9. തുടർച്ചയായി ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം, അതിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ രണ്ട് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കാം. റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ൻ്റെ ഇൻ്റഗ്രൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻതുല്യതയാൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു 
.
ഇൻ്റഗ്രൽ ഫംഗ്ഷൻ നൽകുന്നു പൊതു രീതിവ്യതിരിക്തവും തുടർച്ചയായതുമായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ അസൈൻമെൻ്റുകൾ. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ. എല്ലാ ഇവൻ്റുകൾക്കും: ഈ ഇടവേളയിലെ ഇൻ്റഗ്രൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിന് തുല്യമായ ഒരേ പ്രോബബിലിറ്റി ഉണ്ട്, അതായത്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഉദാഹരണം 26-ൽ വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുള്ള ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിന്, നമുക്ക്:
അങ്ങനെ, പരിഗണനയിലുള്ള ഫംഗ്ഷൻ്റെ അവിഭാജ്യ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഗ്രാഫ് രണ്ട് കിരണങ്ങളുടെയും മൂന്ന് സെഗ്‌മെൻ്റുകളുടെയും ഓക്സ് അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമായ ഒരു യൂണിയനാണ്.
ഉദാഹരണം 27. ഇൻ്റഗ്രൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ വഴി തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X വ്യക്തമാക്കുന്നു
.
ഇൻ്റഗ്രൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് നിർമ്മിച്ച്, ടെസ്റ്റിൻ്റെ ഫലമായി, റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഇടവേളയിൽ (0.5;1.5) ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. ഇടവേളയിൽ 
ഗ്രാഫ് y = 0 എന്ന നേർരേഖയാണ്. 0 മുതൽ 2 വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ സമവാക്യം നൽകുന്ന ഒരു പരവലയമുണ്ട് 
. ഇടവേളയിൽ 
ഗ്രാഫ് y = 1 എന്ന നേർരേഖയാണ്.
പരിശോധനയുടെ ഫലമായി റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഇടവേളയിൽ (0.5;1.5) ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു.
അങ്ങനെ, .
ഇൻ്റഗ്രൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ:
മറ്റൊരു ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം നിർവചിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, അതായത്, പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷനുകൾ
.
റാൻഡം വേരിയബിൾ X അനുമാനിക്കുന്ന മൂല്യം ഇടവേളയ്ക്കുള്ളിൽ വരാനുള്ള സാധ്യത 
, തുല്യതയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു 
.
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനെ വിളിക്കുന്നു വിതരണ വക്രം. ജ്യാമിതീയമായി, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത, വിതരണ വക്രം, ഓക്സ് അച്ചുതണ്ട്, നേർരേഖകൾ എന്നിവയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന അനുബന്ധ കർവിലീനിയർ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്. 
.
പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണങ്ങൾ:
9.1 തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ
പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യംതുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ (ശരാശരി മൂല്യം) തുല്യതയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു 
.
M(X) എന്നത് സൂചിപ്പിക്കുന്നത് എ. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ഇതിന് സമാനമാണ് വ്യതിരിക്തമായ അളവ്, പ്രോപ്പർട്ടികൾ:
വ്യത്യാസംഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യംഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം, അതായത്. . തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിന്, വ്യതിയാനം ഫോർമുലയാണ് നൽകുന്നത് 
.
വിതരണത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്താൻ അവസാനത്തെ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കാൻ വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്.
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്ന ആശയം സമാനമായി അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു. തുടർച്ചയായതിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻറാൻഡം വേരിയബിൾ X നെ വേരിയൻസിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്. 
.
ഉദാഹരണം 28. ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X വ്യക്തമാക്കുന്നു 
ഇടവേളയിൽ (10;12), ഈ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത് ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം 0 ആണ്. കണ്ടെത്തുക 1) പരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം എ, 2) ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ M(X), വ്യതിയാനം 
, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, 3) ഇൻ്റഗ്രൽ ഫംഗ്ഷൻ 
കൂടാതെ ഇൻ്റഗ്രൽ, ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുക.
1). ഒരു പരാമീറ്റർ കണ്ടെത്താൻ എഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുക 
. നമുക്കത് കിട്ടും. അങ്ങനെ, 
.
2). ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു: , അതിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു 
.
ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തും: 
, അതായത്. .
ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണ്ടെത്താം: , അതിൽ നിന്നാണ് നമുക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നത് 
.
3). പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷനിലൂടെ ഇൻ്റഗ്രൽ ഫംഗ്ഷൻ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു: 
. അതിനാൽ, 
ചെയ്തത് 
, = 0 at 
u = 1 at 
.
ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 4. ഒപ്പം അത്തി. 5.
ചിത്രം.4 ചിത്രം.5.
9.2 തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ യൂണിഫോം പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ തുല്യമായിഈ ഇടവേളയിൽ അതിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രത സ്ഥിരവും ഈ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്ത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യവുമാണെങ്കിൽ ഇടവേളയിൽ, അതായത്. . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് കാണിക്കാൻ എളുപ്പമാണ് 
.
ഇടവേള എങ്കിൽ 
ഇടവേളയിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അപ്പോൾ 
.
ഉദാഹരണം 29.ഒരു മണിക്കും അഞ്ച് മണിക്കും ഇടയിൽ ഒരു തൽക്ഷണ സിഗ്നൽ ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കണം. സിഗ്നൽ കാത്തിരിപ്പ് സമയം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ആണ്. ഉച്ചയ്ക്ക് രണ്ടിനും മൂന്ന് മണിക്കും ഇടയിൽ സിഗ്നൽ കണ്ടെത്താനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. റാൻഡം വേരിയബിളായ X-ന് ഒരു ഏകീകൃത വിതരണമുണ്ട്, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഉച്ചയ്ക്ക് 2 മണിക്കും 3 മണിക്കും ഇടയിൽ സിഗ്നൽ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. 
.
വിദ്യാഭ്യാസത്തിലും മറ്റ് സാഹിത്യങ്ങളിലും, അവ പലപ്പോഴും സാഹിത്യത്തിൽ സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു 
.
9.3 തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധാരണ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ
ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ അതിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമം പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി അനുസരിച്ചാണെങ്കിൽ അതിനെ നോർമൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. 
. അത്തരം അളവുകൾക്ക് എ- പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം, 
- സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ.
സിദ്ധാന്തം. ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സംഭാവ്യത 
ഫോർമുല നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നു 
, എവിടെ 
- ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷൻ.
ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലമാണ് മൂന്നിൻ്റെ ഭരണംസിഗ്മ, അതായത്. സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന, തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഇടവേളയിൽ എടുക്കുമെന്ന് ഏതാണ്ട് ഉറപ്പാണ് 
. ഈ നിയമം ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞു വരാം 
, ഇത് രൂപപ്പെടുത്തിയ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്.
ഉദാഹരണം 30.സാധാരണ വിതരണ നിയമത്തിന് വിധേയമായി ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ആണ് ടിവിയുടെ ആയുസ്സ് വാറൻ്റി കാലയളവ് 15 വർഷവും 3 വർഷത്തെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും. ടിവി 10 മുതൽ 20 വർഷം വരെ നിലനിൽക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എ= 15, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ.
നമുക്ക് കണ്ടെത്താം . അങ്ങനെ, 10 മുതൽ 20 വർഷം വരെ പ്രവർത്തിക്കുന്ന ടിവിയുടെ സംഭാവ്യത 0.9 ൽ കൂടുതലാണ്.
9.4 ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വം
സംഭവിക്കുന്നത് ചെബിഷേവിൻ്റെ ലെമ്മ. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X നെഗറ്റീവല്ലാത്ത മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം എടുക്കുകയും ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുണ്ടെങ്കിൽ, ഏത് പോസിറ്റീവിനും വി
.
വിപരീത സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുക എന്ന നിലയിൽ, ഞങ്ങൾ അത് നേടുന്നു 
.
ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം. റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ന് പരിമിതമായ വ്യത്യാസമുണ്ടെങ്കിൽ 
കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ M(X), പിന്നെ ഏത് പോസിറ്റീവിനും 
അസമത്വം സത്യമാണ്
.
അത് എവിടെ നിന്നാണ് പിന്തുടരുന്നത് 
.
ഉദാഹരണം 31.ഒരു കൂട്ടം ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിച്ചു. ഭാഗങ്ങളുടെ ശരാശരി ദൈർഘ്യം 100 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണ്, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ 0.4 സെൻ്റീമീറ്റർ ആണ്. ക്രമരഹിതമായി എടുത്ത ഒരു ഭാഗത്തിൻ്റെ നീളം കുറഞ്ഞത് 99 സെൻ്റീമീറ്റർ ആകാനുള്ള സാധ്യതയ്ക്ക് താഴെ നിന്ന് കണക്കാക്കുക. കൂടാതെ 101 സെൻ്റിമീറ്ററിൽ കൂടരുത്.
പരിഹാരം. വ്യത്യാസം. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ 100 ആണ്. അതിനാൽ, പ്രസ്തുത സംഭവത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി താഴെ നിന്ന് കണക്കാക്കാൻ 
നമുക്ക് ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വം പ്രയോഗിക്കാം 
, പിന്നെ 
.
10. ഗണിത സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ ഘടകങ്ങൾ
സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അഗ്രഗേറ്റ്ഒരു കൂട്ടം ഏകതാനമായ വസ്തുക്കളുടെയോ പ്രതിഭാസങ്ങളുടെയോ പേര് നൽകുക. നമ്പർ പിഈ സെറ്റിൻ്റെ ഘടകങ്ങളെ ശേഖരത്തിൻ്റെ അളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങൾ 
X എന്ന സവിശേഷതയെ വിളിക്കുന്നു ഓപ്ഷനുകൾ. വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ക്രമത്തിലാണ് ഓപ്ഷനുകൾ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നതെങ്കിൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കും വ്യതിരിക്തമായ വ്യതിയാന പരമ്പര. ഗ്രൂപ്പിംഗിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ഇടവേളകൾ വഴിയുള്ള ഓപ്ഷൻ മാറുന്നു ഇടവേള വ്യതിയാന പരമ്പര. താഴെ ആവൃത്തി ടിതന്നിരിക്കുന്ന വേരിയൻ്റുള്ള ജനസംഖ്യയിലെ അംഗങ്ങളുടെ എണ്ണം സ്വഭാവ മൂല്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു.
ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പോപ്പുലേഷൻ്റെ ആവൃത്തിയും വോളിയവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതത്തെ വിളിക്കുന്നു ആപേക്ഷിക ആവൃത്തിഅടയാളം: 
.
ഓപ്ഷനുകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വ്യതിയാന പരമ്പരഅവയുടെ ആവൃത്തികളെ വിളിക്കുന്നു സാമ്പിളിൻ്റെ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് വിതരണം. സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ വിതരണത്തിൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ പ്രാതിനിധ്യം ആകാം ബഹുഭുജംആവൃത്തി
ഉദാഹരണം 32. 25 ഒന്നാം വർഷ വിദ്യാർത്ഥികളിൽ നടത്തിയ സർവേയിലൂടെ, അവരുടെ പ്രായത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഇനിപ്പറയുന്ന വിവരങ്ങൾ ലഭിച്ചു: 
. രചിക്കുക സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് വിതരണംപ്രായത്തിനനുസരിച്ച് വിദ്യാർത്ഥികൾ, വ്യതിയാനങ്ങളുടെ പരിധി കണ്ടെത്തുക, ഒരു ആവൃത്തി ബഹുഭുജം നിർമ്മിക്കുക, ആപേക്ഷിക ആവൃത്തികളുടെ വിതരണങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പര കംപൈൽ ചെയ്യുക.
പരിഹാരം. സർവേയിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ സാമ്പിളിൻ്റെ ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ വിതരണം സൃഷ്ടിക്കും
|
വേരിയേഷൻ സാമ്പിളിൻ്റെ പരിധി 23 – 17 = 6. ഒരു ഫ്രീക്വൻസി പോളിഗോൺ നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, കോർഡിനേറ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റുകൾ നിർമ്മിക്കുക 
അവയെ പരമ്പരയിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുക.
ആപേക്ഷിക ഫ്രീക്വൻസി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ സീരീസിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
|
10.1. വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ
ഫീച്ചർ X-ൻ്റെ ഫ്രീക്വൻസി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളുടെ ഒരു ശ്രേണിയിലൂടെ സാമ്പിൾ നൽകട്ടെ:
|
|
|
|
||
|
|
|
എല്ലാ ആവൃത്തികളുടെയും ആകെത്തുക തുല്യമാണ് പി.
സാമ്പിളിൻ്റെ ഗണിത ശരാശരിഅളവ് പേര് നൽകുക 
.
വ്യത്യാസംഅല്ലെങ്കിൽ അതിൻ്റെ ഗണിത ശരാശരിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഒരു സ്വഭാവം X ൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യാപനത്തിൻ്റെ അളവിനെ മൂല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു 
. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്നത് വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്, അതായത്. .
സാമ്പിളിൻ്റെ ഗണിത ശരാശരിയുമായുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ അനുപാതം, ശതമാനമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനെ വിളിക്കുന്നു ഗുണനഘടകം:
.
അനുഭവപരമായ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി വിതരണ പ്രവർത്തനംഓരോ മൂല്യത്തിനും ഇവൻ്റിൻ്റെ ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി നിർണ്ണയിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷൻ വിളിക്കുക 
, അതായത്. 
, എവിടെ 
- ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം, ചെറുത് എക്സ്, എ പി- സാമ്പിൾ വലിപ്പം.
ഉദാഹരണം 33.ഉദാഹരണം 32-ൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിൽ, സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ കണ്ടെത്തുക 
.
പരിഹാരം. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് സാമ്പിളിൻ്റെ ഗണിത ശരാശരി കണ്ടെത്താം, തുടർന്ന് .
X ൻ്റെ വ്യതിയാനം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:, അതായത്. സാമ്പിളിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ആണ് 
. വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഗുണകം ആണ് 
.
10.2 ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി പ്രകാരമുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി എസ്റ്റിമേഷൻ. ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള
അത് നടപ്പിലാക്കട്ടെ പിസ്വതന്ത്ര ട്രയലുകൾ, അവയിൽ ഓരോന്നിലും ഇവൻ്റ് എ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത സ്ഥിരവും തുല്യവുമാണ് ആർ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യത്തിൽ ഓരോ ട്രയലിലും ഇവൻ്റ് എ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യതയിൽ നിന്ന് ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി വ്യത്യസ്തമാകാനുള്ള സാധ്യത, ലാപ്ലേസ് ഇൻ്റഗ്രൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യത്തിൻ്റെ ഇരട്ടി മൂല്യത്തിന് ഏകദേശം തുല്യമാണ്: 
.
ഇടവേള കണക്കാക്കൽസ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പോപ്പുലേഷൻ്റെ കണക്കാക്കിയ പാരാമീറ്റർ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഇടവേളയുടെ അറ്റത്തുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന അത്തരമൊരു എസ്റ്റിമേറ്റ് വിളിക്കുക.
ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള
നൽകിയിട്ടുള്ള ഒരു ഇടവേള എന്ന് വിളിക്കുന്നു ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യത 
സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് ജനസംഖ്യയുടെ കണക്കാക്കിയ പാരാമീറ്റർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. അജ്ഞാത അളവ് ഞങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്ന ഫോർമുല കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ ആർഅതിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യത്തിലേക്ക് 
സാമ്പിൾ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 
. ആപേക്ഷിക ആവൃത്തി പ്രകാരം പ്രോബബിലിറ്റി കണക്കാക്കാൻ ഈ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു. നമ്പറുകൾ 
ഒപ്പം 
ലോവർ എന്നും യഥാക്രമം അപ്പർ എന്നും വിളിക്കുന്നു അതിരുകളെ വിശ്വസിക്കുക, - തന്നിരിക്കുന്ന കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ പരമാവധി പിശക് 
.
ഉദാഹരണം 34. ഫാക്ടറി വർക്ക്ഷോപ്പ് ലൈറ്റ് ബൾബുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു. 625 വിളക്കുകൾ പരിശോധിച്ചപ്പോൾ 40 എണ്ണത്തിൽ തകരാർ കണ്ടെത്തി. ഫാക്ടറി വർക്ക്ഷോപ്പ് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്ന വികലമായ ലൈറ്റ് ബൾബുകളുടെ ശതമാനം ഉള്ള അതിരുകൾ 0.95 എന്ന കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റിയോടെ കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. ചുമതലയുടെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്. ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു 
. അനുബന്ധത്തിൻ്റെ പട്ടിക 2 ഉപയോഗിച്ച്, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതിൽ ലാപ്ലേസ് ഇൻ്റഗ്രൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം 0.475 ന് തുല്യമാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു 
. അങ്ങനെ, . അതിനാൽ, വർക്ക്ഷോപ്പ് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്ന വൈകല്യങ്ങളുടെ പങ്ക് ഉയർന്നതാണെന്ന് 0.95 പ്രോബബിലിറ്റിയോടെ നമുക്ക് പറയാം, അതായത്, ഇത് 6.2% മുതൽ 6.6% വരെ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു.
10.3 സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കിലെ പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേഷൻ
പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള മുഴുവൻ ജനസംഖ്യയുടെയും ക്വാണ്ടിറ്റേറ്റീവ് സ്വഭാവം X അനുവദിക്കുക ( ജനസംഖ്യ) ഉണ്ട് സാധാരണ വിതരണം.
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ അറിയാമെങ്കിൽ, പിന്നെ ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എ 
, എവിടെ പി- സാമ്പിൾ വലിപ്പം, 
- സാമ്പിൾ ഗണിത ശരാശരി, ടിഎന്നതാണ് ലാപ്ലേസ് ഇൻ്റഗ്രൽ ഫംഗ്ഷൻ്റെ വാദം 
. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നമ്പർ 
എസ്റ്റിമേഷൻ കൃത്യത എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ അജ്ഞാതമാണെങ്കിൽ, സാമ്പിൾ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് ഒരു വിദ്യാർത്ഥി വിതരണമുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും പി- 1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യം, ഇത് ഒരു പാരാമീറ്റർ മാത്രം നിർണ്ണയിക്കുന്നു പികൂടാതെ അജ്ഞാതരെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എഒപ്പം . ചെറിയ സാമ്പിളുകൾക്ക് പോലും വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടി-വിതരണം 
തികച്ചും തൃപ്തികരമായ റേറ്റിംഗുകൾ നൽകുന്നു. തുടർന്ന് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള എനൽകിയിരിക്കുന്ന കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള ഈ ഫീച്ചറിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തി 
, ഇവിടെ S എന്നത് തിരുത്തിയ ശരാശരി ചതുരം ആണ്, 
- വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ഗുണകം, ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തി 
അനുബന്ധത്തിൻ്റെ പട്ടിക 3 ൽ നിന്ന്.
കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള ഈ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു: കൂടാതെ , എവിടെ 
മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്തി q
ഇതനുസരിച്ച് .
10.4 റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ തമ്മിലുള്ള ഡിപൻഡൻസികൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ രീതികൾ
X-ൽ Y യുടെ പരസ്പര ബന്ധ ആശ്രിതത്വം സോപാധിക ശരാശരിയുടെ പ്രവർത്തനപരമായ ആശ്രിതത്വമാണ് 
നിന്ന് എക്സ്.സമവാക്യം 
X-ൽ Y യുടെ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, ഒപ്പം 
- Y-ൽ X ൻ്റെ റിഗ്രഷൻ സമവാക്യം.
പരസ്പര ബന്ധ ആശ്രിതത്വം രേഖീയമോ വളഞ്ഞതോ ആകാം. ഒരു ലീനിയർ കോറിലേഷൻ ആശ്രിതത്വത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, നേരായ റിഗ്രഷൻ രേഖയുടെ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്: 
, എവിടെ ചരിവ് എ X-ലെ റിഗ്രഷൻ Y ൻ്റെ നേർരേഖയെ X-ലെ സാമ്പിൾ റിഗ്രഷൻ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് Y എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് സൂചിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു 
.
ചെറിയ സാമ്പിളുകൾക്കായി, ഡാറ്റ ഗ്രൂപ്പ് ചെയ്തിട്ടില്ല, പരാമീറ്ററുകൾ 
രീതി അനുസരിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു കുറഞ്ഞ ചതുരങ്ങൾസാധാരണ സമവാക്യങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൽ നിന്ന്:
, എവിടെ പി- പരസ്പരബന്ധിതമായ അളവുകളുടെ ജോഡി മൂല്യങ്ങളുടെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം.
സെലക്ടീവ് രേഖീയ ഗുണകംപരസ്പര ബന്ധങ്ങൾ 
Y ഉം X ഉം തമ്മിലുള്ള അടുത്ത ബന്ധം കാണിക്കുന്നു. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പരസ്പര ബന്ധ ഗുണകം കണ്ടെത്തുന്നു 
, ഒപ്പം 
, അതായത്:
X-ൽ Y എന്ന നേരായ റിഗ്രഷൻ രേഖയുടെ സാമ്പിൾ സമവാക്യത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:
.
X, Y സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ ധാരാളം നിരീക്ഷണങ്ങൾക്കൊപ്പം, ഒരേ മൂല്യമുള്ള രണ്ട് ഇൻപുട്ടുകളുള്ള ഒരു പരസ്പര ബന്ധ പട്ടിക സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. എക്സ്നിരീക്ഷിച്ചു 
സമയം, അതേ അർത്ഥം ചെയ്തത്നിരീക്ഷിച്ചു 
തവണ, ഒരേ ജോഡി 
നിരീക്ഷിച്ചു 
ഒരിക്കല്.
ഉദാഹരണം 35. X, Y ചിഹ്നങ്ങളുടെ നിരീക്ഷണ പട്ടിക നൽകിയിരിക്കുന്നു.
|
X-ൽ Y എന്ന നേരായ റിഗ്രഷൻ രേഖയുടെ സാമ്പിൾ സമവാക്യം കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം. പഠിച്ച സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം X-ൽ Y ൻ്റെ റിഗ്രഷൻ നേർരേഖയുടെ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് പ്രകടിപ്പിക്കാം: . സമവാക്യത്തിൻ്റെ ഗുണകങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ, നമുക്ക് ഒരു കണക്കുകൂട്ടൽ പട്ടിക ഉണ്ടാക്കാം:
നിരീക്ഷണ നമ്പർ. |
|
|
||
അധ്യായം 6. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ.
§ 1. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്ദ്രതയും വിതരണ പ്രവർത്തനവും.
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം കണക്കാക്കാനാവാത്തതും സാധാരണയായി ചില പരിമിതമോ അനന്തമോ ആയ ഇടവേളകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.
ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി സ്പേസിൽ (W, S, P) നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനെ x(w) എന്ന് വിളിക്കുന്നു തുടർച്ചയായ(തികച്ചും തുടർച്ചയായി) W, ഏതെങ്കിലും x-ന് വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ Fx(x) ഒരു അവിഭാജ്യമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ
പ്രവർത്തനത്തെ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു സംഭാവ്യത വിതരണ സാന്ദ്രത.
ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണങ്ങളെ നിർവചനം സൂചിപ്പിക്കുന്നു:
1..gif" width="97" height="51">
3. തുടർച്ചയുടെ പോയിൻ്റുകളിൽ, വിതരണ സാന്ദ്രത വിതരണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാണ്: .
4. ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, കാരണം ഇത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു:
5. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത പൂജ്യമാണ്: . അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വങ്ങൾ സാധുവാണ്:
ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനെ വിളിക്കുന്നു വിതരണ വക്രം, കൂടാതെ വിതരണ വക്രവും x-അക്ഷവും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശം ഏകത്വത്തിന് തുല്യമാണ്. തുടർന്ന്, ജ്യാമിതീയമായി, x0 പോയിൻ്റിലെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം Fx(x) എന്നത് വിതരണ വക്രവും abscissa അക്ഷവും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതും പോയിൻ്റ് x0 ൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് കിടക്കുന്നതുമായ പ്രദേശമാണ്.
ടാസ്ക് 1.തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
സ്ഥിരമായ C നിർണ്ണയിക്കുക, വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ Fx(x) നിർമ്മിക്കുകയും പ്രോബബിലിറ്റി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുക.
പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉള്ള അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് സ്ഥിരമായ C കണ്ടെത്തി:
എവിടെ നിന്ന് C=3/8.
ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ Fx(x) നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഇടവേള x (സംഖ്യാ അക്ഷം) ൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയെ മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">
അർദ്ധ അക്ഷത്തിലെ സാന്ദ്രത x പൂജ്യമായതിനാൽ. രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ
അവസാനമായി, അവസാന സന്ദർഭത്തിൽ, x>2,
അർദ്ധ അക്ഷത്തിൽ സാന്ദ്രത അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നതിനാൽ. അതിനാൽ, വിതരണ പ്രവർത്തനം ലഭിക്കുന്നു
സാധ്യത ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. അങ്ങനെ,
§ 2. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ
പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യംതുടർച്ചയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> എന്ന ഫോർമുല നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നു.
വലതുവശത്തുള്ള അവിഭാജ്യഘടകം പൂർണ്ണമായി ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ.
വിസരണം x ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം 
, കൂടാതെ, വ്യതിരിക്ത കേസിലെന്നപോലെ, ഫോർമുല https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> പ്രകാരം.
വ്യതിരിക്തമായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്കായി അദ്ധ്യായം 5-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെയും വ്യാപനത്തിൻ്റെയും എല്ലാ ഗുണങ്ങളും തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് സാധുവാണ്.
പ്രശ്നം 2. പ്രശ്നം 1-ൽ നിന്നുള്ള റാൻഡം വേരിയബിൾ x-ന്, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും കണക്കാക്കുക .
പരിഹാരം.
അതിനർത്ഥം
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
സാന്ദ്രത ഗ്രാഫ് യൂണിഫോം വിതരണംഅത്തിപ്പഴം കാണുക. .
ചിത്രം.6.2. വിതരണ പ്രവർത്തനവും വിതരണ സാന്ദ്രതയും. ഏകീകൃത നിയമം
ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ Fx(x) തുല്യമാണ്
Fx(x)= 
പ്രതീക്ഷയും വ്യത്യാസവും; .
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ (എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ) വിതരണം.തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ x-ന് നോൺ-നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുമ്പോൾ, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന് തുല്യമാണെങ്കിൽ, പാരാമീറ്റർ l>0 ഉള്ള ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനുണ്ട്.
рx(x)= 
അരി. 6.3 എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ നിയമത്തിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനവും വിതരണ സാന്ദ്രതയും.
എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷന് ഫോം ഉണ്ട്
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> അതിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രത തുല്യമാണെങ്കിൽ
.
ത്രൂ എന്നത് പാരാമീറ്ററുകളും പാരാമീറ്ററുകളും ഉള്ള ഒരു സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്ന എല്ലാ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെയും സെറ്റിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം തുല്യമാണ്
.
അരി. 6.4 വിതരണ പ്രവർത്തനവും സാധാരണ വിതരണ സാന്ദ്രതയും
സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ് https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ എപ്പോൾ https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> സാധാരണ വിതരണത്തെ വിളിക്കുന്നു സ്റ്റാൻഡേർഡ്, കൂടാതെ അത്തരം വിതരണങ്ങളുടെ ക്ലാസ്സിനെ https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> സൂചിപ്പിക്കുന്നു,
വിതരണ ചടങ്ങും
അത്തരമൊരു സമഗ്രത വിശകലനപരമായി കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല (ഇത് "ക്വാഡ്രേച്ചറിൽ" എടുത്തിട്ടില്ല), അതിനാൽ പ്രവർത്തനത്തിനായി പട്ടികകൾ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. ചാപ്റ്റർ 4-ൽ അവതരിപ്പിച്ച ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ് ഈ പ്രവർത്തനം
,
ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം വഴി 
. അനിയന്ത്രിതമായ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ റിലേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:
.
അതിനാൽ, സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ ഒരു ഇടവേളയിലേക്ക് വീഴാനുള്ള സാധ്യത ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം.
.
ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് റാൻഡം വേരിയബിൾ x അതിൻ്റെ ലോഗരിതം h=lnx സാധാരണ നിയമം അനുസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ അതിനെ ലോഗ്നോർമലി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ലോഗ്നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഡ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യവും വ്യതിയാനവും Mx=, Dx= എന്നിവയാണ്.
ടാസ്ക് 3.ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന് https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> നൽകാം.
പരിഹാരം.ഇവിടെ https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
ലാപ്ലേസ് വിതരണം fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> എന്ന ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു, കുർട്ടോസിസ് gx=3 ആണ്.
ചിത്രം.6.5. ലാപ്ലേസ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ.
റാൻഡം വേരിയബിൾ x വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു വെയ്ബുള്ളിൻ്റെ നിയമം, അതിന് https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> എന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു വിതരണ സാന്ദ്രത ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ
Weibull ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പല സാങ്കേതിക ഉപകരണങ്ങളുടെയും പരാജയ രഹിത പ്രവർത്തന സമയത്തെ നിയന്ത്രിക്കുന്നു. ഈ പ്രൊഫൈലിൻ്റെ ചുമതലകളിൽ പ്രധാന സ്വഭാവം l(t)= എന്ന ബന്ധത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ട പ്രായമായ t-യുടെ പഠന ഘടകങ്ങളുടെ പരാജയ നിരക്ക് (മരണനിരക്ക്) l(t) ആണ്. a=1 ആണെങ്കിൽ, Weibull ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനിലേക്കും, a=2 ആണെങ്കിൽ - ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിലേക്കും മാറുന്നു. റെയ്ലീ.
Weibull വിതരണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, ഇവിടെ Г(а) ആണ് യൂലർ ചടങ്ങ്.
IN വിവിധ ജോലികൾപ്രായോഗിക സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ, "ചുരുക്കപ്പെട്ട" വിതരണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ പലപ്പോഴും കണ്ടുമുട്ടാറുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, നികുതി നിയമങ്ങളാൽ സ്ഥാപിതമായ ഒരു നിശ്ചിത പരിധി c0 കവിയുന്ന വാർഷിക വരുമാനമുള്ള വ്യക്തികളുടെ വരുമാന വിതരണത്തിൽ നികുതി അധികാരികൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. ഈ വിതരണങ്ങൾ പാരെറ്റോ വിതരണവുമായി ഏകദേശം ഒത്തുപോകുന്നു. പാരെറ്റോ വിതരണംഫംഗ്ഷനുകൾ വഴി നൽകിയിരിക്കുന്നു
Fx(x)=P(x
ഇവിടെ https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
ടാസ്ക് 4.ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്ദ്രത കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം.പ്രശ്നസാഹചര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു
അടുത്തതായി, പ്രവർത്തനം ഒരു ഇടവേളയിൽ ഒരു മോണോടോണും ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്ഷനും ആണ്, കൂടാതെ ഒരു വിപരീത പ്രവർത്തനവുമുണ്ട് 
, ആരുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയതിനാൽ,
§ 5. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ജോടി
x, h എന്നീ രണ്ട് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ ജോഡി (x, h) വിമാനത്തിൽ ഒരു "റാൻഡം" പോയിൻ്റ് നിർവചിക്കുന്നു. ജോഡി (x, h) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ക്രമരഹിതമായ വെക്റ്റർഅഥവാ ദ്വിമാന റാൻഡം വേരിയബിൾ.
സംയുക്ത വിതരണ പ്രവർത്തനംറാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവയും ഫംഗ്‌ഷനെ F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംയുക്ത സാന്ദ്രതറാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവയുടെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനെ അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു 
.
സംയുക്ത വിതരണ സാന്ദ്രതയുടെ ഈ നിർവചനത്തിൻ്റെ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്. ഒരു "റാൻഡം പോയിൻ്റ്" (x, h) ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു മേഖലയിലേക്ക് വീഴാനുള്ള സാധ്യത ഒരു ത്രിമാന രൂപത്തിൻ്റെ വോളിയമായി കണക്കാക്കുന്നു - ഉപരിതലത്തിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു "കർവിലീനിയർ" സിലിണ്ടർ https://pandia.ru/ വാചകം/78/107/images/image098_3 വീതി = "211" ഉയരം = "39 src=">
രണ്ട് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സംയുക്ത വിതരണത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം ദ്വിമാനമാണ് സെറ്റിൽ യൂണിഫോം വിതരണംഎ. ഒരു ബൗണ്ടഡ് സെറ്റ് എം നൽകട്ടെ, ഇത് ജോഡിയുടെ (x, h) വിതരണമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന സംയുക്ത സാന്ദ്രതയാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:
ടാസ്ക് 5.ഒരു ദ്വിമാന റാൻഡം വെക്റ്റർ (x, h) ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടട്ടെ. അസമത്വത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത x>h കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം.സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ് (ചിത്രം നമ്പർ കാണുക?). ദ്വിമാന ഏകീകൃത വിതരണത്തിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ക്രമരഹിതമായ ചരങ്ങളുടെ സംയുക്ത സാന്ദ്രത x, h തുല്യമാണ്
ഒരു ഇവൻ്റ് ഒരു സെറ്റുമായി യോജിക്കുന്നു 
ഒരു വിമാനത്തിൽ, അതായത് ഒരു പകുതി വിമാനത്തിൽ. അപ്പോൾ സാധ്യത
അർദ്ധ-തലം B-യിൽ, ജോയിൻ്റ് ഡെൻസിറ്റി സെറ്റിന് പുറത്ത് പൂജ്യമാണ് https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. അങ്ങനെ, അർദ്ധ-തലം ബി രണ്ട് സെറ്റുകളായി വിഭജിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു കൂടാതെ https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> ഒപ്പം , രണ്ടാമത്തെ അവിഭാജ്യവും തുല്യമാണ് പൂജ്യം, അവിടെ സംയുക്ത സാന്ദ്രത പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ. അതുകൊണ്ടാണ്
ഒരു ജോഡിക്ക് (x, h) സംയുക്ത വിതരണ സാന്ദ്രത നൽകിയാൽ, x, h എന്നീ രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെയും സാന്ദ്രതയെ വിളിക്കുന്നു. സ്വകാര്യ സാന്ദ്രതസൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
തുടർച്ചയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് സാന്ദ്രത рx(х), рh(у), സ്വാതന്ത്ര്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത്
ടാസ്ക് 6.മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ, ക്രമരഹിതമായ വെക്റ്റർ x, h എന്നിവയുടെ ഘടകങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക?
പരിഹാരം. നമുക്ക് ഭാഗിക സാന്ദ്രതയും കണക്കാക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
വ്യക്തമായും, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> എന്നത് x, h, j( എന്നീ അളവുകളുടെ സംയുക്ത സാന്ദ്രതയാണ്. x, y) രണ്ട് ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അപ്പോൾ
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
ടാസ്ക് 7.മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ, കണക്കുകൂട്ടുക .
പരിഹാരം.മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:
.
ത്രികോണത്തെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. തുടർച്ചയായ രണ്ട് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സാന്ദ്രത
x, h എന്നിവ സാന്ദ്രതയുള്ള സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ആകട്ടെ https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്ദ്രത x + h എന്നത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത് കൺവ്യൂഷൻ
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. തുകയുടെ സാന്ദ്രത കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം.എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ നിയമം അനുസരിച്ച് പാരാമീറ്ററിനൊപ്പം വിതരണം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, അവയുടെ സാന്ദ്രത തുല്യമാണ്
അതിനാൽ,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
x ആണെങ്കിൽ<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ . അതിനാൽ, https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101"> എങ്കിൽ
അങ്ങനെ ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> സാധാരണയായി 0, 1 പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x1, x2 എന്നിവ സ്വതന്ത്രവും സാധാരണവുമാണ് യഥാക്രമം a1, a2 എന്നീ പാരാമീറ്ററുകളുള്ള വിതരണങ്ങൾ, x1, x2, ... xn എന്ന ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾക്ക് ഒരേ വിതരണ സാന്ദ്രത ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കുക.
.
മൂല്യങ്ങളുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനവും സാന്ദ്രതയും കണ്ടെത്തുക:
a) h1 = മിനിറ്റ് (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = പരമാവധി (x1,x2, ... xn)
റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x1, x2, ... xn സ്വതന്ത്രവും [a, b] ഇടവേളയിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യുന്നതുമാണ്. അളവുകളുടെ വിതരണങ്ങളുടെ വിതരണ പ്രവർത്തനങ്ങളും സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനങ്ങളും കണ്ടെത്തുക
x(1) = മിനിറ്റ് (x1,x2, ... xn) കൂടാതെ x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> എന്ന് തെളിയിക്കുക.
റാൻഡം വേരിയബിൾ കൗച്ചിയുടെ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു കണ്ടെത്തുക: a) ഗുണകം a; ബി) വിതരണ പ്രവർത്തനം; സി) ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത (-1, 1). x ൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ നിലവിലില്ലെന്ന് കാണിക്കുക. റാൻഡം വേരിയബിൾ l (l>0) എന്ന പരാമീറ്റർ ഉള്ള ലാപ്ലേസിൻ്റെ നിയമത്തിന് വിധേയമാണ്: ഗുണകം a കണ്ടെത്തുക; വിതരണ സാന്ദ്രത ഗ്രാഫുകളും വിതരണ പ്രവർത്തനങ്ങളും നിർമ്മിക്കുക; Mx, Dx എന്നിവ കണ്ടെത്തുക; സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്തുക (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്കായി ഒരു ഫോർമുല എഴുതുക, Mx, Dx എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജോലികൾ.
ഒരു റാൻഡം പോയിൻ്റ് A ന് R ആരത്തിൻ്റെ ഒരു വൃത്തത്തിൽ ഒരു ഏകീകൃത വിതരണമുണ്ട്. വൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രത്തിലേക്കുള്ള പോയിൻ്റിൻ്റെ r ദൂരത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യത്യാസവും കണ്ടെത്തുക. മൂല്യം r2 സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്തിട്ടുണ്ടെന്ന് കാണിക്കുക. 
റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്: 
സ്ഥിരമായ C, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x), പ്രോബബിലിറ്റി എന്നിവ കണക്കാക്കുക 
റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്: 
സ്ഥിരമായ C, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x), പ്രോബബിലിറ്റി എന്നിവ കണക്കാക്കുക 
റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്: 
സ്ഥിരമായ C, വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ F(x), വ്യതിയാനം, പ്രോബബിലിറ്റി എന്നിവ കണക്കാക്കുക 
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്ദ്രത കണക്കാക്കുക, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ, വ്യതിയാനം, പ്രോബബിലിറ്റി എന്നിവ ഫംഗ്ഷൻ = എന്ന് പരിശോധിക്കുക 
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കാം. ഈ അളവിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ കണ്ടെത്തുക: Mx, Dx. ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. വിതരണ സാന്ദ്രത എഴുതുക. വിതരണ പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്തുക. സെഗ്‌മെൻ്റിലും സെഗ്‌മെൻ്റിലും ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ വീഴാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. വിതരണ സാന്ദ്രത x തുല്യമാണ്
.
സ്ഥിരമായ c, വിതരണ സാന്ദ്രത h = പ്രോബബിലിറ്റി എന്നിവ കണ്ടെത്തുക
പി (0.25 ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിൻ്റെ പരാജയ രഹിത പ്രവർത്തന സമയം l = 0.05 (മണിക്കൂറിൽ പരാജയങ്ങൾ) എന്ന പാരാമീറ്റർ ഉള്ള ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു, അതായത്, ഇതിന് ഒരു സാന്ദ്രത ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട്. p(x) = ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് 15 മിനിറ്റ് നേരത്തേക്ക് മെഷീൻ്റെ കുഴപ്പമില്ലാത്ത പ്രവർത്തനം ആവശ്യമാണ്. ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു പരാജയം സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരിഹാരം പൂർത്തിയാക്കിയതിനുശേഷം മാത്രമേ പിശക് കണ്ടെത്തുകയുള്ളൂ, പ്രശ്നം വീണ്ടും പരിഹരിക്കപ്പെടും. കണ്ടെത്തുക: a) പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു പരാജയം പോലും സംഭവിക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത; b) പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന ശരാശരി സമയം. 24 സെൻ്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു വടി രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു; ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റ് വടിയുടെ മുഴുവൻ നീളത്തിലും തുല്യമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. മിക്ക വടിയുടെയും ശരാശരി നീളം എത്രയാണ്? 12 സെൻ്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു ഭാഗം ക്രമരഹിതമായി രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു. കട്ട് പോയിൻ്റ് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മുഴുവൻ നീളത്തിലും തുല്യമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ചെറിയ ഭാഗത്തിൻ്റെ ശരാശരി ദൈർഘ്യം എന്താണ്? ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രത കണ്ടെത്തുക a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = . x-ന് തുടർച്ചയായ വിതരണ പ്രവർത്തനം ഉണ്ടെങ്കിൽ കാണിക്കുക F(x) = P(x സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലെ ഏകീകൃത വിതരണ നിയമങ്ങളോടെ യഥാക്രമം x, h എന്നീ രണ്ട് സ്വതന്ത്ര അളവുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനവും വിതരണ പ്രവർത്തനവും കണ്ടെത്തുക. ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ സ്വതന്ത്രവും യഥാക്രമം സെഗ്‌മെൻ്റുകളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. x+h തുകയുടെ സാന്ദ്രത കണക്കാക്കുക. ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ സ്വതന്ത്രവും യഥാക്രമം സെഗ്‌മെൻ്റുകളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. x+h തുകയുടെ സാന്ദ്രത കണക്കാക്കുക. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ സ്വതന്ത്രവും യഥാക്രമം സെഗ്‌മെൻ്റുകളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. x+h തുകയുടെ സാന്ദ്രത കണക്കാക്കുക. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ സ്വതന്ത്രമാണ് കൂടാതെ സാന്ദ്രതയോടുകൂടിയ ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനുമുണ്ട് വിതരണ പ്രവർത്തനംറാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എഫ്(എക്സ്), ഓരോന്നിനും പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു എക്സ്റാൻഡം വേരിയബിൾ ആകാനുള്ള സാധ്യത എക്സ്എന്നതിനേക്കാൾ കുറഞ്ഞ മൂല്യം എടുക്കും എക്സ്:. ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(എക്സ്) ചിലപ്പോൾ വിളിക്കുന്നു സമഗ്ര വിതരണ പ്രവർത്തനം,അഥവാ വിതരണത്തിൻ്റെ സമഗ്ര നിയമം. ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം എക്സ്വിളിച്ചു തുടർച്ചയായ, അതിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഏതെങ്കിലും ഘട്ടത്തിൽ തുടർച്ചയായതും എല്ലായിടത്തും വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ഒരുപക്ഷേ, വ്യക്തിഗത പോയിൻ്റുകളിൽ ഒഴികെ. ഉദാഹരണങ്ങൾതുടർച്ചയായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ: ഒരു നിശ്ചിത വലുപ്പത്തിലേക്ക് ടർണർ തിരിയുന്ന ഭാഗത്തിൻ്റെ വ്യാസം, ഒരു വ്യക്തിയുടെ ഉയരം, ഒരു പ്രൊജക്റ്റൈലിൻ്റെ ഫ്ലൈറ്റ് ശ്രേണി മുതലായവ. സിദ്ധാന്തം.തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും വ്യക്തിഗത മൂല്യത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത പൂജ്യമാണ് അനന്തരഫലം.എങ്കിൽ എക്സ്ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, തുടർന്ന് ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ സംഭാവ്യത ഇടവേളയിൽ വീഴുന്നു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണെങ്കിൽ എക്സ്തമ്മിലുള്ള മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ എടുക്കാൻ കഴിയൂ എമുമ്പ് ബി(എവിടെ എഒപ്പം ബി- ചില സ്ഥിരാങ്കങ്ങൾ), അപ്പോൾ അതിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ എല്ലാ ഗുണങ്ങളും തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ വിതരണ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്കായി സംതൃപ്തമാണ്. ഒരു ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ വ്യക്തമാക്കുന്നത് ഒരേയൊരു മാർഗ്ഗമല്ല. സാധ്യത സാന്ദ്രത
(വിതരണ സാന്ദ്രതഅഥവാ സാന്ദ്രത)
ആർ(എക്സ്) തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്അതിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ആർ(എക്സ്), അതുപോലെ വിതരണ ചടങ്ങും എഫ്(എക്സ്), വിതരണ നിയമത്തിൻ്റെ ഒരു രൂപമാണ്, എന്നാൽ വിതരണ ഫംഗ്‌ഷനിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, ഇത് നിലവിലുണ്ട് തുടർച്ചയായക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ. പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയെ ചിലപ്പോൾ വിളിക്കാറുണ്ട് ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ, അല്ലെങ്കിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമം. പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഗ്രാഫിനെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ കർവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്രോപ്പർട്ടികൾതുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി: അരി. 8.1 അരി. 8.2 4.
ജ്യാമിതീയമായി, പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയുടെ സവിശേഷതകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് - ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ കർവ് - അബ്‌സിസ്സ അക്ഷത്തിന് താഴെയല്ല, കൂടാതെ വിതരണ വക്രവും അബ്‌സിസ്സ അക്ഷവും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തിൻ്റെ മൊത്തം വിസ്തീർണ്ണം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. ഉദാഹരണം 8.1.ഒരു ഇലക്ട്രിക് ക്ലോക്കിൻ്റെ മിനിറ്റ് സൂചി ഓരോ മിനിറ്റിലും കുതിച്ചു ചാടുന്നു. നീ വാച്ചിലേക്ക് നോക്കി. അവർ കാണിക്കുന്നു എമിനിറ്റ്. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിശ്ചിത നിമിഷത്തിലെ യഥാർത്ഥ സമയം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളായിരിക്കും. അതിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്തുക. പരിഹാരം.വ്യക്തമായും, യഥാർത്ഥ സമയ വിതരണ പ്രവർത്തനം എല്ലാവർക്കും 0 ന് തുല്യമാണ് കുറിച്ച് അരി. 8.3 ഉദാഹരണം 8.2.ചില റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷനാണോ ഫംഗ്ഷൻ പരിഹാരം. ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെതാണ് തുല്യതകളും നിലനിർത്തുന്നു: അതിനാൽ, പ്രവർത്തനം ഉദാഹരണം 8.3.ചില റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷനാണോ ഫംഗ്ഷൻ പരിഹാരം.ഈ ഫംഗ്ഷൻ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷനല്ല, കാരണം അരി. 8.5 ഉദാഹരണം 8.4.ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം എക്സ്വിതരണ ചടങ്ങിൽ നൽകിയത് ഗുണകം കണ്ടെത്തുക എറാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയും എക്സ്. അസമത്വത്തിൻ്റെ സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുക പരിഹാരം.വിതരണ സാന്ദ്രത വിതരണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാണ് ഗുണകം എസമത്വം ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു ഫംഗ്ഷൻ്റെ തുടർച്ച ഉപയോഗിച്ച് അതേ ഫലം ലഭിക്കും അതിനാൽ, അതിനാൽ പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രതയ്ക്ക് രൂപമുണ്ട് സാധ്യത ഉദാഹരണം 8.5.ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം എക്സ്ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഉണ്ട് (കൗച്ചി നിയമം) ഗുണകം കണ്ടെത്തുക എറാൻഡം വേരിയബിൾ ആകാനുള്ള സാധ്യതയും എക്സ്ഇടവേളയിൽ നിന്ന് കുറച്ച് മൂല്യം എടുക്കും പരിഹാരം.നമുക്ക് ഗുണകം കണ്ടെത്താം എസമത്വത്തിൽ നിന്ന് അതിനാൽ, അതിനാൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ആകാനുള്ള സാധ്യത എക്സ്ഇടവേളയിൽ നിന്ന് കുറച്ച് മൂല്യം എടുക്കും ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം നമുക്ക് കണ്ടെത്താം പി അരി. 8.6 പരിഹാരം.ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച്, നൽകിയിരിക്കുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റിക്ക് വേണ്ടിയുള്ള അനലിറ്റിക്കൽ എക്സ്പ്രഷൻ ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു. നമുക്ക് വിതരണ പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്താം. എങ്കിൽ എങ്കിൽ എങ്കിൽ എങ്കിൽ അതിനാൽ, വിതരണ പ്രവർത്തനത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്
അധ്യായം 1. ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ
§
1. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ആശയങ്ങൾ. ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം. നിർവ്വചനം
: റാൻഡം എന്നത്, പരിശോധനയുടെ ഫലമായി, മുൻകൂട്ടി അറിയാത്തതും ക്രമരഹിതമായ കാരണങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച്, സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു കൂട്ടത്തിൽ നിന്ന് ഒരു മൂല്യം മാത്രം എടുക്കുന്ന ഒരു അളവാണ്. രണ്ട് തരം റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ഉണ്ട്: വ്യതിരിക്തവും തുടർച്ചയായതും. നിർവ്വചനം
: റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്ന് വിളിക്കുന്നു വ്യതിരിക്തമായ
(തുടരാത്തത്) അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണം പരിമിതമോ അനന്തമോ ആണെങ്കിൽ, എന്നാൽ എണ്ണാവുന്നതാണെങ്കിൽ. മറ്റൊരു വാക്കിൽ, സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ പുനർനമ്പർ ചെയ്യാം. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനെ അതിൻ്റെ വിതരണ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കാം. നിർവ്വചനം
: ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളും അവയുടെ സാധ്യതകളും തമ്മിലുള്ള കത്തിടപാടുകൾ വിളിക്കുക. ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വിതരണ നിയമം ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ വ്യക്തമാക്കാം, ആദ്യ വരിയിൽ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ആരോഹണ ക്രമത്തിലും രണ്ടാമത്തെ വരിയിൽ ഇവയുടെ അനുബന്ധ സാധ്യതകളും സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. മൂല്യങ്ങൾ, അതായത്. ഇവിടെ р1+ р2+…+ рn=1 അത്തരമൊരു പട്ടികയെ ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ ശ്രേണി എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം അനന്തമാണെങ്കിൽ, p1+ p2+...+ pn+... പരമ്പരകൾ ഒത്തുചേരുകയും അതിൻ്റെ ആകെത്തുക 1 ന് തുല്യമായിരിക്കും. ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വിതരണ നിയമം ഗ്രാഫിക്കായി ചിത്രീകരിക്കാം, അതിനായി ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ഒരു തകർന്ന ലൈൻ നിർമ്മിക്കുന്നു, തുടർച്ചയായി പോയിൻ്റുകളെ കോർഡിനേറ്റുകളുമായി ബന്ധിപ്പിക്കുന്നു (xi; pi), i=1,2,…n. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന വരിയെ വിളിക്കുന്നു വിതരണ ബഹുഭുജം
(ചിത്രം 1). ഓർഗാനിക് കെമിസ്ട്രി" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">ഓർഗാനിക് കെമിസ്ട്രി യഥാക്രമം 0.7 ഉം 0.8 ഉം ആണ്. റാൻഡം വേരിയബിളായ X-നായി ഒരു വിതരണ നിയമം തയ്യാറാക്കുക - വിദ്യാർത്ഥി വിജയിക്കുന്ന പരീക്ഷകളുടെ എണ്ണം. പരിഹാരം.
