Myślę, że powinniśmy zacząć od historii tak wspaniałego narzędzia matematycznego, jak równania różniczkowe. Podobnie jak wszystkie rachunki różniczkowe i całkowe, równania te zostały wymyślone przez Newtona pod koniec XVII wieku. Uznał to swoje odkrycie za tak ważne, że nawet zaszyfrował wiadomość, którą dziś można przetłumaczyć mniej więcej tak: „Wszystkie prawa natury opisano równaniami różniczkowymi”. Może się to wydawać przesadą, ale to prawda. Za pomocą tych równań można opisać dowolne prawo fizyki, chemii, biologii.

Matematycy Euler i Lagrange wnieśli ogromny wkład w rozwój i stworzenie teorii równań różniczkowych. Już w XVIII wieku odkryli i rozwinęli to, czego obecnie uczą się na wyższych kursach uniwersyteckich.

Nowy kamień milowy w badaniu równań różniczkowych rozpoczął się dzięki Henriemu Poincaré. Stworzył „jakościową teorię równań różniczkowych”, która w połączeniu z teorią funkcji zmiennej zespolonej wniosła znaczący wkład w podstawy topologii - nauki o przestrzeni i jej właściwościach.

Co to są równania różniczkowe?

Wiele osób boi się jednego wyrażenia, jednak w tym artykule przedstawimy szczegółowo całą istotę tego bardzo przydatnego aparatu matematycznego, który w rzeczywistości nie jest tak skomplikowany, jak mogłoby się wydawać z nazwy. Aby zacząć mówić o równaniach różniczkowych pierwszego rzędu, należy najpierw zapoznać się z podstawowymi pojęciami, które nierozerwalnie wiążą się z tą definicją. Zaczniemy od mechanizmu różnicowego.

Mechanizm różnicowy

Wiele osób zna tę koncepcję od czasów szkolnych. Przyjrzyjmy się jednak temu bliżej. Wyobraź sobie wykres funkcji. Możemy ją zwiększyć do tego stopnia, że ​​dowolny jej odcinek będzie miał postać linii prostej. Weźmy na nim dwa punkty, które są nieskończenie blisko siebie. Różnica między ich współrzędnymi (x lub y) będzie nieskończenie mała. Nazywa się to różniczką i jest oznaczane znakami dy (różniczka y) i dx (różniczka x). Bardzo ważne jest, aby zrozumieć, że różnica nie jest wielkością skończoną i takie jest jej znaczenie i główna funkcja.

Teraz musimy rozważyć kolejny element, który będzie nam przydatny przy wyjaśnianiu pojęcia równania różniczkowego. To jest pochodna.

Pochodna

Prawdopodobnie wszyscy słyszeliśmy tę koncepcję w szkole. Mówi się, że pochodna to szybkość, z jaką funkcja rośnie lub maleje. Jednak z tej definicji wiele staje się niejasnych. Spróbujmy wyjaśnić pochodną za pomocą różniczków. Wróćmy do nieskończenie małego odcinka funkcji z dwoma punktami oddalonymi od siebie o minimalną odległość. Ale nawet na tej odległości funkcja zmienia się o pewną wartość. Aby opisać tę zmianę, wymyślono pochodną, ​​którą w przeciwnym razie można zapisać jako stosunek różniczek: f(x)"=df/dx.

Teraz warto zastanowić się nad podstawowymi właściwościami pochodnej. Jest ich tylko trzech:

1. Pochodną sumy lub różnicy można przedstawić jako sumę lub różnicę pochodnych: (a+b)"=a"+b" i (a-b)"=a"-b".
2. Druga właściwość jest związana z mnożeniem. Pochodna iloczynu to suma iloczynów jednej funkcji i pochodnej drugiej: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Pochodną różnicy można zapisać jako następującą równość: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Wszystkie te właściwości będą nam przydatne do znajdowania rozwiązań równań różniczkowych pierwszego rzędu.

Istnieją również pochodne cząstkowe. Powiedzmy, że mamy funkcję z, która zależy od zmiennych x i y. Aby obliczyć pochodną cząstkową tej funkcji, powiedzmy, po x, musimy przyjąć zmienną y jako stałą i po prostu różniczkować.

Całka

Inną ważną koncepcją jest integralność. W rzeczywistości jest to dokładne przeciwieństwo pochodnej. Istnieje kilka rodzajów całek, ale do rozwiązania najprostszych równań różniczkowych potrzebujemy tych najbardziej trywialnych

Powiedzmy, że mamy pewną zależność f od x. Bierzemy z niej całkę i otrzymujemy funkcję F(x) (często nazywaną funkcją pierwotną), której pochodna jest równa funkcji pierwotnej. Zatem F(x)"=f(x). Wynika z tego również, że całka pochodnej jest równa funkcji pierwotnej.

Podczas rozwiązywania równań różniczkowych bardzo ważne jest zrozumienie znaczenia i funkcji całki, ponieważ będziesz musiał bardzo często z nich korzystać, aby znaleźć rozwiązanie.

Równania różnią się w zależności od ich charakteru. W następnej sekcji przyjrzymy się typom równań różniczkowych pierwszego rzędu, a następnie nauczymy się, jak je rozwiązywać.

Klasy równań różniczkowych

„Diffury” są podzielone według kolejności występujących w nich instrumentów pochodnych. Zatem istnieje porządek pierwszy, drugi, trzeci i więcej. Można je również podzielić na kilka klas: pochodne zwykłe i cząstkowe.

W tym artykule przyjrzymy się równaniom różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu. W kolejnych rozdziałach omówimy także przykłady i sposoby ich rozwiązania. Rozważymy tylko ODE, ponieważ są to najczęstsze typy równań. Zwykłe dzielą się na podgatunki: z oddzielnymi zmiennymi, jednorodne i niejednorodne. Następnie dowiesz się, czym się od siebie różnią i dowiesz się, jak je rozwiązać.

Ponadto równania te można łączyć tak, aby otrzymać układ równań różniczkowych pierwszego rzędu. Rozważymy również takie systemy i dowiemy się, jak je rozwiązać.

Dlaczego rozważamy tylko pierwsze zamówienie? Bo trzeba zacząć od czegoś prostego, a opisanie w jednym artykule wszystkiego, co dotyczy równań różniczkowych, jest po prostu niemożliwe.

Równania rozłączne

Są to być może najprostsze równania różniczkowe pierwszego rzędu. Należą do nich przykłady, które można zapisać w następujący sposób: y"=f(x)*f(y). Aby rozwiązać to równanie, potrzebujemy wzoru na przedstawienie pochodnej jako stosunku różniczków: y"=dy/dx. Korzystając z niego, otrzymujemy następujące równanie: dy/dx=f(x)*f(y). Teraz możemy przejść do metody rozwiązania standardowe przykłady: podzielmy zmienne na części, czyli przeniesiemy wszystko ze zmienną y do części, w której znajduje się dy, i to samo zrobimy ze zmienną x. Otrzymujemy równanie postaci: dy/f(y)=f(x)dx, które rozwiązujemy całkami z obu stron. Nie zapomnij o stałej, którą należy ustawić po wzięciu całki.

