അറിയപ്പെടുന്ന വ്യത്യാസമുള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള. ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ

മറ്റുള്ളവയെല്ലാം അവയുടെ സൈദ്ധാന്തിക അനലോഗുകളുടെ കണക്കുകളാണ്, അവ ഒരു സാമ്പിൾ അല്ലെങ്കിലും ഒരു പൊതു ജനവിഭാഗം ലഭ്യമാണെങ്കിൽ. പക്ഷേ, അയ്യോ, സാധാരണ ജനവിഭാഗം വളരെ ചെലവേറിയതും പലപ്പോഴും അപ്രാപ്യവുമാണ്.

ഇടവേള കണക്കാക്കൽ എന്ന ആശയം

ഏതൊരു സാമ്പിൾ എസ്റ്റിമേറ്റിനും കുറച്ച് വ്യാപനമുണ്ട്, കാരണം ഒരു പ്രത്യേക സാമ്പിളിലെ മൂല്യങ്ങളെ ആശ്രയിച്ച് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളാണ്. അതിനാൽ, കൂടുതൽ വിശ്വസനീയമായ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾക്കായി, പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് മാത്രമല്ല, ഉയർന്ന സാധ്യതയുള്ള ഇടവേളയും ഒരാൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. γ (ഗാമ) മൂല്യനിർണ്ണയ സൂചകത്തെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു θ (തീറ്റ).

ഔപചാരികമായി, ഇവ അത്തരത്തിലുള്ള രണ്ട് മൂല്യങ്ങളാണ് (സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ) T 1 (X)ഒപ്പം T 2 (X), എന്ത് ടി 1< T 2 , അതിനായി നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി തലത്തിൽ γ വ്യവസ്ഥ പാലിക്കുന്നു:

ചുരുക്കത്തിൽ, അത് സാധ്യതയുണ്ട് γ അല്ലെങ്കിൽ കൂടുതൽ യഥാർത്ഥ സൂചകം പോയിൻ്റുകൾക്കിടയിലാണ് T 1 (X)ഒപ്പം T 2 (X), താഴത്തെയും മുകളിലെയും അതിരുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള.

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള വ്യവസ്ഥകളിലൊന്ന് അതിൻ്റെ പരമാവധി ഇടുങ്ങിയതാണ്, അതായത്. അത് കഴിയുന്നത്ര ചെറുതായിരിക്കണം. ആഗ്രഹം തികച്ചും സ്വാഭാവികമാണ്, കാരണം ... ആവശ്യമുള്ള പരാമീറ്ററിൻ്റെ സ്ഥാനം കൂടുതൽ കൃത്യമായി പ്രാദേശികവൽക്കരിക്കാൻ ഗവേഷകൻ ശ്രമിക്കുന്നു.

വിശ്വാസ ഇടവേള വിതരണത്തിൻ്റെ പരമാവധി സാധ്യതകൾ ഉൾക്കൊള്ളണം. കൂടാതെ വിലയിരുത്തൽ തന്നെ കേന്ദ്രത്തിലായിരിക്കണം.

അതായത്, മുകളിലേക്കുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ (എസ്റ്റിമേറ്റിൽ നിന്നുള്ള യഥാർത്ഥ സൂചകത്തിൻ്റെ) സംഭാവ്യത വ്യതിചലനത്തിനുള്ള സാധ്യതയ്ക്ക് തുല്യമാണ്. അസമമായ വിതരണങ്ങൾക്ക് വലതുവശത്തുള്ള ഇടവേളയല്ല എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടതാണ് ഇടവേളയ്ക്ക് തുല്യമാണ്ഇടത്തെ.

മുകളിലെ ചിത്രം വ്യക്തമായി കാണിക്കുന്നത് ആത്മവിശ്വാസത്തിൻ്റെ സാധ്യത കൂടുന്തോറും ഇടവേള വിശാലമാണ് - നേരിട്ടുള്ള ബന്ധം.

അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകളുടെ ഇടവേള കണക്കാക്കൽ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു ചെറിയ ആമുഖമായിരുന്നു ഇത്. നമുക്ക് ആത്മവിശ്വാസ പരിധികൾ കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്ക് പോകാം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള

യഥാർത്ഥ ഡാറ്റ വിതരണം ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, ശരാശരി ഒരു സാധാരണ മൂല്യമായിരിക്കും. സാധാരണ മൂല്യങ്ങളുടെ രേഖീയ സംയോജനത്തിന് ഒരു സാധാരണ വിതരണവും ഉണ്ടെന്ന നിയമത്തിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു. അതിനാൽ, സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കാൻ നമുക്ക് സാധാരണ വിതരണ നിയമത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര ഉപകരണം ഉപയോഗിക്കാം.

എന്നിരുന്നാലും, ഇതിന് രണ്ട് പാരാമീറ്ററുകൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് - പ്രതീക്ഷയും വ്യതിയാനവും, അവ സാധാരണയായി അജ്ഞാതമാണ്. നിങ്ങൾക്ക് തീർച്ചയായും, പരാമീറ്ററുകൾക്ക് പകരം എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉപയോഗിക്കാം (ഗണിത ശരാശരിയും ), എന്നാൽ ശരാശരിയുടെ വിതരണം പൂർണ്ണമായും സാധാരണമായിരിക്കില്ല, അത് ചെറുതായി താഴേക്ക് പരന്നതായിരിക്കും. ഈ വസ്തുത അയർലണ്ടിൽ നിന്നുള്ള പൗരനായ വില്യം ഗോസെറ്റ് സമർത്ഥമായി ശ്രദ്ധിച്ചു, തൻ്റെ കണ്ടെത്തൽ 1908 മാർച്ചിലെ ബയോമെട്രിക്ക ജേണലിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. രഹസ്യാത്മകതയ്ക്കായി, ഗോസെറ്റ് സ്വയം വിദ്യാർത്ഥിയായി ഒപ്പുവച്ചു. സ്റ്റുഡൻ്റ് ടി-ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടത് ഇങ്ങനെയാണ്.

എന്നിരുന്നാലും, പിശക് വിശകലനത്തിൽ കെ. ഗൗസ് ഉപയോഗിച്ച ഡാറ്റയുടെ സാധാരണ വിതരണം ജ്യോതിശാസ്ത്ര നിരീക്ഷണങ്ങൾ, ഭൗമിക ജീവിതത്തിൽ വളരെ അപൂർവമാണ്, സ്ഥാപിക്കാൻ വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടാണ് (ഉയർന്ന കൃത്യതയ്ക്കായി ഏകദേശം 2 ആയിരം നിരീക്ഷണങ്ങൾ ആവശ്യമാണ്). അതിനാൽ, നോർമാലിറ്റിയുടെ അനുമാനം നിരസിക്കുകയും യഥാർത്ഥ ഡാറ്റയുടെ വിതരണത്തെ ആശ്രയിക്കാത്ത രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുകയും ചെയ്യുന്നതാണ് നല്ലത്.

ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയാൽ ഗണിത ശരാശരിയുടെ വിതരണം എന്താണ് അജ്ഞാത വിതരണം? പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ അറിയപ്പെടുന്നത് ഉത്തരം നൽകുന്നു കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തം(സിപിടി). ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഇതിന് നിരവധി വകഭേദങ്ങളുണ്ട് (മുഴുവൻ നീണ്ട വർഷങ്ങളോളംഫോർമുലേഷനുകൾ പരിഷ്‌ക്കരിച്ചിരിക്കുന്നു), എന്നാൽ അവയെല്ലാം, ഏകദേശം പറഞ്ഞാൽ, ധാരാളം സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ആകെത്തുക ഒരു സാധാരണ വിതരണ നിയമം അനുസരിക്കുന്നു എന്ന പ്രസ്താവനയിലേക്ക് ചുരുങ്ങുന്നു.

ഗണിത ശരാശരി കണക്കാക്കുമ്പോൾ, റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ആകെത്തുക ഉപയോഗിക്കുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് ഗണിത ശരാശരിക്ക് ഒരു സാധാരണ വിതരണമുണ്ടെന്ന് മാറുന്നു, അതിൽ പ്രതീക്ഷ യഥാർത്ഥ ഡാറ്റയുടെ പ്രതീക്ഷയാണ്, കൂടാതെ വ്യത്യാസം .

മിടുക്കരായ ആളുകൾ CLT എങ്ങനെ തെളിയിക്കാമെന്ന് അറിയാം, എന്നാൽ Excel-ൽ നടത്തിയ ഒരു പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ സഹായത്തോടെ ഞങ്ങൾ ഇത് പരിശോധിക്കും. ഏകീകൃതമായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെട്ട 50 റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു സാമ്പിൾ നമുക്ക് അനുകരിക്കാം (RANDBETWEEN Excel ഫംഗ്ഷൻ ഉപയോഗിച്ച്). അതിനുശേഷം ഞങ്ങൾ അത്തരം 1000 സാമ്പിളുകൾ ഉണ്ടാക്കുകയും ഓരോന്നിൻ്റെയും ഗണിത ശരാശരി കണക്കാക്കുകയും ചെയ്യും. അവയുടെ വിതരണം നോക്കാം.

ശരാശരിയുടെ വിതരണം സാധാരണ നിയമത്തിന് അടുത്താണെന്ന് കാണാൻ കഴിയും. സാമ്പിൾ വലുപ്പവും സംഖ്യയും കൂടുതൽ വലുതാക്കിയാൽ, സമാനത കൂടുതൽ മികച്ചതായിരിക്കും.

ഇപ്പോൾ നമ്മൾ CLT യുടെ സാധുത നമ്മുടെ സ്വന്തം കണ്ണുകൊണ്ട് കണ്ടതിനാൽ, നമുക്ക് ഗണിത ശരാശരിയുടെ കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകൾ കണക്കാക്കാം, അത് ഒരു നിശ്ചിത പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് യഥാർത്ഥ ശരാശരി അല്ലെങ്കിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു.

മുകളിലും താഴെയുമുള്ള പരിധികൾ സജ്ജമാക്കാൻ, നിങ്ങൾ പാരാമീറ്ററുകൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് സാധാരണ വിതരണം. ചട്ടം പോലെ, ഒന്നുമില്ല, അതിനാൽ എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു: ഗണിത അർത്ഥംഒപ്പം സാമ്പിൾ വ്യത്യാസം. ഞാൻ ആവർത്തിക്കുന്നു, ഈ രീതി വലിയ സാമ്പിളുകളിൽ മാത്രം നല്ല ഏകദേശം നൽകുന്നു. സാമ്പിളുകൾ ചെറുതായിരിക്കുമ്പോൾ, വിദ്യാർത്ഥികളുടെ വിതരണം ഉപയോഗിക്കാൻ പലപ്പോഴും ശുപാർശ ചെയ്യപ്പെടുന്നു. വിശ്വസിക്കരുത്! യഥാർത്ഥ ഡാറ്റ സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുമ്പോൾ മാത്രമാണ് ശരാശരി വിദ്യാർത്ഥി വിതരണം സംഭവിക്കുന്നത്, അതായത് മിക്കവാറും ഒരിക്കലും. അതിനാൽ, ഉടനടി ഇടുന്നതാണ് നല്ലത് മിനിമം ബാർആവശ്യമായ ഡാറ്റയുടെ അളവ് അനുസരിച്ച് അസിംപ്റ്റിക്കലി ശരിയായ രീതികൾ ഉപയോഗിക്കുക. 30 നിരീക്ഷണങ്ങൾ മതിയെന്ന് അവർ പറയുന്നു. 50 എടുക്കുക - നിങ്ങൾ തെറ്റ് ചെയ്യില്ല.

ടി 1.2- ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ താഴ്ന്നതും ഉയർന്നതുമായ പരിധികൾ

- സാമ്പിൾ ഗണിത ശരാശരി

s 0- സാമ്പിളിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (പക്ഷപാതരഹിതം)

എൻ - സാമ്പിൾ വലിപ്പം

γ - ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യത (സാധാരണയായി 0.9, 0.95 അല്ലെങ്കിൽ 0.99 ന് തുല്യമാണ്)

c γ =Φ -1 ((1+γ)/2)- സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വിപരീത മൂല്യം. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, ഇത് ഗണിത ശരാശരി മുതൽ താഴെ വരെയുള്ള സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശകുകളുടെ എണ്ണമാണ് ഉയർന്ന പരിധി(സൂചിപ്പിച്ച മൂന്ന് സാധ്യതകൾ 1.64, 1.96, 2.58 എന്നീ മൂല്യങ്ങളുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു).

സൂത്രവാക്യത്തിൻ്റെ സാരം, ഗണിത ശരാശരി എടുക്കുകയും പിന്നീട് ഒരു നിശ്ചിത തുക ( കൂടെ γസാധാരണ പിശകുകൾ ( s 0 /√n). എല്ലാം അറിയാം, അത് എടുത്ത് പരിഗണിക്കുക.

മുമ്പ് ബഹുജന ഉപയോഗംസാധാരണ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളും അതിൻ്റെ വിപരീതവും ലഭിക്കാൻ ഒരു പിസി ഉപയോഗിച്ചു. അവ ഇന്നും ഉപയോഗിക്കുന്നു, എന്നാൽ റെഡിമെയ്ഡ് എക്സൽ ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നത് കൂടുതൽ ഫലപ്രദമാണ്. മുകളിലുള്ള ( , കൂടാതെ ) ഫോർമുലയിൽ നിന്നുള്ള എല്ലാ ഘടകങ്ങളും Excel-ൽ എളുപ്പത്തിൽ കണക്കാക്കാം. എന്നാൽ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കാൻ ഒരു റെഡിമെയ്ഡ് ഫോർമുലയുണ്ട് - TRUST.NORM. അതിൻ്റെ വാക്യഘടന ഇപ്രകാരമാണ്.

CONFIDENCE.NORM(alpha;standard_off;size)

ആൽഫ- പ്രാധാന്യം ലെവൽ അല്ലെങ്കിൽ കോൺഫിഡൻസ് ലെവൽ, മുകളിൽ സ്വീകരിച്ച നൊട്ടേഷനിൽ 1- γ ന് തുല്യമാണ്, അതായത്. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൻ്റെ സാധ്യതആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്തായിരിക്കും പ്രതീക്ഷ. ചെയ്തത് ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യത 0.95, ആൽഫ 0.05, മുതലായവ.

സ്റ്റാൻഡേർഡ്_ഓഫ്- സാമ്പിൾ ഡാറ്റയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ. സാധാരണ പിശക് കണക്കാക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല, Excel തന്നെ n ൻ്റെ റൂട്ട് കൊണ്ട് ഹരിക്കും.

വലിപ്പം- സാമ്പിൾ വലിപ്പം (n).

കോൺഫിഡൻസ് നോർം ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഫലം കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഫോർമുലയിൽ നിന്നുള്ള രണ്ടാമത്തെ പദമാണ്, അതായത്. പകുതി ഇടവേള അതനുസരിച്ച്, താഴ്ന്നതും ഉയർന്നതുമായ പോയിൻ്റുകൾ ശരാശരി ± ലഭിച്ച മൂല്യമാണ്.

അതിനാൽ, യഥാർത്ഥ ഡാറ്റയുടെ വിതരണത്തെ ആശ്രയിക്കാത്ത, ഗണിത ശരാശരിയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു സാർവത്രിക അൽഗോരിതം നിർമ്മിക്കാൻ സാധിക്കും. സാർവത്രികതയുടെ വില അതിൻ്റെ അസിംപ്റ്റോട്ടിക് സ്വഭാവമാണ്, അതായത്. താരതമ്യേന വലിയ സാമ്പിളുകൾ ഉപയോഗിക്കേണ്ടതിൻ്റെ ആവശ്യകത. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായത്തിൽ ആധുനിക സാങ്കേതികവിദ്യകൾആവശ്യമായ ഡാറ്റ ശേഖരിക്കുന്നത് സാധാരണയായി ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല.

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ ഉപയോഗിച്ച് സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ പരിശോധിക്കുന്നു

(മൊഡ്യൂൾ 111)

സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ പരിഹരിച്ച പ്രധാന പ്രശ്നങ്ങളിലൊന്നാണ്. അതിൻ്റെ സാരാംശം ചുരുക്കത്തിൽ ഇപ്രകാരമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, പ്രതീക്ഷയാണെന്ന് കരുതപ്പെടുന്നു ജനസംഖ്യചില മൂല്യത്തിന് തുല്യമാണ്. ഒരു നിശ്ചിത പ്രതീക്ഷയ്ക്കായി നിരീക്ഷിക്കാൻ കഴിയുന്ന സാമ്പിൾ മാർഗങ്ങളുടെ വിതരണം നിർമ്മിക്കപ്പെടുന്നു. അടുത്തതായി, ഈ സോപാധിക വിതരണത്തിൽ യഥാർത്ഥ ശരാശരി എവിടെയാണെന്ന് അവർ നോക്കുന്നു. ഇത് സ്വീകാര്യമായ പരിധിക്കപ്പുറത്തേക്ക് പോകുകയാണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു ശരാശരിയുടെ രൂപം വളരെ സാദ്ധ്യമല്ല, പരീക്ഷണം ഒരിക്കൽ ആവർത്തിച്ചാൽ, അത് ഏതാണ്ട് അസാധ്യമാണ്, ഇത് മുന്നോട്ട് വച്ച അനുമാനത്തിന് വിരുദ്ധമാണ്, അത് വിജയകരമായി നിരസിക്കപ്പെട്ടു. ശരാശരി കവിയുന്നില്ലെങ്കിൽ നിർണായക നില, അപ്പോൾ അനുമാനം നിരാകരിക്കപ്പെടുന്നില്ല (എന്നാൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ല!).

അതിനാൽ, ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളുടെ സഹായത്തോടെ, പ്രതീക്ഷയ്ക്കുവേണ്ടിയുള്ള ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, നിങ്ങൾക്ക് ചില അനുമാനങ്ങൾ പരീക്ഷിക്കാവുന്നതാണ്. ഇത് ചെയ്യാൻ വളരെ എളുപ്പമാണ്. ഒരു നിശ്ചിത സാമ്പിളിൻ്റെ ഗണിത ശരാശരി 100 ന് തുല്യമാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യം, പറയുക, 90 ആണെന്ന് പരികല്പന പരിശോധിക്കുന്നു. അതായത്, നമ്മൾ ചോദ്യം പ്രാകൃതമായി ഉന്നയിക്കുകയാണെങ്കിൽ, അത് ഇതുപോലെ തോന്നുന്നു: അത് ശരിയാണോ? ശരാശരിയുടെ മൂല്യം 90 ന് തുല്യമാണ്, നിരീക്ഷിച്ച ശരാശരി 100 ആയി മാറി?

ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ശരാശരിയെക്കുറിച്ചുള്ള വിവരങ്ങൾ അധികമായി ആവശ്യമാണ് ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനംസാമ്പിൾ വലുപ്പവും. സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ 30 ആണെന്നും നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം 64 ആണെന്നും കരുതുക (റൂട്ട് എളുപ്പത്തിൽ വേർതിരിച്ചെടുക്കാൻ). അപ്പോൾ ശരാശരിയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് 30/8 അല്ലെങ്കിൽ 3.75 ആണ്. 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കാൻ, നിങ്ങൾ ശരാശരിയുടെ ഓരോ വശത്തേക്കും രണ്ട് സാധാരണ പിശകുകൾ ചേർക്കേണ്ടതുണ്ട് (കൂടുതൽ കൃത്യമായി, 1.96). വിശ്വാസ്യത ഇടവേള ഏകദേശം 100± 7.5 അല്ലെങ്കിൽ 92.5 മുതൽ 107.5 വരെ ആയിരിക്കും.

കൂടുതൽ ന്യായവാദം ഇപ്രകാരമാണ്. പരിശോധിക്കപ്പെടുന്ന മൂല്യം ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്കുള്ളിൽ വരുന്നെങ്കിൽ, അത് അനുമാനത്തിന് വിരുദ്ധമല്ല, കാരണം ക്രമരഹിതമായ ഏറ്റക്കുറച്ചിലുകളുടെ പരിധിക്കുള്ളിൽ വരുന്നു (95% സംഭാവ്യതയോടെ). പരിശോധിച്ച പോയിൻ്റ് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്താണെങ്കിൽ, അത്തരമൊരു സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത വളരെ ചെറുതാണ്, ഏത് സാഹചര്യത്തിലും സ്വീകാര്യമായ തലത്തിന് താഴെയാണ്. ഇതിനർത്ഥം, നിരീക്ഷിച്ച ഡാറ്റയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണെന്ന് അനുമാനം നിരാകരിക്കപ്പെടുന്നു എന്നാണ്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തെക്കുറിച്ചുള്ള അനുമാനം ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്ക് പുറത്താണ് (90 ൻ്റെ പരീക്ഷിച്ച മൂല്യം 100± 7.5 ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിട്ടില്ല), അതിനാൽ അത് നിരസിക്കേണ്ടതാണ്. മുകളിലുള്ള പ്രാകൃത ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകിക്കൊണ്ട്, ഇത് പറയണം: ഇല്ല, ഒരു സാഹചര്യത്തിലും ഇത് വളരെ അപൂർവമായി മാത്രമേ സംഭവിക്കൂ. പലപ്പോഴും, അവർ അനുമാനം (പി-ലെവൽ) തെറ്റായി നിരസിക്കാനുള്ള നിർദ്ദിഷ്ട സംഭാവ്യതയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, കൂടാതെ കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ നിർമ്മിച്ച നിർദ്ദിഷ്ട ലെവലല്ല, മറിച്ച് മറ്റൊരു സമയത്ത്.

നിങ്ങൾക്ക് കാണാനാകുന്നതുപോലെ, ശരാശരി (അല്ലെങ്കിൽ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ) ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമല്ല. പ്രധാന കാര്യം സാരാംശം ഗ്രഹിക്കുക എന്നതാണ്, തുടർന്ന് കാര്യങ്ങൾ മുന്നോട്ട് പോകും. പ്രായോഗികമായി, മിക്ക കേസുകളും 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഉപയോഗിക്കുന്നു, ഇത് ശരാശരിയുടെ ഇരുവശത്തും ഏകദേശം രണ്ട് സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശകുകൾ വീതിയുള്ളതാണ്.

ഇപ്പോഴത്തേക്ക് ഇത്രമാത്രം. എല്ലാ ആശംസകളും!

ഒരു സാധാരണ നിയമമനുസരിച്ച് ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ (നമുക്ക് ഒരു പൊതു ജനസംഖ്യയെക്കുറിച്ച് സംസാരിക്കാം) വിതരണം ചെയ്യട്ടെ, അതിന് D = 2 (> 0) എന്ന വ്യത്യാസം അറിയപ്പെടുന്നു. സാധാരണ ജനസംഖ്യയിൽ നിന്ന് (ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്ന ഒബ്‌ജക്റ്റുകളുടെ ഗണത്തിൽ), n വലുപ്പത്തിൻ്റെ ഒരു സാമ്പിൾ നിർമ്മിക്കുന്നു. സാമ്പിൾ x 1 , x 2 ,..., x n എന്നത് അതേ രീതിയിൽ വിതരണം ചെയ്യുന്ന n സ്വതന്ത്ര റാൻഡം വേരിയബിളുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു (ടെക്‌സ്റ്റിൽ മുകളിൽ വിശദീകരിച്ചിരിക്കുന്ന സമീപനം).

താഴെപ്പറയുന്ന സമത്വങ്ങളും നേരത്തെ ചർച്ച ചെയ്യുകയും തെളിയിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്തു:

Mx 1 = Mx 2 = ... = Mx n = M;

Dx 1 = Dx 2 = ... = Dx n = D;

റാൻഡം വേരിയബിൾ ഇൻ എന്ന് ലളിതമായി തെളിയിച്ചാൽ മതി (തെളിവ് ഞങ്ങൾ ഒഴിവാക്കുന്നു). ഈ സാഹചര്യത്തിൽസാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുകയും ചെയ്യുന്നു.

നമുക്ക് അജ്ഞാതമായ M യെ a കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കാം, നൽകിയിരിക്കുന്ന വിശ്വാസ്യതയെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, സംഖ്യ d > 0 തിരഞ്ഞെടുക്കുക, അങ്ങനെ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാകും:

പി(- എ< d) = (1)

റാൻഡം വേരിയബിൾ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ M = M = a, വ്യതിയാനം D = D / n = 2 /n എന്നിവ ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

പി(- എ< d) =P(a - d < < a + d) =

സമത്വം നിലനിർത്തുന്ന d തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ അവശേഷിക്കുന്നു

ഏതൊരു വ്യക്തിക്കും, നിങ്ങൾക്ക് പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് t ഒരു നമ്പർ കണ്ടെത്താം, അത്തരത്തിലുള്ള (t)= / 2. ഈ സംഖ്യ t യെ ചിലപ്പോൾ വിളിക്കുന്നു അളവ്.

ഇപ്പോൾ സമത്വത്തിൽ നിന്ന്

നമുക്ക് d യുടെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കാം:

ഫോമിൽ ഫോർമുല (1) അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് ഞങ്ങൾ അന്തിമ ഫലം നേടുന്നു:

അവസാന ഫോർമുലയുടെ അർത്ഥം ഇപ്രകാരമാണ്: വിശ്വാസ്യതയോടെ, ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള

ജനസംഖ്യയുടെ a = M എന്ന അജ്ഞാത പാരാമീറ്റർ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. നിങ്ങൾക്ക് ഇത് വ്യത്യസ്തമായി പറയാം: പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് d= t / കൃത്യതയോടും വിശ്വാസ്യതയോടും കൂടി M പരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം നിർണ്ണയിക്കുന്നു.

ടാസ്ക്. 6.25 ന് തുല്യമായ വ്യത്യാസമുള്ള ഒരു സാധാരണ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു നിശ്ചിത സ്വഭാവസവിശേഷതയുള്ള ഒരു സാധാരണ ജനവിഭാഗം ഉണ്ടായിരിക്കട്ടെ. n = 27 ൻ്റെ ഒരു സാമ്പിൾ സൈസ് എടുത്തു, സ്വഭാവത്തിൻ്റെ ശരാശരി സാമ്പിൾ മൂല്യം = 12 ലഭിച്ചു. വിശ്വാസ്യതയുള്ള സാധാരണ ജനസംഖ്യയുടെ പഠിച്ച സ്വഭാവത്തിൻ്റെ അജ്ഞാതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയെ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക = 0.99.

പരിഹാരം. ആദ്യം, ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്ഷനുള്ള പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, തുല്യത (t) = / 2 = 0.495 ൽ നിന്ന് t യുടെ മൂല്യം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. ലഭിച്ച മൂല്യം t = 2.58 അടിസ്ഥാനമാക്കി, എസ്റ്റിമേറ്റ് (അല്ലെങ്കിൽ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ പകുതി നീളം) d: d = 2.52.58 / 1.24 ൻ്റെ കൃത്യത ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിക്കുന്നു. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ആവശ്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ലഭിക്കുന്നു: (10.76; 13.24).

സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഹൈപ്പോതെസിസ് പൊതുവായ വ്യതിയാനം

അജ്ഞാതമായ വ്യത്യാസമുള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള

ഒരു അജ്ഞാത ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ M ഉള്ള ഒരു സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ആകട്ടെ, അത് നമ്മൾ a എന്ന അക്ഷരത്താൽ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വോള്യം n ൻ്റെ ഒരു സാമ്പിൾ ഉണ്ടാക്കാം. അറിയപ്പെടുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ശരാശരി സാമ്പിളും തിരുത്തിയ സാമ്പിൾ വേരിയൻസ് s 2 നിർണ്ണയിക്കാം.

ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം

വിദ്യാർത്ഥി നിയമം അനുസരിച്ച് n - 1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യത്തോടെ വിതരണം ചെയ്തു.

ഒരു നിശ്ചിത വിശ്വാസ്യതയ്ക്കായി t എന്ന സംഖ്യയും സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ n - 1 ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണവും കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല.

അല്ലെങ്കിൽ തത്തുല്യ സമത്വം

ഇവിടെ ബ്രാക്കറ്റുകളിൽ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യം ഒരു നിശ്ചിത ഇടവേളയുടേതാണ് എന്ന വ്യവസ്ഥ എഴുതിയിരിക്കുന്നു, അത് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയാണ്. അതിൻ്റെ അതിരുകൾ വിശ്വാസ്യതയെയും സാംപ്ലിംഗ് പാരാമീറ്ററുകളെയും എസിനെയും ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു.

t യുടെ മൂല്യം മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഞങ്ങൾ സമത്വം (2) ഫോമിലേക്ക് പരിവർത്തനം ചെയ്യുന്നു:

ഇപ്പോൾ പട്ടിക പ്രകാരം റാൻഡം വേരിയബിൾ t, വിദ്യാർത്ഥിയുടെ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്തു, പ്രോബബിലിറ്റി 1 ഉപയോഗിച്ച് - സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം n - 1, ഞങ്ങൾ t കണ്ടെത്തുന്നു. ഫോർമുല (3) ഉന്നയിക്കപ്പെട്ട പ്രശ്നത്തിനുള്ള ഉത്തരം നൽകുന്നു.

ടാസ്ക്. 20 വൈദ്യുത വിളക്കുകളുടെ നിയന്ത്രണ പരിശോധനയിൽ ശരാശരി ദൈർഘ്യം 11 മണിക്കൂറിന് തുല്യമായ ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ (തിരുത്തപ്പെട്ട സാമ്പിൾ വേരിയൻസിൻ്റെ വർഗ്ഗമൂലമായി കണക്കാക്കുന്നത്) ഉള്ള 2000 മണിക്കൂറിന് തുല്യമായിരുന്നു അവരുടെ ജോലി. വിളക്കിൻ്റെ പ്രവർത്തന സമയം സാധാരണയായി വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണെന്ന് അറിയാം. ഈ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്‌ക്കായി 0.95 ഒരു വിശ്വാസ്യത ഇടവേള ഉപയോഗിച്ച് നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം. മൂല്യം 1 - ഈ സാഹചര്യത്തിൽ 0.05 ന് തുല്യമാണ്. വിദ്യാർത്ഥി വിതരണ പട്ടിക അനുസരിച്ച്, സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം 19 ന് തുല്യമാണ്, ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു: t = 2.093. ഇനി നമുക്ക് എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ കൃത്യത കണക്കാക്കാം: 2.093121/ = 56.6. ഇവിടെ നിന്ന് നമുക്ക് ആവശ്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ലഭിക്കുന്നു: (1943.4; 2056.6).

നിയമത്തിന് വിധേയമായി ഒരു സാധാരണ ജനവിഭാഗത്തിൽ നിന്ന് ഒരു സാമ്പിൾ എടുക്കട്ടെ സാധാരണവിതരണ എക്സ്N( എം;  ). ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളുടെ ഈ അടിസ്ഥാന അനുമാനം കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. പൊതുവായ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ അറിയട്ടെ  , എന്നാൽ സൈദ്ധാന്തിക വിതരണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ അജ്ഞാതമാണ് എം(ശരാശരി മൂല്യം ).

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാമ്പിൾ അർത്ഥം , പരീക്ഷണ സമയത്ത് ലഭിച്ച (വിഭാഗം 3.4.2), ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളും ആയിരിക്കും എം;
). അപ്പോൾ "സാധാരണ" വ്യതിയാനം
N(0;1) - ഒരു സാധാരണ സാധാരണ റാൻഡം വേരിയബിളാണ്.

ഒരു ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റ് കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് ചുമതല എം. രണ്ട് വശങ്ങളുള്ള ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നമുക്ക് നിർമ്മിക്കാം എം അതിനാൽ യഥാർത്ഥ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ അവനുടേതാണ്, ഒരു നിശ്ചിത പ്രോബബിലിറ്റി (വിശ്വാസ്യത)  .

മൂല്യത്തിനായി അത്തരമൊരു ഇടവേള സജ്ജമാക്കുക
- ഇതിനർത്ഥം ഈ അളവിൻ്റെ പരമാവധി മൂല്യം കണ്ടെത്തുക എന്നാണ്
കൂടാതെ മിനിമം
, നിർണ്ണായക മേഖലയുടെ അതിരുകൾ ഇവയാണ്:
.

കാരണം ഈ സാധ്യത തുല്യമാണ്
, അപ്പോൾ ഈ സമവാക്യത്തിൻ്റെ റൂട്ട്
ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ ടേബിളുകൾ ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം (പട്ടിക 3, അനുബന്ധം 1).

പിന്നെ പ്രോബബിലിറ്റിയോടെ  റാൻഡം വേരിയബിൾ എന്ന് വാദിക്കാം
, അതായത്, ആവശ്യമുള്ള പൊതു ശരാശരി ഇടവേളയുടേതാണ്
. (3.13)

വലിപ്പം
(3.14)

വിളിച്ചു കൃത്യതവിലയിരുത്തലുകൾ.

നമ്പർ
– അളവ്സാധാരണ വിതരണം - ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ ഒരു ആർഗ്യുമെൻ്റായി കണ്ടെത്താം (പട്ടിക 3, അനുബന്ധം 1), 2Ф(ബന്ധം) കണക്കിലെടുത്ത് യു)=, അതായത്. F( യു)=
.

നിർദ്ദിഷ്‌ട വ്യതിയാന മൂല്യം അനുസരിച്ച് വിപരീതം  അജ്ഞാതമായ പൊതു അർത്ഥം ഇടവേളയിൽ ഉൾപ്പെടുന്ന സംഭാവ്യതയോടെ കണ്ടെത്താനാകും
. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, നിങ്ങൾ കണക്കുകൂട്ടേണ്ടതുണ്ട്

. (3.15)

ആവർത്തിച്ചുള്ള തിരഞ്ഞെടുക്കൽ രീതി ഉപയോഗിച്ച് സാധാരണ ജനങ്ങളിൽ നിന്ന് ഒരു റാൻഡം സാമ്പിൾ വേർതിരിച്ചെടുക്കട്ടെ. സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്.
കണ്ടുപിടിക്കാവുന്നതാണ് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞത്വോളിയം പുനരാരംഭിക്കുന്നു എൻ, നൽകിയിരിക്കുന്ന വിശ്വാസ്യതയ്‌ക്കൊപ്പം ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്ക് അത്യാവശ്യമാണ് മുൻകൂട്ടി നിശ്ചയിച്ച മൂല്യത്തിൽ കവിഞ്ഞില്ല  . ആവശ്യമായ സാമ്പിൾ വലുപ്പം ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

. (3.16)

നമുക്ക് പര്യവേക്ഷണം ചെയ്യാം എസ്റ്റിമേഷൻ കൃത്യത
:

1) സാമ്പിൾ വലുപ്പം വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് എൻവലിപ്പം  കുറയുന്നു, അതിനാൽ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ കൃത്യത വർദ്ധിക്കുന്നു.

2) സി വർധിപ്പിക്കുകവിലയിരുത്തലിൻ്റെ വിശ്വാസ്യത വാദത്തിൻ്റെ മൂല്യം വർദ്ധിക്കുന്നു യു(കാരണം എഫ്(യു) ഏകതാനമായി വർദ്ധിക്കുന്നു) അതിനാൽ വർദ്ധിക്കുന്നു  . ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, വിശ്വാസ്യത വർദ്ധിക്കുന്നു കുറയ്ക്കുന്നുഅതിൻ്റെ വിലയിരുത്തലിൻ്റെ കൃത്യത  .

മൂല്യനിർണ്ണയം
(3.17)

വിളിച്ചു ക്ലാസിക്കൽ(എവിടെ ടി- അനുസരിച്ച് ഒരു നിശ്ചിത പരാമീറ്റർ ഒപ്പം എൻ), കാരണം ഇത് ഏറ്റവും പതിവായി നേരിടുന്ന വിതരണ നിയമങ്ങളുടെ സവിശേഷതയാണ്.

3.5.3 ഒരു അജ്ഞാത സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഉള്ള ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ 

ജനസംഖ്യ സാധാരണ വിതരണ നിയമത്തിന് വിധേയമാണെന്ന് അറിയിക്കുക എക്സ്N( എം; ), എവിടെ മൂല്യം റൂട്ട് അർത്ഥം ചതുരംവ്യതിയാനങ്ങൾ അജ്ഞാതം.

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ പൊതുവായ ശരാശരി കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു
, കൂടെ ഒരു വിദ്യാർത്ഥി വിതരണമുണ്ട് കെ= എൻ-1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യം. എന്ന വസ്തുതയിൽ നിന്ന് ഇത് പിന്തുടരുന്നു N(0;1) (വിഭാഗം 3.5.2 കാണുക), കൂടാതെ
(വിഭാഗം 3.5.3 കാണുക) കൂടാതെ വിദ്യാർത്ഥി വിതരണത്തിൻ്റെ നിർവചനത്തിൽ നിന്നും (ഭാഗം 1. വിഭാഗം 2.11.2).

വിദ്യാർത്ഥി വിതരണത്തിൻ്റെ ക്ലാസിക്കൽ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ കൃത്യത നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: അതായത്. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും ടിഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (3.17). അസമത്വം നിറവേറ്റാനുള്ള സാധ്യതയെ അനുവദിക്കുക
വിശ്വാസ്യത നൽകിയത്  :

. (3.18)

എന്തുകൊണ്ടെന്നാല് ടിSt( എൻ-1), അത് വ്യക്തമാണ് ടിആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു  ഒപ്പം എൻ, അതിനാൽ അവർ സാധാരണയായി എഴുതുന്നു
.

(3.19)

എവിടെ
– കൂടെ വിദ്യാർത്ഥി വിതരണ ചടങ്ങ് എൻ-1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യം.

ഈ സമവാക്യം പരിഹരിക്കുന്നു എം, നമുക്ക് ഇടവേള ലഭിക്കുന്നു
അജ്ഞാത പാരാമീറ്റർ വിശ്വസനീയമായി  ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എം.

മാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് ടി  , എൻ-1, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർണ്ണയിക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്നു ടി(എൻ-1), ഉപയോഗിച്ച് ടി-ടെസ്റ്റ് പ്രകാരം വിതരണം എൻ-1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യത്തെ വിളിക്കുന്നു വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ഗുണകം. നൽകിയിരിക്കുന്ന മൂല്യങ്ങളാൽ അത് കണ്ടെത്തണം എൻകൂടാതെ  "വിദ്യാർത്ഥി വിതരണത്തിൻ്റെ നിർണായക പോയിൻ്റുകൾ" പട്ടികകളിൽ നിന്ന്. (പട്ടിക 6, അനുബന്ധം 1), ഇത് സമവാക്യത്തിനുള്ള പരിഹാരങ്ങളെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു (3.19).

തൽഫലമായി, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന പദപ്രയോഗം ലഭിക്കും കൃത്യത വ്യതിയാനം അജ്ഞാതമാണെങ്കിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ (പൊതു ശരാശരി) കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള:

(3.20)

അതിനാൽ, ജനസംഖ്യയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾക്കായി ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഒരു പൊതു ഫോർമുലയുണ്ട്:

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ കൃത്യത എവിടെയാണ്  അറിയപ്പെടുന്നതോ അജ്ഞാതമോ ആയതിനെ ആശ്രയിച്ച് യഥാക്രമം 3.16 സൂത്രവാക്യങ്ങൾ അനുസരിച്ച് വ്യാപനം കണ്ടെത്തുന്നു. കൂടാതെ 3.20.

പ്രശ്നം 10.ചില പരിശോധനകൾ നടത്തി, അവയുടെ ഫലങ്ങൾ പട്ടികയിൽ പട്ടികപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്നു:

x ഐ

അവർ സാധാരണ വിതരണ നിയമം അനുസരിക്കുന്നതായി അറിയാം
. റേറ്റിംഗ് കണ്ടെത്തുക എം* ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് എം, അതിനായി 90% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കുക.

പരിഹാരം:

അതിനാൽ, എം(2.53;5.47).

പ്രശ്നം 11.ക്രമാതീതമായ പിശക് 0 ആയ ഒരു ഉപകരണം ഉപയോഗിച്ചാണ് കടലിൻ്റെ ആഴം അളക്കുന്നത്, കൂടാതെ സാധാരണ നിയമമനുസരിച്ച് ക്രമരഹിതമായ പിശകുകൾ സാധാരണ വ്യതിയാനത്തോടെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്നു.  =15 മി. 90% എന്ന ആത്മവിശ്വാസ തലത്തിൽ 5 മീറ്ററിൽ കൂടാത്ത പിശകുകളുള്ള ആഴം നിർണ്ണയിക്കാൻ എത്ര സ്വതന്ത്ര അളവുകൾ നടത്തണം?

പരിഹാരം:

നമുക്കുള്ള പ്രശ്നത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച് എക്സ്N( എം;  ), എവിടെ  =15 മി.  =5മി,  =0.9. നമുക്ക് വോളിയം കണ്ടെത്താം എൻ.

1) നൽകിയിരിക്കുന്ന വിശ്വാസ്യതയോടെ = 0.9, പട്ടികകൾ 3 (അനുബന്ധം 1) ൽ നിന്ന് ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ വാദം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു. യു  = 1.65.

2) നിർദ്ദിഷ്ട എസ്റ്റിമേറ്റ് കൃത്യത അറിയൽ  =യു  =5, നമുക്ക് കണ്ടെത്താം
. നമുക്ക് ഉണ്ട്

. അതിനാൽ പരിശോധനകളുടെ എണ്ണം എൻ25.

പ്രശ്നം 12.താപനില സാമ്പിൾ ടിജനുവരിയിലെ ആദ്യ 6 ദിവസങ്ങൾ പട്ടികയിൽ അവതരിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു:

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക എംആത്മവിശ്വാസ സാധ്യതയുള്ള ജനസംഖ്യ
ജനറൽ വിലയിരുത്തുകയും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എസ്.

പരിഹാരം:

ഒപ്പം
.

2) നിഷ്പക്ഷ കണക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് അത് കണ്ടെത്തുക
:

							=-175
							=234.84

;
;

							=-192
							=116

.

3) പൊതുവായ വ്യത്യാസം അജ്ഞാതമാണ്, എന്നാൽ അതിൻ്റെ എസ്റ്റിമേറ്റ് അറിയപ്പെടുന്നതിനാൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കാൻ എംഞങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥി വിതരണവും (പട്ടിക 6, അനുബന്ധം 1) ഫോർമുലയും (3.20) ഉപയോഗിക്കുന്നു.

കാരണം എൻ 1 =എൻ 2 =6, പിന്നെ,
, എസ് 1 =6.85 ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:
, അതിനാൽ -29.2-4.1<എം 1 < -29.2+4.1.

അതിനാൽ -33.3<എം 1 <-25.1.

അതുപോലെ നമുക്കുണ്ട്,
, എസ് 2 = 4.8, അങ്ങനെ

–34.9< എം 2 < -29.1. Тогда доверительные интервалы примут вид: എം 1 (-33.3;-25.1) ഒപ്പം എം 2 (-34.9;-29.1).

പ്രായോഗിക ശാസ്ത്രങ്ങളിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, നിർമ്മാണ വിഭാഗങ്ങളിൽ, വസ്തുക്കളുടെ കൃത്യത വിലയിരുത്തുന്നതിന് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള പട്ടികകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു, അവ പ്രസക്തമായ റഫറൻസ് സാഹിത്യത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

CB X പൊതു ജനസമൂഹത്തെ രൂപപ്പെടുത്തുകയും β എന്നത് CB X എന്ന അജ്ഞാത പാരാമീറ്റർ ആയിരിക്കട്ടെ. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായോഗികമായി, ഞങ്ങൾക്ക് വളരെ വലിയ സാമ്പിളുകൾ ഇല്ല, അതിനാൽ കൂടുതൽ കൃത്യത ഉറപ്പ് നൽകാൻ ഞങ്ങൾക്ക് കഴിയില്ല.

b* എന്നത് c യുടെ ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ എസ്റ്റിമേറ്റ് ആയിരിക്കട്ടെ. മൂല്യം |ഇൻ* - ഇൻ| എസ്റ്റിമേഷൻ കൃത്യത എന്ന് വിളിക്കുന്നു. β* ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ ആയതിനാൽ കൃത്യത CB ആണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. നമുക്ക് ഒരു ചെറിയ പോസിറ്റീവ് നമ്പർ 8 വ്യക്തമാക്കാം, എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ കൃത്യത ആവശ്യമാണ് |в* - в| 8-ൽ കുറവായിരുന്നു, അതായത് | ഇൻ* - ഇൻ |< 8.

ഇൻ * ലെ എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ വിശ്വാസ്യത g അല്ലെങ്കിൽ കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി എന്നത് അസമത്വം |in * - in|< 8, т. е.

സാധാരണഗതിയിൽ, വിശ്വാസ്യത g മുൻകൂറായി വ്യക്തമാക്കിയിട്ടുണ്ട്, g എന്നത് 1-ന് അടുത്തുള്ള ഒരു സംഖ്യയായി കണക്കാക്കുന്നു (0.9; 0.95; 0.99; ...).

അസമത്വം മുതൽ |in * - in|< S равносильно двойному неравенству в* - S < в < в* + 8, то получаем:

ഇടവേളയെ (* - 8-ൽ, * + 5-ൽ) ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ എന്ന് വിളിക്കുന്നു, അതായത് കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ, അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററിനെ പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെലിൻ്റെ അറ്റങ്ങൾ ക്രമരഹിതമാണെന്നും സാമ്പിളിൽ നിന്ന് സാമ്പിൾ വരെ വ്യത്യാസപ്പെടുന്നുവെന്നും ശ്രദ്ധിക്കുക, അതിനാൽ ഇടവേള (* - 8 ൽ, * + 8 ൽ) ഇതിൽ ഉൾപ്പെടുന്നതിനേക്കാൾ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററിനെ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എന്ന് പറയുന്നത് കൂടുതൽ കൃത്യമാണ്. ഇടവേള.

ഒരു സാധാരണ നിയമമനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ X ഉപയോഗിച്ച് പോപ്പുലേഷൻ നിർവചിക്കട്ടെ, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ a അറിയപ്പെടുന്നു. അജ്ഞാതമായത് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയാണ് a = M (X). തന്നിരിക്കുന്ന വിശ്വാസ്യത y യുടെ കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

സാമ്പിൾ അർത്ഥം

xr = a എന്നതിനായുള്ള ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ എസ്റ്റിമേറ്റ് ആണ്.

സിദ്ധാന്തം. X ന് ഒരു സാധാരണ വിതരണവും M (XB) = a, എന്നിവയും ഉണ്ടെങ്കിൽ, ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളായ xB ന് ഒരു സാധാരണ വിതരണമുണ്ട്.

A (XB) = a, ഇവിടെ a = y/B (X), a = M (X). l/i

a-യുടെ കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെല്ലിന് ഫോം ഉണ്ട്:

ഞങ്ങൾ 8 കണ്ടെത്തുന്നു.

അനുപാതം ഉപയോഗിച്ച്

Ф(r) എന്നത് ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ ആണെങ്കിൽ, നമുക്കുള്ളത്:

പി ( | XB - a |<8} = 2Ф

ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങളുടെ പട്ടിക ഞങ്ങൾ t യുടെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു.

നിയുക്തമാക്കിയത്

T, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത് F(t) = g എന്നതിനാൽ g നൽകിയിരിക്കുന്നു, തുടർന്ന്

തുല്യതയിൽ നിന്ന് എസ്റ്റിമേറ്റ് കൃത്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു.

ഇതിനർത്ഥം a-യുടെ കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെല്ലിന് ഫോം ഉണ്ട് എന്നാണ്:

X ജനസംഖ്യയിൽ നിന്ന് ഒരു സാമ്പിൾ നൽകി

എൻജി	വരെ"	X2	Xm
എൻ.	n1	n2	nm

n = U1 + ... + nm, അപ്പോൾ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇതായിരിക്കും:

ഉദാഹരണം 6.35. സാമ്പിൾ ശരാശരി Xb = 10.43, സാമ്പിൾ വലുപ്പം n = 100, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ s = 5 എന്നിവ അറിഞ്ഞുകൊണ്ട്, 0.95 വിശ്വാസ്യതയോടെ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ a കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക.

നമുക്ക് ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കാം

ഈ വിതരണത്തിൻ്റെ വ്യതിയാനവും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനും അറിയപ്പെടുന്നത് കണക്കിലെടുത്ത്, ജനസംഖ്യയുടെ റാൻഡം വേരിയബിൾ X സാധാരണ വിതരണം ചെയ്യട്ടെ. സാമ്പിൾ ശരാശരി ഉപയോഗിച്ച് അജ്ഞാതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ കണക്കാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്‌ക്ക് വിശ്വാസ്യതയുള്ള ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുന്നതിലേക്കാണ് ചുമതല വരുന്നത് b. നിങ്ങൾ കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി (വിശ്വാസ്യത) b യുടെ മൂല്യം വ്യക്തമാക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഫോർമുല (6.9a) ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അജ്ഞാത ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്താനാകും:

ഇവിടെ Ф(t) ആണ് ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ (5.17a).

തൽഫലമായി, D = s 2 എന്ന വ്യതിയാനം അറിയാമെങ്കിൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളയുടെ അതിരുകൾ കണ്ടെത്തുന്നതിന് നമുക്ക് ഒരു അൽഗോരിതം രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും:

1. വിശ്വാസ്യത മൂല്യം സജ്ജമാക്കുക - ബി.
2. (6.14) മുതൽ എക്സ്പ്രസ് Ф(t) = 0.5× b. Ф(t) മൂല്യത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷനായി പട്ടികയിൽ നിന്ന് t യുടെ മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുക്കുക (അനുബന്ധം 1 കാണുക).
3. ഫോർമുല (6.10) ഉപയോഗിച്ച് വ്യതിയാനം കണക്കാക്കുക.
4. സൂത്രവാക്യം (6.12) ഉപയോഗിച്ച് ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ എഴുതുക, അതായത് ബി പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ അസമത്വം നിലനിൽക്കും:

.

ഉദാഹരണം 5.

റാൻഡം വേരിയബിൾ X-ന് ഒരു സാധാരണ വിതരണമുണ്ട്. അജ്ഞാതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ b = 0.96 വിശ്വാസ്യതയുള്ള ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റിനായി ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ കണ്ടെത്തുക, നൽകിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ:

1) പൊതു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ s = 5;

2) സാമ്പിൾ ശരാശരി;

3) സാമ്പിൾ വലുപ്പം n = 49.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റ് ഫോർമുലയിൽ (6.15). എ t ഒഴികെയുള്ള എല്ലാ അളവുകളും അറിയാം. t യുടെ മൂല്യം (6.14) ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടെത്താം: b = 2Ф(t) = 0.96. Ф(t) = 0.48.

ലാപ്ലേസ് ഫംഗ്‌ഷൻ Ф(t) = 0.48-ന് അനുബന്ധം 1-ലെ പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച്, അനുബന്ധ മൂല്യം t = 2.06 കണ്ടെത്തുക. അതിനാൽ, . e യുടെ കണക്കാക്കിയ മൂല്യം ഫോർമുലയിലേക്ക് (6.12) പകരം വയ്ക്കുന്നതിലൂടെ, നിങ്ങൾക്ക് ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ലഭിക്കും: 30-1.47< a < 30+1,47.

അജ്ഞാതമായ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ b = 0.96 വിശ്വാസ്യതയുള്ള ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റിന് ആവശ്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇതിന് തുല്യമാണ്: 28.53< a < 31,47.