ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് അതിലൊന്നാണ് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള വിഷയങ്ങൾവി സ്കൂൾ പാഠ്യപദ്ധതി. ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണെന്ന ചോദ്യത്തിന് എല്ലാ ബിരുദധാരികളും ഉത്തരം നൽകില്ല.

ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണെന്നും എന്തുകൊണ്ട് അത് ആവശ്യമാണെന്നും ഈ ലേഖനം ലളിതവും വ്യക്തവുമായ രീതിയിൽ വിശദീകരിക്കുന്നു.. അവതരണത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കാഠിന്യത്തിനായി ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ ശ്രമിക്കില്ല. ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട കാര്യം അർത്ഥം മനസ്സിലാക്കുക എന്നതാണ്.

നമുക്ക് നിർവചനം ഓർക്കാം:

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്കാണ് ഡെറിവേറ്റീവ്.

ചിത്രം മൂന്ന് ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫുകൾ കാണിക്കുന്നു. ഏതാണ് വേഗത്തിൽ വളരുന്നതെന്ന് നിങ്ങൾ കരുതുന്നു?

ഉത്തരം വ്യക്തമാണ് - മൂന്നാമത്തേത്. ഇതിന് ഏറ്റവും ഉയർന്ന മാറ്റമുണ്ട്, അതായത് ഏറ്റവും വലിയ ഡെറിവേറ്റീവ്.

ഇതാ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം.

കോസ്റ്റ്യ, ഗ്രിഷ, മാറ്റ്വി എന്നിവർക്ക് ഒരേ സമയം ജോലി ലഭിച്ചു. വർഷത്തിൽ അവരുടെ വരുമാനം എങ്ങനെ മാറിയെന്ന് നോക്കാം:

ഗ്രാഫ് എല്ലാം ഒറ്റയടിക്ക് കാണിക്കുന്നു, അല്ലേ? ആറ് മാസത്തിനുള്ളിൽ കോസ്ത്യയുടെ വരുമാനം ഇരട്ടിയായി. ഗ്രിഷയുടെ വരുമാനവും വർദ്ധിച്ചു, പക്ഷേ കുറച്ച് മാത്രം. മാറ്റ്വിയുടെ വരുമാനം പൂജ്യമായി കുറഞ്ഞു. ആരംഭ വ്യവസ്ഥകൾ ഒന്നുതന്നെയാണ്, എന്നാൽ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക്, അതായത് ഡെറിവേറ്റീവ്, - വ്യത്യസ്ത. മാറ്റ്‌വിയെ സംബന്ധിച്ചിടത്തോളം, അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ വരുമാന ഡെറിവേറ്റീവ് പൊതുവെ നെഗറ്റീവ് ആണ്.

അവബോധപൂർവ്വം, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് ഞങ്ങൾ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കുന്നു. എന്നാൽ ഞങ്ങൾ ഇത് എങ്ങനെ ചെയ്യും?

നമ്മൾ ശരിക്കും നോക്കുന്നത് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് എത്ര കുത്തനെ ഉയരുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ താഴേക്ക്) പോകുന്നു എന്നതാണ്. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, x മാറുന്നതിനനുസരിച്ച് y എത്ര വേഗത്തിൽ മാറുന്നു? വ്യക്തമായും, വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകളിൽ ഒരേ പ്രവർത്തനം ഉണ്ടാകാം വ്യത്യസ്ത അർത്ഥംഡെറിവേറ്റീവ് - അതായത്, അത് വേഗത്തിലും സാവധാനത്തിലും മാറാം.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

ഒരു ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് അത് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിച്ചുതരാം.

ചില പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഒരു ഗ്രാഫ് വരച്ചിട്ടുണ്ട്. ഒരു അബ്‌സിസ്സ ഉള്ള ഒരു പോയിൻ്റ് എടുക്കാം. ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് നമുക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കാം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫ് എത്ര കുത്തനെ ഉയരുന്നുവെന്ന് കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇതിനുള്ള ഒരു സൗകര്യപ്രദമായ മൂല്യം ടാൻജെൻ്റ് കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ്.

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റ് കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്.

സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ ചെരിവിൻ്റെ കോണെന്ന നിലയിൽ, അച്ചുതണ്ടിൻ്റെ പോസിറ്റീവ് ദിശയ്ക്കും ടാൻജെൻ്റിനും ഇടയിലുള്ള കോണാണ് നമ്മൾ എടുക്കുന്നത്.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് എന്താണെന്ന് ചിലപ്പോൾ വിദ്യാർത്ഥികൾ ചോദിക്കുന്നു. ഈ വിഭാഗത്തിലെ ഗ്രാഫിനൊപ്പം ഞങ്ങളുടെ ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ ഒരൊറ്റ പൊതു പോയിൻ്റുള്ള ഒരു നേർരേഖയാണിത്. ഇത് ഒരു വൃത്തത്തിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് പോലെ കാണപ്പെടുന്നു.

നമുക്ക് അത് കണ്ടെത്താം. ഒരു നിശിതമായ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് ഉള്ളതായി ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു മട്ട ത്രികോണംഎതിർ വശത്തിൻ്റെ തൊട്ടടുത്ത ഭാഗത്തിൻ്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമാണ്. ത്രികോണത്തിൽ നിന്ന്:

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഫോർമുല പോലും അറിയാതെ ഒരു ഗ്രാഫ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി. സംഖ്യയ്ക്ക് കീഴിലുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏകീകൃത സംസ്ഥാന പരീക്ഷയിൽ ഇത്തരം പ്രശ്നങ്ങൾ പലപ്പോഴും കാണപ്പെടുന്നു.

മറ്റൊരു പ്രധാന ബന്ധമുണ്ട്. സമവാക്യമാണ് നേർരേഖ നൽകിയിരിക്കുന്നതെന്ന് ഓർക്കുക

ഈ സമവാക്യത്തിലെ അളവിനെ വിളിക്കുന്നു ഒരു നേർരേഖയുടെ ചരിവ്. ഇത് അച്ചുതണ്ടിലേക്കുള്ള നേർരേഖയുടെ ചെരിവിൻ്റെ കോണിൻ്റെ സ്പർശനത്തിന് തുല്യമാണ്.

.

ഞങ്ങൾക്ക് അത് ലഭിക്കുന്നു

നമുക്ക് ഈ സൂത്രവാക്യം ഓർക്കാം. അവൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംഡെറിവേറ്റീവ്.

ഒരു പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ആ പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് വരച്ച ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവിന് തുല്യമാണ്.

മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് ടാൻജെൻ്റ് കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റിന് തുല്യമാണ്.

ഒരേ ഫംഗ്‌ഷന് വ്യത്യസ്ത പോയിൻ്റുകളിൽ വ്യത്യസ്ത ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉണ്ടാകാമെന്ന് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം പറഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ സ്വഭാവവുമായി ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്ന് നോക്കാം.

ചില ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഗ്രാഫ് വരയ്ക്കാം. ഈ പ്രവർത്തനം ചില മേഖലകളിൽ വർദ്ധിക്കുകയും മറ്റുള്ളവയിൽ കുറയുകയും വ്യത്യസ്ത നിരക്കുകളിൽ കുറയുകയും ചെയ്യട്ടെ. ഈ ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റുകൾ ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ.

ഒരു ഘട്ടത്തിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു. പോയിൻ്റിൽ വരച്ച ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ഒരു ടാൻജെൻ്റ് ഒരു നിശിത കോണായി മാറുന്നു; പോസിറ്റീവ് അച്ചുതണ്ട് ദിശയിൽ. പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണെന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം.

ആ ഘട്ടത്തിൽ നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു. ഈ ബിന്ദുവിലെ ടാൻജെൻ്റ് ഒരു ചരിഞ്ഞ കോണായി മാറുന്നു; പോസിറ്റീവ് അച്ചുതണ്ട് ദിശയിൽ. ഒരു ചരിഞ്ഞ കോണിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, പോയിൻ്റിലെ ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണ്.

എന്താണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് ഇതാ:

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ വർദ്ധിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണ്.

അത് കുറയുകയാണെങ്കിൽ, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണ്.

കൂടിയതും കുറഞ്ഞതുമായ പോയിൻ്റുകളിൽ എന്ത് സംഭവിക്കും? പോയിൻ്റുകളിൽ (പരമാവധി പോയിൻ്റ്) (മിനിമം പോയിൻ്റ്) ടാൻജെൻ്റ് തിരശ്ചീനമാണെന്ന് നാം കാണുന്നു. അതിനാൽ, ഈ പോയിൻ്റുകളിലെ സ്പർശനത്തിൻ്റെ ടാൻജെൻ്റ് പൂജ്യമാണ്, കൂടാതെ ഡെറിവേറ്റീവും പൂജ്യമാണ്.

പോയിൻ്റ് - പരമാവധി പോയിൻ്റ്. ഈ ഘട്ടത്തിൽ, പ്രവർത്തനത്തിലെ വർദ്ധനവ് കുറയുന്നതിലൂടെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. തൽഫലമായി, ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം "പ്ലസ്" എന്നതിൽ നിന്ന് "മൈനസ്" ആയി മാറുന്നു.

പോയിൻ്റിൽ - ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റ് - ഡെറിവേറ്റീവും പൂജ്യമാണ്, എന്നാൽ അതിൻ്റെ അടയാളം "മൈനസ്" ൽ നിന്ന് "പ്ലസ്" ആയി മാറുന്നു.

ഉപസംഹാരം: ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച്, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള എല്ലാം പഠിക്കാൻ കഴിയും.

ഡെറിവേറ്റീവ് പോസിറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കും.

ഡെറിവേറ്റീവ് നെഗറ്റീവ് ആണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്നു.

പരമാവധി പോയിൻ്റിൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമാണ്, കൂടാതെ ചിഹ്നം "പ്ലസ്" എന്നതിൽ നിന്ന് "മൈനസ്" ആയി മാറുന്നു.

ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റിൽ, ഡെറിവേറ്റീവും പൂജ്യമാണ്, കൂടാതെ ചിഹ്നം "മൈനസ്" എന്നതിൽ നിന്ന് "പ്ലസ്" ആയി മാറുന്നു.