Rozwiązaniem dowolnego „diffure” jest funkcja zależności x od y (w naszym przypadku) lub, jeśli występuje warunek numeryczny, odpowiedź w postaci liczby. Przyjrzyjmy się całemu procesowi rozwiązania na konkretnym przykładzie:

Przesuńmy zmienne w różnych kierunkach:

Zajmijmy się teraz całkami. Wszystkie można znaleźć w specjalnej tabeli całek. I otrzymujemy:

ln(y) = -2*cos(x) + C

W razie potrzeby możemy wyrazić „y” jako funkcję „x”. Teraz możemy powiedzieć, że nasze równanie różniczkowe zostało rozwiązane, jeśli warunek nie jest określony. Można określić warunek, na przykład y(n/2)=e. Następnie po prostu podstawiamy wartości tych zmiennych do rozwiązania i znajdujemy wartość stałej. W naszym przykładzie jest to 1.

Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu

Przejdźmy teraz do trudniejszej części. Można zapisać jednorodne równania różniczkowe pierwszego rzędu ogólna perspektywa w ten sposób: y"=z(x,y). Należy zauważyć, że właściwa funkcja na dwóch zmiennych jest jednorodna i nie można jej podzielić na dwie zależności: z na x i z na y. Sprawdzenie, czy równanie jest jednorodne, czy nie, jest dość proste: dokonujemy podstawienia x=k*x i y=k*y. Teraz redukujemy wszystkie k. Jeśli wszystkie te litery zostaną zmniejszone, równanie jest jednorodne i można bezpiecznie zacząć je rozwiązywać. Patrząc w przyszłość, powiedzmy: zasada rozwiązywania tych przykładów jest również bardzo prosta.

Musimy dokonać zamiany: y=t(x)*x, gdzie t jest pewną funkcją, która również zależy od x. Wtedy możemy wyrazić pochodną: y"=t"(x)*x+t. Zastępując to wszystko naszym oryginalne równanie i upraszczając, otrzymujemy przykład ze zmiennymi rozdzielnymi t i x. Rozwiązujemy to i otrzymujemy zależność t(x). Kiedy go otrzymamy, po prostu podstawimy y=t(x)*x do naszego poprzedniego zamiennika. Otrzymujemy wówczas zależność y od x.

Aby było to jaśniejsze, spójrzmy na przykład: x*y"=y-x*e y/x .

Podczas sprawdzania przy wymianie wszystko zostaje zmniejszone. Oznacza to, że równanie jest rzeczywiście jednorodne. Teraz dokonujemy kolejnego podstawienia, o którym mówiliśmy: y=t(x)*x i y"=t"(x)*x+t(x). Po uproszczeniu otrzymujemy równanie: t"(x)*x=-e t. Otrzymany przykład rozwiązujemy z rozdzielonymi zmiennymi i otrzymujemy: e -t =ln(C*x). Pozostaje nam jedynie zastąpić t z y/x (w końcu jeśli y =t*x, to t=y/x) i otrzymujemy odpowiedź: e -y/x =ln(x*C).

Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu

Czas zająć się innym szerokim tematem. Przeanalizujemy niejednorodne równania różniczkowe pierwszego rzędu. Czym różnią się od dwóch poprzednich? Rozwiążmy to. Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu w postaci ogólnej można zapisać następująco: y" + g(x)*y=z(x). Warto wyjaśnić, że z(x) i g(x) mogą być wielkościami stałymi.

A teraz przykład: y" - y*x=x 2 .

Istnieją dwa rozwiązania i przyjrzymy się obu w kolejności. Pierwsza to metoda zmieniania dowolnych stałych.

Aby rozwiązać równanie w ten sposób, należy najpierw dokonać równania prawa strona do zera i rozwiązać powstałe równanie, które po przeniesieniu części będzie miało postać:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y=e x2/2 *y do =C 1 *e x2/2 .

Teraz musimy zastąpić stałą C 1 funkcją v(x), którą musimy znaleźć.

Zastąpmy pochodną:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

I podstaw te wyrażenia do pierwotnego równania:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Możesz zobaczyć, że po lewej stronie dwa wyrazy się znoszą. Jeśli w jakimś przykładzie tak się nie stało, oznacza to, że zrobiłeś coś złego. Kontynuujmy:

v"*e x2/2 = x 2 .

Teraz rozwiązujemy zwykłe równanie, w którym musimy oddzielić zmienne:

dv/dx=x2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Aby wyodrębnić całkę, będziemy musieli tutaj zastosować całkowanie przez części. Jednak nie to jest tematem naszego artykułu. Jeśli jesteś zainteresowany, możesz dowiedzieć się, jak samodzielnie wykonywać takie czynności. Nie jest to trudne, a przy wystarczających umiejętnościach i staranności nie zajmuje dużo czasu.

Przejdźmy do drugiej metody rozwiązywania równań niejednorodnych: metody Bernoulliego. To, które podejście jest szybsze i łatwiejsze, zależy od Ciebie.

Zatem rozwiązując równanie tą metodą, musimy dokonać podstawienia: y=k*n. Tutaj k i n są pewnymi funkcjami zależnymi od x. Wtedy pochodna będzie wyglądać następująco: y"=k"*n+k*n". Obydwa podstawienia podstawiamy do równania:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Grupowanie:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Teraz musimy zrównać do zera to, co jest w nawiasach. Teraz, jeśli połączymy dwa powstałe równania, otrzymamy układ równań różniczkowych pierwszego rzędu, który należy rozwiązać:

Pierwszą równość rozwiązujemy jako równanie zwyczajne. Aby to zrobić, musisz oddzielić zmienne:

Bierzemy całkę i otrzymujemy: ln(n)=x 2 /2. Następnie, jeśli wyrazimy n:

Teraz podstawiamy otrzymaną równość do drugiego równania układu:

k"*e x2/2 =x 2 .

I przekształcając, otrzymujemy taką samą równość jak w pierwszej metodzie:

dk=x2 /e x2/2 .

Nie będziemy również demontować dalsze działania. Warto dodać, że na początku rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu nastręcza znacznych trudności. Jednak w miarę zagłębiania się w temat zaczyna to działać coraz lepiej.

Gdzie stosuje się równania różniczkowe?

Równania różniczkowe są bardzo aktywnie wykorzystywane w fizyce, ponieważ zapisane są prawie wszystkie podstawowe prawa forma różnicowa, a wzory, które widzimy, są rozwiązaniami tych równań. W chemii używa się ich z tego samego powodu: za ich pomocą wyprowadza się podstawowe prawa. W biologii równania różniczkowe służą do modelowania zachowania systemów, takich jak drapieżnik i ofiara. Można je także wykorzystać do stworzenia modeli reprodukcji, powiedzmy, kolonii mikroorganizmów.

W jaki sposób równania różniczkowe mogą pomóc Ci w życiu?

Odpowiedź na to pytanie jest prosta: wcale. Jeśli nie jesteś naukowcem ani inżynierem, jest mało prawdopodobne, że będą dla ciebie przydatne. Jednak dla ogólny rozwój Nie zaszkodzi wiedzieć, czym jest równanie różniczkowe i jak je rozwiązać. A potem pytanie syna lub córki brzmi: „Co to jest równanie różniczkowe?” nie wprawi cię w zakłopotanie. Cóż, jeśli jesteś naukowcem lub inżynierem, to sam rozumiesz znaczenie tego tematu w każdej nauce. Ale najważniejsze jest to, że teraz pytanie „jak rozwiązać równanie różniczkowe pierwszego rzędu?” zawsze możesz dać odpowiedź. Zgadzam się, zawsze miło jest zrozumieć coś, czego ludzie nawet boją się zrozumieć.

Główne problemy w nauce

Głównym problemem w zrozumieniu tego tematu jest słaba umiejętność całkowania i różniczkowania funkcji. Jeśli nie radzisz sobie z obliczaniem pochodnych i całek, prawdopodobnie warto się tego nauczyć i opanować różne metody integrację i różnicowanie, a dopiero potem przystąpić do studiowania materiału opisanego w artykule.

Niektórzy są zaskoczeni, gdy dowiadują się, że dx można przenieść, bo wcześniej (w szkole) mówiono, że ułamek dy/dx jest niepodzielny. Tutaj musisz przeczytać literaturę na temat pochodnej i zrozumieć, że jest to stosunek nieskończenie małych wielkości, którymi można manipulować podczas rozwiązywania równań.

Wiele osób nie od razu zdaje sobie sprawę, że rozwiązywanie równań różniczkowych pierwszego rzędu jest często funkcją lub całką, której nie można przyjąć, a to błędne przekonanie sprawia im wiele kłopotów.

Czego jeszcze możesz się nauczyć, aby lepiej zrozumieć?

Dalsze zanurzanie się w świat rachunku różniczkowego najlepiej zacząć od specjalistycznych podręczników np Analiza matematyczna dla studentów kierunków niematematycznych. Następnie możesz przejść do bardziej specjalistycznej literatury.

Warto powiedzieć, że oprócz równań różniczkowych istnieją również równania całkowe, więc zawsze będziesz miał do czego dążyć i coś do studiowania.

Wniosek

Mamy nadzieję, że po przeczytaniu tego artykułu masz pojęcie, czym są równania różniczkowe i jak je poprawnie rozwiązać.

W każdym razie matematyka w jakiś sposób przyda nam się w życiu. Rozwija logikę i uwagę, bez których każdy człowiek nie ma rąk.

Notatki z wykładów nt

równania różniczkowe

Równania różniczkowe

Wstęp

Przy badaniu pewnych zjawisk często pojawia się sytuacja, gdy procesu nie da się opisać równaniem y=f(x) lub F(x;y)=0. Oprócz zmiennej x i nieznanej funkcji do równania wchodzi pochodna tej funkcji.

Definicja: Nazywa się równanie łączące zmienną x, nieznaną funkcję y(x) i jej pochodne równanie różniczkowe. Ogólnie równanie różniczkowe wygląda następująco:

F(x;y(x); ;;...;y (n))=0

Definicja: Rząd równania różniczkowego to rząd najwyższej pochodnej zawartej w nim.

–równanie różniczkowe pierwszego rzędu

–równanie różniczkowe trzeciego rzędu

Definicja: Rozwiązaniem równania różniczkowego jest funkcja, która po podstawieniu do równania zamienia ją w tożsamość.

Równania różniczkowe 1. zamówienie

Definicja: Równanie postaci =f(x;y) lub F(x;y; )=0nazywa się równaniem różniczkowym pierwszego rzędu.

Definicja: Rozwiązaniem ogólnym równania różniczkowego pierwszego rzędu jest funkcja y=γ(x;c), gdzie (c –const), która po podstawieniu do równania zamienia je w tożsamość. Geometrycznie na płaszczyźnie rozwiązanie ogólne odpowiada rodzinie krzywych całkowych w zależności od parametru c.

Definicja: Krzywa całkowa przechodząca przez punkt na płaszczyźnie o współrzędnych (x 0 ; y 0) odpowiada konkretnemu rozwiązaniu równania różniczkowego spełniającego warunek początkowy:

Twierdzenie o istnieniu jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego I rzędu

Biorąc pod uwagę równanie różniczkowe pierwszego rzędu
oraz funkcja f(x;y) jest ciągła wraz z pochodnymi cząstkowymi w pewnym obszarze D płaszczyzny XOY, następnie przez punkt M 0 (x 0 ;y 0) D przechodzi przez jedyną krzywą odpowiadającą konkretnemu rozwiązaniu równania różniczkowego odpowiadającemu warunkowi początkowemu y(x 0)=y 0

Jedna krzywa całkowa przechodzi przez punkt na płaszczyźnie o podanych współrzędnych.

Jeśli nie możesz dostać wspólna decyzja równanie różniczkowe pierwszego rzędu w postaci jawnej, tj.
, to można to uzyskać w sposób dorozumiany:

F(x; y; c) =0 – forma ukryta

Rozwiązanie ogólne w tej postaci nazywa się całka ogólna równanie różniczkowe.

W odniesieniu do równania różniczkowego pierwszego rzędu stawiane są 2 problemy:

1) Znajdź rozwiązanie ogólne (całka ogólna)

2) Znajdź konkretne rozwiązanie (całkę częściową), które spełnia zadany warunek początkowy. Problem ten nazywany jest problemem Cauchy'ego dla równania różniczkowego.

Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi

Równania postaci:
nazywa się równaniem różniczkowym ze zmiennymi rozdzielnymi.

Zastąpmy

pomnóż przez dx

oddzielmy zmienne

dzielić przez

Uwaga: należy wziąć pod uwagę szczególny przypadek, kiedy

zmienne są oddzielane

scałkujmy obie strony równania

- wspólna decyzja

Równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi można zapisać jako:

Odosobniony przypadek
!

Całkujmy obie strony równania:

1)

2)
początek warunki:

Równania różniczkowe jednorodne pierwszego rzędu

Definicja: Funkcjonować
nazywa się jednorodnym rzędu n jeśli

Przykład: - funkcja jednorodna rzędu n=2

Definicja: Nazywa się funkcję jednorodną rzędu 0 jednorodny.

Definicja: Równanie różniczkowe
nazywa się jednorodnym jeśli
- funkcja jednorodna, tj.

Zatem jednorodne równanie różniczkowe można zapisać jako:

Korzystanie z zamiennika , gdzie t jest funkcją zmiennej x, jednorodne równanie różniczkowe sprowadza się do równania ze zmiennymi rozłącznymi.

- podstaw do równania

Zmienne rozdzielone, całkujmy obie strony równania

Dokonajmy odwrotnego podstawienia poprzez podstawienie , otrzymujemy rozwiązanie ogólne w postaci ukrytej.

Jednorodne równanie różniczkowe można zapisać w postaci różniczkowej.

M(x;y)dx+N(x;y)dy=0, gdzie M(x;y) i N(x;y) są funkcjami jednorodnymi tego samego rzędu.

Podziel przez dx i ekspresowo

1)

Równanie pierwszego rzędu w postaci a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) nazywa się liniowym równaniem różniczkowym. Jeśli b(x) ≡ 0 to równanie nazywa się jednorodnym, w przeciwnym razie - heterogeniczny. W przypadku liniowego równania różniczkowego twierdzenie o istnieniu i niepowtarzalności ma bardziej specyficzną postać.

Cel usługi. Aby sprawdzić rozwiązanie, można skorzystać z kalkulatora internetowego jednorodne i niejednorodne liniowe równania różniczkowe postaci y"+y=b(x) .

=

Użyj podstawienia zmiennej y=u*v
Skorzystaj z metody wariacji dowolnej stałej
Znajdź konkretne rozwiązanie dla y( ) = .

Aby otrzymać rozwiązanie należy pierwotne wyrażenie sprowadzić do postaci: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). Przykładowo dla y"-exp(x)=2*y będzie to y"-2 *y=exp(x) .

Twierdzenie. Niech a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) będą ciągłe na przedziale [α,β], a 1 ≠0 dla ∀x∈[α,β]. Wtedy dla dowolnego punktu (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β] istnieje jednoznaczne rozwiązanie równania, które spełnia warunek y(x 0) = y 0 i jest określone na całym przedziale [α ,β].
Rozważ jednorodne liniowe równanie różniczkowe a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0.
Oddzielając zmienne, otrzymujemy , lub całkując obie strony, Ostatnią relację uwzględniającą zapis exp(x) = e x zapisuje się w postaci

Spróbujmy teraz znaleźć rozwiązanie równania we wskazanej postaci, w którym zamiast stałej C podstawiana jest funkcja C(x), czyli w postaci

Podstawiając to rozwiązanie do rozwiązania pierwotnego, po niezbędnych przekształceniach otrzymujemy Integrując to drugie, mamy

gdzie C 1 jest jakąś nową stałą. Zastępując otrzymane wyrażenie C(x), ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie pierwotnego równania liniowego
.

Przykład. Rozwiąż równanie y" + 2y = 4x. Rozważ odpowiednie jednorodne równanie y" + 2y = 0. Rozwiązując to, otrzymujemy y = Ce -2 x. Szukamy teraz rozwiązania pierwotnego równania w postaci y = C(x)e -2 x. Podstawiając y i y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x do pierwotnego równania, otrzymujemy C"(x) = 4xe 2 x, skąd C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 i y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x jest ogólnym rozwiązaniem pierwotnego równania. to rozwiązanie y 1 ( x) = 2x-1 - ruch obiektu pod wpływem siły b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x - ruch właściwy obiektu.

Przykład nr 2. Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
To nie jest równanie jednorodne. Zmieńmy zmienne: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x lub u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Rozwiązanie składa się z dwóch etapów:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Przyrównaj u=0, znajdź rozwiązanie dla 3v tan(3x)+v" = 0
Przedstawmy to w postaci: v" = -3v tg(3x)

Całkując otrzymujemy:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Znając v, znajdź u z warunku: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/grzech 2 2x
Całkując otrzymujemy:
Z warunku y=u v otrzymujemy:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) lub y = C cos(3x)-cos(2x) cot(3x)

Instytucja edukacyjna „Państwo Białoruskie

Akademia Rolnicza”

Katedra Matematyki Wyższej

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RĘKU

Notatki z wykładów dla studentów rachunkowości

korespondencyjna forma kształcenia (NISPO)

Gorki, 2013

Równania różniczkowe pierwszego rzędu

Pojęcie równania różniczkowego. Rozwiązania ogólne i szczegółowe

Badając różne zjawiska, często nie można znaleźć prawa, które bezpośrednio łączy zmienną niezależną i pożądaną funkcję, ale można ustalić związek między pożądaną funkcją i jej pochodnymi.

Nazywa się związek łączący zmienną niezależną, pożądaną funkcję i jej pochodne równanie różniczkowe :

Tutaj X– zmienna niezależna, y– wymagana funkcja,
- pochodne żądanej funkcji. W tym przypadku relacja (1) musi mieć przynajmniej jedną pochodną.

Rząd równania różniczkowego nazywa się rządem najwyższej pochodnej zawartej w równaniu.

Rozważmy równanie różniczkowe

. (2)

Ponieważ równanie to zawiera tylko pochodną pierwszego rzędu, nazywa się je jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu.

Jeśli równanie (2) można rozwiązać w odniesieniu do pochodnej i zapisać w postaci

, (3)

wówczas takie równanie nazywa się równaniem różniczkowym pierwszego rzędu w postaci normalnej.

W wielu przypadkach wskazane jest rozważenie równania postaci

który jest nazywany równanie różniczkowe pierwszego rzędu zapisane w postaci różniczkowej.

Ponieważ
, wówczas równanie (3) można zapisać w postaci
Lub
, gdzie możemy liczyć
I
. Oznacza to, że równanie (3) przekształca się w równanie (4).

Zapiszmy równanie (4) w postaci
. Następnie
,
,
, gdzie możemy liczyć
, tj. otrzymuje się równanie postaci (3). Zatem równania (3) i (4) są równoważne.

Rozwiązywanie równania różniczkowego (2) lub (3) nazywa się dowolną funkcją
, które po podstawieniu do równania (2) lub (3) zamienia je w tożsamość:

Lub
.

Proces znajdowania wszystkich rozwiązań równania różniczkowego nazywa się jego integracja i wykres rozwiązania
nazywa się równaniem różniczkowym krzywa całkowa to równanie.

Jeśli rozwiązanie równania różniczkowego uzyskuje się w postaci ukrytej
, wtedy to się nazywa całka tego równania różniczkowego.

Rozwiązanie ogólne równania różniczkowego pierwszego rzędu jest rodziną funkcji postaci
, w zależności od dowolnej stałej Z, z których każde jest rozwiązaniem danego równania różniczkowego dla dowolnej dopuszczalnej wartości dowolnej stałej Z. Zatem równanie różniczkowe ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Prywatna decyzja równanie różniczkowe jest rozwiązaniem uzyskanym z ogólnego wzoru rozwiązania dla określonej wartości dowolnej stałej Z, w tym
.

Problem Cauchy'ego i jego interpretacja geometryczna

Równanie (2) ma nieskończoną liczbę rozwiązań. Aby wybrać z tego zestawu jedno rozwiązanie, które nazywamy prywatnym, należy ustalić dodatkowe warunki.

Nazywa się problem znalezienia konkretnego rozwiązania równania (2) w danych warunkach Problem Cauchy’ego . Problem ten jest jednym z najważniejszych w teorii równań różniczkowych.

Problem Cauchy'ego jest sformułowany w następujący sposób: spośród wszystkich rozwiązań równania (2) znajdź takie rozwiązanie
, w którym funkcja
przyjmuje podaną wartość liczbową , jeśli zmienna niezależna X przyjmuje podaną wartość liczbową , tj.

,
, (5)

Gdzie D– dziedzina definicji funkcji
.

Oznaczający zwany wartość początkowa funkcji , A – wartość początkowa zmiennej niezależnej . Nazywa się warunek (5). stan początkowy Lub Stan Cauchy’ego .

Z geometrycznego punktu widzenia problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego (2) można sformułować w następujący sposób: ze zbioru krzywych całkowych równania (2) wybierz tę, która przechodzi przez dany punkt
.

Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi

Jednym z najprostszych typów równań różniczkowych jest równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które nie zawiera pożądanej funkcji:

. (6)

Biorąc pod uwagę, że
, zapisujemy równanie w postaci
Lub
. Całkując obie strony ostatniego równania otrzymujemy:
Lub

. (7)

Zatem (7) jest ogólnym rozwiązaniem równania (6).

Przykład 1 . Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
.

Rozwiązanie . Zapiszmy równanie w formie
Lub
. Całkujmy obie strony otrzymanego równania:
,
. W końcu to napiszemy
.

Przykład 2 . Znajdź rozwiązanie równania
jeśli się uwzględni
.

Rozwiązanie . Znajdźmy ogólne rozwiązanie równania:
,
,
,
. Według warunku
,
. Podstawmy do rozwiązania ogólnego:
Lub
. Podstawiamy znalezioną wartość dowolnej stałej do wzoru na rozwiązanie ogólne:
. Jest to szczególne rozwiązanie równania różniczkowego spełniające zadany warunek.

Równanie

(8)

Zwany równanie różniczkowe pierwszego rzędu, które nie zawiera zmiennej niezależnej . Zapiszmy to w formularzu
Lub
. Całkujmy obie strony ostatniego równania:
Lub
- ogólne rozwiązanie równania (8).

Przykład . Znajdź ogólne rozwiązanie równania
.

Rozwiązanie . Zapiszmy to równanie w postaci:
Lub
. Następnie
,
,
,
. Zatem,
jest ogólnym rozwiązaniem tego równania.

Równanie postaci

(9)

całkuje poprzez separację zmiennych. Aby to zrobić, zapisujemy równanie w postaci
, a następnie za pomocą operacji mnożenia i dzielenia doprowadzamy to do takiej postaci, że jedna część zawiera tylko funkcję X i różnicowy dx, a w drugiej części – funkcja Na i różnicowy dy. Aby to zrobić, należy pomnożyć obie strony równania dx i podziel przez
. W rezultacie otrzymujemy równanie

, (10)

w którym zmienne X I Na rozdzielony. Całkujmy obie strony równania (10):
. Otrzymana relacja jest całką ogólną równania (9).

Przykład 3 . Całkuj równanie
.

Rozwiązanie . Przekształćmy równanie i oddzielmy zmienne:
,
. Zintegrujmy:
,
lub jest całką ogólną tego równania.
.

Niech równanie będzie podane w postaci

To równanie nazywa się równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze zmiennymi rozłącznymi w formie symetrycznej.

Aby rozdzielić zmienne, należy podzielić obie strony równania przez
:

. (12)

Powstałe równanie nazywa się rozdzielone równanie różniczkowe . Całkujmy równanie (12):

.(13)

Zależność (13) jest całką ogólną równania różniczkowego (11).

Przykład 4 . Całkuj równanie różniczkowe.

Rozwiązanie . Zapiszmy równanie w formie

i podziel obie części przez
,
. Wynikowe równanie:
jest równaniem z oddzielną zmienną. Zintegrujmy to:

,
,

,
. Ostatnia równość jest całką ogólną tego równania różniczkowego.

Przykład 5 . Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego
, spełniający warunek
.

Rozwiązanie . Biorąc pod uwagę, że
, zapisujemy równanie w postaci
Lub
. Oddzielmy zmienne:
. Całkujmy to równanie:
,
,
. Otrzymana relacja jest całką ogólną tego równania. Według warunku
. Podstawmy to do całki ogólnej i znajdźmy Z:
,Z=1. Następnie wyrażenie
jest częściowym rozwiązaniem danego równania różniczkowego, zapisanym jako całka cząstkowa.

Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu

Równanie

(14)

zwany liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu . Nieznana funkcja
i jego pochodna wchodzą do tego równania liniowo, a funkcje
I
ciągły.

Jeśli
, a następnie równanie

(15)

zwany liniowy jednorodny . Jeśli
, wówczas wywoływane jest równanie (14). liniowa niejednorodność .

Aby znaleźć rozwiązanie równania (14), zwykle stosuje się metoda substytucyjna (Bernoulliego) , którego istota jest następująca.

Rozwiązanie równania (14) będziemy szukać w postaci iloczynu dwóch funkcji

, (16)

Gdzie
I
- Niektóre funkcje ciągłe. Zastąpmy
i pochodna
do równania (14):

Funkcjonować w będziemy wybierać w taki sposób, aby warunek był spełniony
. Następnie
. Zatem, aby znaleźć rozwiązanie równania (14), należy rozwiązać układ równań różniczkowych

Pierwsze równanie układu jest równaniem liniowym jednorodnym i można je rozwiązać metodą separacji zmiennych:
,
,
,
,
. Jako funkcja
możesz przyjąć jedno z rozwiązań cząstkowych równania jednorodnego, tj. Na Z=1:
. Podstawiamy do drugiego równania układu:
Lub
.Następnie
. Zatem ogólne rozwiązanie liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu ma postać
.

Przykład 6 . Rozwiązać równanie
.

Rozwiązanie . Będziemy szukać rozwiązania równania w postaci
. Następnie
. Podstawiamy do równania:

Lub
. Funkcjonować w wybrać tak, aby zachodziła równość
. Następnie
. Rozwiążmy pierwsze z tych równań metodą separacji zmiennych:
,
,
,
,. Funkcjonować w Podstawiamy do drugiego równania:
,
,
,
. Ogólne rozwiązanie tego równania jest następujące
.

Pytania do samokontroli wiedzy

Co to jest równanie różniczkowe?

Jaki jest rząd równania różniczkowego?

Które równanie różniczkowe nazywa się równaniem różniczkowym pierwszego rzędu?

Jak zapisuje się równanie różniczkowe pierwszego rzędu w postaci różniczkowej?

Jakie jest rozwiązanie równania różniczkowego?

Co to jest krzywa całkowa?

Jakie jest ogólne rozwiązanie równania różniczkowego pierwszego rzędu?

Co nazywa się częściowym rozwiązaniem równania różniczkowego?

Jak formułuje się problem Cauchy'ego dla równania różniczkowego pierwszego rzędu?

Jaka jest geometryczna interpretacja problemu Cauchy'ego?

Jak napisać równanie różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi w postaci symetrycznej?

Które równanie nazywa się liniowym równaniem różniczkowym pierwszego rzędu?

Jaką metodą można rozwiązać liniowe równanie różniczkowe pierwszego rzędu i jaka jest istota tej metody?

Zadania do samodzielnej pracy

Rozwiązuj równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi:

A)
; B)
;

V)
; G)
.

2. Rozwiązywać liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu:

A)
; B)
; V)
;

G)
; D)
.

Równania różniczkowe pierwszego rzędu. Przykłady rozwiązań.
Równania różniczkowe ze zmiennymi rozłącznymi

Równania różniczkowe (DE). Te dwa słowa zwykle przerażają przeciętnego człowieka. Równania różniczkowe wydają się być czymś wygórowanym i trudnym do opanowania dla wielu uczniów. Uuuuuu... równania różniczkowe, jak ja to wszystko przeżyję?!

Ta opinia i takie podejście jest z gruntu błędne, bo faktycznie RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE - TO PROSTE I NAWET ZABAWNE. Co trzeba wiedzieć i umieć, żeby nauczyć się rozwiązywać równania różniczkowe? Aby skutecznie badać zjawiska rozproszone, musisz być dobry w integrowaniu i różnicowaniu. Im lepiej badane są tematy Pochodna funkcji jednej zmiennej I Całka nieoznaczona, tym łatwiej będzie zrozumieć równania różniczkowe. Powiem więcej, jeśli macie mniej więcej przyzwoite umiejętności integracyjne, to temat już prawie opanowany! Im więcej całek różne rodzaje wiesz, jak podjąć decyzję - tym lepiej. Dlaczego? Będziesz musiał dużo się zintegrować. I różnicuj. Również wysoce zalecane naucz się znajdować.

W 95% przypadków w testy Istnieją 3 typy równań różniczkowych pierwszego rzędu: równania rozłączne którym przyjrzymy się w tej lekcji; równania jednorodne I liniowe równania niejednorodne. Osobom rozpoczynającym naukę dyfuzorów radzę przeczytać lekcje dokładnie w tej kolejności, a po przestudiowaniu pierwszych dwóch artykułów nie zaszkodzi utrwalić swoje umiejętności na dodatkowym warsztacie - równania redukujące do jednorodnych.

Istnieją jeszcze rzadsze typy równań różniczkowych: równania różniczkowe całkowite, równania Bernoulliego i kilka innych. Najważniejszym z dwóch ostatnich typów są równania w pełne dyferencjały, bo dodatkowo nad tym pilotem się zastanawiam nowy materiał – częściowa integracja.

Jeśli został ci tylko dzień lub dwa, To do ultraszybkiego przygotowania Jest kurs błyskawiczny w formacie pdf.

Punkty orientacyjne są ustawione - chodźmy:

Najpierw pamiętajmy o zwykłych równaniach algebraicznych. Zawierają zmienne i liczby. Najprostszy przykład: . Co to znaczy rozwiązać zwykłe równanie? Oznacza to znalezienie zestaw liczb, które spełniają to równanie. Łatwo zauważyć, że równanie dzieci ma jeden pierwiastek: . Dla zabawy sprawdźmy i podstawmy znaleziony pierwiastek do naszego równania:

– uzyskuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Dyfuzory są zaprojektowane w podobny sposób!

Równanie różniczkowe Pierwsze zamówienie V przypadek ogólny zawiera:
1) zmienna niezależna;
2) zmienna zależna (funkcja);
3) pierwsza pochodna funkcji: .

W niektórych równaniach pierwszego rzędu może nie być „x” i/lub „y”, ale nie jest to istotne - ważny udać się do sterowni był pierwsza pochodna i nie miał pochodne wyższych rzędów – itp.

Co znaczy ? Rozwiązanie równania różniczkowego oznacza znalezienie zestaw wszystkich funkcji, które spełniają to równanie. Taki zbiór funkcji często ma postać (– dowolnej stałej), którą nazywa się ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.

Przykład 1

Rozwiązać równanie różniczkowe

Pełna amunicja. Gdzie zacząć rozwiązanie?

Przede wszystkim należy przepisać pochodną w nieco innej formie. Przypominamy sobie kłopotliwe oznaczenie, które wielu z Was zapewne wydawało się śmieszne i niepotrzebne. To właśnie rządzi w dyfuzorach!

W drugim kroku sprawdźmy, czy jest to możliwe oddzielne zmienne? Co to znaczy oddzielać zmienne? Z grubsza mówiąc, po lewej stronie musimy wyjechać tylko „Grecy”, A po prawej stronie zorganizować tylko „X”. Podział zmiennych odbywa się za pomocą manipulacji „szkolnych”: wyciągania ich z nawiasów, przenoszenia wyrazów z części do części ze zmianą znaku, przenoszenia czynników z części do części zgodnie z zasadą proporcji itp.

Różnice i są pełnymi mnożnikami i aktywnymi uczestnikami działań wojennych. W rozważanym przykładzie zmienne można łatwo rozdzielić, dorzucając czynniki zgodnie z zasadą proporcji:

Zmienne są oddzielane. Po lewej stronie są tylko „Y”, po prawej – tylko „X”.

Następny etap - całkowanie równań różniczkowych. To proste, całki stawiamy po obu stronach:

Oczywiście musimy wziąć całki. W w tym przypadku są tabelaryczne:

Jak pamiętamy, każdej funkcji pierwotnej przypisuje się stałą. Są tu dwie całki, ale wystarczy raz zapisać stałą (ponieważ stała + stała jest nadal równa innej stałej). W większości przypadków umieszcza się go po prawej stronie.

Ściśle mówiąc, po wzięciu całek równanie różniczkowe uważa się za rozwiązane. Jedyną rzeczą jest to, że nasze „y” nie jest wyrażone przez „x”, to znaczy prezentowane jest rozwiązanie w sposób dorozumiany formularz. Nazywa się rozwiązanie równania różniczkowego w postaci utajonej Całka ogólna równania różniczkowego. Oznacza to, że jest to całka ogólna.

Odpowiedź w tej formie jest całkiem do przyjęcia, ale czy istnieje lepsza opcja? Spróbujmy zdobyć wspólna decyzja.

Proszę, zapamiętaj pierwszą technikę, jest bardzo powszechny i ​​​​często używany zadania praktyczne: jeśli po całkowaniu po prawej stronie pojawi się logarytm, to w wielu przypadkach (ale nie zawsze!) wskazane jest również zapisanie stałej pod logarytmem.

To jest, ZAMIAST wpisy są zwykle pisane .

Dlaczego jest to konieczne? I po to, żeby łatwiej było wyrazić „grę”. Korzystanie z własności logarytmów . W tym przypadku:

Teraz można usunąć logarytmy i moduły:

Funkcja jest przedstawiona jawnie. To jest rozwiązanie ogólne.

Odpowiedź: wspólna decyzja: .

Odpowiedzi na wiele równań różniczkowych można dość łatwo sprawdzić. W naszym przypadku odbywa się to po prostu, bierzemy znalezione rozwiązanie i różnicujemy je:

Następnie podstawiamy pochodną do pierwotnego równania:

– uzyskano poprawną równość, co oznacza, że ​​rozwiązanie ogólne spełnia równanie, co należało sprawdzić.

Podając stałą różnych wartości, można uzyskać nieskończoną liczbę rozwiązania prywatne równanie różniczkowe. Oczywiste jest, że dowolna z funkcji , itp. spełnia równanie różniczkowe.

Czasami nazywa się rozwiązanie ogólne rodzina funkcji. W tym przykładzie rozwiązanie ogólne - to jest rodzina funkcje liniowe lub raczej rodzina bezpośredniej proporcjonalności.

Po dokładnym przejrzeniu pierwszego przykładu warto odpowiedzieć na kilka naiwnych pytań dotyczących równań różniczkowych:

1)W tym przykładzie udało nam się oddzielić zmienne. Czy zawsze można to zrobić? Nie, nie zawsze. A jeszcze częściej zmiennych nie można rozdzielić. Na przykład w jednorodne równania pierwszego rzędu, należy go najpierw wymienić. W innych typach równań, na przykład w liniowym równaniu niejednorodnym pierwszego rzędu, należy użyć różne techniki oraz metody znajdowania rozwiązania ogólnego. Równania ze zmiennymi rozłącznymi, które rozważamy na pierwszej lekcji - najprostszy typ równania różniczkowe.

2) Czy zawsze można całkować równanie różniczkowe? Nie, nie zawsze. Bardzo łatwo jest wymyślić „fantazyjne” równanie, którego nie można całkować; poza tym istnieją całki, których nie można wziąć. Ale podobne DE można rozwiązać w przybliżeniu za pomocą specjalne metody. D’Alembert i Cauchy gwarantują… ...ugh, lurkmore. Aby teraz dużo czytać, prawie dodałem „z innego świata”.

3) W tym przykładzie otrzymaliśmy rozwiązanie w postaci całki ogólnej . Czy zawsze można znaleźć rozwiązanie ogólne z całki ogólnej, czyli jawnie wyrazić „y”? Nie, nie zawsze. Na przykład: . No cóż, jak tu wyrazić słowo „grecki”?! W takich przypadkach odpowiedź należy zapisać w postaci całki ogólnej. Poza tym czasami da się znaleźć rozwiązanie ogólne, ale jest ono napisane na tyle uciążliwie i niezgrabnie, że lepiej zostawić odpowiedź w postaci całki ogólnej

4) ...może na razie wystarczy. W pierwszym przykładzie, z którym się zetknęliśmy Inny ważny punkt , ale żeby nie zasypać „manekinów” lawiną Nowa informacja, zostawię to do następnej lekcji.

Nie będziemy się spieszyć. Kolejny prosty pilot i kolejne typowe rozwiązanie:

Przykład 2

Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia warunek początkowy

Rozwiązanie: zgodnie z warunkiem musisz znaleźć rozwiązanie prywatne DE, który spełnia zadany warunek początkowy. To sformułowanie pytania jest również nazywane Problem Cauchy’ego.

Najpierw znajdujemy ogólne rozwiązanie. W równaniu nie ma zmiennej „x”, ale nie powinno to mylić, najważniejsze jest to, że ma pierwszą pochodną.

Przepisujemy pochodną do wymaganej postaci:

Oczywiście zmienne można rozdzielić, chłopcy po lewej, dziewczęta po prawej:

Całkujmy równanie:

Otrzymuje się całkę ogólną. Tutaj narysowałem stałą z gwiazdką, faktem jest, że już wkrótce zamieni się ona w inną stałą.

Teraz spróbujemy przekształcić całkę ogólną w rozwiązanie ogólne (wyraźnie „y”). Przypomnijmy sobie stare dobre rzeczy ze szkoły: . W tym przypadku:

Stała we wskaźniku wygląda jakoś niekoszernie, więc zwykle jest sprowadzana na ziemię. W szczegółach wygląda to tak. Korzystając z własności stopni, przepisujemy funkcję w następujący sposób:

Jeśli jest stałą, to jest też jakąś stałą, oznaczmy ją literą :

Pamiętaj, że „burzenie” jest stałą druga technika, który jest często używany przy rozwiązywaniu równań różniczkowych.

Zatem ogólne rozwiązanie jest następujące: . To jest ładna rodzina funkcji wykładniczych.

Na ostatnim etapie należy znaleźć konkretne rozwiązanie spełniające zadany warunek początkowy. To również jest proste.

Jakie jest zadanie? Trzeba odebrać taki wartość stałej, aby warunek był spełniony.

Można go sformatować na różne sposoby, ale prawdopodobnie będzie to najczystszy sposób. W rozwiązaniu ogólnym zamiast „X” podstawiamy zero, a zamiast „Y” podstawiamy dwójkę:



To jest,

Wersja standardowa:

Teraz podstawiamy znalezioną wartość stałej do rozwiązania ogólnego:
– to jest konkretne rozwiązanie, którego potrzebujemy.

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Sprawdźmy. Sprawdzanie rozwiązania prywatnego obejmuje dwa etapy:

Najpierw należy sprawdzić, czy znalezione rozwiązanie rzeczywiście spełnia warunek początkowy? Zamiast „X” podstawiamy zero i zobaczymy, co się stanie:
- tak, rzeczywiście otrzymano dwójkę, co oznacza, że ​​warunek początkowy został spełniony.

Drugi etap jest już znany. Bierzemy wynikowe konkretne rozwiązanie i znajdujemy pochodną:

Podstawiamy do pierwotnego równania:

– uzyskuje się poprawną równość.

Wniosek: konkretne rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Przejdźmy do bardziej znaczących przykładów.

Przykład 3

Rozwiązać równanie różniczkowe

Rozwiązanie: Przepisujemy pochodną do potrzebnej nam postaci:

Oceniamy, czy możliwe jest rozdzielenie zmiennych? Móc. Drugi wyraz przesuwamy w prawą stronę ze zmianą znaku:

I przenosimy mnożniki zgodnie z zasadą proporcji:

Zmienne są rozdzielone, zintegrujmy obie części:

Muszę cię ostrzec, zbliża się dzień sądu. Jeśli nie uczyłeś się dobrze Całki nieoznaczone, rozwiązałeś kilka przykładów, to nie ma dokąd pójść - będziesz musiał je teraz opanować.

Całkę lewej strony można łatwo znaleźć; całką kotangensa zajmujemy się standardową techniką, którą omawialiśmy na lekcji Całkowanie funkcji trygonometrycznych ostatni rok:

Po prawej stronie mamy logarytm i zgodnie z moim pierwszym zaleceniem technicznym, pod logarytmem należy również zapisać stałą.

Spróbujemy teraz uprościć całkę ogólną. Ponieważ mamy tylko logarytmy, pozbycie się ich jest całkiem możliwe (i konieczne). Używając znane właściwości„Pakujemy” logarytmy tak bardzo, jak to możliwe. Napiszę to bardzo szczegółowo:

Opakowanie jest barbarzyńsko podarte:

Czy można wyrazić „grę”? Móc. Konieczne jest wyrównanie obu części.

Ale nie musisz tego robić.

Trzecia wskazówka techniczna: jeśli aby uzyskać ogólne rozwiązanie, konieczne jest podniesienie do potęgi lub zakorzenienie, to W większości przypadków powinieneś powstrzymać się od tych działań i pozostawić odpowiedź w postaci całki ogólnej. Faktem jest, że ogólne rozwiązanie będzie wyglądać po prostu okropnie - z dużymi korzeniami, znakami i innymi śmieciami.

Dlatego odpowiedź zapisujemy w postaci całki ogólnej. Za dobrą praktykę uważa się przedstawienie go w formie , czyli po prawej stronie, jeśli to możliwe, pozostawienie tylko stałej. Nie jest to konieczne, ale zawsze warto zadowolić profesora ;-)

Odpowiedź: całka ogólna:

! Notatka: Całkę ogólną dowolnego równania można zapisać na więcej niż jeden sposób. Jeśli więc Twój wynik nie pokrywa się z wcześniej znaną odpowiedzią, nie oznacza to, że źle rozwiązałeś równanie.

Całkę ogólną można również dość łatwo sprawdzić, najważniejsze jest, aby móc ją znaleźć pochodna funkcji określonej domyślnie. Rozróżnijmy odpowiedź:

Obydwa wyrazy mnożymy przez:

I podziel przez:

Pierwotne równanie różniczkowe otrzymano dokładnie, co oznacza, że ​​całka ogólna została znaleziona poprawnie.

Przykład 4

Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego, które spełnia warunek początkowy. Wykonaj kontrolę.

To jest przykład dla niezależna decyzja.

Przypomnę, że algorytm składa się z dwóch etapów:
1) znalezienie rozwiązania ogólnego;
2) znalezienie wymaganego konkretnego rozwiązania.

Sprawdzanie również odbywa się dwuetapowo (patrz przykład w przykładzie nr 2), należy:
1) upewnić się, że znalezione rozwiązanie spełnia warunek początkowy;
2) sprawdzić, czy dane rozwiązanie ogólnie spełnia równanie różniczkowe.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Przykład 5

Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego , spełniając warunek początkowy. Wykonaj kontrolę.

Rozwiązanie: Najpierw znajdźmy rozwiązanie ogólne.Równanie to zawiera już gotowe różniczki, dlatego rozwiązanie jest uproszczone. Rozdzielamy zmienne:

Całkujmy równanie:

Całka po lewej stronie jest tabelaryczna, całka po prawej stronie jest brana metoda podciągania funkcji pod znak różniczkowy:

Otrzymano całkę ogólną, czy można skutecznie wyrazić rozwiązanie ogólne? Móc. Zawieszamy logarytmy po obu stronach. Ponieważ są dodatnie, znaki modułu są niepotrzebne:

(Mam nadzieję, że wszyscy zrozumieją transformację, takie rzeczy powinny być już znane)

Zatem ogólne rozwiązanie jest następujące:

Znajdźmy konkretne rozwiązanie odpowiadające danemu warunkowi początkowemu.
W rozwiązaniu ogólnym zamiast „X” podstawimy zero, a zamiast „Y” podstawimy logarytm dwójki:

Bardziej znajomy projekt:

Podstawiamy znalezioną wartość stałej do rozwiązania ogólnego.

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Sprawdź: Najpierw sprawdźmy, czy spełniony jest warunek początkowy:
- Wszystko jest dobrze.

Sprawdźmy teraz, czy znalezione konkretne rozwiązanie w ogóle spełnia równanie różniczkowe. Znajdowanie pochodnej:

Spójrzmy na oryginalne równanie: – jest prezentowany w różnicach. Można to sprawdzić na dwa sposoby. Można wyrazić różnicę od znalezionej pochodnej:

Podstawmy znalezione rozwiązanie szczególne i otrzymaną różnicę do pierwotnego równania :

Używamy podstawowej tożsamości logarytmicznej:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​dane rozwiązanie zostało znalezione poprawnie.

Druga metoda sprawdzania jest odzwierciedlona i bardziej znana: z równania Wyraźmy pochodną, ​​w tym celu dzielimy wszystkie części przez:

I do przekształconego DE podstawiamy otrzymane rozwiązanie częściowe i znalezioną pochodną. W wyniku uproszczeń należy również otrzymać poprawną równość.

Przykład 6

Rozwiązać równanie różniczkowe. Odpowiedź przedstaw w postaci całki ogólnej.

To przykład do samodzielnego rozwiązania, kompletne rozwiązanie i odpowiedź na koniec lekcji.

Jakie trudności czyhają przy rozwiązywaniu równań różniczkowych ze zmiennymi rozłącznymi?

1) Nie zawsze jest oczywiste (szczególnie dla „czajnika”), że zmienne można oddzielić. Rozważmy przykład warunkowy: . Tutaj musisz wyjąć czynniki z nawiasów: i oddzielić pierwiastki: . Jasne jest, co dalej robić.

2) Trudności z samą integracją. Całki często nie są najprostsze i jeśli istnieją wady w umiejętnościach znajdowania Całka nieoznaczona, wtedy będzie to trudne z wieloma dyfuzorami. Ponadto logika „skoro równanie różniczkowe jest proste, to przynajmniej niech całki będą bardziej skomplikowane” jest popularna wśród kompilatorów zbiorów i podręczników szkoleniowych.

3) Transformacje ze stałą. Jak wszyscy zauważyli, ze stałą w równaniach różniczkowych można operować dość swobodnie, a niektóre przekształcenia nie zawsze są jasne dla początkującego. Spójrzmy na inny przykład warunkowy: . Wskazane jest pomnożenie wszystkich wyrazów przez 2: . Powstała stała jest również pewnego rodzaju stałą, którą można oznaczyć wzorem: . Tak, a ponieważ po prawej stronie znajduje się logarytm, wskazane jest przepisanie stałej w postaci innej stałej: .

Problem w tym, że często nie zawracają sobie głowy indeksami i używają tej samej litery. W rezultacie zapis decyzji przyjmuje następującą postać:

Jakiego rodzaju herezja? Tam są błędy! Ściśle mówiąc, tak. Jednak z merytorycznego punktu widzenia nie ma tu mowy o błędach, gdyż w wyniku przekształcenia stałej zmiennej nadal otrzymuje się stałą zmienną.

Lub inny przykład, załóżmy, że w trakcie rozwiązywania równania otrzymuje się całkę ogólną. Ta odpowiedź wygląda brzydko, dlatego zaleca się zmianę znaku każdego terminu: . Formalnie jest tu jeszcze jeden błąd – należy to napisać po prawej stronie. Jednak nieformalnie sugeruje się, że „minus ce” jest nadal stałą ( które równie dobrze może mieć dowolne znaczenie!), więc wstawienie „minusu” nie ma sensu i możesz użyć tej samej litery.

Postaram się unikać nieostrożnego podejścia i nadal przypisywać stałe różne indeksy podczas ich konwersji.

Przykład 7

Rozwiązać równanie różniczkowe. Wykonaj kontrolę.

Rozwiązanie: Równanie to pozwala na separację zmiennych. Rozdzielamy zmienne:

Zintegrujmy:

Nie ma potrzeby definiowania tutaj stałej jako logarytmu, ponieważ nic użytecznego z tego nie wyniknie.

Odpowiedź: całka ogólna:

Sprawdź: Zróżnicuj odpowiedź (funkcja ukryta):

Ułamków zwykłych pozbywamy się, mnożąc oba wyrazy przez:

Otrzymano oryginalne równanie różniczkowe, co oznacza, że ​​całka ogólna została znaleziona poprawnie.

Przykład 8

Znajdź konkretne rozwiązanie DE.
,

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Jedyną wskazówką jest to, że tutaj otrzymasz całkę ogólną i, mówiąc dokładniej, musisz wymyślić, aby znaleźć nie konkretne rozwiązanie, ale całka częściowa. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.