Մարկովյան պատահական գործընթացների տեսություն. Մարկովյան պատահական գործընթացներ

Հերթի տեսությունը հավանականությունների տեսության ճյուղերից է։ Այս տեսությունը համարում է հավանականառաջադրանքներ և մաթեմատիկական մոդելներ(մինչ այդ մենք դիտարկում էինք դետերմինիստական ​​մաթեմատիկական մոդելներ): Հիշեցնենք, որ.

Դետերմինիստական ​​մաթեմատիկական մոդելարտացոլում է օբյեկտի (համակարգի, գործընթացի) վարքագիծը տեսանկյունից լիակատար վստահություններկայում և ապագայում։

Հավանական մաթեմատիկական մոդելհաշվի է առնում պատահական գործոնների ազդեցությունը օբյեկտի (համակարգի, գործընթացի) վարքագծի վրա և, հետևաբար, գնահատում է ապագան որոշակի իրադարձությունների հավանականության տեսանկյունից:

Նրանք. այստեղ, ինչպես, օրինակ, խաղերի տեսության մեջ դիտարկվում են խնդիրները պայմաններումանորոշություն.

Եկեք նախ դիտարկենք որոշ հասկացություններ, որոնք բնութագրում են «ստոխաստիկ անորոշությունը», երբ խնդրի մեջ ներառված անորոշ գործոնները պատահական փոփոխականներ են (կամ պատահական ֆունկցիաներ), որոնց հավանականական բնութագրերը կա՛մ հայտնի են, կա՛մ կարելի է ձեռք բերել փորձից: Նման անորոշությունը կոչվում է նաև «բարենպաստ», «բարեխիղճ»:

Պատահական գործընթացի հայեցակարգը

Խստորեն ասած, պատահական խանգարումները բնորոշ են ցանկացած գործընթացի: Ավելի հեշտ է բերել պատահական գործընթացի օրինակներ, քան «ոչ պատահական»: Նույնիսկ, օրինակ, ժամացույցի գործարկման գործընթացը (կարծես թե խիստ չափորոշված ​​աշխատանք է. «աշխատում է ժամացույցի պես») ենթարկվում է պատահական փոփոխությունների (առաջ շարժվել, հետ մնալ, կանգ առնել): Բայց քանի դեռ այս խանգարումները աննշան են և քիչ են ազդում մեզ հետաքրքրող պարամետրերի վրա, մենք կարող ենք անտեսել դրանք և գործընթացը համարել դետերմինիստական, ոչ պատահական:

Թող ինչ-որ համակարգ լինի Ս(տեխնիկական սարք, նման սարքերի խումբ, տեխնոլոգիական համակարգ՝ մեքենա, տեղամաս, արտադրամաս, ձեռնարկություն, արդյունաբերություն և այլն)։ Համակարգում Սարտահոսքեր պատահական գործընթաց, եթե այն փոխում է իր վիճակը ժամանակի ընթացքում (անցնում է մի վիճակից մյուսը), ընդ որում՝ նախկինում անհայտ պատահական եղանակով։

Օրինակներ. 1. Համակարգ Ս– տեխնոլոգիական համակարգ (մեքենայական հատված): Մեքենաները ժամանակ առ ժամանակ փչանում են և վերանորոգվում։ Այս համակարգում տեղի ունեցող գործընթացը պատահական է։

2. Համակարգ Ս- ինքնաթիռ, որը թռչում է որոշակի բարձրության վրա որոշակի երթուղու երկայնքով: Անհանգստացնող գործոններ՝ եղանակային պայմաններ, անձնակազմի սխալներ և այլն, հետևանքներ՝ խորդուբորդություն, չվացուցակի խախտում և այլն։

Մարկովի պատահական գործընթաց

Համակարգում տեղի ունեցող պատահական գործընթացը կոչվում է Մարկովսկին, եթե ցանկացած պահի տԱպագայում գործընթացի 0 հավանականական բնութագրերը կախված են միայն դրա վիճակից տվյալ պահին տ 0 և կախված չեն նրանից, թե երբ և ինչպես է համակարգը հասել այս վիճակին:

Թող համակարգը գտնվի որոշակի վիճակում t 0 պահին Ս 0 . Մենք գիտենք համակարգի վիճակի բնութագրերը ներկայում, այն ամենը, ինչ տեղի է ունեցել, երբ տ<տ 0 (գործընթացի պատմություն): Կարո՞ղ ենք կանխատեսել (կանխատեսել) ապագան, այսինքն. ինչ կլինի երբ տ>տ 0 ? Ոչ ճշգրիտ, բայց ապագայում կարելի է գտնել գործընթացի որոշ հավանականական բնութագրեր: Օրինակ, հավանականությունը, որ որոշ ժամանակ անց համակարգը Սկկարողանան Ս 1 կամ կմնա վիճակում Ս 0 և այլն:

Օրինակ. Համակարգ Ս- օդային մարտերին մասնակցող ինքնաթիռների խումբ. Թող x- «կարմիր» ինքնաթիռների քանակը, y- «կապույտ» ինքնաթիռների քանակը. Ըստ ժամանակի տ 0 ողջ մնացած (չխփված) ինքնաթիռներ, համապատասխանաբար. x 0 ,y 0 . Մեզ հետաքրքրում է հավանականությունը, որ տվյալ պահին թվային առավելությունը կլինի «կարմիրների» կողմը։ Այս հավանականությունը կախված է նրանից, թե այդ ժամանակ ինչ վիճակում է եղել համակարգը տ 0, և ոչ թե մինչ այս պահը, թե երբ և ինչ հաջորդականությամբ են զոհվել գնդակահարվածները տ 0 ինքնաթիռ.

Գործնականում Մարկովը գործընթաց է մաքուր ձևսովորաբար չի գտնվել: Բայց կան գործընթացներ, որոնց համար կարելի է անտեսել «նախապատմության» ազդեցությունը։ Իսկ նման գործընթացներն ուսումնասիրելիս կարելի է օգտագործել Մարկովի մոդելները (հերթի տեսությունը չի դիտարկում Մարկովյան հերթագրման համակարգերը, սակայն դրանք նկարագրող մաթեմատիկական ապարատը շատ ավելի բարդ է)։

Գործառնությունների հետազոտության մեջ մեծ նշանակությունունեն Մարկովյան պատահական գործընթացներ՝ դիսկրետ վիճակներով և շարունակական ժամանակով։

Գործընթացը կոչվում է դիսկրետ պետական ​​գործընթաց, եթե դրա հնարավոր վիճակները Ս 1 ,Ս 2, ... կարելի է նախօրոք որոշել, և համակարգի անցումը վիճակից վիճակ տեղի է ունենում «ցատկումով», գրեթե ակնթարթորեն:

Գործընթացը կոչվում է շարունակական ժամանակի գործընթաց, եթե վիճակից վիճակ հնարավոր անցումների պահերը նախապես ամրագրված չեն, այլ անորոշ են, պատահական և կարող են առաջանալ ցանկացած պահի։

Օրինակ. Տեխնոլոգիական համակարգ (բաժին) Սբաղկացած է երկու մեքենաներից, որոնցից յուրաքանչյուրը պատահական պահժամանակը կարող է ձախողվել (ձախողվել), որից հետո անմիջապես սկսվում է միավորի վերանորոգումը, որը նույնպես շարունակվում է անհայտ, պատահական ժամանակով: Համակարգի հետևյալ վիճակները հնարավոր են.

Ս 0 - երկու մեքենաներն էլ աշխատում են;

Ս 1 - առաջին մեքենան վերանորոգվում է, երկրորդն աշխատում է;

Ս 2 - երկրորդ մեքենան վերանորոգվում է, առաջինն աշխատում է;

Ս 3 - երկու մեքենաներն էլ վերանորոգվում են։

Համակարգային անցումներ Սվիճակից վիճակ տեղի է ունենում գրեթե ակնթարթորեն, պատահական պահերին, երբ որոշակի մեքենան խափանում է կամ ավարտվում է վերանորոգումը:

Դիսկրետ վիճակներով պատահական գործընթացները վերլուծելիս հարմար է օգտագործել երկրաչափական սխեմա. վիճակի գրաֆիկ. Գրաֆիկի գագաթները համակարգի վիճակներն են: Գրաֆիկական կամարներ – հնարավոր անցումներ վիճակից դեպի

Նկ.1. Համակարգի վիճակի գրաֆիկ

պետություն. Մեր օրինակի համար վիճակի գրաֆիկը ներկայացված է Նկար 1-ում:

Նշում. Անցում պետությունից Ս 0 դյույմ Ս 3-ը նշված չէ նկարում, քանի որ ենթադրվում է, որ մեքենաները խափանում են միմյանցից անկախ։ Մենք անտեսում ենք երկու մեքենաների միաժամանակյա խափանման հնարավորությունը:

Որի էվոլյուցիան ժամանակի պարամետրի ցանկացած արժեքից հետո t (\displaystyle t)կախված չէ նախորդող էվոլյուցիայից t (\displaystyle t), պայմանով, որ գործընթացի արժեքը այս պահին ֆիքսված է (գործընթացի «ապագան» կախված չէ «անցյալից»՝ հայտնի «ներկայով», մեկ այլ մեկնաբանություն (Wentzel). գործընթացի «ապագան» կախված է. «անցյալի» վրա միայն «ներկայի» միջոցով):

Հանրագիտարան YouTube

1 / 3

Դասախոսություն 15. Մարկովյան պատահական գործընթացներ

Մարկովյան շղթաների ծագումը

Ընդհանրացված Մարկովյան գործընթացի մոդել

սուբտիտրեր

Պատմություն

Այն հատկությունը, որը սահմանում է Մարկովյան գործընթացը, սովորաբար կոչվում է Մարկովյան; այն առաջին անգամ ձևակերպել է Ա. պատահական փոփոխականներ. Հետազոտության այս գիծը հայտնի է որպես Մարկովյան շղթայի տեսություն։

Շարունակական ժամանակի Մարկովյան գործընթացների ընդհանուր տեսության հիմքերը դրվել են Կոլմոգորովի կողմից։

Մարկովի սեփականությունը

Ընդհանուր դեպք

Թող (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- հավանական տարածություն զտիչով (F t, t ∈ T) (\ցուցադրման ոճ ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T))որոշ (մասնակի պատվիրված) հավաքածուի վրա T (\displaystyle T); թող գնա (S , S) (\ցուցադրման ոճ (S,(\mathcal (S))))- չափելի տարածք. Պատահական գործընթաց X = (X t, t ∈ T) (\ցուցադրման ոճ X=(X_(t),\ t\in T)), որը սահմանված է ֆիլտրացված հավանականության տարածության վրա, համարվում է բավարար Մարկովի սեփականությունը, եթե յուրաքանչյուրի համար A ∈ S (\displaystyle A\in (\mathcal (S)))Եվ s , t ∈ T: s< t {\displaystyle s,t\in T:s,

P (X t ∈ A | F s) = P (X t ∈ A | X s) . (\displaystyle \mathbb (P) (X_(t)\in A|(\mathcal (F))_(s))=\mathbb (P) (X_(t)\in A|X_(s)): )

Մարկովյան գործընթացըպատահական գործընթաց է, որը բավարարում է Մարկովի սեփականությունըբնական ֆիլտրացմամբ։

Դիսկրետ ժամանակի Մարկովյան շղթաների համար

Եթե S (\displaystyle S)դիսկրետ հավաքածու է և T = N (\displaystyle T=\mathbb (N)), սահմանումը կարելի է վերաձեւակերպել.

P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1 , X n − 2 = x n − 2 , … , X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1),X_(n-2)=x_(n-2),\կետեր, X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1))).

Մարկովյան գործընթացի օրինակ

Դիտարկենք Մարկովյան պատահական գործընթացի պարզ օրինակ: Կետը պատահականորեն շարժվում է աբսցիսայի առանցքի երկայնքով: Զրոյական պահին կետը գտնվում է սկզբնակետում և մնում է այնտեղ մեկ վայրկյան: Մեկ վայրկյան անց մետաղադրամ է նետվում. եթե զինանշանը գցվում է, ապա X կետը երկարության մեկ միավորով շարժվում է դեպի աջ, եթե թիվը՝ ձախ: Մի վայրկյան հետո մետաղադրամը նորից նետվում է և կատարվում է նույն պատահական շարժումը և այլն։ Կետի դիրքը փոխելու գործընթացը («քայլում») պատահական գործընթաց է՝ դիսկրետ ժամանակով (t=0, 1, 2, ...) և վիճակների հաշվելի բազմությամբ։ Նման պատահական գործընթացը կոչվում է Մարկով, քանի որ կետի հաջորդ վիճակը կախված է միայն ներկա (ընթացիկ) վիճակից և կախված չէ անցյալ վիճակներից (կարևոր չէ, թե որ ուղղությամբ և ինչ ժամանակով կետը հասել է ընթացիկ կոորդինատին): .

ՄԱՐԿՈՎԻ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑ

Գործընթաց առանց հետևանքների - պատահական գործընթաց,որի էվոլյուցիան t ժամանակի պարամետրի ցանկացած արժեքից հետո կախված չէ դրան նախորդած էվոլյուցիայից տ,պայմանով, որ այս գործընթացի արժեքը հաստատված է (կարճ ասած՝ գործընթացի «ապագան» և «անցյալը» կախված չեն միմյանցից հայտնի «ներկայով»):

Մագնիսական դաշտը սահմանող հատկությունը սովորաբար կոչվում է Մարկովյան; այն առաջին անգամ ձևակերպել է Ա.Ա.Մարկովը։ Այնուամենայնիվ, արդեն Լ. Բաշելյեի աշխատության մեջ կարելի է նկատել Բրոունյանը որպես մագնիսական դաշտ մեկնաբանելու փորձ, մի փորձ, որն արդարացում է ստացել Ն. Վիների հետազոտությունից հետո (N. Wiener, 1923): Շարունակական ժամանակի մագնիսական պրոցեսների ընդհանուր տեսության հիմքերը դրվել են Ա.Ն.Կոլմոգորովի կողմից։

Մարկովի սեփականությունը. Մ.-ի սահմանումներ կան, որոնք էապես տարբերվում են միմյանցից:Ամենատարածվածներից մեկը հետևյալն է. Թող պատահական գործընթաց տրվի չափելի տարածության արժեքներով հավանականության տարածության վրա, որտեղ T -իրական առանցքի ենթաբազմություն Թող Նտ(համապատասխանաբար Նտմեջ կա s-հանրահաշիվ առաջացած մեծությունների X(s).at Որտեղ Այլ կերպ ասած, Նտ(համապատասխանաբար Նտ) իրադարձությունների մի շարք է, որը կապված է գործընթացի էվոլյուցիայի հետ մինչև t պահը (սկսած t-ից) . Գործընթացը X(t) կոչվում է Մարկովյան գործընթացը, եթե (գրեթե անկասկած) Մարկովի սեփականությունը գործում է բոլորի համար.

կամ, ինչն է նույնը, եթե այդպիսիք կան

M. p., որի համար T-ն պարունակվում է բնական թվերի բազմության մեջ, կոչվում է. Մարկովի շղթա(սակայն, վերջին տերմինն ամենից հաճախ կապված է առավելագույնը հաշվելի E-ի դեպքի հետ) . Եթե ​​ինտերվալ է ավելի քան հաշվելի, ապա կոչվում է M.: շարունակական ժամանակ Մարկովյան շղթա. Շարունակական ժամանակի մագնիսական պրոցեսների օրինակներ են տրվում դիֆուզիոն պրոցեսների և անկախ ավելացումներով գործընթացների միջոցով, ներառյալ Պուասոնի և Վիների գործընթացները:

Հաջորդիվ, որոշակիության համար կխոսենք միայն դեպքի մասին (1) և (2) բանաձևերը տալիս են «անցյալի» և «ապագայի» անկախության սկզբունքի հստակ մեկնաբանությունը՝ հաշվի առնելով հայտնի «ներկան», սակայն դրանց հիման վրա Մ.-ի սահմանումը բավականաչափ ճկուն չի եղել այն բազմաթիվ իրավիճակները, երբ անհրաժեշտ է դիտարկել ոչ թե մեկ, այլ (1) կամ (2) տիպի պայմանների մի շարք, որոնք համապատասխանում են տարբեր, թեև որոշակի ձևով համաձայնեցված միջոցառումներին: Նման նկատառումները հանգեցրին ընդունմանը. հետևյալ սահմանումը (տես,).

Թող տրվի հետևյալը.

ա) որտեղ s-հանրահաշիվը պարունակում է E-ի բոլոր մեկ կետանոց բազմությունները.

բ) չափելի, որը հագեցած է s-հանրահաշիվների ընտանիքով այնպես, որ եթե

V) ("") x t =xտ(w) , ցանկացած չափելի քարտեզագրման սահմանում

դ) յուրաքանչյուրի համար և s-հանրահաշվի վրա հավանականության չափում այնպես, որ ֆունկցիան չափելի հարաբերական եթե և

Անունների հավաքածու (չվերջատող) Մարկովյան գործընթացը սահմանված է, եթե -գրեթե հաստատ

ինչ էլ որ լինի այստեղ՝ տարրական իրադարձությունների տարածություն, փուլային տարածություն կամ վիճակի տարածություն, P( s, x, t, V)- անցումային գործառույթկամ X(t) գործընթացի անցման հավանականությունը . Եթե ​​E-ն օժտված է տոպոլոգիայով, և ստեղծվում է Բորելի հավաքածու Ե,ապա ընդունված է ասել, որ տրված է M. p Ե.Որպես կանոն, M. p.-ի սահմանումը ներառում է այն պահանջը, որը պետք է մեկնաբանվի որպես հավանականություն, պայմանով, որ x s =x.

Հարց է առաջանում. Մարկովյան յուրաքանչյուր անցումային ֆունկցիա P( s, x;տ, Վ), Չափելի տարածության մեջ տրվածը կարող է դիտվել որպես որոշակի M. տարածության անցումային ֆունկցիա: Պատասխանը դրական է, եթե, օրինակ, E-ն բաժանելի տեղային կոմպակտ տարածություն է և Բորելի հավաքածուների հավաքածու է: Ե.Ավելին, թող Էլ -ամբողջական մետրիկ տարածություն և թող

ցանկացածի համար, որտեղ
a-ն կետի էլեկտրոնային հարևանության լրացումն է X.Այնուհետև համապատասխան մագնիսական դաշտը կարելի է համարել շարունակական աջ կողմում և ունենալով սահմաններ ձախից (այսինքն՝ նրա հետագծերը կարելի է ընտրել որպես այդպիսին)։ Շարունակական մագնիսական դաշտի առկայությունը ապահովվում է (տես, ) պայմանով։ Մեխանիկական պրոցեսների տեսության մեջ հիմնական ուշադրությունը դարձվում է միատարր (ժամանակի մեջ) գործընթացներին։ Համապատասխան սահմանումը ենթադրում է տվյալ համակարգ առարկաներա) - դ) այն տարբերությամբ, որ դրա նկարագրության մեջ հայտնված s և u պարամետրերի համար այժմ թույլատրվում է միայն 0 արժեքը: Նշումը նույնպես պարզեցված է.

Այնուհետև, ենթադրվում է W տարածության միատարրություն, այսինքն՝ պահանջվում է, որ որևէ մեկի համար նման բան կար (w) համար Դրա շնորհիվ s-հանրահաշվի վրա N, W-ի ամենափոքր s հանրահաշիվը, որը պարունակում է ձևի ցանկացած իրադարձություն Նշված են ժամանակային հերթափոխի օպերատորները q տ, որոնք պահպանում են բազմությունների միավորման, հատման և հանման գործողությունները և որոնց համար

Անունների հավաքածու (չվերջացող) միատարր Մարկովյան գործընթաց, որը սահմանվում է եթե -գրեթե հաստատ

X(t) գործընթացի անցումային ֆունկցիայի համար համարվում է P( t, x, V), և, եթե չկան հատուկ վերապահումներ, դրանք լրացուցիչ պահանջում են, որ Օգտակար է նկատի ունենալ, որ (4) ստուգելիս բավական է հաշվի առնել միայն ձևաթղթերի հավաքածուները, որտեղ և որ (4)-ում միշտ Ftկարող է փոխարինվել s-հանրահաշիվով, որը հավասար է լրացումների հատմանը Ftբոլոր հնարավոր չափումների համար: Հաճախ հավանականության չափը m («նախնական») ամրագրվում է և դիտարկվում է Մարկովի պատահական ֆունկցիա որտեղ է չափումը տրված հավասարությամբ

Մ.-ն զանգահարել է. աստիճանաբար չափելի, եթե յուրաքանչյուր t>0 ֆունկցիան առաջացնում է չափելի, որտեղ է s-հանրահաշիվը

Բորելի ենթաբազմությունները մեջ . Ճիշտ շարունակական պատգամավորները աստիճանաբար չափելի են. Տարասեռ գործը համասեռի հասցնելու միջոց կա (տես), իսկ հաջորդիվ կխոսենք միատարր պատգամավորների մասին։

Խստորեն.Թող չափելի տարածություն տրվի մ-ով:

Ֆունկցիան կոչվում է Մարկովի պահը,Եթե բոլորի համար Այս դեպքում նրանք պատկանում են F t ընտանիքին, եթե at (առավել հաճախ F t-ը մեկնաբանվում է որպես X(t)-ի էվոլյուցիայի հետ կապված իրադարձությունների մի շարք մինչև t պահը): Համար հավատալ

Աստիճանաբար չափելի M. p. Xnaz. խստորեն Մարկովյան գործընթաց (ս.մ.պ.), եթե Մարկովյան ցանկացած պահի համար մ և բոլորը և հարաբերակցությունը

(խստորեն Մարկովի սեփականությունը) գրեթե անկասկած պահպանվում է բազմության վրա W t . (5) ստուգելիս բավական է հաշվի առնել միայն ձևի հավաքածուները, որտեղ Այս դեպքում S. m. տարածությունը, օրինակ, ցանկացած աջ շարունակական Feller M. տարածություն է տոպոլոգիականում: տարածություն Ե.Մ.-ն զանգահարել է. Feller Markov գործընթացը, եթե գործառույթը

շարունակական է, երբ f-ը շարունակական է և սահմանափակ:

Դասարանում հետ. m.p. առանձնանում են որոշակի ենթադասեր. Թող Մարկովյան Պ( t, x, V), սահմանված մետրային տեղային կոմպակտ տարածության մեջ Ե,ստոխաստիկորեն շարունակական.

յուրաքանչյուր կետի ցանկացած U հարևանության համար: Այնուհետև, եթե օպերատորներն իրենց մեջ վերցնում են շարունակական և անվերջության մեջ անհետացող ֆունկցիաներ, ապա P( t, x, V) համապատասխանում է ստանդարտ M. p. X,այսինքն շարունակական աջ կողմում հետ. մ.պ., որի համար

Եվ - գրեթե, հավանաբար, շատերի վրա ա Պմարկովյան պահերն են, որոնք աճի հետ չեն նվազում։

Մարկովյան գործընթացի դադարեցում.Հաճախ ֆիզիկական Ցանկալի է նկարագրել համակարգեր, որոնք օգտագործում են չվերջացող մագնիսական դաշտ, բայց միայն պատահական երկարության ժամանակային ընդմիջումով: Բացի այդ, մագնիսական գործընթացների նույնիսկ պարզ փոխակերպումները կարող են հանգեցնել մի գործընթացի, որի հետագիծը նշված է պատահական ընդմիջումով (տես. ՖունկցիոնալՄարկովյան գործընթացից): Այս նկատառումներով առաջնորդվելով՝ ներդրվում է կոտրված պատգամավոր հասկացությունը։

Անցումային ֆունկցիա ունեցող ֆազային տարածության մեջ թողնենք միատարր M.P և թող լինի կետ և գործառույթ այնպիսին, որ եթե և այլ կերպ (եթե հատուկ դրույթներ չկան, հաշվի առեք): Նոր հետագիծ xt(w) նշված է միայն )-ի համար հավասարության միջոցով ա Ftսահմանված է որպես հավաքածուի մեջ

Սահմանել, թե որտեղ կանչեց վերջացող Մարկովյան գործընթացով (o.m.p.), որը ստացվել է z-ի ժամանակին դադարեցնելով (կամ սպանելով): Z արժեքը կոչվում է ընդմիջման պահը, կամ կյանքի ժամանակը, ո. m.p. Նոր գործընթացի փուլային տարածությունն այն է, որտեղ կա s-հանրահաշվի հետք Ե.Անցումային ֆունկցիա o. m.p.-ը հավաքածուի սահմանափակում է Գործընթացը X(t) կոչվում է խստորեն մարկովյան գործընթաց կամ ստանդարտ մարկովյան գործընթաց, եթե այն ունի համապատասխան սեփականություն, չդադարող պատգամավորը կարող է համարվել որպես օ. մ.պ., կոտրման պահով Տարասեռ o. մ.պ.-ն որոշվում է նույն կերպ։ Մ.

Մարկովյան գործընթացները և .Բրոունյան շարժման տիպի պատգամավորները սերտորեն կապված են պարաբոլիկ դիֆերենցիալ հավասարումների հետ։ տիպ. Անցումային p(s, x, t, y) դիֆուզիոն պրոցեսի որոշակի լրացուցիչ ենթադրություններով բավարարում է Կոլմոգորովի հակադարձ և ուղիղ դիֆերենցիալ հավասարումները.

P ֆունկցիան ( s, x, t, y).-ը Գրինի (6) - (7) հավասարումների ֆունկցիան է, և դիֆուզիոն պրոցեսների կառուցման առաջին հայտնի մեթոդները հիմնված են եղել (6) - (7) դիֆերենցիալ հավասարումների համար այս ֆունկցիայի գոյության թեորեմների վրա։ Ժամանակի միասնական գործընթացի համար L( s, x)= Լ(x).հարթ ֆունկցիաների վրա համընկնում է հատկանիշի հետ։ օպերատոր M. p. (տես Անցումային օպերատորի կիսախումբ).

Մաթեմատիկա. Տարբեր ֆունկցիոնալների ակնկալիքները դիֆուզիոն գործընթացներից ծառայում են որպես համապատասխան սահմանային արժեքների խնդիրների լուծում դիֆերենցիալ հավասարում(1). Թող - մաթեմատիկական: ակնկալիքը չափման դեպքում Այնուհետև ֆունկցիան բավարարում է ժամը ս հավասարումը (6) և պայմանը

Նմանապես, գործառույթը

բավարարում է ս հավասարումը

և վիճակը և 2 ( T, x) = 0.

Թող tt լինի սահմանին առաջին անգամ հասնելու պահը dDշրջան գործընթացի հետագիծ Այնուհետեւ, որոշակի պայմաններում, գործառույթը

բավարարում է հավասարումը

և հավաքածուի վրա վերցնում է cp արժեքներ

Ընդհանուր գծային պարաբոլիկի 1-ին սահմանային խնդրի լուծում. 2-րդ կարգի հավասարումներ

բավականին ընդհանուր ենթադրությունների ներքո կարելի է գրել ձևով

Այն դեպքում, երբ Լ և ֆունկցիաները ս, զկախված չեն s,Գծային էլիպսի լուծման համար հնարավոր է նաև (9)-ի նման ներկայացում։ հավասարումներ Ավելի ճիշտ՝ ֆունկցիան

որոշակի ենթադրություններով խնդիրներ կան

Այն դեպքում, երբ L օպերատորը այլասերվում է (del b( s, x) = 0 ).կամ dDբավականաչափ «լավ» չէ, սահմանային արժեքները կարող են չընդունվել ֆունկցիաներով (9), (10) առանձին կետերում կամ ամբողջ հավաքածուներում: Օպերատորի կանոնավոր սահմանային կետի հայեցակարգը Լունի հավանական մեկնաբանություն. Սահմանի կանոնավոր կետերում սահմանային արժեքները ձեռք են բերվում գործառույթներով (9), (10): Խնդիրների լուծումը (8), (11) թույլ է տալիս ուսումնասիրել համապատասխան դիֆուզիոն պրոցեսների հատկությունները և դրանց ֆունկցիոնալությունը։

Կան պատգամավորներ կառուցելու մեթոդներ, որոնք չեն հիմնվում օրինակ (6), (7) հավասարումների լուծումների կառուցման վրա: մեթոդ ստոխաստիկ դիֆերենցիալ հավասարումներ,Չափի բացարձակապես շարունակական փոփոխություն և այլն: Այս հանգամանքը (9), (10) բանաձևերի հետ միասին թույլ է տալիս մեզ հավանականորեն կառուցել և ուսումնասիրել (8) հավասարման համար սահմանային խնդիրների հատկությունները, ինչպես նաև լուծման հատկությունները: համապատասխան էլիպս. հավասարումներ

Քանի որ ստոխաստիկ դիֆերենցիալ հավասարման լուծումը անզգայուն է մատրիցի դեգեներացիայի նկատմամբ ( s, x), Դահավանականական մեթոդները օգտագործվել են էլիպսային և պարաբոլային դիֆերենցիալ հավասարումների այլասերման լուծումներ կառուցելու համար։ Ն.Մ.Կռիլովի և Ն.Ն.Բոգոլյուբովի միջինացման սկզբունքի ընդարձակումը ստոխաստիկ դիֆերենցիալ հավասարումների վրա հնարավոր դարձրեց, օգտագործելով (9), ստանալ համապատասխան արդյունքներ էլիպսային և պարաբոլիկ դիֆերենցիալ հավասարումների համար։ Պարզվեց, որ հնարավոր է հավանականական նկատառումներով լուծել այս տիպի հավասարումների լուծումների հատկությունների ուսումնասիրության որոշակի բարդ խնդիրներ՝ փոքր պարամետրով ամենաբարձր ածանցյալում: Հավանական նշանակություն ունի նաև (6) հավասարման 2-րդ սահմանային խնդրի լուծումը։ Անսահմանափակ տիրույթի համար սահմանային արժեքի խնդիրների ձևակերպումը սերտորեն կապված է համապատասխան դիֆուզիոն գործընթացի կրկնության հետ:

Ժամանակի համասեռ գործընթացի դեպքում (L-ը կախված չէ s-ից), հավասարման դրական լուծումը, մինչև բազմապատկման հաստատուն, որոշակի ենթադրություններով համընկնում է MP-ի անշարժ բաշխման խտության հետ: Հավանական նկատառումները նույնպես պարզվում են. օգտակար լինել ոչ գծային պարաբոլիկների համար սահմանային արժեքի խնդիրները դիտարկելիս: հավասարումներ։ R. 3. Խասմինսկի.

Լիտ.Մարկով Ա. Ա., «Իզվեստիա. Կազանի համալսարանի ֆիզիկամաթեմատիկական ընկերություն», 1906 թ., հ. 135-56; V a s h e l i e r L., «Անն. գիտնական. Ecole norm, super», 1900, v. 17, էջ. 21-86; Kolmogorov A.N., "Math. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415-458; ռուս. Թարգմ.- «Ուսպեխի Մատեմատիչեսկիխ Նաուկ», 1938, դ. 5, էջ. 5-41; Zhun Kai-lai, Homogeneous Markov շղթաներ, թարգմ. անգլերենից, Մ., 1964; R e 1 1 e r W., «Ann. Math.», 1954, v. 60, էջ. 417-36; Dynkin E.B., Yushkevich A.A., «Հավանականության տեսությունը և դրա կիրառությունները», 1956, հատոր 1, դար: 1, էջ. 149-55; Xant J.-A., Մարկովյան գործընթացներ և պոտենցիալներ, թարգմ. անգլերենից, Մ., 1962; D e l l a s h e r i K., Կարողություններ և պատահական գործընթացներ, տրանս. ֆրանսերենից, Մ., 1975; Դինկ և Է.Վ., Մարկովյան գործընթացների տեսության հիմքերը, Մ., 1959; նա, Մարկովյան գործընթացներ, Մ., 1963; G and h man I. I., S k o r o x o d A. V., Պատահական գործընթացների տեսություն, հատոր 2, Մ., 1973; Ֆրեյդլին Մ.Ի., «Գիտության արդյունքներ» գրքում. Հավանականությունների տեսություն, . -Տեսական. 1966, Մ., 1967, էջ. 7-58; X a sminskiy R. 3., «Հավանականության տեսությունը և դրա կիրառությունները», 1963, հատոր 8, հ.

Մարկովյան գործընթացը- դիսկրետ կամ շարունակական պատահական պրոցես X(t), որը կարելի է ամբողջությամբ ճշտել՝ օգտագործելով երկու մեծություն՝ հավանականություն P(x,t), որ պատահական փոփոխական x(t) t ժամանակում հավասար է x-ին և հավանականությունը P(x2, t2½x1t1) որ... ... Տնտեսական և մաթեմատիկական բառարան

Մարկովյան գործընթացը- Դիսկրետ կամ շարունակական պատահական պրոցես X(t), որը կարող է ամբողջությամբ ճշգրտվել՝ օգտագործելով երկու մեծություն՝ հավանականությունը P(x,t), որ x(t) պատահական փոփոխականը t ժամանակին հավասար է x-ին և հավանականությունը P(x2): , t2? x1t1), որ եթե x at t = t1... ... Տեխնիկական թարգմանչի ուղեցույց

Պատահական գործընթացների կարևոր հատուկ տեսակ: Մարկովյան պրոցեսի օրինակ է ռադիոակտիվ նյութի քայքայումը, որտեղ կարճ ժամանակահատվածում տվյալ ատոմի քայքայման հավանականությունը կախված չէ նախորդ ժամանակաշրջանի գործընթացի ընթացքից... ... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան - Markovo processas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. Markovprocess vok. Markovprozeß, m rus. Մարկովյան գործընթաց, մ; Մարկովյան գործընթաց, m pranc. գործընթացի մարկովյան, մ … Ավտոմատ տերմինալներ

Մարկովի գործընթացը- Markovo vyksmas statusas T sritis fizika atitikmenys՝ անգլ. Մարկովյան գործընթաց; Մարկովյան գործընթաց վոկ. Markow Prozeß, մ; Markowscher Prozeß, m rus. Մարկովյան գործընթաց, մ; Մարկովյան գործընթաց, m pranc. պրոցեսուս դե Մարկոֆ, մ; գործընթացի մարկովյան, մ;… … Ֆիզիկական վերջնաժամկետ

Պատահական գործընթացների կարևոր հատուկ տեսակ: Մարկովյան պրոցեսի օրինակ է ռադիոակտիվ նյութի քայքայումը, որտեղ կարճ ժամանակահատվածում տվյալ ատոմի քայքայման հավանականությունը կախված չէ նախորդ ժամանակաշրջանի գործընթացի ընթացքից... ... Հանրագիտարանային բառարան

Պատահական գործընթացների կարևոր հատուկ տեսակ (տես Պատահական գործընթաց), որոնք մեծ նշանակություն ունեն բնական գիտության և տեխնիկայի տարբեր ճյուղերում հավանականությունների տեսության կիրառման մեջ։ Մագնիսական գործընթացի օրինակ է ռադիոակտիվ նյութի քայքայումը:…… Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

Մաթեմատիկայի բնագավառում ակնառու հայտնագործություն, որն արվել է 1906 թվականին ռուս գիտնական Ա.Ա. Մարկովը։

Հարցումների հոսքի Պուասոնի բնույթի և սպասարկման ժամանակի էքսպոնենցիալ բաշխման մասին ենթադրությունները արժեքավոր են նրանով, որ նրանք թույլ են տալիս մեզ կիրառել այսպես կոչված Մարկովյան պատահական գործընթացների ապարատը հերթերի տեսության մեջ:

Ֆիզիկական համակարգում տեղի ունեցող պրոցեսը կոչվում է Մարկովյան պրոցես (կամ գործընթաց առանց հետևանքների), եթե ժամանակի յուրաքանչյուր պահի համար ապագայում համակարգի որևէ վիճակի հավանականությունը կախված է միայն ներկա պահին համակարգի վիճակից և կախված է. կախված չէ նրանից, թե ինչպես է համակարգը հասել այս վիճակին:

Դիտարկենք Մարկովյան պատահական գործընթացի տարրական օրինակ: Կետը պատահականորեն շարժվում է աբսցիսայի առանցքի երկայնքով: Ժամանակի պահին կետը գտնվում է սկզբնակետում և մնում է այնտեղ մեկ վայրկյան: Մեկ վայրկյան անց մետաղադրամ է նետվում. եթե զինանշանը դուրս է ընկնում, կետը շարժվում է մեկ միավոր երկարությամբ դեպի աջ, եթե թիվը շարժվում է դեպի ձախ։ Մի վայրկյան հետո մետաղադրամը նորից նետվում է և կատարվում է նույն պատահական շարժումը և այլն: Կետի դիրքը փոխելու գործընթացը (կամ, ինչպես ասում են, «քայլելը») պատահական գործընթաց է՝ դիսկրետ ժամանակով և հաշվելի բազմությամբ։ պետությունների

Այս գործընթացի հնարավոր անցումների դիագրամը ներկայացված է Նկ. 19.7.1.

Ցույց տանք, որ այս գործընթացը մարկովյան է։ Իսկապես, եկեք պատկերացնենք, որ ժամանակի ինչ-որ պահի համակարգը գտնվում է, օրինակ, վիճակում՝ մեկ միավոր ծագման աջ կողմում: Ժամանակի միավորից հետո կետի հնարավոր դիրքերը կլինեն 1/2 և 1/2 հավանականություններով; երկու միավորի միջոցով - , , 1/4, ½, 1/4 և այլն հավանականություններով: Ակնհայտ է, որ այս բոլոր հավանականությունները կախված են միայն նրանից, թե որտեղ է կետը տվյալ պահին, և լիովին անկախ են նրանից, թե ինչպես է այն հասել այնտեղ:

Դիտարկենք մեկ այլ օրինակ։ Առկա է տիպերի տարրերից (մասերից) բաղկացած և տարբեր ամրություն ունեցող տեխնիկական սարք։ Այս տարրերը կարող են ձախողվել պատահական ժամանակներում և միմյանցից անկախ: Յուրաքանչյուր տարրի ճիշտ աշխատանքը բացարձակապես անհրաժեշտ է սարքի աշխատանքի համար որպես ամբողջություն: Տարրի առանց ձախողման գործողության ժամանակը պատահական փոփոխական է, որը բաշխված է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի. տիպի տարրերի համար և սույն օրենքի պարամետրերը տարբեր են և համապատասխանաբար հավասար և համապատասխանաբար: Սարքի խափանման դեպքում անմիջապես միջոցներ են ձեռնարկվում պատճառները բացահայտելու համար և հայտնաբերված անսարք տարրը անմիջապես փոխարինվում է նորով: Սարքը վերականգնելու (վերանորոգելու) համար պահանջվող ժամանակը բաշխվում է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի՝ պարամետրով (եթե տիպի տարրը) և (եթե տիպի տարրը) ձախողվի:

Այս օրինակում համակարգում տեղի ունեցող պատահական պրոցեսը Մարկովյան գործընթաց է՝ շարունակական ժամանակով և վիճակների վերջավոր շարքով.

Բոլոր տարրերը աշխատում են, համակարգն աշխատում է,

Տիպի տարրը անսարք է, համակարգը վերանորոգվում է,

Տիպի տարրը անսարք է, համակարգը վերանորոգվում է։

Հնարավոր անցումների դիագրամը ներկայացված է Նկ. 19.7.2.

Իրոք, գործընթացն ունի Մարկովի սեփականությունը։ Թող, օրինակ, այս պահին համակարգը գտնվում է վիճակում (ֆունկցիոնալ)։ Քանի որ յուրաքանչյուր տարրի առանց խափանումների շահագործման ժամանակը ցուցիչ է, ապագայում յուրաքանչյուր տարրի խափանման պահը կախված չէ նրանից, թե որքան ժամանակ է այն արդեն աշխատել (երբ այն առաքվել է): Հետևաբար, հավանականությունը, որ ապագայում համակարգը մնա վիճակում կամ դուրս գա դրանից, կախված չէ գործընթացի «նախապատմությունից»։ Այժմ ենթադրենք, որ այս պահին համակարգը գտնվում է վիճակում (տիպի տարրը անսարք է): Քանի որ վերանորոգման ժամանակը նույնպես ցուցիչ է, վերանորոգումը ցանկացած պահի ավարտելու հավանականությունը կախված չէ նրանից, թե երբ է սկսվել վերանորոգումը և երբ են առաքվել մնացած (սպասարկման ենթակա) տարրերը: Այսպիսով, գործընթացը մարկովյան է։

Նկատի ունեցեք, որ տարրի գործառնական ժամանակի էքսպոնենցիալ բաշխումը և վերանորոգման ժամանակի էքսպոնենցիալ բաշխումը էական պայմաններ են, առանց որոնց գործընթացը մարկովյան չէր լինի: Իսկապես, ենթադրենք, որ տարրի ճիշտ աշխատանքի ժամանակը բաշխվում է ոչ թե ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի, այլ ըստ որևէ այլ օրենքի, օրինակ՝ տարածքում միատեսակ խտության օրենքի համաձայն: Սա նշանակում է, որ յուրաքանչյուր տարր երաշխավորված է աշխատելու որոշակի ժամանակահատվածում, և այն հատվածից մինչև այն կարող է ցանկացած պահի ձախողվել նույն հավանականության խտությամբ: Ենթադրենք, որ ժամանակի ինչ-որ պահի տարրը ճիշտ է աշխատում: Ակնհայտ է, որ հավանականությունը, որ տարրը ապագայում ինչ-որ պահի ձախողվի, կախված է նրանից, թե որքան ժամանակ առաջ է տարրը տեղադրվել, այսինքն՝ կախված է նախորդ պատմությունից, և գործընթացը չի լինի մարկովյան:

Նման իրավիճակ է վերանորոգման ժամանակի հետ կապված. եթե դա ցուցիչ չէ, և տարրը վերանորոգվում է տվյալ պահին, ապա վերանորոգման մնացած ժամանակը կախված է նրանից, թե երբ է այն սկսվել. գործընթացը կրկին մարկովյան չի լինելու.

Ընդհանուր առմամբ, էքսպոնենցիալ բաշխումը հատուկ դեր է խաղում Մարկովյան պատահական գործընթացների տեսության մեջ անընդհատ ժամանակով։ Հեշտ է ստուգել, ​​որ անշարժ Մարկովյան գործընթացում ժամանակը, որի ընթացքում համակարգը մնում է ցանկացած վիճակում, միշտ բաշխվում է ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի (պարամետրով, որը, ընդհանուր առմամբ, կախված է այս վիճակից): Իսկապես, ենթադրենք, որ այս պահին համակարգը գտնվում է վիճակում և նախկինում եղել է դրա մեջ։ Մարկովյան գործընթացի սահմանման համաձայն՝ ապագայում որևէ իրադարձության հավանականությունը կախված չէ նախորդ պատմությունից. Մասնավորապես, հավանականությունը, որ համակարգը ժամանակի ընթացքում կլքի պետությունը, չպետք է կախված լինի նրանից, թե համակարգն արդեն որքան ժամանակ է անցկացրել այդ վիճակում։ Հետևաբար, համակարգի վիճակում մնալու ժամանակը պետք է բաշխվի ըստ էքսպոնենցիալ օրենքի:

Այն դեպքում, երբ ֆիզիկական համակարգում, որը տեղի է ունենում վիճակների հաշվելի բազմությամբ և շարունակական ժամանակով, Մարկովյան է, ապա այս գործընթացը կարելի է նկարագրել սովորական դիֆերենցիալ հավասարումների միջոցով, որոնցում անհայտ ֆունկցիաները վիճակի հավանականություններ են: Նման հավասարումների կազմումն ու լուծումը կցուցադրենք հետևյալում՝ օգտագործելով պարզ հերթերի համակարգի օրինակը։

Պատահական գործընթացը պատահական փոփոխականների մի շարք կամ ընտանիք է, որոնց արժեքները ինդեքսավորվում են ժամանակի պարամետրով: Օրինակ՝ դասարանում սովորողների թիվը, մթնոլորտային ճնշումը կամ այդ դասարանում ջերմաստիճանը՝ որպես ժամանակի ֆունկցիա, պատահական գործընթացներ են:

Պատահական պրոցեսները լայնորեն կիրառվում են բարդ ստոխաստիկ համակարգերի ուսումնասիրության մեջ՝ որպես այդպիսի համակարգերի գործառության ադեկվատ մաթեմատիկական մոդելներ։

Պատահական գործընթացների հիմնական հասկացությունները հասկացություններն են գործընթացի վիճակըԵվ անցումայն մի պետությունից մյուսը:

Փոփոխականների արժեքները, որոնք նկարագրում են պատահական գործընթացը տվյալ պահին, կոչվում են վիճակպատահականգործընթաց. Պատահական գործընթացն անցում է կատարում մի վիճակից մյուսը, եթե մի վիճակ սահմանող փոփոխականների արժեքները փոխվում են արժեքների, որոնք սահմանում են մեկ այլ վիճակ:

Պատահական գործընթացի հնարավոր վիճակների (վիճակների տարածության) թիվը կարող է լինել վերջավոր կամ անսահման: Եթե ​​հնարավոր վիճակների թիվը վերջավոր է կամ հաշվելի (բոլոր հնարավոր վիճակներին կարելի է վերագրել սերիական համարներ), ապա պատահական գործընթացը կոչվում է. գործընթաց դիսկրետ վիճակներով. Օրինակ՝ խանութում հաճախորդների թիվը, օրվա ընթացքում բանկում հաճախորդների թիվը նկարագրվում են պատահական գործընթացներով՝ դիսկրետ վիճակներով:

Եթե ​​պատահական գործընթաց նկարագրող փոփոխականները կարող են ցանկացած արժեք վերցնել վերջավոր կամ անվերջ շարունակական միջակայքից, և, հետևաբար, վիճակների թիվը անհաշվելի է, ապա պատահական գործընթացը կոչվում է. գործընթացը շարունակական վիճակներով. Օրինակ՝ օրվա ընթացքում օդի ջերմաստիճանը պատահական գործընթաց է՝ շարունակական վիճակներով։

Դիսկրետ վիճակներով պատահական գործընթացները բնութագրվում են մի վիճակից մյուսին կտրուկ անցումներով, մինչդեռ շարունակական վիճակներով գործընթացներում անցումները հարթ են: Այնուհետև մենք կդիտարկենք միայն դիսկրետ վիճակներով գործընթացները, որոնք հաճախ կոչվում են շղթաներ.

Նշենք ըստ է(տ) պատահական գործընթաց է՝ դիսկրետ վիճակներով և հնարավոր արժեքներով է(տ), այսինքն. շղթայի հնարավոր վիճակները, - նշանների միջոցով Ե 0 , Ե 1 , Ե 2 , … . Երբեմն բնական շարքերից 0, 1, 2,... թվերն օգտագործվում են դիսկրետ վիճակներ նշելու համար։

Պատահական գործընթաց է(տ) կոչվում է գործընթացՀետդիսկրետժամանակ, եթե գործընթացի անցումը վիճակից վիճակ հնարավոր է միայն ժամանակի խիստ սահմանված, նախապես ֆիքսված պահերին տ 0 , տ 1 , տ 2 , … . Եթե ​​գործընթացի անցումը վիճակից վիճակ հնարավոր է ցանկացած նախկինում անհայտ ժամանակի ժամանակ, ապա պատահական գործընթաց կոչվում է. գործընթացշարունակականովժամանակ. Առաջին դեպքում ակնհայտ է, որ անցումների միջև ժամանակային ընդմիջումները որոշիչ են, իսկ երկրորդում՝ պատահական փոփոխականներ։

Դիսկրետ ժամանակային պրոցես տեղի է ունենում կամ այն ​​դեպքում, երբ համակարգի կառուցվածքը, որը նկարագրված է այս գործընթացով, այնպիսին է, որ նրա վիճակները կարող են փոխվել միայն ժամանակի կանխորոշված ​​կետերում, կամ երբ ենթադրվում է, որ գործընթացը (համակարգը) նկարագրելու համար բավական է. իմանալ պետությունները ժամանակի որոշակի կետերում. Այդ ժամանակ այս պահերը կարելի է համարել, և կարելի է խոսել պետության մասին Ե եսժամանակի մի կետում տ ես .

Դիսկրետ վիճակներով պատահական գործընթացները կարող են պատկերվել որպես անցումների (կամ վիճակների) գրաֆիկ, որտեղ գագաթները համապատասխանում են վիճակներին, իսկ կողմնորոշված ​​աղեղները՝ մի վիճակից մյուսին անցումներին: Եթե ​​պետությունից Ե եսանցում միայն մեկ վիճակի հնարավոր է Ե ժ, ապա այս փաստն արտացոլվում է անցումային գրաֆիկի վրա գագաթից ուղղված աղեղով Ե եսդեպի բարձրունք Ե ժ(նկ. 1, ա): Անցումները մի վիճակից մի քանի այլ վիճակների և մի քանի վիճակներից մեկ վիճակի արտացոլվում են անցումային գրաֆիկում, ինչպես ցույց է տրված Նկար 1, b և 1, c: