Rumah Kaviti oral Pengiraan laluan yang dilalui oleh satu titik.

Kaviti oral

Pengiraan laluan yang dilalui oleh satu titik.

Masalah 1.6. Cari secara grafik anjakan dan laluan yang dilalui t 1 = 5 dengan titik material yang pergerakannya sepanjang paksi OH diterangkan oleh persamaan X = 6 – 4t + t 2, di mana semua kuantiti dinyatakan dalam unit SI.

Penyelesaian. Dalam masalah 1.5 kami mendapati (4) unjuran halaju ke paksi OH:

Graf kelajuan yang sepadan dengan ungkapan ini ditunjukkan dalam Rajah 1.6. Unjuran pergerakan ke atas paksi OH sama dengan hasil tambah algebra bagi luas segi tiga AOB Dan BCD. Oleh kerana unjuran halaju dalam bahagian pertama adalah negatif, luas segi tiga AOB ambil dengan tanda tolak; dan unjuran halaju dalam bahagian kedua adalah positif, kemudian luas segi tiga BCD ambil dengan tanda tambah:

Oleh kerana laluan adalah panjang trajektori dan tidak boleh berkurangan, untuk mencarinya, kami menambah kawasan segitiga ini, sambil mempertimbangkan sebagai positif kawasan bukan sahaja segitiga BCD, tetapi juga segi tiga AOB:

Terdahulu (lihat masalah 1.5) kami menemui laluan ini dengan cara yang berbeza - secara analitikal.

Masalah 1.7. Dalam Rajah. 1.7, a menunjukkan graf kebergantungan koordinat beberapa jasad yang bergerak secara rectilinear di sepanjang paksi OH, dari masa. Bahagian melengkung graf adalah bahagian parabola. Lukiskan graf kelajuan dan pecutan berbanding masa.

Penyelesaian. Untuk membina graf kelajuan dan pecutan, kami tetapkan mengikut graf ini (Rajah 1.7, A) sifat pergerakan badan pada tempoh masa yang berbeza.

Dalam selang 0 – t 1 graf koordinat ialah sebahagian daripada parabola, yang cawangannya menghala ke atas. Oleh itu, dalam Pers.

meluahkan dalam Pandangan umum menyelaras pergantungan X dari masa t, pekali sebelum t 2 adalah positif, i.e. A x > 0. Dan oleh kerana parabola dianjak ke kanan, ini bermakna v 0x < 0, т.е. тело имело начальную скорость, направленную противоположно направлению оси ОХ. В течение промежутка 0 – t 1 modul halaju badan mula-mula menurun kepada sifar, dan kemudian kelajuan menukar arah ke arah yang bertentangan dan modulnya meningkat kepada nilai tertentu v 1 . Graf kelajuan dalam bahagian ini ialah segmen garis lurus yang melalui sudut tertentu kepada paksi t(Gamb. 1.7, b), dan graf pecutan ialah segmen garis lurus mendatar yang terletak di atas paksi masa (Rajah 1.7, V). Puncak parabola dalam Rajah. 1.7, A sepadan dengan nilai v 0x= 0 dalam Rajah. 1.7, b.

Buat sementara t 1 – t 2 badan bergerak seragam dengan laju v 1 .

Buat sementara t 2 – t graf koordinat 3 ialah sebahagian daripada parabola yang cawangannya menghala ke bawah. Oleh itu, di sini a x < 0, скорость тела убывает до нуля к моменту времени t 3, dan untuk sementara waktu t 3 – t 4 badan sedang berehat. Kemudian dalam satu tempoh masa t 4 – t 5 jasad bergerak seragam dengan laju v 2 dalam sisi terbalik. Pada satu ketika dalam masa t 5 ia mencapai titik asal dan berhenti.

Dengan mengambil kira sifat pergerakan badan, kami akan membina graf yang sepadan bagi unjuran halaju dan pecutan (Rajah 1.7, b, c).

Masalah 1.8. Biarkan graf kelajuan mempunyai bentuk yang ditunjukkan dalam Rajah. 1.8. Berdasarkan graf ini, lukis graf laluan lawan masa.

