Persamaan garis singgung grafik suatu fungsi

P.Romanov, T.Romanova,
Magnitogorsk,
Wilayah Chelyabinsk

Persamaan garis singgung grafik suatu fungsi

Artikel ini diterbitkan atas dukungan Kompleks Hotel ITAKA+. Saat tinggal di kota pembuat kapal Severodvinsk, Anda tidak akan menemui masalah dalam mencari tempat tinggal sementara. , di situs web kompleks hotel “ITHAKA+” http://itakaplus.ru, Anda dapat dengan mudah dan cepat menyewa apartemen di kota, untuk jangka waktu berapa pun, dengan pembayaran harian.

Pada panggung modern pengembangan pendidikan, salah satu tugas pokoknya adalah pembentukan kepribadian berpikir kreatif. Kemampuan kreativitas siswa hanya dapat dikembangkan jika mereka dilibatkan secara sistematis dalam dasar-dasar kegiatan penelitian. Landasan bagi siswa untuk menggunakan daya kreatif, kemampuan dan bakatnya adalah terbentuknya pengetahuan dan keterampilan yang utuh. Berkaitan dengan hal tersebut, masalah pembentukan sistem pengetahuan dan keterampilan dasar pada setiap topik mata kuliah matematika sekolah menjadi tidak kalah pentingnya. Pada saat yang sama, keterampilan penuh harus menjadi tujuan didaktik, bukan tugas individu, tapi sistem mereka dipikirkan dengan cermat. Dalam arti luas, sistem dipahami sebagai sekumpulan elemen-elemen yang saling berinteraksi dan saling berhubungan yang memiliki integritas dan struktur yang stabil.

Mari kita pertimbangkan teknik untuk mengajari siswa cara menulis persamaan garis singgung grafik suatu fungsi. Pada dasarnya, semua masalah dalam menemukan persamaan tangen bermuara pada kebutuhan untuk memilih dari sekumpulan (kumpulan, keluarga) garis-garis yang memenuhi persyaratan tertentu - garis-garis tersebut bersinggungan dengan grafik fungsi tertentu. Dalam hal ini, kumpulan garis tempat pemilihan dilakukan dapat ditentukan dengan dua cara:

a) suatu titik yang terletak pada bidang xOy (garis pensil tengah);
b) koefisien sudut (balok garis lurus sejajar).

Dalam hal ini, ketika mempelajari topik “Singgung grafik suatu fungsi” untuk mengisolasi elemen-elemen sistem, kami mengidentifikasi dua jenis masalah:

1) masalah pada garis singgung yang diberikan oleh titik yang dilaluinya;
2) masalah pada garis singgung yang diberikan oleh kemiringannya.

Pelatihan penyelesaian masalah tangen dilakukan dengan menggunakan algoritma yang dikemukakan oleh A.G. Mordkovich. Perbedaan mendasarnya dengan yang sudah diketahui adalah absis titik singgung dilambangkan dengan huruf a (bukan x0), sehingga persamaan tangennya berbentuk

kamu = f(Sebuah) + f "(Sebuah)(x – Sebuah)

(bandingkan dengan y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Ini teknik metodis, menurut kami, memungkinkan siswa dengan cepat dan mudah memahami di mana koordinat titik saat ini ditulis dalam persamaan tangen umum, dan di mana titik singgungnya.

Algoritma penyusunan persamaan tangen grafik fungsi y = f(x)

1. Tentukan absis titik singgung dengan huruf a.
2. Temukan f(a).
3. Temukan f "(x) dan f "(a).
4. Substitusikan bilangan a, f(a), f"(a) yang didapat ke dalam persamaan umum garis singgung y = f(a) = f "(a)(x – a).

Algoritme ini dapat disusun berdasarkan identifikasi operasi independen siswa dan urutan implementasinya.

Praktek telah menunjukkan bahwa solusi berurutan dari setiap masalah utama menggunakan algoritma memungkinkan Anda untuk mengembangkan keterampilan menulis persamaan garis singgung grafik suatu fungsi secara bertahap, dan langkah-langkah algoritma berfungsi sebagai titik referensi untuk tindakan. . Pendekatan ini sesuai dengan teori pembentukan tindakan mental secara bertahap yang dikembangkan oleh P.Ya. Galperin dan N.F. Talizina.

Pada jenis tugas pertama, dua tugas utama diidentifikasi:

• garis singgung melalui suatu titik yang terletak pada kurva (soal 1);
• garis singgung melewati suatu titik yang tidak terletak pada kurva (soal 2).

Tugas 1. Tuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi tersebut di titik M(3; – 2).

Larutan. Titik M(3; – 2) merupakan titik singgung, karena

1. a = 3 – absis titik singgung.
2.f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – persamaan tangen.

Soal 2. Tuliskan persamaan semua garis singgung grafik fungsi y = – x 2 – 4x + 2 yang melalui titik M(– 3; 6).

Larutan. Titik M(– 3; 6) bukan merupakan titik singgung, karena f(– 3) 6 (Gbr. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f"(x) = – 2x – 4, f"(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – persamaan tangen.

Garis singgung melewati titik M(– 3; 6), sehingga koordinatnya memenuhi persamaan tangen.

6 = – sebuah 2 – 4a + 2 – 2(sebuah + 2)(– 3 – sebuah),
sebuah 2 + 6a + 8 = 0^ sebuah 1 = – 4, sebuah 2 = – 2.

Jika a = – 4, maka persamaan tangennya adalah y = 4x + 18.

Jika a = – 2, maka persamaan tangennya berbentuk y = 6.

Pada tipe kedua, tugas utamanya adalah sebagai berikut:

• garis singgungnya sejajar dengan suatu garis (soal 3);
• garis singgung melewati sudut tertentu terhadap garis tertentu (soal 4).

Soal 3. Tuliskan persamaan semua garis singgung grafik fungsi y = x 3 – 3x 2 + 3, sejajar dengan garis y = 9x + 1.

Larutan.

1. a – absis titik singgung.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Namun sebaliknya, f "(a) = 9 (kondisi paralelisme). Artinya kita perlu menyelesaikan persamaan 3a 2 – 6a = 9. Akar-akarnya adalah a = – 1, a = 3 (Gbr. 3 ).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f"(– 1) = 9;
4) kamu = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – persamaan tangen;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f"(3) = 9;
4) kamu = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – persamaan tangen.

Soal 4. Tuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi y = 0,5x 2 – 3x + 1, yang membentuk sudut 45° terhadap garis lurus y = 0 (Gbr. 4).

Larutan. Dari kondisi f "(a) = tan 45° kita mencari a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – absis titik singgung.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3.f"(4) = 4 – 3 = 1.
4. kamu = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – persamaan tangen.

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa solusi terhadap masalah lain bermuara pada penyelesaian satu atau lebih masalah utama. Perhatikan dua masalah berikut sebagai contoh.

1. Tuliskan persamaan garis singgung parabola y = 2x 2 – 5x – 2, jika garis singgung tersebut berpotongan tegak lurus dan salah satunya menyentuh parabola di titik absis 3 (Gbr. 5).

Larutan. Karena absis titik singgung diberikan, bagian pertama penyelesaian direduksi menjadi soal utama 1.

1. a = 3 – absis titik singgung salah satu sisi siku-siku.
2.f(3) = 1.
3. f"(x) = 4x – 5, f"(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – persamaan garis singgung pertama.

Biarkan a – sudut kemiringan garis singgung pertama. Karena garis singgungnya tegak lurus, maka sudut kemiringan garis singgung kedua adalah. Dari persamaan y = 7x – 20 garis singgung pertama kita peroleh tg a = 7. Ayo cari

Artinya kemiringan garis singgung kedua sama dengan .

Solusi selanjutnya adalah tugas utama 3.

Misalkan B(c; f(c)) adalah titik singgung garis kedua

1. – absis titik singgung kedua.
2.
3.
4.
– persamaan garis singgung kedua.

Catatan. Koefisien sudut garis singgung dapat dicari dengan lebih mudah jika siswa mengetahui perbandingan koefisien garis tegak lurus k 1 k 2 = – 1.

2. Tuliskan persamaan semua garis singgung persekutuan pada grafik fungsi

Larutan. Tugasnya adalah mencari absis titik singgung garis singgung persekutuan, yaitu menyelesaikan masalah utama 1 dalam bentuk umum, menyusun sistem persamaan dan kemudian menyelesaikannya (Gbr. 6).

1. Misalkan a adalah absis titik singgung pada grafik fungsi y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3.f"(a) = 2a+1.
4. kamu = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Misalkan c adalah absis titik singgung pada grafik fungsi
2.
3.f"(c) = c.
4.

Karena garis singgung bersifat umum, maka

Jadi y = x + 1 dan y = – 3x – 3 adalah garis singgung persekutuan.

Tujuan utama dari tugas-tugas yang dipertimbangkan adalah untuk mempersiapkan siswa untuk secara mandiri mengenali jenis masalah utama ketika memecahkan masalah yang lebih kompleks yang memerlukan keterampilan penelitian tertentu (kemampuan menganalisis, membandingkan, menggeneralisasi, mengajukan hipotesis, dll). Tugas-tugas tersebut mencakup tugas apa pun yang tugas utamanya disertakan sebagai salah satu komponennya. Mari kita perhatikan sebagai contoh masalah (kebalikan dari Soal 1) dalam mencari fungsi dari keluarga garis singgungnya.

3. Berapakah b dan c garis y = x dan y = – 2x bersinggungan dengan grafik fungsi y = x 2 + bx + c?

Larutan.

Misalkan t adalah absis titik singgung garis lurus y = x dengan parabola y = x 2 + bx + c; p adalah absis titik singgung garis lurus y = – 2x dengan parabola y = x 2 + bx + c. Maka persamaan tangen y = x akan berbentuk y = (2t + b)x + c – t 2 , dan persamaan tangen y = – 2x akan berbentuk y = (2p + b)x + c – p 2 .

Mari kita menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan

Menjawab:

Masalah untuk diselesaikan secara mandiri

1. Tuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi y = 2x 2 – 4x + 3 di titik potong grafik tersebut dengan garis y = x + 3.

Jawaban: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. Berapakah nilai a yang melalui titik tersebut garis singgung grafik fungsi y = x 2 – ax pada titik grafik dengan absis x 0 = 1?

Jawaban: a = 0,5.

3. Untuk nilai p berapakah garis lurus y = px – 5 menyentuh kurva y = 3x 2 – 4x – 2?

Jawaban: hal 1 = – 10, hal 2 = 2.

4. Tentukan semua titik persekutuan pada grafik fungsi y = 3x – x 3 dan garis singgung grafik tersebut melalui titik P(0; 16).

Jawaban: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Tentukan jarak terpendek antara parabola y = x 2 + 6x + 10 dan garis lurus

Menjawab:

6. Pada kurva y = x 2 – x + 1, tentukan titik yang garis singgung grafiknya sejajar dengan garis lurus y – 3x + 1 = 0.

Jawaban: M(2;3).

7. Tuliskan persamaan garis singgung grafik fungsi y = x 2 + 2x – | 4x |, yang menyentuhnya di dua titik. Buatlah gambar.

Jawaban: y = 2x – 4.

8. Buktikan bahwa garis y = 2x – 1 tidak memotong kurva y = x 4 + 3x 2 + 2x. Temukan jarak antara titik terdekatnya.

Menjawab:

9. Pada parabola y = x 2, diambil dua titik dengan absis x 1 = 1, x 2 = 3. Sebuah garis potong ditarik melalui titik-titik tersebut. Pada titik parabola manakah garis singgungnya sejajar dengan garis potong? Tuliskan persamaan garis potong dan garis singgungnya.

Jawaban: y = 4x – 3 – persamaan garis potong; y = 4x – 4 – persamaan tangen.

10. Temukan sudut q antara garis singgung grafik fungsi y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, digambar pada titik-titik dengan absis 0 dan 1.

Jawaban: q = 45°.

11. Di titik manakah garis singgung grafik fungsi membentuk sudut 135° terhadap sumbu Ox?

Jawaban: A(0; – 1), B(4; 3).

12. Di titik A(1; 8) terhadap kurva sebuah garis singgung ditarik. Temukan panjang garis singgung antara sumbu koordinat.

Menjawab:

13. Tuliskan persamaan semua garis singgung persekutuan pada grafik fungsi y = x 2 – x + 1 dan y = 2x 2 – x + 0.5.

Jawaban: y = – 3x dan y = x.

14. Tentukan jarak garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar dengan sumbu x.

Menjawab:

15. Tentukan sudut berapa parabola y = x 2 + 2x – 8 memotong sumbu x.

Jawaban: q 1 = arctan 6, q 2 = arctan (– 6).

16. Grafik fungsi temukan semua titik, yang masing-masing titik bersinggungan dengan grafik ini memotong sumbu semi-koordinat positif, memotong segmen yang sama dari titik tersebut.

Jawaban: A(– 3; 11).

17. Garis y = 2x + 7 dan parabola y = x 2 – 1 berpotongan di titik M dan N. Tentukan titik K perpotongan garis singgung parabola di titik M dan N.

Jawaban: K(1; – 9).

18. Berapakah nilai b yang bersinggungan dengan garis y = 9x + b terhadap grafik fungsi y = x 3 – 3x + 15?

Jawaban 1; 31.

19. Untuk nilai k berapakah garis lurus y = kx – 10 hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan grafik fungsi y = 2x 2 + 3x – 2? Untuk nilai k yang ditemukan, tentukan koordinat titiknya.

Jawaban: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. Berapa nilai b yang ditarik garis singgung grafik fungsi y = bx 3 – 2x 2 – 4 di titik absis x 0 = 2 melalui titik M(1; 8)?

Jawaban: b = – 3.

21. Sebuah parabola yang titik sudutnya pada sumbu Ox menyentuh garis yang melalui titik A(1; 2) dan B(2; 4) di titik B. Tentukan persamaan parabola tersebut.

Menjawab:

22. Pada nilai koefisien k berapakah parabola y = x 2 + kx + 1 menyentuh sumbu Ox?

Jawaban: k = d 2.

23. Tentukan sudut antara garis lurus y = x + 2 dan kurva y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Tentukan jarak garis singgung grafik fungsi dan generator dengan arah positif sumbu Ox dengan sudut 45°.

Menjawab:

30. Tentukan tempat kedudukan titik sudut semua parabola berbentuk y = x 2 + ax + b yang bersinggungan dengan garis y = 4x – 1.

Jawaban: garis lurus y = 4x + 3.

literatur

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. Aljabar dan permulaan analisis: 3600 soal untuk anak sekolah dan mereka yang memasuki universitas. – M., Bustard, 1999.
2. Mordkovich A. Seminar empat untuk guru muda. Topik: Aplikasi Derivatif. – M., “Matematika”, No.21/94.
3. Pembentukan pengetahuan dan keterampilan berdasarkan teori asimilasi tindakan mental secara bertahap. / Ed. P.Ya. Galperina, N.F. Talizina. – M., Universitas Negeri Moskow, 1968.

Artikel tersebut memberikan penjelasan rinci tentang definisi, makna geometris turunan dengan notasi grafis. Persamaan garis singgung akan diperhatikan beserta contohnya, persamaan garis singgung kurva orde 2 akan dicari.

Yandex.RTB RA-339285-1 Definisi 1

Sudut kemiringan garis lurus y = k x + b disebut sudut α yang diukur dari arah positif sumbu x ke garis lurus y = k x + b dalam arah positif.

Pada gambar, arah x ditunjukkan dengan panah hijau dan busur hijau, dan sudut kemiringan ditunjukkan dengan busur merah. Garis biru mengacu pada garis lurus.

Definisi 2

Kemiringan garis lurus y = k x + b disebut koefisien numerik k.

Koefisien sudut sama dengan garis singgung garis lurus, dengan kata lain k = t g α.

• Sudut kemiringan suatu garis lurus sama dengan 0 hanya jika garis tersebut sejajar terhadap x dan kemiringannya sama dengan nol, karena garis singgung nol sama dengan 0. Artinya bentuk persamaannya adalah y = b.
• Jika sudut kemiringan garis lurus y = k x + b lancip, maka syarat 0 terpenuhi< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, dan terjadi peningkatan pada grafik.
• Jika α = π 2, maka letak garis tegak lurus x. Kesetaraan ditentukan oleh x = c dengan nilai c adalah bilangan real.
• Jika sudut kemiringan garis lurus y = k x + b tumpul, maka memenuhi syarat π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definisi 3

Garis potong adalah garis yang melalui 2 titik fungsi f(x). Dengan kata lain, garis potong adalah garis lurus yang melalui dua titik mana pun pada grafik suatu fungsi tertentu.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa A B adalah garis potong, dan f (x) adalah kurva hitam, α adalah busur merah yang menunjukkan sudut kemiringan garis potong tersebut.

Jika koefisien sudut suatu garis lurus sama dengan garis singgung sudut kemiringannya, maka jelas bahwa garis singgung segitiga siku-siku A B C dapat dicari dengan perbandingan sisi yang berhadapan dengan sisi yang berdekatan.

Definisi 4

Kami memperoleh rumus untuk mencari garis potong bentuk:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, dimana absis titik A dan B adalah nilai x A, x B, dan f (x A), f (x B) adalah fungsi nilai pada titik-titik ini.

Jelasnya, koefisien sudut garis potong ditentukan dengan menggunakan persamaan k = f (x B) - f (x A) x B - x A atau k = f (x A) - f (x B) x A - x B , dan persamaannya harus ditulis sebagai y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) atau
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

Garis potong membagi grafik secara visual menjadi 3 bagian: di sebelah kiri titik A, dari A ke B, di sebelah kanan B. Gambar di bawah menunjukkan bahwa ada tiga garis potong yang dianggap berhimpitan, yaitu diatur dengan menggunakan a persamaan serupa.

Menurut definisinya, jelas bahwa garis lurus dan garis potongnya masuk pada kasus ini sesuai.

Garis potong dapat memotong grafik suatu fungsi tertentu beberapa kali. Jika terdapat persamaan berbentuk y = 0 untuk suatu garis potong, maka banyaknya titik potong dengan sinusoidal tersebut tidak terhingga.

Definisi 5

Bersinggungan dengan grafik fungsi f (x) di titik x 0 ; f (x 0) adalah garis lurus yang melalui suatu titik tertentu x 0; f (x 0), dengan adanya ruas yang mempunyai banyak nilai x mendekati x 0.

Contoh 1

Mari kita lihat lebih dekat contoh di bawah ini. Maka jelas bahwa garis yang didefinisikan oleh fungsi y = x + 1 dianggap bersinggungan dengan y = 2 x di titik yang koordinatnya (1; 2). Untuk lebih jelasnya, perlu diperhatikan grafik yang nilainya mendekati (1; 2). Fungsi y = 2 x ditampilkan dalam warna hitam, garis biru adalah garis singgung, dan titik merah adalah titik potongnya.

Jelasnya, y = 2 x menyatu dengan garis y = x + 1.

Untuk menentukan garis singgung, kita harus memperhatikan perilaku garis singgung A B ketika titik B mendekati titik A tanpa batas.Untuk lebih jelasnya, kami sajikan sebuah gambar.

Garis potong A B yang ditunjukkan dengan garis biru cenderung ke posisi garis singgung itu sendiri, dan sudut kemiringan garis potong α akan mulai cenderung ke sudut kemiringan garis singgung itu sendiri α x.

Definisi 6

Garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik A dianggap sebagai posisi pembatas garis potong A B karena B cenderung ke A, yaitu B → A.

Sekarang mari kita beralih ke arti geometri turunan suatu fungsi di suatu titik.

Mari kita lanjutkan dengan mempertimbangkan garis potong A B untuk fungsi f (x), di mana A dan B dengan koordinat x 0, f (x 0) dan x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x), dan ∆ x adalah dilambangkan sebagai pertambahan argumen. Sekarang fungsinya akan berbentuk ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Agar lebih jelas, mari kita beri contoh gambarnya.

Mari kita lihat hasilnya segitiga siku-siku A B C. Kita menggunakan definisi tangen untuk menyelesaikannya, yaitu kita memperoleh relasi ∆ y ∆ x = t g α . Dari definisi garis singgung dapat disimpulkan bahwa lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . Menurut aturan turunan di suatu titik, kita mendapatkan bahwa turunan f (x) di titik x 0 disebut limit rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen, di mana ∆ x → 0 , maka kita menyatakannya sebagai f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Oleh karena itu f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, dimana k x dinotasikan sebagai kemiringan garis singgung.

Artinya, kita memperoleh bahwa f ’ (x) dapat berada di titik x 0 dan bersinggungan dengan jadwal yang diberikan fungsi di titik singgung sama dengan x 0, f 0 (x 0), dimana nilai kemiringan garis singgung di titik tersebut sama dengan turunan di titik x 0. Kemudian kita mendapatkan bahwa k x = f " (x 0) .

Arti geometris turunan suatu fungsi di suatu titik diberikan konsep keberadaan garis singgung grafik di titik yang sama.

Untuk menulis persamaan garis lurus pada suatu bidang, diperlukan koefisien sudut dengan titik yang dilaluinya. Notasinya dianggap x 0 di persimpangan.

Persamaan garis singgung grafik fungsi y = f (x) di titik x 0, f 0 (x 0) berbentuk y = f"(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Artinya nilai akhir turunan f"(x 0) dapat menentukan kedudukan garis singgung, yaitu secara vertikal dengan syarat lim x → x 0 + 0 f"(x) = ∞ dan lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ atau tidak ada sama sekali dengan syarat lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

Letak garis singgungnya bergantung pada nilai koefisien sudutnya k x = f" (x 0). Jika sejajar dengan sumbu o x diperoleh k k = 0, jika sejajar dengan o y - k x = ∞, dan bentuk garis singgungnya persamaan tangen x = x 0 bertambah jika k x > 0, berkurang jika k x< 0 .

Contoh 2

Buatlah persamaan garis singgung grafik fungsi y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 di titik dengan koordinat (1; 3) dan tentukan sudut kemiringannya.

Larutan

Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa fungsi tersebut terdefinisi untuk semua bilangan real. Diketahui titik yang koordinatnya ditentukan oleh kondisi (1; 3) adalah titik singgung, maka x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

Kita perlu mencari turunannya di titik yang bernilai - 1. Kami mengerti

y" = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

Nilai f'(x) pada titik singgung adalah kemiringan garis singgung yang sama dengan kemiringan garis singgung tersebut.

Maka k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Oleh karena itu α x = a r c t g 3 3 = π 6

Menjawab: persamaan tangen mengambil bentuk

kamu = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) kamu = 3 3 (x + 1) - 3 kamu = 3 3 x - 9 - 3 3

Untuk lebih jelasnya, kami memberikan contoh dalam ilustrasi grafis.

Warna hitam digunakan untuk grafik fungsi aslinya, Warna biru– bayangan garis singgung, titik merah – titik singgung. Gambar di sebelah kanan menunjukkan tampilan yang diperbesar.

Contoh 3

Tentukan keberadaan garis singgung grafik suatu fungsi tertentu
y = 3 · x - 1 5 + 1 di titik dengan koordinat (1 ; 1) . Tulis persamaan dan tentukan sudut kemiringannya.

Larutan

Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa domain definisi suatu fungsi tertentu dianggap sebagai himpunan semua bilangan real.

Mari kita lanjutkan mencari turunannya

y" = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Jika x 0 = 1, maka f' (x) tidak terdefinisi, tetapi limitnya ditulis sebagai lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ dan lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , artinya adanya garis singgung vertikal di titik (1; 1).

Menjawab: persamaannya akan berbentuk x = 1, dimana sudut kemiringannya sama dengan π 2.

Untuk lebih jelasnya, mari kita gambarkan secara grafis.

Contoh 4

Tentukan titik-titik pada grafik fungsi y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, dimana

1. Tidak ada garis singgung;
2. Garis singgungnya sejajar dengan x;
3. Garis singgungnya sejajar dengan garis y = 8 5 x + 4.

Larutan

Perlu diperhatikan ruang lingkup definisinya. Dengan syarat, kita mendapatkan bahwa fungsi tersebut terdefinisi pada himpunan semua bilangan real. Kami memperluas modul dan menyelesaikan sistem dengan interval x ∈ - ∞ ; 2 dan [ - 2 ; + ∞) . Kami mengerti

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Fungsinya perlu dibedakan. Kami punya itu

kamu" = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

Jika x = − 2, maka turunannya tidak ada karena batas satu sisinya tidak sama pada titik tersebut:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Kita menghitung nilai fungsi di titik x = - 2, dari situ kita mendapatkannya

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 yaitu garis singgung di titik ( - 2; - 2) tidak akan ada.
2. Garis singgungnya sejajar dengan x jika kemiringannya nol. Maka k x = t g α x = f "(x 0). Artinya, nilai x tersebut perlu dicari ketika turunan fungsi mengubahnya menjadi nol. Artinya, nilai f ' (x) adalah titik singgung yang garis singgungnya sejajar dengan x .

Ketika x ∈ - ∞ ; - 2, maka - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, dan untuk x ∈ (- 2; + ∞) kita mendapatkan 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Hitung nilai fungsi yang sesuai

y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Oleh karena itu - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 dianggap sebagai titik-titik yang diperlukan dari grafik fungsi.

Mari kita lihat representasi grafis dari solusinya.

Garis hitam adalah grafik fungsi, titik merah adalah titik singgungnya.

1. Jika garis-garisnya sejajar, koefisien sudutnya sama. Kemudian perlu dicari titik-titik pada grafik fungsi yang kemiringannya sama dengan nilai 8 5. Untuk melakukannya, Anda perlu menyelesaikan persamaan bentuk y "(x) = 8 5. Kemudian, jika x ∈ - ∞; - 2, kita peroleh - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, dan jika x ∈ ( - 2 ; + ∞), maka 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

Persamaan pertama tidak mempunyai akar karena diskriminannya kurang dari nol. Mari kita tuliskan itu

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Persamaan lain mempunyai dua akar real

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Mari kita lanjutkan mencari nilai fungsinya. Kami mengerti

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Poin dengan nilai - 1; 4 15, 5; 8 3 adalah titik-titik yang garis singgungnya sejajar dengan garis y = 8 5 x + 4.

Menjawab: garis hitam – grafik fungsi, garis merah – grafik y = 8 5 x + 4, garis biru – garis singgung di titik - 1; 4 15, 5; 8 3.

Mungkin terdapat jumlah garis singgung yang tak terhingga untuk suatu fungsi.

Contoh 5

Tuliskan persamaan semua garis singgung fungsi y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 yang letaknya tegak lurus terhadap garis lurus y = - 2 x + 1 2.

Larutan

Untuk menyusun persamaan garis singgung perlu dicari koefisien dan koordinat titik singgung berdasarkan syarat tegak lurus garis. Definisinya sebagai berikut: hasil kali koefisien sudut yang tegak lurus garis lurus sama dengan - 1, yaitu ditulis k x · k ⊥ = - 1. Dari syarat diperoleh koefisien sudut terletak tegak lurus garis dan sama dengan k ⊥ = - 2, maka k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Sekarang Anda perlu mencari koordinat titik sentuh. Anda perlu mencari x dan kemudian nilainya untuk fungsi tertentu. Perhatikan dari arti geometri turunan pada suatu titik
x 0 kita peroleh bahwa k x = y"(x 0). Dari persamaan ini kita cari nilai x untuk titik-titik singgungnya.

Kami mengerti

y" (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

Persamaan trigonometri ini akan digunakan untuk menghitung ordinat titik singgung.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk atau 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk atau x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z adalah himpunan bilangan bulat.

x titik kontak telah ditemukan. Sekarang Anda perlu melanjutkan mencari nilai y:

kamu 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 atau y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 atau y 0 = - 4 5 + 1 3

Dari sini kita peroleh bahwa 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 adalah titik singgungnya.

Menjawab: persamaan yang diperlukan akan ditulis sebagai

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Untuk representasi visual, pertimbangkan fungsi dan garis singgung pada garis koordinat.

Gambar tersebut menunjukkan lokasi tersebut fungsi datang pada interval [ - 10 ; 10 ], dimana garis hitam adalah grafik fungsi, garis biru adalah garis singgung yang terletak tegak lurus terhadap garis tertentu yang berbentuk y = - 2 x + 1 2. Titik merah adalah titik sentuh.

Persamaan kanonik kurva orde ke-2 bukanlah fungsi bernilai tunggal. Persamaan tangen untuk mereka disusun menurut skema yang diketahui.

Bersinggungan dengan lingkaran

Menentukan lingkaran yang berpusat di titik x c e n t e r ; y c e n t e r dan jari-jari R, terapkan rumus x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Persamaan ini dapat ditulis sebagai gabungan dua fungsi:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

Fungsi pertama terletak di atas, dan fungsi kedua di bawah, seperti yang ditunjukkan pada gambar.

Untuk menyusun persamaan lingkaran di titik x 0; y 0 , yang terletak pada setengah lingkaran atas atau bawah, carilah persamaan grafik fungsi yang berbentuk y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r atau y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r pada titik yang ditunjukkan.

Ketika di titik x c e n t e r ; y c e n t e r + R dan x c e n t e r ; garis singgung y c e n t e r - R dapat diberikan dengan persamaan y = y c e n t e r + R dan y = y c e n t e r - R , dan di titik x c e n t e r + R ; y c e n t e r dan
x c e n t e r - R ; y c e n t e r akan sejajar dengan oy, maka diperoleh persamaan berbentuk x = x c e n t e r + R dan x = x c e n t e r - R .

Bersinggungan dengan elips

Jika elips mempunyai pusat di x pusat; y c e nter dengan titik tengah a dan b, maka dapat ditentukan dengan persamaan x - x c e nter 2 a 2 + y - y c e nter 2 b 2 = 1.

Elips dan lingkaran dapat dilambangkan dengan menggabungkan dua fungsi yaitu setengah elips atas dan setengah elips bawah. Lalu kita mendapatkannya

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Jika garis singgung terletak pada titik sudut elips, maka garis singgung tersebut sejajar terhadap x atau terhadap y. Di bawah ini, untuk lebih jelasnya, perhatikan gambarnya.

Contoh 6

Tuliskan persamaan garis singgung elips x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 di titik-titik yang nilai x sama dengan x = 2.

Larutan

Kita perlu mencari titik singgung yang sesuai dengan nilai x = 2. Kita substitusikan ke dalam persamaan elips yang ada dan temukan persamaan tersebut

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Lalu 2 ; 5 3 2 + 5 dan 2; - 5 3 2 + 5 adalah titik singgung setengah elips atas dan bawah.

Mari kita lanjutkan mencari dan menyelesaikan persamaan elips terhadap y. Kami mengerti

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 tahun = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Jelasnya, setengah elips atas ditentukan menggunakan fungsi bentuk y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, dan setengah elips bawah y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Mari kita terapkan algoritma standar untuk membuat persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik. Mari kita tulis persamaan garis singgung pertama di titik 2; 5 3 2 + 5 akan terlihat seperti

y" = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ kamu = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Kita temukan persamaan garis singgung kedua dengan nilai di titik tersebut
2 ; - 5 3 2 + 5 berbentuk

y" = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + kamu 0 ⇔ kamu = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Secara grafis, garis singgung ditetapkan sebagai berikut:

Bersinggungan dengan hiperbola

Ketika hiperbola mempunyai pusat di x pusat; y pusat dan simpul x pusat + α ; y c e n t e r dan x c e n t e r - α ; y c e nter , pertidaksamaan x - x c e nter 2 α 2 - y - y c e nter 2 b 2 = 1 terjadi, jika dengan simpul x c e nter ; y c e n t e r + b dan x c e n t e r ; y c e n t e r - b , maka ditentukan menggunakan pertidaksamaan x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Hiperbola dapat direpresentasikan sebagai dua fungsi gabungan dari bentuk tersebut

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r atau y = ba · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - ba · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

Dalam kasus pertama kita mendapatkan bahwa garis singgungnya sejajar dengan y, dan dalam kasus kedua garis singgungnya sejajar dengan x.

Oleh karena itu, untuk mencari persamaan garis singgung suatu hiperbola, perlu diketahui fungsi titik singgung tersebut. Untuk menentukannya, perlu dilakukan substitusi ke dalam persamaan dan diperiksa identitasnya.

Contoh 7

Tuliskan persamaan garis singgung hiperbola x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 di titik 7; - 3 3 - 3 .

Larutan

Catatan solusi untuk mencari hiperbola perlu diubah menggunakan 2 fungsi. Kami mengerti

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 dan y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

Penting untuk mengidentifikasi fungsi mana yang dimilikinya set point dengan koordinat 7; - 3 3 - 3 .

Tentunya untuk memeriksa fungsi pertama perlu y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, maka titik tersebut tidak termasuk dalam grafik, karena kesetaraan tidak berlaku.

Untuk fungsi kedua kita mendapatkan y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, artinya titik tersebut termasuk dalam grafik yang diberikan. Dari sini Anda akan menemukan kemiringannya.

Kami mengerti

y" = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Menjawab: persamaan tangen dapat direpresentasikan sebagai

kamu = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Digambarkan dengan jelas seperti ini:

Bersinggungan dengan parabola

Untuk membuat persamaan garis singgung parabola y = a x 2 + b x + c di titik x 0, y (x 0), harus menggunakan algoritma standar, maka persamaan tersebut akan berbentuk y = y” (x 0) x - x 0 + y ( x 0). Garis singgung pada titik sudut tersebut sejajar dengan x.

Anda harus mendefinisikan parabola x = a y 2 + b y + c sebagai gabungan dua fungsi. Oleh karena itu, kita perlu menyelesaikan persamaan y. Kami mengerti

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Digambarkan secara grafis sebagai:

Untuk mengetahui apakah suatu titik x 0, y (x 0) termasuk dalam suatu fungsi, lanjutkan secara perlahan sesuai dengan algoritma standar. Garis singgung tersebut akan sejajar dengan oy relatif terhadap parabola.

Contoh 8

Tuliskan persamaan garis singgung grafik x - 2 y 2 - 5 y + 3 jika sudut singgungnya adalah 150°.

Larutan

Kita memulai penyelesaiannya dengan merepresentasikan parabola sebagai dua fungsi. Kami mengerti

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8x - 4

Nilai kemiringan sama dengan nilai turunan di titik x 0 fungsi tersebut dan sama dengan garis singgung sudut kemiringan.

