ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಇತರ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ ಯಾವುದಾದರೂ ಮೂರು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿಸಬಹುದು. a ಮತ್ತು ನಂತರ N ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳನ್ನು ಘಾತೀಯತೆಯಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ. x ಪದವಿಯ ಮೂಲವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಮೂಲಕ N ಮತ್ತು ನಂತರ a ಅನ್ನು ನೀಡಿದರೆ (ಅಥವಾ ಅದನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸುವುದು). ಈಗ a ಮತ್ತು N ಅನ್ನು ನೀಡಿದಾಗ, ನಾವು x ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕಾದ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ.

ಸಂಖ್ಯೆ N ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲಿ: ಸಂಖ್ಯೆ a ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲಿ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ: .

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ. ಸಂಖ್ಯೆ N ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೂಲ a ಗೆ ಘಾತಾಂಕವಾಗಿದ್ದು, N ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು a ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು; ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ

ಹೀಗಾಗಿ, ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ (26.1) ಘಾತಾಂಕವು ಆಧಾರವಾಗಿ N ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಪೋಸ್ಟ್‌ಗಳು

ಅದೇ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ. ಸಮಾನತೆ (26.1) ಅನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮುಖ್ಯ ಗುರುತು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ; ವಾಸ್ತವದಲ್ಲಿ ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತದೆ. ಮೂಲಕ ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಲಾಗರಿಥಮ್ a ನ ಆಧಾರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಏಕತೆಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆ N ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಶೂನ್ಯವು ಯಾವುದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಉತ್ತಮವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನತೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. x ಮತ್ತು y ನ ಯಾವುದೇ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನತೆಯು ನಿಜವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಈ ಸ್ಥಿತಿಯು ಇಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ;

ಉದಾಹರಣೆ 1. ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಬೇಸ್ 2 ಅನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು ಆದ್ದರಿಂದ.

ಅಂತಹ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ನೀವು ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳನ್ನು ಮಾಡಬಹುದು:

ಉದಾಹರಣೆ 2. ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

1 ಮತ್ತು 2 ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ತರ್ಕಬದ್ಧ ಘಾತಾಂಕದೊಂದಿಗೆ ಬೇಸ್‌ನ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವ ಮೂಲಕ ನಾವು ಬಯಸಿದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ. IN ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರಕರಣ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಫಾರ್, ಇತ್ಯಾದಿ, ಇದನ್ನು ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಈ ಹೇಳಿಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ವಿಷಯಕ್ಕೆ ಗಮನ ಕೊಡೋಣ. ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 12 ರಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಯಾವುದೇ ನೈಜ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನಾವು ನೀಡಿದ್ದೇವೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಪರಿಚಯಕ್ಕೆ ಇದು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಅಭಾಗಲಬ್ಧ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಬಹುದು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಕೆಲವು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಆಸ್ತಿ 1. ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿದ್ದರೆ, ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು ಮತ್ತು ಎಲ್ಲಿಂದ ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ

ಇದಕ್ಕೆ ವ್ಯತಿರಿಕ್ತವಾಗಿ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಮೂಲಕ ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡಿ

ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 2. ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಒಂದರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ (ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ನೆಲೆಯ ಶೂನ್ಯ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ನೋಡಿ (10.1)). ಇಲ್ಲಿಂದ

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಸಂವಾದದ ಹೇಳಿಕೆಯು ಸಹ ನಿಜವಾಗಿದೆ: ವೇಳೆ , ನಂತರ N = 1. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ .

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮುಂದಿನ ಗುಣವನ್ನು ರೂಪಿಸುವ ಮೊದಲು, a ಮತ್ತು b ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳು c ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ c ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಮೂರನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ c ಯ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು c ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು c ಗಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಅವು c ಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಆಸ್ತಿ 3. ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವು ಒಂದರ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಸಂಖ್ಯೆ ಮತ್ತು ಆಧಾರವು ಒಂದರ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಯಲ್ಲಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೂಲವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಘಾತವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಮೂಲವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಘಾತವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ a ನ ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಆಸ್ತಿ 3 ರ ಪುರಾವೆ ಆಧರಿಸಿದೆ. ಆಧಾರವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಘಾತವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಥವಾ ಮೂಲವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಘಾತವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ ಒಂದು ಶಕ್ತಿಯು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾಲ್ಕು ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ:

ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸಲು ನಾವು ನಮ್ಮನ್ನು ಮಿತಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ; ಓದುಗರು ಉಳಿದವುಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಸಮಾನತೆಯಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು ಅಥವಾ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಾರದು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅದು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ, ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವಂತೆ.

ಉದಾಹರಣೆ 3. ಕೆಳಗಿನ ಯಾವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ ಮತ್ತು ಯಾವುದು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ:

ಪರಿಹಾರ, ಎ) ಸಂಖ್ಯೆ 15 ಮತ್ತು ಬೇಸ್ 12 ಒಂದರ ಒಂದೇ ಬದಿಯಲ್ಲಿದೆ;

ಬಿ) 1000 ಮತ್ತು 2 ಘಟಕದ ಒಂದು ಬದಿಯಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರುವುದರಿಂದ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಿಂತ ಬೇಸ್ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂಬುದು ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ;

ಸಿ) 3.1 ಮತ್ತು 0.8 ಏಕತೆಯ ವಿರುದ್ಧ ಬದಿಗಳಲ್ಲಿ ಇರುವುದರಿಂದ;

ಜಿ) ; ಏಕೆ?

ಡಿ) ; ಏಕೆ?

ಕೆಳಗಿನ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 4-6 ಅನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮೇಶನ್ ನಿಯಮಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಕೆಲವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಅಂಶ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಪದವಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಅವು ಅನುಮತಿಸುತ್ತವೆ.

ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 4 (ಉತ್ಪನ್ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ ನಿಯಮ). ಮೂಲಕ ಹಲವಾರು ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಈ ಆಧಾರದ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆಈ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ.

ಪುರಾವೆ. ನೀಡಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಲಿ.

ಅವರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಾಗಿ, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು (26.1) ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳ ಘಾತಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಿ, ನಾವು ಅಗತ್ಯವಾದ ಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

ಸ್ಥಿತಿಯು ಅತ್ಯಗತ್ಯ ಎಂದು ಗಮನಿಸಿ; ಎರಡರ ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಋಣಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳುಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಹಲವಾರು ಅಂಶಗಳ ಉತ್ಪನ್ನವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅದರ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಈ ಅಂಶಗಳ ಸಂಪೂರ್ಣ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಆಸ್ತಿ 5 (ಭಾಗಾಂಶಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ನಿಯಮ). ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಡಿವಿಡೆಂಡ್ ಮತ್ತು ಡಿವೈಸರ್ನ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದೇ ಬೇಸ್ಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪುರಾವೆ. ನಾವು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪ್ರಾಪರ್ಟಿ 6 (ಪವರ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ ನಿಯಮ). ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಶಕ್ತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಘಾತದಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪುರಾವೆ. ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಮುಖ್ಯ ಗುರುತನ್ನು (26.1) ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಬರೆಯೋಣ:

ಕ್ಯೂ.ಇ.ಡಿ.

ಪರಿಣಾಮ. ಧನಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೂಲದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೂಲ ಘಾತಾಂಕದಿಂದ ಭಾಗಿಸಿದ ಆಮೂಲಾಗ್ರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಈ ಅನುಬಂಧದ ಸಿಂಧುತ್ವವನ್ನು ಹೇಗೆ ಮತ್ತು ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸುವುದರ ಮೂಲಕ ರುಜುವಾತುಪಡಿಸಬಹುದು 6.

ಉದಾಹರಣೆ 4. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಿ:

ಎ) (ಎಲ್ಲಾ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಬಿ, ಸಿ, ಡಿ, ಇ ಧನಾತ್ಮಕ ಎಂದು ಊಹಿಸಲಾಗಿದೆ);

ಬಿ) (ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ).

ಪರಿಹಾರ, ಎ) ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಭಾಗಶಃ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಹೋಗಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

ಸಮಾನತೆಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ (26.5)-(26.7), ನಾವು ಈಗ ಬರೆಯಬಹುದು:

ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ಸರಳವಾದ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ನಡೆಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಭಾಗಿಸುವಾಗ, ಅವುಗಳನ್ನು ಕಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇತ್ಯಾದಿ.

