Ir 2 pasūtījumu piemēri. Otrās kārtas lineārie diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem

Apsveriet lineāru homogēnu diferenciālvienādojumu ar pastāvīgie koeficienti:
(1) .
Tās risinājumu var iegūt šādi vispārīga metode pasūtījuma samazināšana.

Tomēr ir vieglāk uzreiz iegūt pamatsistēmu n lineāri neatkarīgi risinājumi un, pamatojoties uz to, veido vispārēju risinājumu. Šajā gadījumā visa risinājuma procedūra tiek samazināta līdz nākamie soļi.

Mēs meklējam (1) vienādojuma risinājumu formā . Mēs saņemam raksturīgais vienādojums :
(2) .
Tam ir n saknes. Mēs atrisinām vienādojumu (2) un atrodam tā saknes. Tad raksturīgo vienādojumu (2) var attēlot šādā formā:
(3) .
Katra sakne atbilst vienam no (1) vienādojuma atrisinājumu pamatsistēmas lineāri neatkarīgiem atrisinājumiem. Tad vispārējais risinājums sākotnējais vienādojums(1) ir šāda forma:
(4) .

Īstas saknes

Apskatīsim īstās saknes. Lai sakne ir viena. Tas nozīmē, ka faktors raksturlielajā vienādojumā (3) tiek ievadīts tikai vienu reizi. Tad šī sakne atbilst risinājumam
.

Ļaut ir daudzkārtības saknes p. Tas ir
. Šajā gadījumā reizinātājs ir p reizes:
.
Šīs vairākas (vienādas) saknes atbilst p lineāri neatkarīgiem sākotnējā vienādojuma (1) risinājumiem:
; ; ; ...; .

Sarežģītas saknes

Apsveriet sarežģītas saknes. Izteiksim sarežģīto sakni reālās un iedomātās daļas izteiksmē:
.
Tā kā oriģināla koeficienti ir reāli, tad papildus saknei ir arī sarežģīta konjugāta sakne
.

Ļaujiet kompleksajai saknei būt daudzkārtējai. Tad sakņu pāris atbilst diviem lineāri neatkarīgiem risinājumiem:
; .

Ļaut būt vairākkārtējai kompleksai daudzveidības saknei p. Tad kompleksā konjugāta vērtība ir arī daudzkārtības p raksturīgā vienādojuma sakne, un reizinātājs ievada p reizes:
.
Šis 2p saknes atbilst 2p lineāri neatkarīgi risinājumi:
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Pēc lineāri neatkarīgu risinājumu fundamentālās sistēmas atrašanas iegūstam vispārīgo risinājumu.

Problēmu risinājumu piemēri

1. piemērs

Atrisiniet vienādojumu:
.

Risinājums

.
Pārveidosim to:
;
;
.

Apskatīsim šī vienādojuma saknes. Mums ir četras sarežģītas reizināšanas 2 saknes:
; .
Tie atbilst četriem lineāri neatkarīgiem sākotnējā vienādojuma risinājumiem:
; ; ; .

Mums ir arī trīs reālas vairāku 3 saknes:
.
Tie atbilst trim lineāri neatkarīgiem risinājumiem:
; ; .

Kopīgs lēmums sākotnējam vienādojumam ir šāda forma:
.

Atbilde

2. piemērs

Atrisiniet vienādojumu

Risinājums

Mēs meklējam risinājumu formā . Mēs sastādām raksturīgo vienādojumu:
.
Kvadrātvienādojuma atrisināšana.
.

Mums ir divas sarežģītas saknes:
.
Tie atbilst diviem lineāri neatkarīgiem risinājumiem:
.
Vienādojuma vispārīgs risinājums:
.

Dažās fizikas problēmās nav iespējams izveidot tiešu saikni starp procesu aprakstošiem lielumiem. Bet ir iespējams iegūt vienādību, kas satur pētāmo funkciju atvasinājumus. Tā viņi rodas diferenciālvienādojumi un nepieciešamība tos atrisināt, lai atrastu nezināmo funkciju.

Šis raksts ir paredzēts tiem, kas saskaras ar diferenciālvienādojuma risināšanas problēmu, kurā nezināmā funkcija ir viena mainīgā funkcija. Teorija ir strukturēta tā, lai bez zināšanām par diferenciālvienādojumiem jūs varētu tikt galā ar savu uzdevumu.

