Jednym ze znaków równoległoboku jest to, że jeśli dwa boki czworokąta są równe i równoległe, to taki czworokąt jest równoległobokiem. Oznacza to, że jeśli czworobok ma dwa boki równe i równoległe, wówczas pozostałe dwa boki również okazują się równe i równoległe do siebie, ponieważ fakt ten jest definicją i właściwością równoległoboku.
Zatem równoległobok można zdefiniować tylko za pomocą dwóch boków, które są do siebie równe i równoległe.
Tę cechę równoległoboku można sformułować w formie twierdzenia i udowodnić. W tym przypadku mamy czworokąt, którego dwa boki są równe i równoległe do siebie. Należy udowodnić, że taki czworokąt jest równoległobokiem (to znaczy, że jego pozostałe dwa boki są równe i równoległe do siebie).
Niech danym czworokątem będzie ABCD i jego boki AB || CD i AB = CD.
Pod warunkiem otrzymujemy czworobok. Nic nie jest powiedziane o tym, czy jest wypukły, czy nie (chociaż tylko wypukłe czworoboki mogą być równoległobokami). Jednak nawet w niewypukłym czworoboku zawsze istnieje jedna przekątna, która dzieli go na dwa trójkąty. Jeśli jest to przekątna AC, to otrzymujemy dwa trójkąty ABC i ADC. Jeśli jest to przekątna BD, to będzie ∆ABD i ∆BCD.
Powiedzmy, że mamy trójkąty ABC i ADC. Mają jeden bok wspólny (przekątna AC), bok AB jednego trójkąta jest równy bokowi CD drugiego trójkąta (pod warunkiem), kąt BAC jest równy kątowi ACD (leżącym w poprzek pomiędzy liniami poprzecznymi i równoległymi). Oznacza to ∆ABC = ∆ADC po dwóch stronach i kąt między nimi.
Z równości trójkątów wynika, że ich pozostałe boki i kąty są odpowiednio równe. Ale bok BC trójkąta ABC odpowiada bokowi AD trójkąta ADC, co oznacza, że BC = AD. Kąt B odpowiada kątowi D, co oznacza ∠B = ∠D. Kąty te mogą być sobie równe, jeśli BC || AD (ponieważ AB || CD, linie te można połączyć poprzez translację równoległą, wówczas ∠B stanie się krzyżującym się ∠D, a ich równość może nastąpić tylko wtedy, gdy BC || AD).
Z definicji równoległobok to czworokąt, którego przeciwne strony są równe i równoległe do siebie.
Udowodniono zatem, że jeśli czworokąt ABCD ma boki AB i CD równe i równoległe, a przekątna AC dzieli go na dwa trójkąty, to druga para jego boków okazuje się sobie równa i równoległa.
Jeśli czworokąt ABCD podzielono na dwa trójkąty przez inną przekątną (BD), wówczas rozważane byłyby trójkąty ABD i BCD. Ich równość zostałaby udowodniona analogicznie jak poprzednio. Okazałoby się, że BC = AD i ∠A = ∠C, co oznaczałoby, że BC || OGŁOSZENIE.
Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma
1. Definicja i podstawowe własności równoległoboku
Zacznijmy od przypomnienia definicji para-ral-le-lo-gram.
Definicja. Równoległobok- what-you-rekh-gon-nick, który ma co dwa pro-ti-false boki, które są równoległe (patrz ryc. 1).
Ryż. 1. Pa-ral-le-lo-gram
Zapamiętajmy podstawowe właściwości para-ral-le-lo-gram-ma:
Aby móc korzystać ze wszystkich tych właściwości, trzeba mieć pewność, że fi-gu-ra, o kimś -roy, o którym mówimy, - par-ral-le-lo-gram. Aby to zrobić, konieczna jest znajomość takich faktów, jak znaki pa-ral-le-lo-gram-ma. Przyglądamy się teraz dwóm pierwszym z nich.
2. Pierwszy znak równoległoboku
Twierdzenie. Pierwszy znak para-ral-le-lo-gram-ma. Jeśli w czterowęglowym dwie przeciwne strony są równe i równoległe, to ten czterowęglowy pseudonim - równoległobok. 
.
Ryż. 2. Pierwszy znak par-ral-le-lo-gram-ma
Dowód. Umieśćmy dia-go-nal w czterech-reh-coal-ni-ka (patrz ryc. 2), podzieliła go na dwie tri-coal-nika. Zapiszmy, co wiemy o tych trójkątach:
zgodnie z pierwszym znakiem równości trójkątów.
Z równości wskazanych trójkątów wynika, że poprzez znak równoległości linii prostych podczas przecinania ch-nii ich s-ku-shchi. Mamy to:
Do-ka-za-ale.
3. Drugi znak równoległoboku
Twierdzenie. Drugi znak to pa-ral-le-lo-gram-ma. Jeśli w czterokącie każde dwie strony popierające fałszywe są równe, to ten czterorożnik taki jest równoległobok. 
.
Ryż. 3. Drugi znak par-ral-le-lo-gram-ma
Dowód. Wkładamy przekątną w czworokąt (patrz ryc. 3), ona dzieli ją na dwa trójkąty. Zapiszmy, co wiemy o tych trójkątach, bazując na postaci teorii:
zgodnie z trzecim znakiem równości trójkątów.
Z równości trójkątów wynika, że po znaku linii równoległych, gdy je przecinają, s-ku-shchey. Jedzmy:
z definicji par-ral-le-lo-gram. co było do okazania
Do-ka-za-ale.
4. Przykład wykorzystania pierwszej cechy równoległoboku
Przyjrzyjmy się przykładowi użycia znaków par-ral-le-lo-gram.
Przykład 1. W wybrzuszeniu nie ma węgli. Znajdź: a) rogi węgli; b) sto-dobrze.
Rozwiązanie. Ilustracja Ryc. 4.
pa-ral-le-lo-gram zgodnie z pierwszym znakiem pa-ral-le-lo-gram-ma.
A. 
przez właściwość par-ral-le-lo-gram dotyczącą kątów pro-ti-fałszywych, przez właściwość par-ral-le-lo-gram dotyczącą sumy kątów, leżąc na boku.
B. 
z natury równości stron fałszywych.
znak re-tiy pa-ral-le-lo-gram-ma
5. Przegląd: Definicja i właściwości równoległoboku
Pamiętajmy o tym równoległobok- to jest czterokwadratowy róg, który ma parami fałszywe boki. To znaczy, jeśli - to par-ral-le-lo-gram 
(Patrz rys. 1).
Równolegle-le-lo-gram ma wiele właściwości: kąty pro-ti-fałszywe są równe (), kąty pro-ti-fałszywe - jesteśmy równi ( 
). Ponadto dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram w punkcie re-se-che-niya jest dzielony zgodnie z sumą kątów, at-le- naciskając w dowolną stronę pa -ral-le-lo-gram-ma, równy itp.
Aby jednak skorzystać ze wszystkich tych właściwości, należy mieć absolutną pewność, że ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. W tym celu stosuje się znaki parral-le-lo-gram: czyli takie fakty, z których można wyciągnąć jednowartościowy wniosek, że to, co-ty-rekh-coal-nick jest para-ral- le-lo-gram-mama. W poprzedniej lekcji przyglądaliśmy się już dwóm znakom. Teraz patrzymy po raz trzeci.
6. Trzeci znak równoległoboku i jego dowód
Jeśli w czterowęglowym jest dia-go-on w punkcie re-se-che-niya, który robią-by-lam, to dany cztero-ty Roh-coal-nick jest paral-le -lo-gram-mama.
Dany:
Co-ty-re-węgiel-nick; ; .
Udowodnić:
Równoległobok.
Dowód:
Aby udowodnić ten fakt, konieczne jest wykazanie równoległości stron par-le-lo-gramu. A równoległość linii prostych osiąga się najczęściej poprzez równość wewnętrznych kątów krzyżujących się pod tymi kątami prostymi. Zatem oto następna metoda uzyskania trzeciego znaku par-ral -le-lo-gram-ma: poprzez równość trójkątów 
.
Zobaczmy, jak te trójkąty są równe. Rzeczywiście z warunku wynika: . Ponadto, ponieważ kąty są pionowe, są równe. To jest:
(pierwszy znak równościtri-coal-ni-cov- wzdłuż dwóch boków i narożnika pomiędzy nimi).
Z równości trójkątów: (ponieważ wewnętrzne kąty poprzeczne na tych prostych i separatorach są równe). Ponadto z równości trójkątów wynika, że . Oznacza to, że rozumiemy, że w czterech węglach dwieście są równe i równoległe. Według pierwszego znaku, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-ale.
7. Przykład zadania na trzeci znak równoległoboku i uogólnienie
Spójrzmy na przykład użycia trzeciego znaku par-ral-le-lo-gram.
Przykład 1
Dany:
- równoległobok; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (patrz ryc. 2).
Udowodnić:- pa-ral-le-lo-gram.
Dowód:
Oznacza to, że w czterech-węglach-nie-dia-go-on-czy w punkcie re-se-che-niya robią-by-lam. Z trzeciego znaku par-ral-le-lo-gram wynika z tego, że - pa-ral-le-lo-gram.
Do-ka-za-ale.
Jeśli przeanalizujesz trzeci znak pa-ral-le-lo-gram, możesz zauważyć, że ten znak z-vet- ma właściwość par-ral-le-lo-gram. Oznacza to, że dia-go-na-li de-la-xia nie jest tylko własnością par-le-lo-gramu, lecz jego charakterystycznego kha-rak-te-ri-sti-che- właściwość, dzięki której można ją odróżnić od zestawu what-you-rekh-coal-ni-cov.
ŹRÓDŁO
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
Jest to czworokąt, którego przeciwne boki są równoległe parami.
Właściwość 1. Dowolna przekątna równoległoboku dzieli go na dwa równe trójkąty.
Dowód . Według cechy II (kąty poprzeczne i bok wspólny).
Twierdzenie zostało udowodnione.
Własność 2. W równoległoboku przeciwne strony są równe, kąty przeciwległe są równe.
Dowód .
Podobnie,
Twierdzenie zostało udowodnione.
Właściwość 3. W równoległoboku przekątne są podzielone na pół przez punkt przecięcia.
Dowód .
Twierdzenie zostało udowodnione.
Właściwość 4. Dwusieczna kąta równoległoboku, przechodząca przez przeciwny bok, dzieli go na trójkąt równoramienny i trapez. (Rozdz. słowa - wierzchołek - dwie równoramienne? -ka).
Dowód .
Twierdzenie zostało udowodnione.
Własność 5. W równoległoboku odcinek o końcach po przeciwnych stronach przechodzący przez punkt przecięcia przekątnych jest podzielony przez ten punkt.
Dowód .
Twierdzenie zostało udowodnione.
Własność 6. Kąt między wysokościami spuszczonymi z wierzchołka kąta rozwartego równoległoboku jest równy kątowi ostremu równoległoboku.
Dowód .
Twierdzenie zostało udowodnione.
Własność 7. Suma kątów równoległoboku sąsiadującego z jednym bokiem wynosi 180°.
Dowód .
Twierdzenie zostało udowodnione.
Konstruowanie dwusiecznej kąta. Własności dwusiecznej kąta trójkąta.
1) Skonstruuj dowolny promień DE.
2) Na danym promieniu skonstruuj dowolny okrąg ze środkiem w wierzchołku i taki sam
ze środkiem na początku konstruowanego promienia.
3) F i G – punkty przecięcia okręgu z bokami danego kąta, H – punkt przecięcia okręgu ze zbudowaną półprostą
Skonstruuj okrąg o środku w punkcie H i promieniu równym FG.
5) I jest punktem przecięcia okręgów konstruowanej belki.
6) Narysuj linię prostą przez wierzchołek i I.
IDH to wymagany kąt.
)
Właściwość 1. Dwusieczna kąta trójkąta dzieli przeciwny bok proporcjonalnie do sąsiednich boków.
Dowód . Niech x, y będą odcinkami boku c. Kontynuujmy belkę BC. Na promieniu BC wykreślamy z C odcinek CK równy AC.
