Lagranža reizinātāja metode ir klasiska metode matemātiskās programmēšanas problēmu risināšanai (jo īpaši izliektai programmēšanai). Diemžēl metodes praktiskā pielietošana var sastapties ar ievērojamām skaitļošanas grūtībām, kas sašaurina tās izmantošanas jomu. Lagranža metodi šeit aplūkojam galvenokārt tāpēc, ka tas ir aparāts, kas tiek aktīvi izmantots dažādu mūsdienīgu, praksē plaši izmantotu skaitlisko metožu pamatošanai. Kas attiecas uz Lagrange funkciju un Lagrange reizinātājiem, tie spēlē neatkarīgi un ekskluzīvi svarīga loma ne tikai matemātiskās programmēšanas teorijā un lietojumos.
Apsveriet klasisko optimizācijas problēmu
maks (min) z=f(x) (7,20)
Šī problēma izceļas no uzdevumiem (7.18), (7.19) ar to, ka starp ierobežojumiem (7.21) nav nevienādību, nav nosacījumu, lai mainīgie būtu nenegatīvi, to diskrētums un funkcijas f(x) ir nepārtraukti un tiem ir vismaz otrās kārtas daļēji atvasinājumi.
Klasiskā pieeja problēmas risināšanai (7.20), (7.21) sniedz vienādojumu sistēmu ( nepieciešamos nosacījumus), kas jāapmierina ar punktu x*, kas nodrošina funkciju f(x) ar lokālu ekstremitāšu punktu kopai, kas apmierina ierobežojumus (7.21) (izliektajai programmēšanas problēmai atrastais punkts x*, saskaņā ar Teorēma 7.6, vienlaikus būs globālā ekstrēma punkts).
Pieņemsim, ka punktā x* funkcijai (7.20) ir lokāls nosacījuma ekstrēms un matricas rangs ir vienāds ar . Tad nepieciešamie nosacījumi tiks uzrakstīti formā:
(7.22)
ir Lagranža funkcija; - Lagranža reizinātāji.
Ir arī pietiekami daudz nosacījumu, saskaņā ar kuriem vienādojumu sistēmas (7.22) risinājums nosaka funkcijas f(x) galējo punktu. Šis jautājums tiek atrisināts, pamatojoties uz Lagranža funkcijas otrās diferenciāļa zīmes izpēti. Tomēr pietiekoši apstākļi galvenokārt ir teorētiski.
Varat norādīt šādu uzdevumu (7.20), (7.21) risināšanas procedūru, izmantojot Lagranža reizinātāja metodi:
1) sastādīt Lagranža funkciju (7.23);
2) atrast Lagranža funkcijas daļējos atvasinājumus attiecībā uz visiem mainīgajiem 
un iestatiet tos vienādus ar nulli. Tā rezultātā tiks izveidota sistēma (7.22), kas sastāv no vienādojumiem. Atrisiniet iegūto sistēmu (ja tas izrādās iespējams!) un tādējādi atrodiet visus Lagranža funkcijas stacionāros punktus;
3) no stacionāriem punktiem, kas ņemti bez koordinātām, izvēlas punktus, kuros funkcijai f(x) ir nosacīta lokāla ekstremitāte ierobežojumu klātbūtnē (7.21). Šī izvēle tiek veikta, piemēram, izmantojot pietiekami apstākļi vietējais ekstrēms. Bieži vien pētījums tiek vienkāršots, ja tiek izmantoti īpaši problēmas nosacījumi.
Piemērs 7.3. Atrodiet ierobežota resursa optimālo sadalījumu vienībās. starp n patērētājiem, ja peļņu, kas saņemta, piešķirot x j resursa vienības j-tajam patērētājam, aprēķina pēc formulas .
Risinājums. Problēmas matemātiskajam modelim ir šāda forma:
Mēs veidojam Lagranža funkciju:
.
Mēs atradām Lagranža funkcijas daļējie atvasinājumi un pielīdzināt tos nullei:
Atrisinot šo vienādojumu sistēmu, mēs iegūstam:
Tādējādi, ja j-tajam patērētājam tiek piešķirtas vienības. resurss, tad kopējā peļņa sasniegs savu maksimālo vērtību un summu līdz den. vienības
Mēs pārbaudījām Lagranža metodi, kas piemērota klasiskajai optimizācijas problēmai. Šo metodi var vispārināt gadījumam, kad mainīgie nav negatīvi un daži ierobežojumi ir norādīti nevienādību veidā. Tomēr šis vispārinājums galvenokārt ir teorētisks un neizraisa īpašus skaitļošanas algoritmus.
Noslēgumā sniegsim Lagranža reizinātājiem ekonomisku interpretāciju. Lai to izdarītu, pievērsīsimies visvienkāršākajai klasiskajai optimizācijas problēmai
maks (min) z=f(x 1 , X 2); (7.24)
𝜑(x 1, x 2)=b. (7.25)
Pieņemsim, ka punktā ir sasniegts nosacītā galējība. Funkcijas atbilstošā galējā vērtība f(x)
Pieņemsim, ka ierobežojumos (7.25) daudzums b var mainīties, tad galējā punkta koordinātas un līdz ar to galējā vērtība f* funkcijas f(x) kļūs par daudzumiem atkarībā no b, t.i. 
,
, un tāpēc funkcijas (7.24) atvasinājums
Apsveriet lineāru nehomogēnu pirmās kārtas diferenciālvienādojumu:
(1)
.
Ir trīs veidi, kā atrisināt šo vienādojumu:
- konstantes (Lagranža) variācijas metode.
Apsvērsim pirmās kārtas lineāra diferenciālvienādojuma risināšanu, izmantojot Lagranža metodi.
Konstantes variācijas metode (Lagranža)
Konstantās metodes variācijā vienādojumu atrisinām divos posmos. Pirmajā posmā mēs vienkāršojam sākotnējais vienādojums un atrisiniet homogēno vienādojumu. Otrajā posmā mēs aizvietojam risinājuma pirmajā posmā iegūto integrācijas konstanti ar funkciju. Tad meklējam kopīgs lēmums sākotnējais vienādojums.
Apsveriet vienādojumu:
(1)
1. solis Viendabīga vienādojuma atrisināšana
Mēs meklējam homogēnā vienādojuma risinājumu:
Šis ir atdalāms vienādojums
Mēs atdalām mainīgos - reiziniet ar dx, daliet ar y:
Integrēsim:
Integrālis virs y — tabula:
Tad
Pastiprināsim:
Aizstāsim konstanti e C ar C un noņemsim moduļa zīmi, kas nozīmē reizināšanu ar konstanti ±1, ko iekļausim C:
2. solis Nomainiet konstanti C ar funkciju
Tagad aizstāsim konstanti C ar funkciju x:
C → u (x)
Tas ir, mēs meklēsim sākotnējā vienādojuma risinājumu (1)
kā:
(2)
Atvasinājuma atrašana.
Saskaņā ar sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu:
.
Saskaņā ar produktu diferenciācijas noteikumu:
.
Aizstāt ar sākotnējo vienādojumu (1)
:
(1)
;
.
Divi locekļi tiek samazināti:
;
.
Integrēsim:
.
Aizstāt iekšā (2)
:
.
Rezultātā mēs iegūstam pirmās kārtas lineārā diferenciālvienādojuma vispārīgu risinājumu:
.
Piemērs pirmās kārtas lineāra diferenciālvienādojuma atrisināšanai ar Lagranža metodi
Atrisiniet vienādojumu
Risinājums
Mēs atrisinām homogēno vienādojumu:
Mēs atdalām mainīgos:
Reizināt ar:
Integrēsim:
Tabulas integrāļi:
Pastiprināsim:
Aizstāsim konstanti e C ar C un noņemsim moduļa zīmes:
No šejienes:
Aizstāsim konstanti C ar funkciju x:
C → u (x)
Atvasinājuma atrašana:
.
Aizstājiet sākotnējo vienādojumu:
;
;
Vai:
;
.
Integrēsim:
;
Vienādojuma atrisinājums:
.
| Parametra nosaukums | Nozīme |
| Raksta tēma: | Lagranža metode. |
| Rubrika (tematiskā kategorija) | Matemātika |
Polinoma atrašana nozīmē tā koeficienta vērtību noteikšanu 
. Lai to izdarītu, izmantojot interpolācijas nosacījumu, varat izveidot lineāro sistēmu algebriskie vienādojumi(SLAU).
Šīs SLAE determinantu parasti sauc par Vandermonda determinantu. Vandermonda determinants nav vienāds ar nulli for , tas ir, gadījumā, ja uzmeklēšanas tabulā nav atbilstošu mezglu. Tomēr var apgalvot, ka SLAE ir risinājums un šis risinājums ir unikāls. Atrisinot SLAE un nosakot nezināmos koeficientus jūs varat izveidot interpolācijas polinomu.
Polinoms, kas atbilst interpolācijas nosacījumiem, interpolējot ar Lagranža metodi, tiek konstruēts n-tās pakāpes polinomu lineāras kombinācijas veidā:
Parasti sauc polinomus pamata polinomi. Lai Lagranža polinoms apmierina interpolācijas nosacījumus, ir ārkārtīgi svarīgi, lai tā bāzes polinomi atbilstu šādiem nosacījumiem:
Priekš 
.
Ja šie nosacījumi ir izpildīti, tad jebkuram mums ir:
Turklāt noteikto nosacījumu izpilde bāzes polinomiem nozīmē, ka ir izpildīti arī interpolācijas nosacījumi.
Noteiksim bāzes polinomu veidu, pamatojoties uz tiem uzliktajiem ierobežojumiem.
1. nosacījums: plkst.
2. nosacījums: .
Visbeidzot, bāzes polinomam varam rakstīt:
Pēc tam, aizstājot iegūto izteiksmi pamata polinomiem ar sākotnējo polinomu, mēs iegūstam Lagranža polinoma galīgo formu:
Īpašu Lagranža polinoma formu parasti sauc par lineārās interpolācijas formulu:
.
Lagranža polinomu parasti sauc par kvadrātiskās interpolācijas formulu:
Lagranža metode. - jēdziens un veidi. Kategorijas "Lagranža metode" klasifikācija un iezīmes. 2017., 2018. gads.
Lineārās tālvadības pultis. Definīcija. DU veids t.i. lineāri attiecībā pret nezināmu funkciju un tās atvasinājumu sauc par lineāru. Šāda veida risinājumam aplūkosim divas metodes: Lagranža metodi un Bernulli metodi.Aplūkosim homogēnu diferenciālvienādojumu Šis vienādojums ir ar atdalāmiem mainīgajiem.. Vienādojuma atrisinājums ir Vispārīgs... .
Definīcija. Vadības sistēmu sauc par viendabīgu, ja funkciju var attēlot kā attiecību starp tās argumentiem.Piemērs. F-Mani sauc viendabīgs fth mērījumi, ja Piemēri: 1) - 1. kārtas viendabīgums. 2) - 2. viendabīguma pakāpe. 3) - viendabīguma nulles kārta (vienkārši viendabīga... .
Ir ekstrēmas problēmas liela nozīme ekonomiskajos aprēķinos. Tas ir, piemēram, maksimālo ienākumu, peļņas, minimālo izmaksu aprēķins atkarībā no vairākiem mainīgajiem lielumiem: resursiem, ražošanas līdzekļiem utt. Teorija par funkciju ekstrēmu atrašanu... .
3. 2. 1. DE ar atdalāmiem mainīgajiem S.R. 3. Dabaszinātnēs, tehnoloģijās un ekonomikā bieži nākas saskarties ar empīriskām formulām, t.i. formulas, kas sastādītas, pamatojoties uz statistikas datu apstrādi vai...
LAGRANŽA METODE
Metode kvadrātveida formas reducēšanai uz kvadrātu summu, ko 1759. gadā norādījis Dž.Lagranžs. Lai tas tiek dots
no mainīgajiem x 0 , x 1 ,..., x lpp.
ar koeficientiem no lauka kīpašības Šī veidlapa ir jāpārnes uz kanonisko. prāts
izmantojot nedeģenerētu mainīgo lineāro transformāciju. L. m. sastāv no sekojošā. Var pieņemt, ka ne visi formas (1) koeficienti ir vienādi ar nulli. Tāpēc ir iespējami divi gadījumi.
1) Dažiem g, pa diagonāli Tad
kur forma f 1 (x) nesatur mainīgo x g . 2) Ja viss 
Bet
Tas
kur forma f 2 (x) nesatur divus mainīgos x g Un x h . Formas zem kvadrātveida zīmēm (4) ir lineāri neatkarīgas. Pielietojot formas (3) un (4) transformācijas, forma (1) pēc noteikta soļu skaita tiek reducēta līdz lineāri neatkarīgu lineāro formu kvadrātu summai. Izmantojot daļējos atvasinājumus, formulas (3) un (4) var ierakstīt formā
Lit.: G a n t m a k h e r F. R., Matricu teorija, 2. izd., M., 1966; K u r o sh A. G., Augstākās algebras kurss, 11. izd., M., 1975; Aleksandrovs P. S., Lekcijas par analītisko ģeometriju..., M., 1968. I. V. Proskurjakovs.
Matemātiskā enciklopēdija. - M.: Padomju enciklopēdija. I. M. Vinogradovs. 1977-1985.
Skatiet, kas ir "LAGRANGE METODE" citās vārdnīcās:
Lagranža metode- Lagranža metode ir metode vairāku matemātiskās programmēšanas problēmu klašu risināšanai, atrodot Lagranža funkcijas seglu punktu (x*, λ*), ko panāk, pielīdzinot nullei šīs funkcijas daļējos atvasinājumus attiecībā pret ... ... Ekonomikas un matemātikas vārdnīca
Lagranža metode- Metode vairāku matemātiskās programmēšanas uzdevumu klašu risināšanai, atrodot Lagranža funkcijas seglu punktu (x*, ?*), ko panāk, pielīdzinot šīs funkcijas daļējos atvasinājumus attiecībā pret xi un?i ar nulli. . Skaties Lagranžanu. )
