ಅನುಕ್ರಮದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು $u_n=n^2$ ಆಗಿದೆ. $n=1$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ u_1=1^2=1. $$

ಇದು ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಪದವಾಗಿದೆ. $n=2$ ಅನ್ನು $u_n=n^2$ ಗೆ ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಎರಡನೇ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ u_2=2^2=4. $$

ನಾವು $n=3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಮೂರನೇ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ u_3=3^2=9. $$

ಅದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ನಾಲ್ಕನೇ, ಐದನೇ, ಆರನೇ ಮತ್ತು ಇತರ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

$u_n=n^3$ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಮನಸ್ಸಿನಲ್ಲಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಹ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಅದರ ಕೆಲವು ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರು ಇಲ್ಲಿವೆ:

\ಆರಂಭ(ಸಮೀಕರಣ)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(ಸಮೀಕರಣ)

ಇದರ ಜೊತೆಗೆ, ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು, ಅನುಕ್ರಮ $u_n=n!$ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತಿವೆ:

\ಆರಂಭ(ಸಮೀಕರಣ)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(ಸಮೀಕರಣ)

ರೆಕಾರ್ಡಿಂಗ್ "n!" ("en ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್" ಅನ್ನು ಓದಿ) ಎಲ್ಲದರ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1 ರಿಂದ n ವರೆಗೆ, ಅಂದರೆ.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, $0!=1!=1$ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 5 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ!:

$$ 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

ಅಂಕಗಣಿತ ಮತ್ತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಗಳನ್ನು ಸಹ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವು $a_1$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು $d$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

\begin(ಸಮೀಕರಣ)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \end(ಸಮೀಕರಣ)

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದರೇನು? ತೋರಿಸು\ ಮರೆಮಾಡಿ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಮುಂದಿನ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಈ ನಿರಂತರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ

$$ 3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ನೆರೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, ನಂತರದ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 7 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ:

\begin(aligned) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)

ಈ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. 7, ಮತ್ತು ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $d$ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. $d=7$. ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಅಂಶವು $a_1=3$ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದರೊಳಗೆ $a_1=3$ ಮತ್ತು $d=7$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು $a_n=7n-4$ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

\begin(aligned) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)

$n$ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $a_n=7n-4$ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸಹ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ. ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದವು $b_1$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಛೇದವು $q$ ಗೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ:

\begin(ಸಮೀಕರಣ)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(ಸಮೀಕರಣ)

ಏನಾಯಿತು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ? ತೋರಿಸು\ ಮರೆಮಾಡಿ

ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ನಂತರದ ಮತ್ತು ಹಿಂದಿನ ಪದಗಳ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ನಿರಂತರ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

$$ 6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

ನಾವು ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ನೆರೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೂ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ನಂತರದ ಅನುಪಾತವು ಯಾವಾಗಲೂ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು 3 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ:

\begin(aligned) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)

ಈ ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. 3 ಪ್ರಗತಿಯ ಛೇದವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ $q$ ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ. $q=3$. ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಅಂಶವು $b_1=6$ ಆಗಿದೆ. ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಅದರೊಳಗೆ $b_1=6$ ಮತ್ತು $q=3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿರುತ್ತೇವೆ:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

ಸ್ಪಷ್ಟತೆಗಾಗಿ, ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಕೆಲವು ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸೋಣ:

\begin(aligned) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)

$n$ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ, ನೀವು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಕೆಳಗಿನ ಎಲ್ಲಾ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ನಾವು $u_1$ (ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯ), $u_2$ (ಸರಣಿಯ ಎರಡನೇ ಸದಸ್ಯ) ಮತ್ತು ಮುಂತಾದ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. $u_n$ ಸಂಕೇತವು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 1

$\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳ ಸಾರವು ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಸದಸ್ಯರಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಗತವಾಗಿರುವ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು. ಮತ್ತು ಈ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯರ ಪ್ರಕಾರದ ಬಗ್ಗೆ ತೀರ್ಮಾನವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ. "ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಹುಡುಕಿ" ಎಂಬ ಪದದ ಅರ್ಥವೇನು? ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯುವ $n=1$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ಅಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ. $\frac(1)(7)$; $n=2$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಸರಣಿಯ ಎರಡನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. $\frac(2)(9)$; $n=3$ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದರಿಂದ ನಾವು ಸರಣಿಯ ಮೂರನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅಂದರೆ. $\frac(3)(11)$ ಮತ್ತು ಹೀಗೆ. ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

ಕ್ರಮೇಣ ಚಲಿಸೋಣ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸದಸ್ಯರೂ ಸಹ ಭಿನ್ನರಾಶಿಯಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ಸಮಂಜಸವಾಗಿದೆ:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

ನ್ಯೂಮರೇಟರ್ ಮತ್ತು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಪ್ರಶ್ನಾರ್ಥಕ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಏನನ್ನು ಮರೆಮಾಡಲಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ. ಮೊದಲು ಅಂಕಿ ಅಂಶವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಣಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು 1, 2, 3 ಮತ್ತು 4 ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿವೆ. ಸರಣಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅಂಶಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲ ಪದವು ಒಂದು ಅಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಎರಡನೆಯದು ಎರಡು, ಮೂರನೆಯದು ಮೂರು ಮತ್ತು ನಾಲ್ಕನೆಯದು ನಾಲ್ಕು.

n ನೇ ಪದವು ಅದರ ಅಂಶದಲ್ಲಿ $n$ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿದೆ:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

ಮೂಲಕ, ನಾವು ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಹೆಚ್ಚು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಈ ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರಬಹುದು. ಅನುಕ್ರಮ 1, 2, 3, 4 ಎಂದರೇನು? ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ 1 ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ, ಅದರ ಮೊದಲ ಪದವು $a_1=1$ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು $d=1$ ಆಗಿದೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಪ್ರಗತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದಕ್ಕಾಗಿ ನಾವು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

ಆದ್ದರಿಂದ, ಊಹೆ ಅಥವಾ ಔಪಚಾರಿಕ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವು ರುಚಿಯ ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ನಾವು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಅಂಶವನ್ನು ಬರೆದಿದ್ದೇವೆ. ಛೇದನಕ್ಕೆ ಹೋಗೋಣ.

ಛೇದಕಗಳಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮ 7, 9, 11, 13 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ. ಇವುಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಇದರ ಮೊದಲ ಪದವು $b_1=7$ ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು $d=2$ ಆಗಿದೆ. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಗತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ, ಅಂದರೆ. $2n+5$, ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಛೇದವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಸೂತ್ರವು $u_n=\frac(n)(2n+5)$ ಸರಣಿಯ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆಯೇ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. $u_n=\frac(n)(2n+5)$ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು $u_1$, $u_2$, $u_3$ ಮತ್ತು $u_4$ ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಫಲಿತಾಂಶಗಳು, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಷರತ್ತಿನ ಮೂಲಕ ನಮಗೆ ನೀಡಲಾದ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬೇಕು.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

ಅದು ಸರಿ, ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಷರತ್ತಿನಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿದ ಸರಣಿಯನ್ನು ಈಗ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು $u_n=\frac(n)(2n+5)$ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

ಅಂತಹ ಸರಣಿಗೆ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲು ಹಕ್ಕಿಲ್ಲವೇ? ಅದು ಇನ್ನೂ ಇದೆ. ಮತ್ತು ಈ ಸರಣಿಗಾಗಿ ನಾವು ಅದನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

ನೀವು ಇನ್ನೊಂದು ಮುಂದುವರಿಕೆ ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಇದು:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮುಂದುವರಿಕೆ ಯಾವುದನ್ನೂ ವಿರೋಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

