Rozwiązanie.
Prawdopodobieństwo, że nie wylosowano żadnych emblematów: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Prawdopodobieństwo zdobycia trzech herbów: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Prawo rozkładu zmiennej losowej X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Przykład nr 2. Prawdopodobieństwo, że jeden strzelec trafi w tarczę jednym strzałem dla pierwszego strzelca wynosi 0,8, dla drugiego strzelca – 0,85. Strzelcy oddali jeden strzał do celu. Rozważając trafienie w tarczę jako niezależne zdarzenia dla poszczególnych strzelców, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A – dokładnie jednego trafienia w tarczę.
Rozwiązanie.
Rozważmy zdarzenie A – jedno trafienie w cel. Możliwe opcje Występowanie tego zdarzenia jest następujące:
- Pierwszy strzelec trafił, drugi strzelec chybił: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0,8*(1-0,85)=0,12
- Pierwszy strzelec chybił, drugi strzelec trafił w cel: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0,8)*0,85=0,17
- Pierwsza i druga strzała trafiają w cel niezależnie od siebie: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0,8*0,85=0,68
Jak wiadomo, zmienna losowa nazywa się wielkością zmienną, która w zależności od przypadku może przyjmować określone wartości. Zmienne losowe oznaczają wielkimi literami Alfabet łaciński(X, Y, Z), a ich wartości są reprezentowane przez odpowiednie małe litery (x, y, z). Zmienne losowe dzielą się na nieciągłe (dyskretne) i ciągłe.
Dyskretna zmienna losowa zwany wartość losowa, przyjmując tylko skończony lub nieskończony (przeliczalny) zbiór wartości z pewnymi niezerowymi prawdopodobieństwami.
Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej to funkcja, która łączy wartości zmiennej losowej z odpowiadającymi im prawdopodobieństwami. Prawo dystrybucji można określić na jeden z następujących sposobów.
1 . Prawo dystrybucji można podać w tabeli:
gdzie λ>0, k = 0, 1, 2, … .
V) używając funkcja dystrybucji F(x) , które określa dla każdej wartości x prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą niż x, tj. F(x) = P(X< x).
Własności funkcji F(x)
3 . Prawo dystrybucji można określić graficznie – wielokąt rozkładu (wielokąt) (patrz zadanie 3).
Należy pamiętać, że aby rozwiązać niektóre problemy, nie jest konieczna znajomość prawa dystrybucji. W niektórych przypadkach wystarczy znać jedną lub więcej liczb, które najlepiej odzwierciedlają sytuację Ważne cechy prawo dystrybucji. Może to być liczba, która ma znaczenie „średniej” zmiennej losowej lub liczba wskazująca średni rozmiar odchylenie zmiennej losowej od jej wartości średniej. Liczby tego rodzaju nazywane są charakterystykami numerycznymi zmiennej losowej.
Podstawowe charakterystyki numeryczne dyskretnej zmiennej losowej :
- Oczekiwanie matematyczne
(wartość średnia) dyskretnej zmiennej losowej M(X)=Σ x i p ja.
Dla rozkładu dwumianowego M(X)=np, dla rozkładu Poissona M(X)=λ - Dyspersja
Dyskretna zmienna losowa D(X)=M2 Lub D(X) = M(X 2) − 2. Różnica X–M(X) nazywana jest odchyleniem zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych.
Dla rozkładu dwumianowego D(X)=npq, dla rozkładu Poissona D(X)=λ - Odchylenie standardowe (odchylenie standardowe) σ(X)=√D(X).
Przykłady rozwiązywania problemów na temat „Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej”
Zadanie 1.
Wydano 1000 losów na loterię: 5 z nich wygra 500 rubli, 10 wygra 100 rubli, 20 wygra 50 rubli, 50 wygra 10 rubli. Określ prawo rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X - wygrana na los.
Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami zadania możliwe są następujące wartości zmiennej losowej X: 0, 10, 50, 100 i 500.
Liczba losów bez wygranej wynosi 1000 – (5+10+20+50) = 915, wówczas P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Podobnie znajdujemy wszystkie inne prawdopodobieństwa: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Wynikowe prawo przedstawmy w formie tabeli:
Znajdźmy matematyczne oczekiwanie wartości X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Zadanie 3.
Urządzenie składa się z trzech niezależnie działających elementów. Prawdopodobieństwo awarii każdego elementu w jednym eksperymencie wynosi 0,1. Narysuj prawo rozkładu liczby uszkodzonych elementów w jednym eksperymencie, skonstruuj wielokąt rozkładu. Znajdź dystrybuantę F(x) i wykreśl ją. Znajdź matematyczne oczekiwanie, wariancję i odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej.
Rozwiązanie. 1. Dyskretna zmienna losowa X=(liczba nieudanych elementów w jednym eksperymencie) ma następującą wartość możliwa wartość: x 1 =0 (awaria żadnego elementu urządzenia), x 2 =1 (awaria jednego elementu), x 3 =2 (awaria dwóch elementów) i x 4 =3 (awaria trzech elementów).
Awarie elementów są od siebie niezależne, prawdopodobieństwa awarii każdego elementu są równe, dlatego ma to zastosowanie Wzór Bernoulliego
. Biorąc pod uwagę, że zgodnie z warunkiem n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 wyznaczamy prawdopodobieństwa wartości:
P 3 (0) = do 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0,1 3 = 0,001;
Sprawdź: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Zatem pożądane prawo rozkładu dwumianowego X ma postać:
Wykreślamy możliwe wartości x i wzdłuż osi odciętych i odpowiadające im prawdopodobieństwa p i wzdłuż osi rzędnych. Skonstruujmy punkty M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Łącząc te punkty odcinkami prostymi uzyskujemy pożądany wielokąt rozkładu.
3. Znajdźmy dystrybuantę F(x) = Р(Х
Dla x ≤ 0 mamy F(x) = Р(Х<0) = 0;dla 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
Za 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
dla 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
dla x > 3 będzie F(x) = 1, ponieważ wydarzenie jest wiarygodne.
 |
Wykres funkcji F(x)
4.
Dla rozkładu dwumianowego X:
- oczekiwanie matematyczne M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- wariancja D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- odchylenie standardowe σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Dyskretny losowy Zmienne to zmienne losowe, które przyjmują tylko wartości odległe od siebie i które można z góry wylistować.
Prawo dystrybucji
Prawo dystrybucji zmiennej losowej to relacja ustanawiająca związek między możliwymi wartościami zmiennej losowej i odpowiadającymi im prawdopodobieństwami.
Szereg rozkładów dyskretnej zmiennej losowej to lista jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw.
Dystrybuantą dyskretnej zmiennej losowej jest funkcja:
,
określenie dla każdej wartości argumentu x prawdopodobieństwa, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą od tego x.
Oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej
,
gdzie jest wartością dyskretnej zmiennej losowej; - prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartości X.
Jeżeli zmienna losowa przyjmuje przeliczalny zbiór możliwych wartości, to: 
.
Matematyczne oczekiwanie liczby wystąpień zdarzenia w n niezależnych próbach:
,
Rozproszenie i odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej
Rozproszenie dyskretnej zmiennej losowej: 
Lub 
.
Wariancja liczby wystąpień zdarzenia w n niezależnych próbach 
,
gdzie p jest prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia.
Odchylenie standardowe dyskretnej zmiennej losowej: 
.
Przykład 1
Narysuj prawo rozkładu prawdopodobieństwa dla dyskretnej zmiennej losowej (DRV) X – liczba k wystąpień co najmniej jednej „szóstki” w n = 8 rzutach parą kostek. Skonstruuj wielokąt rozkładu. Znajdź charakterystykę liczbową rozkładu (sposób rozkładu, oczekiwanie matematyczne M(X), dyspersja D(X, odchylenie standardowe s(X)). Rozwiązanie: Wprowadźmy zapis: zdarzenie A – „przy rzucie parą kostek co najmniej raz pojawia się szóstka”. Aby znaleźć prawdopodobieństwo P(A) = p zdarzenia A, wygodniej jest najpierw znaleźć prawdopodobieństwo P(Ā) = q zdarzenia przeciwnego Ā – „podczas rzucania parą kostek nigdy nie wypadła szóstka”.
Ponieważ prawdopodobieństwo, że przy rzucie jedną kostką nie wypadnie „szóstka”, wynosi 5/6, to zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu prawdopodobieństwa
P(Ā) = q = = .
Odpowiednio,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Testy w zadaniu są zgodne ze schematem Bernoulliego, więc d.s.v. ogrom X- numer k wystąpienie co najmniej jednej szóstki przy rzucie dwiema kostkami jest zgodne z dwumianowym prawem rozkładu prawdopodobieństwa: 
gdzie = to liczba kombinacji N Przez k.
Obliczenia przeprowadzone dla tego problemu można wygodnie przedstawić w formie tabeli:
Rozkład prawdopodobieństwa d.s.v. X º k (N = 8; P = ; Q = )
| k | ||||||||||
Pn(k) |
Wielokąt (wielokąt) rozkładu prawdopodobieństwa dyskretnej zmiennej losowej X pokazane na rysunku:
Ryż. Wielokąt rozkładu prawdopodobieństwa d.s.v. X=k.
Linia pionowa pokazuje matematyczne oczekiwanie rozkładu M(X).
Znajdźmy numeryczną charakterystykę rozkładu prawdopodobieństwa d.s.v. X. Tryb dystrybucji to 2 (tutaj P 8(2) = maksymalnie 0,2932). Oczekiwanie matematyczne z definicji jest równe:
M(X) = = 2,4444,
Gdzie xk = k– wartość przyjęta przez d.s.v. X. Zmienność D(X) rozkład znajdujemy korzystając ze wzoru:
D(X) = 
= 4,8097.
Odchylenie standardowe (RMS):
S( X) = = 2,1931.
Przykład2
Dyskretna zmienna losowa X dane przez prawo dystrybucji
Rozwiązanie. Jeśli , to (trzecia własność).
Jeśli następnie. Naprawdę, X może przyjąć wartość 1 z prawdopodobieństwem 0,3.
Jeśli następnie. Rzeczywiście, jeśli spełnia nierówność
, to jest równe prawdopodobieństwu zdarzenia, które może wystąpić, gdy X przyjmie wartość 1 (prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 0,3) lub wartość 4 (prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi 0,1). Ponieważ te dwa zdarzenia są niezgodne, to zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe sumie prawdopodobieństw 0,3 + 0,1 = 0,4. Jeśli następnie. Rzeczywiście zdarzenie jest pewne, dlatego jego prawdopodobieństwo jest równe jedności. Zatem funkcję rozkładu można zapisać analitycznie w następujący sposób: 
Wykres tej funkcji:
Znajdźmy prawdopodobieństwa odpowiadające tym wartościom. Pod warunkiem prawdopodobieństwa awarii urządzeń są równe: wówczas prawdopodobieństwa, że urządzenia będą działać w okresie gwarancyjnym, są równe: 
Prawo dystrybucji ma postać:
Instytucja edukacyjna „Państwo Białoruskie
Akademia Rolnicza”
Katedra Matematyki Wyższej
Wytyczne
zapoznanie się z tematem „Zmienne losowe” przez studentów Wydziału Rachunkowości dla Edukacji Korespondencyjnej (NISPO)
Gorki, 2013
Zmienne losowe
Dyskretne i ciągłe zmienne losowe
Jednym z głównych pojęć teorii prawdopodobieństwa jest pojęcie zmienna losowa . Zmienna losowa to wielkość, która w wyniku testów przyjmuje tylko jedną ze swoich wielu możliwych wartości i nie wiadomo z góry jaką.
Istnieją zmienne losowe dyskretny i ciągły . Dyskretna zmienna losowa (DRV) jest zmienną losową, która może przyjmować skończoną liczbę wartości odizolowanych od siebie, tj. jeśli możliwe wartości tej wielkości można przeliczyć. Ciągła zmienna losowa (CNV) jest zmienną losową, której wszystkie możliwe wartości całkowicie wypełniają pewien przedział osi liczbowej.
Zmienne losowe oznacza się wielkimi literami alfabetu łacińskiego X, Y, Z itp. Możliwe wartości zmiennych losowych są oznaczone odpowiednimi małymi literami.
Nagrywać 
oznacza „prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartość 5, równą 0,28.”
Przykład 1 . Kostką rzucamy raz. W takim przypadku mogą pojawić się cyfry od 1 do 6, wskazujące liczbę punktów. Oznaczmy zmienną losową X=(liczba zdobytych punktów). Ta zmienna losowa w wyniku testu może przyjąć tylko jedną z sześciu wartości: 1, 2, 3, 4, 5 lub 6. Zatem zmienna losowa X jest DSV.
Przykład 2 . Rzucony kamień pokonuje określoną odległość. Oznaczmy zmienną losową X=(odległość lotu kamienia). Ta zmienna losowa może przyjmować dowolną, ale tylko jedną wartość z określonego przedziału. Dlatego zmienna losowa X jest NSV.
Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej
Dyskretna zmienna losowa charakteryzuje się wartościami, jakie może przyjąć, oraz prawdopodobieństwem, z jakim te wartości są przyjmowane. Nazywa się zgodność między możliwymi wartościami dyskretnej zmiennej losowej i odpowiadającymi im prawdopodobieństwami prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej .
Jeśli znane są wszystkie możliwe wartości 
zmienna losowa X i prawdopodobieństwa 
pojawienie się tych wartości, wówczas uważa się, że prawo dystrybucji DSV X jest znane i można je zapisać w formie tabelarycznej:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Prawo rozkładu DSV można przedstawić graficznie, jeśli punkty zostaną przedstawione w prostokątnym układzie współrzędnych 
,
,
…,
i połącz je odcinkami prostymi. Wynikowa figura nazywana jest wielokątem rozkładu.
Przykład 3 . Ziarno przeznaczone do czyszczenia zawiera 10% chwastów. Wybrano losowo 4 ziarna. Oznaczmy zmienną losową X=(liczba chwastów spośród czterech wybranych). Skonstruuj prawo dystrybucji DSV X i wielokąt dystrybucyjny.
Rozwiązanie . Zgodnie z warunkami przykładu. Następnie:
Zapiszmy prawo dystrybucji DSV X w formie tabeli i skonstruujmy wielokąt dystrybucji:
|
|
Oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej
Najważniejsze właściwości dyskretnej zmiennej losowej opisano poprzez jej charakterystykę. Jedną z tych cech jest wartość oczekiwana zmienna losowa.
Niech będzie znane prawo dystrybucji DSV X:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Oczekiwanie matematyczne
DSV X jest sumą iloczynów każdej wartości tej wielkości z odpowiednim prawdopodobieństwem: 
.
Oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej jest w przybliżeniu równe średniej arytmetycznej wszystkich jej wartości. Dlatego w praktycznych problemach za oczekiwanie matematyczne często przyjmuje się średnią wartość tej zmiennej losowej.
Przykład 8 . Strzelec zdobywa 4, 8, 9 i 10 punktów z prawdopodobieństwem 0,1, 0,45, 0,3 i 0,15. Znajdź matematyczne oczekiwanie liczby punktów za jeden strzał.
Rozwiązanie . Oznaczmy zmienną losową X=(liczba zdobytych punktów). Następnie . Zatem oczekiwana średnia liczba punktów zdobytych jednym strzałem wynosi 8,2, a przy 10 strzałach - 82.
Główne właściwości oczekiwania matematyczne to:
.
.
, Gdzie 
,
.
.
, Gdzie X I Y są niezależnymi zmiennymi losowymi.
Różnica 
zwany odchylenie
zmienna losowa X od swoich matematycznych oczekiwań. Różnica ta jest zmienną losową i jej oczekiwanie matematyczne wynosi zero, tj. 
.
Wariancja dyskretnej zmiennej losowej
Aby scharakteryzować zmienną losową, oprócz oczekiwań matematycznych, używamy również dyspersja , co pozwala oszacować rozproszenie (rozrzut) wartości zmiennej losowej wokół jej oczekiwań matematycznych. Porównując dwie jednorodne zmienne losowe o równych oczekiwaniach matematycznych, za „najlepszą” wartość uważa się tę, która ma mniejszy rozrzut, tj. mniejsze rozproszenie.
Zmienność zmienna losowa X nazywa się oczekiwaniem matematycznym kwadratu odchylenia zmiennej losowej od jej oczekiwań matematycznych: .
W problemach praktycznych do obliczenia wariancji stosuje się równoważny wzór.
Główne właściwości dyspersji to:
.
Możemy wyróżnić najczęstsze prawa rozkładu dyskretnych zmiennych losowych:
- Prawo dystrybucji dwumianowej
- Prawo rozkładu Poissona
- Prawo rozkładu geometrycznego
- Prawo rozkładu hipergeometrycznego
Dla danych rozkładów dyskretnych zmiennych losowych obliczenie prawdopodobieństw ich wartości, a także charakterystyk numerycznych (oczekiwania matematyczne, wariancja itp.) przeprowadza się za pomocą określonych „wzorów”. Dlatego bardzo ważna jest znajomość tego typu rozkładów i ich podstawowych właściwości.
1. Prawo rozkładu dwumianowego.
Dyskretna zmienna losowa $X$ podlega prawu dwumianowego rozkładu prawdopodobieństwa, jeżeli przyjmuje wartości $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ z prawdopodobieństwami $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k)$. W rzeczywistości zmienna losowa $X$ to liczba wystąpień zdarzenia $A$ w niezależnych próbach $n$. Prawo rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej $X$:
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \dots & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\right) & P_n\left(1\right) & \dots & P_n\left(n\right) \\
\hline
\end(tablica)$
W przypadku takiej zmiennej losowej oczekiwanie matematyczne wynosi $M\left(X\right)=np$, wariancja wynosi $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Przykład . Rodzina ma dwójkę dzieci. Zakładając prawdopodobieństwo posiadania chłopca i dziewczynki równe 0,5 $, znajdź prawo rozkładu zmiennej losowej $\xi$ – liczby chłopców w rodzinie.
Niech zmienną losową $\xi $ będzie liczba chłopców w rodzinie. Wartości, które $\xi może przyjąć:\ 0,\ 1,\ 2$. Prawdopodobieństwa tych wartości można znaleźć korzystając ze wzoru $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(n-k )$, gdzie $n =2$ to liczba niezależnych prób, $p=0,5$ to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w serii $n$ prób. Otrzymujemy:
$P\left(\xi =0\right)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$
$P\left(\xi =1\right)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$
$P\left(\xi =2\right)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\right))^(2-2)=(0, 5)^2 = 0,25.$
Wtedy prawo rozkładu zmiennej losowej $\xi $ jest zgodnością wartości $0,\ 1,\ 2$ z ich prawdopodobieństwami, czyli:
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
\xi i 0 i 1 i 2 \\
\hline
P(\xi) i 0,25 i 0,5 i 0,25 \\
\hline
\end(tablica)$
Suma prawdopodobieństw w prawie podziału powinna być równa $1$, czyli $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25 = 1 dolar.
Oczekiwanie $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, wariancja $D\left(\xi \right)=np\left(1-p\right)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, odchylenie standardowe $\sigma \left(\xi \right)=\sqrt(D\left(\xi \right))=\sqrt(0,5 )\około 0,707 $.
2. Prawo rozkładu Poissona.
Jeśli dyskretna zmienna losowa $X$ może przyjmować tylko nieujemne wartości całkowite $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ z prawdopodobieństwami $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Komentarz. Osobliwością tego rozkładu jest to, że na podstawie danych eksperymentalnych znajdujemy oszacowania $M\left(X\right),\ D\left(X\right)$, jeżeli otrzymane oszacowania są do siebie zbliżone, to mamy powód, aby twierdzić, że zmienna losowa podlega prawu rozkładu Poissona.
Przykład . Przykładami zmiennych losowych podlegających prawu rozkładu Poissona mogą być: liczba samochodów, które jutro będą obsługiwane przez stację benzynową; liczba wadliwych elementów w wyprodukowanych produktach.
Przykład . Fabryka wysłała do bazy produkty o wartości 500 dolarów. Prawdopodobieństwo uszkodzenia produktu w transporcie wynosi 0,002 $. Znajdź prawo rozkładu zmiennej losowej $X$ równej liczbie uszkodzonych produktów; co to jest $M\lewy(X\prawy),\D\lewy(X\prawy)$.
Niech dyskretna zmienna losowa $X$ będzie liczbą uszkodzonych produktów. Taka zmienna losowa podlega prawu rozkładu Poissona z parametrem $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Prawdopodobieństwa wartości są równe $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\lewo(X=0\prawo)=((1^0)\ponad (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\lewo(X=1\prawo)=((1^1)\powyżej (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\lewo(X=2\prawo)=((1^2)\ponad (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\lewo(X=3\prawo)=((1^3)\ponad (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\lewo(X=4\prawo)=((1^4)\ponad (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\lewo(X=5\prawo)=((1^5)\ponad (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\lewo(X=6\prawo)=((1^6)\ponad (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\lewo(X=k\prawo)=((((\lambda )^k)\nad (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Prawo rozkładu zmiennej losowej $X$:
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\over (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(tablica)$
Dla takiej zmiennej losowej matematyczne oczekiwanie i wariancja są sobie równe i równe parametrowi $\lambda $, czyli $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\ lambda = 1 $.
3. Prawo rozkładu geometrycznego.
Jeśli dyskretna zmienna losowa $X$ może przyjmować tylko wartości naturalne $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ z prawdopodobieństwami $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ prawo)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $, to mówią, że taka zmienna losowa $X$ podlega geometrycznemu prawu rozkładu prawdopodobieństwa. W rzeczywistości rozkład geometryczny jest testem Bernoulliego aż do pierwszego sukcesu.
Przykład . Przykładami zmiennych losowych o rozkładzie geometrycznym mogą być: liczba strzałów przed pierwszym trafieniem w tarczę; liczba testów urządzenia do pierwszej awarii; liczba rzutów monetą do momentu wyrzucenia pierwszej reszki itp.
Matematyczne oczekiwanie i wariancja zmiennej losowej podlegającej rozkładowi geometrycznemu są odpowiednio równe $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right) )/p^ 2 USD.
Przykład . Na drodze przemieszczania się ryb na miejsce tarła znajduje się śluza o wartości 4 dolarów. Prawdopodobieństwo przejścia ryby przez każdą śluzę wynosi $p=3/5$. Skonstruuj szereg rozkładów zmiennej losowej $X$ – liczby śluz, które ryba minęła przed pierwszym zatrzymaniem się w śluzie. Znajdź $M\left(X\right),\ D\left(X\right),\ \sigma \left(X\right)$.
Niech zmienna losowa $X$ będzie liczbą śluz, które ryba minęła przed pierwszym zatrzymaniem w śluzie. Taka zmienna losowa podlega geometrycznemu prawu rozkładu prawdopodobieństwa. Wartości, jakie może przyjąć zmienna losowa $X: $ 1, 2, 3, 4. Prawdopodobieństwa tych wartości obliczamy ze wzoru: $P\left(X=k\right)=pq^(k -1)$, gdzie: $ p=2/5$ - prawdopodobieństwo zatrzymania ryby przez śluzę, $q=1-p=3/5$ - prawdopodobieństwo przejścia ryby przez śluzę, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\lewo(X=1\prawo)=((2)\nad (5))\cdot (\lewo(((3)\nad (5))\prawo))^0=((2)\ ponad (5))=0,4;$
$P\lewo(X=2\prawo)=((2)\nad (5))\cdot ((3)\nad (5))=((6)\nad (25))=0,24 $;
$P\lewo(X=3\prawo)=((2)\nad (5))\cdot (\lewo(((3)\nad (5))\prawo))^2=((2)\ ponad (5))\cdot ((9)\ponad (25))=((18)\ponad (125))=0,144;$
$P\lewo(X=4\prawo)=((2)\nad (5))\cdot (\lewo(((3)\nad (5))\prawo))^3+(\lewo(( (3)\ponad (5))\prawo))^4=((27)\ponad (125))=0,216.$
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
X_i i 1 i 2 i 3 i 4 \\
\hline
P\lewo(X_i\prawo) i 0,4 i 0,24 i 0,144 i 0,216 \\
\hline
\end(tablica)$
Wartość oczekiwana:
$M\left(X\right)=\suma^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$
Dyspersja:
$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2=)0.4\cdot (\ left( 1-2,176\prawo))^2+0,24\cdot (\lewo(2-2,176\prawo))^2+0,144\cdot (\lewo(3-2,176\prawo))^2+$
$+\0,216\cdot (\lewo(4-2176\prawo))^2\około 1,377.$
Odchylenie standardowe:
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(1377)\około 1173.$
4. Prawo rozkładu hipergeometrycznego.
Jeśli obiekty $N$, spośród których obiekty $m$ mają daną właściwość. $n$ obiektów jest losowo pobieranych bez zwracania, wśród których było $k$ obiektów posiadających daną właściwość. Rozkład hipergeometryczny pozwala oszacować prawdopodobieństwo, że dokładnie $k$ obiektów w próbie będzie miało daną właściwość. Niech zmienna losowa $X$ będzie liczbą obiektów w próbie, które mają daną właściwość. Następnie prawdopodobieństwa wartości zmiennej losowej $X$:
$P\lewo(X=k\prawo)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\nad (C^n_N))$
Komentarz. Funkcja statystyczna HYPERGEOMET kreatora funkcji $f_x$ programu Excel pozwala określić prawdopodobieństwo, że określona liczba testów zakończy się sukcesem.
$f_x\do$ statystyczny$\do$ HIPERGEOMET$\do$ OK. Pojawi się okno dialogowe, które należy wypełnić. W kolumnie Liczba_sukcesów_w_próbce wskazać wartość $k$. wielkość próbki równa się $n$. W kolumnie Liczba_sukcesów_w_razem wskazać wartość $m$. wielkość populacji równa się $N$.
Matematyczne oczekiwanie i wariancja dyskretnej zmiennej losowej $X$, podlegające prawu rozkładu geometrycznego, są odpowiednio równe $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\right)= ((nm\lewo(1 -((m)\nad (N))\prawo)\lewo(1-((n)\nad (N))\prawo))\nad (N-1))$.
Przykład . W dziale kredytowym banku zatrudnionych jest 5 specjalistów z wyższym wykształceniem finansowym i 3 specjalistów z wyższym wykształceniem prawniczym. Zarząd banku podjął decyzję o wysłaniu 3 specjalistów w celu podniesienia ich kwalifikacji, wybierając ich w losowej kolejności.
a) Sporządzić szereg dystrybucyjny liczby specjalistów z wyższym wykształceniem finansowym, których można skierować w celu podniesienia swoich kwalifikacji;
b) Znajdź charakterystykę liczbową tego rozkładu.
Niech zmienną losową $X$ będzie liczba specjalistów z wyższym wykształceniem finansowym wśród trzech wybranych. Wartości, które może przyjąć $X: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ta zmienna losowa $X$ jest dystrybuowana według rozkładu hipergeometrycznego o następujących parametrach: $N=8$ - liczebność populacji, $m=5$ - liczba sukcesów w populacji, $n=3$ - liczebność próby, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - liczba sukcesów w próbie. Następnie prawdopodobieństwa $P\left(X=k\right)$ można obliczyć ze wzoru: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ ponad C_(N)^(n)) $. Mamy:
$P\left(X=0\right)=((C^0_5\cdot C^3_3)\over (C^3_8))=((1)\over (56))\około 0,018;$
$P\lewo(X=1\prawo)=((C^1_5\cdot C^2_3)\nad (C^3_8))=((15)\nad (56))\około 0,268;$
$P\lewo(X=2\prawo)=((C^2_5\cdot C^1_3)\nad (C^3_8))=((15)\nad (28))\około 0,536;$
$P\lewo(X=3\prawo)=((C^3_5\cdot C^0_3)\nad (C^3_8))=((5)\nad (28))\około 0,179,$
Następnie szereg rozkładów zmiennej losowej $X$:
$\begin(tablica)(|c|c|)
\hline
X_i i 0 i 1 i 2 i 3 \\
\hline
p_i i 0,018 i 0,268 i 0,536 i 0,179 \\
\hline
\end(tablica)$
Obliczmy charakterystykę liczbową zmiennej losowej $X$, korzystając z ogólnych hiperwzorów rozkład geometryczny.
$M\lewo(X\prawo)=((nm)\nad (N))=((3\cdot 5)\nad (8))=((15)\nad (8))=1875.$
$D\lewo(X\prawo)=((nm\lewo(1-((m)\nad (N))\prawo)\lewo(1-((n)\nad (N))\prawo)) \over (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\right)\cdot \left(1-((3)\over (8) ))\prawo))\ponad (8-1))=((225)\ponad (448))\około 0,502,$
$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(0,502)\około 0,7085.$