ಅದಕ್ಕಾಗಿಯೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಅಭ್ಯಾಸದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 29 ನೋಡಿ).

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ವಿಲೋಮ ಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಪೊಟೆನ್ಶಿಯೇಶನ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಅವುಗಳೆಂದರೆ: ಪೊಟೆನ್ಶಿಯೇಶನ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕ್ರಿಯೆಯಾಗಿದೆ. ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಸಾಮರ್ಥ್ಯವು ಅಲ್ಲ ವಿಶೇಷ ಕ್ರಮ: ಇದು ಆಧಾರವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗೆ ಏರಿಸಲು ಬರುತ್ತದೆ (ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ). "ಸಾಮರ್ಥ್ಯ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು "ಘಾತೀಯ" ಪದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾರ್ಥಕವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು.

ಶಕ್ತಿಯುತಗೊಳಿಸುವಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮೇಶನ್ ನಿಯಮಗಳಿಗೆ ವಿಲೋಮ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಬಳಸಬೇಕು: ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಿ, ಇತ್ಯಾದಿ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಮುಂಭಾಗದಲ್ಲಿ ಅಂಶವಿದ್ದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯ, ನಂತರ ಪೊಟೆನ್ಷಿಯೇಶನ್ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಅದನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕ ಡಿಗ್ರಿಗಳಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬೇಕು.

ಉದಾಹರಣೆ 5. N ಎಂದು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ. ಕೇವಲ ಹೇಳಲಾದ ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ನಿಯಮಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಮುಂದೆ ನಿಂತಿರುವ 2/3 ಮತ್ತು 1/3 ಅಂಶಗಳನ್ನು ನಾವು ಈ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಚಿಹ್ನೆಗಳ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕಗಳಾಗಿ ವರ್ಗಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ; ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ

ಈಗ ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಈ ಸಮಾನತೆಯ ಸರಪಳಿಯಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯ ಭಾಗವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನಾವು ಹಿಂದಿನ ಭಾಗವನ್ನು ಛೇದದಲ್ಲಿನ ಅಭಾಗಲಬ್ಧತೆಯಿಂದ ಮುಕ್ತಗೊಳಿಸಿದ್ದೇವೆ (ಷರತ್ತು 25).

ಆಸ್ತಿ 7. ಬೇಸ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಆಗ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆದೊಡ್ಡ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ (ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ), ಬೇಸ್ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಚಿಕ್ಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಮತ್ತು ಚಿಕ್ಕ ಸಂಖ್ಯೆಯು ದೊಡ್ಡದಾಗಿರುತ್ತದೆ).

ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಈ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ನಿಯಮದಂತೆ ರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅದರ ಎರಡೂ ಬದಿಗಳು ಸಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿವೆ:

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮಾಡಿದಾಗ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮಾಡುವಾಗ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯು ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ (ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 80 ಅನ್ನು ಸಹ ನೋಡಿ).

ಪುರಾವೆಯು ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು 5 ಮತ್ತು 3 ಅನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ವೇಳೆ , ನಂತರ ಮತ್ತು, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವಾಗ, ನಾವು ಪಡೆಯುವ ಸಂದರ್ಭವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ

(ಎ ಮತ್ತು ಎನ್/ಎಂ ಏಕತೆಯ ಒಂದೇ ಕಡೆ ಇರುತ್ತದೆ). ಇಲ್ಲಿಂದ

ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಓದುಗರು ಅದನ್ನು ಸ್ವತಃ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತಾರೆ.

ನಿಮಗೆ ತಿಳಿದಿರುವಂತೆ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಗುಣಿಸಿದಾಗ, ಅವುಗಳ ಘಾತಗಳು ಯಾವಾಗಲೂ ಸೇರಿಸುತ್ತವೆ (a b *a c = a b+c). ಈ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ನಿಯಮವನ್ನು ಆರ್ಕಿಮಿಡೀಸ್‌ನಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ನಂತರ, 8 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ವಿರಾಸೆನ್ ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಘಾತಾಂಕಗಳ ಕೋಷ್ಟಕವನ್ನು ರಚಿಸಿದನು. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮತ್ತಷ್ಟು ಆವಿಷ್ಕಾರಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದರು. ಸರಳವಾದ ಸೇರ್ಪಡೆಯ ಮೂಲಕ ತೊಡಕಿನ ಗುಣಾಕಾರವನ್ನು ಸರಳಗೊಳಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿರುವಲ್ಲಿ ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿಯಾದರೂ ಕಾಣಬಹುದು. ಈ ಲೇಖನವನ್ನು ಓದಲು ನೀವು 10 ನಿಮಿಷಗಳನ್ನು ಕಳೆದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳು ಯಾವುವು ಮತ್ತು ಅವರೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿಮಗೆ ವಿವರಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸರಳ ಮತ್ತು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ.

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ: ಲಾಗ್ a b=c, ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯ (ಅಂದರೆ, ಯಾವುದೇ ಧನಾತ್ಮಕ) “b” ಅದರ ಮೂಲ “a” ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು “c” ಎಂದು ಪರಿಗಣಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. "ಬಿ" ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪಡೆಯಲು "a" ಮೂಲವನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ವಿಶ್ಲೇಷಿಸೋಣ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಲಾಗ್ 2 ಇದೆ ಎಂದು ಹೇಳೋಣ 8. ಉತ್ತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ? ಇದು ತುಂಬಾ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ನೀವು 2 ರಿಂದ ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಶಕ್ತಿಗೆ 8 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ನಿಮ್ಮ ತಲೆಯಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳನ್ನು ಮಾಡಿದ ನಂತರ, ನಾವು ಸಂಖ್ಯೆ 3 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ! ಮತ್ತು ಇದು ನಿಜ, ಏಕೆಂದರೆ 2 ರಿಂದ 3 ರ ಶಕ್ತಿಯು 8 ಎಂದು ಉತ್ತರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಧಗಳು

ಅನೇಕ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳು ಮತ್ತು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ, ಈ ವಿಷಯವು ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಅಗ್ರಾಹ್ಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳು ಅಷ್ಟು ಭಯಾನಕವಲ್ಲ, ಮುಖ್ಯ ವಿಷಯವೆಂದರೆ ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಅವರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು. ಮೂರು ಇವೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಜಾತಿಗಳುಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು:

1. ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ln a, ಇಲ್ಲಿ ಆಧಾರವು ಯೂಲರ್ ಸಂಖ್ಯೆ (e = 2.7).
2. ದಶಮಾಂಶ a, ಅಲ್ಲಿ ಆಧಾರವು 10 ಆಗಿರುತ್ತದೆ.
3. a>1 ಅನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಸಲು ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ b ನ ಲಾಗರಿಥಮ್.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಒಂದೇ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸರಳೀಕರಣ, ಕಡಿತ ಮತ್ತು ನಂತರದ ಕಡಿತ ಸೇರಿದಂತೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದನ್ನು ಪ್ರಮಾಣಿತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಸರಿಯಾದ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ನೀವು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಕ್ರಮಗಳ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳು

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಹಲವಾರು ನಿಯಮಗಳು-ನಿರ್ಬಂಧಗಳನ್ನು ಮೂಲತತ್ವವಾಗಿ ಸ್ವೀಕರಿಸಲಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ, ಅವು ಚರ್ಚೆಗೆ ಒಳಪಡುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಸತ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಶೂನ್ಯದಿಂದ ಭಾಗಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಮೂಲವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯಲು ಸಹ ಅಸಾಧ್ಯ ಪದವಿ ಕೂಡನಕಾರಾತ್ಮಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ತಮ್ಮದೇ ಆದ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿವೆ, ಇದನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ನೀವು ದೀರ್ಘ ಮತ್ತು ಸಾಮರ್ಥ್ಯದ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಲು ಸುಲಭವಾಗಿ ಕಲಿಯಬಹುದು:

• ಮೂಲ "a" ಯಾವಾಗಲೂ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಮತ್ತು 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಾರದು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಅದರ ಅರ್ಥವನ್ನು ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಯಾವುದೇ ಮಟ್ಟಕ್ಕೆ "1" ಮತ್ತು "0" ಯಾವಾಗಲೂ ಅವುಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ;
• a > 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, b >0 ಆಗಿದ್ದರೆ, "c" ಸಹ ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು?

