തുടർച്ചയായ ഒരു ഉദാഹരണമായി റാൻഡം വേരിയബിൾഇടവേളയിൽ (a; b) ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X പരിഗണിക്കുക. റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്ന് പറയപ്പെടുന്നു തുല്യമായി വിതരണം ചെയ്തു ഇടവേളയിൽ (a; b), ഈ ഇടവേളയിൽ അതിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രത സ്ഥിരമല്ലെങ്കിൽ:
നോർമലൈസേഷൻ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് നമ്മൾ സ്ഥിരമായ c യുടെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി കർവിന് കീഴിലുള്ള വിസ്തീർണ്ണം ഐക്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം, എന്നാൽ ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഇത് ബേസ് (ബി - α), ഉയരം സി (ചിത്രം 1) ഉള്ള ഒരു ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണമാണ്. 
അരി. 1 ഏകീകൃത വിതരണ സാന്ദ്രത
ഇവിടെ നിന്ന് നമ്മൾ സ്ഥിരമായ c യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു: 
അതിനാൽ, ഏകതാനമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്ദ്രത തുല്യമാണ് 
ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ വിതരണ പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്താം:
1) വേണ്ടി 
2) വേണ്ടി
3) 0+1+0=1 ന്.
അങ്ങനെ, 
വിതരണ പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായതും കുറയുന്നില്ല (ചിത്രം 2). 
അരി. 2 ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം
ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യംഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്ത റാൻഡം വേരിയബിൾഫോർമുല അനുസരിച്ച്:
യൂണിഫോം വിതരണത്തിൻ്റെ വ്യാപനംഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുകയും തുല്യമാണ്
ഉദാഹരണം നമ്പർ 1. അളക്കുന്ന ഉപകരണത്തിൻ്റെ സ്കെയിൽ ഡിവിഷൻ മൂല്യം 0.2 ആണ്. ഇൻസ്ട്രുമെൻ്റ് റീഡിംഗുകൾ അടുത്തുള്ള മുഴുവൻ ഡിവിഷനിലേക്ക് വൃത്താകൃതിയിലാണ്. കൗണ്ടിംഗ് സമയത്ത് ഒരു പിശക് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക: a) 0.04 ൽ കുറവ്; b) വലിയ 0.02
പരിഹാരം. റൌണ്ടിംഗ് പിശക് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, അടുത്തുള്ള പൂർണ്ണസംഖ്യാ ഡിവിഷനുകൾക്കിടയിലുള്ള ഇടവേളയിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. അത്തരമൊരു വിഭജനമായി നമുക്ക് ഇടവേള (0; 0.2) പരിഗണിക്കാം (ചിത്രം. a). ഇടത് ബോർഡർ - 0, വലത് - 0.2 എന്നിവയിലേക്ക് റൗണ്ടിംഗ് നടത്താം, അതായത് 0.04 നേക്കാൾ കുറവോ തുല്യമോ ആയ ഒരു പിശക് രണ്ട് തവണ ഉണ്ടാക്കാം, ഇത് പ്രോബബിലിറ്റി കണക്കാക്കുമ്പോൾ കണക്കിലെടുക്കണം: 
പി = 0.2 + 0.2 = 0.4
രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ, രണ്ട് ഡിവിഷൻ അതിരുകളിലും പിശക് മൂല്യം 0.02 കവിയാൻ കഴിയും, അതായത്, അത് 0.02-ൽ കൂടുതലോ 0.18-ൽ കുറവോ ആകാം. 
അപ്പോൾ ഇതുപോലുള്ള ഒരു പിശകിൻ്റെ സംഭാവ്യത:
ഉദാഹരണം നമ്പർ 2. കഴിഞ്ഞ 50 വർഷമായി രാജ്യത്തെ സാമ്പത്തിക സ്ഥിതിയുടെ സ്ഥിരത (യുദ്ധങ്ങളുടെ അഭാവം, പ്രകൃതിദുരന്തങ്ങൾ മുതലായവ) ജനസംഖ്യാ വിതരണത്തിൻ്റെ സ്വഭാവമനുസരിച്ച് പ്രായത്തിനനുസരിച്ച് വിഭജിക്കാമെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെട്ടു: ശാന്തമായ സാഹചര്യത്തിൽ അത് ആയിരിക്കണം ഒരേപോലെ. പഠനത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ഒരു രാജ്യത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഡാറ്റ ലഭിച്ചു.
രാജ്യത്ത് അസ്ഥിരതയുണ്ടെന്ന് വിശ്വസിക്കാൻ എന്തെങ്കിലും കാരണമുണ്ടോ?ഒരു കാൽക്കുലേറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ പരിഹാരം നടപ്പിലാക്കുന്നു. സൂചകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പട്ടിക.
| ഗ്രൂപ്പുകൾ | ഇടവേളയുടെ മധ്യഭാഗം, x i | അളവ്, എഫ് ഐ | x i * f i | സഞ്ചിത ആവൃത്തി, എസ് | |x - x av |*f | (x - x ശരാശരി) 2 *f | ഫ്രീക്വൻസി, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
ശരാശരി തൂക്കം
വ്യതിയാന സൂചകങ്ങൾ.
സമ്പൂർണ്ണ വ്യതിയാനങ്ങൾ.
പ്രൈമറി സീരീസ് സ്വഭാവത്തിൻ്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ് വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പരിധി.
