Więcej w prosty sposób. Aby to zrobić, usuń z nawiasów. Otrzymasz: z(аz + b) = 0. Czynniki można zapisać: z=0 i az + b = 0, ponieważ oba mogą dać zero. W zapisie az + b = 0 drugi przesuwamy w prawo z innym znakiem. Stąd otrzymujemy z1 = 0 i z2 = -b/a. To są korzenie oryginału.
Jeżeli nie ma pełne równanie forma az² + c = 0, cale w tym przypadku można znaleźć po prostu przenosząc wolny termin do prawa strona równania Zmień także jego znak. Wynikiem będzie az² = -с. Ekspresowe z² = -c/a. Weź pierwiastek i zapisz dwa rozwiązania - pierwiastek kwadratowy dodatni i ujemny.
notatka
Jeśli w równaniu występują współczynniki ułamkowe, należy pomnożyć całe równanie przez odpowiedni współczynnik, aby pozbyć się ułamków.
Wiedza o rozwiązywaniu równań kwadratowych jest niezbędna zarówno dzieciom w wieku szkolnym, jak i studentom, czasami może to również pomóc dorosłemu w życiu codziennym. Istnieje kilka konkretnych metod rozwiązania.
Rozwiązywanie równań kwadratowych
Równanie kwadratowe postaci a*x^2+b*x+c=0. Współczynnik x jest pożądaną zmienną, a, b, c są współczynnikami numerycznymi. Pamiętaj, że znak „+” może zmienić się na znak „-”.Aby rozwiązać to równanie, należy skorzystać z twierdzenia Viety lub znaleźć dyskryminator. Najpopularniejszą metodą jest znalezienie dyskryminatora, ponieważ dla niektórych wartości a, b, c nie można zastosować twierdzenia Viety.
Aby znaleźć dyskryminator (D), należy zapisać wzór D=b^2 - 4*a*c. Wartość D może być większa, mniejsza lub równa zeru. Jeśli D jest większe lub mniejsze od zera, to będą dwa pierwiastki, jeśli D = 0, to pozostaje tylko jeden pierwiastek, a dokładniej możemy powiedzieć, że D w tym przypadku ma dwa równoważne pierwiastki. Podstaw znane współczynniki a, b, c do wzoru i oblicz wartość.
Po znalezieniu dyskryminatora użyj wzorów, aby znaleźć x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, gdzie sqrt jest funkcją oznaczającą pierwiastek kwadratowy z danej liczby. Po obliczeniu tych wyrażeń znajdziesz dwa pierwiastki swojego równania, po czym równanie uważa się za rozwiązane.
Jeśli D jest mniejsze od zera, to nadal ma pierwiastki. Ta sekcja praktycznie nie jest nauczana w szkole. Studenci powinni mieć świadomość, że pod pierwiastkiem pojawia się liczba ujemna. Pozbywają się tego, podkreślając część urojoną, to znaczy -1 pod pierwiastkiem jest zawsze równe elementowi urojonemu „i”, który jest mnożony przez pierwiastek o tej samej liczbie dodatniej. Przykładowo, jeśli D=sqrt(-20) to po transformacji otrzymamy D=sqrt(20)*i. Po tej transformacji rozwiązanie równania sprowadza się do tego samego znalezienia pierwiastków, jak opisano powyżej.
Twierdzenie Viety polega na wybraniu wartości x(1) i x(2). Stosowane są dwa identyczne równania: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=ń. I bardzo ważny punkt jest znakiem przed współczynnikiem b, pamiętajmy, że ten znak jest przeciwny do znaku w równaniu. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że obliczenie x(1) i x(2) jest bardzo proste, ale przy rozwiązywaniu staniesz przed faktem, że będziesz musiał wybrać liczby.
Elementy rozwiązywania równań kwadratowych
Zgodnie z prawami matematyki niektóre można rozłożyć na czynniki: (a+x(1))*(b-x(2))=0, jeśli udało Ci się w podobny sposób przekształcić to równanie kwadratowe za pomocą wzorów matematycznych, to śmiało zapisz odpowiedź. x(1) i x(2) będą równe sąsiednim współczynnikom w nawiasach, ale z przeciwny znak.Nie zapomnij również o niekompletnych równaniach kwadratowych. Być może brakuje Ci niektórych terminów; jeśli tak, to wszystkie jego współczynniki są po prostu równe zeru. Jeśli przed x^2 lub x nie ma nic, wówczas współczynniki a i b są równe 1.
Równanie kwadratowe– rozwiązanie jest proste! *Zwana dalej „KU”. Przyjaciele, wydawałoby się, że w matematyce nie ma nic prostszego niż rozwiązanie takiego równania. Ale coś mi mówiło, że wiele osób ma z nim problemy. Postanowiłem sprawdzić, ile wyświetleń na żądanie Yandex wykonuje miesięcznie. Oto co się stało, spójrz:
Co to znaczy? Oznacza to, że miesięcznie poszukuje około 70 000 osób ta informacja, co ma z tym wspólnego to lato i co będzie się działo wśród nich rok szkolny— będzie dwa razy więcej żądań. Nie jest to zaskakujące, ponieważ ci chłopcy i dziewczęta, którzy dawno temu ukończyli szkołę i przygotowują się do ujednoliconego egzaminu państwowego, szukają tych informacji, a uczniowie również starają się odświeżyć swoją pamięć.
Pomimo tego, że istnieje wiele stron, które podpowiadają, jak rozwiązać to równanie, zdecydowałem się również wnieść swój wkład i opublikować materiał. Po pierwsze, chcę, aby odwiedzający odwiedzali moją witrynę na podstawie tego żądania; po drugie, w innych artykułach, gdy pojawi się temat „KU”, podam link do tego artykułu; po trzecie, opowiem Ci o jego rozwiązaniu trochę więcej, niż jest to zwykle podawane na innych stronach. Zacznijmy! Treść artykułu:
Równanie kwadratowe to równanie postaci:
gdzie współczynniki a,Bi c są liczbami dowolnymi, gdzie a≠0.
Na kursie szkolnym materiał podawany jest w następującej formie - równania podzielone są na trzy klasy:
1. Mają dwa korzenie.
2. *Mają tylko jeden korzeń.
3. Nie mają korzeni. Warto w tym miejscu szczególnie zaznaczyć, że nie mają one prawdziwego korzenia
Jak obliczane są pierwiastki? Tylko!
Obliczamy dyskryminator. Pod tym „strasznym” słowem kryje się bardzo prosta formuła:
Podstawowe formuły są następujące:
*Musisz znać te formuły na pamięć.
Możesz od razu zapisać i rozwiązać:
Przykład:
1. Jeżeli D > 0, to równanie ma dwa pierwiastki.
2. Jeżeli D = 0, to równanie ma jeden pierwiastek.
3. Jeśli D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Spójrzmy na równanie:
Przez z tej okazji, gdy dyskryminator wynosi zero, kurs szkolny mówi, że wynikiem jest jeden pierwiastek, tutaj jest równy dziewięć. Wszystko się zgadza, tak jest, ale...
Pomysł ten jest nieco błędny. W rzeczywistości istnieją dwa korzenie. Tak, tak, nie zdziw się, otrzymasz dwa równe pierwiastki, a żeby być precyzyjnym matematycznie, to w odpowiedzi należy wpisać dwa pierwiastki:
x 1 = 3 x 2 = 3
Ale tak jest - mała dygresja. W szkole możesz to zapisać i powiedzieć, że jest jeden pierwiastek.
Teraz następny przykład:
Jak wiemy, korzeń Liczba ujemna nie jest wyodrębniany, więc w tym przypadku nie ma rozwiązania.
To cały proces decyzyjny.
Funkcja kwadratowa.
To pokazuje, jak rozwiązanie wygląda geometrycznie. Jest to niezwykle ważne, aby zrozumieć (w przyszłości w jednym z artykułów szczegółowo przeanalizujemy rozwiązanie nierówności kwadratowej).
Jest to funkcja postaci:
gdzie x i y są zmiennymi
a, b, c – dane liczby, gdzie a ≠ 0
Wykres jest parabolą:
Oznacza to, że rozwiązując równanie kwadratowe z „y” równym zero, znajdujemy punkty przecięcia paraboli z osią x. Mogą być dwa takie punkty (wyróżnik jest dodatni), jeden (wyróżnik ma wartość zero) i żaden (wyróżnik jest ujemny). Szczegóły dot funkcja kwadratowa Możesz obejrzeć artykuł Inny Feldman.
Spójrzmy na przykłady:
Przykład 1: Rozwiąż 2x 2 +8 X–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Odpowiedź: x 1 = 8 x 2 = –12
*Można było od razu podzielić lewą i prawą stronę równania przez 2, czyli uprościć. Obliczenia będą łatwiejsze.
Przykład 2: Decydować x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
re = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Ustaliliśmy, że x 1 = 11 i x 2 = 11
W odpowiedzi można zapisać x = 11.
Odpowiedź: x = 11
Przykład 3: Decydować x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
re = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Dyskryminator jest ujemny, w liczbach rzeczywistych nie ma rozwiązania.
Odpowiedź: brak rozwiązania
Wyróżnik jest ujemny. Jest rozwiązanie!
Tutaj porozmawiamy o rozwiązaniu równania w przypadku uzyskania ujemnego dyskryminatora. Czy wiesz coś o Liczby zespolone? Nie będę tu szczegółowo omawiał, dlaczego i gdzie powstały oraz jaka jest ich specyficzna rola i konieczność w matematyce; jest to temat na obszerny, odrębny artykuł.
Pojęcie liczby zespolonej.
Trochę teorii.
Liczba zespolona z jest liczbą postaci
z = a + bi
gdzie aib są liczbami rzeczywistymi, i jest tak zwaną jednostką urojoną.
a+bi – jest to JEDYNA LICZBA, a nie dodatek.
Jednostka urojona jest równa pierwiastkowi z minus jeden:
Rozważmy teraz równanie:
Otrzymujemy dwa sprzężone pierwiastki.
Niekompletne równanie kwadratowe.
Rozważmy szczególne przypadki, gdy współczynnik „b” lub „c” jest równy zero (lub oba są równe zero). Można je łatwo rozwiązać bez żadnych dyskryminatorów.
Przypadek 1. Współczynnik b = 0.
Równanie staje się:
Przekształćmy:
Przykład:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Przypadek 2. Współczynnik c = 0.
Równanie staje się:
Przekształćmy i rozłóżmy na czynniki:
*Iloczyn jest równy zero, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.
Przykład:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 lub x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Przypadek 3. Współczynniki b = 0 i c = 0.
Tutaj jest jasne, że rozwiązaniem równania będzie zawsze x = 0.
Przydatne właściwości i wzory współczynników.
Istnieją właściwości, które pozwalają rozwiązywać równania o dużych współczynnikach.
AX 2 + bx+ C=0 obowiązuje równość
A + B+ c = 0, To
- jeśli dla współczynników równania AX 2 + bx+ C=0 obowiązuje równość
A+ c =B, To
Właściwości te pomagają rozwiązać określony typ równania.
Przykład 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0
Suma szans wynosi 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, co oznacza
Przykład 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0
Równość obowiązuje A+ c =B, Oznacza
Regularności współczynników.
1. Jeżeli w równaniu ax 2 + bx + c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 +1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe
topór 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Przykład. Rozważmy równanie 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Jeżeli w równaniu ax 2 – bx + c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 +1), a współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe
topór 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Przykład. Rozważmy równanie 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Jeśli w równaniu ax 2 + bx – c = 0 współczynnik „b” jest równe (a 2 – 1) i współczynnik „c” jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, wtedy jego pierwiastki są równe
topór 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Przykład. Rozważmy równanie 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Jeżeli w równaniu ax 2 – bx – c = 0 współczynnik „b” jest równy (a 2 – 1), a współczynnik c jest liczbowo równy współczynnikowi „a”, to jego pierwiastki są równe
topór 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Przykład. Rozważmy równanie 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Twierdzenie Viety.
Twierdzenie Viety zostało nazwane na cześć słynnego francuskiego matematyka Francois Viety. Korzystając z twierdzenia Viety, możemy wyrazić sumę i iloczyn pierwiastków dowolnego KU w postaci jego współczynników.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
W sumie liczba 14 daje tylko 5 i 9. To są pierwiastki. Przy pewnej wprawie, korzystając z przedstawionego twierdzenia, można od razu ustnie rozwiązać wiele równań kwadratowych.
Twierdzenie Viety dodatkowo. Jest to wygodne, ponieważ po rozwiązaniu równania kwadratowego w zwykły sposób (poprzez dyskryminator) można sprawdzić powstałe pierwiastki. Polecam robić to zawsze.
SPOSÓB TRANSPORTU
Dzięki tej metodzie współczynnik „a” jest mnożony przez wolny termin, jakby „wrzucony” do niego, dlatego nazywa się go metoda „przelewu”. Metodę tę stosuje się, gdy pierwiastki równania można łatwo znaleźć za pomocą twierdzenia Viety i, co najważniejsze, gdy wyróżnik jest dokładnym kwadratem.
Jeśli A± b+c≠ 0, wówczas stosuje się technikę transferu, np.:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Korzystając z twierdzenia Viety w równaniu (2) łatwo jest ustalić, że x 1 = 10 x 2 = 1
Powstałe pierwiastki równania należy podzielić przez 2 (ponieważ dwa zostały „wyrzucone” z x 2), otrzymujemy
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Jakie jest uzasadnienie? Spójrz, co się dzieje.
Dyskryminatory równań (1) i (2) są równe:
Jeśli spojrzysz na pierwiastki równań, otrzymasz tylko różne mianowniki, a wynik zależy dokładnie od współczynnika x 2:
Drugi (zmodyfikowany) ma korzenie 2 razy większe.
Dlatego wynik dzielimy przez 2.
*Jeśli przerzucimy trójkę, wynik podzielimy przez 3 itd.
Odpowiedź: x 1 = 5 x 2 = 0,5
Plac ur-ie i ujednolicony egzamin państwowy.
Opowiem Ci krótko o jego znaczeniu - MUSISZ UMIEĆ DECYZJI szybko i bez zastanowienia, musisz znać na pamięć wzory pierwiastków i wyróżników. Wiele problemów zawartych w zadaniach Unified State Examination sprowadza się do rozwiązania równań kwadratowych (w tym geometrycznych).
Coś wartego uwagi!
1. Forma zapisu równania może być „ukryta”. Na przykład możliwy jest następujący wpis:
15+ 9x 2 - 45x = 0 lub 15x+42+9x 2 - 45x=0 lub 15 -5x+10x 2 = 0.
Musisz go przyprowadzić standardowy widok(aby nie pomylić się przy podejmowaniu decyzji).
2. Pamiętaj, że x jest wielkością nieznaną i można ją oznaczyć dowolną inną literą - t, q, p, h i innymi.
Temat ten może początkowo wydawać się trudny, ponieważ wiele osób tak nie jest proste formuły. Nie tylko same równania kwadratowe mają długie zapisy, ale pierwiastki można również znaleźć poprzez dyskryminator. W sumie otrzymano trzy nowe formuły. Niezbyt łatwe do zapamiętania. Jest to możliwe dopiero po częstym rozwiązywaniu takich równań. Wtedy wszystkie formuły zostaną zapamiętane same.
Ogólny widok równania kwadratowego
Tutaj proponujemy ich wyraźne zapisanie, gdy najpierw zapisywany jest stopień największy, a następnie w kolejności malejącej. Często zdarzają się sytuacje, w których warunki są niespójne. Wtedy lepiej jest przepisać równanie w kolejności malejącej według stopnia zmiennej.
Wprowadźmy pewną notację. Zostały one zaprezentowane w poniższej tabeli.
Jeśli przyjmiemy te oznaczenia, wszystkie równania kwadratowe sprowadzają się do następującego zapisu.
Co więcej, współczynnik a ≠ 0. Niech ta formuła będzie oznaczona numerem jeden.
Kiedy podane jest równanie, nie jest jasne, ile pierwiastków będzie w odpowiedzi. Ponieważ zawsze możliwa jest jedna z trzech opcji:
- rozwiązanie będzie miało dwa korzenie;
- odpowiedzią będzie jedna liczba;
- równanie nie będzie miało w ogóle pierwiastków.
A dopóki decyzja nie zostanie sfinalizowana, trudno zrozumieć, która opcja pojawi się w konkretnym przypadku.
Rodzaje zapisów równań kwadratowych
W zadaniach mogą znajdować się różne wpisy. Nie zawsze będą wyglądać ogólna formuła równanie kwadratowe. Czasami będzie brakować niektórych terminów. To, co napisano powyżej, jest pełnym równaniem. Jeśli usuniesz z niego drugi lub trzeci termin, otrzymasz coś innego. Zapisy te nazywane są również równaniami kwadratowymi, tylko że są niekompletne.
Co więcej, mogą zniknąć tylko terminy ze współczynnikami „b” i „c”. Liczba „a” w żadnym wypadku nie może być równa zeru. Ponieważ w tym przypadku formuła staje się równanie liniowe. Wzory na niepełną postać równań będą następujące:
Istnieją więc tylko dwa typy, oprócz pełnych istnieją również niepełne równania kwadratowe. Niech pierwsza formuła będzie numerem dwa, a druga - trzema.
Dyskryminator i zależność liczby pierwiastków od jego wartości
Musisz znać tę liczbę, aby obliczyć pierwiastki równania. Zawsze można to obliczyć, niezależnie od wzoru równania kwadratowego. Aby obliczyć dyskryminator, należy skorzystać z równości zapisanej poniżej, która będzie miała numer cztery.
Po podstawieniu wartości współczynników do tego wzoru możesz uzyskać liczby różne znaki. Jeśli odpowiedź brzmi tak, to odpowiedź na równanie wynosi dwa różne korzenie. Jeśli liczba jest ujemna, równanie kwadratowe nie będzie pierwiastków. Jeśli będzie równa zero, będzie tylko jedna odpowiedź.
Jak rozwiązać pełne równanie kwadratowe?
Właściwie rozważanie tej kwestii już się rozpoczęło. Ponieważ najpierw trzeba znaleźć dyskryminator. Po ustaleniu, że istnieją pierwiastki równania kwadratowego i znana jest ich liczba, należy zastosować wzory na zmienne. Jeśli są dwa korzenie, musisz zastosować następującą formułę.
Ponieważ zawiera znak „±”, będą dwie wartości. Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym jest wyróżnikiem. Dlatego formułę można przepisać inaczej.
Formuła numer pięć. Z tego samego zapisu jasno wynika, że jeśli dyskryminator jest równy zero, to oba pierwiastki przyjmą te same wartości.
Jeśli nie opracowano jeszcze rozwiązania równań kwadratowych, lepiej zapisać wartości wszystkich współczynników przed zastosowaniem wzorów dyskryminacyjnych i zmiennych. Później ten moment nie sprawi trudności. Jednak już na początku panuje zamieszanie.
Jak rozwiązać niepełne równanie kwadratowe?
Tutaj wszystko jest znacznie prostsze. Nie ma nawet potrzeby stosowania dodatkowych formuł. A te, które zostały już zapisane dla rozróżniającego i nieznanego, nie będą potrzebne.
Najpierw spójrzmy na niekompletne równanie numer dwa. W tej równości należy wyjąć nieznaną wielkość z nawiasów i rozwiązać równanie liniowe, które pozostanie w nawiasach. Odpowiedź będzie miała dwa korzenie. Pierwsza z konieczności jest równa zeru, ponieważ istnieje mnożnik składający się z samej zmiennej. Drugie otrzymamy rozwiązując równanie liniowe.
Niekompletne równanie numer trzy rozwiązuje się, przesuwając liczbę z lewej strony równości na prawą. Następnie musisz podzielić przez współczynnik skierowany w stronę nieznanego. Pozostaje tylko wyciągnąć pierwiastek kwadratowy i pamiętać o zapisaniu go dwukrotnie z przeciwnymi znakami.
Poniżej znajduje się kilka kroków, które pomogą Ci nauczyć się rozwiązywać wszelkiego rodzaju równości, które zamieniają się w równania kwadratowe. Pomogą uczniowi uniknąć błędów wynikających z nieuwagi. Te niedociągnięcia mogą powodować słabe oceny podczas studiowania obszernego tematu „Równania kwadratowe (8. klasa)”. Następnie czynności te nie będą musiały być wykonywane stale. Ponieważ pojawi się stabilna umiejętność.
- Najpierw musisz zapisać równanie w standardowej formie. Czyli najpierw termin z największym stopniem zmiennej, potem – bez stopnia, a na koniec – tylko liczba.
- Jeśli przed współczynnikiem „a” pojawi się minus, może to skomplikować pracę początkującemu studiującemu równania kwadratowe. Lepiej się tego pozbyć. W tym celu wszystkie równości należy pomnożyć przez „-1”. Oznacza to, że wszystkie wyrazy zmienią znak na przeciwny.
- Zaleca się pozbywanie się ułamków w ten sam sposób. Wystarczy pomnożyć równanie przez odpowiedni współczynnik, aby mianowniki się zniosły.
Przykłady
Wymagane jest rozwiązanie następujących równań kwadratowych:
x 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Pierwsze równanie: x 2 − 7x = 0. Jest niekompletne, dlatego rozwiązuje się je w sposób opisany we wzorze numer dwa.
Po usunięciu z nawiasów okazuje się: x (x - 7) = 0.
Pierwszy pierwiastek przyjmuje wartość: x 1 = 0. Drugi pierwiastek znajdziemy z równania liniowego: x - 7 = 0. Łatwo zauważyć, że x 2 = 7.
Drugie równanie: 5x 2 + 30 = 0. Znowu niekompletne. Tylko że rozwiązuje się to w sposób opisany dla trzeciego wzoru.
Po przesunięciu 30 na prawą stronę równania: 5x 2 = 30. Teraz musisz podzielić przez 5. Okazuje się: x 2 = 6. Odpowiedziami będą liczby: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Trzecie równanie: 15 − 2x − x 2 = 0. Tutaj i dalej rozwiązywanie równań kwadratowych rozpoczniemy od przepisania ich do standardowej postaci: − x 2 − 2x + 15 = 0. Teraz czas skorzystać z drugiego przydatna rada i pomnóż wszystko przez minus jeden. Okazuje się, że x 2 + 2x - 15 = 0. Korzystając z czwartego wzoru, musisz obliczyć dyskryminator: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Jest to liczba dodatnia. Z tego, co powiedziano powyżej, okazuje się, że równanie ma dwa pierwiastki. Należy je obliczyć za pomocą piątego wzoru. Okazuje się, że x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Wtedy x 1 = 3, x 2 = - 5.
Czwarte równanie x 2 + 8 + 3x = 0 przekształca się w następujące równanie: x 2 + 3x + 8 = 0. Jego wyróżnik jest równy tej wartości: -23. Ponieważ liczba ta jest ujemna, odpowiedzią na to zadanie będzie wpis: „Nie ma pierwiastków”.
Piąte równanie 12x + x 2 + 36 = 0 należy przepisać w następujący sposób: x 2 + 12x + 36 = 0. Po zastosowaniu wzoru na dyskryminator otrzymuje się liczbę zero. Oznacza to, że będzie miał jeden pierwiastek, a mianowicie: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Szóste równanie (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) wymaga przekształceń, które polegają na tym, że trzeba wprowadzić wyrazy podobne, najpierw otwierając nawiasy. W miejsce pierwszego pojawi się wyrażenie: x 2 + 2x + 1. Po równości pojawi się zapis: x 2 + 3x + 2. Po policzeniu podobnych wyrazów równanie przyjmie postać: x 2 - x = 0. Stało się niekompletne. Coś podobnego zostało już omówione nieco wyżej. Pierwiastkami tego będą liczby 0 i 1.
Rozważmy problem. Podstawa prostokąta jest o 10 cm większa od jego wysokości, a jego pole wynosi 24 cm². Znajdź wysokość prostokąta. Pozwalać X centymetry to wysokość prostokąta, wówczas jego podstawa jest równa ( X+10) cm Pole tego prostokąta wynosi X(X+ 10) cm². Zgodnie z warunkami problemu X(X+ 10) = 24. Otwórz nawiasy i przesuń liczbę 24 ze znakiem przeciwnym lewa strona równania, otrzymujemy: X² + 10 X-24 = 0. Rozwiązując ten problem, uzyskano równanie zwane kwadratowym.
Równanie kwadratowe jest równaniem postaci
topór ²+ bx+c= 0
Gdzie a, b, c- podane liczby i A≠ 0 oraz X- nieznany.
Szanse a, b, c Równanie kwadratowe nazywa się zwykle: A— pierwszy lub najwyższy współczynnik, B- drugi współczynnik, C- wolny członek. Na przykład w naszym problemie współczynnik wiodący wynosi 1, drugi współczynnik wynosi 10, a wyraz wolny to -24. Rozwiązywanie wielu problemów z matematyki i fizyki sprowadza się do rozwiązywania równań kwadratowych.
Rozwiązywanie równań kwadratowych
Uzupełnij równania kwadratowe. Pierwszym krokiem jest doprowadzenie danego równania do postaci standardowej topór²+ bx+ c = 0. Wróćmy do naszego problemu, w którym równanie można zapisać jako X(X+ 10) = 24, sprowadźmy to do standardowej postaci, otwórzmy nawiasy X² + 10 X- 24 = 0, rozwiązujemy to równanie korzystając ze wzoru na pierwiastki ogólnego równania kwadratowego.
Wyrażenie pod znakiem pierwiastka w tym wzorze nazywa się dyskryminatorem D = B² - 4 AC
Jeśli D>0, to równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, które można znaleźć, korzystając ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego.
Jeżeli D=0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek.
Jeśli D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.
Podstawmy wartości do naszej formuły A= 1, B= 10, C= -24.
otrzymujemy D>0, zatem otrzymujemy dwa pierwiastki.
Rozważmy przykład, w którym D=0, pod tym warunkiem powinien być jeden pierwiastek.
25X² — 30 X+ 9 = 0
Rozważmy przykład, w którym D<0, при этом условии решения не должно быть.
2X² + 3 X+ 4 = 0
Liczba pod pierwiastkiem (wyróżnikiem) jest ujemna, odpowiedź zapisujemy następująco: równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych
Równanie kwadratowe topór² + bx+ C= 0 nazywa się niekompletnym, jeśli co najmniej jeden ze współczynników B Lub C równy zeru. Niekompletne równanie kwadratowe to równanie jednego z następujących typów:
topór² = 0,
topór² + C= 0, C≠ 0,
topór² + bx= 0, B≠ 0.
Spójrzmy na kilka przykładów i rozwiążmy równanie
Dzielenie obu stron równania przez 5 daje równanie X² = 0, odpowiedź będzie miała jeden pierwiastek X= 0.
Rozważmy równanie postaci
3X² - 27 = 0
Dzieląc obie strony przez 3, otrzymujemy równanie X² - 9 = 0 lub można to zapisać X² = 9, odpowiedź będzie miała dwa pierwiastki X= 3 i X= -3.
Rozważmy równanie postaci
2X² + 7 = 0
Dzieląc obie strony przez 2, otrzymujemy równanie X² = -7/2. To równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków, ponieważ X² ≥ 0 dla dowolnej liczby rzeczywistej X.
Rozważmy równanie postaci
3X² + 5 X= 0
Uwzględniając lewą stronę równania, otrzymujemy X(3X+ 5) = 0, odpowiedź będzie miała dwa pierwiastki X= 0, X=-5/3.
Najważniejszą rzeczą przy rozwiązywaniu równań kwadratowych jest doprowadzenie równania kwadratowego do standardowej postaci, zapamiętanie wzoru na pierwiastki ogólnego równania kwadratowego i nie pomylenie znaków.
Kontynuując temat „Rozwiązywanie równań”, materiał w tym artykule wprowadzi Cię w równania kwadratowe.
Przyjrzyjmy się wszystkiemu szczegółowo: istocie i zapisowi równania kwadratowego, zdefiniuj towarzyszące terminy, przeanalizuj schemat rozwiązywania równań niepełnych i pełnych, zapoznaj się ze wzorem pierwiastków i dyskryminatora, ustal połączenia między pierwiastkami i współczynnikami, i oczywiście podamy wizualne rozwiązanie praktycznych przykładów.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Równanie kwadratowe, jego rodzaje
Definicja 1Równanie kwadratowe jest równaniem zapisanym jako za x 2 + b x + do = 0, Gdzie X– zmienna, a, b i C– kilka liczb, podczas gdy A nie jest zerem.
Często równania kwadratowe nazywane są również równaniami drugiego stopnia, ponieważ w istocie równanie kwadratowe jest równaniem algebraicznym drugiego stopnia.
Podajmy przykład ilustrujący podaną definicję: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 itd. Są to równania kwadratowe.
Definicja 2
Liczby a, b i C są współczynnikami równania kwadratowego za x 2 + b x + do = 0, natomiast współczynnik A nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b - drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy X, A C nazywany wolnym członkiem.
Na przykład w równaniu kwadratowym 6 x 2 - 2 x - 11 = 0 współczynnik wiodący wynosi 6, drugi współczynnik − 2 , a wolny termin jest równy − 11 . Zwróćmy uwagę na fakt, że gdy współczynniki B i/lub c są ujemne, wówczas stosuje się skróconą formę 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, ale nie 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) = 0.
Wyjaśnijmy również ten aspekt: jeśli współczynniki A i/lub B równy 1 Lub − 1 , wówczas nie mogą brać wyraźnego udziału w pisaniu równania kwadratowego, co tłumaczy się osobliwościami pisania wskazanych współczynników liczbowych. Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 - y + 7 = 0 współczynnik wiodący wynosi 1, a drugi współczynnik − 1 .
Równania kwadratowe zredukowane i nieredukowane
Ze względu na wartość pierwszego współczynnika równania kwadratowe dzielimy na zredukowane i nieredukowane.
Definicja 3
Zredukowane równanie kwadratowe jest równaniem kwadratowym, w którym współczynnik wiodący wynosi 1. Dla innych wartości współczynnika wiodącego równanie kwadratowe jest nieredukowane.
Podajmy przykłady: równania kwadratowe x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 są redukowane, w każdym z nich współczynnik wiodący wynosi 1.
9 x 2 - x - 2 = 0- nieredukowane równanie kwadratowe, od którego różni się pierwszy współczynnik 1 .
Każde niezredukowane równanie kwadratowe można przekształcić w równanie zredukowane, dzieląc obie strony przez pierwszy współczynnik (transformacja równoważna). Przekształcone równanie będzie miało te same pierwiastki co podane równanie niezredukowane lub też nie będzie miało pierwiastków.
Rozpatrzenie konkretnego przykładu pozwoli nam wyraźnie wykazać przejście od nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.
Przykład 1
Biorąc pod uwagę równanie 6 x 2 + 18 x - 7 = 0 . Konieczne jest przekształcenie pierwotnego równania do postaci zredukowanej.
Rozwiązanie
Zgodnie z powyższym schematem dzielimy obie części oryginalne równanie według najwyższego współczynnika 6. Następnie otrzymujemy: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 = 0: 3, a to jest to samo co: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 = 0 i dalej: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 = 0. Stąd: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . W ten sposób otrzymuje się równanie równoważne podanemu.
Odpowiedź: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .
Równania kwadratowe zupełne i niezupełne
Przejdźmy do definicji równania kwadratowego. W nim to określiliśmy a ≠ 0. Podobny warunek jest konieczny dla równania za x 2 + b x + do = 0 był dokładnie kwadratowy, gdyż o godz a = 0 zasadniczo przekształca się w równanie liniowe b x + do = 0.
W przypadku, gdy współczynniki B I C są równe zeru (co jest możliwe zarówno indywidualnie, jak i łącznie), równanie kwadratowe nazywa się niepełnym.
Definicja 4
Niekompletne równanie kwadratowe- takie równanie kwadratowe za x 2 + b x + do = 0, gdzie co najmniej jeden ze współczynników B I C(lub oba) wynosi zero.
Pełne równanie kwadratowe– równanie kwadratowe, w którym wszystkie współczynniki liczbowe nie są równe zero.
Porozmawiajmy, dlaczego rodzaje równań kwadratowych mają dokładnie te nazwy.
Gdy b = 0, równanie kwadratowe przyjmuje postać za x 2 + 0 x + do = 0, czyli to samo co za x 2 + do = 0. Na c = 0 równanie kwadratowe zapisuje się jako za x 2 + b x + 0 = 0, co jest równoważne za x 2 + b x = 0. Na b = 0 I c = 0 równanie przybierze postać a x 2 = 0. Otrzymane przez nas równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewa strona nie zawiera ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, ani obu. Właściwie to właśnie ten fakt dał nazwę tego typu równaniom – niepełne.
Na przykład x 2 + 3 x + 4 = 0 i - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 = 0 są pełnymi równaniami kwadratowymi; x 2 = 0, - 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – niepełne równania kwadratowe.
Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych
Podana powyżej definicja pozwala wyróżnić następujące typy niepełnych równań kwadratowych:
- a x 2 = 0, to równanie odpowiada współczynnikom b = 0 i c = 0;
- a · x 2 + do = 0 przy b = 0 ;
- a · x 2 + b · x = 0 przy c = 0.
Rozważmy kolejno rozwiązanie każdego rodzaju niepełnego równania kwadratowego.
Rozwiązanie równania a x 2 =0
Jak wspomniano powyżej, równanie to odpowiada współczynnikom B I C, równy zeru. Równanie a x 2 = 0 można przekształcić w równoważne równanie x2 = 0, które otrzymujemy dzieląc obie strony pierwotnego równania przez liczbę A, nierówny zero. Oczywistym faktem jest pierwiastek równania x2 = 0 to jest zero, ponieważ 0 2 = 0 . Równanie to nie ma innych pierwiastków, co można wytłumaczyć właściwościami stopnia: dla dowolnej liczby P, nierówny zero, nierówność jest prawdziwa p2 > 0, z czego wynika, że kiedy p ≠ 0 równość p2 = 0 nigdy nie zostanie osiągnięty.
Definicja 5
Zatem dla niepełnego równania kwadratowego a x 2 = 0 istnieje pojedynczy pierwiastek x = 0.
Przykład 2
Na przykład rozwiążmy niepełne równanie kwadratowe − 3 x 2 = 0. Jest to równoważne równaniu x2 = 0, jego jedynym korzeniem jest x = 0, to pierwotne równanie ma jeden pierwiastek – zero.
W skrócie rozwiązanie jest zapisane w następujący sposób:
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
Rozwiązanie równania a x 2 + c = 0
Następne w kolejce jest rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych, gdzie b = 0, c ≠ 0, czyli równania postaci za x 2 + do = 0. Przekształćmy to równanie, przesuwając wyraz z jednej strony równania na drugą, zmieniając znak na przeciwny i dzieląc obie strony równania przez liczbę różną od zera:
- przenosić C po prawej stronie, co daje równanie za x 2 = - do;
- podziel obie strony równania przez A, kończymy na x = - c a .
Nasze przekształcenia są równoważne, zatem otrzymane równanie jest również równoważne pierwotnemu, co pozwala na wyciągnięcie wniosków na temat pierwiastków równania. Od jakich wartości A I C wartość wyrażenia - c a zależy: może mieć znak minus (na przykład if a = 1 I c = 2, następnie - c a = - 2 1 = - 2) lub znak plus (na przykład if za = - 2 I c = 6, następnie - do za = - 6 - 2 = 3); to nie jest zero, ponieważ c ≠ 0. Zatrzymajmy się bardziej szczegółowo nad sytuacjami, gdy - ok< 0 и - c a > 0 .
W przypadku gdy - ok< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа P równość p 2 = - c a nie może być prawdziwa.
Wszystko jest inne, gdy - c a > 0: pamiętaj o pierwiastku kwadratowym i stanie się oczywiste, że pierwiastkiem równania x 2 = - c a będzie liczbą - c a, ponieważ - c a 2 = - c a. Nietrudno zrozumieć, że liczba - - c a jest także pierwiastkiem równania x 2 = - c a: rzeczywiście - - c a 2 = - c a.
Równanie nie będzie miało innych pierwiastków. Możemy to wykazać za pomocą metody sprzeczności. Na początek zdefiniujmy oznaczenia pierwiastków znalezione powyżej jako x 1 I − x 1. Załóżmy, że równanie x 2 = - c a również ma pierwiastek x 2, co różni się od korzeni x 1 I − x 1. Wiemy to podstawiając do równania X jego pierwiastki, przekształcamy równanie w uczciwą równość liczbową.
Dla x 1 I − x 1 piszemy: x 1 2 = - c a , i dla x 2- x 2 2 = - do za . Bazując na własnościach równości liczbowych, odejmujemy jeden poprawny wyraz równości od drugiego, co da nam: x 1 2 - x 2 2 = 0. Używamy właściwości operacji na liczbach, aby przepisać ostatnią równość jako (x 1 - x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Wiadomo, że iloczyn dwóch liczb wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z liczb jest równa zero. Z powyższego wynika, że x 1 - x 2 = 0 i/lub x 1 + x 2 = 0, czyli to samo x2 = x1 i/lub x 2 = - x 1. Powstała oczywista sprzeczność, ponieważ początkowo uznano, że pierwiastek równania x 2 różni się od x 1 I − x 1. Udowodniliśmy więc, że równanie nie ma innych pierwiastków niż x = - c a i x = - - c a.
Podsumujmy wszystkie powyższe argumenty.
Definicja 6
Niekompletne równanie kwadratowe za x 2 + do = 0 jest równoważne równaniu x 2 = - c a, które:
- nie będzie miał korzeni w - ok< 0 ;
- będzie miał dwa pierwiastki x = - c a i x = - - c a dla - c a > 0.
Podajmy przykłady rozwiązywania równań za x 2 + do = 0.
Przykład 3
Biorąc pod uwagę równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0. Konieczne jest znalezienie rozwiązania.
Rozwiązanie
Przesuńmy wolny wyraz na prawą stronę równania, wtedy równanie przyjmie postać 9x2 = - 7.
Podzielmy obie strony otrzymanego równania przez 9
, dochodzimy do x 2 = - 7 9 . Po prawej stronie widzimy liczbę ze znakiem minus, co oznacza: dane równanie nie ma pierwiastków. Następnie oryginalne niekompletne równanie kwadratowe 9 x 2 + 7 = 0 nie będzie mieć korzeni.
Odpowiedź: równanie 9 x 2 + 7 = 0 nie ma korzeni.
Przykład 4
Trzeba rozwiązać równanie − x 2 + 36 = 0.
Rozwiązanie
Przesuńmy 36 na prawą stronę: − x 2 = − 36.
Podzielmy obie części przez − 1
, otrzymujemy x2 = 36. Po prawej stronie znajduje się liczba dodatnia, z której możemy to wywnioskować
x = 36 lub
x = - 36 .
Wyodrębnijmy pierwiastek i zapiszmy wynik końcowy: niepełne równanie kwadratowe − x 2 + 36 = 0 ma dwa korzenie x=6 Lub x = - 6.
Odpowiedź: x=6 Lub x = - 6.
Rozwiązanie równania a x 2 +b x=0
Przeanalizujmy trzeci typ niepełnych równań kwadratowych, kiedy c = 0. Aby znaleźć rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego za x 2 + b x = 0, zastosujemy metodę faktoryzacji. Rozłóżmy wielomian znajdujący się po lewej stronie równania na czynniki, usuwając wspólny czynnik z nawiasów X. Ten krok umożliwi przekształcenie pierwotnego niepełnego równania kwadratowego na jego odpowiednik x (a x + b) = 0. A to równanie z kolei jest równoważne zbiorowi równań x = 0 I a x + b = 0. Równanie a x + b = 0 liniowy i jego pierwiastek: x = - b za.
Definicja 7
Zatem niepełne równanie kwadratowe za x 2 + b x = 0 będzie miał dwa korzenie x = 0 I x = - b za.
Wzmocnijmy materiał przykładem.
Przykład 5
Konieczne jest znalezienie rozwiązania równania 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.
Rozwiązanie
Wyciągniemy to X poza nawiasami otrzymujemy równanie x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . To równanie jest równoważne równaniom x = 0 i 2 3 x - 2 2 7 = 0. Teraz powinieneś rozwiązać powstałe równanie liniowe: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Zapisz krótko rozwiązanie równania w następujący sposób:
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 lub 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 lub x = 3 3 7
Odpowiedź: x = 0, x = 3 3 7.
Dyskryminator, wzór na pierwiastki równania kwadratowego
Aby znaleźć rozwiązania równań kwadratowych, istnieje wzór na pierwiastek:
Definicja 8
x = - b ± D 2 · a, gdzie re = b 2 - 4 za do– tzw. dyskryminator równania kwadratowego.
Zapisanie x = - b ± D 2 · a zasadniczo oznacza, że x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.
Przydatne byłoby zrozumienie, w jaki sposób wyprowadzono tę formułę i jak ją zastosować.
Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego
Stańmy przed zadaniem rozwiązania równania kwadratowego za x 2 + b x + do = 0. Przeprowadźmy szereg równoważnych przekształceń:
- podziel obie strony równania przez liczbę A, różny od zera, otrzymujemy następujące równanie kwadratowe: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- podkreślmy idealny kwadrat po lewej stronie otrzymanego równania:
x 2 + b za · x + do a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · za 2 - b 2 · za 2 + do za = = x + b 2 · za 2 - b 2 · za 2 + ok
Następnie równanie przyjmie postać: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - Teraz można przenieść dwa ostatnie wyrazy na prawą stronę, zmieniając znak na przeciwny, po czym otrzymujemy: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- Na koniec przekształcamy wyrażenie zapisane po prawej stronie ostatniej równości:
b 2 · za 2 - do za = b 2 4 · za 2 - do za = b 2 4 · za 2 - 4 · za · do 4 · za 2 = b 2 - 4 · za · do 4 · za 2 .
W ten sposób dochodzimy do równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , równoważne pierwotnemu równaniu za x 2 + b x + do = 0.
Rozwiązanie takich równań sprawdziliśmy w poprzednich akapitach (rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych). Zdobyte doświadczenie pozwala wyciągnąć wniosek dotyczący pierwiastków równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:
- z b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- gdy b 2 - 4 · a · do 4 · a 2 = 0 równanie ma postać x + b 2 · a 2 = 0, wtedy x + b 2 · a = 0.
Stąd oczywisty jest jedyny pierwiastek x = - b 2 · a;
- dla b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 prawdziwe będzie: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 lub x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 , co jest tym samym co x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 lub x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · do 4 · za 2 , tj. równanie ma dwa pierwiastki.
Można stwierdzić, że obecność lub brak pierwiastków równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (a zatem pierwotne równanie) zależy od znaku wyrażenia b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 zapisane po prawej stronie. A znak tego wyrażenia jest określony przez znak licznika (mianownik 4 za 2 zawsze będzie dodatni), czyli znak wyrażenia b 2 - 4 za do. To wyrażenie b 2 - 4 za do podana jest nazwa - wyróżnik równania kwadratowego i litera D jest zdefiniowana jako jego oznaczenie. Tutaj możesz zapisać istotę wyróżnika - na podstawie jego wartości i znaku można stwierdzić, czy równanie kwadratowe będzie miało pierwiastki rzeczywiste, a jeśli tak, to jaka jest liczba pierwiastków - jeden czy dwa.
Wróćmy do równania x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · do 4 · a 2 . Przepiszmy to używając notacji dyskryminacyjnej: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Sformułujmy jeszcze raz nasze wnioski:
Definicja 9
- Na D< 0 równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków;
- Na D=0 równanie ma pojedynczy pierwiastek x = - b 2 · a ;
- Na D > 0 równanie ma dwa pierwiastki: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 lub x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Bazując na własnościach rodników, pierwiastki te można zapisać w postaci: x = - b 2 · a + D 2 · a lub - b 2 · a - D 2 · a. A kiedy otworzymy moduły i doprowadzimy ułamki do wspólnego mianownika, otrzymamy: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Zatem wynikiem naszego rozumowania było wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego:
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, dyskryminator D obliczone według wzoru re = b 2 - 4 za do.
Wzory te umożliwiają wyznaczenie obu pierwiastków rzeczywistych, gdy dyskryminator jest większy od zera. Gdy dyskryminator wynosi zero, zastosowanie obu wzorów da ten sam pierwiastek, co jedyne rozwiązanie równania kwadratowego. W przypadku, gdy dyskryminator jest ujemny, jeśli spróbujemy skorzystać ze wzoru na pierwiastek równania kwadratowego, staniemy przed koniecznością wyodrębnienia Pierwiastek kwadratowy od liczby ujemnej, co wyprowadzi nas poza liczby rzeczywiste. W przypadku ujemnego dyskryminatora równanie kwadratowe nie będzie miało rzeczywistych pierwiastków, ale możliwa jest para złożonych pierwiastków sprzężonych, określonych tymi samymi wzorami pierwiastkowymi, które otrzymaliśmy.
Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych
Możliwe jest rozwiązanie równania kwadratowego poprzez natychmiastowe użycie wzoru na pierwiastek, ale zwykle robi się to, gdy konieczne jest znalezienie złożonych pierwiastków.
W większości przypadków oznacza to zwykle poszukiwanie nie złożonych, ale rzeczywistych pierwiastków równania kwadratowego. Wtedy optymalnie jest przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego najpierw wyznaczyć dyskryminator i upewnić się, że nie jest on ujemny (w przeciwnym razie dojdziemy do wniosku, że równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych), a następnie przystąpić do obliczania wartość korzeni.
Powyższe rozumowanie pozwala na sformułowanie algorytmu rozwiązywania równania kwadratowego.
Definicja 10
Aby rozwiązać równanie kwadratowe za x 2 + b x + do = 0, niezbędny:
- według formuły re = b 2 - 4 za do znajdź wartość dyskryminującą;
- w D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- dla D = 0 znajdź jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru x = - b 2 · a ;
- dla D > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego korzystając ze wzoru x = - b ± D 2 · a.
Zauważ, że gdy dyskryminator wynosi zero, możesz użyć wzoru x = - b ± D 2 · a, da to taki sam wynik jak wzór x = - b 2 · a.
Spójrzmy na przykłady.
Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych
Podajmy rozwiązania przykładów dla różnych wartości dyskryminatora.
Przykład 6
Musimy znaleźć pierwiastki równania x 2 + 2 x - 6 = 0.
Rozwiązanie
Zapiszmy współczynniki liczbowe równania kwadratowego: a = 1, b = 2 i do = - 6. Następnie postępujemy zgodnie z algorytmem, tj. Zacznijmy obliczać dyskryminator, za który podstawimy współczynniki a, b I C do wzoru dyskryminacyjnego: re = b 2 - 4 · za · do = 2 2 - 4 · 1 · (- 6) = 4 + 24 = 28 .
Otrzymujemy więc D > 0, co oznacza, że pierwotne równanie będzie miało dwa pierwiastki rzeczywiste.
Aby je znaleźć, używamy wzoru na pierwiastek x = - b ± D 2 · a i podstawiając odpowiednie wartości, otrzymujemy: x = - 2 ± 28 2 · 1. Uprośćmy powstałe wyrażenie, usuwając czynnik ze znaku pierwiastka, a następnie redukując ułamek:
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 lub x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 lub x = - 1 - 7
Odpowiedź: x = - 1 + 7 , x = - 1 - 7 .
Przykład 7
Trzeba rozwiązać równanie kwadratowe − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Rozwiązanie
Zdefiniujmy dyskryminator: re = 28 2 - 4 · (- 4) · (- 49) = 784 - 784 = 0. Przy tej wartości dyskryminatora pierwotne równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek, określony wzorem x = - b 2 · a.
x = - 28 2 (- 4) x = 3,5
Odpowiedź: x = 3,5.
Przykład 8
Trzeba rozwiązać równanie 5 lat 2 + 6 lat + 2 = 0
Rozwiązanie
Współczynniki liczbowe tego równania będą wynosić: a = 5, b = 6 i c = 2. Używamy tych wartości, aby znaleźć dyskryminator: D = b 2 - 4 · a · c = 6 2 - 4 · 5 · 2 = 36 - 40 = - 4 . Obliczony dyskryminator jest ujemny, więc oryginalne równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.
W przypadku, gdy zadaniem jest wskazanie pierwiastków zespolonych, stosujemy wzór na pierwiastek, wykonując działania na liczbach zespolonych:
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 lub x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i lub x = - 3 5 - 1 5 · ja.
Odpowiedź: nie ma prawdziwych korzeni; pierwiastki zespolone są następujące: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
W program nauczania Nie ma standardowego wymogu poszukiwania pierwiastków zespolonych, zatem jeżeli w trakcie rozwiązywania dyskryminator okaże się ujemny, od razu zapisuje się odpowiedź, że pierwiastków rzeczywistych nie ma.
Wzór na pierwiastek dla parzystych drugich współczynników
Wzór na pierwiastek x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) pozwala otrzymać inny, bardziej zwarty wzór, pozwalający znaleźć rozwiązania równań kwadratowych o parzystym współczynniku dla x ( lub ze współczynnikiem postaci 2 · n, na przykład 2 3 lub 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Pokażmy, jak wyprowadzony jest ten wzór.
Stańmy przed zadaniem znalezienia rozwiązania równania kwadratowego a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Postępujemy zgodnie z algorytmem: wyznaczamy dyskryminator D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c), a następnie korzystamy ze wzoru na pierwiastek:
x = - 2 n ± re 2 za, x = - 2 n ± 4 n 2 - za do 2 za, x = - 2 n ± 2 n 2 - za do 2 za, x = - n ± n 2 - a · do za .
Niech wyrażenie n 2 - a · c będzie oznaczone jako D 1 (czasami jest oznaczone jako D "). Następnie wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 · n przyjmie postać:
x = - n ± re 1 a, gdzie re 1 = n 2 - a · do.
Łatwo zauważyć, że D = 4 · D 1 lub D 1 = D 4. Innymi słowy, D 1 to jedna czwarta dyskryminatora. Oczywiście znak D 1 jest taki sam jak znak D, co oznacza, że znak D 1 może również służyć jako wskaźnik obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.
Definicja 11
Zatem, aby znaleźć rozwiązanie równania kwadratowego z drugim współczynnikiem 2 n, konieczne jest:
- znajdź re 1 = n 2 - a · do;
- w D1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- gdy D 1 = 0, określ jedyny pierwiastek równania za pomocą wzoru x = - n a;
- dla D 1 > 0 wyznacz dwa pierwiastki rzeczywiste za pomocą wzoru x = - n ± D 1 a.
Przykład 9
Konieczne jest rozwiązanie równania kwadratowego 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.
Rozwiązanie
Drugi współczynnik danego równania możemy przedstawić jako 2 · (− 3) . Następnie przepisujemy podane równanie kwadratowe jako 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, gdzie a = 5, n = − 3 i c = − 32.
Obliczmy czwartą część dyskryminatora: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Otrzymana wartość jest dodatnia, co oznacza, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Wyznaczmy je za pomocą odpowiedniego wzoru na pierwiastek:
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 lub x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 lub x = - 2
Można by przeprowadzić obliczenia, stosując zwykły wzór na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku rozwiązanie byłoby bardziej kłopotliwe.
Odpowiedź: x = 3 1 5 lub x = - 2 .
Upraszczanie postaci równań kwadratowych
Czasami można zoptymalizować postać pierwotnego równania, co uprości proces obliczania pierwiastków.
Na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 jest wyraźnie wygodniejsze do rozwiązania niż 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.
Częściej upraszczanie postaci równania kwadratowego odbywa się poprzez pomnożenie lub podzielenie jego obu stron przez określoną liczbę. Na przykład powyżej pokazaliśmy uproszczoną reprezentację równania 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, otrzymaną poprzez podzielenie obu stron przez 100.
Taka transformacja jest możliwa, gdy współczynniki równania kwadratowego nie są liczbami względnie pierwszymi. Następnie zwykle dzielimy obie strony równania przez największy wspólny dzielnik wartości bezwzględnych jego współczynników.
Jako przykład używamy równania kwadratowego 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Określmy GCD wartości bezwzględnych jego współczynników: GCD (12, 42, 48) = GCD(GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Podzielmy obie strony pierwotnego równania kwadratowego przez 6 i otrzymamy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.
Mnożąc obie strony równania kwadratowego, zwykle pozbywasz się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożą się przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników jego współczynników. Na przykład, jeśli każdą część równania kwadratowego 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 pomnoży się przez LCM (6, 3, 1) = 6, wówczas zostanie zapisane w więcej w prostej formie x 2 + 4 x - 18 = 0 .
Na koniec zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa przy pierwszym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki każdego wyrazu równania, co osiąga się poprzez pomnożenie (lub podzielenie) obu stron przez - 1. Na przykład z równania kwadratowego − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 można przejść do jego uproszczonej wersji 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.
Zależność pierwiastków i współczynników
Znany nam już wzór na pierwiastki równań kwadratowych x = - b ± D 2 · a wyraża pierwiastki równania poprzez jego współczynniki liczbowe. Polegając na tę formułę, mamy możliwość określenia innych zależności pomiędzy pierwiastkami i współczynnikami.
Najbardziej znane i stosowane wzory to twierdzenie Viety:
x 1 + x 2 = - b a i x 2 = do a.
W szczególności dla danego równania kwadratowego sumą pierwiastków jest drugi współczynnik o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Na przykład, patrząc na postać równania kwadratowego 3 x 2 - 7 x + 22 = 0, można od razu ustalić, że suma jego pierwiastków wynosi 7 3, a iloczyn pierwiastków wynosi 22 3.
Można także znaleźć wiele innych powiązań między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego można wyrazić za pomocą współczynników:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b za 2 - 2 do za = b 2 za 2 - 2 do za = b 2 - 2 za do 2.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