Katrs diferenciālvienādojuma veids ir saistīts ar risināšanas metodi ar detalizētiem skaidrojumiem un tipisku piemēru un problēmu risinājumiem. Viss, kas jums jādara, ir noteikt jūsu problēmas diferenciālvienādojuma veidu, atrast līdzīgu analizētu piemēru un veikt līdzīgas darbības.

Lai veiksmīgi atrisinātu diferenciālvienādojumus, jums būs nepieciešama arī iespēja atrast antiatvasinājumu kopas ( nenoteiktie integrāļi) dažādas funkcijas. Ja nepieciešams, iesakām skatīt sadaļu.

Vispirms apskatīsim pirmās kārtas parasto diferenciālvienādojumu veidus, kurus var atrisināt attiecībā pret atvasinājumu, tad pāriesim pie otrās kārtas ODE, tad pakavēsimies pie augstākās kārtas vienādojumiem un beigsim ar sistēmām diferenciālvienādojumi.

Atcerieties, ka, ja y ir argumenta x funkcija.

Pirmās kārtas diferenciālvienādojumi.

Vienkāršākie formas pirmās kārtas diferenciālvienādojumi.

Pierakstīsim dažus šādas tālvadības pults piemērus .

Diferenciālvienādojumi var atrisināt attiecībā pret atvasinājumu, dalot abas vienādības puses ar f(x) . Šajā gadījumā mēs iegūstam vienādojumu, kas būs līdzvērtīgs sākotnējam vienādojumam f(x) ≠ 0. Šādu ODE piemēri ir .

Ja ir argumenta x vērtības, pie kurām funkcijas f(x) un g(x) vienlaikus pazūd, tad parādās papildu risinājumi. Vienādojuma papildu risinājumi dotais x ir jebkuras funkcijas, kas definētas šīm argumentu vērtībām. Šādu diferenciālvienādojumu piemēri ir:

Otrās kārtas diferenciālvienādojumi.

Otrās kārtas lineāri homogēni diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem.

LDE ar nemainīgiem koeficientiem ir ļoti izplatīts diferenciālvienādojuma veids. Viņu risinājums nav īpaši grūts. Pirmkārt, tiek atrastas raksturīgā vienādojuma saknes . Dažādiem p un q ir iespējami trīs gadījumi: raksturīgā vienādojuma saknes var būt reālas un dažādas, reālas un sakrītošas vai sarežģīti konjugāti. Atkarībā no raksturīgā vienādojuma sakņu vērtībām diferenciālvienādojuma vispārējais risinājums tiek uzrakstīts kā , vai , vai attiecīgi.

Piemēram, apsveriet lineāru homogēnu otrās kārtas diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem. Tā raksturīgā vienādojuma saknes ir k 1 = -3 un k 2 = 0. Saknes ir reālas un dažādas, tāpēc LODE vispārējam risinājumam ar nemainīgiem koeficientiem ir forma


Otrās kārtas lineāri nehomogēni diferenciālvienādojumi ar nemainīgiem koeficientiem.

Otrās kārtas LDDE vispārējs risinājums ar nemainīgiem koeficientiem y tiek meklēts atbilstošā LDDE vispārējā risinājuma summas veidā un īpašs risinājums sākotnējam nav viendabīgs vienādojums, tas ir, . Iepriekšējā rindkopa ir veltīta vispārīga risinājuma atrašanai homogēnam diferenciālvienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem. Un konkrētu risinājumu nosaka vai nu ar nenoteiktu koeficientu metodi noteiktai funkcijas f(x) formai sākotnējā vienādojuma labajā pusē, vai arī ar patvaļīgu konstantu mainīšanas metodi.

Kā piemērus otrās kārtas LDDE ar nemainīgiem koeficientiem mēs sniedzam


Lai saprastu teoriju un iepazītos ar detalizētiem piemēru risinājumiem, mēs piedāvājam jums lapā lineārus nehomogēnus otrās kārtas diferenciālvienādojumus ar nemainīgiem koeficientiem.

Lineāri viendabīgi diferenciālvienādojumi (LODE) un otrās kārtas lineāri nehomogēni diferenciālvienādojumi (LNDE).

Īpašs šāda veida diferenciālvienādojumu gadījums ir LODE un LDDE ar nemainīgiem koeficientiem.

LODE vispārīgo atrisinājumu noteiktā segmentā attēlo divu lineāri neatkarīgu šī vienādojuma daļēju risinājumu y 1 un y 2 lineāra kombinācija, tas ir, .

Galvenās grūtības ir tieši atrast lineāri neatkarīgus daļējus risinājumus šāda veida diferenciālvienādojumam. Parasti konkrētus risinājumus izvēlas lineāri no tālāk norādītajām sistēmām neatkarīgas funkcijas:


Tomēr konkrēti risinājumi ne vienmēr tiek piedāvāti šādā formā.

LOD piemērs ir .

LDDE vispārējais risinājums tiek meklēts formā , kur ir atbilstošā LDDE vispārējais risinājums un ir sākotnējā diferenciālvienādojuma konkrētais risinājums. Mēs tikko runājām par tā atrašanu, bet to var noteikt, izmantojot patvaļīgu konstantu mainīšanas metodi.

Var minēt LNDU piemēru .

Augstāku kārtu diferenciālvienādojumi.

Diferenciālvienādojumi, kas ļauj samazināt secību.

Diferenciālvienādojuma secība , kas nesatur vēlamo funkciju un tās atvasinājumus līdz k-1 secībai, var samazināt līdz n-k, aizstājot .

Šajā gadījumā sākotnējais diferenciālvienādojums tiks samazināts līdz . Pēc tā atrisinājuma p(x) atrašanas atliek atgriezties pie aizstāšanas un noteikt nezināmo funkciju y.

Piemēram, diferenciālvienādojums pēc aizstāšanas tas kļūs par vienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem, un tā secība tiks samazināta no trešās uz pirmo.

Šajā punktā tiks apspriests īpašs gadījums lineārie vienādojumi otrās kārtas, kad vienādojuma koeficienti ir nemainīgi, tas ir, tie ir skaitļi. Šādus vienādojumus sauc par vienādojumiem ar nemainīgiem koeficientiem. Šāda veida vienādojumi ir īpaši plaši pielietojami.

1. Lineāri viendabīgi diferenciālvienādojumi

otrās kārtas ar nemainīgiem koeficientiem

Apsveriet vienādojumu

kurā koeficienti ir nemainīgi. Pieņemot, ka visus vienādojuma nosacījumus dalot ar un apzīmējot

Ierakstīsim šo vienādojumu formā

Kā zināms, lai atrastu vispārīgu risinājumu lineāram viendabīgam otrās kārtas vienādojumam, pietiek zināt tā daļējo atrisinājumu pamatsistēmu. Parādīsim, kā atrast daļēju risinājumu fundamentālu sistēmu viendabīgam lineāram diferenciālvienādojumam ar nemainīgiem koeficientiem. Mēs meklēsim konkrētu šī vienādojuma risinājumu formā

Divreiz diferencējot šo funkciju un aizstājot izteiksmes vienādojumā (59), mēs iegūstam

Kopš , tad, samazinot par mēs iegūstam vienādojumu

No šī vienādojuma tiek noteiktas tās k vērtības, kurām funkcija būs (59) vienādojuma risinājums.

Algebrisko vienādojumu (61) koeficienta k noteikšanai sauc par šī diferenciālvienādojuma (59) raksturīgo vienādojumu.

Raksturīgais vienādojums ir otrās pakāpes vienādojums, un tāpēc tam ir divas saknes. Šīs saknes var būt reālas atšķirīgas, reālas un vienādas vai sarežģītas konjugātas.

Apskatīsim, kāda forma ir konkrēto risinājumu pamatsistēmai katrā no šiem gadījumiem.

1. Raksturīgā vienādojuma saknes ir reālas un dažādas: . Šajā gadījumā, izmantojot formulu (60), mēs atrodam divus daļēji risinājumus:

Šie divi konkrētie risinājumi veido fundamentālu risinājumu sistēmu uz visas skaitliskās ass, jo Vronska determinants nekur nepazūd:

Līdz ar to vienādojuma vispārīgajam risinājumam saskaņā ar formulu (48) ir forma

2. Raksturīgā vienādojuma saknes ir vienādas: . Šajā gadījumā abas saknes būs īstas. Izmantojot formulu (60), mēs iegūstam tikai vienu konkrētu risinājumu

Parādīsim, ka otrajam konkrētajam risinājumam, kas kopā ar pirmo veido fundamentālu sistēmu, ir forma

Vispirms pārbaudīsim, vai funkcija ir (59) vienādojuma risinājums. Tiešām,

Bet, tā kā raksturīgajam vienādojumam (61) ir sakne. Turklāt saskaņā ar Vietas teorēmu, Tāpēc . Līdz ar to , t.i., funkcija patiešām ir (59) vienādojuma risinājums.

Tagad parādīsim, ka atrastie daļējie risinājumi veido fundamentālu risinājumu sistēmu. Tiešām,

Tādējādi šajā gadījumā viendabīgā lineārā vienādojuma vispārējam risinājumam ir forma

3. Raksturīgā vienādojuma saknes ir sarežģītas. Kā zināms, kvadrātvienādojuma kompleksās saknes ar reāliem koeficientiem ir konjugētas kompleksie skaitļi, t.i., tie izskatās šādi: . Šajā gadījumā (59) vienādojuma daļējiem risinājumiem saskaņā ar formulu (60) būs šāda forma:

Izmantojot Eilera formulas (skat. XI nodaļas 5. rindkopas 3. punktu), izteiksmes for var rakstīt kā:

Šie risinājumi ir visaptveroši. Lai iegūtu derīgus risinājumus, apsveriet jaunās funkcijas

Tās ir lineāras risinājumu kombinācijas, un tāpēc tās pašas ir (59) vienādojuma atrisinājumi (sk. § 3, 2. punktu, 1. teorēma).

Ir viegli parādīt, ka Vronska determinants šiem risinājumiem nav nulle, un tāpēc risinājumi veido fundamentālu risinājumu sistēmu.

Tādējādi homogēna lineāra diferenciālvienādojuma vispārējam risinājumam raksturīgā vienādojuma sarežģītu sakņu gadījumā ir forma

Noslēgumā mēs piedāvājam formulu tabulu vienādojuma (59) vispārīgajam risinājumam atkarībā no raksturīgā vienādojuma sakņu veida.

Lineāru nehomogēnu otrās kārtas diferenciālvienādojumu (LNDE-2) risināšanas pamati ar nemainīgiem koeficientiem (PC)

Otrās kārtas LDDE ar nemainīgiem koeficientiem $p$ un $q$ ir formā $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kur $f\left(x \right)$ ir nepārtraukta funkcija.

Attiecībā uz LNDU 2 ar datoru šādi divi apgalvojumi ir patiesi.

Pieņemsim, ka kāda funkcija $U$ ir patvaļīgs nehomogēna diferenciālvienādojuma daļējs risinājums. Pieņemsim arī, ka kāda funkcija $Y$ ir atbilstošā lineārā homogēnā diferenciālvienādojuma (HLDE) vispārējais risinājums (GS) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Tad GR no LHDE-2 ir vienāds ar norādīto privāto un vispārīgo risinājumu summu, tas ir, $y=U+Y$.

Ja otrās kārtas LMDE labā puse ir funkciju summa, tas ir, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x) \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, tad vispirms mēs varam atrast atbilstošos PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ katrai no funkcijām $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, un pēc tam ierakstiet CR LNDU-2 formā $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

2. kārtas LPDE risinājums ar datoru

Ir skaidrs, ka dotā LNDU-2 viena vai otra PD $U$ veids ir atkarīgs no tā labās puses $f\left(x\right)$ konkrētās formas. Vienkāršākie PD LNDU-2 meklēšanas gadījumi ir formulēti šādu četru noteikumu veidā.

Noteikums #1.

Labā daļa LNDU-2 ir forma $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kur $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, tas ir, to sauc par $ pakāpes polinomu n$. Tad tā PD $U$ tiek meklēts formā $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kur $Q_(n) \left(x\right)$ ir cits polinoms ar tādu pašu pakāpi kā $P_(n) \left(x\right)$, un $r$ ir atbilstošās LODE-2 raksturīgā vienādojuma sakņu skaits, kas ir vienādas ar nulli. Polinoma $Q_(n) \left(x\right)$ koeficienti tiek atrasti ar nenoteikto koeficientu metodi (UK).

Noteikums Nr.2.

LNDU-2 labajā pusē ir forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kur $P_(n) \left(x\right)$ ir polinoms ar pakāpi $n$. Tad tā PD $U$ tiek meklēts formā $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kur $Q_(n) ) \ left(x\right)$ ir vēl viens tādas pašas pakāpes polinoms kā $P_(n) \left(x\right)$, un $r$ ir atbilstošā LODE-2 raksturīgā vienādojuma sakņu skaits. vienāds ar $\alpha $. Polinoma $Q_(n) \left(x\right)$ koeficienti tiek atrasti ar NC metodi.