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10 x = 100 ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಉತ್ತರವನ್ನು ಹುಡುಕಲು ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಇದು ತುಂಬಾ ಸುಲಭ, ನಾವು 100 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುವ ಹತ್ತು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೀವು ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಹಜವಾಗಿ 10 2 = 100.

ಈಗ ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸೋಣ. ನಾವು ಲಾಗ್ 10 100 = 2 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲವನ್ನು ನಮೂದಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಎಲ್ಲಾ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ ಒಮ್ಮುಖವಾಗುತ್ತವೆ.

ಅಜ್ಞಾತ ಪದವಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ನಿಖರವಾಗಿ ನಿರ್ಧರಿಸಲು, ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಟೇಬಲ್ನೊಂದಿಗೆ ಹೇಗೆ ಕೆಲಸ ಮಾಡಬೇಕೆಂದು ನೀವು ಕಲಿಯಬೇಕು. ಇದು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ನೀವು ತಾಂತ್ರಿಕ ಮನಸ್ಸು ಮತ್ತು ಗುಣಾಕಾರ ಕೋಷ್ಟಕದ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ಕೆಲವು ಘಾತಗಳನ್ನು ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯಿಂದ ಊಹಿಸಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗಾಗಿ ನಿಮಗೆ ಪವರ್ ಟೇಬಲ್ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಸಂಕೀರ್ಣ ಗಣಿತದ ವಿಷಯಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಏನೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದವರೂ ಸಹ ಇದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು. ಎಡ ಕಾಲಮ್ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ (ಬೇಸ್ a), ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೇಲಿನ ಸಾಲು ಎ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚಿಸುವ ಪವರ್ ಸಿ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ. ಛೇದಕದಲ್ಲಿ, ಕೋಶಗಳು ಉತ್ತರದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ (a c =b). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 10 ನೇ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ ಮೊದಲ ಕೋಶವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ವರ್ಗೀಕರಿಸಿ, ನಾವು ಮೌಲ್ಯ 100 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಅದನ್ನು ನಮ್ಮ ಎರಡು ಕೋಶಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲವೂ ತುಂಬಾ ಸರಳ ಮತ್ತು ಸುಲಭವಾಗಿದ್ದು, ಅತ್ಯಂತ ನಿಜವಾದ ಮಾನವತಾವಾದಿಗಳು ಸಹ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ!

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ಕೆಲವು ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ ಘಾತಾಂಕವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಯಾವುದೇ ಗಣಿತದ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಾನತೆ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, 3 4 =81 ಅನ್ನು 81 ರ ಮೂಲ 3 ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು ನಾಲ್ಕು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಲಾಗ್ 3 81 = 4). ನಕಾರಾತ್ಮಕ ಶಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ನಿಯಮಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ: 2 -5 = 1/32 ನಾವು ಅದನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ, ನಾವು ಲಾಗ್ 2 (1/32) = -5 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅತ್ಯಂತ ಆಕರ್ಷಕ ವಿಭಾಗವೆಂದರೆ "ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್" ವಿಷಯವಾಗಿದೆ. ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ ತಕ್ಷಣ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೋಡುತ್ತೇವೆ. ಈಗ ಅಸಮಾನತೆಗಳು ಹೇಗೆ ಕಾಣುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಹೇಗೆ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುವುದು ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಕೆಳಗಿನ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಲಾಗ್ 2 (x-1) > 3 - ಇದು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಸಮಾನತೆಯಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಅಜ್ಞಾತ ಮೌಲ್ಯ “x” ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿದೆ. ಮತ್ತು ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಎರಡು ಪ್ರಮಾಣಗಳನ್ನು ಹೋಲಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ: ಬೇಸ್ ಎರಡಕ್ಕೆ ಬಯಸಿದ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಮೂರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ನಡುವಿನ ಪ್ರಮುಖ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳೊಂದಿಗಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ 2 x = √9) ಒಂದು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮೌಲ್ಯಗಳು, ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅನುಮತಿಸುವ ಮೌಲ್ಯಗಳ ಶ್ರೇಣಿ ಮತ್ತು ಈ ಕಾರ್ಯದ ಬ್ರೇಕ್‌ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ, ಉತ್ತರವು ಸಮೀಕರಣದ ಉತ್ತರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಸರಳ ಸೆಟ್ ಅಲ್ಲ, ಬದಲಿಗೆ ನಿರಂತರ ಸರಣಿಅಥವಾ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್.

ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಅಥವಾ ಅಸಮಾನತೆಗಳಿಗೆ ಬಂದಾಗ, ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಎಲ್ಲಾ ಮೂಲಭೂತ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ಅರ್ಥಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಮತ್ತು ಆಚರಣೆಯಲ್ಲಿ ಅನ್ವಯಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ನಾವು ನಂತರ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ; ಮೊದಲು ಪ್ರತಿ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವಿವರವಾಗಿ ನೋಡೋಣ.

1. ಮುಖ್ಯ ಗುರುತು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: a logaB =B. ಇದು a 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿರುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ, ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು B ಶೂನ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಬಹುದು: ಲಾಗ್ ಡಿ (ಎಸ್ 1 * ಸೆ 2) = ಲಾಗ್ ಡಿ ಎಸ್ 1 + ಲಾಗ್ ಡಿ ಎಸ್ 2. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಪೂರ್ವಾಪೇಕ್ಷಿತಆಗಿದೆ: d, s 1 ಮತ್ತು s 2 > 0; a≠1. ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರದೊಂದಿಗೆ ಈ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ನೀವು ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೀಡಬಹುದು. a s 1 = f 1 ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡೋಣ ಮತ್ತು a s 2 = f 2 ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡೋಣ, ನಂತರ a f1 = s 1, a f2 = s 2. ನಾವು s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಡಿಗ್ರಿಗಳು ), ಮತ್ತು ನಂತರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ: ಲಾಗ್ a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.
3. ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. ಸೂತ್ರದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯವು ಈ ಕೆಳಗಿನ ರೂಪವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ a q b n = n / q log a b.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು "ಲಾಗರಿಥಮ್ ಪದವಿಯ ಆಸ್ತಿ" ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಡಿಗ್ರಿಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಗಣಿತವು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಗಳನ್ನು ಆಧರಿಸಿದೆ. ಪುರಾವೆಯನ್ನು ನೋಡೋಣ.

a b = t ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡೋಣ, ಅದು t =b ಎಂದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ. ನಾವು ಎರಡೂ ಭಾಗಗಳನ್ನು ವಿದ್ಯುತ್ m ಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ: a tn = b n ;

ಆದರೆ a tn = (a q) nt/q = b n, ಆದ್ದರಿಂದ a q b n = (n*t)/t ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡಿ, ನಂತರ a q b n = n/q ಲಾಗ್ a b ಅನ್ನು ಲಾಗ್ ಮಾಡಿ. ಪ್ರಮೇಯವು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಲ್ಲಿನ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೀತಿಯ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳ ಉದಾಹರಣೆಗಳಾಗಿವೆ. ಅವು ಬಹುತೇಕ ಎಲ್ಲಾ ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪುಸ್ತಕಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗಣಿತ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳ ಅಗತ್ಯ ಭಾಗವಾಗಿದೆ. ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯವನ್ನು ಪ್ರವೇಶಿಸಲು ಅಥವಾ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಉತ್ತೀರ್ಣರಾಗಲು, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಹೇಗೆ ಎಂದು ನೀವು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು.

ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, ಪರಿಹರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಿರ್ಧರಿಸಲು ಒಂದೇ ಯೋಜನೆ ಅಥವಾ ಯೋಜನೆ ಇಲ್ಲ ಅಪರಿಚಿತ ಮೌಲ್ಯಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಂತಹ ಯಾವುದೇ ವಿಷಯವಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿ ಗಣಿತದ ಅಸಮಾನತೆ ಅಥವಾ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಕೆಲವು ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದೇ ಅಥವಾ ಕಾರಣವಾಗಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು ಸಾಮಾನ್ಯ ನೋಟ. ನೀವು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸರಿಯಾಗಿ ಬಳಸಿದರೆ ದೀರ್ಘ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀವು ಸರಳಗೊಳಿಸಬಹುದು. ಅವರನ್ನು ಶೀಘ್ರವಾಗಿ ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ, ನಾವು ಯಾವ ರೀತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು: ಉದಾಹರಣೆಯ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಥವಾ ದಶಮಾಂಶವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆಗಳು ln100, ln1026. ಬೇಸ್ 10 ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ 100 ಮತ್ತು 1026 ಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂಬ ಅಂಶಕ್ಕೆ ಅವರ ಪರಿಹಾರವು ಕುದಿಯುತ್ತದೆ. ಪರಿಹಾರಗಳಿಗಾಗಿ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತುಗಳು ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಫಾರ್ಮುಲಾಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುವುದು: ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳೊಂದಿಗೆ

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೂಲಭೂತ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಬಳಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ.

1. ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕಾರ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ಬಳಸಬಹುದು ದೊಡ್ಡ ಮೌಲ್ಯಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಬಿ ಸರಳ ಅಂಶಗಳಾಗಿ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 2 4 + ಲಾಗ್ 2 128 = ಲಾಗ್ 2 (4*128) = ಲಾಗ್ 2 512. ಉತ್ತರವು 9 ಆಗಿದೆ.
2. ಲಾಗ್ 4 8 = ಲಾಗ್ 2 2 2 3 = 3/2 ಲಾಗ್ 2 2 = 1.5 - ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಪವರ್‌ನ ನಾಲ್ಕನೇ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿ, ನಾವು ತೋರಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತಿದ್ದೇವೆ. ನೀವು ಬೇಸ್ ಅನ್ನು ಅಂಶೀಕರಿಸಬೇಕು ಮತ್ತು ನಂತರ ಘಾತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ಹೊರತೆಗೆಯಬೇಕು.

ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಯೋಜನೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪ್ರವೇಶ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿನ ಅನೇಕ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು (ಎಲ್ಲಾ ಶಾಲಾ ಪದವೀಧರರಿಗೆ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆ). ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ, ಈ ಕಾರ್ಯಗಳು ಭಾಗ A ಯಲ್ಲಿ (ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಸುಲಭವಾದ ಪರೀಕ್ಷಾ ಭಾಗ) ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ C ಯಲ್ಲಿಯೂ (ಅತ್ಯಂತ ಸಂಕೀರ್ಣ ಮತ್ತು ಬೃಹತ್ ಕಾರ್ಯಗಳು) ಇರುತ್ತವೆ. ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ "ನೈಸರ್ಗಿಕ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್" ವಿಷಯದ ನಿಖರ ಮತ್ತು ಪರಿಪೂರ್ಣ ಜ್ಞಾನದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ.

ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಅಧಿಕೃತರಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗಿದೆ ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯ ಆಯ್ಕೆಗಳು. ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂದು ನೋಡೋಣ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಲಾಗ್ 2 (2x-1) = 4. ಪರಿಹಾರ:
ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ, ಅದನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಲಾಗ್ 2 (2x-1) = 2 2 ಅನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದಿಂದ ನಾವು 2x-1 = 2 4 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ 2x = 17; x = 8.5.

• ಎಲ್ಲಾ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಉತ್ತಮ, ಇದರಿಂದ ಪರಿಹಾರವು ತೊಡಕಿನ ಮತ್ತು ಗೊಂದಲಮಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.
• ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೂಲವಾಗಿ ಇರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಗುಣಕವಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಾಗ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅಡಿಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬೇಕು.

ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಕಾಪಾಡಿಕೊಳ್ಳುವುದು ನಮಗೆ ಮುಖ್ಯವಾಗಿದೆ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ, ನಾವು ನಿಮ್ಮ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ವಿವರಿಸುವ ಗೌಪ್ಯತಾ ನೀತಿಯನ್ನು ನಾವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ನಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ ಮತ್ತು ನೀವು ಯಾವುದೇ ಪ್ರಶ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ ನಮಗೆ ತಿಳಿಸಿ.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಸಂಗ್ರಹಣೆ ಮತ್ತು ಬಳಕೆ

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಗುರುತಿಸಲು ಅಥವಾ ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಬಳಸಬಹುದಾದ ಡೇಟಾವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ನೀವು ನಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಒದಗಿಸಲು ನಿಮ್ಮನ್ನು ಕೇಳಬಹುದು.

ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದಾದ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಕೆಳಗೆ ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸಬಹುದು.

ನಾವು ಯಾವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಂಗ್ರಹಿಸುತ್ತೇವೆ:

• ನೀವು ಸೈಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಅರ್ಜಿಯನ್ನು ಸಲ್ಲಿಸಿದಾಗ, ನಿಮ್ಮ ಹೆಸರು, ದೂರವಾಣಿ ಸಂಖ್ಯೆ, ವಿಳಾಸ ಸೇರಿದಂತೆ ವಿವಿಧ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸಬಹುದು ಇಮೇಲ್ಇತ್ಯಾದಿ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಹೇಗೆ ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:

• ನಮ್ಮಿಂದ ಸಂಗ್ರಹಿಸಲಾಗಿದೆ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿನಿಮ್ಮನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸಲು ಮತ್ತು ಅನನ್ಯ ಕೊಡುಗೆಗಳು, ಪ್ರಚಾರಗಳು ಮತ್ತು ಇತರ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಮುಂಬರುವ ಈವೆಂಟ್‌ಗಳ ಕುರಿತು ನಿಮಗೆ ತಿಳಿಸಲು ನಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.
• ಕಾಲಕಾಲಕ್ಕೆ, ಪ್ರಮುಖ ಸೂಚನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸಂವಹನಗಳನ್ನು ಕಳುಹಿಸಲು ನಾವು ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು.
• ಲೆಕ್ಕಪರಿಶೋಧನೆ, ಡೇಟಾ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ ಮತ್ತು ಆಂತರಿಕ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ನಾವು ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ಬಳಸಬಹುದು ವಿವಿಧ ಅಧ್ಯಯನಗಳುನಾವು ಒದಗಿಸುವ ಸೇವೆಗಳನ್ನು ಸುಧಾರಿಸಲು ಮತ್ತು ನಮ್ಮ ಸೇವೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಶಿಫಾರಸುಗಳನ್ನು ನಿಮಗೆ ಒದಗಿಸಲು.
• ನೀವು ಬಹುಮಾನ ಡ್ರಾ, ಸ್ಪರ್ಧೆ ಅಥವಾ ಅಂತಹುದೇ ಪ್ರಚಾರದಲ್ಲಿ ಭಾಗವಹಿಸಿದರೆ, ಅಂತಹ ಕಾರ್ಯಕ್ರಮಗಳನ್ನು ನಿರ್ವಹಿಸಲು ನೀವು ಒದಗಿಸುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಬಳಸಬಹುದು.

ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮಿಂದ ಪಡೆದ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಾವು ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗಳಿಗೆ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ವಿನಾಯಿತಿಗಳು:

• ಅಗತ್ಯವಿದ್ದರೆ - ಕಾನೂನು, ನ್ಯಾಯಾಂಗ ಕಾರ್ಯವಿಧಾನ, ಕಾನೂನು ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಗಳು ಮತ್ತು/ಅಥವಾ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ವಿನಂತಿಗಳು ಅಥವಾ ವಿನಂತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಸರ್ಕಾರಿ ಸಂಸ್ಥೆಗಳುರಷ್ಯಾದ ಒಕ್ಕೂಟದ ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ - ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಿ. ಭದ್ರತೆ, ಕಾನೂನು ಜಾರಿ ಅಥವಾ ಇತರ ಸಾರ್ವಜನಿಕ ಆರೋಗ್ಯ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ ಅಂತಹ ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ ಅಗತ್ಯ ಅಥವಾ ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ನಿರ್ಧರಿಸಿದರೆ ನಿಮ್ಮ ಬಗ್ಗೆ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಹ ನಾವು ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸಬಹುದು. ಪ್ರಮುಖ ಪ್ರಕರಣಗಳು.
• ಮರುಸಂಘಟನೆ, ವಿಲೀನ ಅಥವಾ ಮಾರಾಟದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಸಂಗ್ರಹಿಸುವ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಉತ್ತರಾಧಿಕಾರಿ ಮೂರನೇ ವ್ಯಕ್ತಿಗೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು.

ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ರಕ್ಷಣೆ

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ನಷ್ಟ, ಕಳ್ಳತನ ಮತ್ತು ದುರುಪಯೋಗದಿಂದ ರಕ್ಷಿಸಲು ನಾವು ಮುನ್ನೆಚ್ಚರಿಕೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ - ಆಡಳಿತಾತ್ಮಕ, ತಾಂತ್ರಿಕ ಮತ್ತು ಭೌತಿಕ ಸೇರಿದಂತೆ - ಅನಧಿಕೃತ ಪ್ರವೇಶ, ಬಹಿರಂಗಪಡಿಸುವಿಕೆ, ಬದಲಾವಣೆ ಮತ್ತು ನಾಶ.

ಕಂಪನಿ ಮಟ್ಟದಲ್ಲಿ ನಿಮ್ಮ ಗೌಪ್ಯತೆಯನ್ನು ಗೌರವಿಸುವುದು

ನಿಮ್ಮ ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯು ಸುರಕ್ಷಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು, ನಾವು ನಮ್ಮ ಉದ್ಯೋಗಿಗಳಿಗೆ ಗೌಪ್ಯತೆ ಮತ್ತು ಭದ್ರತಾ ಮಾನದಂಡಗಳನ್ನು ಸಂವಹನ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಗೌಪ್ಯತೆ ಅಭ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಜಾರಿಗೊಳಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಸಮಾಜವು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೊಂಡಂತೆ ಮತ್ತು ಉತ್ಪಾದನೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣವಾದಂತೆ, ಗಣಿತವೂ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದಿತು. ಸರಳದಿಂದ ಸಂಕೀರ್ಣಕ್ಕೆ ಚಲನೆ. ಸಂಕಲನ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನದ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲೆಕ್ಕಪತ್ರದಿಂದ, ಅವರ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಪುನರಾವರ್ತನೆಯೊಂದಿಗೆ, ನಾವು ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ. ಗುಣಾಕಾರದ ಪುನರಾವರ್ತಿತ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದು ಘಾತೀಯತೆಯ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯಾಯಿತು. ಆಧಾರದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅವಲಂಬನೆಯ ಮೊದಲ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಮತ್ತು ಘಾತೀಯತೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞ ವರಸೇನರಿಂದ 8 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಸಂಕಲಿಸಲಾಗಿದೆ. ಅವರಿಂದ ನೀವು ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಸಂಭವಿಸುವ ಸಮಯವನ್ನು ಎಣಿಸಬಹುದು.

ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸ್ಕೆಚ್

16 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಯುರೋಪಿನ ಪುನರುಜ್ಜೀವನವು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದ ಬೆಳವಣಿಗೆಯನ್ನು ಉತ್ತೇಜಿಸಿತು. ಟಿ ದೊಡ್ಡ ಪ್ರಮಾಣದ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಅಗತ್ಯವಿದೆಬಹು-ಅಂಕಿಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಾಕಾರ ಮತ್ತು ವಿಭಜನೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಪ್ರಾಚೀನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಉತ್ತಮ ಸೇವೆ ಸಲ್ಲಿಸಿದವು. ಸಂಕೀರ್ಣ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಗಳನ್ನು ಸರಳವಾದವುಗಳೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಯಿಸಲು ಅವರು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿದರು - ಸೇರ್ಪಡೆ ಮತ್ತು ವ್ಯವಕಲನ. 1544 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಮೈಕೆಲ್ ಸ್ಟೀಫೆಲ್ ಅವರ ಕೆಲಸವು ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಹೆಜ್ಜೆಯಾಗಿದೆ, ಇದರಲ್ಲಿ ಅವರು ಅನೇಕ ಗಣಿತಜ್ಞರ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಅರಿತುಕೊಂಡರು. ಇದು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಅಧಿಕಾರಗಳಿಗೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ತರ್ಕಬದ್ಧ ಪದಗಳಿಗಿಂತ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಸಿತು.

1614 ರಲ್ಲಿ, ಸ್ಕಾಟ್ಸ್‌ಮನ್ ಜಾನ್ ನೇಪಿಯರ್, ಈ ಆಲೋಚನೆಗಳನ್ನು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸುತ್ತಾ, "ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿಥಮ್" ಎಂಬ ಹೊಸ ಪದವನ್ನು ಮೊದಲು ಪರಿಚಯಿಸಿದರು. ಹೊಸದು ಸಂಕೀರ್ಣ ಕೋಷ್ಟಕಗಳುಸೈನ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕೊಸೈನ್‌ಗಳ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಹಾಗೆಯೇ ಸ್ಪರ್ಶಕಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು. ಇದು ಖಗೋಳಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞರ ಕೆಲಸವನ್ನು ಬಹಳವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಿತು.

ಹೊಸ ಕೋಷ್ಟಕಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದವು, ಇದನ್ನು ವಿಜ್ಞಾನಿಗಳು ಮೂರು ಶತಮಾನಗಳಿಂದ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಬಳಸಿದರು. ಹಿಂದೆ ಸಾಕಷ್ಟು ಸಮಯ ಕಳೆದಿದೆ ಹೊಸ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಅದು ತನ್ನ ಸಂಪೂರ್ಣ ರೂಪವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತು. ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

ಕೇವಲ 20 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್ ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ನ ಆಗಮನದೊಂದಿಗೆ, 13 ನೇ ಶತಮಾನದುದ್ದಕ್ಕೂ ಯಶಸ್ವಿಯಾಗಿ ಕೆಲಸ ಮಾಡಿದ ಪ್ರಾಚೀನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಮಾನವೀಯತೆಯು ತ್ಯಜಿಸಿತು.

ಇಂದು ನಾವು b ಯ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು a ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು x ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಅದು b ಮಾಡಲು a ದ ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಸೂತ್ರವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ: x = log a(b).

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಲಾಗ್ 3(9) 2 ಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನೀವು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿದರೆ ಇದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು 3 ಅನ್ನು 2 ರ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿದರೆ, ನಾವು 9 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಹೀಗಾಗಿ, ಸೂತ್ರೀಕರಿಸಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕೇವಲ ಒಂದು ನಿರ್ಬಂಧವನ್ನು ಹೊಂದಿಸುತ್ತದೆ: a ಮತ್ತು b ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ನೈಜವಾಗಿರಬೇಕು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಧಗಳು

ಕ್ಲಾಸಿಕ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ನಿಜವಾದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಇದು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ a x = b ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ. ಆಯ್ಕೆ a = 1 ಗಡಿರೇಖೆಯಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲ. ಗಮನ: ಯಾವುದೇ ಶಕ್ತಿಗೆ 1 1 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ನೈಜ ಮೌಲ್ಯಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ 0 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾದಾಗ ಮಾತ್ರ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಬೇಸ್ 1 ಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಾರದು.

ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ ವಿಶೇಷ ಸ್ಥಾನಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪ್ಲೇ ಮಾಡಿ, ಅವುಗಳ ಬೇಸ್‌ನ ಗಾತ್ರವನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಿ ಹೆಸರಿಸಲಾಗುವುದು:

ನಿಯಮಗಳು ಮತ್ತು ನಿರ್ಬಂಧಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೂಲಭೂತ ಆಸ್ತಿ ನಿಯಮವಾಗಿದೆ: ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಲಾಗ್ ಎಬಿಪಿ = ಲಾಗ್ ಎ (ಬಿ) + ಲಾಗ್ ಎ (ಪಿ).

ಈ ಹೇಳಿಕೆಯ ರೂಪಾಂತರವಾಗಿ ಅದು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ ಸಿ(ಬಿ/ಪಿ) = ಲಾಗ್ ಸಿ(ಬಿ) - ಲಾಗ್ ಸಿ(ಪಿ), ಅಂಶದ ಕಾರ್ಯವು ಕಾರ್ಯಗಳ ವ್ಯತ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಹಿಂದಿನ ಎರಡು ನಿಯಮಗಳಿಂದ ಇದನ್ನು ನೋಡುವುದು ಸುಲಭ: ಲಾಗ್ a(b p) = p * log a(b).

ಇತರ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಸೇರಿವೆ:

ಕಾಮೆಂಟ್ ಮಾಡಿ. ಸಾಮಾನ್ಯ ತಪ್ಪನ್ನು ಮಾಡುವ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ - ಮೊತ್ತದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಅನೇಕ ಶತಮಾನಗಳವರೆಗೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಕಾರ್ಯಾಚರಣೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುವ ಕೆಲಸವಾಗಿತ್ತು. ಗಣಿತಜ್ಞರು ಬಳಸಿದ್ದಾರೆ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರಬಹುಪದೀಯ ವಿಸ್ತರಣೆಯ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), ಅಲ್ಲಿ n - ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು, ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಬೇಸ್‌ನಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇತರ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಈ ವಿಧಾನವು ತುಂಬಾ ಕಾರ್ಮಿಕ-ತೀವ್ರವಾಗಿರುವುದರಿಂದ ಮತ್ತು ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗಕಾರ್ಯಗತಗೊಳಿಸಲು ಕಷ್ಟ, ನಾವು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಪೂರ್ವ ಸಂಕಲನ ಕೋಷ್ಟಕಗಳನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ, ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಕೆಲಸವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸಿದ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತಿತ್ತು, ಇದು ಕಡಿಮೆ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ನೀಡಿತು, ಆದರೆ ಹುಡುಕಾಟವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮೌಲ್ಯ. y = log a(x) ಕಾರ್ಯದ ಕರ್ವ್, ಹಲವಾರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೇಲೆ ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ, ಯಾವುದೇ ಇತರ ಹಂತದಲ್ಲಿ ಕಾರ್ಯದ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಿಯಮಿತ ಆಡಳಿತಗಾರನನ್ನು ಬಳಸಲು ನಿಮಗೆ ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ. ಇಂಜಿನಿಯರುಗಳು ಬಹಳ ಸಮಯಈ ಉದ್ದೇಶಗಳಿಗಾಗಿ, ಕರೆಯಲ್ಪಡುವ ಗ್ರಾಫ್ ಪೇಪರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಲಾಯಿತು.

17 ನೇ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ಮೊದಲ ಸಹಾಯಕ ಅನಲಾಗ್ ಕಂಪ್ಯೂಟಿಂಗ್ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಕಾಣಿಸಿಕೊಂಡವು 19 ನೇ ಶತಮಾನಪೂರ್ಣಗೊಂಡ ನೋಟವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿದೆ. ಅತ್ಯಂತ ಯಶಸ್ವಿ ಸಾಧನವನ್ನು ಸ್ಲೈಡ್ ನಿಯಮ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಯಿತು. ಸಾಧನದ ಸರಳತೆಯ ಹೊರತಾಗಿಯೂ, ಅದರ ನೋಟವು ಎಲ್ಲಾ ಎಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ವೇಗಗೊಳಿಸಿತು ಮತ್ತು ಇದನ್ನು ಅತಿಯಾಗಿ ಅಂದಾಜು ಮಾಡುವುದು ಕಷ್ಟ. ಪ್ರಸ್ತುತ, ಕೆಲವೇ ಜನರು ಈ ಸಾಧನದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಚಿತರಾಗಿದ್ದಾರೆ.

ಕ್ಯಾಲ್ಕುಲೇಟರ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್‌ಗಳ ಆಗಮನವು ಯಾವುದೇ ಇತರ ಸಾಧನಗಳ ಬಳಕೆಯನ್ನು ಅರ್ಥಹೀನಗೊಳಿಸಿತು.

ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಿವಿಧ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

• ಒಂದು ನೆಲೆಯಿಂದ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ: ಲಾಗ್ ಎ (ಬಿ) = ಲಾಗ್ ಸಿ (ಬಿ) / ಲಾಗ್ ಸಿ (ಎ);
• ಹಿಂದಿನ ಆಯ್ಕೆಯ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ: ಲಾಗ್ a(b) = 1 / log b(a).

ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ:

• ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಎರಡೂ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಅಥವಾ ಕಡಿಮೆ ಇದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೌಲ್ಯವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ; ಕನಿಷ್ಠ ಒಂದು ಷರತ್ತು ಉಲ್ಲಂಘಿಸಿದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವು ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
• ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಅಸಮಾನತೆಯ ಬಲ ಮತ್ತು ಎಡ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಅನ್ವಯಿಸಿದರೆ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿದಮ್ನ ಮೂಲವು ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿದ್ದರೆ, ಅಸಮಾನತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಯನ್ನು ಸಂರಕ್ಷಿಸಲಾಗಿದೆ; ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಅದು ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮಾದರಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಲು ಹಲವಾರು ಆಯ್ಕೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಉದಾಹರಣೆಗಳು:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಪವರ್‌ನಲ್ಲಿ ಇರಿಸುವ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

• ಸಮಸ್ಯೆ 3. 25^ಲಾಗ್ 5(3) ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ. ಪರಿಹಾರ: ಸಮಸ್ಯೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಲ್ಲಿ, ನಮೂದು ಈ ಕೆಳಗಿನ (5^2)^log5(3) ಅಥವಾ 5^(2 * ಲಾಗ್ 5(3)) ಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ. ಅದನ್ನು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ: 5^ಲಾಗ್ 5(3*2), ಅಥವಾ ಒಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ವರ್ಗವನ್ನು ಫಂಕ್ಷನ್ ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಆಗಿ ಬರೆಯಬಹುದು (5^ಲಾಗ್ 5(3))^2. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ಈ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ 3^2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಉತ್ತರ: ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನಾವು 9 ಅನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ.

ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಅಪ್ಲಿಕೇಶನ್

ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಗಣಿತದ ಸಾಧನವಾಗಿರುವುದರಿಂದ, ಇದು ದೂರವಿದೆ ಎಂದು ತೋರುತ್ತದೆ ನಿಜ ಜೀವನನೈಜ ಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿನ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಇದ್ದಕ್ಕಿದ್ದಂತೆ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯತೆಯನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಂಡಿತು. ಅದನ್ನು ಬಳಸದ ವಿಜ್ಞಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಕಷ್ಟ. ಇದು ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಮಾನವೀಯ ಜ್ಞಾನದ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಿಗೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅವಲಂಬನೆಗಳು

ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅವಲಂಬನೆಗಳ ಕೆಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇಲ್ಲಿವೆ:

ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ

ಐತಿಹಾಸಿಕವಾಗಿ, ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರ ಮತ್ತು ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅಭಿವೃದ್ಧಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಗಣಿತ ವಿಧಾನಗಳುಸಂಶೋಧನೆ ಮತ್ತು ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ಸ್ ಸೇರಿದಂತೆ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಗೆ ಪ್ರೋತ್ಸಾಹಕವಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸಿತು. ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರದ ಹೆಚ್ಚಿನ ನಿಯಮಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತವನ್ನು ಗಣಿತದ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ವಿವರಣೆಗಳ ಕೇವಲ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ ಭೌತಿಕ ಕಾನೂನುಗಳುಲಾಗರಿಥಮ್ ಬಳಸಿ.

ರಾಕೆಟ್‌ನ ವೇಗದಂತಹ ಸಂಕೀರ್ಣ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಸಿಯೋಲ್ಕೊವ್ಸ್ಕಿ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು, ಇದು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ಪರಿಶೋಧನೆಯ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಅಡಿಪಾಯವನ್ನು ಹಾಕಿತು:

V = I * ln (M1/M2), ಅಲ್ಲಿ

• V ಎಂಬುದು ವಿಮಾನದ ಅಂತಿಮ ವೇಗವಾಗಿದೆ.
• I - ಎಂಜಿನ್ನ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪ್ರಚೋದನೆ.
• M 1 - ರಾಕೆಟ್ನ ಆರಂಭಿಕ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ.
• M 2 - ಅಂತಿಮ ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ.

ಮತ್ತೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ಉದಾಹರಣೆ- ಇದನ್ನು ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಮಹಾನ್ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಮ್ಯಾಕ್ಸ್ ಪ್ಲ್ಯಾಂಕ್ ಅವರ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿತಿಯನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

S = k * ln (Ω), ಅಲ್ಲಿ

• ಎಸ್ - ಥರ್ಮೋಡೈನಾಮಿಕ್ ಆಸ್ತಿ.
• ಕೆ - ಬೋಲ್ಟ್ಜ್ಮನ್ ಸ್ಥಿರ.
• Ω ವಿವಿಧ ರಾಜ್ಯಗಳ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ತೂಕವಾಗಿದೆ.

ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂತ್ರಗಳ ಬಳಕೆ ಕಡಿಮೆ ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ. ಕೇವಲ ಎರಡು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೀಡೋಣ:

• ನೆರ್ನ್ಸ್ಟ್ ಸಮೀಕರಣ, ವಸ್ತುಗಳ ಚಟುವಟಿಕೆ ಮತ್ತು ಸಮತೋಲನ ಸ್ಥಿರತೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮಾಧ್ಯಮದ ರೆಡಾಕ್ಸ್ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಸ್ಥಿತಿ.
• ಆಟೋಲಿಸಿಸ್ ಸೂಚ್ಯಂಕ ಮತ್ತು ದ್ರಾವಣದ ಆಮ್ಲೀಯತೆಯಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ನಮ್ಮ ಕಾರ್ಯವಿಲ್ಲದೆ ಮಾಡಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಮನೋವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರ

ಮತ್ತು ಮನೋವಿಜ್ಞಾನಕ್ಕೆ ಅದರೊಂದಿಗೆ ಏನು ಸಂಬಂಧವಿದೆ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಪ್ರಚೋದಕ ತೀವ್ರತೆಯ ಮೌಲ್ಯದ ವಿಲೋಮ ಅನುಪಾತವು ಕಡಿಮೆ ತೀವ್ರತೆಯ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಈ ಕಾರ್ಯದಿಂದ ಸಂವೇದನೆಯ ಬಲವನ್ನು ಚೆನ್ನಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ ಎಂದು ಅದು ತಿರುಗುತ್ತದೆ.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳ ನಂತರ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಿಷಯವನ್ನು ಜೀವಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬಳಸುವುದರಲ್ಲಿ ಆಶ್ಚರ್ಯವೇನಿಲ್ಲ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸುರುಳಿಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಜೈವಿಕ ರೂಪಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಂಪುಟಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು.

ಇತರ ಪ್ರದೇಶಗಳು

ಈ ಕಾರ್ಯದೊಂದಿಗೆ ಸಂಪರ್ಕವಿಲ್ಲದೆ ಪ್ರಪಂಚದ ಅಸ್ತಿತ್ವವು ಅಸಾಧ್ಯವೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಇದು ಎಲ್ಲಾ ಕಾನೂನುಗಳನ್ನು ಆಳುತ್ತದೆ. ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಪ್ರಕೃತಿಯ ನಿಯಮಗಳು ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಪ್ರಗತಿ. ಇದು MatProfi ವೆಬ್‌ಸೈಟ್‌ಗೆ ತಿರುಗುವುದು ಯೋಗ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಚಟುವಟಿಕೆಯ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತಹ ಹಲವು ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ:

ಪಟ್ಟಿ ಅಂತ್ಯವಿಲ್ಲದಿರಬಹುದು. ಈ ಕಾರ್ಯದ ಮೂಲ ತತ್ವಗಳನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಂಡ ನಂತರ, ನೀವು ಅನಂತ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆಯ ಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಧುಮುಕಬಹುದು.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು, ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಪ್ರತಿ ರೀತಿಯಲ್ಲಿಯೂ ಸೇರಿಸಬಹುದು, ಕಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರಗೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಲ್ಲದ ಕಾರಣ, ಇಲ್ಲಿ ನಿಯಮಗಳಿವೆ, ಅದನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು.

ನೀವು ಖಂಡಿತವಾಗಿಯೂ ಈ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು - ಅವುಗಳಿಲ್ಲದೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಗಂಭೀರ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವೇ ಇವೆ - ನೀವು ಒಂದೇ ದಿನದಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಕಲಿಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸೋಣ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವುದು

ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ: ಲಾಗ್ ಎ xಮತ್ತು ಲಾಗ್ ಎ ವೈ. ನಂತರ ಅವುಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ಕಳೆಯಬಹುದು, ಮತ್ತು:

1. ಲಾಗ್ ಎ x+ ಲಾಗ್ ಎ ವೈ= ಲಾಗ್ ಎ (x · ವೈ);
2. ಲಾಗ್ ಎ x- ಲಾಗ್ ಎ ವೈ= ಲಾಗ್ ಎ (x : ವೈ).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ಮೊತ್ತವು ಉತ್ಪನ್ನದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಅಂಶದ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ: ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಶವಾಗಿದೆ ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ಆಧಾರಗಳು. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, ಈ ನಿಯಮಗಳು ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುವುದಿಲ್ಲ!

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯನ್ನು ಅದರ ಪ್ರತ್ಯೇಕ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸದಿದ್ದರೂ ಸಹ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಿಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತದೆ ("ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಂದರೇನು" ಪಾಠವನ್ನು ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ನೋಡೋಣ ಮತ್ತು ನೋಡಿ:

ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಒಂದೇ ಬೇಸ್‌ಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊತ್ತ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಲಾಗ್ 6 4 + ಲಾಗ್ 6 9 = ಲಾಗ್ 6 (4 9) = ಲಾಗ್ 6 36 = 2.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 2 48 - ಲಾಗ್ 2 3.

ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ನಾವು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸುತ್ತೇವೆ:
ಲಾಗ್ 2 48 - ಲಾಗ್ 2 3 = ಲಾಗ್ 2 (48: 3) = ಲಾಗ್ 2 16 = 4.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 3 135 - ಲಾಗ್ 3 5.

ಮತ್ತೆ ಆಧಾರಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:
ಲಾಗ್ 3 135 - ಲಾಗ್ 3 5 = ಲಾಗ್ 3 (135: 5) = ಲಾಗ್ 3 27 = 3.

ನೀವು ನೋಡುವಂತೆ, ಮೂಲ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳು "ಕೆಟ್ಟ" ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ, ಇವುಗಳನ್ನು ಪ್ರತ್ಯೇಕವಾಗಿ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ರೂಪಾಂತರಗಳ ನಂತರ, ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಸತ್ಯದ ಮೇಲೆ ಅನೇಕವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲಾಗಿದೆ ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು. ಹೌದು, ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲಾ ಗಂಭೀರತೆಯಲ್ಲಿ (ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ವಾಸ್ತವಿಕವಾಗಿ ಯಾವುದೇ ಬದಲಾವಣೆಗಳಿಲ್ಲದೆ) ಪರೀಕ್ಷೆಯಂತಹ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನಿಂದ ಘಾತವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುವುದು

ಈಗ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಸಂಕೀರ್ಣಗೊಳಿಸೋಣ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಅಥವಾ ವಾದವು ಶಕ್ತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ನಂತರ ಈ ಪದವಿಯ ಘಾತವನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು:

ಅದನ್ನು ಗಮನಿಸುವುದು ಸುಲಭ ಕೊನೆಯ ನಿಯಮಮೊದಲ ಎರಡನ್ನು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಹೇಗಾದರೂ ಅದನ್ನು ನೆನಪಿಟ್ಟುಕೊಳ್ಳುವುದು ಉತ್ತಮ - ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಇದು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು ಗಮನಾರ್ಹವಾಗಿ ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಸಹಜವಾಗಿ, ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ODZ ಅನ್ನು ಗಮನಿಸಿದರೆ ಈ ಎಲ್ಲಾ ನಿಯಮಗಳು ಅರ್ಥಪೂರ್ಣವಾಗಿವೆ: ಎ > 0, ಎ ≠ 1, x> 0. ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ವಿಷಯ: ಎಲ್ಲಾ ಸೂತ್ರಗಳನ್ನು ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಮಾತ್ರ ಅನ್ವಯಿಸಲು ಕಲಿಯಿರಿ, ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ, ಅಂದರೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್ ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೊದಲು ನೀವು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗೆ ನಮೂದಿಸಬಹುದು. ಇದು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 7 49 6 .

ಮೊದಲ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ವಾದದಲ್ಲಿನ ಪದವಿಯನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:
ಲಾಗ್ 7 49 6 = 6 ಲಾಗ್ 7 49 = 6 2 = 12

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಛೇದವು ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ, ಅದರ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಕೊನೆಯ ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಣದ ಅಗತ್ಯವಿದೆ ಎಂದು ನಾನು ಭಾವಿಸುತ್ತೇನೆ. ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳು ಎಲ್ಲಿಗೆ ಹೋಗಿವೆ? ಕೊನೆಯ ಕ್ಷಣದವರೆಗೂ ನಾವು ಛೇದದೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕೆಲಸ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ. ನಾವು ಅಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಾದವನ್ನು ಶಕ್ತಿಗಳ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಿದ್ದೇವೆ ಮತ್ತು ಘಾತಾಂಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆದಿದ್ದೇವೆ - ನಮಗೆ “ಮೂರು ಅಂತಸ್ತಿನ” ಭಾಗ ಸಿಕ್ಕಿತು.

