di mana λ ialah keamatan permintaan yang diterima oleh QS.

Contoh.

Kira penunjuk perkhidmatan untuk QS saluran tunggal, di mana permintaan diterima dengan keamatan λ = 1.2 permintaan sejam, masa perkhidmatan t obs = 2.5 jam. Kami mengira penunjuk perkhidmatan untuk QS satu saluran:

Keamatan beban.

ρ = λ t obs = 1.2 2.5 = 3

Keamatan beban ρ=3 menunjukkan tahap ketekalan aliran input dan output permintaan saluran perkhidmatan dan menentukan kestabilan sistem beratur.

t pr = 15 min.

Bahagian permohonan ditolak. p 1 = 1 - p 0 = 1 - 0.25 = 0.75

Ini bermakna 75% daripada permohonan yang diterima tidak diterima untuk perkhidmatan.

Bahagian permintaan perkhidmatan yang diterima setiap unit masa:

Daya pengeluaran mutlak.

A = Q λ = 0.25 1.2 = 0.3 aplikasi/min.

Purata masa henti QS.

t pr = p buka t obs = 0.75 2.5 = 1.88 min.

Purata bilangan permintaan yang disampaikan.

L obs = ρ Q = 3 0.25 = 0.75 unit

Bilangan permohonan ditolak dalam beberapa minit: λ p 1 = 0.9 permohonan seminit. Produktiviti nominal sistem: 1 / 2.5 = 0.4 aplikasi seminit. Prestasi sebenar SMO: 0.3 / 0.4 = 75% daripada kapasiti nominal.

Cm throughput mutlak. Contoh penyelesaian

Ke stesen Penyelenggaraan aliran mudah permintaan diterima dengan intensiti 1 kereta setiap 2 jam Tidak boleh ada lebih daripada 3 kereta dalam barisan di halaman. Masa pembaikan purata ialah 2 jam. Menilai prestasi CMO dan membangunkan cadangan untuk menambah baik perkhidmatan.

Penyelesaian: Tentukan jenis QS. Frasa "Ke stesen" bercakap tentang peranti perkhidmatan tunggal, i.e. untuk menyelesaikan kami menggunakan formula untuk QS saluran tunggal. Kami menentukan jenis QS saluran tunggal. Oleh kerana terdapat sebutan baris gilir, oleh itu kami memilih "QS saluran tunggal dengan panjang baris gilir terhad". Parameter λ mesti dinyatakan dalam jam. Keamatan penggunaan ialah 1 kereta setiap 2 jam atau 0.5 setiap 1 jam.

Keamatan aliran perkhidmatan μ tidak dinyatakan secara eksplisit. Masa perkhidmatan yang diberikan di sini ialah t obs = 2 jam.

Kami mengira penunjuk perkhidmatan untuk QS satu saluran:

Keamatan aliran perkhidmatan:

Keamatan beban.

ρ = λ t obs = 0.5 2 = 1

Keamatan beban ρ=1 menunjukkan tahap ketekalan aliran input dan output permintaan saluran perkhidmatan dan menentukan kestabilan sistem beratur.

Permohonan tidak ditolak. Semua permintaan yang diterima dilayan, p buka = ​​0.

Lebar Jalur Relatif.

Bahagian permintaan perkhidmatan yang diterima setiap unit masa: Q = 1 - p terbuka = ​​1 - 0 = 1

Akibatnya, 100% daripada permohonan yang diterima akan diservis. Tahap perkhidmatan yang boleh diterima hendaklah melebihi 90%.

Bilangan permohonan ditolak dalam masa sejam: λ p 1 = 0 permohonan sejam. Produktiviti nominal QS: 1 / 2 = 0.5 aplikasi sejam. Prestasi sebenar SMO: 0.5 / 0.5 = 100% daripada prestasi nominal.

Kesimpulan: stesen itu 100% dimuatkan. Dalam kes ini, tiada kegagalan diperhatikan.

QS dengan kegagalan (tunggal dan berbilang saluran)

Model saluran tunggal yang paling mudah dengan aliran input kebarangkalian dan prosedur perkhidmatan ialah model yang "boleh dicirikan oleh taburan eksponen bagi tempoh selang antara ketibaan permintaan dan pengedaran tempoh perkhidmatan." Dalam kes ini, ketumpatan pengedaran tempoh selang antara penerimaan permintaan mempunyai bentuk:

f 1 (t) = l*e (-l*t) , (1)

dengan l ialah keamatan aplikasi yang memasuki sistem (purata bilangan aplikasi yang memasuki sistem per unit masa). Ketumpatan pengedaran tempoh perkhidmatan:

f 2 (t)=µ*e -µ*t , µ=1/t rev, (2)

di mana µ ialah keamatan perkhidmatan, t tentang ialah purata masa perkhidmatan untuk satu pelanggan. Daya pemprosesan relatif permintaan perkhidmatan berbanding semua permintaan masuk dikira dengan formula:

Nilai ini adalah sama dengan kebarangkalian saluran perkhidmatan adalah percuma. Daya pemprosesan mutlak (A) ialah purata bilangan permintaan yang boleh dilayan oleh sistem beratur bagi setiap unit masa:

Nilai P ini boleh ditafsirkan sebagai bahagian purata aplikasi yang tidak disediakan.

Contoh. Biarkan QS satu saluran dengan kegagalan mewakili satu pos penyelenggaraan harian untuk mencuci kereta. Permohonan - kereta yang tiba pada masa jawatan itu diduduki - ditolak perkhidmatan. Keamatan aliran kereta l = 1.0 (kereta sejam). Purata tempoh perkhidmatan t kira-kira =1.8 jam. Ia diperlukan untuk menentukan nilai had berikut dalam keadaan mantap: pemprosesan relatif q;

• - kapasiti mutlak A;
• - kebarangkalian kegagalan P.

Mari kita tentukan keamatan aliran perkhidmatan menggunakan formula 2: Mari kita hitung daya pengeluaran relatif: q = Nilai q bermakna dalam keadaan mantap sistem akan melayani kira-kira 35% kereta yang tiba di pos. Kami menentukan daya pengeluaran mutlak menggunakan formula: A = lHq = 1H0.356 = 0.356. Ini menunjukkan bahawa sistem itu mampu melakukan purata 0.356 perkhidmatan kenderaan sejam. Kebarangkalian kegagalan: P tolak =1-q=1-0.356=0.644. Ini bermakna kira-kira 65% kenderaan yang tiba di pos EO akan dinafikan perkhidmatan. Mari kita tentukan kapasiti nominal sistem ini A nom: A nom = (kereta sejam).

Walau bagaimanapun, dalam kebanyakan kes, sistem baris gilir adalah berbilang saluran, iaitu, beberapa permintaan boleh disampaikan secara selari. Proses QS yang diterangkan oleh model ini dicirikan oleh keamatan aliran input l, manakala tidak lebih daripada n pelanggan boleh dilayan secara selari. Tempoh purata perkhidmatan satu permintaan ialah 1/m. “Mod pengendalian saluran servis tidak menjejaskan mod pengendalian saluran servis lain sistem, dan tempoh prosedur servis bagi setiap saluran adalah pembolehubah rawak tertakluk kepada undang-undang pengedaran eksponen. Matlamat utama menggunakan saluran perkhidmatan bersambung selari adalah untuk meningkatkan kelajuan permintaan servis dengan memberi perkhidmatan kepada pelanggan secara serentak.” Penyelesaian kepada sistem sedemikian ialah:

Formula untuk mengira kebarangkalian dipanggil formula Erlang. Mari kita tentukan ciri kebarangkalian fungsi QS berbilang saluran dengan kegagalan dalam mod pegun. Kebarangkalian kegagalan P gagal adalah sama dengan:

P buka =P n =*P 0 . (7)

Permohonan ditolak jika ia tiba pada masa semua saluran sibuk. Nilai P buka mencirikan kesempurnaan servis aliran masuk; kebarangkalian bahawa permintaan akan diterima untuk perkhidmatan (ia juga merupakan daya tampung relatif sistem) melengkapkan P menolak kepada satu:

Daya pengeluaran mutlak

Purata bilangan saluran yang diduduki oleh perkhidmatan () adalah seperti berikut:

Nilai itu mencirikan tahap beban sistem beratur. Contoh. Biarkan QS saluran-n menjadi pusat komputer dengan tiga (n=3) komputer boleh tukar ganti untuk menyelesaikan masalah yang datang. Aliran tugasan yang tiba di pusat komputer mempunyai keamatan l = 1 tugasan sejam. Purata tempoh perkhidmatan t kira-kira =1.8 jam.

Anda perlu mengira nilai:

• - kebarangkalian bilangan saluran CC yang diduduki;
• - kebarangkalian penolakan untuk menyampaikan permohonan;
• - kapasiti relatif pusat komputer;
• - kapasiti mutlak pusat komputer;
• - purata bilangan PC yang diduduki di pusat komputer.

Mari kita tentukan parameter aliran perkhidmatan:

Keamatan pengurangan aliran aplikasi:

Kami mencari kebarangkalian mengehadkan keadaan menggunakan formula Erlang:

Kebarangkalian penolakan untuk memberikan perkhidmatan aplikasi:

Kapasiti relatif CC:

Kapasiti mutlak CC:

Purata bilangan saluran yang diduduki - PC:

Oleh itu, di bawah mod operasi keadaan mantap QS, secara purata, 1.5 komputer daripada tiga akan diduduki - baki satu setengah akan terbiar. Daya pengeluaran pusat komputer untuk l dan m tertentu hanya boleh ditingkatkan dengan menambah bilangan komputer peribadi.

Model saluran tunggal yang paling mudah. Model sedemikian dengan aliran input kebarangkalian dan prosedur perkhidmatan ialah model yang dicirikan oleh taburan eksponen bagi kedua-dua tempoh selang antara ketibaan keperluan dan tempoh perkhidmatan. Dalam kes ini, ketumpatan pengedaran tempoh selang antara penerimaan permintaan mempunyai borang

(1)

di manakah keamatan aplikasi memasuki sistem.

Ketumpatan pengagihan tempoh perkhidmatan:

, (2)

di manakah intensiti perkhidmatan.

Aliran permintaan dan perkhidmatan adalah mudah.

Biarkan sistem berfungsi penolakan. Ia adalah perlu untuk menentukan daya pengeluaran mutlak dan relatif sistem.

Mari bayangkan sistem beratur ini dalam bentuk graf (Rajah 1), yang mempunyai dua keadaan:

S 0 - saluran percuma (menunggu);

S 1- saluran sibuk (permintaan sedang diservis).

nasi. 1. Nyatakan graf bagi QS satu saluran dengan kegagalan

Mari kita nyatakan kebarangkalian keadaan:

P 0 (t) - kebarangkalian keadaan "bebas saluran";

P 1 (t)- kebarangkalian keadaan "saluran sibuk".

Menggunakan graf keadaan bertanda (Rajah 1), kami mencipta sistem persamaan pembezaan Kolmogorov untuk kebarangkalian negeri:

(3)

Sistem persamaan pembezaan linear (3) mempunyai penyelesaian dengan mengambil kira keadaan normalisasi = 1. Penyelesaian sistem ini dipanggil tidak mantap, kerana ia secara langsung bergantung kepada t dan kelihatan seperti ini:

(4)

(5)

Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa untuk QS satu saluran dengan kegagalan kebarangkalian P 0 (t) tidak lebih daripada kapasiti relatif sistem q.

sungguh, P 0- kebarangkalian bahawa pada masa t saluran adalah percuma dan permintaan yang tiba pada masa t , akan disampaikan, dan oleh itu untuk pada saat ini masa t, nisbah purata bilangan permohonan yang disampaikan kepada bilangan yang diterima juga sama dengan , i.e.

q = . (6)

Selepas selang masa yang besar (), mod pegun (tetap) dicapai:

Mengetahui daya pengeluaran relatif, mudah untuk mencari yang mutlak. Daya pengeluaran mutlak (A)- bilangan purata yang sistem beratur boleh berkhidmat setiap unit masa:

Kebarangkalian penolakan untuk menyampaikan permintaan akan sama dengan kebarangkalian keadaan "saluran sibuk":

Nilai ini boleh ditafsirkan sebagai bahagian purata permohonan yang tidak dilayan dalam kalangan yang diserahkan.

Contoh 1. Biarkan QS satu saluran dengan kegagalan mewakili satu pos penyelenggaraan harian (DS) untuk mencuci kereta. Permohonan - kereta yang tiba pada masa jawatan itu diduduki - ditolak perkhidmatan. Kadar aliran kenderaan = 1.0 (kenderaan sejam). Tempoh purata perkhidmatan ialah 1.8 jam. Aliran kereta dan aliran servis adalah yang paling mudah.

Ia diperlukan untuk menentukan nilai had dalam keadaan mantap:

kapasiti relatif q;

daya pengeluaran mutlak A;

kebarangkalian kegagalan.

Bandingkan daya pengeluaran sebenar pusat servis dengan yang nominal, iaitu jika setiap kenderaan diservis selama 1.8 jam tepat dan kenderaan mengikut satu sama lain tanpa gangguan.

Penyelesaian

1. Mari tentukan keamatan aliran perkhidmatan:

2. Mari kita hitung daya pengeluaran relatif:

Magnitud q bermakna dalam keadaan mantap sistem akan memberi perkhidmatan kepada kira-kira 35% daripada kenderaan yang tiba di pos EO.

3. Daya pengeluaran mutlak ditentukan oleh formula:

1 0,356 = 0,356.

Ini bermakna sistem (EO post) mampu melakukan purata 0.356 perkhidmatan kenderaan sejam.

3. Kebarangkalian kegagalan:

Ini bermakna kira-kira 65% kenderaan yang tiba di pos EO akan dinafikan perkhidmatan.

4. Mari tentukan daya pengeluaran nominal sistem:

(kenderaan sejam).

Ternyata ia adalah 1.5 kali lebih banyak daripada daya pengeluaran sebenar, dikira dengan mengambil kira sifat rawak aliran permintaan dan masa perkhidmatan.

QS saluran tunggal dengan menunggu. Sistem beratur mempunyai satu saluran. Aliran masuk permintaan untuk perkhidmatan adalah aliran paling mudah dengan intensiti. Keamatan aliran perkhidmatan adalah sama (iaitu, secara purata, saluran yang sentiasa sibuk akan mengeluarkan permintaan yang diservis). Tempoh perkhidmatan - nilai rawak, tertakluk kepada undang-undang pengedaran eksponen. Aliran perkhidmatan ialah aliran peristiwa Poisson yang paling mudah. Permintaan yang diterima apabila saluran sibuk akan beratur dan menunggu perkhidmatan.

Mari kita anggap bahawa tidak kira berapa banyak permintaan yang tiba pada input sistem perkhidmatan, sistem ini(baris gilir + pelanggan yang dilayan) tidak boleh menampung lebih daripada N-keperluan (aplikasi), iaitu pelanggan yang tidak menunggu terpaksa dilayan di tempat lain. Akhir sekali, permintaan perkhidmatan penjanaan sumber mempunyai kapasiti tanpa had (besar tak terhingga).

Graf keadaan QS dalam kes ini mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. 2.

nasi. 2. Nyatakan graf bagi QS satu saluran dengan menunggu

(skim kematian dan pembiakan)

Negeri QS mempunyai tafsiran berikut:

S 0 - saluran adalah percuma;

S 1 - saluran sibuk (tiada giliran);

S 2 - saluran sibuk (satu permintaan berada dalam baris gilir);

……………………

S n - saluran sibuk (n - 1 permintaan berada dalam baris gilir);

…………………...

S N - saluran sedang sibuk (N- 1 aplikasi berada dalam baris gilir).

Proses pegun dalam sistem ini akan diterangkan sistem seterusnya persamaan algebra:

P- nombor status.

Penyelesaian kepada sistem persamaan (10) di atas untuk model QS kami mempunyai bentuk

(11)

Perlu diingatkan bahawa pemenuhan syarat pegun untuk QS tertentu tidak diperlukan, kerana bilangan permohonan yang diterima masuk ke dalam sistem penyajian dikawal dengan memperkenalkan had pada panjang giliran (yang tidak boleh melebihi N- 1), dan bukan nisbah antara keamatan aliran input, iaitu, bukan nisbah

Mari kita tentukan ciri-ciri QS satu saluran dengan menunggu dan panjang giliran terhad sama dengan (N- 1):

kebarangkalian penolakan untuk menyampaikan permohonan:

(13)

kapasiti sistem relatif:

(14)

daya pengeluaran mutlak:

A = q 𝝀; (15)

purata bilangan aplikasi dalam sistem:

(16)

Purata masa aplikasi kekal dalam sistem:

tempoh purata tinggal pelanggan (aplikasi) dalam baris gilir:

purata bilangan aplikasi (pelanggan) dalam baris gilir (panjang baris gilir):

Lq= (1 - P N)W q .(19)

Mari kita pertimbangkan contoh QS saluran tunggal dengan menunggu.

Contoh 2. Jawatan diagnostik khusus ialah QS satu saluran. Bilangan tempat letak kereta untuk kereta yang menunggu diagnostik adalah terhad dan bersamaan dengan 3 [ (N- 1) = 3]. Jika semua tempat letak kereta telah diduduki, iaitu, sudah ada tiga kereta dalam barisan, maka kereta seterusnya yang tiba untuk diagnostik tidak akan diletakkan dalam barisan untuk perkhidmatan. Aliran kereta yang tiba untuk diagnostik diedarkan mengikut undang-undang Poisson dan mempunyai keamatan 𝝀 = 0.85 (kereta sejam). Masa diagnostik kenderaan diagihkan mengikut undang-undang eksponen dan purata 1.05 jam.

Perlu menentukan ciri kebarangkalian stesen diagnostik yang beroperasi dalam mod pegun.

Penyelesaian

1. Parameter aliran perkhidmatan kereta:

.

2. Keamatan berkurangan aliran trafik ditakrifkan sebagai nisbah keamatan dan µ, i.e.

3. Mari kita hitung kebarangkalian akhir sistem:

4. Kebarangkalian kegagalan servis kereta:

5. Daya pengeluaran relatif stesen diagnostik:

6. Daya pengeluaran mutlak stesen diagnostik

A= 𝝀 q= 0.85 0.842 = 0.716 (kenderaan sejam).

7. Purata bilangan kereta yang diservis dan dalam baris gilir (iaitu dalam sistem baris gilir):

8. Purata masa kereta berada dalam sistem:

9. Purata tempoh masa permintaan kekal dalam baris gilir untuk perkhidmatan:

10. Purata bilangan aplikasi dalam baris gilir (panjang baris gilir):

Lq= (1 - P N)W q= 0,85 (1 - 0,158) 1,423 = 1,02.

Kerja jawatan diagnostik yang dipertimbangkan boleh dianggap memuaskan, kerana pos diagnostik tidak memberi perkhidmatan kepada kereta secara purata dalam 15.8% kes (R otk = 0.158).

QS saluran tunggal dengan menunggu tanpa had pada kapasiti blok menunggu(iaitu). Baki keadaan operasi QS kekal tidak berubah.

Mod pengendalian pegun QS ini wujud untuk sebarang n = 0, 1, 2,... dan apabila 𝝀< µ. Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при для любого P=0,1,2,…, mempunyai bentuk

Penyelesaian kepada sistem persamaan ini mempunyai bentuk

Ciri-ciri QS saluran tunggal dengan menunggu, tanpa sekatan pada panjang giliran, adalah seperti berikut:

purata bilangan pelanggan (permintaan) untuk perkhidmatan dalam sistem:

(22)

purata tempoh penginapan pelanggan dalam sistem:

(23)

purata bilangan pelanggan dalam baris gilir untuk perkhidmatan:

Purata tempoh masa yang pelanggan habiskan dalam baris gilir:

Contoh 3. Mari kita ingat situasi yang dipertimbangkan dalam contoh 2, di mana kita bercakap tentang fungsi jawatan diagnostik. Biarkan pos diagnostik yang dipersoalkan mempunyai bilangan tempat letak kereta yang tidak terhad untuk kereta yang tiba untuk perkhidmatan, iaitu, panjang baris gilir adalah tidak terhad.

Ia diperlukan untuk menentukan nilai akhir ciri-ciri kebarangkalian berikut:

Kebarangkalian keadaan sistem (stesen diagnostik);

Purata bilangan kereta dalam sistem (dalam perkhidmatan dan dalam baris gilir);

Tempoh purata kenderaan berada dalam sistem (untuk perkhidmatan dan dalam baris gilir);

Purata bilangan kereta dalam barisan untuk servis;

4. Tempoh purata penginapan pelanggan dalam sistem:

5. Purata bilangan kereta dalam baris gilir untuk servis:

6. Purata tempoh masa yang dihabiskan oleh kereta dalam baris gilir:

7. Daya tampung sistem relatif:

iaitu, setiap aplikasi yang masuk ke dalam sistem akan diservis.

8 . Daya pengeluaran mutlak:

A= q = 0,85 1 = 0,85.

Perlu diingatkan bahawa syarikat yang mendiagnosis kereta amat berminat dengan bilangan pelanggan yang akan melawat pos diagnostik apabila sekatan pada panjang giliran ditarik balik.

Katakan dalam versi asal bilangan tempat letak kereta untuk kereta tiba adalah sama dengan tiga (lihat contoh 2). Kekerapan T situasi timbul apabila kereta yang tiba di pos diagnostik tidak dapat menyertai baris gilir:

T= λP N .

Dalam contoh kita, dengan N=3 + 1= 4 dan ρ = 0.893,

t = λ P 0ρ 4 = 0.85 0.248 0.8934 = 0.134 kereta sejam.

Dengan mod operasi 12 jam stesen diagnostik, ini bersamaan dengan fakta bahawa stesen diagnostik akan kehilangan 12 0.134 = 1.6 kereta secara purata setiap syif (hari).

Mengalih keluar sekatan pada panjang baris gilir membolehkan kami meningkatkan bilangan pelanggan yang dilayan dalam contoh kami dengan purata 1.6 kereta setiap syif (12 jam bekerja) di stesen diagnostik. Jelas keputusan untuk memperluaskan kawasan parkir kenderaan yang tiba di stesen diagnostik mestilah berdasarkan penilaian terhadap kerosakan ekonomi yang berpunca daripada kehilangan pelanggan apabila hanya terdapat tiga tempat letak kenderaan bagi kenderaan tersebut.

Maklumat berkaitan.

Daya pengeluaran mutlak mencirikan keamatan aliran keluar aplikasi yang diservis.

Contoh. Stesen servis menerima aliran permintaan yang mudah dengan intensiti 1 kereta setiap 2 jam Tidak boleh ada lebih daripada 3 kereta dalam barisan di halaman. Masa pembaikan purata ialah 2 jam. Menilai prestasi CMO dan membangunkan cadangan untuk menambah baik perkhidmatan.

Penyelesaian:
Tentukan jenis QS. Frasa "Ke stesen" bercakap tentang peranti perkhidmatan tunggal, i.e. Untuk menyemak penyelesaian, kami menggunakan perkhidmatan Perkhidmatan Pertanyaan Saluran Tunggal.
Kami menentukan jenis QS saluran tunggal. Memandangkan terdapat sebutan baris gilir, oleh itu kami memilih "QS saluran tunggal dengan panjang baris gilir terhad".
Parameter λ mesti dinyatakan dalam jam. Keamatan penggunaan ialah 1 kereta setiap 2 jam atau 0.5 setiap 1 jam.
Keamatan aliran perkhidmatan μ tidak dinyatakan secara eksplisit. Masa perkhidmatan yang diberikan di sini ialah t obs = 2 jam.

Kami mengira penunjuk perkhidmatan untuk QS satu saluran:
Keamatan aliran perkhidmatan:

1. Keamatan beban.
ρ = λ t obs = 0.5 2 = 1
Keamatan beban ρ=1 menunjukkan tahap ketekalan aliran input dan output permintaan saluran perkhidmatan dan menentukan kestabilan sistem beratur.

3. Kebarangkalian saluran itu percuma(perkadaran masa henti saluran).


Akibatnya, 20% saluran akan melahu dalam masa sejam, masa melahu adalah sama dengan t pr = 12 minit.

4. Bahagian permohonan ditolak.
Permohonan tidak ditolak. Semua permintaan yang diterima dilayan, p buka = ​​0.

5. Daya pengeluaran relatif.
Bahagian permintaan perkhidmatan yang diterima setiap unit masa:
Q = 1 - p terbuka = ​​1 - 0 = 1
Akibatnya, 100% daripada permohonan yang diterima akan diservis. Tahap perkhidmatan yang boleh diterima hendaklah melebihi 90%.

6. Daya pengeluaran mutlak.
A = Q λ = 1 0.5 = 0.5 permintaan/jam.

8. Purata bilangan permohonan dalam baris gilir(purata panjang giliran).

unit

9. Purata masa henti QS(purata masa menunggu untuk permohonan disampaikan dalam baris gilir).
jam.

10. Purata bilangan permohonan yang disampaikan.
L obs = ρ Q = 1 1 = 1 unit.

12. Purata bilangan aplikasi dalam sistem.
L CMO = L och + L obs = 1.2 + 1 = 2.2 unit.

13. Purata masa permohonan kekal dalam CMO.
jam.

Bilangan permohonan ditolak dalam masa sejam: λ p 1 = 0 permohonan sejam.
Produktiviti nominal QS: 1 / 2 = 0.5 aplikasi sejam.
Prestasi sebenar SMO: 0.5 / 0.5 = 100% daripada prestasi nominal.

Kesimpulan: stesen itu 100% dimuatkan. Dalam kes ini, tiada kegagalan diperhatikan.

Sebagai penunjuk keberkesanan QS dengan kegagalan, kami akan mempertimbangkan:

1) A - kapasiti mutlak QS, iaitu purata bilangan permohonan disampaikan setiap unit masa;

2) Q - daya pengeluaran relatif, iaitu bahagian purata aplikasi masuk yang diservis oleh sistem;

3) P_(\text(otk)) - kebarangkalian kegagalan, iaitu bahawa permohonan itu akan membiarkan QS tidak dilayan;

4) \overline(k) - purata bilangan saluran yang sibuk(untuk sistem berbilang saluran).

Sistem saluran tunggal (SMS) dengan kegagalan

Mari kita pertimbangkan masalahnya. Terdapat satu saluran yang menerima aliran permintaan dengan intensiti \lambda. Aliran perkhidmatan mempunyai keamatan \mu . Cari kebarangkalian mengehadkan keadaan sistem dan penunjuk kecekapannya.

Catatan. Di sini dan dalam perkara berikut, diandaikan bahawa semua aliran peristiwa yang memindahkan QS dari negeri ke negeri akan menjadi yang paling mudah. Ini juga termasuk aliran perkhidmatan - aliran permintaan yang disampaikan oleh satu saluran yang sentiasa sibuk. Purata masa perkhidmatan adalah secara songsang berdasarkan nilai keamatan \mu, i.e. \overline(t)_(\text(ob.))=1/\mu.

Sistem S (SMO) mempunyai dua keadaan: S_0 - saluran adalah percuma, S_1 - saluran sibuk. Graf keadaan berlabel ditunjukkan dalam Rajah. 6.

Dalam mod pegun mengehadkan, sistem persamaan algebra untuk kebarangkalian keadaan mempunyai bentuk (lihat di atas untuk peraturan untuk mengarang persamaan tersebut)

\begin(cases)\lambda\cdot p_0=\mu\cdot p_1,\\\mu\cdot p_1=\lambda\cdot p_0,\end(cases)

mereka. sistem merosot kepada satu persamaan. Dengan mengambil kira keadaan normalisasi p_0+p_1=1, kita dapati daripada (18) kebarangkalian mengehadkan keadaan

P_0=\frac(\mu)(\lambda+\mu),\quad p_1=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,

yang menyatakan purata masa relatif sistem kekal dalam keadaan S_0 (apabila saluran bebas) dan S_1 (apabila saluran sibuk), i.e. tentukan, masing-masing, kapasiti relatif Q sistem dan kebarangkalian kegagalan P_(\text(otk)):

Q=\frac(\mu)(\lambda+\mu)\,

P_(\text(otk))=\frac(\lambda)(\lambda+\mu)\,.

Kami mencari daya tampung mutlak dengan mendarabkan daya tampung relatif Q dengan keamatan aliran kegagalan

A=\frac(\lambda\mu)(\lambda+\mu)\,.

Contoh 5. Adalah diketahui bahawa permintaan untuk perbualan telefon di studio televisyen diterima dengan keamatan \lambda bersamaan dengan 90 permintaan sejam, dan purata tempoh perbualan telefon ialah min. Tentukan penunjuk prestasi QS (komunikasi telefon) dengan satu nombor telefon.

Penyelesaian. Kami mempunyai \lambda=90 (1/j), \overline(t)_(\text(ob.))=2 min. Kadar aliran perkhidmatan \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(2)=0,\!5(1/min) =30 (1/j). Menurut (20), kapasiti relatif QS Q=\frac(30)(90+30)=0,\!25, iaitu secara purata, hanya 25% daripada permohonan masuk akan dirundingkan melalui telefon. Sehubungan itu, kebarangkalian penafian perkhidmatan akan menjadi P_(\text(otk))=0,\!75(lihat (21)). Daya pengeluaran mutlak QS mengikut (29) A=90\cdot0.\!25=22,\!5, iaitu Secara purata, 22.5 permintaan untuk rundingan akan dilayan setiap jam. Jelas sekali, jika hanya ada satu nombor telefon, CMO tidak akan menangani aliran aplikasi dengan baik.

Sistem berbilang saluran (MSS) dengan kegagalan

Mari kita pertimbangkan klasik masalah Erlang. Terdapat n saluran yang menerima aliran permintaan dengan intensiti \lambda. Aliran perkhidmatan mempunyai keamatan \mu . Cari kebarangkalian mengehadkan keadaan sistem dan penunjuk kecekapannya.

Sistem S (SMO) mempunyai keadaan berikut (kami menomborkannya mengikut bilangan aplikasi dalam sistem): S_0,S_1,S_2,\ldots,S_k,\ldots,S_n, di mana S_k ialah keadaan sistem apabila terdapat k aplikasi di dalamnya, i.e. k saluran telah diduduki.

Graf keadaan QS sepadan dengan proses kematian dan pembiakan dan ditunjukkan dalam Rajah. 7.

Aliran permintaan memindahkan sistem secara berurutan dari mana-mana keadaan kiri ke keadaan kanan bersebelahan dengan keamatan \lambda yang sama. Keamatan aliran perkhidmatan yang memindahkan sistem dari mana-mana keadaan kanan ke keadaan kiri bersebelahan sentiasa berubah bergantung pada keadaan. Sesungguhnya, jika QS berada dalam keadaan S_2 (dua saluran sibuk), maka ia boleh pergi ke keadaan S_1 (satu saluran sibuk) apabila saluran pertama atau kedua selesai diservis, i.e. jumlah keamatan aliran perkhidmatan mereka ialah 2\mu. Begitu juga, jumlah aliran perkhidmatan yang memindahkan QS dari keadaan S_3 (tiga saluran sibuk) ke S_2 akan mempunyai keamatan 3\mu, i.e. mana-mana daripada tiga saluran boleh menjadi percuma, dsb.

Dalam formula (16) untuk skim kematian dan pembiakan kita peroleh untuk kebarangkalian mengehadkan keadaan

P_0=(\kiri(1+ \frac(\lambda)(\mu)+ \frac(\lambda^2)(2!\mu^2)+\ldots+\frac(\lambda^k)(k!\ mu^k)+\ldots+ \frac(\lambda^n)(n!\mu^n)\kanan)\^{-1}, !}

di manakah istilah pengembangan \frac(\lambda)(\mu),\,\frac(\lambda^2)(2!\mu^2),\,\ldots,\,\frac(\lambda^k)(k!\mu ^k),\,\ldots,\, \frac(\lambda^n)(n!\mu^n), akan mewakili pekali untuk p_0 dalam ungkapan untuk kebarangkalian marginal p_1,p_2,\ldots,p_k,\ldots,p_n. Magnitud

\rho=\frac(\lambda)(\mu)

dipanggil diberikan keamatan aliran aplikasi atau keamatan beban saluran. Ia menyatakan purata bilangan permintaan yang diterima semasa purata masa melayani satu permintaan. Sekarang

P_0=(\left(1+\rho+\frac(\rho^2)(2+\ldots+\frac{\rho^k}{k!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}\right)\!}^{-1}, !}

P_1=\rho\cdot p,\quad p_2=\frac(\rho^2)(2\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_k=\frac{\rho^k}{k!}\cdot p_0,\quad \ldots,\quad p_n=\frac{\rho^n}{n!}\cdot p_0. !}

Formula (25) dan (26) untuk kebarangkalian mengehad dipanggil formula Erlang sebagai penghormatan kepada pengasas teori beratur.

Kebarangkalian kegagalan QS ialah kebarangkalian maksimum bahawa semua saluran i sistem akan sibuk, i.e.

P_(\text(otk))= \frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Daya pengeluaran relatif - kebarangkalian bahawa permintaan akan disampaikan:

Q=1- P_(\text(otk))=1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0. !}

Daya pengeluaran mutlak:

A=\lambda\cdot Q=\lambda\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Purata bilangan saluran yang diduduki \overline(k) ialah nilai yang dijangkakan bilangan saluran yang sibuk:

\overline(k)=\sum_(k=0)^(n)(k\cdot p_k),

dengan p_k ialah kebarangkalian menghadkan keadaan yang ditentukan oleh formula (25), (26).

Walau bagaimanapun, purata bilangan saluran yang diduduki boleh didapati dengan lebih mudah jika kita menganggap bahawa kapasiti mutlak sistem A tidak lebih daripada keamatan. aliran yang dihidangkan sistem aplikasi (seunit masa). Memandangkan setiap saluran sibuk melayani secara purata \mu permintaan (seunit masa), maka purata bilangan saluran sibuk

\overline(k)=\frac(A)(\mu)

Atau, diberikan (29), (24):

\overline(k)=\rho\cdot\left(1-\frac(\rho^n)(n\cdot p_0\right)\!. !}

Contoh 6. Dalam syarat contoh 5, tentukan bilangan nombor telefon yang optimum dalam studio televisyen, jika keadaan optimum dianggap sebagai kepuasan purata sekurang-kurangnya 90 permintaan untuk rundingan daripada setiap 100 permintaan.

Penyelesaian. Keamatan beban saluran mengikut formula (25) \rho=\frac(90)(30)=3, iaitu dalam masa purata (dalam tempoh) perbualan telefon \overline(t)_(\text(ob.))=2 min. Purata 3 permintaan untuk rundingan diterima.

Kami akan menambah bilangan saluran (nombor telefon) n=2,3,4,\ldots secara beransur-ansur dan menentukan ciri perkhidmatan untuk QS saluran-n yang terhasil menggunakan formula (25), (28), (29). Sebagai contoh, dengan n=2 kita ada

З_0=(\left(1+3+ \frac(3^2)(2\right)\!}^{-1}=0,\!118\approx0,\!12;\quad Q=1-\frac{3^2}{2!}\cdot0,\!118=0,\!471\approx0,\!47;\quad A=90\cdot0,\!471=42,\!4 !} dan lain-lain.

Kami meringkaskan nilai ciri-ciri QS dalam Jadual. 1.

Mengikut keadaan optimum Q\geqslant0,\!9, oleh itu, adalah perlu untuk memasang 5 nombor telefon di studio televisyen (dalam kes ini, Q = 0,\!9 - lihat Jadual 1). Dalam kes ini, purata 80 permintaan (A=80,\!1) akan diservis setiap jam dan purata bilangan nombor telefon (saluran) yang diduduki mengikut formula (30) \overline(k)=\frac(80,\!1)(30)=2,\!67.

Contoh 7. Pusat pengkomputeran berkongsi dengan tiga komputer menerima pesanan daripada perusahaan untuk kerja pengkomputeran. Jika ketiga-tiga komputer berfungsi, maka pesanan yang baru diterima tidak diterima, dan perusahaan terpaksa menghubungi pusat komputer lain. Purata masa kerja dengan satu pesanan ialah 3 jam Keamatan aliran permohonan ialah 0.25 (1/jam). Cari kebarangkalian mengehadkan keadaan dan penunjuk prestasi pusat komputer.

Penyelesaian. Dengan syarat n=3,~\lambda=0,\!25(1/j), \overline(t)_(\text(ob.))=3 (j). Kadar aliran perkhidmatan \mu=\frac(1)(\overline(t)_(\text(ob.)))=\frac(1)(3)=0,\!33. Keamatan beban komputer mengikut formula (24) \rho=\frac(0,\!25)(0,\!33)=0,\!75. Mari kita cari kebarangkalian mengehadkan keadaan:

– mengikut formula (25) p_0=(\kiri(1+0,\!75+ \frac(0,\!75^2)(2)+ \frac{0,\!75^3}{3!}\right)\!}^{-1}=0,\!476 !};

– mengikut formula (26) p_1=0,!75\cdot0,\!476=0,\!357;~p_2=\frac(0,\!75^2)(2\cdot0,\!476=0,\!134;~p_3=\frac{0,\!75^3}{3!}\cdot0,\!476=0,\!033 !};

mereka. dalam mod operasi pegun pusat komputer, secara purata 47.6% daripada masa tidak ada permintaan, 35.7% - terdapat satu permintaan (satu komputer diduduki), 13.4% - dua permintaan (dua komputer), 3.3% daripada masa - tiga permintaan (tiga komputer diduduki).

Kebarangkalian kegagalan (apabila ketiga-tiga komputer sibuk) adalah demikian P_(\text(otk))=p_3=0,\!033.

Menurut formula (28), kapasiti relatif pusat Q=1-0,\!033=0,\!967, iaitu Secara purata, daripada setiap 100 permintaan, pusat komputer menyediakan 96.7 permintaan.

Menurut formula (29), kapasiti mutlak pusat A=0,\!25\cdot0,\!967=0,\!242, iaitu secara purata dihidangkan dalam satu jam. 0.242 permohonan.

Mengikut formula (30), purata bilangan komputer yang diduduki \overline(k)=\frac(0,\!242)(0,\!33)=0,\!725, iaitu setiap satu daripada tiga komputer akan sibuk melayani permintaan secara purata untuk sahaja \frac(72,\!5)(3)= 24,\!2%..

Apabila menilai kecekapan pusat komputer, adalah perlu untuk membandingkan pendapatan daripada pelaksanaan permintaan dengan kerugian daripada masa henti komputer yang mahal (dalam satu tangan, kami mempunyai daya pengeluaran QS yang tinggi, dan sebaliknya , terdapat masa henti yang ketara bagi saluran perkhidmatan) dan pilih penyelesaian kompromi.

Javascript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk melakukan pengiraan, anda mesti mendayakan kawalan ActiveX!