Istnieje cała grupa zadań (wchodzących w skład zadań egzaminacyjnych) związanych z płaszczyzną współrzędnych. Są to zadania począwszy od tych najbardziej podstawowych, które rozwiązuje się ustnie (wyznaczenie rzędnej lub odciętej danego punktu, punktu symetrycznego do danego punktu i inne), a skończywszy na zadaniach wymagających wysokiej jakości wiedzy, zrozumienia i dobre umiejętności (zagadnienia związane ze współczynnikiem kątowym linii prostej).
Stopniowo rozważymy je wszystkie. W tym artykule zaczniemy od podstaw. Ten proste zadania wyznaczać: odciętą i rzędną punktu, długość odcinka, środek odcinka, sinus lub cosinus kąta nachylenia prostej.Większość ludzi nie będzie zainteresowana tymi zadaniami. Uważam jednak, że konieczne jest ich podanie.
Faktem jest, że nie wszyscy chodzą do szkoły. Wiele osób przystępuje do ujednoliconego egzaminu państwowego 3-4 lub więcej lat po ukończeniu studiów i mgliście pamiętają, czym jest odcięta i rzędna. Przeanalizujemy także inne zadania związane z płaszczyzną współrzędnych, nie przegap tego, subskrybuj aktualizacje bloga. Teraz n trochę teorii.
Skonstruujmy punkt A na płaszczyźnie współrzędnych o współrzędnych x=6, y=3.
Mówią, że odcięta punktu A jest równa sześć, a rzędna punktu A jest równa trzy.
Mówiąc najprościej, oś wołu jest osią odciętych, oś y jest osią rzędnych.
Oznacza to, że odcięta jest punktem na osi x, na który rzutowany jest punkt podany na płaszczyźnie współrzędnych; Współrzędna to punkt na osi Y, na który rzutowany jest określony punkt.
Długość odcinka w płaszczyźnie współrzędnych
Wzór na określenie długości odcinka, jeśli znane są współrzędne jego końców:
Jak widać, długość odcinka to długość przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym o równych ramionach
X B - X A i U B - U A
* * *
Środek segmentu. Jej współrzędne.
Wzór na znalezienie współrzędnych środka odcinka:
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty
Wzór na równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty ma postać:
gdzie (x 1;y 1) i (x 2;y 2 ) współrzędne dane punkty.
Podstawiając wartości współrzędnych do wzoru, sprowadza się to do postaci:
y = kx + b, gdzie k jest nachyleniem linii
Informacje te będą nam potrzebne przy rozwiązywaniu innej grupy problemów związanych z płaszczyzną współrzędnych. Będzie o tym artykuł, nie przegapcie go!
Co jeszcze możesz dodać?
Kąt nachylenia linii prostej (lub odcinka) to kąt pomiędzy osią oX a tą linią prostą, mieszczący się w zakresie od 0 do 180 stopni.
Rozważmy zadania.
Z punktu (6;8) prostopadła zostaje spuszczona na oś rzędnych. Znajdź rzędną podstawy prostopadłej.
Podstawa prostopadłej obniżonej na oś rzędnych będzie miała współrzędne (0;8). Współrzędna jest równa osiem.
Odpowiedź: 8
Znajdź odległość od punktu A ze współrzędnymi (6;8) do osi rzędnych.
Odległość punktu A od osi rzędnych jest równa odciętej punktu A.
Odpowiedź: 6.
A(6;8) względem osi Wół.
Kropka punkt symetryczny A względem osi oX ma współrzędne (6; – 8).
Współrzędna jest równa minus osiem.
Odpowiedź: – 8
Znajdź rzędną punktu symetrycznego do tego punktu A(6;8) względem początku.
Punkt symetryczny do punktu A względem początku układu współrzędnych ma współrzędne (– 6;– 8).
Jego rzędna to – 8.
Odpowiedź: –8
Znajdź odciętą środka odcinka łączącego te punktyO(0;0) i A(6;8).
Aby rozwiązać zadanie, należy znaleźć współrzędne środka odcinka. Współrzędne końców naszego odcinka to (0;0) i (6;8).
Obliczamy korzystając ze wzoru:
Mamy (3;4). Odcięta jest równa trzy.
Odpowiedź: 3
*Odciętą środka odcinka można wyznaczyć bez obliczeń, korzystając ze wzoru, konstruując ten odcinek na płaszczyźnie współrzędnych na kartce papieru w kwadracie. Środek segmentu będzie łatwy do określenia na podstawie komórek.
Znajdź odciętą środka odcinka łączącego te punkty A(6;8) i B(–2;2).
Aby rozwiązać zadanie, należy znaleźć współrzędne środka odcinka. Współrzędne końców naszego odcinka to (–2;2) i (6;8).
Obliczamy korzystając ze wzoru:
Mamy (2;5). Odcięta jest równa dwa.
Odpowiedź: 2
*Odciętą środka odcinka można wyznaczyć bez obliczeń, korzystając ze wzoru, konstruując ten odcinek na płaszczyźnie współrzędnych na kartce papieru w kwadracie.
Znajdź długość odcinka łączącego punkty (0;0) i (6;8).
Długość odcinka przy danych współrzędnych jego końców oblicza się ze wzoru:
w naszym przypadku mamy O(0;0) i A(6;8). Oznacza,
* Kolejność współrzędnych nie ma znaczenia przy odejmowaniu. Możesz odjąć odciętą i rzędną punktu A od odciętej i rzędnej punktu O:
Odpowiedź: 10
Znajdź cosinus nachylenia odcinka łączącego punkty O(0;0) i A(6;8), z osią x.
Kąt nachylenia odcinka to kąt pomiędzy tym odcinkiem a osią oX.
Z punktu A obniżamy prostopadle do osi oX:
Oznacza to, że kąt nachylenia odcinka jest kątemNOKw trójkącie prostokątnym ABO.
Cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym wynosi
stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej
Musimy znaleźć przeciwprostokątnąOA.
Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa:W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej równa sumie kwadraty nóg.
Zatem cosinus kąta nachylenia wynosi 0,6
Odpowiedź: 0,6
Z punktu (6;8) prostopadła zostaje spuszczona na oś odciętych. Znajdź odciętą podstawę prostopadłej.
Przez punkt (6;8) poprowadzono linię prostą równoległą do osi odciętych. Znajdź współrzędną punktu przecięcia z osią o ty.
Znajdź odległość od punktu A ze współrzędnymi (6;8) do osi odciętych.
Znajdź odległość od punktu A ze współrzędnymi (6;8) do początku.
Możliwe jest określenie długości odcinka na różne sposoby. Aby dowiedzieć się, jak obliczyć długość odcinka, wystarczy mieć linijkę lub znać specjalne wzory do obliczeń.
Długość odcinka za pomocą linijki
W tym celu do zbudowanego na płaszczyźnie odcinka przykładamy linijkę z podziałkami milimetrowymi, a punkt początkowy musi pokrywać się z zerem skali linijki. Następnie należy zaznaczyć na tej skali położenie punktu końcowego tego odcinka. Wynikowa liczba działek całej skali będzie długością odcinka wyrażoną w cm i mm.
Metoda współrzędnych płaskich
Jeżeli znane są współrzędne odcinka (x1;y1) i (x2;y2), to jego długość należy obliczyć w następujący sposób. Współrzędne pierwszego punktu należy odjąć od współrzędnych na płaszczyźnie drugiego punktu. Wynikiem powinny być dwie liczby. Każdą z tych liczb należy podnieść do kwadratu, a następnie znaleźć sumę tych kwadratów. Z otrzymanej liczby należy wyodrębnić pierwiastek kwadratowy, która będzie odległością pomiędzy punktami. Ponieważ te punkty są końcami odcinka, tą wartością będzie jego długość.
Spójrzmy na przykład, jak znaleźć długość odcinka za pomocą współrzędnych. Istnieją współrzędne dwóch punktów (-1;2) i (4;7). Znajdując różnicę współrzędnych punktów otrzymujemy wartości: x = 5, y = 5. Otrzymane liczby będą współrzędnymi odcinka. Następnie podnosimy każdą liczbę do kwadratu i znajdujemy sumę wyników, która jest równa 50. Bierzemy pierwiastek kwadratowy z tej liczby. Wynik to: 5 pierwiastków z 2. To jest długość odcinka.
Metoda współrzędnych w przestrzeni
Aby to zrobić, musisz rozważyć, jak znaleźć długość wektora. To właśnie będzie segment przestrzeni euklidesowej. Można go znaleźć prawie w taki sam sposób, jak długość odcinka na płaszczyźnie. Wektor jest zbudowany w różnych płaszczyznach. Jak znaleźć długość wektora?
- Znajdź współrzędne wektora; w tym celu należy odjąć współrzędne jego punktu początkowego od współrzędnych jego punktu końcowego.
- Następnie musisz podnieść do kwadratu każdą współrzędną wektora.
- Następnie dodajemy kwadratowe współrzędne.
- Aby obliczyć długość wektora, należy wziąć pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów współrzędnych.
Spójrzmy na algorytm obliczeniowy na przykładzie. Konieczne jest znalezienie współrzędnych wektora AB. Punkty A i B mają współrzędne: A (1;6;3) i B (3;-1;7). Początek wektora leży w punkcie A, koniec w punkcie B. Zatem, aby znaleźć jego współrzędne, należy odjąć współrzędne punktu A od współrzędnych punktu B: (3 - 1; -1 - 6;7 - 3) = (2;- 7:4).
Teraz podnosimy każdą współrzędną do kwadratu i dodajemy: 4+49+16=69. Na koniec oblicza pierwiastek kwadratowy z podanej liczby. Trudno to wyodrębnić, dlatego zapisujemy wynik w ten sposób: długość wektora jest równa pierwiastkowi z 69.
Jeśli nie jest dla Ciebie ważne samodzielne obliczanie długości odcinków i wektorów, ale potrzebujesz tylko wyniku, możesz skorzystać z kalkulatora online, na przykład tego.
Teraz, po przestudiowaniu tych metod i rozważeniu przedstawionych przykładów, możesz łatwo znaleźć długość odcinka w dowolnym problemie.
W poniższym artykule omówione zostaną zagadnienia związane ze znalezieniem współrzędnych środka odcinka, jeżeli jako dane wyjściowe dostępne są współrzędne jego skrajnych punktów. Zanim jednak zaczniemy badać to zagadnienie, wprowadźmy kilka definicji.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1
Segment– linia prosta łącząca dwa dowolne punkty, zwane końcami odcinka. Niech będą to dla przykładu punkty A i B i odpowiednio odcinek A B.
Jeśli odcinek A B będzie kontynuowany w obu kierunkach od punktów A i B, otrzymamy linię prostą A B. Następnie odcinek A B jest częścią powstałej linii prostej ograniczonej punktami A i B. Odcinek A B łączy punkty A i B będące jego końcami oraz zbiór punktów leżących pomiędzy nimi. Jeśli na przykład weźmiemy dowolny punkt K leżący pomiędzy punktami A i B, możemy powiedzieć, że punkt K leży na odcinku A B.
Definicja 2
Długość sekcji– odległość pomiędzy końcami odcinka w danej skali (odcinek o długości jednostkowej). Oznaczmy długość odcinka A B następująco: A B .
Definicja 3
Środek odcinka– punkt leżący na odcinku i w równej odległości od jego końców. Jeżeli środek odcinka A B wyznaczymy przez punkt C, to spełniona będzie równość: A C = C B
Dane wyjściowe: oś współrzędnych Ox i znajdujące się na niej nie pokrywające się punkty: A i B. Punkty te odpowiadają liczbom rzeczywistym x A i xB. Punkt C jest środkiem odcinka A B: konieczne jest określenie współrzędnych xC.
Ponieważ punkt C jest środkiem odcinka A B, spełniona będzie równość: | AC | = | C B | . Odległość między punktami określa moduł różnicy ich współrzędnych, tj.
| AC | = | C B | ⇔ x C - x A = x B - x C
Wtedy możliwe są dwie równości: x C - x A = x B - x C i x C - x A = - (x B - x C)
Z pierwszej równości wyprowadzamy wzór na współrzędne punktu C: x C = x A + x B 2 (połowa sumy współrzędnych końców odcinka).
Z drugiej równości otrzymujemy: x A = x B, co jest niemożliwe, ponieważ w danych źródłowych – punkty nie pokrywające się. Zatem, wzór na określenie współrzędnych środka odcinka A B z końcami A (x A) i B(xB):
Otrzymany wzór będzie podstawą do wyznaczenia współrzędnych środka odcinka na płaszczyźnie lub w przestrzeni.
Dane wyjściowe: prostokątny układ współrzędnych na płaszczyźnie O x y, dwa dowolne, nie pokrywające się punkty o podanych współrzędnych A x A, y A i B x B, y B. Punkt C jest środkiem odcinka A B. Należy wyznaczyć współrzędne x C i y C punktu C.
Weźmy do analizy przypadek, gdy punkty A i B nie pokrywają się i nie leżą na tej samej linii współrzędnych lub prostej prostopadłej do jednej z osi. A x , A y ; B x, B y i C x, C y - rzuty punktów A, B i C na osie współrzędnych (proste O x i O y).
Zgodnie z konstrukcją linie A A x, B B x, C C x są równoległe; linie są również równoległe do siebie. Razem z tym, zgodnie z twierdzeniem Talesa, z równości A C = C B wynikają równości: A x C x = C x B x i A y C y = C y B y, a one z kolei wskazują, że punkt C x jest środek odcinka A x B x, a C y to środek odcinka A y B y. I wtedy na podstawie otrzymanego wcześniej wzoru otrzymujemy:
x C = x A + x B 2 i y C = y A + y B 2
Te same wzory można zastosować w przypadku, gdy punkty A i B leżą na tej samej linii współrzędnych lub linii prostopadłej do jednej z osi. Prowadzić szczegółowa analiza Nie będziemy rozpatrywać tego przypadku, rozważymy go tylko graficznie:
Podsumowując wszystko powyższe, współrzędne środka odcinka A B na płaszczyźnie ze współrzędnymi końców A (x A, y A) I B(xB, yB) są zdefiniowane jako:
(x A + x B 2 , y A + y B 2)
Dane wyjściowe: układ współrzędnych O x y z i dwa dowolne punkty o podanych współrzędnych A (x A, y A, z A) i B (x B, y B, z B). Należy wyznaczyć współrzędne punktu C, który jest środkiem odcinka A B.
Ax, Ay, Az; B x , B y , B z i C x , C y , C z - rzuty wszystkich podanych punktów na osie układu współrzędnych.
Zgodnie z twierdzeniem Talesa prawdziwe są następujące równości: A x C x = C x B x , A y C y = C y B y , A z C z = C z B z
Zatem punkty C x , C y , C z są środkami odpowiednio odcinków A x B x , A y B y , A z B z . Następnie, Aby określić współrzędne środka odcinka w przestrzeni, poprawne są następujące wzory:
x do = x ZA + x B 2, y do = y A + y B 2, z do = z ZA + Z B 2
Otrzymane wzory mają zastosowanie również w przypadkach, gdy punkty A i B leżą na jednej z linii współrzędnych; na linii prostej prostopadłej do jednej z osi; w jednej płaszczyźnie współrzędnych lub w płaszczyźnie prostopadłej do jednej z płaszczyzn współrzędnych.
Wyznaczanie współrzędnych środka odcinka poprzez współrzędne wektorów promieni jego końców
Wzór na znalezienie współrzędnych środka odcinka można również wyprowadzić zgodnie z algebraiczną interpretacją wektorów.
Dane wyjściowe: prostokątny kartezjański układ współrzędnych O x y, punkty o podanych współrzędnych A (x A, y A) i B (x B, x B). Punkt C jest środkiem odcinka A B.
Zgodnie z geometryczną definicją działań na wektorach prawdziwa będzie równość: O C → = 1 2 · O A → + O B → . Punkt C o godz w tym przypadku– punkt przecięcia przekątnych równoległoboku zbudowanego na podstawie wektorów O A → i O B →, tj. punkt środka przekątnych Współrzędne wektora promienia punktu są równe współrzędnym punktu, wówczas spełnione są równości: O A → = (x A, y A), O B → = (x B). , i B). Wykonajmy pewne operacje na wektorach we współrzędnych i otrzymajmy:
O do → = 1 2 · O A → + O B → = x ZA + x b 2 , y ZA + y b 2
Zatem punkt C ma współrzędne:
x A + x B 2 , y A + y B 2
Analogicznie wyznacza się wzór na znalezienie współrzędnych środka odcinka w przestrzeni:
C (x A + x B 2, y A + y B 2, z A + z B 2)
Przykłady rozwiązywania problemów ze znalezieniem współrzędnych środka odcinka
Wśród problemów, które wiążą się z wykorzystaniem otrzymanych powyżej wzorów, są takie, w których bezpośrednim pytaniem jest obliczenie współrzędnych środka odcinka oraz takie, które polegają na sprowadzeniu danych warunków do tego pytania: termin „mediana” jest często używany, celem jest znalezienie współrzędnych jednego z końców odcinka, często spotykane są również problemy z symetrią, których rozwiązanie w zasadzie również nie powinno sprawiać trudności po przestudiowaniu tego tematu. Spójrzmy na typowe przykłady.
Przykład 1
Dane początkowe: na płaszczyźnie - punkty o danych współrzędnych A (- 7, 3) i B (2, 4). Konieczne jest znalezienie współrzędnych środka odcinka A B.
Rozwiązanie
Oznaczmy środek odcinka A B przez punkt C. Jego współrzędne zostaną wyznaczone jako połowa sumy współrzędnych końców odcinka, tj. punkty A i B.
x do = x za + x b 2 = - 7 + 2 2 = - 5 2 y do = y za + y b 2 = 3 + 4 2 = 7 2
Odpowiedź: współrzędne środka odcinka A B - 5 2, 7 2.
Przykład 2
Dane początkowe: znane są współrzędne trójkąta A B C: A (- 1, 0), B (3, 2), C (9, - 8). Konieczne jest znalezienie długości mediany A M.
Rozwiązanie
- Zgodnie z warunkami zadania A M jest medianą, co oznacza, że M jest środkiem odcinka B C . Na początek znajdźmy współrzędne środka odcinka B C, czyli: Punkty M.:
x M = x b + x do 2 = 3 + 9 2 = 6 y M = y b + y do 2 = 2 + (- 8) 2 = - 3
- Skoro znamy już współrzędne obu końców mediany (punktów A i M), możemy skorzystać ze wzoru, aby wyznaczyć odległość pomiędzy punktami i obliczyć długość mediany A M:
ZA M = (6 - (- 1)) 2 + (- 3 - 0) 2 = 58
Odpowiedź: 58
Przykład 3
Dane początkowe: w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeń trójwymiarowa dany równoległościan A B C D A 1 B 1 do 1 re 1 . Podawane są współrzędne punktu C 1 (1, 1, 0), a także zdefiniowany jest punkt M, który jest środkiem przekątnej B D 1 i ma współrzędne M (4, 2, - 4). Należy obliczyć współrzędne punktu A.
Rozwiązanie
Przekątne równoległościanu przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem wszystkich przekątnych. Na podstawie tego stwierdzenia możemy pamiętać, że znany z warunków zadania punkt M jest środkiem odcinka A C 1. Na podstawie wzoru na znalezienie współrzędnych środka odcinka w przestrzeni znajdujemy współrzędne punktu A: x M = x A + x C 1 2 ⇒ x A = 2 x M - x C 1 = 2 4 - 1 + 7 y M = y A + y do 1 2 ⇒ y A = 2 y M - y do 1 = 2 2 - 1 = 3 z M = z A + z do 1 2 ⇒ z A = 2 z M - z do 1 = 2 · (- 4) - 0 = - 8
Odpowiedź: współrzędne punktu A (7, 3, - 8).
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
W geometrii stosowane są trzy główne układy współrzędnych: mechanika teoretyczna, inne gałęzie fizyki: kartezjańska, polarna i sferyczna. W tych układach współrzędnych cały punkt ma trzy współrzędne. Znając współrzędne 2 punktów, możesz określić odległość między tymi dwoma punktami.
Będziesz potrzebować
- Współrzędne kartezjańskie, biegunowe i sferyczne końców odcinka
Instrukcje
1. Najpierw rozważmy prostokątny kartezjański układ współrzędnych. Określane jest położenie punktu w przestrzeni w tym układzie współrzędnych współrzędne x, y i z. Od początku do punktu rysowany jest wektor promienia. Rzuty tego wektora promienia na osie współrzędnych będą współrzędne ten punkt. Teraz mamy dwa punkty współrzędne Odpowiednio x1,y1,z1 i x2,y2 i z2. Oznacz odpowiednio przez r1 i r2 wektory promieni pierwszego i drugiego punktu. Najwyraźniej odległość między tymi dwoma punktami będzie równa modułowi wektora r = r1-r2, gdzie (r1-r2) jest różnicą wektora. Współrzędne wektora r będą najwyraźniej następujące: x1-x2, y1-y2, z1-z2. Wtedy wielkość wektora r lub odległość między dwoma punktami będzie równa: r = sqrt(((x1-x2)^2)+((y1-y2)^2)+((z1-z2)^2 )).
2. Rozważmy teraz biegunowy układ współrzędnych, w którym współrzędna punktu będzie dana przez współrzędną promieniową r (wektor promienia w płaszczyźnie XY), współrzędną kątową? (kąt między wektorem r a osią X) i współrzędną z, podobnie jak współrzędna z w układzie kartezjańskim. Współrzędne biegunowe punktu można przekształcić na współrzędne kartezjańskie w następujący sposób: x = r*cos? , y = r*sin?, z = z. Następnie odległość między dwoma punktami za pomocą współrzędne r1, ?1 ,z1 i r2, ?2, z2 będą równe R = sqrt(((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)+((r1*sin?1-r2*sin ?2 )^2)+((z1-z2)^2)) = sqrt((r1^2)+(r2^2)-2r1*r2(cos?1*cos?2+sin?1*sin? 2) +((z1-z2)^2))
3. Teraz spójrz na sferyczny układ współrzędnych. W nim położenie punktu jest określone przez trzy współrzędne R, ? I?. r – odległość od początku do punktu, ? I? – odpowiednio kąt azymutalny i zenitalny. Narożnik? podobny do kąta o tym samym oznaczeniu w biegunowym układzie współrzędnych, prawda? – kąt pomiędzy wektorem promienia r a osią Z, gdzie wynosi 0<= ? <= pi.Переведем сферические координаты в декартовы: x = r*sin?*cos?, y = r*sin?*sin?*sin?, z = r*cos?. Расстояние между точками с współrzędne r1, ?1, ?1 i r2, ?2 i ?2 będą równe R = sqrt(((r1*sin?1*cos?1-r2*sin?2*cos?2)^2)+( (r1 *sin?1*sin?1-r2*sin?2*sin?2)^2)+((r1*cos?1-r2*cos?2)^2)) = (((r1*sin ?1 )^2)+((r2*sin?2)^2)-2r1*r2*sin?1*sin?2*(cos?1*cos?2+grzech?1*sin?2)+( (r1 *cos?1-r2*cos?2)^2))
Wideo na ten temat
Według segmentu nazywamy część linii prostej składającą się ze wszystkich punktów tej linii, które znajdują się pomiędzy tymi dwoma punktami - nazywane są one końcami odcinka.
Spójrzmy na pierwszy przykład. Niech pewien odcinek zostanie zdefiniowany przez dwa punkty na płaszczyźnie współrzędnych. W tym przypadku jego długość możemy wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
Zatem w układzie współrzędnych rysujemy odcinek o podanych współrzędnych jego końców(x1; y1) I (x2; y2) . Na osi X I Y Narysuj prostopadłe od końców odcinka. Zaznaczmy na czerwono odcinki będące rzutami z pierwotnego odcinka na oś współrzędnych. Następnie przenosimy segmenty projekcyjne równolegle do końców segmentów. Otrzymujemy trójkąt (prostokątny). Przeciwprostokątną tego trójkąta będzie sam odcinek AB, a jego ramiona to przeniesione występy.
Obliczmy długość tych występów. Zatem na oś Y długość projekcji wynosi y2-y1 i na osi X długość projekcji wynosi x2-x1 . Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa: |AB|² = (y2 - y1)² + (x2 - x1)² . W tym przypadku |AB| jest długością odcinka.
Jeśli użyjesz tego diagramu do obliczenia długości odcinka, nie będziesz musiał nawet konstruować odcinka. Obliczmy teraz długość odcinka za pomocą współrzędnych (1;3) I (2;5) . Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy: |AB|² = (2 - 1)² + (5 - 3)² = 1 + 4 = 5 . Oznacza to, że długość naszego odcinka jest równa 5:1/2 .
Rozważ następującą metodę znajdowania długości odcinka. Aby to zrobić, musimy znać współrzędne dwóch punktów w jakimś układzie. Rozważmy tę opcję, używając dwuwymiarowego kartezjańskiego układu współrzędnych.
Zatem w dwuwymiarowym układzie współrzędnych podawane są współrzędne skrajnych punktów odcinka. Jeśli przez te punkty poprowadzimy linie proste, muszą one być prostopadłe do osi współrzędnych, wtedy otrzymamy trójkąt prostokątny. Oryginalny odcinek będzie przeciwprostokątną powstałego trójkąta. Nogi trójkąta tworzą segmenty, ich długość jest równa rzutowi przeciwprostokątnej na osie współrzędnych. Na podstawie twierdzenia Pitagorasa wnioskujemy: aby znaleźć długość danego odcinka, musimy znaleźć długości rzutów na dwie osie współrzędnych.
Znajdźmy długości rzutów (X i Y) oryginalny segment na osie współrzędnych. Obliczamy je, znajdując różnicę współrzędnych punktów na osobnej osi: X = X2-X1, Y = Y2-Y1 .
Oblicz długość odcinka A , w tym celu znajdujemy pierwiastek kwadratowy:
A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²) .
Jeśli nasz odcinek znajduje się pomiędzy punktami, których współrzędne 2;4 I 4;1 , wówczas jego długość jest odpowiednio równa √((4-2)²+(1-4)²) = √13 ≈ 3,61 .
