Równomierna dystrybucja.Losowa wartość X ma znaczenie współrzędnych losowo wybranego punktu na odcinku

[a, b. Jednolita gęstość losowy rozkład zmiennych X(ryc. 10.5, A) można zdefiniować jako:

Ryż. 10,5. Równomierny rozkład zmiennej losowej: A- gęstość dystrybucji; B- funkcja dystrybucyjna

Funkcja rozkładu zmiennych losowych X ma postać:

Wykres funkcji rozkładu jednostajnego pokazano na ryc. 10,5, B.

Transformatę Laplace'a rozkładu jednostajnego obliczamy korzystając z (10.3):

Wartość oczekiwaną i wariancję można łatwo obliczyć bezpośrednio z odpowiednich definicji:

Podobne wzory na matematyczne oczekiwanie i rozproszenie można również uzyskać stosując transformatę Laplace'a, korzystając ze wzorów (10.8), (10.9).

Rozważmy przykład systemu usług, który można opisać rozkładem równomiernym.

Ruch na skrzyżowaniu reguluje automatyczna sygnalizacja świetlna, na której świeci się światło zielone przez 1 minutę, a czerwone przez 0,5 minuty. Kierowcy dojeżdżają do skrzyżowania w ul przypadkowe chwile czasie o równomiernym rozkładzie niezwiązanym z działaniem sygnalizacji świetlnej. Obliczmy prawdopodobieństwo, że samochód przejedzie przez skrzyżowanie bez zatrzymywania się.

Moment przejazdu samochodu przez skrzyżowanie rozkłada się równomiernie w przedziale 1 + 0,5 = 1,5 minuty. Samochód przejedzie przez skrzyżowanie bez zatrzymania się, jeśli moment minięcia skrzyżowania mieści się w przedziale czasu. W przypadku równomiernie rozłożonej zmiennej losowej w przedziale prawdopodobieństwo wpadnięcia w ten przedział wynosi 1/1,5=2/3. Czas oczekiwania Гож jest mieszaną zmienną losową. Z prawdopodobieństwem 2/3 jest równe zero, a z prawdopodobieństwem 0,5/1,5 przyjmuje dowolną wartość z zakresu od 0 do 0,5 min. Stąd średni czas oczekiwania i wariancja na skrzyżowaniu

Rozkład wykładniczy (wykładniczy). W przypadku rozkładu wykładniczego gęstość rozkładu zmiennej losowej można zapisać jako:

gdzie A nazywa się parametrem rozkładu.

Wykres gęstości prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego pokazano na ryc. 10,6, A.

Funkcja rozkładu zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym ma postać

Ryż. 10.6. Rozkład wykładniczy zmiennej losowej: A- gęstość dystrybucji; B - funkcja dystrybucyjna

Wykres funkcji rozkładu wykładniczego pokazano na ryc. 10,6, 6.

Transformatę Laplace'a rozkładu wykładniczego obliczamy korzystając z (10.3):

Pokażmy to dla zmiennej losowej X, mający rozkład wykładniczy, wartość oczekiwana równy odchyleniu standardowemu a i odwrotnie do parametru A:

Zatem dla rozkładu wykładniczego mamy: Można to również wykazać

te. rozkład wykładniczy jest całkowicie scharakteryzowany przez średnią lub parametr X .

Rozkład wykładniczy ma liczbę przydatne właściwości, które są wykorzystywane w modelowaniu systemów usług. Na przykład nie ma pamięci. Gdy , To

Innymi słowy, jeśli zmienna losowa odpowiada czasowi, to rozkład pozostałego czasu trwania nie zależy od czasu, który już upłynął. Właściwość tę pokazano na ryc. 10.7.

Ryż. 10.7.

Rozważmy przykład układu, którego parametry pracy można opisać rozkładem wykładniczym.

Gdy urządzenie działa, w losowych momentach pojawiają się awarie. Czas pracy urządzenia T od jego włączenia do wystąpienia awarii rozkłada się zgodnie z prawem wykładniczym z parametrem X. W przypadku wykrycia usterki urządzenie natychmiast przechodzi do naprawy, która trwa przez czas / 0. Znajdźmy funkcję gęstości i rozkładu odstępu czasu Г pomiędzy dwoma sąsiednimi uskokami, matematyczne oczekiwanie i rozproszenie oraz prawdopodobieństwo, że czas Tx będzie więcej 2t 0 .

Od tego czasu

Normalna dystrybucja. Normalny to rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej, którą opisuje gęstość

Z (10.48) wynika, że normalna dystrybucja wyznaczane przez dwa parametry – oczekiwanie matematyczne T i dyspersja 2. Wykres gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie normalnym w t= 0 i 2 = 1 pokazano na ryc. 10,8, A.

Ryż. 10.8. Prawo rozkładu normalnego zmiennej losowej w T= 0, st. 2 = 1: A- gęstości prawdopodobieństwa; 6 - funkcja dystrybucyjna

Funkcję rozkładu opisuje wzór

Wykres funkcji rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej o rozkładzie normalnym w T= 0 i 2 = 1 pokazano na ryc. 10,8, B.

Określmy prawdopodobieństwo, że X przyjmie wartość należącą do przedziału (a, p):

Gdzie jest funkcją Laplace'a i prawdopodobieństwem, że

że wartość bezwzględna odchylenia jest mniejsza niż liczba dodatnia 6:

W szczególności kiedy t = 0 równość jest prawdziwa:

Jak widać zmienna losowa o rozkładzie normalnym może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Dlatego do obliczenia momentów konieczne jest skorzystanie z dwukierunkowej transformaty Laplace'a

Jednak ta całka niekoniecznie istnieje. Jeśli istnieje, zamiast (10.50) zwykle używa się wyrażenia

który jest nazywany funkcja charakterystyczna Lub generująca funkcję momentów.

Obliczmy funkcję generującą momenty rozkładu normalnego korzystając ze wzoru (10.51):

Po przekształceniu licznika wyrażenia podwykładniczego do postaci otrzymujemy

Całka

ponieważ jest to całka normalnej gęstości prawdopodobieństwa z parametrami t + więc 2 i 2. Stąd,

Różniczkując (10.52) otrzymujemy

Z tych wyrażeń można znaleźć następujące punkty:

Rozkład normalny jest szeroko stosowany w praktyce, gdyż zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym, jeśli zmienna losowa jest sumą bardzo dużej liczby wzajemnie niezależnych zmiennych losowych, z których wpływ na całą sumę jest znikomy, to ma rozkład zbliżony do normalnego.

Rozważmy przykład układu, którego parametry można opisać rozkładem normalnym.

Firma produkuje część o zadanym rozmiarze. Jakość części ocenia się poprzez pomiar jej rozmiaru. Losowe błędy pomiarowe podlegają prawu normalnemu z odchyleniem standardowym A - Mniam. Znajdźmy prawdopodobieństwo, że błąd pomiaru nie przekroczy 15 mikronów.

Z (10.49) znajdujemy

Dla ułatwienia korzystania z rozważanych rozkładów otrzymane wzory podsumowujemy w tabeli. 10.1 i 10.2.

Tabela 10.1. Podstawowe charakterystyki rozkładów ciągłych

Tabela 10.2. Generowanie funkcji rozkładów ciągłych

PYTANIA KONTROLNE

• 1. Jakie rozkłady prawdopodobieństwa uważa się za ciągłe?
• 2. Co to jest transformata Laplace'a-Stieltjesa? Do czego jest to używane?
• 3. Jak obliczyć momenty zmiennych losowych za pomocą transformaty Laplace'a-Stieltjesa?
• 4. Czym jest transformata Laplace'a sumy niezależnych zmiennych losowych?
• 5. Jak obliczyć średni czas i wariancję czasu przejścia układu z jednego stanu do drugiego za pomocą wykresów sygnałowych?
• 6. Podaj główne cechy rozkładu równomiernego. Podaj przykłady jego wykorzystania w zadaniach służbowych.
• 7. Podaj główne cechy rozkładu wykładniczego. Podaj przykłady jego wykorzystania w zadaniach służbowych.
• 8. Podaj główne cechy rozkładu normalnego. Podaj przykłady jego wykorzystania w zadaniach służbowych.

Rozdział 6. Ciągłe zmienne losowe.

§ 1. Funkcja gęstości i rozkładu ciągłej zmiennej losowej.

Zbiór wartości ciągłej zmiennej losowej jest nieprzeliczalny i zwykle reprezentuje pewien skończony lub nieskończony przedział.

Wywołuje się zmienną losową x(w) zdefiniowaną w przestrzeni prawdopodobieństwa (W, S, P). ciągły(absolutnie ciągły) W, jeśli istnieje nieujemna funkcja taka, że ​​dla dowolnego x dystrybuantę Fx(x) można przedstawić jako całkę

Funkcja nazywa się funkcją gęstości rozkładu prawdopodobieństwa.

Z definicji wynikają własności funkcji gęstości rozkładu:

1..gif" szerokość="97" wysokość="51">

3. W punktach ciągłości gęstość rozkładu jest równa pochodnej funkcji rozkładu: .

4. Gęstość rozkładu określa prawo rozkładu zmiennej losowej, gdyż określa prawdopodobieństwo, że zmienna losowa znajdzie się w przedziale:

5. Prawdopodobieństwo, że ciągła zmienna losowa przyjmie określoną wartość wynosi zero: . Zatem obowiązują następujące równości:

Nazywa się wykres funkcji gęstości rozkładu krzywa dystrybucji, a obszar ograniczony krzywą rozkładu i osią x jest równy jedności. Następnie geometrycznie wartość funkcji rozkładu Fx(x) w punkcie x0 jest obszarem ograniczonym przez krzywą rozkładu i osią x i leżącym na lewo od punktu x0.

Zadanie 1. Funkcja gęstości ciągłej zmiennej losowej ma postać:

Wyznacz stałą C, skonstruuj dystrybuantę Fx(x) i oblicz prawdopodobieństwo.

Rozwiązanie. Stałą C wyznaczamy z warunku Mamy:

skąd C=3/8.

Aby skonstruować funkcję rozkładu Fx(x), należy pamiętać, że przedział dzieli zakres wartości argumentu x (oś liczbowa) na trzy części: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" szerokość="264 " wysokość="49">

ponieważ gęstość x na półosi wynosi zero. W drugim przypadku

Wreszcie w ostatnim przypadku, gdy x>2,

Ponieważ gęstość zanika na półosi. W ten sposób uzyskuje się funkcję dystrybucji

Prawdopodobieństwo Obliczmy, korzystając ze wzoru. Zatem,

§ 2. Charakterystyka numeryczna ciągłej zmiennej losowej

Wartość oczekiwana dla zmiennych losowych o rozkładzie ciągłym określa się wzór https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" szerokość="205" wysokość="56 src=">,

jeśli całka po prawej stronie jest zbieżna absolutnie.

Dyspersja x można obliczyć za pomocą wzoru , a także, jak w przypadku dyskretnym, zgodnie ze wzorem https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" szerokość="123" wysokość="49 src=">.

Wszystkie właściwości matematycznego oczekiwania i rozproszenia podane w rozdziale 5 dla dyskretnych zmiennych losowych obowiązują także dla ciągłych zmiennych losowych.

Problem 2. Dla zmiennej losowej x z Zadania 1 oblicz matematyczne oczekiwanie i wariancję .

Rozwiązanie.

I to oznacza, że

https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" szerokość="184" wysokość="69 src=">

Wykres jednolitej gęstości rozkładu można znaleźć na ryc. .

Ryc.6.2. Funkcja rozkładu i gęstość rozkładu. jednolite prawo

Funkcja rozkładu Fx(x) zmiennej losowej o rozkładzie jednostajnym jest równa

Fx(x)=

Oczekiwanie i wariancja; .

Rozkład wykładniczy (wykładniczy). Ciągła zmienna losowa x przyjmująca wartości nieujemne ma rozkład wykładniczy z parametrem l>0, jeśli rozkład gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej jest równy

đx(x)=

Ryż. 6.3. Funkcja rozkładu i gęstość rozkładu prawa wykładniczego.

Funkcja rozkładu wykładniczego ma postać

Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" szerokość="17" wysokość="41">.gif" szerokość="13" wysokość="15"> i jeśli jego gęstość rozkładu jest równa

.

Through oznacza zbiór wszystkich zmiennych losowych o rozkładzie normalnym z parametrami parametry i .

Funkcja rozkładu zmiennej losowej o rozkładzie normalnym jest równa

.

Ryż. 6.4. Funkcja rozkładu i gęstość rozkładu normalnego

Parametry rozkładu normalnego są oczekiwaniami matematycznymi https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" szerokość="64 wysokość=24" wysokość="24">

W szczególnym przypadku, kiedy https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" szerokość="44" wysokość="21 src="> nazywa się rozkład normalny standard, a klasa takich dystrybucji jest oznaczona przez https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" szerokość="119" wysokość="49">,

oraz funkcję dystrybucji

Takiej całki nie da się obliczyć analitycznie (nie bierze się jej w „kwadraturach”), dlatego dla tej funkcji zestawiono tablice. Funkcja jest powiązana z funkcją Laplace'a przedstawioną w rozdziale 4

,

poprzez następującą relację . W przypadku dowolnych wartości parametrów https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" szerokość="21" wysokość="21 src="> funkcja rozkładu zmiennej losowej jest powiązana z funkcją Laplace'a za pomocą zależności:

.

Dlatego prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym wpadnie w przedział, można obliczyć za pomocą wzoru

.

Nieujemną zmienną losową x nazywamy rozkładem logarytmiczno-normalnym, jeśli jej logarytm h=lnx jest zgodny z prawem normalnym. Oczekiwana wartość i wariancja zmiennej losowej o rozkładzie lognormalnym to Mx= i Dx=.

Zadanie 3. Niech zostanie podana zmienna losowa https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" szerokość="81" wysokość="23">.

Rozwiązanie. Tutaj https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" szerokość="573" wysokość="45">

Rozkład Laplace’a jest dana funkcją fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" szerokość="23" wysokość="41"> a kurtoza wynosi gx=3.

Ryc.6.5. Funkcja gęstości rozkładu Laplace'a.

Zmienna losowa x jest rozłożona na Prawo Weibulla, jeśli ma funkcję gęstości rozkładu równą https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" szerokość="189" wysokość="53">

Rozkład Weibulla reguluje czasy bezawaryjnej pracy wielu urządzeń technicznych. W zadaniach tego profilu ważna cecha jest współczynnikiem awaryjności (śmiertelności) l(t) badanych elementów wieku t, określonym zależnością l(t)=. Jeżeli a=1, to rozkład Weibulla zamienia się w rozkład wykładniczy, a jeżeli a=2 – w tzw. rozkład Rayleigha.

Matematyczne oczekiwanie rozkładu Weibulla: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" szerokość="219" wysokość="45 src=">, gdzie Г(а) to Euler funkcja. .

W różne zadania W statystyce stosowanej często spotyka się tzw. rozkłady „obcięte”. Organy podatkowe są zainteresowane na przykład podziałem dochodów osób, których roczny dochód przekracza określony w przepisach podatkowych próg c0. Rozkłady te okazują się w przybliżeniu pokrywać się z rozkładem Pareto. Rozkład Pareto dane przez funkcje

Fx(x)=P(x .gif" szerokość="44" height="25"> zmiennej losowej x i monotonicznej funkcji różniczkowalnej ..gif" szerokość="200" height="51">

Tutaj https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" szerokość="60" wysokość="21 src=">.

Zadanie 4. Zmienna losowa jest równomiernie rozłożona na segmencie. Znajdź gęstość zmiennej losowej.

Rozwiązanie. Z warunków problemowych wynika, że

Następnie funkcja jest funkcją monotoniczną i różniczkowalną na przedziale i ma funkcję odwrotną , którego pochodna jest równa Dlatego,

§ 5. Para ciągłych zmiennych losowych

Niech będą dane dwie ciągłe zmienne losowe x i h. Następnie para (x, h) definiuje „losowy” punkt na płaszczyźnie. Nazywa się parę (x, h). losowy wektor Lub dwuwymiarowa zmienna losowa.

Wspólna funkcja dystrybucji zmienne losowe x i h, a funkcja nazywa się F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" szerokość="173" wysokość="25">. gęstość stawów rozkład prawdopodobieństwa zmiennych losowych x i h nazywany jest funkcją taką, że .

Znaczenie tej definicji wspólnej gęstości dystrybucji jest następujące. Prawdopodobieństwo, że „losowy punkt” (x, h) wpadnie w obszar na płaszczyźnie, oblicza się jako objętość trójwymiarowej figury – „krzywoliniowego” walca ograniczonego powierzchnią https://pandia.ru/ tekst/78/107/images/image098_3. gif" szerokość="211" wysokość="39 src=">

Najprostszym przykładem łącznego rozkładu dwóch zmiennych losowych jest rozkład dwuwymiarowy równomierny rozkład na planieA. Niech zbiór ograniczony M będzie dany zbiorem M. Definiuje się go jako rozkład pary (x, h), określony przez następującą gęstość spoiny:

Zadanie 5. Niech dwuwymiarowy losowy wektor (x, h) będzie równomiernie rozłożony wewnątrz trójkąta. Oblicz prawdopodobieństwo nierówności x>h.

Rozwiązanie. Pole wskazanego trójkąta jest równe (patrz ryc. nr?). Na mocy definicji dwuwymiarowego rozkładu jednorodnego łączna gęstość zmiennych losowych x, h jest równa

Zdarzenie odpowiada zestawowi na płaszczyźnie, czyli półpłaszczyźnie. Potem prawdopodobieństwo

Na półpłaszczyźnie B gęstość złącza wynosi zero poza zbiorem https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" szerokość="15" wysokość="17">. Zatem półpłaszczyzna B jest podzielona na dwa zbiory i https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" szerokość="17" height="23"> i , a druga całka jest równa zero, ponieważ gęstość spoin jest tam równa zeru. Dlatego

Jeśli podana jest wspólna gęstość rozkładu dla pary (x, h), wówczas gęstości obu składników x i h nazywane są gęstości prywatne i oblicza się je za pomocą wzorów:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" szerokość="224" wysokość="23 src=">

Dla zmiennych losowych o rozkładzie ciągłym o gęstościach рx(х), рh(у) oznacza to niezależność

Zadanie 6. W warunkach poprzedniego zadania określić, czy składowe wektora losowego x i h są niezależne?

Rozwiązanie. Obliczmy gęstości cząstkowe i . Mamy:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" szerokość="283" wysokość="61 src=">

Oczywiście w naszym przypadku https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" szerokość="64" wysokość="25"> to łączna gęstość wielkości x i h oraz j( x, y) jest zatem funkcją dwóch argumentów

https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" szerokość="184" wysokość="152 src=">

Zadanie 7. W warunkach poprzedniego zadania oblicz .

Rozwiązanie. Zgodnie z powyższym wzorem mamy:

.

Reprezentowanie trójkąta jako

https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" szerokość="479" wysokość="59">

§ 5. Gęstość sumy dwóch ciągłych zmiennych losowych

Niech x i h będą niezależnymi zmiennymi losowymi o gęstościach https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" szerokość="43" wysokość="25">. Gęstość zmiennej losowej x + h oblicza się ze wzoru skręt

https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" szerokość="39" wysokość="19 src=">. Oblicz gęstość sumy.

Rozwiązanie. Ponieważ rozkłady x i h są zgodne z prawem wykładniczym z parametrem , ich gęstości są równe

Stąd,

https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" szerokość="339 wysokość=51" wysokość="51">

Jeśli x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">jest ujemny, a zatem . Dlatego jeśli https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" szerokość="359 wysokość=101" wysokość="101">

W ten sposób otrzymaliśmy odpowiedź:

https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" szerokość="40" wysokość="41 "> ma rozkład normalny z parametrami 0 i 1. Zmienne losowe x1 i x2 są niezależne i mają normalny rozkłady z parametrami odpowiednio a1 i a2 Udowodnić, że x1 + x2 ma rozkład normalny Zmienne losowe x1, x2, ... xn mają rozkład i są niezależne oraz mają tę samą funkcję gęstości

.

Znajdź funkcję rozkładu i gęstość rozkładu wartości:

a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = max (x1,x2, ...xn)

Zmienne losowe x1, x2, ... xn są niezależne i równomiernie rozłożone na przedziale [a, b]. Znajdź funkcje dystrybucji i funkcje gęstości rozkładów wielkości

x(1) = min (x1,x2, ... xn) i x(2) = max(x1, x2, ...xn).

Udowodnij, że Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" szerokość="176" wysokość="47">.

Rozkład zmiennej losowej następuje zgodnie z prawem Cauchy'ego. Znajdź: a) współczynnik a; b) funkcja dystrybucji; c) prawdopodobieństwo wpadnięcia w przedział (-1, 1). Pokaż, że matematyczne oczekiwanie x nie istnieje. Zmienna losowa podlega prawu Laplace'a z parametrem l (l>0): Znajdź współczynnik a; konstruować wykresy gęstości rozkładu i funkcje rozkładu; znajdź Mx i Dx; znajdź prawdopodobieństwa zdarzeń (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:

Napisz wzór na gęstość rozkładu, znajdź Mx i Dx.

Zadania obliczeniowe.

Losowy punkt A ma rozkład równomierny na okręgu o promieniu R. Znajdź matematyczne oczekiwanie i wariancję odległości r punktu od środka okręgu. Pokaż, że wartość r2 jest równomiernie rozłożona na segmencie.

Gęstość rozkładu zmiennej losowej ma postać:

Oblicz stałą C, dystrybuantę F(x) i prawdopodobieństwo Gęstość rozkładu zmiennej losowej ma postać:

Oblicz stałą C, dystrybuantę F(x) i prawdopodobieństwo Gęstość rozkładu zmiennej losowej ma postać:
Oblicz stałą C, dystrybuantę F(x), , wariancję i prawdopodobieństwo.Zmienna losowa ma dystrybuantę

Oblicz gęstość zmiennej losowej, oczekiwanie matematyczne, wariancję i prawdopodobieństwo. Sprawdź, czy funkcja =
może być funkcją rozkładu zmiennej losowej. Znajdź charakterystykę liczbową tej wielkości: Mx i Dx. Zmienna losowa jest równomiernie rozłożona na segmencie. Zapisz gęstość dystrybucji. Znajdź funkcję dystrybucji. Znajdź prawdopodobieństwo, że zmienna losowa spadnie na segment i na segment. Gęstość rozkładu x jest równa

.

Znajdź stałą c, gęstość rozkładu h = i prawdopodobieństwo

P (0,25

Czas bezawaryjnej pracy komputera rozkłada się zgodnie z prawem wykładniczym z parametrem l = 0,05 (awarie na godzinę), czyli ma funkcję gęstości

p(x) = .

Rozwiązanie określonego problemu wymaga bezawaryjnej pracy maszyny przez 15 minut. Jeśli podczas rozwiązywania problemu wystąpi awaria, błąd zostanie wykryty dopiero po zakończeniu rozwiązywania i problem zostanie rozwiązany ponownie. Znajdź: a) prawdopodobieństwo, że podczas rozwiązywania problemu nie wystąpi ani jedna awaria; b) średni czas, w jakim problem zostanie rozwiązany.

Pręt o długości 24 cm jest podzielony na dwie części; Zakładamy, że punkt zerwania rozkłada się równomiernie na całej długości pręta. Jaka jest średnia długość większości wędek? Kawałek o długości 12 cm podzielono losowo na dwie części. Punkt cięcia jest równomiernie rozłożony na całej długości segmentu. Jaka jest średnia długość małej części odcinka? Zmienna losowa jest równomiernie rozłożona na segmencie. Znajdź gęstość rozkładu zmiennej losowej a) h1 = 2x + 1; b) h2 = -ln(1-x); c) h3 = .

Pokaż, że jeśli x ma dystrybuantę ciągłą

F(x) = P(x

Znajdź funkcję gęstości i dystrybucję sumy dwóch niezależnych wielkości x i h z jednolitymi prawami dystrybucji na segmentach i, odpowiednio. Zmienne losowe x i h są niezależne i równomiernie rozłożone odpowiednio na segmentach i. Oblicz gęstość sumy x+h. Zmienne losowe x i h są niezależne i równomiernie rozłożone odpowiednio na segmentach i. Oblicz gęstość sumy x+h. Zmienne losowe x i h są niezależne i równomiernie rozłożone odpowiednio na segmentach i. Oblicz gęstość sumy x+h. Zmienne losowe są niezależne i mają rozkład wykładniczy wraz z gęstością . Znajdź gęstość rozkładu ich sumy. Znajdź rozkład sumy niezależnych zmiennych losowych x i h, gdzie x ma rozkład równomierny na przedziale, a h ma rozkład wykładniczy z parametrem l. Znajdź P , jeśli x ma: a) rozkład normalny z parametrami a i s2; b) rozkład wykładniczy z parametrem l; c) rozkład równomierny na segmencie [-1;1]. Łączny rozkład x, h jest równomierny do kwadratu
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Znajdź prawdopodobieństwo . Czy x i h są niezależne? Para zmiennych losowych x i h jest równomiernie rozłożona wewnątrz trójkąta K=. Oblicz gęstości x i h. Czy te zmienne losowe są niezależne? Znajdź prawdopodobieństwo. Zmienne losowe x i h są niezależne i równomiernie rozłożone na segmentach oraz [-1,1]. Znajdź prawdopodobieństwo. Dwuwymiarowa zmienna losowa (x, h) ma rozkład jednostajny w kwadracie o wierzchołkach (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2). Znajdź wartość rozkładu łącznego w punkcie (1, -1). Losowy wektor (x, h) jest równomiernie rozłożony wewnątrz okręgu o promieniu 3, którego środek znajduje się w początku układu współrzędnych. Zapisz wyrażenie na wspólną gęstość rozkładu. Określ, czy te zmienne losowe są zależne. Oblicz prawdopodobieństwo. Para zmiennych losowych x i h jest równomiernie rozłożona wewnątrz trapezu o wierzchołkach w punktach (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0). Znajdź łączną gęstość rozkładu tej pary zmiennych losowych i gęstość składników. Czy x i h są zależne? Losowa para (x, h) jest równomiernie rozmieszczona wewnątrz półkola. Znajdź gęstości x i h, zbadaj kwestię ich zależności. Łączna gęstość dwóch zmiennych losowych x i h jest równa .
Znajdź gęstości x, h. Zbadaj kwestię zależności x i h. Losowa para (x, h) jest równomiernie rozłożona w zbiorze. Znajdź gęstości x i h, zbadaj kwestię ich zależności. Znajdź M(xh). Zmienne losowe x i h są niezależne i dystrybuowane zgodnie z prawem wykładniczym z parametrem Znajdź

Za pomocą których symulowanych jest wiele rzeczywistych procesów. Najczęstszym przykładem jest rozkład jazdy transportu publicznego. Załóżmy, że pewien autobus (trolejbus/tramwaj) kursuje co 10 minut, a Ty zatrzymujesz się w losowym momencie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że autobus przyjedzie w ciągu 1 minuty? Oczywiście 1/10. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziesz musiał poczekać 4–5 minut? To samo . Jakie jest prawdopodobieństwo, że będziesz musiał czekać na autobus dłużej niż 9 minut? Jedna dziesiąta!

Rozważmy kilka skończone przedział, niech dla określoności będzie to odcinek. Jeśli wartość losowa ma stały gęstość rozkładu prawdopodobieństwa na danym segmencie i zerową gęstość poza nim, to mówią, że jest rozłożona równomiernie. W tym przypadku funkcja gęstości będzie ściśle określona:

Rzeczywiście, jeśli długość odcinka (Zobacz rysunek) jest , wówczas wartość jest nieuchronnie równa - w ten sposób uzyskuje się jednostkę powierzchni prostokąta i obserwuje się ją znana własność:


Sprawdźmy to formalnie:
itp. Z probabilistycznego punktu widzenia oznacza to, że zmienna losowa niezawodnie przyjmę jedną z wartości segmentu..., ech, powoli robię się nudnym starcem =)

Istotą jednolitości jest to, że jakakolwiek luka wewnętrzna poprawiona długość nie rozważaliśmy (pamiętaj o minutach „autobusowych”)– prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie wartość z tego przedziału będzie takie samo. Na rysunku zacieniowałem trzy takie prawdopodobieństwa – jeszcze raz to podkreślam są one określone przez obszary, a nie wartości funkcji!

Rozważmy typowe zadanie:

Przykład 1

Ciągła zmienna losowa jest określona przez jej gęstość rozkładu:

Znajdź stałą, oblicz i utwórz dystrybuantę. Twórz wykresy. Znajdować

Słowem wszystko o czym można marzyć :)

Rozwiązanie: od w przerwie (skończony interwał) , wówczas zmienna losowa ma rozkład równomierny, a wartość „ce” można znaleźć za pomocą wzoru bezpośredniego . Ale ogólnie jest lepiej - używając właściwości:

...dlaczego jest lepiej? Żeby nie było zbędnych pytań ;)

Zatem funkcja gęstości wynosi:

Zróbmy rysunek. Wartości niemożliwe , dlatego też poniżej umieszczono pogrubione kropki:


Dla szybkiego sprawdzenia obliczmy pole prostokąta:
itp.

Znajdźmy wartość oczekiwana i prawdopodobnie już się domyślasz, ile to jest równe. Pamiętaj o autobusie „10-minutowym”: jeśli losowo więc zbliżamy się do przystanku przez wiele, wiele dni przeciętny będziesz musiał na niego poczekać 5 minut.

Tak, zgadza się - oczekiwanie powinno znajdować się dokładnie w środku przedziału „zdarzenia”:
, zgodnie z oczekiwaniami.

Obliczmy wariancję za pomocą formuła . I tutaj potrzebujesz oka i oka przy obliczaniu całki:

Zatem, dyspersja:

Komponujmy funkcja dystrybucyjna . Nie ma tu nic nowego:

1) jeśli , to i ;

2) jeśli , to i:

3) i wreszcie, kiedy , Dlatego:

W rezultacie:

Zróbmy rysunek:


W przedziale „na żywo” funkcja dystrybucji rozwój liniowy, a to kolejny znak, że mamy zmienną losową o rozkładzie równomiernie rozłożonym. No cóż, oczywiście, po wszystkim pochodna funkcja liniowa- istnieje stała.

Wymagane prawdopodobieństwo można obliczyć na dwa sposoby, korzystając ze znalezionej funkcji rozkładu:

lub używając pewnej całki gęstości:

Ktokolwiek to lubi.

I tu też możesz pisać odpowiedź: ,
, wykresy są budowane wzdłuż rozwiązania.

… „można”, bo za jego brak zazwyczaj nie ma kary. Zazwyczaj;)

Istnieją specjalne wzory na obliczenie jednolitej zmiennej losowej, które sugeruję wyprowadzić samodzielnie:

Przykład 2

Ciągła zmienna losowa jest dana przez gęstość .

Oblicz matematyczne oczekiwanie i wariancję. Uprość wyniki tak bardzo, jak to możliwe (skrócone wzory na mnożenie pomóc).

Powstałe formuły są wygodne w użyciu do weryfikacji, w szczególności sprawdź właśnie rozwiązany problem, podstawiając do nich określone wartości „a” i „b”. Krótkie rozwiązanie na dole strony.

Na koniec lekcji przyjrzymy się kilku problemom „tekstowym”:

Przykład 3

Wartość podziału skali urządzenia pomiarowego wynosi 0,2. Odczyty przyrządów są zaokrąglane do najbliższej pełnej części. Zakładając, że błędy zaokrągleń rozkładają się równomiernie, znajdź prawdopodobieństwo, że przy następnym pomiarze nie będzie ono większe niż 0,04.

Dla lepszego zrozumienia rozwiązania Wyobraźmy sobie, że jest to jakieś urządzenie mechaniczne ze strzałką, na przykład waga z podziałką 0,2 kg i mamy zważyć świnię w worku. Ale nie po to, aby dowiedzieć się o jego otyłości - teraz ważne będzie GDZIE strzałka zatrzyma się między dwiema sąsiadującymi ze sobą dywizjami.

Rozważmy zmienną losową - dystans strzałki z najbliższy lewicowy podział. Lub od najbliższego po prawej stronie, nie ma to znaczenia.

Utwórzmy funkcję gęstości prawdopodobieństwa:

1) Ponieważ odległość nie może być ujemna, to na przedziale . Logiczny.

2) Z warunku wynika, że ​​strzałka wagi z równe prawdopodobieństwo może zatrzymać się w dowolnym miejscu pomiędzy podziałami * , łącznie z samymi podziałami, a zatem na przedziale:

* Jest to warunek niezbędny. Zatem np. przy ważeniu kawałków waty czy kilogramowych opakowań soli jednorodność zostanie zachowana w znacznie węższych odstępach czasu.

3) A ponieważ odległość od NAJBLIŻSZEGO lewego podziału nie może być większa niż 0,2, to at jest również równe zero.

Zatem:

Warto zaznaczyć, że nikt nas nie pytał o funkcję gęstości, a jej pełną konstrukcję przedstawiłem wyłącznie w łańcuchach poznawczych. Po zakończeniu zadania wystarczy zapisać tylko punkt 2.

Teraz odpowiedzmy na pytanie o problem. Kiedy błąd zaokrąglenia do najbliższego dzielenia nie przekroczy 0,04? Stanie się tak, gdy strzałka zatrzyma się nie dalej niż 0,04 od lewego podziału po prawej Lub nie dalej niż 0,04 od prawego podziału lewy. Na rysunku zacieniowałem odpowiednie obszary:

Pozostaje znaleźć te obszary za pomocą całek. W zasadzie można je policzyć „po szkole” (jak pola prostokątów), ale prostota nie zawsze jest zrozumiała ;)

Przez twierdzenie o dodawaniu prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych:

– prawdopodobieństwo, że błąd zaokrąglenia nie przekroczy 0,04 (w naszym przykładzie 40 gramów)

Łatwo zauważyć, że maksymalny możliwy błąd zaokrąglenia wynosi 0,1 (100 gramów) i dlatego prawdopodobieństwo, że błąd zaokrąglenia nie przekroczy 0,1 równy jeden.

Odpowiedź: 0,4

Istnieją alternatywne wyjaśnienia/sformułowania tego problemu w innych źródłach informacji, ja wybrałem opcję, która wydała mi się najbardziej zrozumiała. Specjalna uwaga należy zwrócić uwagę na fakt, że w stanie możemy mówić o błędach NIE zaokrąglaniu, ale o losowy błędy pomiarowe, które zwykle są (ale nie zawsze), dystrybuowane przez normalne prawo. Zatem, Tylko jedno słowo może radykalnie zmienić Twoją decyzję! Bądź czujny i zrozum znaczenie.

I gdy tylko wszystko zatacza koło, nasze stopy prowadzą nas na ten sam przystanek autobusowy:

Przykład 4

Autobusy na danej trasie kursują ściśle według rozkładu i co 7 minut. Utwórz funkcję gęstości zmiennej losowej - czasu oczekiwania na kolejny autobus pasażera, który losowo zbliżył się do przystanku. Znajdź prawdopodobieństwo, że będzie czekał na autobus nie dłużej niż trzy minuty. Znajdź funkcję rozkładu i wyjaśnij jej znaczenie.

Jak wspomniano wcześniej, przykłady rozkładów prawdopodobieństwa ciągła zmienna losowa X to:

• równomierny rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej;
• wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej;
• normalna dystrybucja prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej.

Podajmy pojęcie praw rozkładu jednostajnego i wykładniczego, wzorów prawdopodobieństwa i charakterystyk numerycznych rozważanych funkcji.

Indeks	Jednolite prawo dystrybucyjne	Prawo dystrybucji wykładniczej
Definicja	Nazywany mundurem rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X, której gęstość pozostaje stała na odcinku i ma postać	Nazywa się wykładniczy (wykładniczy). rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X, który opisuje się gęstością w postaci
		gdzie λ jest stałą wartością dodatnią
Funkcja dystrybucyjna
Prawdopodobieństwo wpadając w interwał
Wartość oczekiwana
Dyspersja
Odchylenie standardowe

Przykłady rozwiązywania problemów na temat „Prawa dotyczące jednolitej i wykładniczej dystrybucji”

Zadanie 1.

Autobusy kursują ściśle według rozkładu. Interwał ruchu 7 min. Znajdź: a) prawdopodobieństwo, że pasażer przybywający na przystanek będzie czekał na następny autobus krócej niż dwie minuty; b) prawdopodobieństwo, że pasażer przybywający na przystanek będzie czekał co najmniej trzy minuty na następny autobus; c) oczekiwanie matematyczne i odchylenie standardowe zmiennej losowej X – czas oczekiwania pasażera.

Rozwiązanie. 1. Zgodnie z warunkami zadania ciągła zmienna losowa X = (czas oczekiwania pasażera) równomiernie pomiędzy przyjazdami dwóch autobusów. Długość przedziału rozkładu zmiennej losowej X jest równa b-a=7, gdzie a=0, b=7.

2. Czas oczekiwania będzie krótszy niż dwie minuty, jeżeli zmienna losowa X będzie mieściła się w przedziale (5;7). Prawdopodobieństwo wpadnięcia w zadany przedział obliczamy ze wzoru: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Czas oczekiwania wyniesie co najmniej trzy minuty (tj. od trzech do siedmiu minut), jeśli zmienna losowa X znajdzie się w przedziale (0;4). Prawdopodobieństwo wpadnięcia w zadany przedział obliczamy ze wzoru: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Matematyczne oczekiwanie ciągłej, równomiernie rozłożonej zmiennej losowej X – czasu oczekiwania pasażera – wyznaczymy ze wzoru: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Odchylenie standardowe ciągłej, równomiernie rozłożonej zmiennej losowej X – czasu oczekiwania pasażera – wyznaczymy ze wzoru: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Zadanie 2.

Rozkład wykładniczy podaje się dla x ≥ 0 przez gęstość f(x) = 5e – 5x. Wymagane: a) zapisz wyrażenie na funkcję rozkładu; b) znaleźć prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X znajdzie się w przedziale (1;4); c) znaleźć prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X ≥ 2; d) obliczyć M(X), D(X), σ(X).

Rozwiązanie. 1. Ponieważ warunek jest podany rozkład wykładniczy , to ze wzoru na gęstość rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej X otrzymujemy λ = 5. Wtedy funkcja rozkładu będzie miała postać:

2. Prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X znajdzie się w przedziale (1;4) obliczymy ze wzoru:
Rocznie< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Prawdopodobieństwo, że w wyniku testu X ≥ 2 zostanie określone według wzoru: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Znajdź rozkład wykładniczy:

• oczekiwanie matematyczne według wzoru M(X) = 1/λ = 1/5 = 0,2;
• wariancja według wzoru D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
• odchylenie standardowe według wzoru σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

Zagadnienie to jest szczegółowo badane od dawna, a najpowszechniej stosowaną metodą jest metoda współrzędnych biegunowych, zaproponowana przez George'a Boxa, Mervyna Mullera i George'a Marsaglię w 1958 roku. Metoda ta pozwala otrzymać parę niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym z oczekiwaniem matematycznym 0 i wariancją 1 w następujący sposób:

Gdzie Z 0 i Z 1 są wartościami pożądanymi, s = u 2 + v 2, a u i v są zmiennymi losowymi równomiernie rozłożonymi na przedziale (-1, 1), dobranymi w taki sposób, aby spełniony był warunek 0< s < 1.
Wiele osób korzysta z tych formuł bez zastanowienia, a wiele z nich nawet nie podejrzewa ich istnienia, gdyż korzystają z gotowych implementacji. Są jednak ludzie, którzy mają pytania: „Skąd wzięła się ta formuła? I dlaczego dostajesz kilka ilości na raz?” Następnie postaram się udzielić jasnej odpowiedzi na te pytania.

Na początek przypomnę czym jest gęstość prawdopodobieństwa, rozkład zmiennej losowej i funkcja odwrotna. Załóżmy, że istnieje pewna zmienna losowa, której rozkład jest określony funkcją gęstości f(x), która ma postać:

Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że wartość danej zmiennej losowej znajdzie się w przedziale (A, B) jest równe polu zacieniowanego obszaru. W konsekwencji pole całego zacienionego obszaru musi być równe jedności, ponieważ w każdym przypadku wartość zmiennej losowej będzie wchodzić w dziedzinę definicji funkcji f.
Funkcja rozkładu zmiennej losowej jest całką funkcji gęstości. W tym przypadku jego przybliżony wygląd będzie następujący:

Oznacza to, że wartość zmiennej losowej będzie mniejsza niż A z prawdopodobieństwem B. W konsekwencji funkcja nigdy nie maleje, a jej wartości leżą w przedziale.

Funkcja odwrotna to funkcja, która zwraca argument do funkcji pierwotnej, jeśli zostanie do niej przekazana wartość funkcji pierwotnej. Na przykład dla funkcji x 2 odwrotnością jest funkcja wyodrębnienia pierwiastka, dla sin(x) jest to arcsin(x) itd.

Ponieważ większość generatorów liczb pseudolosowych generuje na wyjściu jedynie rozkład równomierny, często istnieje potrzeba przekonwertowania go na inny. W tym przypadku do normalnego Gaussa:

Podstawą wszystkich metod transformacji rozkładu jednostajnego na dowolny inny jest metoda transformacji odwrotnej. Działa to w następujący sposób. Znaleziono funkcję odwrotną do funkcji wymaganego rozkładu i jako argument przekazywano do niej zmienną losową o równomiernym rozkładzie na przedziale (0, 1). Na wyjściu otrzymujemy wartość o wymaganym rozkładzie. Dla jasności podaję poniższe zdjęcie.

W ten sposób jednorodny odcinek jest niejako rozmazany zgodnie z nowym rozkładem, rzutowany na inną oś za pomocą funkcji odwrotnej. Problem polega jednak na tym, że całka z gęstości rozkładu Gaussa nie jest łatwa do obliczenia, więc powyżsi naukowcy musieli oszukiwać.

Istnieje rozkład chi-kwadrat (rozkład Pearsona), który jest rozkładem sumy kwadratów k niezależnych normalnych zmiennych losowych. A w przypadku, gdy k = 2, rozkład ten jest wykładniczy.

Oznacza to, że jeśli punkt w prostokątnym układzie współrzędnych ma losowe współrzędne X i Y o rozkładzie normalnym, to po przeliczeniu tych współrzędnych na układ biegunowy (r, θ) oblicza się kwadrat promienia (odległość od początku układu współrzędnych do punktu) zostanie rozłożony zgodnie z prawem wykładniczym, ponieważ kwadrat promienia jest sumą kwadratów współrzędnych (zgodnie z prawem Pitagorasa). Gęstość rozkładu takich punktów na płaszczyźnie będzie wyglądać następująco:

Ponieważ jest równy we wszystkich kierunkach, kąt θ będzie miał rozkład równomierny w zakresie od 0 do 2π. Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli zdefiniujesz punkt w biegunowym układzie współrzędnych za pomocą dwóch niezależnych zmiennych losowych (kąt o rozkładzie równomiernie i promień o rozkładzie wykładniczym), to współrzędne prostokątne tego punktu będą niezależnymi normalnymi zmiennymi losowymi. O wiele łatwiej jest uzyskać rozkład wykładniczy z rozkładu jednolitego, stosując tę ​​samą metodę transformacji odwrotnej. Na tym właśnie polega istota polarnej metody Boxa-Mullera.
Teraz wyprowadźmy formuły.

(1)

Aby otrzymać r i θ, należy wygenerować dwie zmienne losowe o jednakowym rozkładzie na przedziale (0, 1) (nazwijmy je u i v), przy czym rozkład jednej z nich (powiedzmy v) należy przekształcić na wykładniczy do uzyskać promień. Funkcja rozkładu wykładniczego wygląda następująco:

Jego funkcją odwrotną jest:

Ponieważ rozkład jednostajny jest symetryczny, transformacja będzie działać podobnie z funkcją

Ze wzoru na rozkład chi-kwadrat wynika, że ​​λ = 0,5. Podstaw λ, v do tej funkcji i uzyskaj kwadrat promienia, a następnie sam promień:

Kąt uzyskujemy rozciągając segment jednostkowy do 2π:

Teraz podstawiamy r i θ do wzorów (1) i otrzymujemy:

(2)

Te formuły są już gotowe do użycia. X i Y będą niezależne i mają rozkład normalny z wariancją 1 i oczekiwaniem matematycznym 0. Aby otrzymać rozkład z innymi cechami, wystarczy pomnożyć wynik funkcji przez odchylenie standardowe i dodać oczekiwanie matematyczne.
Można jednak pozbyć się funkcji trygonometrycznych, określając kąt nie bezpośrednio, ale pośrednio poprzez współrzędne prostokątne losowego punktu na okręgu. Następnie, korzystając z tych współrzędnych, będzie można obliczyć długość wektora promienia, a następnie znaleźć cosinus i sinus, dzieląc przez nie odpowiednio x i y. Jak i dlaczego to działa?
Wybierzmy losowy punkt spośród równomiernie rozmieszczonych w okręgu o jednostkowym promieniu i oznaczmy kwadrat długości wektora promienia tego punktu literą s:

Wyboru dokonuje się poprzez podanie losowych współrzędnych prostokątnych x i y, równomiernie rozmieszczonych w przedziale (-1, 1) i odrzucenie punktów nienależących do okręgu oraz punktu środkowego, w którym wyznaczany jest kąt wektora promienia nie jest zdefiniowany. Oznacza to, że musi być spełniony warunek 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:

Otrzymujemy wzory jak na początku artykułu. Wadą tej metody jest to, że odrzuca punkty, które nie mieszczą się w okręgu. Oznacza to, że wykorzystuje się tylko 78,5% wygenerowanych zmiennych losowych. Na starszych komputerach dużą zaletą nadal był brak funkcji trygonometrycznych. Teraz, gdy jedno polecenie procesora oblicza w jednej chwili zarówno sinus, jak i cosinus, myślę, że te metody nadal mogą być konkurencyjne.

Osobiście mam jeszcze dwa pytania:

• Dlaczego wartość s rozkłada się równomiernie?
• Dlaczego suma kwadratów dwóch normalnych zmiennych losowych ma rozkład wykładniczy?

Ponieważ s jest kwadratem promienia (dla uproszczenia promień nazywam długością wektora promienia, który określa położenie losowego punktu), najpierw dowiadujemy się, jak rozkładają się promienie. Ponieważ okrąg jest wypełniony równomiernie, oczywiste jest, że liczba punktów o promieniu r jest proporcjonalna do długości okręgu o promieniu r. A obwód koła jest proporcjonalny do promienia. Oznacza to, że gęstość rozkładu promieni rośnie równomiernie od środka okręgu do jego krawędzi. A funkcja gęstości ma postać f(x) = 2x na przedziale (0, 1). Współczynnik 2, aby obszar figury pod wykresem był równy jeden. Kiedy tę gęstość podniesiemy do kwadratu, stanie się ona jednolita. Ponieważ teoretycznie w tym przypadku konieczne jest podzielenie funkcji gęstości przez jej pochodną funkcji transformacji (czyli x 2). I oczywiście dzieje się to tak:

Jeśli podobnej transformacji dokonamy dla normalnej zmiennej losowej, wówczas funkcja gęstości jej kwadratu okaże się podobna do hiperboli. A dodanie dwóch kwadratów normalnych zmiennych losowych jest znacznie bardziej złożonym procesem związanym z podwójną integracją. A fakt, że wynikiem będzie rozkład wykładniczy, osobiście muszę jedynie sprawdzić metodą praktyczną lub przyjąć jako aksjomat. A zainteresowanym radzę bliżej przyjrzeć się tematowi, czerpiąc wiedzę z tych książek:

• Ventzel E.S. Teoria prawdopodobieństwa
• Knut D.E. Sztuka programowania, tom 2

Podsumowując, oto przykład implementacji generatora liczb losowych o rozkładzie normalnym w JavaScript:

Funkcja Gauss() ( var gotowy = fałsz; var sekunda = 0,0; this.next = funkcja (średnia, odchylenie) ( średnia = średnia == niezdefiniowana ? 0,0: średnia; dev = odchylenie == niezdefiniowana ? 1,0: odchylenie; if ( this.ready) ( this.ready = false; zwróć this. Second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2,0 * Math.random() - 1,0; v = 2,0 * Math. random() - 1,0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1,0 || s == 0,0); var r = Math.sqrt(-2,0 * Math.log(s) / s); this.sekunda = r * u; this.ready = true; return r * v * dev + średnia; ) ); ) g = nowy Gauss(); // utwórz obiekt a = g.next(); // wygeneruj parę wartości i pobierz pierwszą z nich b = g.next(); // pobierz drugie c = g.next(); // ponownie wygeneruj parę wartości i pobierz pierwszą
Parametry średnia (oczekiwanie matematyczne) i dev (odchylenie standardowe) są opcjonalne. Zwracam uwagę na fakt, że logarytm jest naturalny.