സേവനത്തിൻ്റെ ഉദ്ദേശ്യം. ഈ സേവനം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് നിർണ്ണയിക്കാനാകും:
- പൊതുവായ ശരാശരിയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള, വ്യത്യാസത്തിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള;
- സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ, ജനറൽ ഷെയറിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള;
ഉദാഹരണം നമ്പർ 1. ഒരു കൂട്ടായ ഫാമിൽ, ആകെയുള്ള 1000 ആടുകളിൽ, 100 ആടുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത നിയന്ത്രണ കത്രികയ്ക്ക് വിധേയമായി. തൽഫലമായി, ഒരു ആടിന് ശരാശരി 4.2 കിലോ കമ്പിളി ക്ലിപ്പിംഗ് സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു. ഒരു ആടിൻ്റെ ശരാശരി കമ്പിളി കത്രിക നിർണയിക്കുമ്പോൾ സാമ്പിളിൻ്റെ ശരാശരി ചതുര പിശക് 0.99 പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുക, വ്യത്യാസം 2.5 ആണെങ്കിൽ കത്രിക മൂല്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന പരിധി. സാമ്പിൾ ആവർത്തിക്കാത്തതാണ്.
ഉദാഹരണം നമ്പർ 2. മോസ്കോ നോർത്തേൺ കസ്റ്റംസിൻ്റെ പോസ്റ്റിൽ ഇറക്കുമതി ചെയ്ത ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ഒരു ബാച്ചിൽ നിന്ന്, "എ" എന്ന ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ 20 സാമ്പിളുകൾ ക്രമരഹിതമായ ആവർത്തിച്ചുള്ള സാമ്പിളുകൾ വഴി എടുത്തു. പരിശോധനയുടെ ഫലമായി, സാമ്പിളിലെ ഉൽപ്പന്ന “എ” യുടെ ശരാശരി ഈർപ്പം സ്ഥാപിക്കപ്പെട്ടു, ഇത് 1% സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനത്തോടെ 6% ആയി മാറി.
ഇറക്കുമതി ചെയ്ത ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ബാച്ചിലെയും ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ശരാശരി ഈർപ്പത്തിൻ്റെ പരിധി 0.683 പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുക.
ഉദാഹരണം നമ്പർ 3. 36 വിദ്യാർത്ഥികളിൽ നടത്തിയ ഒരു സർവേയിൽ അവർ പ്രതിവർഷം വായിക്കുന്ന പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ ശരാശരി എണ്ണം കാണിച്ചു അധ്യയന വർഷം, 6 ന് തുല്യമായി മാറി. ഓരോ സെമസ്റ്ററിലും ഒരു വിദ്യാർത്ഥി വായിക്കുന്ന പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് 6 ന് തുല്യമായ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഉള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണ നിയമം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, കണ്ടെത്തുക: A) 0.99 വിശ്വാസ്യതയോടെ, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റ് ഇതിൻ്റെ പ്രതീക്ഷ റാൻഡം വേരിയബിൾ; B) നൽകിയിരിക്കുന്ന സാമ്പിളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ ഓരോ സെമസ്റ്ററിലും ഒരു വിദ്യാർത്ഥി വായിക്കുന്ന പാഠപുസ്തകങ്ങളുടെ ശരാശരി എണ്ണം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കുമെന്ന് എന്ത് പ്രോബബിലിറ്റിയോടെ നമുക്ക് പറയാൻ കഴിയും യഥാർത്ഥ മൂല്യം 2-ൽ കൂടരുത്.
ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളുടെ വർഗ്ഗീകരണം
വിലയിരുത്തുന്ന പാരാമീറ്ററിൻ്റെ തരം അനുസരിച്ച്:
സാമ്പിൾ തരം അനുസരിച്ച്:
- അനന്തമായ സാമ്പിളിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള;
- അന്തിമ സാമ്പിളിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള;
ക്രമരഹിതമായ സാമ്പിളിനുള്ള ശരാശരി സാമ്പിൾ പിശകിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ
സാമ്പിളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച സൂചകങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങളും സാധാരണ ജനസംഖ്യയുടെ അനുബന്ധ പാരാമീറ്ററുകളും തമ്മിലുള്ള പൊരുത്തക്കേടിനെ വിളിക്കുന്നു പ്രാതിനിധ്യ പിശക്.പൊതു, സാമ്പിൾ പോപ്പുലേഷനുകളുടെ പ്രധാന പാരാമീറ്ററുകളുടെ പദവികൾ.
| ശരാശരി സാമ്പിൾ പിശക് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ | |||
| വീണ്ടും തിരഞ്ഞെടുക്കൽ | തിരഞ്ഞെടുക്കൽ ആവർത്തിക്കുക | ||
| ശരാശരി | വിഹിതത്തിനായി | ശരാശരി | വിഹിതത്തിനായി |
 |
|||
തികച്ചും ക്രമരഹിതമായ സാമ്പിൾ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സാമ്പിൾ വലുപ്പം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലകൾ
മുമ്പത്തെ ഉപവിഭാഗങ്ങളിൽ ഒരു അജ്ഞാത പാരാമീറ്റർ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു എഒരു നമ്പർ. ഇതിനെ "പോയിൻ്റ്" എസ്റ്റിമേറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിരവധി ടാസ്ക്കുകളിൽ, നിങ്ങൾ പാരാമീറ്ററിനായി മാത്രം കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട് എഅനുയോജ്യമായ സംഖ്യാ മൂല്യം, മാത്രമല്ല അതിൻ്റെ കൃത്യതയും വിശ്വാസ്യതയും വിലയിരുത്താൻ. ഒരു പാരാമീറ്റർ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് എന്ത് പിശകുകളിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് എഅതിൻ്റെ പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് എഈ പിശകുകൾ അറിയപ്പെടുന്ന പരിധികൾ കവിയില്ലെന്ന് എത്രത്തോളം ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കാം?
പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ, ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ വളരെ കുറച്ച് നിരീക്ഷണങ്ങളിൽ പ്രത്യേകിച്ചും പ്രസക്തമാണ് ഒപ്പംവലിയതോതിൽ ക്രമരഹിതമാണ്, a എന്നതിനെ ഏകദേശമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ഗുരുതരമായ പിശകുകളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം.
എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ കൃത്യതയെയും വിശ്വാസ്യതയെയും കുറിച്ച് ഒരു ആശയം നൽകാൻ എ,
വി ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾഅവർ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളും ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യതകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു.
പരാമീറ്ററിനായി അനുവദിക്കുക എഅനുഭവത്തിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച നിഷ്പക്ഷമായ എസ്റ്റിമേറ്റ് എ.ഈ കേസിൽ സാധ്യമായ പിശക് കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. നമുക്ക് വേണ്ടത്ര വലിയ ചില പ്രോബബിലിറ്റി p (ഉദാഹരണത്തിന്, p = 0.9, 0.95 അല്ലെങ്കിൽ 0.99) നൽകാം, അതായത് p പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള ഒരു ഇവൻ്റ് പ്രായോഗികമായി വിശ്വസനീയമായി കണക്കാക്കാം, അതിനായി ഒരു മൂല്യം കണ്ടെത്താം s
അപ്പോൾ പരിധി പ്രായോഗികമാണ് സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾമാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ സംഭവിക്കുന്ന പിശക് എഓൺ എ, ± s ആയിരിക്കും; സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യത്തിൽ വലിയ പിശകുകൾ ഒരു കുറഞ്ഞ പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ a = 1 - p. നമുക്ക് (14.3.1) ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം:
സമത്വം (14.3.2) അർത്ഥമാക്കുന്നത് പ്രോബബിലിറ്റി p എന്നതിനൊപ്പം പരാമീറ്ററിൻ്റെ അജ്ഞാത മൂല്യം എന്നാണ് എഇടവേളയ്ക്കുള്ളിൽ വീഴുന്നു
ഒരു സാഹചര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മുമ്പ്, ഒരു ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ക്രമരഹിതമായ ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത ഞങ്ങൾ ആവർത്തിച്ച് പരിഗണിച്ചിരുന്നു. ഇവിടെ സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമാണ്: അളവ് എക്രമരഹിതമല്ല, എന്നാൽ ഇടവേള / പി ക്രമരഹിതമാണ്. x-അക്ഷത്തിൽ അതിൻ്റെ സ്ഥാനം ക്രമരഹിതമാണ്, അതിൻ്റെ കേന്ദ്രം നിർണ്ണയിക്കുന്നു എ; പൊതുവേ, ഇടവേള 2s ൻ്റെ ദൈർഘ്യവും ക്രമരഹിതമാണ്, കാരണം s ൻ്റെ മൂല്യം ഒരു ചട്ടം പോലെ, പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നു. അതിനാൽ ഇൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ p മൂല്യം ഒരു പോയിൻ്റ് "അടിക്കാനുള്ള" സാധ്യതയായി വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് എഇടവേള / പി, കൂടാതെ ഒരു റാൻഡം ഇടവേള / പി പോയിൻ്റ് കവർ ചെയ്യാനുള്ള സാധ്യത എ(ചിത്രം 14.3.1).
അരി. 14.3.1
പ്രോബബിലിറ്റി p സാധാരണയായി വിളിക്കുന്നു ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യത, ഒപ്പം ഇടവേള / പി - ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള.ഇടവേള അതിരുകൾ എങ്കിൽ. a x =a-മണല് a 2 = a +എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു അതിരുകൾ വിശ്വസിക്കുക.
ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള എന്ന ആശയത്തിന് മറ്റൊരു വ്യാഖ്യാനം നൽകാം: ഇത് പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളുടെ ഇടവേളയായി കണക്കാക്കാം. എ,പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അവയ്ക്ക് വിരുദ്ധമല്ല. തീർച്ചയായും, a = 1-p സാധ്യതയുള്ള ഒരു ഇവൻ്റ് പരിഗണിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, a പരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ a = 1-p. a - a> കൾ പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണെന്ന് തിരിച്ചറിയണം, കൂടാതെ |a - എഒരു ടി നാ 2 .
പരാമീറ്ററിനായി അനുവദിക്കുക എനിഷ്പക്ഷമായ ഒരു കണക്കുണ്ട് എ.അളവിൻ്റെ വിതരണ നിയമം നമുക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ എ, ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ കണ്ടെത്താനുള്ള ചുമതല വളരെ ലളിതമായിരിക്കും: അതിനുള്ള ഒരു മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഇത് മതിയാകും.
എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ വിതരണ നിയമം എന്നതാണ് ബുദ്ധിമുട്ട് എഅളവിൻ്റെ വിതരണ നിയമത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എക്സ്അതിനാൽ, അതിൻ്റെ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകളിൽ (പ്രത്യേകിച്ച്, പാരാമീറ്ററിൽ തന്നെ എ).
ഈ ബുദ്ധിമുട്ട് മറികടക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഏകദേശം ഏകദേശ സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കാം: s എന്നതിനായുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലെ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ അവയുടെ പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. താരതമ്യേന വലിയ എണ്ണം പരീക്ഷണങ്ങൾക്കൊപ്പം പി(ഏകദേശം 20...30) ഈ സാങ്കേതികത സാധാരണയായി കൃത്യതയുടെ കാര്യത്തിൽ തൃപ്തികരമായ ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നു.
ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക.
അത് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കപ്പെടട്ടെ പി X,ഇവയുടെ സവിശേഷതകൾ പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം ടിവ്യതിയാനവും ഡി- അജ്ഞാതം. ഈ പാരാമീറ്ററുകൾക്കായി ഇനിപ്പറയുന്ന എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ ലഭിച്ചു:
ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കായി കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി p യുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ / p നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ടിഅളവ് എക്സ്.
ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അളവ് എന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും ടിതുകയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു പിസ്വതന്ത്രമായി ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ Xhകേന്ദ്രപരിധി സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, ആവശ്യത്തിന് വലുത് പിഅതിൻ്റെ വിതരണ നിയമം സാധാരണ നിലയിലാണ്. പ്രായോഗികമായി, താരതമ്യേന ചെറിയ സംഖ്യകൾ (ഏകദേശം 10...20) ആണെങ്കിലും, തുകയുടെ വിതരണ നിയമം ഏകദേശം സാധാരണമായി കണക്കാക്കാം. മൂല്യം എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും ടിസാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു. ഈ നിയമത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ - ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയും വ്യത്യാസവും - യഥാക്രമം തുല്യമാണ് ടിഒപ്പം
(അധ്യായം 13 ഉപവിഭാഗം 13.3 കാണുക). മൂല്യം എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം ഡിഞങ്ങൾക്കറിയാം, അതിനായി ഒരു മൂല്യം Ep കണ്ടെത്തും
അദ്ധ്യായം 6-ൻ്റെ ഫോർമുല (6.3.5) ഉപയോഗിച്ച്, (14.3.5) ൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള സാധ്യത സാധാരണ വിതരണ ഫംഗ്‌ഷനിലൂടെ ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.
എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എവിടെയാണ് ടി.
സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്.
Sp മൂല്യം കണ്ടെത്തുക: 
ഇവിടെ arg Ф* (х) എന്നത് Ф* ൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ് (എക്സ്),ആ. വാദത്തിൻ്റെ മൂല്യം സാധാരണ പ്രവർത്തനംവിതരണം തുല്യമാണ് എക്സ്.
വിസരണം ഡി,അതിലൂടെ അളവ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു എ 1P, ഞങ്ങൾക്ക് കൃത്യമായി അറിയില്ല; അതിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യമായി, നിങ്ങൾക്ക് എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉപയോഗിക്കാം ഡി(14.3.4) കൂടാതെ ഏകദേശം ഇടുക:
അങ്ങനെ, ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഏകദേശം പരിഹരിച്ചു, ഇത് ഇതിന് തുല്യമാണ്:
അവിടെ gp ഫോർമുല (14.3.7) വഴി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.
s p കണക്കാക്കുമ്പോൾ Ф* (l) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പട്ടികകളിൽ വിപരീത ഇൻ്റർപോളേഷൻ ഒഴിവാക്കാൻ, ഒരു പ്രത്യേക പട്ടിക (പട്ടിക 14.3.1) കംപൈൽ ചെയ്യുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, അത് അളവിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു.
ആർ അനുസരിച്ച്. മൂല്യം (p എന്നത് സാധാരണ നിയമത്തിനായി വ്യതിചലനത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും പ്ലോട്ട് ചെയ്യേണ്ട സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, അങ്ങനെ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഏരിയയിലേക്ക് പ്രവേശിക്കാനുള്ള സാധ്യത p ന് തുല്യമാണ്.
മൂല്യം 7 p ഉപയോഗിച്ച്, ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇതായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
പട്ടിക 14.3.1
ഉദാഹരണം 1. അളവിൽ 20 പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി എക്സ്;ഫലങ്ങൾ പട്ടികയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 14.3.2.
പട്ടിക 14.3.2
അളവിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് എക്സ്കൂടാതെ കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി p = 0.8 ന് അനുയോജ്യമായ ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ നിർമ്മിക്കുക.
പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉണ്ട്:
l: = 10 റഫറൻസ് പോയിൻ്റായി തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, മൂന്നാമത്തെ ഫോർമുല (14.2.14) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നിഷ്പക്ഷമായ എസ്റ്റിമേറ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു. ഡി :
പട്ടിക പ്രകാരം 14.3.1 ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു 
ആത്മവിശ്വാസത്തിൻ്റെ പരിധി:
ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള:
പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ ടി,ഈ ഇടവേളയിൽ കിടക്കുന്നത് പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. 14.3.2.
വേരിയൻസിനായി ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള സമാനമായ രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കാവുന്നതാണ്.
അത് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കപ്പെടട്ടെ പിഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൽ സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങൾ എക്സ് A, dispersion എന്നിവയ്ക്കുള്ള അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം ഡിനിഷ്പക്ഷമായ ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ലഭിച്ചു:
വ്യതിയാനത്തിന് ഏകദേശം ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (14.3.11) അളവ് എന്ന് വ്യക്തമാണ് ഡിപ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു
തുക പിഫോമിൻ്റെ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ. ഈ മൂല്യങ്ങൾ അല്ല
സ്വതന്ത്രമായതിനാൽ, അവയിലേതെങ്കിലും അളവ് ഉൾപ്പെടുന്നു ടി,എല്ലാവരേയും ആശ്രയിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് അത് കാണിക്കാനാകും പിഅവരുടെ തുകയുടെ വിതരണ നിയമവും സാധാരണ നിലയിലേക്ക് അടുക്കുന്നു. ഏതാണ്ട് സമയത്ത് പി= 20...30 ഇത് ഇതിനകം സാധാരണമായി കണക്കാക്കാം.
ഇത് അങ്ങനെയാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, ഈ നിയമത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും ചിതറിയും. വിലയിരുത്തൽ മുതൽ ഡി- പക്ഷപാതരഹിതം, അപ്പോൾ എം[ഡി] = ഡി.
വേരിയൻസ് കണക്കുകൂട്ടൽ തീയതിതാരതമ്യേന സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ പദപ്രയോഗം ഡെറിവേഷൻ ഇല്ലാതെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:
ഇവിടെ q 4 നാലാമത്തേതാണ് കേന്ദ്ര പോയിൻ്റ്അളവ് എക്സ്.
ഈ പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മൂല്യങ്ങൾ \u003d 4 കൂടാതെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഡി(കുറഞ്ഞത് അടുപ്പമുള്ളവ). ഇതിനുപകരമായി ഡിനിങ്ങൾക്ക് അവൻ്റെ വിലയിരുത്തൽ ഉപയോഗിക്കാം ഡി.തത്വത്തിൽ, നാലാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷം ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഫോമിൻ്റെ ഒരു മൂല്യം:
എന്നാൽ അത്തരമൊരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ വളരെ കുറഞ്ഞ കൃത്യത നൽകും, കാരണം പൊതുവേ, പരിമിതമായ എണ്ണം പരീക്ഷണങ്ങൾ, നിമിഷങ്ങൾ ഉയർന്ന ക്രമംമുതൽ നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നു വലിയ തെറ്റുകൾ. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായോഗികമായി അത് പലപ്പോഴും അളവ് വിതരണ നിയമത്തിൻ്റെ തരം സംഭവിക്കുന്നു എക്സ്മുൻകൂട്ടി അറിയാം: അതിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ മാത്രം അജ്ഞാതമാണ്. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് μ 4 മുഖേന പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം ഡി.
മൂല്യം എപ്പോൾ ഏറ്റവും സാധാരണമായ കേസ് എടുക്കാം എക്സ്സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ നാലാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷം ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു (അധ്യായം 6, ഉപവിഭാഗം 6.2 കാണുക);
ഫോർമുല (14.3.12) നൽകുന്നു 
അഥവാ
(14.3.14) ൽ അജ്ഞാതമായത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ഡിഅവൻ്റെ വിലയിരുത്തൽ ഡി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: എവിടെ നിന്ന് 
നിമിഷം μ 4 മുഖേന പ്രകടിപ്പിക്കാം ഡിമറ്റ് ചില സന്ദർഭങ്ങളിലും, മൂല്യത്തിൻ്റെ വിതരണം ചെയ്യുമ്പോൾ എക്സ്സാധാരണമല്ല, പക്ഷേ അതിൻ്റെ രൂപം അറിയപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിയമത്തിന് ഏകീകൃത സാന്ദ്രത(അധ്യായം 5 കാണുക) ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്: 
എവിടെ (a, P) എന്നത് നിയമം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഇടവേളയാണ്.
അതിനാൽ,
ഫോർമുല (14.3.12) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: 
ഞങ്ങൾ ഏകദേശം എവിടെ കണ്ടെത്തും
അളവ് 26-ൻ്റെ വിതരണ നിയമത്തിൻ്റെ തരം അജ്ഞാതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, മൂല്യത്തിൻ്റെ ഏകദേശ എസ്റ്റിമേറ്റ് തയ്യാറാക്കുമ്പോൾ a/) ഫോർമുല (14.3.16) ഉപയോഗിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, ഈ നിയമം വിശ്വസിക്കാൻ പ്രത്യേക കാരണങ്ങളില്ലെങ്കിൽ. സാധാരണയിൽ നിന്ന് വളരെ വ്യത്യസ്തമാണ് (ശ്രദ്ധേയമായ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് കുർട്ടോസിസ് ഉണ്ട്) .
ഏകദേശ മൂല്യം a/) ഒരു തരത്തിലല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ ലഭിച്ചാൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച അതേ രീതിയിൽ തന്നെ വേരിയൻസിനായി ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ നിർമ്മിക്കാം:
ഇവിടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റിയെ ആശ്രയിച്ചുള്ള മൂല്യം p പട്ടിക പ്രകാരം കണ്ടെത്തുന്നു. 14.3.1.
ഉദാഹരണം 2. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിന് ഏകദേശം 80% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക എക്സ്ഉദാഹരണം 1-ൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിൽ, അത് അറിയാമെങ്കിൽ മൂല്യം എക്സ്സാധാരണ നിലയിലുള്ള ഒരു നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്തു.
പരിഹാരം.മൂല്യം പട്ടികയിൽ ഉള്ളതുപോലെ തന്നെ തുടരുന്നു. 14.3.1:
ഫോർമുല പ്രകാരം (14.3.16)
ഫോർമുല (14.3.18) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുന്നു:
ശരാശരി മൂല്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ ഇടവേള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനം: (0,21; 0,29).
14.4 കൃത്യമായ നിർമ്മാണ രീതികൾ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾസാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പരാമീറ്ററുകൾക്കായി
മുമ്പത്തെ ഉപവിഭാഗത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയ്ക്കും വ്യതിയാനത്തിനുമായി ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഏകദേശ രീതികൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു. ഒരേ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കൃത്യമായ രീതികളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഒരു ആശയം നൽകും. വിശ്വസനീയമായ ഇടവേളകൾ കൃത്യമായി കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അളവിൻ്റെ വിതരണ നിയമത്തിൻ്റെ രൂപം മുൻകൂട്ടി അറിയേണ്ടത് അനിവാര്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഊന്നിപ്പറയുന്നു. X,അതേസമയം ഏകദേശ രീതികളുടെ പ്രയോഗത്തിന് ഇത് ആവശ്യമില്ല.
ആശയം കൃത്യമായ രീതികൾആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്നവയിലേക്ക് വരുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉൾപ്പെടുന്ന ചില അസമത്വങ്ങൾ പൂർത്തീകരിക്കാനുള്ള സാധ്യത പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്നാണ് ഏതൊരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയും കണ്ടെത്തുന്നത്. എ.മൂല്യനിർണ്ണയ വിതരണ നിയമം എവി പൊതുവായ കേസ്അജ്ഞാത അളവ് പാരാമീറ്ററുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എക്സ്.എന്നിരുന്നാലും, ചിലപ്പോൾ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൽ നിന്ന് അസമത്വങ്ങൾ കടന്നുപോകാൻ കഴിയും എനിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ മറ്റ് ചില പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് X p X 2, ..., എക്സ് പി.ഇതിൻ്റെ വിതരണ നിയമം അജ്ഞാതമായ പാരാമീറ്ററുകളെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, എന്നാൽ പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെയും അളവിൻ്റെ വിതരണ നിയമത്തിൻ്റെ തരത്തെയും മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. എക്സ്.ഇത്തരത്തിലുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു; അളവിൻ്റെ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ അവ വളരെ വിശദമായി പഠിച്ചു എക്സ്.
ഉദാഹരണത്തിന്, മൂല്യത്തിൻ്റെ ഒരു സാധാരണ വിതരണം ഉപയോഗിച്ച് അത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് എക്സ്ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം
വിളിക്കപ്പെടുന്നവയെ അനുസരിക്കുന്നു വിദ്യാർത്ഥി വിതരണ നിയമംകൂടെ പി- 1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യം; ഈ നിയമത്തിൻ്റെ സാന്ദ്രതയ്ക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട്
ഇവിടെ G(x) അറിയപ്പെടുന്ന ഗാമാ ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ്:
റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണെന്നും തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്
കൂടെ "% 2 ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ" ഉണ്ട് പി- 1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യം (അധ്യായം 7 കാണുക), അതിൻ്റെ സാന്ദ്രത ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു
ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളുടെ (14.4.2), (14.4.4) വ്യുൽപ്പന്നങ്ങളെ കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാതെ, പരാമീറ്ററുകൾക്കായി കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ അവ എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും. ടി ഡി.
അത് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കപ്പെടട്ടെ പിഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൽ സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങൾ X,സാധാരണയായി അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു ടി&ഒ.ഈ പരാമീറ്ററുകൾക്കായി, എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ ലഭിച്ചു
കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് അനുയോജ്യമായ രണ്ട് പരാമീറ്ററുകൾക്കും കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.
നമുക്ക് ആദ്യം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കായി ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കാം. ഈ ഇടവേള സമമിതിയായി എടുക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ് ടി; s p ഇടവേളയുടെ പകുതി നീളത്തെ സൂചിപ്പിക്കാം. s p മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുക്കണം, അങ്ങനെ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്
റാൻഡം വേരിയബിളിൽ നിന്ന് സമത്വത്തിൻ്റെ (14.4.5) ഇടതുവശത്തേക്ക് നീങ്ങാൻ ശ്രമിക്കാം ടിഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിലേക്ക് ടി,വിദ്യാർത്ഥി നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്തു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും |m-w?| ഗുണിക്കുക
പോസിറ്റീവ് മൂല്യത്താൽ: 
അല്ലെങ്കിൽ, നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് (14.4.1),
വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് മൂല്യം / പി കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്ന ഒരു നമ്പർ / പി കണ്ടെത്താം
ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (14.4.2) അത് വ്യക്തമാണ് (1) - പ്രവർത്തനം പോലും, അങ്ങനെ (14.4.8) നൽകുന്നു 
തുല്യത (14.4.9) പിയെ ആശ്രയിച്ച് മൂല്യം / പി നിർണ്ണയിക്കുന്നു. അവിഭാജ്യ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക നിങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ടെങ്കിൽ
അപ്പോൾ /p യുടെ മൂല്യം പട്ടികയിൽ റിവേഴ്സ് ഇൻ്റർപോളേഷൻ വഴി കണ്ടെത്താം. എന്നിരുന്നാലും, /p മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക മുൻകൂട്ടി തയ്യാറാക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. അത്തരമൊരു പട്ടിക അനുബന്ധത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു (പട്ടിക 5). ഈ പട്ടിക ആത്മവിശ്വാസം ലെവൽ p, സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ച് മൂല്യങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു പി- 1. പട്ടികയിൽ നിന്ന് / പി നിർണ്ണയിച്ച ശേഷം. 5 ഒപ്പം അനുമാനിക്കുന്നു 
കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ / പിയുടെയും ഇടവേളയുടെയും പകുതി വീതിയും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും
ഉദാഹരണം 1. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൽ 5 സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി X,സാധാരണയായി അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു ടിഏകദേശം. പരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. 14.4.1.
പട്ടിക 14.4.1
റേറ്റിംഗ് കണ്ടെത്തുക ടിഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കായി ഒരു 90% കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ / പി നിർമ്മിക്കുക (അതായത്, കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഇടവേള p = 0.9).
പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉണ്ട്:
അപേക്ഷയുടെ പട്ടിക 5 അനുസരിച്ച് പി - 1 = 4 ഉം p = 0.9 ഉം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു 
എവിടെ 
ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ആയിരിക്കും
ഉദാഹരണം 2. ഉപവിഭാഗം 14.3 ൻ്റെ ഉദാഹരണം 1 ൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കായി, മൂല്യം അനുമാനിക്കുന്നു എക്സ്സാധാരണ വിതരണം, കൃത്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം.അനുബന്ധത്തിൻ്റെ പട്ടിക 5 അനുസരിച്ച്, എപ്പോൾ എന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു പി - 1 = 19ir =
0.8 / പി = 1.328; ഇവിടെ നിന്ന് 
ഉപവിഭാഗം 14.3 (e p = 0.072) ൻ്റെ ഉദാഹരണം 1 ൻ്റെ പരിഹാരവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, പൊരുത്തക്കേട് വളരെ നിസ്സാരമാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ബോധ്യമുണ്ട്. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ദശാംശ സ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള കൃത്യത നിലനിർത്തുകയാണെങ്കിൽ, കൃത്യവും ഏകദേശ രീതികളും കണ്ടെത്തിയ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ യോജിക്കുന്നു:
വേരിയൻസിനായി ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം. നിഷ്പക്ഷമായ വേരിയൻസ് എസ്റ്റിമേറ്റർ പരിഗണിക്കുക
കൂടാതെ റാൻഡം വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുക ഡിമാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് വഴി വി(14.4.3), ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ x 2 ഉള്ളത് (14.4.4):
അളവിൻ്റെ വിതരണ നിയമം അറിയുക വി,നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി p-നൊപ്പം വരുന്ന ഇടവേള /(1) നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.
വിതരണ നിയമം kn_x(v)കാന്തിമാനം I 7 ന് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രൂപമുണ്ട്. 14.4.1.
അരി. 14.4.1
ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഇടവേള / പി എങ്ങനെ തിരഞ്ഞെടുക്കാം? മാഗ്നിറ്റ്യൂഡിൻ്റെ വിതരണ നിയമമാണെങ്കിൽ വിസമമിതിയായിരുന്നു (സാധാരണ നിയമം അല്ലെങ്കിൽ വിദ്യാർത്ഥി വിതരണം പോലെ), ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇടവേള /p സമമിതി എടുക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിയമം k p_x (v)അസമമായ. മൂല്യത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ആകുന്നതിന് ഇടവേള /p തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം വിഇടവേളയ്ക്ക് അപ്പുറം വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും (ചിത്രം 14.4.1 ലെ ഷേഡുള്ള പ്രദേശങ്ങൾ) സമാനവും തുല്യവുമാണ്
ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഇടവേള /p നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുന്നു. 4 ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ: അതിൽ അക്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു y)അത്തരം
മൂല്യത്തിനായി വി, x 2 -ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ r ഡിഗ്രികൾ ഉള്ളത്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ r = n- 1. നമുക്ക് ശരിയാക്കാം r = n- 1 കൂടാതെ പട്ടികയുടെ അനുബന്ധ വരിയിൽ കണ്ടെത്തുക. 4 രണ്ട് അർത്ഥങ്ങൾ x 2 -ഒന്ന് പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റൊന്ന് - പ്രോബബിലിറ്റി നമുക്ക് ഇവയെ സൂചിപ്പിക്കാം
മൂല്യങ്ങൾ 2 മണിക്ക്ഒപ്പം xl?ഇടവേള ഉണ്ട് y 2,നിങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്ത്, ഒപ്പം y ~വലത് അവസാനം.
ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഇൻ്റർവെൽ / പിയിൽ നിന്ന് ആവശ്യമുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ /|, അതിരുകളുള്ള ഡി, കൂടാതെ D2,ഏത് പോയിൻ്റ് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു ഡിപ്രോബബിലിറ്റി p: 
പോയിൻ്റ് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഇടവേള / (, = (?> ь А) നിർമ്മിക്കാം ഡിമൂല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം വിഇടവേള /r ൽ വീഴുന്നു. നമുക്ക് ഇടവേള കാണിക്കാം
ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, അസമത്വങ്ങൾ 
അസമത്വങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്
ഈ അസമത്വങ്ങൾ പ്രോബബിലിറ്റി p യിൽ സംതൃപ്തമാണ്. അങ്ങനെ, വ്യതിയാനത്തിനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള കണ്ടെത്തി, അത് ഫോർമുല (14.4.13) വഴി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം 3. മൂല്യം എന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, ഉപവിഭാഗം 14.3-ൻ്റെ ഉദാഹരണം 2-ൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിലുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക. എക്സ്സാധാരണ വിതരണം.
പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉണ്ട് 
. അനുബന്ധത്തിൻ്റെ പട്ടിക 4 അനുസരിച്ച്
ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു r = n - 1 = 19
ഫോർമുല (14.4.13) ഉപയോഗിച്ച് വ്യതിയാനത്തിനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു 
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ അനുബന്ധ ഇടവേള (0.21; 0.32) ആണ്. ഈ ഇടവേള ഏകദേശ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഉപവിഭാഗം 14.3 ൻ്റെ ഉദാഹരണം 2-ൽ ലഭിച്ച ഇടവേളയെ (0.21; 0.29) ചെറുതായി കവിയുന്നു.
- ചിത്രം 14.3.1 ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ സിമെട്രിക് പരിഗണിക്കുന്നു. പൊതുവേ, നമ്മൾ പിന്നീട് കാണുന്നത് പോലെ, ഇത് ആവശ്യമില്ല.
ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളുടെ എസ്റ്റിമേഷൻ
പഠന ലക്ഷ്യങ്ങൾ
സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ ഇനിപ്പറയുന്നവ പരിഗണിക്കുന്നു രണ്ട് പ്രധാന ജോലികൾ:
സാമ്പിൾ ഡാറ്റയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾക്ക് ചില എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉണ്ട്, കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം എവിടെയാണ് എന്നതിനെ കുറിച്ച് ചില പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് പ്രസ്താവനകൾ നടത്താൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.
സാമ്പിൾ ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച് പരിശോധിക്കേണ്ട ഒരു പ്രത്യേക സിദ്ധാന്തം ഞങ്ങൾക്കുണ്ട്.
ഈ വിഷയത്തിൽ ഞങ്ങൾ ആദ്യ ചുമതല പരിഗണിക്കുന്നു. ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ നിർവചനവും നമുക്ക് പരിചയപ്പെടുത്താം.
ഒരു പരാമീറ്ററിൻ്റെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യത്തെ ചുറ്റിപ്പറ്റി നിർമ്മിച്ച ഒരു ഇടവേളയാണ് കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ, കൂടാതെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ചെയ്ത പരാമീറ്ററിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം ഒരു പ്രിയോറി നിർദ്ദിഷ്ട പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് എവിടെയാണെന്ന് കാണിക്കുന്നു.
ഈ വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള മെറ്റീരിയൽ പഠിച്ച ശേഷം, നിങ്ങൾ:
ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റിനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ എന്താണെന്ന് മനസ്സിലാക്കുക;
സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രശ്നങ്ങൾ തരംതിരിക്കാൻ പഠിക്കുക;
സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ചും സോഫ്റ്റ്വെയർ ടൂളുകൾ ഉപയോഗിച്ചും ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള സാങ്കേതികതയിൽ പ്രാവീണ്യം നേടുക;
സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ കൃത്യതയുടെ ചില പാരാമീറ്ററുകൾ നേടുന്നതിന് ആവശ്യമായ സാമ്പിൾ വലുപ്പങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കാൻ പഠിക്കുക.
മാതൃകാ സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ വിതരണം
ടി-വിതരണം
മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്തതുപോലെ, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ചെയ്തതിന് അടുത്താണ് സാധാരണ വിതരണം 0, 1 എന്നീ പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച്. σ യുടെ മൂല്യം ഞങ്ങൾക്ക് അറിയാത്തതിനാൽ, s ൻ്റെ ചില എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. അളവിന് ഇതിനകം മറ്റൊരു വിതരണമുണ്ട്, അതായത് അല്ലെങ്കിൽ വിദ്യാർത്ഥി വിതരണം, ഇത് പാരാമീറ്റർ n -1 (സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം) നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഈ വിതരണം സാധാരണ വിതരണത്തോട് അടുത്താണ് (വലിയ n, വിതരണങ്ങൾ അടുത്ത്).
ചിത്രത്തിൽ. 95 
30 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യത്തോടെയുള്ള വിദ്യാർത്ഥി വിതരണം അവതരിപ്പിക്കുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഇത് സാധാരണ വിതരണത്തിന് വളരെ അടുത്താണ്.
സാധാരണ വിതരണമായ NORMIDIST, NORMINV എന്നിവയ്ക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് സമാനമായി, ടി-ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നതിനുള്ള ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉണ്ട് - STUDIST (TDIST) കൂടാതെ STUDRASOBR (TINV). ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം STUDRASP.XLS എന്ന ഫയലിലും (ടെംപ്ലേറ്റും പരിഹാരവും) ചിത്രം. 96 
.
മറ്റ് സ്വഭാവസവിശേഷതകളുടെ വിതരണം
നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാവുന്നതുപോലെ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ കണക്കാക്കുന്നതിൻ്റെ കൃത്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഞങ്ങൾക്ക് ഒരു ടി-വിതരണം ആവശ്യമാണ്. വേരിയൻസ് പോലുള്ള മറ്റ് പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കാൻ, വ്യത്യസ്ത വിതരണങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്. അവയിൽ രണ്ടെണ്ണം F-വിതരണവും x 2 -വിതരണം.
ശരാശരിക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള
ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള- ഇത് പരാമീറ്ററിൻ്റെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യത്തിന് ചുറ്റും നിർമ്മിച്ച ഒരു ഇടവേളയാണ്, കൂടാതെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ചെയ്ത പരാമീറ്ററിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം ഒരു പ്രിയോറി നിർദ്ദിഷ്ട പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് എവിടെയാണെന്ന് കാണിക്കുന്നു.
ശരാശരി മൂല്യത്തിനായുള്ള ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ നിർമ്മാണം സംഭവിക്കുന്നു ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ:
ഉദാഹരണം
ഫാസ്റ്റ് ഫുഡ് റെസ്റ്റോറൻ്റ് ഒരു പുതിയ തരം സാൻഡ്‌വിച്ച് ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ ശേഖരം വിപുലീകരിക്കാൻ പദ്ധതിയിടുന്നു. ഇതിനുള്ള ആവശ്യം കണക്കാക്കുന്നതിനായി, ഇതിനകം പരീക്ഷിച്ചവരിൽ നിന്ന് 40 സന്ദർശകരെ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത് പുതിയ ഉൽപ്പന്നത്തോടുള്ള അവരുടെ മനോഭാവം 1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള സ്കെയിലിൽ റേറ്റുചെയ്യാൻ മാനേജർ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. പ്രതീക്ഷിക്കുന്നത് കണക്കാക്കാൻ മാനേജർ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. പുതിയ ഉൽപ്പന്നത്തിന് ലഭിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം, ഈ എസ്റ്റിമേറ്റിന് 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള. ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യണം? (ഫയൽ SANDWICH1.XLS കാണുക (ടെംപ്ലേറ്റും പരിഹാരവും).
പരിഹാരം
ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ നിങ്ങൾക്ക് ഉപയോഗിക്കാം. ഫലങ്ങൾ ചിത്രത്തിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. 97 
.
മൊത്തം മൂല്യത്തിനായുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള
ചിലപ്പോൾ, സാമ്പിൾ ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച്, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയല്ല, മറിച്ച് കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് മൊത്തം തുകമൂല്യങ്ങൾ. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഓഡിറ്ററുള്ള സാഹചര്യത്തിൽ, ശരാശരി അക്കൗണ്ട് വലുപ്പമല്ല, എല്ലാ അക്കൗണ്ടുകളുടെയും ആകെത്തുക കണക്കാക്കുന്നതിലായിരിക്കാം താൽപ്പര്യം.
എൻ - അനുവദിക്കുക ആകെമൂലകങ്ങൾ, n എന്നത് സാമ്പിൾ വലുപ്പമാണ്, T 3 എന്നത് സാമ്പിളിലെ മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയാണ്, T" എന്നത് മുഴുവൻ ജനസംഖ്യയുടെയും ആകെത്തുകയുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ആണ്, തുടർന്ന് 
, കൂടാതെ കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ കണക്കാക്കുന്നത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ്, ഇവിടെ s എന്നത് സാമ്പിളിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ആണ്, സാമ്പിളിൻ്റെ ശരാശരിയുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ആണ്.
ഉദാഹരണം
ചിലത് പറയട്ടെ നികുതി സേവനം 10,000 നികുതിദായകർക്കുള്ള മൊത്തം നികുതി റീഫണ്ടുകളുടെ തുക കണക്കാക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. നികുതിദായകന് ഒന്നുകിൽ ഒരു റീഫണ്ട് ലഭിക്കും അല്ലെങ്കിൽ അധിക നികുതികൾ അടയ്ക്കുന്നു. 500 ആളുകളുടെ സാമ്പിൾ വലുപ്പം കണക്കാക്കി, റീഫണ്ട് തുകയുടെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക (ഫയൽ AMOUNT OF REFUND.XLS (ടെംപ്ലേറ്റും പരിഹാരവും) കാണുക.
പരിഹാരം
സ്റ്റാറ്റ്പ്രോയ്ക്ക് ഈ കേസിൽ ഒരു പ്രത്യേക നടപടിക്രമം ഇല്ല, എന്നിരുന്നാലും, മുകളിൽ പറഞ്ഞ സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ശരാശരിയുടെ അതിരുകളിൽ നിന്ന് അതിരുകൾ ലഭിക്കുമെന്നത് ശ്രദ്ധിക്കാവുന്നതാണ് (ചിത്രം 98 
).
അനുപാതത്തിനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള
p എന്നത് ക്ലയൻ്റുകളുടെ ഷെയറിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയായിരിക്കട്ടെ, കൂടാതെ n വലുപ്പത്തിൻ്റെ സാമ്പിളിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച ഈ ഷെയറിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് p b ആയിരിക്കട്ടെ. ആവശ്യത്തിന് വലുതായി ഇത് കാണിക്കാം 
ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ p, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്നിവയ്ക്കൊപ്പം മൂല്യനിർണ്ണയ വിതരണം സാധാരണ നിലയിലായിരിക്കും 
. ഈ കേസിൽ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് ഇപ്രകാരം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു 
, ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇങ്ങനെയാണ് 
.
ഉദാഹരണം
ഫാസ്റ്റ് ഫുഡ് റെസ്റ്റോറൻ്റ് ഒരു പുതിയ തരം സാൻഡ്‌വിച്ച് ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ ശേഖരം വിപുലീകരിക്കാൻ പദ്ധതിയിടുന്നു. അതിനുള്ള ഡിമാൻഡ് വിലയിരുത്തുന്നതിനായി, മാനേജർ അത് പരീക്ഷിച്ചവരിൽ നിന്ന് 40 സന്ദർശകരെ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത് പുതിയ ഉൽപ്പന്നത്തോടുള്ള അവരുടെ മനോഭാവം 1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള സ്കെയിലിൽ റേറ്റുചെയ്യാൻ ആവശ്യപ്പെട്ടു. പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന അനുപാതം കണക്കാക്കാൻ മാനേജർ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. പുതിയ ഉൽപ്പന്നത്തെ കുറഞ്ഞത് 6 പോയിൻ്റിൽ കൂടുതൽ റേറ്റുചെയ്യുന്ന ഉപഭോക്താക്കൾ (ഈ ഉപഭോക്താക്കൾ പുതിയ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഉപഭോക്താക്കളായിരിക്കുമെന്ന് അദ്ദേഹം പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു).
പരിഹാരം
തുടക്കത്തിൽ, ക്ലയൻ്റിൻ്റെ റേറ്റിംഗ് 6 പോയിൻ്റിൽ കൂടുതലാണെങ്കിൽ 1 ആട്രിബ്യൂട്ട് അടിസ്ഥാനമാക്കി ഞങ്ങൾ ഒരു പുതിയ കോളം സൃഷ്ടിക്കും, അല്ലാത്തപക്ഷം 0 (ഫയൽ SANDWICH2.XLS (ടെംപ്ലേറ്റും പരിഹാരവും) കാണുക.
രീതി 1
1 ൻ്റെ എണ്ണം കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ ഷെയർ കണക്കാക്കുന്നു, തുടർന്ന് ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുക.
പ്രത്യേക സാധാരണ വിതരണ പട്ടികകളിൽ നിന്നാണ് zcr മൂല്യം എടുത്തിരിക്കുന്നത് (ഉദാഹരണത്തിന്, 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്ക് 1.96).
95% ഇടവേള നിർമ്മിക്കുന്നതിന് ഈ സമീപനവും നിർദ്ദിഷ്ട ഡാറ്റയും ഉപയോഗിച്ച്, ഞങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന ഫലങ്ങൾ നേടുന്നു (ചിത്രം 99 
). നിർണ്ണായക മൂല്യംപാരാമീറ്റർ z cr 1.96 ന് തുല്യമാണ്. എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് 0.077 ആണ്. ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ താഴ്ന്ന പരിധി 0.475 ആണ്. വിശ്വാസ്യത ഇടവേളയുടെ ഉയർന്ന പരിധി 0.775 ആണ്. അതിനാൽ, പുതിയ ഉൽപ്പന്നം 6 പോയിൻ്റോ അതിൽ കൂടുതലോ റേറ്റുചെയ്യുന്ന ഉപഭോക്താക്കളുടെ ശതമാനം 47.5 നും 77.5 നും ഇടയിലായിരിക്കുമെന്ന് 95% ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ വിശ്വസിക്കാൻ മാനേജർക്ക് അവകാശമുണ്ട്.
രീതി 2
സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്റ്റാറ്റ്പ്രോ ടൂളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഈ കേസിലെ വിഹിതം ടൈപ്പ് കോളത്തിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്. അടുത്തതായി ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു സ്റ്റാറ്റ്പ്രോ/സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അനുമാനം/ഒരു-സാമ്പിൾ വിശകലനംടൈപ്പ് കോളത്തിനായി ശരാശരിയുടെ (ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ്) ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിന്. ഈ കേസിൽ ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ 1st രീതിയുടെ ഫലങ്ങളോട് വളരെ അടുത്തായിരിക്കും (ചിത്രം 99).
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ആയി s ഉപയോഗിക്കുന്നു (ഫോർമുല സെക്ഷൻ 1 ൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു). എസ്റ്റിമേറ്റ് s ൻ്റെ സാന്ദ്രത ഫംഗ്‌ഷൻ ചി-സ്‌ക്വയർ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, ടി-ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പോലെ, n-1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യമുണ്ട്. ഈ വിതരണത്തിൽ CHIDIST, CHIINV എന്നിവയ്ക്കൊപ്പം പ്രവർത്തിക്കുന്നതിന് പ്രത്യേക ഫംഗ്‌ഷനുകളുണ്ട്.
ഈ കേസിലെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇനി സമമിതി ആയിരിക്കില്ല. ഒരു പരമ്പരാഗത അതിർത്തി ഡയഗ്രം ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 100
ഉദാഹരണം
യന്ത്രം 10 സെൻ്റീമീറ്റർ വ്യാസമുള്ള ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിക്കണം.എന്നിരുന്നാലും, വിവിധ സാഹചര്യങ്ങൾ കാരണം, പിശകുകൾ സംഭവിക്കുന്നു. ഗുണനിലവാര കൺട്രോളർ രണ്ട് സാഹചര്യങ്ങളെക്കുറിച്ച് ആശങ്കാകുലരാണ്: ഒന്നാമതായി, ശരാശരി മൂല്യം 10 സെൻ്റീമീറ്റർ ആയിരിക്കണം; രണ്ടാമതായി, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പോലും, വ്യതിയാനങ്ങൾ വലുതാണെങ്കിൽ, പല ഭാഗങ്ങളും നിരസിക്കപ്പെടും. എല്ലാ ദിവസവും അവൻ 50 ഭാഗങ്ങളുടെ ഒരു സാമ്പിൾ ഉണ്ടാക്കുന്നു (ഫയൽ ഗുണനിലവാര നിയന്ത്രണം.XLS (ടെംപ്ലേറ്റും പരിഹാരവും കാണുക). അത്തരമൊരു സാമ്പിളിന് എന്ത് നിഗമനങ്ങളാണ് നൽകാൻ കഴിയുക?
പരിഹാരം
ശരാശരി, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്നിവയ്ക്കായി നമുക്ക് 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കാം സ്റ്റാറ്റ്പ്രോ/സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അനുമാനം/ഒരു-സാമ്പിൾ വിശകലനം(ചിത്രം 101 
).
അടുത്തതായി, വ്യാസങ്ങളുടെ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ അനുമാനം ഉപയോഗിച്ച്, വികലമായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ അനുപാതം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു, പരമാവധി വ്യതിയാനം 0.065 ആയി സജ്ജമാക്കുന്നു. സബ്സ്റ്റിറ്റ്യൂഷൻ ടേബിളിൻ്റെ (രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകളുടെ കാര്യം) കഴിവുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, ശരാശരി മൂല്യത്തിലും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനിലുമുള്ള വൈകല്യങ്ങളുടെ അനുപാതത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നത് ഞങ്ങൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു (ചിത്രം 102 
).
രണ്ട് മാർഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള
ഇത് ഏറ്റവും കൂടുതൽ ഒന്നാണ് പ്രധാനപ്പെട്ട ആപ്ലിക്കേഷനുകൾസ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ രീതികൾ. സാഹചര്യങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ.
ഒരു വസ്ത്ര സ്റ്റോർ മാനേജർ ശരാശരി പുരുഷ ഉപഭോക്താവിനേക്കാൾ ശരാശരി സ്ത്രീ ഉപഭോക്താവ് സ്റ്റോറിൽ എത്ര കൂടുതലോ കുറവോ ചെലവഴിക്കുന്നുവെന്ന് അറിയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.
രണ്ട് എയർലൈനുകളും ഒരേ റൂട്ടുകളിൽ പറക്കുന്നു. ഒരു ഉപഭോക്തൃ ഓർഗനൈസേഷൻ രണ്ട് എയർലൈനുകൾക്കും പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ശരാശരി ഫ്ലൈറ്റ് കാലതാമസ സമയങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം താരതമ്യം ചെയ്യാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.
കമ്പനി കൂപ്പണുകൾ അയയ്ക്കുന്നു വ്യക്തിഗത സ്പീഷീസ്ഒരു നഗരത്തിലെ സാധനങ്ങൾ മറ്റൊന്നിലേക്ക് അയക്കുന്നില്ല. അടുത്ത രണ്ട് മാസത്തിനുള്ളിൽ ഈ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ശരാശരി വാങ്ങൽ അളവുകൾ താരതമ്യം ചെയ്യാൻ മാനേജർമാർ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.
ഒരു കാർ ഡീലർ പലപ്പോഴും വിവാഹിതരായ ദമ്പതികളുമായി അവതരണങ്ങളിൽ ഇടപഴകുന്നു. അവതരണത്തോടുള്ള അവരുടെ വ്യക്തിപരമായ പ്രതികരണങ്ങൾ മനസിലാക്കാൻ, ദമ്പതികൾ പലപ്പോഴും പ്രത്യേകം അഭിമുഖം നടത്താറുണ്ട്. പുരുഷന്മാരും സ്ത്രീകളും നൽകുന്ന റേറ്റിംഗിലെ വ്യത്യാസം വിലയിരുത്താൻ മാനേജർ ആഗ്രഹിക്കുന്നു.
സ്വതന്ത്ര സാമ്പിളുകളുടെ കേസ്
മാർഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് n 1 + n 2 - 2 ഡിഗ്രി ഫ്രീസുള്ള ടി-ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉണ്ടായിരിക്കും. μ 1 - μ 2 എന്നതിനായുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ഈ ബന്ധത്താൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
മുകളിലുള്ള ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് മാത്രമല്ല, സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്റ്റാറ്റ്പ്രോ ടൂളുകൾ ഉപയോഗിച്ചും ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ കഴിയും. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അത് ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി
അനുപാതങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള
ഓഹരികളുടെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാകട്ടെ. യഥാക്രമം n 1, n 2 എന്നീ വലുപ്പത്തിലുള്ള സാമ്പിളുകളിൽ നിന്ന് നിർമ്മിച്ച അവയുടെ സാമ്പിൾ എസ്റ്റിമേറ്റ് ആകട്ടെ. പിന്നെ വ്യത്യാസം ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ആണ്. അതിനാൽ, ഈ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇപ്രകാരം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
ഇവിടെ z cr എന്നത് പ്രത്യേക പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിൽ നിന്ന് ലഭിക്കുന്ന ഒരു മൂല്യമാണ് (ഉദാഹരണത്തിന്, 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്ക് 1.96).
എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഈ ബന്ധത്തിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:
.
ഉദാഹരണം
ഒരു വലിയ വിൽപ്പനയ്ക്ക് തയ്യാറെടുക്കുന്ന സ്റ്റോർ ഇനിപ്പറയുന്ന ഘട്ടങ്ങൾ സ്വീകരിച്ചു: മാർക്കറ്റിംഗ് ഗവേഷണം. 300 പേരെ തിരഞ്ഞെടുത്തു മികച്ച വാങ്ങുന്നവർ, അത് ക്രമരഹിതമായി 150 അംഗങ്ങൾ വീതമുള്ള രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. തിരഞ്ഞെടുത്ത എല്ലാ വാങ്ങുന്നവർക്കും വിൽപ്പനയിൽ പങ്കെടുക്കാൻ ക്ഷണങ്ങൾ അയച്ചു, എന്നാൽ ആദ്യത്തെ ഗ്രൂപ്പിലെ അംഗങ്ങൾക്ക് മാത്രമേ അവർക്ക് 5% കിഴിവ് നൽകുന്ന കൂപ്പൺ ലഭിച്ചു. വിൽപ്പനയ്ക്കിടെ, തിരഞ്ഞെടുത്ത 300 വാങ്ങുന്നവരുടെയും വാങ്ങലുകൾ രേഖപ്പെടുത്തി. ഒരു മാനേജർക്ക് എങ്ങനെ ഫലങ്ങൾ വ്യാഖ്യാനിക്കാനും കൂപ്പണുകളുടെ ഫലപ്രാപ്തിയെക്കുറിച്ച് ഒരു വിധി പറയാനും കഴിയും? (ഫയൽ COUPONS.XLS (ടെംപ്ലേറ്റും പരിഹാരവും) കാണുക).
പരിഹാരം
ഞങ്ങളുടെ പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ, കിഴിവ് കൂപ്പൺ ലഭിച്ച 150 ഉപഭോക്താക്കളിൽ, 55 പേർ വിൽപ്പനയ്ക്ക് ശേഷം ഒരു വാങ്ങൽ നടത്തി, കൂടാതെ ഒരു കൂപ്പൺ ലഭിക്കാത്ത 150 പേരിൽ 35 പേർ മാത്രമാണ് വാങ്ങിയത് (ചിത്രം 103). 
). അപ്പോൾ സാമ്പിൾ അനുപാതങ്ങളുടെ മൂല്യങ്ങൾ യഥാക്രമം 0.3667 ഉം 0.2333 ഉം ആണ്. അവ തമ്മിലുള്ള സാമ്പിൾ വ്യത്യാസം യഥാക്രമം 0.1333 ന് തുല്യമാണ്. 95% കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, സാധാരണ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ടേബിളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു z cr = 1.96. സാമ്പിൾ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശകിൻ്റെ കണക്കുകൂട്ടൽ 0.0524 ആണ്. 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ താഴ്ന്ന പരിധി 0.0307 ആണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഒടുവിൽ കണ്ടെത്തി, കൂടാതെ ഉയർന്ന പരിധിയഥാക്രമം 0.2359. കിഴിവ് കൂപ്പൺ ലഭിച്ച ഓരോ 100 ഉപഭോക്താക്കൾക്കും 3 മുതൽ 23 വരെ പുതിയ ഉപഭോക്താക്കളെ പ്രതീക്ഷിക്കാവുന്ന തരത്തിൽ ലഭിച്ച ഫലങ്ങൾ വ്യാഖ്യാനിക്കാൻ കഴിയും. എന്നിരുന്നാലും, ഈ നിഗമനം കൂപ്പണുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലപ്രാപ്തിയെ അർത്ഥമാക്കുന്നില്ലെന്ന് നാം ഓർക്കണം (ഒരു കിഴിവ് നൽകുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾക്ക് ലാഭം നഷ്ടപ്പെടും!). നിർദ്ദിഷ്ട ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ഇത് തെളിയിക്കാം. നമുക്ക് അത് നടിക്കാം ശരാശരി വലിപ്പംവാങ്ങൽ 400 റൂബിളുകൾക്ക് തുല്യമാണ്, അതിൽ 50 റൂബിൾസ്. കടയ്ക്ക് ലാഭമുണ്ട്. അപ്പോൾ കൂപ്പൺ ലഭിക്കാത്ത 100 ഉപഭോക്താക്കളിൽ നിന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന ലാഭം ഇതാണ്:
50 0.2333 100 = 1166.50 റബ്.
ഒരു കൂപ്പൺ ലഭിച്ച 100 ഉപഭോക്താക്കൾക്ക് സമാനമായ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നൽകുന്നു:
30 0.3667 100 = 1100.10 തടവുക.
ശരാശരി ലാഭം 30 ആയി കുറയുന്നത്, കിഴിവ് ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു കൂപ്പൺ ലഭിച്ച ഉപഭോക്താക്കൾ ശരാശരി 380 റുബിളിന് വാങ്ങും എന്ന വസ്തുത വിശദീകരിക്കുന്നു.
അതിനാൽ, ഈ പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ അത്തരം കൂപ്പണുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലപ്രാപ്തിയില്ലായ്മയെ അന്തിമ നിഗമനം സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
അഭിപ്രായം. സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്റ്റാറ്റ്പ്രോ ടൂളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അത് കുറയ്ക്കാൻ മതിയാകും ഈ ചുമതലരീതി ഉപയോഗിച്ച് രണ്ട് ശരാശരികൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിലേക്ക്, തുടർന്ന് പ്രയോഗിക്കുക സ്റ്റാറ്റ്പ്രോ/സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അനുമാനം/രണ്ട്-സാമ്പിൾ വിശകലനംരണ്ട് ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിന്.
കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ദൈർഘ്യം നിയന്ത്രിക്കുന്നു
ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ ദൈർഘ്യം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ :
ഡാറ്റ നേരിട്ട് (സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ);
പ്രാധാന്യത്തിൻ്റെ നില;
സാമ്പിൾ വലിപ്പം.
ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള സാമ്പിൾ വലുപ്പം
ആദ്യം, പൊതുവായ കേസിൽ പ്രശ്നം പരിഗണിക്കാം. നമുക്ക് നൽകിയിരിക്കുന്ന കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളയുടെ പകുതി നീളത്തിൻ്റെ മൂല്യം ബി ആയി സൂചിപ്പിക്കാം (ചിത്രം 104 
). ചില റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യത്തിനായുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ഇങ്ങനെയാണ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതെന്ന് നമുക്കറിയാം 
, എവിടെ 
. വിശ്വസിക്കുന്നു:
കൂടാതെ n പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത്, നമുക്ക് ലഭിക്കും .
നിർഭാഗ്യവശാൽ, കൃത്യമായ മൂല്യംറാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വ്യത്യാസം നമുക്കറിയില്ല. കൂടാതെ, tcr-ൻ്റെ മൂല്യം ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല, കാരണം അത് സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്നവ ചെയ്യാൻ കഴിയും. വ്യതിയാനങ്ങൾക്കുപകരം, പഠനത്തിൻ കീഴിലുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ലഭ്യമായ ഏതെങ്കിലും നടപ്പാക്കലുകളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ചില എസ്റ്റിമേറ്റ് ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. t cr മൂല്യത്തിന് പകരം, ഞങ്ങൾ സാധാരണ വിതരണത്തിനായി z cr മൂല്യം ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇത് തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ്, കാരണം സാധാരണ, ടി-ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകൾക്കുള്ള വിതരണ സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനങ്ങൾ വളരെ അടുത്താണ് (ചെറിയ n ഒഴികെ). അതിനാൽ, ആവശ്യമായ ഫോർമുല ഫോം എടുക്കുന്നു:
.
ഫോർമുല സാധാരണയായി പറഞ്ഞാൽ, പൂർണ്ണസംഖ്യ അല്ലാത്ത ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നതിനാൽ, ഫലത്തിൻ്റെ അധികമുള്ള റൗണ്ടിംഗ് ആവശ്യമുള്ള സാമ്പിൾ വലുപ്പമായി കണക്കാക്കുന്നു.
ഉദാഹരണം
ഫാസ്റ്റ് ഫുഡ് റെസ്റ്റോറൻ്റ് ഒരു പുതിയ തരം സാൻഡ്‌വിച്ച് ഉപയോഗിച്ച് അതിൻ്റെ ശേഖരം വിപുലീകരിക്കാൻ പദ്ധതിയിടുന്നു. അതിനുള്ള ഡിമാൻഡ് വിലയിരുത്തുന്നതിനായി, മാനേജർ ഇത് പരീക്ഷിച്ചവരിൽ നിന്ന് ക്രമരഹിതമായി നിരവധി സന്ദർശകരെ തിരഞ്ഞെടുത്ത് പുതിയ ഉൽപ്പന്നത്തോടുള്ള അവരുടെ മനോഭാവം 1 മുതൽ 10 വരെയുള്ള സ്കെയിലിൽ റേറ്റുചെയ്യാൻ ആവശ്യപ്പെടുന്നു. മാനേജർ കണക്കാക്കാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. പുതിയ ഉൽപ്പന്നത്തിന് ഉൽപ്പന്നം ലഭിക്കുമെന്നും ഈ എസ്റ്റിമേറ്റിനായി 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കുമെന്നും പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം. അതേ സമയം, ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ പകുതി വീതി 0.3 കവിയരുതെന്ന് അദ്ദേഹം ആഗ്രഹിക്കുന്നു. അഭിമുഖം നടത്താൻ അദ്ദേഹത്തിന് എത്ര സന്ദർശകരെ വേണം?
ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ:
ഇവിടെ ആർ ഒടിഎസ്അനുപാതം p യുടെ ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ആണ്, കൂടാതെ B എന്നത് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ പകുതി ദൈർഘ്യമാണ്. മൂല്യം ഉപയോഗിച്ച് n-നുള്ള ഒരു ഓവർ എസ്റ്റിമേറ്റ് ലഭിക്കും ആർ ഒടിഎസ്= 0.5. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, p യുടെ ഏതെങ്കിലും യഥാർത്ഥ മൂല്യത്തിന് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ ദൈർഘ്യം നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം B-യെ കവിയരുത്.
ഉദാഹരണം
ഒരു പുതിയ തരം ഉൽപ്പന്നം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന ഉപഭോക്താക്കളുടെ പങ്ക് കണക്കാക്കാൻ മുൻ ഉദാഹരണത്തിൽ നിന്നുള്ള മാനേജരെ അനുവദിക്കുക. പകുതി നീളം 0.05 കവിയാത്ത 90% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കാൻ അവൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. റാൻഡം സാമ്പിളിൽ എത്ര ക്ലയൻ്റുകളെ ഉൾപ്പെടുത്തണം?
പരിഹാരം
ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, z cr = 1.645 ൻ്റെ മൂല്യം. അതിനാൽ, ആവശ്യമായ അളവ് കണക്കാക്കുന്നു 
.
ആവശ്യമുള്ള പി-മൂല്യം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഏകദേശം 0.3 ആണെന്ന് മാനേജർക്ക് വിശ്വസിക്കാൻ കാരണമുണ്ടെങ്കിൽ, ഈ മൂല്യം മുകളിലുള്ള ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ റാൻഡം സാമ്പിൾ മൂല്യം ലഭിക്കും, അതായത് 228.
നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല രണ്ട് മാർഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമുണ്ടെങ്കിൽ ക്രമരഹിതമായ സാമ്പിൾ വലുപ്പംഇങ്ങനെ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:
.
ഉദാഹരണം
ചില കമ്പ്യൂട്ടർ കമ്പനികൾക്ക് ഒരു ഉപഭോക്തൃ സേവന കേന്ദ്രമുണ്ട്. IN ഈയിടെയായിസേവനത്തിൻ്റെ മോശം ഗുണനിലവാരത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ഉപഭോക്തൃ പരാതികളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിച്ചു. IN സേവന കേന്ദ്രംപ്രധാനമായും രണ്ട് തരം ജോലിക്കാരുണ്ട്: അധികം പരിചയമില്ലാത്തവരും, എന്നാൽ പ്രത്യേക പ്രിപ്പറേറ്ററി കോഴ്സുകൾ പൂർത്തിയാക്കിയവരും, വിപുലമായ പ്രായോഗിക പരിചയമുള്ളവരും എന്നാൽ പ്രത്യേക കോഴ്സുകൾ പൂർത്തിയാക്കാത്തവരും. കഴിഞ്ഞ ആറ് മാസത്തെ ഉപഭോക്തൃ പരാതികൾ വിശകലനം ചെയ്യാനും രണ്ട് കൂട്ടം ജീവനക്കാരുടെ ശരാശരി പരാതികളുടെ എണ്ണം താരതമ്യം ചെയ്യാനും കമ്പനി ആഗ്രഹിക്കുന്നു. രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളുടെയും സാമ്പിളുകളിലെ അക്കങ്ങൾ ഒന്നായിരിക്കുമെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു. 2 ൽ കൂടാത്ത പകുതി ദൈർഘ്യമുള്ള 95% ഇടവേള ലഭിക്കുന്നതിന് എത്ര ജീവനക്കാരെ സാമ്പിളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തണം?
പരിഹാരം
ഇവിടെ σ ots എന്നത് രണ്ട് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ ഒരു ഏകദേശമാണ്. അതിനാൽ, ഞങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തിൽ എങ്ങനെയെങ്കിലും ഈ എസ്റ്റിമേറ്റ് നേടേണ്ടതുണ്ട്. ഇത് ചെയ്യാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ. കഴിഞ്ഞ ആറ് മാസത്തെ ഉപഭോക്തൃ പരാതികളുടെ ഡാറ്റ പരിശോധിച്ച ശേഷം, ഓരോ ജീവനക്കാരനും സാധാരണയായി 6 മുതൽ 36 വരെ പരാതികൾ ലഭിക്കുന്നത് മാനേജർ ശ്രദ്ധിച്ചേക്കാം. ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിന് മിക്കവാറും എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും ശരാശരിയിൽ നിന്ന് മൂന്നിരട്ടിയിൽ കൂടുതൽ നീക്കം ചെയ്യപ്പെടുന്നില്ല സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനങ്ങൾ, അവൻ ന്യായമായും വിശ്വസിച്ചേക്കാം:
, എവിടെ നിന്ന് σ ots = 5.
ഈ മൂല്യം ഫോർമുലയിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും 
.
നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല അനുപാതങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം കണക്കാക്കുമ്പോൾ ക്രമരഹിതമായ സാമ്പിൾ വലുപ്പംഫോം ഉണ്ട്:
ഉദാഹരണം
ചില കമ്പനികൾക്ക് സമാനമായ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്ന രണ്ട് ഫാക്ടറികളുണ്ട്. രണ്ട് ഫാക്ടറികളിലെയും കേടായ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ശതമാനം താരതമ്യം ചെയ്യാൻ ഒരു കമ്പനി മാനേജർ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ലഭ്യമായ വിവരങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, രണ്ട് ഫാക്ടറികളിലെയും വൈകല്യ നിരക്ക് 3 മുതൽ 5% വരെയാണ്. 0.005 (അല്ലെങ്കിൽ 0.5%)-ൽ കൂടാത്ത പകുതി ദൈർഘ്യമുള്ള 99% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കാനാണ് ഇത് ഉദ്ദേശിക്കുന്നത്. ഓരോ ഫാക്ടറിയിൽ നിന്നും എത്ര ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുക്കണം?
പരിഹാരം
ഇവിടെ p 1ots ഉം p 2ots ഉം 1-ഉം 2-ഉം ഫാക്ടറിയിലെ തകരാറുകളുടെ രണ്ട് അജ്ഞാത ഷെയറുകളുടെ ഏകദേശമാണ്. നമ്മൾ p 1ots = p 2ots = 0.5 ഇട്ടാൽ, n ന് അമിതമായി കണക്കാക്കിയ മൂല്യം ലഭിക്കും. എന്നാൽ ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ ഈ ഷെയറുകളെ കുറിച്ച് ചില മുൻകൂർ വിവരങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ, ഈ ഷെയറുകളുടെ ഉയർന്ന എസ്റ്റിമേറ്റ് ഞങ്ങൾ എടുക്കുന്നു, അതായത് 0.05. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു
സാമ്പിൾ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് ചില പോപ്പുലേഷൻ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, അത് മാത്രമല്ല നൽകുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ് പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ്പരാമീറ്റർ, എന്നാൽ കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററിൻ്റെ കൃത്യമായ മൂല്യം എവിടെയാണെന്ന് കാണിക്കുന്ന ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഈ അധ്യായത്തിൽ, വിവിധ പാരാമീറ്ററുകൾക്കായി അത്തരം ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്ന അളവിലുള്ള ബന്ധങ്ങളെക്കുറിച്ചും ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെട്ടു; ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ ദൈർഘ്യം നിയന്ത്രിക്കാനുള്ള വഴികൾ പഠിച്ചു.
സാമ്പിൾ വലുപ്പങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം (ഒരു പരീക്ഷണം ആസൂത്രണം ചെയ്യുന്നതിലെ പ്രശ്നം) സ്റ്റാൻഡേർഡ് സ്റ്റാറ്റ്പ്രോ ടൂളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പരിഹരിക്കാനാകുമെന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക. സ്റ്റാറ്റ്പ്രോ/സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അനുമാനം/സാമ്പിൾ സൈസ് സെലക്ഷൻ.
"കാട്രെൻ-സ്റ്റൈൽ" കോൺസ്റ്റാൻ്റിൻ ക്രാവ്ചിക്കിൻ്റെ സൈക്കിളിൻ്റെ പ്രസിദ്ധീകരണം തുടരുന്നു മെഡിക്കൽ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ. മുമ്പത്തെ രണ്ട് ലേഖനങ്ങളിൽ, രചയിതാവ് തുടങ്ങിയ ആശയങ്ങളുടെ വിശദീകരണം കൈകാര്യം ചെയ്തു.
കോൺസ്റ്റാൻ്റിൻ ക്രാവ്ചിക്
ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ-അനലിസ്റ്റ്. മേഖലയിലെ സ്പെഷ്യലിസ്റ്റ് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഗവേഷണംവൈദ്യശാസ്ത്രത്തിലും മാനവികതയിലും
മോസ്കോ നഗരം
പലപ്പോഴും ലേഖനങ്ങളിൽ ക്ലിനിക്കൽ ഗവേഷണംനിങ്ങൾക്ക് ഒരു നിഗൂഢ വാചകം കാണാൻ കഴിയും: "ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള" (95 % CI അല്ലെങ്കിൽ 95 % CI - ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള). ഉദാഹരണത്തിന്, ലേഖനം എഴുതാം: "വ്യത്യാസങ്ങളുടെ പ്രാധാന്യം വിലയിരുത്താൻ, ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചു വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടി-ടെസ്റ്റ് 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ കണക്കുകൂട്ടലിനൊപ്പം.
“95 % ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ” മൂല്യം എന്താണ്, എന്തിനാണ് അത് കണക്കാക്കുന്നത്?
എന്താണ് ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള? - യഥാർത്ഥ ജനസംഖ്യ നുണയെ അർത്ഥമാക്കുന്ന പരിധിയാണിത്. "അസത്യമായ" ശരാശരി ഉണ്ടോ? ഒരർത്ഥത്തിൽ, അതെ, അവർ ചെയ്യുന്നു. മുഴുവൻ ജനസംഖ്യയിലും താൽപ്പര്യത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്റർ അളക്കുന്നത് അസാധ്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ വിശദീകരിച്ചു, അതിനാൽ ഗവേഷകർ പരിമിതമായ സാമ്പിളിൽ സംതൃപ്തരാണ്. ഈ സാമ്പിളിൽ (ഉദാഹരണത്തിന്, ശരീരഭാരത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി) ഒരു ശരാശരി മൂല്യം (ഒരു നിശ്ചിത ഭാരം) ഉണ്ട്, അതിലൂടെ മൊത്തം ജനസംഖ്യയിലെ ശരാശരി മൂല്യം ഞങ്ങൾ വിലയിരുത്തുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഒരു സാമ്പിളിലെ ശരാശരി ഭാരം (പ്രത്യേകിച്ച് ചെറിയ ഒന്ന്) സാധാരണ ജനസംഖ്യയിലെ ശരാശരി ഭാരവുമായി പൊരുത്തപ്പെടാൻ സാധ്യതയില്ല. അതിനാൽ, ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി കണക്കാക്കുന്നതും ഉപയോഗിക്കുന്നതും കൂടുതൽ ശരിയാണ്.
ഉദാഹരണത്തിന്, ഹീമോഗ്ലോബിനുള്ള 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള (95% CI) 110 മുതൽ 122 g/L വരെയാണെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. ജനസംഖ്യയിലെ യഥാർത്ഥ ശരാശരി ഹീമോഗ്ലോബിൻ മൂല്യം 110 നും 122 g/L നും ഇടയിലായിരിക്കാൻ 95% സാധ്യതയുണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഞങ്ങൾക്ക് അറിയില്ല ശരാശരിസാധാരണ ജനങ്ങളിൽ ഹീമോഗ്ലോബിൻ, എന്നാൽ 95 % സാധ്യതയുള്ള ഈ സ്വഭാവത്തിന് മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണി സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും.
കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകൾ ഗ്രൂപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള മാർഗങ്ങളിലെ വ്യത്യാസങ്ങൾക്ക് അല്ലെങ്കിൽ അവയെ വിളിക്കുന്ന ഇഫക്റ്റ് വലുപ്പങ്ങൾക്ക് പ്രത്യേകിച്ചും പ്രസക്തമാണ്.
രണ്ട് ഇരുമ്പ് തയ്യാറെടുപ്പുകളുടെ ഫലപ്രാപ്തി ഞങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്തുവെന്ന് പറയാം: ഒന്ന് വളരെക്കാലമായി വിപണിയിൽ ഉള്ളതും ഇപ്പോൾ രജിസ്റ്റർ ചെയ്തതും. തെറാപ്പി കോഴ്സിന് ശേഷം, രോഗികളുടെ പഠന ഗ്രൂപ്പുകളിലെ ഹീമോഗ്ലോബിൻ സാന്ദ്രത ഞങ്ങൾ വിലയിരുത്തി, രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകളുടെയും ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 1.72 മുതൽ 1.72 വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ 95% സാധ്യതയുണ്ടെന്ന് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പ്രോഗ്രാം കണക്കാക്കി. 14.36 g/l (പട്ടിക 1).
മേശ 1. സ്വതന്ത്ര സാമ്പിളുകൾക്കായുള്ള പരിശോധന
(ഗ്രൂപ്പുകളെ ഹീമോഗ്ലോബിൻ അളവ് താരതമ്യം ചെയ്യുന്നു)
ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ വ്യാഖ്യാനിക്കണം: എടുക്കുന്ന സാധാരണ ജനങ്ങളിൽ ചില രോഗികളിൽ പുതിയ മരുന്ന്, ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്ന മരുന്ന് കഴിച്ചവരേക്കാൾ ഹീമോഗ്ലോബിൻ ശരാശരി 1.72-14.36 g/l കൂടുതലായിരിക്കും.
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സാധാരണ ജനസംഖ്യയിൽ, ഗ്രൂപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള ശരാശരി ഹീമോഗ്ലോബിൻ മൂല്യങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം ഈ പരിധിക്കുള്ളിൽ 95% സാധ്യതയുണ്ട്. ഇത് പലതാണോ കുറവാണോ എന്ന് വിലയിരുത്തേണ്ടത് ഗവേഷകനാണ്. ഞങ്ങൾ ഒരു ശരാശരി മൂല്യത്തിലല്ല പ്രവർത്തിക്കുന്നത്, മറിച്ച് മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു ശ്രേണി ഉപയോഗിച്ചാണ്, അതിനാൽ, ഗ്രൂപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള ഒരു പാരാമീറ്ററിലെ വ്യത്യാസം ഞങ്ങൾ കൂടുതൽ വിശ്വസനീയമായി കണക്കാക്കുന്നു.
സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ പാക്കേജുകളിൽ, ഗവേഷകൻ്റെ വിവേചനാധികാരത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് സ്വതന്ത്രമായി ഇടുങ്ങിയതാക്കാം അല്ലെങ്കിൽ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ അതിരുകൾ വികസിപ്പിക്കാം. കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ പ്രോബബിലിറ്റികൾ കുറയ്ക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ മാർഗങ്ങളുടെ പരിധി ചുരുക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, 90 % CI-ൽ, മാർഗങ്ങളുടെ പരിധി (അല്ലെങ്കിൽ മാർഗങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം) 95% എന്നതിനേക്കാൾ ഇടുങ്ങിയതായിരിക്കും.
നേരെമറിച്ച്, പ്രോബബിലിറ്റി 99 % ആയി വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നത് മൂല്യങ്ങളുടെ പരിധി വികസിപ്പിക്കുന്നു. ഗ്രൂപ്പുകളെ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, CI യുടെ താഴ്ന്ന പരിധി പൂജ്യം മാർക്ക് കടന്നേക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങൾ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ അതിരുകൾ 99 % ആയി വികസിപ്പിച്ചാൽ, ഇടവേളയുടെ അതിരുകൾ –1 മുതൽ 16 g/l വരെയാണ്. ഇതിനർത്ഥം, സാധാരണ ജനസംഖ്യയിൽ ഗ്രൂപ്പുകൾ ഉണ്ട്, പഠിക്കുന്ന സ്വഭാവത്തിന് തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം 0 (M = 0) ന് തുല്യമാണ്.
ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് പരിശോധിക്കാം സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അനുമാനങ്ങൾ. കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ പൂജ്യം മൂല്യത്തെ മറികടക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഗ്രൂപ്പുകൾ പഠിക്കുന്ന പരാമീറ്ററിൽ വ്യത്യാസമില്ലെന്ന് അനുമാനിക്കുന്ന നൾ ഹൈപ്പോതെസിസ് ശരിയാണ്. ഞങ്ങൾ അതിരുകൾ 99 % ആയി വികസിപ്പിച്ച ഉദാഹരണം മുകളിൽ വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. പൊതുസമൂഹത്തിൽ എവിടെയോ ഒരു തരത്തിലും വ്യത്യാസമില്ലാത്ത ഗ്രൂപ്പുകളെ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.
ഹീമോഗ്ലോബിൻ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള, (g/l)
രണ്ട് ഗ്രൂപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള ശരാശരി ഹീമോഗ്ലോബിൻ മൂല്യങ്ങളിലെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ചിത്രം കാണിക്കുന്നു. ലൈൻ പൂജ്യം അടയാളത്തിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു, അതിനാൽ പൂജ്യത്തിൻ്റെ മാർഗങ്ങൾ തമ്മിൽ വ്യത്യാസമുണ്ട്, ഇത് ഗ്രൂപ്പുകൾ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിട്ടില്ലെന്ന ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തത്തെ സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു. ഗ്രൂപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ പരിധി –2 മുതൽ 5 ഗ്രാം/എൽ വരെയാണ്. ഇതിനർത്ഥം ഹീമോഗ്ലോബിൻ ഒന്നുകിൽ 2 g/L കുറയുകയോ 5 g/L കൂടുകയോ ചെയ്യാം.
ആത്മവിശ്വാസത്തിൻ്റെ ഇടവേള വളരെ കൂടുതലാണ് പ്രധാന സൂചകം. ഇതിന് നന്ദി, ഗ്രൂപ്പുകളിലെ വ്യത്യാസങ്ങൾ യഥാർത്ഥത്തിൽ മാർഗങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം മൂലമാണോ അതോ ഒരു വലിയ സാമ്പിൾ മൂലമാണോ എന്ന് നിങ്ങൾക്ക് കാണാൻ കഴിയും, കാരണം ഒരു വലിയ സാമ്പിളിൽ വ്യത്യാസങ്ങൾ കണ്ടെത്താനുള്ള സാധ്യത ചെറിയ ഒന്നിനേക്കാൾ കൂടുതലാണ്.
പ്രായോഗികമായി ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടാം. ഞങ്ങൾ 1000 ആളുകളുടെ ഒരു സാമ്പിൾ എടുത്തു, ഹീമോഗ്ലോബിൻ്റെ അളവ് അളന്നു, മാർഗങ്ങളിലെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള 1.2 മുതൽ 1.5 g/l വരെയാണ്. ഈ കേസിൽ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യത്തിൻ്റെ നില പി
ഹീമോഗ്ലോബിൻ സാന്ദ്രത വർദ്ധിച്ചതായി ഞങ്ങൾ കാണുന്നു, പക്ഷേ ഏതാണ്ട് അദൃശ്യമായി, അതിനാൽ, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യംസാമ്പിൾ വലുപ്പം കാരണം കൃത്യമായി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു.
കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകൾ മാർഗങ്ങൾക്കായി മാത്രമല്ല, അനുപാതങ്ങൾക്കും (റിസ്ക് അനുപാതങ്ങൾക്കും) കണക്കാക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു വികസിപ്പിച്ച മരുന്ന് കഴിക്കുമ്പോൾ ആശ്വാസം നേടിയ രോഗികളുടെ അനുപാതത്തിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. അനുപാതങ്ങൾക്കുള്ള 95 % CI, അതായത്, അത്തരം രോഗികളുടെ അനുപാതത്തിന്, 0.60-0.80 പരിധിയിലാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അങ്ങനെ, നമ്മുടെ മരുന്ന് ഉണ്ട് എന്ന് പറയാം ചികിത്സാ പ്രഭാവം 60 മുതൽ 80% വരെ കേസുകൾ.
ചില സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരേ തരത്തിലുള്ള പച്ചക്കറികളുടെ പൂർണ്ണമായ വെയർഹൗസ്, വലിപ്പവും ഭാരവും വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു) സാധാരണ വിതരണമുള്ള ധാരാളം ഇനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. മുഴുവൻ ബാച്ച് ചരക്കുകളുടെയും ശരാശരി സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ അറിയാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഓരോ പച്ചക്കറിയും അളക്കാനും തൂക്കാനും നിങ്ങൾക്ക് സമയമോ ആഗ്രഹമോ ഇല്ല. ഇത് ആവശ്യമില്ലെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു. എന്നാൽ ഒരു സ്പോട്ട് ചെക്കിന് എത്ര കഷണങ്ങൾ എടുക്കണം?
ഈ സാഹചര്യത്തിന് ഉപയോഗപ്രദമായ നിരവധി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നൽകുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് ചില നൊട്ടേഷൻ ഓർമ്മിക്കാം.
ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ പച്ചക്കറികളുടെ മുഴുവൻ സംഭരണശാലയും അളന്നാൽ (ഈ മൂലകങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ പൊതു ജനസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു), അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭ്യമായ എല്ലാ കൃത്യതയോടെയും മുഴുവൻ ബാച്ചിൻ്റെയും ശരാശരി ഭാരം നമുക്ക് അറിയാം. ഇതിനെ ശരാശരി എന്ന് വിളിക്കാം X ശരാശരി .g en . - പൊതു ശരാശരി. അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യവും വ്യതിയാനവും അറിയാമെങ്കിൽ പൂർണ്ണമായി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാം . ശരിയാണ്, നമ്മൾ X ശരാശരി തലമുറയോ അല്ലഎസ് പൊതുസമൂഹത്തെ നമുക്ക് അറിയില്ല. നമുക്ക് ഒരു നിശ്ചിത സാമ്പിൾ എടുക്കാനും ആവശ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ അളക്കാനും ഈ സാമ്പിളിനായി ശരാശരി മൂല്യം X ശരാശരിയും S തിരഞ്ഞെടുത്ത സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും കണക്കാക്കാനും മാത്രമേ കഴിയൂ.
ഞങ്ങളുടെ സാമ്പിൾ പരിശോധനയിൽ ധാരാളം ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് അറിയാം (സാധാരണയായി n 30 ൽ കൂടുതലാണ്), അവ എടുക്കും ശരിക്കും ക്രമരഹിതം, പിന്നെ എസ് എസ് സെലക്ഷനിൽ നിന്ന് സാധാരണ ജനവിഭാഗം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കില്ല.
കൂടാതെ, സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം:
95% സാധ്യതയോടെ
99% സാധ്യതയോടെ
IN പൊതുവായ കാഴ്ചപ്രോബബിലിറ്റി P (t)
t മൂല്യവും P (t) പ്രോബബിലിറ്റി മൂല്യവും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം, ഞങ്ങൾ കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ അറിയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയിൽ നിന്ന് എടുക്കാം:
അതിനാൽ, ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി മൂല്യം ഏത് ശ്രേണിയിലാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ചു (ഒരു നിശ്ചിത പ്രോബബിലിറ്റിയോടെ).
ഞങ്ങൾക്ക് വേണ്ടത്ര വലിയ സാമ്പിൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾക്ക് അത് പറയാൻ കഴിയില്ല ജനസംഖ്യ s = ഉണ്ട് എസ് തിരഞ്ഞെടുക്കുക കൂടാതെ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സാധാരണ വിതരണത്തോടുള്ള സാമ്പിളിൻ്റെ അടുപ്പം പ്രശ്നകരമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പകരം എസ് സെലക്‌ടും ഉപയോഗിക്കുന്നുഫോർമുലയിൽ s:
എന്നാൽ ഒരു നിശ്ചിത പ്രോബബിലിറ്റിക്കുള്ള t യുടെ മൂല്യം P(t) സാമ്പിളിലെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. വലിയ n, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഫോർമുല (1) നൽകുന്ന മൂല്യത്തോട് അടുക്കും. ഈ കേസിലെ ടി മൂല്യങ്ങൾ മറ്റൊരു പട്ടികയിൽ നിന്ന് എടുത്തതാണ് (വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടി-ടെസ്റ്റ്), അത് ഞങ്ങൾ ചുവടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:
പ്രോബബിലിറ്റി 0.95, 0.99 എന്നിവയ്‌ക്കായുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടി-ടെസ്റ്റ് മൂല്യങ്ങൾ
ഉദാഹരണം 3.കമ്പനിയിലെ ജീവനക്കാരിൽ നിന്ന് 30 പേരെ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്തു. സാമ്പിൾ അനുസരിച്ച്, ശരാശരി ശമ്പളം (പ്രതിമാസം) 5 ആയിരം റുബിളിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് 30 ആയിരം റുബിളാണ്. 0.99 പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള കമ്പനിയിലെ ശരാശരി ശമ്പളം നിർണ്ണയിക്കുക.
പരിഹാരം:വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം നമുക്ക് n = 30, X ശരാശരി. =30000, S=5000, P = 0.99. കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ കണ്ടെത്തുന്നതിന്, വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടി ടെസ്റ്റിന് അനുയോജ്യമായ ഫോർമുല ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. n = 30, P = 0.99 എന്നിവയ്ക്കുള്ള പട്ടികയിൽ നിന്ന് t = 2.756, അതിനാൽ,
ആ. അന്വേഷിക്കപ്പെട്ട ട്രസ്റ്റിഇടവേള 27484< Х ср.ген
< 32516.
അതിനാൽ, 0.99 എന്ന പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പറയാനാകും, ഇടവേളയിൽ (27484; 32516) കമ്പനിയിലെ ശരാശരി ശമ്പളം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.
നിങ്ങൾ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു, ഓരോ തവണയും നിങ്ങളുടെ പക്കൽ ഒരു മേശ ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. Excel-ൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സ്വയമേവ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും. Excel ഫയലിലായിരിക്കുമ്പോൾ, മുകളിലെ മെനുവിലെ fx ബട്ടണിൽ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, ഫംഗ്ഷനുകൾക്കിടയിൽ “സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ” തരം തിരഞ്ഞെടുക്കുക, കൂടാതെ വിൻഡോയിലെ നിർദ്ദിഷ്ട ലിസ്റ്റിൽ നിന്ന് - സ്റ്റുഡർ ഡിസ്കവർ. തുടർന്ന്, പ്രോംപ്റ്റിൽ, "പ്രൊബബിലിറ്റി" ഫീൽഡിൽ കഴ്സർ സ്ഥാപിക്കുക, വിപരീത പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ മൂല്യം നൽകുക (അതായത് ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, 0.95 ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് പകരം, നിങ്ങൾ 0.05 ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ടൈപ്പുചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്). പ്രത്യക്ഷമായും സ്പ്രെഡ്ഷീറ്റ്നമുക്ക് തെറ്റ് സംഭവിക്കാൻ സാധ്യതയുള്ള ചോദ്യത്തിന് ഫലം ഉത്തരം നൽകുന്ന തരത്തിലാണ് സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നത്. അതുപോലെ, ഫ്രീഡം ഫീൽഡിൽ, നിങ്ങളുടെ സാമ്പിളിനായി ഒരു മൂല്യം (n-1) നൽകുക.
