വ്യതിയാന ശ്രേണിക്ക് രൂപമുണ്ടെങ്കിൽ. വ്യതിയാനവും വ്യതിയാന പരമ്പരയും, വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ശ്രേണി

പട്ടിക 1. ഫ്രീക്വൻസികളുടെ വ്യതിരിക്തമായ വ്യതിയാന പരമ്പരയുടെ പൊതുവായ കാഴ്ച

പട്ടിക 2. ഫ്രീക്വൻസികളുടെ ഇടവേള വ്യതിയാന പരമ്പരയുടെ പൊതുവായ കാഴ്ച

പട്ടിക 3. വ്യതിയാന പരമ്പരയുടെ ഗ്രാഫിക് ചിത്രങ്ങൾ

വരി	ബഹുഭുജം അല്ലെങ്കിൽ ഹിസ്റ്റോഗ്രാം		അനുഭവപരമായ വിതരണ പ്രവർത്തനം
ഡിസ്ക്രീറ്റ്
ഇടവേള

പട്ടികയിൽ 2.3 (1994 ഏപ്രിലിൽ ശരാശരി ആളോഹരി വരുമാനം അനുസരിച്ച് റഷ്യൻ ജനസംഖ്യയുടെ ഗ്രൂപ്പിംഗ്) അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു ഇടവേള വ്യതിയാന പരമ്പര.
ഒരു ഗ്രാഫിക്കൽ ഇമേജ് ഉപയോഗിച്ച് വിതരണ പരമ്പരകൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, ഇത് വിതരണത്തിൻ്റെ ആകൃതി വിലയിരുത്താൻ ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്നു. വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെ ആവൃത്തികളിലെ മാറ്റങ്ങളുടെ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ഒരു ദൃശ്യ പ്രതിനിധാനം നൽകിയിരിക്കുന്നു ബഹുഭുജവും ഹിസ്റ്റോഗ്രാമും.
വ്യതിരിക്തമായ വ്യതിയാന പരമ്പരകൾ ചിത്രീകരിക്കുമ്പോൾ ബഹുഭുജം ഉപയോഗിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണത്തിന്, അപ്പാർട്ട്മെൻ്റിൻ്റെ തരം അനുസരിച്ച് ഭവന സ്റ്റോക്കിൻ്റെ വിതരണം ഗ്രാഫിക്കായി നമുക്ക് ചിത്രീകരിക്കാം (പട്ടിക 2.10).
പട്ടിക 2.10 - അപ്പാർട്ട്മെൻ്റിൻ്റെ തരം (സോപാധിക കണക്കുകൾ) പ്രകാരം നഗര പ്രദേശത്തിൻ്റെ ഭവന സ്റ്റോക്കിൻ്റെ വിതരണം.

അരി. ഭവന വിതരണ മേഖല

അരി. 2.2 ഓരോ വ്യക്തിക്കും താമസിക്കുന്ന സ്ഥലത്തിൻ്റെ വലുപ്പമനുസരിച്ച് കുടുംബങ്ങളുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ ഹിസ്റ്റോഗ്രാം

അരി. 2.3 ഓരോ വ്യക്തിക്കും താമസിക്കുന്ന സ്ഥലത്തിൻ്റെ വലുപ്പമനുസരിച്ച് കുടുംബങ്ങളുടെ സഞ്ചിത വിതരണം

വേരിയേഷൻ സീരീസ് ഗ്രാഫിക്കായി പ്രതിനിധീകരിക്കാനും ഇത് ഉപയോഗിക്കാം ക്യുമുലേറ്റീവ് കർവ്. ഒരു ക്യുമുലേറ്റ് (സം കർവ്) ഉപയോഗിച്ച്, സഞ്ചിത ആവൃത്തികളുടെ ഒരു ശ്രേണി ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ക്യുമുലേറ്റീവ് ആവൃത്തികൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഗ്രൂപ്പുകളിലുടനീളമുള്ള ആവൃത്തികൾ തുടർച്ചയായി സംഗ്രഹിച്ചാണ്, കൂടാതെ ജനസംഖ്യയിൽ എത്ര യൂണിറ്റുകൾക്ക് പരിഗണനയിലുള്ള മൂല്യത്തേക്കാൾ ആട്രിബ്യൂട്ട് മൂല്യങ്ങളുണ്ടെന്ന് കാണിക്കുന്നു.

അരി. 2.4 ഓരോ വ്യക്തിക്കും താമസിക്കുന്ന സ്ഥലത്തിൻ്റെ വലുപ്പമനുസരിച്ച് കുടുംബങ്ങളുടെ വിതരണം

ഒരു ഇടവേള വേരിയേഷൻ സീരീസിൻ്റെ ക്യുമുലേറ്റുകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ, ശ്രേണിയുടെ വകഭേദങ്ങൾ abscissa അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു, കൂടാതെ സഞ്ചിത ആവൃത്തികൾ ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ വിശകലനത്തിൽ ഒരു പ്രത്യേക സ്ഥാനം പഠിക്കപ്പെടുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ അല്ലെങ്കിൽ പ്രതിഭാസത്തിൻ്റെ ശരാശരി നിലവാരത്തിൻ്റെ നിർണ്ണയമാണ്. ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ശരാശരി നില അളക്കുന്നത് ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ കൊണ്ടാണ്.

ശരാശരി മൂല്യം പഠിക്കുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ പൊതുവായ അളവിലുള്ള നിലയെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു, ഇത് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പോപ്പുലേഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രൂപ്പ് സ്വത്താണ്. ഇത് ഒരു ദിശയിലോ മറ്റൊന്നിലോ വ്യക്തിഗത നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ക്രമരഹിതമായ വ്യതിയാനങ്ങളെ സമനിലയിലാക്കുന്നു, കൂടാതെ പഠിക്കുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ പ്രധാന, സാധാരണ സ്വത്ത് എടുത്തുകാണിക്കുന്നു.

ശരാശരി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു:

1. ജനസംഖ്യയുടെ ആരോഗ്യസ്ഥിതി വിലയിരുത്തുന്നതിന്: ശാരീരിക വികസനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ (ഉയരം, ഭാരം, നെഞ്ചിൻ്റെ ചുറ്റളവ് മുതലായവ), വിവിധ രോഗങ്ങളുടെ വ്യാപനവും കാലാവധിയും തിരിച്ചറിയൽ, ജനസംഖ്യാ സൂചകങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുക (ജനസംഖ്യയുടെ സുപ്രധാന ചലനം, ശരാശരി ആയുർദൈർഘ്യം, ജനസംഖ്യാ പുനരുൽപാദനം, ശരാശരി ജനസംഖ്യ മുതലായവ).

2. മെഡിക്കൽ സ്ഥാപനങ്ങൾ, മെഡിക്കൽ ഉദ്യോഗസ്ഥർ എന്നിവരുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പഠിക്കുന്നതിനും അവരുടെ ജോലിയുടെ ഗുണനിലവാരം വിലയിരുത്തുന്നതിനും, വിവിധ തരത്തിലുള്ള മെഡിക്കൽ പരിചരണത്തിനായുള്ള ജനസംഖ്യയുടെ ആവശ്യങ്ങൾ ആസൂത്രണം ചെയ്യുകയും നിർണ്ണയിക്കുകയും ചെയ്യുക (പ്രതിവർഷം ശരാശരി അഭ്യർത്ഥനകളുടെയോ സന്ദർശനങ്ങളുടെയോ എണ്ണം, ശരാശരി താമസ ദൈർഘ്യം. ഒരു ആശുപത്രിയിലെ രോഗി, പരിശോധനാ രോഗിയുടെ ശരാശരി ദൈർഘ്യം, ഡോക്ടർമാരുടെ ശരാശരി ലഭ്യത, കിടക്കകൾ മുതലായവ).

3. സാനിറ്ററി, എപ്പിഡെമിയോളജിക്കൽ സ്റ്റേറ്റ് (വർക്ക്ഷോപ്പിലെ ശരാശരി വായു പൊടിയുടെ അളവ്, ഒരു വ്യക്തിക്ക് ശരാശരി പ്രദേശം, പ്രോട്ടീനുകൾ, കൊഴുപ്പ്, കാർബോഹൈഡ്രേറ്റ് എന്നിവയുടെ ശരാശരി ഉപഭോഗം മുതലായവ).

4. ലബോറട്ടറി ഡാറ്റ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുമ്പോൾ, സാമൂഹിക, ശുചിത്വ, ക്ലിനിക്കൽ, പരീക്ഷണാത്മക പഠനങ്ങളിൽ ഒരു സാമ്പിൾ പഠനത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങളുടെ വിശ്വാസ്യത സ്ഥാപിക്കുന്നതിന്, സാധാരണവും രോഗപരവുമായ അവസ്ഥകളിൽ മെഡിക്കൽ, ഫിസിയോളജിക്കൽ സൂചകങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ.

വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണ് ശരാശരി മൂല്യങ്ങളുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ നടത്തുന്നത്. വ്യതിയാന പരമ്പരഗുണപരമായി ഏകതാനമായ ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സെറ്റാണ്, അതിൻ്റെ വ്യക്തിഗത യൂണിറ്റുകൾ പഠിക്കുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെയോ പ്രതിഭാസത്തിൻ്റെയോ അളവ് വ്യത്യാസങ്ങളെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു.

ക്വാണ്ടിറ്റേറ്റീവ് വ്യത്യാസം രണ്ട് തരത്തിലാകാം: തുടർച്ചയായ (വ്യതിരിക്തമായത്) തുടർച്ചയായതും.

തുടർച്ചയായ (വ്യതിരിക്തമായ) ആട്രിബ്യൂട്ട് ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യയായി മാത്രമേ പ്രകടിപ്പിക്കുകയുള്ളൂ, അതിന് ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് മൂല്യങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകരുത് (ഉദാഹരണത്തിന്, സന്ദർശനങ്ങളുടെ എണ്ണം, സൈറ്റിൻ്റെ ജനസംഖ്യ, കുടുംബത്തിലെ കുട്ടികളുടെ എണ്ണം, പോയിൻ്റുകളിൽ രോഗത്തിൻ്റെ തീവ്രത. , തുടങ്ങിയവ.).

തുടർച്ചയായ ചിഹ്നത്തിന് ഫ്രാക്ഷണൽ ഉൾപ്പെടെ ചില പരിധിക്കുള്ളിൽ ഏത് മൂല്യങ്ങളും എടുക്കാൻ കഴിയും, അത് ഏകദേശം മാത്രമേ പ്രകടിപ്പിക്കുകയുള്ളൂ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഭാരം - മുതിർന്നവർക്ക് ഇത് കിലോഗ്രാമിലും നവജാതശിശുക്കൾക്ക് - ഗ്രാമിലും പരിമിതപ്പെടുത്താം; ഉയരം, രക്തസമ്മർദ്ദം, സമയം ഒരു രോഗിയെ കാണാൻ ചെലവഴിച്ചു, മുതലായവ).

വ്യതിയാന ശ്രേണിയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഓരോ വ്യക്തിഗത സ്വഭാവത്തിൻ്റെയും അല്ലെങ്കിൽ പ്രതിഭാസത്തിൻ്റെയും ഡിജിറ്റൽ മൂല്യത്തെ ഒരു വേരിയൻ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അത് അക്ഷരത്താൽ നിയുക്തമാക്കപ്പെടുന്നു. വി . ഉദാഹരണത്തിന്, ഗണിതശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിലും മറ്റ് നൊട്ടേഷനുകൾ കാണപ്പെടുന്നു x അഥവാ വൈ.

ഓരോ ഓപ്ഷനും ഒരിക്കൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു വ്യതിയാന ശ്രേണിയെ ലളിതമെന്ന് വിളിക്കുന്നു.കമ്പ്യൂട്ടർ ഡാറ്റ പ്രോസസ്സിംഗിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ മിക്ക സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രശ്നങ്ങളിലും ഇത്തരം പരമ്പരകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച്, ആവർത്തിച്ചുള്ള വേരിയൻ്റ് മൂല്യങ്ങൾ സംഭവിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് സൃഷ്ടിക്കപ്പെടുന്നു ഗ്രൂപ്പുചെയ്ത വ്യതിയാന പരമ്പര, ആവർത്തനങ്ങളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നിടത്ത് (ആവൃത്തി, " എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു ആർ »).

റാങ്ക് ചെയ്ത വ്യതിയാന പരമ്പരആരോഹണ അല്ലെങ്കിൽ അവരോഹണ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ഓപ്ഷനുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ലളിതവും ഗ്രൂപ്പുചെയ്തതുമായ പരമ്പരകൾ റാങ്കിംഗ് ഉപയോഗിച്ച് സമാഹരിക്കാൻ കഴിയും.

ഇടവേള വ്യതിയാന പരമ്പരഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ ഉപയോഗിക്കാതെ നടത്തിയ തുടർന്നുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കുന്നതിനായി സമാഹരിച്ചത്, വളരെ വലിയ നിരീക്ഷണ യൂണിറ്റുകൾ (1000-ൽ കൂടുതൽ).

തുടർച്ചയായ വ്യതിയാന പരമ്പരഓപ്ഷൻ മൂല്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, ഏത് മൂല്യവും ആകാം.

ഒരു വ്യതിയാന ശ്രേണിയിൽ ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ (വേരിയൻ്റുകളുടെ) മൂല്യങ്ങൾ വ്യക്തിഗത നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യകളുടെ രൂപത്തിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു ശ്രേണിയെ വിളിക്കുന്നു വ്യതിരിക്തമായ.

വ്യതിയാന ശ്രേണിയിൽ പ്രതിഫലിക്കുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ പൊതു സവിശേഷതകൾ ശരാശരി മൂല്യങ്ങളാണ്. അവയിൽ, ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉപയോഗിക്കുന്നത്: ഗണിത ശരാശരി എം,ഫാഷൻ മോഇടത്തരം എന്നെ.ഈ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ ഓരോന്നും അദ്വിതീയമാണ്. അവയ്ക്ക് പരസ്പരം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ കഴിയില്ല, മാത്രമല്ല അവ ഒരുമിച്ച് വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെ സവിശേഷതകളെ പൂർണ്ണമായും ഘനീഭവിച്ച രൂപത്തിലും പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.

ഫാഷൻ (മോ) ഏറ്റവും പതിവായി സംഭവിക്കുന്ന ഓപ്ഷനുകളുടെ മൂല്യം പറയുക.

മീഡിയൻ (ഞാൻ) - റാങ്ക് ചെയ്ത വേരിയേഷൻ സീരീസ് പകുതിയായി വിഭജിക്കുന്ന ഓപ്ഷൻ്റെ മൂല്യമാണിത് (മീഡിയൻ്റെ ഓരോ വശത്തും ഓപ്‌ഷൻ്റെ പകുതിയുണ്ട്). അപൂർവ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഒരു സമമിതി വ്യതിയാന ശ്രേണി ഉണ്ടാകുമ്പോൾ, മോഡും മീഡിയനും പരസ്പരം തുല്യവും ഗണിത ശരാശരിയുടെ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതുമാണ്.

ഓപ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ സ്വഭാവം ഗണിത അർത്ഥംമൂല്യം( എം ). ഗണിതശാസ്ത്ര സാഹിത്യത്തിൽ ഇത് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു .

ഗണിത അർത്ഥം (എം, ) പഠിക്കപ്പെടുന്ന പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ ഒരു പ്രത്യേക സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ഒരു പൊതു അളവ് സ്വഭാവമാണ്, ഇത് ഗുണപരമായി ഏകതാനമായ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പോപ്പുലേഷൻ രൂപീകരിക്കുന്നു. ലളിതവും തൂക്കമുള്ളതുമായ ഗണിത ശരാശരികളുണ്ട്. എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളും സംഗ്രഹിച്ച് ഈ വേരിയേഷൻ സീരീസിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള ആകെ ഓപ്ഷനുകളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഈ തുക ഹരിച്ചാണ് ലളിതമായ ഗണിത ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നത്. ഫോർമുല അനുസരിച്ച് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നു:

,

എവിടെ: എം - ലളിതമായ ഗണിത ശരാശരി;

Σ വി - തുക ഓപ്ഷൻ;

എൻ- നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം.

ഗ്രൂപ്പുചെയ്ത വ്യതിയാന ശ്രേണിയിൽ, വെയ്റ്റഡ് ഗണിത ശരാശരി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു. ഇത് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല:

,

എവിടെ: എം - ഗണിത ഭാരമുള്ള ശരാശരി;

Σ Vp - വേരിയൻ്റിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക അവയുടെ ആവൃത്തികൾ;

എൻ- നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം.

ധാരാളം നിരീക്ഷണങ്ങളോടെ, മാനുവൽ കണക്കുകൂട്ടലുകളുടെ കാര്യത്തിൽ, നിമിഷങ്ങളുടെ രീതി ഉപയോഗിക്കാം.

ഗണിത ശരാശരിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഗുണങ്ങളുണ്ട്:

ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ( Σ ഡി ) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ് (പട്ടിക 15 കാണുക);

· എല്ലാ ഓപ്ഷനുകളെയും ഒരേ ഘടകം (ഡിവൈസർ) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുമ്പോൾ (വിഭജിക്കുമ്പോൾ), ഗണിത ശരാശരിയെ ഒരേ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു (വിഭജിക്കുന്നു);

· നിങ്ങൾ എല്ലാ ഓപ്‌ഷനുകളിലേക്കും ഒരേ നമ്പർ ചേർക്കുകയാണെങ്കിൽ (കുറയ്ക്കുക), ഗണിത ശരാശരി അതേ സംഖ്യകൊണ്ട് വർദ്ധിക്കുന്നു (കുറയുന്നു).

ഗണിത ശരാശരികൾ, അവ കണക്കാക്കിയ ശ്രേണിയുടെ വേരിയബിളിറ്റി കണക്കിലെടുക്കാതെ തന്നെ, വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെ ഗുണങ്ങളെ പൂർണ്ണമായി പ്രതിഫലിപ്പിച്ചേക്കില്ല, പ്രത്യേകിച്ചും മറ്റ് ശരാശരികളുമായി താരതമ്യം ചെയ്യേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വ്യത്യസ്‌ത അളവിലുള്ള സ്‌കാറ്ററിംഗ് ഉള്ള ശ്രേണിയിൽ നിന്ന് മൂല്യത്തോട് അടുത്ത് നിൽക്കുന്ന ശരാശരികൾ ലഭിക്കും. വ്യക്തിഗത ഓപ്ഷനുകൾ അവയുടെ അളവ് സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പരസ്പരം അടുക്കുന്നു, കുറവ് വിസരണം (ആന്ദോളനം, വ്യതിയാനം)പരമ്പര, കൂടുതൽ സാധാരണ അതിൻ്റെ ശരാശരി.

ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനം വിലയിരുത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകൾ ഇവയാണ്:

· ഭാവിയുളള;

· വ്യാപ്തി;

· സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ;

· വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഗുണകം.

വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെ വ്യാപ്തിയും വ്യാപ്തിയും അനുസരിച്ച് ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനം ഏകദേശം വിലയിരുത്താവുന്നതാണ്. ശ്രേണിയിലെ പരമാവധി (V max), ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ (V min) ഓപ്‌ഷനുകളെ ശ്രേണി സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ ഓപ്ഷനുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ് ആംപ്ലിറ്റ്യൂഡ് (A m): A m = V max - V min.

ഒരു വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പ്രധാന, പൊതുവായി അംഗീകരിക്കപ്പെട്ട അളവ് വിസരണം (ഡി ). എന്നാൽ മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നത് ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കണക്കാക്കിയ കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമായ പാരാമീറ്ററാണ് - സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ( σ ). ഇത് വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തി കണക്കിലെടുക്കുന്നു ( ഡി ) ഓരോ വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെയും അതിൻ്റെ ഗണിത ശരാശരിയിൽ നിന്ന് ( d=V - M ).

ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾ പോസിറ്റീവും നെഗറ്റീവും ആയതിനാൽ, സംഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ അവ "0" (എസ് d=0). ഇത് ഒഴിവാക്കാൻ, വ്യതിയാന മൂല്യങ്ങൾ ( ഡി) രണ്ടാമത്തെ ശക്തിയിലേക്ക് ഉയർത്തുകയും ശരാശരിയാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെ വ്യാപനം ഗണിത ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള ഒരു വേരിയൻ്റിൻ്റെ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ശരാശരി ചതുരമാണ്, ഇത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

.

ഇത് വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വഭാവമാണ്, കൂടാതെ നിരവധി സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ മാനദണ്ഡങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വ്യതിചലനത്തെ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ വർഗ്ഗമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിനാൽ, ഗണിത ശരാശരിയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അതിൻ്റെ മൂല്യം ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയില്ല. ഈ ആവശ്യങ്ങൾക്ക് ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, ഇത് "സിഗ്മ" എന്ന ചിഹ്നത്താൽ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു ( σ ). ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെ അതേ യൂണിറ്റുകളിലെ ഗണിത ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെ എല്ലാ വകഭേദങ്ങളുടെയും ശരാശരി വ്യതിയാനത്തെ ഇത് ചിത്രീകരിക്കുന്നു, അതിനാൽ അവ ഒരുമിച്ച് ഉപയോഗിക്കാനാകും.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഫോർമുലയാണ്:

നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം വരുമ്പോൾ നിർദ്ദിഷ്ട ഫോർമുല പ്രയോഗിക്കുന്നു ( എൻ ) 30-ൽ കൂടുതൽ. ഒരു ചെറിയ സംഖ്യയിൽ എൻ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ മൂല്യത്തിന് ഗണിത ഓഫ്സെറ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പിശക് ഉണ്ടാകും ( എൻ - 1). ഇക്കാര്യത്തിൽ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയിൽ അത്തരം ഒരു പക്ഷപാതം കണക്കിലെടുത്ത് കൂടുതൽ കൃത്യമായ ഫലം ലഭിക്കും:

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (എസ് ) എന്നത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ആണ് എക്സ്ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, അതിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പക്ഷപാതരഹിതമായ വിലയിരുത്തലിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്.

മൂല്യങ്ങളോടെ എൻ > 30 സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ( σ ) കൂടാതെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ( എസ് ) സമാനമായിരിക്കും ( σ =s ). അതിനാൽ, മിക്ക പ്രായോഗിക മാനുവലുകളിലും ഈ മാനദണ്ഡങ്ങൾ വ്യത്യസ്ത അർത്ഥങ്ങളുള്ളതായി കണക്കാക്കുന്നു.ഒരു പ്രോഗ്രാമിൽ എക്സൽ കണക്കുകൂട്ടൽ=STDEV(range) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ നടത്താം. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ഉചിതമായ ഒരു ഫോർമുല സൃഷ്ടിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

ശരാശരി ചതുരം അല്ലെങ്കിൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് എത്രമാത്രം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കാമെന്ന് നിർണ്ണയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. വേനൽക്കാലത്ത് ഒരേ ശരാശരി ദൈനംദിന താപനിലയുള്ള രണ്ട് നഗരങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. ഈ നഗരങ്ങളിലൊന്ന് തീരത്തും മറ്റൊന്ന് ഭൂഖണ്ഡത്തിലും സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. തീരത്ത് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്ന നഗരങ്ങളിൽ, പകൽ താപനിലയിലെ വ്യത്യാസങ്ങൾ ഉൾനാടൻ നഗരങ്ങളെ അപേക്ഷിച്ച് ചെറുതാണെന്ന് അറിയാം. അതിനാൽ, തീരദേശ നഗരത്തിൻ്റെ പകൽ താപനിലയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനം രണ്ടാമത്തെ നഗരത്തേക്കാൾ കുറവായിരിക്കും. പ്രായോഗികമായി, ഇത് ഓരോന്നിൻ്റെയും ശരാശരി വായുവിൻ്റെ താപനില എന്നാണ് നിർദ്ദിഷ്ട ദിവസംഭൂഖണ്ഡത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഒരു നഗരത്തിൽ തീരത്തെ ഒരു നഗരത്തേക്കാൾ ശരാശരിയിൽ നിന്ന് കൂടുതൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കും. കൂടാതെ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ആവശ്യമായ പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് ശരാശരിയിൽ നിന്ന് സാധ്യമായ താപനില വ്യതിയാനങ്ങൾ വിലയിരുത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു.

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, സാധാരണ വിതരണ നിയമം അനുസരിക്കുന്ന പ്രതിഭാസങ്ങളിൽ, ഗണിത ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, ഓപ്ഷനുകൾ എന്നിവ തമ്മിൽ കർശനമായ ബന്ധമുണ്ട് ( മൂന്ന് സിഗ്മ നിയമം). ഉദാഹരണത്തിന്, വ്യത്യസ്ത സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ 68.3% മൂല്യങ്ങൾ M ± 1 ന് ഉള്ളിലാണ് σ , 95.5% - M ± 2 നുള്ളിൽ σ കൂടാതെ 99.7% - M ± 3 നുള്ളിൽ σ .

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ മൂല്യം, വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെയും പഠന ഗ്രൂപ്പിൻ്റെയും ഏകതാനതയുടെ സ്വഭാവം വിലയിരുത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ മൂല്യം ചെറുതാണെങ്കിൽ, ഇത് പഠിക്കുന്ന പ്രതിഭാസത്തിൻ്റെ ഉയർന്ന ഏകതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ കേസിലെ ഗണിത ശരാശരി ഒരു നിശ്ചിത വ്യതിയാന ശ്രേണിയുടെ സ്വഭാവമായി കണക്കാക്കണം. എന്നിരുന്നാലും, വളരെ ചെറിയ സിഗ്മ മൂല്യം നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ കൃത്രിമ തിരഞ്ഞെടുപ്പിനെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാൻ ഒരാളെ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു. വളരെ വലിയ സിഗ്മ ഉപയോഗിച്ച്, ഗണിത ശരാശരി വ്യതിയാന ശ്രേണിയെ ഒരു പരിധിവരെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു, ഇത് പഠിക്കുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെയോ പ്രതിഭാസത്തിൻ്റെയോ കാര്യമായ വ്യതിയാനത്തെയോ പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള ഗ്രൂപ്പിൻ്റെ വൈവിധ്യത്തെയോ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ മൂല്യത്തിൻ്റെ താരതമ്യം ഒരേ അളവിലുള്ള സവിശേഷതകൾക്ക് മാത്രമേ സാധ്യമാകൂ. വാസ്തവത്തിൽ, നവജാത ശിശുക്കളുടെയും മുതിർന്നവരുടെയും ഭാരത്തിൻ്റെ വൈവിധ്യം താരതമ്യം ചെയ്താൽ, മുതിർന്നവരിൽ നമുക്ക് എല്ലായ്പ്പോഴും ഉയർന്ന സിഗ്മ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിക്കും.

വ്യത്യസ്ത അളവുകളുടെ സവിശേഷതകളുടെ വേരിയബിളിറ്റി താരതമ്യം ചെയ്യുന്നത് ഉപയോഗിച്ച് ചെയ്യാം ഗുണനഘടകം. താരതമ്യപ്പെടുത്താൻ അനുവദിക്കുന്ന ശരാശരിയുടെ ഒരു ശതമാനമായി ഇത് വൈവിധ്യത്തെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു വിവിധ അടയാളങ്ങൾ. മെഡിക്കൽ സാഹിത്യത്തിലെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഗുണകം "" എന്ന ചിഹ്നത്താൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. കൂടെ ", കൂടാതെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും" വി"കൂടാതെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

.

10% ൽ താഴെയുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഗുണകത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ 10 മുതൽ 20% വരെ - ശരാശരി, ഏകദേശം 20%-ൽ കൂടുതൽ - ഗണിത ശരാശരിക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ശക്തമായ ചിതറിക്കിടക്കലിനെക്കുറിച്ച് ചെറിയ ചിതറിക്കിടക്കലിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഗണിത ശരാശരി സാധാരണയായി ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് കണക്കാക്കുന്നത് മാതൃകാ ജനസംഖ്യ. ആവർത്തിച്ചുള്ള പഠനങ്ങളിലൂടെ, ക്രമരഹിതമായ പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ സ്വാധീനത്തിൽ, ഗണിത ശരാശരി മാറിയേക്കാം. ഒരു ചട്ടം പോലെ, നിരീക്ഷണത്തിൻ്റെ സാധ്യമായ യൂണിറ്റുകളുടെ ഒരു ഭാഗം മാത്രമേ പഠിച്ചിട്ടുള്ളൂ, അതായത് സാമ്പിൾ പോപ്പുലേഷൻ എന്ന വസ്തുതയാണ് ഇതിന് കാരണം. പഠിക്കുന്ന പ്രതിഭാസത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്ന സാധ്യമായ എല്ലാ യൂണിറ്റുകളെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ മുഴുവൻ ജനസംഖ്യയും പഠിച്ചുകൊണ്ട് ലഭിക്കും, അത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല. അതേ സമയം, പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയെ സാമാന്യവൽക്കരിക്കുന്നതിന്, സാധാരണ ജനസംഖ്യയിലെ ശരാശരിയുടെ മൂല്യം താൽപ്പര്യമുള്ളതാണ്. അതിനാൽ, പഠിക്കുന്ന പ്രതിഭാസത്തെക്കുറിച്ച് ഒരു പൊതു നിഗമനം രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന്, സാമ്പിൾ പോപ്പുലേഷൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ ജനങ്ങളിലേക്ക് മാറ്റണം.

ഒരു സാമ്പിൾ പഠനവും സാധാരണ ജനങ്ങളും തമ്മിലുള്ള കരാറിൻ്റെ അളവ് നിർണ്ണയിക്കാൻ, സാമ്പിൾ നിരീക്ഷണ സമയത്ത് അനിവാര്യമായും ഉണ്ടാകുന്ന പിശകിൻ്റെ വ്യാപ്തി കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ പിശകിനെ വിളിക്കുന്നു " പ്രാതിനിധ്യത്തിൻ്റെ പിഴവ്"അല്ലെങ്കിൽ "ഗണിത ശരാശരിയുടെ ശരാശരി പിശക്." ഇത് യഥാർത്ഥത്തിൽ സാമ്പിളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ശരാശരികൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ നിരീക്ഷണം, ഒരേ വസ്തുവിൻ്റെ തുടർച്ചയായ പഠന സമയത്ത് ലഭിക്കുന്ന സമാന മൂല്യങ്ങൾ, അതായത്. ഒരു പൊതു ജനങ്ങളെ പഠിക്കുമ്പോൾ. സാമ്പിൾ ശരാശരി ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ആയതിനാൽ, ഗവേഷകന് സ്വീകാര്യമായ പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ തലത്തിലാണ് അത്തരമൊരു പ്രവചനം നടത്തുന്നത്. IN ആരോഗ്യ ഗവേഷണംഇത് കുറഞ്ഞത് 95% ആണ്.

രജിസ്ട്രേഷൻ പിശകുകളുമായോ ശ്രദ്ധാ പിശകുകളുമായോ (സ്ലിപ്പുകൾ, തെറ്റായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ, അക്ഷരത്തെറ്റുകൾ മുതലായവ) പ്രാതിനിധ്യ പിശക് ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കാൻ കഴിയില്ല, ഇത് പരീക്ഷണ സമയത്ത് ഉപയോഗിക്കുന്ന മതിയായ രീതികളും ഉപകരണങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച് കുറയ്ക്കണം.

പ്രാതിനിധ്യ പിശകിൻ്റെ വ്യാപ്തി സാമ്പിൾ വലുപ്പത്തെയും സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. എങ്ങനെ വലിയ സംഖ്യനിരീക്ഷണങ്ങൾ, സാമ്പിൾ ജനസംഖ്യയോട് അടുക്കുംതോറും പിശക് ചെറുതും. ചിഹ്നം കൂടുതൽ വേരിയബിൾ ആകുമ്പോൾ, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പിശക് വർദ്ധിക്കും.

പ്രായോഗികമായി, വ്യതിയാന ശ്രേണിയിലെ പ്രാതിനിധ്യ പിശക് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

,

എവിടെ: എം - പ്രാതിനിധ്യത്തിൻ്റെ പിശക്;

σ - സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ;

എൻ- സാമ്പിളിലെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം.

ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് വലിപ്പം വ്യക്തമാണ് ശരാശരി പിശക്സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷന് നേരിട്ട് ആനുപാതികമാണ്, അതായത്, പഠിക്കുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനവും നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലത്തിന് വിപരീത അനുപാതവുമാണ്.

ആപേക്ഷിക മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ വിശകലനം നടത്തുമ്പോൾ, ഒരു വ്യതിയാന ശ്രേണി നിർമ്മിക്കുന്നത് ആവശ്യമില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ആപേക്ഷിക സൂചകങ്ങൾക്കായുള്ള ശരാശരി പിശക് നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ലളിതമായ ഒരു ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നടത്താം:

,

എവിടെ: ആർ- ആപേക്ഷിക സൂചകത്തിൻ്റെ മൂല്യം, ഒരു ശതമാനമായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു, ppm മുതലായവ;

q- P യുടെ പരസ്പരവും (1-P), (100-P), (1000-P) എന്നിങ്ങനെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതും, സൂചകം കണക്കാക്കിയതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ;

എൻ- സാമ്പിൾ ജനസംഖ്യയിലെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം.

എന്നിരുന്നാലും, ആപേക്ഷിക മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള പ്രാതിനിധ്യ പിശക് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള നിർദ്ദിഷ്ട ഫോർമുല സൂചകത്തിൻ്റെ മൂല്യം അതിൻ്റെ അടിത്തറയേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ മാത്രമേ പ്രയോഗിക്കാൻ കഴിയൂ. തീവ്രമായ സൂചകങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്ന നിരവധി കേസുകളിൽ, ഈ അവസ്ഥ പാലിക്കപ്പെടുന്നില്ല, കൂടാതെ സൂചകം 100% അല്ലെങ്കിൽ 1000% ൽ കൂടുതലായി പ്രകടിപ്പിക്കാം. അത്തരമൊരു സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു വ്യതിയാന ശ്രേണി നിർമ്മിക്കുകയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾക്കായുള്ള ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് പ്രാതിനിധ്യ പിശക് കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ജനസംഖ്യയിലെ ഗണിത ശരാശരിയുടെ മൂല്യം പ്രവചിക്കുന്നത് രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു - ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതും. ഈ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ സാധ്യമായ വ്യതിയാനങ്ങൾ, ജനസംഖ്യയുടെ ആവശ്യമുള്ള ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ ഉണ്ടാകാൻ സാധ്യതയുള്ളത് " അതിരുകൾ വിശ്വസിക്കുക».

99.7% പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ സാധാരണ വിതരണത്തിൽ, ശരാശരിയുടെ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങൾ ട്രിപ്പിൾ പ്രാതിനിധ്യ പിശകിൻ്റെ മൂല്യത്തേക്കാൾ വലുതായിരിക്കില്ലെന്ന് പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പോസ്റ്റുലേറ്റുകൾ തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട് ( എം ± 3 എം ); 95.5% ൽ - ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെ ശരാശരി പിശകിൻ്റെ ഇരട്ടിയിലധികം ഇല്ല ( എം ± 2 എം ); 68.3% ൽ - ഒരു ശരാശരി പിശകിൽ കൂടുതൽ ഇല്ല ( എം ± 1 എം ) (ചിത്രം 9).

അരി. 9. പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രത സാധാരണ വിതരണം.

സാധാരണ ഗൗസിയൻ വിതരണ നിയമം അനുസരിക്കുന്ന ഒരു ഫീച്ചറിന് മാത്രമേ മുകളിലെ പ്രസ്താവന ശരിയാണെന്ന കാര്യം ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഭൂരിപക്ഷം പരീക്ഷണാത്മക ഗവേഷണം, വൈദ്യശാസ്ത്രരംഗത്ത് ഉൾപ്പെടെ, അളവുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ ഏതാണ്ട് ഏത് മൂല്യവും എടുക്കും, അതിനാൽ, ഒരു ചട്ടം പോലെ, അവ തുടർച്ചയായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു മാതൃകയാണ് വിവരിക്കുന്നത്. ഇക്കാര്യത്തിൽ, മിക്ക സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ രീതികളും തുടർച്ചയായ വിതരണങ്ങളെ പരിഗണിക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനപരമായ പങ്ക് വഹിക്കുന്ന ഈ വിതരണങ്ങളിലൊന്ന് ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ, ആണ് സാധാരണ, അല്ലെങ്കിൽ ഗൗസിയൻ, വിതരണം.

ഇത് പല കാരണങ്ങളാലാണ്.

1. ഒന്നാമതായി, സാധാരണ വിതരണം ഉപയോഗിച്ച് പല പരീക്ഷണ നിരീക്ഷണങ്ങളും വിജയകരമായി വിവരിക്കാൻ കഴിയും. സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നതിനാൽ, തികച്ചും സാധാരണമായ അനുഭവപരമായ ഡാറ്റയുടെ വിതരണങ്ങളൊന്നും ഇല്ലെന്നത് ഉടനടി ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ക്രമരഹിതമായ മൂല്യംമുതൽ വരെയുള്ള പരിധിയിലാണ്, അത് പ്രായോഗികമായി ഒരിക്കലും സംഭവിക്കുന്നില്ല. എന്നിരുന്നാലും, സാധാരണ വിതരണം പലപ്പോഴും ഒരു ഏകദേശ കണക്കായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു.

മനുഷ്യശരീരത്തിൻ്റെ ഭാരം, ഉയരം, മറ്റ് ഫിസിയോളജിക്കൽ പാരാമീറ്ററുകൾ എന്നിവയുടെ അളവുകൾ നടത്തുന്നുണ്ടോ - എല്ലായിടത്തും ഫലങ്ങൾ വളരെ വലിയ ക്രമരഹിതമായ ഘടകങ്ങളാൽ സ്വാധീനിക്കപ്പെടുന്നു ( സ്വാഭാവിക കാരണങ്ങൾഅളക്കൽ പിശകുകളും). മാത്രമല്ല, ഒരു ചട്ടം പോലെ, ഈ ഓരോ ഘടകങ്ങളുടെയും പ്രഭാവം നിസ്സാരമാണ്. അത്തരം സന്ദർഭങ്ങളിലെ ഫലങ്ങൾ ഏകദേശം സാധാരണമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുമെന്ന് അനുഭവം കാണിക്കുന്നു.

2. റാൻഡം സാമ്പിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പല വിതരണങ്ങളും രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ അളവ് കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് സാധാരണമായിത്തീരുന്നു.

3. മറ്റ് തുടർച്ചയായ വിതരണങ്ങളുടെ ഏകദേശ കണക്കായി സാധാരണ വിതരണം നന്നായി യോജിക്കുന്നു (ഉദാഹരണത്തിന്, ചരിഞ്ഞത്).

4. സാധാരണ വിതരണത്തിന് അനുകൂലമായ സംഖ്യയുണ്ട് ഗണിത സവിശേഷതകൾ, അത് വലിയതോതിൽ നൽകിയിട്ടുണ്ട് വിശാലമായ ആപ്ലിക്കേഷൻസ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ.

അതേ സമയം, മെഡിക്കൽ ഡാറ്റയിൽ ഒരു സാധാരണ വിതരണ മാതൃകയിൽ വിവരിക്കാൻ കഴിയാത്ത നിരവധി പരീക്ഷണ വിതരണങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ സാധാരണയായി "Nonparametric" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന രീതികൾ വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്.

ഒരു പ്രത്യേക പരീക്ഷണത്തിൽ നിന്നുള്ള ഡാറ്റ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നതിന് അനുയോജ്യമായ ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ രീതി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത്, ലഭിച്ച ഡാറ്റ സാധാരണ വിതരണ നിയമത്തിൻ്റേതാണോ എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചാണ്. സാധാരണ വിതരണ നിയമത്തിന് ഒരു അടയാളം കീഴ്പ്പെടുത്തുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം പരിശോധിക്കുന്നത് ഒരു ഫ്രീക്വൻസി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഹിസ്റ്റോഗ്രാം (ഗ്രാഫ്), കൂടാതെ നിരവധി സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ മാനദണ്ഡങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് നടത്തുന്നത്. അവർക്കിടയിൽ:

അസമമിതി മാനദണ്ഡം ( ബി );

കുർട്ടോസിസ് ടെസ്റ്റ് മാനദണ്ഡം ( ജി );

ഷാപ്പിറോ-വിൽക്സ് ടെസ്റ്റ് ( ഡബ്ല്യു ) .

ഡാറ്റാ വിതരണത്തിൻ്റെ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ഒരു വിശകലനം (വിതരണത്തിൻ്റെ നോർമാലിറ്റിക്ക് വേണ്ടിയുള്ള ഒരു ടെസ്റ്റ് എന്നും അറിയപ്പെടുന്നു) ഓരോ പരാമീറ്ററിനും വേണ്ടി നടത്തപ്പെടുന്നു. ഒരു പരാമീറ്ററിൻ്റെ വിതരണം സാധാരണ നിയമവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുണ്ടോ എന്ന് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ വിലയിരുത്തുന്നതിന്, മതിയായ അളവിലുള്ള നിരീക്ഷണ യൂണിറ്റുകൾ (കുറഞ്ഞത് 30 മൂല്യങ്ങൾ) ആവശ്യമാണ്.

ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിന്, ചരിഞ്ഞതും കുർട്ടോസിസ് മാനദണ്ഡവും മൂല്യം 0 എടുക്കുന്നു. വിതരണം വലത്തേക്ക് മാറ്റുകയാണെങ്കിൽ ബി > 0 (പോസിറ്റീവ് അസമമിതി), കൂടെ ബി < 0 - график распределения смещен влево (отрицательная асимметрия). Критерий асимметрии проверяет форму кривой распределения. В случае нормального закона ജി =0. ചെയ്തത് ജി > 0 എങ്കിൽ വിതരണ വക്രം കൂടുതൽ മൂർച്ചയുള്ളതാണ് ജി < 0 пик более сглаженный, чем функция нормального распределения.

Shapiro-Wilks ടെസ്റ്റ് ഉപയോഗിച്ച് നോർമാലിറ്റി പരിശോധിക്കാൻ, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾ ഈ മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് ആവശ്യമായ ലെവൽപ്രാധാന്യവും നിരീക്ഷണ യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു (സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രി). അനുബന്ധം 1. ഈ മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ ചെറിയ മൂല്യങ്ങളിൽ നോർമാലിറ്റി സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കപ്പെട്ടു, ചട്ടം പോലെ, w <0,8.

ഗ്രൂപ്പിംഗ് രീതി നിങ്ങളെ അളക്കാനും അനുവദിക്കുന്നു വ്യതിയാനംഅടയാളങ്ങളുടെ (വ്യതിയാനം, ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ). ഒരു പോപ്പുലേഷനിലെ യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണം താരതമ്യേന ചെറുതാണെങ്കിൽ, ജനസംഖ്യയുള്ള യൂണിറ്റുകളുടെ റാങ്ക് സംഖ്യയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് വ്യതിയാനം അളക്കുന്നത്. പരമ്പര എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത് റാങ്ക് ചെയ്തു,സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ആരോഹണ (അവരോഹണ) ക്രമത്തിലാണ് യൂണിറ്റുകൾ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നതെങ്കിൽ.

എന്നിരുന്നാലും, വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ താരതമ്യ സ്വഭാവം ആവശ്യമുള്ളപ്പോൾ റാങ്ക് ചെയ്‌ത സീരീസ് തികച്ചും സൂചനയാണ്. കൂടാതെ, പല കേസുകളിലും ഒരു പ്രത്യേക ശ്രേണിയുടെ രൂപത്തിൽ പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ പ്രായോഗികമായി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു വലിയ യൂണിറ്റുകൾ അടങ്ങിയ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പോപ്പുലേഷനുമായി ഞങ്ങൾ ഇടപെടേണ്ടതുണ്ട്. ഇക്കാര്യത്തിൽ, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഡാറ്റയുമായുള്ള പ്രാഥമിക പൊതു പരിചയത്തിനും പ്രത്യേകിച്ച് സ്വഭാവസവിശേഷതകളിലെ വ്യതിയാനങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം സുഗമമാക്കുന്നതിനും, പഠനത്തിന് കീഴിലുള്ള പ്രതിഭാസങ്ങളും പ്രക്രിയകളും സാധാരണയായി ഗ്രൂപ്പുകളായി സംയോജിപ്പിക്കുകയും ഗ്രൂപ്പിംഗ് ഫലങ്ങൾ ഗ്രൂപ്പ് പട്ടികകളുടെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ടേബിളിൽ രണ്ട് നിരകൾ മാത്രമേ ഉള്ളൂ എങ്കിൽ - തിരഞ്ഞെടുത്ത സ്വഭാവം (ഓപ്ഷനുകൾ), ഗ്രൂപ്പുകളുടെ എണ്ണം (ഫ്രീക്വൻസി അല്ലെങ്കിൽ ഫ്രീക്വൻസി) അനുസരിച്ച് ഗ്രൂപ്പുകൾ. വിതരണത്തിന് സമീപം.

വിതരണ ശ്രേണി -ഒരു സ്വഭാവത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഘടനാപരമായ ഗ്രൂപ്പിംഗിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ തരം, രണ്ട് നിരകളുള്ള ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ടേബിളിൽ, സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വകഭേദങ്ങളും ആവൃത്തികളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. പല കേസുകളിലും, അത്തരമൊരു ഘടനാപരമായ ഗ്രൂപ്പിംഗിനൊപ്പം, അതായത്. വിതരണ പരമ്പരകളുടെ സമാഹാരത്തോടെ, പ്രാരംഭ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ മെറ്റീരിയലിൻ്റെ പഠനം ആരംഭിക്കുന്നു.

തിരഞ്ഞെടുത്ത ഗ്രൂപ്പുകൾ ആവൃത്തികളാൽ മാത്രമല്ല, മറ്റ് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സൂചകങ്ങളാലും സവിശേഷതകളാണെങ്കിൽ, ഒരു വിതരണ ശ്രേണിയുടെ രൂപത്തിലുള്ള ഒരു ഘടനാപരമായ ഗ്രൂപ്പിംഗ് ഒരു യഥാർത്ഥ ഘടനാപരമായ ഗ്രൂപ്പിംഗായി മാറ്റാം. വിതരണ ശ്രേണിയുടെ പ്രധാന ലക്ഷ്യം സ്വഭാവങ്ങളുടെ വ്യതിയാനം പഠിക്കുക എന്നതാണ്. വിതരണ ശ്രേണിയുടെ സിദ്ധാന്തം ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ വിശദമായി വികസിപ്പിച്ചെടുത്തിട്ടുണ്ട്.

വിതരണ ശ്രേണിയെ തിരിച്ചിരിക്കുന്നു ആട്രിബ്യൂട്ട്(ആട്രിബ്യൂട്ടീവ് സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ അനുസരിച്ച് ഗ്രൂപ്പുചെയ്യൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ജനസംഖ്യയെ ലിംഗഭേദം, ദേശീയത, വൈവാഹിക നില മുതലായവ പ്രകാരം വിഭജിക്കുക) കൂടാതെ വൈവിധ്യമാർന്ന(അളവിലുള്ള സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ അനുസരിച്ച് ഗ്രൂപ്പിംഗ്).

വ്യതിയാന പരമ്പരരണ്ട് നിരകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു ഗ്രൂപ്പ് ടേബിളാണ്: ഒരു ക്വാണ്ടിറ്റേറ്റീവ് സ്വഭാവവും ഓരോ ഗ്രൂപ്പിലെയും യൂണിറ്റുകളുടെ എണ്ണവും അനുസരിച്ച് യൂണിറ്റുകളുടെ ഗ്രൂപ്പിംഗ്. വ്യതിയാന ശ്രേണിയിലെ ഇടവേളകൾ സാധാരണയായി തുല്യവും അടഞ്ഞതുമാണ്. ശരാശരി ആളോഹരി പണ വരുമാനം അനുസരിച്ച് റഷ്യൻ ജനസംഖ്യയുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന ഗ്രൂപ്പിംഗാണ് വ്യതിയാന പരമ്പര (പട്ടിക 3.10).

പട്ടിക 3.10

2004-2009 ലെ ശരാശരി പ്രതിശീർഷ വരുമാനം അനുസരിച്ച് റഷ്യയിലെ ജനസംഖ്യയുടെ വിതരണം.

വേരിയേഷൻ സീരീസ്, അതാകട്ടെ, വ്യതിരിക്തവും ഇടവേളയും ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. ഡിസ്ക്രീറ്റ്വേരിയേഷൻ സീരീസ് ഇടുങ്ങിയ പരിധിക്കുള്ളിൽ വ്യത്യാസപ്പെടുന്ന വ്യതിരിക്ത സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ വകഭേദങ്ങൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു പ്രത്യേക വ്യതിയാന പരമ്പരയുടെ ഒരു ഉദാഹരണം റഷ്യൻ കുടുംബങ്ങൾ അവരുടെ കുട്ടികളുടെ എണ്ണം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു.

ഇടവേളവേരിയേഷൻ സീരീസ് തുടർച്ചയായ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ അല്ലെങ്കിൽ വിശാലമായ ശ്രേണിയിൽ വ്യത്യാസമുള്ള വ്യതിരിക്തമായ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ എന്നിവ സംയോജിപ്പിക്കുന്നു. ശരാശരി ആളോഹരി പണ വരുമാനം അനുസരിച്ച് റഷ്യൻ ജനസംഖ്യയുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ വ്യതിയാന പരമ്പരയാണ് ഇടവേള.

വ്യതിരിക്തമായ വ്യതിയാന പരമ്പരകൾ പ്രായോഗികമായി പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറില്ല. അതേസമയം, അവ കംപൈൽ ചെയ്യുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല, കാരണം ഗ്രൂപ്പുകളുടെ ഘടന നിർണ്ണയിക്കുന്നത് പഠിച്ച ഗ്രൂപ്പിംഗ് സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന നിർദ്ദിഷ്ട വകഭേദങ്ങളാണ്.

ഇടവേള വ്യതിയാന പരമ്പരകൾ കൂടുതൽ വ്യാപകമാണ്. അവ കംപൈൽ ചെയ്യുമ്പോൾ, ഗ്രൂപ്പുകളുടെ എണ്ണത്തെക്കുറിച്ചും സ്ഥാപിക്കേണ്ട ഇടവേളകളുടെ വലുപ്പത്തെക്കുറിച്ചും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു.

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള തത്വങ്ങൾ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഗ്രൂപ്പിംഗുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിശാസ്ത്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അധ്യായത്തിൽ സജ്ജീകരിച്ചിരിക്കുന്നു (ഖണ്ഡിക 3.3 കാണുക).

വൈവിധ്യമാർന്ന വിവരങ്ങളെ ഒരു കോംപാക്റ്റ് രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കുന്നതിനോ കംപ്രസ്സുചെയ്യുന്നതിനോ ഉള്ള ഒരു ഉപാധിയാണ് വേരിയേഷൻ സീരീസ്; എന്നാൽ വ്യതിയാന പരമ്പരകളുടെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട പ്രാധാന്യം, അവയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പ്രത്യേക സാമാന്യവൽക്കരണ സവിശേഷതകൾ കണക്കാക്കുന്നു എന്നതാണ് (അധ്യായം 7 കാണുക).