Terdapat dua jenis anggaran dalam statistik: titik dan selang. Anggaran mata mewakili statistik sampel berasingan yang digunakan untuk menganggar parameter penduduk. Contohnya, min sampel adalah anggaran mata jangkaan matematik populasi, dan varians sampel S 2- anggaran titik varians populasi σ 2. telah ditunjukkan bahawa min sampel adalah anggaran yang tidak berat sebelah terhadap jangkaan matematik populasi. Min sampel dipanggil tidak berat sebelah kerana purata semua sampel bermakna (dengan saiz sampel yang sama) n) adalah sama dengan jangkaan matematik populasi umum.
Untuk varians sampel S 2 menjadi anggaran yang tidak berat sebelah bagi varians populasi σ 2, penyebut varians sampel hendaklah ditetapkan sama dengan n – 1 , tetapi tidak n. Dengan kata lain, varians populasi ialah purata semua varians sampel yang mungkin.
Apabila menganggar parameter populasi, perlu diingat bahawa statistik sampel seperti , bergantung pada sampel tertentu. Untuk mengambil kira fakta ini, untuk mendapatkan anggaran selang jangkaan matematik populasi umum, analisis taburan min sampel (untuk butiran lanjut, lihat). Selang yang dibina dicirikan oleh tahap keyakinan tertentu, yang mewakili kebarangkalian bahawa parameter populasi sebenar dianggarkan dengan betul. Selang keyakinan yang serupa boleh digunakan untuk menganggar perkadaran ciri R dan jisim teragih utama penduduk.
Muat turun nota dalam atau format, contoh dalam format
Membina selang keyakinan untuk jangkaan matematik populasi dengan sisihan piawai yang diketahui
Membina selang keyakinan untuk bahagian ciri dalam populasi
Bahagian ini memanjangkan konsep selang keyakinan kepada data kategori. Ini membolehkan kita menganggar bahagian ciri dalam populasi R menggunakan bahagian sampel RS= X/n. Seperti yang ditunjukkan, jika kuantiti nR Dan n(1 – p) melebihi nombor 5, taburan binomial boleh dianggarkan seperti biasa. Oleh itu, untuk menganggar bahagian sesuatu ciri dalam populasi R adalah mungkin untuk membina selang yang tahap keyakinannya sama dengan (1 – α)х100%.
di mana hlmS- nisbah sampel bagi ciri yang sama dengan X/n, iaitu bilangan kejayaan dibahagikan dengan saiz sampel, R- bahagian ciri dalam populasi umum, Z- nilai kritikal standard taburan normal, n- saiz sampel.
Contoh 3. Mari kita andaikan bahawa sampel yang terdiri daripada 100 invois diisi semasa bulan lepas. Katakan 10 daripada invois ini telah disusun dengan ralat. Oleh itu, R= 10/100 = 0.1. Tahap keyakinan 95% sepadan dengan nilai kritikal Z = 1.96.
Oleh itu, kebarangkalian bahawa antara 4.12% dan 15.88% invois mengandungi ralat ialah 95%.
Untuk saiz sampel tertentu, selang keyakinan yang mengandungi perkadaran ciri dalam populasi kelihatan lebih luas daripada selang yang berterusan. pembolehubah rawak. Ini kerana pengukuran pembolehubah rawak berterusan mengandungi lebih banyak maklumat daripada pengukuran data kategori. Dalam erti kata lain, data kategori yang mengambil hanya dua nilai mengandungi maklumat yang tidak mencukupi untuk menganggarkan parameter pengedarannya.
DALAMmengira anggaran yang diekstrak daripada populasi terhingga
Anggaran jangkaan matematik. Faktor pembetulan untuk populasi akhir ( fpc) digunakan untuk mengurangkan ralat piawai dengan faktor. Apabila mengira selang keyakinan untuk anggaran parameter populasi, faktor pembetulan digunakan dalam situasi di mana sampel diambil tanpa dikembalikan. Oleh itu, selang keyakinan untuk jangkaan matematik yang mempunyai tahap keyakinan yang sama dengan (1 – α)х100%, dikira dengan formula:
Contoh 4. Untuk menggambarkan penggunaan faktor pembetulan bagi populasi terhingga, mari kita kembali kepada masalah mengira selang keyakinan bagi jumlah purata invois, yang dibincangkan di atas dalam Contoh 3. Katakan syarikat mengeluarkan 5,000 invois sebulan, dan Xᅳ=110.27 dolar, S= $28.95, N = 5000, n = 100, α = 0.05, t 99 = 1.9842. Menggunakan formula (6) kita memperoleh:
Anggaran bahagian sesuatu ciri. Apabila memilih tanpa pulangan, selang keyakinan untuk bahagian atribut yang mempunyai tahap keyakinan sama dengan (1 – α)х100%, dikira dengan formula:
Selang Keyakinan dan Isu Etika
Apabila mengambil sampel populasi dan membuat kesimpulan statistik, isu etika sering timbul. Perkara utama ialah bagaimana selang keyakinan dan anggaran titik statistik sampel bersetuju. Anggaran titik penerbitan tanpa menyatakan selang keyakinan yang berkaitan (biasanya pada tahap keyakinan 95%) dan saiz sampel yang diperolehi boleh menimbulkan kekeliruan. Ini mungkin memberi pengguna tanggapan bahawa anggaran mata adalah tepat yang dia perlukan untuk meramalkan sifat keseluruhan populasi. Oleh itu, adalah perlu untuk memahami bahawa dalam mana-mana penyelidikan, tumpuan seharusnya bukan pada anggaran titik, tetapi pada anggaran selang. selain itu, Perhatian istimewa patut diberi pilihan yang tepat saiz sampel.
Selalunya, objek manipulasi statistik adalah hasil tinjauan sosiologi penduduk mengenai isu politik tertentu. Dalam kes ini, hasil tinjauan diterbitkan di muka depan akhbar, dan ralatnya sampel tinjauan dan metodologi untuk analisis statistik dicetak di suatu tempat di tengah-tengah. Untuk membuktikan kesahihan anggaran mata yang diperoleh, adalah perlu untuk menunjukkan saiz sampel berdasarkan mana ia diperoleh, sempadan selang keyakinan dan tahap kepentingannya.
Nota seterusnya
Bahan daripada buku Levin et al. Statistik untuk Pengurus digunakan. – M.: Williams, 2004. – hlm. 448–462
Teorem had pusat menyatakan bahawa dengan saiz sampel yang cukup besar, taburan sampel min boleh dianggarkan dengan taburan normal. Harta ini tidak bergantung pada jenis taburan penduduk.
Dalam subseksyen sebelumnya kami mempertimbangkan isu menganggarkan parameter yang tidak diketahui A satu nombor. Ini dipanggil anggaran "titik". Dalam beberapa tugas, anda bukan sahaja perlu mencari parameter A nilai berangka yang sesuai, tetapi juga untuk menilai ketepatan dan kebolehpercayaannya. Anda perlu tahu apakah ralat yang boleh menyebabkan penggantian parameter A anggaran titiknya A dan dengan tahap keyakinan apakah yang boleh kita jangkakan bahawa kesilapan ini tidak akan melebihi had yang diketahui?
Masalah seperti ini amat relevan dengan sebilangan kecil pemerhatian, apabila anggaran titik dan dalam sebahagian besarnya rawak dan anggaran penggantian a dengan a boleh membawa kepada ralat yang serius.
Untuk memberi gambaran tentang ketepatan dan kebolehpercayaan anggaran A,
V statistik matematik Mereka menggunakan apa yang dipanggil selang keyakinan dan kebarangkalian keyakinan.
Biarkan untuk parameter A anggaran tidak berat sebelah diperoleh daripada pengalaman A. Kami ingin menganggarkan kemungkinan ralat dalam kes ini. Mari kita tetapkan beberapa kebarangkalian p yang cukup besar (contohnya, p = 0.9, 0.95 atau 0.99) supaya peristiwa dengan kebarangkalian p boleh dianggap boleh dipercayai secara praktikal, dan mencari nilai s yang
Kemudian julat nilai ralat yang mungkin berlaku semasa penggantian A pada A, akan menjadi ± s; Ralat besar dalam nilai mutlak akan muncul hanya dengan kebarangkalian rendah a = 1 - p. Mari kita tulis semula (14.3.1) sebagai:
Kesamaan (14.3.2) bermakna dengan kebarangkalian p nilai yang tidak diketahui parameter A jatuh dalam selang waktu
Perlu diperhatikan satu keadaan. Sebelum ini, kami telah berulang kali mempertimbangkan kebarangkalian pembolehubah rawak jatuh ke dalam selang bukan rawak yang diberikan. Di sini keadaannya berbeza: magnitud A bukan rawak, tetapi selang / p adalah rawak. Kedudukannya pada paksi-x adalah rawak, ditentukan oleh pusatnya A; Secara umum, panjang selang 2s juga rawak, kerana nilai s dikira, sebagai peraturan, daripada data eksperimen. Oleh itu dalam dalam kes ini adalah lebih baik untuk mentafsir nilai p bukan sebagai kebarangkalian "memukul" mata A dalam selang / p, dan sebagai kebarangkalian bahawa selang rawak / p akan meliputi titik A(Gamb. 14.3.1).
nasi. 14.3.1
Kebarangkalian p biasanya dipanggil kebarangkalian keyakinan, dan selang / p - selang keyakinan. Sempadan selang Jika. a x =a- s dan a 2 = a + dan dipanggil sempadan amanah.
Mari kita berikan satu lagi tafsiran kepada konsep selang keyakinan: ia boleh dianggap sebagai selang nilai parameter A, serasi dengan data eksperimen dan tidak bercanggah dengannya. Sesungguhnya, jika kita bersetuju untuk menganggap peristiwa dengan kebarangkalian a = 1-p hampir mustahil, maka nilai-nilai parameter a yang a - a> s mesti diiktiraf sebagai bercanggah dengan data eksperimen, dan data yang |a - A a t na 2 .
Biarkan untuk parameter A terdapat anggaran yang tidak berat sebelah A. Jika kita tahu hukum taburan kuantiti A, tugas mencari selang keyakinan akan menjadi sangat mudah: sudah cukup untuk mencari nilai s yang
Kesukaran adalah bahawa undang-undang pengagihan anggaran A bergantung kepada hukum taburan kuantiti X dan, oleh itu, pada parameter yang tidak diketahui (khususnya, pada parameter itu sendiri A).
Untuk mengatasi kesukaran ini, anda boleh menggunakan teknik anggaran berikut: gantikan parameter yang tidak diketahui dalam ungkapan untuk s dengan anggaran mata mereka. Dengan bilangan eksperimen yang agak besar P(kira-kira 20...30) teknik ini biasanya memberikan hasil yang memuaskan dari segi ketepatan.
Sebagai contoh, pertimbangkan masalah selang keyakinan untuk jangkaan matematik.
Biar terhasil P X, yang ciri-cirinya adalah jangkaan matematik T dan varians D- tidak diketahui. Anggaran berikut diperoleh untuk parameter ini:
Ia diperlukan untuk membina selang keyakinan / p yang sepadan kebarangkalian keyakinan p, untuk jangkaan matematik T kuantiti X.
Apabila menyelesaikan masalah ini, kita akan menggunakan fakta bahawa kuantiti T mewakili jumlah P pembolehubah rawak teragih sama bebas X h dan mengikut teorem had pusat, untuk yang cukup besar P undang-undang pengedarannya hampir normal. Dalam amalan, walaupun dengan bilangan istilah yang agak kecil (kira-kira 10...20), undang-undang pengedaran jumlah itu boleh dianggap normal. Kami akan menganggap bahawa nilai T diedarkan mengikut hukum biasa. Ciri-ciri undang-undang ini - jangkaan dan varians matematik - adalah sama, masing-masing T Dan
(lihat bab 13 subseksyen 13.3). Mari kita anggap bahawa nilai D kita tahu dan akan mencari nilai Ep yang
Menggunakan formula (6.3.5) Bab 6, kami menyatakan kebarangkalian di sebelah kiri (14.3.5) melalui fungsi taburan normal
di manakah sisihan piawai anggaran T.
Daripada Pers.
cari nilai Sp: 
di mana arg Ф* (х) ialah fungsi songsang bagi Ф* (X), mereka. nilai hujah di mana fungsi normal pengagihan adalah sama dengan X.
Penyerakan D, melalui mana kuantiti dinyatakan A 1P, kita tidak tahu dengan tepat; sebagai nilai anggarannya, anda boleh menggunakan anggaran D(14.3.4) dan letakkan lebih kurang:
Oleh itu, masalah membina selang keyakinan telah lebih kurang diselesaikan, iaitu bersamaan dengan:
di mana gp ditentukan oleh formula (14.3.7).
Untuk mengelakkan interpolasi terbalik dalam jadual fungsi Ф* (l) apabila mengira s p, adalah mudah untuk menyusun jadual khas (Jadual 14.3.1), yang memberikan nilai kuantiti
bergantung kepada r. Nilai (p menentukan untuk hukum biasa bilangan sisihan piawai yang mesti diplot ke kanan dan kiri dari pusat serakan supaya kebarangkalian untuk masuk ke kawasan yang terhasil adalah sama dengan p.
Menggunakan nilai 7 p, selang keyakinan dinyatakan sebagai:
Jadual 14.3.1
Contoh 1. 20 eksperimen telah dijalankan ke atas kuantiti X; keputusan ditunjukkan dalam jadual. 14.3.2.
Jadual 14.3.2
Ia dikehendaki mencari anggaran daripada jangkaan matematik kuantiti X dan bina selang keyakinan sepadan dengan kebarangkalian keyakinan p = 0.8.
Penyelesaian. Kami ada:
Memilih l: = 10 sebagai titik rujukan, menggunakan formula ketiga (14.2.14) kita dapati anggaran tidak berat sebelah D :
Mengikut jadual 14.3.1 kita dapati 
Had keyakinan:
Nilai parameter T, terletak dalam selang ini adalah serasi dengan data eksperimen yang diberikan dalam jadual. 14.3.2.
Selang keyakinan untuk varians boleh dibina dengan cara yang sama.
Biar terhasil P eksperimen bebas ke atas pembolehubah rawak X dengan parameter yang tidak diketahui untuk kedua-dua A dan penyebaran D anggaran tidak berat sebelah diperolehi:
Ia dikehendaki membina kira-kira selang keyakinan untuk varians.
Daripada formula (14.3.11) jelas bahawa kuantiti D mewakili
jumlah P pembolehubah rawak bentuk . Nilai-nilai ini tidak
bebas, kerana mana-mana daripadanya termasuk kuantiti T, bergantung pada orang lain. Walau bagaimanapun, ia boleh ditunjukkan bahawa dengan peningkatan P hukum pengagihan jumlah mereka juga menghampiri normal. Hampir di P= 20...30 dah boleh dianggap biasa.
Mari kita anggap bahawa ini benar, dan mari kita cari ciri-ciri undang-undang ini: jangkaan dan serakan matematik. Sejak penilaian D- tidak berat sebelah, maka M[D] = D.
Pengiraan varians D D dikaitkan dengan pengiraan yang agak kompleks, jadi kami membentangkan ungkapannya tanpa terbitan:
di mana q 4 ialah yang keempat titik pusat kuantiti X.
Untuk menggunakan ungkapan ini, anda perlu menggantikan nilai \u003d 4 dan D(sekurang-kurangnya yang rapat). Sebaliknya D anda boleh menggunakan penilaiannya D. Pada dasarnya, momen tengah keempat juga boleh digantikan dengan anggaran, sebagai contoh, nilai bentuk:
tetapi penggantian sedemikian akan memberikan ketepatan yang sangat rendah, kerana secara umum, dengan bilangan percubaan yang terhad, detik-detik perintah tinggi ditentukan daripada kesilapan besar. Walau bagaimanapun, dalam amalan ia sering berlaku bahawa jenis undang-undang pengagihan kuantiti X diketahui terlebih dahulu: hanya parameternya tidak diketahui. Kemudian anda boleh cuba untuk menyatakan μ 4 melalui D.
Mari kita ambil kes yang paling biasa, apabila nilai X diedarkan mengikut hukum biasa. Kemudian momen pusat keempatnya dinyatakan dalam bentuk serakan (lihat Bab 6, subseksyen 6.2);
dan formula (14.3.12) memberi 
atau
Menggantikan yang tidak diketahui dalam (14.3.14) D penilaiannya D, kita dapat: dari mana 
Momen μ 4 boleh dinyatakan melalui D juga dalam beberapa kes lain, apabila pengagihan nilai X tidak normal, tetapi rupanya diketahui. Sebagai contoh, untuk undang-undang ketumpatan seragam(lihat bab 5) kita ada: 
di mana (a, P) ialah selang di mana undang-undang itu ditentukan.
Oleh itu,
Menggunakan formula (14.3.12) kita dapat: 
di mana kita dapati lebih kurang
Dalam kes di mana jenis undang-undang pengedaran untuk kuantiti 26 tidak diketahui, apabila membuat anggaran anggaran nilai a/) masih disyorkan untuk menggunakan formula (14.3.16), melainkan terdapat sebab khas untuk mempercayai bahawa undang-undang ini sangat berbeza daripada yang biasa (mempunyai kurtosis positif atau negatif yang ketara) .
Jika nilai anggaran a/) diperolehi dalam satu cara atau yang lain, maka kita boleh membina selang keyakinan untuk varians dengan cara yang sama seperti kita membinanya untuk jangkaan matematik:
di mana nilai bergantung kepada kebarangkalian p yang diberi didapati mengikut jadual. 14.3.1.
Contoh 2. Cari kira-kira 80% selang keyakinan untuk varians pembolehubah rawak X di bawah syarat contoh 1, jika diketahui bahawa nilai X diedarkan mengikut undang-undang yang hampir normal.
Penyelesaian. Nilai tetap sama seperti dalam jadual. 14.3.1:
Mengikut formula (14.3.16)
Menggunakan formula (14.3.18) kita dapati selang keyakinan:
Selang sepadan nilai purata sisihan segi empat sama: (0,21; 0,29).
14.4. Kaedah tepat untuk membina selang keyakinan bagi parameter pembolehubah rawak yang diedarkan mengikut hukum biasa
Dalam subseksyen sebelumnya, kami meneliti kaedah anggaran secara kasar untuk membina selang keyakinan untuk jangkaan dan varians matematik. Di sini kami akan memberikan idea tentang kaedah yang tepat untuk menyelesaikan masalah yang sama. Kami menekankan bahawa untuk mencari selang keyakinan dengan tepat adalah perlu untuk mengetahui terlebih dahulu bentuk undang-undang taburan kuantiti X, sedangkan untuk penggunaan kaedah anggaran ini tidak perlu.
Idea kaedah yang tepat membina selang keyakinan datang kepada yang berikut. Sebarang selang keyakinan ditemui daripada keadaan yang menyatakan kebarangkalian untuk memenuhi ketaksamaan tertentu, yang termasuk anggaran yang kami minati A. Undang-undang pengagihan penilaian A V kes am bergantung pada parameter kuantiti yang tidak diketahui X. Walau bagaimanapun, kadangkala adalah mungkin untuk lulus dalam ketaksamaan daripada pembolehubah rawak A kepada beberapa fungsi lain bagi nilai yang diperhatikan X p X 2, ..., X hlm. hukum taburan yang tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui, tetapi hanya bergantung pada bilangan eksperimen dan pada jenis hukum taburan kuantiti X. Pembolehubah rawak jenis ini memainkan peranan penting dalam statistik matematik; mereka telah dikaji secara terperinci untuk kes taburan normal kuantiti X.
Sebagai contoh, telah dibuktikan bahawa dengan taburan normal nilai X nilai rawak
mematuhi apa yang dipanggil Undang-undang pengedaran pelajar Dengan P- 1 darjah kebebasan; ketumpatan undang-undang ini mempunyai bentuk
di mana G(x) ialah fungsi gamma yang diketahui:
Ia juga telah dibuktikan bahawa pembolehubah rawak
mempunyai "% 2 pengagihan" dengan P- 1 darjah kebebasan (lihat Bab 7), ketumpatannya dinyatakan oleh formula
Tanpa memikirkan terbitan taburan (14.4.2) dan (14.4.4), kami akan menunjukkan bagaimana ia boleh digunakan semasa membina selang keyakinan untuk parameter ty D.
Biar terhasil P eksperimen bebas ke atas pembolehubah rawak X, diedarkan secara normal dengan parameter yang tidak diketahui T&P. Untuk parameter ini, anggaran telah diperolehi
Ia diperlukan untuk membina selang keyakinan untuk kedua-dua parameter yang sepadan dengan kebarangkalian keyakinan p.
Mari mula-mula bina selang keyakinan untuk jangkaan matematik. Adalah wajar untuk mengambil selang ini simetri berkenaan dengan T; biarkan s p menandakan separuh panjang selang itu. Nilai s p mesti dipilih supaya syarat itu dipenuhi
Mari cuba bergerak di sebelah kiri kesamaan (14.4.5) daripada pembolehubah rawak T kepada pembolehubah rawak T, diedarkan mengikut undang-undang Pelajar. Untuk melakukan ini, darab kedua-dua belah ketaksamaan |m-w?|
dengan nilai positif: 
atau, menggunakan tatatanda (14.4.1),
Mari cari nombor / p supaya nilai / p boleh didapati daripada keadaan
Daripada formula (14.4.2) adalah jelas bahawa (1) - malah berfungsi, jadi (14.4.8) memberi 
Kesamaan (14.4.9) menentukan nilai / p bergantung pada p. Jika anda mempunyai jadual nilai kamiran yang anda boleh gunakan
maka nilai /p boleh didapati dengan interpolasi songsang dalam jadual. Walau bagaimanapun, adalah lebih mudah untuk merangka jadual nilai /p terlebih dahulu. Jadual sedemikian diberikan dalam Lampiran (Jadual 5). Jadual ini menunjukkan nilai bergantung pada tahap keyakinan p dan bilangan darjah kebebasan P- 1. Setelah ditentukan / p daripada jadual. 5 dan andaikan 
kita akan dapati separuh lebar selang keyakinan / p dan selang itu sendiri
Contoh 1. 5 eksperimen bebas telah dilakukan ke atas pembolehubah rawak X, diedarkan secara normal dengan parameter yang tidak diketahui T dan tentang. Keputusan eksperimen diberikan dalam jadual. 14.4.1.
Jadual 14.4.1
Cari rating T untuk jangkaan matematik dan bina selang keyakinan 90% / p untuknya (iaitu, selang sepadan dengan kebarangkalian keyakinan p = 0.9).
Penyelesaian. Kami ada:
Mengikut jadual 5 permohonan untuk P - 1 = 4 dan p = 0.9 kita dapati 
di mana 
Selang keyakinan akan menjadi
Contoh 2. Untuk syarat contoh 1 subseksyen 14.3, dengan andaian nilainya X taburan normal, cari selang keyakinan yang tepat.
Penyelesaian. Menurut jadual 5 lampiran kita dapati apabila P - 1 = 19ir =
0.8 / p = 1.328; dari sini 
Membandingkan dengan penyelesaian contoh 1 subseksyen 14.3 (e p = 0.072), kami yakin bahawa percanggahan itu sangat tidak ketara. Jika kita mengekalkan ketepatan ke tempat perpuluhan kedua, maka selang keyakinan yang ditemui oleh kaedah tepat dan anggaran bertepatan:
Mari kita teruskan untuk membina selang keyakinan untuk varians. Pertimbangkan penganggar varians tidak berat sebelah
dan nyatakan pembolehubah rawak D melalui magnitud V(14.4.3), mempunyai pengedaran x 2 (14.4.4):
Mengetahui hukum taburan kuantiti V, anda boleh mencari selang /(1) di mana ia jatuh dengan kebarangkalian p yang diberikan.
Hukum pengagihan kn_x(v) magnitud I 7 mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. 14.4.1.
nasi. 14.4.1
Persoalannya timbul: bagaimana untuk memilih selang / p? Jika hukum taburan magnitud V adalah simetri (seperti undang-undang biasa atau taburan Pelajar), adalah wajar untuk mengambil selang /p simetri berkenaan dengan jangkaan matematik. Dalam hal ini undang-undang k p_x (v) tidak simetri. Marilah kita bersetuju untuk memilih selang /p supaya kebarangkalian nilai itu V di luar selang ke kanan dan kiri (kawasan berlorek dalam Rajah 14.4.1) adalah sama dan sama
Untuk membina selang /p dengan sifat ini, kami menggunakan jadual. 4 aplikasi: ia mengandungi nombor y) seperti itu
untuk nilai V, mempunyai x 2 -taburan dengan r darjah kebebasan. Dalam kes kita r = n- 1. Mari kita betulkan r = n- 1 dan cari dalam baris jadual yang sepadan. 4 dua makna x 2 - satu sepadan dengan kebarangkalian yang lain - kebarangkalian Mari kita nyatakan ini
nilai pukul 2 Dan xl? Selang telah y 2, dengan kiri anda, dan y ~ hujung kanan.
Sekarang mari kita cari daripada selang / p selang keyakinan yang diingini /|, untuk serakan dengan sempadan D, dan D2, yang meliputi perkara itu D dengan kebarangkalian p: 
Mari kita bina selang / (, = (?> ь А) yang merangkumi titik D jika dan hanya jika nilai V jatuh ke dalam selang /r. Mari kita tunjukkan bahawa selang
memenuhi syarat ini. Sesungguhnya, ketidaksamaan 
adalah bersamaan dengan ketidaksamaan
dan ketaksamaan ini berpuas hati dengan kebarangkalian p. Oleh itu, selang keyakinan bagi varians telah ditemui dan dinyatakan dengan formula (14.4.13).
Contoh 3. Cari selang keyakinan bagi varians di bawah syarat contoh 2 subseksyen 14.3, jika diketahui bahawa nilai X diedarkan secara normal.
Penyelesaian. Kami ada 
. Mengikut jadual 4 lampiran
kita dapati di r = n - 1 = 19
Menggunakan formula (14.4.13) kita mencari selang keyakinan untuk varians 
Selang yang sepadan untuk sisihan piawai ialah (0.21; 0.32). Selang ini hanya sedikit melebihi selang (0.21; 0.29) yang diperoleh dalam contoh 2 subseksyen 14.3 menggunakan kaedah anggaran.
- Rajah 14.3.1 menganggap simetri selang keyakinan tentang a. Secara umum, seperti yang akan kita lihat kemudian, ini tidak perlu.
Selang keyakinan.
Pengiraan selang keyakinan adalah berdasarkan ralat purata parameter yang sepadan. Selang keyakinan menunjukkan dalam had apa dengan kebarangkalian (1-a) nilai sebenar parameter anggaran terletak. Di sini a ialah aras keertian, (1-a) juga dipanggil kebarangkalian keyakinan.
Dalam bab pertama kami menunjukkan bahawa, sebagai contoh, untuk min aritmetik, min populasi sebenar dalam kira-kira 95% kes terletak dalam 2 ralat piawai bagi min. Oleh itu, sempadan selang keyakinan 95% untuk min adalah dua kali lebih jauh daripada min sampel. ralat purata purata, i.e. kita darabkan ralat purata min dengan pekali tertentu bergantung pada tahap keyakinan. Untuk purata dan perbezaan purata, pekali Pelajar (nilai kritikal ujian Pelajar) diambil, untuk bahagian dan perbezaan syer, nilai kritikal bagi kriteria z. Hasil darab pekali dan ralat purata boleh dipanggil ralat maksimum parameter tertentu, i.e. maksimum yang boleh kita perolehi semasa menilainya.
Selang keyakinan untuk min aritmetik : .
Berikut ialah min sampel;
Ralat purata min aritmetik;
s – sisihan piawai sampel;
n
f = n-1 (Pekali pelajar).
Selang keyakinan untuk perbezaan cara aritmetik :
Berikut ialah perbezaan antara sampel min;
- ralat purata perbezaan antara cara aritmetik;
s 1 , s 2 – sisihan piawai sampel;
n1,n2
Nilai kritikal Ujian t pelajar untuk tahap keertian a dan bilangan darjah kebebasan yang diberikan f=n 1 +n 2-2 (Pekali pelajar).
Selang keyakinan untuk saham :
.
Di sini d ialah pecahan sampel;
– ralat pecahan purata;
n– saiz sampel (saiz kumpulan);
Selang keyakinan untuk perbezaan saham :
Berikut adalah perbezaan dalam saham sampel;
– ralat purata perbezaan antara min aritmetik;
n1,n2– jumlah sampel (bilangan kumpulan);
Nilai kritikal bagi kriteria z pada aras keertian tertentu a ( , , ).
Dengan mengira selang keyakinan untuk perbezaan antara penunjuk, kita, pertama sekali, melihat secara langsung nilai yang mungkin kesan, dan bukan hanya itu anggaran mata. Kedua, kita boleh membuat kesimpulan tentang penerimaan atau penolakan hipotesis nol dan, ketiga, kita boleh membuat kesimpulan tentang kuasa ujian.
Apabila menguji hipotesis menggunakan selang keyakinan, anda mesti mematuhi peraturan berikut:
Jika selang keyakinan 100(1-a) peratus perbezaan min tidak mengandungi sifar, maka perbezaan adalah signifikan secara statistik pada aras keertian a; sebaliknya, jika selang ini mengandungi sifar, maka perbezaannya tidak signifikan secara statistik.
Sesungguhnya, jika selang ini mengandungi sifar, ini bermakna penunjuk yang dibandingkan mungkin sama ada lebih besar atau kurang dalam salah satu kumpulan berbanding yang lain, i.e. perbezaan yang diperhatikan adalah kerana kebetulan.
Kuasa ujian boleh dinilai dengan lokasi sifar dalam selang keyakinan. Jika sifar adalah hampir ke bawah atau had atas selang waktu, maka mungkin dengan bilangan kumpulan yang lebih banyak dibandingkan, perbezaan akan mencapai kepentingan statistik. Jika sifar hampir dengan pertengahan selang, maka ini bermakna kedua-dua peningkatan dan penurunan dalam penunjuk dalam kumpulan eksperimen adalah sama berkemungkinan, dan, mungkin, tidak ada perbezaan.
Contoh:
Untuk membandingkan kematian pembedahan apabila menggunakan dua jenis anestesia yang berbeza: 61 orang telah dibedah dengan jenis anestesia pertama, 8 meninggal dunia, dengan jenis kedua - 67 orang, 10 meninggal dunia.
d 1 = 8/61 = 0.131; d2 = 10/67 = 0.149; d1-d2 = - 0.018.
Perbezaan dalam kematian kaedah yang dibandingkan akan berada dalam julat (-0.018 - 0.122; -0.018 + 0.122) atau (-0.14; 0.104) dengan kebarangkalian 100(1-a) = 95%. Selang mengandungi sifar, i.e. hipotesis tentang kematian yang sama dalam dua jenis yang berbeza Anestesia tidak boleh ditolak.
Oleh itu, kadar kematian boleh dan akan menurun kepada 14% dan meningkat kepada 10.4% dengan kebarangkalian 95%, i.e. sifar adalah kira-kira di tengah-tengah selang, jadi boleh dikatakan bahawa, kemungkinan besar, kedua-dua kaedah ini benar-benar tidak berbeza dalam kematian.
Dalam contoh yang dibincangkan sebelum ini, purata masa menekan semasa ujian menoreh dibandingkan dalam empat kumpulan pelajar yang berbeza dalam markah peperiksaan. Mari kita hitung selang keyakinan untuk purata masa menekan untuk pelajar yang lulus peperiksaan dengan gred 2 dan 5 dan selang keyakinan untuk perbezaan antara purata ini.
Pekali pelajar didapati menggunakan jadual taburan Pelajar (lihat lampiran): untuk kumpulan pertama: = t(0.05;48) = 2.011; bagi kumpulan kedua: = t(0.05;61) = 2.000. Oleh itu, selang keyakinan untuk kumpulan pertama: = (162.19-2.011*2.18; 162.19+2.011*2.18) = (157.8; 166.6), untuk kumpulan kedua (156.55- 2,000*1.88; 156.55+1.88; 156.55+1.88). ; 160.3). Jadi, bagi mereka yang lulus peperiksaan dengan 2, purata masa menekan antara 157.8 ms hingga 166.6 ms dengan kebarangkalian 95%, bagi mereka yang lulus peperiksaan dengan 5 – daripada 152.8 ms hingga 160.3 ms dengan kebarangkalian 95% .
Anda juga boleh menguji hipotesis nol menggunakan selang keyakinan untuk min, dan bukan hanya untuk perbezaan min. Sebagai contoh, seperti dalam kes kami, jika selang keyakinan untuk min bertindih, maka hipotesis nol tidak boleh ditolak. Untuk menolak hipotesis pada tahap keertian yang dipilih, selang keyakinan yang sepadan tidak boleh bertindih.
Mari cari selang keyakinan untuk perbezaan purata masa menekan dalam kumpulan yang lulus peperiksaan dengan gred 2 dan 5. Perbezaan purata: 162.19 – 156.55 = 5.64. Pekali pelajar: = t(0.05;49+62-2) = t(0.05;109) = 1.982. Sisihan piawai kumpulan akan sama dengan: ; . Kami mengira ralat purata perbezaan antara min: . Selang keyakinan: =(5.64-1.982*2.87; 5.64+1.982*2.87) = (-0.044; 11.33).
Jadi, perbezaan dalam purata masa menekan dalam kumpulan yang lulus peperiksaan dengan 2 dan 5 akan berada dalam julat dari -0.044 ms hingga 11.33 ms. Selang ini termasuk sifar, i.e. Purata masa mendesak bagi mereka yang lulus peperiksaan dengan baik mungkin sama ada meningkat atau berkurangan berbanding mereka yang lulus peperiksaan dengan tidak memuaskan, i.e. hipotesis nol tidak boleh ditolak. Tetapi sifar adalah sangat hampir dengan had yang lebih rendah, dan masa menekan lebih berkemungkinan berkurangan bagi mereka yang lulus dengan baik. Oleh itu, kita boleh membuat kesimpulan bahawa masih terdapat perbezaan dalam purata masa menekan antara mereka yang melepasi 2 dan 5, kita hanya tidak dapat mengesannya memandangkan perubahan dalam masa purata, penyebaran masa purata dan saiz sampel.
Kuasa sesuatu ujian ialah kebarangkalian untuk menolak hipotesis nol yang salah, i.e. cari perbezaan di mana ia sebenarnya wujud.
Kuasa ujian ditentukan berdasarkan tahap keertian, magnitud perbezaan antara kumpulan, penyebaran nilai dalam kumpulan dan saiz sampel.
Untuk ujian Pelajar dan analisis varians Anda boleh menggunakan gambar rajah sensitiviti.
Kuasa kriteria boleh digunakan untuk menentukan terlebih dahulu bilangan kumpulan yang diperlukan.
Selang keyakinan menunjukkan di mana had nilai sebenar parameter anggaran terletak pada kebarangkalian yang diberikan.
Menggunakan selang keyakinan, anda boleh menguji hipotesis statistik dan membuat kesimpulan tentang sensitiviti kriteria.
KESUSASTERAAN.
Glanz S. – Bab 6,7.
Rebrova O.Yu. – hlm.112-114, hlm.171-173, hlm.234-238.
Sidorenko E.V. – hlm.32-33.
Soalan untuk ujian kendiri pelajar.
1. Apakah kuasa kriteria tersebut?
2. Dalam kes apakah perlu untuk menilai kuasa kriteria?
3. Kaedah untuk mengira kuasa.
6. Bagaimana untuk menguji hipotesis statistik menggunakan selang keyakinan?
7. Apakah yang boleh dikatakan tentang kuasa kriteria semasa mengira selang keyakinan?
Tugasan.
Katakan kita mempunyai sejumlah besar item dengan taburan normal beberapa ciri (contohnya, gudang penuh sayur-sayuran jenis yang sama, saiz dan beratnya berbeza-beza). Anda ingin mengetahui ciri-ciri purata keseluruhan kumpulan barangan, tetapi anda tidak mempunyai masa atau keinginan untuk mengukur dan menimbang setiap sayuran. Anda faham bahawa ini tidak perlu. Tetapi berapa banyak keping yang perlu diambil untuk pemeriksaan mengejut?
Sebelum memberikan beberapa formula yang berguna untuk situasi ini, mari kita ingat beberapa notasi.
Pertama, jika kami mengukur keseluruhan gudang sayur-sayuran (set elemen ini dipanggil populasi umum), maka kami akan mengetahui dengan semua ketepatan yang tersedia kepada kami purata berat keseluruhan kumpulan. Mari kita panggil purata ini X purata .g en . - purata am. Kita sudah tahu apa yang ditentukan sepenuhnya jika nilai min dan sisihan s diketahui . Benar, walaupun kami bukan gen purata X mahupun s Kami tidak tahu populasi umum. Kami hanya boleh mengambil sampel tertentu, mengukur nilai yang kami perlukan dan mengira untuk sampel ini kedua-dua nilai purata X purata dan sisihan piawai S pilih.
Adalah diketahui bahawa jika semakan sampel kami mengandungi sejumlah besar elemen (biasanya n lebih besar daripada 30), dan ia diambil rambang sungguh, kemudian s populasi umum hampir tidak akan berbeza daripada pemilihan S ..
Di samping itu, untuk kes taburan normal kita boleh menggunakan formula berikut:
Dengan kebarangkalian 95%
Dengan kebarangkalian 99%
DALAM Pandangan umum dengan kebarangkalian P (t)
Hubungan antara nilai t dan nilai kebarangkalian P (t), yang mana kita ingin mengetahui selang keyakinan, boleh diambil daripada jadual berikut:
Oleh itu, kami telah menentukan di mana julat nilai purata untuk populasi terletak (dengan kebarangkalian tertentu).
Melainkan kita mempunyai sampel yang cukup besar, kita tidak boleh mengatakan bahawa populasi mempunyai s = S pilih Di samping itu, dalam kes ini, kedekatan sampel dengan taburan normal adalah bermasalah. Dalam kes ini, kami juga menggunakan S pilih sebaliknya s dalam formula:
tetapi nilai t untuk kebarangkalian tetap P(t) akan bergantung kepada bilangan unsur dalam sampel n. Semakin besar n, semakin hampir selang keyakinan yang terhasil dengan nilai yang diberikan oleh formula (1). Nilai t dalam kes ini diambil dari jadual lain ( Ujian-t pelajar), yang kami paparkan di bawah:
Nilai ujian-t pelajar untuk kebarangkalian 0.95 dan 0.99
Contoh 3. 30 orang telah dipilih secara rawak daripada pekerja syarikat. Menurut sampel, ternyata gaji purata (sebulan) adalah 30 ribu rubel dengan sisihan piawai 5 ribu rubel. Tentukan purata gaji dalam syarikat dengan kebarangkalian 0.99.
Penyelesaian: Dengan syarat kita mempunyai n = 30, X purata. =30000, S=5000, P = 0.99. Untuk mencari selang keyakinan, kami akan menggunakan formula yang sepadan dengan ujian t Pelajar. Daripada jadual untuk n = 30 dan P = 0.99 kita dapati t = 2.756, oleh itu,
mereka. pemegang amanah yang dicari selang 27484< Х ср.ген
< 32516.
Jadi, dengan kebarangkalian 0.99 kita boleh mengatakan bahawa selang (27484; 32516) mengandungi dalam dirinya sendiri purata gaji dalam syarikat.
Kami berharap anda akan menggunakan kaedah ini, dan tidak semestinya anda mempunyai meja setiap kali. Pengiraan boleh dilakukan secara automatik dalam Excel. Semasa dalam fail Excel, klik butang fx di menu atas. Kemudian, pilih jenis "statistik" di antara fungsi, dan dari senarai yang dicadangkan dalam tetingkap - STUDAR DISCOVER. Kemudian, pada gesaan, meletakkan kursor dalam medan "kebarangkalian", masukkan nilai kebarangkalian songsang (iaitu dalam kes kami, bukannya kebarangkalian 0.95, anda perlu menaip kebarangkalian 0.05). nampaknya hamparan disusun sedemikian rupa sehingga hasilnya menjawab soalan dengan kemungkinan besar kita boleh melakukan kesilapan. Begitu juga, dalam medan Ijazah Kebebasan, masukkan nilai (n-1) untuk sampel anda.
Selang keyakinan untuk jangkaan matematik - ini ialah selang yang dikira daripada data yang, dengan kebarangkalian yang diketahui, mengandungi jangkaan matematik populasi umum. Anggaran semula jadi untuk jangkaan matematik ialah min aritmetik bagi nilai yang diperhatikan. Oleh itu, sepanjang pelajaran kita akan menggunakan istilah "purata" dan "nilai purata". Dalam masalah mengira selang keyakinan, jawapan yang paling kerap diperlukan adalah seperti "Selang keyakinan nombor purata [nilai dalam masalah tertentu] adalah dari [nilai yang lebih kecil] kepada [nilai yang lebih besar]." Menggunakan selang keyakinan, anda boleh menilai bukan sahaja nilai purata, tetapi juga perkadaran ciri tertentu populasi umum. Purata, varians, sisihan piawai dan kesilapan di mana kita akan sampai pada definisi dan formula baru dibincangkan dalam pelajaran Ciri-ciri sampel dan populasi .
Anggaran titik dan selang min
Jika nilai purata populasi dianggarkan dengan nombor (titik), maka purata tertentu, yang dikira daripada sampel pemerhatian, diambil sebagai anggaran nilai purata populasi yang tidak diketahui. Dalam kes ini, nilai min sampel - pembolehubah rawak - tidak bertepatan dengan nilai min populasi umum. Oleh itu, apabila menunjukkan min sampel, anda mesti menunjukkan ralat pensampelan secara serentak. Ukuran ralat pensampelan ialah ralat piawai, yang dinyatakan dalam unit yang sama dengan min. Oleh itu, tatatanda berikut sering digunakan: .
Jika anggaran purata perlu dikaitkan dengan kebarangkalian tertentu, maka parameter kepentingan dalam populasi mesti dinilai bukan dengan satu nombor, tetapi dengan selang. Selang keyakinan ialah selang di mana, dengan kebarangkalian tertentu P nilai penunjuk anggaran populasi ditemui. Selang keyakinan di mana ia berkemungkinan P = 1 - α pembolehubah rawak ditemui, dikira seperti berikut:
,
α = 1 - P, yang boleh didapati dalam lampiran kepada hampir mana-mana buku tentang statistik.
Dalam amalan, min dan varians populasi tidak diketahui, jadi varians populasi digantikan dengan varians sampel, dan min populasi dengan min sampel. Oleh itu, selang keyakinan dalam kebanyakan kes dikira seperti berikut:
.
Formula selang keyakinan boleh digunakan untuk menganggar min populasi jika
- sisihan piawai populasi diketahui;
- atau sisihan piawai populasi tidak diketahui, tetapi saiz sampel lebih besar daripada 30.
Min sampel ialah anggaran tidak berat sebelah bagi min populasi. Sebaliknya, varians sampel 
bukanlah anggaran yang tidak berat sebelah bagi varians populasi. Untuk mendapatkan anggaran tidak berat sebelah bagi varians populasi dalam formula varians sampel, saiz sampel n harus diganti dengan n-1.
Contoh 1. Maklumat dikumpul daripada 100 kafe yang dipilih secara rawak di bandar tertentu bahawa purata bilangan pekerja di dalamnya ialah 10.5 dengan sisihan piawai 4.6. Tentukan selang keyakinan 95% untuk bilangan pekerja kafe.
di manakah nilai kritikal taburan normal piawai untuk aras keertian α = 0,05 .
Oleh itu, selang keyakinan 95% untuk purata bilangan pekerja kafe adalah antara 9.6 hingga 11.4.
Contoh 2. Untuk sampel rawak daripada populasi 64 pemerhatian, jumlah nilai berikut telah dikira:
jumlah nilai dalam pemerhatian,
jumlah sisihan kuasa dua nilai daripada purata 
.
Kira 95% selang keyakinan untuk jangkaan matematik.
Mari kita hitung sisihan piawai:
,
Mari kita hitung nilai purata:
.
Kami menggantikan nilai ke dalam ungkapan untuk selang keyakinan:
di manakah nilai kritikal taburan normal piawai untuk aras keertian α = 0,05 .
Kita mendapatkan:
Oleh itu, selang keyakinan 95% untuk jangkaan matematik sampel ini adalah antara 7.484 hingga 11.266.
Contoh 3. Bagi sampel populasi rawak sebanyak 100 pemerhatian, min yang dikira ialah 15.2 dan sisihan piawai ialah 3.2. Kira selang keyakinan 95% untuk nilai jangkaan, kemudian selang keyakinan 99%. Jika kuasa sampel dan variasinya kekal tidak berubah dan pekali keyakinan meningkat, adakah selang keyakinan akan mengecil atau melebar?
Kami menggantikan nilai ini ke dalam ungkapan untuk selang keyakinan:
di manakah nilai kritikal taburan normal piawai untuk aras keertian α = 0,05 .
Kita mendapatkan:
.
Oleh itu, selang keyakinan 95% bagi min sampel ini adalah antara 14.57 hingga 15.82.
Kami sekali lagi menggantikan nilai-nilai ini ke dalam ungkapan untuk selang keyakinan:
di manakah nilai kritikal taburan normal piawai untuk aras keertian α = 0,01 .
Kita mendapatkan:
.
Oleh itu, selang keyakinan 99% bagi min sampel ini adalah antara 14.37 hingga 16.02.
Seperti yang kita lihat, apabila pekali keyakinan meningkat, nilai kritikal taburan normal piawai juga meningkat, dan, akibatnya, titik permulaan dan penamat selang terletak lebih jauh daripada min, dan dengan itu selang keyakinan untuk jangkaan matematik meningkat. .
Anggaran titik dan selang graviti tentu
Bahagian beberapa atribut sampel boleh ditafsirkan sebagai anggaran titik graviti tertentu hlm mempunyai ciri yang sama dalam populasi umum. Jika nilai ini perlu dikaitkan dengan kebarangkalian, maka selang keyakinan graviti tentu perlu dikira hlm ciri dalam populasi dengan kebarangkalian P = 1 - α :
.
Contoh 4. Di sesetengah bandar terdapat dua calon A Dan B sedang bertanding jawatan Datuk Bandar. 200 penduduk bandar telah ditinjau secara rawak, yang mana 46% menjawab bahawa mereka akan mengundi calon A, 26% - untuk calon B dan 28% tidak tahu siapa yang akan mereka undi. Tentukan selang keyakinan 95% bagi bahagian penduduk bandar yang menyokong calon A.