Noteikums Nr.3.

LNDU-2 labajā pusē ir forma $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \pa labi) $, kur ir $a$, $b$ un $\beta$ zināmie skaitļi. Tad tā PD $U$ tiek meklēts formā $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, kur $A$ un $B$ ir nezināmi koeficienti, un $r$ ir atbilstošā LODE-2 raksturīgā vienādojuma sakņu skaits, kas vienāds ar $i\cdot \beta $. Koeficientus $A$ un $B$ nosaka, izmantojot nesagraujošo metodi.

Noteikums Nr.4.

LNDU-2 labajā pusē ir forma $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kur $P_(n) \left(x\right)$ ir polinoms ar pakāpi $ n$, un $P_(m) \left(x\right)$ ir polinoms ar pakāpi $m$. Tad tā PD $U$ tiek meklēts formā $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kur $Q_(s) \left(x\right)$ un $ R_(s) \left(x\right)$ ir $s$ pakāpes polinomi, skaitlis $s$ ir maksimālais no diviem skaitļiem $n$ un $m$, un $r$ ir sakņu skaits. atbilstošā LODE-2 raksturīgā vienādojuma, kas vienāds ar $\alpha +i\cdot \beta $. Ar NC metodi tiek atrasti polinomu $Q_(s) \left(x\right)$ un $R_(s) \left(x\right)$ koeficienti.

NK metode sastāv no šāda noteikuma piemērošanas. Lai atrastu nezināmos polinoma koeficientus, kas ir daļa no nehomogēnā diferenciālvienādojuma LNDU-2 daļējā atrisinājuma, nepieciešams:

• aizstāt PD $U$, kas rakstīts vispārējs skats, V kreisā puse LNDU-2;
• LNDU-2 kreisajā pusē veic vienkāršojumus un grupēšanas terminus ar vienādām pilnvarām $x$;
• iegūtajā identitātē vienādojiet terminu koeficientus ar vienādām kreisās un labās puses pakāpēm $x$;
• atrisināt iegūto lineāro vienādojumu sistēmu nezināmiem koeficientiem.

1. piemērs

Uzdevums: atrast VAI LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Atrast arī PD , izpildot sākotnējos nosacījumus $y=6$ pie $x=0$ un $y"=1$ pie $x=0$.

Mēs pierakstām atbilstošo LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Raksturīgais vienādojums: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Raksturīgā vienādojuma saknes ir: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Šīs saknes ir derīgas un atšķirīgas. Tādējādi atbilstošās LODE-2 VAI ir šāda forma: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Šī LNDU-2 labajā pusē ir forma $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Jāņem vērā eksponenta $\alpha =3$ koeficients. Šis koeficients nesakrīt ne ar vienu no raksturīgā vienādojuma saknēm. Tāpēc šī LNDU-2 PD ir formā $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Koeficientus $A$, $B$ meklēsim, izmantojot NC metodi.

Mēs atrodam pirmo Čehijas Republikas atvasinājumu:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Mēs atrodam otro Čehijas Republikas atvasinājumu:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Mēs aizstājam funkcijas $U""$, $U"$ un $U$ $y""$, $y"$ un $y$ vietā dotajā NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ Turklāt, tā kā eksponents $e^(3\cdot x)$ ir iekļauts kā faktors visos komponentos, tad to var izlaist. Mēs iegūstam:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Mēs veicam darbības iegūtās vienlīdzības kreisajā pusē:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Mēs izmantojam NDT metodi. Mēs iegūstam lineāru vienādojumu sistēmu ar diviem nezināmiem:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Šīs sistēmas risinājums ir: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ mūsu problēmai izskatās šādi: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

Mūsu problēmas VAI $y=Y+U$ izskatās šādi: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ kreisi(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Lai meklētu PD, kas atbilst dotajiem sākuma nosacījumiem, mēs atrodam OP atvasinājumu $y"$:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Mēs aizstājam ar $y$ un $y"$ sākotnējos nosacījumus $y=6$ priekš $x=0$ un $y"=1$ ar $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Mēs saņēmām vienādojumu sistēmu:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Atrisināsim. Mēs atrodam $C_(1) $, izmantojot Krāmera formulu, un $C_(2) $ mēs nosakām no pirmā vienādojuma:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(masīvs)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(masīvs)\right|)(\left|\ sākums(masīvs)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(masīvs)\labais|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4 = 3.$

Tādējādi šī diferenciālvienādojuma PD ir šāda forma: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Šeit mēs izmantosim Lagranža konstantu variācijas metodi, lai atrisinātu lineārus nehomogēnus otrās kārtas diferenciālvienādojumus. Detalizēts aprakstsšī metode patvaļīgas secības vienādojumu risināšanai ir aprakstīta lapā
Augstākas kārtas lineāru nehomogēnu diferenciālvienādojumu atrisināšana ar Lagranža metodi >>>.

1. piemērs

Atrisiniet otrās kārtas diferenciālvienādojumu ar nemainīgiem koeficientiem, izmantojot Lagranža konstantu variācijas metodi:
(1)

Risinājums

Vispirms atrisinām homogēno diferenciālvienādojumu:
(2)

Šis ir otrās kārtas vienādojums.

Kvadrātvienādojuma atrisināšana:
.
Vairākas saknes: . Fundamentālā sistēma(2) vienādojuma risinājumiem ir šāda forma:
(3) .
No šejienes mēs iegūstam homogēnā vienādojuma (2) vispārīgu risinājumu:
(4) .

Mainot konstantes C 1 un C 2 . Tas nozīmē, ka (4) konstantes mēs aizstājam ar funkcijām:
.
Mēs meklējam sākotnējā vienādojuma (1) risinājumu šādā formā:
(5) .

Atvasinājuma atrašana:
.
Savienosim funkcijas un vienādojumu:
(6) .
Tad
.

Mēs atrodam otro atvasinājumu:
.
Aizstājiet sākotnējo vienādojumu (1):
(1) ;



.
Tā kā ir izpildīts viendabīgs vienādojums (2), terminu summa katrā pēdējo trīs rindu kolonnā ir nulle, un iepriekšējais vienādojums iegūst šādu formu:
(7) .
Šeit .

Kopā ar vienādojumu (6) iegūstam vienādojumu sistēmu funkciju noteikšanai un:
(6) :
(7) .

Vienādojumu sistēmas atrisināšana

Atrisinām vienādojumu sistēmu (6-7). Pierakstīsim funkciju izteiksmes un:
.
Mēs atrodam to atvasinājumus:
;
.

Vienādojumu sistēmu (6-7) risinām ar Krāmera metodi. Mēs aprēķinām sistēmas matricas determinantu:

.
Izmantojot Krāmera formulas, mēs atrodam:
;
.

Tātad, mēs atradām funkciju atvasinājumus:
;
.
Integrēsim (skatiet sadaļu Sakņu integrēšanas metodes). Aizstāšanas veikšana
; ; ; .

.
.

;
.

Atbilde

2. piemērs

Atrisiniet diferenciālvienādojumu ar Lagranža konstantu variācijas metodi:
(8)

Risinājums

1. solis. Homogēnā vienādojuma atrisināšana

Mēs atrisinām homogēno diferenciālvienādojumu:

(9)
Mēs meklējam risinājumu formā . Mēs sastādām raksturīgo vienādojumu:

Šim vienādojumam ir sarežģītas saknes:
.
Risinājumu pamatsistēmai, kas atbilst šīm saknēm, ir šāda forma:
(10) .
Homogēnā vienādojuma (9) vispārīgs risinājums:
(11) .

2. solis. Konstantu variācija - konstantu aizstāšana ar funkcijām

Tagad mainām konstantes C 1 un C 2 . Tas nozīmē, ka (11) konstantes mēs aizstājam ar funkcijām:
.
Mēs meklējam sākotnējā vienādojuma (8) risinājumu šādā formā:
(12) .

Turklāt risinājuma gaita ir tāda pati kā 1. piemērā. Mēs nonākam pie nākamā sistēma vienādojumi funkciju noteikšanai un:
(13) :
(14) .
Šeit .

Vienādojumu sistēmas atrisināšana

Atrisināsim šo sistēmu. Pierakstīsim izteiksmes funkcijām un :
.
No atvasinājumu tabulas mēs atrodam:
;
.

Vienādojumu sistēmu (13-14) risinām ar Krāmera metodi. Sistēmas matricas determinants:

.
Izmantojot Krāmera formulas, mēs atrodam:
;
.

.
Tā kā , moduļa zīmi zem logaritma zīmes var izlaist. Reiziniet skaitītāju un saucēju ar:
.
Tad
.

Sākotnējā vienādojuma vispārīgs risinājums:


.