യൂണിഫോം വിതരണം.ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം എക്സ്ഒരു സെഗ്മെൻ്റിൽ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളുടെ അർത്ഥമുണ്ട്
[എ, ബി. ഏകീകൃത സാന്ദ്രതക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ വിതരണം എക്സ്(ചിത്രം 10.5, എ)ഇങ്ങനെ നിർവചിക്കാം:
അരി. 10.5 റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഏകീകൃത വിതരണം: എ- വിതരണ സാന്ദ്രത; ബി- വിതരണ പ്രവർത്തനം
റാൻഡം വേരിയബിൾ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ എക്സ്ഫോം ഉണ്ട്:
യൂണിഫോം ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 10.5, ബി.
(10.3) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഏകീകൃത വിതരണത്തിൻ്റെ ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:
പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യവും വ്യത്യാസവും അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങളിൽ നിന്ന് നേരിട്ട് കണക്കാക്കാം: 
ഫോർമുലകൾ (10.8), (10.9) ഉപയോഗിച്ച് ലാപ്ലേസ് ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കും വ്യാപനത്തിനും സമാനമായ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും.
ഒരു ഏകീകൃത വിതരണത്തിലൂടെ വിവരിക്കാവുന്ന ഒരു സേവന സംവിധാനത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം.
കവലയിലെ ട്രാഫിക് നിയന്ത്രിക്കുന്നത് ഒരു ഓട്ടോമാറ്റിക് ട്രാഫിക് ലൈറ്റാണ്, അതിൽ പച്ച ലൈറ്റ് 1 മിനിറ്റും ചുവപ്പ് 0.5 മിനിറ്റും ഓണാണ്. ഡ്രൈവർമാർ ഒരു കവലയെ സമീപിക്കുന്നു ക്രമരഹിതമായ നിമിഷങ്ങൾട്രാഫിക് ലൈറ്റിൻ്റെ പ്രവർത്തനവുമായി ബന്ധമില്ലാത്ത ഏകീകൃത വിതരണത്തോടുകൂടിയ സമയം. ഒരു കാർ നിർത്താതെ കവലയിലൂടെ കടന്നുപോകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്താം.
ഒരു കാർ കവലയിലൂടെ കടന്നുപോകുന്ന നിമിഷം 1 + 0.5 = 1.5 മിനിറ്റ് ഇടവേളയിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യുന്നു. ഇൻ്റർസെക്‌ഷൻ കടന്നുപോകുന്ന നിമിഷം സമയ ഇടവേളയിൽ വീണാൽ കാർ നിർത്താതെ കവലയിലൂടെ കടന്നുപോകും. ഒരു ഇടവേളയിൽ ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിന്, ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത 1/1.5=2/3 ആണ്. കാത്തിരിപ്പ് സമയം Гож ഒരു മിക്സഡ് റാൻഡം വേരിയബിളാണ്. പ്രോബബിലിറ്റി 2/3 ഉപയോഗിച്ച് ഇത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ 0.5/1.5 പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ 0 മുതൽ 0.5 മിനിറ്റ് വരെ ഏത് മൂല്യവും എടുക്കും. അതിനാൽ, കവലയിലെ ശരാശരി കാത്തിരിപ്പ് സമയവും വ്യത്യാസവും
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ (എക്സ്പോണൻഷ്യൽ) വിതരണം.ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനു വേണ്ടി, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രത ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
ഇവിടെ എ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പാരാമീറ്റർ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഗ്രാഫ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 10.6, എ.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ ഫംഗ്‌ഷന് ഫോം ഉണ്ട്
അരി. 10.6 ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ: എ- വിതരണ സാന്ദ്രത; b -വിതരണ പ്രവർത്തനം
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 10.6, 6.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നത് (10.3):
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനായി നമുക്ക് അത് കാണിക്കാം X,ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉള്ളത്, പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യംസ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ a ന് തുല്യവും A പരാമീറ്ററിന് വിപരീതമായി:
അതിനാൽ, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനു വേണ്ടി നമുക്കുണ്ട്: അതും കാണിക്കാം
ആ. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പൂർണ്ണമായും ശരാശരി അല്ലെങ്കിൽ പരാമീറ്റർ മുഖേനയാണ് എക്സ് .
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ വിതരണത്തിന് ഒരു സംഖ്യയുണ്ട് പ്രയോജനകരമായ ഗുണങ്ങൾ, മോഡലിംഗ് സേവന സംവിധാനങ്ങളിൽ ഉപയോഗിക്കുന്നവ. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇതിന് മെമ്മറി ഇല്ല. എപ്പോൾ 
, അത്
മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ സമയവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ, ശേഷിക്കുന്ന കാലയളവിൻ്റെ വിതരണം ഇതിനകം കടന്നുപോയ സമയത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 10.7
അരി. 10.7
ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ഓപ്പറേറ്റിംഗ് പാരാമീറ്ററുകൾ വിവരിക്കാവുന്ന ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണം നോക്കാം.
ഒരു ഉപകരണം പ്രവർത്തിക്കുമ്പോൾ, ക്രമരഹിതമായ സമയങ്ങളിൽ തകരാറുകൾ സംഭവിക്കുന്നു. ഉപകരണത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തന സമയം ടിഅതിൻ്റെ സ്വിച്ച് ഓൺ മുതൽ ഒരു തകരാർ സംഭവിക്കുന്നത് വരെ പാരാമീറ്ററുള്ള ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യും എക്സ്.ഒരു തകരാർ കണ്ടെത്തിയാൽ, ഉപകരണം ഉടനടി അറ്റകുറ്റപ്പണിയിലേക്ക് പോകുന്നു, അത് സമയം / 0 വരെ നീണ്ടുനിൽക്കും. അടുത്തുള്ള രണ്ട് തകരാറുകൾക്കിടയിലുള്ള Г സമയ ഇടവേളയുടെ സാന്ദ്രതയും വിതരണ പ്രവർത്തനവും നമുക്ക് കണ്ടെത്താം, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയും വ്യതിചലനവും, അതുപോലെ തന്നെ സമയത്തിൻ്റെ സാധ്യതയും. ടി എക്സ്ഇനിയും ഉണ്ടാകും 2t 0.
അന്ന് മുതൽ
സാധാരണ വിതരണം.സാന്ദ്രതയാൽ വിവരിക്കപ്പെടുന്ന തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനാണ് നോർമൽ.
(10.48) മുതൽ അത് പിന്തുടരുന്നു സാധാരണ വിതരണംരണ്ട് പാരാമീറ്ററുകളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു - ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ടിചിതറിക്കൽ a 2. സാധാരണ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഗ്രാഫ് t= 0, 2 =1 എന്നിവ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 10.8, എ.
അരി. 10.8 ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാധാരണ വിതരണ നിയമം ടി= 0, st 2 = 1: എ- സാധ്യത സാന്ദ്രത; 6 - വിതരണ പ്രവർത്തനം
വിതരണ പ്രവർത്തനം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് വിവരിക്കുന്നു
സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ടി= 0, 2 = 1 എന്നിവ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 10.8, ബി.
അതിനുള്ള സാധ്യത നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം എക്സ്ഇടവേളയിൽ (a, p) ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു മൂല്യം എടുക്കും:
എവിടെ 
ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അതിനുള്ള സാധ്യത
എന്ത് യഥാർത്ഥ മൂല്യംപോസിറ്റീവ് നമ്പർ 6-ൽ താഴെയുള്ള വ്യതിയാനങ്ങൾ:
പ്രത്യേകിച്ചും, എപ്പോൾ t = 0 സമത്വം ശരിയാണ്:
നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ഒരു സാധാരണ വിതരണമുള്ള ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന് പോസിറ്റീവ്, നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കാം. അതിനാൽ, നിമിഷങ്ങൾ കണക്കാക്കാൻ രണ്ട്-വഴി ലാപ്ലേസ് പരിവർത്തനം ഉപയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്
എന്നിരുന്നാലും, ഈ അവിഭാജ്യഘടകം നിലനിൽക്കണമെന്നില്ല. അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ, (10.50) എന്നതിന് പകരം സാധാരണയായി പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിക്കുന്നു
വിളിക്കപ്പെടുന്ന സ്വഭാവ സവിശേഷതഅഥവാ നിമിഷങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനം സൃഷ്ടിക്കുന്നു.
ഫോർമുല (10.51) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ നിമിഷങ്ങളുടെ ജനറേറ്റിംഗ് ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കാം:
സബ്എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ എക്‌സ്‌പ്രെഷൻ്റെ ന്യൂമറേറ്ററിനെ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന ഫോമിലേക്ക് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തിയ ശേഷം
ഇൻ്റഗ്രൽ
കാരണം ഇത് പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം സാധാരണ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റിയുടെ അവിഭാജ്യഘടകമാണ് t + അങ്ങനെ 2കൂടാതെ ഒരു 2. അതിനാൽ,
വേർതിരിക്കുക (10.52), നമുക്ക് ലഭിക്കും
ഈ പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ നിന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്താനാകും:
സാധാരണ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പ്രായോഗികമായി വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നു, കാരണം, സെൻട്രൽ ലിമിറ്റ് സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്നത് വളരെ വലിയ സംഖ്യയുടെ പരസ്പര സ്വതന്ത്രമായ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ആകെത്തുകയാണെങ്കിൽ, അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും സ്വാധീനം മുഴുവൻ തുകയിലും തുച്ഛമാണ്, പിന്നെ ഇതിന് സാധാരണ വിതരണത്തിന് അടുത്താണ്.
ഒരു സാധാരണ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഉപയോഗിച്ച് പാരാമീറ്ററുകൾ വിവരിക്കാവുന്ന ഒരു സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.
ഒരു നിശ്ചിത വലുപ്പത്തിൻ്റെ ഒരു ഭാഗം കമ്പനി ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്നു. ഒരു ഭാഗത്തിൻ്റെ ഗുണനിലവാരം അതിൻ്റെ വലിപ്പം അളന്ന് വിലയിരുത്തുന്നു. ക്രമരഹിതമായ അളവെടുപ്പ് പിശകുകൾ സാധാരണ വ്യതിയാനത്തോടുകൂടിയ സാധാരണ നിയമത്തിന് വിധേയമാണ് എ - Yumkm. അളക്കൽ പിശക് 15 മൈക്രോണിൽ കൂടാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്താം.
(10.49) മുതൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു
പരിഗണിക്കപ്പെട്ട വിതരണങ്ങളുടെ എളുപ്പത്തിനായി, പട്ടികയിൽ ലഭിച്ച സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ സംഗ്രഹിക്കുന്നു. 10.1 ഉം 10.2 ഉം.
പട്ടിക 10.1. തുടർച്ചയായ വിതരണത്തിൻ്റെ അടിസ്ഥാന സവിശേഷതകൾ
പട്ടിക 10.2. തുടർച്ചയായ വിതരണങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ സൃഷ്ടിക്കുന്നു
നിയന്ത്രണ ചോദ്യങ്ങൾ
- 1. ഏത് പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളാണ് തുടർച്ചയായി കണക്കാക്കുന്നത്?
- 2. ലാപ്ലേസ്-സ്റ്റീൽറ്റ്ജെസ് രൂപാന്തരം എന്താണ്? ഇത് എന്തിനുവേണ്ടിയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നത്?
- 3. Laplace-Stieltjes പരിവർത്തനം ഉപയോഗിച്ച് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ നിമിഷങ്ങൾ എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?
- 4. സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു തുകയുടെ ലാപ്ലേസ് രൂപാന്തരം എന്താണ്?
- 5. സിഗ്നൽ ഗ്രാഫുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ഒരു സിസ്റ്റം ഒരു അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് മാറുന്ന സമയത്തിൻ്റെ ശരാശരി സമയവും വ്യത്യാസവും എങ്ങനെ കണക്കാക്കാം?
- 6. ഏകീകൃത വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ നൽകുക. സേവന ജോലികളിൽ അതിൻ്റെ ഉപയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക.
- 7. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ നൽകുക. സേവന ജോലികളിൽ അതിൻ്റെ ഉപയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക.
- 8. ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ നൽകുക. സേവന ജോലികളിൽ അതിൻ്റെ ഉപയോഗത്തിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക.
അധ്യായം 6. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ.
§ 1. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്ദ്രതയും വിതരണ പ്രവർത്തനവും.
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ കൂട്ടം കണക്കാക്കാനാവാത്തതും സാധാരണയായി ചില പരിമിതമോ അനന്തമോ ആയ ഇടവേളകളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു.
ഒരു പ്രോബബിലിറ്റി സ്പേസിൽ (W, S, P) നിർവചിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിനെ x(w) എന്ന് വിളിക്കുന്നു തുടർച്ചയായ(തികച്ചും തുടർച്ചയായി) W, ഏതെങ്കിലും x-ന് വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ Fx(x) ഒരു അവിഭാജ്യമായി പ്രതിനിധീകരിക്കാൻ കഴിയുന്ന ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ
ഫംഗ്ഷനെ ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു സംഭാവ്യത വിതരണ സാന്ദ്രത.
ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗുണങ്ങളെ നിർവചനം സൂചിപ്പിക്കുന്നു:
1..gif" width="97" height="51">
3. തുടർച്ചയുടെ പോയിൻ്റുകളിൽ, വിതരണ സാന്ദ്രത വിതരണ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാണ്: .
4. ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ നിയമം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, കാരണം ഇത് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുന്നു:
5. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത പൂജ്യമാണ്: . അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സമത്വങ്ങൾ സാധുവാണ്:
ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനെ വിളിക്കുന്നു വിതരണ വക്രം, കൂടാതെ വിതരണ വക്രവും x-അക്ഷവും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന പ്രദേശം ഏകത്വത്തിന് തുല്യമാണ്. തുടർന്ന്, ജ്യാമിതീയമായി, x0 പോയിൻ്റിലെ വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം Fx(x) എന്നത് വിതരണ വക്രവും x-അക്ഷവും കൊണ്ട് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതും പോയിൻ്റ് x0 ൻ്റെ ഇടതുവശത്ത് കിടക്കുന്നതുമായ പ്രദേശമാണ്.
ടാസ്ക് 1.തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനത്തിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
സ്ഥിരമായ C നിർണ്ണയിക്കുക, വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ Fx(x) നിർമ്മിക്കുകയും പ്രോബബിലിറ്റി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യുക.
പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉള്ള അവസ്ഥയിൽ നിന്ന് സ്ഥിരമായ C കണ്ടെത്തി:
എവിടെ നിന്ന് C=3/8.
ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ Fx(x) നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഇടവേള x (സംഖ്യാ അക്ഷം) ൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണിയെ മൂന്ന് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നു: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" width="264 " height="49">
അർദ്ധ അക്ഷത്തിലെ സാന്ദ്രത x പൂജ്യമായതിനാൽ. രണ്ടാമത്തെ കേസിൽ
അവസാനമായി, അവസാന സന്ദർഭത്തിൽ, x>2,
അർദ്ധ അക്ഷത്തിൽ സാന്ദ്രത അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നതിനാൽ. അതിനാൽ, വിതരണ പ്രവർത്തനം ലഭിക്കുന്നു
സാധ്യത ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് കണക്കാക്കാം. അങ്ങനെ,
§ 2. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ
പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യംതുടർച്ചയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src="> എന്ന ഫോർമുല നിർണ്ണയിച്ചിരിക്കുന്നു.
വലതുവശത്തുള്ള അവിഭാജ്യഘടകം പൂർണ്ണമായി ഒത്തുചേരുകയാണെങ്കിൽ.
വിസരണം x ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം 
, കൂടാതെ, വ്യതിരിക്ത കേസിലെന്നപോലെ, ഫോർമുല https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> പ്രകാരം.
വ്യതിരിക്തമായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്കായി അദ്ധ്യായം 5-ൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെയും വ്യാപനത്തിൻ്റെയും എല്ലാ ഗുണങ്ങളും തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് സാധുവാണ്.
പ്രശ്നം 2. പ്രശ്നം 1-ൽ നിന്നുള്ള റാൻഡം വേരിയബിൾ x-ന്, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും കണക്കാക്കുക .
പരിഹാരം.
അതിനർത്ഥം
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" width="184" height="69 src=">
ഒരു ഏകീകൃത വിതരണ സാന്ദ്രത ഗ്രാഫിനായി, ചിത്രം കാണുക. .
ചിത്രം.6.2. വിതരണ പ്രവർത്തനവും വിതരണ സാന്ദ്രതയും. ഏകീകൃത നിയമം
ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ Fx(x) തുല്യമാണ്
Fx(x)= 
പ്രതീക്ഷയും വ്യത്യാസവും; .
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ (എക്സ്പോണൻഷ്യൽ) വിതരണം.തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ x-ന് നോൺ-നെഗറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുമ്പോൾ, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ തുല്യമാണെങ്കിൽ, പാരാമീറ്റർ l>0 ഉള്ള ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനുണ്ട്.
рx(x)= 
അരി. 6.3 എക്സ്പോണൻഷ്യൽ നിയമത്തിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനവും വിതരണ സാന്ദ്രതയും.
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷന് ഫോം ഉണ്ട്
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> അതിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രത തുല്യമാണെങ്കിൽ
.
ത്രൂ എന്നത് പാരാമീറ്ററുകളും പാരാമീറ്ററുകളും ഉള്ള ഒരു സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്ന എല്ലാ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെയും സെറ്റിനെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനം തുല്യമാണ്
.
അരി. 6.4 വിതരണ പ്രവർത്തനവും സാധാരണ വിതരണ സാന്ദ്രതയും
സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ് https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
പ്രത്യേക സാഹചര്യത്തിൽ എപ്പോൾ https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> സാധാരണ വിതരണത്തെ വിളിക്കുന്നു സ്റ്റാൻഡേർഡ്, കൂടാതെ അത്തരം വിതരണങ്ങളുടെ ക്ലാസ്സിനെ https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> സൂചിപ്പിക്കുന്നു,
വിതരണ ചടങ്ങും
അത്തരമൊരു സമഗ്രത വിശകലനപരമായി കണക്കാക്കാൻ കഴിയില്ല (ഇത് "ക്വാഡ്രേച്ചറിൽ" എടുത്തിട്ടില്ല), അതിനാൽ പ്രവർത്തനത്തിനായി പട്ടികകൾ സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നു. ചാപ്റ്റർ 4-ൽ അവതരിപ്പിച്ച ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ് ഈ പ്രവർത്തനം
,
ഇനിപ്പറയുന്ന ബന്ധം വഴി 
. അനിയന്ത്രിതമായ പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ റിലേഷൻ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷനുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു:
.
അതിനാൽ, സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ ഒരു ഇടവേളയിലേക്ക് വീഴാനുള്ള സാധ്യത ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കാം.
.
ഒരു നോൺ-നെഗറ്റീവ് റാൻഡം വേരിയബിൾ x അതിൻ്റെ ലോഗരിതം h=lnx സാധാരണ നിയമം അനുസരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ അതിനെ ലോഗ്നോർമലി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഡ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ലോഗ്നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഡ് റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യവും വ്യതിയാനവും Mx=, Dx= എന്നിവയാണ്.
ടാസ്ക് 3.ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിന് https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23"> നൽകാം.
പരിഹാരം.ഇവിടെ https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
ലാപ്ലേസ് വിതരണം fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> എന്ന ഫംഗ്ഷൻ നൽകിയിരിക്കുന്നു, കുർട്ടോസിസ് gx=3 ആണ്.
ചിത്രം.6.5. ലാപ്ലേസ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ.
റാൻഡം വേരിയബിൾ x വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു വെയ്ബുള്ളിൻ്റെ നിയമം, അതിന് https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53"> എന്നതിന് തുല്യമായ ഒരു വിതരണ സാന്ദ്രത ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടെങ്കിൽ
Weibull ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പല സാങ്കേതിക ഉപകരണങ്ങളുടെയും പരാജയ രഹിത പ്രവർത്തന സമയത്തെ നിയന്ത്രിക്കുന്നു. ഈ പ്രൊഫൈലിൻ്റെ ചുമതലകളിൽ പ്രധാന സ്വഭാവം l(t)= എന്ന ബന്ധത്താൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ട പ്രായമായ t-യുടെ പഠന ഘടകങ്ങളുടെ പരാജയ നിരക്ക് (മരണനിരക്ക്) l(t) ആണ്. a=1 ആണെങ്കിൽ, Weibull ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനിലേക്കും, a=2 ആണെങ്കിൽ - ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നതിലേക്കും മാറുന്നു. റെയ്ലീ.
Weibull വിതരണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, ഇവിടെ Г(а) ആണ് യൂലർ ചടങ്ങ്.
IN വിവിധ ജോലികൾപ്രായോഗിക സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ, "ചുരുക്കപ്പെട്ട" വിതരണങ്ങൾ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നവ പലപ്പോഴും കണ്ടുമുട്ടാറുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന്, നികുതി നിയമങ്ങളാൽ സ്ഥാപിതമായ ഒരു നിശ്ചിത പരിധി c0 കവിയുന്ന വാർഷിക വരുമാനമുള്ള വ്യക്തികളുടെ വരുമാന വിതരണത്തിൽ നികുതി അധികാരികൾക്ക് താൽപ്പര്യമുണ്ട്. ഈ വിതരണങ്ങൾ പാരെറ്റോ വിതരണവുമായി ഏകദേശം പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. പാരെറ്റോ വിതരണംഫംഗ്ഷനുകൾ വഴി നൽകിയിരിക്കുന്നു
Fx(x)=P(x
ഇവിടെ https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
ടാസ്ക് 4.റാൻഡം വേരിയബിൾ സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്ദ്രത കണ്ടെത്തുക.
പരിഹാരം.പ്രശ്ന സാഹചര്യങ്ങളിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു
അടുത്തതായി, പ്രവർത്തനം ഒരു ഇടവേളയിൽ ഒരു മോണോടോണും ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്ഷനും ഒരു വിപരീത പ്രവർത്തനവുമുണ്ട് 
, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആയതിനാൽ,
§ 5. തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ജോടി
x, h എന്നീ രണ്ട് തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ നൽകട്ടെ. അപ്പോൾ ജോഡി (x, h) വിമാനത്തിൽ ഒരു "റാൻഡം" പോയിൻ്റ് നിർവചിക്കുന്നു. ജോഡി (x, h) എന്ന് വിളിക്കുന്നു ക്രമരഹിതമായ വെക്റ്റർഅഥവാ ദ്വിമാന റാൻഡം വേരിയബിൾ.
സംയുക്ത വിതരണ പ്രവർത്തനംറാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവയും ഫംഗ്ഷനെ F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> എന്ന് വിളിക്കുന്നു. സംയുക്ത സാന്ദ്രതറാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവയുടെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനെ അത്തരത്തിലുള്ള ഒരു ഫംഗ്ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു 
.
സംയുക്ത വിതരണ സാന്ദ്രതയുടെ ഈ നിർവചനത്തിൻ്റെ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്. ഒരു "റാൻഡം പോയിൻ്റ്" (x, h) ഒരു വിമാനത്തിലെ ഒരു മേഖലയിലേക്ക് വീഴാനുള്ള സാധ്യത ഒരു ത്രിമാന രൂപത്തിൻ്റെ വോളിയമായി കണക്കാക്കുന്നു - ഉപരിതലത്തിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു "കർവിലീനിയർ" സിലിണ്ടർ https://pandia.ru/ വാചകം/78/107/images/image098_3 വീതി = "211" ഉയരം = "39 src=">
രണ്ട് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സംയുക്ത വിതരണത്തിൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ ഉദാഹരണം ദ്വിമാനമാണ് സെറ്റിൽ യൂണിഫോം വിതരണംഎ. ഒരു ബൗണ്ടഡ് സെറ്റ് എം നൽകട്ടെ, ഇത് ജോഡിയുടെ (x, h) വിതരണമായി നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു, ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന സംയുക്ത സാന്ദ്രതയാൽ നിർവചിക്കപ്പെടുന്നു:
ടാസ്ക് 5.ഒരു ദ്വിമാന റാൻഡം വെക്റ്റർ (x, h) ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടട്ടെ. അസമത്വത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത x>h കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം.സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ത്രികോണത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം തുല്യമാണ് (ചിത്രം നമ്പർ കാണുക?). ദ്വിമാന ഏകീകൃത വിതരണത്തിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളുടെ സംയുക്ത സാന്ദ്രത x, h തുല്യമാണ്
ഒരു ഇവൻ്റ് ഒരു സെറ്റുമായി യോജിക്കുന്നു 
ഒരു വിമാനത്തിൽ, അതായത് ഒരു പകുതി വിമാനത്തിൽ. അപ്പോൾ സാധ്യത
അർദ്ധ-തലം B-യിൽ, ജോയിൻ്റ് ഡെൻസിറ്റി സെറ്റിന് പുറത്ത് പൂജ്യമാണ് https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17">. അങ്ങനെ, അർദ്ധ-തലം ബി രണ്ട് സെറ്റുകളായി വിഭജിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു കൂടാതെ https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> ഒപ്പം , രണ്ടാമത്തെ അവിഭാജ്യവും തുല്യമാണ് പൂജ്യം, അവിടെ സംയുക്ത സാന്ദ്രത പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായതിനാൽ. അതുകൊണ്ടാണ്
ഒരു ജോഡിക്ക് (x, h) സംയുക്ത വിതരണ സാന്ദ്രത നൽകിയാൽ, x, h എന്നീ രണ്ട് ഘടകങ്ങളുടെയും സാന്ദ്രതയെ വിളിക്കുന്നു. സ്വകാര്യ സാന്ദ്രതസൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" width="224" height="23 src=">
തുടർച്ചയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾക്ക് സാന്ദ്രത рx(х), рh(у), സ്വാതന്ത്ര്യം അർത്ഥമാക്കുന്നത്
ടാസ്ക് 6.മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ, റാൻഡം വെക്റ്റർ x, h എന്നിവയുടെ ഘടകങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കണോ?
പരിഹാരം. നമുക്ക് ഭാഗിക സാന്ദ്രതയും കണക്കാക്കാം. നമുക്ക് ഉണ്ട്:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" width="283" height="61 src=">
വ്യക്തമായും, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> എന്നത് x, h, j( എന്നീ അളവുകളുടെ സംയുക്ത സാന്ദ്രതയാണ്. x, y) രണ്ട് ആർഗ്യുമെൻ്റുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ്, അപ്പോൾ
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" width="184" height="152 src=">
ടാസ്ക് 7.മുമ്പത്തെ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയിൽ, കണക്കുകൂട്ടുക .
പരിഹാരം.മുകളിലുള്ള സൂത്രവാക്യം അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:
.
ത്രികോണത്തെ ഇങ്ങനെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" width="479" height="59">
§ 5. തുടർച്ചയായ രണ്ട് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സാന്ദ്രത
x, h എന്നിവ സാന്ദ്രതയുള്ള സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ആകട്ടെ https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്ദ്രത x + h എന്നത് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചാണ് കണക്കാക്കുന്നത് കൺവ്യൂഷൻ
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. തുകയുടെ സാന്ദ്രത കണക്കാക്കുക.
പരിഹാരം.എക്സ്പോണൻഷ്യൽ നിയമം അനുസരിച്ച് പാരാമീറ്ററിനൊപ്പം വിതരണം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, അവയുടെ സാന്ദ്രത തുല്യമാണ്
അതിനാൽ,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
x ആണെങ്കിൽ<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">നെഗറ്റീവ് ആണ്, അതിനാൽ . അതിനാൽ, https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101"> എങ്കിൽ
അങ്ങനെ ഞങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം ലഭിച്ചു:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> സാധാരണയായി 0, 1 പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x1, x2 എന്നിവ സ്വതന്ത്രവും സാധാരണവുമാണ് യഥാക്രമം a1, a2 എന്നീ പാരാമീറ്ററുകളുള്ള വിതരണങ്ങൾ, x1, x2, ... xn എന്ന ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾക്ക് ഒരേ വിതരണ സാന്ദ്രത ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടെന്ന് തെളിയിക്കുക.
.
മൂല്യങ്ങളുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ വിതരണ പ്രവർത്തനവും സാന്ദ്രതയും കണ്ടെത്തുക:
a) h1 = മിനിറ്റ് (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = പരമാവധി (x1,x2, ... xn)
റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x1, x2, ... xn സ്വതന്ത്രവും [a, b] ഇടവേളയിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യുന്നതുമാണ്. അളവുകളുടെ വിതരണങ്ങളുടെ വിതരണ പ്രവർത്തനങ്ങളും സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനങ്ങളും കണ്ടെത്തുക
x(1) = മിനിറ്റ് (x1,x2, ... xn) കൂടാതെ x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47"> എന്ന് തെളിയിക്കുക.
റാൻഡം വേരിയബിൾ കൗച്ചിയുടെ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു കണ്ടെത്തുക: a) ഗുണകം a; ബി) വിതരണ പ്രവർത്തനം; സി) ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത (-1, 1). x ൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ നിലവിലില്ലെന്ന് കാണിക്കുക. റാൻഡം വേരിയബിൾ l (l>0) എന്ന പരാമീറ്റർ ഉള്ള ലാപ്ലേസിൻ്റെ നിയമത്തിന് വിധേയമാണ്: ഗുണകം a കണ്ടെത്തുക; വിതരണ സാന്ദ്രത ഗ്രാഫുകളും വിതരണ പ്രവർത്തനങ്ങളും നിർമ്മിക്കുക; Mx, Dx എന്നിവ കണ്ടെത്തുക; സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്തുക (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്കായി ഒരു ഫോർമുല എഴുതുക, Mx, Dx എന്നിവ കണ്ടെത്തുക.
കമ്പ്യൂട്ടേഷണൽ ജോലികൾ.
ഒരു റാൻഡം പോയിൻ്റ് A ന് R ആരത്തിൻ്റെ ഒരു വൃത്തത്തിൽ ഒരു ഏകീകൃത വിതരണമുണ്ട്. വൃത്തത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രത്തിലേക്കുള്ള പോയിൻ്റിൻ്റെ r ദൂരത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യത്യാസവും കണ്ടെത്തുക. മൂല്യം r2 സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്തിട്ടുണ്ടെന്ന് കാണിക്കുക. 
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്: 
സ്ഥിരമായ C, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x), പ്രോബബിലിറ്റി എന്നിവ കണക്കാക്കുക 
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്: 
സ്ഥിരമായ C, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ F(x), പ്രോബബിലിറ്റി എന്നിവ കണക്കാക്കുക 
റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്: 
സ്ഥിരമായ C, വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ F(x), വ്യതിയാനം, പ്രോബബിലിറ്റി എന്നിവ കണക്കാക്കുക 
റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ സാന്ദ്രത കണക്കാക്കുക, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ, വ്യതിയാനം, പ്രോബബിലിറ്റി എന്നിവ ഫംഗ്ഷൻ = എന്ന് പരിശോധിക്കുക 
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കാം. ഈ അളവിൻ്റെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ കണ്ടെത്തുക: Mx, Dx. റാൻഡം വേരിയബിൾ സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. വിതരണ സാന്ദ്രത എഴുതുക. വിതരണ പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്തുക. സെഗ്‌മെൻ്റിലും സെഗ്‌മെൻ്റിലും റാൻഡം വേരിയബിൾ വീഴാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. വിതരണ സാന്ദ്രത x തുല്യമാണ്
.
സ്ഥിരമായ c, വിതരണ സാന്ദ്രത h = പ്രോബബിലിറ്റി എന്നിവ കണ്ടെത്തുക
പി (0.25 ഒരു കമ്പ്യൂട്ടറിൻ്റെ പരാജയ രഹിത പ്രവർത്തന സമയം l = 0.05 (മണിക്കൂറിൽ പരാജയങ്ങൾ) എന്ന പാരാമീറ്റർ ഉള്ള ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു, അതായത്, ഇതിന് ഒരു സാന്ദ്രത ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട്. p(x) = ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിന് 15 മിനിറ്റ് നേരത്തേക്ക് മെഷീൻ്റെ കുഴപ്പമില്ലാത്ത പ്രവർത്തനം ആവശ്യമാണ്. ഒരു പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു പരാജയം സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ, പരിഹാരം പൂർത്തിയാക്കിയതിനുശേഷം മാത്രമേ പിശക് കണ്ടെത്തുകയുള്ളൂ, പ്രശ്നം വീണ്ടും പരിഹരിക്കപ്പെടും. കണ്ടെത്തുക: a) പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ ഒരു പരാജയം പോലും സംഭവിക്കാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത; b) പ്രശ്നം പരിഹരിക്കപ്പെടുന്ന ശരാശരി സമയം. 24 സെൻ്റീമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു വടി രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി വിഭജിച്ചിരിക്കുന്നു; ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റ് വടിയുടെ മുഴുവൻ നീളത്തിലും തുല്യമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും. മിക്ക വടിയുടെയും ശരാശരി നീളം എത്രയാണ്? 12 സെൻ്റിമീറ്റർ നീളമുള്ള ഒരു ഭാഗം ക്രമരഹിതമായി രണ്ട് ഭാഗങ്ങളായി മുറിക്കുന്നു. കട്ട് പോയിൻ്റ് സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ മുഴുവൻ നീളത്തിലും തുല്യമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ചെറിയ ഭാഗത്തിൻ്റെ ശരാശരി ദൈർഘ്യം എന്താണ്? റാൻഡം വേരിയബിൾ സെഗ്മെൻ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രത കണ്ടെത്തുക a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 = . x-ന് തുടർച്ചയായ വിതരണ പ്രവർത്തനം ഉണ്ടെങ്കിൽ കാണിക്കുക F(x) = P(x സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലെ ഏകീകൃത വിതരണ നിയമങ്ങളോടെ യഥാക്രമം x, h എന്നീ രണ്ട് സ്വതന്ത്ര അളവുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനവും വിതരണ പ്രവർത്തനവും കണ്ടെത്തുക. ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ യഥാക്രമം സെഗ്‌മെൻ്റുകളിൽ സ്വതന്ത്രവും ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നതുമാണ്. x+h തുകയുടെ സാന്ദ്രത കണക്കാക്കുക. ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ യഥാക്രമം സെഗ്‌മെൻ്റുകളിൽ സ്വതന്ത്രവും ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നതുമാണ്. x+h തുകയുടെ സാന്ദ്രത കണക്കാക്കുക. ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ യഥാക്രമം സെഗ്‌മെൻ്റുകളിൽ സ്വതന്ത്രവും ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നതുമാണ്. x+h തുകയുടെ സാന്ദ്രത കണക്കാക്കുക. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ സ്വതന്ത്രവും സാന്ദ്രതയോടുകൂടിയ ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനുമുണ്ട് ഇതിൻ്റെ സഹായത്തോടെ നിരവധി യഥാർത്ഥ പ്രക്രിയകൾ അനുകരിക്കപ്പെടുന്നു. ഏറ്റവും സാധാരണമായ ഉദാഹരണം പൊതു ഗതാഗത ഷെഡ്യൂളാണ്. ഒരു നിശ്ചിത ബസ് എന്ന് കരുതുക (ട്രോളിബസ്/ട്രാം)ഓരോ 10 മിനിറ്റിലും പ്രവർത്തിക്കുന്നു, കൃത്യസമയത്ത് ക്രമരഹിതമായ ഒരു നിമിഷത്തിൽ നിങ്ങൾ നിർത്തുന്നു. 1 മിനിറ്റിനുള്ളിൽ ബസ് എത്താനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? വ്യക്തമായും 1/10. നിങ്ങൾ 4-5 മിനിറ്റ് കാത്തിരിക്കേണ്ടി വരാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? ഒരേ . 9 മിനിറ്റിൽ കൂടുതൽ ബസിനായി കാത്തിരിക്കേണ്ടി വരാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്? പത്തിലൊന്ന്! ചിലത് പരിഗണിക്കാം പരിമിതമായഇടവേള, അത് ഒരു സെഗ്മെൻ്റ് ആയിരിക്കട്ടെ. എങ്കിൽ ക്രമരഹിതമായ മൂല്യംഉണ്ട് സ്ഥിരമായ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റിഒരു നിശ്ചിത സെഗ്‌മെൻ്റിലും അതിന് പുറത്തുള്ള സീറോ സാന്ദ്രതയിലും, അത് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് അവർ പറയുന്നു തുല്യമായി. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനം കർശനമായി നിർവചിക്കപ്പെടും: തീർച്ചയായും, സെഗ്മെൻ്റിൻ്റെ ദൈർഘ്യമാണെങ്കിൽ (ഡ്രോയിംഗ് കാണുക)ആണ്, അപ്പോൾ മൂല്യം അനിവാര്യമായും തുല്യമാണ് - അതിനാൽ ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ യൂണിറ്റ് ഏരിയ ലഭിക്കും, അത് നിരീക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു അറിയപ്പെടുന്ന സ്വത്ത്: ആന്തരിക വിടവ് എന്തായാലും എന്നതാണ് ഏകീകൃതതയുടെ സാരം നിശ്ചിത നീളംഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചിട്ടില്ല ("ബസ്" മിനിറ്റ് ഓർക്കുക)- ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഒരു മൂല്യം എടുക്കുന്നതിനുള്ള സംഭാവ്യത സമാനമായിരിക്കും. ഡ്രോയിംഗിൽ അത്തരം മൂന്ന് സാധ്യതകൾ ഞാൻ ഷേഡ് ചെയ്തിട്ടുണ്ട് - ഒരിക്കൽ കൂടി ഞാൻ അത് ഊന്നിപ്പറയുന്നു അവ പ്രദേശങ്ങളാൽ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു, ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളല്ല! നമുക്ക് ഒരു സാധാരണ ജോലി പരിഗണിക്കാം: ഉദാഹരണം 1 തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ അതിൻ്റെ വിതരണ സാന്ദ്രതയാൽ വ്യക്തമാക്കുന്നു: സ്ഥിരാങ്കം കണ്ടെത്തുക, വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ കണക്കാക്കുക, രചിക്കുക. ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുക. കണ്ടെത്തുക മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നിങ്ങൾക്ക് സ്വപ്നം കാണാൻ കഴിയുന്നതെല്ലാം :) പരിഹാരം: ഇടവേള മുതൽ (പരിമിതമായ ഇടവേള) ...എന്തുകൊണ്ടാണ് നല്ലത്? അതിനാൽ അനാവശ്യ ചോദ്യങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല;) അതിനാൽ, സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനം ഇതാണ്: നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ചെയ്യാം. മൂല്യങ്ങൾ അസാധ്യം
, അതിനാൽ ബോൾഡ് ഡോട്ടുകൾ ചുവടെ സ്ഥാപിച്ചിരിക്കുന്നു: നമുക്ക് കണ്ടെത്താം പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം, കൂടാതെ ഇത് എന്തിന് തുല്യമാണെന്ന് നിങ്ങൾക്ക് ഇതിനകം ഊഹിക്കാം. "10-മിനിറ്റ്" ബസ് ഓർക്കുക: എങ്കിൽ ക്രമരഹിതമായിപല പല ദിവസത്തേക്ക് സ്റ്റോപ്പിനെ സമീപിക്കുന്നു, പിന്നെ ശരാശരിനിങ്ങൾ അവനുവേണ്ടി 5 മിനിറ്റ് കാത്തിരിക്കേണ്ടിവരും. അതെ, അത് ശരിയാണ് - പ്രതീക്ഷ കൃത്യമായി “ഇവൻ്റ്” ഇടവേളയുടെ മധ്യത്തിലായിരിക്കണം: ഉപയോഗിച്ച് വേരിയൻസ് കണക്കാക്കാം ഫോർമുല അങ്ങനെ, വിസരണം: നമുക്ക് കമ്പോസ് ചെയ്യാം വിതരണ പ്രവർത്തനം 1) എങ്കിൽ, പിന്നെ ഒപ്പം 2) എങ്കിൽ, പിന്നെ കൂടാതെ: 3) ഒടുവിൽ, എപ്പോൾ തൽഫലമായി: നമുക്ക് ഡ്രോയിംഗ് ഉണ്ടാക്കാം: കണ്ടെത്തിയ വിതരണ ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ആവശ്യമായ പ്രോബബിലിറ്റി രണ്ട് തരത്തിൽ കണക്കാക്കാം: ഇവിടെ നിങ്ങൾക്കും എഴുതാം ഉത്തരം: , ... "അത് സാധ്യമാണ്" കാരണം അതിൻ്റെ അഭാവത്തിന് സാധാരണയായി ശിക്ഷയില്ല. സാധാരണയായി;) ഒരു ഏകീകൃത റാൻഡം വേരിയബിൾ കണക്കാക്കുന്നതിന് പ്രത്യേക സൂത്രവാക്യങ്ങളുണ്ട്, അത് നിങ്ങൾ സ്വയം ഉരുത്തിരിയാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു: ഉദാഹരണം 2 ഒരു തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ സാന്ദ്രതയാൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും കണക്കാക്കുക. ഫലങ്ങൾ കഴിയുന്നത്ര ലളിതമാക്കുക (ചുരുക്കിയ ഗുണന സൂത്രവാക്യങ്ങൾസഹായിക്കാൻ). തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സൂത്രവാക്യങ്ങൾ സ്ഥിരീകരണത്തിനായി ഉപയോഗിക്കാൻ സൗകര്യപ്രദമാണ്; പ്രത്യേകിച്ചും, "എ", "ബി" എന്നിവയുടെ നിർദ്ദിഷ്ട മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റി നിങ്ങൾ പരിഹരിച്ച പ്രശ്നം പരിശോധിക്കുക. പേജിൻ്റെ ചുവടെ ഹ്രസ്വമായ പരിഹാരം. പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം, ഞങ്ങൾ രണ്ട് "ടെക്സ്റ്റ്" പ്രശ്നങ്ങൾ നോക്കും: ഉദാഹരണം 3 അളക്കുന്ന ഉപകരണത്തിൻ്റെ സ്കെയിൽ ഡിവിഷൻ മൂല്യം 0.2 ആണ്. ഇൻസ്ട്രുമെൻ്റ് റീഡിംഗുകൾ അടുത്തുള്ള മുഴുവൻ ഡിവിഷനിലേക്ക് വൃത്താകൃതിയിലാണ്. റൗണ്ടിംഗ് പിശകുകൾ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് കരുതുക, അടുത്ത അളവെടുപ്പിൽ അത് 0.04 കവിയാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. മികച്ച ധാരണയ്ക്കായി പരിഹാരങ്ങൾഇത് ഒരു അമ്പടയാളമുള്ള ഒരുതരം മെക്കാനിക്കൽ ഉപകരണമാണെന്ന് നമുക്ക് സങ്കൽപ്പിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, 0.2 കിലോഗ്രാം ഡിവിഷൻ മൂല്യമുള്ള ഒരു സ്കെയിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരു പന്നിയെ ഒരു പോക്കിൽ തൂക്കണം. എന്നാൽ അവൻ്റെ കൊഴുപ്പ് കണ്ടെത്താനല്ല - അടുത്തുള്ള രണ്ട് ഡിവിഷനുകൾക്കിടയിൽ അമ്പ് എവിടെ നിർത്തുന്നു എന്നത് ഇപ്പോൾ പ്രധാനമാണ്. നമുക്ക് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ പരിഗണിക്കാം - ദൂരംനിന്ന് അമ്പുകൾ ഏറ്റവും അടുത്തുള്ളഇടത് വിഭജനം. അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും അടുത്ത് നിന്ന് വലത്തേക്ക്, അത് പ്രശ്നമല്ല. നമുക്ക് പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കാം: 1) ദൂരം നെഗറ്റീവ് ആകാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ, ഇടവേളയിൽ . ലോജിക്കൽ. 2) വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് അത് സ്കെയിലുകളുടെ അമ്പടയാളം പിന്തുടരുന്നു തുല്യ സംഭാവ്യതഡിവിഷനുകൾക്കിടയിൽ എവിടെയും നിർത്താം *
, ഡിവിഷനുകൾ ഉൾപ്പെടെ, അതിനാൽ ഇടവേളയിൽ: *
ഇത് അനിവാര്യമായ അവസ്ഥയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പരുത്തി കമ്പിളി കഷണങ്ങൾ അല്ലെങ്കിൽ ഉപ്പ് കിലോഗ്രാം പായ്ക്കുകൾ തൂക്കിയിടുമ്പോൾ, വളരെ ഇടുങ്ങിയ ഇടവേളകളിൽ ഏകതാനത നിലനിർത്തും. 3) ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ഇടത് ഡിവിഷനിൽ നിന്നുള്ള ദൂരം 0.2 ൽ കൂടുതലാകാൻ പാടില്ലാത്തതിനാൽ, at പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അങ്ങനെ: സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനത്തെക്കുറിച്ച് ആരും ഞങ്ങളോട് ചോദിച്ചില്ല എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ്, മാത്രമല്ല അതിൻ്റെ സമ്പൂർണ്ണ നിർമ്മാണം ഞാൻ കോഗ്നിറ്റീവ് ചെയിനുകളിൽ മാത്രമായി അവതരിപ്പിച്ചു. ടാസ്ക് പൂർത്തിയാക്കുമ്പോൾ, രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റ് മാത്രം എഴുതിയാൽ മതി. ഇപ്പോൾ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാം. ഏറ്റവും അടുത്തുള്ള ഡിവിഷനിലേക്ക് റൗണ്ട് ചെയ്യുന്നതിലെ പിശക് എപ്പോഴാണ് 0.04 കവിയാത്തത്? ഇടത് ഡിവിഷനിൽ നിന്ന് 0.04-ൽ കൂടുതൽ അമ്പടയാളം നിർത്തുമ്പോൾ ഇത് സംഭവിക്കും വലതുവശത്ത് അഥവാവലത് ഡിവിഷനിൽ നിന്ന് 0.04 കവിയരുത് ഇടത്തെ. ഡ്രോയിംഗിൽ ഞാൻ അനുബന്ധ പ്രദേശങ്ങൾ ഷേഡ് ചെയ്തു: എഴുതിയത് പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ സാദ്ധ്യതകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം: സാധ്യമായ പരമാവധി റൗണ്ടിംഗ് പിശക് 0.1 (100 ഗ്രാം) ആണെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ് റൗണ്ടിംഗ് പിശക് 0.1 കവിയാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യതഒന്നിന് തുല്യമാണ്. ഉത്തരം: 0,4 മറ്റ് വിവര സ്രോതസ്സുകളിൽ ഈ പ്രശ്നത്തിൻ്റെ ബദൽ വിശദീകരണങ്ങൾ/ഫോർമുലേഷനുകൾ ഉണ്ട്, എനിക്ക് ഏറ്റവും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതെന്നു തോന്നിയ ഓപ്ഷൻ ഞാൻ തിരഞ്ഞെടുത്തു. പ്രത്യേക ശ്രദ്ധഈ അവസ്ഥയിൽ നമുക്ക് റൗണ്ടിംഗിനെക്കുറിച്ചല്ല, മറിച്ച് പിശകുകളെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം എന്ന വസ്തുത ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ക്രമരഹിതമായഅളക്കൽ പിശകുകൾ, സാധാരണയായി ഇവയാണ് (എന്നാൽ എല്ലായ്പ്പോഴും അല്ല), വിതരണം ചെയ്തത് സാധാരണ നിയമം. അങ്ങനെ, ഒരു വാക്കിന് നിങ്ങളുടെ തീരുമാനത്തെ സമൂലമായി മാറ്റാൻ കഴിയും!ജാഗ്രത പുലർത്തുകയും അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്യുക. എല്ലാം ഒരു സർക്കിളിൽ പോകുമ്പോൾ, ഞങ്ങളുടെ കാലുകൾ ഞങ്ങളെ അതേ ബസ് സ്റ്റോപ്പിലേക്ക് കൊണ്ടുവരുന്നു: ഉദാഹരണം 4 ഒരു നിശ്ചിത റൂട്ടിലെ ബസുകൾ കൃത്യമായി ഷെഡ്യൂളിലും ഓരോ 7 മിനിറ്റിലും ഓടുന്നു. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ രചിക്കുക - ക്രമരഹിതമായി സ്റ്റോപ്പിനെ സമീപിച്ച ഒരു യാത്രക്കാരൻ അടുത്ത ബസിൻ്റെ കാത്തിരിപ്പ് സമയം. അവൻ മൂന്നു മിനിറ്റിൽ കൂടുതൽ ബസിനായി കാത്തിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. വിതരണ പ്രവർത്തനം കണ്ടെത്തി അതിൻ്റെ അർത്ഥവത്തായ അർത്ഥം വിശദീകരിക്കുക. നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ
X ഇവയാണ്: ഏകീകൃതവും എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽതുമായ വിതരണ നിയമങ്ങൾ, പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുലകൾ, പരിഗണനയിലുള്ള ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ സംഖ്യാ സവിശേഷതകൾ എന്നിവ നമുക്ക് നൽകാം. ബസുകൾ കൃത്യമായി ഷെഡ്യൂളിൽ ഓടുന്നു. ചലനത്തിൻ്റെ ഇടവേള 7 മിനിറ്റ്. കണ്ടെത്തുക: a) ഒരു സ്റ്റോപ്പിൽ എത്തുന്ന ഒരു യാത്രക്കാരൻ അടുത്ത ബസിനായി രണ്ട് മിനിറ്റിൽ താഴെ കാത്തിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത; b) ഒരു സ്റ്റോപ്പിൽ എത്തുന്ന ഒരു യാത്രക്കാരൻ അടുത്ത ബസ്സിനായി കുറഞ്ഞത് മൂന്ന് മിനിറ്റെങ്കിലും കാത്തിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത; c) റാൻഡം വേരിയബിളായ X - യാത്രക്കാരുടെ കാത്തിരിപ്പ് സമയത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും. പരിഹാരം.
1. പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X = (യാത്രക്കാരുടെ കാത്തിരിപ്പ് സമയം) തുല്യമായി വിതരണം ചെയ്തു
രണ്ട് ബസുകളുടെ വരവിന് ഇടയിൽ. റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ വിതരണ ഇടവേളയുടെ ദൈർഘ്യം b-a=7 ന് തുല്യമാണ്, ഇവിടെ a=0, b=7. 2. റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഇടവേളയിൽ (5;7) വീഴുകയാണെങ്കിൽ കാത്തിരിപ്പ് സമയം രണ്ട് മിനിറ്റിൽ കുറവായിരിക്കും. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: പി(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
. 3. റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഇടവേളയിൽ (0;4) വീഴുകയാണെങ്കിൽ, കാത്തിരിപ്പ് സമയം കുറഞ്ഞത് മൂന്ന് മിനിറ്റെങ്കിലും (അതായത്, മൂന്ന് മുതൽ ഏഴ് മിനിറ്റ് വരെ) ആയിരിക്കും. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: പി(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
. 4. തുടർച്ചയായ, ഏകതാനമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ - യാത്രക്കാരുടെ കാത്തിരിപ്പ് സമയം - ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തും: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3.5. 5. തുടർച്ചയായ, ഏകതാനമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ - യാത്രക്കാരുടെ കാത്തിരിപ്പ് സമയം - ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്തും: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2.02. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ x ≥ 0 ന് സാന്ദ്രത f(x) = 5e – 5x ആണ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്. ആവശ്യമാണ്: a) വിതരണ ഫംഗ്‌ഷനുള്ള ഒരു പദപ്രയോഗം എഴുതുക; b) ടെസ്റ്റിൻ്റെ ഫലമായി X ഇടവേളയിൽ (1;4) വീഴാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക; c) ടെസ്റ്റിൻ്റെ ഫലമായി X ≥ 2 എന്ന സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തുക; d) M(X), D(X), σ(X) കണക്കാക്കുക. പരിഹാരം.
1. വ്യവസ്ഥ നൽകിയിരിക്കുന്നതിനാൽ എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ
, തുടർന്ന് റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് λ = 5 ലഭിക്കും. അപ്പോൾ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷന് ഫോം ഉണ്ടായിരിക്കും: 2. ടെസ്റ്റിൻ്റെ ഫലമായി X ഇടവേളയിൽ (1;4) വീഴാനുള്ള സാധ്യത ഫോർമുല വഴി കണ്ടെത്തും: 3. ടെസ്റ്റിൻ്റെ ഫലമായി X ≥ 2 എന്ന ഫോർമുല കണ്ടെത്താനുള്ള സാധ്യത: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞. 4. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ വിതരണത്തിനായി കണ്ടെത്തുക: ഈ പ്രശ്നം വളരെക്കാലമായി വിശദമായി പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്, 1958 ൽ ജോർജ്ജ് ബോക്സ്, മെർവിൻ മുള്ളർ, ജോർജ്ജ് മാർസാഗ്ലിയ എന്നിവർ നിർദ്ദേശിച്ച ധ്രുവ കോർഡിനേറ്റ് രീതിയാണ് ഏറ്റവും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന രീതി. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ 0 ഉം വേരിയൻസ് 1 ഉം ഉള്ള ഒരു ജോടി സ്വതന്ത്ര സാധാരണ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ നേടാൻ ഈ രീതി നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: Z 0, Z 1 എന്നിവ ആവശ്യമുള്ള മൂല്യങ്ങളാണെങ്കിൽ, s = u 2 + v 2, കൂടാതെ u, v എന്നിവ ഇടവേളയിൽ (-1, 1) ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകളാണ്, വ്യവസ്ഥ 0 തൃപ്തികരമാകുന്ന തരത്തിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തു.< s < 1. നൽകിയിരിക്കുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം ഇടവേളയിൽ (എ, ബി) ആയിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഷേഡുള്ള പ്രദേശത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. തൽഫലമായി, മുഴുവൻ ഷേഡുള്ള പ്രദേശത്തിൻ്റെയും വിസ്തീർണ്ണം ഒന്നിന് തുല്യമായിരിക്കണം, കാരണം ഏത് സാഹചര്യത്തിലും റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്‌നിലേക്ക് വരും. ഇവിടെ അർത്ഥം, റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ മൂല്യം, പ്രോബബിലിറ്റി ബി ഉള്ള എയേക്കാൾ കുറവായിരിക്കും. അതിൻ്റെ ഫലമായി, ഫംഗ്ഷൻ ഒരിക്കലും കുറയുന്നില്ല, അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ ഇടവേളയിലാണ്. യഥാർത്ഥ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം അതിലേക്ക് കടത്തിവിട്ടാൽ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റ് യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് തിരികെ നൽകുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷനാണ് വിപരീത ഫംഗ്ഷൻ. ഉദാഹരണത്തിന്, x 2 ഫംഗ്ഷൻ്റെ വിപരീതം റൂട്ട് എക്‌സ്‌ട്രാക്റ്റുചെയ്യുന്ന പ്രവർത്തനമാണ്, sin(x) ന് ഇത് ആർക്‌സിൻ(x) മുതലായവയാണ്. ഒട്ടുമിക്ക സ്യൂഡോറാൻഡം നമ്പർ ജനറേറ്ററുകളും ഔട്ട്‌പുട്ടായി ഒരു ഏകീകൃത വിതരണം മാത്രമേ ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കുന്നുള്ളൂ എന്നതിനാൽ, അതിനെ മറ്റേതെങ്കിലും ഒന്നിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യേണ്ടത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാധാരണ ഗൗസിയന്: ഒരു ഏകീകൃത വിതരണത്തെ മറ്റേതെങ്കിലും രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റുന്നതിനുള്ള എല്ലാ രീതികളുടെയും അടിസ്ഥാനം വിപരീത പരിവർത്തന രീതിയാണ്. ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ആവശ്യമുള്ള വിതരണത്തിൻ്റെ പ്രവർത്തനത്തിന് വിപരീതമായ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ കണ്ടെത്തി, ഇടവേളയിൽ (0, 1) ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്യുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ അതിലേക്ക് ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റായി കൈമാറുന്നു. ഔട്ട്പുട്ടിൽ ആവശ്യമായ വിതരണത്തോടുകൂടിയ ഒരു മൂല്യം നമുക്ക് ലഭിക്കും. വ്യക്തതയ്ക്കായി, ഞാൻ ഇനിപ്പറയുന്ന ചിത്രം നൽകുന്നു. അങ്ങനെ, ഒരു യൂണിഫോം സെഗ്മെൻ്റ്, അത് പോലെ, പുതിയ വിതരണത്തിന് അനുസൃതമായി, ഒരു വിപരീത പ്രവർത്തനത്തിലൂടെ മറ്റൊരു അക്ഷത്തിലേക്ക് പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ പ്രശ്നം, ഒരു ഗൗസിയൻ വിതരണത്തിൻ്റെ സാന്ദ്രതയുടെ അവിഭാജ്യഘടകം കണക്കാക്കുന്നത് എളുപ്പമല്ല, അതിനാൽ മുകളിൽ പറഞ്ഞ ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് വഞ്ചിക്കേണ്ടിവന്നു. ഒരു ചി-സ്ക്വയർ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ (പിയേഴ്സൺ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ) ഉണ്ട്, ഇത് k ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് നോർമൽ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സ്ക്വയറുകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ വിതരണമാണ്. k = 2 ആയ സാഹചര്യത്തിൽ, ഈ വിതരണം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ആണ്. ഒരു ദീർഘചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു ബിന്ദുവിൽ ക്രമരഹിതമായ X, Y കോർഡിനേറ്റുകൾ സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ, ഈ കോർഡിനേറ്റുകളെ ധ്രുവവ്യവസ്ഥയിലേക്ക് (r, θ) പരിവർത്തനം ചെയ്ത ശേഷം, ആരത്തിൻ്റെ ചതുരം (ഉത്ഭവത്തിൽ നിന്ന് പോയിൻ്റിലേക്കുള്ള ദൂരം) ദൂരത്തിൻ്റെ വർഗ്ഗം കോർഡിനേറ്റുകളുടെ ചതുരങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായതിനാൽ (പൈതഗോറിയൻ നിയമം അനുസരിച്ച്) എക്സ്പോണൻഷ്യൽ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യും. വിമാനത്തിലെ അത്തരം പോയിൻ്റുകളുടെ വിതരണ സാന്ദ്രത ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും: ഇത് എല്ലാ ദിശകളിലും തുല്യമായതിനാൽ, θ കോണിന് 0 മുതൽ 2π വരെയുള്ള ശ്രേണിയിൽ ഒരു ഏകീകൃത വിതരണമുണ്ടാകും. സംഭാഷണവും ശരിയാണ്: നിങ്ങൾ രണ്ട് സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പോളാർ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിലെ ഒരു പോയിൻ്റ് നിർവചിക്കുകയാണെങ്കിൽ (ഒരു ആംഗിൾ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു, ഒരു റേഡിയസ് എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലായി വിതരണം ചെയ്യുന്നു), ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ സ്വതന്ത്ര സാധാരണ ക്രമരഹിത വേരിയബിളുകളായിരിക്കും. ഒരേ വിപരീത പരിവർത്തന രീതി ഉപയോഗിച്ച് യൂണിഫോമിൽ നിന്ന് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ നേടുന്നത് വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഇതാണ് പോളാർ ബോക്സ്-മുള്ളർ രീതിയുടെ സാരാംശം. r, θ എന്നിവ ലഭിക്കുന്നതിന്, ഇടവേളയിൽ (0, 1) ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യുന്ന രണ്ട് ക്രമരഹിത വേരിയബിളുകൾ സൃഷ്ടിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (അവയെ നമുക്ക് u എന്നും v എന്നും വിളിക്കാം), അതിലൊന്നിൻ്റെ വിതരണം (v എന്ന് പറയാം) എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യലിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യണം. ആരം നേടുക. എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു: അതിൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനം ഇതാണ്: യൂണിഫോം വിതരണം സമമിതിയായതിനാൽ, പരിവർത്തനം ഫംഗ്ഷനുമായി സമാനമായി പ്രവർത്തിക്കും ചി-സ്ക്വയർ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് λ = 0.5. ഈ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് λ, v എന്നിവ മാറ്റി ദൂരത്തിൻ്റെ ചതുരം നേടുക, തുടർന്ന് ആരം തന്നെ: യൂണിറ്റ് സെഗ്മെൻ്റ് 2π ലേക്ക് നീട്ടിക്കൊണ്ട് ഞങ്ങൾ ആംഗിൾ നേടുന്നു: ഇപ്പോൾ നമ്മൾ r, θ എന്നിവ സൂത്രവാക്യങ്ങളാക്കി മാറ്റി (1) നേടുക: ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഇതിനകം ഉപയോഗിക്കാൻ തയ്യാറാണ്. X ഉം Y ഉം സ്വതന്ത്രവും സാധാരണ ഗതിയിൽ 1 ൻ്റെ വ്യതിയാനവും ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ 0 ഉം ആയിരിക്കും. മറ്റ് സ്വഭാവസവിശേഷതകളുള്ള ഒരു വിതരണം ലഭിക്കുന്നതിന്, ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഫലത്തെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കൊണ്ട് ഗുണിച്ച് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ ചേർത്താൽ മതിയാകും. ക്രമരഹിതമായ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ x, y എന്നിവ വ്യക്തമാക്കുകയും, ഇടവേളയിൽ (-1, 1) ഏകതാനമായി വിതരണം ചെയ്യുകയും, വൃത്തത്തിൽ ഉൾപ്പെടാത്ത പോയിൻ്റുകളും റേഡിയസ് വെക്റ്ററിൻ്റെ കോണിലുള്ള കേന്ദ്ര പോയിൻ്റും നിരസിക്കുകയും ചെയ്തുകൊണ്ടാണ് തിരഞ്ഞെടുപ്പ് നടത്തുന്നത്. നിർവചിച്ചിട്ടില്ല. അതായത്, വ്യവസ്ഥ 0 പാലിക്കണം< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s: ലേഖനത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ നമുക്ക് സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ലഭിക്കും. ഈ രീതിയുടെ പോരായ്മ ഇത് സർക്കിളിൽ ഉൾപ്പെടുത്താത്ത പോയിൻ്റുകൾ നിരസിക്കുന്നു എന്നതാണ്. അതായത്, ജനറേറ്റഡ് റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ 78.5% മാത്രം ഉപയോഗിക്കുന്നു. പഴയ കമ്പ്യൂട്ടറുകളിൽ, ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ അഭാവം ഇപ്പോഴും ഒരു വലിയ നേട്ടമായിരുന്നു. ഇപ്പോൾ, ഒരു പ്രൊസസർ കമാൻഡ് ഒരു നിമിഷത്തിൽ സൈനും കോസൈനും കണക്കാക്കുമ്പോൾ, ഈ രീതികൾക്ക് ഇപ്പോഴും മത്സരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു. വ്യക്തിപരമായി, എനിക്ക് ഇപ്പോഴും രണ്ട് ചോദ്യങ്ങളുണ്ട്: ഒരു സാധാരണ റാൻഡം വേരിയബിളിന് സമാനമായ ഒരു പരിവർത്തനം നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ചതുരത്തിൻ്റെ സാന്ദ്രത പ്രവർത്തനം ഒരു ഹൈപ്പർബോളയ്ക്ക് സമാനമായി മാറും. സാധാരണ റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ രണ്ട് സ്ക്വയറുകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഇരട്ട സംയോജനവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രക്രിയയാണ്. ഫലം ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനായിരിക്കുമെന്ന വസ്തുത, വ്യക്തിപരമായി എന്നെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, ഒരു പ്രായോഗിക രീതി ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥിരീകരിക്കുകയോ ഒരു സിദ്ധാന്തമായി അംഗീകരിക്കുകയോ ചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്. താൽപ്പര്യമുള്ളവർക്കായി, ഈ പുസ്തകങ്ങളിൽ നിന്ന് അറിവ് നേടിക്കൊണ്ട് വിഷയം സൂക്ഷ്മമായി പരിശോധിക്കാൻ ഞാൻ നിർദ്ദേശിക്കുന്നു: ഉപസംഹാരമായി, ജാവാസ്ക്രിപ്റ്റിൽ സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം നമ്പർ ജനറേറ്റർ നടപ്പിലാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഉദാഹരണം ഇതാ: ഫംഗ്ഷൻ Gauss() ( var റെഡി = തെറ്റ്; var second = 0.0; this.next = ഫംഗ്ഷൻ (അർത്ഥം, ദേവ്) (അർത്ഥം = അർത്ഥം == നിർവചിക്കാത്തത് ? 0.0: അർത്ഥം; dev = dev == നിർവചിക്കാത്തത് ? 1.0: dev; എങ്കിൽ ( this.ready) ( this.ready = false; ഇത്.സെക്കൻഡ് * dev + അർത്ഥം തിരികെ നൽകുക; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. ക്രമരഹിതം () - 1.0; s = u * v * v; this.second = r * v ശരാശരി ) ) g = പുതിയ Gauss(); // ഒരു ഒബ്ജക്റ്റ് സൃഷ്ടിക്കുക a = g.next(); // ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങൾ സൃഷ്ടിച്ച് ആദ്യത്തേത് നേടുക b = g.next(); // രണ്ടാമത്തെ c = g.next(); // ഒരു ജോടി മൂല്യങ്ങൾ വീണ്ടും സൃഷ്ടിച്ച് ആദ്യത്തേത് നേടുക 
.
. അവയുടെ തുകയുടെ വിതരണ സാന്ദ്രത കണ്ടെത്തുക. ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവയുടെ ആകെത്തുകയുടെ വിതരണം കണ്ടെത്തുക, ഇവിടെ x ന് ഇടവേളയിൽ ഒരു ഏകീകൃത വിതരണമുണ്ട്, കൂടാതെ l പരാമീറ്റർ ഉള്ള ഒരു എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്‌ട്രിബ്യൂഷനുമുണ്ട്. പി കണ്ടെത്തുക 
, x ന് ഉണ്ടെങ്കിൽ: a) a, s2 പരാമീറ്ററുകളുള്ള സാധാരണ വിതരണം; b) പാരാമീറ്റർ l ഉള്ള എക്സ്പോണൻഷ്യൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ; സി) സെഗ്മെൻ്റിലെ ഏകീകൃത വിതരണം [-1;1]. x, h എന്നിവയുടെ സംയുക്ത വിതരണം ചതുരാകൃതിയിലുള്ള യൂണിഫോമാണ്
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). സാധ്യത കണ്ടെത്തുക 
. x ഉം h ഉം സ്വതന്ത്രമാണോ? ഒരു ജോടി റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ K= ത്രികോണത്തിനുള്ളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സാന്ദ്രത x, h എന്നിവ കണക്കാക്കുക. ഈ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ സ്വതന്ത്രമാണോ? സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ സ്വതന്ത്രവും സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലും [-1,1] ഏകതാനമായും വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സാധ്യത കണ്ടെത്തുക. ഒരു ദ്വിമാന ക്രമരഹിത വേരിയബിൾ (x, h) ലംബങ്ങൾ (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) ഉള്ള ഒരു ചതുരത്തിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. പോയിൻ്റിൽ (1, -1) ജോയിൻ്റ് ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക. ഒരു റാൻഡം വെക്റ്റർ (x, h) ഉത്ഭവസ്ഥാനത്ത് കേന്ദ്രീകരിച്ചിരിക്കുന്ന ആരം 3 ഉള്ള ഒരു സർക്കിളിനുള്ളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സംയുക്ത വിതരണ സാന്ദ്രതയ്ക്കായി ഒരു പദപ്രയോഗം എഴുതുക. ഈ റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ആശ്രിതമാണോ എന്ന് നിർണ്ണയിക്കുക. സാധ്യത കണക്കാക്കുക. ഒരു ജോടി റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ ഒരു ട്രപസോയിഡിനുള്ളിൽ (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) പോയിൻ്റുകളിൽ ലംബങ്ങളുള്ള ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. ഈ ജോഡി റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ സംയുക്ത വിതരണ സാന്ദ്രതയും ഘടകങ്ങളുടെ സാന്ദ്രതയും കണ്ടെത്തുക. x, h എന്നിവ ആശ്രിതമാണോ? ഒരു റാൻഡം ജോഡി (x, h) ഒരു അർദ്ധവൃത്തത്തിനുള്ളിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സാന്ദ്രത x, h എന്നിവ കണ്ടെത്തുക, അവയുടെ ആശ്രിതത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം അന്വേഷിക്കുക. രണ്ട് റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവയുടെ സംയുക്ത സാന്ദ്രത തുല്യമാണ് 
.
സാന്ദ്രത x, h കണ്ടെത്തുക. x, h എന്നിവയുടെ ആശ്രിതത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം അന്വേഷിക്കുക. ക്രമരഹിതമായ ജോഡി (x, h) സെറ്റിൽ ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു. സാന്ദ്രത x, h എന്നിവ കണ്ടെത്തുക, അവയുടെ ആശ്രിതത്വത്തെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യം അന്വേഷിക്കുക. M(xh) കണ്ടെത്തുക. റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ x, h എന്നിവ സ്വതന്ത്രവും ഫൈൻഡ് പാരാമീറ്റർ ഉപയോഗിച്ച് എക്സ്പോണൻഷ്യൽ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നതുമാണ്
നമുക്ക് ഇത് ഔപചാരികമായി പരിശോധിക്കാം:
, തുടങ്ങിയവ. ഒരു പ്രോബബിലിസ്റ്റിക് വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന്, റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം വിശ്വസനീയമായിസെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളിലൊന്ന് എടുക്കും..., ഓ, ഞാൻ പതുക്കെ ഒരു ബോറടിക്കുന്ന വൃദ്ധനായി മാറുന്നു =)
, അപ്പോൾ റാൻഡം വേരിയബിളിന് ഒരു ഏകീകൃത വിതരണമുണ്ട്, കൂടാതെ "ce" യുടെ മൂല്യം ഡയറക്ട് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താനാകും. 
. എന്നാൽ ഇത് പൊതുവായ രീതിയിൽ നല്ലതാണ് - ഒരു പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിക്കുന്നത്: 
ദ്രുത പരിശോധന എന്ന നിലയിൽ, ദീർഘചതുരത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം കണക്കാക്കാം: 
, തുടങ്ങിയവ.
, പ്രതീക്ഷിച്ച പോലെ.
. ഇൻ്റഗ്രൽ കണക്കാക്കുമ്പോൾ ഇവിടെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു കണ്ണും കണ്ണും ആവശ്യമാണ്: 
. ഇവിടെ പുതിയതായി ഒന്നുമില്ല:
;
, അതുകൊണ്ടാണ്: 
"തത്സമയ" ഇടവേളയിൽ, വിതരണ പ്രവർത്തനം വളരുന്നു രേഖീയമായ, ഇത് നമുക്ക് ഒരു ഏകീകൃത ക്രമരഹിത വേരിയബിൾ ഉണ്ടെന്നതിൻ്റെ മറ്റൊരു അടയാളമാണ്. ശരി, തീർച്ചയായും, എല്ലാത്തിനുമുപരി ഡെറിവേറ്റീവ് രേഖീയ പ്രവർത്തനം- ഒരു സ്ഥിരാങ്കം ഉണ്ട്.
അല്ലെങ്കിൽ സാന്ദ്രതയുടെ ഒരു നിശ്ചിത സംയോജനം ഉപയോഗിക്കുന്നു: 
ആർക്കെങ്കിലും ഇഷ്ടമാണ്.
, ഗ്രാഫുകൾ പരിഹാരത്തിനൊപ്പം നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നു.
.
ഈ പ്രദേശങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് അവശേഷിക്കുന്നു ഇൻ്റഗ്രലുകൾ ഉപയോഗിച്ച്. തത്വത്തിൽ, അവ "സ്കൂൾ ഫാഷനിൽ" (ദീർഘചതുരങ്ങളുടെ മേഖലകൾ പോലെ) കണക്കാക്കാം, എന്നാൽ ലാളിത്യം എല്ലായ്പ്പോഴും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയില്ല;)
- റൗണ്ടിംഗ് പിശക് 0.04 കവിയാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത (ഞങ്ങളുടെ ഉദാഹരണത്തിന് 40 ഗ്രാം)സൂചിക ഏകീകൃത വിതരണ നിയമം എക്സ്പോണൻഷ്യൽ വിതരണ നിയമം
നിർവ്വചനം
യൂണിഫോം വിളിച്ചു
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ, അതിൻ്റെ സാന്ദ്രത സെഗ്മെൻ്റിൽ സ്ഥിരമായി തുടരുകയും ഫോം ഉള്ളതുമാണ്
എക്സ്പോണൻഷ്യൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു
തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിൾ X ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ, ഫോം ഉള്ള സാന്ദ്രതയാൽ വിവരിക്കപ്പെടുന്നു
ഇവിടെ λ ഒരു സ്ഥിരമായ പോസിറ്റീവ് മൂല്യമാണ്വിതരണ പ്രവർത്തനം
സാധ്യത
ഇടവേളയിൽ വീഴുന്നു
പ്രതീക്ഷിച്ച മൂല്യം
വിസരണം
സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ
"യൂണിഫോം, എക്സ്പോണൻഷ്യൽ വിതരണ നിയമങ്ങൾ" എന്ന വിഷയത്തിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ
ടാസ്ക് 1.
പി(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
പി(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.ടാസ്ക് 2.
പി(എ< X < b) = e −λa − e −λb
.
പി(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
പലരും ഈ സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ചിന്തിക്കാതെ തന്നെ ഉപയോഗിക്കുന്നു, കൂടാതെ പലരും അവരുടെ അസ്തിത്വത്തെ പോലും സംശയിക്കുന്നില്ല, കാരണം അവർ റെഡിമെയ്ഡ് നടപ്പിലാക്കലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. എന്നാൽ ചോദ്യങ്ങളുള്ള ആളുകളുണ്ട്: “ഈ ഫോർമുല എവിടെ നിന്ന് വന്നു? എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് ഒരേസമയം രണ്ട് അളവ് ലഭിക്കുന്നത്? അടുത്തതായി, ഈ ചോദ്യങ്ങൾക്ക് വ്യക്തമായ ഉത്തരം നൽകാൻ ഞാൻ ശ്രമിക്കും.
ആരംഭിക്കുന്നതിന്, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഡെൻസിറ്റി, ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ, വിപരീത ഫംഗ്ഷൻ എന്നിവ എന്താണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. ഒരു നിശ്ചിത റാൻഡം വേരിയബിൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, അതിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ എഫ്(x) ഉപയോഗിച്ച് വ്യക്തമാക്കുന്നു, അതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപമുണ്ട്:
ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്ഷൻ ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്ഷൻ്റെ അവിഭാജ്യഘടകമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അതിൻ്റെ ഏകദേശ രൂപം ഇതുപോലെയായിരിക്കും:
ഇനി നമുക്ക് ഫോർമുലകൾ കണ്ടെത്താം.
(1)
(2)
എന്നാൽ ആംഗിൾ നേരിട്ട് അല്ല, വൃത്തത്തിലെ ഒരു റാൻഡം പോയിൻ്റിൻ്റെ ചതുരാകൃതിയിലുള്ള കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി പരോക്ഷമായി വ്യക്തമാക്കുന്നതിലൂടെ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ നിന്ന് മുക്തി നേടാം. തുടർന്ന്, ഈ കോർഡിനേറ്റുകൾ വഴി, ആരം വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളം കണക്കാക്കാൻ കഴിയും, തുടർന്ന് യഥാക്രമം x ഉം y ഉം ഹരിച്ചുകൊണ്ട് കോസൈനും സൈനും കണ്ടെത്തുക. എങ്ങനെ, എന്തുകൊണ്ട് ഇത് പ്രവർത്തിക്കുന്നു?
യൂണിറ്റ് റേഡിയസിൻ്റെ ഒരു സർക്കിളിൽ ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്യുന്നവയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് ഒരു റാൻഡം പോയിൻ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കാം, കൂടാതെ ഈ പോയിൻ്റിൻ്റെ ആരം വെക്റ്ററിൻ്റെ നീളത്തിൻ്റെ ചതുരം s എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുക:
s എന്നത് ദൂരത്തിൻ്റെ ചതുരമായതിനാൽ (ലാളിത്യത്തിനായി, ഒരു റാൻഡം പോയിൻ്റിൻ്റെ സ്ഥാനം വ്യക്തമാക്കുന്ന റേഡിയസ് വെക്റ്ററിൻ്റെ ദൈർഘ്യത്തെ ഞാൻ ആരത്തെ വിളിക്കുന്നു), ആരങ്ങൾ എങ്ങനെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നുവെന്ന് ഞങ്ങൾ ആദ്യം കണ്ടെത്തുന്നു. വൃത്തം തുല്യമായി പൂരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതിനാൽ, r റേഡിയസ് ഉള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം r ആരത്തിൻ്റെ വൃത്തത്തിൻ്റെ നീളത്തിന് ആനുപാതികമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഒരു വൃത്തത്തിൻ്റെ ചുറ്റളവ് ആരത്തിന് ആനുപാതികമാണ്. ഇതിനർത്ഥം റേഡിയുകളുടെ വിതരണ സാന്ദ്രത വൃത്തത്തിൻ്റെ മധ്യത്തിൽ നിന്ന് അതിൻ്റെ അരികുകളിലേക്ക് ഒരേപോലെ വർദ്ധിക്കുന്നു എന്നാണ്. ഡെൻസിറ്റി ഫംഗ്‌ഷന് ഇടവേളയിൽ (0, 1) f(x) = 2x എന്ന രൂപമുണ്ട്. ഗുണകം 2 അതിനാൽ ഗ്രാഫിന് കീഴിലുള്ള ചിത്രത്തിൻ്റെ വിസ്തീർണ്ണം ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. ഈ സാന്ദ്രത സമചതുരമാകുമ്പോൾ, അത് ഏകതാനമാകും. സൈദ്ധാന്തികമായി ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സാന്ദ്രത ഫംഗ്ഷനെ ട്രാൻസ്ഫോർമേഷൻ ഫംഗ്ഷൻ്റെ (അതായത്, x 2) അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് വിഭജിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. വ്യക്തമായും ഇത് ഇതുപോലെ സംഭവിക്കുന്നു: 
പാരാമീറ്ററുകൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് (ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷ), ദേവ് (സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ) ഓപ്ഷണൽ ആണ്. ലോഗരിതം സ്വാഭാവികമാണെന്ന വസ്തുതയിലേക്ക് ഞാൻ നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്നു.