R = X പരമാവധി - X മിനിറ്റ്
R = 70 - 0 = 70
വിസരണം- അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയുള്ള ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിൻ്റെ അളവ് (ചിതറിക്കലിൻ്റെ അളവ്, അതായത് ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം).
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ.
ശ്രേണിയുടെ ഓരോ മൂല്യവും ശരാശരി മൂല്യമായ 43-ൽ നിന്ന് 23.92-ൽ കൂടാത്ത വ്യത്യാസമുണ്ട്
വിതരണ തരത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അനുമാനങ്ങൾ പരിശോധിക്കുന്നു.
4. എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം പരിശോധിക്കുന്നു യൂണിഫോം വിതരണംപൊതു ജനസംഖ്യ.
X ൻ്റെ ഏകീകൃത വിതരണത്തെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം പരിശോധിക്കുന്നതിനായി, അതായത്. നിയമം അനുസരിച്ച്: f(x) = 1/(b-a) ഇടവേളയിൽ (a,b)
ആവശ്യമാണ്:
1. a, b എന്നീ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുക - ഇടവേളയുടെ അറ്റങ്ങൾ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ X, ഫോർമുലകൾ അനുസരിച്ച് (* ചിഹ്നം പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു):
2. പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രത കണ്ടെത്തുക f(x) = 1/(b * - a *)
3. സൈദ്ധാന്തിക ആവൃത്തികൾ കണ്ടെത്തുക:
n 1 = nP 1 = n = n*1/(b * - a *)*(x 1 - a *)
n 2 = n 3 = ... = n s-1 = n*1/(b * - a *)*(x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)*(b * - x s-1)
4. പിയേഴ്സൺ മാനദണ്ഡം ഉപയോഗിച്ച് അനുഭവപരവും സൈദ്ധാന്തികവുമായ ആവൃത്തികൾ താരതമ്യം ചെയ്യുക, സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം k = s-3 എടുക്കുന്നു, ഇവിടെ s എന്നത് പ്രാരംഭ സാംപ്ലിംഗ് ഇടവേളകളുടെ എണ്ണമാണ്; ചെറിയ ആവൃത്തികളുടെ സംയോജനമാണ്, അതിനാൽ ഇടവേളകൾ തന്നെ നടപ്പിലാക്കിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, സംയോജനത്തിന് ശേഷം ശേഷിക്കുന്ന ഇടവേളകളുടെ എണ്ണമാണ് s.
പരിഹാരം:
1. ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഏകീകൃത വിതരണത്തിൻ്റെ a *, b * എന്നീ പാരാമീറ്ററുകളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് കണ്ടെത്തുക:
2. അനുമാനിക്കപ്പെട്ട ഏകീകൃത വിതരണത്തിൻ്റെ സാന്ദ്രത കണ്ടെത്തുക:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. നമുക്ക് സൈദ്ധാന്തിക ആവൃത്തികൾ കണ്ടെത്താം:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0.0121(10-1.58) = 0.1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17
ശേഷിക്കുന്ന n കൾ ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| ഐ | എൻ ഐ | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2 / n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| ആകെ | 1 | 0.0532 |
അതിനാൽ, ഈ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിൻ്റെ നിർണായക മേഖല എല്ലായ്പ്പോഴും വലംകൈയായിരിക്കും: ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ അതിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രത സ്ഥിരമാണെങ്കിൽ പുറത്ത് അത് 0 ന് തുല്യമാണെങ്കിൽ (അതായത്, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്വിഭാഗത്തിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചു [ എ, ബി], അതിന് സ്ഥിരമായ സാന്ദ്രതയുണ്ട്). എഴുതിയത് ഈ നിർവചനംസെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെട്ട സാന്ദ്രത എ, ബി] റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്ഫോം ഉണ്ട്:
എവിടെ കൂടെഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയുണ്ട്. എന്നിരുന്നാലും, സെഗ്‌മെൻ്റിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്കായി പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയുടെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ്. എ,
ബി]:
. അത് പിന്തുടരുന്നു 
, എവിടെ 
. അതിനാൽ, സെഗ്‌മെൻ്റിൽ സാന്ദ്രത ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു [ എ,
ബി] റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്ഫോം ഉണ്ട്:
.
n.s.v യുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ ഏകീകൃതത വിലയിരുത്തുക. എക്സ്ഇനിപ്പറയുന്ന പരിഗണനകളിൽ നിന്ന് സാധ്യമാണ്. ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുണ്ട് യൂണിഫോം വിതരണംവിഭാഗത്തിൽ [ എ, ബി], ഇത് ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നിന്ന് മാത്രം മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നിന്നുള്ള ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയ്ക്ക് ഈ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യമാകാൻ കഴിയും എന്ന അർത്ഥത്തിൽ ഈ സെഗ്‌മെൻ്റിലെ മറ്റ് സംഖ്യകളേക്കാൾ ഒരു നേട്ടവുമില്ല.
ഒരു ഏകീകൃത വിതരണമുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളുകളിൽ ഒരു സ്റ്റോപ്പിലെ ഗതാഗതത്തിനുള്ള കാത്തിരിപ്പ് സമയം (സ്ഥിരമായ ട്രാഫിക് ഇടവേളയിൽ, കാത്തിരിപ്പ് കാലയളവ് ഈ ഇടവേളയിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു), ഒരു സംഖ്യയെ ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നതിലെ പിശക് (ഏകരൂപത്തിൽ) പോലുള്ള മൂല്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു. [−0.5-ന് മുകളിൽ വിതരണം ചെയ്തു , 0.5 ]) മറ്റുള്ളവരും.
വിതരണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തരം എഫ്(x)
എ,
ബി] റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്അറിയപ്പെടുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് തിരഞ്ഞു എഫ്(x)
അവരുടെ കണക്ഷനുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു 
. അനുബന്ധ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ ഫലമായി, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷനുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല നമുക്ക് ലഭിക്കും എഫ്(x)
ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്ത ഭാഗം [ എ,
ബി] റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്
:
.
കണക്കുകൾ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കുന്നു എഫ്(x) വിതരണ പ്രവർത്തനങ്ങളും എഫ്(x) ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്ത ഭാഗം [ എ, ബി] റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ് :
ഒരു ഏകീകൃത വിതരണ വിഭാഗത്തിൻ്റെ പ്രതീക്ഷ, വ്യത്യാസം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, മോഡ്, മീഡിയൻ [ എ, ബി] റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു എഫ്(x) സാധാരണ രീതിയിൽ (വളരെ ലളിതമായി കാരണം ലളിതമായ തരം എഫ്(x) ). ഫലം ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങളാണ്:
ഫാഷനും ഡി(എക്സ്) ഇടവേളയിലെ ഏതെങ്കിലും സംഖ്യയാണോ [ എ, ബി].
ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്ത ഒരു സെഗ്‌മെൻ്റിൽ എത്താനുള്ള സാധ്യത നമുക്ക് കണ്ടെത്താം [ എ,
ബി] റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്ഇടവേളയിൽ 
, പൂർണ്ണമായും ഉള്ളിൽ കിടക്കുന്നു [ എ,
ബി]. ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ അറിയപ്പെടുന്ന രൂപം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
അങ്ങനെ, ഒരു ഏകീകൃത വിതരണ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ തട്ടാനുള്ള സാധ്യത [ എ,
ബി] റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്ഇടവേളയിൽ 
, പൂർണ്ണമായും ഉള്ളിൽ കിടക്കുന്നു [ എ,
ബി], ഈ ഇടവേളയുടെ സ്ഥാനത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, എന്നാൽ അതിൻ്റെ ദൈർഘ്യത്തെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, ഈ ദൈർഘ്യത്തിന് നേരിട്ട് ആനുപാതികമാണ്.
ഉദാഹരണം. ബസ്സിൻ്റെ ഇടവേള 10 മിനിറ്റാണ്. ഒരു ബസ് സ്റ്റോപ്പിൽ എത്തുന്ന ഒരു യാത്രക്കാരൻ ബസ്സിനായി 3 മിനിറ്റിൽ താഴെ കാത്തിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? ഒരു ബസിനുള്ള ശരാശരി കാത്തിരിപ്പ് സമയം എത്രയാണ്?
സാധാരണ വിതരണം
പ്രകൃതി ശാസ്ത്രം, സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രം, മനഃശാസ്ത്രം, സാമൂഹ്യശാസ്ത്രം, സൈനിക ശാസ്ത്രം, തുടങ്ങി നിരവധി റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് അത്തരം ഒരു വിതരണം ഉള്ളതിനാൽ, ഈ വിതരണം മിക്കപ്പോഴും പ്രായോഗികമായി കണ്ടുമുട്ടുകയും പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലും ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലും അവയുടെ പ്രയോഗങ്ങളിലും അസാധാരണമായ പങ്ക് വഹിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഈ വിതരണം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്ന നിയമമാണ്, മറ്റ് പല വിതരണ നിയമങ്ങളും (ചില സ്വാഭാവിക സാഹചര്യങ്ങളിൽ) സമീപിക്കുന്നു. സാധാരണ വിതരണ നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, ഏതെങ്കിലും സ്വഭാവത്തിലുള്ള നിരവധി സ്വതന്ത്ര റാൻഡം ഘടകങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് വിധേയമാകുന്ന പ്രതിഭാസങ്ങളും അവയുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും നിയമവും വിവരിക്കുന്നു. നമുക്ക് നിർവചനങ്ങളിലേക്ക് പോകാം.
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിനെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂട്ട് ഓവർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു സാധാരണ നിയമം (അല്ലെങ്കിൽ ഗൗസിൻ്റെ നിയമം), അതിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിക്ക് ഫോം ഉണ്ടെങ്കിൽ:
,
അക്കങ്ങൾ എവിടെയാണ് എഒപ്പം σ (σ>0 ) എന്നിവയാണ് ഈ വിതരണത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ.
ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ ഗൗസിൻ്റെ നിയമത്തിന് നിരവധി പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. ഈ നിയമം അനുസരിച്ച്, ഉപകരണങ്ങളുടെ അളവെടുപ്പ് പിശകുകൾ, ഷൂട്ടിംഗ് സമയത്ത് ലക്ഷ്യത്തിൻ്റെ മധ്യത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം, നിർമ്മിച്ച ഭാഗങ്ങളുടെ അളവുകൾ, ആളുകളുടെ ഭാരം, ഉയരം, വാർഷിക മഴ, നവജാതശിശുക്കളുടെ എണ്ണം എന്നിവയും അതിലേറെയും വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.
സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന ഫോർമുലയിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ, രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. എഒപ്പം σ , അതിനാൽ ഈ പരാമീറ്ററുകളുടെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച് വ്യത്യാസപ്പെടുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു കുടുംബത്തെ നിർവചിക്കുന്നു. ഒരു സാധാരണ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയിലേക്ക് ഫംഗ്ഷനുകളും പ്ലോട്ടിംഗ് ഗ്രാഫുകളും പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര വിശകലനത്തിൻ്റെ സാധാരണ രീതികൾ ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനാകും.
