Rozwiązanie.
Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano żadnych emblematów: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Prawdopodobieństwo zdobycia trzech herbów: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Prawo rozkładu zmiennej losowej X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Przykład nr 2. Prawdopodobieństwo, że jeden strzelec trafi w tarczę jednym strzałem dla pierwszego strzelca wynosi 0,8, dla drugiego strzelca – 0,85. Strzelcy oddali jeden strzał do celu. Rozważając trafienie w tarczę jako niezależne zdarzenia dla poszczególnych strzelców, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A – dokładnie jednego trafienia w tarczę.
Rozwiązanie.
Rozważmy zdarzenie A – jedno trafienie w cel. Możliwe opcje Występowanie tego zdarzenia jest następujące:
- Pierwszy strzelec trafił, drugi strzelec chybił: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Pierwszy strzelec chybił, drugi strzelec trafił w cel: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
- Pierwsza i druga strzała trafiają w cel niezależnie od siebie: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
Zmienna losowa jest zmienną, która może przyjmować określone wartości w zależności od różnych okoliczności, a z kolei wartość losowa zwany oddzielny , jeśli zbiór jego wartości jest skończony lub policzalny.
Oprócz dyskretnych zmiennych losowych istnieją również ciągłe zmienne losowe.
Rozważmy bardziej szczegółowo koncepcję zmiennej losowej. W praktyce często istnieją wielkości, które mogą przyjmować określone wartości, jednak nie da się wiarygodnie przewidzieć, jaką wartość każda z nich przyjmie w rozważanym doświadczeniu, zjawisku czy obserwacji. Na przykład liczba chłopców, którzy urodzili się w Moskwie następnego dnia, może się różnić. Może być równy zero (nie urodzi się ani jeden chłopiec: urodzą się wszystkie dziewczynki lub w ogóle nie będzie żadnych noworodków), jeden, dwa i tak dalej, aż do pewnej skończonej liczby N. Do takich wartości zaliczają się: masa korzeni buraka cukrowego na terenie, zasięg lotu pocisku artyleryjskiego, liczba wadliwych części w partii i tak dalej. Takie ilości nazwiemy losowymi. Charakteryzują wszystko możliwe rezultaty doświadczenie lub obserwacja od strony ilościowej.
Przykłady dyskretnych zmiennych losowych przy skończonej liczbie wartości może być liczba dzieci urodzonych w ciągu dnia miejscowość, liczba pasażerów autobusów, liczba pasażerów przewożonych dziennie moskiewskim metrem itp.
Liczba wartości dyskretnej zmiennej losowej może być nieskończonym, ale przeliczalnym zbiorem. Ale w każdym razie można je ponumerować w jakiejś kolejności, a dokładniej, można ustalić zgodność jeden do jednego między wartościami zmiennej losowej i liczby naturalne 1, 2, 3, ..., N.
Uwaga: nowe, bardzo ważne pojęcie w teorii prawdopodobieństwa - prawo dystrybucyjne
. Pozwalać X Mogę zaakceptować N wartości: . Zakładamy, że wszystkie są różne (w przeciwnym razie należy połączyć te same) i ułożone w kolejności rosnącej. Dla pełna charakterystyka Dyskretna zmienna losowa należy określić nie tylko wszystkie jego wartości, ale także prawdopodobieństwa
, przy czym zmienna losowa przyjmuje każdą z wartości, tj. 
.
Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej wywoływana jest dowolna reguła (funkcja, tabela). P(X), co pozwala znaleźć prawdopodobieństwa wszelkiego rodzaju zdarzeń związanych ze zmienną losową (na przykład prawdopodobieństwo, że jest to przykład jakiejś wartości lub mieści się w jakimś przedziale).
Najprościej i najwygodniej jest ustawić prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej w postaci poniższej tabeli:
| Oznaczający | ... | |||
| Prawdopodobieństwo | ... |
Ta tabela nazywa się w pobliżu rozkładu dyskretnej zmiennej losowej. W górnym wierszu szeregu dystrybucji znajdują się wszystkie w kolejności rosnącej możliwa wartość dyskretna zmienna losowa (x), a w dolnej części - prawdopodobieństwo tych wartości ( P).
Wydarzenia 
są niekompatybilne i jedyne możliwe: tworzą kompletny system zdarzeń. Zatem suma ich prawdopodobieństw jest równa jeden:
.
Przykład 1. W grupie studenckiej zorganizowano loterię. Do zgarnięcia dwa przedmioty o wartości 1000 RUB. i jeden kosztuje 3000 rubli. Sporządź prawo podziału kwoty wygranych netto dla studenta, który kupił jeden los za 100 rubli. W sumie sprzedano 50 biletów.
Rozwiązanie. Interesująca nas zmienna losowa to X może przyjmować trzy wartości: - 100 rub. (jeśli student nie wygra, ale faktycznie przegrywa 100 rubli zapłaconych za bilet), 900 rubli. i 2900 rub. (rzeczywiste wygrane są pomniejszane o 100 rubli - o koszt losu). Pierwszy wynik jest faworyzowany 47 razy na 50, drugi - 2, a trzeci - jeden. Zatem ich prawdopodobieństwa wynoszą: P(X=-100)=47/50=0,94 , P(X=900)=2/50=0,04 , P(X=2900)=1/50=0,02 .
Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X wygląda jak
| Zwycięska kwota | -100 | 900 | 2900 |
| Prawdopodobieństwo | 0,94 | 0,04 | 0,02 |
Funkcja rozkładu dyskretnej zmiennej losowej: konstrukcja
Szereg rozkładowy można skonstruować tylko dla dyskretnej zmiennej losowej (dla niedyskretnej zmiennej losowej nie da się tego zbudować choćby dlatego, że zbiór możliwych wartości takiej zmiennej losowej jest nieprzeliczalny, nie można ich wyszczególnić na górze rząd tabeli).
Bardzo forma ogólna prawem dystrybucji, odpowiednim dla wszystkich zmiennych losowych (zarówno dyskretnych, jak i niedyskretnych), jest funkcja dystrybucji.
Funkcja rozkładu dyskretnej zmiennej losowej Lub funkcja integralna zwaną funkcją 
, która określa prawdopodobieństwo, że wartość zmiennej losowej X mniejsza lub równa wartości granicznej X.
Funkcja rozkładu dowolnej dyskretnej zmiennej losowej jest nieciągłą funkcją schodkową, której skoki występują w punktach odpowiadających możliwym wartościom zmiennej losowej i są równe prawdopodobieństwom tych wartości.
Przykład 2. Dyskretna zmienna losowa X- liczba punktów uzyskanych podczas rzucania kostką. Oblicz jego dystrybuantę.
Rozwiązanie. Szereg rozkładowy dyskretnej zmiennej losowej X ma postać:
| Oznaczający | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Prawdopodobieństwo | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Funkcja dystrybucyjna F(X) ma 6 skoków o wielkości równej 1/6 (na rysunku poniżej).
Przykład 3. W urnie jest 6 kul białych i 4 czarne. Z urny losujemy 3 kule. Liczba białych kul wśród wylosowanych kul jest dyskretną zmienną losową X. Sporządź odpowiadające mu prawo dystrybucji.
X może przyjmować wartości 0, 1, 2, 3. Odpowiednie prawdopodobieństwa można najłatwiej obliczyć za pomocą reguła mnożenia prawdopodobieństwa. Otrzymujemy następujące prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej:
| Oznaczający | 0 | 1 | 2 | 3 |
| Prawdopodobieństwo | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
Przykład 4. Narysuj prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej - liczby trafień w tarczę czterema strzałami, jeśli prawdopodobieństwo trafienia jednym strzałem wynosi 0,1.
Rozwiązanie. Dyskretna zmienna losowa X może przyjmować pięć różnych wartości: 1, 2, 3, 4, 5. Odpowiednie prawdopodobieństwa znajdujemy za pomocą Wzór Bernoulliego
. Na
N = 4 ,
P = 1,1 ,
Q = 1 - P = 0,9 ,
M = 0, 1, 2, 3, 4
dostajemy
W konsekwencji prawo dystrybucji dyskretnej zmiennej losowej X wygląda jak
Jeżeli prawdopodobieństwa wartości dyskretnej zmiennej losowej można wyznaczyć za pomocą wzoru Bernoulliego, to zmienna losowa ma rozkład dwumianowy .
Jeżeli liczba prób jest wystarczająco duża, to prawdopodobieństwo, że w tych próbach nastąpi interesujące nas zdarzenie wynosi M razy, przestrzega prawa Rozkład Poissona .
Funkcja rozkładu dyskretnej zmiennej losowej: obliczenia
Aby obliczyć funkcję rozkładu dyskretnej zmiennej losowej F(X), wymagane jest zsumowanie prawdopodobieństw wszystkich wartości, które są mniejsze lub równe wartości granicznej X.
Przykład 5. W tabeli przedstawiono zależność liczby małżeństw rozwiązanych w ciągu roku od czasu trwania małżeństwa. Znajdź prawdopodobieństwo, że kolejne rozwiedzione małżeństwo trwało krócej lub równo 5 lat.
| Czas trwania małżeństwa (lata) | Numer | Prawdopodobieństwo | F(X) |
| 0 | 10 | 0,002 | 0,002 |
| 1 | 80 | 0,013 | 0,015 |
| 2 | 177 | 0,029 | 0,044 |
| 3 | 209 | 0,035 | 0,079 |
| 4 | 307 | 0,051 | 0,130 |
| 5 | 335 | 0,056 | 0,186 |
| 6 | 358 | 0,060 | 0,246 |
| 7 | 413 | 0,069 | 0,314 |
| 8 | 432 | 0,072 | 0,386 |
| 9 | 402 | 0,067 | 0,453 |
| 10 lub więcej | 3287 | 0,547 | 1,000 |
| Całkowity | 6010 | 1 |
Rozwiązanie. Prawdopodobieństwa oblicza się, dzieląc liczbę odpowiadających sobie rozwiązanych małżeństw przez łączną liczbę 6010. Prawdopodobieństwo, że kolejne rozwiązane małżeństwo trwało 5 lat, wynosi 0,056. Prawdopodobieństwo, że czas trwania kolejnego rozwiedzionego małżeństwa będzie krótszy lub równy 5 lat, wynosi 0,186. Uzyskaliśmy to poprzez dodanie wartości F(X) w przypadku małżeństw trwających 4 lata włącznie, prawdopodobieństwo małżeństw trwających 5 lat.
Związek między prawem rozkładu dyskretnej zmiennej losowej a matematycznym oczekiwaniem i rozproszeniem
Często nie są znane wszystkie wartości dyskretnej zmiennej losowej, ale znane są pewne wartości lub prawdopodobieństwa z szeregu, a także matematyczne oczekiwanie i (lub) wariancja zmiennej losowej, któremu poświęcono osobną lekcję.
Przedstawmy tutaj kilka wzorów z tej lekcji, które mogą być pomocne przy sporządzaniu prawa rozkładu dyskretnej zmiennej losowej i przyjrzyjmy się przykładom rozwiązania takich problemów.
Matematyczne oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich jej możliwych wartości i prawdopodobieństw tych wartości:
(1)
Wzór na wariancję dyskretnej zmiennej losowej z definicji wygląda następująco:
Często do obliczeń wygodniejszy jest następujący wzór na dyspersję:
, (2)
Gdzie 
.
Przykład 6. Dyskretna zmienna losowa X może przyjmować tylko dwie wartości. Z prawdopodobieństwem przyjmuje mniejszą wartość P= 0,6. Znajdź prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X, jeśli wiadomo, że jego matematyczne oczekiwanie i wariancja wynoszą .
Rozwiązanie. Prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie większą wartość X2 , jest równe 1 - 0,6 = 4. Korzystając ze wzoru (1) oczekiwań matematycznych tworzymy równanie, w którym niewiadomymi są wartości naszej dyskretnej zmiennej losowej:
Korzystając ze wzoru na dyspersję (2) tworzymy kolejne równanie, w którym niewiadome są jednocześnie wartościami dyskretnej zmiennej losowej:
Układ dwóch otrzymanych równań
rozwiązać metodą podstawieniową. Z pierwszego równania otrzymujemy
Podstawiając to wyrażenie do drugiego równania, po prostych przekształceniach otrzymamy równanie kwadratowe
,
który ma dwa pierwiastki: 7/5 i -1. Ponieważ pierwszy pierwiastek nie spełnia warunków problemu X2 < X 1 . Zatem wartości, jakie może przyjąć dyskretna zmienna losowa X zgodnie z warunkami naszego przykładu, są równe X1 = −1 I X2 = 2 .
Na tej stronie zebraliśmy przykłady rozwiązań edukacyjnych problemy dotyczące dyskretnych zmiennych losowych. Jest to dość obszerna sekcja: badane są różne prawa dystrybucji (dwumianowe, geometryczne, hipergeometryczne, Poissona i inne), właściwości i cechy numeryczne, dla każdej serii rozkładów można zbudować reprezentacje graficzne: wielokąt (wielokąt) prawdopodobieństw, funkcja dystrybucji.
Poniżej znajdziesz przykłady decyzji dotyczących dyskretnych zmiennych losowych, w których do sporządzenia prawa rozkładu należy zastosować wiedzę z poprzednich części teorii prawdopodobieństwa, a następnie obliczyć oczekiwaną matematyczną, rozrzut, odchylenie standardowe, skonstruować dystrybuantę, odpowiedzieć pytania dotyczące DSV itp. P.
Przykłady popularnych praw dotyczących rozkładu prawdopodobieństwa:
Kalkulatory charakterystyk DSV
- Obliczanie oczekiwań matematycznych, dyspersji i odchylenia standardowego DSV.
Rozwiązane problemy dotyczące DSV
Rozkłady zbliżone do geometrycznych
Zadanie 1. Na trasie pojazdu znajdują się 4 sygnalizacje świetlne, z których każda uniemożliwia dalszy ruch pojazdu z prawdopodobieństwem 0,5. Znajdź szereg rozkładu liczby świateł mijanych przez samochód przed pierwszym zatrzymaniem. Jakie są matematyczne oczekiwania i wariancja tej zmiennej losowej?
Zadanie 2. Myśliwy strzela do zwierzyny aż do pierwszego trafienia, ale udaje mu się oddać nie więcej niż cztery strzały. Sporządź prawo rozkładu liczby chybień, jeśli prawdopodobieństwo trafienia w cel jednym strzałem wynosi 0,7. Znajdź wariancję tej zmiennej losowej.
Zadanie 3. Strzelec, mając 3 naboje, strzela do celu aż do pierwszego trafienia. Prawdopodobieństwo trafienia przy pierwszym, drugim i trzecim strzale wynosi odpowiednio 0,6, 0,5, 0,4. S.V. $\xi$ - liczba pozostałych nabojów. Skompiluj szereg rozkładów zmiennej losowej, znajdź matematyczne oczekiwanie, wariancję i średnią odchylenie standardowe r.v., skonstruuj dystrybuantę r.v., znajdź $P(|\xi-m| \le \sigma$.
Zadanie 4. Pudełko zawiera 7 części standardowych i 3 wadliwe. Wyjmują części sekwencyjnie, aż pojawi się standardowa, bez zwracania ich. $\xi$ to liczba odzyskanych wadliwych części.
Narysuj prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej $\xi$, oblicz jej matematyczną wartość oczekiwaną, wariancję, odchylenie standardowe, narysuj wielokąt rozkładu oraz wykres funkcji rozkładu.
Zadania z niezależnymi zdarzeniami
Zadanie 5. Do egzaminu poprawkowego z teorii prawdopodobieństwa przystąpiło 3 studentów. Prawdopodobieństwo, że pierwsza osoba zda egzamin wynosi 0,8, druga 0,7, a trzecia 0,9. Znajdź szereg rozkładu zmiennej losowej $\xi$ liczby uczniów, którzy zdali egzamin, wykreśl dystrybuantę, znajdź $M(\xi), D(\xi)$.
Zadanie 6. Prawdopodobieństwo trafienia celu jednym strzałem wynosi 0,8 i maleje z każdym strzałem o 0,1. Sporządź prawo rozkładu liczby trafień w tarczę po oddaniu trzech strzałów. Znajdź wartość oczekiwaną, wariancję i S.K.O. tę zmienną losową. Narysuj wykres funkcji rozkładu.
Zadanie 7. Do tarczy oddano 4 strzały. Prawdopodobieństwo trafienia wzrasta w następujący sposób: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Znajdź prawo rozkładu zmiennej losowej $X$ – liczby trafień. Znajdź prawdopodobieństwo, że $X \ge 1$.
Zadanie 8. Rzucamy dwiema symetrycznymi monetami i liczymy liczbę herbów znajdujących się po obu stronach monety. Rozważamy dyskretną zmienną losową $X$ - liczbę herbów na obu monetach. Zapisz prawo rozkładu zmiennej losowej $X$, znajdź jej oczekiwanie matematyczne.
Inne problemy i prawa dystrybucji DSV
Zadanie 9. Dwóch koszykarzy oddało trzy strzały do kosza. Prawdopodobieństwo trafienia dla pierwszego koszykarza wynosi 0,6, dla drugiego – 0,7. Niech $X$ będzie różnicą między liczbą udanych strzałów pierwszego i drugiego koszykarza. Znajdź szereg, tryb i rozkład rozkładu zmiennej losowej $X$. Skonstruuj wielokąt rozkładu i wykres funkcji rozkładu. Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe. Znajdź prawdopodobieństwo zdarzenia $(-2 \lt X \le 1)$.
Problem 10. Liczba statków nierezydentów przybywających codziennie w celu załadunku w określonym porcie jest zmienną losową $X$, podaną w następujący sposób:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) upewnij się, że jest określony szereg dystrybucji,
B) znajdź dystrybuantę zmiennej losowej $X$,
C) w przypadku przybycia w danym dniu więcej niż trzech statków, port przejmuje koszty wynikające z konieczności zatrudnienia dodatkowych kierowców i ładowaczy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że port poniesie dodatkowe koszty?
D) znaleźć matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe zmiennej losowej $X$.
Problem 11. Rzuć 4 kostka do gry. Znajdź matematyczne oczekiwanie sumy punktów, które pojawią się ze wszystkich stron.
Problem 12. Obaj na zmianę rzucają monetą, aż po raz pierwszy pojawi się herb. Gracz, który zdobył herb, otrzymuje od drugiego gracza 1 rubel. Znajdź matematyczne oczekiwanie wygranej dla każdego gracza.
Jak wiadomo, zmienna losowa nazywa się wielkością zmienną, która w zależności od przypadku może przyjmować określone wartości. Zmienne losowe oznaczają wielkimi literami Alfabet łaciński(X, Y, Z), a ich wartości są oznaczone odpowiednimi małymi literami (x, y, z). Zmienne losowe dzielą się na nieciągłe (dyskretne) i ciągłe.
Dyskretna zmienna losowa jest zmienną losową, która przyjmuje tylko skończony lub nieskończony (przeliczalny) zbiór wartości z pewnymi niezerowymi prawdopodobieństwami.
Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej to funkcja, która łączy wartości zmiennej losowej z odpowiadającymi im prawdopodobieństwami. Prawo dystrybucji można określić na jeden z następujących sposobów.
1 . Prawo dystrybucji można podać w tabeli:
gdzie λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) używając funkcja dystrybucji F(x) , które określa dla każdej wartości x prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą niż x, tj. F(x) = P(X< x).
Własności funkcji F(x)
3 . Prawo dystrybucji można określić graficznie – wielokąt rozkładu (wielokąt) (patrz zadanie 3).
Należy pamiętać, że aby rozwiązać niektóre problemy, nie jest konieczna znajomość prawa dystrybucji. W niektórych przypadkach wystarczy znać jedną lub więcej liczb, które najlepiej odzwierciedlają sytuację Ważne cechy prawo dystrybucyjne. Może to być liczba, która ma znaczenie „średniej” zmiennej losowej lub liczba wskazująca średni rozmiar odchylenie zmiennej losowej od jej wartości średniej. Liczby tego rodzaju nazywane są charakterystykami numerycznymi zmiennej losowej.
Podstawowe charakterystyki numeryczne dyskretnej zmiennej losowej :
- Oczekiwanie matematyczne
(wartość średnia) dyskretnej zmiennej losowej M(X)=Σ x i p i.
Dla rozkładu dwumianowego M(X)=np, dla rozkładu Poissona M(X)=λ - Dyspersja
Dyskretna zmienna losowa D(X)=M2 Lub D(X) = M(X 2) − 2. Różnica X–M(X) nazywana jest odchyleniem zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych.
Dla rozkładu dwumianowego D(X)=npq, dla rozkładu Poissona D(X)=λ - Odchylenie standardowe (odchylenie standardowe) σ(X)=√D(X).
Przykłady rozwiązywania problemów na temat „Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej”
Zadanie 1.
Wydano 1000 losów na loterię: 5 z nich wygra 500 rubli, 10 wygra 100 rubli, 20 wygra 50 rubli, 50 wygra 10 rubli. Określ prawo rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X - wygrana na los.
Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami zadania możliwe są następujące wartości zmiennej losowej X: 0, 10, 50, 100 i 500.
Liczba losów bez wygranej wynosi 1000 – (5+10+20+50) = 915, wówczas P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Podobnie znajdujemy wszystkie inne prawdopodobieństwa: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Wynikowe prawo przedstawimy w formie tabeli:
Znajdźmy matematyczne oczekiwanie wartości X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Zadanie 3.
Urządzenie składa się z trzech niezależnie działających elementów. Prawdopodobieństwo awarii każdego elementu w jednym eksperymencie wynosi 0,1. Narysuj prawo rozkładu liczby uszkodzonych elementów w jednym eksperymencie, skonstruuj wielokąt rozkładu. Znajdź dystrybuantę F(x) i wykreśl ją. Znajdź matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej.
Rozwiązanie. 1. Dyskretna zmienna losowa X = (liczba uszkodzonych elementów w jednym eksperymencie) może przyjmować następujące możliwe wartości: x 1 = 0 (żaden element urządzenia nie uległ awarii), x 2 = 1 (awaria jednego elementu), x 3 = 2 ( dwa elementy uległy awarii) i x 4 =3 (trzy elementy uległy awarii).
Awarie elementów są od siebie niezależne, prawdopodobieństwa awarii każdego elementu są równe, dlatego ma to zastosowanie Wzór Bernoulliego
. Biorąc pod uwagę, że zgodnie z warunkiem n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 wyznaczamy prawdopodobieństwa wartości:
P 3 (0) = do 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Sprawdź: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Zatem pożądane prawo rozkładu dwumianowego X ma postać:
Wykreślamy możliwe wartości x i wzdłuż osi odciętych i odpowiadające im prawdopodobieństwa p i wzdłuż osi rzędnych. Skonstruujmy punkty M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Łącząc te punkty odcinkami prostymi uzyskujemy pożądany wielokąt rozkładu.
3. Znajdźmy dystrybuantę F(x) = Р(Х
Dla x ≤ 0 mamy F(x) = Р(Х<0) = 0;dla 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
Za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
dla 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
dla x > 3 będzie F(x) = 1, ponieważ wydarzenie jest wiarygodne.
 |
Wykres funkcji F(x)
4.
Dla rozkładu dwumianowego X:
- oczekiwanie matematyczne M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- wariancja D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- odchylenie standardowe σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Na tej stronie zebraliśmy krótką teorię i przykłady rozwiązywania problemów edukacyjnych, w których dyskretna zmienna losowa jest już określona przez jej szereg dystrybucyjny (forma tabelaryczna) i należy ją przestudiować: znaleźć charakterystyki liczbowe, skonstruować wykresy itp. Przykłady znanych typów dystrybucji można znaleźć pod poniższymi linkami:
Krótka teoria o DSV
Dyskretna zmienna losowa jest określona przez jej szereg dystrybucyjny: listę wartości $x_i$, które może przyjąć oraz odpowiadające im prawdopodobieństwa $p_i=P(X=x_i)$. Liczba wartości zmiennej losowej może być skończona lub policzalna. Dla pewności rozważymy przypadek $i=\overline(1,n)$. Wówczas tabelaryczna reprezentacja dyskretnej zmiennej losowej ma postać:
$$ \begin(array)(|c|c|) \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end(array) $ $
W tym przypadku warunek normalizacji jest spełniony: suma wszystkich prawdopodobieństw musi być równa jeden
$$\suma_(i=1)^(n) p_i=1$$
Graficznie można przedstawić szereg dystrybucji wielokąt dystrybucyjny(Lub wielokąt dystrybucyjny). W tym celu punkty o współrzędnych $(x_i,p_i)$ są nanoszone na płaszczyznę i łączone w kolejności linią łamaną. Znajdziesz szczegółowe przykłady.
Charakterystyka numeryczna DSV
Wartość oczekiwana:
$$M(X) = \sum_(i=1)^(n) x_i \cdot p_i$$
Dyspersja:
$$ D(X)=M(X^2)-(M(X))^2 = \sum_(i=1)^(n) x_i^2 \cdot p_i - (M(X))^2$ $
Odchylenie standardowe:
$$\sigma (X) = \sqrt(D(X))$$
Współczynnik zmienności:
$$V(X) = \frac(\sigma(X))(M(X))$$.
Tryb: wartość $Mo=x_k$ z największym prawdopodobieństwem $p_k=\max_i(p_i)$.
Możesz użyć kalkulatorów online, aby obliczyć wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe DSV.
Funkcja dystrybucji DSV
Z serii dystrybucyjnej można skompilować funkcja dystrybucyjna dyskretna zmienna losowa $F(x)=P(X\lt x)$. Funkcja ta określa prawdopodobieństwo, że zmienna losowa $X$ przyjmie wartość mniejszą od określonej liczby $x$. Przykłady konstrukcji wraz ze szczegółowymi obliczeniami i wykresami znajdziesz w poniższych przykładach.
Przykłady rozwiązanych problemów
Zadanie 1. Dyskretna zmienna losowa jest określona szeregiem rozkładów:
1 2 3 4 5 6 7
0,05 0,15 0,3 0,2 0,1 0,04 0,16
Skonstruuj wielokąt rozkładu i funkcję rozkładu $F(x)$. Oblicz: $M[X], D[X], \sigma[X]$, a także współczynnik zmienności, skośność, kurtozę, modę i medianę.
Zadanie 2. Podane jest prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej X. Wymagane:
a) wyznaczyć oczekiwanie matematyczne M(x), wariancję D(x) i odchylenie standardowe (x) zmiennej losowej X; b) skonstruuj wykres tego rozkładu.
xi 0 1 2 3 4 5 6
pi 0,02 0,38 0,30 0,16 0,08 0,04 0,02
Zadanie 3. Dla zmiennej losowej X o zadanym szeregu dystrybucyjnym
-1 0 1 8
0,2 0,1 $р_1$ $р_2$
A) znajdź $p_1$ i $p_2$ tak, że $M(X)=0,5$
B) następnie oblicz matematyczne oczekiwanie i wariancję zmiennej losowej $X$ i wykreśl jej funkcję rozkładu
Zadanie 4. Dyskretny SV $X$ może przyjmować tylko dwie wartości: $x_1$ i $x_2$ oraz $x_1 \lt x_2$. Znane jest prawdopodobieństwo $P$ możliwej wartości, oczekiwanie matematyczne $M(x)$ i wariancja $D(x)$. Znajdź: 1) Prawo dystrybucji tej zmiennej losowej; 2) Funkcja rozkładu SV $X$; 3) Skonstruuj wykres $F(x)$.
$ P = 0,3; M(x)=6,6; D(x)=13,44.$
Zadanie 5. Zmienna losowa X przyjmuje trzy wartości: 2, 4 i 6. Znajdź prawdopodobieństwa tych wartości, jeśli $M(X)=4,2$, $D(X)=1,96$.
Zadanie 6. Podano szereg rozkładów dyskretnych r.v. $X$. Znajdź charakterystykę numeryczną położenia i rozproszenia r.v. $X$. Znajdź m.o. i dyspersja r.v. $Y=X/2-2$, bez zapisywania szeregu rozkładu r.v. $Y$, sprawdź wynik za pomocą funkcji generującej.
Skonstruuj funkcję rozkładu r.v. $X$.
¦ x¦ 8 ¦ 12 ¦ 18 ¦ 24 ¦ 30 ¦
¦ p¦ 0,3¦ 0,1¦ 0,3¦ 0,2¦ 0,1¦
Zadanie 7. Rozkład dyskretnej zmiennej losowej $X$ podaje poniższa tabela (wiersz rozkładu):
-6 3 9 15
0,40 0,30 ? 0,10
Określ brakującą wartość w tabeli rozkładu. Oblicz główne charakterystyki liczbowe rozkładu: $M_x, D_x, \sigma_x$. Znajdź i skonstruuj dystrybuantę $F(x)$. Określ prawdopodobieństwo, że zmienna losowa $X$ przyjmie następujące wartości:
A) więcej niż 6,
B) mniej niż 12,
C) nie więcej niż 9.
Zadanie 8. Zadanie polega na znalezieniu: a) oczekiwań matematycznych; b) dyspersja; c) odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej X według zadanego prawa jej rozkładu, podane w tabeli (pierwszy wiersz tabeli wskazuje możliwe wartości, drugi wiersz wskazuje prawdopodobieństwa możliwych wartości).
Zadanie 9. Podano prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej $X$ (pierwsza linia pokazuje możliwe wartości $x_i$, druga linia pokazuje prawdopodobieństwa możliwych wartości $p_i$).
Znajdować:
A) oczekiwanie matematyczne $M(X)$, wariancja $D(X)$ i odchylenie standardowe $\sigma(X)$;
B) ułóż dystrybuantę zmiennej losowej $F(x)$ i skonstruuj jej wykres;
C) obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna losowa $X$ wpadnie w przedział $x_2 \lt X \lt x_4$, korzystając ze skompilowanej funkcji rozkładu $F(x)$;
D) sporządzić prawo podziału dla wartości $Y=100-2X$;
D) obliczyć matematyczne oczekiwanie i wariancję skompilowanej zmiennej losowej $Y$ na dwa sposoby, tj. wykorzystując
własność matematycznego oczekiwania i rozproszenia, a także bezpośrednio zgodnie z prawem rozkładu zmiennej losowej $Y$.
10 20 30 40 50
0,1 0,2 0,1 0,2 0,4
Problem 10. Do tabeli podana jest dyskretna zmienna losowa. Oblicz jego momenty początkowe i środkowe aż do 4 rzędu włącznie. Znajdź prawdopodobieństwa zdarzeń $\xi \lt M\xi$, $\xi \ge M \xi$, $\xi \lt 1/2 M \xi$, $\xi \ge 1/2 M \xi $.
X 0 0,3 0,6 0,9 1,2
P 0,2 0,4 0,2 0,1 0,1
