റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ നിമിഷങ്ങൾ. പ്രാരംഭ, കേന്ദ്ര സൈദ്ധാന്തിക പോയിൻ്റുകൾ

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്നതിന് പ്രത്യേക പ്രാധാന്യമുള്ളത് പ്രാരംഭ, കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്ന സംഖ്യാ സ്വഭാവസവിശേഷതകളാണ്.

ആരംഭ നിമിഷം കെ-ആം ഓർഡർ α കെ(എക്സ്) റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ് കെഈ അളവിൻ്റെ ശക്തി, അതായത്.

α കെ(എക്സ്) = എം(എക്സ് കെ) (6.8)

ഫോർമുല (6.8) വിവിധ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ നിർവചനം കാരണം ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾപരിമിതമായ മൂല്യങ്ങളുള്ള ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിന് അതിൻ്റേതായ രൂപമുണ്ട്.

തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിനായി

, (6.10)

എവിടെ എഫ്(x) - റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രത എക്സ്.

അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രൽഫോർമുലയിൽ (6.10) മാറുന്നു നിശ്ചിത അവിഭാജ്യഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ, തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഈ ഇടവേളയിൽ മാത്രമേ നിലനിൽക്കൂ.

മുമ്പ് അവതരിപ്പിച്ച സംഖ്യാ സവിശേഷതകളിൽ ഒന്ന് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ- ആദ്യ ഓർഡറിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷം അല്ലെങ്കിൽ, അവർ പറയുന്നതുപോലെ, ആദ്യ പ്രാരംഭ നിമിഷം മാത്രമല്ല:

എം(എക്സ്) = α 1 (എക്സ്).

മുമ്പത്തെ ഖണ്ഡികയിൽ, ഒരു കേന്ദ്രീകൃത റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്ന ആശയം അവതരിപ്പിച്ചു എച്ച്എം(എക്സ്). ഈ അളവ് പ്രധാനമായി കണക്കാക്കിയാൽ, അതിനുള്ള പ്രാരംഭ നിമിഷങ്ങളും കണ്ടെത്താനാകും. വലിപ്പം തന്നെ എക്സ്ഈ നിമിഷങ്ങളെ കേന്ദ്രം എന്ന് വിളിക്കും.

കേന്ദ്ര നിമിഷം കെ-ആം ഓർഡർ μk(എക്സ്) റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന് വിളിക്കുന്നു കെകേന്ദ്രീകൃത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ -th power, i.e.

μk(എക്സ്) = എം[(എച്ച്എം(എക്സ്))കെ] (6.11)

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, കേന്ദ്ര പോയിൻ്റ് കെ-th ഓർഡർ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ് കെവ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രി.

കേന്ദ്ര നിമിഷം കെപരിമിതമായ മൂല്യങ്ങളുള്ള ഒരു വ്യതിരിക്ത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ക്രമം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തുന്നു:

, (6.12)

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിനായി:

(6.13)

ഭാവിയിൽ, ഏത് തരത്തിലുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളിനെക്കുറിച്ചാണ് നമ്മൾ സംസാരിക്കുന്നതെന്ന് വ്യക്തമാകുമ്പോൾ, പ്രാരംഭ, കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങളുടെ നൊട്ടേഷനിൽ ഞങ്ങൾ അത് എഴുതില്ല, അതായത്. ഇതിനുപകരമായി α കെ(എക്സ്) ഒപ്പം μk(എക്സ്) ഞങ്ങൾ ലളിതമായി എഴുതാം α കെഒപ്പം μk .

ആദ്യ ഓർഡറിൻ്റെ കേന്ദ്ര നിമിഷം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്, കാരണം ഇത് വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല, ഇത് മുമ്പ് തെളിയിക്കപ്പെട്ടതനുസരിച്ച് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അതായത്. .

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ രണ്ടാം ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം എന്ന് മനസ്സിലാക്കാൻ പ്രയാസമില്ല എക്സ്ഒരേ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതായത്.

കൂടാതെ, പ്രാരംഭ, കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ഇനിപ്പറയുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉണ്ട്:

അതിനാൽ, ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും ഓർഡറുകളുടെ നിമിഷങ്ങൾ (ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വിതരണവും) ഏറ്റവും സ്വഭാവ സവിശേഷതയാണ്. പ്രധാന സവിശേഷതകൾവിതരണം: അതിൻ്റെ സ്ഥാനവും മൂല്യങ്ങളുടെ ചിതറിക്കിടക്കുന്ന ബിരുദവും. കൂടുതൽ കാര്യങ്ങൾക്കായി വിശദമായ വിവരണംവിതരണങ്ങൾ ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ നിമിഷങ്ങളാണ്. കാണിച്ചു തരാം.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണം അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അപ്പോൾ എല്ലാ വിചിത്ര-ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷങ്ങളും, അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. വിതരണത്തിൻ്റെ സമമിതി കാരണം, അളവിൻ്റെ ഓരോ പോസിറ്റീവ് മൂല്യത്തിനും ഇത് വിശദീകരിക്കുന്നു എക്സ് − എം(എക്സ്) അതിന് തുല്യമായ ഒരു നെഗറ്റീവ് മൂല്യമുണ്ട്, ഈ മൂല്യങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ തുല്യമാണ്. തൽഫലമായി, ഫോർമുലയിലെ തുകയിൽ (6.12) മാഗ്നിറ്റ്യൂഡിന് തുല്യവും എന്നാൽ ചിഹ്നത്തിൽ വ്യത്യസ്തവുമായ നിരവധി ജോഡി പദങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, ഇത് സംഗ്രഹത്തിൽ പരസ്പരം റദ്ദാക്കുന്നു. അങ്ങനെ, മുഴുവൻ തുകയും, അതായത്. ഏതെങ്കിലും വിചിത്ര ക്രമം ഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ കേന്ദ്ര നിമിഷം പൂജ്യമാണ്. അതുപോലെ, തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഏതെങ്കിലും ഒറ്റ ഓർഡറിൻ്റെ സെൻട്രൽ നിമിഷം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, ഒരു വിചിത്ര പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സമമിതി പരിധികളിലെ അവിഭാജ്യമാണ്.

ഒരു വിചിത്ര ക്രമത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര നിമിഷം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, വിതരണം അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതി ആയിരിക്കില്ല എന്ന് അനുമാനിക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്. മാത്രമല്ല, കേന്ദ്ര നിമിഷം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് എത്രത്തോളം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവോ അത്രയധികം വിതരണത്തിലെ അസമമിതി വർദ്ധിക്കുന്നു. അസമമിതിയുടെ സ്വഭാവമായി നമുക്ക് ഏറ്റവും ചെറിയ വിചിത്ര ക്രമത്തിൻ്റെ കേന്ദ്ര നിമിഷം എടുക്കാം. ഏതെങ്കിലും വിതരണമുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് ഫസ്റ്റ്-ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം പൂജ്യമായതിനാൽ, ഈ ആവശ്യത്തിനായി മൂന്നാം-ഓർഡർ സെൻട്രൽ മൊമെൻ്റ് ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ നിമിഷത്തിന് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ക്യൂബിൻ്റെ അളവുണ്ട്. ഈ പോരായ്മയിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാനും അളവില്ലാത്ത റാൻഡം വേരിയബിളിലേക്ക് നീങ്ങാനും, കേന്ദ്ര നിമിഷത്തിൻ്റെ മൂല്യം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ ക്യൂബ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുക.

അസമമിതി ഗുണകം എ എസ് അല്ലെങ്കിൽ വെറുതെ അസമമിതിസ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ ക്യൂബിലേക്കുള്ള മൂന്നാമത്തെ ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷത്തിൻ്റെ അനുപാതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത്.

ചിലപ്പോൾ അസമമിതിയെ "വക്രത" എന്ന് വിളിക്കുകയും നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു എസ് കെഎന്താണ് വരുന്നത് ഇംഗ്ലീഷ് വാക്ക്ചരിവ് - "ചരിഞ്ഞ".

അസമമിതി ഗുണകം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ മൂല്യം നെഗറ്റീവ് പദങ്ങളാൽ (വ്യതിചലനങ്ങൾ) ശക്തമായി സ്വാധീനിക്കപ്പെടുന്നു, കൂടാതെ വിതരണം ഉണ്ടായിരിക്കും ഇടത് അസമമിതി, വിതരണ ഗ്രാഫ് (കർവ്) ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ ഇടതുവശത്ത് പരന്നതാണ്. ഗുണകം പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, പിന്നെ അസമമിതി വലത്, കൂടാതെ വക്രം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ വലതുവശത്ത് പരന്നതാണ് (ചിത്രം 6.1).

കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യാപനത്തെ അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് ചുറ്റും ചിത്രീകരിക്കാൻ, രണ്ടാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷം ഉപയോഗിക്കുന്നു, അതായത്. വിസരണം. ഈ നിമിഷം വലിയ പ്രാധാന്യമുള്ളതാണെങ്കിൽ സംഖ്യാ മൂല്യം, അപ്പോൾ ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിന് മൂല്യങ്ങളുടെ വലിയ വ്യാപനമുണ്ട്, രണ്ടാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷത്തിന് ചെറിയ മൂല്യമുള്ള വക്രത്തേക്കാൾ അനുബന്ധ വിതരണ വക്രത്തിന് പരന്ന ആകൃതിയുണ്ട്. അതിനാൽ, രണ്ടാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷം, ഒരു പരിധിവരെ, "ഫ്ലാറ്റ്-ടോപ്പ്ഡ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഷാർപ്പ്-ടോപ്പ്ഡ്" ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ വക്രത്തെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സ്വഭാവം വളരെ സൗകര്യപ്രദമല്ല. രണ്ടാമത്തെ ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷത്തിന് മാനമുണ്ട് സമചതുരത്തിന് തുല്യമാണ്ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ അളവുകൾ. മൊമെൻ്റ് മൂല്യത്തെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ ചതുരം കൊണ്ട് ഹരിച്ചുകൊണ്ട് ഒരു അളവില്ലാത്ത അളവ് നേടാൻ ശ്രമിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഏത് ക്രമരഹിത വേരിയബിളിനും നമുക്ക് ലഭിക്കും: . അതിനാൽ, ഈ ഗുണകം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ സ്വഭാവമല്ല. എല്ലാ വിതരണങ്ങൾക്കും ഇത് സമാനമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നാലാമത്തെ ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം ഉപയോഗിക്കാം.

അധികമായി Ek ഫോർമുല നിർണ്ണയിക്കുന്ന അളവാണ്

(6.15)

കുർട്ടോസിസ് പ്രധാനമായും തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്കായി ഉപയോഗിക്കുന്നു കൂടാതെ വിതരണ വക്രത്തിൻ്റെ "കുത്തനെ" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവയെ ചിത്രീകരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു, അല്ലെങ്കിൽ ഇതിനകം സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, "ഫ്ലാറ്റ്-ടോപ്പ്ഡ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഷാർപ്പ്-ടോപ്പ്ഡ്" ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ കർവ് ചിത്രീകരിക്കാൻ. റഫറൻസ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ കർവ് വക്രമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു സാധാരണ വിതരണം(ഇത് അടുത്ത അധ്യായത്തിൽ വിശദമായി ചർച്ച ചെയ്യും). ഒരു സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു ക്രമരഹിത വേരിയബിളിന്, തുല്യത നിലനിർത്തുന്നു. അതിനാൽ, ഫോർമുല (6.15) നൽകുന്ന കുർട്ടോസിസ് ഈ വിതരണത്തെ സാധാരണ ഒന്നുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്താൻ സഹായിക്കുന്നു, ഇതിന് കുർട്ടോസിസ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

ചില റാൻഡം വേരിയബിളിന് പോസിറ്റീവ് കുർട്ടോസിസ് ലഭിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഈ മൂല്യത്തിൻ്റെ വിതരണ വക്രം സാധാരണ വിതരണ വക്രത്തേക്കാൾ ഉയർന്നതാണ്. കുർട്ടോസിസ് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, സാധാരണ വിതരണ വക്രവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ വളവ് കൂടുതൽ പരന്നതാണ് (ചിത്രം 6.2).

വ്യതിരിക്തവും തുടർച്ചയായതുമായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾക്കായുള്ള പ്രത്യേക തരം വിതരണ നിയമങ്ങളിലേക്ക് നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പോകാം.

സ്ഥാന സവിശേഷതകൾക്ക് പുറമേ - ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശരാശരി, സാധാരണ മൂല്യങ്ങൾ - നിരവധി സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അവയിൽ ഓരോന്നും വിതരണത്തിൻ്റെ ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു വസ്തുവോ വിവരിക്കുന്നു. നിമിഷങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ മിക്കപ്പോഴും അത്തരം സ്വഭാവസവിശേഷതകളായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പിണ്ഡങ്ങളുടെ വിതരണത്തെ വിവരിക്കാൻ മെക്കാനിക്സിൽ മൊമെൻ്റ് എന്ന ആശയം വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു (സ്ഥിര നിമിഷങ്ങൾ, ജഡത്വത്തിൻ്റെ നിമിഷങ്ങൾ മുതലായവ). ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങളെ വിവരിക്കുന്നതിന് പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിലും അതേ സാങ്കേതിക വിദ്യകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. മിക്കപ്പോഴും, രണ്ട് തരം നിമിഷങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി ഉപയോഗിക്കുന്നു: പ്രാരംഭവും കേന്ദ്രവും.

തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ st ഓർഡറിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷം ഫോമിൻ്റെ ആകെത്തുകയാണ്:

. (5.7.1)

വ്യക്തമായും, ഈ നിർവചനം മെക്കാനിക്സിലെ ക്രമത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷത്തിൻ്റെ നിർവചനവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, ബിന്ദുക്കളുടെ അബ്സിസ്സ അക്ഷത്തിൽ പിണ്ഡം കേന്ദ്രീകരിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ.

തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ന്, st ഓർഡറിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷത്തെ ഇൻ്റഗ്രൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു

. (5.7.2)

മുമ്പത്തെ n°-ൽ അവതരിപ്പിച്ച സ്ഥാനത്തിൻ്റെ പ്രധാന സ്വഭാവം - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ - ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ ആദ്യ പ്രാരംഭ നിമിഷം മാത്രമല്ല, മറ്റൊന്നുമല്ലെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് രണ്ട് ഫോർമുലകളും (5.7.1), (5.7.2) ഒന്നായി സംയോജിപ്പിക്കാം. തീർച്ചയായും, സൂത്രവാക്യങ്ങൾ (5.7.1), (5.7.2) സൂത്രവാക്യങ്ങൾക്ക് (5.6.1), (5.6.2) ഘടനയിൽ പൂർണ്ണമായും സമാനമാണ്, യഥാക്രമം യഥാക്രമം എന്നതിനുപകരം ഉള്ള വ്യത്യാസവും ഉണ്ട്. അതിനാൽ, th ഓർഡറിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷത്തിൻ്റെ പൊതുവായ ഒരു നിർവചനം നമുക്ക് എഴുതാം, ഇത് തുടർച്ചയായി നിലവിലില്ല തുടർച്ചയായ അളവുകൾ:

, (5.7.3)

ആ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ആം ക്രമത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷം ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിഗ്രിയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്.

കേന്ദ്ര നിമിഷം നിർവചിക്കുന്നതിനുമുമ്പ്, "കേന്ദ്രീകൃത റാൻഡം വേരിയബിൾ" എന്ന ഒരു പുതിയ ആശയം ഞങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്‌ക്കൊപ്പം ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ഉണ്ടാകട്ടെ. മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു കേന്ദ്രീകൃത റാൻഡം വേരിയബിൾ അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്നുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനമാണ്:

ഭാവിയിൽ, നൽകിയിരിക്കുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കേന്ദ്രീകൃത റാൻഡം വേരിയബിളിനെ മുകളിൽ ഒരു ചിഹ്നമുള്ള അതേ അക്ഷരം ഉപയോഗിച്ച് എല്ലായിടത്തും സൂചിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കും.

ഒരു കേന്ദ്രീകൃത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. തീർച്ചയായും, തുടർച്ചയായ അളവിന്

സമാനമായി തുടർച്ചയായ അളവിൽ.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ കേന്ദ്രീകരിക്കുന്നത് കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ഉത്ഭവത്തെ മധ്യ, "കേന്ദ്ര" പോയിൻ്റിലേക്ക് മാറ്റുന്നതിന് തുല്യമാണ്, അതിൻ്റെ അബ്സിസ്സ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഒരു കേന്ദ്രീകൃത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ നിമിഷങ്ങളെ കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. മെക്കാനിക്സിലെ ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നിമിഷങ്ങളോട് അവ സമാനമാണ്.

അങ്ങനെ, ഒരു ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ ഓർഡർ s-ൻ്റെ കേന്ദ്ര നിമിഷം, അനുബന്ധ കേന്ദ്രീകൃത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ശക്തിയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്:

, (5.7.6)

തുടർച്ചയായി വേണ്ടി - അവിഭാജ്യത്താൽ

. (5.7.8)

ഇനിപ്പറയുന്നവയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന നിമിഷം ഏത് ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൽ പെടുന്നു എന്നതിൽ സംശയമില്ലെങ്കിൽ, സംക്ഷിപ്തതയ്ക്കായി ഞങ്ങൾ ലളിതമായും പകരം കൂടാതെ എഴുതാം.

വ്യക്തമായും, ഏതൊരു റാൻഡം വേരിയബിളിനും ആദ്യ ഓർഡറിൻ്റെ സെൻട്രൽ നിമിഷം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

, (5.7.9)

ഒരു കേന്ദ്രീകൃത റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എപ്പോഴും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ.

വിവിധ ഓർഡറുകളുടെ കേന്ദ്ര, പ്രാരംഭ നിമിഷങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ബന്ധങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. തുടർച്ചയായ അളവിൽ മാത്രമേ ഞങ്ങൾ നിഗമനം നടപ്പിലാക്കുകയുള്ളൂ; പരിമിതമായ തുകകളെ ഇൻ്റഗ്രലുകൾ കൊണ്ടും പ്രോബബിലിറ്റികൾ പ്രോബബിലിറ്റി ഘടകങ്ങൾ കൊണ്ടും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയാണെങ്കിൽ, തുടർച്ചയായ അളവുകൾക്ക് സമാന ബന്ധങ്ങൾ സാധുതയുള്ളതാണെന്ന് പരിശോധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്.

നമുക്ക് രണ്ടാമത്തെ കേന്ദ്ര പോയിൻ്റ് പരിഗണിക്കാം:

അതുപോലെ, മൂന്നാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷത്തിനായി നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

മുതലായവയ്ക്കുള്ള പദപ്രയോഗങ്ങൾ. സമാനമായ രീതിയിൽ ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, ഏതെങ്കിലും റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾക്ക് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സാധുവാണ്:

(5.7.10)

പൊതുവായി പറഞ്ഞാൽ, നിമിഷങ്ങളെ ഉത്ഭവം (പ്രാരംഭ നിമിഷങ്ങൾ) അല്ലെങ്കിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ (കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾ) എന്നിവയുമായി മാത്രമല്ല, ഒരു ഏകപക്ഷീയമായ പോയിൻ്റുമായി ആപേക്ഷികമായും കണക്കാക്കാം:

. (5.7.11)

എന്നിരുന്നാലും, സെൻട്രൽ നിമിഷങ്ങൾക്ക് മറ്റെല്ലാറ്റിനേക്കാളും ഒരു മുൻതൂക്കം ഉണ്ട്: നമ്മൾ കണ്ടതുപോലെ, ആദ്യ കേന്ദ്ര നിമിഷം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, അടുത്തത്, ഈ റഫറൻസ് സംവിധാനമുള്ള രണ്ടാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷത്തിന് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യമുണ്ട്. നമുക്ക് തെളിയിക്കാം. ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിന്, ഫോർമുലയ്ക്ക് (5.7.11) ഫോം ഉണ്ട്:

. (5.7.12)

നമുക്ക് ഈ പദപ്രയോഗം രൂപാന്തരപ്പെടുത്താം:

വ്യക്തമായും, ഈ മൂല്യം അതിൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ അളവിൽ എത്തുമ്പോൾ, അതായത്. നിമിഷം പോയിൻ്റുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ.

എല്ലാ നിമിഷങ്ങളിലും, ആദ്യ പ്രാരംഭ നിമിഷവും (ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ) രണ്ടാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷവും മിക്കപ്പോഴും റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സ്വഭാവസവിശേഷതകളായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

രണ്ടാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷത്തെ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വേരിയൻസ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഈ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ അങ്ങേയറ്റത്തെ പ്രാധാന്യം കണക്കിലെടുത്ത്, മറ്റ് പോയിൻ്റുകൾക്കൊപ്പം, ഞങ്ങൾ അതിനായി ഒരു പ്രത്യേക പദവി അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

കേന്ദ്ര നിമിഷത്തിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്

ആ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വേരിയൻസ് എന്നത് അനുബന്ധ കേന്ദ്രീകൃത വേരിയബിളിൻ്റെ വർഗ്ഗത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്.

എക്‌സ്‌പ്രഷനിലെ അളവ് (5.7.13) അതിൻ്റെ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ, നമുക്കും ഉണ്ട്:

. (5.7.14)

വ്യത്യാസം നേരിട്ട് കണക്കാക്കാൻ, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുക:

, (5.7.15)

(5.7.16)

അതനുസരിച്ച്, തുടർച്ചയായതും തുടർച്ചയായതുമായ അളവിൽ.

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യാപനം ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിൻ്റെ സ്വഭാവമാണ്, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് ചുറ്റും ചിതറുന്നു. "ചിതറിക്കൽ" എന്ന വാക്കിൻ്റെ അർത്ഥം "ചിതറിക്കൽ" എന്നാണ്.

വിതരണത്തിൻ്റെ മെക്കാനിക്കൽ വ്യാഖ്യാനത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ തിരിയുകയാണെങ്കിൽ, ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രവുമായി (ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ) ആപേക്ഷികമായി നൽകിയിരിക്കുന്ന പിണ്ഡ വിതരണത്തിൻ്റെ ജഡത്വത്തിൻ്റെ നിമിഷമല്ലാതെ മറ്റൊന്നുമല്ല ചിതറിക്കൽ.

റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിന് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ചതുരത്തിൻ്റെ അളവുണ്ട്; ചിതറിക്കിടക്കലിനെ ദൃശ്യപരമായി ചിത്രീകരിക്കുന്നതിന്, ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ അളവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്ന ഒരു അളവ് ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, വേരിയൻസിൻ്റെ സ്ക്വയർ റൂട്ട് എടുക്കുക. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യത്തെ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (അല്ലെങ്കിൽ "സ്റ്റാൻഡേർഡ്") എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ സൂചിപ്പിക്കും:

, (5.7.17)

നൊട്ടേഷനുകൾ ലളിതമാക്കാൻ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും ഡിസ്പേഴ്സണും ഞങ്ങൾ പലപ്പോഴും ചുരുക്കെഴുത്തുകൾ ഉപയോഗിക്കും: ഒപ്പം . ഈ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ ഏത് റാൻഡം വേരിയബിളിൽ പെടുന്നു എന്നതിൽ സംശയമില്ലെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ചിലപ്പോൾ x y എന്ന ചിഹ്നം ഒഴിവാക്കുകയും കൂടാതെ ലളിതമായി എഴുതുകയും ചെയ്യും. "സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ" എന്ന വാക്കുകൾ ചിലപ്പോൾ ചുരുക്കി r.s.o എന്ന അക്ഷരങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കും.

പ്രായോഗികമായി, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ പ്രാരംഭ നിമിഷത്തിലൂടെ (സൂത്രവാക്യങ്ങളുടെ രണ്ടാമത്തേത് (5.7.10)) അതിൻ്റെ വ്യാപനം പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു ഫോർമുല പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്. പുതിയ നൊട്ടേഷനിൽ ഇത് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന സ്വഭാവസവിശേഷതകളാണ് പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും (അല്ലെങ്കിൽ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ). വിതരണത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട സവിശേഷതകളെ അവർ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നു: അതിൻ്റെ സ്ഥാനവും ചിതറിക്കിടക്കുന്ന ബിരുദവും. വിതരണത്തിൻ്റെ കൂടുതൽ വിശദമായ വിവരണത്തിന്, ഉയർന്ന ഓർഡറുകളുടെ നിമിഷങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു.

മൂന്നാമത്തെ സെൻട്രൽ പോയിൻ്റ് വിതരണത്തിൻ്റെ അസമമിതി (അല്ലെങ്കിൽ "വക്രത") ചിത്രീകരിക്കാൻ സഹായിക്കുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിതരണം സമമിതിയിലാണെങ്കിൽ (അല്ലെങ്കിൽ, ഒരു മെക്കാനിക്കൽ വ്യാഖ്യാനത്തിൽ, ഗുരുത്വാകർഷണ കേന്ദ്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് പിണ്ഡം സമമിതിയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു), എല്ലാ വിചിത്ര-ഓർഡർ നിമിഷങ്ങളും (അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. വാസ്തവത്തിൽ, മൊത്തത്തിൽ

വിതരണ നിയമം നിയമവും വിചിത്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാകുമ്പോൾ, ഓരോ പോസിറ്റീവ് പദവും തുല്യമായ ഒന്നുമായി യോജിക്കുന്നു സമ്പൂർണ്ണ മൂല്യംനെഗറ്റീവ് പദം, അതിനാൽ മുഴുവൻ തുക പൂജ്യമാണ്. അവിഭാജ്യത്തിനും ഇതുതന്നെ സത്യമാണ്

,

വിചിത്രമായ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സമമിതി പരിധികളിൽ ഒരു അവിഭാജ്യമായി പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

വിതരണ അസമമിതിയുടെ സ്വഭാവമായി വിചിത്രമായ നിമിഷങ്ങളിൽ ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്. ഇതിൽ ഏറ്റവും ലളിതമായത് മൂന്നാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷമാണ്. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ക്യൂബിൻ്റെ അളവ് ഇതിന് ഉണ്ട്: അളവില്ലാത്ത സ്വഭാവം ലഭിക്കുന്നതിന്, മൂന്നാമത്തെ നിമിഷത്തെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ ക്യൂബ് കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നു. തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന മൂല്യത്തെ "അസമമിതി ഗുണകം" അല്ലെങ്കിൽ "അസമമിതി" എന്ന് വിളിക്കുന്നു; ഞങ്ങൾ അത് സൂചിപ്പിക്കും:

ചിത്രത്തിൽ. 5.7.1 രണ്ട് അസമമായ വിതരണങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു; അവയിലൊന്ന് (കർവ് I) പോസിറ്റീവ് അസമമിതി (); മറ്റൊന്ന് (കർവ് II) നെഗറ്റീവ് ().

നാലാമത്തെ സെൻട്രൽ പോയിൻ്റ് "തണുപ്പ്" എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിൻ്റെ സവിശേഷതയാണ്, അതായത്. ഉയർന്നതോ പരന്നതോ ആയ വിതരണം. ഈ വിതരണ ഗുണങ്ങൾ കുർട്ടോസിസ് എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ഉപയോഗിച്ച് വിവരിച്ചിരിക്കുന്നു. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ കുർട്ടോസിസ് എന്നത് അളവാണ്

സംഖ്യ 3 അനുപാതത്തിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുന്നു, കാരണം പ്രകൃതിയിൽ വളരെ പ്രധാനപ്പെട്ടതും വ്യാപകവുമായ സാധാരണ വിതരണ നിയമം (അത് ഞങ്ങൾ പിന്നീട് വിശദമായി അറിയും) . അങ്ങനെ, ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിന് കുർട്ടോസിസ് പൂജ്യമാണ്; സാധാരണ വക്രവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ കൂടുതൽ കൊടുമുടിയുള്ള വളവുകൾക്ക് പോസിറ്റീവ് കുർട്ടോസിസ് ഉണ്ട്; കൂടുതൽ പരന്ന ടോപ്പുള്ള വളവുകൾക്ക് നെഗറ്റീവ് കുർട്ടോസിസ് ഉണ്ട്.

ചിത്രത്തിൽ. 5.7.2 കാണിക്കുന്നു: സാധാരണ വിതരണം (കർവ് I), പോസിറ്റീവ് കുർട്ടോസിസ് (കർവ് II) ഉള്ള വിതരണം, നെഗറ്റീവ് കുർട്ടോസിസുമായുള്ള വിതരണം (കർവ് III).

മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത പ്രാരംഭ, കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾക്ക് പുറമേ, പ്രായോഗികമായി സമ്പൂർണ്ണ നിമിഷങ്ങൾ (പ്രാരംഭവും കേന്ദ്രവും) എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ ചിലപ്പോൾ സൂത്രവാക്യങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

വ്യക്തമായും, ഓർഡറുകളുടെ സമ്പൂർണ്ണ നിമിഷങ്ങൾ സാധാരണ നിമിഷങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

കേവല നിമിഷങ്ങളിൽ, ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്നത് ആദ്യത്തെ കേവല കേന്ദ്ര നിമിഷമാണ്.

, (5.7.21)

ഗണിത ശരാശരി വ്യതിയാനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു. വിസരണം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എന്നിവയ്‌ക്കൊപ്പം, ഗണിത ശരാശരി വ്യതിയാനവും ചിലപ്പോൾ ഡിസ്‌പേഴ്‌ഷൻ്റെ സ്വഭാവമായി ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്.

പ്രതീക്ഷ, മോഡ്, മീഡിയൻ, പ്രാരംഭ, കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾ, പ്രത്യേകിച്ച്, ചിതറിക്കൽ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ, സ്ക്യൂനെസ്, കുർട്ടോസിസ് എന്നിവയാണ് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഏറ്റവും സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ. പല പ്രാക്ടീസ് പ്രശ്നങ്ങളിൽ പൂർണ്ണ സവിശേഷതകൾറാൻഡം വേരിയബിൾ - വിതരണ നിയമം - ഒന്നുകിൽ ആവശ്യമില്ല അല്ലെങ്കിൽ ലഭിക്കില്ല. ഈ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, സഹായം ഉപയോഗിച്ച് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഏകദേശ വിവരണത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു. സംഖ്യാ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ, അവ ഓരോന്നും വിതരണത്തിൻ്റെ ചില സ്വഭാവഗുണങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

മിക്കപ്പോഴും, ഒരു വിതരണത്തെ മറ്റൊന്നുമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ സംഖ്യാപരമായ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, സാധാരണയായി അവ പല പ്രധാന പോയിൻ്റുകളും മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുന്ന വിധത്തിൽ ഈ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാൻ ശ്രമിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1. ഒരു പരീക്ഷണം നടത്തുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഒരു ഇവൻ്റ് ദൃശ്യമാകുകയോ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യാം, അതിൻ്റെ സംഭാവ്യത . ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു - ഒരു ഇവൻ്റിൻ്റെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം (ഒരു ഇവൻ്റിൻ്റെ സ്വഭാവപരമായ റാൻഡം വേരിയബിൾ). അതിൻ്റെ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ നിർണ്ണയിക്കുക: ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, വ്യാപനം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ.

പരിഹാരം. മൂല്യ വിതരണ ശ്രേണിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:

സംഭവം നടക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത എവിടെയാണ്.

ഫോർമുല (5.6.1) ഉപയോഗിച്ച് മൂല്യത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

മൂല്യത്തിൻ്റെ വ്യാപനം നിർണ്ണയിക്കുന്നത് ഫോർമുലയാണ് (5.7.15):

(രണ്ടാമത്തെ പ്രാരംഭ നിമിഷത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ചിതറിക്കൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നതിലൂടെ വായനക്കാരന് അതേ ഫലം ലഭിക്കണമെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു).

ഉദാഹരണം 2. മൂന്ന് സ്വതന്ത്ര ഷോട്ടുകൾ ഒരു ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് വെടിവയ്ക്കുന്നു; ഓരോ ഷോട്ടും അടിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.4 ആണ്. റാൻഡം വേരിയബിൾ - ഹിറ്റുകളുടെ എണ്ണം. ഒരു അളവിൻ്റെ സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ നിർണ്ണയിക്കുക - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, വ്യാപനം, r.s.d., അസമമിതി.

പരിഹാരം. മൂല്യ വിതരണ ശ്രേണിക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:

അളവിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു.

ആരംഭ നിമിഷം കെ th ഓർഡർ റാൻഡം വേരിയബിൾഎക്സ്എക്സ് കെ :

പ്രത്യേകിച്ച്,

കേന്ദ്ര നിമിഷം കെ th ഓർഡർ റാൻഡം വേരിയബിൾഎക്സ്അളവിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന് വിളിക്കുന്നു കെ :

. (5.11)

പ്രത്യേകിച്ച്,

ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുടെയും വ്യാപനത്തിൻ്റെയും നിർവചനങ്ങളും ഗുണങ്ങളും ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് അത് നേടാനാകും

,

,

ഉയർന്ന ഓർഡർ നിമിഷങ്ങൾ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ.

റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം. അപ്പോൾ എല്ലാ ഒറ്റ-ഓർഡർ കേന്ദ്രങ്ങളും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. X-M[X] വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ഓരോ പോസിറ്റീവ് മൂല്യത്തിനും കേവല മൂല്യത്തിന് തുല്യമായ ഒരു നെഗറ്റീവ് മൂല്യം (വിതരണത്തിൻ്റെ സമമിതി കാരണം) ഉണ്ടെന്നും അവയുടെ സാധ്യതകൾ ഒന്നുതന്നെയാണെന്നും ഇത് വിശദീകരിക്കാം. സെൻട്രൽ നിമിഷം വിചിത്രമായ ക്രമത്തിലാണെങ്കിൽ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമല്ലെങ്കിൽ, ഇത് വിതരണത്തിൻ്റെ അസമമിതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, നിമിഷം കൂടുന്തോറും അസമമിതി വർദ്ധിക്കുന്നു. അതിനാൽ, വിതരണ അസമമിതിയുടെ സ്വഭാവമായി ചില വിചിത്രമായ കേന്ദ്ര നിമിഷം എടുക്കുന്നത് ഏറ്റവും ന്യായമാണ്. 1-ആം ഓർഡറിൻ്റെ സെൻട്രൽ നിമിഷം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ, ഈ ആവശ്യത്തിനായി 3-ആം ഓർഡറിൻ്റെ കേന്ദ്ര നിമിഷം ഉപയോഗിക്കുന്നത് നല്ലതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, അസമമിതി വിലയിരുത്തുന്നതിന് ഈ പോയിൻ്റ് സ്വീകരിക്കുന്നത് അസൗകര്യമാണ്, കാരണം അതിൻ്റെ മൂല്യം ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ അളക്കുന്ന യൂണിറ്റുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ പോരായ്മ ഇല്ലാതാക്കാൻ,  3 നെ  3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുകയും അങ്ങനെ ഒരു സ്വഭാവം നേടുകയും ചെയ്യുന്നു.

അസമമിതി ഗുണകം എ അളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു

. (5.12)

അരി. 5.1

അസമമിതി ഗുണകം നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ഇത്  3 നെഗറ്റീവ് വ്യതിയാനങ്ങളുടെ മൂല്യത്തിൽ വലിയ സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിതരണ വക്രങ്ങൾ M[X] ൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് പരന്നതാണ്. കോ എഫിഷ്യൻ്റ് എ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, വക്രം വലതുവശത്ത് പരന്നതാണ്.

അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് ചുറ്റുമുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യാപനത്തെ ചിത്രീകരിക്കാൻ ഡിസ്പർഷൻ (രണ്ടാം കേന്ദ്ര നിമിഷം) സഹായിക്കുന്നു. വിസരണം കൂടുന്തോറും അനുബന്ധ വിതരണ വക്രം പരന്നതാണ്. എന്നിരുന്നാലും, 2-ആം ഓർഡർ  2 / 2-ൻ്റെ നോർമലൈസ് ചെയ്ത നിമിഷം "ഫ്ലാറ്റ്-ടോപ്പ്ഡ്" അല്ലെങ്കിൽ "ഷാർപ്പ്-ടോപ്പ്ഡ്" ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ഒരു സ്വഭാവമായി വർത്തിക്കാൻ കഴിയില്ല, കാരണം ഏത് വിതരണത്തിനും ഡി[ x]/ 2 =1. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, നാലാമത്തെ ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം ഉപയോഗിക്കുന്നു.

അധികമായി ഇ അളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു

. (5.13)

എച്ച്

അരി. 5.2

ഏറ്റവും സാധാരണമായ സാധാരണ വിതരണ നിയമം  4 / 4 =3 ആയതിനാൽ ഇവിടെ നമ്പർ 3 തിരഞ്ഞെടുത്തു. അതിനാൽ, നിലവിലുള്ള വിതരണങ്ങളെ സാധാരണ വിതരണവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാൻ കുർട്ടോസിസ് സഹായിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ കുർട്ടോസിസ് പൂജ്യമാണ്. ഇതിനർത്ഥം, ഒരു വിതരണത്തിന് പോസിറ്റീവ് കുർട്ടോസിസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, സാധാരണ വിതരണ വക്രവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അനുബന്ധ വിതരണ വക്രം കൂടുതൽ "പീക്ക്" ആണ്; ഒരു വിതരണത്തിന് നെഗറ്റീവ് കുർട്ടോസിസ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, അനുബന്ധ വക്രം കൂടുതൽ "ഫ്ലാറ്റ്-ടോപ്പ്" ആണ്.

ഉദാഹരണം 5.6.ഇനിപ്പറയുന്ന വിതരണ നിയമം DSV X നൽകുന്നു:

സ്‌ക്യൂനെസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റും കുർട്ടോസിസും കണ്ടെത്തുക.

അരി. 5.4

പരിഹാരം . 4-ാം ഓർഡർ വരെയുള്ള പ്രാരംഭ നിമിഷങ്ങൾ നമുക്ക് ആദ്യം കണ്ടെത്താം

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾ കണക്കാക്കാം:

നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണ്ടെത്താം എക്സ് 2 :

എം(എക്സ് 2) = 1* 0, 6 + 4* 0, 2 + 25* 0, 19+ 10000* 0, 01 = 106, 15.

ഞങ്ങൾ അത് കാണുന്നു എം(എക്സ് 2) കൂടുതൽ എം(എക്സ്). സ്ക്വയറിംഗിന് ശേഷം ഇതാണ് കാരണം സാധ്യമായ അർത്ഥംഅളവ് എക്സ് 2 മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു x=100 കാന്തിമാനം X, 10,000 ന് തുല്യമായി, അതായത് ഗണ്യമായി വർദ്ധിച്ചു; ഈ മൂല്യത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത കുറവാണ് (0.01).

അങ്ങനെ, നിന്ന് പരിവർത്തനം എം(എക്സ്) ലേക്ക് എം(എക്സ് 2) സാധ്യമായ മൂല്യത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിലെ സ്വാധീനം നന്നായി കണക്കിലെടുക്കുന്നത് സാധ്യമാക്കി, അത് വലുതും കുറഞ്ഞ സാധ്യതയുമാണ്. തീർച്ചയായും, മൂല്യമാണെങ്കിൽ എക്സ്വലുതും സാധ്യതയില്ലാത്തതുമായ നിരവധി മൂല്യങ്ങൾ ഉണ്ടായിരുന്നു, തുടർന്ന് മൂല്യത്തിലേക്കുള്ള മാറ്റം എക്സ് 2, അതിലും കൂടുതൽ അളവിൽ എക്സ് 3 , എക്സ് 4, മുതലായവ, ഈ വലിയതും എന്നാൽ സാധ്യതയില്ലാത്തതുമായ മൂല്യങ്ങളുടെ "പങ്കിനെ കൂടുതൽ ശക്തിപ്പെടുത്താൻ" ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കും. അതുകൊണ്ടാണ് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ (വ്യതിരിക്തമായത് മാത്രമല്ല, തുടർച്ചയായതും) ഒരു പൂർണ്ണസംഖ്യ പോസിറ്റീവ് പവറിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ പരിഗണിക്കുന്നത് ഉചിതമാകുന്നത്.

ഓർഡറിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷം കെറാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്അളവിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന് വിളിക്കുന്നു Xk:

v k = എം(എക്സ്).

പ്രത്യേകിച്ച്,

വി 1 = എം(എക്സ്),വി 2 = എം(എക്സ് 2).

ഈ പോയിൻ്റുകൾ ഉപയോഗിച്ച്, വേരിയൻസ് കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഡി(എക്സ്)= എം(എക്സ് 2)- [എം(എക്സ്)] 2 ഇതുപോലെ എഴുതാം:

ഡി(എക്സ്)= വി 2 – . (*)

റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ നിമിഷങ്ങൾക്ക് പുറമേ എക്സ്വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ നിമിഷങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്നത് ഉചിതമാണ് എക്സ്-എം(എക്സ്).

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ ഓർഡർ k യുടെ കേന്ദ്ര നിമിഷം അളവിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ്(എച്ച്എം(എക്സ്))കെ:

പ്രത്യേകിച്ച്,

പ്രാരംഭ, കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങളെ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന ബന്ധങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ ഉരുത്തിരിഞ്ഞതാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, (*), (***) എന്നിവ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

m 2= v 2 – .

കേന്ദ്ര നിമിഷത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ സവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നേടുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല:

m 3= v 3 – 3വി 2 വി 1 + 2 ,

m 4= v 4 – 4വി 3 വി 1 + 6വി 2 + 3 .

ഉയർന്ന ഓർഡർ നിമിഷങ്ങൾ വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ ഉപയോഗിക്കുന്നുള്ളൂ.

അഭിപ്രായം. ഇവിടെ ചർച്ച ചെയ്ത പോയിൻ്റുകളെ വിളിക്കുന്നു സൈദ്ധാന്തിക.സൈദ്ധാന്തിക നിമിഷങ്ങളിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമായി, നിരീക്ഷണ ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്ന നിമിഷങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു അനുഭവപരമായ.അനുഭവപരമായ നിമിഷങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾ ചുവടെ നൽകിയിരിക്കുന്നു (അദ്ധ്യായം XVII, § 2 കാണുക).

ചുമതലകൾ

1. രണ്ട് സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ വ്യതിയാനങ്ങൾ അറിയപ്പെടുന്നു: ഡി(എക്സ്) = 4, ഡി(വൈ)=3. ഈ അളവുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക.

ജനപ്രതിനിധി 7.

2. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വേരിയൻസ് എക്സ് 5 ന് തുല്യമാണ്. ഇനിപ്പറയുന്ന അളവുകളുടെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക: a) എക്സ്-1; b) -2 എക്സ്;വി) ZH + 6.

ജനപ്രതിനിധി a) 5; ബി) 20; സി) 45.

3. റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമേ എടുക്കൂ: +C, -C, ഓരോന്നിനും 0.5 പ്രോബബിലിറ്റി. ഈ അളവിൻ്റെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക.

ജനപ്രതിനിധി കൂടെ 2 .

4. , അതിൻ്റെ വിതരണ നിയമം അറിയുന്നു

എക്സ്	0, 1
പി	0, 4	0, 2	0, 15	0, 25

ജനപ്രതിനിധി 67,6404.

5. റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്സാധ്യമായ രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം: എക്സ് 1 പ്രോബബിലിറ്റി 0.3 ഒപ്പം x 2 പ്രോബബിലിറ്റി 0.7, ഒപ്പം എക്സ് 2 > x 1 . കണ്ടെത്തുക x 1 ഒപ്പം x 2, അത് അറിഞ്ഞുകൊണ്ട് എം(എക്സ്) = 2, 7i ഡി(എക്സ്) =0,21.

ജനപ്രതിനിധി x 1 = 2, x 2 = 3.

6. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വേരിയൻസ് കണ്ടെത്തുക എക്സ്- സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം എരണ്ടിൽ സ്വതന്ത്ര പരിശോധനകൾ, എങ്കിൽ എം(എക്സ്) = 0, 8.

കുറിപ്പ്. ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനായി ഒരു ബൈനോമിയൽ നിയമം എഴുതുക എരണ്ട് സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങളിൽ.

ജനപ്രതിനിധി 0, 48.

7. സ്വതന്ത്രമായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന നാല് ഉപകരണങ്ങൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു ഉപകരണം പരീക്ഷിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുകയാണ്. ഉപകരണം പരാജയപ്പെടാനുള്ള സാധ്യതകൾ ഇപ്രകാരമാണ്: ആർ 1 = 0,3; ആർ 2 = 0,4; പി 3 = 0,5; ആർ 4 = 0.6. പരാജയപ്പെട്ട ഉപകരണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യത്യാസവും കണ്ടെത്തുക.

ജനപ്രതിനിധി 1,8; 0,94.

8. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വേരിയൻസ് കണ്ടെത്തുക എക്സ്- 100 സ്വതന്ത്ര ട്രയലുകളിൽ ഇവൻ്റിൻ്റെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം, ഓരോന്നിലും ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.7 ആണ്.

ജനപ്രതിനിധി 21.

9. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വേരിയൻസ് ഡി(എക്സ്) = 6.25. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണ്ടെത്തുക s( എക്സ്).

ജനപ്രതിനിധി 2, 5.

10. റാൻഡം വേരിയബിൾ വിതരണ നിയമം വ്യക്തമാക്കുന്നു

എക്സ്
പി	0, 1	0, 5	0, 4

ഈ മൂല്യത്തിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണ്ടെത്തുക.

ജനപ്രതിനിധി 2, 2.

11. ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്തിട്ടുള്ള 9 പരസ്‌പര സ്വതന്ത്രമായ ക്രമരഹിത വേരിയബിളുകളുടെ വ്യത്യാസം 36-ന് തുല്യമാണ്. ഈ വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിത ശരാശരിയുടെ വ്യത്യാസം കണ്ടെത്തുക.

ജനപ്രതിനിധി 4.

12. ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്തിട്ടുള്ള പരസ്പര സ്വതന്ത്രമായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ 10 ആണ്. ഈ വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിത ശരാശരിയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണ്ടെത്തുക.

ജനപ്രതിനിധി 2,5.

അധ്യായം ഒമ്പത്

വലിയ സംഖ്യകളുടെ നിയമം

പ്രാഥമിക പരാമർശങ്ങൾ

ഇതിനകം അറിയപ്പെടുന്നതുപോലെ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ പരിശോധനയുടെ ഫലമായി സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളിൽ ഏതാണ് എടുക്കുന്നതെന്ന് മുൻകൂട്ടി പ്രവചിക്കാൻ കഴിയില്ല; അത് പലതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു ക്രമരഹിതമായ കാരണങ്ങൾ, അത് കണക്കിലെടുക്കാനാവില്ല. ഈ അർത്ഥത്തിൽ ഓരോ റാൻഡം വേരിയബിളിനെ കുറിച്ചും വളരെ മിതമായ വിവരങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ, പെരുമാറ്റത്തിൻ്റെ പാറ്റേണുകളും ആവശ്യത്തിന് ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ ആകെത്തുകയും സ്ഥാപിക്കാൻ പ്രയാസമാണ്. യഥാർത്ഥത്തിൽ ഇത് സത്യമല്ല. താരതമ്യേന ചിലർക്ക് അത് മാറുന്നു വിശാലമായ വ്യവസ്ഥകൾധാരാളം റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ മൊത്തത്തിലുള്ള സ്വഭാവം അതിൻ്റെ ക്രമരഹിത സ്വഭാവം നഷ്ടപ്പെടുകയും സ്വാഭാവികമാവുകയും ചെയ്യുന്നു.

പരിശീലനത്തിനായി, ക്രമരഹിതമായ പല കാരണങ്ങളുടെയും സംയോജിത പ്രവർത്തനം യാദൃശ്ചികതയിൽ നിന്ന് ഏറെക്കുറെ സ്വതന്ത്രമായ ഒരു ഫലത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്ന സാഹചര്യങ്ങൾ അറിയേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, കാരണം ഇത് പ്രതിഭാസങ്ങളുടെ ഗതി മുൻകൂട്ടി കാണാൻ ഒരാളെ അനുവദിക്കുന്നു. ഈ വ്യവസ്ഥകൾ സിദ്ധാന്തങ്ങളിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു പൊതുവായ പേര്നിയമം വലിയ സംഖ്യകൾ. ഇതിൽ ചെബിഷേവിൻ്റെയും ബെർണൂളിയുടെയും സിദ്ധാന്തങ്ങളും ഉൾപ്പെടുന്നു (ഇവിടെ ചർച്ച ചെയ്യാത്ത മറ്റ് സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ട്). ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം വലിയ സംഖ്യകളുടെ ഏറ്റവും പൊതുവായ നിയമമാണ്, ബെർണൂലിയുടെ സിദ്ധാന്തം ഏറ്റവും ലളിതമാണ്. ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ തെളിയിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വം ഉപയോഗിക്കും.

ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വം

ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വം വ്യതിരിക്തവും തുടർച്ചയായതുമായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾക്ക് സാധുതയുള്ളതാണ്. ലാളിത്യത്തിനായി, വ്യതിരിക്തമായ അളവിൽ ഈ അസമത്വം തെളിയിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സ്വയം പരിമിതപ്പെടുത്തുന്നു.

ഒരു ഡിസ്‌ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ പരിഗണിക്കുക X,വിതരണ പട്ടികയിൽ വ്യക്തമാക്കിയത്:

എക്സ്	x 1	എക്സ് 2	…	x n
പി	പി 1	പി 2	…	പി എൻ

ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനെ അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കുന്നത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയുടെ കേവല മൂല്യം കവിയുന്നില്ല എന്നതിൻ്റെ സാധ്യത കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ചുമതല നമുക്ക് സ്വയം സജ്ജമാക്കാം. e വേണ്ടത്ര ചെറുതാണെങ്കിൽ, അതിനുള്ള സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കും എക്സ്മൂല്യങ്ങൾ അതിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയോട് വളരെ അടുത്ത് എടുക്കും. P.L. Chebyshev ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള എസ്റ്റിമേറ്റ് നൽകാൻ അനുവദിക്കുന്ന ഒരു അസമത്വം തെളിയിച്ചു.

ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വം. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് കേവല മൂല്യത്തിൽ വ്യതിയാനം സംഭവിക്കുന്നത് പോസിറ്റീവ് സംഖ്യയേക്കാൾ കുറവായിരിക്കും e. 1-ഡി(എക്സ്)/ഇ 2 :

ആർ(|എക്സ് -എം(എക്സ്)|< e ) 1-ഡി(എക്സ്)/ഇ 2 .

തെളിവ്. അസമത്വങ്ങൾ നടപ്പിലാക്കുന്നതിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന സംഭവങ്ങൾ മുതൽ |എക്സ്-എം(എക്സ്)|ഒപ്പം |എക്സ്-എം(എക്സ്)| ഇ,വിപരീതമാണ്, അപ്പോൾ അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതായത്.

ആർ(|എക്സ് -എം(എക്സ്)|< e )+ ആർ(|എക്സ് -എം(എക്സ്)| ഇ)= 1.

അതിനാൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള സംഭാവ്യത

ആർ(|എക്സ് -എം(എക്സ്)|< e )= 1- ആർ(|എക്സ് -എം(എക്സ്)| ഇ). (*)

അതിനാൽ, പ്രോബബിലിറ്റി കണക്കാക്കുന്നതിലാണ് പ്രശ്നം വരുന്നത് ആർ(| എച്ച്എം(എക്സ്)| ഇ).

റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വേരിയൻസിനായി എക്സ്പ്രഷൻ എഴുതാം എക്സ്:

ഡി(എക്സ്)= [x 1 -എം(എക്സ്)] 2 പി 1 + [x 2 -എം(എക്സ്)] 2 പി 2 +…+ [x n -M(എക്സ്)]2pn.

വ്യക്തമായും, ഈ തുകയുടെ എല്ലാ നിബന്ധനകളും നെഗറ്റീവ് അല്ല.

നമുക്ക് ആ നിബന്ധനകൾ ഉപേക്ഷിക്കാം | x i-എം(എക്സ്)|<ഇ(ബാക്കിയുള്ള നിബന്ധനകൾക്ക് | x ജെ-എം(എക്സ്)| ഇ), തൽഫലമായി, തുക കുറയ്ക്കാൻ മാത്രമേ കഴിയൂ. നിശ്ചയമായും, എന്ന് അനുമാനിക്കാൻ നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം കെആദ്യ നിബന്ധനകൾ (സാമാന്യത നഷ്ടപ്പെടാതെ, വിതരണ പട്ടികയിൽ സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ കൃത്യമായി ഈ ക്രമത്തിൽ അക്കമിട്ടിട്ടുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം). അങ്ങനെ,

ഡി(എക്സ്) [x k + 1 -എം(എക്സ്)] 2 p k + 1 + [x k + 2 -എം(എക്സ്)] 2 p k + z + ... +[x n -M(എക്സ്)] 2 pn.

അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശവും ശ്രദ്ധിക്കുക | x ജെ - എം(എക്സ്)| ഇ (ജെ = കെ+1, കെ+ 2, ..., എൻ) പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ, അവയെ വർഗ്ഗീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് തുല്യമായ അസമത്വം ലഭിക്കും | x ജെ - എം(എക്സ്)| 2 ഇ 2നമുക്ക് ഈ പരാമർശം ഉപയോഗിക്കുകയും ബാക്കിയുള്ള തുകയിലെ ഓരോ ഘടകങ്ങളും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുകയും ചെയ്യാം | x ജെ - എം(എക്സ്)| 2 എണ്ണം ഇ 2(ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അസമത്വം വർദ്ധിപ്പിക്കാൻ മാത്രമേ കഴിയൂ), നമുക്ക് ലഭിക്കും

ഡി(എക്സ്) ഇ 2 (r k+ 1 + പി കെ + 2 +… + р n). (**)

സങ്കലന സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക r k+ 1 + പി കെ + 2 +… + р nഅതിനുള്ള സാധ്യതയുണ്ട് എക്സ്മൂല്യം എന്തായാലും എടുക്കും x k + 1 , x k+ 2 ,....x p,അവയിലേതെങ്കിലും വ്യതിയാനം അസമത്വത്തെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു | x ജെ - എം(എക്സ്)| ഇതുടർന്നാണ് തുക r k+ 1 + പി കെ + 2 +… + р nസംഭാവ്യത പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

പി(|എക്സ് - എം(എക്സ്)| ഇ).

ഈ പരിഗണന അസമത്വം (**) ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ മാറ്റിയെഴുതാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു:

ഡി(എക്സ്) ഇ 2 പി(|എക്സ് - എം(എക്സ്)| ഇ),

പി(|എക്സ് - എം(എക്സ്)| ഇ)ഡി(എക്സ്) /ഇ 2 (***)

(*) എന്നതിലേക്ക് (***) പകരം വയ്ക്കുന്നത് അവസാനം നമുക്ക് ലഭിക്കും

പി(|എക്സ് - എം(എക്സ്)| <ഇ) 1-ഡി(എക്സ്) /ഇ 2 ,

ക്യു.ഇ.ഡി.

അഭിപ്രായം. ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വത്തിന് പരിമിതമായ പ്രായോഗിക പ്രാധാന്യമുണ്ട്, കാരണം അത് പലപ്പോഴും പരുക്കനും ചിലപ്പോൾ നിസ്സാരവുമായ (താൽപ്പര്യമില്ലാത്ത) മതിപ്പ് നൽകുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, എങ്കിൽ ഡി(എക്സ്)> ഇ 2 അതിനാൽ ഡി(എക്സ്)/ഇ 2 > 1 പിന്നെ 1 -ഡി(എക്സ്)/ഇ 2 < 0; അതിനാൽ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വം സൂചിപ്പിക്കുന്നത് വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആണെന്ന് മാത്രമാണ്, ഇത് ഇതിനകം തന്നെ വ്യക്തമാണ്, കാരണം ഏത് സാധ്യതയും ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് സംഖ്യയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കപ്പെടുന്നു.

ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വത്തിൻ്റെ സൈദ്ധാന്തിക പ്രാധാന്യം വളരെ വലുതാണ്. ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരാൻ ഞങ്ങൾ ഈ അസമത്വം താഴെ ഉപയോഗിക്കും.

ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം

ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം. X ആണെങ്കിൽ 1 , എക്സ് 2 ,..., X n, ...-ജോഡിവൈസ് ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ, അവയുടെ വ്യതിയാനങ്ങൾ ഒരേപോലെ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു(C സ്ഥിരമായ സംഖ്യയിൽ കൂടരുത്), അപ്പോൾ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ e എത്ര ചെറുതാണെങ്കിലും, അസമത്വത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകളിൽ

അതിനാൽ, ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം പറയുന്നത്, പരിമിതമായ വ്യതിയാനങ്ങളുള്ള ധാരാളം സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ പരിഗണിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഇവൻ്റ് ഏതാണ്ട് വിശ്വസനീയമായി കണക്കാക്കാം, ക്രമരഹിത വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിത ശരാശരിയുടെ വ്യതിയാനം അവയുടെ ഗണിത ശരാശരിയിൽ നിന്ന് വ്യതിചലിക്കുന്നു എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ ഏകപക്ഷീയമായി വലുതായിരിക്കും, കേവല മൂല്യം ചെറുതാണ്

തെളിവ്. നമുക്ക് ഒരു പുതിയ റാൻഡം വേരിയബിൾ പരിചയപ്പെടുത്താം - റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിത ശരാശരി

=(എക്സ് 1 +എക്സ് 2 +…+X n)/എൻ.

നമുക്ക് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണ്ടെത്താം . ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ ഗുണവിശേഷതകൾ ഉപയോഗിച്ച് (സ്ഥിരമായ ഘടകം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം, തുകയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ പദങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്), ഞങ്ങൾ നേടുന്നു

എം = . (*)

ചെബിഷേവിൻ്റെ അസമത്വം അളവിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു, നമുക്കുണ്ട്

വലത് വശം (***) അസമത്വത്തിലേക്ക് (**) മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു (അതുകൊണ്ടാണ് രണ്ടാമത്തേത് ശക്തിപ്പെടുത്താൻ കഴിയുക), ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്

ഇവിടെ നിന്ന്, എന്ന പരിധിയിലേക്ക് കടന്നാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കും

അവസാനമായി, പ്രോബബിലിറ്റി ഒന്നിൽ കവിയാൻ കഴിയില്ല എന്നത് കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഒടുവിൽ എഴുതാം

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

മുകളിൽ, ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തുമ്പോൾ, ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾക്ക് വ്യത്യസ്ത ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിച്ചു. പ്രായോഗികമായി, റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് ഒരേ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുണ്ടെന്ന് പലപ്പോഴും സംഭവിക്കാറുണ്ട്. വ്യക്തമായും, ഈ അളവുകളുടെ വ്യാപനങ്ങൾ പരിമിതമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ വീണ്ടും അനുമാനിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം അവർക്ക് ബാധകമാകും.

ക്രമരഹിതമായ ഓരോ വേരിയബിളുകളുടെയും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം എ;പരിഗണനയിലിരിക്കുന്ന സാഹചര്യത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളുടെ ഗണിത ശരാശരി, കാണാൻ എളുപ്പമുള്ളതും തുല്യമാണ് എ.പരിഗണനയിലിരിക്കുന്ന പ്രത്യേക കേസിനായി നമുക്ക് ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്താം.

X ആണെങ്കിൽ 1 , എക്സ് 2 , ..., എച്ച്പി...-ഒരേ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുള്ള ജോഡിവൈസ് ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ a, ഈ വേരിയബിളുകളുടെ വ്യത്യാസങ്ങൾ ഒരേപോലെ പരിമിതമാണെങ്കിൽ, സംഖ്യ എത്ര ചെറുതാണെങ്കിലും e> ഓ, അസമത്വത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത

റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ എണ്ണം ആവശ്യത്തിന് വലുതാണെങ്കിൽ, ആവശ്യമുള്ളത്ര ഏകത്വത്തോട് അടുക്കും.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകളിൽ സമത്വം ഉണ്ടാകും

ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സാരാംശം

തെളിയിക്കപ്പെട്ട സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സാരാംശം ഇപ്രകാരമാണ്: വ്യക്തിഗത സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് അവയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളിൽ നിന്ന് വളരെ അകലെ മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിലും, ഉയർന്ന സംഭാവ്യതയുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഗണിത ശരാശരി ഒരു നിശ്ചിത സ്ഥിരതയ്ക്ക് സമീപമുള്ള മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. നമ്പർ, അതായത് നമ്പർ ( എം(എക്സ് 1)+ എം(എക്സ് 2)+...+എം(എക്സ് പി))/എൻ(അല്ലെങ്കിൽ നമ്പറിലേക്ക് എഒരു പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ). മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, വ്യക്തിഗത റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് കാര്യമായ സ്കാറ്റർ ഉണ്ടായിരിക്കാം, അവയുടെ ഗണിത ശരാശരി ചിതറിക്കിടക്കുന്നതാണ്.

അതിനാൽ, ക്രമരഹിതമായ ഓരോ വേരിയബിളുകളും എന്ത് മൂല്യം എടുക്കുമെന്ന് ഒരാൾക്ക് ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ പ്രവചിക്കാൻ കഴിയില്ല, എന്നാൽ അവയുടെ ഗണിത ശരാശരി എന്ത് മൂല്യം എടുക്കുമെന്ന് ഒരാൾക്ക് പ്രവചിക്കാൻ കഴിയും.

അതിനാൽ, സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ മതിയായ സംഖ്യയുടെ ഗണിത ശരാശരി(ആരുടെ വ്യതിയാനങ്ങൾ ഒരേപോലെ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു) ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സ്വഭാവം നഷ്ടപ്പെടുന്നു.അവയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളിൽ നിന്നുള്ള ഓരോ അളവുകളുടെയും വ്യതിയാനങ്ങൾ പോസിറ്റീവും നെഗറ്റീവും ആയിരിക്കാം, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ അവ പരസ്പരം റദ്ദാക്കുന്നു എന്ന വസ്തുതയാണ് ഇത് വിശദീകരിക്കുന്നത്.

ചെബിഷേവിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം വ്യതിരിക്തതയ്ക്ക് മാത്രമല്ല, തുടർച്ചയായ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾക്കും സാധുതയുള്ളതാണ്; അവൾ ആകുന്നു ഒരു തിളങ്ങുന്ന ഉദാഹരണം, അവസരവും ആവശ്യകതയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധത്തെക്കുറിച്ചുള്ള വൈരുദ്ധ്യാത്മക ഭൗതികവാദത്തിൻ്റെ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സാധുത സ്ഥിരീകരിക്കുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷഡിസ്ക്രീറ്റ് റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്, മൂല്യങ്ങളുടെ പരിമിതമായ എണ്ണം എടുക്കുന്നു എക്സ്ഐസാധ്യതകളോടെ ആർഐ, തുക വിളിക്കുന്നു:

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷതുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ അവിഭാജ്യഘടകം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എക്സ്പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റിയിൽ എഫ്(x):

(6ബി)

അനുചിതമായ ഇൻ്റഗ്രൽ (6 ബി) തികച്ചും കൂടിച്ചേരുന്നതായി അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന് അവർ പറയുന്നു എം(എക്സ്) നിലവിലില്ല). ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ സവിശേഷത ശരാശരി മൂല്യംറാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്. അതിൻ്റെ അളവ് ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ അളവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ സവിശേഷതകൾ:

വിസരണം. വ്യത്യാസംറാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്നമ്പർ വിളിക്കുന്നു:

വ്യത്യാസം ആണ് ചിതറിക്കിടക്കുന്ന സ്വഭാവംറാൻഡം വേരിയബിൾ മൂല്യങ്ങൾ എക്സ്അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യവുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ എം(എക്സ്). വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ അളവ് ക്രമരഹിതമായ ചതുരത്തിൻ്റെ അളവിന് തുല്യമാണ്. വേരിയൻസ് (8), ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ (5) എന്നിവയുടെ വ്യതിരിക്തമായ റാൻഡം വേരിയബിളിനും (6) തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിനും, വ്യതിയാനത്തിന് സമാനമായ പദപ്രയോഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു:

(9)

ഇവിടെ എം = എം(എക്സ്).

വിസർജ്ജന സവിശേഷതകൾ:

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ:

(11)

ശരാശരിയുടെ അളവ് മുതൽ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനംഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന് സമാനമായി, ഇത് പലപ്പോഴും വ്യതിയാനത്തേക്കാൾ വ്യാപനത്തിൻ്റെ അളവുകോലായി ഉപയോഗിക്കുന്നു.

വിതരണത്തിൻ്റെ നിമിഷങ്ങൾ. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുടെയും ചിതറിപ്പോയതിൻ്റെയും ആശയങ്ങൾ കൂടുതൽ പ്രത്യേക സന്ദർഭങ്ങളാണ് പൊതു ആശയംറാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾക്കായി - വിതരണ നിമിഷങ്ങൾ. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ നിമിഷങ്ങൾ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ചില ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകളായി അവതരിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ക്രമത്തിൻ്റെ നിമിഷം കെപോയിൻ്റുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു എക്സ് 0 നെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്ന് വിളിക്കുന്നു എം(എക്സ്–എക്സ് 0 )കെ. ഉത്ഭവത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നിമിഷങ്ങൾ എക്സ്= 0 എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു പ്രാരംഭ നിമിഷങ്ങൾകൂടാതെ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

(12)

ആദ്യ ഓർഡറിൻ്റെ പ്രാരംഭ നിമിഷം പരിഗണനയിലുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രമാണ്:

(13)

വിതരണ കേന്ദ്രത്തെക്കുറിച്ചുള്ള നിമിഷങ്ങൾ എക്സ്= എംവിളിക്കപ്പെടുന്നു കേന്ദ്ര പോയിൻ്റുകൾകൂടാതെ നിയുക്തമാക്കിയിരിക്കുന്നു:

(14)

(7) മുതൽ, ആദ്യ-ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്:

കേന്ദ്ര നിമിഷങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ഉത്ഭവത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, കാരണം സ്ഥിരമായ മൂല്യം മാറ്റുമ്പോൾ കൂടെഅതിൻ്റെ വിതരണ കേന്ദ്രം അതേ മൂല്യത്തിൽ മാറുന്നു കൂടെ, കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്നുള്ള വ്യതിയാനം മാറില്ല: എക്സ് – എം = (എക്സ് – കൂടെ) – (എം – കൂടെ).
ഇപ്പോൾ അത് വ്യക്തമാണ് വിസരണം- ഇത് രണ്ടാം ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം:

അസമമിതി. മൂന്നാം ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം:

(17)

മൂല്യനിർണ്ണയത്തിനായി സേവിക്കുന്നു വിതരണ അസമമിതികൾ. വിതരണം പോയിൻ്റിനെക്കുറിച്ച് സമമിതിയിലാണെങ്കിൽ എക്സ്= എം, അപ്പോൾ മൂന്നാം-ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും (വിചിത്ര ഓർഡറുകളുടെ എല്ലാ സെൻട്രൽ നിമിഷങ്ങളും പോലെ). അതിനാൽ, മൂന്നാം ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം പൂജ്യത്തിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണെങ്കിൽ, വിതരണം സമമിതിയാകാൻ കഴിയില്ല. അസമമിതിയുടെ വ്യാപ്തി അളക്കുന്നത് ഒരു അളവില്ലാത്തതാണ് അസമമിതി ഗുണകം:

(18)

അസമമിതി ഗുണകത്തിൻ്റെ (18) അടയാളം വലത്- അല്ലെങ്കിൽ ഇടത്-വശ അസമമിതിയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു (ചിത്രം 2).

അരി. 2. വിതരണ അസമമിതിയുടെ തരങ്ങൾ.

അധികമായി. നാലാമത്തെ ഓർഡർ സെൻട്രൽ നിമിഷം:

(19)

വിളിക്കപ്പെടുന്നവയെ വിലയിരുത്താൻ സഹായിക്കുന്നു അധികമായി, ഇത് സാധാരണ വിതരണ വക്രവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് വിതരണത്തിൻ്റെ മധ്യത്തിനടുത്തുള്ള വിതരണ വക്രത്തിൻ്റെ കുത്തനെയുള്ള (പീക്ക്‌നെസ്) അളവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിന്, കുർട്ടോസിസായി എടുത്ത മൂല്യം ഇതാണ്:

(20)

ചിത്രത്തിൽ. വ്യത്യസ്ത കുർട്ടോസിസ് മൂല്യങ്ങളുള്ള വിതരണ വളവുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ചിത്രം 3 കാണിക്കുന്നു. സാധാരണ വിതരണത്തിന് ഇ= 0. സാധാരണയേക്കാൾ കൂടുതൽ കൊടുമുടിയുള്ള വളവുകൾക്ക് പോസിറ്റീവ് കുർട്ടോസിസും കൂടുതൽ പരന്ന ടോപ്പുള്ളവയ്ക്ക് നെഗറ്റീവ് കുർട്ടോസിസും ഉണ്ട്.

അരി. 3. കൂടെ വിതരണ വളവുകൾ വ്യത്യസ്ത ഡിഗ്രികൾതണുപ്പ് (അധികം).

എഞ്ചിനീയറിംഗ് ആപ്ലിക്കേഷനുകളിലെ ഉയർന്ന ഓർഡർ നിമിഷങ്ങൾ ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾസാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കാറില്ല.

ഫാഷൻ വ്യതിരിക്തമായഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ അതിൻ്റെ ഏറ്റവും സാധ്യതയുള്ള മൂല്യമാണ്. ഫാഷൻ തുടർച്ചയായഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്നത് പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി പരമാവധി ആയ അതിൻ്റെ മൂല്യമാണ് (ചിത്രം 2). വിതരണ വക്രത്തിന് പരമാവധി ഒന്നുണ്ടെങ്കിൽ, വിതരണത്തെ വിളിക്കുന്നു ഏകീകൃതമായ. ഒരു വിതരണ വക്രത്തിന് പരമാവധി ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ഉണ്ടെങ്കിൽ, വിതരണത്തെ വിളിക്കുന്നു മൾട്ടിമോഡൽ. ചിലപ്പോൾ വിതരണങ്ങൾ ഉണ്ട്, അവയുടെ വളവുകൾ പരമാവധി എന്നതിനേക്കാൾ കുറഞ്ഞതാണ്. അത്തരം വിതരണങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു വിരുദ്ധ മോഡൽ. IN പൊതുവായ കേസ്ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മോഡും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ, വേണ്ടി മോഡൽ, അതായത്. ഒരു മോഡ്, സമമിതി വിതരണവും ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുണ്ടെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തേത് വിതരണത്തിൻ്റെ സമമിതിയുടെ മോഡും കേന്ദ്രവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

മീഡിയൻ റാൻഡം വേരിയബിൾ എക്സ്- ഇതാണ് അതിൻ്റെ അർത്ഥം മേഹ്, അതിന് തുല്യത നിലനിൽക്കുന്നു: അതായത്. റാൻഡം വേരിയബിൾ ആകാൻ ഒരുപോലെ സാധ്യതയുണ്ട് എക്സ്കുറവോ കൂടുതലോ ആയിരിക്കും മേഹ്. ജ്യാമിതീയമായി ഇടത്തരംവിതരണ വക്രത്തിന് കീഴിലുള്ള വിസ്തീർണ്ണം പകുതിയായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്ന ബിന്ദുവിൻ്റെ abscissa ആണ് (ചിത്രം 2). ഒരു സമമിതി മോഡൽ വിതരണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, മീഡിയൻ, മോഡ്, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ എന്നിവ ഒന്നുതന്നെയാണ്.