അതിൻ്റെ ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളാണ്.
ലഭിച്ച വിവരങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഞങ്ങൾ ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നു എഫ്(x) സാധാരണ വിതരണം (ഇതിനെ ഗാസിയൻ കർവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു - ചിത്രം).
പരാമീറ്ററുകൾ മാറ്റുന്നത് എങ്ങനെ ബാധിക്കുമെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം എഒപ്പം σ ഗൗസിയൻ വക്രത്തിൻ്റെ ആകൃതിയിലേക്ക്. പരാമീറ്ററിലെ മാറ്റം വ്യക്തമാണ് (സാധാരണ വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്കുള്ള ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഇത് കാണാൻ കഴിയും) എവക്രത്തിൻ്റെ ആകൃതി മാറ്റില്ല, പക്ഷേ അച്ചുതണ്ടിലൂടെ വലത്തോട്ടോ ഇടത്തോട്ടോ അതിൻ്റെ മാറ്റത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു എക്സ്. ആശ്രിതത്വം σ കൂടുതൽ പ്രയാസമാണ്. മുകളിലെ പഠനത്തിൽ നിന്ന്, പരമാവധി മൂല്യവും ഇൻഫ്ലക്ഷൻ പോയിൻ്റുകളുടെ കോർഡിനേറ്റുകളും പാരാമീറ്ററിനെ എങ്ങനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എന്ന് വ്യക്തമാണ്. σ . കൂടാതെ, ഏതെങ്കിലും പാരാമീറ്ററുകൾക്കായി ഞങ്ങൾ അത് കണക്കിലെടുക്കണം എഒപ്പം σ ഗാസിയൻ വക്രത്തിന് കീഴിലുള്ള വിസ്തീർണ്ണം 1 ന് തുല്യമായി തുടരുന്നു (ഇത് പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രതയുടെ ഒരു പൊതു സ്വത്താണ്). മുകളിൽ പറഞ്ഞതിൽ നിന്ന്, വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് അത് പിന്തുടരുന്നു σ വക്രം പരന്നതായിത്തീരുകയും അച്ചുതണ്ടിൽ നീളുകയും ചെയ്യുന്നു എക്സ്. പരാമീറ്ററിൻ്റെ വ്യത്യസ്ത മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള ഗാസിയൻ കർവുകൾ ചിത്രം കാണിക്കുന്നു σ (σ 1 < σ< σ 2 ) അതേ പാരാമീറ്റർ മൂല്യവും എ.
പരാമീറ്ററുകളുടെ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് അർത്ഥം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം എഒപ്പം σ
സാധാരണ വിതരണം. സംഖ്യയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന ലംബ വരയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഇതിനകം തന്നെ ഗാസിയൻ വക്രത്തിൻ്റെ സമമിതിയിൽ നിന്ന് എഅച്ചുതണ്ടിൽ എക്സ്ശരാശരി മൂല്യം (അതായത് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ) എന്നത് വ്യക്തമാണ് M(X)) സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിന് തുല്യമാണ് എ. അതേ കാരണങ്ങളാൽ, മോഡും മീഡിയനും a എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കണം. ഉചിതമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചുള്ള കൃത്യമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഇത് സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ മുകളിൽ പറഞ്ഞ പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ എഫ്(x)
വ്യതിയാനത്തിനുള്ള ഫോർമുലയിൽ പകരം വയ്ക്കുക 
, പിന്നീട് ഇൻ്റഗ്രലിൻ്റെ (വളരെ സങ്കീർണ്ണമായ) കണക്കുകൂട്ടലിന് ശേഷം നമുക്ക് ഉത്തരത്തിൽ സംഖ്യ ലഭിക്കും σ
2
. അങ്ങനെ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനായി എക്സ്, സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്തു, ഇനിപ്പറയുന്ന പ്രധാന സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ ലഭിച്ചു:
അതിനാൽ, സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ പരാമീറ്ററുകളുടെ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് അർത്ഥം എഒപ്പം σ അടുത്തത്. എങ്കിൽ ആർ.വി. എക്സ്എഒപ്പം σ എ σ.
ഇനി നമുക്ക് വിതരണ പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്താം എഫ്(x)
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനായി എക്സ്, പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിക്ക് മുകളിലുള്ള എക്സ്പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു എഫ്(x)
ഫോർമുലയും 
. പകരം വയ്ക്കുമ്പോൾ എഫ്(x)
ഫലം ഒരു "അൺടേക്കൺ" ഇൻ്റഗ്രൽ ആണ്. പദപ്രയോഗം ലളിതമാക്കാൻ എന്തും ചെയ്യാം എഫ്(x),
ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ പ്രതിനിധാനം ഇതാണ്:
,
എവിടെ F(x)- വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ലാപ്ലേസ് പ്രവർത്തനം, ഫോം ഉള്ളത്
.
ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷൻ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന അവിഭാജ്യവും എടുത്തിട്ടില്ല (എന്നാൽ ഓരോന്നിനും എക്സ്ഈ അവിഭാജ്യഘടകം മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ചിട്ടുള്ള ഏത് കൃത്യതയോടെയും ഏകദേശം കണക്കാക്കാം). എന്നിരുന്നാലും, ഇത് കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, കാരണം പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഏതെങ്കിലും പാഠപുസ്തകത്തിൻ്റെ അവസാനം ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പട്ടികയുണ്ട്. F(x)ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിൽ എക്സ്. ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ നമുക്ക് ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ വിചിത്ര സ്വഭാവം ആവശ്യമാണ്: Ф(-х)=−F(x)എല്ലാ നമ്പറുകൾക്കും എക്സ്.
