പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റും അതിൻ്റെ ഗുണങ്ങളും. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ എസ്റ്റിമേഷൻ

s x =(1.11)

നിരീക്ഷിക്കാവുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പ്രധാന പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ പരിഗണിക്കും. കുറച്ച് സാമ്പിൾ ഉണ്ടാകട്ടെ (ഞങ്ങൾ അത് സൂചിപ്പിക്കും എസ്) റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്. ലഭ്യമായ സാമ്പിളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് അജ്ഞാത മൂല്യങ്ങൾ m xഒപ്പം .

വിവിധ പാരാമീറ്ററുകളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് സിദ്ധാന്തം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾപ്രധാനപ്പെട്ട സ്ഥലം. അതിനാൽ, നമുക്ക് ആദ്യം പരിഗണിക്കാം പൊതു ചുമതല. ചില പരാമീറ്റർ കണക്കാക്കേണ്ടത് അത്യാവശ്യമായിരിക്കട്ടെ എസാമ്പിൾ വഴി എസ്. അത്തരം ഓരോ വിലയിരുത്തലും ഒരു*ചില പ്രവർത്തനമാണ് a*=a*(S)സാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്ന്. സാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങൾ ക്രമരഹിതമാണ്, അതിനാൽ എസ്റ്റിമേറ്റ് തന്നെ ഒരു*ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണ്. പലതും നിർമ്മിക്കാൻ സാധിക്കും വ്യത്യസ്ത കണക്കുകൾ(അതായത് പ്രവർത്തനങ്ങൾ) ഒരു*, എന്നാൽ അതേ സമയം ഒരു "നല്ലത്" അല്ലെങ്കിൽ "മികച്ചത്", ഒരർത്ഥത്തിൽ വിലയിരുത്തൽ ഉണ്ടായിരിക്കുന്നത് അഭികാമ്യമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന മൂന്ന് സ്വാഭാവിക ആവശ്യകതകൾ സാധാരണയായി വിലയിരുത്തലുകളിൽ അടിച്ചേൽപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.

1. സ്ഥാനഭ്രംശം ഇല്ലാത്തത്.വിലയിരുത്തലിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ഒരു*പരാമീറ്ററിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കണം: എം = എ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സ്കോർ ഒരു*വ്യവസ്ഥാപിത പിശക് പാടില്ല.

2. സമ്പത്ത്.സാമ്പിൾ വലുപ്പത്തിൽ അനന്തമായ വർദ്ധനവോടെ, എസ്റ്റിമേറ്റ് ഒരു*ഒരു കൃത്യമായ മൂല്യത്തിലേക്ക് ഒത്തുചേരണം, അതായത്, നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച്, എസ്റ്റിമേഷൻ പിശക് പൂജ്യമായി മാറുന്നു.

3. കാര്യക്ഷമത.ഗ്രേഡ് ഒരു*പക്ഷപാതരഹിതവും സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ പിശക് വ്യത്യാസമുണ്ടെങ്കിൽ അത് കാര്യക്ഷമമാണെന്ന് പറയപ്പെടുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ വ്യാപനം വളരെ കുറവാണ് ഒരു*കൃത്യമായ മൂല്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ എസ്റ്റിമേറ്റ് ഒരു പ്രത്യേക അർത്ഥത്തിൽ "ഏറ്റവും കൃത്യമാണ്".

നിർഭാഗ്യവശാൽ, മൂന്ന് ആവശ്യകതകളും ഒരേസമയം തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു വിലയിരുത്തൽ നിർമ്മിക്കുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും സാധ്യമല്ല.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കാൻ, ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

= , (1.12)

അതായത്, സാമ്പിളിൻ്റെ ഗണിത ശരാശരി. റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണെങ്കിൽ എക്സ്പരിമിതമാണ് m xഒപ്പം s x, അപ്പോൾ എസ്റ്റിമേറ്റ് (1.12) പക്ഷപാതപരവും സ്ഥിരതയുള്ളതുമല്ല. ഈ കണക്ക് ഫലപ്രദമാണ്, ഉദാഹരണത്തിന്, എങ്കിൽ എക്സ്ഒരു സാധാരണ വിതരണമുണ്ട് (ചിത്രം 1.4, അനുബന്ധം 1). മറ്റ് വിതരണങ്ങൾക്ക് ഇത് ഫലപ്രദമാകണമെന്നില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഏകീകൃത വിതരണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ (ചിത്രം 1.1, അനുബന്ധം 1), നിഷ്പക്ഷവും സ്ഥിരവുമായ ഒരു കണക്ക്

(1.13)

അതേ സമയം, സാധാരണ വിതരണത്തിനായുള്ള എസ്റ്റിമേറ്റ് (1.13) സ്ഥിരതയോ ഫലപ്രദമോ ആയിരിക്കില്ല, മാത്രമല്ല സാമ്പിൾ വലുപ്പം വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് കൂടുതൽ മോശമാവുകയും ചെയ്യും.

അങ്ങനെ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഓരോ തരം വിതരണത്തിനും എക്സ്നിങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉപയോഗിക്കണം. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങളുടെ സാഹചര്യത്തിൽ, വിതരണത്തിൻ്റെ തരം താൽക്കാലികമായി മാത്രമേ അറിയാൻ കഴിയൂ. അതിനാൽ, ഞങ്ങൾ എസ്റ്റിമേറ്റ് (1.12) ഉപയോഗിക്കും, അത് വളരെ ലളിതവും ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഉള്ളതുമാണ് പ്രധാനപ്പെട്ട പ്രോപ്പർട്ടികൾനിഷ്പക്ഷതയും സ്ഥിരതയും.

ഒരു ഗ്രൂപ്പുചെയ്ത സാമ്പിളിനായുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

= , (1.14)

ഞങ്ങൾ എല്ലാം പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ മുമ്പത്തേതിൽ നിന്ന് ലഭിക്കും എം ഐസാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങൾ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട് ഐപ്രതിനിധിക്ക് തുല്യമായ ഇടവേള z iഈ ഇടവേള. ഈ എസ്റ്റിമേറ്റ് സ്വാഭാവികമായും പരുക്കനാണ്, പക്ഷേ വളരെ കുറച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ ആവശ്യമാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് ഒരു വലിയ സാമ്പിൾ വലുപ്പത്തിൽ.

വ്യത്യാസം കണക്കാക്കാൻ ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന എസ്റ്റിമേറ്റ്:

= , (1.15)

ഈ എസ്റ്റിമേറ്റ് പക്ഷപാതപരമല്ല കൂടാതെ ഏത് റാൻഡം വേരിയബിളിനും സാധുതയുള്ളതാണ് എക്സ്, നാലാമത്തെ ഓർഡർ ഉൾപ്പെടെയുള്ള പരിമിതമായ നിമിഷങ്ങൾ.

ഒരു ഗ്രൂപ്പുചെയ്ത സാമ്പിളിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, ഉപയോഗിച്ച എസ്റ്റിമേറ്റ്:

= (1.16)

എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ (1.14), (1.16), ചട്ടം പോലെ, പക്ഷപാതപരവും അംഗീകരിക്കാനാവാത്തതുമാണ്, കാരണം അവയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളും അവ സംയോജിക്കുന്ന പരിധികളും വ്യത്യസ്തമാണ് m xഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന എല്ലാ സാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങളും മാറ്റിസ്ഥാപിച്ചതിനാൽ ഐ-th ഇടവേള, ഓരോ ഇടവേള പ്രതിനിധി z i.

വലുതായി എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക n,ഗുണകം n/(n - 1)(1.15), (1.16) എന്നീ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ ഐക്യത്തിന് അടുത്താണ്, അതിനാൽ അത് ഒഴിവാക്കാവുന്നതാണ്.

ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റ്.

അനുവദിക്കുക കൃത്യമായ മൂല്യംചില പരാമീറ്റർ തുല്യമാണ് എഅതിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് കണ്ടെത്തി a*(S)സാമ്പിൾ വഴി എസ്. വിലയിരുത്തൽ ഒരു*സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ (ചിത്രം 1.5) ഒരു പോയിൻ്റുമായി യോജിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഈ എസ്റ്റിമേറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു പോയിൻ്റ്. മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ ചർച്ച ചെയ്ത എല്ലാ എസ്റ്റിമേറ്റുകളും പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റുകളാണ്. മിക്കവാറും എപ്പോഴും, അവസരം കാരണം

a* ¹ a, ഞങ്ങൾ പോയിൻ്റ് മാത്രം പ്രതീക്ഷിക്കാം ഒരു*അടുത്തെവിടെയോ ആണ് എ. എന്നാൽ എത്ര അടുത്താണ്? മറ്റേതൊരു പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റിനും ഇതേ പോരായ്മ ഉണ്ടാകും - ഫലത്തിൻ്റെ വിശ്വാസ്യതയുടെ അളവിൻ്റെ അഭാവം.

ചിത്രം.1.5. പോയിൻ്റ് പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റ്.

ഇക്കാര്യത്തിൽ കൂടുതൽ വ്യക്തതയുണ്ട് ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റ്. ഇടവേള സ്കോർ ഒരു ഇടവേളയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു I b = (a, b), ഇതിൽ കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ കണ്ടെത്തുന്നു ബി. ഇടവേള ഐബിവിളിച്ചു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള, ഒപ്പം സാധ്യതയും ബിവിളിച്ചു ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യത എന്നിങ്ങനെ കണക്കാക്കാം വിലയിരുത്തലിൻ്റെ വിശ്വാസ്യത.

ലഭ്യമായ സാമ്പിളിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള എസ്, അതിൻ്റെ അതിരുകൾ ക്രമരഹിതമാണ് എന്ന അർത്ഥത്തിൽ ഇത് ക്രമരഹിതമാണ് a(S)ഒപ്പം ബി(എസ്), ഞങ്ങൾ ഒരു (റാൻഡം) സാമ്പിളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കും. അതുകൊണ്ടാണ് ബിക്രമരഹിതമായ ഇടവേള ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യതയുണ്ട് ഐബിഒരു നോൺ-റാൻഡം പോയിൻ്റ് കവർ ചെയ്യും എ. ചിത്രത്തിൽ. 1.6 ഇടവേള ഐബിപോയിൻ്റ് മൂടി എ, എ Ib*- ഇല്ല. അതിനാൽ, അങ്ങനെ പറയുന്നത് പൂർണ്ണമായും ശരിയല്ല ഒരു "ഇടവേളയിൽ വീഴുന്നു.

ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യതയാണെങ്കിൽ ബിവലിയ (ഉദാഹരണത്തിന്, b = 0.999), അപ്പോൾ മിക്കവാറും എപ്പോഴും കൃത്യമായ മൂല്യം എനിർമ്മിച്ച ഇടവേളയിലാണ്.

ചിത്രം.1.6. പരാമീറ്ററിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ എവ്യത്യസ്ത സാമ്പിളുകൾക്കായി.

നമുക്ക് നിർമ്മാണ രീതി പരിഗണിക്കാം ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കായി X,ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തം.

റാൻഡം വേരിയബിൾ അനുവദിക്കുക എക്സ്അജ്ഞാതമായ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുണ്ട് m xഒപ്പം അറിയപ്പെടുന്ന വ്യതിയാനം. തുടർന്ന്, കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, ഗണിത ശരാശരി:

= , (1.17)

ഫലങ്ങൾ എൻ സ്വതന്ത്ര പരിശോധനകൾഅളവ് എക്സ്ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, അതിൻ്റെ വിതരണം വലുതാണ് എൻ, അടുത്ത് സാധാരണ വിതരണംശരാശരി കൂടെ m xസ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും. അതിനാൽ റാൻഡം വേരിയബിൾ

(1.18)

പരിഗണിക്കാവുന്ന ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുണ്ട് സാധാരണ സാധാരണവിതരണ സാന്ദ്രതയോടെ j(t), ഇതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 1.7 (അതുപോലെ ചിത്രം 1.4, അനുബന്ധം 1) ൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു.

ചിത്രം.1.7. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ടി.

ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യത നൽകട്ടെ ബിഒപ്പം ടി ബി -സമവാക്യത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന സംഖ്യ

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

എവിടെ - ലാപ്ലേസ് പ്രവർത്തനം. അപ്പോൾ ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത (-ടി ബി, ടി ബി)ചിത്രം 1.7 ലെ ഷേഡുള്ള ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കും. വിസ്തീർണ്ണം, കൂടാതെ, പദപ്രയോഗം (1.19), തുല്യമാണ് ബി. അതുകൊണ്ട്

b = P(-t b< < t b) = P( – ടിബി< m x < + t b) =

= പി( – ടിബി< m x < + ടി ബി )(1.20)

അതിനാൽ, ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള എന്ന നിലയിൽ നമുക്ക് ഇടവേള എടുക്കാം

I b = ( – ടി ബി; +t b ) , (1.21)

എക്സ്പ്രഷൻ (1.20) അർത്ഥമാക്കുന്നത് അജ്ഞാതമായ കൃത്യമായ മൂല്യം എന്നാണ് m xഅകത്തുണ്ട് ഐബിതന്നിരിക്കുന്ന ആത്മവിശ്വാസ സംഭാവ്യതയോടെ ബി. പണിയാൻ ഐബിവ്യക്തമാക്കിയ പോലെ ആവശ്യമാണ് ബികണ്ടെത്തുക ടി ബിസമവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (1.19). നമുക്ക് കുറച്ച് മൂല്യങ്ങൾ നൽകാം ടി ബിഭാവിയിൽ ആവശ്യമാണ് :

t 0.9 = 1.645; t 0.95 = 1.96; t 0.99 = 2.58; t 0.999 = 3.3.

എക്സ്പ്രഷൻ (1.21) ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരുമ്പോൾ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം അറിയാമെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെട്ടു. s x. എന്നിരുന്നാലും, ഇത് എല്ലായ്പ്പോഴും അറിയപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ നമുക്ക് അവൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് (1.15) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് നേടാം:

I b = ( – ടി ബി; +tb). (1.22)

അതനുസരിച്ച്, ഗ്രൂപ്പുചെയ്‌ത സാമ്പിളിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റുകളും ലഭിച്ചതും ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുല നൽകുന്നു:

I b = ( – ടി ബി; +tb). (1.23)

പ്രഭാഷണത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം: ഒരു അജ്ഞാത വിതരണ പാരാമീറ്റർ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആശയം അവതരിപ്പിക്കുകയും അത്തരം എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ ഒരു വർഗ്ഗീകരണം നൽകുകയും ചെയ്യുക; ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെയും വ്യതിചലനത്തിൻ്റെയും പോയിൻ്റും ഇടവേളയും എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ നേടുക.

പ്രായോഗികമായി, മിക്ക കേസുകളിലും, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം അജ്ഞാതമാണ്, കൂടാതെ നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ അനുസരിച്ച്
സംഖ്യാപരമായ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, ചിതറിക്കൽ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് നിമിഷങ്ങൾ) അല്ലെങ്കിൽ ഒരു അജ്ഞാത പാരാമീറ്റർ കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. , ഇത് വിതരണ നിയമം നിർണ്ണയിക്കുന്നു (വിതരണ സാന്ദ്രത)
റാൻഡം വേരിയബിൾ പഠിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനോ പോയിസൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനോ, ഒരു പരാമീറ്റർ കണക്കാക്കിയാൽ മതി, എന്നാൽ ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിന്, രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കണം - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും.

വിലയിരുത്തലുകളുടെ തരങ്ങൾ

റാൻഡം വേരിയബിൾ
ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഉണ്ട്
, എവിടെ - അജ്ഞാത വിതരണ പാരാമീറ്റർ. പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ലഭിച്ചു:
. ഒരു വിലയിരുത്തൽ നടത്തുന്നതിന് അടിസ്ഥാനപരമായി അർത്ഥമാക്കുന്നത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാമ്പിൾ മൂല്യങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത പാരാമീറ്റർ മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തിയിരിക്കണം എന്നാണ്. , അതായത് നിരീക്ഷണ ഫലങ്ങളുടെ ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുക
, ഇതിൻ്റെ മൂല്യം ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ആയി കണക്കാക്കുന്നു പരാമീറ്റർ . സൂചിക നടത്തിയ പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

നിരീക്ഷണ ഫലങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്ന ഏതൊരു പ്രവർത്തനത്തെയും വിളിക്കുന്നു സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ. നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ ആയതിനാൽ, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളും ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളായിരിക്കും. അതിനാൽ, വിലയിരുത്തൽ
അജ്ഞാത പാരാമീറ്റർ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളായി കണക്കാക്കണം, അതിൻ്റെ മൂല്യം, വോളിയത്തിലെ പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നു , - ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളിൽ ഒന്നായി.

ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പാരാമീറ്ററുകളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ (ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ) പോയിൻ്റും ഇടവേളയും ആയി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ്പരാമീറ്റർ ഒരു സംഖ്യയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു , അതിൻ്റെ കൃത്യത എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ വ്യതിയാനത്താൽ സവിശേഷതയാണ്. ഇടവേള കണക്കാക്കൽരണ്ട് അക്കങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന സ്കോർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, ഒപ്പം - കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്റർ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഇടവേളയുടെ അവസാനങ്ങൾ തന്നിരിക്കുന്ന ആത്മവിശ്വാസ സംഭാവ്യതയോടെ.

പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം

ഒരു അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററിൻ്റെ പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റിനായി
കൃത്യതയുടെ കാര്യത്തിൽ മികച്ചത്, അത് സ്ഥിരതയുള്ളതും നിഷ്പക്ഷവും കാര്യക്ഷമവുമായിരിക്കണം.

സമ്പന്നൻവിലയിരുത്തൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു
പരാമീറ്റർ , ഇത് കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററിലേക്ക് സംഭാവ്യതയിൽ ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്.

. (8.8)

ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, അത് കാണിക്കാൻ കഴിയും മതിയായ അവസ്ഥബന്ധത്തിൻ്റെ പൂർത്തീകരണം (8.8) തുല്യതയാണ്

.

ലെ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ ഒരു അസിംപ്റ്റോട്ടിക് സ്വഭാവമാണ് സ്ഥിരത
.

നിഷ്പക്ഷതവിലയിരുത്തൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു
(സിസ്റ്റമാറ്റിക് പിശക് ഇല്ലാതെ കണക്കാക്കുക), ഇതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കിയ പാരാമീറ്ററിന് തുല്യമാണ്, അതായത്.

. (8.9)

സമത്വം (8.9) തൃപ്തികരമല്ലെങ്കിൽ, എസ്റ്റിമേറ്റിനെ പക്ഷപാതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വ്യത്യാസം
പക്ഷപാതം അല്ലെങ്കിൽ എസ്റ്റിമേറ്റിലെ വ്യവസ്ഥാപിത പിശക് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സമത്വം (8.9) തൃപ്തികരമാണെങ്കിൽ
, അപ്പോൾ അനുബന്ധ എസ്റ്റിമേറ്റിനെ അസിംപ്റ്റിക്കലി അൺബയാസ്ഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ എസ്റ്റിമേറ്റുകൾക്കും സ്ഥിരത മിക്കവാറും നിർബന്ധിത വ്യവസ്ഥയാണെങ്കിൽ (പൊരുത്തമില്ലാത്ത എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ), പക്ഷപാതരഹിതതയുടെ സ്വത്ത് അഭികാമ്യമാണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. പതിവായി ഉപയോഗിക്കുന്ന പല എസ്റ്റിമേറ്റുകളിലും നിഷ്പക്ഷമായ സ്വത്ത് ഇല്ല.

IN പൊതുവായ കേസ്ചില പരാമീറ്ററുകളുടെ എസ്റ്റിമേഷൻ്റെ കൃത്യത , പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ലഭിച്ചു
, ശരാശരി ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിശക് സവിശേഷതയാണ്

,

രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാൻ കഴിയുന്നത്

,

എവിടെയാണ് വ്യത്യാസം,
- സ്ക്വയർ എസ്റ്റിമേറ്റ് ബയസ്.

എസ്റ്റിമേറ്റ് നിഷ്പക്ഷമാണെങ്കിൽ

പരിമിതമായ സമയത്ത് ശരാശരി ചതുരാകൃതിയിലുള്ള പിശക് അനുസരിച്ച് കണക്കാക്കലുകൾ വ്യത്യാസപ്പെടാം . സ്വാഭാവികമായും, ഈ പിശക് ചെറുതാകുമ്പോൾ, മൂല്യനിർണ്ണയ മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കിയ പാരാമീറ്ററിന് ചുറ്റും ഗ്രൂപ്പുചെയ്യുന്നു. അതിനാൽ, എസ്റ്റിമേഷൻ പിശക് കഴിയുന്നത്ര ചെറുതാകുന്നത് എല്ലായ്പ്പോഴും അഭികാമ്യമാണ്, അതായത്, വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്

. (8.10)

വിലയിരുത്തൽ , തൃപ്തികരമായ അവസ്ഥ (8.10), ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സ്ക്വയർ പിശകുള്ള എസ്റ്റിമേറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഫലപ്രദമാണ്വിലയിരുത്തൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു
, അതിനായി ശരാശരി സ്‌ക്വയർ പിശക് മറ്റേതൊരു എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെയും ശരാശരി സ്‌ക്വയർ പിശകിനേക്കാൾ വലുതല്ല, അതായത്.

എവിടെ - മറ്റേതെങ്കിലും പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റ് .

ഒരു പരാമീറ്ററിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും പക്ഷപാതരഹിതമായ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ വ്യതിയാനം എന്ന് അറിയാം ക്രാമർ-റാവു അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു

,

എവിടെ
- പാരാമീറ്ററിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തിൽ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ സോപാധിക പ്രോബബിലിറ്റി സാന്ദ്രത വിതരണം .

അങ്ങനെ, നിഷ്പക്ഷമായ കണക്ക്
, ക്രാമർ-റാവു അസമത്വം തുല്യതയായി മാറുന്നത് ഫലപ്രദമാകും, അതായത്, അത്തരമൊരു കണക്കിന് കുറഞ്ഞ വ്യത്യാസമുണ്ട്.

പ്രതീക്ഷയുടെയും വ്യതിയാനത്തിൻ്റെയും പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ
, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുണ്ട് വ്യതിയാനവും , അപ്പോൾ ഈ രണ്ട് പരാമീറ്ററുകളും അജ്ഞാതമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിലൂടെ
ഉത്പാദിപ്പിച്ചു ഫലങ്ങൾ നൽകുന്ന സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങൾ:
. അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകളുടെ സ്ഥിരവും നിഷ്പക്ഷവുമായ കണക്കുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ഒപ്പം .

കണക്കുകൾ പ്രകാരം ഒപ്പം സാധാരണയായി സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ (സാമ്പിൾ) ശരാശരിയും സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ (സാമ്പിൾ) വ്യത്യാസവും യഥാക്രമം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു:

; (8.11)

. (8.12)

വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമം (ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം) അനുസരിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ (8.11) അനുരൂപമാണ്:

.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രതീക്ഷ

.

അതിനാൽ, എസ്റ്റിമേറ്റ് നിഷ്പക്ഷമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ വ്യാപനം:

റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണെങ്കിൽ
സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു, തുടർന്ന് എസ്റ്റിമേറ്റ് ഫലപ്രദവുമാണ്.

വേരിയൻസ് എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ പ്രതീക്ഷ

അതേസമയത്ത്

.

കാരണം
, എ
, അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കും

. (8.13)

അങ്ങനെ,
- ഒരു പക്ഷപാതപരമായ വിലയിരുത്തൽ, അത് സ്ഥിരവും ഫലപ്രദവുമാണ്.

സൂത്രവാക്യത്തിൽ നിന്ന് (8.13) നിഷ്പക്ഷമായ ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ലഭിക്കുന്നതിന് അത് പിന്തുടരുന്നു
സാമ്പിൾ വ്യത്യാസം (8.12) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പരിഷ്കരിക്കണം:

എസ്റ്റിമേറ്റിനേക്കാൾ (8.12) താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ "മികച്ചത്" എന്ന് കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു, വലുതാണെങ്കിലും ഈ കണക്കുകൾ പരസ്പരം ഏതാണ്ട് തുല്യമാണ്.

ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പാരാമീറ്ററുകളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് നേടുന്നതിനുള്ള രീതികൾ

പലപ്പോഴും പ്രായോഗികമായി, റാൻഡം വേരിയബിൾ സൃഷ്ടിക്കുന്ന ഫിസിക്കൽ മെക്കാനിസത്തിൻ്റെ വിശകലനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി
, ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമത്തെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്താം. എന്നിരുന്നാലും, ഈ വിതരണത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ അജ്ഞാതമാണ്, സാധാരണയായി ഒരു പരിമിത സാമ്പിളിൻ്റെ രൂപത്തിൽ അവതരിപ്പിക്കപ്പെടുന്ന പരീക്ഷണ ഫലങ്ങളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയിരിക്കണം.
. ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന്, രണ്ട് രീതികൾ മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു: നിമിഷങ്ങളുടെ രീതിയും പരമാവധി സാധ്യതയുള്ള രീതിയും.

നിമിഷങ്ങളുടെ രീതി. സൈദ്ധാന്തിക നിമിഷങ്ങളെ സമാന ക്രമത്തിലുള്ള അനുരൂപമായ മുഹൂർത്തങ്ങളുമായി തുലനം ചെയ്യുന്നതാണ് രീതി.

അനുഭവപരമായ ആരംഭ പോയിൻ്റുകൾ -th ഓർഡർ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു:

,

അനുബന്ധ സൈദ്ധാന്തിക പ്രാരംഭ നിമിഷങ്ങളും -th ഓർഡർ - ഫോർമുലകൾ:

ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്കായി,

തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്കായി,

എവിടെ - കണക്കാക്കിയ വിതരണ പാരാമീറ്റർ.

രണ്ട് അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ അടങ്ങിയ ഒരു വിതരണത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ലഭിക്കുന്നതിന് ഒപ്പം , രണ്ട് സമവാക്യങ്ങളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു

എവിടെ ഒപ്പം - രണ്ടാം ഓർഡറിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തികവും അനുഭവപരവുമായ കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾ.

സമവാക്യങ്ങളുടെ സമ്പ്രദായത്തിനുള്ള പരിഹാരം എസ്റ്റിമേറ്റുകളാണ് ഒപ്പം അജ്ഞാത വിതരണ പാരാമീറ്ററുകൾ ഒപ്പം .

ആദ്യ ഓർഡറിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തികവും അനുഭവപരവുമായ പ്രാരംഭ നിമിഷങ്ങൾ തുല്യമാക്കുന്നതിലൂടെ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ ഞങ്ങൾ അത് നേടുന്നു.
, ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ വിതരണം ഉള്ളത്, സാമ്പിൾ ശരാശരി ആയിരിക്കും, അതായത്.
. തുടർന്ന്, രണ്ടാം ഓർഡറിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തികവും അനുഭവപരവുമായ കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങളെ സമീകരിക്കുമ്പോൾ, ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് നമുക്ക് ലഭിക്കും.
, ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ വിതരണമുള്ളത്, ഫോർമുലയാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു

.

സമാനമായ രീതിയിൽ, ഏതെങ്കിലും ഓർഡറിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക നിമിഷങ്ങളുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് കണ്ടെത്താനാകും.

നിമിഷങ്ങളുടെ രീതി ലളിതമാണ്, സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ആവശ്യമില്ല, എന്നാൽ ഈ രീതിയിലൂടെ ലഭിച്ച കണക്കുകൾ പലപ്പോഴും ഫലപ്രദമല്ല.

പരമാവധി സാധ്യതയുള്ള രീതി. അജ്ഞാത ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പാരാമീറ്ററുകളുടെ പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ പരമാവധി സാധ്യതാ രീതി ഒന്നോ അതിലധികമോ കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററുകളുടെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പരമാവധി കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് വരുന്നു.

അനുവദിക്കുക
ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണ്, അതിൻ്റെ ഫലമായി പരിശോധനകൾ മൂല്യങ്ങൾ എടുത്തു
. ഒരു അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ലഭിക്കുന്നതിന് അത്തരമൊരു മൂല്യം കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് , ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സാമ്പിൾ നടപ്പിലാക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത പരമാവധി ആയിരിക്കും. കാരണം
ഒരേ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഉള്ള പരസ്പര സ്വതന്ത്രമായ അളവുകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു
, അത് സാധ്യത പ്രവർത്തനംആർഗ്യുമെൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷനെ വിളിക്കുക :

പരാമീറ്ററിൻ്റെ പരമാവധി സാധ്യത കണക്കാക്കൽ ഈ മൂല്യത്തെ വിളിക്കുന്നു , സാധ്യതാ പ്രവർത്തനം പരമാവധി എത്തുമ്പോൾ, അതായത്, സമവാക്യത്തിനുള്ള ഒരു പരിഹാരമാണ്

,

ഇത് പരിശോധനാ ഫലങ്ങളെ വ്യക്തമായി ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു
.

പ്രവർത്തനങ്ങൾ മുതൽ
ഒപ്പം
ഒരേ മൂല്യങ്ങളിൽ പരമാവധി എത്തുക
, പിന്നീട് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ലളിതമാക്കാൻ അവർ പലപ്പോഴും ലോഗരിതമിക് സാധ്യത ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുകയും അനുബന്ധ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട് നോക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

,

വിളിക്കുന്നത് സാധ്യത സമവാക്യം.

നിങ്ങൾക്ക് നിരവധി പാരാമീറ്ററുകൾ വിലയിരുത്തണമെങ്കിൽ
വിതരണം
, അപ്പോൾ സാധ്യതാ പ്രവർത്തനം ഈ പരാമീറ്ററുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ കണ്ടെത്താൻ
വിതരണ പാരാമീറ്ററുകൾ സിസ്റ്റം പരിഹരിക്കാൻ അത് ആവശ്യമാണ് സാധ്യത സമവാക്യങ്ങൾ

.

പരമാവധി സാധ്യതാ രീതി സ്ഥിരവും അസിംപ്റ്റോട്ടിക്കലി കാര്യക്ഷമവുമായ കണക്കുകൾ നൽകുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, പരമാവധി സാധ്യതാ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ലഭിച്ച എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ പക്ഷപാതപരമാണ്, കൂടാതെ, എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, സമവാക്യങ്ങളുടെ സങ്കീർണ്ണമായ സംവിധാനങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്.

ഇടവേള പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റ്

പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ കൃത്യത അവയുടെ വ്യാപനത്താൽ സവിശേഷതയാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ലഭിച്ച എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ പരാമീറ്ററുകളുടെ യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങളുമായി എത്രത്തോളം അടുത്താണ് എന്നതിനെക്കുറിച്ച് ഒരു വിവരവുമില്ല. നിരവധി ടാസ്ക്കുകളിൽ, നിങ്ങൾ പാരാമീറ്ററിനായി മാത്രം കണ്ടെത്തേണ്ടതില്ല അനുയോജ്യമായ സംഖ്യാ മൂല്യം, മാത്രമല്ല അതിൻ്റെ കൃത്യതയും വിശ്വാസ്യതയും വിലയിരുത്താൻ. ഒരു പാരാമീറ്റർ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് എന്ത് പിശകുകളിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് അതിൻ്റെ പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ഈ പിശകുകൾ അറിയാവുന്ന പരിധികൾ കവിയില്ലെന്ന് എത്രത്തോളം ആത്മവിശ്വാസത്തോടെയാണ് നമ്മൾ പ്രതീക്ഷിക്കേണ്ടത്.

ഒരു ചെറിയ എണ്ണം പരീക്ഷണങ്ങൾ ഉള്ളപ്പോൾ അത്തരം ജോലികൾ പ്രത്യേകിച്ചും പ്രസക്തമാണ്. , പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ വലിയതോതിൽ ക്രമരഹിതവും ഏകദേശവുമായ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ഓൺ കാര്യമായ പിശകുകളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം.

കൂടുതൽ പൂർണ്ണവും ഒപ്പം വിശ്വസനീയമായ വഴിഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളുടെ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുന്നത് ഒരൊറ്റ പോയിൻ്റ് മൂല്യമല്ല, മറിച്ച് ഒരു നിശ്ചിത പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഇടവേളയാണ്.

ഫലങ്ങൾ അനുസരിച്ച് അനുവദിക്കുക പരീക്ഷണങ്ങൾ, നിഷ്പക്ഷമായ ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ലഭിച്ചു
പരാമീറ്റർ . സാധ്യമായ പിശക് വിലയിരുത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ആവശ്യത്തിന് വലിയ ചില സാധ്യതകൾ തിരഞ്ഞെടുത്തു
(ഉദാഹരണത്തിന്), ഈ പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള ഒരു ഇവൻ്റ് പ്രായോഗികമായി ഒരു നിശ്ചിത സംഭവമായി കണക്കാക്കാം, അത്തരമൊരു മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു , അതിനായി

. (8.15)

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ സംഭവിക്കുന്ന പിശകിൻ്റെ പ്രായോഗികമായി സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി ഓൺ , ചെയ്യും
, വലിയവ സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യംകുറഞ്ഞ പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ മാത്രമേ പിശകുകൾ ദൃശ്യമാകൂ .

എക്സ്പ്രഷൻ (8.15) അർത്ഥമാക്കുന്നത് പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ളത് എന്നാണ്
അജ്ഞാത പാരാമീറ്റർ മൂല്യം ഇടവേളയിൽ വീഴുന്നു

. (8.16)

സാധ്യത
വിളിച്ചു ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യത, ഇടവേളയും , സംഭാവ്യത കൊണ്ട് മൂടുന്നു പരാമീറ്ററിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തെ വിളിക്കുന്നു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള. പരാമീറ്റർ മൂല്യം പ്രോബബിലിറ്റിയുമായുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെല്ലിനുള്ളിൽ ആണെന്ന് പറയുന്നത് തെറ്റാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക. . ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന ഫോർമുലേഷൻ (കവറുകൾ) അർത്ഥമാക്കുന്നത് കണക്കാക്കുന്ന പരാമീറ്റർ അജ്ഞാതമാണെങ്കിലും, അതിന് ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യമുണ്ട്, അതിനാൽ ഇത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ അല്ലാത്തതിനാൽ സ്പ്രെഡ് ഇല്ല എന്നാണ്.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനാണ് പ്രതീക്ഷ

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, നിർവചനം, വ്യതിരിക്തവും നിരന്തരവുമായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, സാമ്പിൾ, സോപാധിക പ്രതീക്ഷ, കണക്കുകൂട്ടൽ, ഗുണവിശേഷതകൾ, പ്രശ്നങ്ങൾ, പ്രതീക്ഷയുടെ അനുമാനം, വ്യാപനം, വിതരണ പ്രവർത്തനം, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ, കണക്കുകൂട്ടൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉള്ളടക്കങ്ങൾ വികസിപ്പിക്കുക

ഉള്ളടക്കം ചുരുക്കുക

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ് നിർവചനം

ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിലെയും പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെയും ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിലൊന്ന്, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ അല്ലെങ്കിൽ സാധ്യതകളുടെ വിതരണത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ പാരാമീറ്ററുകളുടെയും വെയ്റ്റഡ് ആവറേജായി സാധാരണയായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. സാങ്കേതിക വിശകലനം, സംഖ്യാ ശ്രേണിയുടെ പഠനം, തുടർച്ചയായതും ദീർഘകാലവുമായ പ്രക്രിയകളുടെ പഠനം എന്നിവയിൽ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഉണ്ട് പ്രധാനപ്പെട്ടത്അപകടസാധ്യതകൾ വിലയിരുത്തുമ്പോൾ, സാമ്പത്തിക വിപണികളിൽ വ്യാപാരം ചെയ്യുമ്പോൾ വില സൂചകങ്ങൾ പ്രവചിക്കുമ്പോൾ, ചൂതാട്ട സിദ്ധാന്തത്തിലെ ഗെയിമിംഗ് തന്ത്രങ്ങളുടെ തന്ത്രങ്ങളുടെയും രീതികളുടെയും വികസനത്തിൽ ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ്ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ പരിഗണിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ്പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെ അളവ്. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രതീക്ഷ xസൂചിപ്പിക്കുന്നത് M(x).

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ്

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ്പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന് എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും ശരാശരി.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ്ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക, ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ്ഒരു പ്രത്യേക തീരുമാനത്തിൽ നിന്നുള്ള ശരാശരി നേട്ടം, അത്തരം ഒരു തീരുമാനം വലിയ സംഖ്യകളുടെയും ദീർഘദൂരത്തിൻ്റെയും സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ പരിഗണിക്കാം.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ്ചൂതാട്ട സിദ്ധാന്തത്തിൽ, ഓരോ പന്തയത്തിനും ശരാശരി ഒരു കളിക്കാരന് നേടാനോ നഷ്ടപ്പെടാനോ കഴിയുന്ന വിജയങ്ങളുടെ അളവ്. ചൂതാട്ട ഭാഷയിൽ, ഇതിനെ ചിലപ്പോൾ "കളിക്കാരൻ്റെ എഡ്ജ്" (കളിക്കാരന് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ) അല്ലെങ്കിൽ "ഹൗസ് എഡ്ജ്" (ഇത് കളിക്കാരന് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ്ഒരു വിജയത്തിലെ ലാഭത്തിൻ്റെ ശതമാനം ശരാശരി ലാഭം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ, നഷ്ടത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത ശരാശരി നഷ്ടം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ഗണിത സിദ്ധാന്തം

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രധാന സംഖ്യാ സവിശേഷതകളിൽ ഒന്ന് അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്. റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു സിസ്റ്റം എന്ന ആശയം നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം. ഒരേ റാൻഡം പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമായ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു കൂട്ടം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളിൽ ഒന്നാണെങ്കിൽ, കോൾമോഗോറോവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തങ്ങളെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന ഒരു നിശ്ചിത സംഭാവ്യതയുമായി ഇവൻ്റ് യോജിക്കുന്നു. റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സാധ്യമായ ഏതെങ്കിലും മൂല്യങ്ങൾക്കായി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്ഷനെ സംയുക്ത വിതരണ നിയമം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഏത് ഇവൻ്റുകളുടെയും സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കാൻ ഈ ഫംഗ്ഷൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. പ്രത്യേകിച്ചും, റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സംയുക്ത വിതരണ നിയമം, അത് സെറ്റിൽ നിന്ന് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുകയും പ്രോബബിലിറ്റികൾ നൽകുകയും ചെയ്യുന്നു.

"ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ" എന്ന പദം അവതരിപ്പിച്ചത് പിയറി സൈമൺ മാർക്വിസ് ഡി ലാപ്ലേസ് (1795) ആണ്, ഇത് "വിജയങ്ങളുടെ പ്രതീക്ഷിത മൂല്യം" എന്ന ആശയത്തിൽ നിന്നാണ് വന്നത്, ഇത് 17-ാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ബ്ലെയ്‌സ് പാസ്കലിൻ്റെയും ക്രിസ്ത്യൻ്റെയും കൃതികളിൽ ചൂതാട്ട സിദ്ധാന്തത്തിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. ഹ്യൂഗൻസ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ ആശയത്തിൻ്റെ ആദ്യത്തെ സമ്പൂർണ്ണ സൈദ്ധാന്തിക ധാരണയും വിലയിരുത്തലും നൽകിയത് പഫ്നുട്ടി എൽവോവിച്ച് ചെബിഷെവ് (19-ആം നൂറ്റാണ്ടിൻ്റെ മധ്യത്തിൽ) ആണ്.

റാൻഡം ന്യൂമറിക്കൽ വേരിയബിളുകളുടെ വിതരണ നിയമം (ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷനും വിതരണ ശ്രേണിയും അല്ലെങ്കിൽ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയും) ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സ്വഭാവത്തെ പൂർണ്ണമായും വിവരിക്കുന്നു. എന്നാൽ നിരവധി പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള അളവിൻ്റെ ചില സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ അറിഞ്ഞാൽ മതിയാകും (ഉദാഹരണത്തിന്, അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യവും സാധ്യമായ വ്യതിയാനംഅവനിൽ നിന്ന്) ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ. റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ പ്രധാന സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, വ്യതിയാനം, മോഡ്, മീഡിയൻ എന്നിവയാണ്.

ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ അതിൻ്റെ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെയും അവയുടെ അനുബന്ധ സാധ്യതകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. ചിലപ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ വെയ്റ്റഡ് ആവറേജ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം ഇത് ധാരാളം പരീക്ഷണങ്ങളിൽ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിക്ക് ഏകദേശം തുല്യമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന്, അതിൻ്റെ മൂല്യം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യത്തേക്കാൾ കുറവല്ലെന്നും ഏറ്റവും വലിയതിനേക്കാൾ കൂടുതലല്ലെന്നും പിന്തുടരുന്നു. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ ഒരു നോൺ-റാൻഡം (സ്ഥിരമായ) വേരിയബിളാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് ഒരു ലളിതമുണ്ട് ശാരീരിക അർത്ഥം: നിങ്ങൾ ഒരു നേർരേഖയിൽ ഒരു യൂണിറ്റ് പിണ്ഡം സ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ചില പോയിൻ്റുകളിൽ കുറച്ച് പിണ്ഡം സ്ഥാപിക്കുക വ്യതിരിക്തമായ വിതരണം), അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നിശ്ചിത സാന്ദ്രത ഉപയോഗിച്ച് "സ്മിയർ" ചെയ്യുക (തികച്ചും തുടർച്ചയായ വിതരണത്തിന്), അപ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പോയിൻ്റ് വരിയുടെ "ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രത്തിൻ്റെ" കോർഡിനേറ്റ് ആയിരിക്കും.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യയാണ്, അതായത്, അതിൻ്റെ "പ്രതിനിധി", അത് ഏകദേശം ഏകദേശ കണക്കുകൂട്ടലുകളിൽ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. "ശരാശരി വിളക്കിൻ്റെ പ്രവർത്തന സമയം 100 മണിക്കൂറാണ്" അല്ലെങ്കിൽ "ആഘാതത്തിൻ്റെ ശരാശരി പോയിൻ്റ് ടാർഗെറ്റുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ 2 മീറ്റർ വലത്തേക്ക് മാറ്റുന്നു" എന്ന് നമ്മൾ പറയുമ്പോൾ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു നിശ്ചിത സംഖ്യാ സ്വഭാവത്തെ ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അത് അതിൻ്റെ സ്ഥാനം വിവരിക്കുന്നു. സംഖ്യാ അക്ഷത്തിൽ, അതായത്. "സ്ഥാന സവിശേഷതകൾ".

പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിലെ സ്ഥാനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകളിൽ നിന്ന് സുപ്രധാന പങ്ക്ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ പ്ലേ ചെയ്യുന്നു, ഇതിനെ ചിലപ്പോൾ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

റാൻഡം വേരിയബിൾ പരിഗണിക്കുക എക്സ്, സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ ഉള്ളത് x1, x2, ..., xnസാധ്യതകളോടെ p1, p2, ..., pn. ഈ മൂല്യങ്ങൾക്ക് വ്യത്യസ്‌ത സാധ്യതകളുണ്ടെന്ന വസ്തുത കണക്കിലെടുത്ത്, x-അക്ഷത്തിലെ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ സ്ഥാനം ഞങ്ങൾ കുറച്ച് സംഖ്യ ഉപയോഗിച്ച് ചിത്രീകരിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, മൂല്യങ്ങളുടെ "ഭാരമുള്ള ശരാശരി" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ് xi, കൂടാതെ ശരാശരി സമയത്ത് ഓരോ മൂല്യം xi ഈ മൂല്യത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് ആനുപാതികമായ ഒരു "ഭാരം" കണക്കിലെടുക്കണം. അങ്ങനെ, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കും എക്സ്, ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു M |X|:

ഈ വെയ്റ്റഡ് ശരാശരിയെ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. അതിനാൽ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ആശയങ്ങളിലൊന്ന് ഞങ്ങൾ പരിഗണനയിൽ അവതരിപ്പിച്ചു - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന ആശയം. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ എന്നത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധ്യമായ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെയും ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ സാധ്യതകളുടെയും ആകെത്തുകയാണ്.

അത് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കപ്പെടട്ടെ എൻസ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങൾ, ഓരോന്നിലും മൂല്യം എക്സ്ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യം എടുക്കുന്നു. മൂല്യം എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം x1പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു m1സമയം, മൂല്യം x2പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു m2സമയം, പൊതുവായ അർത്ഥം xiമൈ തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. X മൂല്യത്തിൻ്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി നമുക്ക് കണക്കാക്കാം, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി M|X|ഞങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നു M*|X|:

പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് എൻആവൃത്തികൾ പൈഅനുബന്ധ സാധ്യതകളെ സമീപിക്കും (സംഭാവ്യതയിൽ ഒത്തുചേരുന്നു). തൽഫലമായി, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി M|X|പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുന്നതിനനുസരിച്ച് അത് അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ സമീപിക്കും (സംഭാവ്യതയിൽ ഒത്തുചേരും). മുകളിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയ ഗണിത ശരാശരിയും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമത്തിൻ്റെ ഒരു രൂപത്തിൻ്റെ ഉള്ളടക്കം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമത്തിൻ്റെ എല്ലാ രൂപങ്ങളും ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ പരീക്ഷണങ്ങളിൽ ചില ശരാശരികൾ സ്ഥിരതയുള്ളതാണെന്ന വസ്തുത പ്രസ്താവിക്കുന്നതായി നമുക്കറിയാം. ഒരേ അളവിലുള്ള നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഒരു പരമ്പരയിൽ നിന്നുള്ള ഗണിത ശരാശരിയുടെ സ്ഥിരതയെക്കുറിച്ചാണ് നമ്മൾ ഇവിടെ സംസാരിക്കുന്നത്. പരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഒരു ചെറിയ എണ്ണം കൊണ്ട്, അവയുടെ ഫലങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി ക്രമരഹിതമാണ്; പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ മതിയായ വർദ്ധനവോടെ, അത് "ഏതാണ്ട് ക്രമരഹിതമായി" മാറുകയും, സ്ഥിരത കൈവരിക്കുകയും, ഒരു സ്ഥിരമായ മൂല്യത്തെ സമീപിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ.

ഒരു വലിയ സംഖ്യയുടെ ശരാശരികളുടെ സ്ഥിരത പരീക്ഷണാത്മകമായി എളുപ്പത്തിൽ പരിശോധിക്കാവുന്നതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, കൃത്യമായ സ്കെയിലുകളിൽ ഒരു ലബോറട്ടറിയിൽ ഒരു ശരീരം തൂക്കുമ്പോൾ, തൂക്കത്തിൻ്റെ ഫലമായി ഓരോ തവണയും നമുക്ക് ഒരു പുതിയ മൂല്യം ലഭിക്കുന്നു; നിരീക്ഷണ പിശക് കുറയ്ക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ ശരീരം നിരവധി തവണ തൂക്കി, ലഭിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരി ഉപയോഗിക്കുന്നു. പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൽ (ഭാരം) കൂടുതൽ വർദ്ധനയോടെ, ഗണിത ശരാശരി ഈ വർദ്ധനവിനോട് കുറയുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്നുവെന്നും, ആവശ്യത്തിന് വലിയ എണ്ണം പരീക്ഷണങ്ങളോടെ, പ്രായോഗികമായി മാറുന്നത് അവസാനിപ്പിക്കുമെന്നും കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വഭാവംഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സ്ഥാനം - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ - എല്ലാ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്കും നിലവിലില്ല. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ നിലവിലില്ലാത്ത അത്തരം റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ രചിക്കാൻ കഴിയും, കാരണം അനുബന്ധ തുക അല്ലെങ്കിൽ ഇൻ്റഗ്രൽ വ്യതിചലിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, അത്തരം കേസുകൾ പരിശീലനത്തിന് കാര്യമായ താൽപ്പര്യമില്ല. സാധാരണഗതിയിൽ, ഞങ്ങൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ പരിമിതമായ പരിധി ഉണ്ട്, തീർച്ചയായും, ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുണ്ട്.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സ്ഥാനത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സ്വഭാവസവിശേഷതകൾക്ക് പുറമേ - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ - പ്രായോഗികമായി, സ്ഥാനത്തിൻ്റെ മറ്റ് സവിശേഷതകൾ ചിലപ്പോൾ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, പ്രത്യേകിച്ചും, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മോഡും മീഡിയനും.

റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മോഡ് അതിൻ്റെ ഏറ്റവും സാധ്യതയുള്ള മൂല്യമാണ്. "ഏറ്റവും സാധ്യതയുള്ള മൂല്യം" എന്ന പദം കർശനമായി പറഞ്ഞാൽ, തുടർച്ചയായ അളവുകൾക്ക് മാത്രമേ ബാധകമാകൂ; വേണ്ടി തുടർച്ചയായ മൂല്യംമോഡ് എന്നത് പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി പരമാവധി ആയിരിക്കുന്ന മൂല്യമാണ്. യഥാക്രമം തുടർച്ചയായതും തുടർച്ചയായതുമായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾക്കുള്ള മോഡ് കണക്കുകൾ കാണിക്കുന്നു.

വിതരണ ബഹുഭുജത്തിന് (വിതരണ വക്രം) പരമാവധി ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ഉണ്ടെങ്കിൽ, വിതരണത്തെ "മൾട്ടിമോഡൽ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ചിലപ്പോൾ പരമാവധി എന്നതിനേക്കാൾ മധ്യത്തിൽ മിനിമം ഉള്ള വിതരണങ്ങളുണ്ട്. അത്തരം വിതരണങ്ങളെ "ആൻ്റി മോഡൽ" എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പൊതുവായ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മോഡും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ, വിതരണം സമമിതിയും മാതൃകയും (അതായത് ഒരു മോഡ് ഉള്ളത്) ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും ഉള്ളപ്പോൾ, അത് വിതരണത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ മോഡും കേന്ദ്രവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

മറ്റൊരു സ്ഥാന സ്വഭാവം പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട് - റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മീഡിയൻ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ. ഈ സ്വഭാവം സാധാരണയായി തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കാറുള്ളൂ, എന്നിരുന്നാലും തുടർച്ചയായ വേരിയബിളിനായി ഇത് ഔപചാരികമായി നിർവചിക്കാം. ജ്യാമിതീയമായി, വിതരണ വക്രത്താൽ ചുറ്റപ്പെട്ട വിസ്തീർണ്ണം പകുതിയായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന ബിന്ദുവിൻ്റെ അബ്സിസ്സയാണ് മീഡിയൻ.

ഒരു സമമിതി മോഡൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, മീഡിയൻ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയോടും മോഡിനോടും യോജിക്കുന്നു.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യമാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ - ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ഒരു സംഖ്യാ സ്വഭാവം. ഏറ്റവും സാധാരണമായ രീതിയിൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ X(w)പ്രോബബിലിറ്റി അളവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ലെബെസ്ഗു ഇൻ്റഗ്രൽ ആയി നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു ആർയഥാർത്ഥ പ്രോബബിലിറ്റി സ്പേസിൽ:

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ ലെബെസ്ഗു ഇൻ്റഗ്രൽ ആയി കണക്കാക്കാം എക്സ്പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ വഴി pxഅളവ് എക്സ്:

അനന്തമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്ന ആശയം സ്വാഭാവിക രീതിയിൽ നിർവചിക്കാവുന്നതാണ്. ഒരു സാധാരണ ഉദാഹരണംചില ക്രമരഹിതമായ നടത്തങ്ങളിലെ മടക്ക സമയമായി വർത്തിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ സഹായത്തോടെ, നിരവധി സംഖ്യാപരമായതും പ്രവർത്തന സവിശേഷതകൾഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകൾ (ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൽ നിന്നുള്ള അനുബന്ധ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയായി), ഉദാഹരണത്തിന്, ജനറേറ്റിംഗ് ഫംഗ്ഷൻ, സ്വഭാവ സവിശേഷത, ഏതെങ്കിലും ഓർഡറിൻ്റെ നിമിഷങ്ങൾ, പ്രത്യേകിച്ച് ചിതറിക്കൽ, സഹവർത്തിത്വം.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ (അതിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം) മൂല്യങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്തിൻ്റെ സവിശേഷതയാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ. ഈ ശേഷിയിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ ചില "സാധാരണ" വിതരണ പാരാമീറ്ററായി വർത്തിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ പങ്ക് മെക്കാനിക്സിൽ സ്റ്റാറ്റിക് മൊമെൻ്റിൻ്റെ - ബഹുജന വിതരണത്തിൻ്റെ ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റിൻ്റെ റോളിന് സമാനമാണ്. ലൊക്കേഷൻ്റെ മറ്റ് സ്വഭാവസവിശേഷതകളിൽ നിന്ന്, വിതരണം പൊതുവായി വിവരിച്ചിരിക്കുന്നതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ - മീഡിയനുകൾ, മോഡുകൾ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ, പ്രോബബിലിറ്റി സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പരിധി സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ അതിനനുസരിച്ചുള്ള സ്കാറ്ററിംഗ് സ്വഭാവം - ഡിസ്പർഷൻ - വലിയ മൂല്യത്തിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമവും (ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വവും) വലിയ സംഖ്യകളുടെ ശക്തിപ്പെടുത്തിയ നിയമവും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ അർത്ഥം പൂർണ്ണമായും വെളിപ്പെടുത്തുന്നു.

ഒരു പ്രത്യേക റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രതീക്ഷ

നിരവധി സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങളിൽ ഒന്ന് എടുക്കാൻ കഴിയുന്ന ചില റാൻഡം വേരിയബിൾ ഉണ്ടാകട്ടെ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഡൈസ് എറിയുമ്പോൾ പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം 1, 2, 3, 4, 5 അല്ലെങ്കിൽ 6 ആകാം). പലപ്പോഴും പ്രായോഗികമായി, അത്തരമൊരു മൂല്യത്തിന്, ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ധാരാളം ടെസ്റ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച് "ശരാശരി" എന്ത് മൂല്യമാണ് എടുക്കുന്നത്? അപകടസാധ്യതയുള്ള ഓരോ ഇടപാടുകളിൽ നിന്നുമുള്ള നമ്മുടെ ശരാശരി വരുമാനം (അല്ലെങ്കിൽ നഷ്ടം) എത്രയായിരിക്കും?

ഒരുതരം ലോട്ടറി ഉണ്ടെന്ന് പറയാം. അതിൽ പങ്കെടുക്കുന്നത് ലാഭകരമാണോ അല്ലയോ എന്ന് മനസിലാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ആവർത്തിച്ച്, പതിവായി പങ്കെടുക്കുന്നത് പോലും). ഓരോ നാലാമത്തെ ടിക്കറ്റും വിജയിയാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം, സമ്മാനം 300 റുബിളായിരിക്കും, ഏത് ടിക്കറ്റിൻ്റെയും വില 100 റുബിളായിരിക്കും. അനന്തമായ വലിയ പങ്കാളിത്തത്തോടെ, ഇതാണ് സംഭവിക്കുന്നത്. മുക്കാൽ ഭാഗങ്ങളിൽ നമുക്ക് നഷ്ടപ്പെടും, ഓരോ മൂന്ന് നഷ്ടങ്ങൾക്കും 300 റൂബിൾസ് ചിലവാകും. ഓരോ നാലാമത്തെ കേസിലും ഞങ്ങൾ 200 റൂബിൾസ് നേടും. (സമ്മാനം മൈനസ് ചെലവ്), അതായത്, നാല് പങ്കാളിത്തങ്ങൾക്ക് ഞങ്ങൾക്ക് ശരാശരി 100 റുബിളുകൾ നഷ്ടപ്പെടും, ഒന്നിന് - ശരാശരി 25 റൂബിൾസ്. മൊത്തത്തിൽ, ഞങ്ങളുടെ നാശത്തിൻ്റെ ശരാശരി നിരക്ക് ഒരു ടിക്കറ്റിന് 25 റുബിളായിരിക്കും.

ഞങ്ങൾ എറിയുന്നു പകിടകൾ. അത് വഞ്ചനയല്ലെങ്കിൽ (ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രം മാറ്റാതെ, മുതലായവ), അപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു സമയം ശരാശരി എത്ര പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടാകും? ഓരോ ഓപ്ഷനും തുല്യ സാധ്യതയുള്ളതിനാൽ, ഞങ്ങൾ ഗണിത ശരാശരി എടുത്ത് 3.5 നേടുന്നു. ഇത് ശരാശരി ആയതിനാൽ, ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട റോളും 3.5 പോയിൻ്റുകൾ നൽകില്ല എന്നതിൽ ദേഷ്യപ്പെടേണ്ടതില്ല - ശരി, ഈ ക്യൂബിന് അത്തരമൊരു സംഖ്യയുള്ള മുഖമില്ല!

ഇനി നമുക്ക് നമ്മുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കാം:

ഇപ്പോൾ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രം നോക്കാം. ഇടതുവശത്ത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ ഒരു പട്ടികയുണ്ട്. X മൂല്യത്തിന് n സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളിൽ ഒന്ന് എടുക്കാം (മുകളിലെ വരിയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നത്). മറ്റ് അർത്ഥങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല. ഓരോന്നിനും കീഴിൽ സാധ്യമായ അർത്ഥംഅതിൻ്റെ സംഭാവ്യത താഴെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു. വലതുവശത്ത് ഫോർമുലയുണ്ട്, ഇവിടെ M(X) നെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ മൂല്യത്തിൻ്റെ അർത്ഥം, ധാരാളം ടെസ്റ്റുകൾ (ഒരു വലിയ സാമ്പിൾ ഉപയോഗിച്ച്), ശരാശരി മൂല്യം ഇതേ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിലേക്ക് നയിക്കും എന്നതാണ്.

വീണ്ടും അതേ പ്ലേയിംഗ് ക്യൂബിലേക്ക് മടങ്ങാം. എറിയുമ്പോൾ പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ 3.5 ആണ് (നിങ്ങൾ എന്നെ വിശ്വസിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അത് സ്വയം കണക്കാക്കുക). നിങ്ങൾ അത് രണ്ട് തവണ എറിഞ്ഞുവെന്ന് പറയാം. ഫലങ്ങൾ 4 ഉം 6 ഉം ആയിരുന്നു. ശരാശരി 5 ആയിരുന്നു, അത് 3.5 ൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണ്. അവർ അത് ഒരിക്കൽ കൂടി എറിഞ്ഞു, അവർക്ക് 3 ലഭിച്ചു, അതായത് ശരാശരി (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് എങ്ങനെയോ അകലെ. ഇപ്പോൾ ഒരു ഭ്രാന്തൻ പരീക്ഷണം നടത്തുക - ക്യൂബ് 1000 തവണ ഉരുട്ടുക! ശരാശരി കൃത്യമായി 3.5 അല്ലെങ്കിലും, അത് അതിനടുത്തായിരിക്കും.

മുകളിൽ വിവരിച്ച ലോട്ടറിയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കാം. പ്ലേറ്റ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ മുകളിൽ സ്ഥാപിച്ചതുപോലെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ഇതായിരിക്കും:

മറ്റൊരു കാര്യം, "വിരലുകളിൽ" ചെയ്യുന്നത്, ഒരു ഫോർമുല ഇല്ലാതെ, കൂടുതൽ ഓപ്ഷനുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കും. ശരി, 75% നഷ്‌ടമായ ടിക്കറ്റുകളും 20% വിജയിക്കുന്ന ടിക്കറ്റുകളും 5% പ്രത്യേകിച്ച് വിജയിക്കുന്ന ടിക്കറ്റുകളും ഉണ്ടാകുമെന്ന് പറയാം.

ഇപ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ ചില സവിശേഷതകൾ.

തെളിയിക്കാൻ എളുപ്പമാണ്:

സ്ഥിരമായ ഘടകം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ അടയാളമായി എടുക്കാം, അതായത്:

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ രേഖീയ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണിത്.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ രേഖീയതയുടെ മറ്റൊരു അനന്തരഫലം:

അതായത്, റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

X, Y എന്നിവ സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളായിരിക്കട്ടെ, പിന്നെ:

ഇത് തെളിയിക്കാനും എളുപ്പമാണ്) പ്രവർത്തിക്കുക XYഇത് തന്നെ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണ്, പ്രാരംഭ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ എൻഒപ്പം എംഅതനുസരിച്ച് മൂല്യങ്ങൾ, അപ്പോൾ XY nm മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം. ഓരോ മൂല്യത്തിൻ്റെയും സംഭാവ്യത കണക്കാക്കുന്നത് സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യതകൾ ഗുണിക്കപ്പെടുന്നു എന്ന വസ്തുതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ്. തൽഫലമായി, ഞങ്ങൾക്ക് ഇത് ലഭിക്കുന്നു:

തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രതീക്ഷ

തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് വിതരണ സാന്ദ്രത (പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി) പോലെയുള്ള ഒരു സ്വഭാവമുണ്ട്. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ഗണത്തിൽ നിന്ന് ചില മൂല്യങ്ങൾ കൂടുതൽ തവണയും ചിലത് കുറച്ച് തവണയും എടുക്കുന്ന സാഹചര്യത്തെ ഇത് പ്രധാനമായും ചിത്രീകരിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഈ ഗ്രാഫ് പരിഗണിക്കുക:

ഇവിടെ എക്സ്- യഥാർത്ഥ റാൻഡം വേരിയബിൾ, f(x)- വിതരണ സാന്ദ്രത. ഈ ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് വിലയിരുത്തുമ്പോൾ, പരീക്ഷണ സമയത്ത് മൂല്യം എക്സ്പലപ്പോഴും പൂജ്യത്തിനടുത്തുള്ള ഒരു സംഖ്യയായിരിക്കും. സാധ്യതകൾ കവിഞ്ഞിരിക്കുന്നു 3 അല്ലെങ്കിൽ ചെറുതായിരിക്കുക -3 മറിച്ച് തികച്ചും സൈദ്ധാന്തികമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഏകീകൃത വിതരണം ഉണ്ടാകട്ടെ:

ഇത് അവബോധജന്യമായ ധാരണയുമായി തികച്ചും പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. കിട്ടിയാൽ പറയാം യൂണിഫോം വിതരണംനിരവധി ക്രമരഹിതമായ യഥാർത്ഥ സംഖ്യകൾ, ഓരോന്നും ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ നിന്ന് |0; 1| , അപ്പോൾ ഗണിത ശരാശരി ഏകദേശം 0.5 ആയിരിക്കണം.

വ്യതിരിക്തമായ ക്രമരഹിത വേരിയബിളുകൾക്ക് ബാധകമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ - രേഖീയത മുതലായവയുടെ സവിശേഷതകൾ ഇവിടെയും ബാധകമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും മറ്റ് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സൂചകങ്ങളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ വിശകലനത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്‌ക്കൊപ്പം, പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ ഏകതയെയും പ്രക്രിയകളുടെ സ്ഥിരതയെയും പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്ന പരസ്പരാശ്രിത സൂചകങ്ങളുടെ ഒരു സംവിധാനമുണ്ട്. പലപ്പോഴും, വ്യതിയാന സൂചകങ്ങൾക്ക് സ്വതന്ത്രമായ അർത്ഥമില്ല, കൂടുതൽ ഡാറ്റ വിശകലനത്തിനായി ഉപയോഗിക്കുന്നു. അപവാദം വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഗുണകമാണ്, ഇത് ഡാറ്റയുടെ ഏകതാനതയെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു, ഇത് മൂല്യവത്തായ ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സ്വഭാവമാണ്.

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സയൻസിലെ പ്രക്രിയകളുടെ വേരിയബിളിറ്റി അല്ലെങ്കിൽ സ്ഥിരത പല സൂചകങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അളക്കാൻ കഴിയും.

മിക്കതും പ്രധാന സൂചകം, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വേരിയബിളിറ്റി സ്വഭാവം, ആണ് വിസരണം, ഇത് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ഏറ്റവും അടുത്തും നേരിട്ടും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ പരാമീറ്റർ മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ വിശകലനത്തിൽ സജീവമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഹൈപ്പോതെസിസ് ടെസ്റ്റിംഗ്, കാരണവും ഫലവുമായ ബന്ധങ്ങളുടെ വിശകലനം മുതലായവ). ശരാശരി രേഖീയ വ്യതിയാനം പോലെ, ശരാശരി മൂല്യത്തിന് ചുറ്റുമുള്ള ഡാറ്റയുടെ വ്യാപനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തിയും വ്യത്യാസം പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു.

ചിഹ്നങ്ങളുടെ ഭാഷ വാക്കുകളുടെ ഭാഷയിലേക്ക് വിവർത്തനം ചെയ്യുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ്. വ്യതിചലനം വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ശരാശരി ചതുരമാണെന്ന് ഇത് മാറുന്നു. അതായത്, ശരാശരി മൂല്യം ആദ്യം കണക്കാക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഓരോ യഥാർത്ഥ മൂല്യവും ശരാശരി മൂല്യവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എടുക്കുകയും സ്ക്വയർ ചെയ്യുകയും ചേർക്കുകയും തുടർന്ന് ജനസംഖ്യയിലെ മൂല്യങ്ങളുടെ എണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ഒരു വ്യക്തിഗത മൂല്യവും ശരാശരിയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അളവിനെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു. എല്ലാ വ്യതിയാനങ്ങളും പ്രത്യേകമായി പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളായി മാറുന്നതിനും അവയെ സംഗ്രഹിക്കുമ്പോൾ പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് വ്യതിയാനങ്ങളുടെ പരസ്പര നാശം ഒഴിവാക്കുന്നതിനും ഇത് സ്ക്വയർ ചെയ്തിരിക്കുന്നു. തുടർന്ന്, ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾ നൽകി, ഞങ്ങൾ ഗണിത ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നു. ശരാശരി - ചതുരം - വ്യതിയാനങ്ങൾ. വ്യതിയാനങ്ങൾ സ്ക്വയർ ചെയ്യുകയും ശരാശരി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. "ചിതറിക്കൽ" എന്ന മാന്ത്രിക പദത്തിനുള്ള ഉത്തരം വെറും മൂന്ന് വാക്കുകളിൽ മാത്രം.

എന്നിരുന്നാലും, ഇൻ ശുദ്ധമായ രൂപം, ഗണിത ശരാശരി അല്ലെങ്കിൽ സൂചിക പോലെയുള്ള വ്യത്യാസം ഉപയോഗിക്കില്ല. ഇത് മറ്റ് തരത്തിലുള്ള സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ വിശകലനത്തിനായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു സഹായകവും ഇൻ്റർമീഡിയറ്റ് സൂചകവുമാണ്. ഇതിന് ഒരു സാധാരണ അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റ് പോലുമില്ല. സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച്, ഇത് യഥാർത്ഥ ഡാറ്റയുടെ അളവെടുപ്പ് യൂണിറ്റിൻ്റെ ചതുരമാണ്.

നമുക്ക് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ അളക്കാം എൻതവണ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ കാറ്റിൻ്റെ വേഗത പത്ത് തവണ അളക്കുകയും ശരാശരി മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ആഗ്രഹിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. വിതരണ പ്രവർത്തനവുമായി ശരാശരി മൂല്യം എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു?

അല്ലെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ പകിടകൾ ധാരാളം തവണ ഉരുട്ടും. ഓരോ എറിയുമ്പോഴും ഡൈസിൽ ദൃശ്യമാകുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, കൂടാതെ 1 മുതൽ 6 വരെ ഏത് സ്വാഭാവിക മൂല്യവും എടുക്കാം. എല്ലാ ഡൈസ് ത്രോകൾക്കും കണക്കാക്കിയ ഡ്രോപ്പ് പോയിൻ്റുകളുടെ ഗണിത ശരാശരിയും ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്, പക്ഷേ വലിയവയ്ക്ക് എൻഇത് വളരെ നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യയിലേക്ക് നയിക്കുന്നു - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ Mx. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽ Mx = 3.5.

ഈ മൂല്യം നിങ്ങൾക്ക് എങ്ങനെ ലഭിച്ചു? അകത്തേക്ക് വിടുക എൻപരിശോധനകൾ n1നിങ്ങൾക്ക് 1 പോയിൻ്റ് ലഭിച്ചുകഴിഞ്ഞാൽ, n2ഒരിക്കൽ - 2 പോയിൻ്റുകളും മറ്റും. അപ്പോൾ ഒരു പോയിൻ്റ് വീണ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം:

അതുപോലെ തന്നെ 2, 3, 4, 5, 6 പോയിൻ്റുകൾ ചുരുട്ടുമ്പോൾ ഫലങ്ങൾക്കും.

റാൻഡം വേരിയബിളായ x ൻ്റെ വിതരണ നിയമം നമുക്ക് അറിയാമെന്ന് കരുതട്ടെ, അതായത്, റാൻഡം വേരിയബിളിന് x 1, x2, ..., xk, പ്രോബബിലിറ്റികൾ ഉള്ള p1, p2, ..., മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് നമുക്കറിയാം. pk.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ x ൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ Mx ഇതിന് തുല്യമാണ്:

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ എല്ലായ്പ്പോഴും ചില റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ന്യായമായ കണക്കല്ല. അതിനാൽ, ശരാശരി കണക്കാക്കാൻ കൂലിമീഡിയൻ എന്ന ആശയം ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ യുക്തിസഹമാണ്, അതായത്, ശരാശരിയേക്കാൾ കുറഞ്ഞ ശമ്പളം ലഭിക്കുന്ന ആളുകളുടെ എണ്ണം തുല്യവും വലുതുമായ ഒരു മൂല്യം.

റാൻഡം വേരിയബിൾ x x1/2-നേക്കാൾ കുറവായിരിക്കാനുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി p1, കൂടാതെ റാൻഡം വേരിയബിൾ x x1/2-നേക്കാൾ വലുതാകാനുള്ള സാധ്യത p2, 1/2 ന് തുല്യവും തുല്യവുമാണ്. എല്ലാ വിതരണങ്ങൾക്കും മീഡിയൻ അദ്വിതീയമായി നിശ്ചയിച്ചിട്ടില്ല.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് അല്ലെങ്കിൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻസ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ, ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്നുള്ള നിരീക്ഷണ ഡാറ്റയുടെ അല്ലെങ്കിൽ സെറ്റുകളുടെ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അളവ് വിളിക്കുന്നു. s അല്ലെങ്കിൽ s എന്ന അക്ഷരങ്ങളാൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു ചെറിയ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ സൂചിപ്പിക്കുന്നത് ഡാറ്റ ക്ലസ്റ്ററുകൾ ശരാശരിയെ ചുറ്റിപ്പറ്റിയാണ്, അതേസമയം ഒരു വലിയ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ പ്രാരംഭ ഡാറ്റ അതിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെയാണെന്ന് സൂചിപ്പിക്കുന്നു. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻതുല്യമാണ് സ്ക്വയർ റൂട്ട്ഡിസ്പർഷൻ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന അളവ്. ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കുന്ന പ്രാരംഭ ഡാറ്റയുടെ സ്ക്വയർ വ്യത്യാസങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ശരാശരിയാണിത്. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്:

ഉദാഹരണം. ഒരു ടാർഗെറ്റിലേക്ക് ഷൂട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ ടെസ്റ്റ് സാഹചര്യങ്ങളിൽ, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്പർഷനും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും കണക്കാക്കുക:

വ്യതിയാനം- ജനസംഖ്യയുടെ യൂണിറ്റുകൾക്കിടയിൽ ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ മൂല്യത്തിൻ്റെ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകൾ, മാറ്റം. വേർതിരിക്കുക സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾപഠിക്കുന്ന ജനസംഖ്യയിൽ കാണപ്പെടുന്ന സ്വഭാവസവിശേഷതകളെ അർത്ഥത്തിൻ്റെ വകഭേദങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇതിനുള്ള ശരാശരി മൂല്യം അപര്യാപ്തമാണ് പൂർണ്ണ സവിശേഷതകൾപഠിക്കുന്ന സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനം (വ്യതിയാനം) അളക്കുന്നതിലൂടെ ഈ ശരാശരികളുടെ സ്വഭാവം വിലയിരുത്താൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന സൂചകങ്ങളോടൊപ്പം ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കാൻ ജനസംഖ്യ ഞങ്ങളെ നിർബന്ധിക്കുന്നു. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ഗുണകം കണക്കാക്കുന്നു:

വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ശ്രേണി(R) പഠിക്കുന്ന ജനസംഖ്യയിലെ ആട്രിബ്യൂട്ടിൻ്റെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഈ സൂചകം ഏറ്റവും കൂടുതൽ നൽകുന്നു പൊതു ആശയംഓപ്ഷനുകളുടെ പരിമിതമായ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം മാത്രം കാണിക്കുന്നതിനാൽ, പഠിച്ച സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തെക്കുറിച്ച്. ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിക്കുന്നത് വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വ്യാപ്തിക്ക് അസ്ഥിരവും ക്രമരഹിതവുമായ സ്വഭാവം നൽകുന്നു.

ശരാശരി രേഖീയ വ്യതിയാനംവിശകലനം ചെയ്ത ജനസംഖ്യയുടെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളുടെയും ശരാശരി മൂല്യത്തിൽ നിന്ന് കേവല (മോഡ്യൂളോ) വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു:

ചൂതാട്ട സിദ്ധാന്തത്തിലെ പ്രതീക്ഷ

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ്തന്നിരിക്കുന്ന പന്തയത്തിൽ ഒരു ചൂതാട്ടക്കാരന് വിജയിക്കാനോ നഷ്ടപ്പെടാനോ കഴിയുന്ന ശരാശരി തുക. കളിക്കാർക്ക് ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട ഒരു ആശയമാണ്, കാരണം മിക്ക ഗെയിമിംഗ് സാഹചര്യങ്ങളുടെയും വിലയിരുത്തലിന് ഇത് അടിസ്ഥാനമാണ്. അടിസ്ഥാന കാർഡ് ലേഔട്ടുകളും ഗെയിമിംഗ് സാഹചര്യങ്ങളും വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനുള്ള ഒപ്റ്റിമൽ ടൂൾ കൂടിയാണ് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ.

നിങ്ങൾ ഒരു സുഹൃത്തിനോടൊപ്പം ഒരു കോയിൻ ഗെയിം കളിക്കുകയാണെന്ന് പറയാം, ഓരോ തവണയും $1 ന് തുല്യമായ വാതുവെപ്പ്, എന്ത് വന്നാലും. വാലുകൾ എന്നാൽ നിങ്ങൾ വിജയിക്കുന്നു, തല എന്നാൽ നിങ്ങൾ തോൽക്കുന്നു. സാധ്യതകൾ ഒന്നിൽ നിന്ന് ഒന്നായി ഉയർന്നുവരുന്നു, അതിനാൽ നിങ്ങൾ $1 മുതൽ $1 വരെ വാതുവെക്കുന്നു. അതിനാൽ, നിങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ പൂജ്യമാണ്, കാരണം ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര വീക്ഷണകോണിൽ, രണ്ട് എറിയലുകൾക്ക് ശേഷമോ 200ന് ശേഷമോ നിങ്ങൾ ലീഡ് ചെയ്യുമോ തോൽക്കുമോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് അറിയാൻ കഴിയില്ല.

നിങ്ങളുടെ ഒരു മണിക്കൂർ ലാഭം പൂജ്യമാണ്. ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ നിങ്ങൾ വിജയിക്കുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന പണമാണ് മണിക്കൂർ വിജയങ്ങൾ. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു മണിക്കൂറിൽ 500 തവണ ഒരു നാണയം എറിയാൻ കഴിയും, പക്ഷേ നിങ്ങൾ ജയിക്കുകയോ തോൽക്കുകയോ ചെയ്യില്ല കാരണം... നിങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ പോസിറ്റീവോ നെഗറ്റീവോ അല്ല. നിങ്ങൾ അത് നോക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഒരു സീരിയസ് കളിക്കാരൻ്റെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ, ഈ വാതുവെപ്പ് സംവിധാനം മോശമല്ല. എന്നാൽ ഇത് വെറുതെ സമയം പാഴാക്കലാണ്.

എന്നാൽ അതേ ഗെയിമിൽ നിങ്ങളുടെ $1 നെതിരെ ആരെങ്കിലും $2 വാതുവെയ്ക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നുവെന്ന് പറയാം. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഉടൻ തന്നെ ഓരോ പന്തയത്തിൽ നിന്നും 50 സെൻ്റ് പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷയുണ്ട്. എന്തിനാണ് 50 സെൻ്റ്? ശരാശരി, നിങ്ങൾ ഒരു പന്തയത്തിൽ വിജയിക്കുകയും രണ്ടാമത്തേത് തോൽക്കുകയും ചെയ്യും. ആദ്യത്തെ ഡോളർ വാതുവെച്ച് $1 നഷ്ടപ്പെടുത്തുക, രണ്ടാമത്തേത് $2 നേടുക. നിങ്ങൾ $1 രണ്ട് തവണ വാതുവെപ്പ് നടത്തി $1 ന് മുന്നിലാണ്. അതിനാൽ നിങ്ങളുടെ ഓരോ ഒരു ഡോളർ പന്തയവും നിങ്ങൾക്ക് 50 സെൻറ് നൽകി.

ഒരു നാണയം ഒരു മണിക്കൂറിൽ 500 തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ ഒരു മണിക്കൂർ വിജയങ്ങൾ ഇതിനകം തന്നെ $250 ആയിരിക്കും, കാരണം... ശരാശരി, നിങ്ങൾക്ക് 250 തവണ ഒരു ഡോളർ നഷ്ടപ്പെടുകയും 250 തവണ രണ്ട് ഡോളർ നേടുകയും ചെയ്തു. $500 മൈനസ് $250 എന്നത് $250 ആണ്, അതായത് മൊത്തം വിജയങ്ങൾ. ഒരു പന്തയത്തിൽ നിങ്ങൾ വിജയിക്കുന്ന ശരാശരി തുകയായ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം 50 സെൻറ് ആണെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒരു ഡോളറിന് 500 തവണ വാതുവെപ്പ് നടത്തി നിങ്ങൾ $250 നേടി, അത് ഒരു പന്തയത്തിന് 50 സെൻ്റിന് തുല്യമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾക്ക് ഹ്രസ്വകാല ഫലങ്ങളുമായി യാതൊരു ബന്ധവുമില്ല. നിങ്ങൾക്കെതിരെ $2 വാതുവെയ്ക്കാൻ തീരുമാനിച്ച നിങ്ങളുടെ എതിരാളിക്ക്, തുടർച്ചയായി ആദ്യത്തെ പത്ത് റോളുകളിൽ നിങ്ങളെ തോൽപ്പിക്കാൻ കഴിയും, എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് 2 മുതൽ 1 വരെ വാതുവെപ്പ് നേട്ടമുണ്ടെങ്കിൽ, മറ്റെല്ലാ കാര്യങ്ങളും തുല്യമാണെങ്കിൽ, ഓരോ $1 പന്തയത്തിലും നിങ്ങൾക്ക് 50 സെൻറ് ലഭിക്കും. സാഹചര്യങ്ങൾ. നിങ്ങൾ ഒരു പന്തയത്തിലോ നിരവധി പന്തയങ്ങളിലോ വിജയിച്ചാലും തോറ്റാലും ഒരു വ്യത്യാസവുമില്ല, ചെലവുകൾ സുഖകരമായി നികത്താൻ ആവശ്യമായ പണമുണ്ടെങ്കിൽ. നിങ്ങൾ ഇതേ രീതിയിൽ വാതുവെപ്പ് തുടരുകയാണെങ്കിൽ, അതിനായി നീണ്ട കാലയളവ്കാലക്രമേണ, നിങ്ങളുടെ വിജയങ്ങൾ വ്യക്തിഗത റോളുകളിൽ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയെ സമീപിക്കും.

ഓരോ തവണയും നിങ്ങൾ ഒരു മികച്ച പന്തയം (ദീർഘകാലാടിസ്ഥാനത്തിൽ ലാഭകരമായി മാറിയേക്കാവുന്ന ഒരു പന്തയം) നടത്തുമ്പോൾ, സാധ്യതകൾ നിങ്ങൾക്ക് അനുകൂലമാകുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ അത് നഷ്ടപ്പെട്ടാലും ഇല്ലെങ്കിലും, അതിൽ എന്തെങ്കിലും വിജയിക്കാൻ നിങ്ങൾ ബാധ്യസ്ഥരാണ്. കൈ കൊടുത്തു. നേരെമറിച്ച്, സാധ്യതകൾ നിങ്ങൾക്ക് എതിരായിരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ ഒരു അണ്ടർഡോഗ് പന്തയം (ദീർഘകാലാടിസ്ഥാനത്തിൽ ലാഭകരമല്ലാത്ത ഒരു പന്തയം) നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ വിജയിച്ചാലും തോറ്റാലും നിങ്ങൾക്ക് എന്തെങ്കിലും നഷ്ടപ്പെടും.

നിങ്ങളുടെ പ്രതീക്ഷ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ മികച്ച ഫലവുമായി നിങ്ങൾ ഒരു പന്തയം വെക്കുന്നു, സാധ്യതകൾ നിങ്ങളുടെ ഭാഗത്താണെങ്കിൽ അത് പോസിറ്റീവ് ആണ്. ഏറ്റവും മോശം ഫലവുമായി നിങ്ങൾ ഒരു പന്തയം വെയ്ക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നെഗറ്റീവ് പ്രതീക്ഷയുണ്ട്, അത് നിങ്ങൾക്ക് എതിരായി വരുമ്പോൾ സംഭവിക്കുന്നു. ഏറ്റവും മോശമായത് സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അവർ മികച്ച ഫലത്തിനായി മാത്രം പന്തയം വെക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് അനുകൂലമായ സാധ്യതകൾ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? യഥാർത്ഥ സാധ്യതകൾ കൊണ്ടുവരുന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ നിങ്ങൾ വിജയിച്ചേക്കാം. ലാൻഡിംഗ് ഹെഡുകളുടെ യഥാർത്ഥ സാധ്യതകൾ 1 മുതൽ 1 വരെയാണ്, എന്നാൽ അസന്തുലിത അനുപാതം കാരണം നിങ്ങൾക്ക് 2 മുതൽ 1 വരെ ലഭിക്കും. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാധ്യതകൾ നിങ്ങൾക്ക് അനുകൂലമാണ്. ഓരോ പന്തയത്തിനും 50 സെൻറ് എന്ന നല്ല പ്രതീക്ഷയോടെ നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും മികച്ച ഫലം ലഭിക്കും.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഉദാഹരണം ഇതാ. ഒരു സുഹൃത്ത് ഒന്ന് മുതൽ അഞ്ച് വരെയുള്ള നമ്പറുകൾ എഴുതുകയും നിങ്ങളുടെ $1 നെതിരെ $5 വാതുവെക്കുകയും ചെയ്യുന്നു, നിങ്ങൾ നമ്പർ ഊഹിക്കില്ല. അത്തരമൊരു പന്തയത്തിന് നിങ്ങൾ സമ്മതിക്കണോ? ഇവിടെ എന്താണ് പ്രതീക്ഷ?

ശരാശരി നാല് തവണ നിങ്ങൾ തെറ്റിദ്ധരിക്കും. ഇതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ, സംഖ്യ ഊഹിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്കെതിരായ സാധ്യതകൾ 4 മുതൽ 1 വരെയാണ്. ഒറ്റ ശ്രമത്തിൽ ഒരു ഡോളർ നഷ്‌ടപ്പെടുന്നതിനുള്ള സാധ്യത. എന്നിരുന്നാലും, നിങ്ങൾ 5 മുതൽ 1 വരെ വിജയിക്കുന്നു, 4 മുതൽ 1 വരെ തോൽക്കാനുള്ള സാധ്യതയുണ്ട്. അതിനാൽ സാധ്യതകൾ നിങ്ങൾക്ക് അനുകൂലമാണ്, നിങ്ങൾക്ക് പന്തയം വെച്ച് മികച്ച ഫലം പ്രതീക്ഷിക്കാം. നിങ്ങൾ ഈ പന്തയം അഞ്ച് തവണ നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, ശരാശരി നിങ്ങൾക്ക് നാല് തവണ $1 നഷ്ടപ്പെടുകയും $5 ഒരിക്കൽ നേടുകയും ചെയ്യും. ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, എല്ലാ അഞ്ച് ശ്രമങ്ങൾക്കും നിങ്ങൾ ഒരു പന്തയത്തിന് 20 സെൻ്റ് പോസിറ്റീവ് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയോടെ $1 നേടും.

മുകളിലെ ഉദാഹരണത്തിലെന്നപോലെ താൻ പന്തയം വെക്കുന്നതിനേക്കാൾ കൂടുതൽ വിജയിക്കുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ഒരു കളിക്കാരൻ അവസരങ്ങൾ സ്വീകരിക്കുന്നു. നേരെമറിച്ച്, താൻ പന്തയം വെക്കുന്നതിനേക്കാൾ കുറച്ച് വിജയിക്കുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുമ്പോൾ അവൻ തൻ്റെ അവസരങ്ങൾ നശിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു വാതുവെപ്പുകാരന് ഒന്നുകിൽ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് പ്രതീക്ഷ ഉണ്ടായിരിക്കാം, അത് അവൻ വിജയിക്കുമോ അതോ സാധ്യതകളെ നശിപ്പിക്കുമോ എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

4 മുതൽ 1 വരെ വിജയസാധ്യതയുള്ള $10 നേടുന്നതിന് നിങ്ങൾ $50 വാതുവയ്ക്കുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്ക് $2 എന്ന നെഗറ്റീവ് പ്രതീക്ഷ ലഭിക്കും കാരണം ശരാശരി, നിങ്ങൾ നാല് തവണ $10 നേടുകയും $50 ഒരിക്കൽ നഷ്ടപ്പെടുകയും ചെയ്യും, ഇത് ഒരു പന്തയത്തിന് $10 ആയിരിക്കും എന്ന് കാണിക്കുന്നു. എന്നാൽ 4 മുതൽ 1 വരെ വിജയിക്കുന്നതിനുള്ള അതേ സാധ്യതകളോടെ, $10 നേടുന്നതിന് നിങ്ങൾ $30 വാതുവെക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് $2 എന്ന നല്ല പ്രതീക്ഷയുണ്ട്, കാരണം നിങ്ങൾ വീണ്ടും നാല് തവണ $10 നേടുകയും $30 നഷ്ടപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു, $10 ലാഭത്തിന്. ആദ്യത്തെ പന്തയം മോശമാണെന്നും രണ്ടാമത്തേത് നല്ലതാണെന്നും ഈ ഉദാഹരണങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ് ഏതൊരു ഗെയിമിംഗ് സാഹചര്യത്തിൻ്റെയും കേന്ദ്രം. ഒരു വാതുവെപ്പുകാരൻ ഫുട്ബോൾ ആരാധകരെ $11 വാതുവെച്ച് $10 നേടാൻ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുമ്പോൾ, അയാൾക്ക് ഓരോ $10-നും 50 സെൻറ് എന്ന നല്ല പ്രതീക്ഷയുണ്ട്. കാസിനോ പാസ് ലൈനിൽ നിന്ന് പണം പോലും ക്രാപ്പിൽ അടച്ചാൽ, കാസിനോയുടെ നല്ല പ്രതീക്ഷ ഓരോ $100-നും ഏകദേശം $1.40 ആയിരിക്കും, കാരണം ഈ ലൈനിൽ പന്തയം വെക്കുന്ന ആർക്കും ശരാശരി 50.7% നഷ്ടപ്പെടുകയും മൊത്തം സമയത്തിൻ്റെ 49.3% വിജയിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന തരത്തിലാണ് ഈ ഗെയിം ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്നത്. നിസ്സംശയമായും, ഈ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷയാണ് ലോകമെമ്പാടുമുള്ള കാസിനോ ഉടമകൾക്ക് വലിയ ലാഭം നൽകുന്നത്. വെഗാസ് വേൾഡ് കാസിനോ ഉടമ ബോബ് സ്തൂപക് സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, “ആവശ്യമായ ദൂരത്തിൽ ആയിരത്തിലൊന്ന് ഒരു ശതമാനം നെഗറ്റീവ് പ്രോബബിലിറ്റി നശിപ്പിക്കും. ഏറ്റവും ധനികനായ മനുഷ്യൻലോകത്തിൽ."

പോക്കർ കളിക്കുമ്പോൾ പ്രതീക്ഷ

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ സിദ്ധാന്തവും ഗുണങ്ങളും ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്നുള്ള ഏറ്റവും ചിത്രീകരണപരവും ചിത്രീകരണപരവുമായ ഉദാഹരണമാണ് പോക്കർ ഗെയിം.

പോക്കറിലെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം ഒരു പ്രത്യേക തീരുമാനത്തിൽ നിന്നുള്ള ശരാശരി നേട്ടമാണ്, അത്തരം ഒരു തീരുമാനം വലിയ സംഖ്യകളുടെയും ദീർഘദൂരത്തിൻ്റെയും സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ചട്ടക്കൂടിനുള്ളിൽ പരിഗണിക്കാവുന്നതാണ്. പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യമുള്ള നീക്കങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും സ്വീകരിക്കുന്നതാണ് വിജയകരമായ പോക്കർ ഗെയിം.

പോക്കർ കളിക്കുമ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുടെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ അർത്ഥം, തീരുമാനങ്ങൾ എടുക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾ പലപ്പോഴും ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ നേരിടുന്നു എന്നതാണ് (എതിരാളിയുടെ കൈയിൽ ഏതൊക്കെ കാർഡുകൾ ഉണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല, തുടർന്നുള്ള വാതുവെപ്പുകളിൽ എന്ത് കാർഡുകൾ വരും). വലിയ സംഖ്യാ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഓരോ പരിഹാരങ്ങളും നാം പരിഗണിക്കണം, അത് മതിയായ വലിയ സാമ്പിളിനൊപ്പം, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യം അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് വിധേയമാകുമെന്ന് പ്രസ്താവിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രത്യേക സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ, പോക്കറിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ ഏറ്റവും ബാധകമാണ്:

പോക്കർ കളിക്കുമ്പോൾ, വാതുവെപ്പുകൾക്കും കോളുകൾക്കും പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം കണക്കാക്കാം. ആദ്യ സന്ദർഭത്തിൽ, ഫോൾഡ് ഇക്വിറ്റി കണക്കിലെടുക്കണം, രണ്ടാമത്തേതിൽ, ബാങ്കിൻ്റെ സ്വന്തം സാധ്യതകൾ. ഒരു പ്രത്യേക നീക്കത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ വിലയിരുത്തുമ്പോൾ, ഒരു മടക്കിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു പൂജ്യം പ്രതീക്ഷയുണ്ടെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കണം. അതിനാൽ, കാർഡുകൾ ഉപേക്ഷിക്കുന്നത് എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഏതൊരു നെഗറ്റീവ് നീക്കത്തേക്കാളും ലാഭകരമായ തീരുമാനമായിരിക്കും.

നിങ്ങൾ അപകടപ്പെടുത്തുന്ന ഓരോ ഡോളറിനും നിങ്ങൾക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കാവുന്ന (ലാഭമോ നഷ്ടമോ) എന്തെല്ലാം പ്രതീക്ഷിക്കാമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു. കാസിനോകൾ പണം സമ്പാദിക്കുന്നു, കാരണം അവയിൽ കളിക്കുന്ന എല്ലാ ഗെയിമുകളുടെയും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കാസിനോയ്ക്ക് അനുകൂലമാണ്. മതിയായ നീണ്ട ഗെയിമുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ക്ലയൻ്റ് പണം നഷ്‌ടപ്പെടുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കാം, കാരണം “സാധ്യതകൾ” കാസിനോയ്ക്ക് അനുകൂലമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പ്രൊഫഷണൽ കാസിനോ കളിക്കാർ അവരുടെ ഗെയിമുകൾ ചുരുങ്ങിയ സമയത്തേക്ക് പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു, അതുവഴി അവർക്ക് അനുകൂലമായ സാധ്യതകൾ അടുക്കുന്നു. നിക്ഷേപത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിലും അങ്ങനെ തന്നെ. നിങ്ങളുടെ പ്രതീക്ഷ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ചുരുങ്ങിയ സമയത്തിനുള്ളിൽ നിരവധി ട്രേഡുകൾ നടത്തി നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ പണം സമ്പാദിക്കാം. പ്രതീക്ഷ എന്നത് നിങ്ങളുടെ ശരാശരി ലാഭം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ ഒരു വിജയത്തിനായുള്ള നിങ്ങളുടെ ലാഭത്തിൻ്റെ ശതമാനമാണ്, നിങ്ങളുടെ നഷ്ടത്തിൻ്റെ സാധ്യത കുറയ്ക്കുന്നത് നിങ്ങളുടെ ശരാശരി നഷ്ടം കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ.

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുടെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ നിന്നും പോക്കറിനെ പരിഗണിക്കാം. ഒരു നിശ്ചിത നീക്കം ലാഭകരമാണെന്ന് നിങ്ങൾ ഊഹിച്ചേക്കാം, എന്നാൽ ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ അത് മികച്ചതായിരിക്കില്ല, കാരണം മറ്റൊരു നീക്കം കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്. അഞ്ച് കാർഡ് ഡ്രോ പോക്കറിൽ നിങ്ങൾ ഒരു ഫുൾ ഹൗസ് അടിച്ചുവെന്ന് പറയാം. നിങ്ങളുടെ എതിരാളി ഒരു പന്തയം വെക്കുന്നു. നിങ്ങൾ പന്തയം ഉയർത്തിയാൽ അവൻ പ്രതികരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം. അതിനാൽ, ഉയർത്തൽ മികച്ച തന്ത്രമാണെന്ന് തോന്നുന്നു. എന്നാൽ നിങ്ങൾ പന്തയം ഉയർത്തുകയാണെങ്കിൽ, ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് കളിക്കാർ തീർച്ചയായും മടക്കപ്പെടും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ വിളിച്ചാൽ, നിങ്ങളുടെ പിന്നിലുള്ള മറ്റ് രണ്ട് കളിക്കാരും ഇത് ചെയ്യുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് പൂർണ്ണ ആത്മവിശ്വാസമുണ്ട്. നിങ്ങൾ പന്തയം ഉയർത്തുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു യൂണിറ്റ് ലഭിക്കും, നിങ്ങൾ വിളിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് യൂണിറ്റ് ലഭിക്കും. അതിനാൽ, കോളിംഗ് നിങ്ങൾക്ക് ഉയർന്ന പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം നൽകുന്നു, അത് മികച്ച തന്ത്രമായിരിക്കും.

പോക്കർ തന്ത്രങ്ങൾ ലാഭകരമല്ലാത്തതും കൂടുതൽ ലാഭകരവുമാണെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് ഒരു ആശയം നൽകാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത കൈ കളിക്കുകയും നിങ്ങളുടെ നഷ്ടം ആൻ്റേയും ഉൾപ്പെടെ ശരാശരി 75 സെൻ്റായിരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, നിങ്ങൾ ആ കൈ കളിക്കണം, കാരണം മുൻനിര $1 ആയിരിക്കുമ്പോൾ മടക്കിക്കളയുന്നതിനേക്കാൾ മികച്ചതാണ് ഇത്.

മറ്റൊന്ന് പ്രധാന കാരണംഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുടെ സാരം മനസ്സിലാക്കാൻ, നിങ്ങൾ പന്തയത്തിൽ വിജയിച്ചാലും ഇല്ലെങ്കിലും അത് നിങ്ങൾക്ക് സമാധാനം നൽകുന്നു എന്നതാണ്: നിങ്ങൾ ഒരു നല്ല പന്തയം ഉണ്ടാക്കുകയോ അല്ലെങ്കിൽ കൃത്യസമയത്ത് മടക്കിക്കളയുകയോ ചെയ്താൽ, നിങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത തുക സമ്പാദിക്കുകയോ ലാഭിക്കുകയോ ചെയ്‌തുവെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കും. ദുർബലനായ കളിക്കാരന് രക്ഷിക്കാനായില്ല. നിങ്ങളുടെ എതിരാളി കൂടുതൽ ശക്തമായ കൈ വലിച്ചതിനാൽ നിങ്ങൾ അസ്വസ്ഥനാണെങ്കിൽ മടക്കുക എന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഇതെല്ലാം ഉപയോഗിച്ച്, വാതുവെപ്പിന് പകരം കളിക്കാതെ നിങ്ങൾ ലാഭിക്കുന്ന പണം രാത്രിയിലോ മാസത്തിലോ നിങ്ങളുടെ വിജയങ്ങളിൽ ചേർക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ കൈ മാറിയിരുന്നെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ എതിരാളി നിങ്ങളെ വിളിക്കുമായിരുന്നുവെന്ന് ഓർക്കുക, പോക്കർ ലേഖനത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിങ്ങൾ കാണുന്നത് പോലെ, ഇത് നിങ്ങളുടെ നേട്ടങ്ങളിൽ ഒന്ന് മാത്രമാണ്. ഇത് സംഭവിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾ സന്തോഷിക്കണം. ഒരു കൈ നഷ്‌ടപ്പെടുന്നത് ആസ്വദിക്കാൻ പോലും നിങ്ങൾക്ക് പഠിക്കാം, കാരണം നിങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്തുള്ള മറ്റ് കളിക്കാർക്ക് കൂടുതൽ നഷ്ടമാകുമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാം.

തുടക്കത്തിൽ കോയിൻ ഗെയിം ഉദാഹരണത്തിൽ ചർച്ച ചെയ്തതുപോലെ, ലാഭത്തിൻ്റെ മണിക്കൂർ നിരക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, കൂടാതെ ഈ ആശയംപ്രൊഫഷണൽ കളിക്കാർക്ക് പ്രത്യേകിച്ചും പ്രധാനമാണ്. നിങ്ങൾ പോക്കർ കളിക്കാൻ പോകുമ്പോൾ, ഒരു മണിക്കൂർ കളിയിൽ നിങ്ങൾക്ക് എത്രത്തോളം വിജയിക്കാമെന്ന് നിങ്ങൾ മാനസികമായി കണക്കാക്കണം. മിക്ക കേസുകളിലും നിങ്ങൾ നിങ്ങളുടെ അവബോധത്തെയും അനുഭവത്തെയും ആശ്രയിക്കേണ്ടിവരും, എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് ചില ഗണിതവും ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, നിങ്ങൾ ഡ്രോ ലോബോൾ കളിക്കുകയാണ്, മൂന്ന് കളിക്കാർ $10 പന്തയം വെയ്ക്കുന്നതും തുടർന്ന് രണ്ട് കാർഡുകൾ കച്ചവടം ചെയ്യുന്നതും നിങ്ങൾ കാണുന്നു, ഇത് വളരെ മോശം തന്ത്രമാണ്, ഓരോ തവണയും $10 വാതുവെയ്ക്കുമ്പോൾ അവർക്ക് ഏകദേശം $2 നഷ്ടപ്പെടുമെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് മനസിലാക്കാൻ കഴിയും. ഓരോരുത്തരും ഇത് മണിക്കൂറിൽ എട്ട് തവണ ചെയ്യുന്നു, അതായത് മൂന്ന് പേർക്കും മണിക്കൂറിൽ ഏകദേശം $48 നഷ്ടപ്പെടും. ഏകദേശം തുല്യരായ ശേഷിക്കുന്ന നാല് കളിക്കാരിൽ ഒരാളാണ് നിങ്ങൾ, അതിനാൽ ഈ നാല് കളിക്കാർ (നിങ്ങളും അവരിൽ) $48 വിഭജിക്കണം, ഓരോന്നിനും മണിക്കൂറിന് $12 ലാഭം. ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ മൂന്ന് മോശം കളിക്കാർ നഷ്‌ടമായ പണത്തിൻ്റെ നിങ്ങളുടെ വിഹിതത്തിന് തുല്യമാണ് ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിങ്ങളുടെ മണിക്കൂറിലെ സാധ്യത.

ഒരു നീണ്ട കാലയളവിൽ, കളിക്കാരൻ്റെ മൊത്തം വിജയങ്ങൾ വ്യക്തിഗത കൈകളിലെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുടെ ആകെത്തുകയാണ്. പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷയോടെ നിങ്ങൾ കൂടുതൽ കൈകൾ കളിക്കുന്നു, നിങ്ങൾ കൂടുതൽ വിജയിക്കും, വിപരീതമായി, നിങ്ങൾ നെഗറ്റീവ് പ്രതീക്ഷയോടെ കളിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ നഷ്ടപ്പെടും. തൽഫലമായി, നിങ്ങളുടെ പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുന്ന അല്ലെങ്കിൽ നിങ്ങളുടെ നെഗറ്റീവ് പ്രതീക്ഷകൾ നിരാകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു ഗെയിം നിങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കണം, അതുവഴി നിങ്ങളുടെ മണിക്കൂർ വിജയങ്ങൾ പരമാവധിയാക്കാനാകും.

ഗെയിമിംഗ് തന്ത്രത്തിലെ പോസിറ്റീവ് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ

കാർഡുകൾ എങ്ങനെ എണ്ണണമെന്ന് നിങ്ങൾക്കറിയാമെങ്കിൽ, കാസിനോയിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നേട്ടമുണ്ടാകും, അവർ നിങ്ങളെ ശ്രദ്ധിക്കാതിരിക്കുകയും പുറത്താക്കുകയും ചെയ്യുന്നിടത്തോളം. കാസിനോകൾ മദ്യപിക്കുന്ന കളിക്കാരെ ഇഷ്ടപ്പെടുന്നു, കാർഡ് എണ്ണുന്ന കളിക്കാരെ സഹിക്കില്ല. നേട്ടം കാലക്രമേണ വിജയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും. വലിയ സംഖ്യനഷ്ടപ്പെടുന്നതിനേക്കാൾ സമയം. നല്ല മാനേജ്മെൻ്റ്പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ മൂലധനം നിങ്ങളുടെ നേട്ടത്തിൽ നിന്ന് കൂടുതൽ ലാഭം നേടാനും നിങ്ങളുടെ നഷ്ടം കുറയ്ക്കാനും സഹായിക്കും. ഒരു പ്രയോജനവുമില്ലാതെ, നിങ്ങൾ പണം ചാരിറ്റിക്ക് നൽകുന്നതാണ് നല്ലത്. സ്റ്റോക്ക് എക്‌സ്‌ചേഞ്ചിലെ ഗെയിമിൽ, ഗെയിം സിസ്റ്റമാണ് നേട്ടം നൽകുന്നത്, ഇത് നഷ്ടം, വില വ്യത്യാസങ്ങൾ, കമ്മീഷനുകൾ എന്നിവയേക്കാൾ വലിയ ലാഭം സൃഷ്ടിക്കുന്നു. ഒരു മോശം ഗെയിമിംഗ് സിസ്റ്റം ലാഭിക്കാൻ എത്ര പണം കൈകാര്യം ചെയ്താലും കഴിയില്ല.

ഒരു പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷ പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലിയ മൂല്യമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു. ഈ സംഖ്യ വലുതാകുന്തോറും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നത് ശക്തമാണ്. മൂല്യം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കുറവാണെങ്കിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും. നെഗറ്റീവ് മൂല്യത്തിൻ്റെ വലിയ മൊഡ്യൂൾ, സ്ഥിതി കൂടുതൽ വഷളാക്കുന്നു. ഫലം പൂജ്യമാണെങ്കിൽ, കാത്തിരിപ്പ് ഇടവേളയാണ്. നിങ്ങൾക്ക് പോസിറ്റീവ് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും ന്യായമായ കളി സംവിധാനവും ഉള്ളപ്പോൾ മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് വിജയിക്കാനാകൂ. അവബോധത്താൽ കളിക്കുന്നത് ദുരന്തത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും ഓഹരി വ്യാപാരവും

സാമ്പത്തിക വിപണികളിൽ എക്സ്ചേഞ്ച് ട്രേഡിംഗ് നടത്തുമ്പോൾ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ വളരെ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നതും ജനപ്രിയവുമായ ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സൂചകമാണ്. ഒന്നാമതായി, ട്രേഡിംഗിൻ്റെ വിജയം വിശകലനം ചെയ്യാൻ ഈ പരാമീറ്റർ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ മൂല്യം എത്രയധികം ഉയർന്നുവോ അത്രയും കൂടുതൽ കാരണങ്ങളാൽ പഠിക്കപ്പെടുന്ന വ്യാപാരം വിജയകരമാണെന്ന് ഊഹിക്കാൻ പ്രയാസമില്ല. തീർച്ചയായും, ഈ പരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് മാത്രം ഒരു വ്യാപാരിയുടെ ജോലിയുടെ വിശകലനം നടത്താൻ കഴിയില്ല. എന്നിരുന്നാലും, കണക്കാക്കിയ മൂല്യം, ജോലിയുടെ ഗുണനിലവാരം വിലയിരുത്തുന്നതിനുള്ള മറ്റ് രീതികളുമായി സംയോജിച്ച്, വിശകലനത്തിൻ്റെ കൃത്യത ഗണ്യമായി വർദ്ധിപ്പിക്കും.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ പലപ്പോഴും ട്രേഡിംഗ് അക്കൗണ്ട് മോണിറ്ററിംഗ് സേവനങ്ങളിൽ കണക്കാക്കുന്നു, ഇത് നിക്ഷേപത്തിൽ നിർവഹിച്ച ജോലികൾ വേഗത്തിൽ വിലയിരുത്താൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു. ലാഭകരമല്ലാത്ത ട്രേഡുകൾ "സിറ്റ് ഔട്ട്" ഉപയോഗിക്കുന്ന തന്ത്രങ്ങൾ ഒഴിവാക്കലുകളിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു. ഒരു വ്യാപാരി കുറച്ച് സമയത്തേക്ക് ഭാഗ്യവാനായിരിക്കാം, അതിനാൽ അവൻ്റെ ജോലിയിൽ ഒരു നഷ്ടവും ഉണ്ടാകില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാൽ മാത്രം നാവിഗേറ്റ് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ജോലിയിൽ ഉപയോഗിക്കുന്ന അപകടസാധ്യതകൾ കണക്കിലെടുക്കില്ല.

മാർക്കറ്റ് ട്രേഡിംഗിൽ, ഏതെങ്കിലും ട്രേഡിംഗ് തന്ത്രത്തിൻ്റെ ലാഭക്ഷമത പ്രവചിക്കുമ്പോഴോ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു വ്യാപാരിയുടെ മുൻ ട്രേഡിംഗിൽ നിന്നുള്ള സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള വരുമാനം പ്രവചിക്കുമ്പോഴോ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ് മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നത്.

മണി മാനേജ്‌മെൻ്റിനെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, നെഗറ്റീവ് പ്രതീക്ഷകളോടെ ട്രേഡുകൾ നടത്തുമ്പോൾ, തീർച്ചയായും ഉയർന്ന ലാഭം കൊണ്ടുവരാൻ കഴിയുന്ന ഒരു മണി മാനേജ്‌മെൻ്റ് സ്കീം ഇല്ലെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഈ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് വിധേയമായി നിങ്ങൾ സ്റ്റോക്ക് മാർക്കറ്റ് കളിക്കുന്നത് തുടരുകയാണെങ്കിൽ, നിങ്ങളുടെ പണം നിങ്ങൾ എങ്ങനെ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു എന്നത് പരിഗണിക്കാതെ തന്നെ, നിങ്ങളുടെ അക്കൗണ്ട് ആരംഭിക്കുന്നത് എത്ര വലുതായിരുന്നാലും നിങ്ങളുടെ മുഴുവൻ അക്കൗണ്ടും നഷ്‌ടപ്പെടും.

നെഗറ്റീവ് പ്രതീക്ഷകളുള്ള ഗെയിമുകൾക്കോ ​​ട്രേഡുകൾക്കോ ​​മാത്രമല്ല, തുല്യ അവസരങ്ങളുള്ള ഗെയിമുകൾക്കും ഈ സിദ്ധാന്തം ശരിയാണ്. അതിനാൽ, നിങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന പോസിറ്റീവ് മൂല്യമുള്ള ട്രേഡുകൾ എടുക്കുകയാണെങ്കിൽ മാത്രമേ ദീർഘകാലാടിസ്ഥാനത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ലാഭം നേടാനുള്ള അവസരം ലഭിക്കൂ.

നെഗറ്റീവ് പ്രതീക്ഷയും പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷയും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ജീവിതവും മരണവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്. പ്രതീക്ഷകൾ എത്ര പോസിറ്റീവും എത്ര പ്രതികൂലവുമാണ് എന്നത് പ്രശ്നമല്ല; അത് പോസിറ്റീവാണോ നെഗറ്റീവാണോ എന്നത് മാത്രമാണ് പ്രധാനം. അതിനാൽ, മണി മാനേജ്‌മെൻ്റ് പരിഗണിക്കുന്നതിന് മുമ്പ്, നിങ്ങൾ നല്ല പ്രതീക്ഷകളുള്ള ഒരു ഗെയിം കണ്ടെത്തണം.

നിങ്ങൾക്ക് ആ ഗെയിം ഇല്ലെങ്കിൽ, ലോകത്തിലെ എല്ലാ പണ മാനേജ്മെൻ്റും നിങ്ങളെ രക്ഷിക്കില്ല. മറുവശത്ത്, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു നല്ല പ്രതീക്ഷയുണ്ടെങ്കിൽ, ശരിയായ പണ മാനേജ്മെൻ്റിലൂടെ നിങ്ങൾക്ക് അത് ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഗ്രോത്ത് ഫംഗ്‌ഷനാക്കി മാറ്റാനാകും. പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷകൾ എത്ര ചെറുതാണെങ്കിലും കാര്യമില്ല! മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഒരൊറ്റ കരാറിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള ഒരു ട്രേഡിംഗ് സിസ്റ്റം എത്രമാത്രം ലാഭകരമാണ് എന്നത് പ്രശ്നമല്ല. ഓരോ ട്രേഡിലും (കമ്മീഷനുകൾക്കും സ്ലിപ്പേജിനും ശേഷം) ഒരു കരാറിന് $10 നേടുന്ന ഒരു സിസ്റ്റം നിങ്ങൾക്കുണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു ട്രേഡിന് ശരാശരി $1,000 (കമ്മീഷനുകളും സ്ലിപ്പേജും കിഴിവ് ചെയ്തതിന് ശേഷം) ഒരു സിസ്റ്റത്തേക്കാൾ ലാഭകരമാക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് മണി മാനേജ്മെൻ്റ് ടെക്നിക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കാം.

സിസ്റ്റം എത്രമാത്രം ലാഭകരമായിരുന്നു എന്നതല്ല പ്രധാനം, ഭാവിയിൽ ചുരുങ്ങിയ ലാഭമെങ്കിലും കാണിക്കുമെന്ന് എത്ര ഉറപ്പിച്ച് പറയാനാകും. അതിനാൽ, ഒരു വ്യാപാരിക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയുന്ന ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട തയ്യാറെടുപ്പ്, ഭാവിയിൽ സിസ്റ്റം ഒരു നല്ല പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം കാണിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പാക്കുക എന്നതാണ്.

ഭാവിയിൽ പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം ലഭിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങളുടെ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ അളവ് പരിമിതപ്പെടുത്താതിരിക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്. ഒപ്റ്റിമൈസ് ചെയ്യേണ്ട പാരാമീറ്ററുകളുടെ എണ്ണം ഇല്ലാതാക്കുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്യുന്നതിലൂടെ മാത്രമല്ല, കഴിയുന്നത്ര സിസ്റ്റം നിയമങ്ങൾ കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെയും ഇത് കൈവരിക്കാനാകും. നിങ്ങൾ ചേർക്കുന്ന ഓരോ പാരാമീറ്ററും, നിങ്ങൾ ഉണ്ടാക്കുന്ന എല്ലാ നിയമങ്ങളും, സിസ്റ്റത്തിൽ നിങ്ങൾ വരുത്തുന്ന ഓരോ ചെറിയ മാറ്റവും സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം കുറയ്ക്കുന്നു. എബൌട്ട്, നിങ്ങൾ തികച്ചും പ്രാകൃതവും നിർമ്മിക്കേണ്ടതുണ്ട് ലളിതമായ സിസ്റ്റം, ഏത് വിപണിയിലും സ്ഥിരമായി ചെറിയ ലാഭം സൃഷ്ടിക്കും. വീണ്ടും, സിസ്റ്റം ലാഭകരമായിരിക്കുന്നിടത്തോളം കാലം അത് എത്ര ലാഭകരമാണെന്നത് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. കച്ചവടത്തിലൂടെ ലഭിക്കുന്ന പണം അതിലൂടെ ലഭിക്കും ഫലപ്രദമായ മാനേജ്മെൻ്റ്പണം.

ഒരു ട്രേഡിംഗ് സിസ്റ്റം എന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം നൽകുന്ന ഒരു ഉപകരണമാണ്, അതുവഴി നിങ്ങൾക്ക് പണം കൈകാര്യം ചെയ്യാൻ കഴിയും. ഒന്നോ അതിലധികമോ വിപണികളിൽ മാത്രം പ്രവർത്തിക്കുന്ന (കുറഞ്ഞ ലാഭമെങ്കിലും കാണിക്കുക) അല്ലെങ്കിൽ വ്യത്യസ്ത വിപണികൾക്കായി വ്യത്യസ്ത നിയമങ്ങളോ പാരാമീറ്ററുകളോ ഉള്ള സിസ്റ്റങ്ങൾ, തത്സമയം വേണ്ടത്ര സമയത്തേക്ക് പ്രവർത്തിക്കില്ല. ഒപ്റ്റിമൈസേഷനായി അവർ വളരെയധികം സമയവും പരിശ്രമവും ചെലവഴിക്കുന്നു എന്നതാണ് സാങ്കേതികമായി അധിഷ്ഠിതമായ മിക്ക വ്യാപാരികളുടെയും പ്രശ്നം വ്യത്യസ്ത നിയമങ്ങൾട്രേഡിംഗ് സിസ്റ്റം പാരാമീറ്ററുകളുടെ മൂല്യങ്ങളും. ഇത് തികച്ചും വിപരീത ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നു. ട്രേഡിംഗ് സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ലാഭം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന് ഊർജ്ജവും കമ്പ്യൂട്ടർ സമയവും പാഴാക്കുന്നതിന് പകരം, കുറഞ്ഞ ലാഭം നേടുന്നതിനുള്ള വിശ്വാസ്യതയുടെ നിലവാരം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നതിന് നിങ്ങളുടെ ഊർജ്ജം നയിക്കുക.

മണി മാനേജ്‌മെൻ്റ് എന്നത് പോസിറ്റീവ് പ്രതീക്ഷകളുടെ ഉപയോഗം ആവശ്യമുള്ള ഒരു സംഖ്യാ ഗെയിമാണെന്ന് അറിയുമ്പോൾ, ഒരു വ്യാപാരിക്ക് സ്റ്റോക്ക് ട്രേഡിംഗിൻ്റെ "ഹോളി ഗ്രെയ്ൽ" തിരയുന്നത് നിർത്താനാകും. പകരം, അയാൾക്ക് തൻ്റെ ട്രേഡിംഗ് രീതി പരീക്ഷിക്കാൻ തുടങ്ങാം, ഈ രീതി എത്രത്തോളം യുക്തിസഹമാണെന്നും അത് നല്ല പ്രതീക്ഷകൾ നൽകുന്നുണ്ടോ എന്നും കണ്ടെത്താം. ശരിയായ രീതികൾപണ മാനേജ്മെൻ്റ്, ഏതെങ്കിലും, വളരെ സാധാരണമായ വ്യാപാര രീതികളിൽ പോലും പ്രയോഗിക്കുന്നു, ബാക്കി ജോലികൾ സ്വയം ചെയ്യും.

ഏതൊരു വ്യാപാരിയും തൻ്റെ ജോലിയിൽ വിജയിക്കണമെങ്കിൽ, അവൻ ഏറ്റവും കൂടുതൽ മൂന്ന് കാര്യങ്ങൾ പരിഹരിക്കേണ്ടതുണ്ട് പ്രധാനപ്പെട്ട ജോലികൾ: . വിജയകരമായ ഇടപാടുകളുടെ എണ്ണം അനിവാര്യമായ തെറ്റുകളും തെറ്റായ കണക്കുകൂട്ടലുകളും കവിയുന്നുവെന്ന് ഉറപ്പാക്കാൻ; നിങ്ങളുടെ ട്രേഡിംഗ് സിസ്റ്റം സജ്ജീകരിക്കുക, അതുവഴി നിങ്ങൾക്ക് കഴിയുന്നത്ര തവണ പണം സമ്പാദിക്കാനുള്ള അവസരമുണ്ട്; നിങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് സ്ഥിരമായ പോസിറ്റീവ് ഫലങ്ങൾ നേടുക.

ഇവിടെ, ജോലി ചെയ്യുന്ന വ്യാപാരികളെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ വലിയ സഹായമായിരിക്കും. പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലെ പ്രധാന പദങ്ങളിലൊന്നാണ് ഈ പദം. അതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ, നിങ്ങൾക്ക് ചില ക്രമരഹിതമായ മൂല്യത്തിൻ്റെ ശരാശരി കണക്ക് നൽകാൻ കഴിയും. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രത്തിന് സമാനമാണ്, സാധ്യമായ എല്ലാ സാധ്യതകളും വ്യത്യസ്ത പിണ്ഡങ്ങളുള്ള പോയിൻ്റുകളായി നിങ്ങൾ സങ്കൽപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ.

ഒരു ട്രേഡിംഗ് തന്ത്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട്, ലാഭത്തിൻ്റെ (അല്ലെങ്കിൽ നഷ്ടം) ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ അതിൻ്റെ ഫലപ്രാപ്തി വിലയിരുത്താൻ മിക്കപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ പരാമീറ്റർ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത് ലാഭത്തിൻ്റെയും നഷ്ടത്തിൻ്റെയും നിശ്ചിത തലങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയും അവ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യതയുമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, വികസിത വ്യാപാര തന്ത്രം എല്ലാ ഇടപാടുകളിലും 37% ലാഭം കൊണ്ടുവരുമെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു, ശേഷിക്കുന്ന ഭാഗം - 63% - ലാഭകരമല്ല. അതേ സമയം, വിജയകരമായ ഇടപാടിൽ നിന്നുള്ള ശരാശരി വരുമാനം $ 7 ആയിരിക്കും, ശരാശരി നഷ്ടം $ 1.4 ആയിരിക്കും. ഈ സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ച് ട്രേഡിങ്ങിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കാം:

ഈ സംഖ്യ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? ഈ സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ പാലിച്ച്, ഓരോ അടച്ച ഇടപാടിൽ നിന്നും ശരാശരി $1,708 ഞങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുമെന്ന് അത് പറയുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന കാര്യക്ഷമത റേറ്റിംഗ് പൂജ്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലായതിനാൽ, അത്തരമൊരു സംവിധാനം യഥാർത്ഥ ജോലിക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ ഫലമായി, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ നെഗറ്റീവ് ആയി മാറുകയാണെങ്കിൽ, ഇത് ഇതിനകം ശരാശരി നഷ്ടത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, അത്തരം വ്യാപാരം നാശത്തിലേക്ക് നയിക്കും.

ഓരോ ഇടപാടിനും ലാഭത്തിൻ്റെ അളവ് % എന്ന രൂപത്തിൽ ആപേക്ഷിക മൂല്യമായി പ്രകടിപ്പിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്:

- 1 ഇടപാടിന് വരുമാനത്തിൻ്റെ ശതമാനം - 5%;

- വിജയകരമായ ട്രേഡിംഗ് പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ശതമാനം - 62%;

- 1 ഇടപാടിന് നഷ്ടത്തിൻ്റെ ശതമാനം - 3%;

– വിജയിക്കാത്ത ഇടപാടുകളുടെ ശതമാനം - 38%;

അതായത്, ശരാശരി വ്യാപാരം 1.96% കൊണ്ടുവരും.

ലാഭകരമല്ലാത്ത വ്യാപാരങ്ങളുടെ ആധിപത്യം ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, നൽകുന്ന ഒരു സംവിധാനം വികസിപ്പിക്കാൻ കഴിയും നല്ല ഫലം, അതിൻ്റെ MO>0 മുതൽ.

എന്നിരുന്നാലും, കാത്തിരിപ്പ് മാത്രം പോരാ. സിസ്റ്റം വളരെ കുറച്ച് ട്രേഡിംഗ് സിഗ്നലുകൾ നൽകിയാൽ പണം സമ്പാദിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതിൻ്റെ ലാഭക്ഷമത ബാങ്ക് പലിശയുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്താവുന്നതാണ്. ഓരോ ഓപ്പറേഷനും ശരാശരി 0.5 ഡോളർ മാത്രം ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കട്ടെ, എന്നാൽ സിസ്റ്റം പ്രതിവർഷം 1000 പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉൾപ്പെട്ടാലോ? താരതമ്യേന ചുരുങ്ങിയ സമയത്തിനുള്ളിൽ ഇത് വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ട തുകയായിരിക്കും. ഒരു നല്ല വ്യാപാര വ്യവസ്ഥയുടെ മറ്റൊരു സവിശേഷത പരിഗണിക്കാമെന്ന് യുക്തിപരമായി ഇതിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു ഷോർട്ട് ടേംസ്ഥാനങ്ങൾ വഹിക്കുന്നു.

ഉറവിടങ്ങളും ലിങ്കുകളും

dic.academic.ru - അക്കാദമിക് ഓൺലൈൻ നിഘണ്ടു

mathematics.ru - ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ വിദ്യാഭ്യാസ വെബ്സൈറ്റ്

nsu.ru - നോവോസിബിർസ്കിൻ്റെ വിദ്യാഭ്യാസ വെബ്സൈറ്റ് സംസ്ഥാന സർവകലാശാല

webmath.ru - വിദ്യാഭ്യാസ പോർട്ടൽവിദ്യാർത്ഥികൾക്കും അപേക്ഷകർക്കും സ്കൂൾ കുട്ടികൾക്കും.

exponenta.ru വിദ്യാഭ്യാസ ഗണിത വെബ്സൈറ്റ്

ru.tradimo.com - സൗജന്യ ഓൺലൈൻ ട്രേഡിംഗ് സ്കൂൾ

crypto.hut2.ru - മൾട്ടി ഡിസിപ്ലിനറി വിവര വിഭവം

poker-wiki.ru - പോക്കറിൻ്റെ സ്വതന്ത്ര വിജ്ഞാനകോശം

sernam.ru - ശാസ്ത്രീയ ലൈബ്രറിതിരഞ്ഞെടുത്ത പ്രകൃതി ശാസ്ത്ര പ്രസിദ്ധീകരണങ്ങൾ

reshim.su - വെബ്‌സൈറ്റ് ഞങ്ങൾ ടെസ്റ്റ് കോഴ്‌സ് വർക്ക് പ്രശ്‌നങ്ങൾ പരിഹരിക്കും

unfx.ru - UNFX-ലെ ഫോറെക്സ്: പരിശീലനം, ട്രേഡിംഗ് സിഗ്നലുകൾ, ട്രസ്റ്റ് മാനേജ്മെൻ്റ്

slovopedia.com - വലുത് എൻസൈക്ലോപീഡിക് നിഘണ്ടുസ്ലോവോപീഡിയ

pokermansion.3dn.ru - പോക്കർ ലോകത്തെ നിങ്ങളുടെ വഴികാട്ടി

statanaliz.info - വിവര ബ്ലോഗ് "സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഡാറ്റ വിശകലനം"

forex-trader.rf - ഫോറെക്സ്-ട്രേഡർ പോർട്ടൽ

megafx.ru - നിലവിലെ ഫോറെക്സ് അനലിറ്റിക്സ്

fx-by.com - ഒരു വ്യാപാരിക്കുള്ള എല്ലാം