അറിയപ്പെടുന്ന വ്യത്യാസമുള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള

നമുക്ക് MS EXCEL-ൽ നിർമ്മിക്കാം ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേളകേസിൽ വിതരണത്തിന്റെ ശരാശരി മൂല്യം കണക്കാക്കാൻ അറിയപ്പെടുന്ന മൂല്യംവ്യതിയാനങ്ങൾ.

തീർച്ചയായും തിരഞ്ഞെടുപ്പ് വിശ്വാസത്തിന്റെ നിലവാരംപൂർണ്ണമായും പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന പ്രശ്നത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഒരു വിമാനത്തിന്റെ വിശ്വാസ്യതയിൽ ഒരു വിമാന യാത്രക്കാരന്റെ ആത്മവിശ്വാസത്തിന്റെ അളവ് ഒരു ഇലക്ട്രിക് ലൈറ്റ് ബൾബിന്റെ വിശ്വാസ്യതയിൽ വാങ്ങുന്നയാളുടെ ആത്മവിശ്വാസത്തിന്റെ അളവിനേക്കാൾ ഉയർന്നതായിരിക്കണം.

പ്രശ്നം രൂപപ്പെടുത്തൽ

അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം ജനസംഖ്യഎടുത്തിട്ടുണ്ട് സാമ്പിൾവലിപ്പം n. എന്നാണ് അനുമാനിക്കുന്നത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഈ വിതരണം അറിയപ്പെടുന്നു. ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഇത് ആവശ്യമാണ് സാമ്പിളുകൾഅറിയാത്തതിനെ വിലയിരുത്തുക വിതരണം അർത്ഥം(μ, ) കൂടാതെ അനുബന്ധം നിർമ്മിക്കുക രണ്ടു വശമുള്ള ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള.

പോയിന്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ്

നിന്ന് അറിയപ്പെടുന്നത് പോലെ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ(നമുക്ക് അത് സൂചിപ്പിക്കാം X ശരാശരി) ആണ് ശരാശരിയുടെ പക്ഷപാതരഹിതമായ കണക്ക്ഈ ജനസംഖ്യകൂടാതെ N(μ;σ 2 /n) വിതരണവും ഉണ്ട്.

കുറിപ്പ്: പണിയണമെങ്കിൽ എന്തുചെയ്യണം ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേളഒരു വിതരണത്തിന്റെ കാര്യത്തിൽ അത് അല്ല സാധാരണ?ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, രക്ഷാപ്രവർത്തനത്തിലേക്ക് വരുന്നു, അത് മതി എന്ന് പറയുന്നു വലുത് സാമ്പിളുകൾവിതരണത്തിൽ നിന്ന് n അല്ല സാധാരണ, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ സാമ്പിൾ വിതരണം X ശരാശരിചെയ്യും ഏകദേശംപൊരുത്തപ്പെടുത്തുക സാധാരണ വിതരണം N(μ;σ 2 /n) പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം.

അതിനാൽ, പോയിന്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ശരാശരി വിതരണ മൂല്യങ്ങൾനമുക്കുണ്ട് - ഇത് സാമ്പിൾ ശരാശരി, അതായത്. X ശരാശരി. ഇനി നമുക്ക് തുടങ്ങാം ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള.

ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കുന്നു

സാധാരണയായി, വിതരണവും അതിന്റെ പാരാമീറ്ററുകളും അറിയുന്നതിലൂടെ, റാൻഡം വേരിയബിൾ ഞങ്ങൾ വ്യക്തമാക്കുന്ന ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കാം. ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വിപരീതമായി ചെയ്യാം: നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ വീഴുന്ന ഇടവേള കണ്ടെത്തുക. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രോപ്പർട്ടികളിൽ നിന്ന് സാധാരണ വിതരണം 95% പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ വിതരണം ചെയ്തതായി അറിയാം സാധാരണ നിയമം, മുതൽ ഏകദേശം +/- 2 പരിധിയിൽ വരും ശരാശരി മൂല്യം(ഇതിനെക്കുറിച്ച് ലേഖനം കാണുക). ഈ ഇടവേള നമുക്ക് ഒരു പ്രോട്ടോടൈപ്പായി വർത്തിക്കും ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള.

ഇനി നമുക്ക് വിതരണം അറിയാമോ എന്ന് നോക്കാം , ഈ ഇടവേള കണക്കാക്കാൻ? ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, വിതരണത്തിന്റെ ആകൃതിയും അതിന്റെ പാരാമീറ്ററുകളും സൂചിപ്പിക്കണം.

വിതരണത്തിന്റെ രൂപം നമുക്കറിയാം - ഇതാണ് സാധാരണ വിതരണം (ഞങ്ങൾ സംസാരിക്കുന്നത് ഓർക്കുക സാമ്പിൾ വിതരണം സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ X ശരാശരി).

μ പാരാമീറ്റർ ഞങ്ങൾക്ക് അജ്ഞാതമാണ് (ഇത് ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ട് ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള), എന്നാൽ ഞങ്ങൾക്ക് അതിന്റെ ഒരു മതിപ്പ് ഉണ്ട് X ശരാശരി,അടിസ്ഥാനമാക്കി കണക്കാക്കുന്നു സാമ്പിളുകൾ,ഉപയോഗിക്കാൻ കഴിയുന്നത്.

രണ്ടാമത്തെ പാരാമീറ്റർ - സാമ്പിൾ ശരാശരിയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഞങ്ങൾ അത് അറിയപ്പെടുന്നതായി പരിഗണിക്കും, ഇത് σ/√n ന് തുല്യമാണ്.

കാരണം ഞങ്ങൾക്ക് μ അറിയില്ല, അപ്പോൾ ഞങ്ങൾ ഇടവേള +/- 2 നിർമ്മിക്കും സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനങ്ങൾനിന്നല്ല ശരാശരി മൂല്യം, അതിന്റെ അറിയപ്പെടുന്ന എസ്റ്റിമേറ്റിൽ നിന്നും X ശരാശരി. ആ. കണക്കാക്കുമ്പോൾ ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേളഞങ്ങൾ അത് ഊഹിക്കില്ല X ശരാശരി+/- 2 പരിധിയിൽ വരുന്നു സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനങ്ങൾ 95% പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള μ-ൽ നിന്ന്, ഇടവേള +/- 2 ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനങ്ങൾനിന്ന് X ശരാശരി 95% സംഭാവ്യതയോടെ അത് μ കവർ ചെയ്യും - പൊതു ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി,അതിൽ നിന്നാണ് എടുത്തത് സാമ്പിൾ. ഈ രണ്ട് പ്രസ്താവനകളും തുല്യമാണ്, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ പ്രസ്താവന നിർമ്മിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള.

കൂടാതെ, നമുക്ക് ഇടവേള വ്യക്തമാക്കാം: ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ വിതരണം ചെയ്തു സാധാരണ നിയമം, 95% പ്രോബബിലിറ്റി +/- 1.960 എന്ന ഇടവേളയിൽ വരുന്നു സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനങ്ങൾ,+/- അല്ല 2 സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനങ്ങൾ. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഇത് കണക്കാക്കാം =NORM.ST.REV((1+0.95)/2), സെമി. ഉദാഹരണ ഫയൽ ഷീറ്റ് ഇടവേള.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒരു പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് സ്റ്റേറ്റ്മെന്റ് രൂപപ്പെടുത്താം, അത് രൂപീകരിക്കാൻ നമ്മെ സഹായിക്കും ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള:
"അതിനുള്ള സാധ്യത ജനസംഖ്യ അർത്ഥമാക്കുന്നത്നിന്ന് സ്ഥിതി ചെയ്യുന്നത് സാമ്പിൾ ശരാശരി 1,960 "നുള്ളിൽ സാമ്പിൾ ശരാശരിയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനങ്ങൾ", 95% ന് തുല്യമാണ്".

പ്രസ്താവനയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി മൂല്യത്തിന് ഒരു പ്രത്യേക പേരുണ്ട് , എന്നിവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുഒരു ലളിതമായ പദപ്രയോഗത്തിലൂടെ പ്രാധാന്യം ലെവൽ α (ആൽഫ). ട്രസ്റ്റ് ലെവൽ =1 -α . ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ പ്രാധാന്യം ലെവൽ α =1-0,95=0,05 .

ഇപ്പോൾ, ഈ പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പ്രസ്താവനയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, കണക്കുകൂട്ടുന്നതിനായി ഞങ്ങൾ ഒരു പദപ്രയോഗം എഴുതുന്നു ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള:

ഇവിടെ Z α/2 – സ്റ്റാൻഡേർഡ് സാധാരണ വിതരണം(റാൻഡം വേരിയബിളിന്റെ ഈ മൂല്യം z, എന്ത് പി(z>=Z α/2 )=α/2).

കുറിപ്പ്: മുകളിലെ α/2-ക്വാണ്ടൈൽവീതി നിർവചിക്കുന്നു ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേളവി സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനങ്ങൾ സാമ്പിൾ ശരാശരി. മുകളിലെ α/2-ക്വാണ്ടൈൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് സാധാരണ വിതരണംഎല്ലായ്പ്പോഴും 0-നേക്കാൾ വലുതാണ്, അത് വളരെ സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, α=0.05 കൂടെ, മുകളിലെ α/2-ക്വാണ്ടൈൽ 1.960 തുല്യമാണ്. മറ്റ് പ്രാധാന്യമുള്ള ലെവലുകൾക്ക് α (10%; 1%) മുകളിലെ α/2-ക്വാണ്ടൈൽ Z α/2 =NORM.ST.REV(1-α/2) അല്ലെങ്കിൽ അറിയാമെങ്കിൽ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം ട്രസ്റ്റ് ലെവൽ, =NORM.ST.OBR((1+ട്രസ്റ്റ് ലെവൽ)/2).

സാധാരണയായി പണിയുമ്പോൾ ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾമാത്രം ഉപയോഗിക്കുക മുകളിൽ α/2-അളവ്ഉപയോഗിക്കരുത് താഴ്ന്ന α/2-അളവ്. കാരണം ഇത് സാധ്യമാണ് സ്റ്റാൻഡേർഡ് സാധാരണ വിതരണം x അക്ഷത്തെക്കുറിച്ച് സമമിതിയിൽ ( അതിന്റെ വിതരണ സാന്ദ്രതഏകദേശം സമമിതി ശരാശരി, അതായത്. 0). അതിനാൽ, കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല താഴ്ന്ന α/2-ക്വാണ്ടൈൽ(ഇതിനെ α എന്ന് വിളിക്കുന്നു /2-ക്വാണ്ടൈൽ), കാരണം അതു തുല്യമാണ് മുകളിൽ α/2-അളവ്ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തോടെ.

മൂല്യം x ന്റെ വിതരണത്തിന്റെ ആകൃതി ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും, അനുബന്ധ റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്ന് നമുക്ക് ഓർക്കാം X ശരാശരിവിതരണം ചെയ്തു ഏകദേശം നന്നായി N(μ;σ 2 /n) (ഇതിനെക്കുറിച്ച് ലേഖനം കാണുക). അതിനാൽ, ഇൻ പൊതുവായ കേസ്, മുകളിലുള്ള പദപ്രയോഗം ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേളഒരു ഏകദേശ കണക്ക് മാത്രമാണ്. മൂല്യം x വിതരണം ചെയ്താൽ സാധാരണ നിയമം N(μ;σ 2 /n), തുടർന്ന് അതിനുള്ള പദപ്രയോഗം ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേളകൃത്യമാണ്.

MS EXCEL-ലെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കുകൂട്ടൽ

നമുക്ക് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാം.
ഇൻപുട്ട് സിഗ്നലിനോടുള്ള ഇലക്ട്രോണിക് ഘടകത്തിന്റെ പ്രതികരണ സമയം പ്രധാന സ്വഭാവംഉപകരണങ്ങൾ. ഒരു എഞ്ചിനീയർ 95% എന്ന കോൺഫിഡൻസ് ലെവലിൽ ശരാശരി പ്രതികരണ സമയത്തിനായി ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെൽ നിർമ്മിക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. മുൻകാല അനുഭവത്തിൽ നിന്ന്, പ്രതികരണ സമയത്തിന്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ 8 എംഎസ് ആണെന്ന് എഞ്ചിനീയർക്ക് അറിയാം. പ്രതികരണ സമയം വിലയിരുത്തുന്നതിന്, എഞ്ചിനീയർ 25 അളവുകൾ നടത്തി, ശരാശരി മൂല്യം 78 എംഎസ് ആയിരുന്നു.

പരിഹാരം: പ്രതികരണ സമയം അറിയാൻ എഞ്ചിനീയർക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട് ഇലക്ട്രോണിക് ഉപകരണം, എന്നാൽ പ്രതികരണ സമയം ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യമല്ല, മറിച്ച് അതിന്റേതായ വിതരണമുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണെന്ന് അദ്ദേഹം മനസ്സിലാക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഈ വിതരണത്തിന്റെ പാരാമീറ്ററുകളും രൂപവും നിർണ്ണയിക്കുക എന്നതാണ് അദ്ദേഹത്തിന് പ്രതീക്ഷിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും മികച്ചത്.

നിർഭാഗ്യവശാൽ, പ്രശ്നസാഹചര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് പ്രതികരണ സമയ വിതരണത്തിന്റെ ആകൃതി ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല (അത് ആയിരിക്കണമെന്നില്ല സാധാരണ). , ഈ വിതരണവും അജ്ഞാതമാണ്. അവനെ മാത്രമേ അറിയൂ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻσ=8. അതിനാൽ, നമുക്ക് സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കാനും നിർമ്മിക്കാനും കഴിയില്ല ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള.

എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾക്ക് വിതരണം അറിയില്ല എന്ന വസ്തുത ഉണ്ടായിരുന്നിട്ടും സമയം പ്രത്യേക പ്രതികരണം, അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾക്കറിയാം സി.പി.ടി, സാമ്പിൾ വിതരണം ശരാശരി പ്രതികരണ സമയംഏകദേശം ആണ് സാധാരണ(വ്യവസ്ഥകൾ എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും സി.പി.ടിനടപ്പിലാക്കുന്നു, കാരണം വലിപ്പം സാമ്പിളുകൾവളരെ വലുത് (n=25)) .

മാത്രമല്ല, ശരാശരിഈ വിതരണം തുല്യമാണ് ശരാശരി മൂല്യംഒരൊറ്റ പ്രതികരണത്തിന്റെ വിതരണം, അതായത്. μ. എ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ=8/ROOT(25) എന്ന ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഈ വിതരണത്തിന്റെ (σ/√n) കണക്കാക്കാം.

എൻജിനീയർക്ക് ലഭിച്ചതായും അറിയുന്നു പോയിന്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ്പാരാമീറ്റർ μ 78 ms (X ശരാശരി) ന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കാം, കാരണം വിതരണത്തിന്റെ രൂപം നമുക്കറിയാം ( സാധാരണ) കൂടാതെ അതിന്റെ പാരാമീറ്ററുകളും (X ശരാശരിയും σ/√n).

എഞ്ചിനീയർ അറിയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം μ പ്രതികരണ സമയ വിതരണങ്ങൾ. മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ, ഈ μ തുല്യമാണ് ശരാശരി പ്രതികരണ സമയത്തിന്റെ സാമ്പിൾ വിതരണത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ. നമ്മൾ ഉപയോഗിക്കുകയാണെങ്കിൽ സാധാരണ വിതരണം N(X ശരാശരി; σ/√n), അപ്പോൾ ആവശ്യമുള്ള μ +/-2*σ/√n ശ്രേണിയിൽ ഏകദേശം 95% സംഭാവ്യതയായിരിക്കും.

പ്രാധാന്യ നിലതുല്യം 1-0.95=0.05.

അവസാനമായി, നമുക്ക് ഇടതും വലതും അതിർത്തി കണ്ടെത്താം ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള.
ഇടത് ബോർഡർ: =78-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*8/റൂട്ട്(25) = 74,864
വലത് അതിർത്തി: =78+NORM.ST.INV(1-0.05/2)*8/റൂട്ട്(25)=81.136

ഇടത് ബോർഡർ: =NORM.REV(0.05/2; 78; 8/റൂട്ട്(25))
വലത് അതിർത്തി: =NORM.REV(1-0.05/2; 78; 8/റൂട്ട്(25))

ഉത്തരം: ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേളചെയ്തത് 95% ആത്മവിശ്വാസ നിലയും σ=8msecതുല്യമാണ് 78+/-3.136 ms.

IN സിഗ്മ ഷീറ്റിലെ ഉദാഹരണ ഫയൽഅറിയപ്പെടുന്നത്, കണക്കുകൂട്ടലിനും നിർമ്മാണത്തിനുമായി ഒരു ഫോം സൃഷ്ടിച്ചു രണ്ടു വശമുള്ള ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേളഏകപക്ഷീയമായ വേണ്ടി സാമ്പിളുകൾതന്നിരിക്കുന്ന σ കൂടെ പ്രാധാന്യത്തിന്റെ തലം.

CONFIDENCE.NORM() പ്രവർത്തനം

മൂല്യങ്ങൾ ആണെങ്കിൽ സാമ്പിളുകൾപരിധിയിലാണ് B20:B79 , എ പ്രാധാന്യം ലെവൽ 0.05 ന് തുല്യമാണ്; തുടർന്ന് MS EXCEL ഫോർമുല:
=ശരാശരി(B20:B79)-CONFIDENCE.NORM(0.05;σ; എണ്ണം(B20:B79))
ഇടത് ബോർഡർ തിരികെ നൽകും ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള.

സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ച് ഒരേ പരിധി കണക്കാക്കാം:
=ശരാശരി(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0.05/2)*σ/റൂട്ട്(കൗണ്ട്(B20:B79))

കുറിപ്പ്: MS EXCEL 2010-ൽ CONFIDENCE.NORM() ഫംഗ്‌ഷൻ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. MS EXCEL-ന്റെ മുൻ പതിപ്പുകളിൽ, TRUST() ഫംഗ്‌ഷൻ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള - ഇത് അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു സംഭാവ്യതയോടെ, പൊതുജനങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ ഒരു ഇടവേളയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുടെ സ്വാഭാവിക കണക്ക് അതിന്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയാണ്. അതിനാൽ, പാഠത്തിലുടനീളം ഞങ്ങൾ "ശരാശരി", "ശരാശരി മൂല്യം" എന്നീ പദങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുന്നതിലെ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, "ശരാശരി സംഖ്യയുടെ [ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്‌നത്തിലെ മൂല്യം] ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള [ചെറിയ മൂല്യം] മുതൽ [വലിയ മൂല്യം] വരെയാണ്" എന്നതുപോലുള്ള ഒരു ഉത്തരം ആവശ്യമാണ്. ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമല്ല, സാധാരണ ജനസംഖ്യയുടെ ഒരു പ്രത്യേക സ്വഭാവത്തിന്റെ അനുപാതവും വിലയിരുത്താം. ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ, ചിതറിക്കൽ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, പിശക് എന്നിവയിലൂടെ ഞങ്ങൾ പുതിയ നിർവചനങ്ങളിലും സൂത്രവാക്യങ്ങളിലും എത്തിച്ചേരും, പാഠത്തിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു. സാമ്പിളിന്റെയും ജനസംഖ്യയുടെയും സവിശേഷതകൾ .

ശരാശരിയുടെ പോയിന്റും ഇടവേളയും കണക്കാക്കുന്നു

ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി മൂല്യം ഒരു സംഖ്യ (പോയിന്റ്) കണക്കാക്കിയാൽ, നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ സാമ്പിളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ശരാശരി, ജനസംഖ്യയുടെ അജ്ഞാത ശരാശരി മൂല്യത്തിന്റെ കണക്കായി കണക്കാക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാമ്പിൾ ശരാശരിയുടെ മൂല്യം - ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ - സാധാരണ ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, സാമ്പിൾ ശരാശരി സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഒരേസമയം സാമ്പിൾ പിശക് സൂചിപ്പിക്കണം. സാമ്പിൾ പിശകിന്റെ അളവ് സാധാരണ പിശകാണ്, ഇത് ശരാശരിയുടെ അതേ യൂണിറ്റുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ശരാശരിയുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ഒരു നിശ്ചിത പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, ജനസംഖ്യയിലെ താൽപ്പര്യത്തിന്റെ പാരാമീറ്റർ ഒരു സംഖ്യയല്ല, മറിച്ച് ഒരു ഇടവേളയിലൂടെയാണ് വിലയിരുത്തേണ്ടത്. ഒരു നിശ്ചിത സംഭാവ്യതയോടെയുള്ള ഒരു ഇടവേളയാണ് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള പികണക്കാക്കിയ ജനസംഖ്യാ സൂചകത്തിന്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തി. അത് സാധ്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള പി = 1 - α ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തി, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

,

α = 1 - പി, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളെക്കുറിച്ചുള്ള മിക്കവാറും എല്ലാ പുസ്തകങ്ങളുടെയും അനുബന്ധത്തിൽ ഇത് കാണാം.

പ്രായോഗികമായി, ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരിയും വ്യതിയാനവും അറിയില്ല, അതിനാൽ ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനത്തെ സാമ്പിൾ വ്യതിയാനവും ജനസംഖ്യയെ സാമ്പിൾ ശരാശരിയും ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. അതിനാൽ, മിക്ക കേസുകളിലും ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

.

കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെൽ ഫോർമുല ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാം

• ജനസംഖ്യയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനം അറിയാം;
• അല്ലെങ്കിൽ ജനസംഖ്യയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ അജ്ഞാതമാണ്, എന്നാൽ സാമ്പിൾ വലുപ്പം 30-ൽ കൂടുതലാണ്.

സാമ്പിൾ ശരാശരി എന്നത് ജനസംഖ്യാ ശരാശരിയുടെ പക്ഷപാതമില്ലാത്ത കണക്കാണ്. അതാകട്ടെ, സാമ്പിൾ വ്യത്യാസം ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനത്തിന്റെ പക്ഷപാതമില്ലാത്ത കണക്കല്ല. സാമ്പിൾ വേരിയൻസ് ഫോർമുലയിലെ ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനത്തിന്റെ പക്ഷപാതരഹിതമായ കണക്ക് ലഭിക്കുന്നതിന്, സാമ്പിൾ വലുപ്പം എൻപകരം വയ്ക്കണം എൻ-1.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു നിശ്ചിത നഗരത്തിലെ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത 100 കഫേകളിൽ നിന്ന് 4.6 സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനിൽ ജീവനക്കാരുടെ ശരാശരി എണ്ണം 10.5 ആണെന്ന് വിവരങ്ങൾ ശേഖരിച്ചു. കഫേ ജീവനക്കാരുടെ എണ്ണത്തിന് 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിശ്ചയിക്കുക.

പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്കുള്ള സാധാരണ സാധാരണ വിതരണത്തിന്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് α = 0,05 .

അങ്ങനെ, കഫേ ജീവനക്കാരുടെ ശരാശരി എണ്ണം 95% വിശ്വാസ്യത ഇടവേള 9.6 മുതൽ 11.4 വരെയാണ്.

ഉദാഹരണം 2. 64 നിരീക്ഷണങ്ങളുള്ള ഒരു ജനസംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള റാൻഡം സാമ്പിളിനായി, ഇനിപ്പറയുന്ന മൊത്തം മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കി:

നിരീക്ഷണങ്ങളിലെ മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക,

ശരാശരിയിൽ നിന്ന് മൂല്യങ്ങളുടെ സ്ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക .

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുക.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കാം:

,

നമുക്ക് ശരാശരി മൂല്യം കണക്കാക്കാം:

.

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്കുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്കുള്ള സാധാരണ സാധാരണ വിതരണത്തിന്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് α = 0,05 .

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അതിനാൽ, ഈ സാമ്പിളിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള 7.484 മുതൽ 11.266 വരെയാണ്.

ഉദാഹരണം 3. 100 നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ക്രമരഹിതമായ ജനസംഖ്യാ സാമ്പിളിന്, കണക്കാക്കിയ ശരാശരി 15.2 ഉം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ 3.2 ഉം ആണ്. പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിനായുള്ള 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയും തുടർന്ന് 99% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയും കണക്കാക്കുക. സാമ്പിൾ പവറും അതിന്റെ വ്യതിയാനവും മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുകയും കോൺഫിഡൻസ് കോഫിഫിഷ്യന്റ് വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്താൽ, കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെൽ ഇടുങ്ങിയതോ വിശാലമോ ആകുമോ?

ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങളെ കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെലിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്കുള്ള സാധാരണ സാധാരണ വിതരണത്തിന്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് α = 0,05 .

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

അതിനാൽ, ഈ സാമ്പിളിന്റെ ശരാശരിയുടെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള 14.57 മുതൽ 15.82 വരെയാണ്.

ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഈ മൂല്യങ്ങളെ കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെലിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്കുള്ള സാധാരണ സാധാരണ വിതരണത്തിന്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് α = 0,01 .

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

അതിനാൽ, ഈ സാമ്പിളിന്റെ ശരാശരിയുടെ 99% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള 14.37 മുതൽ 16.02 വരെയാണ്.

നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, കോൺഫിഡൻസ് കോഫിഫിഷ്യന്റ് വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷന്റെ നിർണ്ണായക മൂല്യവും വർദ്ധിക്കുന്നു, തൽഫലമായി, ഇടവേളയുടെ ആരംഭ-അവസാന പോയിന്റുകൾ ശരാശരിയിൽ നിന്ന് കൂടുതൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അതിനാൽ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള വർദ്ധിക്കുന്നു. .

നിർദ്ദിഷ്ട ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ പോയിന്റും ഇടവേളയും കണക്കാക്കുന്നു

ചില മാതൃകാ സ്വഭാവത്തിന്റെ പങ്ക് ഇങ്ങനെ വ്യാഖ്യാനിക്കാം പോയിന്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് പ്രത്യേക ഗുരുത്വാകർഷണം പിപൊതുസമൂഹത്തിലും ഇതേ സ്വഭാവം. ഈ മൂല്യം പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തണമെങ്കിൽ, നിർദ്ദിഷ്ട ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കണം പിസാധ്യതയുള്ള ജനസംഖ്യയിലെ സ്വഭാവം പി = 1 - α :

.

ഉദാഹരണം 4.ചില നഗരങ്ങളിൽ രണ്ട് സ്ഥാനാർത്ഥികളുണ്ട് എഒപ്പം ബിമേയർ സ്ഥാനത്തേക്ക് മത്സരിക്കുന്നു. 200 നഗരവാസികൾ ക്രമരഹിതമായി സർവേ നടത്തി, അതിൽ 46% പേർ സ്ഥാനാർത്ഥിക്ക് വോട്ട് ചെയ്യുമെന്ന് പ്രതികരിച്ചു. എ, 26% - സ്ഥാനാർത്ഥിക്ക് ബിആർക്ക് വോട്ട് ചെയ്യുമെന്ന് 28% പേർക്ക് അറിയില്ല. സ്ഥാനാർത്ഥിയെ പിന്തുണയ്ക്കുന്ന നഗരവാസികളുടെ അനുപാതത്തിന്റെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർണ്ണയിക്കുക എ.

ആരംഭിക്കുന്നതിന്, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന നിർവചനം ഓർമ്മിക്കാം:

ഇനിപ്പറയുന്ന സാഹചര്യം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. പോപ്പുലേഷൻ വേരിയന്റുകൾക്ക് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ $a$, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ $\sigma$ എന്നിവയുള്ള ഒരു സാധാരണ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷൻ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. സാമ്പിൾ അർത്ഥം ഇൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽഒരു റാൻഡം വേരിയബിളായി പരിഗണിക്കും. $X$ അളവ് സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യുമ്പോൾ, സാമ്പിൾ ശരാശരിയും സാധാരണയായി പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം വിതരണം ചെയ്യും

$\gamma $ എന്ന വിശ്വാസ്യതയോടെ $a$ മൂല്യം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നമുക്ക് കണ്ടെത്താം.

ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നമുക്ക് സമത്വം ആവശ്യമാണ്

അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു

ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് $T$ എളുപ്പത്തിൽ കണ്ടെത്താനാകും $Ф\ഇടത്(t\വലത്)$, അനന്തരഫലമായി, $\delta $ കണ്ടെത്താം.

$Ф\left(t\right)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടിക നമുക്ക് ഓർമ്മിക്കാം:

ചിത്രം 1. ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടിക $Ф\ഇടത്(t\വലത്).$

ഒരു അജ്ഞാത $(\mathbf \sigma )$ എന്നതിനായുള്ള ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസം അവിഭാജ്യമാണ്

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ $S^2$ എന്ന തിരുത്തിയ വേരിയൻസ് മൂല്യം ഉപയോഗിക്കും. മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിൽ $\sigma $ മാറ്റി $S$ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണ പ്രശ്നങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 1

$X$ എന്ന അളവിൽ $\sigma =4$ വ്യത്യാസമുള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണമുണ്ടാകട്ടെ. സാമ്പിൾ വലുപ്പം $n=64$ ആയിരിക്കട്ടെ, വിശ്വാസ്യത $\gamma =0.95$ ആയിരിക്കട്ടെ. ഈ വിതരണത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് ഇടവേള ($\overline(x)-\delta ,\overline(x)+\delta)$ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.

ഞങ്ങൾ മുകളിൽ കണ്ടതുപോലെ

\[\ഡെൽറ്റ =\frac(\sigma t)(\sqrt(n))=\frac(4t)(\sqrt(64))=\frac(\t)(2)\]

$t$ എന്ന പാരാമീറ്റർ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് കണ്ടെത്താം

\[Ф\left(t\right)=\frac(\gamma )(2)=\frac(0.95)(2)=0.475\]

പട്ടിക 1 ൽ നിന്ന് $t=1.96$ എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

CB X പൊതു പോപ്പുലേഷൻ രൂപപ്പെടുത്തട്ടെ, β അജ്ഞാത പാരാമീറ്റർ CB X ആയിരിക്കട്ടെ. * ലെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ എസ്റ്റിമേറ്റ് സ്ഥിരതയുള്ളതാണെങ്കിൽ, സാമ്പിൾ വലുപ്പം വലുതാണെങ്കിൽ, കൂടുതൽ കൃത്യമായി നമുക്ക് β യുടെ മൂല്യം ലഭിക്കും. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായോഗികമായി, ഞങ്ങൾക്ക് വളരെ വലിയ സാമ്പിളുകൾ ഇല്ല, അതിനാൽ കൂടുതൽ കൃത്യത ഉറപ്പ് നൽകാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല.

b* എന്നത് c യുടെ ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ എസ്റ്റിമേറ്റ് ആയിരിക്കട്ടെ. മൂല്യം |ഇൻ* - ഇൻ| എസ്റ്റിമേഷൻ കൃത്യത എന്ന് വിളിക്കുന്നു. β* ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളായതിനാൽ കൃത്യത CB ആണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ 8 വ്യക്തമാക്കാം, എസ്റ്റിമേറ്റിന്റെ കൃത്യത ആവശ്യമാണ് |в* - в| 8-ൽ കുറവായിരുന്നു, അതായത് | ഇൻ* - ഇൻ |< 8.

വിശ്വാസ്യത g അല്ലെങ്കിൽ ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യതഅസമത്വം |in * - in| എന്ന പ്രോബബിലിറ്റി g ആണ് in by in * ആണ് കണക്കാക്കുന്നത്< 8, т. е.

സാധാരണഗതിയിൽ, വിശ്വാസ്യത g മുൻകൂറായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട്, g എന്നത് 1-ന് അടുത്തുള്ള ഒരു സംഖ്യയായി കണക്കാക്കുന്നു (0.9; 0.95; 0.99; ...).

അസമത്വം മുതൽ |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

ഇടവേളയെ (* - 8-ൽ, * + 5-ൽ) ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത് കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെൽ, അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററിനെ പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെലിന്റെ അറ്റങ്ങൾ ക്രമരഹിതമാണെന്നും സാമ്പിളിൽ നിന്ന് സാമ്പിൾ വരെ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നുവെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ ഇടവേള (* - 8 ൽ, * + 8 ൽ) ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നതിനേക്കാൾ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററിനെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എന്ന് പറയുന്നത് കൂടുതൽ കൃത്യമാണ്. ഇടവേള.

അനുവദിക്കുക ജനസംഖ്യഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ആണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്, ഒരു സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു, കൂടാതെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ a അറിയപ്പെടുന്നു. അജ്ഞാതമായത് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ് a = M (X). തന്നിരിക്കുന്ന വിശ്വാസ്യത y യുടെ കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെൽ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

സാമ്പിൾ അർത്ഥം

xr = a എന്നതിനായുള്ള ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ എസ്റ്റിമേറ്റ് ആണ്.

സിദ്ധാന്തം. ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം X-ന് സാധാരണ വിതരണവും M(XB) = a,

A (XB) = a, ഇവിടെ a = y/B (X), a = M (X). l/i

a-യുടെ കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെല്ലിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:

ഞങ്ങൾ 8 കണ്ടെത്തുന്നു.

അനുപാതം ഉപയോഗിച്ച്

Ф(r) എന്നത് ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ ആണെങ്കിൽ, നമുക്കുള്ളത്:

പി ( | XB - a |<8} = 2Ф

ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടിക ഞങ്ങൾ t യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു.

നിയുക്തമാക്കിയത്

T, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് F(t) = g എന്നതിനാൽ g നൽകിയിരിക്കുന്നത്, തുടർന്ന്

തുല്യതയിൽ നിന്ന് എസ്റ്റിമേറ്റ് കൃത്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഇതിനർത്ഥം a-യുടെ കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെല്ലിന് ഒരു ഫോം ഉണ്ടെന്നാണ്:

X ജനസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു സാമ്പിൾ നൽകി

എൻജി	വരെ"	X2	Xm
എൻ.	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, അപ്പോൾ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇതായിരിക്കും:

ഉദാഹരണം 6.35. സാമ്പിൾ ശരാശരി Xb = 10.43, സാമ്പിൾ വലുപ്പം n = 100, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ s = 5 എന്നിവ അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് 0.95 വിശ്വാസ്യതയോടെ സാധാരണ വിതരണത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ a കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം

ഈ വിതരണത്തിന്റെ വ്യതിയാനവും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും അറിയപ്പെടുന്നത് കണക്കിലെടുത്ത്, ജനസംഖ്യയുടെ റാൻഡം വേരിയബിൾ X സാധാരണ വിതരണം ചെയ്യട്ടെ. സാമ്പിൾ ശരാശരി ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്‌ക്ക് വിശ്വാസ്യതയുള്ള ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്കാണ് ചുമതല വരുന്നത് b. നിങ്ങൾ കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി (വിശ്വാസ്യത) b യുടെ മൂല്യം വ്യക്തമാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫോർമുല (6.9a) ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അജ്ഞാത ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്താനാകും:

ഇവിടെ Ф(t) ആണ് ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ (5.17a).

തൽഫലമായി, D = s 2 എന്ന വ്യതിയാനം അറിയാമെങ്കിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ അതിരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് നമുക്ക് ഒരു അൽഗോരിതം രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും:

1. വിശ്വാസ്യത മൂല്യം സജ്ജമാക്കുക - ബി.
2. (6.14) മുതൽ എക്സ്പ്രസ് Ф(t) = 0.5× b. Ф(t) മൂല്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷനായി പട്ടികയിൽ നിന്ന് t യുടെ മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുക്കുക (അനുബന്ധം 1 കാണുക).
3. ഫോർമുല (6.10) ഉപയോഗിച്ച് വ്യതിയാനം കണക്കാക്കുക.
4. സൂത്രവാക്യം (6.12) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇന്റർവെൽ എഴുതുക, അതായത് ബി പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ അസമത്വം നിലനിൽക്കും:

.

ഉദാഹരണം 5.

റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ന് ഒരു സാധാരണ വിതരണമുണ്ട്. അജ്ഞാതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ b = 0.96 വിശ്വാസ്യതയുള്ള ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റിനായി ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക, നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ:

1) പൊതു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ s = 5;

2) സാമ്പിൾ ശരാശരി;

3) സാമ്പിൾ വലുപ്പം n = 49.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റിന്റെ ഫോർമുലയിൽ (6.15). എ t ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ അളവുകളും അറിയാം. t യുടെ മൂല്യം (6.14) ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം: b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ Ф(t) = 0.48-നായി അനുബന്ധം 1-ലെ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, അനുബന്ധ മൂല്യം t = 2.06 കണ്ടെത്തുക. അതിനാൽ, . e യുടെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യം ഫോർമുലയിലേക്ക് (6.12) പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ലഭിക്കും: 30-1.47< a < 30+1,47.

അജ്ഞാതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ b = 0.96 വിശ്വാസ്യതയുള്ള ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റിന് ആവശ്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇതിന് തുല്യമാണ്: 28.53< a < 31,47.