വീട് വായിൽ നിന്ന് മണം ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനത എന്താണ്? എന്താണ്, ആനുകാലിക, ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

വായിൽ നിന്ന് മണം

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനത എന്താണ്? എന്താണ്, ആനുകാലിക, ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ

വർദ്ധിച്ചുവരുന്നഇടവേളയിൽ $X$ എന്തെങ്കിലും $x_1, x_2\in X$ ആണെങ്കിൽ \(x_1

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു കുറയാത്തത്

$\blacktriangleright$ ഫംഗ്ഷൻ $f(x)$ എന്ന് വിളിക്കപ്പെടുന്നു കുറയുന്നുഇടവേളയിൽ $X$ എന്തെങ്കിലും $x_1, x_2\in X$ ആണെങ്കിൽ $x_1 f(x_2)$ .

ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു വർദ്ധിക്കാത്തത്ഇടവേളയിൽ $X$ എന്തെങ്കിലും $x_1, x_2\in X$ ആണെങ്കിൽ \(x_1

$\blacktriangleright$ കൂടുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു കർശനമായി ഏകതാനമായ, കൂടാതെ കൂടാത്തതും കുറയാത്തതും ലളിതമാണ് ഏകതാനമായ.

$\കറുത്തകോണ് വലത്$ അടിസ്ഥാന ഗുണങ്ങൾ:

ഐ.$f(x)$ ഫംഗ്‌ഷൻ $X$ ന് കർശനമായി ഏകതാനമാണെങ്കിൽ, സമത്വത്തിൽ നിന്ന് $x_1=x_2$ ($x_1,x_2\in X$ ) അത് $f( x_1)= f(x_2)$ , തിരിച്ചും.

ഉദാഹരണം: ഫംഗ്ഷൻ $f(x)=\sqrt x$ എല്ലാ $x\in $ യിലും കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ $x^2=9$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഈ ഇടവേളയിൽ പരമാവധി ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്ന്: $x=-3$ .

$f(x)=-\dfrac 1(x+1)$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ എല്ലാ $x\in (-1;+\infty)$, അതിനാൽ $-\dfrac 1 എന്ന സമവാക്യം (x +1)=0$ ഈ ഇടവേളയിൽ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരമില്ല, അല്ലെങ്കിൽ ഒന്നുമില്ല, കാരണം ഇടത് വശത്തെ ന്യൂമറേറ്റർ ഒരിക്കലും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകില്ല.

III.$f(x)$ ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയാത്തതും (വർദ്ധിക്കാത്തതും)  സെഗ്‌മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായതും ആണെങ്കിൽ, സെഗ്‌മെൻ്റിൻ്റെ അറ്റത്ത് അത് $f(a)= മൂല്യങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. A, f(b)=B$ , തുടർന്ന് $C\in $ ($C\in $ ) എന്ന സമവാക്യത്തിന് $f(x)=C$ എല്ലായ്‌പ്പോഴും ഒരു പരിഹാരമെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കും.

ഉദാഹരണം: ഫംഗ്‌ഷൻ $f(x)=x^3$ കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു (അതായത്, കർശനമായി ഏകതാനം) കൂടാതെ എല്ലാ $x\in\mathbb(R)$ ന് തുടർച്ചയായി , അതിനാൽ ഏത് $C$ (-\infty;+\infty)\) എന്നതിൽ $x^3=C$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് കൃത്യമായ ഒരു പരിഹാരമുണ്ട്: $x=\sqrt(C)$ .

ടാസ്ക് 1 #3153

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയേക്കാൾ എളുപ്പമാണ്

കൃത്യമായി രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്.

നമുക്ക് സമവാക്യം ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\]ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക $f(t)=t^3+t$ . അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോമിൽ വീണ്ടും എഴുതപ്പെടും: \ ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കാം $f(t)$ . \ തത്ഫലമായി, $f(t)$ ഫംഗ്ഷൻ എല്ലാ $t$ നും വർദ്ധിക്കുന്നു. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഓരോ മൂല്യവും $f(t)$ ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ കൃത്യമായ ഒരു മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം $t$ . അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് വേരുകൾ ഉണ്ടാകുന്നതിന്, ഇത് ആവശ്യമാണ്: \ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ വിവേചനം പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കണം: \

ഉത്തരം:

$\ഇടത്(-\infty;\dfrac1(12)\വലത്)$

ടാസ്ക് 2 #2653

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്

സമവാക്യത്തിന് വേണ്ടിയുള്ള $a$ പാരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക \

രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ട്.

(വരിക്കാരിൽ നിന്നുള്ള ചുമതല.)

നമുക്ക് ഒരു പകരം വയ്ക്കാം: $ax^2-2x=t$ , $x^2-1=u$ . അപ്പോൾ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: \ ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക $f(w)=7^w+\sqrtw$ . അപ്പോൾ നമ്മുടെ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും: \

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം \ എല്ലാ $w\ne 0$ ഡെറിവേറ്റീവ് $f"(w)>0$ ആണ് എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക, കാരണം $7^w>0$ , $w^6>0$ .കൂടാതെ ശ്രദ്ധിക്കുക. $f(w)$ ഫംഗ്‌ഷൻ തന്നെ എല്ലാ $w$ നിർവചിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. കൂടാതെ, $f(w)$ തുടർച്ചയായതിനാൽ, നമുക്ക് $f (w)$ എന്ന് നിഗമനം ചെയ്യാം മൊത്തത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു $\mathbb(R)$ .
$t=u$ എങ്കിൽ മാത്രമേ $f(t)=f(u)$ തുല്യത സാധ്യമാകൂ എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. നമുക്ക് യഥാർത്ഥ വേരിയബിളുകളിലേക്ക് മടങ്ങുകയും ഫലമായുണ്ടാകുന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുകയും ചെയ്യാം:

\ ഈ സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകൾ ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, അത് ചതുരവും അതിൻ്റെ വിവേചനം പോസിറ്റീവും ആയിരിക്കണം:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

ഉത്തരം:

$(-\infty;1)\കപ്പ്(1;2)$

ടാസ്ക് 3 #3921

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്

സമവാക്യത്തിന് വേണ്ടിയുള്ള $a$ പാരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക

കുറഞ്ഞത് $2$ പരിഹാരങ്ങളെങ്കിലും ഉണ്ട്.

$ax$ അടങ്ങുന്ന എല്ലാ നിബന്ധനകളും ഇടത്തോട്ടും $x^2$ ഉള്ളവ വലത്തോട്ടും നീക്കി ഫംഗ്‌ഷൻ പരിഗണിക്കാം
\

അപ്പോൾ യഥാർത്ഥ സമവാക്യം ഫോം എടുക്കും:
\

നമുക്ക് ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം:
\

കാരണം $(t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0$, തുടർന്ന് $f"(t)\geqslant 0$ ഏതെങ്കിലും $t\in \mathbb(R)$ .

മാത്രമല്ല, $f"(t)=0$ എങ്കിൽ $(t-2)^2=0$ ഒപ്പം $1+\cos(2t)=0$ ഒരേ സമയം, അത് ശരിയല്ല ഏതെങ്കിലും \ (t\) ആയതിനാൽ, $f"(t)> 0$ $t\in \mathbb(R)$ .

അങ്ങനെ, എല്ലാ $t\in \mathbb(R)$ ഫംഗ്‌ഷൻ $f(t)$ കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു.

അതായത് $f(ax)=f(x^2)$ എന്ന സമവാക്യം $ax=x^2$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്.

$a=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് $x^2-ax=0$ ഒരു റൂട്ട് $x=0$, $a\ne 0$ എന്നതിന് രണ്ട് വിവിധ വേരുകൾ$x_1=0$ കൂടാതെ $x_2=a$ .
$a>0$ എന്ന വസ്തുത കൂടി കണക്കിലെടുത്ത് സമവാക്യത്തിന് രണ്ട് വേരുകളെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കുന്ന $a$ മൂല്യങ്ങൾ നമ്മൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്.
അതിനാൽ, ഉത്തരം ഇതാണ്: $a\in (0;+\infty)$ .

ഉത്തരം:

$(0;+\infty)$ .

ടാസ്ക് 4 #1232

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്

പാരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക $a$ , ഓരോന്നിനും സമവാക്യം \

ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

നമുക്ക് സമവാക്യത്തിൻ്റെ വലത്, ഇടത് വശങ്ങൾ $2^(\sqrt(x+1))$ കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതി ($2^(\sqrt(x+1))>0$ ) രൂപത്തിൽ : \

പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക $y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))$$t\geqslant 0$ എന്നതിനായി ($\sqrt(x+1)\geqslant 0$ ).

ഡെറിവേറ്റീവ് $y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\വലത്)$.

കാരണം $2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0$എല്ലാത്തിനും $t\geqslant 0$ , തുടർന്ന് $y"<0$ при всех $t\geqslant 0$ .

തത്ഫലമായി, $t\geqslant 0$ ഫംഗ്‌ഷൻ $y$ ഏകതാനമായി കുറയുന്നു.

$y(t)=y(z)$ എന്ന രൂപത്തിൽ സമവാക്യം പരിഗണിക്കാം, ഇവിടെ $z=ax, t=\sqrt(x+1)$ . $t=z$ ആണെങ്കിൽ മാത്രമേ സമത്വം സാധ്യമാകൂ എന്ന് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനതയിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു.

ഇതിനർത്ഥം ഈ സമവാക്യം സമവാക്യത്തിന് തുല്യമാണ്: $ax=\sqrt(x+1)$, ഇത് സിസ്റ്റത്തിന് തുല്യമാണ്: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

$a=0$ വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന $x=-1$ സിസ്‌റ്റത്തിന് ഒരു പരിഹാരമുണ്ടെങ്കിൽ അത് $ax\geqslant 0$ .

കേസ് പരിഗണിക്കുക $a\ne 0$ . സിസ്റ്റത്തിൻ്റെ ആദ്യ സമവാക്യത്തിൻ്റെ വിവേചനം $D=1+4a^2>0$ എല്ലാത്തിനും $a$ . തൽഫലമായി, സമവാക്യത്തിന് എല്ലായ്‌പ്പോഴും $x_1$, $x_2$ രണ്ട് വേരുകളുണ്ട്, അവ വ്യത്യസ്ത അടയാളങ്ങളുള്ളവയാണ് (വിയറ്റയുടെ സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച് $x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0$ ).

ഇതിനർത്ഥം $എ<0$ условию $ax\geqslant 0$ подходит отрицательный корень, при $a>0$ അവസ്ഥ ഒരു പോസിറ്റീവ് റൂട്ട് കൊണ്ട് തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിനാൽ, സിസ്റ്റത്തിന് എല്ലായ്പ്പോഴും ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരമുണ്ട്.

അതിനാൽ, $a\in \mathbb(R)$ .

ഉത്തരം:

$a\in \mathbb(R)$ .

ടാസ്ക് 5 #1234

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്

പാരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക $a$ , ഓരോന്നിനും സമവാക്യം \

$[-1;0]$ സെഗ്‌മെൻ്റിൽ നിന്ന് ഒരു റൂട്ടെങ്കിലും ഉണ്ട്.

പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുക $f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3$ചില സ്ഥിര $a$ . നമുക്ക് അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം: $f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)$.

$x$, $a$ എന്നിവയുടെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങൾക്കും $f"(x)\geqslant 0$, $x=a=1 ന് മാത്രം \(0$ തുല്യമാണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക \).എന്നാൽ $a=1$ :
$f"(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow$$2(x-1)^3=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് വ്യവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്താത്ത $x=1$ ഒരൊറ്റ റൂട്ട് ഉണ്ട്. അതിനാൽ, $a$ എന്നത് $1$ ന് തുല്യമാകാൻ കഴിയില്ല.

ഇതിനർത്ഥം എല്ലാ $a\ne 1$ ഫംഗ്‌ഷൻ $f(x)$ കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, അതിനാൽ, $f(x)=0$ എന്ന സമവാക്യത്തിന് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ റൂട്ടുകൾ ഉണ്ടാകരുത്. ക്യൂബിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സവിശേഷതകൾ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ, ചില നിശ്ചിത $a$ ൻ്റെ $f(x)$ ഗ്രാഫ് ഇതുപോലെ കാണപ്പെടും:

ഇതിനർത്ഥം, $[-1;0]$ എന്ന വിഭാഗത്തിൽ നിന്ന് സമവാക്യത്തിന് ഒരു റൂട്ട് ലഭിക്കുന്നതിന് ഇത് ആവശ്യമാണ്: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

അങ്ങനെ, $a\in [-2;0]$ .

ഉത്തരം:

$a\in [-2;0]$ .

ടാസ്ക് 6 #2949

ടാസ്ക് ലെവൽ: ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്

പാരാമീറ്ററിൻ്റെ എല്ലാ മൂല്യങ്ങളും കണ്ടെത്തുക $a$ , ഓരോന്നിനും സമവാക്യം \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

വേരുകൾ ഉണ്ട്.

(വരിക്കാരിൽ നിന്നുള്ള ചുമതല)

ODZ സമവാക്യങ്ങൾ: $2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in $. അതിനാൽ, ഒരു സമവാക്യത്തിന് വേരുകൾ ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, കുറഞ്ഞത് ഒരു സമവാക്യമെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(or))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] ODZ സംബന്ധിച്ച് തീരുമാനങ്ങളുണ്ടായിരുന്നു.

1) ആദ്യ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \അവസാനം(വിന്യസിച്ചു) \അവസാനം(കൂട്ടി)\വലത്. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\]ഈ സമവാക്യത്തിന്  ൽ വേരുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കണം. ഒരു സർക്കിൾ പരിഗണിക്കുക:

അങ്ങനെ, ഏതൊരു $2a+2\in [\sin 0;\sin 1]$ സമവാക്യത്തിന് ഒരു പരിഹാരവും മറ്റുള്ളവയ്ക്ക് പരിഹാരങ്ങളുമില്ലെന്നും നാം കാണുന്നു. അതിനാൽ, എപ്പോൾ $എ\ഇടത്ത്[-1;-1+\sin 1\വലത്]$സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങളുണ്ട്.

2) രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം പരിഗണിക്കുക \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക $f(x)=8x\sqrt(x-x^2)$ . നമുക്ക് അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം: \ ODZ-ൽ, ഡെറിവേറ്റീവിന് ഒരു പൂജ്യം ഉണ്ട്: $x=\frac34$ , ഇത് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി പോയിൻ്റ് കൂടിയാണ് $f(x)$ .
$f(0)=f(1)=0$ എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക. അതിനാൽ, ആസൂത്രിതമായി ഗ്രാഫ് $f(x)$ ഇതുപോലെ കാണപ്പെടുന്നു:

അതിനാൽ, സമവാക്യത്തിന് പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകണമെങ്കിൽ, ഗ്രാഫ് $f(x)$ $y=-a$ എന്ന നേർരേഖയുമായി വിഭജിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് (ചിത്രം അനുയോജ്യമായ ഓപ്ഷനുകളിലൊന്ന് കാണിക്കുന്നു). അതായത്, അത് ആവശ്യമാണ് \ . ഇവയ്ക്ക് $x$ :

ഫംഗ്‌ഷൻ $y_1=\sqrt(x-1)$ കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. $y_2=5x^2-9x$ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് ഒരു പരവലയമാണ്, അതിൻ്റെ ശീർഷകം $x=\dfrac(9)(10)$ എന്ന ബിന്ദുവിലാണ്. തൽഫലമായി, എല്ലാ $x\geqslant 1$, ഫംഗ്‌ഷൻ $y_2$ കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു (പരവലയത്തിൻ്റെ വലത് ശാഖ). കാരണം കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു, തുടർന്ന് $f_a(x)$ കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു (സ്ഥിരമായ $3a+8$ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനതയെ ബാധിക്കില്ല).

$g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)$ എല്ലാ $x\geqslant 1$ എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ ഹൈപ്പർബോളയുടെ വലത് ശാഖയുടെ ഭാഗത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അത് കർശനമായി കുറയുന്നു.

$f_a(x)=g_a(x)$ എന്ന സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം $f$, $g$ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഇൻ്റർസെക്ഷൻ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്. അവയുടെ വിപരീത ഏകതാനതയിൽ നിന്ന്, സമവാക്യത്തിന് പരമാവധി ഒരു റൂട്ട് ഉണ്ടായിരിക്കാം.

എപ്പോൾ $x\geqslant 1$ \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \\ \ 0 . അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവയാണെങ്കിൽ സമവാക്യത്തിന് ഒരു അദ്വിതീയ പരിഹാരം ഉണ്ടായിരിക്കും:

\\ കപ്പ്

ഉത്തരം:

\(എ\ഇൻ (-\ഇൻഫ്റ്റി;-1]\കപ്പ് , ഈ വിഭാഗത്തിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു;

· വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന (കുറയുന്ന) ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക വർദ്ധിക്കുന്ന (കുറയുന്ന) പ്രവർത്തനമാണ്;

· പ്രവർത്തനമാണെങ്കിൽ എഫ്കൂടുന്നു (കുറയുന്നു) ഒപ്പം എൻ- ഒറ്റ സംഖ്യ, അത് വർദ്ധിക്കുന്നു (കുറയുന്നു);

· എങ്കിൽ f"(x)>0എല്ലാവർക്കും xO(a,b),പിന്നെ ചടങ്ങ് y=f(x)ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു (എ,ബി);

· എങ്കിൽ f"(x)<0 എല്ലാവർക്കും xO(a,b),പിന്നെ ചടങ്ങ് y=f(x)ഇടവേളയിൽ കുറയുന്നു (എ,ബി);

· എങ്കിൽ f(x) -സെറ്റിൽ തുടർച്ചയായതും ഏകതാനവുമായ പ്രവർത്തനം എക്സ്, പിന്നെ സമവാക്യം f(x)=C, എവിടെ കൂടെ- ഈ സ്ഥിരാങ്കം ഉണ്ടായിരിക്കാം എക്സ്ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരമില്ല;

· സമവാക്യത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്നിൽ ആണെങ്കിൽ f(x)=g(x)പ്രവർത്തനം f(x)വർദ്ധിക്കുന്നു, പ്രവർത്തനവും g(x)കുറയുന്നു, അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകരുത്.

സിദ്ധാന്തം. (ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകതാനതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥ). സെഗ്മെൻ്റിൽ തുടർച്ചയായി ഉണ്ടെങ്കിൽ [ എ, ബി] പ്രവർത്തനം y = f(എക്സ്) ഇടവേളയുടെ ഓരോ പോയിൻ്റിലും ( എ, ബി) ഒരു പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്, തുടർന്ന് ഈ പ്രവർത്തനം ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു (കുറയുന്നു) [ എ, ബി].

തെളിവ്. എല്ലാവർക്കും വേണ്ടി >0 അനുവദിക്കുക xO(a,b). രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ x 2 പരിഗണിക്കുക > x 1,ഉൾപ്പെടുന്ന [ എ, ബി]. ലഗ്രാഞ്ചിൻ്റെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച് x 1<с < х 2 . (കൂടെ) > 0 ഒപ്പം x 2 – x 1 > 0, അതിനാൽ > 0, എവിടെ നിന്ന് > , അതായത്, f(x) ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു [ എ, ബി]. സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ രണ്ടാം ഭാഗം സമാനമായ രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 3. (ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു തീവ്രതയുടെ അസ്തിത്വത്തിൻ്റെ ആവശ്യമായ അടയാളം). സി പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ആണെങ്കിൽ ചെയ്തത്=എഫ്(എക്സ്) ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, അപ്പോൾ .

തെളിവ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തനം അനുവദിക്കുക ചെയ്തത്= എഫ്(എക്സ്) പോയിൻ്റ് c-ൽ പരമാവധി ഉണ്ട്. ഇതിനർത്ഥം, എല്ലാ പോയിൻ്റുകൾക്കും ഒരു പഞ്ചർ അയൽപക്കമുണ്ട് c പോയിൻ്റ് എന്നാണ് xഈ അയൽപക്കം സംതൃപ്തമാണ് എഫ്(x) < f (സി), അതാണ് എഫ്(സി) ഈ സമീപസ്ഥലത്തെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യമാണ്. പിന്നെ ഫെർമാറ്റിൻ്റെ സിദ്ധാന്തം വഴി.

സി പോയിൻ്റിലെ മിനിമം കേസ് സമാനമായ രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

അഭിപ്രായം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ലാത്ത ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു എക്‌സ്‌ട്രീം ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് പോയിൻ്റ് x-ൽ മിനിമം ഉണ്ട് = 0, അത് നിലവിലില്ലെങ്കിലും. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ പോയിൻ്റുകളെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ നിർണായക പോയിൻ്റുകളിലും ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു തീവ്രതയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തനം y = x 3അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിലും, തീവ്രതയില്ല =0.

സിദ്ധാന്തം 4. (ഒരു തീവ്രതയുടെ അസ്തിത്വത്തിൻ്റെ മതിയായ അടയാളം). എങ്കിൽ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം y = f(x) നിർണ്ണായക പോയിൻ്റ് C (ഒരുപക്ഷേ, ഈ പോയിൻ്റ് ഒഴികെ) അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്, കൂടാതെ ഡെറിവേറ്റീവ്, നിർണ്ണായക പോയിൻ്റ് C വഴി ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് പോകുമ്പോൾ, പ്ലസിൽ നിന്ന് ചിഹ്നം മാറുന്നു. മൈനസിലേക്ക്, അപ്പോൾ പോയിൻ്റ് C യിലെ ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്, ചിഹ്നം മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസിലേക്ക് മാറുമ്പോൾ മിനിമം.

തെളിവ്. c ഒരു നിർണ്ണായക പോയിൻ്റായിരിക്കട്ടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, ആർഗ്യുമെൻ്റ് c എന്ന പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറ്റാം. ഇതിനർത്ഥം ചില ഇടവേളകളിൽ എന്നാണ് (സി-ഇ; സി)പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, ഇടവേളയിൽ (സി; സി+ഇ)- കുറയുന്നു (at ഇ>0). അതിനാൽ, c പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്. ഒരു മിനിമം കേസ് സമാനമായ രീതിയിൽ തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

അഭിപ്രായം. ആർഗ്യുമെൻ്റ് നിർണ്ണായക പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മാറുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിലെ പ്രവർത്തനത്തിന് ഒരു തീവ്രത ഇല്ല.

നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധിയുടെയും തുടർച്ചയുടെയും നിർവചനങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതിനാൽ, നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്ക് പരിധികളുടെയും തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും എല്ലാ ഗുണങ്ങളും സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു.

©2015-2019 സൈറ്റ്
എല്ലാ അവകാശങ്ങളും അവയുടെ രചയിതാക്കൾക്കുള്ളതാണ്. ഈ സൈറ്റ് കർത്തൃത്വം അവകാശപ്പെടുന്നില്ല, എന്നാൽ നൽകുന്നു സ്വതന്ത്ര ഉപയോഗം.
പേജ് സൃഷ്‌ടിച്ച തീയതി: 2016-02-12

ഒരു മോണോടോൺ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധിയെക്കുറിച്ചുള്ള സിദ്ധാന്തം. രണ്ട് രീതികൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ് നൽകിയിരിക്കുന്നത്. കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നതും കുറയാത്തതും കർശനമായി കുറയുന്നതും വർദ്ധിക്കാത്തതുമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങളും നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരു ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം.

നിർവചനങ്ങൾ

വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾ
ഫംഗ്ഷൻ എഫ് (x)യഥാർത്ഥ സംഖ്യകളുടെ ചില സെറ്റിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു X.
ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു (കർശനമായി കുറയുന്നു), എല്ലാത്തിനും x′, x′′ ആണെങ്കിൽ ∈ എക്സ്അത് പോലെ x< x′′ выполняется неравенство:
എഫ് (x′)< f(x′′) (എഫ് (x′) > f(x′′) ) .
ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു കുറയാത്ത (വർദ്ധിക്കാത്ത), എല്ലാത്തിനും x′, x′′ ആണെങ്കിൽ ∈ എക്സ്അത് പോലെ x< x′′ выполняется неравенство:
എഫ് (x′) ≤ f(x′′)(എഫ് (x′) ≥ f(x′′) ) .

കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്ന പ്രവർത്തനവും കുറയുന്നില്ല എന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു. കർശനമായി കുറയുന്ന പ്രവർത്തനവും വർദ്ധിക്കുന്നില്ല.

ഒരു ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവ്വചനം
ചടങ്ങിനെ വിളിക്കുന്നു ഏകതാനമായ, അത് കുറയുകയോ കൂടുകയോ ചെയ്യുന്നില്ലെങ്കിൽ.

ഒരു നിശ്ചിത സെറ്റ് X-ൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകതാനത പഠിക്കാൻ, ഈ സെറ്റിൻ്റെ രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റുകളിൽ അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം നിങ്ങൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. എങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു; എങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം കുറയുന്നില്ല; എങ്കിൽ, കർശനമായി കുറയുന്നു; എങ്കിൽ, അത് വർദ്ധിക്കുന്നില്ല.

ഒരു നിശ്ചിത സെറ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ: , ഏകതാനത നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഈ സെറ്റിൻ്റെ രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ പോയിൻ്റുകളിൽ അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങളെ വിഭജിക്കുന്നതിൻ്റെ ഘടകം നിങ്ങൾക്ക് പഠിക്കാം. എങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു; എങ്കിൽ, പ്രവർത്തനം കുറയുന്നില്ല; എങ്കിൽ, കർശനമായി കുറയുന്നു; എങ്കിൽ, അത് വർദ്ധിക്കുന്നില്ല.

സിദ്ധാന്തം
ഫംഗ്ഷൻ എഫ് (x)ഇടവേളയിൽ കുറയുന്നില്ല (എ, ബി), എവിടെ .
ഇത് മുകളിൽ M: എന്ന സംഖ്യയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, b: എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഒരു പരിമിത ഇടത് പരിധിയുണ്ട്. എങ്കിൽ എഫ് (x)മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല, അപ്പോൾ .
എങ്കിൽ എഫ് (x)താഴെ m: എന്ന സംഖ്യയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് a : എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു പരിമിത വലത് പരിധിയുണ്ട്. എങ്കിൽ എഫ് (x)താഴെ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല, അപ്പോൾ .

പോയിൻ്റുകൾ a, b എന്നിവ അനന്തതയിലാണെങ്കിൽ, പദപ്രയോഗങ്ങളിൽ പരിധി അടയാളങ്ങൾ അർത്ഥമാക്കുന്നത് .
ഈ സിദ്ധാന്തം കൂടുതൽ ഒതുക്കമുള്ള രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്താം.

ഫംഗ്ഷൻ എഫ് (x)ഇടവേളയിൽ കുറയുന്നില്ല (എ, ബി), എവിടെ . എ, ബി പോയിൻ്റുകളിൽ ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികളുണ്ട്:
;
.

ഒരു നോൺ-വർദ്ധന ഫംഗ്‌ഷനുള്ള സമാന സിദ്ധാന്തം.

എവിടെ ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കാതിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികളുണ്ട്:
;
.

അനന്തരഫലം
ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം ഏകതാനമായിരിക്കട്ടെ. ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്ന് ഏത് ഘട്ടത്തിലും, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ പരിമിത പരിധികളുണ്ട്:
ഒപ്പം .

സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ തെളിവ്

പ്രവർത്തനം കുറയുന്നില്ല

b - അവസാന നമ്പർ

പ്രവർത്തനം മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതമാണ്

1.1.1. ഫംഗ്ഷൻ മുകളിൽ നിന്ന് M: എന്ന സംഖ്യയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തട്ടെ.

.
;
.

പ്രവർത്തനം കുറയാത്തതിനാൽ, എപ്പോൾ . പിന്നെ
യിൽ.
അവസാനത്തെ അസമത്വത്തെ നമുക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യാം:
;
;
.
കാരണം, അപ്പോൾ. പിന്നെ
യിൽ.

യിൽ.
"ഒരു അവസാന പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികളുടെ നിർവചനങ്ങൾ").

പ്രവർത്തനം മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതമല്ല

1. ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം കുറയാതിരിക്കട്ടെ.
1.1 സംഖ്യ ബി പരിമിതമായിരിക്കട്ടെ: .
1.1.2. ഫംഗ്ഷൻ മുകളിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തരുത്.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഒരു പരിധിയുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

യിൽ.

നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. അപ്പോൾ ആർക്കും ഉണ്ട്, അങ്ങനെ
യിൽ.
ഇതിനർത്ഥം ബി പോയിൻ്റിലെ ഇടതുവശത്തുള്ള പരിധി ("ഒരു അവസാന പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകപക്ഷീയമായ അനന്തമായ പരിധികളുടെ നിർവചനങ്ങൾ" കാണുക).

b നേരത്തെയുള്ള പ്ലസ് അനന്തത

പ്രവർത്തനം മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതമാണ്

1. ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം കുറയാതിരിക്കട്ടെ.
1.2.1. ഫംഗ്ഷൻ മുകളിൽ നിന്ന് M: എന്ന സംഖ്യയാൽ പരിമിതപ്പെടുത്തട്ടെ.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഒരു പരിധിയുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

ഫംഗ്ഷൻ മുകളിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നതിനാൽ, ഒരു പരിമിതമായ സുപ്രിമം ഉണ്ട്
.
കൃത്യമായ അപ്പർ ബൗണ്ടിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ:
;
ഏതൊരു പോസിറ്റീവിനും ഒരു വാദമുണ്ട്
.

പ്രവർത്തനം കുറയാത്തതിനാൽ, എപ്പോൾ . തുടർന്ന് . അഥവാ
യിൽ.

അതിനാൽ, ആർക്കും ഒരു സംഖ്യയുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി
യിൽ.
"അനന്തത്തിൽ ഏകപക്ഷീയമായ പരിധികളുടെ നിർവചനങ്ങൾ").

പ്രവർത്തനം മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതമല്ല

1. ഇടവേളയിൽ പ്രവർത്തനം കുറയാതിരിക്കട്ടെ.
1.2 സംഖ്യ ബി പ്ലസ് അനന്തതയ്ക്ക് തുല്യമായിരിക്കട്ടെ: .
1.2.2. ഫംഗ്ഷൻ മുകളിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തരുത്.
ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഒരു പരിധിയുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

ഫംഗ്ഷൻ മുകളിൽ പരിധിയില്ലാത്തതിനാൽ, ഏത് സംഖ്യയ്ക്കും M എന്ന സംഖ്യയ്ക്ക് ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റ് ഉണ്ട്
.

പ്രവർത്തനം കുറയാത്തതിനാൽ, എപ്പോൾ . തുടർന്ന് .

അതിനാൽ ഏതൊരു വസ്തുവിനും ഒരു സംഖ്യയുണ്ട്, അങ്ങനെ
യിൽ.
ഇതിനർത്ഥം എന്നതിലെ പരിധി തുല്യമാണ് ("അനന്തത്തിലെ ഏകപക്ഷീയമായ അനന്തമായ പരിധികളുടെ നിർവചനങ്ങൾ" കാണുക).

പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നില്ല

ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കാത്തപ്പോൾ കേസ് പരിഗണിക്കുക. മുകളിൽ പറഞ്ഞതുപോലെ, നിങ്ങൾക്ക് ഓരോ ഓപ്ഷനും പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കാം. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ അവ ഉടനടി മൂടും. ഇതിനായി ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഒരു പരിധിയുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് തെളിയിക്കാം.

ഫംഗ്ഷൻ മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണത്തിൻ്റെ പരിമിതമായ ഇൻഫിമം പരിഗണിക്കുക:
.
ഇവിടെ B എന്നത് ഒരു പരിമിത സംഖ്യയോ അനന്തതയിലെ ഒരു ബിന്ദുവോ ആകാം. കൃത്യമായ ലോവർ ബൗണ്ടിൻ്റെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തികരമാണ്:
;
പോയിൻ്റ് ബി യുടെ ഏത് അയൽപക്കത്തിനും ഒരു വാദമുണ്ട്
.
സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, . അതുകൊണ്ടാണ് .

പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കാത്തതിനാൽ, എപ്പോൾ . അന്ന് മുതൽ
യിൽ.
അഥവാ
യിൽ.
അടുത്തതായി, അസമത്വം ബി പോയിൻ്റിൻ്റെ ഇടത് പഞ്ചർ അയൽപക്കത്തെ നിർവചിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, പോയിൻ്റിൻ്റെ ഏത് അയൽപക്കത്തിനും, ബി പോയിൻ്റിൻ്റെ ഇടത് അയൽപക്കത്തിൽ പഞ്ചറായതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി.
യിൽ.
ബി പോയിൻ്റിൽ ഇടതുവശത്തുള്ള പരിധി ഇതാണ് എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം:

(കൗച്ചി പ്രകാരം ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധിയുടെ സാർവത്രിക നിർവചനം കാണുക).

പോയിൻ്റ് എയിൽ പരിധി

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പോയിൻ്റ് എയിൽ ഒരു പരിധി ഉണ്ടെന്ന് കാണിക്കുകയും അതിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്യും.

നമുക്ക് പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കാം. സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്, ഫംഗ്ഷൻ ഏകതാനമാണ്. നമുക്ക് വേരിയബിൾ x - x ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു പകരം വയ്ക്കൽ നടത്തുക, തുടർന്ന് t എന്ന വേരിയബിളിനെ x ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക). അപ്പോൾ പ്രവർത്തനം ഏകതാനമാണ്. അസമത്വങ്ങളെ ഗുണിക്കുക -1 അവയുടെ ക്രമം മാറ്റുകയും ഫംഗ്‌ഷൻ ഏകതാനമാണെന്ന നിഗമനത്തിലെത്തുകയും ചെയ്യുന്നു.

സമാനമായ രീതിയിൽ, അത് കുറയുന്നില്ലെങ്കിൽ, അത് വർദ്ധിക്കുന്നില്ലെന്ന് കാണിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്. അപ്പോൾ, മുകളിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടതനുസരിച്ച്, ഒരു പരിധിയുണ്ട്
.
കൂടുന്നില്ലെങ്കിൽ കുറയില്ല. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഒരു പരിധിയുണ്ട്
.

എന്നതിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധിയുണ്ടെങ്കിൽ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരിധിയിൽ ഒരു പരിധിയുണ്ടെന്നും ഈ പരിധികൾ തുല്യമാണെന്നും കാണിക്കാൻ ഇപ്പോൾ അവശേഷിക്കുന്നു:
.

നമുക്ക് നൊട്ടേഷൻ പരിചയപ്പെടുത്താം:
(1) .
നമുക്ക് g യുടെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ f പ്രകടിപ്പിക്കാം:
.
നമുക്ക് ഒരു അനിയന്ത്രിതമായ പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ എടുക്കാം. പോയിൻ്റ് എയുടെ ഒരു എപ്‌സിലോൺ അയൽപക്കം ഉണ്ടാകട്ടെ. എ യുടെ പരിമിതവും അനന്തവുമായ മൂല്യങ്ങൾക്കായി എപ്സിലോൺ അയൽപക്കം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു ("ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ അയൽപക്കം" കാണുക). ഒരു പരിധി (1) ഉള്ളതിനാൽ, ഒരു പരിധിയുടെ നിർവചനം അനുസരിച്ച്, ഏതൊരു കാര്യത്തിനും അങ്ങനെയുണ്ട്
യിൽ.

a ഒരു പരിമിത സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ. അസമത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റിൻ്റെ ഇടത് പഞ്ചർ അയൽപക്കം നമുക്ക് പ്രകടിപ്പിക്കാം:
യിൽ.
നമുക്ക് x-നെ -x ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, അത് കണക്കിലെടുക്കുക:
യിൽ.
അവസാനത്തെ രണ്ട് അസമത്വങ്ങൾ a പോയിൻ്റിൻ്റെ പഞ്ചർ ചെയ്ത വലത് അയൽപക്കത്തെ നിർവചിക്കുന്നു. പിന്നെ
യിൽ.

a അനന്തമായ സംഖ്യയായിരിക്കട്ടെ, . ഞങ്ങൾ ന്യായവാദം ആവർത്തിക്കുന്നു.
ചെയ്തത് ;
ചെയ്തത് ;
ചെയ്തത് ;
യിൽ.

അതിനാൽ, ആർക്കും അങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തി
യിൽ.
അതിനർത്ഥം അതാണ്
.

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കപ്പെട്ടു.

വിഷയത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പത്താം ക്ലാസിലെ ബീജഗണിതത്തിലെ പാഠവും അവതരണവും: "ഏകത്വത്തിനായുള്ള ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ അന്വേഷണം. ഗവേഷണ അൽഗോരിതം"

അധിക മെറ്റീരിയലുകൾ
പ്രിയ ഉപയോക്താക്കളേ, നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങളും അവലോകനങ്ങളും ആശംസകളും നൽകാൻ മറക്കരുത്! എല്ലാ മെറ്റീരിയലുകളും ഒരു ആൻ്റി വൈറസ് പ്രോഗ്രാം പരിശോധിച്ചു.

1C മുതൽ ഗ്രേഡ് 10-ന് ഇൻ്റഗ്രൽ ഓൺലൈൻ സ്റ്റോറിലെ മാനുവലുകളും സിമുലേറ്ററുകളും
പാരാമീറ്ററുകളുമായുള്ള ബീജഗണിത പ്രശ്നങ്ങൾ, ഗ്രേഡുകൾ 9-11
സോഫ്റ്റ്‌വെയർ എൻവയോൺമെൻ്റ് "1C: മാത്തമാറ്റിക്കൽ കൺസ്ട്രക്റ്റർ 6.1"

ഞങ്ങൾ എന്ത് പഠിക്കും:
1. ഫംഗ്ഷനുകൾ കുറയ്ക്കുകയും വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.
2. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും മോണോടോണിസിറ്റിയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം.
3. ഏകതാനതയെക്കുറിച്ചുള്ള രണ്ട് പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ.
4. ഉദാഹരണങ്ങൾ.

സുഹൃത്തുക്കളേ, നേരത്തെ ഞങ്ങൾ പലതും നോക്കി വിവിധ പ്രവർത്തനങ്ങൾഅവരുടെ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കുകയും ചെയ്തു. ഇപ്പോൾ നമ്മൾ പരിഗണിച്ചതും തുടർന്നും പരിഗണിക്കുന്നതുമായ എല്ലാ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കും പ്രവർത്തിക്കുന്ന പുതിയ നിയമങ്ങൾ അവതരിപ്പിക്കാം.

പ്രവർത്തനങ്ങൾ കുറയ്ക്കുകയും വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു

ഫംഗ്ഷനുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്ന ആശയം നോക്കാം. സുഹൃത്തുക്കളേ, എന്താണ് ഒരു പ്രവർത്തനം?

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ എന്നത് ഒരു കറസ്‌പോണ്ടൻസ് ആണ് y= f(x), അതിൽ x ൻ്റെ ഓരോ മൂല്യവും y യുടെ ഒരൊറ്റ മൂല്യവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ചില ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നോക്കാം:

ഞങ്ങളുടെ ഗ്രാഫ് കാണിക്കുന്നു: വലുത് x, ചെറുത് y. അതിനാൽ നമുക്ക് ഒരു കുറയുന്ന ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കാം. ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ചെറിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ കുറയുന്നു എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

x2 > x1 ആണെങ്കിൽ, f(x2) ഇനി ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നോക്കാം:
ഈ ഗ്രാഫ് കാണിക്കുന്നത് വലുത് x, വലുത് y എന്നാണ്. അതിനാൽ നമുക്ക് ഒരു വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കാം. ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ വർദ്ധിപ്പിക്കൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.
x2 > x1 ആണെങ്കിൽ, f(x2 > f(x1) അല്ലെങ്കിൽ: വലുത് x, വലിയ y.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ കൂടുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്‌താൽ, അത് പറയപ്പെടുന്നു ഈ ഇടവേളയിൽ ഇത് ഏകതാനമാണ്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും മോണോടോണിസിറ്റിയും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം

സുഹൃത്തുക്കളേ, ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫുകൾ പഠിക്കുമ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയം എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ചിന്തിക്കാം. വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരച്ച് നമ്മുടെ ഗ്രാഫിലേക്ക് രണ്ട് ടാൻജെൻ്റുകൾ വരയ്ക്കാം.

നിങ്ങൾ ഞങ്ങളുടെ സ്പർശനങ്ങളിലേക്ക് നോക്കുകയോ ദൃശ്യപരമായി മറ്റേതെങ്കിലും സ്പർശനം വരയ്ക്കുകയോ ചെയ്താൽ, x-അക്ഷത്തിൻ്റെ സ്പർശനത്തിനും പോസിറ്റീവ് ദിശയ്ക്കും ഇടയിലുള്ള ആംഗിൾ നിശിതമായിരിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കും. സ്പർശനത്തിന് പോസിറ്റീവ് ചരിവുണ്ടെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം. ടാൻജെൻ്റ് ചരിവ് മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്സ്പർശനബിന്ദുവിൻ്റെ അബ്സിസ്സയിലെ ഡെറിവേറ്റീവ്. അങ്ങനെ, നമ്മുടെ ഗ്രാഫിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം പോസിറ്റീവ് ആണ്. വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പ്രവർത്തനത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു: f"(x) ≥ 0, ഏത് പോയിൻ്റിനും x.

സുഹൃത്തുക്കളേ, ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ചില കുറയുന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് നോക്കാം, കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ടാൻജെൻ്റുകൾ നിർമ്മിക്കാം.

നമുക്ക് സ്പർശനങ്ങൾ നോക്കാം, ദൃശ്യപരമായി മറ്റേതെങ്കിലും സ്പർശനം വരയ്ക്കാം. x-അക്ഷത്തിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിനും പോസിറ്റീവ് ദിശയ്ക്കും ഇടയിലുള്ള കോണും മങ്ങിയതാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കും, അതായത് ടാൻജൻ്റിന് നെഗറ്റീവ് ചരിവ് ഉണ്ട്. അങ്ങനെ, നമ്മുടെ ഗ്രാഫിലെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം നെഗറ്റീവ് ആണ്. കുറയുന്ന പ്രവർത്തനത്തിന്, ഇനിപ്പറയുന്ന അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു: f"(x) ≤ 0, ഏത് പോയിൻ്റിനും x.

അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകതാനത ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുകയും ഈ ഇടവേളയിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഈ ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ഇടവേളയിൽ കുറയുകയും ഈ ഇടവേളയിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഈ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആയിരിക്കില്ല.

പ്രധാനപ്പെട്ടത്, അങ്ങനെ ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുന്ന ഇടവേളകൾ തുറന്നിരിക്കുന്നു!

ഏകതാനതയെക്കുറിച്ചുള്ള രണ്ട് പ്രധാന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

സിദ്ധാന്തം 1. അസമത്വം f'(x) ≥ 0 ഒരു തുറന്ന ഇടവേള X ൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും കൈവശം വച്ചാൽ (ഒപ്പം പൂജ്യത്തിലേക്കുള്ള ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ തുല്യത ഒന്നുകിൽ പിടിക്കുകയോ നിലനിർത്തുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല, പക്ഷേ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റുകളിൽ മാത്രം), പിന്നെ ഫംഗ്ഷൻ y= f(x) ഇടവേള X-ൽ വർദ്ധിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 2. അസമത്വം f'(x) ≤ 0 ഒരു ഓപ്പൺ ഇൻ്റർവെൽ X ൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും കൈവശം വയ്ക്കുന്നുവെങ്കിൽ (ഒപ്പം പൂജ്യത്തിലേക്കുള്ള ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ തുല്യത ഒന്നുകിൽ പിടിക്കുകയോ നിലനിർത്തുകയോ ചെയ്യുന്നില്ല, പക്ഷേ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റുകളിൽ മാത്രം), പിന്നെ ഫംഗ്‌ഷൻ y= f(x) ഇടവേള X-ൽ കുറയുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 3. തുറന്ന ഇടവേള X ൻ്റെ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും തുല്യത
f’(x)= 0, അപ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷൻ y= f(x) ഈ ഇടവേളയിൽ സ്ഥിരമാണ്.

ഏകതാനതയ്ക്കായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

1) മുഴുവൻ സംഖ്യാ വരിയിലും y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നതായി തെളിയിക്കുക.

പരിഹാരം: നമുക്ക് നമ്മുടെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. x ലെ ഡിഗ്രി തുല്യമായതിനാൽ, അപ്പോൾ വൈദ്യുതി പ്രവർത്തനംപോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം എടുക്കുന്നു. അപ്പോൾ y" > 0 ഏത് x-നും, അതായത് സിദ്ധാന്തം 1-ൻ്റെ അർത്ഥം, മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു.

2) ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക: y= sin(2x) - 3x.

നമുക്ക് നമ്മുടെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം: y"= 2cos(2x) - 3.
അസമത്വം പരിഹരിക്കാം:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
കാരണം -1 ≤ cos(x) ≤ 1, അതായത് നമ്മുടെ അസമത്വം ഏതെങ്കിലും x ന് തൃപ്തിപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് സിദ്ധാന്തം 2 പ്രകാരം y= sin(2x) - 3x കുറയുന്നു.

3) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനത പരിശോധിക്കുക: y= x 2 + 3x - 1.

പരിഹാരം: നമുക്ക് നമ്മുടെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം: y"= 2x + 3.
അസമത്വം പരിഹരിക്കാം:
2x + 3 ≥ 0,
x ≥ -3/2.
അപ്പോൾ നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം x ≥ -3/2 ന് വർദ്ധിക്കുകയും x ≤ -3/2 ന് കുറയുകയും ചെയ്യുന്നു.
ഉത്തരം: x ≥ -3/2 ന്, ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു, x ≤ -3/2 ന്, ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്നു.

4) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനത പരിശോധിക്കുക: y= $\sqrt(3x - 1)$.

പരിഹാരം: നമുക്ക് നമ്മുടെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താം: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
നമുക്ക് അസമത്വം പരിഹരിക്കാം: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

ഞങ്ങളുടെ അസമത്വം പൂജ്യത്തേക്കാൾ വലുതോ തുല്യമോ ആണ്:
$\sqrt(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x ≥ 1/3.
അസമത്വം പരിഹരിക്കാം:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\sqrt(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
എന്നാൽ ഇത് അസാധ്യമാണ്, കാരണം സ്ക്വയർ റൂട്ട്പോസിറ്റീവ് എക്സ്പ്രഷനുകൾക്കായി മാത്രം നിർവചിച്ചിരിക്കുന്നു, അതായത് നമ്മുടെ പ്രവർത്തനത്തിന് ഇടവേളകൾ കുറയുന്നില്ല.
ഉത്തരം: x ≥ 1/3 ന് ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു.

സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ

a) y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും വർദ്ധിക്കുന്നതായി തെളിയിക്കുക.
b) ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുന്നുവെന്ന് തെളിയിക്കുക: y= cos(5x) - 7x.
c) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനത പരിശോധിക്കുക: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനത പരിശോധിക്കുക: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ്, കുറയൽ, തീവ്രത

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ്, കുറയ്‌ക്കൽ, തീവ്രത എന്നിവയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഒരു സ്വതന്ത്ര ചുമതലയും മറ്റ് ജോലികളുടെ ഒരു പ്രധാന ഭാഗവുമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും, പൂർണ്ണ പ്രവർത്തന പഠനം. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ്, കുറവ്, തീവ്രത എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രാഥമിക വിവരങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ചുള്ള സൈദ്ധാന്തിക അധ്യായം, പ്രാഥമിക പഠനത്തിനായി ഞാൻ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ആവർത്തനം)- ഇനിപ്പറയുന്ന മെറ്റീരിയൽ വളരെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് എന്ന കാരണത്താലും അടിസ്ഥാനപരമായി ഡെറിവേറ്റീവ്,ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ യോജിപ്പുള്ള തുടർച്ചയാണ്. സമയം കുറവാണെങ്കിലും, ഇന്നത്തെ പാഠത്തിൽ നിന്നുള്ള ഉദാഹരണങ്ങളുടെ ഔപചാരികമായ പരിശീലനവും സാധ്യമാണ്.

ഇന്ന് അന്തരീക്ഷത്തിൽ അപൂർവമായ ഏകാഭിപ്രായത്തിൻ്റെ ഒരു ആത്മാവുണ്ട്, അവിടെയുള്ള എല്ലാവരും ആഗ്രഹത്താൽ ജ്വലിക്കുന്നതായി എനിക്ക് നേരിട്ട് അനുഭവപ്പെടുന്നു. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ പഠിക്കുക. അതിനാൽ, ന്യായമായ, നല്ല, ശാശ്വതമായ പദാവലി ഉടൻ നിങ്ങളുടെ മോണിറ്റർ സ്ക്രീനുകളിൽ ദൃശ്യമാകും.

എന്തിനുവേണ്ടി? ഒരു കാരണം ഏറ്റവും പ്രായോഗികമാണ്: ഒരു പ്രത്യേക ജോലിയിൽ പൊതുവെ എന്താണ് നിങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നതെന്ന് വ്യക്തമാകും!

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഏകതാനത. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം പോയിൻ്റുകളും എക്‌സ്ട്രീമയും

നമുക്ക് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, അവൾ എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കുന്നു തുടർച്ചയായമുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിൽ:

അങ്ങനെയെങ്കിൽ, സാധ്യമായ മിഥ്യാധാരണകളിൽ നിന്ന് ഉടനടി രക്ഷപ്പെടാം, പ്രത്യേകിച്ചും അടുത്തിടെ പരിചയപ്പെട്ട വായനക്കാർക്ക് പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സ്ഥിരമായ ചിഹ്നത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ താൽപ്പര്യമില്ല, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് അച്ചുതണ്ടുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതെങ്ങനെ (മുകളിൽ, താഴെ, അച്ചുതണ്ട് വിഭജിക്കുന്നിടത്ത്). ബോധ്യപ്പെടുത്താൻ, അച്ചുതണ്ടുകൾ മാനസികമായി മായ്ച്ച് ഒരു ഗ്രാഫ് വിടുക. കാരണം അവിടെയാണ് താൽപ്പര്യം.

ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നുഒരു ഇടവേളയിൽ, ഈ ഇടവേളയിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾക്ക് ബന്ധവുമായി ബന്ധിപ്പിച്ചാൽ, അസമത്വം ശരിയാണ്. അതായത്, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഒരു വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്ഷൻ്റെ വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് "താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക്" പോകുന്നു. പ്രദർശന പ്രവർത്തനം ഇടവേളയിൽ വളരുന്നു.

അതുപോലെ, പ്രവർത്തനം കുറയുന്നുഒരു ഇടവേളയിൽ, ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിൻ്റുകൾക്ക്, അസമത്വം ശരിയാണ്. അതായത്, ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഒരു വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ചെറിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് "മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക്" പോകുന്നു. ഇടവേളകളിൽ നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു .

ഒരു ഇടവേളയിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ കൂടുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്‌താൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു കർശനമായി ഏകതാനമായഈ ഇടവേളയിൽ. എന്താണ് ഏകതാനത? അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ എടുക്കുക - ഏകതാനത.

നിങ്ങൾക്ക് നിർവ്വചിക്കാനും കഴിയും കുറയാത്തത്ഫംഗ്ഷൻ (ആദ്യ നിർവചനത്തിൽ വിശ്രമിച്ച അവസ്ഥ) കൂടാതെ വർദ്ധിക്കാത്തത്ഫംഗ്ഷൻ (രണ്ടാമത്തെ നിർവചനത്തിൽ മൃദുവായ അവസ്ഥ). ഒരു ഇടവേളയിൽ കുറയാത്തതോ വർദ്ധിക്കാത്തതോ ആയ ഫംഗ്‌ഷനെ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ ഒരു മോണോടോണിക് ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. (കർക്കശമായ ഏകതാനത - പ്രത്യേക കേസ്"വെറും" ഏകതാനത).

പകുതി-ഇടവേളകളിലും സെഗ്‌മെൻ്റുകളിലും ഉൾപ്പെടെ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ്/കുറവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റ് സമീപനങ്ങളും സിദ്ധാന്തം പരിഗണിക്കുന്നു, എന്നാൽ നിങ്ങളുടെ തലയിൽ എണ്ണ-എണ്ണ-എണ്ണ ഒഴിക്കാതിരിക്കാൻ, വർഗ്ഗീയ നിർവചനങ്ങളോടെ തുറന്ന ഇടവേളകളിൽ പ്രവർത്തിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കും. - ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാണ്, കൂടാതെ നിരവധി പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് മതിയാകും.

അങ്ങനെ, എൻ്റെ ലേഖനങ്ങളിൽ "ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനത" എന്ന വാക്ക് മിക്കവാറും എപ്പോഴും മറഞ്ഞിരിക്കും ഇടവേളകൾ കർശനമായ ഏകതാനത (കർശനമായി വർദ്ധിക്കുന്നതോ കർശനമായി കുറയ്ക്കുന്നതോ ആയ പ്രവർത്തനം).

ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ അയൽപക്കം. വിദ്യാർത്ഥികൾ കഴിയുന്നിടത്തെല്ലാം ഓടിപ്പോകുകയും മൂലകളിൽ ഭീതിയോടെ ഒളിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന വാക്കുകൾ. ...പോസ്റ്റ് കഴിഞ്ഞാലും Cauchy പരിധികൾഅവർ ഒരുപക്ഷേ ഇനി മറഞ്ഞിരിക്കില്ല, പക്ഷേ ചെറുതായി വിറയ്ക്കുന്നു =) വിഷമിക്കേണ്ട, ഇപ്പോൾ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല ഗണിത വിശകലനം- നിർവചനങ്ങൾ കൂടുതൽ കർശനമായി രൂപപ്പെടുത്താൻ എനിക്ക് ചുറ്റുപാടുകൾ ആവശ്യമായിരുന്നു അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകൾ. നമുക്ക് ഓർക്കാം:

ഒരു പോയിൻ്റിൻ്റെ അയൽപക്കംഅടങ്ങുന്ന ഇടവേള വിളിച്ചു ഈ പോയിൻ്റ്, സൗകര്യാർത്ഥം ഇടവേള പലപ്പോഴും സമമിതിയാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പോയിൻ്റും അതിൻ്റെ സാധാരണ അയൽപക്കവും:

യഥാർത്ഥത്തിൽ, നിർവചനങ്ങൾ:

പോയിൻ്റ് വിളിക്കുന്നു കർശനമായ പരമാവധി പോയിൻ്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അവളുടെ അയൽപക്കം, എല്ലാവർക്കുംഅതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ, പോയിൻ്റ് ഒഴികെ, അസമത്വം . ഞങ്ങളുടെ നിർദ്ദിഷ്ട ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇതൊരു ഡോട്ടാണ്.

പോയിൻ്റ് വിളിക്കുന്നു കർശനമായ മിനിമം പോയിൻ്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അവളുടെ അയൽപക്കം, എല്ലാവർക്കുംഅതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ, പോയിൻ്റ് ഒഴികെ, അസമത്വം . ഡ്രോയിംഗിൽ പോയിൻ്റ് "എ" ഉണ്ട്.

കുറിപ്പ് : അയൽപക്ക സമമിതിയുടെ ആവശ്യകത ഒട്ടും ആവശ്യമില്ല. കൂടാതെ, അത് പ്രധാനമാണ് അസ്തിത്വത്തിൻ്റെ വസ്തുതനിർദ്ദിഷ്‌ട വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്ന അയൽപക്കം (ചെറിയതോ സൂക്ഷ്മമായതോ ആകട്ടെ).

പോയിൻ്റുകൾ വിളിക്കുന്നു കർശനമായി എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾഅല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിൻ്റുകൾപ്രവർത്തനങ്ങൾ. അതായത്, പരമാവധി പോയിൻ്റുകൾക്കും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾക്കുമുള്ള സാമാന്യവൽക്കരിച്ച പദമാണിത്.

"തീവ്രം" എന്ന വാക്ക് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം? അതെ, ഏകതാനത പോലെ നേരിട്ട്. റോളർ കോസ്റ്ററുകളുടെ അങ്ങേയറ്റം പോയിൻ്റുകൾ.

ഏകതാനതയുടെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, അയഞ്ഞ പോസ്റ്റുലേറ്റുകൾ നിലവിലുണ്ട്, അവ സിദ്ധാന്തത്തിൽ കൂടുതൽ സാധാരണമാണ് (തീർച്ചയായും, പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന കർശനമായ കേസുകൾ ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു!):

പോയിൻ്റ് വിളിക്കുന്നു പരമാവധി പോയിൻ്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അതിൻ്റെ ചുറ്റുപാടുകൾ അങ്ങനെയാണ് എല്ലാവർക്കും
പോയിൻ്റ് വിളിക്കുന്നു മിനിമം പോയിൻ്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അതിൻ്റെ ചുറ്റുപാടുകൾ അങ്ങനെയാണ് എല്ലാവർക്കുംഈ അയൽപക്കത്തിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ, അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു.

അവസാനത്തെ രണ്ട് നിർവചനങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഒരു സ്ഥിരമായ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏത് പോയിൻ്റും (അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ “ഫ്ലാറ്റ് സെക്ഷൻ”) പരമാവധി, കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റായി കണക്കാക്കുന്നു! പ്രവർത്തനം, വഴിയിൽ, വർദ്ധിക്കാത്തതും കുറയാത്തതുമാണ്, അതായത്, ഏകതാനമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ഈ പരിഗണനകൾ സൈദ്ധാന്തികർക്ക് വിട്ടുകൊടുക്കും, കാരണം പ്രായോഗികമായി ഞങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പരമ്പരാഗത "കുന്നുകൾ", "പൊള്ളകൾ" (ഡ്രോയിംഗ് കാണുക) ഒരു അതുല്യമായ "കുന്നിലെ രാജാവ്" അല്ലെങ്കിൽ "ചതുപ്പിൻ്റെ രാജകുമാരി" എന്നിവയെക്കുറിച്ച് ചിന്തിക്കുന്നു. ഒരു വൈവിധ്യമെന്ന നിലയിൽ, അത് സംഭവിക്കുന്നു നുറുങ്ങ്, മുകളിലേക്കോ താഴേയ്‌ക്കോ നയിക്കപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്.

ഓ, റോയൽറ്റിയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു:
- അർത്ഥം വിളിക്കുന്നു പരമാവധിപ്രവർത്തനങ്ങൾ;
- അർത്ഥം വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

പൊതുവായ പേര് – അങ്ങേയറ്റംപ്രവർത്തനങ്ങൾ.

ദയവായി നിങ്ങളുടെ വാക്കുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുക!

എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ- ഇവ "എക്സ്" മൂല്യങ്ങളാണ്.
അതിരുകൾ- "ഗെയിം" അർത്ഥങ്ങൾ.

! കുറിപ്പ് : ചിലപ്പോൾ ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌ത പദങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നേരിട്ട് കിടക്കുന്ന "X-Y" പോയിൻ്റുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് എത്ര എക്സ്ട്രീമകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും?

ഒന്നുമില്ല, 1, 2, 3, ... തുടങ്ങിയവ. അനന്തതയിലേയ്ക്ക്. ഉദാഹരണത്തിന്, സൈനിന് അനന്തമായ മിനിമയും മാക്സിമയും ഉണ്ട്.

പ്രധാനം!"പരമാവധി പ്രവർത്തനക്ഷമത" എന്ന പദം സമാനമല്ല"ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരമാവധി മൂല്യം" എന്ന പദം. ഒരു പ്രാദേശിക അയൽപക്കത്തിൽ മാത്രമേ മൂല്യം പരമാവധി ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുന്നത് എളുപ്പമാണ്, മുകളിൽ ഇടതുവശത്ത് "തണുത്ത സഖാക്കൾ" ഉണ്ട്. അതുപോലെ, "ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം" എന്നത് "ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ മൂല്യം" എന്നതിന് തുല്യമല്ല, കൂടാതെ ഡ്രോയിംഗിൽ ഒരു നിശ്ചിത പ്രദേശത്ത് മാത്രമേ മൂല്യം ഏറ്റവും കുറവാണെന്ന് നമ്മൾ കാണുന്നത്. ഇക്കാര്യത്തിൽ, എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു പ്രാദേശിക എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകൾ, തീവ്രവും - പ്രാദേശിക അതിരുകൾ . അവർ അടുത്ത് നടക്കുകയും അലഞ്ഞുതിരിയുകയും ചെയ്യുന്നു ആഗോളസഹോദരങ്ങളെ. അതിനാൽ, ഏത് പരവലയവും അതിൻ്റെ ശിഖരത്തിലാണ് ആഗോള മിനിമംഅഥവാ ആഗോള പരമാവധി. കൂടാതെ, ഞാൻ അതിരുകടന്ന തരങ്ങൾ തമ്മിൽ വേർതിരിക്കില്ല, കൂടാതെ വിശദീകരണം പൊതുവായ വിദ്യാഭ്യാസ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി കൂടുതൽ ശബ്ദമുയർത്തുന്നു - "ലോക്കൽ" / "ഗ്ലോബൽ" എന്ന അധിക നാമവിശേഷണങ്ങൾ നിങ്ങളെ ആശ്ചര്യപ്പെടുത്തരുത്.

ഒരു ടെസ്റ്റ് ഷോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് സിദ്ധാന്തത്തിലേക്കുള്ള ഞങ്ങളുടെ ഹ്രസ്വ വിനോദയാത്രയെ സംഗ്രഹിക്കാം: "ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഏകതാനമായ ഇടവേളകളും എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളും കണ്ടെത്തുക" എന്ന ടാസ്ക് എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്?

പദാവലി നിങ്ങളെ കണ്ടെത്താൻ പ്രോത്സാഹിപ്പിക്കുന്നു:

- വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന / കുറയുന്ന പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ (കുറയാത്തതും വർദ്ധിക്കാത്തതും വളരെ കുറച്ച് തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു);

- പരമാവധി കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ). ശരി, പരാജയം ഒഴിവാക്കാൻ, മിനിമം / മാക്സിമങ്ങൾ സ്വയം കണ്ടെത്തുന്നതാണ് നല്ലത് ;-)

ഇതെല്ലാം എങ്ങനെ നിർണ്ണയിക്കും?ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു!

കൂടുന്നതിൻ്റെയും കുറയുന്നതിൻ്റെയും ഇടവേളകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം
എക്സ്ട്രീം പോയിൻ്റുകളും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ തീവ്രതയും?

പല നിയമങ്ങളും, വാസ്തവത്തിൽ, ഇതിനകം അറിയുകയും മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട് ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠം.

ടാൻജൻ്റ് ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രവർത്തനം ഉടനീളം വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു എന്ന സന്തോഷകരമായ വാർത്ത കൊണ്ടുവരുന്നു നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ.

കോട്ടാൻജെൻ്റും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥിതി നേരെ വിപരീതമാണ്.

ഇടവേളയിൽ ആർക്സൈൻ വർദ്ധിക്കുന്നു - ഇവിടെയുള്ള ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്: .
ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിക്കുമ്പോൾ, എന്നാൽ വ്യത്യാസമില്ല. എന്നിരുന്നാലും, നിർണായക ഘട്ടത്തിൽ ഒരു വലംകൈയ്യൻ ഡെറിവേറ്റീവും വലംകൈയൻ ടാൻജെൻ്റും ഉണ്ട്, മറ്റേ അറ്റത്ത് അവരുടെ ഇടതുകൈയ്യൻ എതിരാളികളുമുണ്ട്.

ആർക്ക് കോസൈനിനും അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും സമാനമായ ന്യായവാദം നടത്തുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ലെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.

മുകളിലുള്ള എല്ലാ കേസുകളും, അവയിൽ പലതും പട്ടിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു, നേരിട്ട് പിന്തുടരുക ഡെറിവേറ്റീവ് നിർവചനങ്ങൾ.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് എങ്ങനെയുണ്ടെന്ന് നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ: അത് "താഴെ മുകളിലേക്ക്" പോകുന്നിടത്ത്, "മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക്", എവിടെയാണ് അത് മിനിമം, മാക്സിമം (എല്ലാം എത്തിയാൽ). എല്ലാ ഫംഗ്‌ഷനുകളും അത്ര ലളിതമല്ല - മിക്ക കേസുകളിലും ഒരു പ്രത്യേക ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിനെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് യാതൊരു ധാരണയുമില്ല.

കൂടുതൽ അർത്ഥവത്തായ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങാനും പരിഗണിക്കാനുമുള്ള സമയമാണിത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനതയുടെയും തീവ്രതയുടെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

ഉദാഹരണം 1

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ വർദ്ധനവ്/കുറവ്, തീവ്രത എന്നിവയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം:

1) കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻ, കൂടാതെ ബ്രേക്ക് പോയിൻ്റുകളും (അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) ശ്രദ്ധിക്കുക. IN ഈ സാഹചര്യത്തിൽഫംഗ്ഷൻ മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിലും തുടർച്ചയായി നടക്കുന്നു, ഈ പ്രവർത്തനം ഒരു പരിധി വരെ ഔപചാരികമാണ്. എന്നാൽ പല കേസുകളിലും, ഗുരുതരമായ വികാരങ്ങൾ ഇവിടെ ജ്വലിക്കുന്നു, അതിനാൽ നമുക്ക് ഖണ്ഡികയെ അവഗണന കൂടാതെ പരിഗണിക്കാം.

2) അൽഗോരിതത്തിൻ്റെ രണ്ടാമത്തെ പോയിൻ്റ് കാരണം

ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ:

ഒരു ബിന്ദുവിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒന്നുകിൽ മൂല്യം നിലവിലില്ല.

അവസാനം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാണോ? "മോഡുലസ് x" ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം .

വ്യവസ്ഥ ആവശ്യമാണ്, പക്ഷേ പോരാ, സംഭാഷണം എല്ലായ്പ്പോഴും ശരിയല്ല. അതിനാൽ, പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞതിലെത്തുന്നത് തുല്യതയിൽ നിന്ന് ഇതുവരെ പിന്തുടരുന്നില്ല. ഒരു ക്ലാസിക് ഉദാഹരണം ഇതിനകം മുകളിൽ ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്തിട്ടുണ്ട് - ഇതൊരു ക്യൂബിക് പരവലയവും അതിൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുമാണ്.

എന്നാൽ അങ്ങനെയാകട്ടെ, ആവശ്യമായ അവസ്ഥഎക്സ്ട്രീം സംശയാസ്പദമായ പോയിൻ്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ആദ്യ ലേഖനത്തിൻ്റെ തുടക്കത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളെ കുറിച്ച്ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പരവലയം എങ്ങനെ വേഗത്തിൽ നിർമ്മിക്കാമെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറഞ്ഞു : “...ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുത്ത് അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു: ...അതിനാൽ, നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരം: - ഈ ഘട്ടത്തിലാണ് പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് ...”. ഇപ്പോൾ, ഞാൻ കരുതുന്നു, പരവലയത്തിൻ്റെ ശീർഷകം കൃത്യമായി ഈ ഘട്ടത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് എല്ലാവർക്കും മനസ്സിലായി =) പൊതുവേ, നമ്മൾ ഇവിടെ സമാനമായ ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ആരംഭിക്കണം, പക്ഷേ ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് (ഒരു ടീപ്പോയ്ക്ക് പോലും). കൂടാതെ, പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ ഒരു അനലോഗ് ഉണ്ട് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. അതിനാൽ, നമുക്ക് ബിരുദം വർദ്ധിപ്പിക്കാം:

ഉദാഹരണം 2

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനതയുടെയും തീവ്രതയുടെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക

ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമാണ് സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം. സമ്പൂർണ്ണ പരിഹാരംപാഠത്തിൻ്റെ അവസാനത്തിൽ ടാസ്ക്കിൻ്റെ ഏകദേശ അന്തിമ മാതൃകയും.

ഫ്രാക്ഷണൽ-റേഷണൽ ഫംഗ്ഷനുകളുമായുള്ള കൂടിക്കാഴ്ചയുടെ ദീർഘകാലമായി കാത്തിരുന്ന നിമിഷം വന്നിരിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 3

ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക

ഒരേ ടാസ്‌ക് എത്രമാത്രം വേരിയബിളായി പരിഷ്‌കരിക്കാനാകുമെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

പരിഹാരം:

1) ഫംഗ്‌ഷൻ പോയിൻ്റുകളിൽ അനന്തമായ തടസ്സങ്ങൾ നേരിടുന്നു.

2) നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. നമുക്ക് ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കാം:

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം. ഒരു അംശം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ അത് പൂജ്യമാണ്:

അങ്ങനെ, നമുക്ക് മൂന്ന് നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ ലഭിക്കും:

3) നമ്പർ ലൈനിൽ കണ്ടെത്തിയ എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും ഞങ്ങൾ പ്ലോട്ട് ചെയ്യുന്നു ഇടവേള രീതിഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു:

നിങ്ങൾ ഇടവേളയിൽ കുറച്ച് പോയിൻ്റ് എടുത്ത് അതിൽ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു അതിൻ്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക. കണക്കാക്കാൻ പോലും ഇത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്, പക്ഷേ വാക്കാലുള്ള "കണക്കിന്". ഉദാഹരണത്തിന്, ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു പോയിൻ്റ് എടുത്ത് പകരം വയ്ക്കൽ നടത്താം: .

രണ്ട് “പ്ലസുകളും” ഒരു “മൈനസും” ഒരു “മൈനസ്” നൽകുന്നു, അതിനാൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് മുഴുവൻ ഇടവേളയിലും നെഗറ്റീവ് ആണെന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്.

നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതുപോലെ, ഓരോ ആറ് ഇടവേളകളിലും പ്രവർത്തനം നടത്തേണ്ടതുണ്ട്. വഴിയിൽ, ന്യൂമറേറ്റർ ഘടകവും ഡിനോമിനേറ്ററും ഏത് ഇടവേളയിലെയും ഏത് പോയിൻ്റിനും കർശനമായി പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, ഇത് ചുമതലയെ വളരെയധികം ലളിതമാക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങളോട് പറഞ്ഞു, ഫംഗ്ഷൻ സ്വയം വർദ്ധിക്കുന്നു കൂടാതെ കുറയുന്നു. ജോയിൻ ഐക്കൺ ഉപയോഗിച്ച് ഒരേ തരത്തിലുള്ള ഇടവേളകൾ ബന്ധിപ്പിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, പ്രവർത്തനം അതിൻ്റെ പരമാവധിയിലെത്തുന്നു:
പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് എത്തുന്നു:

എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ മൂല്യം വീണ്ടും കണക്കാക്കേണ്ടതില്ലെന്ന് ചിന്തിക്കുക ;-)

ഒരു പോയിൻ്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മാറില്ല, അതിനാൽ ഫംഗ്‌ഷനിൽ എക്‌സ്‌ട്രീമമില്ല - അത് കുറയുകയും കുറയുകയും ചെയ്തു.

! നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിൻ്റ് : പോയിൻ്റുകൾ നിർണായകമായി കണക്കാക്കില്ല - അവയിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു നിർണയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. അതനുസരിച്ച്, ഇവിടെ തത്വത്തിൽ അങ്ങേയറ്റം ഉണ്ടാകാൻ പാടില്ല(ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മാറിയാലും).

ഉത്തരം: പ്രവർത്തനം വർദ്ധിപ്പിക്കുന്നു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പരമാവധി എത്തിയ ഘട്ടത്തിൽ കുറയുന്നു: , ഒപ്പം പോയിൻ്റിൽ - ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്: .

മോണോടോണിസിറ്റി ഇടവേളകളെക്കുറിച്ചും തീവ്രതയെക്കുറിച്ചും ഉള്ള അറിവ്, ഒപ്പം സ്ഥാപിതമായി രോഗലക്ഷണങ്ങൾഇതിനകം വളരെ നല്ല ആശയം നൽകുന്നു രൂപംഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിക്സ്. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിന് രണ്ട് ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളും ഒരു ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടും ഉണ്ടെന്ന് ശരാശരി പരിശീലനമുള്ള ഒരു വ്യക്തിക്ക് വാക്കാലുള്ള നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും. ഇതാ നമ്മുടെ നായകൻ:

പഠനത്തിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫുമായി ബന്ധപ്പെടുത്താൻ ഒരിക്കൽ കൂടി ശ്രമിക്കുക.
നിർണായക ഘട്ടത്തിൽ തീവ്രതയില്ല, പക്ഷേ ഉണ്ട് ഗ്രാഫ് ഇൻഫ്ലക്ഷൻ(ചട്ടം പോലെ, സമാനമായ കേസുകളിൽ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു).

ഉദാഹരണം 4

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 5

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഏകതാനത ഇടവേളകൾ, മാക്സിമ, മിനിമ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക

…ഇന്ന് ഏതാണ്ട് ഒരുതരം "എക്സ് ഇൻ എ ക്യൂബ്" അവധി പോലെയാണ്....
സോ, ഗാലറിയിൽ ആരാണ് ഇതിന് കുടിക്കാൻ വാഗ്ദാനം ചെയ്തത്? =)

ഓരോ ടാസ്ക്കിനും അതിൻ്റേതായ കാര്യമായ സൂക്ഷ്മതകളും സാങ്കേതിക സൂക്ഷ്മതകളും ഉണ്ട്, അവ പാഠത്തിൻ്റെ അവസാനം അഭിപ്രായപ്പെടുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഏകതാനത എന്താണ്? എന്താണ്, ആനുകാലിക, ഏകതാനമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