നമുക്ക് ഇപ്പോൾ സാധാരണ വിതരണം ചെയ്യുന്ന r.v എന്ന പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്താം. എക്സ്നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യാ ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഒരു മൂല്യം എടുക്കും (α, β) . വിതരണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പൊതുവായ ഗുണങ്ങളിൽ നിന്ന് Р(α< എക്സ്< β)= എഫ്(β) − എഫ്(α) . പകരം വയ്ക്കുന്നത് α ഒപ്പം β എന്നതിന് മുകളിലുള്ള പദപ്രയോഗത്തിലേക്ക് എഫ്(x) , നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
.
മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ, ആർ.വി. എക്സ്പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ വിതരണം ചെയ്യുന്നു എഒപ്പം σ , അപ്പോൾ അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം എ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ആണ് σ. അതുകൊണ്ടാണ് ശരാശരിഈ ആർവിയുടെ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യതിയാനം. നമ്പറിൽ നിന്ന് പരിശോധിച്ചപ്പോൾ എതുല്യമാണ് σ. എന്നാൽ ഇത് ശരാശരി വ്യതിയാനമാണ്. അതിനാൽ, വലിയ വ്യതിയാനങ്ങൾ സാധ്യമാണ്. ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് ചില വ്യതിയാനങ്ങൾ എങ്ങനെ സാധ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത നമുക്ക് കണ്ടെത്താം എക്സ്അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കുക എം(എക്സ്)=എഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയിൽ കുറവ് δ, അതായത്. ആർ(| എക്സ്− എ|<δ ): . അങ്ങനെ,
.
ഈ സമത്വത്തിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു δ=3σ, r.v യുടെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ സംഭാവ്യത നേടുന്നു. എക്സ്(ഒരു ടെസ്റ്റിൽ) ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് മൂന്നിരട്ടിയിൽ താഴെയായി വ്യതിചലിക്കും σ (ശരാശരി വ്യതിയാനത്തോടെ, നമ്മൾ ഓർക്കുന്നതുപോലെ, തുല്യമാണ് σ ): (അർത്ഥം F(3)ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് എടുത്തത്). ഇത് ഏതാണ്ട് 1 ! അപ്പോൾ വിപരീത സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത (മൂല്യത്തിൽ കുറയാതെ വ്യതിചലിക്കും 3σ) തുല്യമാണ് 1 −0.997=0.003 , വളരെ അടുത്താണ് 0 . അതിനാൽ, ഈ സംഭവം "ഏതാണ്ട് അസാധ്യമാണ്" − വളരെ അപൂർവ്വമായി സംഭവിക്കുന്നു (ശരാശരി 3 സമയം കഴിഞ്ഞു 1000 ). ഈ ന്യായവാദമാണ് അറിയപ്പെടുന്ന "ത്രീ സിഗ്മ റൂൾ" യുടെ യുക്തി.
ത്രീ സിഗ്മ നിയമം. സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ ഒരൊറ്റ ടെസ്റ്റിൽപ്രായോഗികമായി അതിൻ്റെ ശരാശരിയിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കുന്നില്ല 3σ.
നമ്മൾ ഒരു പരീക്ഷണത്തെക്കുറിച്ചാണ് സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് ഒരിക്കൽ കൂടി ഊന്നിപ്പറയാം. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ നിരവധി പരിശോധനകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ചില മൂല്യങ്ങൾ ശരാശരിയേക്കാൾ കൂടുതൽ നീങ്ങാൻ സാധ്യതയുണ്ട്. 3σ. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്നവ സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു
ഉദാഹരണം. സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ 100 ട്രയലുകളിൽ എന്താണ് സംഭാവ്യത എക്സ്അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും ശരാശരിയിൽ നിന്ന് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ മൂന്നിരട്ടിയിലധികം വ്യതിചലിക്കുമോ? 1000 ടെസ്റ്റുകളുടെ കാര്യമോ?
പരിഹാരം. സംഭവം നടക്കട്ടെ എഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ പരീക്ഷിക്കുമ്പോൾ എന്നാണ് എക്സ്അതിൻ്റെ മൂല്യം ശരാശരിയിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിച്ചു 3σ.ഇപ്പോൾ വ്യക്തമാക്കിയതുപോലെ, ഈ സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത p=P(A)=0.003.ഇത്തരത്തിലുള്ള 100 പരിശോധനകൾ നടത്തി. സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എസംഭവിച്ചു ഇത്രയെങ്കിലുംതവണ, അതായത്. നിന്ന് വന്നു 1 മുമ്പ് 100 ഒരിക്കല്. ഇത് പാരാമീറ്ററുകളുള്ള ഒരു സാധാരണ ബെർണൂലി സർക്യൂട്ട് പ്രശ്നമാണ് എൻ=100 (സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം), p=0.003(സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത എഒരു പരീക്ഷണത്തിൽ) q=1− പി=0.997 . കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് ആർ 100 (1≤ കെ≤100) . IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, തീർച്ചയായും, വിപരീത സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത ആദ്യം കണ്ടെത്തുന്നത് എളുപ്പമാണ് ആർ 100 (0) - സംഭവം നടക്കാനുള്ള സാധ്യത എഒരിക്കൽ പോലും സംഭവിച്ചില്ല (അതായത് 0 തവണ സംഭവിച്ചു). സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യതകളും അതിൻ്റെ വിപരീതവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:
അത്ര ചെറുതല്ല. ഇത് സംഭവിക്കാം (അത്തരത്തിലുള്ള ഓരോ നാലാമത്തെ ടെസ്റ്റ് പരമ്പരയിലും ശരാശരി സംഭവിക്കുന്നു). ചെയ്തത് 1000 ഒരേ സ്കീം ഉപയോഗിച്ചുള്ള പരിശോധനകൾ, കുറഞ്ഞത് ഒരു വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത അതിലും കൂടുതലാണെന്ന് ലഭിക്കും 3σ, തുല്യം:. അതിനാൽ, അത്തരം ഒരു വ്യതിയാനമെങ്കിലും നമുക്ക് വളരെ ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പ്രതീക്ഷിക്കാം.
ഉദാഹരണം. ഒരു നിശ്ചിത പ്രായത്തിലുള്ള പുരുഷന്മാരുടെ ഉയരം സാധാരണയായി ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയോടെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു എ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ σ . സ്യൂട്ടുകളുടെ എത്ര അനുപാതം കെഒരു നിശ്ചിത പ്രായത്തിലുള്ളവരുടെ മൊത്തം ഉൽപാദനത്തിൽ വളർച്ച ഉൾപ്പെടുത്തണം കെവളർച്ച ഇനിപ്പറയുന്ന പരിധികളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:
1 ഉയരം : 158 − 164 സെ.മീ 2ഉയരം : 164 - 170 സെ.മീ 3ഉയരം : 170 - 176 സെ.മീ 4ഉയരം : 176 - 182 സെ.മീ
പരിഹാരം. ഇനിപ്പറയുന്ന പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം: a=178,σ=6,കെ=3
. ആർ.വി. എക്സ്
−
ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു മനുഷ്യൻ്റെ ഉയരം (ഇത് നൽകിയിരിക്കുന്ന പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യുന്നു). ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ട ഒരു മനുഷ്യന് ആവശ്യമായ സംഭാവ്യത നമുക്ക് കണ്ടെത്താം 3
- ഉയരം. ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ വിചിത്രത ഉപയോഗിക്കുന്നു F(x)അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയും: പി(170
ഈ പ്രശ്നം വളരെക്കാലമായി വിശദമായി പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്, 1958 ൽ ജോർജ്ജ് ബോക്സ്, മെർവിൻ മുള്ളർ, ജോർജ്ജ് മാർസാഗ്ലിയ എന്നിവർ നിർദ്ദേശിച്ച ധ്രുവ കോർഡിനേറ്റ് രീതിയാണ് ഏറ്റവും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതി. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ 0 ഉം വേരിയൻസ് 1 ഉം ഉള്ള ഒരു ജോടി സ്വതന്ത്ര സാധാരണ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നേടാൻ ഈ രീതി നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:
Z 0, Z 1 എന്നിവ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യങ്ങളാണെങ്കിൽ, s = u 2 + v 2, കൂടാതെ u, v എന്നിവ ഇടവേളയിൽ (-1, 1) ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളാണ്, വ്യവസ്ഥ 0 തൃപ്തികരമാകുന്ന തരത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തു.< s < 1.
പലരും ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചിന്തിക്കാതെ തന്നെ ഉപയോഗിക്കുന്നു, കൂടാതെ പലരും അവരുടെ അസ്തിത്വത്തെ പോലും സംശയിക്കുന്നില്ല, കാരണം അവർ റെഡിമെയ്ഡ് നടപ്പിലാക്കലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാൽ ചോദ്യങ്ങളുള്ള ആളുകളുണ്ട്: “ഈ ഫോർമുല എവിടെ നിന്ന് വന്നു? എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് ഒരേസമയം രണ്ട് അളവ് ലഭിക്കുന്നത്? അടുത്തതായി, ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമായ ഉത്തരം നൽകാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കും.
ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ, വിപരീത ഫംഗ്ഷൻ എന്നിവ എന്താണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. ഒരു നിശ്ചിത റാൻഡം വേരിയബിൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, അതിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(x) ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കുന്നു, അതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
നൽകിയിരിക്കുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം ഇടവേളയിൽ (എ, ബി) ആയിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഷേഡുള്ള പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. തൽഫലമായി, മുഴുവൻ ഷേഡുള്ള പ്രദേശത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കണം, കാരണം ഏത് സാഹചര്യത്തിലും റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ വരും.
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ്റെ അവിഭാജ്യഘടകമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതിൻ്റെ ഏകദേശ രൂപം ഇതുപോലെയായിരിക്കും:
ഇവിടെ അർത്ഥം, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം, പ്രോബബിലിറ്റി ബി ഉള്ള എയേക്കാൾ കുറവായിരിക്കും. അതിൻ്റെ ഫലമായി, ഫംഗ്ഷൻ ഒരിക്കലും കുറയുന്നില്ല, അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഇടവേളയിലാണ്.
യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം അതിലേക്ക് കടത്തിവിട്ടാൽ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റ് യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് തിരികെ നൽകുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് വിപരീത ഫംഗ്ഷൻ. ഉദാഹരണത്തിന്, x 2 ഫംഗ്ഷൻ്റെ വിപരീതം റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്ന പ്രവർത്തനമാണ്, sin(x) ന് ഇത് ആർക്‌സിൻ(x) മുതലായവയാണ്.
ഒട്ടുമിക്ക സ്യൂഡോറാൻഡം നമ്പർ ജനറേറ്ററുകളും ഔട്ട്പുട്ടായി ഒരു ഏകീകൃത വിതരണം മാത്രമേ ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്നുള്ളൂ എന്നതിനാൽ, അതിനെ മറ്റേതെങ്കിലും ഒന്നിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാധാരണ ഗൗസിയന്:
ഒരു ഏകീകൃത വിതരണത്തെ മറ്റേതെങ്കിലും രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നതിനുള്ള എല്ലാ രീതികളുടെയും അടിസ്ഥാനം വിപരീത പരിവർത്തന രീതിയാണ്. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ആവശ്യമുള്ള വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തിന് വിപരീതമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തി, ഇടവേളയിൽ (0, 1) ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്യുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ അതിലേക്ക് ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റായി കൈമാറുന്നു. ഔട്ട്പുട്ടിൽ ആവശ്യമായ വിതരണത്തോടുകൂടിയ ഒരു മൂല്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം നൽകുന്നു.
അങ്ങനെ, ഒരു യൂണിഫോം സെഗ്മെൻ്റ്, പുതിയ വിതരണത്തിന് അനുസൃതമായി സ്മിയർ ചെയ്യുന്നു, ഒരു വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിലൂടെ മറ്റൊരു അക്ഷത്തിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ പ്രശ്നം, ഒരു ഗൗസിയൻ വിതരണത്തിൻ്റെ സാന്ദ്രതയുടെ അവിഭാജ്യഘടകം കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമല്ല, അതിനാൽ മുകളിൽ പറഞ്ഞ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് വഞ്ചിക്കേണ്ടിവന്നു.
ഒരു ചി-സ്ക്വയർ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ (പിയേഴ്സൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ) ഉണ്ട്, ഇത് k ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് നോർമൽ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വിതരണമാണ്. k = 2 ആയിരിക്കുമ്പോൾ, ഈ വിതരണം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ആണ്.
ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ക്രമരഹിതമായ X, Y കോർഡിനേറ്റുകൾ സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ കോർഡിനേറ്റുകളെ ധ്രുവവ്യവസ്ഥയിലേക്ക് (r, θ) പരിവർത്തനം ചെയ്ത ശേഷം, ആരത്തിൻ്റെ ചതുരം (ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റിലേക്കുള്ള ദൂരം) ദൂരത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായതിനാൽ (പൈതഗോറിയൻ നിയമം അനുസരിച്ച്) എക്സ്പോണൻഷ്യൽ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യും. വിമാനത്തിലെ അത്തരം പോയിൻ്റുകളുടെ വിതരണ സാന്ദ്രത ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:
എല്ലാ ദിശകളിലും തുല്യമായതിനാൽ, കോണിന് 0 മുതൽ 2π വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ ഒരു ഏകീകൃത വിതരണമുണ്ടാകും. സംഭാഷണവും ശരിയാണ്: നിങ്ങൾ രണ്ട് സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പോളാർ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു പോയിൻ്റ് നിർവചിക്കുകയാണെങ്കിൽ (ഒരു ആംഗിൾ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, ഒരു റേഡിയസ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലായി വിതരണം ചെയ്യുന്നു), ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ സ്വതന്ത്ര സാധാരണ ക്രമരഹിത വേരിയബിളുകളായിരിക്കും. ഒരേ വിപരീത പരിവർത്തന രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഏകീകൃതമായ ഒന്നിൽ നിന്ന് ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നേടുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. പോളാർ ബോക്സ്-മുള്ളർ രീതിയുടെ സാരാംശം ഇതാണ്.
ഇനി നമുക്ക് ഫോർമുലകൾ കണ്ടെത്താം.
(1)
r, θ എന്നിവ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഇടവേളയിൽ (0, 1) ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യുന്ന രണ്ട് ക്രമരഹിത വേരിയബിളുകൾ സൃഷ്ടിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (അവയെ നമുക്ക് u എന്നും v എന്നും വിളിക്കാം), അതിലൊന്നിൻ്റെ വിതരണം (v എന്ന് പറയാം) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യണം. ആരം നേടുക. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:
അതിൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനം ഇതാണ്:
യൂണിഫോം വിതരണം സമമിതിയായതിനാൽ, പരിവർത്തനം ഫംഗ്ഷനുമായി സമാനമായി പ്രവർത്തിക്കും
ചി-സ്ക്വയർ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് λ = 0.5. ഈ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് λ, v എന്നിവ മാറ്റി ദൂരത്തിൻ്റെ ചതുരം നേടുക, തുടർന്ന് ആരം തന്നെ:
യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റ് 2π ലേക്ക് നീട്ടിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ആംഗിൾ നേടുന്നു:
ഇപ്പോൾ നമ്മൾ r, θ എന്നിവ സൂത്രവാക്യങ്ങളാക്കി മാറ്റി (1) നേടുക:
(2)
ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതിനകം ഉപയോഗിക്കാൻ തയ്യാറാണ്. X ഉം Y ഉം സ്വതന്ത്രവും സാധാരണ ഗതിയിൽ 1 ൻ്റെ വ്യതിയാനവും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ 0 ഉം ആയിരിക്കും. മറ്റ് സ്വഭാവസവിശേഷതകളുള്ള ഒരു വിതരണം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫലത്തെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ചേർത്താൽ മതിയാകും.
എന്നാൽ ആംഗിൾ നേരിട്ട് അല്ല, വൃത്തത്തിലെ ഒരു റാൻഡം പോയിൻ്റിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി പരോക്ഷമായി വ്യക്തമാക്കുന്നതിലൂടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാം. തുടർന്ന്, ഈ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി, ആരം വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളം കണക്കാക്കാൻ കഴിയും, തുടർന്ന് യഥാക്രമം x ഉം y ഉം ഹരിച്ചുകൊണ്ട് കോസൈനും സൈനും കണ്ടെത്തുക. എങ്ങനെ, എന്തുകൊണ്ട് ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നു?
യൂണിറ്റ് റേഡിയസിൻ്റെ ഒരു സർക്കിളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്തിരിക്കുന്നവയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു റാൻഡം പോയിൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുത്ത് ഈ ബിന്ദുവിൻ്റെ ആരം വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരം s എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കാം:
ക്രമരഹിതമായ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ x, y എന്നിവ വ്യക്തമാക്കിക്കൊണ്ട്, ഇടവേളയിൽ (-1, 1) ഏകതാനമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ സർക്കിളിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത പോയിൻ്റുകളും റേഡിയസ് വെക്റ്ററിൻ്റെ കോണിലുള്ള കേന്ദ്ര പോയിൻ്റും നിരസിച്ചുകൊണ്ടാണ് തിരഞ്ഞെടുപ്പ് നടത്തുന്നത്. നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. അതായത്, വ്യവസ്ഥ 0 പാലിക്കണം< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
ലേഖനത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ നമുക്ക് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും. ഈ രീതിയുടെ പോരായ്മ ഇത് സർക്കിളിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത പോയിൻ്റുകൾ നിരസിക്കുന്നു എന്നതാണ്. അതായത്, ജനറേറ്റഡ് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ 78.5% മാത്രം ഉപയോഗിക്കുന്നു. പഴയ കമ്പ്യൂട്ടറുകളിൽ, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അഭാവം ഇപ്പോഴും ഒരു വലിയ നേട്ടമായിരുന്നു. ഇപ്പോൾ, ഒരു പ്രൊസസർ കമാൻഡ് ഒരു നിമിഷത്തിൽ സൈനും കോസൈനും കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഈ രീതികൾക്ക് ഇപ്പോഴും മത്സരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.
വ്യക്തിപരമായി, എനിക്ക് ഇപ്പോഴും രണ്ട് ചോദ്യങ്ങളുണ്ട്:
- എന്തുകൊണ്ടാണ് s-ൻ്റെ മൂല്യം തുല്യമായി വിതരണം ചെയ്യുന്നത്?
- രണ്ട് സാധാരണ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുക വൻതോതിൽ വിതരണം ചെയ്യുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?
ഒരു സാധാരണ റാൻഡം വേരിയബിളിന് സമാനമായ ഒരു പരിവർത്തനം നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ചതുരത്തിൻ്റെ സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനം ഒരു ഹൈപ്പർബോളയ്ക്ക് സമാനമായി മാറും. സാധാരണ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ രണ്ട് സ്ക്വയറുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഇരട്ട സംയോജനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രക്രിയയാണ്. ഫലം ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനായിരിക്കുമെന്ന വസ്തുത, എനിക്ക് വ്യക്തിപരമായി ഒരു പ്രായോഗിക രീതി ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കേണ്ടതുണ്ട് അല്ലെങ്കിൽ ഒരു സിദ്ധാന്തമായി അംഗീകരിക്കുക. താൽപ്പര്യമുള്ളവർക്കായി, ഈ പുസ്തകങ്ങളിൽ നിന്ന് അറിവ് നേടിക്കൊണ്ട് വിഷയം സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു:
- വെൻ്റ്സെൽ ഇ.എസ്. പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തം
- നട്ട് ഡി.ഇ. ആർട്ട് ഓഫ് പ്രോഗ്രാമിംഗ്, വാല്യം 2
ഉപസംഹാരമായി, ജാവാസ്ക്രിപ്റ്റിൽ സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം നമ്പർ ജനറേറ്റർ നടപ്പിലാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ:
ഫംഗ്ഷൻ Gauss() (var റെഡി = തെറ്റ്; var second = 0.0; this.next = ഫംഗ്ഷൻ (അർത്ഥം, ദേവ്) (അർത്ഥം = അർത്ഥം == നിർവചിക്കാത്തത് this.ready) ( this.ready = false; ഇത്.സെക്കൻഡ് * dev + അർത്ഥം തിരികെ നൽകുക; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. ക്രമരഹിതം () - 1.0; s = u * u + v * v; അതേസമയം (s > 1.0 || s == 0.0); .second = r * u; this.ready = true r * v * dev + mean ) g = new Gauss(); // ഒരു ഒബ്ജക്റ്റ് സൃഷ്ടിക്കുക a = g.next(); // ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിച്ച് ആദ്യത്തേത് നേടുക b = g.next(); // രണ്ടാമത്തെ c = g.next(); // ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങൾ വീണ്ടും സൃഷ്ടിച്ച് ആദ്യത്തേത് നേടുക
പാരാമീറ്ററുകൾ അർത്ഥം (ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ), ദേവ് (സാധാരണ വ്യതിയാനം) എന്നിവ ഓപ്ഷണലാണ്. ലോഗരിതം സ്വാഭാവികമാണെന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് ഞാൻ നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്നു.
