D(X)=λ - मानक विचलन (मानक विचलन) σ(X)=√D(X).
"असतत यादृच्छिक चर के वितरण का नियम" विषय पर समस्याओं को हल करने के उदाहरण
कार्य 1।
1000 लॉटरी टिकट जारी किए गए: उनमें से 5 500 रूबल जीतेंगे, 10 100 रूबल जीतेंगे, 20 50 रूबल जीतेंगे, 50 10 रूबल जीतेंगे। यादृच्छिक चर X - प्रति टिकट जीत की संभाव्यता वितरण का नियम निर्धारित करें।
समाधान। समस्या की स्थितियों के अनुसार, यादृच्छिक चर X के निम्नलिखित मान संभव हैं: 0, 10, 50, 100 और 500।
बिना जीते टिकटों की संख्या 1000 है - (5+10+20+50) = 915, फिर पी(एक्स=0) = 915/1000 = 0.915।
इसी तरह, हम अन्य सभी संभावनाएँ पाते हैं: P(X=0) = 50/1000=0.05, P(X=50) = 20/1000=0.02, P(X=100) = 10/1000=0.01, P(X =500) = 5/1000=0.005. आइए परिणामी कानून को एक तालिका के रूप में प्रस्तुत करें:
आइए मान X की गणितीय अपेक्षा ज्ञात करें: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5
कार्य 3.
डिवाइस में तीन स्वतंत्र रूप से संचालित होने वाले तत्व होते हैं। एक प्रयोग में प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावना 0.1 है। एक प्रयोग में विफल तत्वों की संख्या के लिए एक वितरण कानून बनाएं, एक वितरण बहुभुज का निर्माण करें। वितरण फ़ंक्शन F(x) ढूंढें और इसे प्लॉट करें। असतत यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा, विचरण और मानक विचलन ज्ञात करें।
समाधान। 1. असतत यादृच्छिक चर दो तत्व विफल रहे) और x 4 =3 (तीन तत्व विफल रहे)।
तत्वों की विफलता एक दूसरे से स्वतंत्र होती है, प्रत्येक तत्व की विफलता की संभावनाएँ समान होती हैं, इसलिए यह लागू होता है बर्नौली सूत्र
. यह ध्यान में रखते हुए, शर्त के अनुसार, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, हम मानों की संभावनाएँ निर्धारित करते हैं:
पी 3 (0) = सी 3 0 पी 0 क्यू 3-0 = क्यू 3 = 0.9 3 = 0.729;
पी 3 (1) = सी 3 1 पी 1 क्यू 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
पी 3 (2) = सी 3 2 पी 2 क्यू 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
पी 3 (3) = सी 3 3 पी 3 क्यू 3-3 = पी 3 =0.1 3 = 0.001;
जांचें: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.
इस प्रकार, एक्स के वांछित द्विपद वितरण कानून का रूप है:
हम भुज अक्ष के अनुदिश x i के संभावित मान और कोटि अक्ष के अनुदिश संगत संभाव्यताएँ p i आलेखित करते हैं। आइए बिंदु M 1 (0; 0.729), M 2 (1; 0.243), M 3 (2; 0.027), M 4 (3; 0.001) बनाएं। इन बिंदुओं को सीधी रेखा खंडों से जोड़कर, हम वांछित वितरण बहुभुज प्राप्त करते हैं।
3. आइए वितरण फलन F(x) = Р(Х) ज्ञात करें
x ≤ 0 के लिए हमारे पास F(x) = Р(Х है<0) = 0;0 के लिए< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 के लिए< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 के लिए< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 के लिए F(x) = 1 होगा, क्योंकि घटना विश्वसनीय है.
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फ़ंक्शन का ग्राफ़ F(x)
4.
द्विपद बंटन X के लिए:
- गणितीय अपेक्षा एम(एक्स) = एनपी = 3*0.1 = 0.3;
- विचरण D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- मानक विचलन σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.
इस पृष्ठ पर हमने शैक्षिक समस्याओं को हल करने के लिए एक संक्षिप्त सिद्धांत और उदाहरण एकत्र किए हैं जिसमें एक अलग यादृच्छिक चर पहले से ही इसकी वितरण श्रृंखला (सारणीबद्ध रूप) द्वारा निर्दिष्ट किया गया है और इसका अध्ययन करना आवश्यक है: संख्यात्मक विशेषताओं को ढूंढना, ग्राफ़ बनाना आदि। ज्ञात प्रकार के वितरण के उदाहरण निम्नलिखित लिंक पर पाए जा सकते हैं:
डीएसवी के बारे में संक्षिप्त सिद्धांत
एक असतत यादृच्छिक चर को उसकी वितरण श्रृंखला द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है: मानों की एक सूची $x_i$ जिसे वह ले सकता है और संबंधित संभावनाएं $p_i=P(X=x_i)$। यादृच्छिक चर के मानों की संख्या परिमित या गणनीय हो सकती है। निश्चितता के लिए, हम $i=\overline(1,n)$ मामले पर विचार करेंगे। फिर असतत यादृच्छिक चर का सारणीबद्ध प्रतिनिधित्व इस प्रकार है:
$$ \begin(array)(|c|c|) \hline $
इस मामले में, सामान्यीकरण की स्थिति पूरी होती है: सभी संभावनाओं का योग एक के बराबर होना चाहिए
$$\sum_(i=1)^(n) p_i=1$$
ग्राफ़िक रूप से, वितरण श्रृंखला का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है वितरण बहुभुज(या वितरण बहुभुज). ऐसा करने के लिए, निर्देशांक $(x_i,p_i)$ वाले बिंदुओं को समतल पर अंकित किया जाता है और एक टूटी हुई रेखा द्वारा क्रम से जोड़ा जाता है। आपको विस्तृत उदाहरण मिलेंगे.
डीएसवी की संख्यात्मक विशेषताएं
अपेक्षित मूल्य:
$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$
फैलाव:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $
मानक विचलन:
$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$
भिन्नता का गुणांक:
$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.
मोड: उच्चतम संभावना $p_k=\max_i(p_i)$ के साथ मूल्य $Mo=x_k$।
आप डीएसवी के अपेक्षित मूल्य, भिन्नता और मानक विचलन की गणना करने के लिए ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।
डीएसवी वितरण समारोह
वितरण श्रृंखला के आधार पर कोई भी संकलन कर सकता है वितरण समारोहअसतत यादृच्छिक चर $F(x)=P(X\lt x)$. यह फ़ंक्शन इस संभावना को निर्दिष्ट करता है कि यादृच्छिक चर $X$ एक निश्चित संख्या $x$ से कम मान लेगा। विस्तृत गणना और ग्राफ़ के साथ निर्माण के उदाहरण नीचे दिए गए उदाहरणों में पाए जा सकते हैं।
हल की गई समस्याओं के उदाहरण
कार्य 1।एक असतत यादृच्छिक चर एक वितरण श्रृंखला द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
एक वितरण बहुभुज और वितरण फलन $F(x)$ का निर्माण करें। गणना करें: $M[X], D[X], \sigma[X]$, साथ ही भिन्नता, तिरछापन, कर्टोसिस, मोड और माध्यिका का गुणांक।
कार्य 2.असतत यादृच्छिक चर X के वितरण का नियम दिया गया है:
ए) यादृच्छिक चर एक्स की गणितीय अपेक्षा एम(एक्स), विचरण डी(एक्स) और मानक विचलन (एक्स) निर्धारित करें; बी) इस वितरण का एक ग्राफ बनाएं।
xi 0 1 2 3 4 5 6
पीआई 0.02 0.38 0.30 0.16 0.08 0.04 0.02
कार्य 3.किसी दी गई वितरण श्रृंखला के साथ एक यादृच्छिक चर X के लिए
-1 0 1 8
0.2 0.1 $р_1$ $р_2$
ए) $p_1$ और $p_2$ ढूंढें ताकि $M(X)=0.5$
बी) इसके बाद, यादृच्छिक चर $X$ की गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना करें और इसके वितरण फ़ंक्शन को प्लॉट करें
कार्य 4.असतत SV $X$ केवल दो मान ले सकता है: $x_1$ और $x_2$, और $x_1 \lt x_2$। संभावित मान की संभावना $P$, गणितीय अपेक्षा $M(x)$ और विचरण $D(x)$ ज्ञात हैं। खोजें: 1) इस यादृच्छिक चर का वितरण नियम; 2) एसवी वितरण फ़ंक्शन $X$; 3) $F(x)$ का एक ग्राफ बनाएं।
$पी=0.3; एम(एक्स)=6.6; डी(x)=13.44.$
कार्य 5.यादृच्छिक चर
कार्य 6.असतत आर.वी. के वितरण की एक श्रृंखला दी गई है। $X$. आर.वी. की स्थिति और फैलाव की संख्यात्मक विशेषताओं का पता लगाएं। $X$. एम.ओ. ढूंढें और फैलाव आर.वी. $Y=X/2-2$, आर.वी. वितरण श्रृंखला लिखे बिना। $Y$, जनरेटिंग फ़ंक्शन का उपयोग करके परिणाम जांचें।
आर.वी. वितरण फ़ंक्शन का निर्माण करें। $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ पी¦ 0.3¦ 0.1¦ 0.3¦ 0.2¦ 0.1¦
कार्य 7.एक असतत यादृच्छिक चर $X$ का वितरण निम्नलिखित तालिका (वितरण पंक्ति) द्वारा दिया गया है:
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
वितरण तालिका में लुप्त मान निर्धारित करें। वितरण की मुख्य संख्यात्मक विशेषताओं की गणना करें: $M_x, D_x, \sigma_x$। वितरण फ़ंक्शन $F(x)$ ढूंढें और बनाएं। संभावना निर्धारित करें कि यादृच्छिक चर $X$ निम्नलिखित मान लेगा:
ए) 6 से अधिक,
बी) 12 से कम,
सी) 9 से अधिक नहीं.
कार्य 8.समस्या को खोजने की आवश्यकता है: ए) गणितीय अपेक्षा; बी) फैलाव; ग) किसी तालिका में दिए गए वितरण के दिए गए कानून के अनुसार असतत यादृच्छिक चर
कार्य 9.एक असतत यादृच्छिक चर $X$ का वितरण नियम दिया गया है (पहली पंक्ति $x_i$ के संभावित मान दिखाती है, दूसरी पंक्ति $p_i$ के संभावित मानों की संभावनाओं को दिखाती है)।
खोजो:
ए) गणितीय अपेक्षा $M(X)$, विचरण $D(X)$ और मानक विचलन $\sigma(X)$;
बी) यादृच्छिक चर $F(x)$ के वितरण फ़ंक्शन की रचना करें और इसे प्लॉट करें;
सी) संकलित वितरण फ़ंक्शन $F(x)$ का उपयोग करके, एक यादृच्छिक चर $X$ के अंतराल $x_2 \lt X \lt x_4$ में गिरने की संभावना की गणना करें;
डी) $Y=100-2X$ मूल्य के लिए एक वितरण कानून तैयार करें;
ई) संकलित यादृच्छिक चर $Y$ की गणितीय अपेक्षा और विचरण की गणना दो तरीकों से करें, अर्थात। लाभ उठा
गणितीय अपेक्षा और फैलाव की संपत्ति, साथ ही सीधे यादृच्छिक चर $Y$ के वितरण कानून के अनुसार।
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
समस्या 10.एक तालिका में एक असतत यादृच्छिक चर दिया गया है। चौथे क्रम तक इसके प्रारंभिक और केंद्रीय क्षणों की गणना करें। घटनाओं की संभावनाएँ ज्ञात कीजिए $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
एक्स 0 0.3 0.6 0.9 1.2
पी 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1