Kita mendapatkan:

k x = y"(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

Dari sini kita menentukan nilai x untuk titik kontak.

Fungsi pertama akan ditulis sebagai

y" = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Jelasnya, tidak ada akar real, karena kita mendapat nilai negatif. Kami menyimpulkan bahwa tidak ada garis singgung dengan sudut 150° untuk fungsi seperti itu.

Fungsi kedua akan ditulis sebagai

y" = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Kita mengetahui bahwa titik kontaknya adalah 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Menjawab: persamaan tangen mengambil bentuk

kamu = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Mari kita gambarkan secara grafis seperti ini:

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter

Apakah anda sudah mengetahui apa itu turunan? Jika belum, baca topiknya terlebih dahulu. Jadi Anda bilang Anda tahu turunannya. Mari kita periksa sekarang. Temukan pertambahan fungsi ketika pertambahan argumen sama dengan. Apakah Anda berhasil? Ini seharusnya berhasil. Sekarang carilah turunan fungsi tersebut di suatu titik. Menjawab: . Telah terjadi? Jika Anda mengalami kesulitan dengan salah satu contoh di atas, saya sangat menyarankan Anda kembali ke topik dan mempelajarinya lagi. Saya tahu topiknya sangat besar, tetapi jika tidak, tidak ada gunanya melangkah lebih jauh. Perhatikan grafik beberapa fungsi:

Mari kita pilih titik tertentu pada garis grafik. Misalkan absisnya, maka ordinatnya sama. Kemudian kita pilih titik yang absisnya dekat dengan titik tersebut; ordinatnya adalah:

Mari kita tarik garis lurus melalui titik-titik ini. Ini disebut garis potong (seperti dalam geometri). Mari kita nyatakan sudut kemiringan garis lurus terhadap sumbu sebagai. Seperti dalam trigonometri, sudut ini diukur dari arah positif sumbu x berlawanan arah jarum jam. Nilai apa yang dapat diambil oleh sudut tersebut? Tidak peduli bagaimana Anda memiringkan garis lurus ini, separuhnya akan tetap menonjol. Jadi, sudut maksimum yang mungkin adalah , dan sudut minimum yang mungkin adalah . Cara, . Sudut tidak termasuk, karena posisi garis lurus dalam hal ini sama persis, dan lebih logis untuk memilih sudut yang lebih kecil. Mari kita ambil suatu titik pada gambar sedemikian rupa sehingga garis lurus sejajar dengan sumbu absis dan a adalah sumbu ordinat:

Dari gambar tersebut terlihat bahwa, a. Maka rasio kenaikannya adalah:

(karena berbentuk persegi panjang).

Mari kita kurangi sekarang. Maka intinya akan mendekati intinya. Ketika menjadi sangat kecil, rasionya menjadi sama dengan turunan fungsi di titik tersebut. Apa yang akan terjadi pada potongan tersebut? Titik tersebut akan sangat dekat dengan titik tersebut, sehingga keduanya dapat dianggap sebagai titik yang sama. Tetapi garis lurus yang hanya mempunyai satu titik persekutuan dengan suatu kurva tidak lain adalah garis singgung(dalam hal ini, kondisi ini hanya terpenuhi di area kecil - dekat titik, tetapi ini sudah cukup). Mereka mengatakan bahwa dalam kasus ini garis potong diambil membatasi posisi.

Sebut saja sudut kemiringan garis potong terhadap sumbu. Lalu ternyata turunannya

itu adalah turunannya sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi pada suatu titik tertentu.

Karena garis singgung adalah sebuah garis, sekarang mari kita ingat persamaan garisnya:

Apa yang menjadi tanggung jawab koefisien? Untuk kemiringan garis lurus. Inilah yang disebut: lereng. Apa artinya? Dan faktanya sama dengan garis singgung sudut antara garis lurus dan sumbu! Jadi inilah yang terjadi:

Tapi kami mendapatkan aturan ini dengan mempertimbangkan fungsi yang meningkat. Apa yang berubah jika fungsinya menurun? Mari kita lihat:
Sekarang sudut-sudutnya tumpul. Dan kenaikan fungsinya negatif. Mari kita pertimbangkan lagi: . Di sisi lain, . Kami mendapatkan: , yaitu, semuanya sama seperti terakhir kali. Mari kita arahkan kembali titik tersebut ke titik tersebut, dan garis potong akan mengambil posisi pembatas, yaitu menjadi garis singgung terhadap grafik fungsi di titik tersebut. Jadi, mari kita rumuskan aturan terakhirnya:
Turunan suatu fungsi pada suatu titik tertentu sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut, atau (yang sama) kemiringan garis singgung tersebut:

Begitulah adanya arti geometris turunan. Oke, semua ini menarik, tapi mengapa kita membutuhkannya? Di Sini contoh:
Gambar tersebut menunjukkan grafik suatu fungsi dan garis singgungnya di titik absis. Temukan nilai turunan fungsi di titik tersebut.
Larutan.
Seperti yang baru-baru ini kita ketahui, nilai turunan pada titik singgung sama dengan kemiringan garis singgung, yang selanjutnya sama dengan garis singgung sudut kemiringan garis singgung tersebut terhadap sumbu absis: . Artinya untuk mencari nilai turunannya kita perlu mencari garis singgung sudut singgungnya. Pada gambar kita telah menandai dua titik yang terletak pada garis singgung, yang koordinatnya kita ketahui. Jadi, mari selesaikan konstruksi segitiga siku-siku yang melalui titik-titik ini dan temukan garis singgung sudut singgungnya!

Sudut kemiringan garis singgung terhadap sumbu adalah. Mari kita cari garis singgung sudut ini: . Jadi, turunan fungsi di suatu titik adalah sama dengan.
Menjawab:. Sekarang coba sendiri:

Jawaban:

Penuh arti arti geometris turunan, kita dapat menjelaskan dengan sangat sederhana aturan turunan pada suatu titik maksimum lokal atau minimum adalah nol. Memang, garis singgung grafik pada titik-titik ini adalah “horizontal”, yaitu sejajar dengan sumbu x:

Berapa sudut antara garis sejajar? Tentu saja nol! Dan garis singgung dari nol juga nol. Jadi turunannya sama dengan nol:

Baca lebih lanjut tentang ini di topik “Fungsi monotonisitas. Poin ekstrim.”

Sekarang mari kita fokus pada garis singgung sembarang. Katakanlah kita mempunyai suatu fungsi, misalnya, . Kami telah menggambar grafiknya dan ingin menggambar garis singgung padanya di beberapa titik. Misalnya saja pada suatu titik. Kami mengambil penggaris, menempelkannya ke grafik dan menggambar:

Apa yang kita ketahui tentang baris ini? Apa hal terpenting yang perlu diketahui tentang garis pada bidang koordinat? Karena garis lurus merupakan suatu bayangan fungsi linear, akan sangat mudah untuk mengetahui persamaannya. Artinya, koefisien dalam persamaan

Tapi kita sudah tahu! Ini adalah kemiringan garis singgung yang sama dengan turunan fungsi di titik tersebut:

Dalam contoh kita akan menjadi seperti ini:

Sekarang yang tersisa hanyalah menemukannya. Ini sesederhana mengupas buah pir: bagaimanapun juga, nilainya. Secara grafis, ini adalah koordinat perpotongan garis dengan sumbu ordinat (bagaimanapun juga, di semua titik sumbu):

Mari kita menggambarnya (jadi persegi panjang). Kemudian (sampai sudut yang sama antara garis singgung dan sumbu x). Apa yang dimaksud dan disamakan? Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa, a. Kemudian kita mendapatkan:

Kami menggabungkan semua rumus yang diperoleh ke dalam persamaan garis lurus:

Sekarang putuskan sendiri:

1. Menemukan persamaan tangen ke suatu fungsi di suatu titik.
2. Garis singgung parabola memotong sumbunya membentuk suatu sudut. Temukan persamaan garis singgung ini.
3. Garis tersebut sejajar dengan garis singgung grafik fungsi. Temukan absis titik singgungnya.
4. Garis tersebut sejajar dengan garis singgung grafik fungsi. Temukan absis titik singgungnya.

Solusi dan jawaban:

PERSAMAAN SINGKAT GRAFIK SUATU FUNGSI. DESKRIPSI SINGKAT DAN RUMUS DASAR

Turunan suatu fungsi pada suatu titik tertentu sama dengan garis singgung grafik fungsi pada titik tersebut, atau kemiringan garis singgung tersebut:

Persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik:

Algoritma untuk mencari persamaan tangen:

Nah, topiknya sudah selesai. Jika Anda membaca baris-baris ini, itu berarti Anda sangat keren.

Karena hanya 5% orang yang mampu menguasai sesuatu sendiri. Dan jika Anda membaca sampai akhir, Anda termasuk dalam 5% ini!

Sekarang hal yang paling penting.

Anda telah memahami teori tentang topik ini. Dan, saya ulangi, ini... ini luar biasa! Anda sudah lebih baik dari sebagian besar rekan Anda.

Masalahnya adalah ini mungkin tidak cukup...

Untuk apa?

Untuk berhasil lulus Ujian Negara Bersatu, untuk masuk perguruan tinggi dengan anggaran terbatas dan, YANG PALING PENTING, seumur hidup.

Saya tidak akan meyakinkan Anda tentang apa pun, saya hanya akan mengatakan satu hal...

Orang yang menerima pendidikan yang baik, dapatkan lebih banyak daripada mereka yang tidak menerimanya. Ini adalah statistik.

Tapi ini bukanlah hal yang utama.

Yang penting mereka LEBIH BAHAGIA (ada penelitian seperti itu). Mungkin karena lebih banyak peluang terbuka di hadapan mereka dan kehidupan menjadi lebih cerah? Tidak tahu...

Tapi pikirkan sendiri...

Apa yang diperlukan untuk memastikan menjadi lebih baik dari orang lain dalam Ujian Negara Bersatu dan pada akhirnya menjadi... lebih bahagia?

DAPATKAN TANGAN ANDA DENGAN MEMECAHKAN MASALAH PADA TOPIK INI.

Anda tidak akan dimintai teori selama ujian.

Anda akan perlu memecahkan masalah melawan waktu.

Dan, jika Anda belum menyelesaikannya (BANYAK!), Anda pasti akan membuat kesalahan bodoh di suatu tempat atau tidak punya waktu.

Ini seperti dalam olahraga - Anda harus mengulanginya berkali-kali agar bisa menang.

Temukan koleksinya di mana pun Anda mau, tentu dengan solusi, analisis rinci dan putuskan, putuskan, putuskan!

Anda dapat menggunakan tugas kami (opsional) dan tentu saja kami merekomendasikannya.

Untuk menjadi lebih baik dalam menggunakan tugas kami, Anda perlu membantu memperpanjang umur buku teks YouClever yang sedang Anda baca.

Bagaimana? Ada dua pilihan:

1. Buka kunci semua tugas tersembunyi di artikel ini - 299 gosok.
2. Buka kunci akses ke semua tugas tersembunyi di 99 artikel buku teks - 499 gosok.

Ya, kami memiliki 99 artikel seperti itu di buku teks kami dan akses ke semua tugas dan semua teks tersembunyi di dalamnya dapat segera dibuka.

Akses ke semua tugas tersembunyi disediakan selama SELURUH umur situs.

Kesimpulannya...

Jika Anda tidak menyukai tugas kami, cari yang lain. Hanya saja, jangan berhenti pada teori.

“Dipahami” dan “Saya bisa menyelesaikannya” adalah keterampilan yang sangat berbeda. Anda membutuhkan keduanya.

Temukan masalah dan selesaikan!