Penyelesaian. Mari kita bahagikan keseluruhan tempoh masa yang dipertimbangkan kepada tiga bahagian: 1, 2, 3. Dalam bahagian 1, badan bergerak secara seragam dipercepatkan tanpa kelajuan awal. Formula laluan untuk bahagian ini mempunyai bentuk

di mana A- pecutan badan.

Pecutan ialah nisbah perubahan kelajuan kepada tempoh masa semasa perubahan ini berlaku. Ia sama dengan nisbah segmen.

Dalam bahagian 2 badan bergerak secara seragam dengan laju v diperoleh pada akhir bahagian 1. Pergerakan seragam tidak bermula pada detik permulaan masa, dan pada masa ini t 1 . Pada ketika ini, badan telah melepasi laluan. Kebergantungan laluan pada masa untuk bahagian 2 mempunyai bentuk berikut:

Dalam bahagian 3 pergerakannya adalah perlahan. Formula laluan untuk bahagian ini adalah seperti berikut:

di mana A 1 – pecutan dalam bahagian 3. Ia adalah separuh daripada pecutan A pada bahagian 1, kerana seksyen 3 adalah dua kali lebih panjang daripada seksyen 1.

Mari buat kesimpulan. Dalam bahagian 1, graf laluan kelihatan seperti parabola, dalam bahagian 2 - garis lurus, dalam bahagian 3 - juga parabola, tetapi terbalik (dengan cembung menghala ke atas) (lihat Rajah 1.9).

Graf laluan tidak sepatutnya mempunyai kekusutan; ia digambarkan sebagai garis licin, iaitu, parabola dikonjugasikan dengan garis lurus. Ini dijelaskan oleh fakta bahawa tangen sudut kecondongan tangen kepada paksi masa menentukan nilai kelajuan pada saat masa. t, iaitu Dengan cerun tangen kepada graf laluan, anda boleh mencari kelajuan badan pada satu masa atau yang lain. Dan oleh kerana graf kelajuan adalah berterusan, maka graf laluan tidak mempunyai patah.

Di samping itu, puncak parabola terbalik mesti sepadan dengan momen dalam masa t 3. Bucu parabola mesti sepadan dengan momen 0 dan t 3, kerana pada saat ini kelajuan badan adalah sifar dan laluan tangen kepada graf mestilah mendatar untuk titik-titik ini.

Laluan yang dilalui oleh badan dalam masa t 2, secara berangka sama dengan luas angka OABG, dibentuk oleh graf halaju pada selang daripada 2 .

Masalah 1.9. Dalam Rajah. Rajah 1.10 menunjukkan graf unjuran halaju beberapa jasad yang bergerak secara rectilinear di sepanjang paksi. OH, dari masa. Bina graf pecutan, kedudukan dan laluan lawan masa. Pada saat awal masa badan berada di titik X 0 = –3 m. Semua nilai diberikan dalam unit SI.

Penyelesaian. Untuk merancang pergantungan pecutan a x(t), kami akan tentukan mengikut jadual v x(t) sifat pergerakan badan pada tempoh masa yang berbeza. Marilah kita ingat bahawa mengikut definisi

di manakah unjuran halaju , .

Dalam selang masa c:

Dalam bahagian ini dan (tanda-tanda adalah sama), i.e. badan bergerak dengan pecutan seragam.

Dalam selang masa c:

mereka. dan (tanda unjuran bertentangan) – pergerakannya sama perlahan.

Dalam bahagian c unjuran halaju, i.e. pergerakan berlaku dalam arah positif paksi OH.

Dalam bahagian c, unjuran halaju ialah jasad dalam keadaan rehat (dan ).

Pada bahagian c:

Dan (tanda-tandanya sama) - pergerakan dipercepatkan secara seragam, tetapi sejak itu , kemudian badan bergerak melawan paksi OH.

Selepas saat keenam, badan bergerak secara seragam () melawan paksi OH. kelihatan seperti ditunjukkan dalam Rajah. 1.11, G.

Mari kita pertimbangkan untuk menyelesaikan masalah berikut.

1. Nadi semasa melalui kawasan badan haiwan, yang berubah mengikut masa mengikut undang-undang mA. Tempoh nadi 0.1 s. Tentukan kerja yang dilakukan oleh arus pada masa ini jika rintangan bahagian ialah 20 kOhm.

Dalam selang masa yang singkat d t, apabila arus secara praktikal tidak berubah, merentasi rintangan R kerja dah siap. Semasa keseluruhan nadi, kerja akan dilakukan

Menggantikan nilai semasa ke dalam ungkapan yang terhasil, kami memperoleh.

2. Kelajuan titik ialah (Cik). Cari jalan S dilalui oleh satu titik masa t=4s berlalu dari permulaan pergerakan.

Mari cari laluan yang dilalui oleh satu titik dalam tempoh masa yang tidak terhingga. Oleh kerana pada masa ini kelajuan boleh dianggap tetap, maka . Mengintegrasikan, kita ada

3. Cari daya tekanan bendalir pada plat segi tiga menegak dengan tapak a dan ketinggian h direndam dalam cecair supaya bahagian atasnya terletak di permukaan.

Kami akan meletakkan sistem koordinat seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 5.

Pertimbangkan jalur ketebalan tak terhingga mendatar d x, terletak pada kedalaman sewenang-wenangnya x. Mengambil jalur ini sebagai segi empat tepat, kami dapati tapaknya E.F.. Daripada persamaan segi tiga ABC Dan AEF kita mendapatkan

Kemudian kawasan jalur adalah

Sejak kekuatan P tekanan bendalir pada platform S, kedalaman rendaman yang r, mengikut undang-undang Pascal adalah sama dengan

di mana r ialah ketumpatan cecair, g- pecutan graviti, maka daya tekanan yang dikehendaki pada kawasan yang dipertimbangkan d S dikira dengan formula

Oleh itu, daya tekanan P cecair pada platform ABC

Selesaikan masalah.

5.41 Kelajuan sesuatu titik ditentukan oleh persamaan cm/s. Cari laluan yang dilalui oleh satu titik dalam masa t=5s berlalu dari permulaan pergerakan.

5.42 Kelajuan jasad dinyatakan dengan formula m/s. Cari laluan yang dilalui oleh badan dalam tiga saat pertama selepas permulaan pergerakan.

5.43 Kelajuan jasad ditentukan oleh persamaan cm/s. Arah mana badan akan berlalu pada saat ketiga pergerakan?

5.44 Dua jasad mula bergerak serentak dari titik yang sama: satu dengan kelajuan (m/min), dan satu lagi dengan kelajuan (m/min). Berapakah jarak antara satu sama lain selepas 10 minit jika mereka bergerak di sepanjang garisan yang sama dalam arah yang sama?

5.45 Jasad berjisim 5 g bergerak dalam garis lurus ditindak oleh daya (dyne). Cari jarak yang dilalui oleh badan semasa pergerakan saat ketiga.

5.46 Kelajuan titik ayunan berubah mengikut undang-undang (sm/s). Tentukan sesaran titik 0.1 s selepas permulaan pergerakan.

5.47 Berapakah kerja yang perlu dilakukan untuk meregang spring sebanyak 0.06 m jika daya 1 N meregangkannya sebanyak 0.01 m?

5.48 Kelajuan titik ayunan berubah mengikut undang-undang (Cik). Tentukan jarak yang dilalui oleh titik untuk s dari permulaan pergerakan.

5.49 Nitrogen, yang jisimnya ialah 7 g, mengembang pada suhu malar 300°K supaya isipadunya menjadi dua kali ganda. Tentukan kerja yang dilakukan oleh gas. Pemalar gas sejagat J/kmol.

5.50 Berapakah kerja yang perlu dilakukan untuk meregangkan spring 25 cm panjang kepada panjang 35 cm, jika diketahui bahawa pekali kekakuan spring ialah 400 N/m?

5.51 Nadi semasa melalui badan haiwan, yang berubah mengikut masa mengikut undang-undang (mA). Tempoh nadi ialah 0.1s. Tentukan cas yang mengalir melalui badan haiwan itu.

5.52 Apakah kerja yang dilakukan apabila otot diregangkan? l mm, jika ia diketahui bahawa di bawah beban P 0 otot diregangkan oleh l 0 mm? Andaikan bahawa daya yang diperlukan untuk meregangkan otot adalah berkadar dengan pemanjangannya.

5.53 Jasad bergerak dalam medium tertentu secara rectilinear mengikut undang-undang. Rintangan medium adalah berkadar dengan kuasa dua kelajuan. Cari kerja yang dilakukan oleh daya rintangan medium apabila jasad bergerak dari S=0 hingga S=a meter.

di mana x Dan y– dalam cm, a t- di dalam kampung Tentukan trajektori sesuatu titik, kelajuan dan pecutan pada saat-saat masa t 0 =0 s, t 1 =1 s Dan t 2 =5 s, serta laluan yang dilalui oleh titik dalam 5 s.

Penyelesaian

Pengiraan trajektori

Kami menentukan trajektori titik. Kami mendarabkan persamaan yang pertama dengan 3, yang kedua dengan (-4), dan kemudian menambah sisi kiri dan kanannya:

3x=6t 2 +6
-4y=-6t 2 -4
————
3x-4y=2

Hasilnya ialah persamaan darjah pertama - persamaan garis lurus, yang bermaksud pergerakan titik adalah rectilinear (Rajah 1.5).

Untuk menentukan koordinat kedudukan awal titik A 0, kita menggantikan nilai-nilai ke dalam persamaan yang diberikan t 0 =0; daripada persamaan pertama yang kita dapat x 0 =2 cm, dari yang kedua y 0 =1 cm. Untuk mana-mana nilai lain bagi t, koordinat x dan y bagi titik bergerak hanya meningkat, jadi trajektori titik ialah setengah garis 3x-4y=2 dengan permulaan di titik A 0 (2; 1).

Rajah 1.5

Pengiraan kelajuan

Kami menentukan dengan terlebih dahulu mencari unjurannya pada paksi koordinat:

Pada t 0 =0s kelajuan mata v 0 =0, pada t 1 =1s – v 1 =5 cm/s, pada t 2 =5s – v 2 =25sm/s.

Pengiraan pecutan

Tentukan pecutan titik. Unjurannya pada paksi koordinat:

Unjuran pecutan tidak bergantung pada masa pergerakan,

mereka. gerakan titik dipercepatkan secara seragam, halaju dan vektor pecutan bertepatan dengan trajektori titik dan diarahkan sepanjangnya.

Sebaliknya, oleh kerana gerakan titik adalah rectilinear, modulus pecutan boleh ditentukan dengan membezakan secara langsung persamaan halaju.

EN 01 MATEMATIK

Koleksi tugasan untuk kerja bebas ekstrakurikuler mengenai topik: "Aplikasi kamiran pasti untuk menyelesaikan masalah fizikal."

untuk kepakaran:

100126 Rumah dan utiliti

Vologda 2013

Matematik: Koleksi tugasan untuk kerja bebas ekstrakurikuler mengenai topik: "Penggunaan kamiran yang pasti untuk menyelesaikan masalah fizikal" untuk kepakaran: 100126 Perkhidmatan isi rumah dan utiliti

Koleksi tugasan untuk kerja bebas ekstrakurikuler mengenai topik: "Aplikasi kamiran pasti untuk menyelesaikan masalah fizikal" adalah alat bantu mengajar mengenai penganjuran bebas kerja ekstrakurikuler pelajar.

Mengandungi tugas untuk kerja ekstrakurikuler bebas untuk enam pilihan dan kriteria untuk menilai penyiapan kerja bebas.

Kit ini direka untuk membantu pelajar mensistematikkan dan menyatukan bahan teori yang diperolehi dalam matematik bilik darjah dan membangunkan kemahiran praktikal.

Disusun oleh: E. A. Sevaleva – guru matematik kategori tertinggi BOU SPO VO "Vologda Kolej Pembinaan»

1. Nota penerangan.

2. Kerja bebas.

3. Kriteria penilaian.

4. Kesusasteraan.

Nota penjelasan

kerja ini ialah manual pendidikan dan metodologi untuk menganjurkan kerja ekstrakurikuler bebas untuk pelajar dalam disiplin EN 01 "Matematik" untuk kepakaran 100126 Perkhidmatan isi rumah dan utiliti.

Sasaran arahan metodologi terdiri daripada memastikan keberkesanan kerja bebas, menentukan kandungannya, mewujudkan keperluan untuk reka bentuk dan hasil kerja bebas.

Matlamat kerja bebas pelajar dalam disiplin EN 01 "Matematik" adalah:

· sistematisasi dan penyatuan pengetahuan teori dan kemahiran praktikal yang diperolehi;

· mendalami dan meluaskan pengetahuan teori;

· membangunkan keupayaan untuk menggunakan rujukan dan kesusasteraan tambahan;

· pembangunan kebolehan dan aktiviti kognitif pelajar, inisiatif kreatif, berdikari dan organisasi kendiri;

· pengaktifan aktiviti pendidikan dan kognitif pakar masa depan.

Kerja bebas dilakukan secara individu dalam masa lapang dari kelas.

Pelajar wajib:

sebelum melakukan kerja bebas, ulangi bahan teori yang diliputi dalam pelajaran bilik darjah;
melaksanakan kerja mengikut tugasan;
untuk setiap kerja bebas Menyerahkan laporan kepada guru dalam bentuk kerja bertulis.

Kerja bebas mengenai topik:

"Penggunaan kamiran pasti untuk menyelesaikan masalah fizikal"

Sasaran: belajar mengaplikasi kamiran pasti untuk menyelesaikan masalah fizikal.

Teori.

Pengiraan laluan yang dilalui oleh satu titik.

Laluan yang dilalui oleh titik di pergerakan tidak sekata dalam garis lurus dengan kelajuan berubah-ubah dan selang masa dari hingga dikira dengan formula

…… (1)

Contoh 1. Cik. Cari laluan yang dilalui oleh satu titik dalam 10 Dengan dari permulaan pergerakan.

Penyelesaian: Mengikut syarat , , .

Menggunakan formula (1) kita dapati:

Jawapan: .

Contoh 2. Kelajuan sesuatu titik berbeza mengikut undang-undang Cik. Cari laluan yang dilalui oleh titik dalam 4 saat.

Penyelesaian: Mengikut syarat , ,

Oleh itu:

Jawapan: .

Contoh 3. Kelajuan sesuatu titik berbeza mengikut undang-undang Cik. Cari laluan yang dilalui oleh titik dari permulaan pergerakannya ke perhentiannya.

Penyelesaian:

· Kelajuan titik ialah 0 pada saat ia mula bergerak dan pada saat ia berhenti.

· Mari tentukan pada titik masa titik itu akan berhenti; untuk melakukan ini, selesaikan persamaan:

Itu dia , .

· Menggunakan formula (1) kita dapati:

Jawapan: .

Pengiraan kerja daya.

Kerja yang dilakukan oleh daya berubah apabila bergerak sepanjang paksi Oh titik material daripada x = a sebelum ini x =, didapati dengan formula:

…… (2)

Apabila menyelesaikan masalah yang melibatkan pengiraan kerja daya, ia sering digunakan undang-undang Hooke: ……(3), di mana

Paksa ( N);

X– pemanjangan mutlak (mampatan) spring yang disebabkan oleh daya ( m);

Faktor perkadaran ( N/m).

Contoh 4. Kira kerja yang dilakukan oleh daya apabila spring dimampatkan sebanyak 0.04 m, jika untuk memampatkannya sebanyak 0.01 m perlukan kekuatan 10 N.

Penyelesaian:

· Kerana x = 0,01 m pada kekuatan =10 N

, kita dapati, i.e. .

Jawapan:J.

Contoh 5. Musim bunga masuk keadaan tenang mempunyai panjang 0.2 m. Kekuatan pada 50 N meregangkan spring sebanyak 0.01 m. Berapa banyak kerja yang perlu dilakukan untuk meregangkan spring dari 0.22 m sehingga 0.32 m?

Penyelesaian:

· Kerana x = 0.01 pada daya =50 N, kemudian, menggantikan nilai-nilai ini ke dalam kesamaan (3): , kita dapat: