Rumus logaritma dasar. Mari kita berikan beberapa contoh ketergantungan numerik

Logaritma bilangan b (b > 0) ke basis a (a > 0, a ≠ 1)– eksponen yang bilangan a harus dipangkatkan untuk memperoleh b.

Logaritma basis 10 dari b dapat ditulis sebagai catatan(b), dan logaritma ke basis e (logaritma natural) adalah dalam(b).

Sering digunakan saat menyelesaikan masalah dengan logaritma:

Sifat-sifat logaritma

Ada empat yang utama sifat-sifat logaritma.

Misalkan a > 0, a ≠ 1, x > 0 dan y > 0.

Properti 1. Logaritma produk

Logaritma produk sama dengan jumlahnya logaritma:

log a (x ⋅ y) = log a x + log a y

Sifat 2. Logaritma hasil bagi

Logaritma hasil bagi sama dengan selisih logaritma:

log a (x / y) = log ax – log ay

Sifat 3. Logaritma pangkat

Logaritma derajat sama dengan hasil kali pangkat dan logaritma:

Jika basis logaritma dipangkatkan, maka berlaku rumus lain:

Sifat 4. Logaritma akar

Sifat ini dapat diperoleh dari sifat logaritma suatu pangkat, karena akar ke-n pangkat sama dengan pangkat 1/n:

Rumus untuk mengubah logaritma pada satu basis ke logaritma pada basis lain

Rumus ini juga sering digunakan ketika menyelesaikan berbagai masalah logaritma:

Kasus spesial:

Membandingkan logaritma (pertidaksamaan)

Mari kita memiliki 2 fungsi f(x) dan g(x) pada logaritma dengan basis yang sama dan di antara keduanya ada tanda pertidaksamaan:

Untuk membandingkannya, pertama-tama Anda perlu melihat basis logaritma a:

• Jika a > 0, maka f(x) > g(x) > 0
• Jika 0< a < 1, то 0 < f(x) < g(x)

Cara menyelesaikan soal logaritma: contoh

Masalah dengan logaritma termasuk dalam Ujian Negara Terpadu matematika untuk kelas 11 pada tugas 5 dan tugas 7, Anda dapat menemukan tugas dengan solusi di situs web kami di bagian yang sesuai. Selain itu, tugas dengan logaritma dapat ditemukan di bank tugas matematika. Anda dapat menemukan semua contoh dengan mencari di situs.

Apa itu logaritma

Logaritma selalu dianggap sebagai topik yang sulit dalam kursus matematika sekolah. Ada banyak definisi logaritma yang berbeda, tetapi karena alasan tertentu sebagian besar buku teks menggunakan definisi yang paling rumit dan tidak berhasil.

Kami akan mendefinisikan logaritma secara sederhana dan jelas. Untuk melakukan ini, mari buat tabel:

Jadi, kita punya kekuatan dua.

Logaritma - properti, rumus, cara penyelesaian

Jika Anda mengambil angka dari garis bawah, Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Hal ini dapat dilihat dari tabel.

Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:

basis a dari argumen x adalah pangkat dari bilangan a yang harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x.

Sebutan: log a x = b, dengan a adalah basis, x adalah argumen, b adalah logaritma sebenarnya.

Misalnya, 2 3 = 8 ⇒log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Dengan keberhasilan yang sama, log 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.

Operasi mencari logaritma suatu bilangan dengan basis tertentu disebut. Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
catatan 2 2 = 1	catatan 2 4 = 2	catatan 2 8 = 3	catatan 2 16 = 4	catatan 2 32 = 5	catatan 2 64 = 6

Sayangnya, tidak semua logaritma dapat dihitung dengan mudah. Misalnya, coba cari log 2 5. Angka 5 tidak ada dalam tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat pada interval tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bilangan seperti itu disebut irasional: bilangan setelah koma dapat ditulis ad infinitum dan tidak pernah terulang. Jika logaritmanya ternyata irasional, lebih baik dibiarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya banyak orang bingung mana dasarnya dan mana argumentasinya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:

Di hadapan kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana basis harus dibangun untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan ke pangkat - disorot dengan warna merah pada gambar. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu siswa saya aturan luar biasa ini pada pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan yang timbul.

Cara menghitung logaritma

Kami telah menemukan definisinya - yang tersisa hanyalah mempelajari cara menghitung logaritma, mis. hilangkan tanda "log". Untuk memulainya, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti definisi tersebut:

1. Argumen dan basisnya harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti definisi derajat dengan eksponen rasional, yang kemudian direduksi menjadi definisi logaritma.
2. Basisnya harus berbeda dari yang satu, karena yang satu tetap satu sampai tingkat apa pun. Oleh karena itu, pertanyaan “kepada kekuatan apa seseorang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua” tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti ini disebut rentang nilai yang dapat diterima(ODZ). Ternyata ODZ logaritmanya seperti ini: log a x = b ⇒x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma). Misalnya, logaritmanya mungkin negatif: log 2 0,5 = −1, karena 0,5 = 2 −1.

Namun, sekarang kita hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, yang tidak perlu mengetahui VA logaritmanya. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penulis tugas. Namun ketika persamaan dan pertidaksamaan logaritmik mulai berlaku, persyaratan DL akan menjadi wajib. Bagaimanapun juga, dasar dan argumennya mungkin mengandung konstruksi yang sangat kuat yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang mari kita lihat skema umum untuk menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

1. Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis minimum yang mungkin lebih besar dari satu. Dalam prosesnya, lebih baik menghilangkan desimal;
2. Selesaikan persamaan variabel b: x = a b ;
3. Angka b yang dihasilkan akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritmanya ternyata irasional, hal ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangatlah penting: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Sama dengan desimal: jika Anda segera mengonversinya ke yang biasa, kesalahannya akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat cara kerja skema ini menggunakan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritmanya: log 5 25

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;

Mari buat dan selesaikan persamaannya:
log 5 25 = b ⇒(5 1) b = 5 2 ⇒5 b = 5 2 ⇒ b = 2;

2. Kami menerima jawabannya: 2.

Tugas. Hitung logaritmanya:

Tugas. Hitung logaritmanya: log 4 64

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
   log 4 64 = b ⇒(2 2) b = 2 6 ⇒2 2b = 2 6 ⇒2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Kami menerima jawabannya: 3.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 16 1

1. Mari kita bayangkan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Mari buat dan selesaikan persamaannya:
   log 16 1 = b ⇒(2 4) b = 2 0 ⇒2 4b = 2 0 ⇒4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Kami menerima jawabannya: 0.

Tugas. Hitung logaritmanya: log 7 14

1. Mari kita bayangkan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak dapat direpresentasikan sebagai pangkat tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Dari paragraf sebelumnya dapat disimpulkan bahwa logaritma tidak dihitung;
3. Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Catatan kecil pada contoh terakhir. Bagaimana Anda bisa yakin bahwa suatu bilangan bukanlah pangkat eksak dari bilangan lain? Caranya sangat sederhana - faktorkan saja ke dalam faktor prima. Jika pemuaian mempunyai paling sedikit dua faktor yang berbeda, maka bilangan tersebut bukanlah pangkat pasti.

Tugas. Cari tahu apakah angka-angka tersebut merupakan pangkat eksak: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - derajat eksak, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - bukan pangkat eksak, karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - derajat eksak;
35 = 7 · 5 - sekali lagi bukan pangkat pasti;
14 = 7 · 2 - sekali lagi bukan derajat pasti;

Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.

Logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga mempunyai nama dan simbol khusus.

argumen x adalah logaritma ke basis 10, yaitu Pangkat bilangan 10 yang harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Sebutan: lg x.

Misalnya log 10 = 1; catatan 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti “Temukan lg 0,01” muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda belum terbiasa dengan notasi ini, Anda selalu dapat menulis ulang:
catatan x = catatan 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk logaritma desimal.

Logaritma natural

Ada logaritma lain yang memiliki sebutan tersendiri. Dalam beberapa hal, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Kita berbicara tentang logaritma natural.

argumen x adalah logaritma ke basis e, yaitu pangkat berapa bilangan e harus dipangkatkan untuk memperoleh bilangan x. Sebutan: ln x.

Banyak yang akan bertanya: berapakah angka e? Ini adalah angka yang tidak rasional nilai yang tepat mustahil untuk ditemukan dan dicatat. Saya hanya akan memberikan angka pertama:
e = 2,718281828459…

Kami tidak akan merinci apa nomor ini dan mengapa diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1; dalam e 2 = 2; dalam e 16 = 16 - dst. Sebaliknya, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural apa pun bilangan rasional irasional. Kecuali, tentu saja, untuk kesatuan: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.

Lihat juga:

Logaritma. Sifat-sifat logaritma (pangkat logaritma).

Bagaimana cara merepresentasikan bilangan sebagai logaritma?

Kami menggunakan definisi logaritma.

Logaritma adalah eksponen yang harus dipangkatkan basisnya untuk mendapatkan bilangan di bawah tanda logaritma.

Jadi, untuk menyatakan suatu bilangan c sebagai logaritma dengan basis a, Anda perlu meletakkan pangkat dengan basis yang sama dengan basis logaritma di bawah tanda logaritma, dan menuliskan bilangan c ini sebagai eksponennya:

Benar-benar bilangan apa pun dapat direpresentasikan sebagai logaritma - positif, negatif, bilangan bulat, pecahan, rasional, irasional:

Agar tidak bingung a dan c dalam kondisi ujian atau ujian yang penuh tekanan, Anda dapat menggunakan aturan menghafal berikut:

yang di bawah turun, yang di atas naik.

Misalnya, Anda perlu merepresentasikan angka 2 sebagai logaritma ke basis 3.

Kami memiliki dua angka - 2 dan 3. Angka-angka ini adalah basis dan eksponen, yang akan kami tulis di bawah tanda logaritma. Tinggal menentukan angka mana yang harus dituliskan ke pangkat, dan mana yang harus dipangkatkan.

Basis 3 dalam notasi logaritma ada di bagian bawah, artinya ketika kita menyatakan dua sebagai logaritma ke basis 3, kita juga akan menuliskan 3 ke basis.

2 lebih tinggi dari tiga. Dan pada notasi derajat dua kita tuliskan di atas tiga, yaitu sebagai eksponen:

Logaritma. Tingkat pertama.

Logaritma

Logaritma nomor positif B berdasarkan A, Di mana a > 0, a ≠ 1, disebut eksponen yang bilangannya harus dipangkatkan A, Untuk memperoleh B.

Definisi logaritma dapat ditulis secara singkat seperti ini:

Kesetaraan ini berlaku untuk b > 0, a > 0, a ≠ 1. Biasanya disebut identitas logaritmik.
Tindakan mencari logaritma suatu bilangan disebut dengan logaritma.

Sifat-sifat logaritma:

Logaritma produk:

Logaritma hasil bagi:

Mengganti basis logaritma:

Logaritma derajat:

Logaritma akar:

Logaritma dengan basis pangkat:

Logaritma desimal dan natural.

Logaritma desimal angka panggil logaritma angka ini ke basis 10 dan tulis   lg B
Logaritma natural bilangan disebut logaritma bilangan tersebut ke basis e, Di mana e- bilangan irasional kira-kira sama dengan 2,7. Pada saat yang sama mereka menulis ln B.

Catatan lain tentang aljabar dan geometri

Sifat dasar logaritma

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.

Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tanpa aturan tersebut, tidak ada satu pun masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Perhatikan dua logaritma dengan basis yang sama: log a x dan log a y. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:

1. log a x + log a y = log a (x y);
2. log a x − log a y = log a (x: y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah alasan yang identik. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma meskipun bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:

Catatan 6 4 + catatan 6 9.

Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
catatan 6 4 + catatan 6 9 = catatan 6 (4 9) = catatan 6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 2 48 − log 2 3.

Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak yang dibangun berdasarkan fakta ini kertas ujian. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.

Mengekstraksi eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:

Sangat mudah untuk menyadarinya aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , yaitu Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.

Cara menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 7 49 6 .

Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
catatan 7 49 6 = 6 catatan 7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kita punya:

Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung angka yang sama: log 2 7. Karena log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?

Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma log a x diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menetapkan c = x, kita mendapatkan:

Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma.

Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; catatan 2 25 = catatan 2 5 2 = 2 catatan 2 5;

Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:

Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal, pindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma terhadap basis tertentu.

Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, bilangan n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena hanya berupa nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: .

Faktanya, apa yang terjadi jika bilangan b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga bilangan b yang dipangkatkan tersebut menghasilkan bilangan a? Betul sekali: hasilnya sama dengan bilangan a. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.

Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - cukup ambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:

Kalau ada yang belum tahu, ini tugas nyata dari Unified State Examination :)

Satuan logaritma dan logaritma nol

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.

1. log a a = 1 adalah. Ingatlah sekali untuk selamanya: logaritma untuk setiap basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. log a 1 = 0 adalah. Basis a dapat berupa apa saja, tetapi jika argumen berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena 0 = 1 merupakan konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.

Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.

Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tanpa aturan tersebut, tidak ada satu pun masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: log A X dan mencatat A kamu. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:

1. catatan A X+ catatan A kamu= mencatat A (X · kamu);
2. catatan A X− catatan A kamu= mencatat A (X : kamu).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah alasan yang identik. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma meskipun bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:

Catatan 6 4 + catatan 6 9.

Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
catatan 6 4 + catatan 6 9 = catatan 6 (4 9) = catatan 6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 2 48 − log 2 3.

Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48:3) = log 2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 3 135 − log 3 5.

Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135:5) = log 3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.

Mengekstraksi eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma dipatuhi: A > 0, A ≠ 1, X> 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, yaitu. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 7 49 6 .

Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
catatan 7 49 6 = 6 catatan 7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

[Keterangan untuk gambar]

Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Kita punya:

[Keterangan untuk gambar]

Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung angka yang sama: log 2 7. Karena log 2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?

Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:

Biarkan log logaritma diberikan A X. Lalu untuk nomor berapa pun C seperti yang C> 0 dan C≠ 1, persamaannya benar:

[Keterangan untuk gambar]

Khususnya, jika kita menempatkan C = X, kita mendapatkan:

[Keterangan untuk gambar]

Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma.

Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 5 16 log 2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; catatan 2 25 = catatan 2 5 2 = 2 catatan 2 5;

Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:

[Keterangan untuk gambar]

Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log 9 100 lg 3.

Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:

[Keterangan untuk gambar]

Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:

[Keterangan untuk gambar]

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma terhadap basis tertentu. Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, nomornya N menjadi indikator derajat kedudukan dalam argumen tersebut. Nomor N bisa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: identitas logaritmik dasar.

Sebenarnya apa yang akan terjadi jika jumlahnya B naikkan pangkat sedemikian rupa sehingga bilangan tersebut B untuk kekuatan ini memberikan nomornya A? Benar: Anda mendapatkan nomor yang sama A. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.

Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

[Keterangan untuk gambar]

Perhatikan bahwa log 25 64 = log 5 8 - cukup ambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:

[Keterangan untuk gambar]

Kalau ada yang belum tahu, ini tugas sebenarnya dari Unified State Exam :)

Satuan logaritma dan logaritma nol

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.

1. catatan A A= 1 adalah satuan logaritma. Ingat sekali dan untuk selamanya: logaritma ke basis apa pun A dari titik dasar ini sama dengan satu.
2. catatan A 1 = 0 adalah nol logaritmik. Basis A bisa apa saja, tapi jika argumennya berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena A 0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.

Logaritma bilangan positif b dengan basis a (a>0, a tidak sama dengan 1) adalah bilangan c sedemikian rupa sehingga a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Perhatikan bahwa logaritma bilangan non-positif tidak terdefinisi. Selain itu, basis logaritma harus berupa bilangan positif yang tidak sama dengan 1. Misalnya, jika kita mengkuadratkan -2, kita mendapatkan angka 4, tetapi ini tidak berarti bahwa basis -2 logaritma dari 4 sama dengan ke 2.

Identitas logaritma dasar

catatan a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Penting agar cakupan definisi ruas kanan dan kiri rumus ini berbeda. Sisi kiri didefinisikan hanya untuk b>0, a>0 dan a ≠ 1. Bagian kanan didefinisikan untuk sembarang b, tetapi tidak bergantung pada a sama sekali. Dengan demikian, penerapan “identitas” logaritmik dasar saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan dapat menyebabkan perubahan OD.

Dua konsekuensi nyata dari definisi logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Memang, jika bilangan a dipangkatkan satu, kita mendapatkan bilangan yang sama, dan jika dipangkatkan nol, kita mendapat satu.

Logaritma hasil kali dan logaritma hasil bagi

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Saya ingin memperingatkan anak-anak sekolah agar tidak menggunakan rumus-rumus ini secara sembarangan saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Saat menggunakannya “dari kiri ke kanan”, ODZ menyempit, dan saat berpindah dari jumlah atau selisih logaritma ke logaritma hasil kali atau hasil bagi, ODZ melebar.

Memang benar, ekspresi log a (f (x) g (x)) didefinisikan dalam dua kasus: ketika kedua fungsi benar-benar positif atau ketika f(x) dan g(x) keduanya kurang dari nol.

Mengubah ekspresi ini menjadi jumlah log a f (x) + log a g (x), kita terpaksa membatasi diri hanya pada kasus ketika f(x)>0 dan g(x)>0. Terdapat penyempitan kisaran nilai yang dapat diterima, dan hal ini sangat tidak dapat diterima, karena dapat mengakibatkan hilangnya solusi. Masalah serupa juga terjadi pada rumus (6).

Derajatnya bisa diambil dari tanda logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

Dan sekali lagi saya ingin meminta keakuratan. Perhatikan contoh berikut:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Ruas kiri persamaan jelas terdefinisi untuk semua nilai f(x) kecuali nol. Sisi kanan hanya untuk f(x)>0! Dengan mengeluarkan derajat dari logaritma, kita kembali mempersempit ODZ. Prosedur sebaliknya mengarah pada perluasan kisaran nilai yang dapat diterima. Semua pernyataan ini berlaku tidak hanya untuk pangkat 2, tetapi juga untuk pangkat genap apa pun.

Formula untuk pindah ke yayasan baru

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Kasus yang jarang terjadi ketika ODZ tidak berubah selama transformasi. Jika Anda telah memilih basis c dengan bijak (positif dan tidak sama dengan 1), rumus pindah ke basis baru sepenuhnya aman.

Jika kita memilih bilangan b sebagai basis c yang baru, kita memperoleh bilangan penting kasus spesial rumus (8):

Log a b = 1 log ba (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Beberapa contoh sederhana dengan logaritma

Contoh 1. Hitung: log2 + log50.
Larutan. log2 + log50 = log100 = 2. Kami menggunakan rumus jumlah logaritma (5) dan definisi logaritma desimal.

Contoh 2. Hitung: lg125/lg5.
Larutan. log125/log5 = log 5 125 = 3. Kita menggunakan rumus untuk berpindah ke basis baru (8).

Tabel rumus yang berhubungan dengan logaritma

catatan a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

1. Periksa apakah ada angka negatif atau angka di bawah tanda logaritma. Metode ini berlaku untuk ekspresi bentuk log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Namun, ini tidak cocok untuk beberapa kasus khusus:

   • Logaritma angka negatif tidak ditentukan atas dasar apa pun (misalnya, catatan ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) atau catatan 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4)(-5))). Dalam hal ini tulis "tidak ada solusi".
   • Logaritma nol pada basis apa pun juga tidak terdefinisi. Jika Anda tertangkap ln ⁡ (0) (\displaystyle \ln(0)), tuliskan "tidak ada solusi".
   • Logaritma satu ke basis apa pun ( catatan ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) selalu nol, karena x 0 = 1 (\gaya tampilan x^(0)=1) untuk semua nilai X. Tulis 1 sebagai pengganti logaritma ini dan jangan gunakan metode di bawah ini.
   • Jika logaritma mempunyai basis yang berbeda, misalnya l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), dan tidak direduksi menjadi bilangan bulat, nilai ekspresi tidak dapat ditemukan secara manual.

2. Ubah ekspresi menjadi satu logaritma. Jika ekspresi tersebut bukan salah satu dari yang di atas acara-acara khusus, itu dapat direpresentasikan sebagai logaritma tunggal. Gunakan rumus berikut untuk ini: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ catatan_(a)(x)).

   • Contoh 1: Perhatikan ekspresi log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))).
     Pertama, mari kita nyatakan ekspresi tersebut sebagai logaritma tunggal menggunakan rumus di atas: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Rumus untuk “mengganti basis” logaritma ini berasal dari sifat dasar logaritma.

3. Jika memungkinkan, evaluasi nilai ekspresi secara manual. Mencari log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), bayangkan ekspresi " A? = x (\gaya tampilan a^(?)=x)", yaitu mengajukan pertanyaan berikut:" Kepada kekuatan apa yang harus Anda angkat A, Untuk memperoleh X?. Menjawab pertanyaan ini mungkin memerlukan kalkulator, tetapi jika beruntung, Anda mungkin bisa menemukannya dengan tangan.

   • Contoh 1 (lanjutan): Tulis ulang sebagai 2? = 16 (\gaya tampilan 2^(?)=16). Anda perlu menemukan nomor berapa yang seharusnya menggantikan tanda "?". Ini dapat dilakukan dengan coba-coba:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\displaystyle 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\displaystyle 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\displaystyle 2^(4)=8*2=16)
     Jadi, angka yang kita cari adalah 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Biarkan jawaban Anda dalam bentuk logaritma jika Anda tidak dapat menyederhanakannya. Banyak logaritma yang sangat sulit dihitung dengan tangan. Dalam hal ini, untuk mendapatkan jawaban yang akurat, Anda memerlukan kalkulator. Namun, jika Anda memecahkan suatu masalah di kelas, kemungkinan besar guru akan puas dengan jawaban dalam bentuk logaritma. Metode yang dibahas di bawah ini digunakan untuk menyelesaikan contoh yang lebih kompleks:

   • contoh 2: apa yang setara log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Mari kita ubah ekspresi ini menjadi satu logaritma: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ catatan_(7)(58)). Perhatikan bahwa basis 3 yang sama untuk kedua logaritma menghilang; ini benar untuk alasan apa pun.
   • Mari kita tulis ulang ekspresi tersebut dalam bentuk 7? = 58 (\gaya tampilan 7^(?)=58) dan mari kita coba mencari nilainya?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\displaystyle 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\displaystyle 7^(3)=49*7=343)
     Karena 58 berada di antara kedua bilangan tersebut, maka tidak dinyatakan sebagai bilangan bulat.
   • Kami meninggalkan jawabannya dalam bentuk logaritma: catatan 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7)(58)).