പരീക്ഷയുടെ ഫലമായി പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ X ന് ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങളിൽ ഒന്ന് എടുക്കാം: x1=0, x2=1, x3=2. ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src="> അതിനാൽ, റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വിതരണ നിയമം പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു: നിയന്ത്രണം: 0.6+0.38+0.56=1. §
2. വിതരണ പ്രവർത്തനം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പൂർണ്ണമായ വിവരണവും ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ നൽകുന്നു. നിർവ്വചനം: ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം
ഒരു ഫംഗ്ഷൻ F(x) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഇത് ഓരോ മൂല്യത്തിനും x റാൻഡം വേരിയബിൾ X x-നേക്കാൾ കുറഞ്ഞ മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു: F(x)=P(X<х) ജ്യാമിതീയമായി, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷനെ, റാൻഡം വേരിയബിൾ X, സംഖ്യാരേഖയിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന മൂല്യത്തെ പോയിൻ്റ് x-ൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് കിടക്കുന്ന ഒരു ബിന്ദു കൊണ്ട് എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയായി വ്യാഖ്യാനിക്കപ്പെടുന്നു.
1)0≤ F(x) ≤1; 2) F(x) എന്നത് (-∞;+∞) എന്നതിലെ കുറയാത്ത പ്രവർത്തനമാണ്; 3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) പോയിൻ്റുകളിൽ ഇടതുവശത്ത് തുടർച്ചയായും മറ്റെല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും തുടർച്ചയായും; 4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞, F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞. ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വിതരണ നിയമം ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ: അപ്പോൾ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x) ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> x≤ x1-ന് 0, x1-ൽ р1< х≤ x2, x2-ൽ F(x)= r1 + r2< х≤ х3 x>xn-ന് 1. അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 2 ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു: §
3. ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ. ഒരു പ്രധാന സംഖ്യാ സവിശേഷതകളിൽ ഒന്ന് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്. നിർവ്വചനം: ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ M(X)
ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്നത് അതിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും അവയുടെ അനുബന്ധ സാധ്യതകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്: M(X) =
∑ xiri= x1р1 + x2р2+…+ xnрn ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെ സ്വഭാവമാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ സവിശേഷതകൾ:
1)M(C)=C, ഇവിടെ C എന്നത് ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്; 2)M(C X)=C M(X), 3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y); 4)M(X Y)=M(X) M(Y), ഇവിടെ X, Y സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളാണ്; 5)M(X±C)=M(X)±C, ഇവിടെ C എന്നത് ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്; ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യാപനത്തിൻ്റെ അളവ് വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഡിസ്പർഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു. നിർവ്വചനം:
വ്യത്യാസം
ഡി
(
എക്സ്
)
റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്നത് അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്:
വിസർജ്ജന സവിശേഷതകൾ:
1)D(C)=0, ഇവിടെ C എന്നത് ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്; 2)D(X)>0, ഇവിടെ X ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്; 3)D(C X)=C2 D(X), ഇവിടെ C എന്നത് ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമാണ്; 4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), ഇവിടെ X, Y സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളാണ്; വേരിയൻസ് കണക്കാക്കാൻ, ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നത് പലപ്പോഴും സൗകര്യപ്രദമാണ്: D(X)=M(X2)-(M(X))2, ഇവിടെ M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn D(X) എന്ന വ്യതിയാനത്തിന് ഒരു ചതുരാകൃതിയിലുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ അളവുണ്ട്, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും സൗകര്യപ്രദമല്ല. അതിനാൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യാപനത്തിൻ്റെ സൂചകമായും √D(X) മൂല്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു. നിർവ്വചനം: സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ σ(X)
റാൻഡം വേരിയബിൾ X നെ വേരിയൻസിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമെന്ന് വിളിക്കുന്നു: ടാസ്ക് നമ്പർ 2.ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ X വിതരണ നിയമം വ്യക്തമാക്കുന്നു: P2, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x) കണ്ടെത്തി അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ്, അതുപോലെ M(X), D(X), σ(X) എന്നിവ കണ്ടെത്തുക. പരിഹാരം:
റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുക 1 ന് തുല്യമായതിനാൽ Р2=1- (0.1+0.3+0.2+0.3)=0.1 ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x)=P(X) കണ്ടെത്താം ജ്യാമിതീയമായി, ഈ തുല്യതയെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വ്യാഖ്യാനിക്കാം: x എന്ന പോയിൻ്റിൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് കിടക്കുന്ന ഒരു പോയിൻ്റ് ഉപയോഗിച്ച് സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന മൂല്യത്തെ റാൻഡം വേരിയബിൾ എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയാണ് F(x). x≤-1 ആണെങ്കിൽ, F(x)=0, കാരണം (-∞;x) ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു മൂല്യം പോലും ഇല്ല; എങ്കിൽ -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; 0 ആണെങ്കിൽ<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) x1=-1, x2=0 എന്നിങ്ങനെ രണ്ട് മൂല്യങ്ങളുണ്ട്; എങ്കിൽ 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; എങ്കിൽ 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; x>3 ആണെങ്കിൽ, F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0.1 +0.1 +0.3+0.2+0.3=1, കാരണം നാല് മൂല്യങ്ങൾ x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 ഇടവേള (-∞;x), x5=3 എന്നിവയിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> x≤-1-ൽ, 0.1 മുതൽ -1 വരെ<х≤0, 0 ന് 0.2<х≤1, F(x)= 0.5 at 1<х≤2, 2 മണിക്ക് 0.7<х≤3, 1-ൽ x>3 നമുക്ക് F(x) ഫംഗ്‌ഷനെ ഗ്രാഫിക്കായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം (ചിത്രം 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845. §
4. ബൈനോമിയൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമം ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ, പോയിസൺസ് നിയമം. നിർവ്വചനം: ദ്വിപദം
ഒരു ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വിതരണ നിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു - n സ്വതന്ത്ര ആവർത്തിച്ചുള്ള ട്രയലുകളിൽ ഇവൻ്റ് A യുടെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം, ഓരോ ഇവൻ്റിലും A പ്രോബബിലിറ്റി p ഉപയോഗിച്ച് സംഭവിക്കാം അല്ലെങ്കിൽ q = 1-p പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ ഉണ്ടാകില്ല. തുടർന്ന് P(X=m) - n ട്രയലുകളിൽ കൃത്യമായി m തവണ A ഇവൻ്റ് ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ബെർണൂലി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m ഒരു ബൈനറി നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, ചിതറിക്കൽ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്നിവ യഥാക്രമം സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> ഇവൻ്റ് A- യുടെ പ്രോബബിലിറ്റി - ഓരോ ട്രയലിലും “ഒരു ഫൈവ് റോളിംഗ്” എന്നത് 1/6 ന് തുല്യമാണ് , അതായത് P(A)=p=1/6, പിന്നെ P(A)=1-p=q=5/6, എവിടെ - "എ ലഭിക്കുന്നതിൽ പരാജയം." റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ന് ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം: 0;1;2;3. ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് X ൻ്റെ സാധ്യമായ ഓരോ മൂല്യങ്ങളുടെയും പ്രോബബിലിറ്റി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. അത്. റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വിതരണ നിയമത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്: നിയന്ത്രണം: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, ടാസ്ക് നമ്പർ 4.ഒരു ഓട്ടോമാറ്റിക് മെഷീൻ ഭാഗങ്ങൾ സ്റ്റാമ്പ് ചെയ്യുന്നു. നിർമ്മിച്ച ഭാഗം തകരാറിലാകാനുള്ള സാധ്യത 0.002 ആണ്. തിരഞ്ഞെടുത്ത 1000 ഭാഗങ്ങളിൽ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക: a) 5 വികലമായ; b) കുറഞ്ഞത് ഒരെണ്ണമെങ്കിലും വികലമാണ്. പരിഹാരം:
n=1000 എന്ന സംഖ്യ വലുതാണ്, ഒരു വികലമായ ഭാഗം p=0.002 ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ചെറുതാണ്, കൂടാതെ പരിഗണനയിലിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകൾ (ഭാഗം വികലമാണെന്ന് തെളിഞ്ഞു) സ്വതന്ത്രമാണ്, അതിനാൽ പോയിസൺ ഫോർമുല നിലനിർത്തുന്നു: Рn(m)= ഇ-
λ
λm നമുക്ക് λ=np=1000 0.002=2 കണ്ടെത്താം. a) 5 വികലമായ ഭാഗങ്ങൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക (m=5): 1000(5)= ഇ-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) കുറഞ്ഞത് ഒരു വികലമായ ഭാഗമെങ്കിലും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. ഇവൻ്റ് എ - "തിരഞ്ഞെടുത്ത ഭാഗങ്ങളിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും വികലമാണ്" വിപരീത സംഭവം- "തിരഞ്ഞെടുത്ത എല്ലാ ഭാഗങ്ങളും വികലമല്ല, അതിനാൽ, P(A) = 1-P(). അതിനാൽ ആവശ്യമായ പ്രോബബിലിറ്റി ഇതിന് തുല്യമാണ്: P(A)=1-P1000(0)=1- ഇ-2
20
= 1- ഇ-2=1-0.13534≈0.865. സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള ചുമതലകൾ.
1.1
1.2.
ഡിസ്‌പേസ്ഡ് റാൻഡം വേരിയബിൾ X വിതരണ നിയമം വ്യക്തമാക്കുന്നു: p4, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(X) കണ്ടെത്തി അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ്, അതുപോലെ M(X), D(X), σ(X) എന്നിവ കണ്ടെത്തുക. 1.3.
ബോക്സിൽ 9 മാർക്കറുകൾ ഉണ്ട്, അതിൽ 2 എണ്ണം ഇനി എഴുതില്ല. ക്രമരഹിതമായി 3 മാർക്കറുകൾ എടുക്കുക. റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്നത് എടുത്തവയിലെ റൈറ്റിംഗ് മാർക്കറുകളുടെ എണ്ണമാണ്. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം വരയ്ക്കുക. 1.4.
ഒരു ലൈബ്രറി ഷെൽഫിൽ ക്രമരഹിതമായി ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന 6 പാഠപുസ്തകങ്ങളുണ്ട്, അവയിൽ 4 എണ്ണം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ലൈബ്രേറിയൻ ക്രമരഹിതമായി 4 പാഠപുസ്തകങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്നത് എടുത്തവയിൽ ബൈൻഡ് ചെയ്ത പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം വരയ്ക്കുക. 1.5.
ടിക്കറ്റിൽ രണ്ട് ജോലികൾ ഉണ്ട്. ആദ്യത്തെ പ്രശ്നം ശരിയായി പരിഹരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.9 ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് 0.7 ആണ്. റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്നത് ടിക്കറ്റിലെ ശരിയായി പരിഹരിച്ച പ്രശ്നങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. ഒരു വിതരണ നിയമം വരയ്ക്കുക, ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും കണക്കാക്കുക, കൂടാതെ വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ F(x) കണ്ടെത്തി അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക. 1.6.
മൂന്ന് ഷൂട്ടർമാർ ഒരു ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് വെടിവയ്ക്കുന്നു. ഒരു ഷോട്ട് കൊണ്ട് ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യത ആദ്യ ഷൂട്ടറിന് 0.5, രണ്ടാമത്തേതിന് 0.8, മൂന്നാമത്തേതിന് 0.7 എന്നിങ്ങനെയാണ്. റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്നത് ഷൂട്ടർമാർ ഒരു സമയം വെടിയുതിർത്താൽ ടാർഗെറ്റിലെ ഹിറ്റുകളുടെ എണ്ണമാണ്. വിതരണ നിയമം, M(X),D(X) കണ്ടെത്തുക. 1.7.
ഒരു ബാസ്‌ക്കറ്റ്‌ബോൾ കളിക്കാരൻ 0.8 ഓരോ ഷോട്ടും അടിക്കാനുള്ള സാധ്യതയോടെ പന്ത് ബാസ്‌ക്കറ്റിലേക്ക് എറിയുന്നു. ഓരോ ഹിറ്റിനും, അയാൾക്ക് 10 പോയിൻ്റുകൾ ലഭിക്കും, അവൻ നഷ്‌ടപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, അയാൾക്ക് പോയിൻ്റുകളൊന്നും നൽകില്ല. റാൻഡം വേരിയബിൾ X-നായി ഒരു വിതരണ നിയമം വരയ്ക്കുക - 3 ഷോട്ടുകളിൽ ഒരു ബാസ്‌ക്കറ്റ്‌ബോൾ കളിക്കാരന് ലഭിച്ച പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം. M(X),D(X), കൂടാതെ അയാൾക്ക് 10 പോയിൻ്റിൽ കൂടുതൽ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യതയും കണ്ടെത്തുക. 1.8.
കാർഡുകളിൽ അക്ഷരങ്ങൾ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, ആകെ 5 സ്വരാക്ഷരങ്ങളും 3 വ്യഞ്ജനാക്ഷരങ്ങളും. 3 കാർഡുകൾ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്തു, ഓരോ തവണയും എടുത്ത കാർഡ് തിരികെ നൽകും. റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്നത് എടുത്തവയിലെ സ്വരാക്ഷരങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ്. ഒരു വിതരണ നിയമം വരച്ച് M(X),D(X),σ(X) കണ്ടെത്തുക. 1.9.
ശരാശരി, 60% കരാറുകൾ ഇൻഷ്വറൻസ് കമ്പനിഒരു ഇൻഷ്വർ ചെയ്ത ഇവൻ്റിൻ്റെ സംഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇൻഷുറൻസ് തുകകൾ നൽകുന്നു. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത നാല് കരാറുകളിൽ ഇൻഷുറൻസ് തുക അടച്ച കരാറുകളുടെ എണ്ണം - റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ന് വേണ്ടി ഒരു വിതരണ നിയമം തയ്യാറാക്കുക. ഈ അളവിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ കണ്ടെത്തുക. 1.10.
രണ്ട്-വഴി ആശയവിനിമയം സ്ഥാപിക്കുന്നത് വരെ റേഡിയോ സ്റ്റേഷൻ ചില ഇടവേളകളിൽ കോൾ അടയാളങ്ങൾ (നാലിൽ കൂടരുത്) അയയ്ക്കുന്നു. ഒരു കോൾ ചിഹ്നത്തിന് പ്രതികരണം ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.3 ആണ്. അയച്ച കോൾ ചിഹ്നങ്ങളുടെ എണ്ണമാണ് റാൻഡം വേരിയബിൾ X. ഒരു വിതരണ നിയമം വരച്ച് F(x) കണ്ടെത്തുക. 1.11.
3 കീകൾ ഉണ്ട്, അതിൽ ഒന്ന് മാത്രം ലോക്കിന് അനുയോജ്യമാണ്. പരീക്ഷിച്ച കീ തുടർന്നുള്ള ശ്രമങ്ങളിൽ പങ്കെടുക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ, ലോക്ക് തുറക്കാനുള്ള ശ്രമങ്ങളുടെ ക്രമരഹിതമായ X-സംഖ്യയുടെ വിതരണത്തിനായി ഒരു നിയമം വരയ്ക്കുക. M(X),D(X) കണ്ടെത്തുക. 1.12.
വിശ്വാസ്യതയ്ക്കായി മൂന്ന് ഉപകരണങ്ങളുടെ തുടർച്ചയായ സ്വതന്ത്ര പരിശോധനകൾ നടത്തുന്നു. മുമ്പത്തേത് വിശ്വസനീയമാണെന്ന് തെളിഞ്ഞാൽ മാത്രമേ തുടർന്നുള്ള ഓരോ ഉപകരണവും പരിശോധിക്കൂ. ഓരോ ഉപകരണത്തിനും ടെസ്റ്റ് വിജയിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത 0.9 ആണ്. പരീക്ഷിച്ച ഉപകരണങ്ങളുടെ റാൻഡം വേരിയബിളായ X-നമ്പറിനായി ഒരു വിതരണ നിയമം വരയ്ക്കുക. 1.13
.ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ന് മൂന്ന് സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുണ്ട്: x1=1, x2, x3, x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
ഇലക്ട്രോണിക് ഉപകരണ ബ്ലോക്കിൽ 100 സമാന ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. T സമയത്ത് ഓരോ മൂലകവും പരാജയപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത 0.002 ആണ്. ഘടകങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. T സമയത്ത് രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ഘടകങ്ങൾ പരാജയപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. 1.15.
50,000 കോപ്പികളുടെ പ്രചാരത്തിൽ പാഠപുസ്തകം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. പാഠപുസ്തകം തെറ്റായി ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.0002 ആണ്. രക്തചംക്രമണത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തുക: എ) നാല് വികലമായ പുസ്തകങ്ങൾ, b) വികലമായ രണ്ടിൽ താഴെ പുസ്തകങ്ങൾ. 1
.16.
ഓരോ മിനിറ്റിലും PBX-ൽ എത്തുന്ന കോളുകളുടെ എണ്ണം λ=1.5 എന്ന പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് Poisson's നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഒരു മിനിറ്റിനുള്ളിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ വരാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക: a) രണ്ട് കോളുകൾ; b) കുറഞ്ഞത് ഒരു കോളെങ്കിലും. 1.17.
Z=3X+Y ആണെങ്കിൽ M(Z),D(Z) കണ്ടെത്തുക. 1.18.
രണ്ട് സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ വിതരണ നിയമങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു: Z=X+2Y ആണെങ്കിൽ M(Z),D(Z) കണ്ടെത്തുക. ഉത്തരങ്ങൾ:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0.4; x≤-2-ൽ 0, 0.3 മുതൽ -2 വരെ<х≤0, F(x)= 0-ൽ 0.5<х≤2, 2 മണിക്ക് 0.9<х≤5, 1-ൽ x>5 -1 ന് 0.3<х≤0, 0 ന് 0.4<х≤1, F(x)= 0.6 at 1<х≤2, 2 മണിക്ക് 0.7<х≤3, 1-ൽ x>3 M(X)=1; D(X)=2.6; σ(X) ≈1.612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> x≤0-ൽ, 0 ന് 0.03<х≤1, F(x)= 0.37 at 1<х≤2, x>2 ന് 1 M(X)=2; D(X)=0.62 M(X)=2.4; D(X)=0.48, P(X>10)=0.896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2.4; D(X)=0.96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1.22 ഇ-0.2≈0.999 1.15.
a)0.0189; b) 0.00049 1.16.
a)0.0702; b)0.77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. അദ്ധ്യായം 2. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ
നിർവ്വചനം: തുടർച്ചയായി
സംഖ്യാരേഖയുടെ പരിമിതമോ അനന്തമോ ആയ സ്പാൻ പൂർണ്ണമായും പൂരിപ്പിക്കുന്ന സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളെയും അവർ ഒരു അളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വ്യക്തമായും, തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ എണ്ണം അനന്തമാണ്. ഒരു ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ വ്യക്തമാക്കാം. നിർവ്വചനം:എഫ് വിതരണ പ്രവർത്തനം
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X-നെ F(x) എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് ഓരോ മൂല്യത്തിനും xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ആർ വിതരണ ഫംഗ്‌ഷനെ ചിലപ്പോൾ ക്യുമുലേറ്റീവ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വിതരണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ:
1)1≤ F(x) ≤1 2) ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിന്, വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ ഏത് ഘട്ടത്തിലും തുടർച്ചയായും എല്ലായിടത്തും വ്യത്യസ്തമാണ്, ഒരുപക്ഷേ, വ്യക്തിഗത പോയിൻ്റുകളിൽ ഒഴികെ. 3) ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഇടവേളകളിൽ ഒന്നിലേക്ക് വീഴാനുള്ള സാധ്യത (a;b), [a;b], [a;b], F(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്. എ, ബി പോയിൻ്റുകളിൽ, അതായത്. ആർ(എ)<Х 4) തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഒരു പ്രത്യേക മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത 0 ആണ്. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 ഒരു ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ വ്യക്തമാക്കുന്നത് ഒരേയൊരു മാർഗ്ഗമല്ല. പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി (ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി) എന്ന ആശയം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം. നിർവ്വചനം
:
പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി
എഫ്
(
x
)
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ X എന്നത് അതിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്, അതായത്: പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്‌ഷനെ ചിലപ്പോൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ അല്ലെങ്കിൽ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ f(x) ൻ്റെ ഗ്രാഫ് വിളിക്കുന്നു പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ കർവ്
.
പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ പ്രോപ്പർട്ടികൾ:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" ഉയരത്തിൽ x≤2-ൽ ="62 src="> 0, f(x)= c(x-2) at 2<х≤6, x>6-ന് 0. കണ്ടെത്തുക: a) c യുടെ മൂല്യം; b) ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x) കൂടാതെ അത് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക; സി) പി(3≤x<5) പരിഹാരം:
+
∞ a) നോർമലൈസേഷൻ അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ c യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു: ∫ f(x)dx=1. അതിനാൽ, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x എങ്കിൽ 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> x≤2-ൽ, F(x)= (x-2)2/16 at 2<х≤6, x>6-ന് 1. F(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 3-ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0-ൽ x≤0, 0-ൽ F(x)= (3 ആർക്റ്റാൻ x)/π<х≤√3, x>√3 ന് 1. ഡിഫറൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ f(x) കണ്ടെത്തുക പരിഹാരം:
f(x)= F’(x) ആയതിനാൽ, പിന്നെ https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> ചിതറിക്കിടക്കുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്കായി മുമ്പ് ചർച്ച ചെയ്ത ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെയും ചിതറലിൻ്റെയും എല്ലാ ഗുണങ്ങളും തുടർച്ചയായവയ്ക്കും സാധുവാണ്. ടാസ്ക് നമ്പർ 3.റാൻഡം വേരിയബിൾ X, f(x) എന്ന ഡിഫറൻഷ്യൽ ഫംഗ്ഷൻ വ്യക്തമാക്കുന്നു: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> പി(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. സ്വതന്ത്ര പരിഹാരത്തിനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ.
2.1.
ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ വഴി തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X വ്യക്തമാക്കുന്നു: 0, x≤0, x≤ π/6-ന് F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0, F(x)= - π/6-ൽ 3x<х≤ π/3, x> π/3 ന് 1. ഡിഫറൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ f(x), കൂടാതെ കണ്ടെത്തുക റ(2π /9<Х< π /2). 2.3.
x≤2-ൽ 0, f(x)= c x 2-ൽ<х≤4, x>4-ന് 0. 2.4.
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X വിതരണ സാന്ദ്രതയാൽ വ്യക്തമാക്കുന്നു: 0, x≤0, 0-ൽ f(x)= c √x<х≤1, x>1-ന് 0. കണ്ടെത്തുക: a) നമ്പർ c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x-ൽ, x-ൽ 0. കണ്ടെത്തുക: a) F(x) അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക; b) M(X),D(X), σ(X); c) നാലിൽ ഉള്ള സംഭാവ്യത സ്വതന്ത്ര പരിശോധനകൾമൂല്യം X ഇടവേളയുടെ (1;4) മൂല്യത്തിൻ്റെ 2 മടങ്ങ് കൃത്യമായി എടുക്കും. 2.6.
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി നൽകിയിരിക്കുന്നു: x-ൽ f(x)= 2(x-2), x-ൽ 0. കണ്ടെത്തുക: a) F(x) അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുക; b) M(X),D(X), σ (X); c) മൂന്ന് സ്വതന്ത്ര ട്രയലുകളിൽ X ൻ്റെ മൂല്യം സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യത്തിൻ്റെ 2 മടങ്ങ് കൃത്യമായി എടുക്കാനുള്ള സാധ്യത. 2.7.
ഫംഗ്ഷൻ f(x) ഇപ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
ഫംഗ്ഷൻ f(x) ഇപ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. കണ്ടെത്തുക: a) ചില റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ആയിരിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ സ്ഥിരമായ c യുടെ മൂല്യം; b) വിതരണ പ്രവർത്തനം F(x). 2.9.
ഇടവേളയിൽ (3;7) കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ X, F(x)= എന്ന ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ വ്യക്തമാക്കുന്നു. അതിനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക റാൻഡം വേരിയബിൾ X മൂല്യം എടുക്കും: a) 5-ൽ താഴെ, b) 7-ൽ കുറയാത്തത്. 2.10.
റാൻഡം വേരിയബിൾ X, ഇടവേളയിൽ കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്നു (-1;4), ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x)= ആണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്. അതിനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക റാൻഡം വേരിയബിൾ X മൂല്യം എടുക്കും: a) 2-ൽ താഴെ, b) 4-ൽ കുറയാത്തത്. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. കണ്ടെത്തുക: a) നമ്പർ c; ബി) എം (എക്സ്); c) പ്രോബബിലിറ്റി P(X> M(X)). 2.12.
റാൻഡം വേരിയബിൾ ഡിഫറൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ വഴി വ്യക്തമാക്കുന്നു: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . കണ്ടെത്തുക: a) M(X); b) പ്രോബബിലിറ്റി P(X≤M(X)) 2.13.
റെം ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി കൊണ്ടാണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്: x ≥0-ന് https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37">. എഫ്(x) തീർച്ചയായും ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ ആണെന്ന് തെളിയിക്കുക. 2.14.
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി നൽകിയിരിക്കുന്നു: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(ചിത്രം 4) 2.16.
ക്രമരഹിത വേരിയബിൾ X നിയമപ്രകാരം വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു " മട്ട ത്രികോണം"ഇടവേളയിൽ (0;4) (ചിത്രം 5). മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി f(x) ന് ഒരു വിശകലന പദപ്രയോഗം കണ്ടെത്തുക. ഉത്തരങ്ങൾ
0, x≤0, x≤ π/6-ന് f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0, π/6-ൽ F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3, x> π/3 ന് 0. ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഉണ്ട് ഏകീകൃത നിയമംഈ ഇടവേളയിൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി f(x) സ്ഥിരവും അതിന് പുറത്തുള്ള 0 ന് തുല്യവുമാണെങ്കിൽ, X ൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ (a;b) വിതരണം ചെയ്യുന്നു, അതായത്. x≤a-ന് 0, f(x)= a<х x≥b-ന് 0. f(x) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. ടാസ്ക് നമ്പർ 1.റാൻഡം വേരിയബിൾ X സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. കണ്ടെത്തുക: a) പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി f(x) കൂടാതെ അത് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക; b) ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x) കൂടാതെ അത് പ്ലോട്ട് ചെയ്യുക; c) M(X),D(X), σ(X). പരിഹാരം:
മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, a=3, b=7, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> 3≤х≤7, x>7-ന് 0 നമുക്ക് അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കാം (ചിത്രം 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0-ൽ x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">ചിത്രം 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> x-ൽ 0<0, x≥0 ന് f(x)= λе-λх. എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ ഫോർമുല പ്രകാരം നൽകിയിരിക്കുന്നു: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= അങ്ങനെ, എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും പരസ്പരം തുല്യമാണ്. X ഇടവേളയിൽ (a;b) വീഴാനുള്ള സാധ്യത ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു: പി(എ<Х ടാസ്ക് നമ്പർ 2.ഉപകരണത്തിൻ്റെ പരാജയ രഹിത പ്രവർത്തന സമയം 100 മണിക്കൂറാണ്, ഉപകരണത്തിൻ്റെ പരാജയ രഹിത പ്രവർത്തന സമയത്തിന് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ വിതരണ നിയമം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക: a) പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി; ബി) വിതരണ പ്രവർത്തനം; c) ഉപകരണത്തിൻ്റെ പരാജയ രഹിത പ്രവർത്തന സമയം 120 മണിക്കൂറിൽ കൂടുതലാകാനുള്ള സാധ്യത. പരിഹാരം:
വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ഗണിതശാസ്ത്ര വിതരണം M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0-ൽ x<0, a) f(x)= x≥0 ന് 0.01e -0.01x. b) F(x)= x-ൽ 0<0, x≥0-ൽ 1-e -0.01x. സി) ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ആവശ്യമുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തുന്നു: പി(X>120)=1-എഫ്(120)=1-(1- ഇ -1.2)= ഇ -1.2≈0.3. §
3.സാധാരണ വിതരണ നിയമം നിർവ്വചനം:
ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഉണ്ട് സാധാരണ വിതരണ നിയമം (ഗാസ് നിയമം),
അതിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്ക് ഫോം ഉണ്ടെങ്കിൽ: ഇവിടെ m=M(X), σ2=D(X), σ>0. സാധാരണ വിതരണ വക്രത്തെ വിളിക്കുന്നു സാധാരണ അല്ലെങ്കിൽ ഗൗസിയൻ വക്രം
(ചിത്രം.7) ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ, സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു, ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷൻ Ф (x) മുഖേന പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു: ലാപ്ലേസ് പ്രവർത്തനം എവിടെയാണ്. അഭിപ്രായം:
Ф(x) ഫംഗ്ഷൻ വിചിത്രമാണ് (Ф(-х)=-Ф(х)), കൂടാതെ, x>5 ന് നമുക്ക് Ф(х) ≈1/2 അനുമാനിക്കാം. ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x) ൻ്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> അതിനുള്ള സാധ്യത യഥാർത്ഥ മൂല്യംപോസിറ്റീവ് സംഖ്യ δ-നേക്കാൾ കുറവുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു: പ്രത്യേകിച്ചും, m=0 ന് ഇനിപ്പറയുന്ന തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു: "ത്രീ സിഗ്മ നിയമം"
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ന് m, σ എന്നീ പരാമീറ്ററുകളുള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണ നിയമം ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ മൂല്യം ഇടവേളയിൽ (a-3σ; a+3σ) ആണെന്ന് ഏതാണ്ട് ഉറപ്പാണ്, കാരണം https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് Ф(х) Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413. അതിനാൽ, ആവശ്യമുള്ള സംഭാവ്യത: പി(28 സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള ചുമതലകൾ
3.1.
റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഇടവേളയിൽ (-3;5) ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. കണ്ടെത്തുക: ബി) വിതരണ പ്രവർത്തനം F (x); സി) സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ; d) സാധ്യത P(4<х<6). 3.2.
റാൻഡം വേരിയബിൾ X സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. കണ്ടെത്തുക: a) വിതരണ സാന്ദ്രത f(x); ബി) വിതരണ പ്രവർത്തനം F (x); സി) സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ; d) പ്രോബബിലിറ്റി P(3≤x≤6). 3.3.
ഹൈവേയിൽ ഒരു ഓട്ടോമാറ്റിക് ട്രാഫിക് ലൈറ്റ് സ്ഥാപിച്ചിട്ടുണ്ട്, അതിൽ വാഹനങ്ങൾക്ക് പച്ച ലൈറ്റ് 2 മിനിറ്റ്, മഞ്ഞ 3 സെക്കൻഡ്, ചുവപ്പ് 30 സെക്കൻഡ് എന്നിങ്ങനെയുള്ളതാണ്. ഒരു കാർ ഹൈവേയിലൂടെ ക്രമരഹിതമായ നിമിഷത്തിൽ ഓടുന്നു. ഒരു കാർ നിർത്താതെ ഒരു ട്രാഫിക് ലൈറ്റ് കടന്നുപോകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. 3.4.
സബ്‌വേ ട്രെയിനുകൾ 2 മിനിറ്റ് ഇടവേളകളിൽ പതിവായി ഓടുന്നു. ഒരു യാത്രക്കാരൻ ക്രമരഹിതമായി പ്ലാറ്റ്‌ഫോമിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുന്നു. ഒരു യാത്രക്കാരൻ ട്രെയിനിനായി 50 സെക്കൻഡിൽ കൂടുതൽ കാത്തിരിക്കേണ്ടിവരാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണ്ടെത്തുക - ട്രെയിനിനായുള്ള കാത്തിരിപ്പ് സമയം. 3.5.
ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ നൽകുന്ന എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ വ്യതിയാനവും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും കണ്ടെത്തുക: F(x)= x-ൽ 0<0, x≥0 ന് 1st-8x. 3.6.
പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X വ്യക്തമാക്കുന്നു: f(x)= x-ൽ 0<0, x≥0-ൽ 0.7 e-0.7x. a) പരിഗണനയിലുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമത്തിന് പേര് നൽകുക. b) ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(X) യും റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകളും കണ്ടെത്തുക. 3.7.
പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി വ്യക്തമാക്കിയ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ നിയമമനുസരിച്ചാണ് റാൻഡം വേരിയബിൾ X വിതരണം ചെയ്യുന്നത്: f(x)= x-ൽ 0<0, x≥0-ൽ 0.4 e-0.4 x. ടെസ്റ്റിൻ്റെ ഫലമായി X ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക (2.5;5). 3.8.
ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ വ്യക്തമാക്കിയ എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ നിയമം അനുസരിച്ച് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു: F(x)= x-ൽ 0<0, x≥0-ൽ 1st-0.6x പരിശോധനയുടെ ഫലമായി, X സെഗ്മെൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. 3.9.
സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യവും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും യഥാക്രമം 8 ഉം 2 ഉം ആണ്: a) വിതരണ സാന്ദ്രത f(x); b) ടെസ്റ്റിൻ്റെ ഫലമായി X ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത (10;14). 3.10.
റാൻഡം വേരിയബിൾ X സാധാരണയായി ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ 3.5 നും 0.04 വ്യതിയാനത്തോടും കൂടി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. കണ്ടെത്തുക: a) വിതരണ സാന്ദ്രത f(x); b) ടെസ്റ്റ് X ൻ്റെ ഫലമായി സെഗ്മെൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു മൂല്യം എടുക്കാനുള്ള സാധ്യത. 3.11.
റാൻഡം വേരിയബിൾ X സാധാരണയായി M(X)=0, D(X)=1 എന്നിവയിൽ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഇവൻ്റുകളിൽ ഏതാണ്: |X|≤0.6 അല്ലെങ്കിൽ |X|≥0.6 ആണ് കൂടുതൽ സാധ്യത? 3.12.
റാൻഡം വേരിയബിൾ X സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നത് M(X)=0, D(X)=1 എന്നിവയിൽ നിന്ന് ഏത് ഇടവേളയിൽ നിന്നാണ് (-0.5;-0.1) അല്ലെങ്കിൽ (1;2) ഒരു ടെസ്റ്റിനിടെ ഒരു മൂല്യം എടുക്കാൻ കൂടുതൽ സാധ്യത? 3.13.
M(X)=10 den ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ വിതരണ നിയമം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഷെയറിൻറെ നിലവിലെ വില മാതൃകയാക്കാവുന്നതാണ്. യൂണിറ്റുകൾ കൂടാതെ σ (X)=0.3 ഡെൻ. യൂണിറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക: a) നിലവിലെ ഓഹരി വില 9.8 ഡെൻ മുതൽ ആകാനുള്ള സാധ്യത. യൂണിറ്റുകൾ 10.4 ദിവസം വരെ യൂണിറ്റുകൾ; b) "ത്രീ സിഗ്മ നിയമം" ഉപയോഗിച്ച്, നിലവിലെ സ്റ്റോക്ക് വില സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന അതിരുകൾ കണ്ടെത്തുക. 3.14.
വ്യവസ്ഥാപിത പിശകുകളില്ലാതെ പദാർത്ഥം തൂക്കിയിരിക്കുന്നു. ക്രമരഹിതമായ തൂക്ക പിശകുകൾ ശരാശരി ചതുര അനുപാതം σ=5g ഉള്ള സാധാരണ നിയമത്തിന് വിധേയമാണ്. നാല് സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങളിൽ മൂന്ന് തൂക്കങ്ങളിൽ ഒരു പിശക് കേവല മൂല്യമായ 3r-ൽ സംഭവിക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. 3.15.
റാൻഡം വേരിയബിൾ X സാധാരണയായി M(X)=12.6 ഉപയോഗിച്ചാണ് വിതരണം ചെയ്യുന്നത്. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ഇടവേളയിൽ (11.4;13.8) വീഴാനുള്ള സാധ്യത 0.6826 ആണ്. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ σ കണ്ടെത്തുക. 3.16.
റാൻഡം വേരിയബിൾ X സാധാരണയായി M(X)=12, D(X)=36 എന്നിവയിൽ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, 0.9973 എന്ന പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള ടെസ്റ്റിൻ്റെ ഫലമായി ക്രമരഹിതമായ X വീഴുന്ന ഇടവേള കണ്ടെത്തുക. 3.17.
ഒരു ഓട്ടോമാറ്റിക് മെഷീൻ നിർമ്മിക്കുന്ന ഒരു ഭാഗം അതിൻ്റെ നിയന്ത്രിത പാരാമീറ്ററിൻ്റെ നാമമാത്രമായ മൂല്യത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം X മോഡുലോ 2 യൂണിറ്റ് അളവിനേക്കാൾ കൂടുതലാണെങ്കിൽ, വികലമായതായി കണക്കാക്കുന്നു. റാൻഡം വേരിയബിൾ X സാധാരണയായി M(X)=0, σ(X)=0.7 എന്നിവയിൽ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുമെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. യന്ത്രം വികലമായ ഭാഗങ്ങളുടെ എത്ര ശതമാനം ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്നു? 3.18.
ഭാഗത്തിൻ്റെ X പാരാമീറ്റർ സാധാരണയായി ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയോടെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, നാമമാത്ര മൂല്യത്തിന് തുല്യമായ 2 ൻ്റെയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ 0.014. നാമമാത്ര മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് X ൻ്റെ വ്യതിയാനം നാമമാത്ര മൂല്യത്തിൻ്റെ 1% കവിയാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. ഉത്തരങ്ങൾ
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) x≤-3 ന് 0, F(x)= ഇടത്"> 3.10.
a)f(x)= , b) Р(3.1≤Х≤3.7) ≈0.8185. 3.11.
|x|≥0.6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) പി(9.8≤Х≤10.4) ≈0.6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. വിസരണംതുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X, സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ മുഴുവൻ ഓക്സ് അച്ചുതണ്ടിൽ പെടുന്നു, തുല്യതയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: സേവനത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം. ഓൺലൈൻ കാൽക്കുലേറ്റർ രൂപകൽപ്പന ചെയ്‌തിരിക്കുന്നത് ഒന്നുകിൽ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനാണ് വിതരണ സാന്ദ്രത f(x) അല്ലെങ്കിൽ വിതരണ പ്രവർത്തനം F(x) (ഉദാഹരണം കാണുക). സാധാരണയായി അത്തരം ജോലികളിൽ നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, f(x), F(x) ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പ്ലോട്ട് ഗ്രാഫുകൾ. നിർദ്ദേശങ്ങൾ. ഉറവിട ഡാറ്റയുടെ തരം തിരഞ്ഞെടുക്കുക: വിതരണ സാന്ദ്രത f(x) അല്ലെങ്കിൽ വിതരണ പ്രവർത്തനം F(x). വിതരണ സാന്ദ്രത f(x) നൽകിയിരിക്കുന്നു: വിതരണ പ്രവർത്തനം F(x) നൽകിയിരിക്കുന്നു: ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ വ്യക്തമാക്കുന്നു റാൻഡം വേരിയബിൾ X എന്ന് വിളിക്കുന്നു തുടർച്ചയായ
, അതിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(X)=P(X< x) непрерывна и имеет производную.
.
. അവയുടെ തുകയുടെ വിതരണ സാന്ദ്രത കണ്ടെത്തുക. ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവയുടെ ആകെത്തുകയുടെ വിതരണം കണ്ടെത്തുക, ഇവിടെ x ന് ഇടവേളയിൽ ഒരു ഏകീകൃത വിതരണമുണ്ട്, കൂടാതെ l പരാമീറ്റർ ഉള്ള ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനുമുണ്ട്. പി കണ്ടെത്തുക 
, x ന് ഉണ്ടെങ്കിൽ: a) a, s2 പരാമീറ്ററുകളുള്ള സാധാരണ വിതരണം; b) പാരാമീറ്റർ l ഉള്ള എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ; സി) സെഗ്മെൻ്റിലെ ഏകീകൃത വിതരണം [-1;1]. x, h എന്നിവയുടെ സംയുക്ത വിതരണം സമചതുര യൂണിഫോമാണ്
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). സാധ്യത കണ്ടെത്തുക 
. x ഉം h ഉം സ്വതന്ത്രമാണോ? ഒരു ജോടി റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ K= ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സാന്ദ്രത x, h എന്നിവ കണക്കാക്കുക. ഈ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ സ്വതന്ത്രമാണോ? സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ സ്വതന്ത്രവും സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലും [-1,1] ഏകതാനമായും വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. ഒരു ദ്വിമാന ക്രമരഹിത വേരിയബിൾ (x, h) ലംബങ്ങൾ (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) ഉള്ള ഒരു ചതുരത്തിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. പോയിൻ്റിൽ (1, -1) ജോയിൻ്റ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക. ഒരു റാൻഡം വെക്റ്റർ (x, h) ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ആരം 3 ഉള്ള ഒരു വൃത്തത്തിനുള്ളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സംയുക്ത വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്കായി ഒരു പദപ്രയോഗം എഴുതുക. ഈ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ആശ്രിതമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക. സാധ്യത കണക്കാക്കുക. ഒരു ജോടി റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ ഒരു ട്രപസോയിഡിനുള്ളിൽ (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) പോയിൻ്റുകളിൽ ലംബങ്ങളുള്ള ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഈ ജോഡി റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സംയുക്ത വിതരണ സാന്ദ്രതയും ഘടകങ്ങളുടെ സാന്ദ്രതയും കണ്ടെത്തുക. x ഉം h ഉം ആശ്രിതമാണോ? ഒരു റാൻഡം ജോഡി (x, h) ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിനുള്ളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സാന്ദ്രത x, h എന്നിവ കണ്ടെത്തുക, അവയുടെ ആശ്രിതത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം അന്വേഷിക്കുക. രണ്ട് റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവയുടെ സംയുക്ത സാന്ദ്രത തുല്യമാണ് 
.
സാന്ദ്രത x, h കണ്ടെത്തുക. x, h എന്നിവയുടെ ആശ്രിതത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം അന്വേഷിക്കുക. ക്രമരഹിതമായ ജോഡി (x, h) സെറ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സാന്ദ്രത x, h എന്നിവ കണ്ടെത്തുക, അവയുടെ ആശ്രിതത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം അന്വേഷിക്കുക. M(xh) കണ്ടെത്തുക. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ സ്വതന്ത്രവും ഫൈൻഡ് പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നതുമാണ്
.
ഈ ഇടവേള തുറന്നതോ അടച്ചതോ എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, അതായത്.
മൂല്യങ്ങൾക്കുള്ള യൂണിറ്റും 
.തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിനായി
.
.
യൂണിറ്റിനും 
. സമയം തുല്യമായി ഒഴുകുന്നു. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമയം കുറവായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത എ+ 0.5 മിനിറ്റ്, 0.5 ന് തുല്യമാണ്, കാരണം അത് കടന്നുപോയോ എന്നത് തുല്യമാണ് എഅര മിനിറ്റിൽ കുറവോ അതിൽ കൂടുതലോ. യഥാർത്ഥ സമയം കുറവായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത എ+ 0.25 മിനിറ്റ്, 0.25 ന് തുല്യമാണ് (ഈ സമയത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത യഥാർത്ഥ സമയം കൂടുതലാകാനുള്ള സാധ്യതയേക്കാൾ മൂന്നിരട്ടി കുറവാണ് എ+ 0.25 മിനിറ്റ്, അവയുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, വിപരീത സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുക). സമാനമായി ന്യായവാദം ചെയ്യുമ്പോൾ, യഥാർത്ഥ സമയം കുറവായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു എ+ 0.6 മിനിറ്റ്, 0.6 ന് തുല്യമാണ്. പൊതുവേ, യഥാർത്ഥ സമയം കുറവായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത എ
+ + α
മിനിറ്റ് 
, തുല്യമാണ് α
. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സമയ വിതരണ പ്രവർത്തനത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗമുണ്ട്:
on എല്ലായിടത്തും തുടർച്ചയായാണ്, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് രണ്ടെണ്ണം ഒഴികെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു: x = aഒപ്പം x = a+ 1. ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു (ചിത്രം 8.3):
, അതായത്. 
. ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(എക്സ്) കുറയുന്നില്ല: ഇടവേളയിൽ 
അത് ഇടവേളയിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായ സ്ഥിരതയുള്ളതാണ് 
ഇടയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു 
സ്ഥിരവും, ഐക്യത്തിന് തുല്യമാണ് (ചിത്രം 8.4 കാണുക). പ്രവർത്തനം എല്ലാ പോയിൻ്റിലും തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു എക്സ്അതിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ 0 മേഖല - ഇടവേള 
, അതിനാൽ ഇടതുവശത്ത് തുടർച്ചയായി, അതായത്. സമത്വം നിലനിർത്തുന്നു
,
.
,
.
ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ എല്ലാ സവിശേഷതകളും തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. അതിനാൽ ഈ പ്രവർത്തനം 
ചില റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനമാണ് എക്സ്.
അത് കുറയുന്നു, തുടർച്ചയായതല്ല. ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 8.5
.
,
.
പോയിൻ്റിൽ 
,
.
.
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഹിറ്റുകൾ എക്സ്ഒരു നിശ്ചിത കാലയളവിൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു
.
. ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്തുക.
,
.
.
, തുല്യമാണ്
ഉദാഹരണം 8.6.റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി പ്ലോട്ട് എക്സ്ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 8.6 (സിംപ്സൺ നിയമം). ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിക്കും ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷനും ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതുക.
, അത് 
.
, ആ .
, അത്
, അത്
1.2.
p4=0.1; x≤-1-ൽ 0,
(ചിത്രം 5)
x≤a-യ്ക്ക് https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0,
,
സാധാരണ വക്രം x=m എന്ന നേർരേഖയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാണ്, പരമാവധി x=a ന് തുല്യമാണ്.
,
(റേലി വിതരണ നിയമം - റേഡിയോ എഞ്ചിനീയറിംഗിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നു). M(x), D(x) കണ്ടെത്തുക.
ഒരു ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കാൻ തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം ഉപയോഗിക്കുന്നു:
പി(α< X < β)=F(β) - F(α)
കൂടാതെ, തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിന്, അതിൻ്റെ അതിരുകൾ ഈ ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്നത് പ്രശ്നമല്ല:
പി(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
വിതരണ സാന്ദ്രത
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിനെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു
f(x)=F'(x) , ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.വിതരണ സാന്ദ്രതയുടെ സവിശേഷതകൾ
1. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രത x ൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും നെഗറ്റീവ് അല്ല (f(x) ≥ 0).
2. നോർമലൈസേഷൻ അവസ്ഥ:
നോർമലൈസേഷൻ അവസ്ഥയുടെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം: ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി കർവിന് കീഴിലുള്ള പ്രദേശം ഐക്യത്തിന് തുല്യമാണ്.
3. α മുതൽ β വരെയുള്ള ഇടവേളയിൽ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X വീഴാനുള്ള സാധ്യത ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം. 
ജ്യാമിതീയമായി, തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഇടവേളയിൽ (α, β) വീഴുന്നതിൻ്റെ സംഭാവ്യത ഈ ഇടവേളയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള വിതരണ സാന്ദ്രത വക്രത്തിന് കീഴിലുള്ള ഒരു വളഞ്ഞ ട്രപസോയിഡിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.
4. ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ സാന്ദ്രതയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
പോയിൻ്റ് x ലെ വിതരണ സാന്ദ്രതയുടെ മൂല്യം ഈ മൂല്യം സ്വീകരിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യതയ്ക്ക് തുല്യമല്ല; അനുവദിക്കുക)
