ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവ്, കുറയൽ, തീവ്രത

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ വർദ്ധനവ്, കുറവ്, തീവ്രത എന്നിവയുടെ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുന്നത് ഒരു സ്വതന്ത്ര ചുമതലയും മറ്റ് ജോലികളുടെ ഒരു പ്രധാന ഭാഗവുമാണ്, പ്രത്യേകിച്ചും, പൂർണ്ണ പ്രവർത്തന പഠനം. പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വർദ്ധനവ്, കുറവ്, തീവ്രത എന്നിവയെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രാഥമിക വിവരങ്ങൾ നൽകിയിരിക്കുന്നു ഡെറിവേറ്റീവിനെക്കുറിച്ചുള്ള സൈദ്ധാന്തിക അധ്യായം, പ്രാഥമിക പഠനത്തിനായി ഞാൻ വളരെ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു (അല്ലെങ്കിൽ ആവർത്തനം)- ഇനിപ്പറയുന്ന മെറ്റീരിയൽ വളരെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ് എന്ന കാരണത്താലും ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ സാരാംശംഈ ലേഖനത്തിന്റെ യോജിപ്പുള്ള തുടർച്ചയാണ്. എന്നിരുന്നാലും, സമയം കടന്നുപോകുന്നുണ്ടെങ്കിൽ, ഇന്നത്തെ പാഠത്തിന്റെ ഉദാഹരണങ്ങളിൽ നിന്ന് തികച്ചും ഔപചാരികമായ പ്രവർത്തനവും സാധ്യമാണ്.

ഇന്ന് അന്തരീക്ഷത്തിൽ അപൂർവമായ ഏകാഗ്രതയുടെ ഒരു ആത്മാവുണ്ട്, അവിടെയുള്ളവരെല്ലാം ആഗ്രഹത്താൽ ജ്വലിക്കുന്നതായി എനിക്ക് നേരിട്ട് അനുഭവപ്പെടുന്നു. ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാൻ പഠിക്കുക. അതിനാൽ, ന്യായമായ നല്ല ശാശ്വതമായ പദാവലി ഉടൻ നിങ്ങളുടെ മോണിറ്ററുകളുടെ സ്ക്രീനിൽ ദൃശ്യമാകും.

എന്തിനുവേണ്ടി? ഏറ്റവും പ്രായോഗികമായ കാരണങ്ങളിൽ ഒന്ന്: ഒരു പ്രത്യേക ടാസ്ക്കിൽ പൊതുവെ നിങ്ങളിൽ നിന്ന് എന്താണ് ആവശ്യപ്പെടുന്നതെന്ന് വ്യക്തമാക്കാൻ!

ഫംഗ്ഷൻ ഏകതാനത. എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകളും ഫംഗ്ഷൻ എക്സ്ട്രീമയും

നമുക്ക് ചില പ്രവർത്തനങ്ങൾ പരിഗണിക്കാം. ലളിതമായി, ഞങ്ങൾ അത് അനുമാനിക്കുന്നു തുടർച്ചയായമുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിൽ:

ഒരുപക്ഷേ, സാധ്യമായ മിഥ്യാധാരണകളിൽ നിന്ന് ഞങ്ങൾ ഉടനടി രക്ഷപ്പെടും, പ്രത്യേകിച്ചും അടുത്തിടെ പരിചയപ്പെട്ട വായനക്കാർക്ക് പ്രവർത്തനത്തിന്റെ അടയാള സ്ഥിരതയുടെ ഇടവേളകൾ. ഇപ്പോൾ ഞങ്ങൾ താൽപ്പര്യമില്ല, ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് അച്ചുതണ്ടുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് എങ്ങനെ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു (മുകളിൽ, താഴെ, അത് അക്ഷം കടക്കുന്നിടത്ത്). പ്രേരണയ്ക്കായി, അക്ഷങ്ങൾ മാനസികമായി മായ്ച്ച് ഒരു ഗ്രാഫ് വിടുക. കാരണം താൽപ്പര്യം അതിലാണ്.

ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നുബന്ധവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഈ ഇടവേളയിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്ക് ഒരു ഇടവേളയിൽ, അസമത്വം ശരിയാണ്. അതായത്, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഒരു വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്ഷന്റെ വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ ഗ്രാഫ് "താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക്" പോകുന്നു. ഡെമോ ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ വളരുന്നു.

അതുപോലെ, പ്രവർത്തനം കുറയുന്നുഒരു ഇടവേളയിൽ, തന്നിരിക്കുന്ന ഇടവേളയിലെ ഏതെങ്കിലും രണ്ട് പോയിന്റുകൾക്ക്, അതായത്, അസമത്വം ശരിയാണ്. അതായത്, ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ ഒരു വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു ചെറിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അതിന്റെ ഗ്രാഫ് "മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക്" പോകുന്നു. ഇടവേളകളിൽ ഞങ്ങളുടെ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു .

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഒരു ഇടവേളയിൽ കൂടുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു കർശനമായി ഏകതാനമായഈ ഇടവേളയിൽ. എന്താണ് ഏകതാനത? ഇത് അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ എടുക്കുക - ഏകതാനത.

നിർവചിക്കാനും സാധിക്കും കുറയാത്തത്ഫംഗ്ഷൻ (ആദ്യ നിർവചനത്തിൽ വിശ്രമിച്ച അവസ്ഥ) കൂടാതെ വർദ്ധിക്കാത്തത്ഫംഗ്ഷൻ (രണ്ടാമത്തെ നിർവചനത്തിൽ മൃദുവായ അവസ്ഥ). ഒരു ഇടവേളയിൽ കുറയാത്തതോ വർദ്ധിക്കാത്തതോ ആയ ഫംഗ്‌ഷനെ ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയിൽ ഒരു മോണോടോണിക് ഫംഗ്‌ഷൻ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. (കർക്കശമായ ഏകതാനത - പ്രത്യേക കേസ്"വെറും" ഏകതാനത).

പകുതി-ഇടവേളകൾ, സെഗ്‌മെന്റുകൾ എന്നിവയുൾപ്പെടെ ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ വർദ്ധനവ് / കുറവ് നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള മറ്റ് സമീപനങ്ങളും സിദ്ധാന്തം പരിഗണിക്കുന്നു, എന്നാൽ നിങ്ങളുടെ തലയിൽ എണ്ണ-എണ്ണ-എണ്ണ ഒഴിക്കാതിരിക്കാൻ, വർഗ്ഗീകരണ നിർവചനങ്ങളോടെ തുറന്ന ഇടവേളകളിൽ പ്രവർത്തിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കുന്നു - ഇത് കൂടുതൽ വ്യക്തമാണ്, കൂടാതെ നിരവധി പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നതിന് ഇത് മതിയാകും.

അങ്ങനെ, എന്റെ ലേഖനങ്ങളിൽ, "ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏകതാനത" എന്ന വാക്ക് മിക്കവാറും എപ്പോഴും മറയ്ക്കും ഇടവേളകൾകർശനമായ ഏകതാനത(പ്രവർത്തനത്തിന്റെ കർശനമായ വർദ്ധനവ് അല്ലെങ്കിൽ കർശനമായ കുറവ്).

പോയിന്റ് അയൽപക്കം. വിദ്യാർത്ഥികൾ കഴിയുന്നിടത്തെല്ലാം ചിതറിക്കുകയും കോണുകളിൽ ഭീതിയോടെ ഒളിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന വാക്കുകൾ. …പോസ്റ്റിനു ശേഷവും Cauchy പരിധികൾഅവർ ഒരുപക്ഷേ ഇനി മറഞ്ഞിരിക്കില്ല, പക്ഷേ ചെറുതായി വിറയ്ക്കുന്നു =) വിഷമിക്കേണ്ട, ഇപ്പോൾ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ല ഗണിത വിശകലനം- നിർവചനങ്ങൾ കൂടുതൽ കർശനമായി രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിന് എനിക്ക് അയൽപക്കങ്ങൾ ആവശ്യമായിരുന്നു അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകൾ. ഞങ്ങൾ ഓർക്കുന്നു:

അയൽപക്ക പോയിന്റ്അടങ്ങുന്ന ഒരു ഇടവേള എന്ന് വിളിക്കുന്നു പോയിന്റ് നൽകി, സൗകര്യാർത്ഥം ഇടവേള പലപ്പോഴും സമമിതിയാണെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു പോയിന്റും അതിന്റെ സാധാരണ അയൽപക്കവും:

അടിസ്ഥാനപരമായി നിർവചനങ്ങൾ:

പോയിന്റ് വിളിക്കുന്നു കർശനമായ പരമാവധി പോയിന്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അവളുടെ അയൽപക്കം, എല്ലാവർക്കുംഅതിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ, പോയിന്റ് ഒഴികെ, അസമത്വം നിറവേറ്റപ്പെടുന്നു. ഞങ്ങളുടെ പ്രത്യേക ഉദാഹരണത്തിൽ, ഇത് ഒരു പോയിന്റാണ്.

പോയിന്റ് വിളിക്കുന്നു കർശനമായ മിനിമം പോയിന്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അവളുടെ അയൽപക്കം, എല്ലാവർക്കുംഅതിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ, പോയിന്റ് ഒഴികെ, അസമത്വം നിറവേറ്റപ്പെടുന്നു. ഡ്രോയിംഗിൽ - പോയിന്റ് "a".

കുറിപ്പ് : അയൽപക്കങ്ങൾ സമമിതി ആയിരിക്കണമെന്ന നിബന്ധന ഒട്ടും ആവശ്യമില്ല. കൂടാതെ, അത് പ്രധാനമാണ് അസ്തിത്വത്തിന്റെ വസ്തുതനിർദ്ദിഷ്‌ട വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്ന അയൽപക്കം (ചെറിയതാണെങ്കിലും, മൈക്രോസ്കോപ്പിക് പോലും).

ഡോട്ടുകൾ വിളിക്കുന്നു കർശനമായ തീവ്രതയുടെ പോയിന്റുകൾഅല്ലെങ്കിൽ ലളിതമായി അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകൾപ്രവർത്തനങ്ങൾ. അതായത്, പരമാവധി പോയിന്റുകൾക്കും കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾക്കുമുള്ള സാമാന്യവൽക്കരിച്ച പദമാണിത്.

"തീവ്രം" എന്ന വാക്ക് എങ്ങനെ മനസ്സിലാക്കാം? അതെ, ഏകതാനത പോലെ നേരിട്ട്. റോളർ കോസ്റ്ററിന്റെ അങ്ങേയറ്റം പോയിന്റുകൾ.

ഏകതാനതയുടെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, സിദ്ധാന്തത്തിലും കൂടുതൽ സാധാരണമായ നോൺ-സ്ട്രിക്റ്റ് പോസ്റ്റുലേറ്റുകൾ ഉണ്ട് (തീർച്ചയായും, പരിഗണിക്കപ്പെടുന്ന കർശനമായ കേസുകൾ ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു!):

പോയിന്റ് വിളിക്കുന്നു പരമാവധി പോയിന്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അതിന്റെ ചുറ്റുപാടുകൾ എല്ലാവർക്കും
പോയിന്റ് വിളിക്കുന്നു മിനിമം പോയിന്റ്, എങ്കിൽ നിലവിലുണ്ട്അതിന്റെ ചുറ്റുപാടുകൾ എല്ലാവർക്കുംഈ അയൽപക്കത്തിന്റെ മൂല്യങ്ങൾ, അസമത്വം നിലനിർത്തുന്നു.

അവസാനത്തെ രണ്ട് നിർവചനങ്ങൾ അനുസരിച്ച്, ഒരു സ്ഥിരമായ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏതെങ്കിലും പോയിന്റ് (അല്ലെങ്കിൽ ചില ഫംഗ്‌ഷന്റെ “ഫ്ലാറ്റ് ഏരിയ”) പരമാവധി പോയിന്റും കുറഞ്ഞ പോയിന്റും ആയി കണക്കാക്കുന്നു! പ്രവർത്തനം , വഴിയിൽ, വർദ്ധിക്കാത്തതും കുറയാത്തതുമാണ്, അതായത്, ഏകതാനമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഞങ്ങൾ ഈ വാദങ്ങൾ സൈദ്ധാന്തികർക്ക് വിട്ടുകൊടുക്കുന്നു, കാരണം പ്രായോഗികമായി ഞങ്ങൾ എല്ലായ്പ്പോഴും പരമ്പരാഗത "കുന്നുകൾ", "പൊള്ളകൾ" (ഡ്രോയിംഗ് കാണുക) ഒരു അദ്വിതീയ "കുന്നിലെ രാജാവ്" അല്ലെങ്കിൽ "മാർഷ് രാജകുമാരി" എന്നിവയുമായി ധ്യാനിക്കുന്നു. ഒരു വൈവിധ്യമെന്ന നിലയിൽ, അത് സംഭവിക്കുന്നു പോയിന്റ്, മുകളിലേക്കോ താഴേയ്‌ക്കോ നയിക്കുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത് .

ഓ, റോയൽറ്റിയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കുന്നു:
- അർത്ഥം വിളിക്കുന്നു പരമാവധിപ്രവർത്തനങ്ങൾ;
- അർത്ഥം വിളിക്കുന്നു ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്പ്രവർത്തനങ്ങൾ.

പൊതുവായ പേര് - അങ്ങേയറ്റംപ്രവർത്തനങ്ങൾ.

ദയവായി നിങ്ങളുടെ വാക്കുകൾ ശ്രദ്ധിക്കുക!

അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകൾ"x" മൂല്യങ്ങളാണ്.
അതിരുകൾ- "ഗെയിം" മൂല്യങ്ങൾ.

! കുറിപ്പ് : ചിലപ്പോൾ ലിസ്‌റ്റ് ചെയ്‌ത പദങ്ങൾ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിൽ നേരിട്ട് കിടക്കുന്ന "x-y" പോയിന്റുകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് എത്ര എക്സ്ട്രീമകൾ ഉണ്ടായിരിക്കും?

ഒന്നുമില്ല, 1, 2, 3, ... തുടങ്ങിയവ. അനന്തതയിലേയ്ക്ക്. ഉദാഹരണത്തിന്, സൈനിന് അനന്തമായ മിനിമം, മാക്സിമുകൾ ഉണ്ട്.

പ്രധാനം!"പരമാവധി പ്രവർത്തനം" എന്ന പദം സമാനമല്ല"ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ പരമാവധി മൂല്യം" എന്ന പദം. പ്രാദേശിക അയൽപക്കത്ത് മാത്രമേ മൂല്യം പരമാവധി ഉള്ളൂവെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്, മുകളിൽ ഇടതുവശത്ത് "കൂടുതൽ പെട്ടെന്ന് സഖാക്കൾ" ഉണ്ട്. അതുപോലെ, "മിനിമം ഫംഗ്‌ഷൻ" എന്നത് "മിനിമം ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യം" എന്നതിന് തുല്യമല്ല, കൂടാതെ ഡ്രോയിംഗിൽ ഒരു നിശ്ചിത പ്രദേശത്ത് മാത്രമേ മൂല്യം ഏറ്റവും കുറവാണെന്ന് നമുക്ക് കാണാൻ കഴിയും. ഇക്കാര്യത്തിൽ, അങ്ങേയറ്റത്തെ പോയിന്റുകളും വിളിക്കുന്നു പ്രാദേശിക എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകൾ, തീവ്രവും പ്രാദേശിക അതിരുകൾ . അവർ നടക്കുകയും ചുറ്റിക്കറങ്ങുകയും ചെയ്യുന്നു ആഗോളസഹോദരങ്ങളെ. അതിനാൽ, ഏത് പരവലയവും അതിന്റെ ശിഖരത്തിലാണ് ആഗോള മിനിമംഅഥവാ ആഗോള പരമാവധി. കൂടാതെ, ഞാൻ അതിരുകടന്ന തരങ്ങൾ തമ്മിൽ വേർതിരിക്കില്ല, കൂടാതെ വിശദീകരണം പൊതുവായ വിദ്യാഭ്യാസ ആവശ്യങ്ങൾക്കായി കൂടുതൽ ശബ്ദമുയർത്തുന്നു - "ലോക്കൽ" / "ഗ്ലോബൽ" എന്ന അധിക നാമവിശേഷണങ്ങൾ ആശ്ചര്യപ്പെടേണ്ടതില്ല.

ഒരു കൺട്രോൾ ഷോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് സിദ്ധാന്തത്തിലേക്കുള്ള നമ്മുടെ ഹ്രസ്വമായ വ്യതിചലനം സംഗ്രഹിക്കാം: “ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെയും എക്സ്ട്രീം പോയിന്റുകളുടെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക” എന്ന ടാസ്ക് എന്താണ് സൂചിപ്പിക്കുന്നത്?

ഫോർമുലേഷൻ കണ്ടെത്താൻ പ്രേരിപ്പിക്കുന്നു:

- പ്രവർത്തനത്തിന്റെ വർദ്ധനവ് / കുറയൽ ഇടവേളകൾ (കുറയാത്തതും വർദ്ധിക്കാത്തതും വളരെ കുറച്ച് തവണ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്നു);

- പരമാവധി പോയിന്റുകൾ കൂടാതെ/അല്ലെങ്കിൽ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ പോയിന്റുകൾ (എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ). ശരി, പരാജയത്തിൽ നിന്ന് മിനിമ / മാക്സിമ സ്വയം കണ്ടെത്തുന്നതാണ് നല്ലത് ;-)

ഇതെല്ലാം എങ്ങനെ നിർവചിക്കും?ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷന്റെ സഹായത്തോടെ!

വർദ്ധനവ്, കുറവ് എന്നിവയുടെ ഇടവേളകൾ എങ്ങനെ കണ്ടെത്താം,
ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്ട്രീം പോയിന്റുകളും എക്‌സ്ട്രീമുകളും?

പല നിയമങ്ങളും, വാസ്തവത്തിൽ, ഇതിനകം അറിയുകയും മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട് ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അർത്ഥത്തെക്കുറിച്ചുള്ള പാഠം.

ടാൻജന്റ് ഡെറിവേറ്റീവ് പ്രവർത്തനം ഉടനീളം വർദ്ധിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു എന്ന സന്തോഷവാർത്ത വഹിക്കുന്നു ഡൊമെയ്‌നുകൾ.

കോട്ടാൻജെന്റും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവും ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥിതി നേരെ വിപരീതമാണ്.

ഇടവേളയിൽ ആർക്സൈൻ വളരുന്നു - ഡെറിവേറ്റീവ് ഇവിടെ പോസിറ്റീവ് ആണ്: .
എന്നതിന്, ഫംഗ്ഷൻ നിർവചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിലും വ്യത്യാസപ്പെടുത്താനാവില്ല. എന്നിരുന്നാലും, നിർണായക ഘട്ടത്തിൽ ഒരു വലത്-കൈ ഡെറിവേറ്റീവും വലത്-കൈ ടാൻജെന്റും ഉണ്ട്, മറുവശത്ത്, അവരുടെ ഇടത്-കൈയ്യൻ എതിരാളികൾ.

ആർക്ക് കോസൈനിനും അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവിനും സമാനമായ ന്യായവാദം നടത്തുന്നത് നിങ്ങൾക്ക് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ലെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു.

ഈ കേസുകളെല്ലാം, അവയിൽ പലതും പട്ടിക ഡെറിവേറ്റീവുകൾ, ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു, നേരിട്ട് പിന്തുടരുക ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ നിർവചനങ്ങൾ.

ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുന്നത് എന്തുകൊണ്ട്?

ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് എങ്ങനെയിരിക്കും എന്നതിനെക്കുറിച്ചുള്ള മികച്ച ആശയം ലഭിക്കുന്നതിന്: അത് "താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക്" പോകുന്നിടത്ത്, "മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക്" പോകുന്നിടത്ത്, എവിടെയാണ് അത് ഏറ്റവും താഴ്ന്ന നിലയിലെത്തുന്നത് (എങ്കിൽ). എല്ലാ ഫംഗ്‌ഷനുകളും അത്ര ലളിതമല്ല - മിക്ക കേസുകളിലും, ഒരു പ്രത്യേക ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫിനെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് പൊതുവെ ഒരു ചെറിയ ധാരണയുമില്ല.

കൂടുതൽ അർത്ഥവത്തായ ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്ക് നീങ്ങാനും പരിഗണിക്കാനുമുള്ള സമയമാണിത് ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനതയുടെയും തീവ്രതയുടെയും ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിനുള്ള അൽഗോരിതം:

ഉദാഹരണം 1

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ കൂടുന്ന/കുറയുന്ന ഇടവേളകളും തീവ്രതയും കണ്ടെത്തുക

പരിഹാരം:

1) കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ആദ്യപടി പ്രവർത്തന വ്യാപ്തി, കൂടാതെ ബ്രേക്ക്‌പോയിന്റുകൾ (അവ നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) ശ്രദ്ധിക്കുക. IN ഈ കാര്യംമുഴുവൻ യഥാർത്ഥ ലൈനിലും പ്രവർത്തനം തുടർച്ചയായി നടക്കുന്നു, ഈ പ്രവർത്തനം കുറച്ച് ഔപചാരികമാണ്. എന്നാൽ ചില സന്ദർഭങ്ങളിൽ, ഗുരുതരമായ വികാരങ്ങൾ ഇവിടെ ജ്വലിക്കുന്നു, അതിനാൽ നമുക്ക് ഖണ്ഡിക അവഗണിക്കാതെ പരിഗണിക്കാം.

2) അൽഗോരിതത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ പോയിന്റ് കാരണമാണ്

ഒരു തീവ്രതയ്ക്ക് ആവശ്യമായ വ്യവസ്ഥ:

പോയിന്റിൽ ഒരു തീവ്രത ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒന്നുകിൽ മൂല്യം നിലവിലില്ല.

അവസാനം ആശയക്കുഴപ്പത്തിലാണോ? ഫംഗ്‌ഷന്റെ എക്‌സ്‌ട്രീം "മോഡ്യൂളോ x" .

വ്യവസ്ഥ ആവശ്യമാണ്, പക്ഷേ പോരാ, സംഭാഷണം എല്ലായ്പ്പോഴും ശരിയല്ല. അതിനാൽ, പോയിന്റിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ പരമാവധി അല്ലെങ്കിൽ കുറഞ്ഞതിലെത്തുന്നത് തുല്യതയിൽ നിന്ന് ഇതുവരെ പിന്തുടരുന്നില്ല. ഒരു ക്ലാസിക് ഉദാഹരണം ഇതിനകം മുകളിൽ പ്രകാശിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട് - ഇതൊരു ക്യൂബിക് പരവലയവും അതിന്റെ നിർണായക പോയിന്റുമാണ്.

എന്നാൽ അങ്ങനെയാകട്ടെ, ആവശ്യമായ അവസ്ഥഎക്സ്ട്രീം സംശയാസ്പദമായ പോയിന്റുകൾ കണ്ടെത്തേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യകത നിർദ്ദേശിക്കുന്നു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി സമവാക്യം പരിഹരിക്കുക:

ആദ്യ ലേഖനത്തിന്റെ തുടക്കത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫുകളെ കുറിച്ച്ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് ഒരു പരവലയം എങ്ങനെ വേഗത്തിൽ നിർമ്മിക്കാമെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളോട് പറഞ്ഞു : "... ഞങ്ങൾ ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് എടുത്ത് പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കുന്നു: ... അതിനാൽ, നമ്മുടെ സമവാക്യത്തിന്റെ പരിഹാരം: - ഈ ഘട്ടത്തിലാണ് പരവലയത്തിന്റെ മുകൾഭാഗം സ്ഥിതിചെയ്യുന്നത് ...". ഇപ്പോൾ, പരവലയത്തിന്റെ മുകൾഭാഗം കൃത്യമായി ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഉള്ളത് എന്തുകൊണ്ടാണെന്ന് എല്ലാവർക്കും മനസ്സിലായെന്ന് ഞാൻ കരുതുന്നു =) പൊതുവേ, നമ്മൾ ഇവിടെ സമാനമായ ഒരു ഉദാഹരണം ഉപയോഗിച്ച് തുടങ്ങണം, പക്ഷേ ഇത് വളരെ ലളിതമാണ് (ഒരു ചായകുടിക്ക് പോലും). കൂടാതെ, പാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ ഒരു അനലോഗ് ഉണ്ട് ഡെറിവേറ്റീവ് ഫംഗ്ഷൻ. അതിനാൽ നമുക്ക് ലെവൽ ഉയർത്താം:

ഉദാഹരണം 2

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനത ഇടവേളകളും തീവ്രതയും കണ്ടെത്തുക

ഇത് ഒരു ഉദാഹരണമാണ് സ്വതന്ത്ര തീരുമാനം. സമ്പൂർണ്ണ പരിഹാരംപാഠത്തിന്റെ അവസാനത്തിൽ ടാസ്ക്കിന്റെ ഏകദേശ ഫിനിഷിംഗ് സാമ്പിളും.

ഫ്രാക്ഷണൽ യുക്തിസഹമായ പ്രവർത്തനങ്ങളുള്ള മീറ്റിംഗിന്റെ ദീർഘകാലമായി കാത്തിരുന്ന നിമിഷം വന്നിരിക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 3

ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യുക

ഒരേ ടാസ്‌ക് എത്ര വ്യത്യസ്തമായി പുനഃക്രമീകരിക്കാൻ കഴിയുമെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക.

പരിഹാരം:

1) ഫംഗ്‌ഷന് പോയിന്റുകളിൽ അനന്തമായ ഇടവേളകൾ സംഭവിക്കുന്നു.

2) നിർണായക പോയിന്റുകൾ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. നമുക്ക് ആദ്യത്തെ ഡെറിവേറ്റീവ് കണ്ടെത്തി അതിനെ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമാക്കാം:

നമുക്ക് സമവാക്യം പരിഹരിക്കാം. ഒരു അംശം പൂജ്യമാകുമ്പോൾ അത് പൂജ്യമാണ്:

അങ്ങനെ, നമുക്ക് മൂന്ന് നിർണായക പോയിന്റുകൾ ലഭിക്കും:

3) നമ്പർ ലൈനിൽ കണ്ടെത്തിയ എല്ലാ പോയിന്റുകളും മാറ്റിവെക്കുക ഇടവേള രീതിഡെറിവേറ്റീവിന്റെ അടയാളങ്ങൾ നിർവചിക്കുക:

നിങ്ങൾ ഇടവേളയുടെ ചില പോയിന്റുകൾ എടുക്കേണ്ടതുണ്ടെന്ന് ഞാൻ നിങ്ങളെ ഓർമ്മിപ്പിക്കുന്നു, അതിലെ ഡെറിവേറ്റീവിന്റെ മൂല്യം കണക്കാക്കുക അതിന്റെ അടയാളം നിർണ്ണയിക്കുക. കണക്കാക്കാൻ പോലും ഇത് കൂടുതൽ ലാഭകരമാണ്, പക്ഷേ വാക്കാലുള്ള "കണക്കിന്". ഉദാഹരണത്തിന്, ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന ഒരു പോയിന്റ് എടുത്ത് പകരം വയ്ക്കൽ നടത്തുക: .

രണ്ട് "പ്ലസുകളും" ഒരു "മൈനസും" ഒരു "മൈനസ്" നൽകുന്നു, അതിനാൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് മുഴുവൻ ഇടവേളയിലും നെഗറ്റീവ് ആണ്.

നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നതുപോലെ, ഓരോ ആറ് ഇടവേളകളിലും പ്രവർത്തനം നടത്തണം. വഴിയിൽ, ന്യൂമറേറ്റർ മൾട്ടിപ്ലയറും ഡിനോമിനേറ്ററും ഏത് ഇടവേളയുടെയും ഏത് പോയിന്റിനും കർശനമായി പോസിറ്റീവ് ആണെന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക, ഇത് ചുമതലയെ വളരെയധികം ലളിതമാക്കുന്നു.

അതിനാൽ, ഡെറിവേറ്റീവ് ഞങ്ങളോട് പറഞ്ഞു, ഫംഗ്ഷൻ സ്വയം വർദ്ധിക്കുന്നു കൂടാതെ കുറയുന്നു. യൂണിയൻ ഐക്കൺ ഉപയോഗിച്ച് ഒരേ തരത്തിലുള്ള ഇടവേളകൾ ഉറപ്പിക്കുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഈ ഘട്ടത്തിൽ, പ്രവർത്തനം അതിന്റെ പരമാവധിയിലെത്തുന്നു:
ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷൻ അതിന്റെ ഏറ്റവും കുറഞ്ഞതിലെത്തുന്നു:

എന്തുകൊണ്ടാണ് നിങ്ങൾക്ക് രണ്ടാമത്തെ മൂല്യം വീണ്ടും കണക്കാക്കാൻ കഴിയാത്തതെന്ന് ചിന്തിക്കുക ;-)

ഒരു പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മാറ്റില്ല, അതിനാൽ ഫംഗ്‌ഷന് അവിടെ എക്‌സ്‌ട്രീം ഇല്ല - അത് കുറയുകയും കുറയുകയും ചെയ്തു.

! നമുക്ക് ആവർത്തിക്കാം പ്രധാനപ്പെട്ട പോയിന്റ് : പോയിന്റുകൾ നിർണായകമായി കണക്കാക്കില്ല - അവയ്ക്ക് ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ട് നിർണയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല. അതനുസരിച്ച്, ഇവിടെ അങ്ങേയറ്റം തത്വത്തിൽ പാടില്ല(ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മാറിയാലും).

ഉത്തരം: പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരമാവധി എത്തിയ ഘട്ടത്തിൽ കുറയുന്നു: , ഒപ്പം പോയിന്റിൽ - ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്: .

മോണോടോണിസിറ്റി ഇടവേളകളെക്കുറിച്ചും തീവ്രതയെക്കുറിച്ചും ഉള്ള അറിവ്, ഒപ്പം സ്ഥാപിതമായി രോഗലക്ഷണങ്ങൾവളരെ നല്ല ആശയം നൽകുന്നു രൂപംഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫ്. ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഗ്രാഫിന് രണ്ട് ലംബമായ അസിംപ്റ്റോട്ടുകളും ഒരു ചരിഞ്ഞ അസിംപ്റ്റോട്ടും ഉണ്ടെന്ന് ഒരു ശരാശരി വ്യക്തിക്ക് വാക്കാൽ നിർണ്ണയിക്കാൻ കഴിയും. ഇതാ നമ്മുടെ നായകൻ:

ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫുമായി പഠന ഫലങ്ങൾ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെടുത്താൻ വീണ്ടും ശ്രമിക്കുക.
നിർണായക ഘട്ടത്തിൽ തീവ്രതയില്ല, പക്ഷേ ഉണ്ട് കർവ് ഇൻഫ്ലക്ഷൻ(ചട്ടം പോലെ, സമാനമായ കേസുകളിൽ ഇത് സംഭവിക്കുന്നു).

ഉദാഹരണം 4

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ തീവ്രത കണ്ടെത്തുക

ഉദാഹരണം 5

ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏകതാനത ഇടവേളകൾ, മാക്‌സിമ, മിനിമ എന്നിവ കണ്ടെത്തുക

... ഒരുതരം എക്സ്-ഇൻ-എ-ക്യൂബ് ഹോളിഡേ ഇന്ന് മാറുന്നു ....
സോ, ഗാലറിയിൽ ആരാണ് ഇതിന് കുടിക്കാൻ വാഗ്ദാനം ചെയ്തത്? =)

ഓരോ ടാസ്ക്കിനും അതിന്റേതായ കാര്യമായ സൂക്ഷ്മതകളും സാങ്കേതിക സൂക്ഷ്മതകളും ഉണ്ട്, അവ പാഠത്തിന്റെ അവസാനം അഭിപ്രായപ്പെടുന്നു.

ഫംഗ്ഷൻ y=f(x)വിളിച്ചു വർദ്ധിച്ചുവരുന്നഇടവേളയിൽ (എ;ബി), എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ x 1ഒപ്പം x2 x 1 , ന്യായമായ f(x1) ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തനങ്ങൾ y=a x, y=ലോഗ് എ xചെയ്തത് a>1, y=arctg x, y=arcsin x,(nОN) അവരുടെ നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും വർദ്ധനവ്.

വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഗ്രാഫ്

ഫംഗ്ഷൻ y = f(x)വിളിച്ചു ക്ഷയിക്കുന്നുഇടവേളയിൽ (a;b), എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കിൽ x 1ഒപ്പം x2ഈ ഇടവേളയിൽ നിന്ന് x 1 , ന്യായമായ f(x1)>f(x2).ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തനങ്ങൾ y=a x, y=ലോഗ് എ x 0-ന്<എ<1, y=arcctg x, y=arccos x അതിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും കുറയുന്നു.

ഫംഗ്‌ഷൻ ഗ്രാഫ് കുറയുന്നു

ഫംഗ്‌ഷനുകൾ കുറയുന്നതും കൂട്ടുന്നതും ചേർന്ന് ഒരു ക്ലാസ് ഉണ്ടാക്കുന്നു ഏകതാനമായപ്രവർത്തനങ്ങൾ. മോണോടോൺ ഫംഗ്‌ഷനുകൾക്ക് നിരവധി പ്രത്യേക ഗുണങ്ങളുണ്ട്.

ഫംഗ്ഷൻ f(x),ഇടവേളയിലെ ഏകത [ a,b], ഈ വിഭാഗത്തിൽ പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു;

വർദ്ധിച്ചുവരുന്ന (കുറയുന്ന) ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ആകെത്തുക വർദ്ധിക്കുന്ന (കുറയുന്ന) പ്രവർത്തനമാണ്;

ഫംഗ്ഷൻ ആണെങ്കിൽ എഫ്കൂടുന്നു (കുറയുന്നു) ഒപ്പം എൻ- ഒരു ഒറ്റ സംഖ്യ, പിന്നെ അത് വർദ്ധിക്കുന്നു (കുറയുന്നു);

· എങ്കിൽ f"(x)>0എല്ലാവർക്കും xn(a,b),പിന്നെ ചടങ്ങ് y=f(x)ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു (എ,ബി);

· എങ്കിൽ f"(x)<0 എല്ലാവർക്കും xn(a,b),പിന്നെ ചടങ്ങ് y=f(x)ഇടവേളയിൽ കുറയുന്നു (എ,ബി);

· എങ്കിൽ f(x) -സെറ്റിൽ തുടർച്ചയായതും ഏകതാനവുമായ പ്രവർത്തനം എക്സ്, പിന്നെ സമവാക്യം f(x)=C, എവിടെ കൂടെ- ഈ സ്ഥിരമായ, തുടരാം എക്സ്ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരമില്ല;

സമവാക്യത്തിന്റെ ഡൊമെയ്‌നിൽ ആണെങ്കിൽ f(x)=g(x)പ്രവർത്തനം f(x)വർദ്ധിക്കുന്നു, പ്രവർത്തനവും g(x)കുറയുന്നു, അപ്പോൾ സമവാക്യത്തിന് ഒന്നിൽ കൂടുതൽ പരിഹാരങ്ങൾ ഉണ്ടാകരുത്.

സിദ്ധാന്തം. (ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഏകതാനതയ്ക്ക് മതിയായ വ്യവസ്ഥ). ഇടവേളയിൽ തുടർച്ചയായി ഉണ്ടെങ്കിൽ [ എ, ബി] പ്രവർത്തനം y = f(എക്സ്) ഇടവേളയുടെ ഓരോ പോയിന്റിലും ( എ, ബി) ഒരു പോസിറ്റീവ് (നെഗറ്റീവ്) ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട്, തുടർന്ന് ഈ ഫംഗ്‌ഷൻ സെഗ്‌മെന്റിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു (കുറയുന്നു) [ എ, ബി].

തെളിവ്. എല്ലാത്തിനും >0 അനുവദിക്കുക xo(a,b). രണ്ട് അനിയന്ത്രിതമായ മൂല്യങ്ങൾ x 2 പരിഗണിക്കുക > x 1,ഉൾപ്പെടുന്ന [ എ, ബി]. ലഗ്രാഞ്ച് ഫോർമുല അനുസരിച്ച് x 1<с < х 2 . (കൂടെ) > 0 ഒപ്പം x 2 - x 1 > 0, അതിനാൽ > 0, എവിടെ നിന്ന് > , അതായത്, f(x) ഫംഗ്ഷൻ ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു [ എ, ബി]. സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗവും സമാനമായി തെളിയിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

സിദ്ധാന്തം 3. (ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് ആവശ്യമായ മാനദണ്ഡം). ഒരു പോയിന്റിൽ ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ ഡിഫറൻഷ്യബിൾ ആണെങ്കിൽ c ചെയ്തത്=എഫ്(എക്സ്) ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ട്, അപ്പോൾ .

തെളിവ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തനം അനുവദിക്കുക ചെയ്തത്= എഫ്(എക്സ്) സിയിൽ പരമാവധി ഉണ്ട്. ഇതിനർത്ഥം, എല്ലാ പോയിന്റുകൾക്കുമായി ഒരു പഞ്ചർ അയൽപക്കമുണ്ട് c എന്ന പോയിന്റ് എന്നാണ് xഈ അയൽപക്കം എഫ്(x) < f (സി), അതാണ് എഫ്(സി) ഈ സമീപസ്ഥലത്തെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യമാണ്. പിന്നെ ഫെർമാറ്റിന്റെ സിദ്ധാന്തം വഴി.

സി പോയിന്റിലെ മിനിമം കേസ് സമാനമായി തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

അഭിപ്രായം. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന് അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് നിലവിലില്ലാത്ത ഒരു പോയിന്റിൽ ഒരു എക്സ്ട്രീം ഉണ്ടായിരിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, ഫംഗ്‌ഷന് x എന്ന പോയിന്റിൽ മിനിമം ഉണ്ട് = 0 നിലവിലില്ലെങ്കിലും. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് പൂജ്യമോ നിലവിലില്ലാത്തതോ ആയ പോയിന്റുകളെ ഫംഗ്‌ഷന്റെ നിർണായക പോയിന്റുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, എല്ലാ നിർണായക പോയിന്റുകളിലും ഫംഗ്‌ഷന് ഒരു തീവ്രതയില്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രവർത്തനം y \u003d x 3അതിന്റെ ഡെറിവേറ്റീവ് ആണെങ്കിലും, തീവ്രതയില്ല =0.

സിദ്ധാന്തം 4. (ഒരു തീവ്രതയുടെ നിലനിൽപ്പിന് മതിയായ മാനദണ്ഡം). എങ്കിൽ തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനം y = f(x) നിർണ്ണായക പോയിന്റ് C അടങ്ങിയ ചില ഇടവേളകളിലെ എല്ലാ പോയിന്റുകളിലും ഒരു ഡെറിവേറ്റീവ് ഉണ്ട് (ഈ പോയിന്റ് തന്നെ ഒഴികെ), കൂടാതെ ഡെറിവേറ്റീവ്, നിർണ്ണായക പോയിന്റ് C വഴി ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് പോകുമ്പോൾ, പ്ലസിൽ നിന്ന് ചിഹ്നം മാറ്റുന്നു മൈനസ്, അപ്പോൾ സി പോയിന്റിലെ ഫംഗ്‌ഷന് പരമാവധി ഉണ്ട്, ചിഹ്നം മൈനസിൽ നിന്ന് പ്ലസ് ആയി മാറുമ്പോൾ - കുറഞ്ഞത്.

തെളിവ്. c ഒരു നിർണ്ണായക പോയിന്റായിരിക്കട്ടെ, ഉദാഹരണത്തിന്, ആർഗ്യുമെന്റ് പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ, c ചിഹ്നം പ്ലസ് മുതൽ മൈനസിലേക്ക് മാറ്റാം. ഇതിനർത്ഥം ചില ഇടവേളകളിൽ എന്നാണ് (സി-ഇ; സി)പ്രവർത്തനം വർദ്ധിക്കുന്നു, ഇടവേളയിൽ (സി; സി+ഇ)- കുറയുന്നു (കൂടെ ഇ>0). അതിനാൽ, c എന്ന ബിന്ദുവിൽ, പ്രവർത്തനത്തിന് പരമാവധി ഉണ്ട്. മിനിമം കേസ് സമാനമായി തെളിയിക്കപ്പെടുന്നു.

അഭിപ്രായം. ആർഗ്യുമെന്റ് ഒരു നിർണായക പോയിന്റിലൂടെ കടന്നുപോകുമ്പോൾ ഡെറിവേറ്റീവ് ചിഹ്നം മാറുന്നില്ലെങ്കിൽ, ഈ ഘട്ടത്തിൽ ഫംഗ്ഷന് ഒരു എക്സ്ട്രീം ഇല്ല.

നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ പരിധിയുടെയും തുടർച്ചയുടെയും നിർവചനങ്ങൾ പ്രായോഗികമായി ഒരു വേരിയബിളിന്റെ ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ അനുബന്ധ നിർവചനങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നതിനാൽ, നിരവധി വേരിയബിളുകളുടെ പ്രവർത്തനങ്ങൾക്കായി പരിധികളുടെയും തുടർച്ചയായ പ്രവർത്തനങ്ങളുടെയും എല്ലാ ഗുണങ്ങളും സംരക്ഷിക്കപ്പെടുന്നു.

©2015-2019 സൈറ്റ്
എല്ലാ അവകാശങ്ങളും അവയുടെ രചയിതാക്കൾക്കുള്ളതാണ്. ഈ സൈറ്റ് കർത്തൃത്വം അവകാശപ്പെടുന്നില്ല, എന്നാൽ നൽകുന്നു സ്വതന്ത്ര ഉപയോഗം.
പേജ് സൃഷ്‌ടിച്ച തീയതി: 2016-02-12

സംഖ്യാ സെറ്റ് എക്സ്എണ്ണുന്നു സമമിതിപൂജ്യത്തിന് ആപേക്ഷികം, എന്തെങ്കിലും ആണെങ്കിൽ xЄ എക്സ്അർത്ഥം - എക്സ്സെറ്റിലും പെടുന്നു എക്സ്.

ഫംഗ്ഷൻ വൈ = എഫ്(എക്സ്എക്സ്, എണ്ണുന്നു പോലും എക്സ് xЄ എക്സ്, എഫ്(എക്സ്) = എഫ്(-എക്സ്).

ചെയ്തത് പ്രവർത്തനം പോലുംഗ്രാഫ് y-അക്ഷത്തിന് സമമിതിയാണ്.

ഫംഗ്ഷൻ വൈ = എഫ്(എക്സ്), അത് സെറ്റിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു എക്സ്, എണ്ണുന്നു വിചിത്രമായ, നിർവഹിച്ചാൽ ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ: ഒരു സെറ്റ് എക്സ്പൂജ്യത്തെ കുറിച്ച് സമമിതി; b) ഏതിനും xЄ എക്സ്, എഫ്(എക്സ്) = -എഫ്(-എക്സ്).

ഒരു വിചിത്രമായ പ്രവർത്തനത്തിന്, ഗ്രാഫ് ഉത്ഭവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് സമമിതിയാണ്.

ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്തത് = എഫ്(x), xЄ എക്സ്, വിളിച്ചു ആനുകാലികംഓൺ എക്സ്ഒരു നമ്പർ ഉണ്ടെങ്കിൽ ടി (ടി ≠ 0) (കാലഘട്ടംപ്രവർത്തനങ്ങൾ) ഇനിപ്പറയുന്ന വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നു:

• എക്സ് - ടിഒപ്പം എക്സ് + ടിപലരിൽ നിന്നും എക്സ്ആർക്കും എക്സ്Є എക്സ്;
• ആർക്കും എക്സ്Є എക്സ്, എഫ്(എക്സ് + ടി) = എഫ്(എക്സ് - ടി) = എഫ്(എക്സ്).

എപ്പോൾ സാഹചര്യത്തിൽ ടിഫംഗ്‌ഷന്റെ കാലയളവാണ്, പിന്നെ ഫോമിന്റെ ഏത് സംഖ്യയും എം.ടി, എവിടെ എംЄ Z, എം≠ 0, ഇതും ഈ ഫംഗ്‌ഷന്റെ കാലഘട്ടമാണ്. തന്നിരിക്കുന്ന ഫംഗ്‌ഷന്റെ പോസിറ്റീവ് കാലയളവുകളിൽ ഏറ്റവും ചെറുത് (അത് നിലവിലുണ്ടെങ്കിൽ) അതിന്റെ പ്രധാന കാലയളവ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

എപ്പോൾ സാഹചര്യത്തിൽ ടി- ഫംഗ്‌ഷന്റെ പ്രധാന കാലയളവ്, തുടർന്ന് അതിന്റെ ഗ്രാഫ് നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ദൈർഘ്യ നിർവചന ഏരിയയുടെ ഏതെങ്കിലും ഇടവേളകളിൽ നിങ്ങൾക്ക് ഗ്രാഫിന്റെ ഒരു ഭാഗം നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയും ടി, തുടർന്ന് O അക്ഷത്തിൽ ഗ്രാഫിന്റെ ഈ വിഭാഗത്തിന്റെ സമാന്തര വിവർത്തനം നടത്തുക എക്സ്± വരെ ടി, ± 2 ടി, ....

ഫംഗ്ഷൻ വൈ = എഫ്(എക്സ്), താഴെ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നുസെറ്റിൽ എക്സ് എ, ഏത് എക്സ്Є എക്സ്, എ ≤ എഫ്(എക്സ്). സെറ്റിൽ താഴെ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് എക്സ്, പൂർണ്ണമായും വരി മുകളിൽ കിടക്കുന്നു ചെയ്തത് = എ(ഇതൊരു തിരശ്ചീന രേഖയാണ്).

ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്തത് = എഫ്(x), മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നുസെറ്റിൽ എക്സ്(അതേ സമയം, ഈ സെറ്റിൽ അത് നിർവചിച്ചിരിക്കണം), ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ IN, ഏത് എക്സ്Є എക്സ്, എഫ്(എക്സ്) ≤ IN. ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് സെറ്റ് X-ൽ മുകളിൽ നിന്ന് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നത് ലൈനിന് താഴെയാണ് ചെയ്തത് = IN(ഇതൊരു തിരശ്ചീന രേഖയാണ്).

പ്രവർത്തനം പരിഗണിക്കുന്നു പരിമിതപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നുസെറ്റിൽ എക്സ്(അതേ സമയം, അത് ഈ സെറ്റിൽ നിർവചിച്ചിരിക്കണം) മുകളിൽ നിന്നും താഴെ നിന്നും ഈ സെറ്റിൽ അത് പരിമിതപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതായത്, അത്തരം സംഖ്യകൾ ഉണ്ട് എഒപ്പം IN, ഏത് എക്സ്Є എക്സ്അസമത്വങ്ങൾ എ ≤ എഫ്(x) ≤ ബി. ഒരു സെറ്റിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്ന ഒരു ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് എക്സ്, പൂർണ്ണമായും നേർരേഖകൾക്കിടയിൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു ചെയ്തത് = എഒപ്പം ചെയ്തത് = IN(ഇവ തിരശ്ചീന വരകളാണ്).

ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്തത് = എഫ് (എക്സ്) സെറ്റിൽ പരിധിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു എക്സ്(അതേ സമയം, ഈ സെറ്റിൽ അത് നിർവചിച്ചിരിക്കണം), ഒരു സംഖ്യ ഉണ്ടെങ്കിൽ കൂടെ> 0, ഏത് xЄ എക്സ്, │എഫ്(എക്സ്)│≤ കൂടെ.

ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്തത് = എഫ്(എക്സ്), എക്സ്Є എക്സ്, വിളിച്ചു വർദ്ധിക്കുന്നത് (കുറയാത്തത്)ഒരു ഉപഗണത്തിൽ എംകൂടെ എക്സ്ഓരോന്നിനും എപ്പോൾ എക്സ് 1 ഒപ്പം എക്സ് 2 ൽ എംഅത്തരം എക്സ് 1 < എക്സ് 2, ന്യായമായ എഫ്(എക്സ് 1) < എഫ്(എക്സ് 2) (എഫ്(എക്സ് 1) ≤ എഫ്(എക്സ് 2)). അല്ലെങ്കിൽ ഫംഗ്ഷൻ y എന്ന് വിളിക്കുന്നു വർദ്ധിച്ചുവരുന്നസെറ്റിൽ TO, ഈ സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷന്റെ വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ.

ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്തത് = എഫ്(എക്സ്), എക്സ്ЄX എന്ന് വിളിക്കുന്നു കുറയുന്നു (വർദ്ധിക്കാത്തത്)ഒരു ഉപഗണത്തിൽ എംകൂടെ എക്സ്ഓരോന്നിനും എപ്പോൾ എക്സ് 1 ഒപ്പം എക്സ് 2 ൽ എംഅത്തരം എക്സ് 1 < എക്സ് 2, ന്യായമായ എഫ്(എക്സ് 1) > എഫ്(എക്സ് 2) (എഫ്(എക്സ് 1) ≥ എഫ്(എക്സ് 2)). അല്ലെങ്കിൽ പ്രവർത്തനം ചെയ്തത്സെറ്റിൽ കുറയുന്നത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു TO, ഈ സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷന്റെ ചെറിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നുവെങ്കിൽ.

ഫംഗ്ഷൻ ചെയ്തത് = എഫ്(x), എക്സ്Є എക്സ്, വിളിച്ചു ഏകതാനമായഒരു ഉപഗണത്തിൽ എംകൂടെ എക്സ്, അത് കുറയുകയോ (കൂടുതൽ അല്ലാത്തത്) അല്ലെങ്കിൽ കൂടുകയോ (കുറയാത്തത്) ആണെങ്കിൽ എം.

ഫംഗ്ഷൻ എങ്കിൽ ചെയ്തത് = എഫ്(എക്സ്), എക്സ്Є എക്സ്, ഒരു ഉപഗണത്തിൽ കുറയുകയോ വർദ്ധിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു എംകൂടെ എക്സ്, അപ്പോൾ അത്തരമൊരു ഫംഗ്ഷൻ വിളിക്കുന്നു കർശനമായി ഏകതാനമായസെറ്റിൽ എം.

നമ്പർ എംവിളിച്ചു പ്രവർത്തനത്തിന്റെ ഏറ്റവും വലിയ മൂല്യംനിങ്ങൾ സെറ്റിൽ TO, ഈ സംഖ്യ x ന്റെ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിൽ ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യമാണെങ്കിൽ 0 വാദങ്ങളുടെ കൂട്ടംTO, കൂടാതെ കെ സെറ്റിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്ക്, y ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യങ്ങൾ സംഖ്യയേക്കാൾ വലുതല്ലഎം.

നമ്പർ എംവിളിച്ചു ഏറ്റവും ചെറിയ മൂല്യം സെറ്റിൽ y ഫംഗ്‌ഷനുകൾ TOഈ സംഖ്യ ഒരു നിശ്ചിത മൂല്യത്തിലുള്ള ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യമാണെങ്കിൽ എക്സ്സെറ്റിൽ നിന്ന് 0 ആർഗ്യുമെന്റുകൾ TO, കൂടാതെ ഗണത്തിൽ നിന്നുള്ള ആർഗ്യുമെന്റ് x ന്റെ മറ്റ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി TO y ഫംഗ്‌ഷന്റെ മൂല്യം ഒരു സംഖ്യയിൽ കുറവല്ല എം.

പ്രവർത്തനത്തിന്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ , അതിന്റെ പഠനവും ഗവേഷണവും ആരംഭിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്, അതിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെയും പ്രാധാന്യത്തിന്റെയും മേഖലയാണ്. ഗ്രാഫുകൾ എങ്ങനെ പ്രദർശിപ്പിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ ഓർക്കണം പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങൾ. അതിനുശേഷം മാത്രമേ നിങ്ങൾക്ക് കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ഗ്രാഫുകൾ നിർമ്മിക്കാൻ കഴിയൂ. "പ്രവർത്തനങ്ങൾ" എന്ന വിഷയത്തിന് സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിലും മറ്റ് വിജ്ഞാന മേഖലകളിലും വിപുലമായ പ്രയോഗങ്ങളുണ്ട്. ഗണിതശാസ്ത്ര കോഴ്സിലുടനീളം പ്രവർത്തനങ്ങൾ പഠിക്കുകയും തുടർന്നും പഠിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുഉന്നത വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനങ്ങൾ . അവിടെ, ഫംഗ്ഷനുകൾ ഒന്നും രണ്ടും ഡെറിവേറ്റീവുകൾ ഉപയോഗിച്ച് പഠിക്കുന്നു.

ഏഴാം ക്ലാസ്സിലെ ആൾജിബ്ര കോഴ്സിലാണ് ഞങ്ങൾ ആദ്യമായി കണ്ടുമുട്ടുന്നത്. ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് നോക്കുമ്പോൾ, ഞങ്ങൾ പ്രസക്തമായ വിവരങ്ങൾ നീക്കംചെയ്തു: ഗ്രാഫിനൊപ്പം ഇടത്തുനിന്ന് വലത്തോട്ട് നീങ്ങുകയാണെങ്കിൽ, ഞങ്ങൾ ഒരേ സമയം താഴെ നിന്ന് മുകളിലേക്ക് നീങ്ങുന്നു (ഒരു കുന്നിൽ കയറുന്നത് പോലെ), തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നതായി പ്രഖ്യാപിച്ചു. (ചിത്രം 124); ഞങ്ങൾ മുകളിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് നീങ്ങുകയാണെങ്കിൽ (കുന്നിൽ നിന്ന് താഴേക്ക് പോകുക), തുടർന്ന് പ്രവർത്തനം കുറയുന്നതായി ഞങ്ങൾ പ്രഖ്യാപിച്ചു (ചിത്രം 125).

എന്നിരുന്നാലും, ഒരു ഫംഗ്ഷന്റെ ഗുണവിശേഷതകൾ പഠിക്കുന്നതിനുള്ള ഈ രീതി ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് അത്ര ഇഷ്ടമല്ല. ആശയങ്ങളുടെ നിർവചനങ്ങൾ ഒരു ഡ്രോയിംഗിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതായിരിക്കരുത് എന്ന് അവർ വിശ്വസിക്കുന്നു - ഒരു ഡ്രോയിംഗ് അതിന്റെ ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു സവിശേഷതയോ മാത്രമേ ചിത്രീകരിക്കാവൂ. ചാർട്ട്. ഫംഗ്‌ഷനുകൾ വർദ്ധിപ്പിക്കുകയും കുറയുകയും ചെയ്യുന്ന ആശയങ്ങളുടെ കർശനമായ നിർവചനങ്ങൾ നമുക്ക് നൽകാം.

നിർവ്വചനം 1. y \u003d f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ, അസമത്വത്തിൽ നിന്നാണെങ്കിൽ, X ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

നിർവ്വചനം 2. y \u003d f (x) എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെ, X 1 എന്ന അസമത്വത്തിൽ നിന്നാണെങ്കിൽ, X ഇടവേളയിൽ കുറയുന്നത് എന്ന് വിളിക്കുന്നു.< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует അസമത്വം f(x1) > f(x2).

പ്രായോഗികമായി, ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലേഷനുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്:

ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്ഷന്റെ വലിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ ഫംഗ്ഷൻ വർദ്ധിക്കുന്നു;
ആർഗ്യുമെന്റിന്റെ വലിയ മൂല്യം ഫംഗ്‌ഷന്റെ ചെറിയ മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നെങ്കിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുന്നു.

ഈ നിർവചനങ്ങളും § 33-ൽ സ്ഥാപിച്ചിട്ടുള്ള സംഖ്യാ അസമത്വങ്ങളുടെ സവിശേഷതകളും ഉപയോഗിച്ച്, മുമ്പ് പഠിച്ച ഫംഗ്ഷനുകളുടെ വർദ്ധനവ് അല്ലെങ്കിൽ കുറവ് സംബന്ധിച്ച നിഗമനങ്ങൾ നമുക്ക് സ്ഥിരീകരിക്കാൻ കഴിയും.

1. ലീനിയർ ഫംഗ്ഷൻ y = kx + m

k > 0 ആണെങ്കിൽ, ഫംഗ്ഷൻ മൊത്തത്തിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു (ചിത്രം 126); കെ എങ്കിൽ< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

തെളിവ്. f(x) = kx + m എന്ന് അനുവദിക്കുക. x 1 ആണെങ്കിൽ< х 2 и k >ഓ, അപ്പോൾ, സംഖ്യാ അസമത്വങ്ങളുടെ പ്രോപ്പർട്ടി 3 പ്രകാരം (§ 33 കാണുക), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

അതിനാൽ, അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. രേഖീയമായഫംഗ്ഷനുകൾ y = kx + m.

x 1 ആണെങ്കിൽ< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , പ്രോപ്പർട്ടി 2 അനുസരിച്ച്, kx 1 > kx 2 മുതൽ kx 1 + m > kx 2 + t.

അതിനാൽ, അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). ഇതിനർത്ഥം y \u003d f (x) ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്നു, അതായത്. രേഖീയ പ്രവർത്തനം y = kx + m.

ഒരു ഫംഗ്‌ഷൻ അതിന്റെ നിർവചനത്തിന്റെ മുഴുവൻ ഡൊമെയ്‌നിലും വർദ്ധിക്കുന്നു (കുറയുന്നു) എങ്കിൽ, ഇടവേള വ്യക്തമാക്കാതെ അതിനെ വർദ്ധിപ്പിക്കൽ (കുറയുന്നു) എന്ന് വിളിക്കാം. ഉദാഹരണത്തിന്, y \u003d 2x - 3 എന്ന ഫംഗ്‌ഷനെക്കുറിച്ച്, ഇത് മുഴുവൻ നമ്പർ ലൈനിലും വർദ്ധിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് പറയാം, പക്ഷേ നമുക്ക് ചുരുക്കത്തിൽ പറയാം: y \u003d 2x - 3 - വർദ്ധിക്കുന്നു
പ്രവർത്തനം.

2. ഫംഗ്ഷൻ y = x2

1. ബീമിലെ y \u003d x 2 ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക. x 1 പോലെയുള്ള രണ്ട് പോസിറ്റീവ് അല്ലാത്ത സംഖ്യകൾ x 1, x 2 എന്നിവ എടുക്കുക< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2 . സംഖ്യകൾ - x 1 ഉം - x 2 ഉം നോൺ-നെഗറ്റീവ് ആയതിനാൽ, അവസാന അസമത്വത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും വർഗ്ഗീകരിച്ചാൽ, നമുക്ക് ഒരേ അർത്ഥത്തിന്റെ അസമത്വം ലഭിക്കും (-x 1) 2 > (-x 2) 2, അതായത്. ഇതിനർത്ഥം f (x 1) > f (x 2) എന്നാണ്.

അതിനാൽ, അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

അതിനാൽ, y \u003d x 2 എന്ന ഫംഗ്ഷൻ ബീമിൽ കുറയുന്നു (- 00, 0] (ചിത്രം 128).

1. ഇടവേളയിൽ (0, + 00) ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക.
x1 അനുവദിക്കുക< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x2).

അതിനാൽ, അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x2). ഓപ്പൺ റേയിൽ (0, + 00) പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം (ചിത്രം 129).

2. ഇടവേളയിൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ പരിഗണിക്കുക (-oo, 0). x 1 അനുവദിക്കുക< х 2 , х 1 и х 2 - നെഗറ്റീവ് നമ്പറുകൾ. തുടർന്ന് - x 1 > - x 2, അവസാന അസമത്വത്തിന്റെ രണ്ട് ഭാഗങ്ങളും പോസിറ്റീവ് സംഖ്യകളാണ്, അതിനാൽ (§ 33-ൽ നിന്ന് ഉദാഹരണം 1-ൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ട അസമത്വം ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഉപയോഗിച്ചു). അപ്പോൾ നമുക്കുണ്ട്, എവിടെ നിന്ന് ലഭിക്കും.

അതിനാൽ, അസമത്വത്തിൽ നിന്ന് x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) അതായത്. ഓപ്പൺ ബീമിൽ പ്രവർത്തനം കുറയുന്നു (- 00 , 0)

സാധാരണയായി "വർദ്ധിക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ", "ഫംഗ്ഷൻ കുറയുന്നു" എന്നീ പദങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു പൊതുവായ പേര്മോണോടോണിക് ഫംഗ്‌ഷൻ, കൂടുന്നതിനും കുറയുന്നതിനുമുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനത്തെ ഏകതാനത്വത്തിനായുള്ള ഒരു ഫംഗ്‌ഷനെക്കുറിച്ചുള്ള പഠനം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

പരിഹാരം.

1) നമുക്ക് y \u003d 2x 2 ഫംഗ്ഷൻ പ്ലോട്ട് ചെയ്ത് ഈ പരാബോളയുടെ ശാഖ x-ൽ എടുക്കാം< 0 (рис. 130).

2) സെഗ്മെന്റിൽ അതിന്റെ ഭാഗം നിർമ്മിക്കുകയും തിരഞ്ഞെടുക്കുകയും ചെയ്യാം (ചിത്രം 131).

3) ഞങ്ങൾ ഒരു ഹൈപ്പർബോള നിർമ്മിക്കുകയും ഓപ്പൺ റേയിൽ (4, + 00) അതിന്റെ ഭാഗം തിരഞ്ഞെടുക്കുക (ചിത്രം 132).
4) മൂന്ന് "കഷണങ്ങളും" ഒരേ കോർഡിനേറ്റ് സിസ്റ്റത്തിൽ ചിത്രീകരിക്കും - ഇത് y \u003d f (x) ഫംഗ്ഷന്റെ ഗ്രാഫ് ആണ് (ചിത്രം 133).

y \u003d f (x) ഫംഗ്‌ഷന്റെ ഗ്രാഫ് വായിക്കാം.

1. ഫംഗ്ഷന്റെ വ്യാപ്തി മുഴുവൻ സംഖ്യാ രേഖയാണ്.

2. x \u003d 0-ന് y \u003d 0; x > 0-ന് y > 0.

3. റേയിൽ ഫംഗ്‌ഷൻ കുറയുന്നു (-oo, 0], സെഗ്‌മെന്റിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു, കിരണത്തിൽ കുറയുന്നു, സെഗ്‌മെന്റിൽ മുകളിലേക്ക് കുതിക്കുന്നു, കിരണത്തിൽ കുത്തനെ താഴേക്ക് കുതിക്കുന്നു)