നമുക്ക് ഈ നിഗമനങ്ങൾ ഒരു പട്ടികയുടെ രൂപത്തിൽ എഴുതാം:

	വർദ്ധിക്കുന്നു	പരമാവധി പോയിൻ്റ്	കുറയുന്നു	മിനിമം പോയിൻ്റ്	വർദ്ധിക്കുന്നു
+	0	-	0	+

നമുക്ക് രണ്ട് ചെറിയ വിശദീകരണങ്ങൾ നടത്താം. പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് അവയിലൊന്ന് ആവശ്യമാണ്. മറ്റൊന്ന് - ആദ്യ വർഷത്തിൽ, ഫംഗ്ഷനുകളുടെയും ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെയും കൂടുതൽ ഗൗരവമായ പഠനത്തോടെ.

ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാകാൻ സാധ്യതയുണ്ട്, എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ മിനിമം ഇല്ല. ഇതാണ് വിളിക്കപ്പെടുന്നത് :

ഒരു ഘട്ടത്തിൽ, ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് തിരശ്ചീനവും ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യവുമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, പോയിൻ്റിന് മുമ്പ് പ്രവർത്തനം വർദ്ധിച്ചു - പോയിൻ്റിന് ശേഷവും അത് വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അടയാളം മാറില്ല - അത് പോസിറ്റീവ് ആയി തുടരുന്നു.

പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞ പോയിൻ്റിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല എന്നതും സംഭവിക്കുന്നു. ഗ്രാഫിൽ, ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കുന്നത് അസാധ്യമാകുമ്പോൾ, ഇത് മൂർച്ചയുള്ള ബ്രേക്കുമായി യോജിക്കുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ഗ്രാഫ് മുഖേനയല്ല, ഒരു ഫോർമുലയിലൂടെ നൽകിയാൽ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം? ഈ സാഹചര്യത്തിൽ അത് ബാധകമാണ്

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ പരിധിയായി ഡെറിവേറ്റീവിനെ നിർവചിച്ചുകൊണ്ട് ഏറ്റവും ലളിതമായ (വളരെ ലളിതമല്ല) ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലെ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഒരു പട്ടികയും കൃത്യമായി നിർവചിക്കപ്പെട്ട ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളും പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടു. . ഐസക് ന്യൂട്ടൺ (1643-1727), ഗോട്ട്‌ഫ്രൈഡ് വിൽഹെം ലെബ്നിസ് (1646-1716) എന്നിവരായിരുന്നു ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്ന മേഖലയിൽ ആദ്യമായി പ്രവർത്തിച്ചത്.

അതിനാൽ, നമ്മുടെ കാലത്ത്, ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റിൻ്റെയും ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെയും അനുപാതത്തിൻ്റെ മുകളിൽ സൂചിപ്പിച്ച പരിധി നിങ്ങൾ കണക്കാക്കേണ്ടതില്ല, പക്ഷേ നിങ്ങൾ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഡെറിവേറ്റീവുകളും വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങളും. ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിന് ഇനിപ്പറയുന്ന അൽഗോരിതം അനുയോജ്യമാണ്.

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾക്ക് പ്രധാന ചിഹ്നത്തിന് കീഴിൽ ഒരു എക്സ്പ്രഷൻ ആവശ്യമാണ് ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ ഘടകങ്ങളായി വിഭജിക്കുകഏതൊക്കെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്ന് തീരുമാനിക്കുക (ഉൽപ്പന്നം, തുക, ഭാഗം)ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അടുത്തതായി, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ പ്രാഥമിക ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളും ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്കായുള്ള ഫോർമുലകളും സം, ഘടകവും - ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളിൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ആദ്യ രണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങൾക്ക് ശേഷം ഡെറിവേറ്റീവ് പട്ടികയും ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളും നൽകിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഒരു തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയാണെന്ന് ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു, അതായത്.

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നിന്ന് "x" ൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒന്നിന് തുല്യമാണെന്നും സൈനിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കോസൈന് തുല്യമാണെന്നും കണ്ടെത്തുന്നു. ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങളെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് മാറ്റി, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് ആവശ്യമായ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നു:

ഉദാഹരണം 2.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. രണ്ടാമത്തെ പദത്തിന് സ്ഥിരമായ ഘടകം ഉള്ള ഒരു തുകയുടെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി ഞങ്ങൾ വേർതിരിക്കുന്നു, അത് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് എടുക്കാം:

എന്തെങ്കിലും എവിടെ നിന്ന് വരുന്നു എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ ഇപ്പോഴും ഉയർന്നുവരുന്നുവെങ്കിൽ, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയും ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ്റെ ഏറ്റവും ലളിതമായ നിയമങ്ങളും സ്വയം പരിചയപ്പെടുത്തിയതിന് ശേഷം അവ സാധാരണയായി മായ്‌ക്കപ്പെടും. ഞങ്ങൾ ഇപ്പോൾ അവയിലേക്ക് നീങ്ങുകയാണ്.

ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക

1. സ്ഥിരാങ്കത്തിൻ്റെ (സംഖ്യ) ഡെറിവേറ്റീവ്. ഫംഗ്‌ഷൻ എക്‌സ്‌പ്രഷനിലുള്ള ഏത് സംഖ്യയും (1, 2, 5, 200...). എല്ലായ്പ്പോഴും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഇത് ഓർമ്മിക്കേണ്ടത് വളരെ പ്രധാനമാണ്, കാരണം ഇത് പലപ്പോഴും ആവശ്യമാണ്
2. സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. മിക്കപ്പോഴും "എക്സ്". എപ്പോഴും ഒന്നിന് തുല്യം. ഇത് വളരെക്കാലം ഓർമ്മിക്കേണ്ടതും പ്രധാനമാണ്
3. ബിരുദത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്. പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ നോൺ-സ്ക്വയർ റൂട്ടുകളെ ശക്തികളാക്കി മാറ്റേണ്ടതുണ്ട്.
4. പവർ -1-ലേക്കുള്ള വേരിയബിളിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
5. ഡെറിവേറ്റീവ് സ്ക്വയർ റൂട്ട്
6. സൈനിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
7. കോസൈൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
8. ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
9. കോട്ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
10. ആർക്സൈനിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
11. ആർക്ക് കോസൈൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
12. ആർക്റ്റാൻജൻ്റ് എന്നതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
13. ആർക്ക് കോട്ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
14. സ്വാഭാവിക ലോഗരിതത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
15. ഒരു ലോഗരിഥമിക് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
16. ഘാതകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
17. ഒരു എക്‌സ്‌പോണൻഷ്യൽ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ

1. ഒരു തുകയുടെയോ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെയോ ഡെറിവേറ്റീവ്
2. ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
2a. ഒരു സ്ഥിരമായ ഘടകം കൊണ്ട് ഗുണിച്ച പദപ്രയോഗത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
3. ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്
4. സങ്കീർണ്ണമായ ഒരു പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്

നിയമം 1.പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്കിൽ

ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണ്, തുടർന്ന് ഫംഗ്ഷനുകൾ ഒരേ ബിന്ദുവിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

ഒപ്പം

ആ. ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

അനന്തരഫലം. രണ്ട് ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകൾ സ്ഥിരമായ പദത്താൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അവയുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ തുല്യമാണ്, അതായത്.

നിയമം 2.പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്കിൽ

ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന് അവയുടെ ഉൽപ്പന്നം ഒരേ ബിന്ദുവിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു

ഒപ്പം

ആ. രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഓരോ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്കും മറ്റൊന്നിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും തുല്യമാണ്.

അനന്തരഫലം 1. സ്ഥിരമായ ഘടകം ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കാം:

അനന്തരഫലം 2. നിരവധി ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്, ഓരോ ഘടകത്തിൻ്റെയും മറ്റെല്ലാ ഘടകങ്ങളുടെയും ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂന്ന് ഗുണിതങ്ങൾക്ക്:

നിയമം 3.പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്കിൽ

ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു ഒപ്പം , അപ്പോൾ ഈ ഘട്ടത്തിൽ അവയുടെ ഘടകവും വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുu/v , ഒപ്പം

ആ. രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഇതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ വർഗ്ഗമാണ് മുൻ ന്യൂമറേറ്റർ.

മറ്റ് പേജുകളിലെ കാര്യങ്ങൾ എവിടെയാണ് തിരയേണ്ടത്

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും യഥാർത്ഥ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ ഒരു ഘടകവും കണ്ടെത്തുമ്പോൾ, ഒരേസമയം നിരവധി ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്, അതിനാൽ ലേഖനത്തിൽ ഈ ഡെറിവേറ്റീവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങളുണ്ട്."ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകവും".

അഭിപ്രായം.നിങ്ങൾ ഒരു സ്ഥിരാങ്കത്തെ (അതായത്, ഒരു സംഖ്യ) ഒരു തുകയിലെ ഒരു പദമായും സ്ഥിരമായ ഘടകമായും ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാക്കരുത്! ഒരു പദത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്, സ്ഥിരമായ ഘടകത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, അത് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ചിഹ്നത്തിൽ നിന്ന് പുറത്തെടുക്കുന്നു. ഈ സാധാരണ തെറ്റ്, ഡെറിവേറ്റീവുകൾ പഠിക്കുന്നതിൻ്റെ പ്രാരംഭ ഘട്ടത്തിൽ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഒരു ശരാശരി വിദ്യാർത്ഥി ഒന്നോ രണ്ടോ ഭാഗങ്ങളുള്ള നിരവധി ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിനാൽ, അവൻ ഇനി ഈ തെറ്റ് ചെയ്യുന്നില്ല.

ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തെയോ ഘടകത്തെയോ വേർതിരിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പദമുണ്ടെങ്കിൽ യു"വി, അതിൽ യു- ഒരു സംഖ്യ, ഉദാഹരണത്തിന്, 2 അല്ലെങ്കിൽ 5, അതായത്, ഒരു സ്ഥിരാങ്കം, അപ്പോൾ ഈ സംഖ്യയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും, അതിനാൽ മുഴുവൻ പദവും പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും (ഈ കേസ് ഉദാഹരണം 10 ൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു).

മറ്റുള്ളവ സാധാരണ തെറ്റ്- ഒരു സങ്കീർണ്ണ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മെക്കാനിക്കൽ പരിഹാരം ഒരു ലളിതമായ ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ആയി. അതുകൊണ്ടാണ് ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്ഒരു പ്രത്യേക ലേഖനം സമർപ്പിക്കുന്നു. എന്നാൽ ആദ്യം നമ്മൾ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താൻ പഠിക്കും ലളിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

വഴിയിൽ, എക്സ്പ്രഷനുകൾ രൂപാന്തരപ്പെടുത്താതെ നിങ്ങൾക്ക് ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ പുതിയ വിൻഡോകളിൽ മാനുവൽ തുറക്കേണ്ടതുണ്ട്. ശക്തികളും വേരുകളുമുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾഒപ്പം ഭിന്നസംഖ്യകളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ .

ശക്തികളും വേരുകളുമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾക്ക് നിങ്ങൾ പരിഹാരങ്ങൾ തേടുകയാണെങ്കിൽ, അതായത്, ഫംഗ്ഷൻ ഇതുപോലെ കാണുമ്പോൾ , തുടർന്ന് "ശക്തികളും വേരുകളുമുള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ്" എന്ന പാഠം പിന്തുടരുക.

നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ടാസ്ക് ഉണ്ടെങ്കിൽ , അപ്പോൾ നിങ്ങൾ "ലളിതമായ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ" എന്ന പാഠം എടുക്കും.

ഘട്ടം ഘട്ടമായുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ - ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം

ഉദാഹരണം 3.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഫംഗ്‌ഷൻ എക്‌സ്‌പ്രഷൻ്റെ ഭാഗങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നിർവ്വചിക്കുന്നു: മുഴുവൻ എക്‌സ്‌പ്രഷനും ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങൾ തുകകളാണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ പദങ്ങളിലൊന്നിൽ സ്ഥിരമായ ഘടകം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഞങ്ങൾ ഉൽപ്പന്ന വ്യത്യാസ നിയമം പ്രയോഗിക്കുന്നു: രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഓരോ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെയും ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുക മറ്റൊന്നിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിന് തുല്യമാണ്:

അടുത്തതായി, തുകയുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമം ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു: ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഈ ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ബീജഗണിത തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഓരോ തുകയിലും രണ്ടാമത്തെ പദത്തിന് ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നമുണ്ട്. ഓരോ തുകയിലും നമ്മൾ ഒരു സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളും കാണുന്നു, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഒരു സ്ഥിരാങ്കം (സംഖ്യ), അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാണ്. അതിനാൽ, "എക്സ്" ഒന്നായി മാറുന്നു, മൈനസ് 5 പൂജ്യമായി മാറുന്നു. രണ്ടാമത്തെ പദപ്രയോഗത്തിൽ, "x" എന്നത് 2 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ നമ്മൾ "x" ൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ അതേ യൂണിറ്റ് കൊണ്ട് രണ്ടെണ്ണം ഗുണിക്കുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഇനിപ്പറയുന്ന മൂല്യങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നേടുന്നു:

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തിയ ഡെറിവേറ്റീവുകളെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയിലേക്ക് മാറ്റി, പ്രശ്നത്തിൻ്റെ അവസ്ഥയ്ക്ക് ആവശ്യമായ മുഴുവൻ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെയും ഡെറിവേറ്റീവ് നേടുന്നു:

ഉദാഹരണം 4.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ടതുണ്ട്. ഘടകത്തെ വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുല ഞങ്ങൾ പ്രയോഗിക്കുന്നു: രണ്ട് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഘടകത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു ഭിന്നസംഖ്യയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, ഇതിൻ്റെ ന്യൂമറേറ്റർ ഡിനോമിനേറ്ററിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെയും ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെയും ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെയും ഡെറിവേറ്റീവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണ്. ഡിനോമിനേറ്റർ, കൂടാതെ ഡിനോമിനേറ്റർ മുൻ ന്യൂമറേറ്ററിൻ്റെ ചതുരമാണ്. നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം 2-ൽ ന്യൂമറേറ്ററിലെ ഘടകങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങൾ ഇതിനകം കണ്ടെത്തിയിട്ടുണ്ട്. നിലവിലെ ഉദാഹരണത്തിലെ ന്യൂമറേറ്ററിലെ രണ്ടാമത്തെ ഘടകമായ ഉൽപ്പന്നം ഒരു മൈനസ് ചിഹ്നത്തിലാണ് എടുത്തിരിക്കുന്നതെന്ന കാര്യം മറക്കരുത്:

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തേണ്ട പ്രശ്‌നങ്ങൾക്ക് നിങ്ങൾ പരിഹാരം തേടുകയാണെങ്കിൽ, അവിടെ തുടർച്ചയായ വേരുകളുടെയും ശക്തികളുടെയും കൂമ്പാരം ഉണ്ട്, ഉദാഹരണത്തിന്, , പിന്നെ ക്ലാസ്സിലേക്ക് സ്വാഗതം "ശക്തികളും വേരുകളും ഉള്ള ഭിന്നസംഖ്യകളുടെ ആകെത്തുക" .

സൈനുകൾ, കോസൈനുകൾ, ടാൻജൻ്റുകൾ എന്നിവയുടെയും മറ്റുള്ളവയുടെയും ഡെറിവേറ്റീവുകളെ കുറിച്ച് കൂടുതലറിയണമെങ്കിൽ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങൾ, അതായത്, ഫംഗ്ഷൻ ഇതുപോലെ കാണുമ്പോൾ , പിന്നെ നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പാഠം "ലളിതമായ ത്രികോണമിതി പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ" .

ഉദാഹരണം 5.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഈ ഫംഗ്‌ഷനിൽ നമ്മൾ ഒരു ഉൽപ്പന്നം കാണുന്നു, അതിൻ്റെ ഘടകങ്ങളിലൊന്ന് സ്വതന്ത്ര വേരിയബിളിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്, അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ നമുക്ക് പരിചിതമാണ്. ഉൽപ്പന്നത്തെയും വർഗ്ഗമൂലത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പട്ടിക മൂല്യത്തെയും വേർതിരിക്കുന്നതിനുള്ള നിയമം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഉദാഹരണം 6.ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം. ഈ ഫംഗ്‌ഷനിൽ, ഡിവിഡൻ്റ് ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് വേരിയബിളിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമായ ഒരു ഘടകത്തെ നാം കാണുന്നു. ഉദാഹരണം 4-ൽ ഞങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുകയും പ്രയോഗിക്കുകയും ചെയ്‌ത ഘടകങ്ങളുടെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമവും സ്‌ക്വയർ റൂട്ടിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പട്ടികപ്പെടുത്തിയ മൂല്യവും ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ന്യൂമറേറ്ററിലെ ഒരു ഭിന്നസംഖ്യ ഒഴിവാക്കാൻ, ന്യൂമറേറ്ററും ഡിനോമിനേറ്ററും കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

തീയതി: 11/20/2014

ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്?

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക.

ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ പ്രധാന ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ് ഡെറിവേറ്റീവ്. ഈ പാഠത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഈ ആശയം അവതരിപ്പിക്കും. കർശനമായ ഗണിതശാസ്ത്ര ഫോർമുലേഷനുകളും തെളിവുകളും ഇല്ലാതെ നമുക്ക് പരസ്പരം പരിചയപ്പെടാം.

ഈ പരിചയം നിങ്ങളെ അനുവദിക്കും:

ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉപയോഗിച്ച് ലളിതമായ ജോലികളുടെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കുക;

ഈ ലളിതമായ ജോലികൾ വിജയകരമായി പരിഹരിക്കുക;

ഡെറിവേറ്റീവുകളെക്കുറിച്ചുള്ള കൂടുതൽ ഗുരുതരമായ പാഠങ്ങൾക്കായി തയ്യാറെടുക്കുക.

ആദ്യം - ഒരു സന്തോഷകരമായ ആശ്ചര്യം.)

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ കർശനമായ നിർവചനം പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, കാര്യം വളരെ സങ്കീർണ്ണമാണ്. ഇത് അസ്വസ്ഥമാക്കുന്നു. എന്നാൽ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പ്രായോഗിക പ്രയോഗത്തിന്, ചട്ടം പോലെ, അത്തരം വിപുലവും ആഴത്തിലുള്ളതുമായ അറിവ് ആവശ്യമില്ല!

സ്കൂളിലെയും യൂണിവേഴ്സിറ്റിയിലെയും മിക്ക ജോലികളും വിജയകരമായി പൂർത്തിയാക്കാൻ, അറിഞ്ഞാൽ മതി കുറച്ച് നിബന്ധനകൾ മാത്രം- ചുമതല മനസ്സിലാക്കാൻ, ഒപ്പം കുറച്ച് നിയമങ്ങൾ മാത്രം- അത് പരിഹരിക്കാൻ. അത്രയേയുള്ളൂ. ഇത് എന്നെ സന്തോഷിപ്പിക്കുന്നു.

നമുക്ക് പരിചയപ്പെടാൻ തുടങ്ങാം?)

നിബന്ധനകളും പദവികളും.

പ്രാഥമിക ഗണിതത്തിൽ നിരവധി വ്യത്യസ്ത ഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്. സങ്കലനം, വ്യവകലനം, ഗുണനം, എക്സ്പോണൻഷ്യേഷൻ, ലോഗരിതം മുതലായവ. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് നിങ്ങൾ ഒരു പ്രവർത്തനം കൂടി ചേർത്താൽ, പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രം ഉയർന്നതാകുന്നു. ഈ പുതിയ പ്രവർത്തനംവിളിച്ചു വ്യത്യാസം.ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർവചനവും അർത്ഥവും പ്രത്യേക പാഠങ്ങളിൽ ചർച്ചചെയ്യും.

ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ എന്നത് ഒരു ഫംഗ്ഷനിലെ ഒരു ഗണിത പ്രവർത്തനമാണെന്ന് ഇവിടെ മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് പ്രധാനമാണ്. ഞങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും ഫംഗ്ഷൻ എടുക്കുകയും ചില നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി അത് രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ഫലം ഒരു പുതിയ ഫംഗ്ഷൻ ആയിരിക്കും. ഈ പുതിയ പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു: ഡെറിവേറ്റീവ്.

വ്യത്യാസം- ഒരു ഫംഗ്ഷനിലെ പ്രവർത്തനം.

ഡെറിവേറ്റീവ്- ഈ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഫലം.

പോലെ, ഉദാഹരണത്തിന്, തുക- കൂട്ടിച്ചേർക്കലിൻ്റെ ഫലം. അഥവാ സ്വകാര്യം- വിഭജനത്തിൻ്റെ ഫലം.

നിബന്ധനകൾ അറിയുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ടാസ്‌ക്കുകളെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയും.) ഫോർമുലേഷനുകൾ ഇപ്രകാരമാണ്: ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക; ഡെറിവേറ്റീവ് എടുക്കുക; പ്രവർത്തനത്തെ വേർതിരിക്കുക; ഡെറിവേറ്റീവ് കണക്കാക്കുകഇത്യാദി. ഇതാണ് എല്ലാം അതേ.തീർച്ചയായും, കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ജോലികളും ഉണ്ട്, അവിടെ ഡെറിവേറ്റീവ് (വ്യത്യാസം) കണ്ടെത്തുന്നത് പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ഘട്ടം മാത്രമായിരിക്കും.

ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മുകളിൽ വലതുവശത്തുള്ള ഒരു ഡാഷ് ഉപയോഗിച്ചാണ് ഡെറിവേറ്റീവ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്. ഇതുപോലെ: y"അഥവാ f"(x)അഥവാ എസ്"(ടി)ഇത്യാദി.

വായന ഇഗ്രെക്ക് സ്ട്രോക്ക്, എക്സിൽ നിന്നുള്ള എഫ് സ്ട്രോക്ക്, ടെയിൽ നിന്നുള്ള എസ് സ്ട്രോക്ക്,നന്നായി, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു ...)

ഒരു പ്രൈമിന് ഒരു പ്രത്യേക ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെയും സൂചിപ്പിക്കാൻ കഴിയും, ഉദാഹരണത്തിന്: (2x+3)", (x 3 )" , (സിൻക്സ്)"തുടങ്ങിയവ. പലപ്പോഴും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഡിഫറൻഷ്യലുകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, എന്നാൽ ഈ പാഠത്തിൽ അത്തരം നൊട്ടേഷൻ ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കില്ല.

ടാസ്‌ക്കുകൾ മനസ്സിലാക്കാൻ ഞങ്ങൾ പഠിച്ചുവെന്ന് കരുതുക. അവ എങ്ങനെ പരിഹരിക്കാമെന്ന് പഠിക്കുക മാത്രമാണ് അവശേഷിക്കുന്നത്.) ഒരിക്കൽ കൂടി ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ: ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തൽ ചില നിയമങ്ങൾക്കനുസൃതമായി ഒരു ഫംഗ്ഷൻ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നു.അതിശയകരമെന്നു പറയട്ടെ, ഈ നിയമങ്ങളിൽ വളരെ കുറച്ച് മാത്രമേ ഉള്ളൂ.

ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്താൻ, നിങ്ങൾ മൂന്ന് കാര്യങ്ങൾ മാത്രം അറിഞ്ഞിരിക്കണം. എല്ലാ വ്യത്യാസങ്ങളും നിലകൊള്ളുന്ന മൂന്ന് തൂണുകൾ. ഈ മൂന്ന് തൂണുകൾ ഇതാ:

1. ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക (ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ ഫോർമുലകൾ).

3. ഡെറിവേറ്റീവ് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനം.

നമുക്ക് ക്രമത്തിൽ ആരംഭിക്കാം. ഈ പാഠത്തിൽ നമ്മൾ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക നോക്കും.

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക.

ലോകത്ത് അനന്തമായ നിരവധി പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉണ്ട്. ഈ സെറ്റിൽ പ്രായോഗിക ഉപയോഗത്തിന് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട ഫംഗ്ഷനുകൾ ഉണ്ട്. ഈ പ്രവർത്തനങ്ങൾ പ്രകൃതിയുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളിലും കാണപ്പെടുന്നു. ഈ ഫംഗ്ഷനുകളിൽ നിന്ന്, ഇഷ്ടികകളിൽ നിന്ന് പോലെ, നിങ്ങൾക്ക് മറ്റെല്ലാം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും. ഈ ക്ലാസ് ഫംഗ്ഷനുകളെ വിളിക്കുന്നു പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ.ഈ പ്രവർത്തനങ്ങളാണ് സ്കൂളിൽ പഠിക്കുന്നത് - ലീനിയർ, ക്വാഡ്രാറ്റിക്, ഹൈപ്പർബോള മുതലായവ.

ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വ്യത്യാസം "ആദ്യം മുതൽ", അതായത്. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനത്തെയും പരിധികളുടെ സിദ്ധാന്തത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഇത് തികച്ചും അധ്വാനിക്കുന്ന കാര്യമാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരും ആളുകളാണ്, അതെ, അതെ!) അതിനാൽ അവർ അവരുടെ (ഞങ്ങൾക്കും) ജീവിതം ലളിതമാക്കി. പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ അവർ നമുക്ക് മുന്നിൽ കണക്കാക്കി. ഫലം ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഒരു പട്ടികയാണ്, അവിടെ എല്ലാം തയ്യാറാണ്.)

ഇതാ, ഏറ്റവും ജനപ്രിയമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കുള്ള ഈ പ്ലേറ്റ്. ഇടത്തെ - പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനം, വലതുവശത്ത് അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.

	ഫംഗ്ഷൻ വൈ	y എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് y"
1	സി (സ്ഥിരമായ മൂല്യം)	സി" = 0
2	x	x" = 1
3	x n (n - ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ)	(x n)" = nx n-1
	x 2 (n = 2)	(x 2)" = 2x
4	പാപം x	(sin x)" = cosx
	cos x	(cos x)" = - sin x
	tg x
	ctg x
5	ആർക്‌സിൻ x
	ആർക്കോസ് x
	ആർക്റ്റാൻ x
	arcctg x
4	എ x
	ഇ x
5	ലോഗ് എ x
	ln x ( a = ഇ)

ഈ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിലെ മൂന്നാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ് ഫംഗ്ഷനുകൾ ശ്രദ്ധിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവ് വൈദ്യുതി പ്രവർത്തനം- ഏറ്റവും സാധാരണമായ സൂത്രവാക്യങ്ങളിൽ ഒന്ന്, ഏറ്റവും സാധാരണമല്ലെങ്കിൽ! നിങ്ങൾക്ക് സൂചന മനസ്സിലായോ?) അതെ, ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക ഹൃദയത്തിൽ അറിയുന്നത് നല്ലതാണ്. വഴിയിൽ, ഇത് തോന്നിയേക്കാവുന്നത്ര ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. കൂടുതൽ ഉദാഹരണങ്ങൾ പരിഹരിക്കാൻ ശ്രമിക്കുക, പട്ടിക തന്നെ ഓർമ്മിക്കപ്പെടും!)

കണ്ടെത്തുക പട്ടിക മൂല്യംഡെറിവേറ്റീവ്, നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതുപോലെ, ചുമതല ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. അതിനാൽ, പലപ്പോഴും അത്തരം ജോലികളിൽ അധിക ചിപ്പുകൾ ഉണ്ട്. ഒന്നുകിൽ ടാസ്‌ക്കിൻ്റെ പദാവലിയിലോ, അല്ലെങ്കിൽ ടേബിളിൽ ഇല്ലാത്ത ഒറിജിനൽ ഫംഗ്‌ഷനിലോ...

നമുക്ക് കുറച്ച് ഉദാഹരണങ്ങൾ നോക്കാം:

1. y = x എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക 3

പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം ഇല്ല. എന്നാൽ പവർ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട് പൊതുവായ കാഴ്ച(മൂന്നാം ഗ്രൂപ്പ്). ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ n=3. അതിനാൽ ഞങ്ങൾ n-ന് പകരം മൂന്നെണ്ണം മാറ്റി, ഫലം ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം എഴുതുക:

(x 3) " = 3 x 3-1 = 3x 2

അത്രയേയുള്ളൂ.

ഉത്തരം: y" = 3x 2

2. x = 0 എന്ന പോയിൻ്റിൽ y = sinx എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുക.

ഈ ടാസ്‌ക് അർത്ഥമാക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ആദ്യം സൈനിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തണം, തുടർന്ന് മൂല്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കണം എന്നാണ് x = 0ഇതേ ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക്. കൃത്യമായി ആ ക്രമത്തിൽ!അല്ലാത്തപക്ഷം, അവർ ഉടൻ തന്നെ യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷനിലേക്ക് പൂജ്യത്തെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ... യഥാർത്ഥ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യമല്ല, മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഞങ്ങളോട് ആവശ്യപ്പെടുന്നു. അതിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.ഡെറിവേറ്റീവ് ഒരു പുതിയ ഫംഗ്‌ഷനാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ.

ടാബ്‌ലെറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ സൈനും അനുബന്ധ ഡെറിവേറ്റീവും കണ്ടെത്തുന്നു:

y" = (sin x)" = cosx

ഡെറിവേറ്റീവിലേക്ക് ഞങ്ങൾ പൂജ്യം മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

y"(0) = cos 0 = 1

ഇതായിരിക്കും ഉത്തരം.

3. പ്രവർത്തനത്തെ വേർതിരിക്കുക:

എന്താണ്, ഇത് പ്രചോദിപ്പിക്കുന്നത്?) ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം ഇല്ല.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ വേർതിരിക്കുന്നത് ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക എന്നതാണെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കട്ടെ. നിങ്ങൾ പ്രാഥമിക ത്രികോണമിതി മറന്നാൽ, ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് തിരയുന്നത് വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ്. മേശ സഹായിക്കില്ല ...

എന്നാൽ നമ്മുടെ പ്രവർത്തനം എന്ന് കണ്ടാൽ കോസൈൻ ഇരട്ട കോൺ , അപ്പോൾ എല്ലാം ഉടൻ മെച്ചപ്പെടും!

അതെ അതെ! ഒറിജിനൽ ഫംഗ്‌ഷൻ രൂപാന്തരപ്പെടുത്തുന്നത് ഓർക്കുക വ്യത്യാസത്തിന് മുമ്പ്തികച്ചും സ്വീകാര്യമാണ്! മാത്രമല്ല ജീവിതം വളരെ എളുപ്പമാക്കാൻ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു. ഇരട്ട ആംഗിൾ കോസൈൻ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ആ. ഞങ്ങളുടെ തന്ത്രപരമായ പ്രവർത്തനം മറ്റൊന്നുമല്ല y=cosx. ഇത് ഒരു ടേബിൾ ഫംഗ്‌ഷനാണ്. ഞങ്ങൾക്ക് ഉടനടി ലഭിക്കുന്നു:

ഉത്തരം: y" = - sin x.

ഉന്നത ബിരുദധാരികൾക്കും വിദ്യാർത്ഥികൾക്കും ഉദാഹരണം:

4. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുക:

ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടികയിൽ അത്തരമൊരു പ്രവർത്തനം ഇല്ല, തീർച്ചയായും. എന്നാൽ നിങ്ങൾ പ്രാഥമിക ഗണിതശാസ്ത്രം ഓർക്കുന്നുവെങ്കിൽ, ശക്തികളുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ ... അപ്പോൾ ഈ പ്രവർത്തനം ലളിതമാക്കുന്നത് തികച്ചും സാദ്ധ്യമാണ്. ഇതുപോലെ:

പത്തിലൊന്നിൻ്റെ പവറിലേക്കുള്ള x ഇതിനകം ഒരു ടേബിൾ ഫംഗ്‌ഷനാണ്! മൂന്നാമത്തെ ഗ്രൂപ്പ്, n=1/10. ഫോർമുല അനുസരിച്ച് ഞങ്ങൾ നേരിട്ട് എഴുതുന്നു:

അത്രയേയുള്ളൂ. ഇതായിരിക്കും ഉത്തരം.

വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ആദ്യ സ്തംഭത്തിൽ എല്ലാം വ്യക്തമാണെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു - ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക. ശേഷിക്കുന്ന രണ്ട് തിമിംഗലങ്ങളെ നേരിടാൻ ഇത് അവശേഷിക്കുന്നു. അടുത്ത പാഠത്തിൽ നമ്മൾ വ്യത്യസ്തതയുടെ നിയമങ്ങൾ പഠിക്കും.

ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്?
ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ്റെ നിർവചനവും അർത്ഥവും

ഒരു വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനെയും അതിൻ്റെ പ്രയോഗങ്ങളെയും കുറിച്ചുള്ള എൻ്റെ രചയിതാവിൻ്റെ കോഴ്‌സിൽ ഈ ലേഖനത്തിൻ്റെ അപ്രതീക്ഷിത സ്ഥാനം പലരും ആശ്ചര്യപ്പെടുത്തും. എല്ലാത്തിനുമുപരി, സ്കൂൾ മുതലുള്ളതുപോലെ: സ്റ്റാൻഡേർഡ് പാഠപുസ്തകം ആദ്യം ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം, അതിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ, മെക്കാനിക്കൽ അർത്ഥം നൽകുന്നു. അടുത്തതായി, വിദ്യാർത്ഥികൾ നിർവചനം അനുസരിച്ച് ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്തുന്നു, വാസ്തവത്തിൽ, അതിനുശേഷം മാത്രമേ അവർ വ്യത്യസ്തമാക്കൽ സാങ്കേതികതയെ മികച്ചതാക്കുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവ് പട്ടികകൾ.

എന്നാൽ എൻ്റെ കാഴ്ചപ്പാടിൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന സമീപനം കൂടുതൽ പ്രായോഗികമാണ്: ഒന്നാമതായി, നന്നായി മനസ്സിലാക്കുന്നത് ഉചിതമാണ് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ പരിധി, കൂടാതെ, പ്രത്യേകിച്ച്, അനന്തമായ അളവുകൾ. എന്നതാണ് വസ്തുത ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം പരിധി എന്ന ആശയത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്, ഇത് സ്കൂൾ കോഴ്സിൽ മോശമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. അതുകൊണ്ടാണ് വിജ്ഞാനത്തിൻ്റെ ഗ്രാനൈറ്റിൻ്റെ യുവ ഉപഭോക്താക്കളിൽ ഒരു പ്രധാന ഭാഗം ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ സാരാംശം മനസ്സിലാക്കാത്തത്. അതിനാൽ, നിങ്ങൾക്ക് ഡിഫറൻഷ്യൽ കാൽക്കുലസിനെക്കുറിച്ചോ ബുദ്ധിമാനായ മസ്തിഷ്കത്തെക്കുറിച്ചോ കുറച്ച് അറിവുണ്ടെങ്കിൽ നീണ്ട വർഷങ്ങൾഈ ബാഗേജ് വിജയകരമായി ഒഴിവാക്കി, ദയവായി ആരംഭിക്കൂ പ്രവർത്തന പരിധികൾ. അതേ സമയം, മാസ്റ്റർ / അവരുടെ പരിഹാരം ഓർക്കുക.

അതേ പ്രായോഗിക അർത്ഥം അത് ആദ്യം പ്രയോജനകരമാണെന്ന് നിർദ്ദേശിക്കുന്നു ഡെറിവേറ്റീവുകൾ കണ്ടെത്താൻ പഠിക്കുക, ഉൾപ്പെടെ സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകൾ. സിദ്ധാന്തം ഒരു സിദ്ധാന്തമാണ്, പക്ഷേ, അവർ പറയുന്നതുപോലെ, നിങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും വേർതിരിച്ചറിയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. ഇക്കാര്യത്തിൽ, ലിസ്റ്റുചെയ്തിരിക്കുന്ന അടിസ്ഥാന പാഠങ്ങളിലൂടെ പ്രവർത്തിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, ഒരുപക്ഷേ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ മാസ്റ്റർഅവരുടെ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെ സാരാംശം പോലും മനസ്സിലാക്കാതെ.

ലേഖനം വായിച്ചതിനുശേഷം ഈ പേജിലെ മെറ്റീരിയലുകളിൽ നിന്ന് ആരംഭിക്കാൻ ഞാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു. ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ, അവിടെ, പ്രത്യേകിച്ച്, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ പ്രശ്നം പരിഗണിക്കപ്പെടുന്നു. എന്നാൽ നിങ്ങൾക്ക് കാത്തിരിക്കാം. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ പല പ്രയോഗങ്ങൾക്കും അത് മനസ്സിലാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല എന്നതാണ് വസ്തുത, സൈദ്ധാന്തിക പാഠം വളരെ വൈകി പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടതിൽ അതിശയിക്കാനില്ല - എനിക്ക് വിശദീകരിക്കേണ്ട സമയത്ത് വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന/കുറയുന്ന ഇടവേളകളും തീവ്രതയും കണ്ടെത്തൽപ്രവർത്തനങ്ങൾ. മാത്രമല്ല, അദ്ദേഹം വളരെക്കാലം ഈ വിഷയത്തിൽ ഉണ്ടായിരുന്നു. ഫംഗ്ഷനുകളും ഗ്രാഫുകളും”, അവസാനം ഞാൻ നേരത്തെ ഇടാൻ തീരുമാനിക്കുന്നത് വരെ.

അതിനാൽ, പ്രിയപ്പെട്ട ചായക്കൂട്ടുകളേ, വിശക്കുന്ന മൃഗങ്ങളെപ്പോലെ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ സാരാംശം ആഗിരണം ചെയ്യാൻ തിരക്കുകൂട്ടരുത്, കാരണം സാച്ചുറേഷൻ രുചിയും അപൂർണ്ണവുമായിരിക്കും.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ്, കുറയൽ, പരമാവധി, കുറഞ്ഞത് എന്ന ആശയം

പലതും അധ്യാപന സഹായങ്ങൾചില പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് ഡെറിവേറ്റീവ് എന്ന ആശയത്തിലേക്ക് നയിക്കുന്നു, കൂടാതെ രസകരമായ ഒരു ഉദാഹരണവും ഞാൻ കൊണ്ടുവന്നു. വ്യത്യസ്‌ത വഴികളിൽ എത്തിച്ചേരാവുന്ന ഒരു നഗരത്തിലേക്കാണ് നാം യാത്ര ചെയ്യാൻ പോകുന്നതെന്ന് സങ്കൽപ്പിക്കുക. വളഞ്ഞ വളഞ്ഞുപുളഞ്ഞ പാതകൾ ഉടനടി ഉപേക്ഷിച്ച് നേരായ ഹൈവേകൾ മാത്രം പരിഗണിക്കാം. എന്നിരുന്നാലും, നേർരേഖ ദിശകളും വ്യത്യസ്തമാണ്: നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പരന്ന ഹൈവേയിലൂടെ നഗരത്തിലേക്ക് പോകാം. അല്ലെങ്കിൽ ഒരു മലയോര ഹൈവേയിലൂടെ - മുകളിലേക്കും താഴേക്കും, മുകളിലേക്കും താഴേക്കും. മറ്റൊരു റോഡ് മുകളിലേക്ക് മാത്രം പോകുന്നു, മറ്റൊന്ന് എല്ലായ്‌പ്പോഴും താഴേക്ക് പോകുന്നു. കുത്തനെയുള്ള പാറക്കെട്ടുകളും കുത്തനെയുള്ള കയറ്റവും ഉള്ള ഒരു മലയിടുക്കിലൂടെയുള്ള ഒരു റൂട്ട് അങ്ങേയറ്റം താൽപ്പര്യമുള്ളവർ തിരഞ്ഞെടുക്കും.

എന്നാൽ നിങ്ങളുടെ മുൻഗണനകൾ എന്തുതന്നെയായാലും, പ്രദേശം അറിയുകയോ കുറഞ്ഞത് അതിൻ്റെ ഭൂപ്രകൃതി മാപ്പ് ഉണ്ടായിരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നതാണ് അഭികാമ്യം. അത്തരം വിവരങ്ങൾ നഷ്ടപ്പെട്ടാൽ എന്തുചെയ്യും? എല്ലാത്തിനുമുപരി, നിങ്ങൾക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു സുഗമമായ പാത, പക്ഷേ അതിൻ്റെ ഫലമായി സന്തോഷകരമായ ഫിൻസ് ഉള്ള ഒരു സ്കീ ചരിവിൽ ഇടറിവീഴുക. ഒരു നാവിഗേറ്റർ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു ഉപഗ്രഹ ചിത്രം പോലും വിശ്വസനീയമായ ഡാറ്റ നൽകുമെന്നത് ഒരു വസ്തുതയല്ല. അതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്രം ഉപയോഗിച്ച് പാതയുടെ ആശ്വാസം ഔപചാരികമാക്കുന്നത് നന്നായിരിക്കും.

നമുക്ക് കുറച്ച് റോഡ് നോക്കാം (സൈഡ് വ്യൂ):

അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ, ഒരു പ്രാഥമിക വസ്തുത ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു: യാത്ര സംഭവിക്കുന്നു ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട്. ലാളിത്യത്തിനായി, ഞങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷൻ ആണെന്ന് അനുമാനിക്കുന്നു തുടർച്ചയായപരിഗണനയിലുള്ള പ്രദേശത്ത്.

ഈ ഗ്രാഫിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ എന്തൊക്കെയാണ്?

ഇടവേളകളിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, അതായത്, അതിൻ്റെ ഓരോ അടുത്ത മൂല്യവും കൂടുതൽമുമ്പത്തേത്. ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, ഷെഡ്യൂൾ ഓണാണ് താഴേക്ക് മുകളിലേക്ക്(ഞങ്ങൾ കുന്നിൽ കയറുന്നു). ഒപ്പം ഇടവേളയിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുന്നു- ഓരോ അടുത്ത മൂല്യവും കുറവ്മുമ്പത്തേത്, ഞങ്ങളുടെ ഷെഡ്യൂൾ ഓണാണ് ടോപ്പ് ഡൗൺ(ഞങ്ങൾ ചരിവിലേക്ക് പോകുന്നു).

പ്രത്യേക പോയിൻ്റുകളും ശ്രദ്ധിക്കാം. നമ്മൾ എത്തിച്ചേരുന്ന ഘട്ടത്തിൽ പരമാവധി, അതാണ് നിലവിലുണ്ട്മൂല്യം ഏറ്റവും വലുത് (ഏറ്റവും ഉയർന്നത്) ആയിരിക്കുന്ന പാതയുടെ അത്തരമൊരു ഭാഗം. അതേ ഘട്ടത്തിൽ അത് നേടിയെടുക്കുന്നു ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്, ഒപ്പം നിലവിലുണ്ട്അതിൻ്റെ അയൽപക്കത്തിൽ മൂല്യം ഏറ്റവും ചെറുതാണ് (ഏറ്റവും താഴ്ന്നത്).

ക്ലാസിലെ കൂടുതൽ കർശനമായ പദാവലികളും നിർവചനങ്ങളും ഞങ്ങൾ നോക്കും. പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തീവ്രതയെക്കുറിച്ച്, എന്നാൽ ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഒന്ന് കൂടി പഠിക്കാം പ്രധാന സവിശേഷത: ഇടവേളകളിൽ പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, പക്ഷേ അത് വർദ്ധിക്കുന്നു വ്യത്യസ്ത വേഗതയിൽ. നിങ്ങളുടെ ശ്രദ്ധ ആകർഷിക്കുന്ന ആദ്യത്തെ കാര്യം ഇടവേളയിൽ ഗ്രാഫ് ഉയരുന്നു എന്നതാണ് കൂടുതൽ തണുപ്പ്, ഇടവേളയേക്കാൾ. ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് റോഡിൻ്റെ കുത്തനെ അളക്കാൻ കഴിയുമോ?

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക്

ആശയം ഇതാണ്: നമുക്ക് കുറച്ച് മൂല്യമെടുക്കാം ("delta x" വായിക്കുക), ഞങ്ങൾ വിളിക്കും വാദം വർദ്ധനവ്, കൂടാതെ നമ്മുടെ പാതയിലെ വിവിധ പോയിൻ്റുകളിലേക്ക് "അത് പരീക്ഷിച്ചു" തുടങ്ങാം:

1) നമുക്ക് ഇടതുവശത്തുള്ള പോയിൻ്റ് നോക്കാം: ദൂരം കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ ഒരു ഉയരത്തിലേക്ക് ചരിവ് കയറുന്നു (പച്ച രേഖ). അളവ് വിളിക്കുന്നു പ്രവർത്തന വർദ്ധനവ്, ഒപ്പം ഈ സാഹചര്യത്തിൽഈ വർദ്ധനവ് പോസിറ്റീവ് ആണ് (അച്ചുതണ്ടിലുള്ള മൂല്യങ്ങളിലെ വ്യത്യാസം പൂജ്യത്തേക്കാൾ കൂടുതലാണ്). നമ്മുടെ റോഡിൻ്റെ കുത്തനെയുള്ള അളവ് അളക്കുന്ന ഒരു അനുപാതം നമുക്ക് ഉണ്ടാക്കാം. വ്യക്തമായും, ഇത് വളരെ നിർദ്ദിഷ്ട സംഖ്യയാണ്, രണ്ട് ഇൻക്രിമെൻ്റുകളും പോസിറ്റീവ് ആയതിനാൽ, .

ശ്രദ്ധ! പദവികൾ ആകുന്നു ഒന്ന്ചിഹ്നം, അതായത്, നിങ്ങൾക്ക് "എക്സ്" ൽ നിന്ന് "ഡെൽറ്റ" "കീറാനും" ഈ അക്ഷരങ്ങൾ പ്രത്യേകം പരിഗണിക്കാനും കഴിയില്ല. തീർച്ചയായും, കമൻ്റ് ഫംഗ്‌ഷൻ ഇൻക്രിമെൻ്റ് ചിഹ്നത്തെയും ബാധിക്കുന്നു.

തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഭിന്നസംഖ്യയുടെ സ്വഭാവം കൂടുതൽ അർത്ഥവത്തായി പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാം. നമുക്ക് തുടക്കത്തിൽ 20 മീറ്റർ ഉയരത്തിൽ ആയിരിക്കാം (ഇടത് ബ്ലാക്ക് പോയിൻ്റിൽ). മീറ്ററുകളുടെ ദൂരം (ഇടത് ചുവന്ന വര) പിന്നിട്ടാൽ, 60 മീറ്റർ ഉയരത്തിൽ ഞങ്ങൾ സ്വയം കണ്ടെത്തും. അപ്പോൾ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഇൻക്രിമെൻ്റ് ആയിരിക്കും മീറ്റർ (ഗ്രീൻ ലൈൻ) കൂടാതെ: . അങ്ങനെ, ഓരോ മീറ്ററിലുംറോഡിൻ്റെ ഈ ഭാഗം ഉയരം കൂടുന്നു ശരാശരി 4 മീറ്റർനിങ്ങളുടെ ക്ലൈംബിംഗ് ഉപകരണങ്ങൾ മറന്നോ? =) മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, നിർമ്മിത ബന്ധം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ശരാശരി മാറ്റത്തിൻ്റെ (ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വളർച്ച) സ്വഭാവ സവിശേഷതയാണ്.

കുറിപ്പ് : സംഖ്യാ മൂല്യങ്ങൾപരിഗണനയിലുള്ള ഉദാഹരണം ഡ്രോയിംഗിൻ്റെ അനുപാതവുമായി ഏകദേശം യോജിക്കുന്നു.

2) ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വലതുവശത്തുള്ള ബ്ലാക്ക് പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് അതേ ദൂരം പോകാം. ഇവിടെ ഉയർച്ച കൂടുതൽ ക്രമേണയാണ്, അതിനാൽ ഇൻക്രിമെൻ്റ് (ക്രിംസൺ ലൈൻ) താരതമ്യേന ചെറുതാണ്, മുമ്പത്തെ കേസുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ അനുപാതം വളരെ മിതമായിരിക്കും. ആപേക്ഷികമായി പറഞ്ഞാൽ, മീറ്ററുകളും പ്രവർത്തന വളർച്ചാ നിരക്ക്ആണ് . അതായത്, പാതയുടെ ഓരോ മീറ്ററിനും ഇവിടെയുണ്ട് ശരാശരിഅര മീറ്റർ ഉയരം.

3) മലഞ്ചെരുവിൽ ഒരു ചെറിയ സാഹസിക യാത്ര. നമുക്ക് മുകളിൽ നോക്കാം കറുത്ത ഡോട്ട്, ഓർഡിനേറ്റ് അക്ഷത്തിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു. ഇത് 50 മീറ്റർ മാർക്ക് ആണെന്ന് കരുതുക. ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ദൂരം മറികടക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഫലമായി ഞങ്ങൾ സ്വയം താഴ്ന്നതായി കണ്ടെത്തുന്നു - 30 മീറ്റർ തലത്തിൽ. പ്രസ്ഥാനം നടപ്പിലാക്കുന്നത് മുതൽ ടോപ്പ് ഡൗൺ(അക്ഷത്തിൻ്റെ "കൌണ്ടർ" ദിശയിൽ), പിന്നെ ഫൈനൽ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ (ഉയരം) വർദ്ധനവ് നെഗറ്റീവ് ആയിരിക്കും: മീറ്റർ (ഡ്രോയിംഗിലെ തവിട്ട് സെഗ്മെൻ്റ്). ഈ സാഹചര്യത്തിൽ ഞങ്ങൾ ഇതിനകം സംസാരിക്കുന്നു കുറയുന്നതിൻ്റെ നിരക്ക്ഫീച്ചറുകൾ: , അതായത്, ഈ വിഭാഗത്തിൻ്റെ പാതയുടെ ഓരോ മീറ്ററിനും, ഉയരം കുറയുന്നു ശരാശരി 2 മീറ്റർ അഞ്ചാമത്തെ പോയിൻ്റിൽ നിങ്ങളുടെ വസ്ത്രങ്ങൾ ശ്രദ്ധിക്കുക.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് സ്വയം ചോദ്യം ചോദിക്കാം: "അളക്കുന്ന നിലവാരത്തിൻ്റെ" ഏത് മൂല്യമാണ് ഉപയോഗിക്കാൻ നല്ലത്? ഇത് പൂർണ്ണമായും മനസ്സിലാക്കാവുന്നതേയുള്ളൂ, 10 മീറ്റർ വളരെ പരുക്കനാണ്. ഒരു നല്ല ഡസൻ ഹമ്മോക്കുകൾ അവയിൽ എളുപ്പത്തിൽ ഒതുങ്ങും. പാലുണ്ണികൾ സാരമില്ല, താഴെ ഒരു അഗാധമായ മലയിടുക്കുണ്ടാകാം, ഏതാനും മീറ്ററുകൾ കഴിഞ്ഞാൽ അതിൻ്റെ മറുവശം കൂടുതൽ കുത്തനെ ഉയരും. അങ്ങനെ, ഒരു പത്ത് മീറ്ററിൽ, അനുപാതത്തിലൂടെയുള്ള പാതയുടെ അത്തരം വിഭാഗങ്ങളെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് മനസ്സിലാക്കാവുന്ന വിവരണം ലഭിക്കില്ല.

മുകളിലുള്ള ചർച്ചയിൽ നിന്ന് ഇനിപ്പറയുന്ന നിഗമനം: എങ്ങനെ കുറഞ്ഞ മൂല്യം , കൂടുതൽ കൃത്യമായി ഞങ്ങൾ റോഡ് ഭൂപ്രകൃതി വിവരിക്കും. കൂടാതെ, ഇനിപ്പറയുന്ന വസ്തുതകൾ ശരിയാണ്:

– ആർക്കുംലിഫ്റ്റിംഗ് പോയിൻ്റുകൾ ഒരു പ്രത്യേക ഉയർച്ചയുടെ അതിരുകൾക്കുള്ളിൽ അനുയോജ്യമായ ഒരു മൂല്യം (വളരെ ചെറുതാണെങ്കിൽ പോലും) നിങ്ങൾക്ക് തിരഞ്ഞെടുക്കാം. ഇതിനർത്ഥം അനുബന്ധ ഉയരം വർദ്ധനവ് പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് ഉറപ്പുനൽകും, കൂടാതെ അസമത്വം ഈ ഇടവേളകളിലെ ഓരോ പോയിൻ്റിലും ഫംഗ്ഷൻ്റെ വളർച്ചയെ ശരിയായി സൂചിപ്പിക്കും.

- അതുപോലെ, ഏതിനുംചരിവ് പോയിൻ്റ് ഈ ചരിവിൽ പൂർണ്ണമായും യോജിക്കുന്ന ഒരു മൂല്യമുണ്ട്. തൽഫലമായി, ഉയരത്തിലെ അനുബന്ധ വർദ്ധനവ് വ്യക്തമായും നെഗറ്റീവ് ആണ്, കൂടാതെ അസമത്വം തന്നിരിക്കുന്ന ഇടവേളയിലെ ഓരോ പോയിൻ്റിലും പ്രവർത്തനത്തിലെ കുറവ് കൃത്യമായി കാണിക്കും.

- ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് പൂജ്യമാകുമ്പോൾ പ്രത്യേകിച്ചും രസകരമായ ഒരു കേസ്: . ഒന്നാമതായി, പൂജ്യം ഉയരം വർദ്ധനവ് () ഒരു സുഗമമായ പാതയുടെ അടയാളമാണ്. രണ്ടാമതായി, മറ്റ് രസകരമായ സാഹചര്യങ്ങളുണ്ട്, അതിൻ്റെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നിങ്ങൾ ചിത്രത്തിൽ കാണുന്നു. കുതിച്ചുയരുന്ന കഴുകന്മാരുള്ള ഒരു കുന്നിൻ മുകളിലേക്കോ കൂവുന്ന തവളകളുള്ള ഒരു മലയിടുക്കിലേക്കോ വിധി നമ്മെ എത്തിച്ചതായി സങ്കൽപ്പിക്കുക. നിങ്ങൾ ഏതെങ്കിലും ദിശയിൽ ഒരു ചെറിയ ചുവടുവെപ്പ് നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, ഉയരത്തിലെ മാറ്റം നിസ്സാരമായിരിക്കും, കൂടാതെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് യഥാർത്ഥത്തിൽ പൂജ്യമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. പോയിൻ്റുകളിൽ നിരീക്ഷിച്ച ചിത്രം ഇതാണ്.

അങ്ങനെ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് കൃത്യമായി ചിത്രീകരിക്കാനുള്ള ഒരു അത്ഭുതകരമായ അവസരത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ എത്തിയിരിക്കുന്നു. എല്ലാത്തിനുമുപരി ഗണിത വിശകലനംആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവ് പൂജ്യത്തിലേക്ക് നയിക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു: , അതായത്, അത് ഉണ്ടാക്കുക അനന്തമായ.

തൽഫലമായി, മറ്റൊരു യുക്തിസഹമായ ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: റോഡിനും അതിൻ്റെ ഷെഡ്യൂളിനും കണ്ടെത്താൻ കഴിയുമോ മറ്റൊരു പ്രവർത്തനം, ഏത് ഞങ്ങളെ അറിയിക്കുംഎല്ലാ ഫ്ലാറ്റ് സെക്ഷനുകൾ, കയറ്റങ്ങൾ, ഇറക്കങ്ങൾ, കൊടുമുടികൾ, താഴ്‌വരകൾ, അതുപോലെ തന്നെ വഴിയിലെ ഓരോ പോയിൻ്റിലെയും വളർച്ചയുടെ/കുറവിൻ്റെ നിരക്കിനെ കുറിച്ച്?

ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് എന്താണ്? ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവ്വചനം.
ഡെറിവേറ്റീവ്, ഡിഫറൻഷ്യൽ എന്നിവയുടെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥം

ദയവായി ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വായിക്കുക, വളരെ വേഗത്തിലല്ല - മെറ്റീരിയൽ ലളിതവും എല്ലാവർക്കും ആക്സസ് ചെയ്യാവുന്നതുമാണ്! ചില സ്ഥലങ്ങളിൽ എന്തെങ്കിലും വ്യക്തമായി തോന്നുന്നില്ലെങ്കിൽ കുഴപ്പമില്ല, നിങ്ങൾക്ക് പിന്നീട് എപ്പോൾ വേണമെങ്കിലും ലേഖനത്തിലേക്ക് മടങ്ങാം. ഞാൻ കൂടുതൽ പറയും, എല്ലാ പോയിൻ്റുകളും നന്നായി മനസ്സിലാക്കാൻ സിദ്ധാന്തം നിരവധി തവണ പഠിക്കുന്നത് ഉപയോഗപ്രദമാണ് (ഉപദേശം "സാങ്കേതിക" വിദ്യാർത്ഥികൾക്ക് പ്രത്യേകിച്ചും പ്രസക്തമാണ്, വിദ്യാഭ്യാസ പ്രക്രിയയിൽ ഉയർന്ന ഗണിതശാസ്ത്രം ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു).

സ്വാഭാവികമായും, ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ ഞങ്ങൾ അത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

നമ്മൾ എന്തിലേക്കാണ് വന്നത്? നിയമപ്രകാരമുള്ള പ്രവർത്തനത്തിനായി ഞങ്ങൾ നിഗമനത്തിലെത്തി അനുസരിച്ച് വെച്ചിരിക്കുന്നു മറ്റ് പ്രവർത്തനം, വിളിക്കപ്പെടുന്ന ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ(അല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി ഡെറിവേറ്റീവ്).

ഡെറിവേറ്റീവ് സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക്പ്രവർത്തനങ്ങൾ എങ്ങനെ? ലേഖനത്തിൻ്റെ തുടക്കം മുതൽ ഈ ആശയം ഒരു ചുവന്ന നൂൽ പോലെ പ്രവർത്തിക്കുന്നു. നമുക്ക് ചില പോയിൻ്റ് പരിഗണിക്കാം നിർവചനത്തിൻ്റെ ഡൊമെയ്ൻപ്രവർത്തനങ്ങൾ ഒരു നിശ്ചിത പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ:

1) എങ്കിൽ, പോയിൻ്റിൽ ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു. കൂടാതെ വ്യക്തമായും ഉണ്ട് ഇടവേള(വളരെ ചെറിയ ഒന്ന് പോലും), ഫംഗ്ഷൻ വളരുന്ന ഒരു പോയിൻ്റ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിൻ്റെ ഗ്രാഫ് "താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക്" പോകുന്നു.

2) എങ്കിൽ, പോയിൻ്റിൽ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു. ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്ന ഒരു പോയിൻ്റ് അടങ്ങുന്ന ഒരു ഇടവേളയുണ്ട് (ഗ്രാഫ് "മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക്" പോകുന്നു).

3) എങ്കിൽ, പിന്നെ അനന്തമായി അടുത്ത്ഒരു ബിന്ദുവിനടുത്ത് പ്രവർത്തനം അതിൻ്റെ വേഗത സ്ഥിരമായി നിലനിർത്തുന്നു. ഇത് സംഭവിക്കുന്നത്, സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, ഒരു സ്ഥിരമായ ഫംഗ്ഷനും ഒപ്പം പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ നിർണായക ഘട്ടങ്ങളിൽ, പ്രത്യേകിച്ച് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതും കൂടിയതുമായ പോയിൻ്റുകളിൽ.

കുറച്ച് അർത്ഥശാസ്ത്രം. "വ്യത്യസ്‌തമാക്കുക" എന്ന ക്രിയയുടെ വിശാലമായ അർത്ഥത്തിൽ എന്താണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്? വേർതിരിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം ഒരു സവിശേഷത ഹൈലൈറ്റ് ചെയ്യുക എന്നാണ്. ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെ വേർതിരിച്ചുകൊണ്ട്, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ രൂപത്തിൽ അതിൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്ക് ഞങ്ങൾ "ഒറ്റപ്പെടുത്തുന്നു". "ഡെറിവേറ്റീവ്" എന്ന വാക്കിൻ്റെ അർത്ഥമെന്താണ്? ഫംഗ്ഷൻ സംഭവിച്ചുപ്രവർത്തനത്തിൽ നിന്ന്.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മെക്കാനിക്കൽ അർത്ഥത്താൽ പദങ്ങൾ വളരെ വിജയകരമായി വ്യാഖ്യാനിക്കപ്പെടുന്നു :
സമയത്തെയും ചലന വേഗതയുടെ പ്രവർത്തനത്തെയും ആശ്രയിച്ച് ശരീരത്തിൻ്റെ കോർഡിനേറ്റുകളിലെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിയമം നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം. ശരീരം കൊടുത്തു. ഫംഗ്ഷൻ ബോഡി കോർഡിനേറ്റിൻ്റെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്കിനെ ചിത്രീകരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഇത് സമയവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഫംഗ്ഷൻ്റെ ആദ്യ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്: "ശരീര ചലനം" എന്ന ആശയം പ്രകൃതിയിൽ ഇല്ലായിരുന്നുവെങ്കിൽ, ഇല്ല ഡെറിവേറ്റീവ്"ശരീര വേഗത" എന്ന ആശയം.

ശരീരത്തിൻ്റെ ത്വരണം വേഗതയുടെ മാറ്റത്തിൻ്റെ നിരക്കാണ്, അതിനാൽ: . "ബോഡി മോഷൻ", "ബോഡി സ്പീഡ്" എന്നീ പ്രാരംഭ ആശയങ്ങൾ പ്രകൃതിയിൽ ഇല്ലായിരുന്നുവെങ്കിൽ, അവിടെ ഉണ്ടാകില്ല ഡെറിവേറ്റീവ്"ശരീര ത്വരണം" എന്ന ആശയം.

നിർവ്വചനം.ഫംഗ്‌ഷൻ \(y = f(x)\) അതിനുള്ളിലെ പോയിൻ്റ് \(x_0\) അടങ്ങുന്ന ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ നിർവചിക്കട്ടെ. ആർഗ്യുമെൻ്റിന് ഒരു ഇൻക്രിമെൻ്റ് \(\Delta x \) നൽകാം, അത് ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്ന് പുറത്തുപോകില്ല. \(\Delta y \) (\(x_0 \) എന്ന പോയിൻ്റിൽ നിന്ന് \(x_0 + \Delta x \) എന്ന പോയിൻ്റിലേക്ക് നീങ്ങുമ്പോൾ) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ അനുബന്ധ ഇൻക്രിമെൻ്റ് കണ്ടെത്തി \(\frac(\Delta) ബന്ധം രചിക്കാം y)(\ഡെൽറ്റ x) \). \(\Delta x \rightarrow 0\) എന്നതിൽ ഈ അനുപാതത്തിന് ഒരു പരിധിയുണ്ടെങ്കിൽ, നിർദ്ദിഷ്ട പരിധിയെ വിളിക്കുന്നു ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്\(x_0 \) പോയിൻ്റിൽ \(y=f(x) \) ഒപ്പം \(f"(x_0) \) സൂചിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

ഡെറിവേറ്റീവിനെ സൂചിപ്പിക്കാൻ y എന്ന ചിഹ്നം ഉപയോഗിക്കാറുണ്ട്, y" = f(x) എന്നത് ഒരു പുതിയ ഫംഗ്‌ഷനാണ്, എന്നാൽ മേൽപ്പറഞ്ഞ പരിധി നിലനിൽക്കുന്ന എല്ലാ പോയിൻ്റുകളിലും x എന്ന ഫംഗ്‌ഷനുമായി സ്വാഭാവികമായും ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഈ പ്രവർത്തനത്തെ ഇതുപോലെ വിളിക്കുന്നു: y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്.

ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ ജ്യാമിതീയ അർത്ഥംതാഴെ പറയുന്നു. y-അക്ഷത്തിന് സമാന്തരമല്ലാത്ത abscissa x=a ഉപയോഗിച്ച് പോയിൻ്റിൽ y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, f(a) ടാൻജെൻ്റിൻ്റെ ചരിവ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \), അപ്പോൾ തുല്യത \(f"(a) = tan(a) \) ശരിയാണ്.

ഏകദേശ തുല്യതയുടെ വീക്ഷണകോണിൽ നിന്ന് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം ഇപ്പോൾ നമുക്ക് വ്യാഖ്യാനിക്കാം. \(y = f(x)\) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു പ്രത്യേക പോയിൻ്റിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ \(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
ഇതിനർത്ഥം x പോയിൻ്റിന് സമീപം ഏകദേശ തുല്യത \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \ approx f"(x)\), അതായത് \(\Delta y \ approx f"(x) \cdot\ ഡെൽറ്റ x\). തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഏകദേശ സമത്വത്തിൻ്റെ അർത്ഥവത്തായ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്: ഫംഗ്ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് ആർഗ്യുമെൻ്റിൻ്റെ വർദ്ധനവിന് "ഏതാണ്ട് ആനുപാതികമാണ്", ആനുപാതികതയുടെ ഗുണകം എന്നത് ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ മൂല്യമാണ്. പോയിൻ്റ് നൽകിഎക്സ്. ഉദാഹരണത്തിന്, \(y = x^2\) ഫംഗ്‌ഷനായി ഏകദേശ തുല്യത \(\Delta y \ approx 2x \cdot \Delta x \) സാധുവാണ്. ഒരു ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനം ഞങ്ങൾ ശ്രദ്ധാപൂർവ്വം വിശകലനം ചെയ്താൽ, അത് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള ഒരു അൽഗോരിതം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നതായി ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും.

നമുക്ക് അത് രൂപപ്പെടുത്താം.

y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം?

1. \(x\) മൂല്യം ശരിയാക്കുക, \(f(x)\) കണ്ടെത്തുക
2. ആർഗ്യുമെൻ്റിന് \(x\) ഒരു ഇൻക്രിമെൻ്റ് നൽകുക \(\Delta x\), ഒരു പുതിയ പോയിൻ്റിലേക്ക് പോകുക \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) കണ്ടെത്തുക
3. ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വർദ്ധനവ് കണ്ടെത്തുക: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. ബന്ധം സൃഷ്ടിക്കുക \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. കണക്കാക്കുക $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
ഈ പരിധി x പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണ്.

y = f(x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷന് x എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ടെങ്കിൽ, അതിനെ x എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള നടപടിക്രമത്തെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസംഫംഗ്ഷനുകൾ y = f(x).

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ചോദ്യം ചർച്ച ചെയ്യാം: പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്ന ഒരു ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ തുടർച്ചയും വ്യത്യാസവും എങ്ങനെയാണ്?

x എന്ന ബിന്ദുവിൽ y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കട്ടെ. തുടർന്ന് M(x; f(x)) എന്ന പോയിൻ്റിലെ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കാം, കൂടാതെ, സ്‌പർശകത്തിൻ്റെ കോണീയ ഗുണകം f "(x) ന് തുല്യമാണ്. അത്തരം ഗ്രാഫിന് "ബ്രേക്ക്" ചെയ്യാൻ കഴിയില്ല. പോയിൻ്റ് M-ൽ, അതായത്, പോയിൻ്റ് x-ൽ പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായിരിക്കണം.

ഇവ "കൈയ്യിൽ" വാദങ്ങളായിരുന്നു. നമുക്ക് കൂടുതൽ കർശനമായ ന്യായവാദം നൽകാം. x എന്ന ബിന്ദുവിൽ y = f(x) ഫംഗ്‌ഷൻ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ഏകദേശ തുല്യത \(\Delta y \ approx f"(x) \cdot \Delta x\) പിടിക്കുന്നു. ഈ സമത്വത്തിലാണെങ്കിൽ \(\Delta x \) പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കുന്നു, തുടർന്ന് \(\Delta y \) പൂജ്യത്തിലേക്ക് പ്രവണത കാണിക്കും, ഇത് ഒരു ബിന്ദുവിലെ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ തുടർച്ചയുടെ അവസ്ഥയാണ്.

അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ x എന്ന ബിന്ദുവിൽ വേർതിരിക്കാവുന്നതാണെങ്കിൽ, ആ ബിന്ദുവിൽ അത് തുടർച്ചയായിരിക്കും.

വിപരീത പ്രസ്താവന ശരിയല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്: ഫംഗ്ഷൻ y = |x| എല്ലായിടത്തും തുടർച്ചയായാണ്, പ്രത്യേകിച്ച് x = 0 എന്ന പോയിൻ്റിൽ, എന്നാൽ "ജംഗ്ഷൻ പോയിൻ്റിൽ" (0; 0) ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് നിലവിലില്ല. ഏതെങ്കിലും ഘട്ടത്തിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കാൻ കഴിയുന്നില്ലെങ്കിൽ, ആ ഘട്ടത്തിൽ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ല.

ഒരു ഉദാഹരണം കൂടി. \(y=\sqrt(x)\) എന്ന ഫംഗ്‌ഷൻ, x = 0 എന്ന ബിന്ദുവിൽ ഉൾപ്പെടെ, മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയിലും തുടർച്ചയായി തുടരുന്നു. കൂടാതെ x = 0 എന്ന പോയിൻ്റിൽ ഉൾപ്പെടെ, ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് ഏത് പോയിൻ്റിലും നിലവിലുണ്ട്. എന്നാൽ ഈ ഘട്ടത്തിൽ ടാൻജെൻ്റ് y-അക്ഷവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതായത്, അത് abscissa അക്ഷത്തിന് ലംബമാണ്, അതിൻ്റെ സമവാക്യത്തിന് x = 0 എന്ന രൂപമുണ്ട്. അത്തരമൊരു നേർരേഖയ്ക്ക് ആംഗിൾ കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് ഇല്ല, അതായത് \(f "(0)\) നിലവിലില്ല.

അതിനാൽ, ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഒരു പുതിയ പ്രോപ്പർട്ടി ഞങ്ങൾ പരിചയപ്പെട്ടു - ഡിഫറൻഷ്യബിലിറ്റി. ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിൽ നിന്ന് അത് വ്യത്യസ്തമാണെന്ന് എങ്ങനെ നിഗമനം ചെയ്യാം?

ഉത്തരം യഥാർത്ഥത്തിൽ മുകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. ഒരു ഘട്ടത്തിൽ abscissa അക്ഷത്തിന് ലംബമല്ലാത്ത ഒരു ഫംഗ്ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്ക് ഒരു ടാൻജെൻ്റ് വരയ്ക്കാൻ കഴിയുമെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ വ്യത്യസ്തമാണ്. ചില ഘട്ടങ്ങളിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഗ്രാഫിലേക്കുള്ള ടാൻജെൻ്റ് നിലവിലില്ലെങ്കിലോ അത് അബ്‌സിസ്സ അക്ഷത്തിന് ലംബമാണെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ വേർതിരിക്കാനാവില്ല.

വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ നിയമങ്ങൾ

ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള പ്രവർത്തനത്തെ വിളിക്കുന്നു വ്യത്യാസം. ഈ പ്രവർത്തനം നടത്തുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഘടകങ്ങൾ, തുകകൾ, ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ, അതുപോലെ "ഫംഗ്ഷനുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾ", അതായത് സങ്കീർണ്ണമായ പ്രവർത്തനങ്ങൾ എന്നിവയിൽ പ്രവർത്തിക്കേണ്ടതുണ്ട്. ഡെറിവേറ്റീവിൻ്റെ നിർവചനത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, ഈ ജോലി എളുപ്പമാക്കുന്ന ഡിഫറൻഷ്യേഷൻ നിയമങ്ങൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താനാകും. C ഒരു സ്ഥിരാങ്കം ആണെങ്കിൽ f=f(x), g=g(x) ചില ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ഫംഗ്‌ഷനുകളാണെങ്കിൽ, ഇനിപ്പറയുന്നവ ശരിയാണ് വ്യത്യസ്തത നിയമങ്ങൾ:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \ഇടത്(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \ഇടത്(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ ഒരു സങ്കീർണ്ണമായ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഡെറിവേറ്റീവ്:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

ചില ഫംഗ്‌ഷനുകളുടെ ഡെറിവേറ്റീവുകളുടെ പട്ടിക

$$ \ഇടത്(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \ഇടത്(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $