സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ രണ്ട് തരം എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ ഉണ്ട്: പോയിൻ്റും ഇടവേളയും. പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ്ഒരു പാരാമീറ്റർ കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ഒരു പ്രത്യേക സാമ്പിൾ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു ജനസംഖ്യ. ഉദാഹരണത്തിന്, സാമ്പിൾ അർത്ഥം ഒരു പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ആണ് ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷജനസംഖ്യ, സാമ്പിൾ വ്യത്യാസം എസ് 2- ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് σ 2. സാമ്പിൾ ശരാശരി ജനസംഖ്യയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ പക്ഷപാതരഹിതമായ കണക്കാണെന്ന് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. ഒരു സാമ്പിൾ ശരാശരിയെ നിഷ്പക്ഷമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, കാരണം എല്ലാ സാമ്പിൾ മാർഗങ്ങളുടെയും ശരാശരി (ഒരേ സാമ്പിൾ വലുപ്പത്തിൽ) എൻ) സാധാരണ ജനങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമാണ്.

സാമ്പിൾ വ്യത്യാസത്തിന് വേണ്ടി എസ് 2ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പക്ഷപാതമില്ലാത്ത കണക്കായി σ 2, സാമ്പിൾ വേരിയൻസിൻ്റെ ഡിനോമിനേറ്റർ തുല്യമായി സജ്ജീകരിക്കണം എൻ – 1 , പക്ഷേ അല്ല എൻ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, സാധ്യമായ എല്ലാ സാമ്പിൾ വ്യതിയാനങ്ങളുടെയും ശരാശരിയാണ് ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനം.

പോപ്പുലേഷൻ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, സാമ്പിൾ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ എന്നിവ മനസ്സിൽ സൂക്ഷിക്കണം , നിർദ്ദിഷ്ട സാമ്പിളുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഈ വസ്തുത കണക്കിലെടുക്കാൻ, നേടുന്നതിന് ഇടവേള കണക്കാക്കൽപൊതുജനങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷ, സാമ്പിൾ മാർഗങ്ങളുടെ വിതരണം വിശകലനം ചെയ്യുക (കൂടുതൽ വിശദാംശങ്ങൾക്ക്, കാണുക). നിർമ്മിത ഇടവേള ഒരു നിശ്ചിത കോൺഫിഡൻസ് ലെവലിൻ്റെ സവിശേഷതയാണ്, ഇത് യഥാർത്ഥ പോപ്പുലേഷൻ പാരാമീറ്റർ ശരിയായി കണക്കാക്കാനുള്ള സാധ്യതയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു. ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ അനുപാതം കണക്കാക്കാൻ സമാനമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ ഉപയോഗിക്കാം ആർജനസംഖ്യയുടെ പ്രധാന വിതരണം.

കുറിപ്പ് ഡൗൺലോഡ് ചെയ്യുക അല്ലെങ്കിൽ ഫോർമാറ്റിൽ, ഉദാഹരണങ്ങൾ ഫോർമാറ്റിൽ

അറിയപ്പെടുന്ന സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് ജനസംഖ്യയുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്‌ക്കായി ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കുന്നു

ജനസംഖ്യയിലെ ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ വിഹിതത്തിനായി ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കുന്നു

ഈ വിഭാഗം ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള എന്ന ആശയത്തെ വർഗ്ഗീകരണ ഡാറ്റയിലേക്ക് വിപുലീകരിക്കുന്നു. ജനസംഖ്യയിലെ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ പങ്ക് കണക്കാക്കാൻ ഇത് ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു ആർസാമ്പിൾ ഷെയർ ഉപയോഗിച്ച് ആർഎസ്= X/എൻ. സൂചിപ്പിച്ചതുപോലെ, അളവ് എങ്കിൽ എൻആർഒപ്പം എൻ(1-p)സംഖ്യ 5 കവിയുന്നു, ദ്വിപദ വിതരണം സാധാരണ പോലെ കണക്കാക്കാം. അതിനാൽ, ജനസംഖ്യയിലെ ഒരു സ്വഭാവത്തിൻ്റെ പങ്ക് കണക്കാക്കാൻ ആർആത്മവിശ്വാസം തുല്യമായ ഒരു ഇടവേള നിർമ്മിക്കാൻ സാധിക്കും (1 - α)x100%.

എവിടെ പിഎസ്- തുല്യമായ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ മാതൃകാ അനുപാതം X/എൻ, അതായത്. സാമ്പിൾ വലുപ്പം കൊണ്ട് ഹരിച്ച വിജയങ്ങളുടെ എണ്ണം, ആർ- സാധാരണ ജനസംഖ്യയിലെ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ പങ്ക്, Z- സ്റ്റാൻഡേർഡ് നിർണ്ണായക മൂല്യം സാധാരണ വിതരണം, എൻ- സാമ്പിൾ വലിപ്പം.

ഉദാഹരണം 3.അതിൽ നിന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം വിവര സംവിധാനംഉള്ളിൽ പൂരിപ്പിച്ച 100 ഇൻവോയ്‌സുകൾ അടങ്ങുന്ന ഒരു സാമ്പിൾ എക്‌സ്‌ട്രാക്‌റ്റ് ചെയ്‌തു കഴിഞ്ഞ മാസം. ഈ ഇൻവോയ്സുകളിൽ 10 എണ്ണം പിശകുകളോടെ സമാഹരിച്ചതാണെന്ന് നമുക്ക് പറയാം. അങ്ങനെ, ആർ= 10/100 = 0.1. 95% കോൺഫിഡൻസ് ലെവൽ Z = 1.96 എന്ന നിർണ്ണായക മൂല്യവുമായി യോജിക്കുന്നു.

അതിനാൽ, 4.12% മുതൽ 15.88% വരെ ഇൻവോയ്‌സുകളിൽ പിശകുകൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത 95% ആണ്.

നൽകിയിരിക്കുന്ന സാമ്പിൾ വലുപ്പത്തിന്, ജനസംഖ്യയിലെ സ്വഭാവത്തിൻ്റെ അനുപാതം ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള തുടർച്ചയായതിനേക്കാൾ വിശാലമാണ്. റാൻഡം വേരിയബിൾ. കാരണം, തുടർച്ചയായ റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ അളവുകളിൽ കാറ്റഗറിക്കൽ ഡാറ്റയുടെ അളവുകളേക്കാൾ കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, രണ്ട് മൂല്യങ്ങൾ മാത്രം എടുക്കുന്ന വർഗ്ഗീകരണ ഡാറ്റയിൽ അവയുടെ വിതരണത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ കണക്കാക്കാൻ മതിയായ വിവരങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടില്ല.

INപരിമിതമായ ജനസംഖ്യയിൽ നിന്ന് വേർതിരിച്ചെടുത്ത എസ്റ്റിമേറ്റ് കണക്കാക്കുന്നു

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ ഏകദേശ കണക്ക്.അന്തിമ ജനസംഖ്യയുടെ തിരുത്തൽ ഘടകം ( fpc) ഒരു ഘടകം കൊണ്ട് സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശക് കുറയ്ക്കാൻ ഉപയോഗിച്ചു. പോപ്പുലേഷൻ പാരാമീറ്റർ എസ്റ്റിമേറ്റുകൾക്കായുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ കണക്കാക്കുമ്പോൾ, സാമ്പിളുകൾ തിരികെ നൽകാതെ വരയ്ക്കുന്ന സാഹചര്യങ്ങളിൽ ഒരു തിരുത്തൽ ഘടകം പ്രയോഗിക്കുന്നു. അങ്ങനെ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് തുല്യമായ ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ലെവൽ ഉള്ള ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള (1 - α)x100%, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 4.ഒരു പരിമിതമായ പോപ്പുലേഷനിൽ തിരുത്തൽ ഘടകത്തിൻ്റെ ഉപയോഗം വ്യക്തമാക്കുന്നതിന്, ഉദാഹരണം 3-ൽ മുകളിൽ ചർച്ച ചെയ്ത ഇൻവോയ്സുകളുടെ ശരാശരി തുകയ്ക്കുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നത്തിലേക്ക് നമുക്ക് മടങ്ങാം. ഒരു കമ്പനി പ്രതിമാസം 5,000 ഇൻവോയ്സുകൾ നൽകുന്നുവെന്ന് കരുതുക, കൂടാതെ X̅=110.27 ഡോളർ, എസ്= $28.95 എൻ = 5000, എൻ = 100, α = 0.05, t 99 = 1.9842. ഫോർമുല (6) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഒരു ഫീച്ചറിൻ്റെ വിഹിതത്തിൻ്റെ അനുമാനം.റിട്ടേൺ ഇല്ലാതെ തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, ആട്രിബ്യൂട്ടിൻ്റെ അനുപാതത്തിന് തുല്യമായ കോൺഫിഡൻസ് ലെവൽ ഉള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള (1 - α)x100%, ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

ആത്മവിശ്വാസത്തിൻ്റെ ഇടവേളകളും ധാർമ്മിക പ്രശ്നങ്ങളും

ഒരു ജനസംഖ്യ സാമ്പിൾ ചെയ്യുകയും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ, പലപ്പോഴും ധാർമ്മിക പ്രശ്നങ്ങൾ ഉയർന്നുവരുന്നു. സാമ്പിൾ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളും പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റുകളും എങ്ങനെ യോജിക്കുന്നു എന്നതാണ് പ്രധാനം. അനുബന്ധ കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകളും (സാധാരണയായി 95% കോൺഫിഡൻസ് ലെവലിൽ) അവ ഉരുത്തിരിഞ്ഞ സാമ്പിൾ വലുപ്പവും വ്യക്തമാക്കാതെ പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നത് ആശയക്കുഴപ്പം സൃഷ്ടിക്കും. മുഴുവൻ ജനസംഖ്യയുടെയും സ്വത്തുക്കൾ പ്രവചിക്കാൻ ആവശ്യമായ പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് കൃത്യമായിരിക്കുമെന്ന ധാരണ ഉപയോക്താവിന് ഇത് നൽകിയേക്കാം. അതിനാൽ, ഏതൊരു ഗവേഷണത്തിലും ശ്രദ്ധ കേന്ദ്രീകരിക്കേണ്ടത് പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റുകളിലല്ല, മറിച്ച് ഇടവേള എസ്റ്റിമേറ്റുകളിലാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. കൂടാതെ, പ്രത്യേക ശ്രദ്ധനൽകണം ശരിയായ തിരഞ്ഞെടുപ്പ്സാമ്പിൾ വലുപ്പങ്ങൾ.

മിക്കപ്പോഴും, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് കൃത്രിമത്വത്തിൻ്റെ വസ്തുക്കൾ ചില പ്രത്യേക ജനസംഖ്യയുടെ സാമൂഹ്യശാസ്ത്ര സർവേകളുടെ ഫലങ്ങളാണ്. രാഷ്ട്രീയ പ്രശ്നങ്ങൾ. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സർവേ ഫലങ്ങൾ പത്രങ്ങളുടെ ഒന്നാം പേജിൽ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു, പിശക് സാമ്പിൾ സർവേസ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ വിശകലനത്തിനുള്ള രീതിശാസ്ത്രം മധ്യത്തിൽ എവിടെയോ അച്ചടിച്ചിരിക്കുന്നു. ലഭിച്ച പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ സാധുത തെളിയിക്കാൻ, അവ ലഭിച്ചതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ സാമ്പിൾ വലുപ്പം, ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ അതിരുകൾ, അതിൻ്റെ പ്രാധാന്യത്തിൻ്റെ അളവ് എന്നിവ സൂചിപ്പിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

അടുത്ത കുറിപ്പ്

മാനേജർമാർക്കുള്ള സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾ എന്ന പുസ്തകത്തിൽ നിന്നുള്ള മെറ്റീരിയലുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നു. – എം.: വില്യംസ്, 2004. – പേ. 448–462

കേന്ദ്ര പരിധി സിദ്ധാന്തംആവശ്യത്തിന് വലിയ സാമ്പിൾ വലുപ്പമുള്ളതിനാൽ, ഒരു സാധാരണ വിതരണത്തിലൂടെ മാർഗങ്ങളുടെ സാമ്പിൾ വിതരണം ഏകദേശം കണക്കാക്കാം. ഈ സ്വത്ത് ജനസംഖ്യയുടെ വിതരണ തരത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല.

മുമ്പത്തെ ഉപവിഭാഗങ്ങളിൽ ഒരു അജ്ഞാത പാരാമീറ്റർ കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഞങ്ങൾ പരിഗണിച്ചു എഒരു നമ്പർ. ഇതിനെ "പോയിൻ്റ്" എസ്റ്റിമേറ്റ് എന്ന് വിളിക്കുന്നു. നിരവധി ടാസ്ക്കുകളിൽ, നിങ്ങൾ പാരാമീറ്ററിനായി മാത്രം കണ്ടെത്തേണ്ടതില്ല എഅനുയോജ്യമായ സംഖ്യാ മൂല്യം, മാത്രമല്ല അതിൻ്റെ കൃത്യതയും വിശ്വാസ്യതയും വിലയിരുത്താൻ. ഒരു പാരാമീറ്റർ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് എന്ത് പിശകുകളിലേക്ക് നയിക്കുമെന്ന് നിങ്ങൾ അറിയേണ്ടതുണ്ട് എഅതിൻ്റെ പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് എഈ പിശകുകൾ അറിയപ്പെടുന്ന പരിധികൾ കവിയില്ലെന്ന് എത്രത്തോളം ആത്മവിശ്വാസത്തോടെ നമുക്ക് പ്രതീക്ഷിക്കാം?

പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ചെയ്യുമ്പോൾ, ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ വളരെ കുറച്ച് നിരീക്ഷണങ്ങളിൽ പ്രത്യേകിച്ചും പ്രസക്തമാണ് ഒപ്പംവലിയതോതിൽ ക്രമരഹിതമാണ്, a എന്നതിനെ ഏകദേശമായി മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നത് ഗുരുതരമായ പിശകുകളിലേക്ക് നയിച്ചേക്കാം.

എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ കൃത്യതയെയും വിശ്വാസ്യതയെയും കുറിച്ച് ഒരു ആശയം നൽകാൻ എ,

വി ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകൾഅവർ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളും ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യതകളും ഉപയോഗിക്കുന്നു.

പരാമീറ്ററിനായി അനുവദിക്കുക എഅനുഭവത്തിൽ നിന്ന് ലഭിച്ച നിഷ്പക്ഷമായ എസ്റ്റിമേറ്റ് എ.ഈ കേസിൽ സാധ്യമായ പിശക് കണക്കാക്കാൻ ഞങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു. നമുക്ക് വേണ്ടത്ര വലിയ പ്രോബബിലിറ്റി p (ഉദാഹരണത്തിന്, p = 0.9, 0.95 അല്ലെങ്കിൽ 0.99) നൽകാം, അതായത് p പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള ഒരു ഇവൻ്റ് പ്രായോഗികമായി വിശ്വസനീയമായി കണക്കാക്കാം, അതിനായി ഒരു മൂല്യം കണ്ടെത്താം s

മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുമ്പോൾ ഉണ്ടാകുന്ന പിശകിൻ്റെ പ്രായോഗികമായി സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങളുടെ ശ്രേണി എഓൺ എ, ± s ആയിരിക്കും; വലിയ വഴി യഥാർത്ഥ മൂല്യംപിശകുകൾ ഒരു കുറഞ്ഞ പ്രോബബിലിറ്റിയിൽ മാത്രമേ ദൃശ്യമാകൂ a = 1 - p. നമുക്ക് (14.3.1) ഇങ്ങനെ മാറ്റിയെഴുതാം:

സമത്വം (14.3.2) അർത്ഥമാക്കുന്നത് പ്രോബബിലിറ്റിയോടെ പി അജ്ഞാത മൂല്യംപരാമീറ്റർ എഇടവേളയ്ക്കുള്ളിൽ വീഴുന്നു

ഒരു സാഹചര്യം ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. മുമ്പ്, ഒരു ക്രമരഹിത വേരിയബിളിൻ്റെ ഒരു ക്രമരഹിതമായ ഇടവേളയിൽ വീഴാനുള്ള സാധ്യത ഞങ്ങൾ ആവർത്തിച്ച് പരിഗണിച്ചിരുന്നു. ഇവിടെ സ്ഥിതി വ്യത്യസ്തമാണ്: അളവ് എക്രമരഹിതമല്ല, എന്നാൽ ഇടവേള / പി ക്രമരഹിതമാണ്. x-അക്ഷത്തിൽ അതിൻ്റെ സ്ഥാനം ക്രമരഹിതമാണ്, അതിൻ്റെ കേന്ദ്രം നിർണ്ണയിക്കുന്നു എ; പൊതുവേ, ഇടവേള 2s ൻ്റെ ദൈർഘ്യവും ക്രമരഹിതമാണ്, കാരണം s ൻ്റെ മൂല്യം ഒരു ചട്ടം പോലെ, പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇൻ ഈ സാഹചര്യത്തിൽ p മൂല്യം ഒരു പോയിൻ്റ് "അടിക്കാനുള്ള" സാധ്യതയായി വ്യാഖ്യാനിക്കുന്നതാണ് നല്ലത് എഇടവേള / പി, കൂടാതെ ഒരു റാൻഡം ഇടവേള / പി പോയിൻ്റ് കവർ ചെയ്യാനുള്ള സാധ്യത എ(ചിത്രം 14.3.1).

അരി. 14.3.1

പ്രോബബിലിറ്റി p സാധാരണയായി വിളിക്കുന്നു ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യത, ഒപ്പം ഇടവേള / പി - ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള.ഇടവേള അതിരുകൾ എങ്കിൽ. a x = a-മണല് a 2 = a +എന്നും വിളിക്കപ്പെടുന്നു അതിരുകളെ വിശ്വസിക്കുക.

ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള എന്ന ആശയത്തിന് മറ്റൊരു വ്യാഖ്യാനം നൽകാം: ഇത് പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങളുടെ ഇടവേളയായി കണക്കാക്കാം. എ,പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു, അവയ്ക്ക് വിരുദ്ധമല്ല. തീർച്ചയായും, a = 1-p സാധ്യതയുള്ള ഒരു ഇവൻ്റ് പരിഗണിക്കാൻ ഞങ്ങൾ സമ്മതിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, a പരാമീറ്ററിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ a = 1-p. a - a> കൾ പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയ്ക്ക് വിരുദ്ധമാണെന്ന് തിരിച്ചറിയണം, കൂടാതെ |a - എഒരു ടി നാ 2 .

പരാമീറ്ററിനായി അനുവദിക്കുക എനിഷ്പക്ഷമായ ഒരു കണക്കുണ്ട് എ.അളവിൻ്റെ വിതരണ നിയമം നമുക്ക് അറിയാമെങ്കിൽ എ, ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ കണ്ടെത്താനുള്ള ചുമതല വളരെ ലളിതമായിരിക്കും: അതിനുള്ള ഒരു മൂല്യം കണ്ടെത്താൻ ഇത് മതിയാകും.

എസ്റ്റിമേറ്റുകളുടെ വിതരണ നിയമം എന്നതാണ് ബുദ്ധിമുട്ട് എഅളവിൻ്റെ വിതരണ നിയമത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എക്സ്അതിനാൽ, അതിൻ്റെ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകളിൽ (പ്രത്യേകിച്ച്, പാരാമീറ്ററിൽ തന്നെ എ).

ഈ ബുദ്ധിമുട്ട് മറികടക്കാൻ, നിങ്ങൾക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഏകദേശം ഏകദേശ സാങ്കേതികത ഉപയോഗിക്കാം: s എന്നതിനായുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലെ അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ അവയുടെ പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. താരതമ്യേന വലിയ എണ്ണം പരീക്ഷണങ്ങൾക്കൊപ്പം പി(ഏകദേശം 20...30) ഈ സാങ്കേതികത സാധാരണയായി കൃത്യതയുടെ കാര്യത്തിൽ തൃപ്തികരമായ ഫലങ്ങൾ നൽകുന്നു.

ഒരു ഉദാഹരണമായി, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയുടെ പ്രശ്നം പരിഗണിക്കുക.

അത് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കപ്പെടട്ടെ പി X,ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയാണ് ആരുടെ സവിശേഷതകൾ ടിവ്യതിയാനവും ഡി- അജ്ഞാതം. ഈ പാരാമീറ്ററുകൾക്കായി ഇനിപ്പറയുന്ന എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ ലഭിച്ചു:

ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ / പി അനുബന്ധമായി നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് ആത്മവിശ്വാസ സാധ്യത p, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്ക് ടിഅളവ് എക്സ്.

ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, അളവ് എന്ന വസ്തുത ഞങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും ടിതുകയെ പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു പിസ്വതന്ത്രമായി ഒരേപോലെ വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ Xhകേന്ദ്രപരിധി സിദ്ധാന്തം അനുസരിച്ച്, ആവശ്യത്തിന് വലുത് പിഅതിൻ്റെ വിതരണ നിയമം സാധാരണ നിലയിലാണ്. പ്രായോഗികമായി, താരതമ്യേന ചെറിയ സംഖ്യകൾ (ഏകദേശം 10...20) ആണെങ്കിലും, തുകയുടെ വിതരണ നിയമം ഏകദേശം സാധാരണമായി കണക്കാക്കാം. മൂല്യം എന്ന് ഞങ്ങൾ അനുമാനിക്കും ടിസാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു. ഈ നിയമത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ - ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയും വ്യത്യാസവും - യഥാക്രമം തുല്യമാണ് ടിഒപ്പം

(അധ്യായം 13 ഉപവിഭാഗം 13.3 കാണുക). മൂല്യം എന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം ഡിഞങ്ങൾക്കറിയാം, അതിനായി ഒരു മൂല്യം Ep കണ്ടെത്തും

അദ്ധ്യായം 6-ൻ്റെ ഫോർമുല (6.3.5) ഉപയോഗിച്ച്, (14.3.5) ൻ്റെ ഇടതുവശത്തുള്ള സാധ്യത സാധാരണ വിതരണ ഫംഗ്‌ഷനിലൂടെ ഞങ്ങൾ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

എസ്റ്റിമേറ്റിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ എവിടെയാണ് ടി.

സമവാക്യത്തിൽ നിന്ന്.

Sp മൂല്യം കണ്ടെത്തുക:

ഇവിടെ arg Ф* (х) എന്നത് Ф* ൻ്റെ വിപരീത പ്രവർത്തനമാണ് (എക്സ്),ആ. വാദത്തിൻ്റെ മൂല്യം സാധാരണ പ്രവർത്തനംവിതരണം തുല്യമാണ് എക്സ്.

വിസരണം ഡി,അതിലൂടെ അളവ് പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു എ 1P, ഞങ്ങൾക്ക് കൃത്യമായി അറിയില്ല; അതിൻ്റെ ഏകദേശ മൂല്യമായി, നിങ്ങൾക്ക് എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉപയോഗിക്കാം ഡി(14.3.4) കൂടാതെ ഏകദേശം ഇടുക:

അങ്ങനെ, ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രശ്നം ഏകദേശം പരിഹരിച്ചു, ഇത് ഇതിന് തുല്യമാണ്:

അവിടെ gp ഫോർമുല (14.3.7) വഴി നിർണ്ണയിക്കപ്പെടുന്നു.

s p കണക്കാക്കുമ്പോൾ Ф* (l) ഫംഗ്‌ഷൻ്റെ പട്ടികകളിൽ വിപരീത ഇൻ്റർപോളേഷൻ ഒഴിവാക്കാൻ, ഒരു പ്രത്യേക പട്ടിക (പട്ടിക 14.3.1) കംപൈൽ ചെയ്യുന്നത് സൗകര്യപ്രദമാണ്, അത് അളവിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ നൽകുന്നു.

ആർ അനുസരിച്ച്. മൂല്യം (p എന്നത് സാധാരണ നിയമത്തിനായി വ്യതിചലനത്തിൻ്റെ കേന്ദ്രത്തിൽ നിന്ന് വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും പ്ലോട്ട് ചെയ്യേണ്ട സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനുകളുടെ എണ്ണം നിർണ്ണയിക്കുന്നു, അങ്ങനെ തത്ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ഏരിയയിലേക്ക് പ്രവേശിക്കാനുള്ള സാധ്യത p ന് തുല്യമാണ്.

7 p യുടെ മൂല്യത്തിലൂടെ, ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇതായി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

പട്ടിക 14.3.1

ഉദാഹരണം 1. അളവിൽ 20 പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി എക്സ്;ഫലങ്ങൾ പട്ടികയിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. 14.3.2.

പട്ടിക 14.3.2

അളവിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയിൽ നിന്ന് ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് എക്സ്കൂടാതെ കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി p = 0.8 ന് അനുയോജ്യമായ ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ നിർമ്മിക്കുക.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉണ്ട്:

l: = 10 റഫറൻസ് പോയിൻ്റായി തിരഞ്ഞെടുക്കുമ്പോൾ, മൂന്നാമത്തെ ഫോർമുല (14.2.14) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ നിഷ്പക്ഷമായ എസ്റ്റിമേറ്റ് കണ്ടെത്തുന്നു. ഡി :

പട്ടിക പ്രകാരം 14.3.1 ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

ആത്മവിശ്വാസത്തിൻ്റെ പരിധി:

ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള:

പാരാമീറ്റർ മൂല്യങ്ങൾ ടി,ഈ ഇടവേളയിൽ കിടക്കുന്നത് പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്ന പരീക്ഷണാത്മക ഡാറ്റയുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു. 14.3.2.

വേരിയൻസിനായി ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള സമാനമായ രീതിയിൽ നിർമ്മിക്കാവുന്നതാണ്.

അത് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കപ്പെടട്ടെ പിഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൽ സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങൾ എക്സ് A, dispersion എന്നിവയ്‌ക്കുള്ള അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾക്കൊപ്പം ഡിനിഷ്പക്ഷമായ ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ലഭിച്ചു:

വ്യതിയാനത്തിന് ഏകദേശം ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (14.3.11) അളവ് എന്ന് വ്യക്തമാണ് ഡിപ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു

തുക പിഫോമിൻ്റെ ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിളുകൾ. ഈ മൂല്യങ്ങൾ അല്ല

സ്വതന്ത്രമായതിനാൽ, അവയിലേതെങ്കിലും അളവ് ഉൾപ്പെടുന്നു ടി,എല്ലാവരേയും ആശ്രയിക്കുന്നു. എന്നിരുന്നാലും, വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച് അത് കാണിക്കാനാകും പിഅവരുടെ തുകയുടെ വിതരണ നിയമവും സാധാരണ നിലയിലേക്ക് അടുക്കുന്നു. ഏതാണ്ട് സമയത്ത് പി= 20...30 ഇത് ഇതിനകം സാധാരണമായി കണക്കാക്കാം.

ഇത് അങ്ങനെയാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, ഈ നിയമത്തിൻ്റെ സവിശേഷതകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം: ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയും ചിതറിയും. വിലയിരുത്തൽ മുതൽ ഡി- പക്ഷപാതരഹിതം, അപ്പോൾ എം[ഡി] = ഡി.

വേരിയൻസ് കണക്കുകൂട്ടൽ തീയതിതാരതമ്യേന സങ്കീർണ്ണമായ കണക്കുകൂട്ടലുകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഞങ്ങൾ അതിൻ്റെ പദപ്രയോഗം ഡെറിവേഷൻ ഇല്ലാതെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

ഇവിടെ q 4 നാലാമത്തേതാണ് കേന്ദ്ര പോയിൻ്റ്അളവ് എക്സ്.

ഈ പദപ്രയോഗം ഉപയോഗിക്കുന്നതിന്, നിങ്ങൾ മൂല്യങ്ങൾ \u003d 4 കൂടാതെ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട് ഡി(കുറഞ്ഞത് അടുത്തുള്ളവയെങ്കിലും). ഇതിനുപകരമായി ഡിനിങ്ങൾക്ക് അവൻ്റെ വിലയിരുത്തൽ ഉപയോഗിക്കാം ഡി.തത്വത്തിൽ, നാലാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷം ഒരു എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കാം, ഉദാഹരണത്തിന്, ഫോമിൻ്റെ ഒരു മൂല്യം:

എന്നാൽ അത്തരമൊരു മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ വളരെ കുറഞ്ഞ കൃത്യത നൽകും, കാരണം പൊതുവേ, പരിമിതമായ എണ്ണം പരീക്ഷണങ്ങൾ, നിമിഷങ്ങൾ ഉയർന്ന ക്രമംമുതൽ നിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നു വലിയ തെറ്റുകൾ. എന്നിരുന്നാലും, പ്രായോഗികമായി അത് പലപ്പോഴും സംഭവിക്കുന്നത് അളവ് വിതരണ നിയമത്തിൻ്റെ തരം എക്സ്മുൻകൂട്ടി അറിയാം: അതിൻ്റെ പാരാമീറ്ററുകൾ മാത്രം അജ്ഞാതമാണ്. അപ്പോൾ നിങ്ങൾക്ക് μ4 മുഖേന പ്രകടിപ്പിക്കാൻ ശ്രമിക്കാം ഡി.

മൂല്യം എപ്പോൾ ഏറ്റവും സാധാരണമായ കേസ് എടുക്കാം എക്സ്സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു. അപ്പോൾ അതിൻ്റെ നാലാമത്തെ കേന്ദ്ര നിമിഷം ചിതറിക്കിടക്കുന്നതിൻ്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു (അധ്യായം 6, ഉപവിഭാഗം 6.2 കാണുക);

ഫോർമുല (14.3.12) നൽകുന്നു അഥവാ

(14.3.14) ൽ അജ്ഞാതമായത് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു ഡിഅവൻ്റെ വിലയിരുത്തൽ ഡി, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നു: എവിടെ നിന്ന്

നിമിഷം μ 4 മുഖേന പ്രകടിപ്പിക്കാം ഡിമറ്റ് ചില സന്ദർഭങ്ങളിലും, മൂല്യം വിതരണം ചെയ്യുമ്പോൾ എക്സ്സാധാരണ അല്ല, പക്ഷേ അതിൻ്റെ രൂപം അറിയപ്പെടുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന്, നിയമത്തിന് ഏകീകൃത സാന്ദ്രത(അധ്യായം 5 കാണുക) ഞങ്ങൾക്ക് ഉണ്ട്:

എവിടെ (a, P) എന്നത് നിയമം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഇടവേളയാണ്.

അതിനാൽ,

ഫോർമുല (14.3.12) ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്: ഞങ്ങൾ ഏകദേശം എവിടെ കണ്ടെത്തും

അളവ് 26-ൻ്റെ വിതരണ നിയമത്തിൻ്റെ തരം അജ്ഞാതമായ സന്ദർഭങ്ങളിൽ, മൂല്യത്തിൻ്റെ ഏകദേശ എസ്റ്റിമേറ്റ് തയ്യാറാക്കുമ്പോൾ a/) ഫോർമുല (14.3.16) ഉപയോഗിക്കാൻ ശുപാർശ ചെയ്യുന്നു, ഈ നിയമം വിശ്വസിക്കാൻ പ്രത്യേക കാരണങ്ങളില്ലെങ്കിൽ സാധാരണയിൽ നിന്ന് വളരെ വ്യത്യസ്തമാണ് (ശ്രദ്ധേയമായ പോസിറ്റീവ് അല്ലെങ്കിൽ നെഗറ്റീവ് കുർട്ടോസിസ് ഉണ്ട്) .

ഏകദേശ മൂല്യം a/) ഒരു തരത്തിലല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു തരത്തിൽ ലഭിച്ചാൽ, ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്‌ക്കായി ഞങ്ങൾ നിർമ്മിച്ച അതേ രീതിയിൽ തന്നെ വേരിയൻസിനായി ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ നിർമ്മിക്കാം:

ഇവിടെ നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റിയെ ആശ്രയിച്ചുള്ള മൂല്യം p പട്ടിക പ്രകാരം കണ്ടെത്തുന്നു. 14.3.1.

ഉദാഹരണം 2. റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ വ്യതിയാനത്തിന് ഏകദേശം 80% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക എക്സ്ഉദാഹരണം 1-ൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിൽ, അത് അറിയാമെങ്കിൽ മൂല്യം എക്സ്സാധാരണ നിലയിലുള്ള ഒരു നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്തു.

പരിഹാരം.മൂല്യം പട്ടികയിൽ ഉള്ളതുപോലെ തന്നെ തുടരുന്നു. 14.3.1:

ഫോർമുല പ്രകാരം (14.3.16)

ഫോർമുല (14.3.18) ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുന്നു:

ശരാശരി മൂല്യങ്ങളുടെ അനുബന്ധ ഇടവേള ചതുരാകൃതിയിലുള്ള വ്യതിയാനം: (0,21; 0,29).

14.4 ഒരു സാധാരണ നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്യപ്പെടുന്ന ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൻ്റെ പരാമീറ്ററുകൾക്കായി ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള കൃത്യമായ രീതികൾ

മുമ്പത്തെ ഉപവിഭാഗത്തിൽ, ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയ്ക്കും വ്യതിയാനത്തിനുമായി ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കുന്നതിനുള്ള ഏകദേശ രീതികൾ ഞങ്ങൾ പരിശോധിച്ചു. ഒരേ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള കൃത്യമായ രീതികളെക്കുറിച്ച് ഞങ്ങൾ ഇവിടെ ഒരു ആശയം നൽകും. വിശ്വസനീയമായ ഇടവേളകൾ കൃത്യമായി കണ്ടെത്തുന്നതിന്, അളവിൻ്റെ വിതരണ നിയമത്തിൻ്റെ രൂപം മുൻകൂട്ടി അറിയേണ്ടത് അനിവാര്യമാണെന്ന് ഞങ്ങൾ ഊന്നിപ്പറയുന്നു. X,അതേസമയം ഏകദേശ രീതികളുടെ പ്രയോഗത്തിന് ഇത് ആവശ്യമില്ല.

ആശയം കൃത്യമായ രീതികൾആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കുന്നത് ഇനിപ്പറയുന്നവയിലേക്ക് വരുന്നു. ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള എസ്റ്റിമേറ്റ് ഉൾപ്പെടുന്ന ചില അസമത്വങ്ങൾ പൂർത്തീകരിക്കാനുള്ള സാധ്യത പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്നാണ് ഏതൊരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയും കണ്ടെത്തുന്നത്. എ.മൂല്യനിർണ്ണയ വിതരണ നിയമം എവി പൊതുവായ കേസ്അജ്ഞാത അളവ് പാരാമീറ്ററുകളെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു എക്സ്.എന്നിരുന്നാലും, ചിലപ്പോൾ ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൽ നിന്ന് അസമത്വങ്ങൾ കടന്നുപോകാൻ കഴിയും എനിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ മറ്റ് ചില പ്രവർത്തനങ്ങളിലേക്ക് X p X 2, ..., എക്സ് പി.ഇതിൻ്റെ വിതരണ നിയമം അജ്ഞാതമായ പാരാമീറ്ററുകളെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, എന്നാൽ പരീക്ഷണങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെയും അളവിൻ്റെ വിതരണ നിയമത്തിൻ്റെ തരത്തെയും മാത്രം ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. എക്സ്.ഇത്തരത്തിലുള്ള റാൻഡം വേരിയബിളുകൾ ഗണിതശാസ്ത്ര സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളിൽ ഒരു പ്രധാന പങ്ക് വഹിക്കുന്നു; അളവിൻ്റെ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ അവ വളരെ വിശദമായി പഠിച്ചു എക്സ്.

ഉദാഹരണത്തിന്, മൂല്യത്തിൻ്റെ ഒരു സാധാരണ വിതരണം ഉപയോഗിച്ച് അത് തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട് എക്സ്ക്രമരഹിതമായ മൂല്യം

വിളിക്കപ്പെടുന്നവയെ അനുസരിക്കുന്നു വിദ്യാർത്ഥി വിതരണ നിയമംകൂടെ പി- 1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യം; ഈ നിയമത്തിൻ്റെ സാന്ദ്രതയ്ക്ക് ഒരു രൂപമുണ്ട്

ഇവിടെ G(x) അറിയപ്പെടുന്ന ഗാമാ ഫംഗ്‌ഷൻ ആണ്:

റാൻഡം വേരിയബിൾ ആണെന്നും തെളിയിക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്

കൂടെ "% 2 ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ" ഉണ്ട് പി- 1 ഡിഗ്രി സ്വാതന്ത്ര്യം (അധ്യായം 7 കാണുക), അതിൻ്റെ സാന്ദ്രത ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു

ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷനുകളുടെ (14.4.2), (14.4.4) വ്യുൽപ്പന്നങ്ങളെ കുറിച്ച് ചിന്തിക്കാതെ, പരാമീറ്ററുകൾക്കായി കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കുമ്പോൾ അവ എങ്ങനെ പ്രയോഗിക്കാമെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിക്കും. ടി ഡി.

അത് ഉൽപ്പാദിപ്പിക്കപ്പെടട്ടെ പിഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൽ സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങൾ X,സാധാരണയായി അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു ടി&ഒ.ഈ പരാമീറ്ററുകൾക്കായി, എസ്റ്റിമേറ്റുകൾ ലഭിച്ചു

കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് അനുയോജ്യമായ രണ്ട് പരാമീറ്ററുകൾക്കും കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകൾ നിർമ്മിക്കേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്.

നമുക്ക് ആദ്യം ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കായി ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർമ്മിക്കാം. ഈ ഇടവേള സമമിതിയായി എടുക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ് ടി; s p ഇടവേളയുടെ പകുതി നീളത്തെ സൂചിപ്പിക്കാം. s p മൂല്യം തിരഞ്ഞെടുക്കണം, അങ്ങനെ വ്യവസ്ഥ തൃപ്തികരമാണ്

റാൻഡം വേരിയബിളിൽ നിന്ന് സമത്വത്തിൻ്റെ (14.4.5) ഇടതുവശത്തേക്ക് നീങ്ങാൻ ശ്രമിക്കാം ടിഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിലേക്ക് ടി,വിദ്യാർത്ഥി നിയമം അനുസരിച്ച് വിതരണം ചെയ്തു. ഇത് ചെയ്യുന്നതിന്, അസമത്വത്തിൻ്റെ ഇരുവശങ്ങളും |m-w?| ഗുണിക്കുക

പോസിറ്റീവ് മൂല്യത്താൽ: അല്ലെങ്കിൽ, നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് (14.4.1),

വ്യവസ്ഥയിൽ നിന്ന് മൂല്യം / പി കണ്ടെത്താൻ കഴിയുന്ന ഒരു നമ്പർ / പി കണ്ടെത്താം

ഫോർമുലയിൽ നിന്ന് (14.4.2) അത് വ്യക്തമാണ് (1) - പ്രവർത്തനം പോലും, അങ്ങനെ (14.4.8) നൽകുന്നു

തുല്യത (14.4.9) പിയെ ആശ്രയിച്ച് മൂല്യം / പി നിർണ്ണയിക്കുന്നു. അവിഭാജ്യ മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക നിങ്ങളുടെ പക്കലുണ്ടെങ്കിൽ

അപ്പോൾ /p യുടെ മൂല്യം പട്ടികയിൽ റിവേഴ്സ് ഇൻ്റർപോളേഷൻ വഴി കണ്ടെത്താം. എന്നിരുന്നാലും, /p മൂല്യങ്ങളുടെ ഒരു പട്ടിക മുൻകൂട്ടി തയ്യാറാക്കുന്നത് കൂടുതൽ സൗകര്യപ്രദമാണ്. അത്തരമൊരു പട്ടിക അനുബന്ധത്തിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു (പട്ടിക 5). ഈ പട്ടിക ആത്മവിശ്വാസം ലെവൽ p, സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ ഡിഗ്രികളുടെ എണ്ണം എന്നിവയെ ആശ്രയിച്ച് മൂല്യങ്ങൾ കാണിക്കുന്നു പി- 1. പട്ടികയിൽ നിന്ന് / പി നിർണ്ണയിച്ച ശേഷം. 5 ഒപ്പം അനുമാനിക്കുന്നു

കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ / പിയുടെയും ഇടവേളയുടെയും പകുതി വീതിയും ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും

ഉദാഹരണം 1. ഒരു റാൻഡം വേരിയബിളിൽ 5 സ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങൾ നടത്തി X,സാധാരണയായി അജ്ഞാത പാരാമീറ്ററുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിതരണം ചെയ്യുന്നു ടിഏകദേശം. പരീക്ഷണങ്ങളുടെ ഫലങ്ങൾ പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു. 14.4.1.

പട്ടിക 14.4.1

റേറ്റിംഗ് കണ്ടെത്തുക ടിഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്‌ക്കായി ഒരു 90% കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ / പി നിർമ്മിക്കുക (അതായത്, കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഇടവേള p = 0.9).

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉണ്ട്:

അപേക്ഷയുടെ പട്ടിക 5 അനുസരിച്ച് പി - 1 = 4 ഉം p = 0.9 ഉം ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു എവിടെ

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ആയിരിക്കും

ഉദാഹരണം 2. ഉപവിഭാഗം 14.3 ൻ്റെ ഉദാഹരണം 1 ൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്കായി, മൂല്യം അനുമാനിക്കുന്നു എക്സ്സാധാരണ വിതരണം, കൃത്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്ന അനുബന്ധത്തിൻ്റെ പട്ടിക 5 അനുസരിച്ച് പി - 1 = 19ir =

0.8 / പി = 1.328; ഇവിടെ നിന്ന്

ഉപവിഭാഗം 14.3 (e p = 0.072) ൻ്റെ ഉദാഹരണം 1 ൻ്റെ പരിഹാരവുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, പൊരുത്തക്കേട് വളരെ നിസ്സാരമാണെന്ന് ഞങ്ങൾക്ക് ബോധ്യമുണ്ട്. ഞങ്ങൾ രണ്ടാമത്തെ ദശാംശ സ്ഥാനത്തിലേക്കുള്ള കൃത്യത നിലനിർത്തുകയാണെങ്കിൽ, കൃത്യവും ഏകദേശ രീതികളും കണ്ടെത്തിയ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ യോജിക്കുന്നു:

വേരിയൻസിനായി ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ നിർമ്മിക്കുന്നതിലേക്ക് നമുക്ക് പോകാം. നിഷ്പക്ഷമായ വേരിയൻസ് എസ്റ്റിമേറ്റർ പരിഗണിക്കുക

കൂടാതെ റാൻഡം വേരിയബിൾ പ്രകടിപ്പിക്കുക ഡിമാഗ്നിറ്റ്യൂഡ് വഴി വി(14.4.3), ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ x 2 ഉള്ളത് (14.4.4):

അളവിൻ്റെ വിതരണ നിയമം അറിയുക വി,നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റി p-നൊപ്പം വരുന്ന ഇടവേള /(1) നിങ്ങൾക്ക് കണ്ടെത്താനാകും.

വിതരണ നിയമം kn_x(v)കാന്തിമാനം I 7 ന് ചിത്രത്തിൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന രൂപമുണ്ട്. 14.4.1.

അരി. 14.4.1

ചോദ്യം ഉയർന്നുവരുന്നു: ഇടവേള / പി എങ്ങനെ തിരഞ്ഞെടുക്കാം? മാഗ്നിറ്റ്യൂഡിൻ്റെ വിതരണ നിയമമാണെങ്കിൽ വിസമമിതി (സാധാരണ നിയമം അല്ലെങ്കിൽ വിദ്യാർത്ഥി വിതരണം പോലെ), ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട് ഇടവേള /p സമമിതി എടുക്കുന്നത് സ്വാഭാവികമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ നിയമം k p_x (v)അസമമായ. മൂല്യത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ആകുന്നതിന് ഇടവേള /p തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ നമുക്ക് സമ്മതിക്കാം വിഇടവേളയ്ക്ക് അപ്പുറം വലത്തോട്ടും ഇടത്തോട്ടും (ചിത്രം 14.4.1 ലെ ഷേഡുള്ള പ്രദേശങ്ങൾ) സമാനവും തുല്യവുമാണ്

ഈ പ്രോപ്പർട്ടി ഉപയോഗിച്ച് ഒരു ഇടവേള /p നിർമ്മിക്കുന്നതിന്, ഞങ്ങൾ പട്ടിക ഉപയോഗിക്കുന്നു. 4 ആപ്ലിക്കേഷനുകൾ: അതിൽ അക്കങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു y)അത്തരം

മൂല്യത്തിനായി വി, x 2 -ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ r ഡിഗ്രികൾ ഉള്ളത്. ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ r = n- 1. നമുക്ക് ശരിയാക്കാം r = n- 1 കൂടാതെ പട്ടികയുടെ അനുബന്ധ വരിയിൽ കണ്ടെത്തുക. 4 രണ്ട് അർത്ഥങ്ങൾ x 2 -ഒന്ന് പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട മറ്റൊന്ന് - പ്രോബബിലിറ്റി നമുക്ക് ഇവയെ സൂചിപ്പിക്കാം

മൂല്യങ്ങൾ 2ന്ഒപ്പം xl?ഇടവേള ഉണ്ട് y 2,നിങ്ങളുടെ ഇടതുവശത്ത്, ഒപ്പം y~വലത് അവസാനം.

ഇപ്പോൾ നമുക്ക് ഇൻ്റർവെൽ / പിയിൽ നിന്ന് ആവശ്യമുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ /|, അതിരുകളുള്ള ഡി, കൂടാതെ D2,ഏത് പോയിൻ്റ് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു ഡിപ്രോബബിലിറ്റി p:

പോയിൻ്റ് ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഇടവേള / (, = (?> ь А) നിർമ്മിക്കാം ഡിമൂല്യമാണെങ്കിൽ മാത്രം വിഇടവേള /r ൽ വീഴുന്നു. നമുക്ക് ഇടവേള കാണിക്കാം

ഈ അവസ്ഥയെ തൃപ്തിപ്പെടുത്തുന്നു. വാസ്തവത്തിൽ, അസമത്വങ്ങൾ അസമത്വങ്ങൾക്ക് തുല്യമാണ്

ഈ അസമത്വങ്ങൾ പ്രോബബിലിറ്റി p യിൽ സംതൃപ്തമാണ്. അങ്ങനെ, വ്യതിയാനത്തിനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള കണ്ടെത്തി, അത് ഫോർമുല (14.4.13) വഴി പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 3. മൂല്യം എന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, ഉപവിഭാഗം 14.3-ൻ്റെ ഉദാഹരണം 2-ൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾക്ക് കീഴിലുള്ള വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണ്ടെത്തുക. എക്സ്സാധാരണ വിതരണം.

പരിഹാരം.നമുക്ക് ഉണ്ട് . അനുബന്ധത്തിൻ്റെ പട്ടിക 4 അനുസരിച്ച്

ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു r = n - 1 = 19

ഫോർമുല (14.4.13) ഉപയോഗിച്ച് വ്യതിയാനത്തിനുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ്റെ അനുബന്ധ ഇടവേള (0.21; 0.32) ആണ്. ഈ ഇടവേള ഏകദേശ രീതി ഉപയോഗിച്ച് ഉപവിഭാഗം 14.3 ൻ്റെ ഉദാഹരണം 2 ൽ ലഭിച്ച ഇടവേള (0.21; 0.29) ചെറുതായി കവിയുന്നു.

• ചിത്രം 14.3.1 ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ സിമെട്രിക് പരിഗണിക്കുന്നു. പൊതുവേ, നമ്മൾ പിന്നീട് കാണുന്നത് പോലെ, ഇത് ആവശ്യമില്ല.

ആത്മവിശ്വാസത്തിൻ്റെ ഇടവേളകൾ.

വിശ്വസനീയമായ ഇടവേളയുടെ കണക്കുകൂട്ടൽ അനുബന്ധ പാരാമീറ്ററിൻ്റെ ശരാശരി പിശകിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ളതാണ്. ആത്മവിശ്വാസമുള്ള ഇടവേള കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം പ്രോബബിലിറ്റി (1-എ) ഉള്ള പരിധിക്കുള്ളിൽ കാണിക്കുന്നു. ഇവിടെ a എന്നത് പ്രാധാന്യ നിലയാണ്, (1-a) യെ കോൺഫിഡൻസ് പ്രോബബിലിറ്റി എന്നും വിളിക്കുന്നു.

ആദ്യ അധ്യായത്തിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഗണിത ശരാശരിക്ക്, ഏകദേശം 95% കേസുകളിലും യഥാർത്ഥ ജനസംഖ്യ ശരാശരി ശരാശരിയുടെ 2 സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശകുകൾക്കുള്ളിലാണെന്ന് ഞങ്ങൾ കാണിച്ചു. അങ്ങനെ, ശരാശരിയുടെ 95% വിശ്വാസ്യത ഇടവേളയുടെ അതിരുകൾ സാമ്പിൾ ശരാശരിയിൽ നിന്ന് ഇരട്ടി അകലെയായിരിക്കും ശരാശരി പിശക്ശരാശരി, അതായത്. ആത്മവിശ്വാസ നിലയെ ആശ്രയിച്ച് ഞങ്ങൾ ശരാശരിയുടെ ശരാശരി പിശക് ഒരു നിശ്ചിത ഗുണകം കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു. ശരാശരിയുടെ ശരാശരിക്കും വ്യത്യാസത്തിനും, സ്റ്റുഡൻ്റ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് (വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടെസ്റ്റിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം) എടുക്കുന്നു, ഷെയറുകളുടെ ഷെയറിനും വ്യത്യാസത്തിനും, z മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം. ഗുണകത്തിൻ്റെയും ശരാശരി പിശകിൻ്റെയും ഉൽപ്പന്നം നൽകിയിരിക്കുന്ന പരാമീറ്ററിൻ്റെ പരമാവധി പിശക് എന്ന് വിളിക്കാം, അതായത്. അത് വിലയിരുത്തുമ്പോൾ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്ന പരമാവധി.

വേണ്ടിയുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഗണിത അർത്ഥം : .

സാമ്പിൾ അർത്ഥം ഇതാ;

ഗണിത ശരാശരിയുടെ ശരാശരി പിശക്;

s -സാമ്പിൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ;

എൻ

f = n-1 (വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഗുണകം).

വേണ്ടിയുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഗണിത മാർഗങ്ങളുടെ വ്യത്യാസങ്ങൾ :

സാമ്പിൾ മാർഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം ഇതാ;

- ഗണിത മാർഗ്ഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ശരാശരി പിശക്;

s 1 , s 2 -സാമ്പിൾ സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനങ്ങൾ;

n1,n2

നിർണ്ണായക മൂല്യംഒരു നിശ്ചിത പ്രാധാന്യമുള്ള ലെവലിനും സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൻ്റെ അളവുകൾക്കുമുള്ള വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ടി ടെസ്റ്റ് f=n 1 +n 2-2 (വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഗുണകം).

വേണ്ടിയുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഓഹരികൾ :

.

ഇവിടെ d എന്നത് സാമ്പിൾ ഭിന്നസംഖ്യയാണ്;

- ശരാശരി ഭിന്നസംഖ്യ പിശക്;

എൻ- സാമ്പിൾ വലുപ്പം (ഗ്രൂപ്പ് വലുപ്പം);

വേണ്ടിയുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഓഹരികളുടെ വ്യത്യാസം :

സാമ്പിൾ ഷെയറുകളിലെ വ്യത്യാസം ഇതാ;

- ഗണിത മാർഗ്ഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ശരാശരി പിശക്;

n1,n2- സാമ്പിൾ വോള്യങ്ങൾ (ഗ്രൂപ്പുകളുടെ എണ്ണം);

ഒരു നിശ്ചിത പ്രാധാന്യമുള്ള ലെവലിൽ z മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം a (, , ).

സൂചകങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിനായി ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ കണക്കാക്കുന്നതിലൂടെ, ഞങ്ങൾ ആദ്യം നേരിട്ട് കാണുന്നു സാധ്യമായ മൂല്യങ്ങൾപ്രഭാവം, അത് മാത്രമല്ല പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ്. രണ്ടാമതായി, ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ സ്വീകാര്യതയെക്കുറിച്ചോ നിരസിക്കുന്നതിനെക്കുറിച്ചോ നമുക്ക് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്താം, മൂന്നാമതായി, പരിശോധനയുടെ ശക്തിയെക്കുറിച്ച് നമുക്ക് ഒരു നിഗമനത്തിലെത്താം.

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ ഉപയോഗിച്ച് അനുമാനങ്ങൾ പരിശോധിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഇനിപ്പറയുന്ന നിയമം പാലിക്കണം:

മാർഗങ്ങളിലെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ 100(1-a) ശതമാനം ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയിൽ പൂജ്യം അടങ്ങിയിട്ടില്ലെങ്കിൽ, വ്യത്യാസങ്ങൾ a യുടെ പ്രാധാന്യത്തിൽ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യമുള്ളതാണ്; നേരെമറിച്ച്, ഈ ഇടവേളയിൽ പൂജ്യം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, വ്യത്യാസങ്ങൾ സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യമുള്ളതല്ല.

തീർച്ചയായും, ഈ ഇടവേളയിൽ പൂജ്യം അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം താരതമ്യം ചെയ്യുന്ന സൂചകം മറ്റൊന്നുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തുമ്പോൾ ഗ്രൂപ്പുകളിലൊന്നിൽ കൂടുതലോ കുറവോ ആയിരിക്കാം എന്നാണ്, അതായത്. നിരീക്ഷിക്കപ്പെട്ട വ്യത്യാസങ്ങൾ ആകസ്മികത മൂലമാണ്.

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്കുള്ളിൽ പൂജ്യത്തിൻ്റെ സ്ഥാനം ഉപയോഗിച്ച് ടെസ്റ്റിൻ്റെ ശക്തി വിലയിരുത്താം. പൂജ്യം താഴ്ന്നതിന് അടുത്താണെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ ഉയർന്ന പരിധിഇടവേള, പിന്നീട് താരതമ്യപ്പെടുത്തിയ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ ഒരു വലിയ സംഖ്യയിൽ, വ്യത്യാസങ്ങൾ എത്തിച്ചേരും സ്ഥിതിവിവരക്കണക്ക് പ്രാധാന്യം. പൂജ്യം ഇടവേളയുടെ മധ്യത്തോട് അടുത്താണെങ്കിൽ, അതിനർത്ഥം പരീക്ഷണ ഗ്രൂപ്പിലെ സൂചകത്തിലെ വർദ്ധനവും കുറവും തുല്യമാണ്, ഒരുപക്ഷേ, യഥാർത്ഥത്തിൽ വ്യത്യാസങ്ങളൊന്നുമില്ല.

ഉദാഹരണങ്ങൾ:

രണ്ട് വ്യത്യസ്ത തരം അനസ്തേഷ്യ ഉപയോഗിക്കുമ്പോൾ ശസ്ത്രക്രിയാ മരണനിരക്ക് താരതമ്യം ചെയ്യാൻ: ആദ്യ തരം അനസ്തേഷ്യ ഉപയോഗിച്ച് 61 പേർക്ക് ശസ്ത്രക്രിയ നടത്തി, 8 പേർ മരിച്ചു, രണ്ടാമത്തെ തരം - 67 പേർ, 10 പേർ മരിച്ചു.

d 1 = 8/61 = 0.131; d2 = 10/67 = 0.149; d1-d2 = - 0.018.

100(1-a) = 95% എന്ന പ്രോബബിലിറ്റിയുള്ള (-0.018 - 0.122; -0.018 + 0.122) അല്ലെങ്കിൽ (-0.14; 0.104) പരിധിയിലായിരിക്കും താരതമ്യം ചെയ്ത രീതികളുടെ മാരകമായ വ്യത്യാസം. ഇടവേളയിൽ പൂജ്യം അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതായത്. രണ്ടിൽ ഒരേ മാരകതയെക്കുറിച്ചുള്ള അനുമാനം വത്യസ്ത ഇനങ്ങൾഅനസ്തേഷ്യ നിരസിക്കാൻ കഴിയില്ല.

അങ്ങനെ, മരണനിരക്ക് 14% ആയി കുറയുകയും 10.4% ആയി വർദ്ധിക്കുകയും 95% സാധ്യതയോടെ വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്യും, അതായത്. പൂജ്യം ഏകദേശം ഇടവേളയുടെ മധ്യത്തിലാണ്, അതിനാൽ, മിക്കവാറും, ഈ രണ്ട് രീതികളും യഥാർത്ഥത്തിൽ മാരകമായി വ്യത്യാസപ്പെട്ടിട്ടില്ലെന്ന് വാദിക്കാം.

നേരത്തെ ചർച്ച ചെയ്ത ഉദാഹരണത്തിൽ, പരീക്ഷാ സ്കോറുകളിൽ വ്യത്യാസമുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ നാല് ഗ്രൂപ്പുകളിൽ ടാപ്പിംഗ് ടെസ്റ്റ് സമയത്ത് ശരാശരി അമർത്തുന്ന സമയം താരതമ്യം ചെയ്തു. 2, 5 ഗ്രേഡുകളോടെ പരീക്ഷ പാസായ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള ശരാശരി അമർത്തുന്ന സമയത്തിനായുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകളും ഈ ശരാശരികൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയും നമുക്ക് കണക്കാക്കാം.

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ വിതരണ പട്ടികകൾ ഉപയോഗിച്ചാണ് വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ഗുണകങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നത് (അനുബന്ധം കാണുക): ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിന്: = t(0.05;48) = 2.011; രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിന്: = t(0.05;61) = 2.000. അങ്ങനെ, ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിനുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ: = (162.19-2.011*2.18; 162.19+2.011*2.18) = (157.8; 166.6), രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിന് (156.55- 2,000*1.88 ; 1.80 ; 160.3). അതിനാൽ, 2-ൽ പരീക്ഷ പാസായവർക്ക്, ശരാശരി അമർത്തൽ സമയം 157.8 ms മുതൽ 166.6 ms വരെയും 95% പ്രോബബിലിറ്റിയും പരീക്ഷയിൽ വിജയിച്ചവർക്ക് - 152.8 ms മുതൽ 160.3 ms വരെയും 95% സാധ്യതയുമുണ്ട്. .

മാർഗങ്ങൾക്കായുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകൾ ഉപയോഗിച്ച് നിങ്ങൾക്ക് അസാധുവായ സിദ്ധാന്തം പരിശോധിക്കാനും കഴിയും, അല്ലാതെ മാർഗങ്ങളിലെ വ്യത്യാസത്തിന് മാത്രമല്ല. ഉദാഹരണത്തിന്, ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിലെന്നപോലെ, മാർഗങ്ങൾക്കായുള്ള കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേളകൾ ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യുകയാണെങ്കിൽ, ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കാൻ കഴിയില്ല. തിരഞ്ഞെടുത്ത പ്രാധാന്യ തലത്തിൽ ഒരു സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കാൻ, അനുബന്ധ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ ഓവർലാപ്പ് ചെയ്യരുത്.

2, 5 ഗ്രേഡുകളോടെ പരീക്ഷ പാസായ ഗ്രൂപ്പുകളിലെ ശരാശരി അമർത്തുന്ന സമയത്തിലെ വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നമുക്ക് കണ്ടെത്താം. ശരാശരികളുടെ വ്യത്യാസം: 162.19 – 156.55 = 5.64. വിദ്യാർത്ഥിയുടെ ഗുണകം: = t(0.05;49+62-2) = t(0.05;109) = 1.982. ഗ്രൂപ്പ് സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനങ്ങൾ ഇതിന് തുല്യമായിരിക്കും: ; . മാർഗ്ഗങ്ങൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിൻ്റെ ശരാശരി പിശക് ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു: . ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള: =(5.64-1.982*2.87; 5.64+1.982*2.87) = (-0.044; 11.33).

അതിനാൽ, 2 ഉം 5 ഉം പരീക്ഷയിൽ വിജയിച്ച ഗ്രൂപ്പുകളിലെ ശരാശരി അമർത്തുന്ന സമയത്തിൻ്റെ വ്യത്യാസം -0.044 ms മുതൽ 11.33 ms വരെയുള്ള പരിധിയിലായിരിക്കും. ഈ ഇടവേളയിൽ പൂജ്യം ഉൾപ്പെടുന്നു, അതായത്. പരീക്ഷ നന്നായി വിജയിച്ചവരുടെ ശരാശരി അമർത്തുന്ന സമയം, പരീക്ഷയിൽ തൃപ്തികരമല്ലാത്ത രീതിയിൽ വിജയിച്ചവരുമായി താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ വർദ്ധിക്കുകയോ കുറയുകയോ ചെയ്യാം, അതായത്. ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം തള്ളിക്കളയാനാവില്ല. എന്നാൽ പൂജ്യം താഴ്ന്ന പരിധിക്ക് വളരെ അടുത്താണ്, നന്നായി പാസായവർക്ക് അമർത്തുന്ന സമയം കുറയാനുള്ള സാധ്യത വളരെ കൂടുതലാണ്. അതിനാൽ, 2 ഉം 5 ഉം കടന്നവർക്കിടയിൽ അമർത്തുന്നതിൻ്റെ ശരാശരി സമയത്തിൽ ഇപ്പോഴും വ്യത്യാസമുണ്ടെന്ന് നമുക്ക് നിഗമനം ചെയ്യാം, ശരാശരി സമയത്തിലെ മാറ്റം, ശരാശരി സമയത്തിൻ്റെ വ്യാപനം, സാമ്പിൾ വലുപ്പങ്ങൾ എന്നിവ കണക്കിലെടുക്കുമ്പോൾ ഞങ്ങൾക്ക് അവരെ കണ്ടെത്താൻ കഴിഞ്ഞില്ല.

ഒരു പരിശോധനയുടെ ശക്തി എന്നത് തെറ്റായ ശൂന്യമായ സിദ്ധാന്തം നിരസിക്കാനുള്ള സാധ്യതയാണ്, അതായത്. യഥാർത്ഥത്തിൽ നിലനിൽക്കുന്ന വ്യത്യാസങ്ങൾ കണ്ടെത്തുക.

പ്രാധാന്യത്തിൻ്റെ തോത്, ഗ്രൂപ്പുകൾ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസങ്ങളുടെ വ്യാപ്തി, ഗ്രൂപ്പുകളിലെ മൂല്യങ്ങളുടെ വ്യാപനം, സാമ്പിളുകളുടെ വലുപ്പം എന്നിവയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണ് പരിശോധനയുടെ ശക്തി നിർണ്ണയിക്കുന്നത്.

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ പരീക്ഷയ്ക്കും വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ വിശകലനംനിങ്ങൾക്ക് സെൻസിറ്റിവിറ്റി ഡയഗ്രമുകൾ ഉപയോഗിക്കാം.

ആവശ്യമായ ഗ്രൂപ്പുകളുടെ എണ്ണം പ്രാഥമികമായി നിർണ്ണയിക്കാൻ മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ ശക്തി ഉപയോഗിക്കാം.

നൽകിയിരിക്കുന്ന പ്രോബബിലിറ്റിയോടൊപ്പം കണക്കാക്കിയ പരാമീറ്ററിൻ്റെ യഥാർത്ഥ മൂല്യം ഏത് പരിധിക്കുള്ളിലാണെന്ന് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കാണിക്കുന്നു.

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളകൾ ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ അനുമാനങ്ങൾ പരീക്ഷിക്കാനും മാനദണ്ഡങ്ങളുടെ സംവേദനക്ഷമതയെക്കുറിച്ച് നിഗമനങ്ങളിൽ എത്തിച്ചേരാനും കഴിയും.

സാഹിത്യം.

Glanz S. - അധ്യായം 6,7.

റിബ്രോവ ഒ.യു. - പേ.112-114, പേജ്.171-173, പേജ്.234-238.

സിഡോറെങ്കോ ഇ.വി - പേജ്.32-33.

വിദ്യാർത്ഥികളുടെ സ്വയം പരിശോധനയ്ക്കുള്ള ചോദ്യങ്ങൾ.

1. മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ ശക്തി എന്താണ്?

2. ഏത് സാഹചര്യത്തിലാണ് മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ ശക്തി വിലയിരുത്തേണ്ടത്?

3. വൈദ്യുതി കണക്കാക്കുന്നതിനുള്ള രീതികൾ.

6. ഒരു കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ഉപയോഗിച്ച് സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ ഹൈപ്പോതെസിസ് എങ്ങനെ പരിശോധിക്കാം?

7. ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുമ്പോൾ മാനദണ്ഡത്തിൻ്റെ ശക്തിയെക്കുറിച്ച് എന്ത് പറയാൻ കഴിയും?

ചുമതലകൾ.

ചില സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ (ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരേ തരത്തിലുള്ള പച്ചക്കറികളുടെ പൂർണ്ണമായ വെയർഹൗസ്, വലിപ്പവും ഭാരവും വ്യത്യാസപ്പെടുന്നു) സാധാരണ വിതരണമുള്ള ധാരാളം ഇനങ്ങൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക. മുഴുവൻ ബാച്ച് ചരക്കുകളുടെയും ശരാശരി സ്വഭാവസവിശേഷതകൾ അറിയാൻ നിങ്ങൾ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, എന്നാൽ ഓരോ പച്ചക്കറിയും അളക്കാനും തൂക്കാനും നിങ്ങൾക്ക് സമയമോ ആഗ്രഹമോ ഇല്ല. ഇത് ആവശ്യമില്ലെന്ന് നിങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കുന്നു. എന്നാൽ ഒരു സ്പോട്ട് ചെക്കിന് എത്ര കഷണങ്ങൾ എടുക്കണം?

ഈ സാഹചര്യത്തിന് ഉപയോഗപ്രദമായ നിരവധി സൂത്രവാക്യങ്ങൾ നൽകുന്നതിന് മുമ്പ്, നമുക്ക് ചില നൊട്ടേഷൻ ഓർമ്മിക്കാം.

ഒന്നാമതായി, ഞങ്ങൾ പച്ചക്കറികളുടെ മുഴുവൻ സംഭരണശാലയും അളന്നാൽ (ഈ മൂലകങ്ങളുടെ കൂട്ടത്തെ പൊതു ജനസംഖ്യ എന്ന് വിളിക്കുന്നു), അപ്പോൾ നമുക്ക് ലഭ്യമായ എല്ലാ കൃത്യതയോടെയും മുഴുവൻ ബാച്ചിൻ്റെയും ശരാശരി ഭാരം നമുക്ക് അറിയാം. ഇതിനെ ശരാശരി എന്ന് വിളിക്കാം X ശരാശരി .g en . - പൊതു ശരാശരി. അതിൻ്റെ ശരാശരി മൂല്യവും വ്യതിയാനവും അറിയാമെങ്കിൽ പൂർണ്ണമായി നിർണ്ണയിക്കുന്നത് എന്താണെന്ന് നമുക്ക് ഇതിനകം അറിയാം . ശരിയാണ്, ഞങ്ങൾ X ആവറേജ് ജെനറോ അല്ലഎസ് പൊതുസമൂഹത്തെ നമുക്ക് അറിയില്ല. നമുക്ക് ഒരു നിശ്ചിത സാമ്പിൾ എടുക്കാനും ആവശ്യമായ മൂല്യങ്ങൾ അളക്കാനും ഈ സാമ്പിളിനായി ശരാശരി മൂല്യം X ശരാശരിയും S തിരഞ്ഞെടുക്കാനും മാത്രമേ കഴിയൂ.

ഞങ്ങളുടെ സാമ്പിൾ പരിശോധനയിൽ ധാരാളം ഘടകങ്ങൾ അടങ്ങിയിട്ടുണ്ടെന്ന് അറിയാം (സാധാരണയായി n 30-ൽ കൂടുതലാണ്), അവ എടുക്കും ശരിക്കും ക്രമരഹിതം, പിന്നെ എസ് എസ് സെലക്ഷനിൽ നിന്ന് സാധാരണ ജനവിഭാഗം വ്യത്യാസപ്പെട്ടിരിക്കില്ല.

കൂടാതെ, സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ കാര്യത്തിൽ, നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഫോർമുലകൾ ഉപയോഗിക്കാം:

95% സാധ്യതയോടെ

99% സാധ്യതയോടെ

IN പൊതുവായ കാഴ്ചപ്രോബബിലിറ്റി P (t)

t മൂല്യവും പ്രോബബിലിറ്റി മൂല്യമായ P (t) യും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം, ഞങ്ങൾ കോൺഫിഡൻസ് ഇടവേള അറിയാൻ ആഗ്രഹിക്കുന്നു, ഇനിപ്പറയുന്ന പട്ടികയിൽ നിന്ന് എടുക്കാം:

അതിനാൽ, ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി മൂല്യം ഏത് ശ്രേണിയിലാണെന്ന് ഞങ്ങൾ നിർണ്ണയിച്ചു (ഒരു നിശ്ചിത പ്രോബബിലിറ്റിയോടെ).

ഞങ്ങൾക്ക് മതിയായ സാമ്പിൾ ഇല്ലെങ്കിൽ, ജനസംഖ്യയിൽ s = ഉണ്ടെന്ന് പറയാൻ കഴിയില്ല എസ് തിരഞ്ഞെടുക്കുക കൂടാതെ, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ സാധാരണ വിതരണത്തോടുള്ള സാമ്പിളിൻ്റെ അടുപ്പം പ്രശ്നകരമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഞങ്ങൾ പകരം എസ് സെലക്‌ടും ഉപയോഗിക്കുന്നുഫോർമുലയിൽ s:

എന്നാൽ ഒരു നിശ്ചിത പ്രോബബിലിറ്റിക്കുള്ള t യുടെ മൂല്യം P(t) സാമ്പിളിലെ മൂലകങ്ങളുടെ എണ്ണത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും. വലിയ n, ഫലമായുണ്ടാകുന്ന ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഫോർമുല (1) നൽകുന്ന മൂല്യത്തോട് അടുക്കും. ഈ കേസിലെ ടി മൂല്യങ്ങൾ മറ്റൊരു പട്ടികയിൽ നിന്ന് എടുത്തതാണ് ( വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടി-ടെസ്റ്റ്), ഞങ്ങൾ ചുവടെ അവതരിപ്പിക്കുന്നു:

പ്രോബബിലിറ്റി 0.95, 0.99 എന്നിവയ്‌ക്കായുള്ള വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടി-ടെസ്റ്റ് മൂല്യങ്ങൾ

ഉദാഹരണം 3.കമ്പനിയിലെ ജീവനക്കാരിൽ നിന്ന് 30 പേരെ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്തു. സാമ്പിൾ അനുസരിച്ച്, ശരാശരി ശമ്പളം (പ്രതിമാസം) 5 ആയിരം റുബിളിൻ്റെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ ഉപയോഗിച്ച് 30 ആയിരം റുബിളാണ്. 0.99 പ്രോബബിലിറ്റി ഉള്ള കമ്പനിയിലെ ശരാശരി ശമ്പളം നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം:വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം നമുക്ക് n = 30, X ശരാശരി. =30000, S=5000, P = 0.99. കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ കണ്ടെത്താൻ, ഞങ്ങൾ വിദ്യാർത്ഥികളുടെ ടി ടെസ്റ്റിന് അനുയോജ്യമായ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കും. n = 30, P = 0.99 എന്നിവയ്ക്കുള്ള പട്ടികയിൽ നിന്ന് നമുക്ക് t = 2.756, അതിനാൽ,

ആ. അന്വേഷിക്കപ്പെട്ട ട്രസ്റ്റിഇടവേള 27484< Х ср.ген < 32516.

അതിനാൽ, 0.99 പ്രോബബിലിറ്റി ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് പറയാനാകും ഇടവേള (27484; 32516) കമ്പനിയിലെ ശരാശരി ശമ്പളം അതിൽ തന്നെ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു.

നിങ്ങൾ ഈ രീതി ഉപയോഗിക്കുമെന്ന് ഞങ്ങൾ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു, ഓരോ തവണയും നിങ്ങളുടെ പക്കൽ ഒരു മേശ ഉണ്ടായിരിക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല. Excel-ൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ സ്വയമേവ നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയും. Excel ഫയലിലായിരിക്കുമ്പോൾ, മുകളിലെ മെനുവിലെ fx ബട്ടണിൽ ക്ലിക്ക് ചെയ്യുക. തുടർന്ന്, ഫംഗ്ഷനുകൾക്കിടയിൽ “സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കൽ” തരം തിരഞ്ഞെടുക്കുക, കൂടാതെ വിൻഡോയിലെ നിർദ്ദിഷ്ട ലിസ്റ്റിൽ നിന്ന് - സ്റ്റുഡർ ഡിസ്കവർ. തുടർന്ന്, പ്രോംപ്റ്റിൽ, "പ്രൊബബിലിറ്റി" ഫീൽഡിൽ കഴ്സർ സ്ഥാപിക്കുക, വിപരീത പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ മൂല്യം നൽകുക (അതായത് ഞങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, 0.95 ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റിക്ക് പകരം, നിങ്ങൾ 0.05 ൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ടൈപ്പുചെയ്യേണ്ടതുണ്ട്). പ്രത്യക്ഷമായും സ്പ്രെഡ്ഷീറ്റ്നമുക്ക് തെറ്റ് സംഭവിക്കാൻ സാധ്യതയുള്ള ചോദ്യത്തിന് ഫലം ഉത്തരം നൽകുന്ന തരത്തിലാണ് സമാഹരിച്ചിരിക്കുന്നത്. അതുപോലെ, ഫ്രീഡം ഫീൽഡിൽ, നിങ്ങളുടെ സാമ്പിളിനായി ഒരു മൂല്യം (n-1) നൽകുക.

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയ്ക്കുള്ള ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള - ഇത് അറിയപ്പെടുന്ന ഒരു സംഭാവ്യതയോടെ, പൊതുജനങ്ങളുടെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഡാറ്റയിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ ഒരു ഇടവേളയാണ്. ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ പ്രതീക്ഷയുടെ സ്വാഭാവിക കണക്ക് അതിൻ്റെ നിരീക്ഷിച്ച മൂല്യങ്ങളുടെ ഗണിത ശരാശരിയാണ്. അതിനാൽ, പാഠത്തിലുടനീളം ഞങ്ങൾ "ശരാശരി", "ശരാശരി മൂല്യം" എന്നീ പദങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കും. ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുന്നതിലെ പ്രശ്‌നങ്ങളിൽ, "ശരാശരി സംഖ്യയുടെ [ഒരു പ്രത്യേക പ്രശ്‌നത്തിലെ മൂല്യം] ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള [ചെറിയ മൂല്യം] മുതൽ [വലിയ മൂല്യം] വരെയാണ്" എന്നതുപോലുള്ള ഒരു ഉത്തരം ആവശ്യമാണ്. ഒരു ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഉപയോഗിച്ച്, നിങ്ങൾക്ക് ശരാശരി മൂല്യങ്ങൾ മാത്രമല്ല, സാധാരണ ജനസംഖ്യയുടെ ഒരു പ്രത്യേക സ്വഭാവത്തിൻ്റെ അനുപാതവും വിലയിരുത്താം. ശരാശരി, വ്യത്യാസം, സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻപുതിയ നിർവചനങ്ങളിലും സൂത്രവാക്യങ്ങളിലും നാം എത്തിച്ചേരുന്ന പിശകുകൾ പാഠത്തിൽ ചർച്ചചെയ്യുന്നു സാമ്പിളിൻ്റെയും ജനസംഖ്യയുടെയും സവിശേഷതകൾ .

ശരാശരിയുടെ പോയിൻ്റും ഇടവേളയും കണക്കാക്കുന്നു

ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി മൂല്യം ഒരു സംഖ്യ (പോയിൻ്റ്) കണക്കാക്കിയാൽ, നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ സാമ്പിളിൽ നിന്ന് കണക്കാക്കിയ ഒരു നിർദ്ദിഷ്ട ശരാശരി, ജനസംഖ്യയുടെ അജ്ഞാത ശരാശരി മൂല്യത്തിൻ്റെ കണക്കായി കണക്കാക്കുന്നു. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സാമ്പിൾ ശരാശരിയുടെ മൂല്യം - ഒരു റാൻഡം വേരിയബിൾ - സാധാരണ ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി മൂല്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല. അതിനാൽ, സാമ്പിൾ ശരാശരി സൂചിപ്പിക്കുമ്പോൾ, നിങ്ങൾ ഒരേസമയം സാമ്പിൾ പിശക് സൂചിപ്പിക്കണം. സാമ്പിൾ പിശകിൻ്റെ അളവ് സ്റ്റാൻഡേർഡ് പിശകാണ്, ഇത് ശരാശരിയുടെ അതേ യൂണിറ്റുകളിൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു. അതിനാൽ, ഇനിപ്പറയുന്ന നൊട്ടേഷൻ പലപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ശരാശരിയുടെ എസ്റ്റിമേറ്റ് ഒരു നിശ്ചിത പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തേണ്ടതുണ്ടെങ്കിൽ, ജനസംഖ്യയിലെ താൽപ്പര്യത്തിൻ്റെ പാരാമീറ്റർ കണക്കാക്കേണ്ടത് ഒരു സംഖ്യയല്ല, മറിച്ച് ഒരു ഇടവേള കൊണ്ടാണ്. ഒരു നിശ്ചിത സംഭാവ്യതയോടെയുള്ള ഒരു ഇടവേളയാണ് ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള പികണക്കാക്കിയ ജനസംഖ്യാ സൂചകത്തിൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തി. അത് സാധ്യമായ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള പി = 1 - α ക്രമരഹിതമായ വേരിയബിൾ കണ്ടെത്തി, ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

,

α = 1 - പി, സ്ഥിതിവിവരക്കണക്കുകളെക്കുറിച്ചുള്ള മിക്കവാറും എല്ലാ പുസ്തകങ്ങളുടെയും അനുബന്ധത്തിൽ ഇത് കാണാം.

പ്രായോഗികമായി, ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരിയും വ്യതിയാനവും അറിയില്ല, അതിനാൽ ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനത്തെ സാമ്പിൾ വ്യതിയാനവും ജനസംഖ്യയെ സാമ്പിൾ ശരാശരിയും ഉപയോഗിച്ച് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു. അതിനാൽ, മിക്ക കേസുകളിലും ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

.

കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ഫോർമുല ജനസംഖ്യയുടെ ശരാശരി കണക്കാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കാം

• ജനസംഖ്യയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനം അറിയാം;
• അല്ലെങ്കിൽ ജനസംഖ്യയുടെ സ്റ്റാൻഡേർഡ് വ്യതിയാനം അജ്ഞാതമാണ്, എന്നാൽ സാമ്പിൾ വലുപ്പം 30-ൽ കൂടുതലാണ്.

സാമ്പിൾ ശരാശരി എന്നത് ജനസംഖ്യാ ശരാശരിയുടെ പക്ഷപാതമില്ലാത്ത കണക്കാണ്. അതാകട്ടെ, സാമ്പിൾ വ്യത്യാസം ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പക്ഷപാതമില്ലാത്ത കണക്കല്ല. സാമ്പിൾ വേരിയൻസ് ഫോർമുലയിലെ ജനസംഖ്യാ വ്യതിയാനത്തിൻ്റെ പക്ഷപാതരഹിതമായ കണക്ക് ലഭിക്കുന്നതിന്, സാമ്പിൾ വലുപ്പം എൻപകരം വയ്ക്കണം എൻ-1.

ഉദാഹരണം 1.ഒരു നിശ്ചിത നഗരത്തിലെ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത 100 കഫേകളിൽ നിന്ന് 4.6 സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷനിൽ ജീവനക്കാരുടെ ശരാശരി എണ്ണം 10.5 ആണെന്ന് വിവരങ്ങൾ ശേഖരിച്ചു. കഫേ ജീവനക്കാരുടെ എണ്ണത്തിന് 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിശ്ചയിക്കുക.

പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്കുള്ള സാധാരണ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് α = 0,05 .

അങ്ങനെ, ശരാശരി കഫേ ജീവനക്കാരുടെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള 9.6 മുതൽ 11.4 വരെയാണ്.

ഉദാഹരണം 2. 64 നിരീക്ഷണങ്ങളുള്ള ഒരു ജനസംഖ്യയിൽ നിന്നുള്ള റാൻഡം സാമ്പിളിനായി, ഇനിപ്പറയുന്ന മൊത്തം മൂല്യങ്ങൾ കണക്കാക്കി:

നിരീക്ഷണങ്ങളിലെ മൂല്യങ്ങളുടെ ആകെത്തുക,

ശരാശരിയിൽ നിന്നുള്ള മൂല്യങ്ങളുടെ സ്ക്വയർ വ്യതിയാനങ്ങളുടെ ആകെത്തുക .

ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കുക.

സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ കണക്കാക്കാം:

,

നമുക്ക് ശരാശരി മൂല്യം കണക്കാക്കാം:

.

ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയ്ക്കുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് ഞങ്ങൾ മൂല്യങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്കുള്ള സാധാരണ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് α = 0,05 .

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

അതിനാൽ, ഈ സാമ്പിളിൻ്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള 7.484 മുതൽ 11.266 വരെയാണ്.

ഉദാഹരണം 3. 100 നിരീക്ഷണങ്ങളുടെ ക്രമരഹിതമായ ജനസംഖ്യാ സാമ്പിളിന്, കണക്കാക്കിയ ശരാശരി 15.2 ഉം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഡീവിയേഷൻ 3.2 ഉം ആണ്. പ്രതീക്ഷിക്കുന്ന മൂല്യത്തിനായുള്ള 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയും തുടർന്ന് 99% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേളയും കണക്കാക്കുക. സാമ്പിൾ പവറും അതിൻ്റെ വ്യതിയാനവും മാറ്റമില്ലാതെ തുടരുകയും കോൺഫിഡൻസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് വർദ്ധിക്കുകയും ചെയ്താൽ, കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെൽ ഇടുങ്ങിയതോ വിശാലമോ ആകുമോ?

ഞങ്ങൾ ഈ മൂല്യങ്ങളെ കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെലിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്കുള്ള സാധാരണ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് α = 0,05 .

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

അതിനാൽ, ഈ സാമ്പിളിൻ്റെ ശരാശരിയുടെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള 14.57 മുതൽ 15.82 വരെയാണ്.

ഞങ്ങൾ വീണ്ടും ഈ മൂല്യങ്ങളെ കോൺഫിഡൻസ് ഇൻ്റർവെലിനുള്ള എക്സ്പ്രഷനിലേക്ക് മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുന്നു:

പ്രാധാന്യ നിലയ്ക്കുള്ള സാധാരണ സാധാരണ വിതരണത്തിൻ്റെ നിർണായക മൂല്യം എവിടെയാണ് α = 0,01 .

നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

.

അതിനാൽ, ഈ സാമ്പിളിൻ്റെ ശരാശരിയുടെ 99% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള 14.37 മുതൽ 16.02 വരെയാണ്.

നമ്മൾ കാണുന്നതുപോലെ, കോൺഫിഡൻസ് കോഫിഫിഷ്യൻ്റ് വർദ്ധിക്കുന്നതിനനുസരിച്ച്, സ്റ്റാൻഡേർഡ് നോർമൽ ഡിസ്ട്രിബ്യൂഷൻ്റെ നിർണായക മൂല്യവും വർദ്ധിക്കുന്നു, തൽഫലമായി, ഇടവേളയുടെ ആരംഭ, അവസാന പോയിൻ്റുകൾ ശരാശരിയിൽ നിന്ന് കൂടുതൽ സ്ഥിതിചെയ്യുന്നു, അങ്ങനെ ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രതീക്ഷയുടെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള വർദ്ധിക്കുന്നു. .

നിർദ്ദിഷ്ട ഗുരുത്വാകർഷണത്തിൻ്റെ പോയിൻ്റും ഇടവേളയും കണക്കാക്കുന്നു

ചില സാമ്പിൾ ആട്രിബ്യൂട്ടിൻ്റെ പങ്ക് ഒരു പോയിൻ്റ് എസ്റ്റിമേറ്റ് ആയി വ്യാഖ്യാനിക്കാം പ്രത്യേക ഗുരുത്വാകർഷണം പിപൊതുസമൂഹത്തിലും ഇതേ സ്വഭാവം. ഈ മൂല്യം പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തണമെങ്കിൽ, നിർദ്ദിഷ്ട ഗുരുത്വാകർഷണത്തിൻ്റെ ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള കണക്കാക്കണം പിസാധ്യതയുള്ള ജനസംഖ്യയിലെ സ്വഭാവം പി = 1 - α :

.

ഉദാഹരണം 4.ചില നഗരങ്ങളിൽ രണ്ട് സ്ഥാനാർത്ഥികളുണ്ട് എഒപ്പം ബിമേയർ സ്ഥാനത്തേക്ക് മത്സരിക്കുന്നു. 200 നഗരവാസികൾ ക്രമരഹിതമായി സർവേ നടത്തി, അതിൽ 46% പേർ സ്ഥാനാർത്ഥിക്ക് വോട്ടുചെയ്യുമെന്ന് പ്രതികരിച്ചു. എ, 26% - സ്ഥാനാർത്ഥിക്ക് ബി 28% പേർക്കും ആർക്ക് വോട്ട് ചെയ്യുമെന്ന് അറിയില്ല. സ്ഥാനാർത്ഥിയെ പിന്തുണയ്ക്കുന്ന നഗരവാസികളുടെ അനുപാതത്തിൻ്റെ 95% ആത്മവിശ്വാസ ഇടവേള നിർണ്ണയിക്കുക എ.