ಮೊದಲ ಎರಡು ಆಯ್ಕೆಗಳು ನಿಮಗೆ ತುಂಬಾ ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಕಂಡುಬಂದರೆ, ನಾನು ಮೂರನೆಯದನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇನೆ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯೋಣ:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4 )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಪ್ರಸ್ತಾವಿತ ಸೂತ್ರವು ಸಾಕಷ್ಟು ಸರಿಯಾಗಿದೆ. ಮತ್ತು ನೀವು ಅಂತಹ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಜೊತೆ ಬರಬಹುದು, ಅವರ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ. IN ಪ್ರಮಾಣಿತ ಉದಾಹರಣೆಗಳು, ಸಹಜವಾಗಿ, ಕೆಲವು ತಿಳಿದಿರುವ ಅನುಕ್ರಮಗಳ (ಪ್ರಗತಿಗಳು, ಅಧಿಕಾರಗಳು, ಅಪವರ್ತನಗಳು, ಇತ್ಯಾದಿ) ಪ್ರಮಾಣಿತ ಸೆಟ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವಾಗಲೂ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಇರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಸಲಹೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಎಲ್ಲಾ ನಂತರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಅಸ್ಪಷ್ಟತೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಮಸ್ಯೆ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾದ ಪ್ರಮಾಣಿತ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಉತ್ತರ: ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 2

ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ $\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಐದು ಪದಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಣಿಯ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿವೆ, ಅಂದರೆ ನಾವು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ನೋಡುತ್ತೇವೆ:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

ತಕ್ಷಣವೇ ಅಂಶದತ್ತ ಗಮನ ಹರಿಸೋಣ. ಎಲ್ಲಾ ನ್ಯೂಮರೇಟರ್‌ಗಳು ಘಟಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಅಂಶವು ಒಂದನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

ಈಗ ಛೇದವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಛೇದಗಳು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತವೆ: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದು: 1, 3, 5, 7, 9. ಈ ಅನುಕ್ರಮವು ಮೊದಲ ಪದವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ $a_1=1$, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಒಂದನ್ನು $d=2$ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಹಿಂದಿನದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಇವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಐದು ಪದಗಳಾಗಿವೆ, ಇವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು: 5, 8, 11, 14, 17. ಇವುಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಂಶಗಳು, ಇದರ ಮೊದಲ ಪದವು $b_1=5$ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಛೇದವು $d=3$ ಆಗಿದೆ. ಅದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ನಾವು ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವನ್ನು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಸೇರಿಸೋಣ. ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದದ ಛೇದದಲ್ಲಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನವು: $(2n-1)(3n+2)$. ಮತ್ತು ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

ಪಡೆದ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಣಿಯ ಮೊದಲ ನಾಲ್ಕು ಪದಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4 +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1 )(9\cdot 17). \ಅಂತ್ಯ(ಜೋಡಿಸಲಾಗಿದೆ)

ಆದ್ದರಿಂದ, $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ ಸೂತ್ರವು ಷರತ್ತಿನಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಸರಣಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಬಯಸಿದಲ್ಲಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸರಣಿಯನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1 )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

ಉತ್ತರ: ಸರಣಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

ನಾವು ಈ ವಿಷಯವನ್ನು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿ ಮುಂದುವರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಅನೇಕ ಜನರು ಕೇಳಿದ್ದಾರೆ, ಆದರೆ ಎಲ್ಲರಿಗೂ ಅದು ಏನು ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಒಳ್ಳೆಯ ಕಲ್ಪನೆ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂಬ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಹಲವಾರು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.

ಗಣಿತದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತ ಅಥವಾ ಬೀಜಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತಿದ್ದರೆ (ಈ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳು ಒಂದೇ ವಿಷಯವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತವೆ), ಇದರರ್ಥ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕಾನೂನನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಗಳಿವೆ: ಸರಣಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಎರಡು ಪಕ್ಕದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಒಂದೇ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಈ ರೀತಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ n ಎಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಅಂಶ a n ನ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು d ಸಂಖ್ಯೆಯು ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ (ಅದರ ಹೆಸರು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ).

ಡಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರ ಅರ್ಥವೇನು? ನೆರೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಎಷ್ಟು "ದೂರ" ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, d ನ ಜ್ಞಾನವು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಅಲ್ಲ ಸಾಕಷ್ಟು ಸ್ಥಿತಿಸಂಪೂರ್ಣ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು (ಮರುಸ್ಥಾಪಿಸಲು). ನೀವು ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು, ಅದು ಪರಿಗಣನೆಯಲ್ಲಿರುವ ಸರಣಿಯ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವಾಗಿರಬಹುದು, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 4, a10, ಆದರೆ, ನಿಯಮದಂತೆ, ಅವರು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ, ಅಂದರೆ, 1.

ಪ್ರಗತಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಮೇಲಿನ ಮಾಹಿತಿಯು ಈಗಾಗಲೇ ಸಾಕಾಗುತ್ತದೆ. ಅದೇನೇ ಇದ್ದರೂ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನೀಡುವ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ಅದರ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನಾವು ಒಂದೆರಡು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಉಪಯುಕ್ತ ಸೂತ್ರಗಳು, ಆ ಮೂಲಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ನಂತರದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಸುಗಮಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

n ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಅಂಶವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಕಾಣಬಹುದು ಎಂದು ತೋರಿಸುವುದು ಸುಲಭ:

a n = a 1 + (n - 1) * d

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಯಾರಾದರೂ ಸರಳ ಹುಡುಕಾಟದ ಮೂಲಕ ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಬಹುದು: ನೀವು n = 1 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ನೀವು ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ, ನೀವು n = 2 ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಿದರೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ತಿಳಿದಿರುವ ಜೋಡಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅನೇಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಹ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸರಣಿಯನ್ನು ಪುನರ್ನಿರ್ಮಿಸಲು ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿದೆ (ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಮತ್ತು ಮೊದಲ ಅಂಶವನ್ನು ಹುಡುಕಿ). ಈಗ ನಾವು ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಆದ್ದರಿಂದ, n ಮತ್ತು m ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ. ಮೇಲೆ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನೀವು ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

ಅಜ್ಞಾತ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ತಿಳಿದಿರುವುದನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಸರಳ ಟ್ರಿಕ್ಅಂತಹ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳು: ಎಡ ಮತ್ತು ಬಲ ಬದಿಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ಕಳೆಯಿರಿ, ಸಮಾನತೆಯು ಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಒಂದು ಅಪರಿಚಿತ (a 1) ಅನ್ನು ಹೊರಗಿಟ್ಟಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ನಾವು d ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಅಂತಿಮ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು:

d = (a n - a m) / (n - m), ಅಲ್ಲಿ n > m

ನಮಗೆ ತುಂಬಾ ಸಿಕ್ಕಿತು ಸರಳ ಸೂತ್ರ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ d ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ನೀವು ಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು. ಒಂದರತ್ತ ಗಮನ ಹರಿಸಬೇಕು ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶಗಮನ: "ಹಿರಿಯ" ಮತ್ತು "ಕಿರಿಯ" ಸದಸ್ಯರ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, n > m ("ಹಿರಿಯ" ಎಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮದ ಆರಂಭದಿಂದ ಮುಂದೆ ನಿಂತಿರುವುದು, ಅದರ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯ"ಜೂನಿಯರ್" ಅಂಶಕ್ಕಿಂತ ದೊಡ್ಡದಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿರಬಹುದು).

ಮೊದಲ ಅವಧಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ d ಪ್ರಗತಿಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಯಾವುದೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸಬೇಕು.

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ತಂತ್ರಜ್ಞಾನದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯ ನಮ್ಮ ಯುಗದಲ್ಲಿ, ಅನೇಕ ಶಾಲಾ ಮಕ್ಕಳು ಅಂತರ್ಜಾಲದಲ್ಲಿ ತಮ್ಮ ಕಾರ್ಯಯೋಜನೆಗಳಿಗೆ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಈ ರೀತಿಯ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತವೆ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಆನ್‌ಲೈನ್‌ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಅಂತಹ ವಿನಂತಿಗಾಗಿ, ಹುಡುಕಾಟ ಎಂಜಿನ್ ಹಲವಾರು ವೆಬ್ ಪುಟಗಳನ್ನು ಹಿಂತಿರುಗಿಸುತ್ತದೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ನಮೂದಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ (ಇದು ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡು ಪದಗಳು ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೊತ್ತವಾಗಿರಬಹುದು. ) ಮತ್ತು ತಕ್ಷಣ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಈ ವಿಧಾನವು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯ ಬೆಳವಣಿಗೆ ಮತ್ತು ಅವನಿಗೆ ನಿಯೋಜಿಸಲಾದ ಕಾರ್ಯದ ಸಾರವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವಲ್ಲಿ ಅನುತ್ಪಾದಕವಾಗಿದೆ.

ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆಯೇ ಪರಿಹಾರ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸದೆ ಮೊದಲ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ. ಸರಣಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ: a6 = 3, a9 = 18. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ತಿಳಿದಿರುವ ಅಂಶಗಳು ಸತತವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ಹತ್ತಿರ ನಿಲ್ಲುತ್ತವೆ. ದೊಡ್ಡದನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಚಿಕ್ಕದಕ್ಕೆ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ d ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು? ಮೂರು ಬಾರಿ (ಮೊದಲ ಬಾರಿಗೆ d ಅನ್ನು ಸೇರಿಸಿದಾಗ, ನಾವು 7 ನೇ ಅಂಶವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಎರಡನೇ ಬಾರಿ - ಎಂಟನೇ, ಅಂತಿಮವಾಗಿ, ಮೂರನೇ ಬಾರಿ - ಒಂಬತ್ತನೇ). 18 ಅನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೂರು ಮೂರು ಬಾರಿ ಸೇರಿಸಬೇಕು? ಇದು ಐದು ಸಂಖ್ಯೆ. ನಿಜವಾಗಿಯೂ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಅಜ್ಞಾತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ d = 5.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಸೂಕ್ತವಾದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳಬಹುದಿತ್ತು, ಆದರೆ ಇದನ್ನು ಉದ್ದೇಶಪೂರ್ವಕವಾಗಿ ಮಾಡಲಾಗಿಲ್ಲ. ವಿವರವಾದ ವಿವರಣೆಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಪರಿಹಾರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಒಂದು ಹೊಳೆಯುವ ಉದಾಹರಣೆಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದರೇನು?

ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ ಕಾರ್ಯ

ಈಗ ಇದೇ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ, ಆದರೆ ಇನ್ಪುಟ್ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನೀವು a3 = 2, a9 = 19 ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ "ಹೆಡ್-ಆನ್" ಪರಿಹಾರ ವಿಧಾನವನ್ನು ಆಶ್ರಯಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಸರಣಿಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅವು ತುಲನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಪರಸ್ಪರ ದೂರವಿರುತ್ತವೆ, ಈ ವಿಧಾನವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಫಲಿತಾಂಶದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುವುದರಿಂದ ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ನಮ್ಮನ್ನು ಕರೆದೊಯ್ಯುತ್ತದೆ:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

ಇಲ್ಲಿ ನಾವು ಅಂತಿಮ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸುತ್ತಿಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ಈ ಪೂರ್ಣಾಂಕವು ಎಷ್ಟು ದೋಷಕ್ಕೆ ಕಾರಣವಾಯಿತು ಎಂಬುದನ್ನು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಿರ್ಣಯಿಸಬಹುದು:

a 9 = a 3 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 + 2.83 = 18.98

ಈ ಫಲಿತಾಂಶವು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾದ ಮೌಲ್ಯದಿಂದ ಕೇವಲ 0.1% ರಷ್ಟು ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಹತ್ತಿರದ ನೂರನೇ ಭಾಗಕ್ಕೆ ಬಳಸಲಾಗುವ ಪೂರ್ಣಾಂಕವನ್ನು ಯಶಸ್ವಿ ಆಯ್ಕೆ ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಒಂದು ಪದಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವಲ್ಲಿ ತೊಂದರೆಗಳು

ಅಜ್ಞಾತ d ಅನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಒಂದು ಶ್ರೇಷ್ಠ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ: a1 = 12, a5 = 40 ಆಗಿದ್ದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಅಜ್ಞಾತ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅನುಕ್ರಮದ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂಶ a 1 ಆಗಿದ್ದರೆ, ನೀವು ದೀರ್ಘವಾಗಿ ಯೋಚಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ತಕ್ಷಣವೇ a n ಪದಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕು. IN ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

ವಿಭಜಿಸುವಾಗ ನಾವು ನಿಖರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಿದ್ದೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಮಾಡಿದಂತೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಫಲಿತಾಂಶದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅರ್ಥವಿಲ್ಲ.

ಇದೇ ರೀತಿಯ ಮತ್ತೊಂದು ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸೋಣ: a1 = 16, a8 = 37 ಆಗಿದ್ದರೆ ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ನಾವು ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಹೋಲುವ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಇನ್ನೇನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು?

ಅಜ್ಞಾತ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಜೊತೆಗೆ, ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಕಾರ್ಯಗಳ ಪರಿಗಣನೆಯು ಲೇಖನದ ವ್ಯಾಪ್ತಿಯನ್ನು ಮೀರಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ನಾವು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸುವ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಪೂರ್ಣತೆಗಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಸರಣಿಯಲ್ಲಿ n ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

ಸೂಚನೆಗಳು

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d ರೂಪದ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ d ಹಂತ ಪ್ರಗತಿ.ಅಂಕಗಣಿತದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ n-ನೇ ಪದದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ ಪ್ರಗತಿರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ: An = A1+(n-1)d. ನಂತರ ಸದಸ್ಯರೊಬ್ಬರನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಪ್ರಗತಿ, ಸದಸ್ಯ ಪ್ರಗತಿಮತ್ತು ಹೆಜ್ಜೆ ಪ್ರಗತಿ, ನೀವು ಮಾಡಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ಪ್ರಗತಿ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಇದನ್ನು n = (An-A1+d)/d ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈಗ mth ಪದವನ್ನು ತಿಳಿಯೋಣ ಪ್ರಗತಿಮತ್ತು ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯ ಪ್ರಗತಿ- nth, ಆದರೆ n , ಹಿಂದಿನ ಪ್ರಕರಣದಂತೆ, ಆದರೆ n ಮತ್ತು m ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ಪ್ರಗತಿಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಬಹುದು: d = (An-Am)/(n-m). ನಂತರ n = (An-Am+md)/d.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಸಮೀಕರಣದ ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಪ್ರಗತಿ, ಹಾಗೆಯೇ ಅದರ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ, ನಂತರ ಈ ಅಂಶಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸಹ ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು ಅಂಕಗಣಿತದ ಮೊತ್ತ ಪ್ರಗತಿಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: S = ((A1+An)/2)n. ನಂತರ n = 2S/(A1+An) - chdenov ಪ್ರಗತಿ. An = A1+(n-1)d ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಹೀಗೆ ಪುನಃ ಬರೆಯಬಹುದು: n = 2S/(2A1+(n-1)d). ಇದರಿಂದ ನಾವು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ n ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದು ಚತುರ್ಭುಜ ಸಮೀಕರಣ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಅನುಕ್ರಮವು ಕ್ರಮಪಡಿಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಒಂದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸ್ಥಿರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಅದರ ಹಂತ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ತಿಳಿದಿರುವ ಪದಗಳಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು.

ಸೂಚನೆಗಳು

ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಅಥವಾ ಯಾವುದೇ ಜೋಡಿ ಪಕ್ಕದ ಪದಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಂದ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು (ಡಿ) ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ನಂತರದ ಪದದಿಂದ ಕಳೆಯಿರಿ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕ ಅಥವಾ ಆಗಿರಬಹುದು ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆ- ಇದು ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆಯೇ ಎಂಬುದರ ಮೇಲೆ ಅವಲಂಬಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. IN ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಪ್ರಗತಿಯ ನೆರೆಯ ಪದಗಳ ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿದ ಜೋಡಿಗೆ (aᵢ ಮತ್ತು aᵢ₊₁) ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

ಅಂತಹ ಪ್ರಗತಿಯ ಒಂದು ಜೋಡಿ ಪದಗಳಿಗೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೊದಲನೆಯದು (a₁), ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಯಾವುದೇ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (d) ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಹ ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅನುಕ್ರಮದ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಆಯ್ಕೆಮಾಡಿದ ಸದಸ್ಯರ ಸರಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ (i) ತಿಳಿದಿರಬೇಕು. ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು, ಎರಡೂ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಒಂದು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಪದದ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ i ಯೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸದಸ್ಯರ ಜೊತೆಗೆ, ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆ u ನೊಂದಿಗೆ ಇನ್ನೊಬ್ಬ ಸದಸ್ಯರು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ, ಅದಕ್ಕೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಹಿಂದಿನ ಹಂತದಿಂದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಿ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ (d) ಈ ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಅವುಗಳ ಆರ್ಡಿನಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸದಿಂದ ಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಅದರ ಮೊದಲ ಪದದ (a₁) ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಅನುಕ್ರಮದ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯ (i) ಮೊತ್ತವನ್ನು (Sᵢ) ನೀಡಿದರೆ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು (d) ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸೂತ್ರವು ಸ್ವಲ್ಪ ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗುತ್ತದೆ. ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಮೊತ್ತವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ, ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಳೆಯಿರಿ ಮತ್ತು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ದ್ವಿಗುಣಗೊಳಿಸಿ. ಫಲಿತಾಂಶದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಒಂದರಿಂದ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಮಾಡುವ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ತಾರತಮ್ಯವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಬರೆಯಿರಿ: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

ಗುರಿಗಳು:

1. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿ.
2. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಮಸ್ಯೆಗಳ ಮುಖ್ಯ ಪ್ರಕಾರಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.
3. ಪಾಠದಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಶೀಲ ಕಲಿಕೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನು ಬಳಸಿ.
4. ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ಚಿಂತನೆಯನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿ.

ತರಗತಿಗಳ ಸಮಯದಲ್ಲಿ

ಶಿಕ್ಷಕ.ಹಿಂದಿನ ಪಾಠದಲ್ಲಿ, ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿ ನಾವು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಪರಿಚಯಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅನಂತ ಮತ್ತು ಸೀಮಿತವಾಗಿರಬಹುದು, ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಕಲಿತಿದ್ದೇವೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಪಟ್ಟಿ ಮಾಡಿ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು.

1. ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ (ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ).
2. ಮೌಖಿಕ (ವಿವರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುವುದು).
3. ಪುನರಾವರ್ತಿತ (ಕೆಲವರಿಂದ ಆರಂಭವಾಗಿ ಅನುಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರು ಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯರ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಿದಾಗ).

ವ್ಯಾಯಾಮ 1.ಸಾಧ್ಯವಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಅನುಕ್ರಮದ 7 ನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ.

(a n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(bn): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(ಸಿಎನ್): 22; 17; 12; 7; 2; -3...
(xn): -3.8; -2.6; -1.4; -0.2; 1; 2.2…
(ವೈ ಎನ್): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

ಶಿಕ್ಷಕ. b n ಮತ್ತು y n ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗೆ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಉತ್ತರಿಸಲು ಏಕೆ ಅಸಾಧ್ಯ?

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು. ಈ ಅನುಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯಿಲ್ಲ, ಆದರೂ (b n) ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು (y n) ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಸರಣಿಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಆದ್ದರಿಂದ ಏಳನೇ ಸ್ಥಾನವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಬಹುದು.

ಶಿಕ್ಷಕ.ಅನುಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ (a n); (ಸಿಎನ್); (x n) ನೀವೆಲ್ಲರೂ 7 ನೇ ಪದವನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವಲ್ಲಿ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿದ್ದೀರಿ.

ಕಾರ್ಯ 2.ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮದ ನಿಮ್ಮ ಸ್ವಂತ ಉದಾಹರಣೆಯೊಂದಿಗೆ ಬನ್ನಿ. ಅದರ ಮೊದಲ 4 ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಸೂಚಿಸಿ. ನಿಮ್ಮ ಮೇಜಿನ ನೆರೆಹೊರೆಯವರೊಂದಿಗೆ ನೋಟ್‌ಬುಕ್‌ಗಳನ್ನು ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು ಈ ಅನುಕ್ರಮದ 5 ನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಶಿಕ್ಷಕ.ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಯಾವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ?

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ. ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಪದವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಶಿಕ್ಷಕ.ಈ ಪ್ರಕಾರದ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಅವರು ಇಂದು ನಮ್ಮ ಅಧ್ಯಯನದ ವಿಷಯವಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. ಪಾಠದ ವಿಷಯವನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

(ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯು ವಿಷಯದ ಮೊದಲ ಭಾಗವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು. ಶಿಕ್ಷಕರು ಎರಡನೇ ಭಾಗವನ್ನು ಸ್ವತಃ ರೂಪಿಸಬಹುದು)

ಶಿಕ್ಷಕ. ಈ ವಿಷಯದ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಪಾಠದ ಉದ್ದೇಶಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

(ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ತಮ್ಮ ಕಲಿಕೆಯ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಮತ್ತು ನಿಖರವಾಗಿ ರೂಪಿಸುವುದು ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ, ನಂತರ ಅವರು ಅವುಗಳನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಾಧಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಾರೆ)

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು.

1. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸಿ.
2. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ.
3. ವಿಷಯದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ (ಪರಿಗಣಿಸಿ ವಿವಿಧ ಪ್ರಕಾರಗಳುಕಾರ್ಯಗಳು).

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದಾರೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪರದೆಯ ಮೇಲೆ ಶಿಕ್ಷಕರ ಗುರಿಗಳನ್ನು ಪ್ರದರ್ಶಿಸಲು ಇದು ಸಹಾಯಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಶಿಕ್ಷಕ.ಸ್ವಲ್ಪ ಇತಿಹಾಸ. "ಪ್ರಗತಿ" ಎಂಬ ಪದವು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಪ್ರಗತಿಯಿಂದ ಬಂದಿದೆ, ಇದರರ್ಥ "ಮುಂದಕ್ಕೆ ಚಲಿಸುವುದು", ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ರೋಮನ್ ಲೇಖಕ ಬೋಥಿಯಸ್ 6 ನೇ ಶತಮಾನ AD ಯಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಮತ್ತು ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ ಮುಂದಿನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಫಿಬೊನಾಕಿ, ಚುಕೆಟ್, ಗಾಸ್ ಮತ್ತು ಇತರ ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳ ಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯ, ಎರಡನೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ, ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ಹಿಂದಿನ ಸದಸ್ಯನಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಡಿ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

(a n): a 1 ; a 2; a 3; ... a n ... ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ.
d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = ... = a n+1 - a n

ಕಾರ್ಯ 3. a 1 = 7 ಆಗಿರಲಿ; d = 0.

ಅನುಕ್ರಮದ ಮುಂದಿನ 3 ಪದಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು. 7; 7; 7

ಶಿಕ್ಷಕ. ಅಂತಹ ಅನುಕ್ರಮಗಳನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

a 1 = -12; d = 3. ಈ ಅನುಕ್ರಮದ 3 ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ. -9; -6; -3

ಶಿಕ್ಷಕ. ನಾನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೆಸರಿಸಿದರೆ ನಾನು ಸರಿಯಾಗಿರುತ್ತೇನೆ: -15; -18; -21?

ನಿಯಮದಂತೆ, ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಇದು ಸರಿ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತಾರೆ. ನಂತರ ನೀವು ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅವರನ್ನು ಕೇಳಬೇಕು. ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಹೆಸರಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಈ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಇರುವಂತಿಲ್ಲ.

ಕಾರ್ಯ 4.ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ a 1; a 2; 6; 4; ಎ 5 ಫೈಂಡ್ ಎ 1; a 2; ಒಂದು 5.

ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಜೋಡಿಯಾಗಿ ನಿರ್ವಹಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಒಬ್ಬ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ, ಬಯಸಿದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸುತ್ತಾನೆ ಹಿಮ್ಮುಖ ಭಾಗಮಂಡಳಿಗಳು.

ಪರಿಹಾರ:

d = 4 - 6 = -2
a 5 = a 4 + d = 4 – 2 = 2
a 2 = a 3 – d = 6 – (-2) = 8
a 1 = a 2 – d = 8 – (-2) = 10

ಈ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕೆ 8 ಮತ್ತು 126 ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಿ

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು. a 8 = -4 ಮತ್ತು 126 ಅನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಅದನ್ನು ಎಣಿಸಲು ತುಂಬಾ ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಶಿಕ್ಷಕ.ಇದರರ್ಥ ನಾವು ಅನುಕ್ರಮದ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ತ್ವರಿತವಾಗಿ ಹುಡುಕಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುವ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಅವಧಿಗೆ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ನೀವು ಬಲವಾದ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಯನ್ನು ಮಂಡಳಿಗೆ ಕರೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಕೇಳಿದ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳು ಮತ್ತು ವರ್ಗದ ಸಹಾಯದ ಮೂಲಕ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

ಸೂತ್ರದ ವ್ಯುತ್ಪತ್ತಿ:

a 2 = a 1 + d
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d
ಇತ್ಯಾದಿ

ಎಎನ್ = a 1 + (ಎನ್ – 1) ಡಿ- ಸೂತ್ರಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದ.

ಶಿಕ್ಷಕ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಯಾವುದೇ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ನೀವು ಏನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು?

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು. a 1 ಮತ್ತು d

ಶಿಕ್ಷಕ.ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ, 126 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು. a 126 = a 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

ಕಾರ್ಯ 5. ಲೆಟ್ (b n): ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಇದರಲ್ಲಿ b 1 ಮೊದಲ ಪದವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು d ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ. ದೋಷಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

b 4 = b 1 + 3d		b 2k = b 1 + (2k - 1)∙d
b 9 = b 1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k - 3)∙d
b -3 = b 1 - 4d		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

ಕಾರ್ಯ 6.ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ನೇರ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ರೂಪಿಸಿ.

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು. 1 ಮತ್ತು d ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, n ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಶಿಕ್ಷಕ.ಯಾವ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು?

ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು.

1. 1 ಮತ್ತು n ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಡಿ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
2. d ಮತ್ತು a n ನೀಡಲಾಗಿದೆ. 1 ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.
3. ಒಂದು 1, d ಮತ್ತು a n ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಎನ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಕಾರ್ಯ 7. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಇದರಲ್ಲಿ y 1 = 10; y 5 = 22

ಮಂಡಳಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ:

y 5 = y 1 + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d=3

ಕಾರ್ಯ 8. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು 2 ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ; 9; ... ಸಂಖ್ಯೆ 156?

ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ: ತಾರ್ಕಿಕವಾಗಿ ನಾವು ತೀರ್ಮಾನಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತೇವೆ ಏಕೆಂದರೆ ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯು ತನ್ನದೇ ಆದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ, ಇದನ್ನು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ನಂತರ ನೀವು ಅನುಕ್ರಮದ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಮತ್ತು ಅದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಿಗೆ ಸೇರಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಅನುಕ್ರಮವು ನೀಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದು ಇರುವುದಿಲ್ಲ.

ಮಂಡಳಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹಾರ:

a n = a 1 + (n - 1) d
156 = 2 + 7 (n - 1)
7 (n – 1) = 154
n – 1 = 22
n = 23

ಉತ್ತರ: a 23 = 156

ಕಾರ್ಯ 9.ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಮೂರು ಪದಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

a 1 + a 5 = 24;
a 2 ∙a 3 =60

ನಾವು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸುತ್ತೇವೆ, ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲು ನಾವು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

a 1 + a 1 + 4d = 24;
(a 1 + d)∙(a 1 + 4d)= 60.

ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ ಒಟ್ಟು ಪಾಠ.

ಇಂದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ನೀವು ಹೊಸದನ್ನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ? ನೀವು ಏನು ಕಲಿತಿದ್ದೀರಿ?

ಮನೆಕೆಲಸ. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕದ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 25 ರಲ್ಲಿ ವಿಷಯವನ್ನು ಓದಿ. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ ಮತ್ತು n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ತಿಳಿಯಿರಿ. ಅದರಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ಕಾರ್ಯ 9 ಗಾಗಿ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ. ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ ಸಂಖ್ಯೆ 575 ಅನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ (a, b); 576; 578(ಎ); 579(ಎ).

ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ನಿಯೋಜನೆ: ಒಂದು 1 ಅವಕಾಶ; a 2; a 3; ... a n ... ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. a n+1 = (a n + a n+2) : 2 ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ

ಮೊದಲ ಹಂತ

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ಉದಾಹರಣೆಗಳೊಂದಿಗೆ ವಿವರವಾದ ಸಿದ್ಧಾಂತ (2019)

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಕುಳಿತು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:
ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಹಲವು ಇರಬಹುದು (ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಅವುಗಳು ಇವೆ). ನಾವು ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆದರೂ, ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದು ಮೊದಲನೆಯದು, ಯಾವುದು ಎರಡನೆಯದು ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು ಮತ್ತು ಕೊನೆಯವರೆಗೆ, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ:

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನಮ್ಮ ಅನುಕ್ರಮಕ್ಕಾಗಿ:

ನಿಯೋಜಿಸಲಾದ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅನುಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಮೂರು ಸೆಕೆಂಡ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಲ್ಲ. ಎರಡನೇ ಸಂಖ್ಯೆ (ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯಂತೆ) ಯಾವಾಗಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ನೇ ಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕೆಲವು ಅಕ್ಷರದ ಮೂಲಕ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ,), ಮತ್ತು ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರು ಈ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ: .

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:

ನಾವು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಇತ್ಯಾದಿ
ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.
"ಪ್ರಗತಿ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ರೋಮನ್ ಲೇಖಕ ಬೋಥಿಯಸ್ 6 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಪರಿಚಯಿಸಿದರು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ವಿಶಾಲವಾದ ಅರ್ಥದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಅರ್ಥೈಸಲಾಯಿತು. "ಅಂಕಗಣಿತ" ಎಂಬ ಹೆಸರನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕರು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ನಿರಂತರ ಅನುಪಾತಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ ವರ್ಗಾಯಿಸಲಾಯಿತು.

ಇದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಲಾದ ಹಿಂದಿನದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮಗಳು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಅಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ:

a)
b)
ಸಿ)
d)

ಅರ್ಥವಾಯಿತು? ನಮ್ಮ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:
ಇದೆಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ - ಬಿ, ಸಿ.
ಅಲ್ಲಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ - a, d.

ನೀಡಲಾದ ಪ್ರಗತಿಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ () ಮತ್ತು ಅದರ ನೇ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ. ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದೆ ಎರಡುಅದನ್ನು ಹುಡುಕುವ ಮಾರ್ಗ.

1. ವಿಧಾನ

ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಅವಧಿಯನ್ನು ತಲುಪುವವರೆಗೆ ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಪ್ರಗತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು. ಸಾರಾಂಶಿಸಲು ನಮ್ಮಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಇಲ್ಲದಿರುವುದು ಒಳ್ಳೆಯದು - ಕೇವಲ ಮೂರು ಮೌಲ್ಯಗಳು:

ಆದ್ದರಿಂದ, ವಿವರಿಸಿದ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

2. ವಿಧಾನ

ನಾವು ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಅವಧಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದರೆ ಏನು ಮಾಡಬೇಕು? ಸಂಕಲನವು ನಮಗೆ ಒಂದು ಗಂಟೆಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವಾಗ ನಾವು ತಪ್ಪುಗಳನ್ನು ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಸತ್ಯವಲ್ಲ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ಗಣಿತಜ್ಞರು ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲದ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಬಂದಿದ್ದಾರೆ. ಚಿತ್ರಿಸಿದ ಚಿತ್ರವನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿ... ಖಂಡಿತವಾಗಿ ನೀವು ಈಗಾಗಲೇ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವು ಏನನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡೋಣ:


ಬೇರೆ ಪದಗಳಲ್ಲಿ:

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವೇ ಈ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ನೀವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದ್ದೀರಾ? ಉತ್ತರದೊಂದಿಗೆ ನಿಮ್ಮ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ:

ಹಿಂದಿನ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನಾವು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದಾಗ ನೀವು ಹಿಂದಿನ ವಿಧಾನದಂತೆಯೇ ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ.
"ವೈಯಕ್ತೀಕರಿಸಲು" ಪ್ರಯತ್ನಿಸೋಣ ಈ ಸೂತ್ರ- ಅವಳನ್ನು ಕರೆತರೋಣ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪಮತ್ತು ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಸಮೀಕರಣ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಗಳು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು.

ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿದೆ- ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಮೌಲ್ಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವ ಪ್ರಗತಿಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಅವರೋಹಣ- ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಮೌಲ್ಯವು ಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಇರುವ ಪ್ರಗತಿಗಳು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಹೆಚ್ಚುತ್ತಿರುವ ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗುವ ಪದಗಳೆರಡರಲ್ಲೂ ಪದಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.
ಇದನ್ನು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.
ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ನಮಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ನಾವು ಅದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಮ್ಮ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿದರೆ ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸಂಖ್ಯೆ ಏನೆಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

ಅಂದಿನಿಂದ:

ಹೀಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಎರಡರಲ್ಲೂ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಮಗೆ ಮನವರಿಕೆಯಾಗಿದೆ.
ಈ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಮತ್ತು ನೇ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಹುಡುಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

ಫಲಿತಾಂಶಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡೋಣ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಆಸ್ತಿ

ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ - ನಾವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.
ನಮಗೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ:
- ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ, ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.
ಸುಲಭ, ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಿ ಮತ್ತು ನಿಮಗೆ ಈಗಾಗಲೇ ತಿಳಿದಿರುವ ಸೂತ್ರದ ಪ್ರಕಾರ ಎಣಿಸಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ:

ಲೆಟ್, ಆಹ್, ನಂತರ:

ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಸರಿಯಿದೆ. ನಾವು ಮೊದಲು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸಿ ಮತ್ತು ನಾವು ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವುದನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಸಣ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಿದರೆ, ಅದರ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕೀರ್ಣವಾದ ಏನೂ ಇಲ್ಲ, ಆದರೆ ನಾವು ಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ ಏನು? ಒಪ್ಪುತ್ತೇನೆ, ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದಲ್ಲಿ ತಪ್ಪು ಮಾಡುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯಿದೆ.
ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದೇ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವೇ ಎಂದು ಈಗ ಯೋಚಿಸಿ? ಖಂಡಿತ ಹೌದು, ಮತ್ತು ಅದನ್ನೇ ನಾವು ಈಗ ಹೊರತರಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಪದವನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ, ಅದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರವು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ - ಇದು ನಾವು ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಪಡೆದ ಅದೇ ಸೂತ್ರವಾಗಿದೆ:
, ನಂತರ:

• ಪ್ರಗತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಅವಧಿ:
• ಪ್ರಗತಿಯ ಮುಂದಿನ ಅವಧಿ:

ಪ್ರಗತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸೋಣ:

ಪ್ರಗತಿಯ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಇರುವ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದದ ದ್ವಿಗುಣ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ತಿಳಿದಿರುವ ಹಿಂದಿನ ಮತ್ತು ಅನುಕ್ರಮ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ಭಾಗಿಸಬೇಕು.

ಅದು ಸರಿ, ನಾವು ಅದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. ವಸ್ತುವನ್ನು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿರಿಸೋಣ. ಪ್ರಗತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ, ಅದು ಕಷ್ಟವೇನಲ್ಲ.

ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ! ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮಗೆ ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲವೂ ತಿಳಿದಿದೆ! ದಂತಕಥೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕ ಶ್ರೇಷ್ಠ ಗಣಿತಜ್ಞರಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರಾದ "ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ರಾಜ" - ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್ ಅವರಿಂದ ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರ್ಣಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟ ಒಂದು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಉಳಿದಿದೆ.

ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್ 9 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಿನವನಾಗಿದ್ದಾಗ, ಇತರ ತರಗತಿಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳ ಕೆಲಸವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವಲ್ಲಿ ನಿರತರಾಗಿರುವ ಶಿಕ್ಷಕ, ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಕೆಲಸವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಿದರು: "ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು (ಇತರ ಮೂಲಗಳ ಪ್ರಕಾರ) ಒಳಗೊಂಡಂತೆ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ." ಒಂದು ನಿಮಿಷದ ನಂತರ ಅವರ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬರು (ಇದು ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್) ಕಾರ್ಯಕ್ಕೆ ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ ಶಿಕ್ಷಕರ ಆಶ್ಚರ್ಯವನ್ನು ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ, ಆದರೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಡೇರ್‌ಡೆವಿಲ್ ಸಹಪಾಠಿಗಳು ದೀರ್ಘ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ನಂತರ ತಪ್ಪು ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು ಪಡೆದರು ...

ಯಂಗ್ ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್ ನೀವು ಸುಲಭವಾಗಿ ಗಮನಿಸಬಹುದಾದ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು.
ನಾವು -th ಪದಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ: ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಈ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಸಹಜವಾಗಿ, ನಾವು ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹಸ್ತಚಾಲಿತವಾಗಿ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಬಹುದು, ಆದರೆ ಕಾರ್ಯವು ಗೌಸ್ ಹುಡುಕುತ್ತಿರುವಂತೆ ಅದರ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ ಏನು?

ನಮಗೆ ನೀಡಿದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಚಿತ್ರಿಸೋಣ. ಹೈಲೈಟ್ ಮಾಡಿದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹತ್ತಿರದಿಂದ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಅವರೊಂದಿಗೆ ವಿವಿಧ ಗಣಿತದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಮಾಡಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.


ನೀವು ಅದನ್ನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿದ್ದೀರಾ? ನೀವು ಏನು ಗಮನಿಸಿದ್ದೀರಿ? ಸರಿ! ಅವುಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ

ಈಗ ಹೇಳಿ, ನಮಗೆ ನೀಡಿರುವ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಜೋಡಿಗಳಿವೆ? ಸಹಜವಾಗಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು, ಅಂದರೆ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಎರಡು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಜೋಡಿಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಧರಿಸಿ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:
.
ಹೀಗಾಗಿ, ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಕೆಲವು ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ನೇ ಪದವು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರಗತಿಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬದಲಿಸಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.
ನಿನಗೆ ಏನು ಸಿಕ್ಕಿತು?

ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ! ಈಗ ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್‌ಗೆ ಕೇಳಿದ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಹಿಂತಿರುಗಿ ನೋಡೋಣ: th ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಮತ್ತು th ನಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭವಾಗುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು ಎಂದು ನೀವೇ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ.

ಎಷ್ಟು ಸಿಕ್ಕಿತು?
ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗೌಸ್ ಕಂಡುಕೊಂಡರು. ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದ್ದು ಅದನ್ನೇ?

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಾಚೀನ ಗ್ರೀಕ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಡಯೋಫಾಂಟಸ್ 3 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿದರು, ಮತ್ತು ಈ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಬುದ್ಧಿವಂತ ಜನರು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬಳಸಿಕೊಂಡರು.
ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಊಹಿಸಿ ಪ್ರಾಚೀನ ಈಜಿಪ್ಟ್ಮತ್ತು ಆ ಕಾಲದ ಅತಿದೊಡ್ಡ ನಿರ್ಮಾಣ ಯೋಜನೆ - ಪಿರಮಿಡ್ ನಿರ್ಮಾಣ ... ಚಿತ್ರವು ಅದರ ಒಂದು ಬದಿಯನ್ನು ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಗತಿ ಎಲ್ಲಿದೆ, ನೀವು ಹೇಳುತ್ತೀರಾ? ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ನೋಡಿ ಮತ್ತು ಪಿರಮಿಡ್ ಗೋಡೆಯ ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಮರಳಿನ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಮಾದರಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.


ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ಏಕೆ ಇಲ್ಲ? ಬ್ಲಾಕ್ ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳನ್ನು ತಳದಲ್ಲಿ ಇರಿಸಿದರೆ ಒಂದು ಗೋಡೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು ​​ಬೇಕು ಎಂದು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿ. ಮಾನಿಟರ್‌ನಾದ್ಯಂತ ನಿಮ್ಮ ಬೆರಳನ್ನು ಚಲಿಸುವಾಗ ನೀವು ಎಣಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ, ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರ ಮತ್ತು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಬಗ್ಗೆ ನಾವು ಹೇಳಿದ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ನೀವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತೀರಾ?

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಗತಿಯು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: .
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.
ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
ನಮ್ಮ ಡೇಟಾವನ್ನು ಕೊನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳಿಗೆ ಬದಲಿಸೋಣ (ಬ್ಲಾಕ್ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು 2 ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ).

ವಿಧಾನ 1.

ವಿಧಾನ 2.

ಮತ್ತು ಈಗ ನೀವು ಮಾನಿಟರ್‌ನಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು: ಪಡೆದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ನಮ್ಮ ಪಿರಮಿಡ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಬ್ಲಾಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಹೋಲಿಕೆ ಮಾಡಿ. ಅರ್ಥವಾಯಿತು? ಚೆನ್ನಾಗಿದೆ, ನೀವು ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡಿದ್ದೀರಿ.
ಸಹಜವಾಗಿ, ನೀವು ತಳದಲ್ಲಿರುವ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳಿಂದ ಪಿರಮಿಡ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಇದರಿಂದ? ಈ ಸ್ಥಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಗೋಡೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು ಎಷ್ಟು ಮರಳು ಇಟ್ಟಿಗೆಗಳು ಬೇಕಾಗುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.
ನೀವು ನಿರ್ವಹಿಸಿದ್ದೀರಾ?
ಸರಿಯಾದ ಉತ್ತರವೆಂದರೆ ಬ್ಲಾಕ್ಗಳು:

ತರಬೇತಿ

ಕಾರ್ಯಗಳು:

1. ಮಾಷಾ ಬೇಸಿಗೆಯಲ್ಲಿ ಆಕಾರವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತಿದ್ದಾರೆ. ಪ್ರತಿದಿನ ಅವಳು ಸ್ಕ್ವಾಟ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುತ್ತಾಳೆ. ಮೊದಲ ತರಬೇತಿ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಮಾಶಾ ಸ್ಕ್ವಾಟ್‌ಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದರೆ ವಾರದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಬಾರಿ ಸ್ಕ್ವಾಟ್ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ?
2. ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು.
3. ಲಾಗ್‌ಗಳನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವಾಗ, ಲಾಗರ್‌ಗಳು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸುತ್ತಾರೆ ಮೇಲಿನ ಪದರಹಿಂದಿನದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ. ಒಂದು ಕಲ್ಲಿನಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಮರದ ದಿಮ್ಮಿಗಳಿವೆ, ಕಲ್ಲಿನ ಅಡಿಪಾಯವು ಮರದ ದಿಮ್ಮಿಯಾಗಿದ್ದರೆ?

ಉತ್ತರಗಳು:

1. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ. ಈ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ
   (ವಾರಗಳು = ದಿನಗಳು).

   ಉತ್ತರ:ಎರಡು ವಾರಗಳಲ್ಲಿ, ಮಾಶಾ ದಿನಕ್ಕೆ ಒಮ್ಮೆ ಸ್ಕ್ವಾಟ್ಗಳನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು.

2. ಮೊದಲ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆ, ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆ.
   ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸ.
   ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಅರ್ಧವಾಗಿದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಈ ಸತ್ಯವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

   ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ.
   ಲಭ್ಯವಿರುವ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸೋಣ:

   ಉತ್ತರ:ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಬೆಸ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

3. ಪಿರಮಿಡ್‌ಗಳ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ನೆನಪಿಸೋಣ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, a , ಪ್ರತಿ ಮೇಲಿನ ಪದರವು ಒಂದು ಲಾಗ್ನಿಂದ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದರಿಂದ, ಒಟ್ಟಾರೆಯಾಗಿ ಪದರಗಳ ಗುಂಪೇ ಇರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ.
   ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಡೇಟಾವನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

   ಉತ್ತರ:ಕಲ್ಲಿನಲ್ಲಿ ಮರದ ದಿಮ್ಮಿಗಳಿವೆ.

ಅದನ್ನು ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತಗೊಳಿಸೋಣ

1. - ಪಕ್ಕದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮ. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು.
2. ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದುಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಪದವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ - , ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ.
3. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಆಸ್ತಿ- - ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.
4. ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತಎರಡು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು:
   
   , ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ಸರಾಸರಿ ಮಟ್ಟ

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮ

ನಾವು ಕುಳಿತು ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ನೀವು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ನೀವು ಇಷ್ಟಪಡುವಷ್ಟು ಇರಬಹುದು. ಆದರೆ ನಾವು ಯಾವಾಗಲೂ ಯಾವುದು ಮೊದಲನೆಯದು, ಯಾವುದು ಎರಡನೆಯದು ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು, ಅಂದರೆ, ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಇದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮದ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ.

ಸಂಖ್ಯೆ ಅನುಕ್ರಮಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪಾಗಿದೆ, ಪ್ರತಿಯೊಂದಕ್ಕೂ ವಿಶಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನಿಗದಿಪಡಿಸಬಹುದು.

ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ವಿಶಿಷ್ಟವಾದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿರಬಹುದು. ಮತ್ತು ನಾವು ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಬೇರೆ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ನಿಯೋಜಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಅನುಕ್ರಮದ ನೇ ಸದಸ್ಯ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಕೆಲವು ಅಕ್ಷರದ ಮೂಲಕ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ,), ಮತ್ತು ಈ ಅನುಕ್ರಮದ ಪ್ರತಿ ಸದಸ್ಯರು ಈ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಮಾನವಾದ ಸೂಚ್ಯಂಕದೊಂದಿಗೆ ಒಂದೇ ಅಕ್ಷರವಾಗಿದೆ: .

ಅನುಕ್ರಮದ ನೇ ಪದವನ್ನು ಕೆಲವು ಸೂತ್ರದಿಂದ ನಿರ್ದಿಷ್ಟಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ ಅದು ತುಂಬಾ ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸೂತ್ರ

ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ:

ಮತ್ತು ಸೂತ್ರವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಒಂದು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದೆ (ಇಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದೆ). ಅಥವಾ (, ವ್ಯತ್ಯಾಸ).

n ನೇ ಅವಧಿಯ ಸೂತ್ರ

ನಾವು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನೀವು ಹಿಂದಿನ ಅಥವಾ ಹಲವಾರು ಹಿಂದಿನದನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು:

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪ್ರಗತಿಯ ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಒಂಬತ್ತನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಅದನ್ನು ಬಿಡಿ. ನಂತರ:

ಸರಿ, ಸೂತ್ರ ಏನು ಎಂಬುದು ಈಗ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆಯೇ?

ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸೇರಿಸುತ್ತೇವೆ, ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇವೆ. ಯಾವುದು? ತುಂಬಾ ಸರಳ: ಇದು ಪ್ರಸ್ತುತ ಸದಸ್ಯರ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೈನಸ್ ಆಗಿದೆ:

ಈಗ ಹೆಚ್ಚು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ, ಸರಿ? ನಾವು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಿಮಗಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ, n ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ನೂರನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ:

ಮೊದಲ ಪದವು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ವ್ಯತ್ಯಾಸವೇನು? ಇಲ್ಲಿದೆ ನೋಡಿ:

(ಇದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಇದನ್ನು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಪ್ರಗತಿಯ ಅನುಕ್ರಮ ಪದಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಸೂತ್ರ:

ನಂತರ ನೂರನೇ ಪದವು ಇದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ನಿಂದ ಎಲ್ಲಾ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಎಷ್ಟು?

ದಂತಕಥೆಯ ಪ್ರಕಾರ, ಮಹಾನ್ ಗಣಿತಜ್ಞ ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸ್, 9 ವರ್ಷದ ಬಾಲಕನಾಗಿದ್ದಾಗ, ಈ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕೆಲವೇ ನಿಮಿಷಗಳಲ್ಲಿ ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಿದನು. ಅವರು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಮೊತ್ತವನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರು ಕೊನೆಯ ದಿನಾಂಕಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಎರಡನೆಯ ಮತ್ತು ಉಪಾಂತ್ಯದ ಮೊತ್ತವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂತ್ಯದಿಂದ ಮೂರನೆಯ ಮತ್ತು 3 ನೇ ಮೊತ್ತವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ. ಅಂತಹ ಜೋಡಿಗಳು ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು? ಅದು ಸರಿ, ಎಲ್ಲಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅರ್ಧದಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆ, ಅಂದರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ,

ಯಾವುದೇ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ:
ಎಲ್ಲದರ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎರಡು ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಗುಣಾಕಾರಗಳು.

ಪರಿಹಾರ:

ಅಂತಹ ಮೊದಲ ಸಂಖ್ಯೆ ಇದು. ಪ್ರತಿ ನಂತರದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸೇರಿಸುವ ಮೂಲಕ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ, ನಾವು ಆಸಕ್ತಿ ಹೊಂದಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮೊದಲ ಪದ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸದೊಂದಿಗೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ.

ಈ ಪ್ರಗತಿಗೆ ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರ:

ಅವೆಲ್ಲವೂ ಎರಡು-ಅಂಕಿಯಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದಾದರೆ ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಪದಗಳಿವೆ?

ಬಹಳ ಸುಲಭ: .

ಪ್ರಗತಿಯ ಕೊನೆಯ ಅವಧಿಯು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಮೊತ್ತ:

ಉತ್ತರ:.

ಈಗ ನೀವೇ ನಿರ್ಧರಿಸಿ:

1. ಪ್ರತಿದಿನ ಅಥ್ಲೀಟ್ ಹಿಂದಿನ ದಿನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಮೀಟರ್ ಓಡುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲ ದಿನ ಕಿಮೀ ಓಡಿದರೆ ಒಂದು ವಾರದಲ್ಲಿ ಒಟ್ಟು ಎಷ್ಟು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಓಡುತ್ತಾನೆ?
2. ಸೈಕ್ಲಿಸ್ಟ್ ಪ್ರತಿದಿನ ಹಿಂದಿನ ದಿನಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾನೆ. ಮೊದಲ ದಿನ ಅವರು ಕಿ.ಮೀ. ಒಂದು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಕ್ರಮಿಸಲು ಅವನು ಎಷ್ಟು ದಿನ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬೇಕು? ತನ್ನ ಪ್ರಯಾಣದ ಕೊನೆಯ ದಿನದಲ್ಲಿ ಅವನು ಎಷ್ಟು ಕಿಲೋಮೀಟರ್ ಪ್ರಯಾಣಿಸುತ್ತಾನೆ?
3. ಅಂಗಡಿಯಲ್ಲಿನ ರೆಫ್ರಿಜರೇಟರ್‌ನ ಬೆಲೆ ಪ್ರತಿ ವರ್ಷವೂ ಅದೇ ಪ್ರಮಾಣದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಆರು ವರ್ಷಗಳ ನಂತರ ಅದನ್ನು ರೂಬಲ್‌ಗಳಿಗೆ ಮಾರಾಟ ಮಾಡಿದರೆ, ಪ್ರತಿ ವರ್ಷ ರೆಫ್ರಿಜರೇಟರ್‌ನ ಬೆಲೆ ಎಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಿ.

ಉತ್ತರಗಳು:

1. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಅದರ ನಿಯತಾಂಕಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವುದು. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, (ವಾರಗಳು = ದಿನಗಳು). ಈ ಪ್ರಗತಿಯ ಮೊದಲ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ನೀವು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ:
   .
   ಉತ್ತರ:
2. ಇಲ್ಲಿ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: , ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.
   ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೀವು ಹಿಂದಿನ ಸಮಸ್ಯೆಯಂತೆಯೇ ಅದೇ ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ:
   .
   ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸಿ:

   ಮೂಲವು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಸರಿಹೊಂದುವುದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ಉತ್ತರ.
   ನೇ ಪದದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕೊನೆಯ ದಿನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ಮಾರ್ಗವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:
   (ಕಿಮೀ).
   ಉತ್ತರ:

3. ನೀಡಿದ: . ಹುಡುಕಿ: .
   ಇದು ಸರಳವಾಗಿರಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ:
   (ರಬ್).
   ಉತ್ತರ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿ. ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಕ್ಷಿಪ್ತವಾಗಿ

ಇದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿದ್ದು, ಇದರಲ್ಲಿ ಪಕ್ಕದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಒಂದೇ ಮತ್ತು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯು ಹೆಚ್ಚಾಗಬಹುದು () ಮತ್ತು ಕಡಿಮೆಯಾಗಬಹುದು ().

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ n ನೇ ಪದವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಸೂತ್ರ

ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ, ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಆಸ್ತಿ

ಅದರ ನೆರೆಯ ಪದಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಪ್ರಗತಿಯ ಪದವನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇದು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ - ಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಅಂಕಗಣಿತದ ಪ್ರಗತಿಯ ನಿಯಮಗಳ ಮೊತ್ತ

ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎರಡು ಮಾರ್ಗಗಳಿವೆ:

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.

ಮೌಲ್ಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ಎಲ್ಲಿದೆ.