വീട് പല്ലിലെ പോട് വിപരീത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം. സാധ്യതകളെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ

പല്ലിലെ പോട്

വിപരീത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം. സാധ്യതകളെക്കുറിച്ചുള്ള പ്രവർത്തനങ്ങൾ

തന്നിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റിന് അനുകൂലമായ കേസുകൾ നേരിട്ട് എണ്ണുന്നത് ബുദ്ധിമുട്ടായിരിക്കാം. അതിനാൽ, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത നിർണ്ണയിക്കാൻ, ഈ സംഭവത്തെ മറ്റ് ചില ലളിതമായ സംഭവങ്ങളുടെ സംയോജനമായി സങ്കൽപ്പിക്കുന്നത് പ്രയോജനകരമാണ്. എന്നിരുന്നാലും, ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, സംഭവങ്ങളുടെ സംയോജനത്തിലെ സാധ്യതകളെ നിയന്ത്രിക്കുന്ന നിയമങ്ങൾ നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞിരിക്കണം. ഖണ്ഡികയുടെ തലക്കെട്ടിൽ പരാമർശിച്ചിരിക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ഈ നിയമങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

ഇതിൽ ആദ്യത്തേത് നിരവധി സംഭവങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു.

കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സിദ്ധാന്തം.

എയും ബിയും പൊരുത്തമില്ലാത്ത രണ്ട് സംഭവങ്ങളായിരിക്കട്ടെ. അപ്പോൾ ഈ രണ്ട് സംഭവങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

തെളിവ്. ജോടിയായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവൻ്റുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പായിരിക്കട്ടെ. ഈ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളിൽ A- യ്ക്ക് അനുകൂലമായ സംഭവങ്ങളും B- യ്ക്ക് അനുകൂലമായ സംഭവങ്ങളും ഉണ്ടെങ്കിൽ, A, B ഇവൻ്റുകൾ പൊരുത്തപ്പെടാത്തതിനാൽ, ഒരു സംഭവത്തിനും ഈ രണ്ട് സംഭവങ്ങൾക്കും അനുകൂലമായി കഴിയില്ല. ഈ രണ്ട് ഇവൻ്റുകളിലൊന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കുന്ന ഒരു ഇവൻ്റ് (എ അല്ലെങ്കിൽ ബി), എയ്ക്കും ഓരോ ഇവൻ്റിനും അനുകൂലമായ ഓരോ ഇവൻ്റുകളാലും അനുകൂലമാണ്.

അനുകൂലമായ ബി. അതിനാൽ, ഇവൻ്റിന് (A അല്ലെങ്കിൽ B) അനുകൂലമായ സംഭവങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം ഇനിപ്പറയുന്ന തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

ക്യു.ഇ.ഡി.

രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ മുകളിൽ രൂപപ്പെടുത്തിയ സങ്കലന സിദ്ധാന്തം അവയിൽ ഏതെങ്കിലും പരിമിത സംഖ്യകളിലേക്ക് എളുപ്പത്തിൽ മാറ്റാൻ കഴിയുമെന്ന് കാണാൻ എളുപ്പമാണ്. ജോടിയായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവൻ്റുകൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ കൃത്യമായി

മൂന്ന് സംഭവങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരാൾക്ക് എഴുതാം

സങ്കലന സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രധാന അനന്തരഫലം പ്രസ്താവനയാണ്: ഇവൻ്റുകൾ ജോടിയായി പൊരുത്തപ്പെടാത്തതും അതുല്യമായി സാധ്യമാണെങ്കിൽ,

തീർച്ചയായും, ഇവൻ്റ് ഒന്നുകിൽ അല്ലെങ്കിൽ അല്ലെങ്കിൽ അനുമാനം ഉറപ്പാണ്, § 1 ൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതുപോലെ അതിൻ്റെ സംഭാവ്യത ഒന്നിന് തുല്യമാണ്. പ്രത്യേകിച്ചും, അവർ രണ്ട് പരസ്പര വിരുദ്ധ സംഭവങ്ങളെ അർത്ഥമാക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പിന്നെ

നമുക്ക് സങ്കലന സിദ്ധാന്തം ഉദാഹരണങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് വിശദീകരിക്കാം.

ഉദാഹരണം 1. ഒരു ടാർഗെറ്റിൽ ഷൂട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു മികച്ച ഷോട്ട് ഉണ്ടാക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.3 ആണ്, കൂടാതെ "നല്ല" ഷോട്ട് ഉണ്ടാക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.4 ആണ്. ഒരു ഷോട്ടിന് കുറഞ്ഞത് "നല്ലത്" എന്ന സ്കോർ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം. ഇവൻ്റ് എ അർത്ഥമാക്കുന്നത് "മികച്ച" റേറ്റിംഗ് ലഭിക്കുകയും, ഇവൻ്റ് ബി എന്നാൽ "നല്ല" റേറ്റിംഗ് ലഭിക്കുകയും ചെയ്യുന്നുവെങ്കിൽ,

ഉദാഹരണം 2. വെള്ള, ചുവപ്പ്, കറുപ്പ് ബോളുകൾ അടങ്ങിയ ഒരു കലത്തിൽ വെളുത്ത പന്തുകളും ഐ റെഡ് ബോളുകളും ഉണ്ട്. കറുപ്പ് അല്ലാത്ത ഒരു പന്ത് വരയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം. ഇവൻ്റ് എയിൽ ഒരു വെളുത്ത പന്തിൻ്റെ രൂപവും ഇവൻ്റ് ബിയിൽ ഒരു ചുവന്ന പന്തും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പന്തിൻ്റെ രൂപം കറുത്തതല്ല.

വെളുത്തതോ ചുവന്നതോ ആയ ഒരു പന്തിൻ്റെ രൂപം എന്നാണ് അർത്ഥമാക്കുന്നത്. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ നിർവചനപ്രകാരം മുതൽ

അപ്പോൾ, സങ്കലന സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്, ഒരു നോൺ-ബ്ലാക്ക് ബോൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണ്;

ഈ പ്രശ്നം ഇങ്ങനെ പരിഹരിക്കാവുന്നതാണ്. ഇവൻ്റ് C ഒരു കറുത്ത പന്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കട്ടെ. കറുത്ത പന്തുകളുടെ എണ്ണം തുല്യമാണ്, അതിനാൽ പി (സി) കറുപ്പ് അല്ലാത്ത ബോളിൻ്റെ രൂപം സിയുടെ വിപരീത സംഭവമാണ്, അതിനാൽ, സങ്കലന സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്നുള്ള മേൽപ്പറഞ്ഞ ഫലത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി, നമുക്ക് ഇവയുണ്ട്:

മുമ്പത്തെപ്പോലെ.

ഉദാഹരണം 3. ഒരു ക്യാഷ്-മെറ്റീരിയൽ ലോട്ടറിയിൽ, 1000 ടിക്കറ്റുകളുടെ ഒരു പരമ്പരയ്ക്ക് 120 പണവും 80 മെറ്റീരിയൽ വിജയങ്ങളും ഉണ്ട്. ഒരു ലോട്ടറി ടിക്കറ്റിൽ എന്തെങ്കിലും നേടാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം. ഒരു ധനലാഭവും B ഒരു ഭൗതിക നേട്ടവും അടങ്ങുന്ന ഒരു സംഭവത്തെ നമ്മൾ A കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ നിർവചനത്തിൽ നിന്ന് അത് പിന്തുടരുന്നു

ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള സംഭവം (എ അല്ലെങ്കിൽ ബി) പ്രതിനിധീകരിക്കുന്നു, അതിനാൽ ഇത് സങ്കലന സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്നു

അങ്ങനെ, ഏതെങ്കിലും വിജയസാധ്യത 0.2 ആണ്.

അടുത്ത സിദ്ധാന്തത്തിലേക്ക് പോകുന്നതിന് മുമ്പ്, ഒരു പുതിയ പ്രധാന ആശയം - സോപാധിക സംഭാവ്യത എന്ന ആശയം പരിചയപ്പെടേണ്ടത് ആവശ്യമാണ്. ഈ ആവശ്യത്തിനായി, ഇനിപ്പറയുന്ന ഉദാഹരണം പരിഗണിച്ച് ഞങ്ങൾ ആരംഭിക്കും.

ഒരു വെയർഹൗസിൽ 400 ലൈറ്റ് ബൾബുകൾ ഉണ്ടെന്ന് കരുതുക, രണ്ട് വ്യത്യസ്ത ഫാക്ടറികളിൽ നിർമ്മിക്കുന്നു, ആദ്യത്തേത് എല്ലാ ലൈറ്റ് ബൾബുകളുടെയും 75% ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - 25%. ആദ്യത്തെ പ്ലാൻ്റ് നിർമ്മിക്കുന്ന ലൈറ്റ് ബൾബുകളിൽ, 83% ഒരു നിശ്ചിത നിലവാരത്തിലുള്ള വ്യവസ്ഥകൾ പാലിക്കുന്നുവെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം, രണ്ടാമത്തെ പ്ലാൻ്റിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങൾക്ക് ഈ ശതമാനം 63 ആണ്. വെയർഹൗസ് സ്റ്റാൻഡേർഡിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ തൃപ്തിപ്പെടുത്തും.

ലഭ്യമായ സ്റ്റാൻഡേർഡ് ലൈറ്റ് ബൾബുകളുടെ ആകെ എണ്ണം ആദ്യം നിർമ്മിച്ച ലൈറ്റ് ബൾബുകൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എന്നത് ശ്രദ്ധിക്കുക

ഫാക്ടറി, രണ്ടാമത്തെ പ്ലാൻ്റ് നിർമ്മിക്കുന്ന 63 ലൈറ്റ് ബൾബുകൾ, അതായത്, 312 ന് തുല്യമാണ്. ഏതെങ്കിലും ലൈറ്റ് ബൾബിൻ്റെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് തുല്യമായി കണക്കാക്കേണ്ടതിനാൽ, 400 ൽ 312 അനുകൂലമായ കേസുകൾ നമുക്കുണ്ട്, അതിനാൽ

ഇവൻ്റ് B എന്നത് നമ്മൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത ലൈറ്റ് ബൾബ് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആണ്.

ഈ കണക്കുകൂട്ടൽ സമയത്ത്, ഞങ്ങൾ തിരഞ്ഞെടുത്ത ലൈറ്റ് ബൾബ് ഏത് ചെടിയുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ് എന്നതിനെക്കുറിച്ച് അനുമാനങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടായില്ല. ഇത്തരത്തിലുള്ള എന്തെങ്കിലും അനുമാനങ്ങൾ ഞങ്ങൾ നടത്തുകയാണെങ്കിൽ, നമുക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള സംഭാവ്യത മാറിയേക്കാം എന്നത് വ്യക്തമാണ്. അതിനാൽ, ഉദാഹരണത്തിന്, തിരഞ്ഞെടുത്ത ലൈറ്റ് ബൾബ് ആദ്യത്തെ പ്ലാൻ്റിൽ (ഇവൻ്റ് എ) നിർമ്മിച്ചതാണെന്ന് അറിയാമെങ്കിൽ, അത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഇനി 0.78 ആയിരിക്കില്ല, 0.83 ആയിരിക്കും.

ഇത്തരത്തിലുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി, അതായത്, A ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കുമ്പോൾ, B എന്ന സംഭവത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റിയെ, ഇവൻ്റ് A യുടെ സംഭവവികാസത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു, ഇവൻ്റ് B യുടെ സോപാധിക സംഭാവ്യത എന്ന് വിളിക്കുന്നു.

മുമ്പത്തെ ഉദാഹരണത്തിൽ, തിരഞ്ഞെടുത്ത ലൈറ്റ് ബൾബ് ആദ്യത്തെ പ്ലാൻ്റിൽ നിർമ്മിക്കുന്ന സംഭവത്തെ ഞങ്ങൾ A കൊണ്ട് സൂചിപ്പിക്കുന്നുവെങ്കിൽ, നമുക്ക് എഴുതാം

ഇവൻ്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു പ്രധാന സിദ്ധാന്തം ഇപ്പോൾ നമുക്ക് രൂപപ്പെടുത്താം.

ഗുണന സിദ്ധാന്തം.

ഇവൻ്റുകൾ എ, ബി എന്നിവ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിൻ്റെ സംഭാവ്യത ഇവൻ്റുകളിലൊന്നിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റിയുടെയും മറ്റൊന്നിൻ്റെ സോപാധിക സാധ്യതയുടെയും ഫലത്തിന് തുല്യമാണ്, ആദ്യം സംഭവിച്ചത്:

ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, എ, ബി ഇവൻ്റുകളുടെ സംയോജനം അർത്ഥമാക്കുന്നത് അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും സംഭവമാണ്, അതായത് ഇവൻ്റ് എ, ഇവൻ്റ് ബി എന്നിവയുടെ സംഭവം.

തെളിവ്. ഒരേപോലെ സാധ്യമായ ജോഡിവൈസ് അനുയോജ്യമല്ലാത്ത ഇവൻ്റുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പ് നമുക്ക് പരിഗണിക്കാം, അവ ഓരോന്നും ഇവൻ്റ് എയ്ക്കും ഇവൻ്റ് ബിയ്ക്കും അനുകൂലമോ പ്രതികൂലമോ ആകാം.

ഈ സംഭവങ്ങളെല്ലാം നാലായി തിരിക്കാം വിവിധ ഗ്രൂപ്പുകൾതാഴെ പറയുന്ന രീതിയിൽ. ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ ഇവൻ്റ് എ, ഇവൻ്റ് ബി എന്നിവയ്ക്ക് അനുകൂലമായ ഇവൻ്റുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു; രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഗ്രൂപ്പുകളിൽ ഞങ്ങൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള രണ്ട് സംഭവങ്ങളിൽ ഒന്നിനെ അനുകൂലിക്കുന്നതും മറ്റൊന്നിനെ അനുകൂലിക്കാത്തതുമായ ഇവൻ്റുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു, ഉദാഹരണത്തിന്, രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിൽ എയെ അനുകൂലിക്കുന്നവയും എന്നാൽ ബിയെ അനുകൂലിക്കാത്തവയും ഉൾപ്പെടുന്നു, മൂന്നാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിൽ ഉൾപ്പെടുന്നു ബിയെ അനുകൂലിക്കുക എന്നാൽ എയെ അനുകൂലിക്കരുത്; അവസാനം വരെ

നാലാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിൽ എ അല്ലെങ്കിൽ ബി അനുകൂലമല്ലാത്ത ഇവൻ്റുകൾ ഉൾപ്പെടുന്നു.

ഇവൻ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിൽ കാര്യമില്ല എന്നതിനാൽ, നാല് ഗ്രൂപ്പുകളായി ഈ വിഭജനം ഇതുപോലെയാണെന്ന് നമുക്ക് അനുമാനിക്കാം:

ഗ്രൂപ്പ് I:

ഗ്രൂപ്പ് II:

III ഗ്രൂപ്പ്:

IV ഗ്രൂപ്പ്:

അങ്ങനെ, ഒരേപോലെ സാധ്യമായതും ജോടിയായി പൊരുത്തപ്പെടാത്തതുമായ ഇവൻ്റുകൾക്കിടയിൽ, ഇവൻ്റുകൾ എ, ഇവൻ്റ് ബി എന്നിവയ്ക്ക് അനുകൂലമായ ഇവൻ്റുകൾ ഉണ്ട്, ഇവൻ്റ് എയെ അനുകൂലിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകൾ, എന്നാൽ ഇവൻ്റ് എയെ അനുകൂലിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകൾ, ബിയെ അനുകൂലിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകൾ, എന്നാൽ എയെ അനുകൂലിക്കാത്ത ഇവൻ്റുകൾ, ഒടുവിൽ, എയ്ക്കും ബിക്കും അനുകൂലമല്ലാത്ത സംഭവങ്ങൾ.

ഞങ്ങൾ പരിഗണിക്കുന്ന നാല് ഗ്രൂപ്പുകളിൽ ഒന്നിലും (ഒന്നിൽ കൂടുതൽ) ഒരൊറ്റ ഇവൻ്റ് പോലും അടങ്ങിയിരിക്കില്ലെന്ന് നമുക്ക് ശ്രദ്ധിക്കാം. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, അത്തരമൊരു ഗ്രൂപ്പിലെ സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം സൂചിപ്പിക്കുന്ന അനുബന്ധ സംഖ്യ പൂജ്യത്തിന് തുല്യമായിരിക്കും.

ഗ്രൂപ്പുകളിലേക്കുള്ള ഞങ്ങളുടെ തകർച്ച നിങ്ങളെ ഉടനടി എഴുതാൻ അനുവദിക്കുന്നു

കാരണം, എ, ബി ഇവൻ്റുകളുടെ സംയോജനം ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിലെ സംഭവങ്ങളാൽ അനുകൂലമാണ്, അവർക്ക് മാത്രം. A യെ അനുകൂലിക്കുന്ന മൊത്തം സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒന്നും രണ്ടും ഗ്രൂപ്പുകളിലെ മൊത്തം സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ Bയെ അനുകൂലിക്കുന്നവ ഒന്നാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും ഗ്രൂപ്പുകളിലെ മൊത്തം സംഭവങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്.

ഇനി നമുക്ക് പ്രോബബിലിറ്റി കണക്കാക്കാം, അതായത്, ഇവൻ്റ് എ നടന്നാൽ, ബി ഇവൻ്റ് പ്രോബബിലിറ്റി. ഇപ്പോൾ മൂന്നാമത്തെയും നാലാമത്തെയും ഗ്രൂപ്പുകളിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകൾ അപ്രത്യക്ഷമാകുന്നു, കാരണം അവയുടെ രൂപം ഇവൻ്റ് എയുടെ സംഭവത്തിനും സംഖ്യയ്ക്കും വിരുദ്ധമായിരിക്കും. സാധ്യമായ കേസുകൾഇനി തുല്യമായി മാറുന്നില്ല. ഇവയിൽ, ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിലെ ഇവൻ്റുകൾ മാത്രമേ ഇവൻ്റ് ബി ഇഷ്ടപ്പെടുന്നുള്ളൂ, അതിനാൽ നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

സിദ്ധാന്തം തെളിയിക്കാൻ, വ്യക്തമായ ഐഡൻ്റിറ്റി എഴുതിയാൽ മതി:

മുകളിൽ കണക്കാക്കിയ പ്രോബബിലിറ്റികൾ ഉപയോഗിച്ച് മൂന്ന് ഭിന്നസംഖ്യകളും മാറ്റിസ്ഥാപിക്കുക. സിദ്ധാന്തത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന സമത്വത്തിലേക്ക് ഞങ്ങൾ എത്തിച്ചേരുന്നു:

എ എന്നത് അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവമല്ലെങ്കിൽ, എല്ലായ്പ്പോഴും സത്യമാണെങ്കിൽ മാത്രമേ നമ്മൾ മുകളിൽ എഴുതിയ ഐഡൻ്റിറ്റിക്ക് അർത്ഥമുണ്ടാകൂ എന്ന് വ്യക്തമാണ്.

ഇവൻ്റുകൾ എയും ബിയും തുല്യമായതിനാൽ, അവയെ സ്വാപ്പ് ചെയ്യുന്നതിലൂടെ, നമുക്ക് ഗുണന സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ മറ്റൊരു രൂപം ലഭിക്കും:

എന്നിരുന്നാലും, ഐഡൻ്റിറ്റി ഉപയോഗിക്കുന്നത് നിങ്ങൾ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ, ഈ സമത്വം മുമ്പത്തെ അതേ രീതിയിൽ ലഭിക്കും

പ്രോബബിലിറ്റി P(A, B) എന്നിവയ്‌ക്കായി രണ്ട് എക്‌സ്‌പ്രഷനുകളുടെയും വലത് വശങ്ങൾ താരതമ്യം ചെയ്യുമ്പോൾ, നമുക്ക് ഉപയോഗപ്രദമായ ഒരു സമത്വം ലഭിക്കും:

ഗുണന സിദ്ധാന്തം വ്യക്തമാക്കുന്ന ഉദാഹരണങ്ങൾ നമുക്ക് ഇപ്പോൾ പരിഗണിക്കാം.

ഉദാഹരണം 4. ഒരു നിശ്ചിത എൻ്റർപ്രൈസസിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ, 96% ഉൽപ്പന്നങ്ങളും അനുയോജ്യമാണെന്ന് കണക്കാക്കുന്നു (ഇവൻ്റ് എ). അനുയോജ്യമായ ഓരോ നൂറിൽ 75 ഉൽപ്പന്നങ്ങളും ഒന്നാം ഗ്രേഡിൽ (ഇവൻ്റ് ബി) പെടുന്നു. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഉൽപ്പന്നം അനുയോജ്യമാകാനും ഒന്നാം ഗ്രേഡിൽ ഉൾപ്പെടാനുമുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം. എ, ബി ഇവൻ്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള പ്രോബബിലിറ്റിയാണ് ആവശ്യമുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി. നമുക്ക് ഉള്ള വ്യവസ്ഥ പ്രകാരം: . അതിനാൽ ഗുണന സിദ്ധാന്തം നൽകുന്നു

ഉദാഹരണം 5. ഒരൊറ്റ ഷോട്ട് (ഇവൻ്റ് എ) ഉപയോഗിച്ച് ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യത 0.2 ആണ്. 2% ഫ്യൂസുകൾ പരാജയപ്പെടുകയാണെങ്കിൽ (അതായത്, 2% കേസുകളിൽ ഷോട്ട് സംഭവിക്കാത്തത്) ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം. ഇവൻ്റ് ബി ഒരു ഷോട്ട് സംഭവിക്കും, ബി അർത്ഥമാക്കുന്നത് വിപരീത സംഭവമാകട്ടെ. പിന്നെ വ്യവസ്ഥയനുസരിച്ചും സങ്കലന സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ അനന്തരഫലമനുസരിച്ചും. കൂടാതെ, വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്.

ടാർഗെറ്റിൽ അടിക്കുക എന്നതിനർത്ഥം എ, ബി ഇവൻ്റുകളുടെ സംയോജനമാണ് (ഷോട്ട് വെടിവയ്ക്കുകയും ഹിറ്റ് നൽകുകയും ചെയ്യും), അതിനാൽ, ഗുണന സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച്

പ്രധാനപ്പെട്ടത് പ്രത്യേക കേസ്സംഭവങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യം എന്ന ആശയം ഉപയോഗിച്ച് ഗുണന സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ലഭിക്കും.

രണ്ട് സംഭവങ്ങളെ സ്വതന്ത്രമെന്ന് വിളിക്കുന്നു, അവയിലൊന്നിൻ്റെ സംഭാവ്യത മറ്റൊന്ന് സംഭവിക്കുകയോ സംഭവിക്കാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി മാറുന്നില്ലെങ്കിൽ.

സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ ഡ്രോപ്പ്ഔട്ട് ആണ് വിവിധ സംഖ്യകൾഒരു നാണയം വീണ്ടും എറിയുമ്പോൾ അല്ലെങ്കിൽ ഒരു നാണയം വീണ്ടും എറിയുമ്പോൾ നാണയത്തിൻ്റെ ഒന്നോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റൊരു വശമോ വീണ്ടും എറിയുമ്പോൾ പോയിൻ്റുകൾ, കാരണം രണ്ടാമത്തെ എറിയുമ്പോൾ ഒരു കോട്ട് ഓഫ് ആംസ് വീഴാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണ് എന്നത് വ്യക്തമാണ് അല്ലെങ്കിൽ ആദ്യത്തേതിൽ അല്ല.

അതുപോലെ, ആദ്യം വരച്ച പന്ത് തിരികെ നൽകിയാൽ, വെള്ളയും കറുപ്പും നിറമുള്ള പന്തിൽ നിന്ന് രണ്ടാമതും ഒരു വെളുത്ത പന്ത് വരയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത, പന്ത് ആദ്യമായി വരച്ചതാണോ, വെള്ളയാണോ കറുപ്പാണോ എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ, ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും നീക്കം ചെയ്യലിൻ്റെ ഫലങ്ങൾ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമാണ്. നേരെമറിച്ച്, ആദ്യം പുറത്തെടുത്ത പന്ത് കലത്തിലേക്ക് മടങ്ങുന്നില്ലെങ്കിൽ, രണ്ടാമത്തെ നീക്കം ചെയ്യലിൻ്റെ ഫലം ആദ്യത്തേതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു, കാരണം ആദ്യത്തെ നീക്കം ചെയ്തതിന് ശേഷമുള്ള ഉരുളയിലെ പന്തുകളുടെ ഘടന അതിൻ്റെ ഫലത്തെ ആശ്രയിച്ച് മാറുന്നു. ആശ്രിത സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു ഉദാഹരണം ഇവിടെയുണ്ട്.

സോപാധിക സാധ്യതകൾക്കായി സ്വീകരിച്ച നൊട്ടേഷൻ ഉപയോഗിച്ച്, എ, ബി ഇവൻ്റുകളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിനുള്ള വ്യവസ്ഥ നമുക്ക് രൂപത്തിൽ എഴുതാം.

ഈ സമത്വങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളുടെ ഗുണന സിദ്ധാന്തം ഇനിപ്പറയുന്ന രൂപത്തിലേക്ക് ചുരുക്കാം.

ഇവൻ്റുകൾ എ, ബി എന്നിവ സ്വതന്ത്രമാണെങ്കിൽ, അവയുടെ സംയോജനത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത ഈ ഇവൻ്റുകളുടെ സാധ്യതകളുടെ ഫലത്തിന് തുല്യമാണ്:

തീർച്ചയായും, സംഭവങ്ങളുടെ സ്വാതന്ത്ര്യത്തിൽ നിന്ന് പിന്തുടരുന്ന ഗുണന സിദ്ധാന്തത്തിൻ്റെ പ്രാരംഭ പദപ്രയോഗം ഉൾപ്പെടുത്തിയാൽ മതി, ആവശ്യമായ തുല്യത നമുക്ക് ലഭിക്കും.

നമുക്ക് ഇപ്പോൾ നിരവധി ഇവൻ്റുകൾ പരിഗണിക്കാം: അവയിലേതെങ്കിലും സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത പരിഗണനയിലുള്ള മറ്റേതെങ്കിലും ഇവൻ്റുകൾ നടന്നിട്ടുണ്ടോ ഇല്ലയോ എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ ഞങ്ങൾ അവയെ മൊത്തത്തിൽ സ്വതന്ത്രമെന്ന് വിളിക്കും.

മൊത്തത്തിൽ സ്വതന്ത്രമായ സംഭവങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, ഗുണന സിദ്ധാന്തം അവയുടെ ഏത് പരിമിത സംഖ്യയിലേക്കും വ്യാപിപ്പിക്കാം, അതിനാൽ ഇത് ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ രൂപപ്പെടുത്താം:

മൊത്തത്തിൽ സ്വതന്ത്ര ഇവൻ്റുകൾ സംയോജിപ്പിക്കുന്നതിനുള്ള സാധ്യത ഈ ഇവൻ്റുകളുടെ സാധ്യതകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

ഉദാഹരണം 6. ഒരു തൊഴിലാളി മൂന്ന് ഓട്ടോമാറ്റിക് മെഷീനുകൾ സർവ്വീസ് ചെയ്യുന്നു, മെഷീൻ നിലച്ചാൽ തകരാർ പരിഹരിക്കാൻ അവ ഓരോന്നും സമീപിക്കണം. ആദ്യത്തെ യന്ത്രം ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ നിർത്താതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.9 ആണ്. രണ്ടാമത്തെ മെഷീൻ്റെ അതേ സാധ്യത 0.8 ഉം മൂന്നാമത്തേതിന് - 0.7 ഉം ആണ്. ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ തൊഴിലാളി താൻ സർവീസ് ചെയ്യുന്ന യന്ത്രങ്ങളൊന്നും സമീപിക്കേണ്ടതില്ല എന്ന സംഭാവ്യത നിർണ്ണയിക്കുക.

ഉദാഹരണം 7. റൈഫിൾ ഷോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് വിമാനം വെടിവെച്ച് വീഴ്ത്താനുള്ള സാധ്യത 250 റൈഫിളുകൾ ഒരേ സമയം വെടിവെച്ചാൽ ശത്രുവിമാനത്തെ നശിപ്പിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം. ഒരു ഷോട്ട് കൊണ്ട് വിമാനം വീഴാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത, സങ്കലന സിദ്ധാന്തത്തിന് തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ നമുക്ക് ഗുണന സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, 250 ഷോട്ടുകൾ ഉപയോഗിച്ച് വിമാനം വീഴാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കാം. സംഭവങ്ങൾ. ഇതിന് തുല്യമാണ് ഇതിന് ശേഷം, നമുക്ക് വീണ്ടും സങ്കലന സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കാനും വിപരീത സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യതയായി വിമാനം വെടിവയ്ക്കപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്താനും കഴിയും.

ഒരൊറ്റ റൈഫിൾ ഷോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് ഒരു വിമാനം വെടിവയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത വളരെ കുറവാണെങ്കിലും, 250 റൈഫിളുകളിൽ നിന്ന് വെടിവയ്ക്കുമ്പോൾ, ഒരു വിമാനം വെടിവയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത ഇതിനകം തന്നെ വളരെ ശ്രദ്ധേയമാണെന്ന് ഇതിൽ നിന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. റൈഫിളുകളുടെ എണ്ണം വർദ്ധിപ്പിച്ചാൽ അത് ഗണ്യമായി വർദ്ധിക്കുന്നു. അതിനാൽ, 500 റൈഫിളുകളിൽ നിന്ന് ഷൂട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ, ഒരു വിമാനം വെടിവയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത, കണക്കുകൂട്ടാൻ എളുപ്പമാണ്, 1000 റൈഫിളുകളിൽ നിന്ന് ഷൂട്ട് ചെയ്യുമ്പോൾ തുല്യമാണ് - പോലും.

മുകളിൽ തെളിയിക്കപ്പെട്ട ഗുണന സിദ്ധാന്തം, സങ്കലന സിദ്ധാന്തത്തെ ഒരു പരിധിവരെ വികസിപ്പിക്കാൻ ഞങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു, ഇത് അനുയോജ്യമായ സംഭവങ്ങളുടെ കാര്യത്തിലേക്ക് വിപുലീകരിക്കുന്നു. എ, ബി ഇവൻ്റുകൾ അനുയോജ്യമാണെങ്കിൽ, അവയിലൊന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമല്ലെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഇവൻ്റ് എ എന്നാൽ ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്

ഒരു ഡൈ എറിയുമ്പോൾ ഉള്ള പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണം, ഇവൻ്റ് B എന്നത് മൂന്നിൻ്റെ ഗുണിതമായ നിരവധി പോയിൻ്റുകളുടെ നഷ്ടമാണ്, തുടർന്ന് ഇവൻ്റ് (A അല്ലെങ്കിൽ B) 2, 3, 4, 6 പോയിൻ്റുകളുടെ നഷ്ടം അനുകൂലമാണ്, അതാണ്

മറുവശത്ത്, അതായത്. അതിനാൽ ഈ കേസിൽ

ഇതിൽ നിന്ന് വ്യക്തമാണ്, അനുയോജ്യമായ സംഭവങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, സാധ്യതകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സിദ്ധാന്തം മാറ്റണം. നമ്മൾ ഇപ്പോൾ കാണുന്നത് പോലെ, അനുയോജ്യവും പൊരുത്തമില്ലാത്തതുമായ ഇവൻ്റുകൾക്ക് സാധുതയുള്ള വിധത്തിൽ ഇത് രൂപപ്പെടുത്താൻ കഴിയും, അതിനാൽ മുമ്പ് പരിഗണിച്ച സങ്കലന സിദ്ധാന്തം പുതിയതിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസായി മാറുന്നു.

എയ്ക്ക് അനുകൂലമല്ലാത്ത സംഭവങ്ങൾ.

ഒരു ഇവൻ്റിനെ (A അല്ലെങ്കിൽ B) അനുകൂലിക്കുന്ന എല്ലാ പ്രാഥമിക സംഭവങ്ങളും ഒന്നുകിൽ A, അല്ലെങ്കിൽ B മാത്രം, അല്ലെങ്കിൽ A, B എന്നിവയ്ക്ക് അനുകൂലമായിരിക്കണം. അങ്ങനെ, അത്തരം സംഭവങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം ഇതിന് തുല്യമാണ്

ഒപ്പം സാധ്യതയും

ക്യു.ഇ.ഡി.

ഒരു ഡൈസ് എറിയുമ്പോൾ ദൃശ്യമാകുന്ന പോയിൻ്റുകളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ മുകളിലുള്ള ഉദാഹരണത്തിലേക്ക് ഫോർമുല (9) പ്രയോഗിക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

നേരിട്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലിൻ്റെ ഫലവുമായി പൊരുത്തപ്പെടുന്നു.

വ്യക്തമായും, ഫോർമുല (1) (9) ൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസാണ്. തീർച്ചയായും, A, B ഇവൻ്റുകൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ലെങ്കിൽ, സംയോജനത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത

ഉദാഹരണത്തിന്. രണ്ട് ഫ്യൂസുകൾ ഇലക്ട്രിക്കൽ സർക്യൂട്ടിലേക്ക് പരമ്പരയിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ ഫ്യൂസിൻ്റെ പരാജയത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത 0.6 ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് 0.2 ആണ്. ഈ ഫ്യൂസുകളിലൊന്നെങ്കിലും പരാജയപ്പെടുന്നതിൻ്റെ ഫലമായി വൈദ്യുതി തകരാർ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത നമുക്ക് നിർണ്ണയിക്കാം.

പരിഹാരം. ഫ്യൂസുകളുടെ ആദ്യത്തേയും രണ്ടാമത്തേയും പരാജയം അടങ്ങുന്ന എ, ബി ഇവൻ്റുകൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നതിനാൽ, ആവശ്യമായ പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല (9) പ്രകാരം നിർണ്ണയിക്കും:

വ്യായാമങ്ങൾ

ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ ആശയവും ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യതയും. വിശ്വസനീയവും അസാധ്യവുമായ ഇവൻ്റുകൾ. പ്രോബബിലിറ്റിയുടെ ക്ലാസിക്കൽ നിർവചനം. പ്രോബബിലിറ്റി സങ്കലന സിദ്ധാന്തം. പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണന സിദ്ധാന്തം. പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ ഉപയോഗിച്ച് പ്രോബബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു.

വിഷയം 3.1-നുള്ള മാർഗ്ഗനിർദ്ദേശങ്ങൾ:

ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ ആശയവും ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യതയും. വിശ്വസനീയവും അസാധ്യവുമായ ഇവൻ്റുകൾ. സാധ്യതകളുടെ ക്ലാസിക് നിർവ്വചനം:

നിരീക്ഷണത്തിൻ്റെയോ പരീക്ഷണത്തിൻ്റെയോ ക്രമത്തിലുള്ള ഓരോ പ്രതിഭാസത്തിൻ്റെയും പഠനം ഒരു നിശ്ചിത വ്യവസ്ഥകൾ (ടെസ്റ്റുകൾ) നടപ്പിലാക്കുന്നതുമായി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ഒരു പരിശോധനയുടെ എല്ലാ ഫലങ്ങളും ഫലങ്ങളും വിളിക്കപ്പെടുന്നു സംഭവം.

നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ ഒരു സംഭവം നടക്കുകയോ നടക്കാതിരിക്കുകയോ ചെയ്താൽ, അതിനെ വിളിക്കുന്നു ക്രമരഹിതമായ.ഒരു സംഭവം നടക്കുമെന്ന് ഉറപ്പായാൽ അതിനെ വിളിക്കുന്നു വിശ്വസനീയമായ, അത് സംഭവിക്കാൻ കഴിയാത്ത സാഹചര്യത്തിൽ, - അസാധ്യം.

ഇവൻ്റുകൾ വിളിക്കുന്നു പൊരുത്തമില്ലാത്ത,അവയിലൊന്ന് മാത്രമേ ഓരോ തവണയും പ്രത്യക്ഷപ്പെടാൻ കഴിയൂ എങ്കിൽ. ഇവൻ്റുകൾ വിളിക്കുന്നു സംയുക്ത,നൽകിയിരിക്കുന്ന വ്യവസ്ഥകളിൽ, ഈ സംഭവങ്ങളിലൊന്ന് സംഭവിക്കുന്നത് അതേ പരിശോധനയ്ക്കിടെ മറ്റൊന്ന് സംഭവിക്കുന്നത് ഒഴിവാക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ.

ഇവൻ്റുകൾ വിളിക്കുന്നു എതിർ,പരിശോധനയുടെ അവസ്ഥയിൽ അവ, അതിൻ്റെ ഫലം മാത്രമായതിനാൽ, പൊരുത്തപ്പെടുന്നില്ല.

ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത ഒരു ക്രമരഹിത സംഭവത്തിൻ്റെ വസ്തുനിഷ്ഠമായ സാധ്യതയുടെ അളവുകോലായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

സാധ്യതസംഭവങ്ങളെ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണത്തിൻ്റെ അനുപാതം എന്ന് വിളിക്കുന്നു എം, തന്നിരിക്കുന്ന ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവത്തിന് അനുകൂലമാണ്, എല്ലാ ഫലങ്ങളുടെയും n എന്ന സംഖ്യയിലേക്ക് (അനുയോജ്യമല്ല, സാധ്യമായതും തുല്യമായി സാധ്യമായതും), അതായത്.

ഏതെങ്കിലും സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത പൂജ്യത്തിൽ കുറവും ഒന്നിൽ കൂടുതലും ആയിരിക്കരുത്, അതായത്. . അസാധ്യമായ ഒരു സംഭവം ഒരു പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി യോജിക്കുന്നു, വിശ്വസനീയമായ ഒരു സംഭവം ഒരു പ്രോബബിലിറ്റിയുമായി യോജിക്കുന്നു

ഉദാഹരണം 1. 1000 ടിക്കറ്റുകളുടെ ഒരു ലോട്ടറിയിൽ, 200 വിജയിച്ചവയുണ്ട്. ഒരു ടിക്കറ്റ് ക്രമരഹിതമായി പുറത്തെടുക്കുന്നു. ഈ ടിക്കറ്റ് വിജയിയാകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

വ്യത്യസ്ത ഫലങ്ങളുടെ ആകെ എണ്ണം എൻ= 1000. വിജയിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമായ ഫലങ്ങളുടെ എണ്ണം എം= 200. ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും .

ഉദാഹരണം 2. 5 വെള്ളയും 3 കറുത്ത പന്തുകളും അടങ്ങുന്ന ഒരു പാത്രത്തിൽ നിന്ന് ഒരു പന്ത് വലിച്ചെടുക്കുന്നു. പന്ത് കറുത്തതായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

ഒരു കറുത്ത പന്തിൻ്റെ രൂപത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്ന സംഭവത്തെ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. കേസുകളുടെ ആകെ എണ്ണം. കേസുകളുടെ എണ്ണം എം, ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമായത്, 3 ന് തുല്യമാണ്. ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും.

ഉദാഹരണം 3. 12 വെള്ളയും 8 കറുത്ത പന്തുകളും അടങ്ങുന്ന ഒരു പാത്രത്തിൽ നിന്ന് രണ്ട് പന്തുകൾ ക്രമരഹിതമായി വരയ്ക്കുന്നു. രണ്ട് പന്തുകളും കറുത്തതായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

രണ്ട് കറുത്ത പന്തുകളുടെ രൂപത്തിലുള്ള സംഭവത്തെ നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. സാധ്യമായ കേസുകളുടെ ആകെ എണ്ണം എൻ 20 മൂലകങ്ങളുടെ (12 + 8) രണ്ട് കോമ്പിനേഷനുകളുടെ എണ്ണത്തിന് തുല്യമാണ്:

കേസുകളുടെ എണ്ണം എം, ഇവൻ്റിന് അനുകൂലമാണ്

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച്, രണ്ട് കറുത്ത പന്തുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു:

പ്രോബബിലിറ്റി സങ്കലന സിദ്ധാന്തം. പ്രോബബിലിറ്റി സങ്കലന സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച് പ്രോബബിലിറ്റി നിർണ്ണയിക്കുന്നതിനുള്ള ഏറ്റവും ലളിതമായ പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുന്നു:

പൊരുത്തപ്പെടാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം.ജോഡിവൈസായി പൊരുത്തപ്പെടാത്ത നിരവധി ഇവൻ്റുകളിൽ ഒന്നിൻ്റെ സംഭവവികാസം, ഏതായാലും, ഈ ഇവൻ്റുകളുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

സംയുക്ത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം.രണ്ട് സംയുക്ത സംഭവങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത, ഈ ഇവൻ്റുകളുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്, അവയുടെ സംയുക്ത സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യതയില്ലാതെ:

ഉദാഹരണം 4. ഒരു ബോക്സിൽ ക്രമരഹിതമായ ക്രമത്തിൽ ക്രമീകരിച്ചിരിക്കുന്ന 20 ഭാഗങ്ങളുണ്ട്, അതിൽ അഞ്ചെണ്ണം സാധാരണമാണ്. ഒരു തൊഴിലാളി ക്രമരഹിതമായി മൂന്ന് ഭാഗങ്ങൾ എടുക്കുന്നു. തിരഞ്ഞെടുത്ത ഭാഗങ്ങളിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

വ്യക്തമായും, പൊരുത്തപ്പെടാത്ത മൂന്ന് ഇവൻ്റുകളിൽ ഏതെങ്കിലും സംഭവിക്കുകയാണെങ്കിൽ എടുത്ത ഭാഗങ്ങളിൽ ഒരെണ്ണമെങ്കിലും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയിരിക്കും: ബി- ഒരു ഭാഗം സാധാരണമാണ്, രണ്ട് നിലവാരമില്ലാത്തതാണ്; സി- രണ്ട് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഭാഗങ്ങൾ, ഒന്ന് നിലവാരമില്ലാത്തതും ഡി- മൂന്ന് ഭാഗങ്ങൾ സാധാരണമാണ്.

അങ്ങനെ സംഭവം എഈ മൂന്ന് സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയായി പ്രതിനിധീകരിക്കാം: എ = ബി + സി + ഡി.സങ്കലന സിദ്ധാന്തമനുസരിച്ച് നമുക്കുണ്ട് പി(എ) = പി(ബി) + പി(സി) + പി(ഡി).ഈ ഇവൻ്റുകളുടെ ഓരോ സാധ്യതയും കണ്ടെത്തുക:

കണ്ടെത്തിയ മൂല്യങ്ങൾ ചേർക്കുമ്പോൾ, നമുക്ക് ലഭിക്കും

ഉദാഹരണം 5. ക്രമരഹിതമായി എടുത്ത പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടെത്തുക രണ്ടക്ക നമ്പർഒന്നുകിൽ 3 അല്ലെങ്കിൽ 5 അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടിൻ്റെയും ഗുണിതമായിരിക്കും.

അനുവദിക്കുക എ- ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത സംഖ്യ 3 ൻ്റെ ഗുണിതമാണ് എന്ന വസ്തുത ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു ഇവൻ്റ് ബി- അതാണോ 5 ൻ്റെ ഗുണിതം. മുതൽ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം എഒപ്പം ബിസംയുക്ത ഇവൻ്റുകൾ, തുടർന്ന് ഞങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു:

ആകെ 90 രണ്ടക്ക സംഖ്യകളുണ്ട്: 10, 11, 98, 99. ഇതിൽ 30 എണ്ണം 3 ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങളാണ് (ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമാണ് എ); 18 - 5 ൻ്റെ ഗുണിതങ്ങൾ (ഒരു ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമാണ് ബി) കൂടാതെ 6 - ഒരേ സമയം 3, 5 എന്നിവയുടെ ഗുണിതങ്ങൾ (ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കുന്നതിന് അനുകൂലമാണ് എബി). അങ്ങനെ, അതായത്.

പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണന സിദ്ധാന്തം:

സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം.രണ്ട് സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളുടെ സംയുക്ത സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത ഈ ഇവൻ്റുകളുടെ സാധ്യതകളുടെ ഫലത്തിന് തുല്യമാണ്:

മൊത്തത്തിൽ സ്വതന്ത്രമായ നിരവധി സംഭവങ്ങൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

ആശ്രിത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം.രണ്ട് ആശ്രിത സംഭവങ്ങളുടെ സംയുക്ത സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത അവയിലൊന്നിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിനും രണ്ടാമത്തേതിൻ്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യതയ്ക്കും തുല്യമാണ്:

ഉദാഹരണം 6. ഒരു കലത്തിൽ 4 വെള്ളയും 8 കറുത്ത പന്തുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, മറ്റൊന്നിൽ 3 വെള്ളയും 9 കറുത്ത പന്തുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഓരോ കലത്തിൽ നിന്നും ഒരു പന്ത് എടുത്തു. രണ്ട് പന്തുകളും വെളുത്തതായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

ആദ്യത്തെ കലത്തിൽ നിന്ന് വെളുത്ത പന്തിൻ്റെ രൂപമാകട്ടെ, രണ്ടാമത്തെ കലത്തിൽ നിന്ന് വെളുത്ത പന്തിൻ്റെ രൂപവും ആകട്ടെ. സംഭവങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമാണെന്ന് വ്യക്തമാണ്. ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തും

ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

വിഷയം 3.1-ലെ സ്വയം പരീക്ഷാ ചോദ്യങ്ങൾ:

1. എന്താണ് ഒരു സംഭവം?

2. ഏത് സംഭവങ്ങളെയാണ് വിശ്വസനീയമെന്ന് വിളിക്കുന്നത്?

3. ഏത് സംഭവങ്ങളെ അസാധ്യമെന്ന് വിളിക്കുന്നു?

4. സംഭാവ്യത നിർവ്വചിക്കുക.

5. സാധ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തുക.

6. പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണന സിദ്ധാന്തം രൂപപ്പെടുത്തുക.

എന്നതിനായുള്ള ചുമതലകൾ സ്വതന്ത്ര തീരുമാനംവിഷയം 3.1:

1. ഒരു ബോക്സിൽ ക്രമരഹിതമായ ക്രമത്തിൽ 10 ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിൽ 4 എണ്ണം സാധാരണമാണ്. ഇൻസ്പെക്ടർ ക്രമരഹിതമായി 3 ഭാഗങ്ങൾ എടുത്തു. എടുത്ത ഭാഗങ്ങളിൽ ഒന്നെങ്കിലും സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയി മാറാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

2. ഒരു കലത്തിൽ 10 വെള്ള, 15 കറുപ്പ്, 20 നീല, 25 ചുവപ്പ് പന്തുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. വരച്ച പന്ത് ആകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക: 1) വെള്ള; 2) കറുപ്പ് അല്ലെങ്കിൽ ചുവപ്പ്.

3. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു രണ്ടക്ക സംഖ്യ 4 അല്ലെങ്കിൽ 5 അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടിൻ്റെയും ഗുണിതമാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

4. ഒരു തൊഴിലാളി പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന രണ്ട് മെഷീനുകൾക്ക് സേവനം നൽകുന്നു. ആദ്യത്തെ മെഷീന് ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ ഒരു തൊഴിലാളിയുടെ ശ്രദ്ധ ആവശ്യമില്ല എന്നതിൻ്റെ സംഭാവ്യത 0.8 ആണ്, രണ്ടാമത്തെ മെഷീന് ഈ പ്രോബബിലിറ്റി 0.7 ആണ്. ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ ഒരു യന്ത്രം പോലും ഒരു തൊഴിലാളിയുടെ ശ്രദ്ധ ആവശ്യപ്പെടാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

5. കലത്തിൽ 6 പന്തുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിൽ 3 എണ്ണം വെളുത്തതാണ്. രണ്ട് പന്തുകൾ ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി ക്രമരഹിതമായി വരയ്ക്കുന്നു. രണ്ട് പന്തുകളും വെളുത്തതായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണക്കാക്കുക.

6. ഒരു കലത്തിൽ 10 വെള്ളയും 6 കറുത്ത പന്തുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി ക്രമരഹിതമായി വരച്ച മൂന്ന് പന്തുകൾ കറുത്തതായി മാറാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

ഒരു പരീക്ഷണം പരിഗണിക്കുന്നു ഇ. ഇത് ആവർത്തിച്ച് നടപ്പിലാക്കാൻ കഴിയുമെന്നാണ് കരുതുന്നത്. പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമായി, ഒരു പ്രത്യേക സെറ്റ് ഉണ്ടാക്കുന്ന വിവിധ ഇവൻ്റുകൾ പ്രത്യക്ഷപ്പെടാം എഫ്. നിരീക്ഷിക്കാവുന്ന സംഭവങ്ങളെ മൂന്ന് തരങ്ങളായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു: വിശ്വസനീയമായ, അസാധ്യമായ, ക്രമരഹിതമായ.

വിശ്വസനീയം ഒരു പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമായി സംഭവിക്കുമെന്ന് ഉറപ്പുള്ള ഒരു സംഭവത്തെ വിളിക്കുന്നു ഇ. Ω കൊണ്ട് സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു.

അസാധ്യം ഒരു പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമായി സംഭവിക്കാത്ത ഒരു സംഭവത്തെ വിളിക്കുന്നു ഇ. സൂചിപ്പിക്കുന്നത്.

ക്രമരഹിതം ഒരു പരീക്ഷണത്തിൻ്റെ ഫലമായി സംഭവിക്കാവുന്നതോ സംഭവിക്കാത്തതോ ആയ ഒരു സംഭവത്തെ വിളിക്കുന്നു ഇ.

അധിക (എതിർവശം) സംഭവം എഒരു സംഭവമാണ്, സൂചിപ്പിക്കുന്നത്, അത് സംഭവിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ മാത്രം സംഭവിക്കുന്നു എ.

തുക (കോമ്പിനേഷൻ) ഇവൻ്റുകൾ എന്നത് ഈ ഇവൻ്റുകളിലൊന്നെങ്കിലും സംഭവിച്ചാൽ മാത്രം സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവമാണ് (ചിത്രം 3.1). നൊട്ടേഷൻ.

ചിത്രം 3.1

ഉൽപ്പന്നം (കവല) ഈ സംഭവങ്ങളെല്ലാം ഒരുമിച്ച് (ഒരേസമയം) സംഭവിച്ചാൽ മാത്രം സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവമാണ് ഇവൻ്റുകൾ (ചിത്രം 3.2). നൊട്ടേഷൻ. എ, ബി ഇവൻ്റുകൾ എന്ന് വ്യക്തമാണ് പൊരുത്തമില്ലാത്ത , എങ്കിൽ.

ചിത്രം 3.2

സംഭവങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ഗ്രൂപ്പ് ഒരു നിശ്ചിത സംഭവമായ ഇവൻ്റുകളുടെ ഒരു കൂട്ടമാണ്:

സംഭവം INവിളിച്ചു ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ ഒരു പ്രത്യേക കേസ് എ, ഒരു സംഭവം ഉണ്ടായാൽ INസംഭവം ദൃശ്യമാകുന്നു എ. സംഭവമെന്നും അവർ പറയുന്നു INഒരു സംഭവം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എ(ചിത്രം 3.3). പദവി

ചിത്രം 3.3

ഇവൻ്റുകൾ എഒപ്പം INവിളിക്കുന്നു തത്തുല്യമായ , പരീക്ഷണ സമയത്ത് അവ ഒരുമിച്ച് സംഭവിക്കുകയോ സംഭവിക്കാതിരിക്കുകയോ ചെയ്താൽ ഇ. പദവി വ്യക്തമായും, എങ്കിൽ ...

ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള ഒരു സംഭവം ബീജഗണിത പ്രവർത്തനങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ച് അതേ പരീക്ഷണത്തിൽ നിരീക്ഷിച്ച മറ്റ് സംഭവങ്ങളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്ന ഒരു നിരീക്ഷിച്ച സംഭവത്തെ വിളിക്കുക.

ഒരു പ്രത്യേക സങ്കീർണ്ണ സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത കണക്കാക്കുന്നത് പ്രോബബിലിറ്റികൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നതിനും ഗുണിക്കുന്നതിനുമുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങൾ ഉപയോഗിച്ചാണ്.

പ്രോബബിലിറ്റി സങ്കലന സിദ്ധാന്തം

അനന്തരഫലങ്ങൾ:

1) ഇവൻ്റുകൾ ആണെങ്കിൽ എഒപ്പം INപൊരുത്തമില്ലാത്തവയാണ്, സങ്കലന സിദ്ധാന്തം രൂപമെടുക്കുന്നു:

2) മൂന്ന് പദങ്ങളുടെ കാര്യത്തിൽ, കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സിദ്ധാന്തം ഫോമിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു

3) പരസ്പര വിരുദ്ധ സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുക 1 ന് തുല്യമാണ്:

സംഭവങ്ങളുടെ കൂട്ടം ,, ..., എന്ന് വിളിക്കുന്നു സംഭവങ്ങളുടെ മുഴുവൻ ഗ്രൂപ്പ് , എങ്കിൽ

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പ് രൂപീകരിക്കുന്ന ഇവൻ്റുകളുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക 1 ന് തുല്യമാണ്:

ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത എസംഭവം എന്ന് നൽകി INസംഭവിച്ചു, അവർ അതിനെ വിളിക്കുന്നു സോപാധിക സംഭാവ്യത സൂചിപ്പിക്കുക അല്ലെങ്കിൽ.

എഒപ്പം IN – ആശ്രിത സംഭവങ്ങൾ , എങ്കിൽ.

എഒപ്പം IN – സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങൾ , എങ്കിൽ.

പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണന സിദ്ധാന്തം

അനന്തരഫലങ്ങൾ:

1) സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങൾക്ക് എഒപ്പം IN

2) ഇൻ പൊതു കേസ്മൂന്ന് സംഭവങ്ങളുടെ ഗുണനത്തിന്, പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണന സിദ്ധാന്തത്തിന് ഒരു രൂപമുണ്ട്:

പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നതിനുള്ള ഉദാഹരണങ്ങൾ

ഉദാഹരണം1 - മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ ഇലക്ട്രിക്കൽ സർക്യൂട്ടിലേക്ക് പരമ്പരയിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു, പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി പ്രവർത്തിക്കുന്നു. ഒന്നും രണ്ടും മൂന്നും മൂലകങ്ങളുടെ പരാജയ സാധ്യതകൾ യഥാക്രമം തുല്യമാണ്. സർക്യൂട്ടിൽ കറൻ്റ് ഉണ്ടാകാതിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം

ആദ്യ വഴി.

നമുക്ക് ഇനിപ്പറയുന്ന ഇവൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം: - സർക്യൂട്ടിൽ യഥാക്രമം ഒന്നും രണ്ടും മൂന്നും മൂലകങ്ങളുടെ പരാജയം സംഭവിച്ചു.

സംഭവം എ- സർക്യൂട്ടിൽ കറൻ്റ് ഉണ്ടാകില്ല (കുറഞ്ഞത് ഒരു മൂലകമെങ്കിലും പരാജയപ്പെടും, കാരണം അവ ശ്രേണിയിൽ ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു).

ഇവൻ്റ് - സർക്യൂട്ടിൽ കറൻ്റ് ഉണ്ട് (മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ പ്രവർത്തിക്കുന്നു), . വിപരീത സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത ഫോർമുല (3.4) വഴി ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. ജോടിയായി സ്വതന്ത്രമായ മൂന്ന് ഇവൻ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നമാണ് ഇവൻ്റ്. സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളെ ഗുണിക്കുന്നതിന് സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ച്, നമുക്ക് ലഭിക്കും

അപ്പോൾ ആഗ്രഹിക്കുന്ന സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത .

രണ്ടാമത്തെ വഴി.

മുമ്പ് സ്വീകരിച്ച നൊട്ടേഷൻ കണക്കിലെടുത്ത്, ആവശ്യമുള്ള ഇവൻ്റ് ഞങ്ങൾ എഴുതുന്നു എ- ഘടകങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും പരാജയപ്പെടും:

തുകയിൽ ഉൾപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന നിബന്ധനകൾ പൊരുത്തപ്പെടുന്നതിനാൽ, പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ സിദ്ധാന്തം പ്രയോഗിക്കണം. പൊതുവായ കാഴ്ചമൂന്ന് നിബന്ധനകളുടെ കാര്യത്തിൽ (3.3):

ഉത്തരം: 0,388.

സ്വതന്ത്രമായി പരിഹരിക്കാനുള്ള പ്രശ്നങ്ങൾ

1 റീഡിംഗ് റൂമിൽ പ്രോബബിലിറ്റി തിയറിയിൽ ആറ് പാഠപുസ്തകങ്ങളുണ്ട്, അതിൽ മൂന്നെണ്ണം ബന്ധിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു. ലൈബ്രേറിയൻ ക്രമരഹിതമായി രണ്ട് പാഠപുസ്തകങ്ങൾ എടുത്തു. രണ്ട് പാഠപുസ്തകങ്ങളും ബന്ധിപ്പിക്കപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

2 ബാഗിൽ കലർന്ന ത്രെഡുകൾ ഉണ്ട്, അതിൽ 30% വെള്ളയും ബാക്കിയുള്ളവ ചുവപ്പുമാണ്. ക്രമരഹിതമായി വരച്ച രണ്ട് ത്രെഡുകൾ ആകാനുള്ള സാധ്യതകൾ നിർണ്ണയിക്കുക: ഒരേ നിറം; വ്യത്യസ്ത നിറങ്ങൾ.

3 ഉപകരണം സ്വതന്ത്രമായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന മൂന്ന് ഘടകങ്ങൾ ഉൾക്കൊള്ളുന്നു. ആദ്യത്തെ, രണ്ടാമത്തെയും മൂന്നാമത്തെയും മൂലകങ്ങളുടെ ഒരു നിശ്ചിത സമയത്തേക്ക് പരാജയരഹിതമായ പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ സാധ്യതകൾ യഥാക്രമം 0.6 ന് തുല്യമാണ്; 0.7; 0.8 ഈ സമയത്ത് ഒരു ഘടകം മാത്രം പരാജയപ്പെടാതെ പ്രവർത്തിക്കാനുള്ള സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്തുക; രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ മാത്രം; മൂന്ന് ഘടകങ്ങളും; കുറഞ്ഞത് രണ്ട് ഘടകങ്ങൾ.

4 മൂന്ന് എറിഞ്ഞു പകിടകൾ. ഇനിപ്പറയുന്ന ഇവൻ്റുകളുടെ സാധ്യതകൾ കണ്ടെത്തുക:

a) വരച്ച ഓരോ വശത്തും അഞ്ച് പോയിൻ്റുകൾ ദൃശ്യമാകും;

b) ഡ്രോപ്പ് ചെയ്ത എല്ലാ വശങ്ങളിലും ഒരേ എണ്ണം പോയിൻ്റുകൾ ദൃശ്യമാകും;

സി) രണ്ട് ഡ്രോപ്പ് ചെയ്ത വശങ്ങളിൽ ഒരു പോയിൻ്റ് ദൃശ്യമാകും, മൂന്നാമത്തെ വശത്ത് മറ്റൊരു എണ്ണം പോയിൻ്റുകൾ ദൃശ്യമാകും;

d) ഡ്രോപ്പ് ചെയ്ത എല്ലാ മുഖങ്ങളിലും വ്യത്യസ്ത എണ്ണം പോയിൻ്റുകൾ ദൃശ്യമാകും.

5 ഒരു ഷോട്ട് കൊണ്ട് ഒരു ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യത 0.8 ആണ്. ഷൂട്ടർ എത്ര ഷോട്ടുകൾ വെടിവയ്ക്കണം, അങ്ങനെ 0.4-ൽ താഴെ സാധ്യതയുള്ളതിനാൽ മിസ്സുകളൊന്നും ഉണ്ടാകില്ലെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാം?

6 1, 2, 3, 4, 5 അക്കങ്ങളിൽ നിന്ന് ആദ്യം ഒന്ന് തിരഞ്ഞെടുത്തു, തുടർന്ന് ബാക്കിയുള്ള നാലിൽ നിന്ന് രണ്ടാമത്തെ അക്കം തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നു. സാധ്യമായ 20 ഫലങ്ങളും ഒരുപോലെയാകുമെന്ന് അനുമാനിക്കപ്പെടുന്നു. ഒറ്റ സംഖ്യ തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക: ആദ്യമായി; രണ്ടാം തവണ; രണ്ടു തവണയും.

7 സ്റ്റോറിലെ പുരുഷന്മാരുടെ ഷൂ വിഭാഗത്തിൽ 46 വലുപ്പമുള്ള ഒരു ജോടി ഷൂ വീണ്ടും വിൽക്കപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത 0.01 ആണ്. ഒരു സ്റ്റോറിൽ എത്ര ജോഡി ഷൂകൾ വിൽക്കണം, അതുവഴി കുറഞ്ഞത് 0.9 സാധ്യതയുള്ള ഒരു ജോഡി 46 ഷൂകളെങ്കിലും വിൽക്കുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കാം?

8 ബോക്സിൽ രണ്ട് നിലവാരമില്ലാത്തവ ഉൾപ്പെടെ 10 ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ആറ് ഭാഗങ്ങളിൽ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ നിലവാരമില്ലാത്ത ഒന്നിൽ കൂടുതൽ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

9 സാങ്കേതിക നിയന്ത്രണ വിഭാഗം ഉൽപ്പന്നങ്ങളുടെ നിലവാരം പരിശോധിക്കുന്നു. ഉൽപ്പന്നം നിലവാരമില്ലാത്തതാകാനുള്ള സാധ്യത 0.1 ആണ്. അതിനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക:

a) പരീക്ഷിച്ച മൂന്ന് ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ, രണ്ടെണ്ണം മാത്രമേ നിലവാരമില്ലാത്തതായി മാറുകയുള്ളൂ;

b) ക്രമത്തിൽ പരീക്ഷിച്ച നാലാമത്തെ ഉൽപ്പന്നം മാത്രമേ നിലവാരമില്ലാത്തതായി മാറുകയുള്ളൂ.

10 റഷ്യൻ അക്ഷരമാലയിലെ 32 അക്ഷരങ്ങൾ കട്ട് ഔട്ട് ആൽഫബെറ്റ് കാർഡുകളിൽ എഴുതിയിരിക്കുന്നു:

a) മൂന്ന് കാർഡുകൾ ക്രമരഹിതമായി ഒന്നിനുപുറകെ ഒന്നായി പുറത്തെടുത്ത് കാഴ്ചയുടെ ക്രമത്തിൽ മേശപ്പുറത്ത് വയ്ക്കുന്നു. "ലോകം" എന്ന വാക്ക് പുറത്തുവരാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക;

b) നീക്കം ചെയ്ത മൂന്ന് കാർഡുകൾ ഏത് വിധത്തിലും പരസ്പരം മാറ്റാവുന്നതാണ്. "ലോകം" എന്ന വാക്ക് രൂപപ്പെടുത്താൻ അവ ഉപയോഗിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

11 ഒരു പോരാളി ഒരു ബോംബറിനെ ആക്രമിക്കുകയും അതിന് നേരെ രണ്ട് സ്വതന്ത്ര സ്ഫോടനങ്ങൾ നടത്തുകയും ചെയ്യുന്നു. ആദ്യത്തെ പൊട്ടിത്തെറിയോടെ ഒരു ബോംബർ വെടിവയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.2 ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് - 0.3. ബോംബർ വെടിവച്ചില്ലെങ്കിൽ, അത് അതിൻ്റെ പിൻ തോക്കുകളിൽ നിന്ന് പോരാളിക്ക് നേരെ വെടിയുതിർക്കുകയും 0.25 സാധ്യതയോടെ വെടിവയ്ക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. വ്യോമാക്രമണത്തിൻ്റെ ഫലമായി ഒരു ബോംബർ അല്ലെങ്കിൽ യുദ്ധവിമാനം വെടിയേറ്റ് വീഴാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

ഹോം വർക്ക്

1 ആകെ പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല. ബയേസിൻ്റെ ഫോർമുല.

2 പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുക

ടാസ്ക്1 . ഒരു തൊഴിലാളി പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി പ്രവർത്തിക്കുന്ന മൂന്ന് മെഷീനുകൾ പ്രവർത്തിപ്പിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ യന്ത്രത്തിന് ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ തൊഴിലാളിയുടെ ശ്രദ്ധ ആവശ്യമില്ല എന്നതിൻ്റെ സംഭാവ്യത 0.9 ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് - 0.8, മൂന്നാമത്തേത് - 0.85. ഒരു മണിക്കൂറിനുള്ളിൽ ഒരു യന്ത്രമെങ്കിലും തൊഴിലാളിയുടെ ശ്രദ്ധ ആവശ്യമായി വരാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

ടാസ്ക്2 . ഇൻകമിംഗ് വിവരങ്ങൾ തുടർച്ചയായി പ്രോസസ്സ് ചെയ്യേണ്ട കമ്പ്യൂട്ടർ സെൻ്ററിന് രണ്ട് കമ്പ്യൂട്ടിംഗ് ഉപകരണങ്ങളുണ്ട്. അവയിൽ ഓരോന്നിനും കുറച്ച് സമയത്തിനുള്ളിൽ പരാജയപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത 0.2 ന് തുല്യമാണെന്ന് അറിയാം. നിങ്ങൾ സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കേണ്ടതുണ്ട്:

a) ഉപകരണങ്ങളിൽ ഒന്ന് പരാജയപ്പെടും, രണ്ടാമത്തേത് പ്രവർത്തനക്ഷമമാകും;

b) ഓരോ ഉപകരണത്തിൻ്റെയും പ്രശ്നരഹിതമായ പ്രവർത്തനം.

ടാസ്ക്3 . ഒരു നിശ്ചിത ക്രമത്തിൽ ഗെയിമിൽ ഷൂട്ട് ചെയ്യാൻ നാല് വേട്ടക്കാർ സമ്മതിച്ചു: മുമ്പത്തേത് തെറ്റിയാൽ മാത്രമേ അടുത്ത വേട്ടക്കാരൻ വെടിവെക്കൂ. ആദ്യ വേട്ടക്കാരന് ഹിറ്റിൻ്റെ സംഭാവ്യത 0.6 ആണ്, രണ്ടാമത്തേതിന് - 0.7, മൂന്നാമത്തേതിന് - 0.8. വെടിയുതിർക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക:

d) നാല്.

ടാസ്ക്4 . ഭാഗം നാല് പ്രോസസ്സിംഗ് പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ കടന്നുപോകുന്നു. ആദ്യ ഓപ്പറേഷൻ സമയത്ത് ഒരു തകരാർ ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.01 ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് - 0.02, മൂന്നാമത്തേത് - 0.03, നാലാമത്തേത് - 0.04. വ്യക്തിഗത പ്രവർത്തനങ്ങളിൽ തകരാറുകൾ സ്വീകരിക്കുന്ന സംഭവങ്ങൾ സ്വതന്ത്രമാണെന്ന് കരുതി, നാല് ഓപ്പറേഷനുകൾക്ക് ശേഷം വൈകല്യങ്ങളില്ലാതെ ഒരു ഭാഗം ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

വിദ്യാഭ്യാസ സ്ഥാപനം "ബെലാറഷ്യൻ സ്റ്റേറ്റ്

കാർഷിക അക്കാദമി"

ഹയർ മാത്തമാറ്റിക്സ് വിഭാഗം

സാധ്യതകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഗുണനവും. ആവർത്തിച്ചുള്ള ഇൻഡിപെൻഡൻ്റ് ടെസ്റ്റുകൾ

ലാൻഡ് മാനേജ്‌മെൻ്റ് ഫാക്കൽറ്റിയിലെ വിദ്യാർത്ഥികൾക്കുള്ള പ്രഭാഷണം

കറസ്പോണ്ടൻസ് കോഴ്സുകൾ

ഗോർക്കി, 2012

സാധ്യതകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കലും ഗുണനവും. ആവർത്തിച്ചു

സ്വതന്ത്ര പരിശോധനകൾ

സാധ്യതകളുടെ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ

രണ്ട് സംയുക്ത സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എഒപ്പം INസംഭവം വിളിച്ചു കൂടെ, ഇവൻ്റുകളിലൊന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കുന്നത് ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എഅഥവാ IN. അതുപോലെ, ഒന്നിലധികം സംയുക്ത സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഈ ഇവൻ്റുകളിൽ ഒന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കുന്ന ഒരു സംഭവമാണ്.

പൊരുത്തപ്പെടാത്ത രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുക എഒപ്പം INസംഭവം വിളിച്ചു കൂടെഒരു സംഭവം അല്ലെങ്കിൽ സംഭവം ഉൾക്കൊള്ളുന്നു എ, അല്ലെങ്കിൽ ഇവൻ്റുകൾ IN. അതുപോലെ, പൊരുത്തമില്ലാത്ത നിരവധി സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുക ഈ ഇവൻ്റുകളിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നിൻ്റെ സംഭവത്തെ ഉൾക്കൊള്ളുന്ന ഒരു സംഭവമാണ്.

പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഇവൻ്റുകളുടെ സാധ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം സാധുവാണ്: പൊരുത്തമില്ലാത്ത രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംഭാവ്യത ഈ സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ് , അതായത്. . ഈ സിദ്ധാന്തം പൊരുത്തപ്പെടാത്ത ഏത് പരിമിതമായ സംഭവങ്ങളിലേക്കും വ്യാപിപ്പിക്കാം.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിൽ നിന്ന് ഇത് ഇപ്രകാരമാണ്:

ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പ് രൂപീകരിക്കുന്ന സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണ്;

വിപരീത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണ്, അതായത്.
.

ഉദാഹരണം 1 . ബോക്സിൽ 2 വെള്ള, 3 ചുവപ്പ്, 5 നീല പന്തുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. പന്തുകൾ കലർത്തി ഒരെണ്ണം ക്രമരഹിതമായി വരയ്ക്കുന്നു. പന്ത് നിറമാകാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം . ഇവൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം:

എ=(നിറമുള്ള പന്ത് വരച്ചത്);

ബി=(വെളുത്ത പന്ത് വരച്ചു);

സി=(ചുവന്ന പന്ത് വരച്ചു);

ഡി=(നീല പന്ത് വരച്ചത്).

പിന്നെ എ= സി+ ഡി. സംഭവങ്ങൾ മുതൽ സി, ഡിപൊരുത്തമില്ലാത്ത ഇവൻ്റുകളുടെ സാധ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിന് ഞങ്ങൾ സിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിക്കും: .

ഉദാഹരണം 2 . കലത്തിൽ 4 വെളുത്ത പന്തുകളും 6 കറുത്ത പന്തുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. 3 പന്തുകൾ പാത്രത്തിൽ നിന്ന് ക്രമരഹിതമായി വലിച്ചെടുക്കുന്നു. അവയെല്ലാം ഒരേ നിറമായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത എന്താണ്?

പരിഹാരം . ഇവൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം:

എ=(ഒരേ നിറത്തിലുള്ള പന്തുകൾ വരച്ചിരിക്കുന്നു);

ബി=(വെളുത്ത പന്തുകൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു);

സി=(കറുത്ത പന്തുകൾ പുറത്തെടുക്കുന്നു).

കാരണം എ= ബി+ സിസംഭവങ്ങളും INഒപ്പം കൂടെപൊരുത്തമില്ലാത്ത ഇവൻ്റുകളുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ സങ്കലന സിദ്ധാന്തം വഴി പൊരുത്തമില്ലാത്തവയാണ്
. സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത INതുല്യമാണ്
, എവിടെ
4,

. നമുക്ക് പകരം വയ്ക്കാം കെഒപ്പം എൻഫോർമുലയിലേക്ക്, നമുക്ക് ലഭിക്കും
അതുപോലെ, സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണ്ടെത്തുന്നു കൂടെ:
, എവിടെ
,
, അതായത്.
. പിന്നെ
.

ഉദാഹരണം 3 . 36 കാർഡുകളുടെ ഒരു ഡെക്കിൽ നിന്ന്, 4 കാർഡുകൾ ക്രമരഹിതമായി വലിച്ചെടുക്കുന്നു. അവർക്കിടയിൽ കുറഞ്ഞത് മൂന്ന് എയ്സുകളെങ്കിലും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം . ഇവൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം:

എ=(പുറത്തെടുത്ത കാർഡുകളിൽ കുറഞ്ഞത് മൂന്ന് ഏസുകളെങ്കിലും ഉണ്ട്);

ബി=(പുറത്തെടുത്ത കാർഡുകളിൽ മൂന്ന് ഏസുകളും ഉണ്ട്);

സി=(പുറത്തെടുത്ത കാർഡുകളിൽ നാല് ഏസുകളും ഉണ്ട്).

കാരണം എ= ബി+ സി, ഇവൻ്റുകൾ INഒപ്പം കൂടെപൊരുത്തമില്ലാത്തവയാണ്, അപ്പോൾ
. സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ നമുക്ക് കണ്ടെത്താം INഒപ്പം കൂടെ:

,
. അതിനാൽ, വരച്ച കാർഡുകളിൽ കുറഞ്ഞത് മൂന്ന് എയ്സുകളെങ്കിലും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണ്

0.0022.

സാധ്യതകളെ ഗുണിക്കുക

ജോലി രണ്ട് സംഭവങ്ങൾ എഒപ്പം INസംഭവം വിളിച്ചു കൂടെ, ഈ സംഭവങ്ങളുടെ സംയുക്ത സംഭവത്തിൽ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു:
. ഈ നിർവചനം ഏത് പരിമിതമായ സംഭവങ്ങൾക്കും ബാധകമാണ്.

രണ്ട് സംഭവങ്ങളെ വിളിക്കുന്നു സ്വതന്ത്രമായ , അവയിലൊന്നിൻ്റെ സംഭാവ്യത മറ്റേ സംഭവം നടന്നോ ഇല്ലയോ എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ. ഇവൻ്റുകൾ ,, … ,വിളിക്കുന്നു കൂട്ടായി സ്വതന്ത്രമായി , അവയിൽ ഓരോന്നിൻ്റെയും സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത മറ്റ് സംഭവങ്ങൾ നടന്നിട്ടുണ്ടോ അല്ലെങ്കിൽ സംഭവിച്ചില്ല എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ലെങ്കിൽ.

ഉദാഹരണം 4 . രണ്ട് ഷൂട്ടർമാർ ഒരു ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് വെടിവയ്ക്കുന്നു. ഇവൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം:

എ=(ആദ്യ ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തി);

ബി=(രണ്ടാമത്തെ ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തി).

വ്യക്തമായും, ആദ്യ ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യത, രണ്ടാമത്തെ ഷൂട്ടർ ഹിറ്റ് അല്ലെങ്കിൽ മിസ്ഡ് എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, തിരിച്ചും. അതിനാൽ, സംഭവങ്ങൾ എഒപ്പം INസ്വതന്ത്രമായ.

സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം സാധുവാണ്: രണ്ട് സ്വതന്ത്ര ഇവൻ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഈ ഇവൻ്റുകളുടെ പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ് : .

ഈ സിദ്ധാന്തത്തിനും സാധുതയുണ്ട് എൻകൂട്ടായ സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങൾ: .

ഉദാഹരണം 5 . രണ്ട് ഷൂട്ടർമാർ ഒരേ ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് വെടിവയ്ക്കുന്നു. ആദ്യ ഷൂട്ടർ അടിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.9 ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് 0.7 ആണ്. രണ്ട് ഷൂട്ടർമാരും ഓരോ തവണ വെടിയുതിർക്കുന്നു. ലക്ഷ്യത്തിൽ രണ്ട് ഹിറ്റുകൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം . ഇവൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം:

എ

ബി

സി=(രണ്ട് ഷൂട്ടർമാരും ലക്ഷ്യത്തിലെത്തും).

കാരണം
, ഇവൻ്റുകൾ എഒപ്പം INസ്വതന്ത്രമാണ്, അപ്പോൾ
, അതായത്..

ഇവൻ്റുകൾ എഒപ്പം INവിളിക്കുന്നു ആശ്രിത , അവയിലൊന്നിൻ്റെ സംഭാവ്യത മറ്റൊരു സംഭവം നടന്നോ ഇല്ലയോ എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു. ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത എസംഭവം എന്ന് നൽകി INഅത് ഇതിനകം എത്തിയിരിക്കുന്നു, അതിനെ വിളിക്കുന്നു സോപാധിക സംഭാവ്യത നിയുക്തമാക്കുകയും ചെയ്യുന്നു
അഥവാ
.

ഉദാഹരണം 6 . കലത്തിൽ 4 വെള്ളയും 7 കറുത്ത പന്തുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. ഉരുളയിൽ നിന്ന് പന്തുകൾ വരയ്ക്കുന്നു. ഇവൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം:

എ=(വെളുത്ത പന്ത് വരച്ചു) ;

ബി=(കറുത്ത പന്ത് വരച്ചു).

കലത്തിൽ നിന്ന് പന്തുകൾ നീക്കംചെയ്യാൻ തുടങ്ങുന്നതിനുമുമ്പ്
. ഉരുളയിൽ നിന്ന് ഒരു പന്ത് എടുത്തപ്പോൾ അത് കറുത്തതായി മാറി. അപ്പോൾ സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത എപരിപാടിക്ക് ശേഷം INതുല്യമായ മറ്റൊന്ന് ഉണ്ടാകും . ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത എന്നാണ് ഇതിനർത്ഥം എസംഭവത്തെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കുന്നു IN, അതായത്. ഈ സംഭവങ്ങൾ ആശ്രയിച്ചിരിക്കും.

ആശ്രിത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം സാധുവാണ്: രണ്ട് ആശ്രിത സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത, അവയിലൊന്നിൻ്റെ സംഭാവ്യതയുടെ ഫലത്തിനും മറ്റൊന്നിൻ്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യതയ്ക്കും തുല്യമാണ്, ആദ്യ ഇവൻ്റ് ഇതിനകം സംഭവിച്ചുവെന്ന അനുമാനത്തിൽ കണക്കാക്കുന്നു, അതായത്. അഥവാ.

ഉദാഹരണം 7 . കലത്തിൽ 4 വെളുത്ത പന്തുകളും 8 ചുവന്ന പന്തുകളും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു. അതിൽ നിന്ന് ക്രമരഹിതമായി രണ്ട് പന്തുകൾ തുടർച്ചയായി വരയ്ക്കുന്നു. രണ്ട് പന്തുകളും കറുത്തതായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം . ഇവൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം:

എ=(ആദ്യം വരച്ച കറുത്ത പന്ത്);

ബി=(രണ്ടാമത്തെ കറുത്ത പന്ത് വരച്ചു).

ഇവൻ്റുകൾ എഒപ്പം INആശ്രിതൻ കാരണം
, എ
. പിന്നെ
.

ഉദാഹരണം 8 . മൂന്ന് ഷൂട്ടർമാർ പരസ്പരം സ്വതന്ത്രമായി ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് വെടിവയ്ക്കുന്നു. ആദ്യ ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യത 0.5 ആണ്, രണ്ടാമത്തേതിന് - 0.6, മൂന്നാമത്തേതിന് - 0.8. ഓരോ ഷൂട്ടറും ഒരു ഷോട്ട് തൊടുത്താൽ ലക്ഷ്യത്തിൽ രണ്ട് ഹിറ്റുകൾ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം . ഇവൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം:

എ=(ലക്ഷ്യത്തിൽ രണ്ട് ഹിറ്റുകൾ ഉണ്ടാകും);

ബി=(ആദ്യത്തെ ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തും);

സി=(രണ്ടാമത്തെ ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തും);

ഡി=(മൂന്നാം ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തും);

=(ആദ്യത്തെ ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തുകയില്ല);

=(രണ്ടാമത്തെ ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തുകയില്ല);

=(മൂന്നാം ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്തുകയില്ല).

ഉദാഹരണം അനുസരിച്ച്
,
,
,

,
,
. പൊരുത്തമില്ലാത്ത ഇവൻ്റുകളുടെ സംഭാവ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തവും സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തവും ഉപയോഗിക്കുന്നതിനാൽ, നമുക്ക് ലഭിക്കുന്നത്:

ഇവൻ്റുകൾ അനുവദിക്കുക
ചില ടെസ്റ്റുകളുടെയും ഇവൻ്റുകളുടെയും പൂർണ്ണമായ ഒരു കൂട്ടം രൂപീകരിക്കുക എഈ ഇവൻ്റുകളിലൊന്നിൽ മാത്രമേ സംഭവിക്കുകയുള്ളൂ. സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യതകളും സോപാധിക സാധ്യതകളും അറിയാമെങ്കിൽ എ, തുടർന്ന് ഇവൻ്റ് എയുടെ സാധ്യത ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു:

അഥവാ
. ഈ സൂത്രവാക്യം വിളിക്കുന്നു മൊത്തം പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല , ഇവൻ്റുകൾ
അനുമാനങ്ങൾ .

ഉദാഹരണം 9 . അസംബ്ലി ലൈനിൽ ആദ്യ മെഷീനിൽ നിന്ന് 700 ഭാഗങ്ങളും 300 ഭാഗങ്ങളും ലഭിക്കുന്നു രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന്. ആദ്യ യന്ത്രം 0.5% സ്ക്രാപ്പ് ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - 0.7%. എടുത്ത ഭാഗം വികലമാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം . ഇവൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം:

എ=(എടുത്ത ഭാഗം വികലമായിരിക്കും);

=(ഭാഗം ആദ്യത്തെ മെഷീനിൽ ഉണ്ടാക്കി);

=(ഭാഗം രണ്ടാമത്തെ മെഷീനിലാണ് നിർമ്മിച്ചിരിക്കുന്നത്).

ആദ്യ മെഷീനിൽ ഭാഗം നിർമ്മിക്കാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണ്
. രണ്ടാമത്തെ യന്ത്രത്തിന്
. വ്യവസ്ഥ അനുസരിച്ച്, ആദ്യത്തെ മെഷീനിൽ നിർമ്മിച്ച ഒരു വികലമായ ഭാഗം ലഭിക്കാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണ്
. രണ്ടാമത്തെ മെഷീന് ഈ പ്രോബബിലിറ്റി തുല്യമാണ്
. അപ്പോൾ എടുത്ത ഭാഗം വികലമാകാനുള്ള സാധ്യത മൊത്തം പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

പരിശോധനയുടെ ഫലമായി എന്തെങ്കിലും സംഭവം നടന്നതായി അറിയാമെങ്കിൽ എ, അപ്പോൾ ഈ സംഭവം സിദ്ധാന്തത്തോടൊപ്പം സംഭവിച്ചതിൻ്റെ സംഭാവ്യത
, തുല്യമാണ്
, എവിടെ
- ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ ആകെ സാധ്യത എ. ഈ സൂത്രവാക്യം വിളിക്കുന്നു ബയേസ് ഫോർമുല ഇവൻ്റുകളുടെ സാധ്യതകൾ കണക്കാക്കാൻ നിങ്ങളെ അനുവദിക്കുന്നു
സംഭവം അറിഞ്ഞതിന് ശേഷം എഇതിനകം എത്തിയിരിക്കുന്നു.

ഉദാഹരണം 10 . ഒരേ തരത്തിലുള്ള കാർ ഭാഗങ്ങൾ രണ്ട് ഫാക്ടറികളിൽ നിർമ്മിക്കുകയും സ്റ്റോറിൽ എത്തിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. ആദ്യത്തെ പ്ലാൻ്റ് മൊത്തം ഭാഗങ്ങളുടെ 80% ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - 20%. ആദ്യ പ്ലാൻ്റിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നങ്ങളിൽ 90% സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഭാഗങ്ങൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, രണ്ടാമത്തേത് - 95%. വാങ്ങുന്നയാൾ ഒരു ഭാഗം വാങ്ങി, അത് സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയി മാറി. ഈ ഭാഗം രണ്ടാമത്തെ പ്ലാൻ്റിൽ നിർമ്മിച്ചതിൻ്റെ സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം . ഇവൻ്റുകൾ സൂചിപ്പിക്കാം:

എ=(സാധാരണ ഭാഗം വാങ്ങി);

=(ഭാഗം ആദ്യത്തെ പ്ലാൻ്റിൽ നിർമ്മിച്ചതാണ്);

=(ഭാഗം രണ്ടാം പ്ലാൻ്റിൽ നിർമ്മിച്ചതാണ്).

ഉദാഹരണം അനുസരിച്ച്
,
,
ഒപ്പം
. സംഭവത്തിൻ്റെ ആകെ സാധ്യത കണക്കാക്കാം എ: 0.91. ബയേസ് ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് രണ്ടാമത്തെ പ്ലാൻ്റിൽ ഭാഗം നിർമ്മിച്ചതിൻ്റെ സാധ്യത ഞങ്ങൾ കണക്കാക്കുന്നു:

.

സ്വതന്ത്ര ജോലിക്കുള്ള അസൈൻമെൻ്റുകൾ

ആദ്യ ഷൂട്ടർ ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യത 0.8 ആണ്, രണ്ടാമത്തേതിന് - 0.7, മൂന്നാമത്തേതിന് - 0.9. ഷൂട്ടർമാർ ഓരോ തവണ വീതം വെടിയുതിർത്തു. ലക്ഷ്യത്തിൽ കുറഞ്ഞത് രണ്ട് ഹിറ്റുകളെങ്കിലും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

റിപ്പയർ ഷോപ്പിന് 15 ട്രാക്ടറുകൾ ലഭിച്ചു. അവയിൽ 6 എണ്ണം എഞ്ചിൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്, ബാക്കിയുള്ളവ വ്യക്തിഗത ഘടകങ്ങൾ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കേണ്ടതുണ്ട്. മൂന്ന് ട്രാക്ടറുകൾ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്തു. തിരഞ്ഞെടുത്ത രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ട്രാക്ടറുകൾക്ക് എഞ്ചിൻ മാറ്റിസ്ഥാപിക്കൽ ആവശ്യമായി വരാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

ഉറപ്പിച്ച കോൺക്രീറ്റ് പ്ലാൻ്റ് പാനലുകൾ നിർമ്മിക്കുന്നു, അതിൽ 80% ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളവയാണ്. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത മൂന്ന് പാനലുകളിൽ, കുറഞ്ഞത് രണ്ടെണ്ണമെങ്കിലും ഉയർന്ന ഗ്രേഡിൽ ആയിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

മൂന്ന് തൊഴിലാളികൾ ബെയറിംഗുകൾ കൂട്ടിച്ചേർക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ തൊഴിലാളി അസംബിൾ ചെയ്ത ബെയറിംഗ് ഏറ്റവും ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളതാകാനുള്ള സാധ്യത 0.7 ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് - 0.8 ഉം മൂന്നാമത്തേത് - 0.6 ഉം ആണ്. നിയന്ത്രണത്തിനായി, ഓരോ തൊഴിലാളിയും കൂട്ടിച്ചേർത്തവരിൽ നിന്ന് ക്രമരഹിതമായി ഒരു ബെയറിംഗ് എടുത്തു. അവയിൽ രണ്ടെണ്ണമെങ്കിലും ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളതായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

ആദ്യ ലക്കത്തിൻ്റെ ലോട്ടറി ടിക്കറ്റിൽ വിജയിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.2 ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് - 0.3, മൂന്നാമത്തേത് - 0.25. ഓരോ ലക്കത്തിനും ഒരു ടിക്കറ്റ് വീതമുണ്ട്. കുറഞ്ഞത് രണ്ട് ടിക്കറ്റുകളെങ്കിലും വിജയിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

മൂന്ന് റഫറൻസ് ബുക്കുകൾ ഉപയോഗിച്ച് അക്കൗണ്ടൻ്റ് കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നു. ആദ്യ ഡയറക്‌ടറിയിൽ അയാൾക്ക് താൽപ്പര്യമുള്ള ഡാറ്റ 0.6 ആണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ - 0.7 ഉം മൂന്നാമത്തേതിൽ - 0.8 ഉം ആണ്. അക്കൗണ്ടൻ്റിന് താൽപ്പര്യമുള്ള ഡാറ്റ രണ്ടിൽ കൂടുതൽ ഡയറക്‌ടറികളിൽ അടങ്ങിയിരിക്കാത്തതിൻ്റെ സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

മൂന്ന് യന്ത്രങ്ങൾ ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു. ആദ്യത്തെ മെഷീൻ പ്രോബബിലിറ്റി 0.9 ഉം രണ്ടാമത്തേത് പ്രോബബിലിറ്റി 0.7 ഉം മൂന്നാമത്തേത് പ്രോബബിലിറ്റി 0.6 ഉം ഉള്ള ഒരു ഭാഗം ഉത്പാദിപ്പിക്കുന്നു. ഓരോ മെഷീനിൽ നിന്നും ഒരു ഭാഗം ക്രമരഹിതമായി എടുക്കുന്നു. അവയിൽ രണ്ടെണ്ണമെങ്കിലും ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളതാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

ഒരേ തരത്തിലുള്ള ഭാഗങ്ങൾ രണ്ട് മെഷീനുകളിൽ പ്രോസസ്സ് ചെയ്യുന്നു. ആദ്യ മെഷീനായി നിലവാരമില്ലാത്ത ഭാഗം നിർമ്മിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.03 ആണ്, രണ്ടാമത്തേതിന് - 0.02. സംസ്കരിച്ച ഭാഗങ്ങൾ ഒരിടത്ത് സൂക്ഷിക്കുന്നു. അവയിൽ, 67% ആദ്യ മെഷീനിൽ നിന്നുള്ളവരാണ്, ബാക്കിയുള്ളവർ രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്നുള്ളവരാണ്. ക്രമരഹിതമായി എടുത്ത ഭാഗം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയി മാറി. ആദ്യ മെഷീനിൽ ഇത് നിർമ്മിച്ചതിൻ്റെ സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

വർക്ക്ഷോപ്പിന് ഒരേ തരത്തിലുള്ള കപ്പാസിറ്ററുകളുടെ രണ്ട് ബോക്സുകൾ ലഭിച്ചു. ആദ്യത്തെ ബോക്സിൽ 20 കപ്പാസിറ്ററുകൾ ഉണ്ടായിരുന്നു, അതിൽ 2 എണ്ണം തകരാറായിരുന്നു. രണ്ടാമത്തെ ബോക്സിൽ 10 കപ്പാസിറ്ററുകൾ അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു, അതിൽ 3 എണ്ണം തകരാറാണ്. കപ്പാസിറ്ററുകൾ ഒരു ബോക്സിൽ സ്ഥാപിച്ചു. ഒരു ബോക്സിൽ നിന്ന് ക്രമരഹിതമായി എടുത്ത ഒരു കപ്പാസിറ്റർ നല്ല നിലയിലായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

മൂന്ന് മെഷീനുകൾ ഒരേ തരത്തിലുള്ള ഭാഗങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു, അവ ഒരു സാധാരണ കൺവെയറിലേക്ക് വിതരണം ചെയ്യുന്നു. എല്ലാ ഭാഗങ്ങളിലും, 20% ആദ്യത്തെ മെഷീനിൽ നിന്നും 30% രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്നും 505 മൂന്നാമത്തേതിൽ നിന്നും. ആദ്യ മെഷീനിൽ ഒരു സ്റ്റാൻഡേർഡ് ഭാഗം നിർമ്മിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.8 ആണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ - 0.6 ഉം മൂന്നാമത്തേതിൽ - 0.7 ഉം ആണ്. എടുത്ത ഭാഗം സ്റ്റാൻഡേർഡ് ആയി മാറി. ഈ ഭാഗം മൂന്നാമത്തെ മെഷീനിൽ ഉണ്ടാക്കിയതിൻ്റെ സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

അസംബ്ലിക്കായി ഫാക്ടറിയിൽ നിന്ന് 40% ഭാഗങ്ങൾ അസംബ്ലർക്ക് ലഭിക്കുന്നു എ, ബാക്കിയുള്ളവ - ഫാക്ടറിയിൽ നിന്ന് IN. ഭാഗം ഫാക്ടറിയിൽ നിന്നുള്ളതായിരിക്കാനാണ് സാധ്യത എ- ഉയർന്ന നിലവാരം, 0.8 ന് തുല്യമാണ്, കൂടാതെ ഫാക്ടറിയിൽ നിന്ന് IN– 0.9. അസംബ്ലർ ക്രമരഹിതമായി ഒരു ഭാഗം എടുത്തു, അത് മോശം ഗുണനിലവാരമുള്ളതായി മാറി. ഈ ഭാഗം ഫാക്ടറിയിൽ നിന്നുള്ളതായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക IN.

ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് 10 പേരെയും രണ്ടാമത്തെ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്ന് 8 പേരെയും വിദ്യാർത്ഥി കായിക മത്സരങ്ങളിൽ പങ്കെടുക്കാൻ അനുവദിച്ചു. ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്നുള്ള ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയെ അക്കാദമി ടീമിൽ ഉൾപ്പെടുത്താനുള്ള സാധ്യത 0.8 ആണ്, രണ്ടാമത്തേതിൽ നിന്ന് - 0.7. ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്ത ഒരു വിദ്യാർത്ഥിയെ ടീമിൽ ഉൾപ്പെടുത്തി. അവൻ ആദ്യ ഗ്രൂപ്പിൽ നിന്നുള്ള ആളാണ് എന്നതിൻ്റെ സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല

ടെസ്റ്റുകൾ വിളിക്കുന്നു സ്വതന്ത്രമായ , അവരിൽ ഓരോന്നിനും ഇവൻ്റ് ആണെങ്കിൽ എഒരേ സംഭാവ്യതയോടെ സംഭവിക്കുന്നു
, ഈ ഇവൻ്റ് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടതോ മറ്റ് ട്രയലുകളിൽ പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടതോ എന്നതിൽ നിന്ന് വ്യത്യസ്തമാണ്. വിപരീത സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത ഈ സാഹചര്യത്തിൽ തുല്യമാണ്
.

ഉദാഹരണം 11 . ഡൈസ് എറിയുന്നു എൻഒരിക്കല്. സംഭവത്തെ സൂചിപ്പിക്കാം എ=(മൂന്ന് പോയിൻ്റ് റോളിംഗ്). ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത എഓരോ ട്രയലിലും തുല്യമാണ്, ഈ ഇവൻ്റ് സംഭവിച്ചോ അല്ലെങ്കിൽ മറ്റ് ട്രയലുകളിൽ നടന്നില്ലയോ എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല. അതിനാൽ, ഈ പരിശോധനകൾ സ്വതന്ത്രമാണ്. വിപരീത സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത
(മൂന്ന് പോയിൻ്റ് റോളിംഗ് അല്ല) തുല്യമാണ്
.

അതിനുള്ള സാധ്യത എൻസ്വതന്ത്ര പരീക്ഷണങ്ങൾ, ഓരോന്നിലും ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത എതുല്യമാണ് പി, സംഭവം കൃത്യമായി സംഭവിക്കും കെസമയം (ഏത് ക്രമത്തിൽ എന്നത് പ്രശ്നമല്ല), ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു
, എവിടെ
. ഈ സൂത്രവാക്യം വിളിക്കുന്നു ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല കൂടാതെ n ടെസ്റ്റുകളുടെ എണ്ണം വളരെ വലുതല്ലെങ്കിൽ അത് സൗകര്യപ്രദമാണ്.

ഉദാഹരണം 12 . ഒളിഞ്ഞിരിക്കുന്ന രൂപത്തിൽ രോഗം ബാധിച്ച പഴങ്ങളുടെ അനുപാതം 25% ആണ്. 6 പഴങ്ങൾ ക്രമരഹിതമായി തിരഞ്ഞെടുത്തു. തിരഞ്ഞെടുത്തവയിൽ ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക: a) കൃത്യമായി 3 രോഗബാധയുള്ള പഴങ്ങൾ; b) രോഗബാധയുള്ള രണ്ടിൽ കൂടുതൽ പഴങ്ങൾ ഉണ്ടാകരുത്.

പരിഹാരം . ഉദാഹരണത്തിൻ്റെ വ്യവസ്ഥകൾ അനുസരിച്ച്.

a) ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല അനുസരിച്ച്, തിരഞ്ഞെടുത്ത ആറ് പഴങ്ങളിൽ മൂന്നെണ്ണം രോഗബാധിതരാകാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണ്

0.132.

b) നമുക്ക് ഇവൻ്റ് സൂചിപ്പിക്കാം എ=(രണ്ടിൽ കൂടുതൽ പഴങ്ങൾക്ക് രോഗം ബാധിക്കില്ല). പിന്നെ . ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല പ്രകാരം:

0.297.

അതിനാൽ,
0.178+0.356+0.297=0.831.

ലാപ്ലേസിൻ്റെയും പോയിസൻ്റെയും സിദ്ധാന്തങ്ങൾ

ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്താൻ ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നു എവരും കെഓരോ തവണയും എൻസ്വതന്ത്ര ട്രയലുകളും ഓരോ ട്രയലിലും ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത എസ്ഥിരമാണ്. n ൻ്റെ വലിയ മൂല്യങ്ങൾക്ക്, ബെർണൂലിയുടെ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ചുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകൾ ശ്രമകരമാണ്. ഈ സാഹചര്യത്തിൽ, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത കണക്കാക്കാൻ എമറ്റൊരു ഫോർമുല ഉപയോഗിക്കുന്നതാണ് നല്ലത്.

പ്രാദേശിക ലാപ്ലേസ് സിദ്ധാന്തം . സംഭാവ്യത അനുവദിക്കുക പിഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവം എഓരോ ട്രയലിലും സ്ഥിരവും പൂജ്യത്തിൽ നിന്നും ഒന്നിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തവുമാണ്. അപ്പോൾ സംഭവം നടക്കാനുള്ള സാധ്യത എകൃത്യമായി വരും കെമതിയായ എണ്ണം n ടെസ്റ്റുകളുള്ള സമയങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

, എവിടെ
, കൂടാതെ ഫംഗ്‌ഷൻ മൂല്യങ്ങളും
പട്ടികയിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ
ആകുന്നു:

ഫംഗ്ഷൻ
ഇടവേളയിൽ നിർവചിക്കപ്പെട്ടതും തുടർച്ചയായതും
.

ഫംഗ്ഷൻ
പോസിറ്റീവ് ആണ്, അതായത്.
>0.

ഫംഗ്ഷൻ
പോലും, അതായത്.
.

ചടങ്ങ് മുതൽ
തുല്യമാണ്, അപ്പോൾ പട്ടിക അതിൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ പോസിറ്റീവ് മൂല്യങ്ങൾക്കായി മാത്രം കാണിക്കുന്നു എക്സ്.

ഉദാഹരണം 13 . ഗോതമ്പ് വിത്തുകളുടെ മുളയ്ക്കൽ നിരക്ക് 80% ആണ്. പരീക്ഷണത്തിനായി 100 വിത്തുകൾ തിരഞ്ഞെടുത്തു. തിരഞ്ഞെടുത്ത വിത്തുകളിൽ 90 എണ്ണം മുളയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം . ഉദാഹരണം അനുസരിച്ച് എൻ=100, കെ=90, പി=0.8, q=1-0.8=0.2. പിന്നെ
. പട്ടിക ഉപയോഗിച്ച് ഞങ്ങൾ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യം കണ്ടെത്തുന്നു
:
. തിരഞ്ഞെടുത്ത വിത്തുകളിൽ 90 എണ്ണം മുളയ്ക്കാനുള്ള സാധ്യത തുല്യമാണ്
0.0044.

പ്രായോഗിക പ്രശ്നങ്ങൾ പരിഹരിക്കുമ്പോൾ, ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തേണ്ടത് ആവശ്യമാണ് എചെയ്തത് എൻസ്വതന്ത്ര പരിശോധനകൾ കുറവല്ല ഒരിക്കൽ പിന്നെ ഇല്ല ഒരിക്കല്. ഉപയോഗിച്ചാണ് ഈ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കുന്നത് ലാപ്ലേസിൻ്റെ സമഗ്ര സിദ്ധാന്തം : സംഭാവ്യത അനുവദിക്കുക പിഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭവം എഓരോന്നിലും എൻസ്വതന്ത്ര പരിശോധനകൾ സ്ഥിരവും പൂജ്യത്തിൽ നിന്നും ഒന്നിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തവുമാണ്. അപ്പോൾ സംഭവം നടക്കാനുള്ള സാധ്യത കുറഞ്ഞത് ആണ് ഒരിക്കൽ പിന്നെ ഇല്ല മതിയായ അളവിലുള്ള ടെസ്റ്റുകളുള്ള സമയങ്ങൾ ഫോർമുല ഉപയോഗിച്ച് കണക്കാക്കുന്നു

എവിടെ
,
.

ഫംഗ്ഷൻ
വിളിച്ചു ലാപ്ലേസ് പ്രവർത്തനം കൂടാതെ പ്രാഥമിക പ്രവർത്തനങ്ങളിലൂടെ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നില്ല. ഈ ഫംഗ്ഷൻ്റെ മൂല്യങ്ങൾ പ്രത്യേക പട്ടികകളിൽ നൽകിയിരിക്കുന്നു.

പ്രവർത്തനത്തിൻ്റെ പ്രധാന സവിശേഷതകൾ
ആകുന്നു:

ഫംഗ്ഷൻ
ഇടവേളയിൽ വർദ്ധിക്കുന്നു
.

ചെയ്തത്
.

ഫംഗ്ഷൻ
വിചിത്രമായ, അതായത്.
.

ഉദാഹരണം 14 . കമ്പനി ഉൽപ്പന്നങ്ങൾ നിർമ്മിക്കുന്നു, അതിൽ 13% ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ളവയല്ല. ഉയർന്ന നിലവാരമുള്ള ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ 150 യൂണിറ്റുകളുടെ പരീക്ഷിക്കാത്ത ബാച്ചിൽ 125-ൽ കുറയാത്തതും 135-ൽ കൂടുതലും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത നിർണ്ണയിക്കുക.

പരിഹാരം . നമുക്ക് സൂചിപ്പിക്കാം. നമുക്ക് കണക്കാക്കാം
,

പ്രോബബിലിറ്റി സങ്കലനവും ഗുണന സിദ്ധാന്തങ്ങളും.

രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം. രണ്ട് ഇവൻ്റുകളുടെ ആകെത്തുക സംഭാവ്യത, ഈ സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യതയില്ലാതെ അവയുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

പൊരുത്തപ്പെടാത്ത രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ ചേർക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം. പൊരുത്തമില്ലാത്ത രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുകയുടെ സംഭാവ്യത ഇവയുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

പി(എ+ബി)=പി(എ)+പി(ബി).

ഉദാഹരണം 2.16. 3 മേഖലകളായി തിരിച്ച് ഒരു ലക്ഷ്യത്തിലേക്ക് ഷൂട്ടർ ഷൂട്ട് ചെയ്യുന്നു. ആദ്യ ഏരിയയിൽ അടിക്കാനുള്ള സാധ്യത 0.45 ആണ്, രണ്ടാമത്തേത് - 0.35. ഒരു ഷോട്ട് ഉപയോഗിച്ച് ഷൂട്ടർ ആദ്യത്തെ അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടാമത്തെ ഏരിയയിൽ അടിക്കാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ഇവൻ്റുകൾ എ- "ഷൂട്ടർ ആദ്യ പ്രദേശം അടിച്ചു" ഒപ്പം IN- “ഷൂട്ടർ രണ്ടാമത്തെ ഏരിയയിൽ അടിച്ചു” - പൊരുത്തമില്ലാത്തവയാണ് (ഒരു ഏരിയയിലെ ഹിറ്റ് മറ്റൊന്നിലെ ഹിറ്റിനെ ഒഴിവാക്കുന്നു), അതിനാൽ സങ്കലന സിദ്ധാന്തം ബാധകമാണ്.

ആവശ്യമായ സംഭാവ്യത ഇതാണ്:

പി(എ+ബി)=പി(എ)+പി(ബി)= 0,45+ 0,35 = 0,8.

പ്രോബബിലിറ്റി സങ്കലന സിദ്ധാന്തം പിപൊരുത്തമില്ലാത്ത ഇവൻ്റുകൾ. n പൊരുത്തമില്ലാത്ത സംഭവങ്ങളുടെ ആകെത്തുക സംഭാവ്യത ഇവയുടെ സംഭാവ്യതകളുടെ ആകെത്തുകയ്ക്ക് തുല്യമാണ്:

P(A 1 +A 2 +…+A p)=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A p).

വിപരീത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളുടെ ആകെത്തുക ഒന്നിന് തുല്യമാണ്:

സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത INസംഭവം നടന്നതായി നൽകിയിട്ടുണ്ട് എ, ഇവൻ്റിൻ്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യത എന്ന് വിളിക്കുന്നു INകൂടാതെ ഇനിപ്പറയുന്ന രീതിയിൽ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു: പി(വി/എ),അഥവാ ആർ എ (ബി).

. രണ്ട് സംഭവങ്ങളുടെ സംഭാവ്യത അവയിലൊന്നിൻ്റെ സംഭാവ്യതയുടെ ഗുണനത്തിനും മറ്റൊന്നിൻ്റെ സോപാധിക സംഭാവ്യതയ്ക്കും തുല്യമാണ്, ആദ്യ ഇവൻ്റ് സംഭവിച്ചാൽ:

P(AB)=P(A)P A (B).

സംഭവം INസംഭവത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എ, എങ്കിൽ

R A (V) = R (V),

ആ. ഒരു സംഭവത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത INസംഭവം നടന്നോ എന്നതിനെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല എ.

രണ്ട് സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളെ ഗുണിക്കുന്നതിനുള്ള സിദ്ധാന്തം.രണ്ട് സ്വതന്ത്ര ഇവൻ്റുകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ സംഭാവ്യത അവയുടെ സാധ്യതകളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

P(AB)=P(A)P(B).

ഉദാഹരണം 2.17.ഒന്നും രണ്ടും തോക്കുകൾ വെടിവയ്ക്കുമ്പോൾ ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യതകൾ യഥാക്രമം തുല്യമാണ്: p 1 = 0,7; p 2= 0.8. ഒരു തോക്കെങ്കിലും ഒരു സാൽവോ ഉപയോഗിച്ച് (രണ്ട് തോക്കുകളിൽ നിന്നും) ഹിറ്റിൻ്റെ സംഭാവ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ഓരോ തോക്കും ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യത മറ്റേ തോക്കിൽ നിന്ന് വെടിയുതിർക്കുന്നതിൻ്റെ ഫലത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ സംഭവങ്ങൾ എ- "ആദ്യത്തെ തോക്കിൽ അടി" ഒപ്പം IN- "രണ്ടാമത്തെ തോക്കുകൊണ്ട് അടിച്ചത്" സ്വതന്ത്രമാണ്.

സംഭവത്തിൻ്റെ സാധ്യത എബി- "രണ്ട് തോക്കുകളും അടിച്ചു":

ആവശ്യമായ പ്രോബബിലിറ്റി

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)= 0,7 + 0,8 – 0,56 = 0,94.

പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണന സിദ്ധാന്തം പിസംഭവങ്ങൾ.n ഇവൻ്റുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി അവയിലൊന്നിൻ്റെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്, മറ്റ് എല്ലാ സംഭവങ്ങളുടെയും സോപാധിക സാധ്യതകൾ, മുമ്പത്തെ എല്ലാ സംഭവങ്ങളും സംഭവിച്ചുവെന്ന അനുമാനത്തിൽ കണക്കാക്കുന്നു:

ഉദാഹരണം 2.18. കലത്തിൽ 5 വെള്ള, 4 കറുപ്പ്, 3 നീല പന്തുകൾ ഉണ്ട്. ഓരോ ടെസ്റ്റിലും ഒരു പന്ത് തിരികെ വയ്ക്കാതെ ക്രമരഹിതമായി നീക്കം ചെയ്യുന്നതാണ്. ആദ്യ ട്രയലിൽ ഒരു വെളുത്ത പന്ത് (ഇവൻ്റ് എ), രണ്ടാമത്തേതിൽ - ഒരു കറുത്ത പന്ത് (ഇവൻ്റ് ബി), മൂന്നാമത്തേതിൽ - ഒരു നീല പന്ത് (ഇവൻ്റ് സി) പ്രത്യക്ഷപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത കണ്ടെത്തുക.

പരിഹാരം.

ആദ്യ ട്രയലിൽ വെളുത്ത പന്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത:

രണ്ടാമത്തെ ട്രയലിൽ കറുത്ത പന്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെടാനുള്ള സാധ്യത, ആദ്യ ട്രയലിൽ ഒരു വെളുത്ത പന്ത് പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടുവെന്ന അനുമാനത്തിൽ കണക്കാക്കിയതാണ്, അതായത് സോപാധികമായ സംഭാവ്യത:

ആദ്യത്തെ ട്രയലിൽ ഒരു വെളുത്ത പന്തും രണ്ടാമത്തേതിൽ ഒരു കറുത്ത പന്തും പ്രത്യക്ഷപ്പെട്ടുവെന്ന അനുമാനത്തിൽ കണക്കാക്കിയ മൂന്നാമത്തെ ട്രയലിൽ നീല പന്ത് ദൃശ്യമാകാനുള്ള സാധ്യത, അതായത് സോപാധിക സംഭാവ്യത:

ആവശ്യമായ സംഭാവ്യത ഇതാണ്:

പ്രോബബിലിറ്റി ഗുണന സിദ്ധാന്തം പിസ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങൾ.n സ്വതന്ത്ര ഇവൻ്റുകളുടെ ഒരു ഉൽപ്പന്നത്തിൻ്റെ പ്രോബബിലിറ്റി അവയുടെ പ്രോബബിലിറ്റികളുടെ ഉൽപ്പന്നത്തിന് തുല്യമാണ്:

P(A 1 A 2…A p)=P(A 1)P(A 2)…P(A p).

ഇവൻ്റുകളിലൊന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത. മൊത്തത്തിൽ സ്വതന്ത്രമായ A 1, A 2, ..., A n ഇവൻ്റുകളിൽ ഒന്നെങ്കിലും ഉണ്ടാകാനുള്ള സാധ്യത, വിപരീത സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകളുടെ ഏകതയും ഗുണനവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസത്തിന് തുല്യമാണ്.:

ഉദാഹരണം 2.19.മൂന്ന് തോക്കുകളിൽ നിന്ന് വെടിയുതിർക്കുമ്പോൾ ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യതകൾ ഇപ്രകാരമാണ്: p 1 = 0,8; p 2 = 0,7;പി 3= 0.9. കുറഞ്ഞത് ഒരു ഹിറ്റിൻ്റെ സാധ്യത കണ്ടെത്തുക (ഇവൻ്റ് എ) എല്ലാ തോക്കുകളിൽ നിന്നും ഒരു സാൽവോ ഉപയോഗിച്ച്.

പരിഹാരം.

ഓരോ തോക്കും ലക്ഷ്യത്തിലെത്താനുള്ള സാധ്യത മറ്റ് തോക്കുകളിൽ നിന്നുള്ള വെടിവയ്പ്പിൻ്റെ ഫലത്തെ ആശ്രയിക്കുന്നില്ല, അതിനാൽ ഇവൻ്റുകൾ പരിഗണിക്കുന്നു. എ 1(ആദ്യത്തെ തോക്കിൽ അടിക്കുക) എ 2(രണ്ടാമത്തെ തോക്കിൽ അടിക്കുക) കൂടാതെ എ 3(മൂന്നാം തോക്കിൽ അടിച്ചത്) മൊത്തത്തിൽ സ്വതന്ത്രമാണ്.

സംഭവങ്ങൾക്ക് വിപരീതമായ സംഭവങ്ങളുടെ സാധ്യതകൾ എ 1, എ 2ഒപ്പം എ 3(അതായത് മിസ്സുകളുടെ സംഭാവ്യത) യഥാക്രമം ഇതിന് തുല്യമാണ്:

, , .

ആവശ്യമായ സംഭാവ്യത ഇതാണ്:

സ്വതന്ത്ര സംഭവങ്ങളാണെങ്കിൽ A 1, A 2, ..., A pയുടെ സമാന സംഭാവ്യതയുണ്ട് ആർ, ഈ സംഭവങ്ങളിലൊന്നെങ്കിലും സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത ഫോർമുലയാൽ പ്രകടിപ്പിക്കുന്നു:

Р(А)= 1 – q n ,

എവിടെ q=1- പേ

2.7 മൊത്തം പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല. ബയേസിൻ്റെ ഫോർമുല.

സംഭവം നടക്കട്ടെ എപൊരുത്തമില്ലാത്ത ഇവൻ്റുകളിലൊന്നിൻ്റെ സംഭവത്തിന് വിധേയമായി സംഭവിക്കാം N 1, N 2, ..., N p, ഇവൻ്റുകളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ ഗ്രൂപ്പ് രൂപീകരിക്കുന്നു. ഈ സംഭവങ്ങളിൽ ഏതാണ് സംഭവിക്കുന്നതെന്ന് മുൻകൂട്ടി അറിയാത്തതിനാൽ, അവരെ വിളിക്കുന്നു അനുമാനങ്ങൾ.

ഇവൻ്റ് സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത എകണക്കാക്കിയത് മൊത്തം പ്രോബബിലിറ്റി ഫോർമുല:

P(A)=P(N 1)P(A/N 1)+ P(N 2)P(A/N 2)+…+ P(N p)P(A/N p).

സംഭവത്തിൻ്റെ ഫലമായി ഒരു പരീക്ഷണം നടത്തിയെന്ന് കരുതുക എസംഭവിച്ചു. സംഭവങ്ങളുടെ സോപാധിക സാധ്യതകൾ N 1, N 2, ..., N pപരിപാടി സംബന്ധിച്ച് എനിശ്ചയിച്ചിരിക്കുന്നു ബയേസ് ഫോർമുലകൾ:

ഉദാഹരണം 2.20. പരീക്ഷയെഴുതാനെത്തിയ 20 വിദ്യാർഥികളുടെ സംഘത്തിൽ 6 പേർ മികച്ച തയ്യാറെടുപ്പും 8 പേർ മികച്ച തയ്യാറെടുപ്പും 4 പേർ തൃപ്തികരവും 2 പേർ മോശം തയ്യാറെടുപ്പുകളും നടത്തി. പരീക്ഷ പേപ്പറിൽ 30 ചോദ്യങ്ങളാണുള്ളത്. മികച്ച രീതിയിൽ തയ്യാറാക്കിയ ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് 30 ചോദ്യങ്ങൾക്കും, നന്നായി തയ്യാറാക്കിയ വിദ്യാർത്ഥിക്ക് 24-നും, തൃപ്തികരമായ ഒരാൾക്ക് 15-നും, മോശമായി തയ്യാറാക്കിയ ഒരു വിദ്യാർത്ഥിക്ക് 7-നും ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിയും.

ക്രമരഹിതമായി വിളിച്ച ഒരു വിദ്യാർത്ഥി ക്രമരഹിതമായി മൂന്നിന് ഉത്തരം നൽകി. ചോദ്യങ്ങൾ ചോദിച്ചു. ഈ വിദ്യാർത്ഥി തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്നതിൻ്റെ സാധ്യത കണ്ടെത്തുക: a) മികച്ചത്; b) മോശം.

പരിഹാരം.

അനുമാനങ്ങൾ - "വിദ്യാർത്ഥി നന്നായി തയ്യാറാണ്";

- "വിദ്യാർത്ഥി നന്നായി തയ്യാറാണ്";

- "വിദ്യാർത്ഥി തൃപ്തികരമായി തയ്യാറാക്കിയിരിക്കുന്നു";

- "വിദ്യാർത്ഥി മോശമായി തയ്യാറാണ്."

അനുഭവത്തിന് മുമ്പ്:

; ; ; ;

7. സംഭവങ്ങളുടെ ഒരു സമ്പൂർണ്ണ കൂട്ടം എന്ന് വിളിക്കുന്നത് എന്താണ്?

8. ഏത് സംഭവങ്ങളെ തുല്യസാധ്യത എന്ന് വിളിക്കുന്നു? അത്തരം സംഭവങ്ങളുടെ ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക.

9. പ്രാഥമിക ഫലം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്?

10. ഈ ഇവൻ്റിന് എന്ത് ഫലങ്ങളാണ് അനുകൂലമായി ഞാൻ കണക്കാക്കുന്നത്?

11. ഇവൻ്റുകളിൽ എന്ത് പ്രവർത്തനങ്ങൾ നടത്താം? അവയെ നിർവചിക്കുക. അവർ എങ്ങനെയാണ് നിയോഗിക്കപ്പെട്ടിരിക്കുന്നത്? ഉദാഹരണങ്ങൾ നൽകുക.