ಈಗ ಮುಖ್ಯ ಭಾಗವನ್ನು ನೋಡೋಣ. ಅಂಶ ಮತ್ತು ಛೇದವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ: ಲಾಗ್ 2 7. ಲಾಗ್ 2 7 ≠ 0 ರಿಂದ, ನಾವು ಭಿನ್ನರಾಶಿಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡಬಹುದು - 2/4 ಛೇದದಲ್ಲಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ. ಅಂಕಗಣಿತದ ನಿಯಮಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ನಾಲ್ಕನ್ನು ಅಂಶಕ್ಕೆ ವರ್ಗಾಯಿಸಬಹುದು, ಅದು ಏನು ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. ಫಲಿತಾಂಶವು ಉತ್ತರವಾಗಿತ್ತು: 2.

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆ

ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳನ್ನು ಸೇರಿಸುವ ಮತ್ತು ಕಳೆಯುವ ನಿಯಮಗಳ ಕುರಿತು ಮಾತನಾಡುತ್ತಾ, ಅವು ಒಂದೇ ರೀತಿಯ ನೆಲೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾತ್ರ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಒತ್ತಿಹೇಳಿದೆ. ಕಾರಣಗಳು ವಿಭಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ ಏನು? ಅವು ಒಂದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯ ನಿಖರ ಶಕ್ತಿಗಳಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಏನು?

ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಪರಿವರ್ತನೆಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಪಾರುಗಾಣಿಕಾಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ನಾವು ಅವುಗಳನ್ನು ಪ್ರಮೇಯದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸೋಣ:

ಲಾಗರಿಥಮ್ ಲಾಗ್ ನೀಡಲಿ ಎ x. ನಂತರ ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸಿಅಂತಹ ಸಿ> 0 ಮತ್ತು ಸಿ≠ 1, ಸಮಾನತೆ ನಿಜ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ, ನಾವು ಹಾಕಿದರೆ ಸಿ = x, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಇದು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್ ಅನ್ನು ಬದಲಿಸಬಹುದು ಎಂದು ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ "ತಿರುಗುತ್ತದೆ", ಅಂದರೆ. ಛೇದದಲ್ಲಿ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ಈ ಸೂತ್ರಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಗಳಲ್ಲಿ ವಿರಳವಾಗಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತವೆ. ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಅಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಅವು ಎಷ್ಟು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ.

ಆದಾಗ್ಯೂ, ಹೊಸ ಅಡಿಪಾಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುವುದನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೆರಡು ನೋಡೋಣ:

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 5 16 ಲಾಗ್ 2 25.

ಎರಡೂ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ಗಳ ವಾದಗಳು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ: ಲಾಗ್ 5 16 = ಲಾಗ್ 5 2 4 = 4ಲಾಗ್ 5 2; ಲಾಗ್ 2 25 = ಲಾಗ್ 2 5 2 = 2ಲಾಗ್ 2 5;

ಈಗ ಎರಡನೇ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು "ರಿವರ್ಸ್" ಮಾಡೋಣ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಅಂಶಗಳನ್ನು ಮರುಹೊಂದಿಸುವಾಗ ಉತ್ಪನ್ನವು ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲವಾದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಶಾಂತವಾಗಿ ನಾಲ್ಕು ಮತ್ತು ಎರಡನ್ನು ಗುಣಿಸಿ, ತದನಂತರ ಲಾಗರಿಥಮ್ಗಳೊಂದಿಗೆ ವ್ಯವಹರಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಹುಡುಕಿ: ಲಾಗ್ 9 100 lg 3.

ಮೊದಲ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಆಧಾರ ಮತ್ತು ವಾದವು ನಿಖರವಾದ ಶಕ್ತಿಗಳಾಗಿವೆ. ಇದನ್ನು ಬರೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸೂಚಕಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಈಗ ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಮೂಲಕ ದಶಮಾಂಶ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಅನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕೋಣ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು

ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಪರಿಹಾರ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಆಧಾರಕ್ಕೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಆಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಈ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರಗಳು ನಮಗೆ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ:

ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ವಾದದಲ್ಲಿ ನಿಂತಿರುವ ಪದವಿಯ ಸೂಚಕವಾಗುತ್ತದೆ. ಸಂಖ್ಯೆ ಎನ್ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಕೇವಲ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ.

ಎರಡನೆಯ ಸೂತ್ರವು ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಪ್ಯಾರಾಫ್ರೇಸ್ಡ್ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವಾಗಿದೆ. ಅದನ್ನೇ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ: ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಸಂಖ್ಯೆ ಏನಾಗುತ್ತದೆ ಬಿಅಂತಹ ಶಕ್ತಿಗೆ ಹೆಚ್ಚಿಸಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆ ಬಿಈ ಶಕ್ತಿಯು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ ಎ? ಅದು ಸರಿ: ನೀವು ಇದೇ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ ಎ. ಈ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ಎಚ್ಚರಿಕೆಯಿಂದ ಓದಿ - ಅನೇಕ ಜನರು ಅದರಲ್ಲಿ ಸಿಲುಕಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ.

ಹೊಸ ನೆಲೆಗೆ ಚಲಿಸುವ ಸೂತ್ರಗಳಂತೆ, ಮೂಲ ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಗುರುತು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಏಕೈಕ ಸಂಭವನೀಯ ಪರಿಹಾರವಾಗಿದೆ.

ಕಾರ್ಯ. ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿಯ ಅರ್ಥವನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಲಾಗ್ 25 64 = ಲಾಗ್ 5 8 - ಸರಳವಾಗಿ ಲಾಗರಿಥಮ್‌ನ ಬೇಸ್ ಮತ್ತು ಆರ್ಗ್ಯುಮೆಂಟ್‌ನಿಂದ ಚೌಕವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಒಂದೇ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಧಿಕಾರವನ್ನು ಗುಣಿಸುವ ನಿಯಮಗಳನ್ನು ಗಣನೆಗೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು, ನಾವು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

[ಚಿತ್ರದ ಶೀರ್ಷಿಕೆ]

ಯಾರಿಗಾದರೂ ತಿಳಿದಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಇದು ಏಕೀಕೃತ ರಾಜ್ಯ ಪರೀಕ್ಷೆಯಿಂದ ನಿಜವಾದ ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ :)

ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕ ಮತ್ತು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯ

ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗದ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳನ್ನು ನಾನು ನೀಡುತ್ತೇನೆ - ಬದಲಿಗೆ, ಅವು ಲಾಗರಿಥಮ್ನ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪರಿಣಾಮಗಳಾಗಿವೆ. ಅವರು ನಿರಂತರವಾಗಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು ಆಶ್ಚರ್ಯಕರವಾಗಿ, "ಸುಧಾರಿತ" ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಸಹ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸೃಷ್ಟಿಸುತ್ತಾರೆ.

1. ಲಾಗ್ ಎ ಎ= 1 ಒಂದು ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಘಟಕವಾಗಿದೆ. ಒಮ್ಮೆ ಮತ್ತು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ನೆನಪಿಡಿ: ಯಾವುದೇ ಬೇಸ್ಗೆ ಲಾಗರಿಥಮ್ ಎಈ ನೆಲೆಯಿಂದ ಒಂದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.
2. ಲಾಗ್ ಎ 1 = 0 ಲಾಗರಿಥಮಿಕ್ ಶೂನ್ಯವಾಗಿದೆ. ಬೇಸ್ ಎಯಾವುದಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು, ಆದರೆ ವಾದವು ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದರೆ, ಲಾಗರಿಥಮ್ ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ! ಏಕೆಂದರೆ ಎ 0 = 1 ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ನೇರ ಪರಿಣಾಮವಾಗಿದೆ.

ಆಸ್ತಿಗಳು ಅಷ್ಟೆ. ಅವುಗಳನ್ನು ಆಚರಣೆಗೆ ತರುವುದನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಲು ಮರೆಯದಿರಿ! ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ ಚೀಟ್ ಶೀಟ್ ಅನ್ನು ಡೌನ್‌ಲೋಡ್ ಮಾಡಿ, ಅದನ್ನು ಮುದ್ರಿಸಿ ಮತ್ತು ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ.