ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള. MS EXCEL-ൽ ശരാശരി (വ്യതിയാനം അറിയാം) കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള

പലപ്പോഴും മൂല്യനിർണ്ണയക്കാരൻ മൂല്യനിർണ്ണയം നടത്തുന്ന വസ്തുവിൻ്റെ സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ റിയൽ എസ്റ്റേറ്റ് മാർക്കറ്റ് വിശകലനം ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. മാർക്കറ്റ് വികസിപ്പിച്ചെടുത്താൽ, അവതരിപ്പിച്ച ഒബ്‌ജക്റ്റുകളുടെ മുഴുവൻ സെറ്റും വിശകലനം ചെയ്യുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടാണ്, അതിനാൽ വിശകലനത്തിനായി ഒബ്‌ജക്റ്റുകളുടെ ഒരു സാമ്പിൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ സാമ്പിൾ എല്ലായ്പ്പോഴും ഏകതാനമായി മാറുന്നില്ല; ചിലപ്പോൾ അത് അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകളിൽ നിന്ന് മായ്‌ക്കേണ്ടതുണ്ട് - വളരെ ഉയർന്നതോ വളരെ കുറഞ്ഞതോ ആയ മാർക്കറ്റ് ഓഫറുകൾ. ഈ ആവശ്യത്തിനായി ഇത് ഉപയോഗിക്കുന്നു ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള. ലക്ഷ്യം ഈ പഠനം- വിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് രീതികളുടെ താരതമ്യ വിശകലനം നടത്തുകയും estimatica.pro സിസ്റ്റത്തിൽ വ്യത്യസ്ത സാമ്പിളുകളിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ ഒപ്റ്റിമൽ കണക്കുകൂട്ടൽ ഓപ്ഷൻ തിരഞ്ഞെടുക്കുക.

ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള- ഒരു സാമ്പിളിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ കണക്കാക്കിയ ആട്രിബ്യൂട്ട് മൂല്യങ്ങളുടെ ഇടവേള, അറിയപ്പെടുന്ന പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ കണക്കാക്കിയ പാരാമീറ്റർ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു ജനസംഖ്യ.

സാമ്പിൾ ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി അത്തരമൊരു ഇടവേള നിർമ്മിക്കുക എന്നതാണ് ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ കണക്കാക്കുന്നത്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയിൽ ഒരു നിശ്ചിത സംഭാവ്യത അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു അജ്ഞാത മൂല്യംകണക്കാക്കിയ മൂല്യം. ഇടവേള കൂടുന്തോറും കൃത്യതയില്ലായ്മയും കൂടും.

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർണ്ണയിക്കുന്നതിന് വ്യത്യസ്ത രീതികളുണ്ട്. ഈ ലേഖനത്തിൽ നമ്മൾ 2 രീതികൾ നോക്കും:

• മീഡിയൻ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ വഴി;
• വഴി നിർണായക മൂല്യംടി-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ് (വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഗുണകം).

ഘട്ടങ്ങൾ താരതമ്യ വിശകലനം വ്യത്യസ്ത വഴികൾ CI കണക്കുകൂട്ടൽ:

1. ഒരു ഡാറ്റ സാമ്പിൾ രൂപീകരിക്കുക;

2. സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇത് പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നു: ശരാശരി മൂല്യം, ശരാശരി, വ്യത്യാസം മുതലായവ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.

3. രണ്ട് തരത്തിൽ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുക;

4. വൃത്തിയാക്കിയ സാമ്പിളുകളും തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളും വിശകലനം ചെയ്യുക.

ഘട്ടം 1. ഡാറ്റ സാമ്പിൾ

estimatica.pro സിസ്റ്റം ഉപയോഗിച്ചാണ് സാമ്പിൾ രൂപീകരിച്ചത്. "ക്രൂഷ്ചേവ്" തരം ലേഔട്ട് ഉപയോഗിച്ച് 3-ആം വില മേഖലയിൽ 1-റൂം അപ്പാർട്ട്മെൻ്റുകൾ വിൽക്കുന്നതിനുള്ള 91 ഓഫറുകൾ സാമ്പിളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

പട്ടിക 1. പ്രാരംഭ സാമ്പിൾ

	വില 1 ചതുരശ്ര മീറ്റർ, യൂണിറ്റ്

ചിത്രം.1. പ്രാരംഭ സാമ്പിൾ

ഘട്ടം 2. പ്രാരംഭ സാമ്പിൾ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നു

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ രീതികൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സാമ്പിൾ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട്:

1. ഗണിത ശരാശരി

2. സാമ്പിളിനെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയാണ് മീഡിയൻ: സാമ്പിൾ മൂലകങ്ങളുടെ കൃത്യമായി പകുതി ശരാശരിയേക്കാൾ വലുതാണ്, ബാക്കി പകുതി മീഡിയനേക്കാൾ കുറവാണ്

(മൂല്യങ്ങളുടെ ഒറ്റസംഖ്യയുള്ള ഒരു സാമ്പിളിന്)

3. ശ്രേണി - സാമ്പിളിലെ പരമാവധി, കുറഞ്ഞ മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം

4. വേരിയൻസ് - ഡാറ്റയുടെ വ്യതിയാനം കൂടുതൽ കൃത്യമായി കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു

5. സാമ്പിൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (ഇനി മുതൽ - SD) ഗണിത ശരാശരിക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ക്രമീകരണ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യാപനത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും സാധാരണമായ സൂചകമാണ്.

6. കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഓഫ് വേരിയേഷൻ - ക്രമീകരണ മൂല്യങ്ങളുടെ ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിൻ്റെ അളവ് പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു

7. ആന്ദോളന ഗുണകം - ശരാശരിക്ക് ചുറ്റുമുള്ള സാമ്പിളിലെ അങ്ങേയറ്റത്തെ വില മൂല്യങ്ങളുടെ ആപേക്ഷിക ഏറ്റക്കുറച്ചിലിനെ പ്രതിഫലിപ്പിക്കുന്നു

പട്ടിക 2. യഥാർത്ഥ സാമ്പിളിൻ്റെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ സൂചകങ്ങൾ

ഡാറ്റയുടെ ഏകതാനതയെ ചിത്രീകരിക്കുന്ന വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഗുണകം 12.29% ആണ്, എന്നാൽ ആന്ദോളനത്തിൻ്റെ ഗുണകം വളരെ ഉയർന്നതാണ്. അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ സാമ്പിൾ ഏകതാനമല്ലെന്ന് നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും, അതിനാൽ നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുന്നതിലേക്ക് പോകാം.

ഘട്ടം 3. ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കുകൂട്ടൽ

രീതി 1. മീഡിയൻ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ.

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു: കുറഞ്ഞ മൂല്യം - സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ മീഡിയനിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു; പരമാവധി മൂല്യം - സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ മീഡിയനിലേക്ക് ചേർത്തു.

അങ്ങനെ, ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള (47179 CU; 60689 CU)

അരി. 2. ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയിൽ വരുന്ന മൂല്യങ്ങൾ 1.

രീതി 2. ടി-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം (സ്റ്റുഡൻ്റ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കുന്നു

എസ്.വി. ഗ്രിബോവ്സ്കി പുസ്തകത്തിൽ " ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾപ്രോപ്പർട്ടി മൂല്യം കണക്കാക്കുന്നത്" വിദ്യാർത്ഥി ഗുണകം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി വിവരിക്കുന്നു. ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുമ്പോൾ, എസ്റ്റിമേറ്റർ സ്വയം പ്രാധാന്യം ലെവൽ ∝ സജ്ജീകരിക്കണം, ഇത് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. സാധാരണഗതിയിൽ, 0.1 ൻ്റെ പ്രാധാന്യം ലെവലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു; 0.05 ഉം 0.01 ഉം. അവ 0.9 ൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യതകളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു; 0.95 ഉം 0.99 ഉം. ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ച്, യഥാർത്ഥ മൂല്യങ്ങൾ അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൂടാതെ വ്യത്യാസങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി അജ്ഞാതമാണ് (പ്രായോഗിക എസ്റ്റിമേഷൻ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഇത് മിക്കവാറും എല്ലായ്പ്പോഴും ശരിയാണ്).

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഫോർമുല:

n - സാമ്പിൾ വലിപ്പം;

പ്രത്യേക സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ടേബിളുകളിൽ നിന്നോ MS Excel ഉപയോഗിച്ചോ (→"Statistical"→ STUDIST) നിർണ്ണയിച്ചിട്ടുള്ള t-statistics-ൻ്റെ (വിദ്യാർത്ഥി വിതരണം) പ്രാധാന്യമുള്ള ലെവൽ ∝, ഫ്രീഡം n-1 ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം;

∝ - പ്രാധാന്യം ലെവൽ, എടുക്കുക ∝=0.01.

അരി. 2. ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയിൽ വരുന്ന മൂല്യങ്ങൾ 2.

ഘട്ടം 4. ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള വ്യത്യസ്ത രീതികളുടെ വിശകലനം

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രണ്ട് രീതികൾ - മീഡിയൻ, സ്റ്റുഡൻ്റ്സ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് വഴി - നയിച്ചത് വ്യത്യസ്ത അർത്ഥങ്ങൾഇടവേളകൾ. അതനുസരിച്ച്, ഞങ്ങൾക്ക് രണ്ട് വ്യത്യസ്ത വൃത്തിയാക്കിയ സാമ്പിളുകൾ ലഭിച്ചു.

പട്ടിക 3. മൂന്ന് സാമ്പിളുകൾക്കുള്ള സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ.

സൂചിക	പ്രാരംഭ സാമ്പിൾ	1 ഓപ്ഷൻ	ഓപ്ഷൻ 2
ശരാശരി മൂല്യം
വിസരണം
കോഫ്. വ്യതിയാനങ്ങൾ
കോഫ്. ആന്ദോളനങ്ങൾ
വിരമിച്ച വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണം, pcs.

നടത്തിയ കണക്കുകൂട്ടലുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ലഭിച്ചതാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം വ്യത്യസ്ത രീതികൾആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളുടെ മൂല്യങ്ങൾ വിഭജിക്കുന്നു, അതിനാൽ മൂല്യനിർണ്ണയകൻ്റെ വിവേചനാധികാരത്തിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഏതെങ്കിലും കണക്കുകൂട്ടൽ രീതികൾ ഉപയോഗിക്കാം.

എന്നിരുന്നാലും, estimatica.pro സിസ്റ്റത്തിൽ പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, വിപണി വികസനത്തിൻ്റെ തോത് അനുസരിച്ച് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു രീതി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് ഉചിതമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശ്വസിക്കുന്നു:

• മാർക്കറ്റ് അവികസിതമല്ലെങ്കിൽ, ശരാശരി, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കുകൂട്ടൽ രീതി ഉപയോഗിക്കുക, കാരണം ഈ കേസിൽ വിരമിച്ച വസ്തുക്കളുടെ എണ്ണം ചെറുതാണ്;
• മാർക്കറ്റ് വികസിപ്പിച്ചെടുത്താൽ, ടി-സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിൻ്റെ (വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഗുണകം) നിർണായക മൂല്യത്തിലൂടെ കണക്കുകൂട്ടൽ പ്രയോഗിക്കുക, കാരണം ഒരു വലിയ പ്രാരംഭ സാമ്പിൾ രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും.

ലേഖനം തയ്യാറാക്കുന്നതിൽ ഇനിപ്പറയുന്നവ ഉപയോഗിച്ചു:

1. Gribovsky S.V., Sivets S.A., Levykina I.A. വസ്തുവിൻ്റെ മൂല്യം വിലയിരുത്തുന്നതിനുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര രീതികൾ. മോസ്കോ, 2014

2. സിസ്റ്റം ഡാറ്റ estimatica.pro

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള - ഇത് അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു സംഭാവ്യതയോടെ, പൊതുജനങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ ഒരു ഇടവേളയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുടെ സ്വാഭാവിക കണക്ക് അതിൻ്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയാണ്. അതിനാൽ, പാഠത്തിലുടനീളം ഞങ്ങൾ "ശരാശരി", "ശരാശരി മൂല്യം" എന്നീ പദങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുന്നതിലെ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, "ശരാശരി സംഖ്യയുടെ [ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്‌നത്തിലെ മൂല്യം] ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള [ചെറിയ മൂല്യം] മുതൽ [വലിയ മൂല്യം] വരെയാണ്" എന്നതുപോലുള്ള ഒരു ഉത്തരം ആവശ്യമാണ്. ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമല്ല, സാധാരണ ജനസംഖ്യയുടെ ഒരു പ്രത്യേക സ്വഭാവത്തിൻ്റെ അനുപാതവും വിലയിരുത്താം. ശരാശരി, വ്യത്യാസം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻപുതിയ നിർവചനങ്ങളിലും സൂത്രവാക്യങ്ങളിലും നാം എത്തിച്ചേരുന്ന പിശകുകൾ പാഠത്തിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു സാമ്പിളിൻ്റെയും ജനസംഖ്യയുടെയും സവിശേഷതകൾ .

ശരാശരിയുടെ പോയിൻ്റും ഇടവേളയും കണക്കാക്കുന്നു

ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി മൂല്യം ഒരു സംഖ്യ (പോയിൻ്റ്) കണക്കാക്കിയാൽ, നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ സാമ്പിളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ശരാശരി, ജനസംഖ്യയുടെ അജ്ഞാത ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെ കണക്കായി കണക്കാക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാമ്പിൾ ശരാശരിയുടെ മൂല്യം - ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ - സാധാരണ ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, സാമ്പിൾ ശരാശരി സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഒരേസമയം സാമ്പിൾ പിശക് സൂചിപ്പിക്കണം. സാമ്പിൾ പിശകിൻ്റെ അളവ് സാധാരണ പിശകാണ്, ഇത് ശരാശരിയുടെ അതേ യൂണിറ്റുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ശരാശരിയുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ഒരു നിശ്ചിത പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, ജനസംഖ്യയിലെ താൽപ്പര്യത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്റർ ഒരു സംഖ്യയല്ല, മറിച്ച് ഒരു ഇടവേളയിലൂടെയാണ് വിലയിരുത്തേണ്ടത്. ഒരു നിശ്ചിത സംഭാവ്യതയോടെയുള്ള ഒരു ഇടവേളയാണ് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള പികണക്കാക്കിയ ജനസംഖ്യാ സൂചകത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തി. അത് സാധ്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള പി = 1 - α ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തി, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

,

α = 1 - പി, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളെക്കുറിച്ചുള്ള മിക്കവാറും എല്ലാ പുസ്തകങ്ങളുടെയും അനുബന്ധത്തിൽ ഇത് കാണാം.

പ്രായോഗികമായി, ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരിയും വ്യതിയാനവും അറിയില്ല, അതിനാൽ ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനത്തെ സാമ്പിൾ വ്യതിയാനവും ജനസംഖ്യയെ സാമ്പിൾ ശരാശരിയും ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. അതിനാൽ, മിക്ക കേസുകളിലും ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

.

കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ഫോർമുല ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാം

• ജനസംഖ്യയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനം അറിയാം;
• അല്ലെങ്കിൽ ജനസംഖ്യയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ അജ്ഞാതമാണ്, എന്നാൽ സാമ്പിൾ വലുപ്പം 30-ൽ കൂടുതലാണ്.

സാമ്പിൾ ശരാശരി എന്നത് ജനസംഖ്യാ ശരാശരിയുടെ പക്ഷപാതമില്ലാത്ത കണക്കാണ്. അതാകട്ടെ, സാമ്പിൾ വ്യത്യാസം ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പക്ഷപാതമില്ലാത്ത കണക്കല്ല. സാമ്പിൾ വേരിയൻസ് ഫോർമുലയിലെ ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പക്ഷപാതരഹിതമായ കണക്ക് ലഭിക്കുന്നതിന്, സാമ്പിൾ വലുപ്പം എൻപകരം വയ്ക്കണം എൻ-1.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു നിശ്ചിത നഗരത്തിലെ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത 100 കഫേകളിൽ നിന്ന് 4.6 സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനിൽ ജീവനക്കാരുടെ ശരാശരി എണ്ണം 10.5 ആണെന്ന് വിവരങ്ങൾ ശേഖരിച്ചു. കഫേ ജീവനക്കാരുടെ എണ്ണത്തിന് 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിശ്ചയിക്കുക.

സ്റ്റാൻഡേർഡിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് സാധാരണ വിതരണംപ്രാധാന്യം ലെവലിനായി α = 0,05 .

അങ്ങനെ, കഫേ ജീവനക്കാരുടെ ശരാശരി എണ്ണം 95% വിശ്വാസ്യത ഇടവേള 9.6 മുതൽ 11.4 വരെയാണ്.

ഉദാഹരണം 2. 64 നിരീക്ഷണങ്ങളുള്ള ഒരു ജനസംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള റാൻഡം സാമ്പിളിനായി, ഇനിപ്പറയുന്ന മൊത്തം മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കി:

നിരീക്ഷണങ്ങളിലെ മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക,

ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ സ്ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക .

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുക.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കാം:

,

നമുക്ക് ശരാശരി മൂല്യം കണക്കാക്കാം:

.

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്കുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്കുള്ള സാധാരണ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് α = 0,05 .

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അതിനാൽ, ഈ സാമ്പിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള 7.484 മുതൽ 11.266 വരെയാണ്.

ഉദാഹരണം 3. 100 നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ക്രമരഹിതമായ ജനസംഖ്യാ സാമ്പിളിന്, കണക്കാക്കിയ ശരാശരി 15.2 ഉം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ 3.2 ഉം ആണ്. പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിനായുള്ള 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയും തുടർന്ന് 99% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയും കണക്കാക്കുക. സാമ്പിൾ പവറും അതിൻ്റെ വ്യതിയാനവും മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുകയും കോൺഫിഡൻസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്താൽ, കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ഇടുങ്ങിയതോ വിശാലമോ ആകുമോ?

ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങളെ കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെലിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്കുള്ള സാധാരണ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് α = 0,05 .

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

അതിനാൽ, ഈ സാമ്പിളിൻ്റെ ശരാശരിയുടെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള 14.57 മുതൽ 15.82 വരെയാണ്.

ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഈ മൂല്യങ്ങളെ കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെലിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്കുള്ള സാധാരണ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് α = 0,01 .

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

അതിനാൽ, ഈ സാമ്പിളിൻ്റെ ശരാശരിയുടെ 99% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള 14.37 മുതൽ 16.02 വരെയാണ്.

നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, കോൺഫിഡൻസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ നിർണായക മൂല്യവും വർദ്ധിക്കുന്നു, തൽഫലമായി, ഇടവേളയുടെ ആരംഭ, അവസാന പോയിൻ്റുകൾ ശരാശരിയിൽ നിന്ന് കൂടുതൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള വർദ്ധിക്കുന്നു. .

നിർദ്ദിഷ്ട ഗുരുത്വാകർഷണത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റും ഇടവേളയും കണക്കാക്കുന്നു

ചില സാമ്പിൾ ആട്രിബ്യൂട്ടിൻ്റെ പങ്ക് ഒരു പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ആയി വ്യാഖ്യാനിക്കാം പ്രത്യേക ഗുരുത്വാകർഷണം പിപൊതുസമൂഹത്തിലും ഇതേ സ്വഭാവം. ഈ മൂല്യം പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തണമെങ്കിൽ, നിർദ്ദിഷ്ട ഗുരുത്വാകർഷണത്തിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കണം പിസാധ്യതയുള്ള ജനസംഖ്യയിലെ സ്വഭാവം പി = 1 - α :

.

ഉദാഹരണം 4.ചില നഗരങ്ങളിൽ രണ്ട് സ്ഥാനാർത്ഥികളുണ്ട് എഒപ്പം ബിമേയർ സ്ഥാനത്തേക്ക് മത്സരിക്കുന്നു. 200 നഗരവാസികൾ ക്രമരഹിതമായി സർവേ നടത്തി, അതിൽ 46% പേർ സ്ഥാനാർത്ഥിക്ക് വോട്ട് ചെയ്യുമെന്ന് പ്രതികരിച്ചു. എ, 26% - സ്ഥാനാർത്ഥിക്ക് ബിആർക്ക് വോട്ട് ചെയ്യുമെന്ന് 28% പേർക്ക് അറിയില്ല. സ്ഥാനാർത്ഥിയെ പിന്തുണയ്ക്കുന്ന നഗരവാസികളുടെ അനുപാതത്തിൻ്റെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർണ്ണയിക്കുക എ.

ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള- മൂല്യങ്ങൾ പരിമിതപ്പെടുത്തുക സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ മൂല്യം, ഒരു വലിയ വോളിയം സാമ്പിൾ ചെയ്യുമ്പോൾ നൽകിയിരിക്കുന്ന ആത്മവിശ്വാസ പ്രോബബിലിറ്റി γ ഈ ഇടവേളയിൽ ആയിരിക്കും. P(θ - ε. പ്രയോഗത്തിൽ, γ എന്ന കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് ഏകത്വത്തോട് വളരെ അടുത്തുള്ള മൂല്യങ്ങളിൽ നിന്നാണ്: γ = 0.9, γ = 0.95, γ = 0.99.

സേവനത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം. ഈ സേവനം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും:

• പൊതുവായ ശരാശരിയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള, വ്യത്യാസത്തിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള;
• സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ, ജനറൽ ഷെയറിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള;

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന പരിഹാരം ഒരു വേഡ് ഫയലിൽ സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു (ഉദാഹരണം കാണുക). പ്രാരംഭ ഡാറ്റ എങ്ങനെ പൂരിപ്പിക്കാം എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ഒരു വീഡിയോ നിർദ്ദേശം ചുവടെയുണ്ട്.

ഉദാഹരണം നമ്പർ 1. ഒരു കൂട്ടായ ഫാമിൽ, ആകെയുള്ള 1000 ആടുകളിൽ, 100 ആടുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത നിയന്ത്രണ കത്രികയ്ക്ക് വിധേയമായി. തൽഫലമായി, ഒരു ആടിന് ശരാശരി 4.2 കിലോ കമ്പിളി ക്ലിപ്പിംഗ് സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു. ഒരു ആടിൻ്റെ ശരാശരി കമ്പിളി കത്രിക നിർണയിക്കുമ്പോൾ സാമ്പിളിൻ്റെ ശരാശരി ചതുര പിശക് 0.99 പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുക, വ്യത്യാസം 2.5 ആണെങ്കിൽ കത്രിക മൂല്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പരിധി. സാമ്പിൾ ആവർത്തിക്കാത്തതാണ്.
ഉദാഹരണം നമ്പർ 2. മോസ്കോ നോർത്തേൺ കസ്റ്റംസിൻ്റെ പോസ്റ്റിൽ ഇറക്കുമതി ചെയ്ത ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഒരു ബാച്ചിൽ നിന്ന്, "എ" എന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ 20 സാമ്പിളുകൾ ക്രമരഹിതമായ ആവർത്തിച്ചുള്ള സാമ്പിളുകൾ വഴി എടുത്തു. പരിശോധനയുടെ ഫലമായി, സാമ്പിളിലെ ഉൽപ്പന്ന “എ” യുടെ ശരാശരി ഈർപ്പം സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു, ഇത് 1% സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനത്തോടെ 6% ആയി മാറി.
ഇറക്കുമതി ചെയ്ത ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ബാച്ചിലെയും ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ശരാശരി ഈർപ്പത്തിൻ്റെ പരിധി 0.683 പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുക.
ഉദാഹരണം നമ്പർ 3. 36 വിദ്യാർത്ഥികളിൽ നടത്തിയ ഒരു സർവേയിൽ അവർ പ്രതിവർഷം വായിക്കുന്ന പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ ശരാശരി എണ്ണം കാണിച്ചു അധ്യയന വർഷം, 6 ന് തുല്യമായി മാറി. ഓരോ സെമസ്റ്ററിലും ഒരു വിദ്യാർത്ഥി വായിക്കുന്ന പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് 6 ന് തുല്യമായ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഉള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണ നിയമം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, കണ്ടെത്തുക: A) 0.99 വിശ്വാസ്യതയോടെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റ് ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രതീക്ഷ; B) നൽകിയിരിക്കുന്ന സാമ്പിളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ ഓരോ സെമസ്റ്ററിലും ഒരു വിദ്യാർത്ഥി വായിക്കുന്ന പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ ശരാശരി എണ്ണം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കുമെന്ന് എന്ത് പ്രോബബിലിറ്റിയോടെ നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും യഥാർത്ഥ മൂല്യം 2-ൽ കൂടരുത്.

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം

വിലയിരുത്തുന്ന പാരാമീറ്ററിൻ്റെ തരം അനുസരിച്ച്:

സാമ്പിൾ തരം അനുസരിച്ച്:

1. അനന്തമായ സാമ്പിളിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള;
2. അന്തിമ സാമ്പിളിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള;

സാമ്പിളിനെ റീസാംപ്ലിംഗ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അടുത്തത് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതിന് മുമ്പ് തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒബ്‌ജക്റ്റ് പോപ്പുലേഷനിലേക്ക് തിരികെ നൽകിയാൽ. സാമ്പിളിനെ നോൺ റിപ്പീറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു, തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒബ്ജക്റ്റ് പോപ്പുലേഷനിലേക്ക് തിരികെ നൽകിയില്ലെങ്കിൽ. പ്രായോഗികമായി, ഞങ്ങൾ സാധാരണയായി ആവർത്തിക്കാത്ത സാമ്പിളുകൾ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നു.

ക്രമരഹിതമായ സാമ്പിളിനുള്ള ശരാശരി സാമ്പിൾ പിശകിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ

സാമ്പിളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച സൂചകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളും സാധാരണ ജനസംഖ്യയുടെ അനുബന്ധ പാരാമീറ്ററുകളും തമ്മിലുള്ള പൊരുത്തക്കേടിനെ വിളിക്കുന്നു പ്രാതിനിധ്യ പിശക്.
പൊതു, സാമ്പിൾ പോപ്പുലേഷനുകളുടെ പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകളുടെ പദവികൾ.

ശരാശരി സാമ്പിൾ പിശക് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ
വീണ്ടും തിരഞ്ഞെടുക്കൽ		തിരഞ്ഞെടുക്കൽ ആവർത്തിക്കുക
ശരാശരി	വിഹിതത്തിനായി	ശരാശരി	വിഹിതത്തിനായി

സാമ്പിൾ പിശക് പരിധി (Δ) തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ചില സാധ്യതകളോടെ ഉറപ്പുനൽകുന്നു Р(t),ഒപ്പം ശരാശരി പിശക്സാമ്പിളിന് ഫോം ഉണ്ട്: അല്ലെങ്കിൽ Δ = t·μ, എവിടെ ടി- കോൺഫിഡൻസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ്, ലാപ്ലേസ് ഇൻ്റഗ്രൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പട്ടിക പ്രകാരം പ്രോബബിലിറ്റി ലെവൽ പി (ടി) അനുസരിച്ച് നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

തികച്ചും ക്രമരഹിതമായ സാമ്പിൾ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സാമ്പിൾ വലുപ്പം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലകൾ

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ (നമുക്ക് ഒരു പൊതു ജനസംഖ്യയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം) ഒരു സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യട്ടെ, അതിന് D = 2 (> 0) എന്ന വ്യത്യാസം അറിയപ്പെടുന്നു. സാധാരണ ജനസംഖ്യയിൽ നിന്ന് (ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന ഒബ്‌ജക്റ്റുകളുടെ ഗണത്തിൽ), n വലുപ്പത്തിൻ്റെ ഒരു സാമ്പിൾ നിർമ്മിക്കുന്നു. സാമ്പിൾ x 1 , x 2 ,..., x n എന്നത് അതേ രീതിയിൽ വിതരണം ചെയ്ത n സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു (ടെക്‌സ്റ്റിൽ മുകളിൽ വിശദീകരിച്ചിരിക്കുന്ന സമീപനം).

താഴെപ്പറയുന്ന സമത്വങ്ങളും നേരത്തെ ചർച്ച ചെയ്യുകയും തെളിയിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്തു:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

റാൻഡം വേരിയബിൾ ഇൻ എന്ന് ലളിതമായി തെളിയിച്ചാൽ മതി (തെളിവ് ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു). ഈ സാഹചര്യത്തിൽസാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു.

നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ M യെ a കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം, നൽകിയിരിക്കുന്ന വിശ്വാസ്യതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സംഖ്യ d > 0 തിരഞ്ഞെടുക്കുക, അങ്ങനെ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാകും:

പി(- എ< d) = (1)

റാൻഡം വേരിയബിൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ M = M = a, വേരിയൻസ് D = D / n = 2 / n എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പി(- എ< d) =P(a - d < < a + d) =

സമത്വം നിലനിർത്തുന്ന d തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു

ഏതൊരു വ്യക്തിക്കും, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു സംഖ്യ കണ്ടെത്താൻ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കാം (t)= / 2. ഈ സംഖ്യ t യെ ചിലപ്പോൾ വിളിക്കുന്നു അളവ്.

ഇപ്പോൾ സമത്വത്തിൽ നിന്ന്

നമുക്ക് d യുടെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കാം:

ഫോമിൽ ഫോർമുല (1) അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അന്തിമ ഫലം നേടുന്നു:

അവസാന ഫോർമുലയുടെ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്: വിശ്വാസ്യതയോടെ, ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള

ജനസംഖ്യയുടെ a = M എന്ന അജ്ഞാത പാരാമീറ്റർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി പറയാം: പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് d= t / കൃത്യതയോടും വിശ്വാസ്യതയോടും കൂടി M പരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ടാസ്ക്. 6.25 ന് തുല്യമായ വ്യത്യാസമുള്ള ഒരു സാധാരണ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു നിശ്ചിത സ്വഭാവസവിശേഷതയുള്ള ഒരു സാധാരണ ജനവിഭാഗം ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. n = 27 ൻ്റെ ഒരു സാമ്പിൾ സൈസ് എടുത്തു, സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ശരാശരി സാമ്പിൾ മൂല്യം = 12 ലഭിച്ചു. വിശ്വാസ്യതയുള്ള സാധാരണ ജനസംഖ്യയുടെ പഠിച്ച സ്വഭാവത്തിൻ്റെ അജ്ഞാതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക = 0.99.

പരിഹാരം. ആദ്യം, ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷനുള്ള പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, തുല്യത (t) = / 2 = 0.495 ൽ നിന്ന് t യുടെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ലഭിച്ച മൂല്യം t = 2.58 അടിസ്ഥാനമാക്കി, എസ്റ്റിമേറ്റ് (അല്ലെങ്കിൽ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ പകുതി നീളം) d: d = 2.52.58 / 1.24 ൻ്റെ കൃത്യത ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ആവശ്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ലഭിക്കുന്നു: (10.76; 13.24).

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഹൈപ്പോതെസിസ് പൊതുവായ വ്യതിയാനം

അല്ലാത്തപ്പോൾ ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള അറിയപ്പെടുന്ന വ്യതിയാനം

ഒരു അജ്ഞാത ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ M ഉള്ള ഒരു സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ആകട്ടെ, അത് നമ്മൾ a എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. നമുക്ക് വോളിയം n ൻ്റെ ഒരു സാമ്പിൾ ഉണ്ടാക്കാം. അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ശരാശരി സാമ്പിളും തിരുത്തിയ സാമ്പിൾ വേരിയൻസ് s 2 നിർണ്ണയിക്കാം.

ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം

വിദ്യാർത്ഥി നിയമം അനുസരിച്ച് n - 1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യത്തോടെ വിതരണം ചെയ്തു.

ഒരു നിശ്ചിത വിശ്വാസ്യതയ്ക്കായി t എന്ന സംഖ്യയും സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ n - 1 ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണവും കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല.

അല്ലെങ്കിൽ തത്തുല്യ സമത്വം

ഇവിടെ ബ്രാക്കറ്റിൽ അജ്ഞാതമായ പരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയുടേതാണ് എന്ന വ്യവസ്ഥ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അത് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയാണ്. അതിൻ്റെ അതിരുകൾ വിശ്വാസ്യതയെയും സാംപ്ലിംഗ് പാരാമീറ്ററുകളെയും എസിനെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

t യുടെ മൂല്യം മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ സമത്വം (2) ഫോമിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു:

ഇപ്പോൾ, വിദ്യാർത്ഥിയുടെ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനായി t എന്ന പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, പ്രോബബിലിറ്റി 1-ഉം സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം n - 1-ഉം ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ t കണ്ടെത്തുന്നു. ഫോർമുല (3) ഉന്നയിക്കപ്പെട്ട പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം നൽകുന്നു.

ടാസ്ക്. 20 വൈദ്യുത വിളക്കുകളുടെ നിയന്ത്രണ പരിശോധനയിൽ ശരാശരി ദൈർഘ്യം 11 മണിക്കൂറിന് തുല്യമായ ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (ശരിയായ സാമ്പിൾ വേരിയൻസിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമായി കണക്കാക്കുന്നത്) ഉള്ള 2000 മണിക്കൂറിന് തുല്യമായിരുന്നു അവരുടെ ജോലി. വിളക്ക് പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ദൈർഘ്യം സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് അറിയാം റാൻഡം വേരിയബിൾ. ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കായി 0.95 ഒരു വിശ്വാസ്യത ഇടവേള ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം. മൂല്യം 1 - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ 0.05 ന് തുല്യമാണ്. വിദ്യാർത്ഥി വിതരണ പട്ടിക അനുസരിച്ച്, സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം 19 ന് തുല്യമാണ്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: t = 2.093. ഇനി നമുക്ക് എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ കൃത്യത കണക്കാക്കാം: 2.093121/ = 56.6. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ആവശ്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ലഭിക്കുന്നു: (1943.4; 2056.6).

ഈ വിതരണത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനവും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും അറിയപ്പെടുന്നത് കണക്കിലെടുത്ത്, ജനസംഖ്യയുടെ റാൻഡം വേരിയബിൾ X സാധാരണ വിതരണം ചെയ്യട്ടെ. സാമ്പിൾ ശരാശരി ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്‌ക്ക് വിശ്വാസ്യതയുള്ള ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്കാണ് ചുമതല വരുന്നത് b. നിങ്ങൾ മൂല്യം സജ്ജമാക്കുകയാണെങ്കിൽ ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യത(വിശ്വാസ്യത) b, അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് ഫോർമുല (6.9a) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു അജ്ഞാത ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്താനാകും:

ഇവിടെ Ф(t) ആണ് ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ (5.17a).

തൽഫലമായി, D = s 2 എന്ന വ്യതിയാനം അറിയാമെങ്കിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളയുടെ അതിരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് നമുക്ക് ഒരു അൽഗോരിതം രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും:

1. വിശ്വാസ്യത മൂല്യം സജ്ജമാക്കുക - ബി.
2. (6.14) മുതൽ എക്സ്പ്രസ് Ф(t) = 0.5× b. Ф(t) മൂല്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷനായി പട്ടികയിൽ നിന്ന് t യുടെ മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുക്കുക (അനുബന്ധം 1 കാണുക).
3. ഫോർമുല (6.10) ഉപയോഗിച്ച് വ്യതിയാനം കണക്കാക്കുക.
4. സൂത്രവാക്യം (6.12) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ എഴുതുക, അതായത് ബി പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ അസമത്വം നിലനിൽക്കും:

.

ഉദാഹരണം 5.

റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ന് ഒരു സാധാരണ വിതരണമുണ്ട്. അജ്ഞാതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ b = 0.96 വിശ്വാസ്യതയുള്ള ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റിനായി ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക, നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ:

1) പൊതു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ s = 5;

2) സാമ്പിൾ ശരാശരി;

3) സാമ്പിൾ വലുപ്പം n = 49.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ ഫോർമുലയിൽ (6.15). എ t ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ അളവുകളും അറിയാം. t യുടെ മൂല്യം (6.14) ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം: b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ Ф(t) = 0.48-ന് അനുബന്ധം 1-ലെ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, അനുബന്ധ മൂല്യം t = 2.06 കണ്ടെത്തുക. അതിനാൽ, . e യുടെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യം ഫോർമുലയിലേക്ക് (6.12) പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ലഭിക്കും: 30-1.47< a < 30+1,47.

അജ്ഞാതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ b = 0.96 വിശ്വാസ്യതയുള്ള ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റിന് ആവശ്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇതിന് തുല്യമാണ്: 28.53< a < 31,47.