பெர்னோலியின் வேறுபாடு சமன்பாடு படிவத்தின் சமன்பாடு

எங்கே n≠0,n≠1.

இந்த சமன்பாட்டை மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி மறுசீரமைக்க முடியும்

ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டில்

நடைமுறையில், பெர்னௌலியின் வேறுபாடு சமன்பாடு வழக்கமாக ஒரு நேரியல் சமன்பாட்டிற்குக் குறைக்கப்படுவதில்லை, ஆனால் நேரியல் சமன்பாட்டின் அதே முறைகளைப் பயன்படுத்தி உடனடியாக தீர்க்கப்படுகிறது - பெர்னௌலியின் முறை அல்லது தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை.

y=uv (Bernoulli's method) என்ற பதிலைப் பயன்படுத்தி பெர்னௌலியின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதைப் பார்ப்போம். தீர்வு திட்டம் போன்றது.

எடுத்துக்காட்டுகள். சமன்பாடுகளை தீர்க்கவும்:

1) y'x+y=-xy².

இது பெர்னோலியின் வேறுபாடு சமன்பாடு. அதை நிலையான வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம். இதைச் செய்ய, இரு பகுதிகளையும் x ஆல் வகுக்கவும்: y'+y/x=-y². இங்கே p(x)=1/x, q(x)=-1, n=2. ஆனால் அதை தீர்க்க நமக்கு தேவையில்லை நிலையான பார்வை. நிபந்தனையில் கொடுக்கப்பட்ட பதிவு படிவத்துடன் நாங்கள் வேலை செய்வோம்.

1) மாற்று y=uv, இங்கு u=u(x) மற்றும் v=v(x) ஆகியவை x இன் சில புதிய செயல்பாடுகளாகும். பிறகு y’=(uv)’=u’v+v’u. இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை நிபந்தனையாக மாற்றுகிறோம்: (u’v+v’u)x+uv=-xu²v².

2) அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம்: u'vx+v'ux+uv=-xu²v². இப்போது விதிமுறைகளை v: v+v’ux=-xu²v² (I) உடன் தொகுக்கலாம் (சமன்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் உள்ள பட்டம் v உடன் சொல்லைத் தொடுவதில்லை). இப்போது அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்: u'x+u=0. இது u மற்றும் x ஆகிய பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். அதைத் தீர்த்த பிறகு, நாங்கள் உங்களைக் கண்டுபிடிப்போம். நாங்கள் u=du/dx ஐ மாற்றி, மாறிகளை பிரிக்கிறோம்: x·du/dx=-u. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் dx ஆல் பெருக்கி xu≠0 ஆல் வகுக்கிறோம்:

(u C ஐக் கண்டுபிடிக்கும் போது நாம் அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக எடுத்துக்கொள்கிறோம்).

3) சமன்பாட்டில் (I) நாம் =0 மற்றும் காணப்படும் செயல்பாடு u=1/x ஐ மாற்றுகிறோம். எங்களிடம் சமன்பாடு உள்ளது: v’·(1/x)·x=-x·(1/x²)·v². எளிமைப்படுத்திய பிறகு: v'=-(1/x)·v². இது v மற்றும் x ஆகிய பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடு ஆகும். நாம் v'=dv/dx ஐ மாற்றி, மாறிகளை பிரிக்கிறோம்: dv/dx=-(1/x)·v². சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் dx ஆல் பெருக்கி v²≠0 ஆல் வகுக்கிறோம்:

(இருபக்கங்களையும் -1 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம், கழிப்பிலிருந்து விடுபட -C ஐ எடுத்தோம்). எனவே, (-1) ஆல் பெருக்கவும்:

(ஒருவர் C அல்ல, ஆனால் ln│C│ என்று எடுத்துக் கொள்ளலாம், இந்த விஷயத்தில் அது v=1/ln│Cx│ ஆக இருக்கும்).

2) 2y'+2y=xy².

இது பெர்னோலியின் சமன்பாடு என்பதை உறுதி செய்வோம். இரண்டு பகுதிகளையும் 2 ஆல் வகுத்தால், y'+y=(x/2) y² கிடைக்கும். இங்கே p(x)=1, q(x)=x/2, n=2. பெர்னோலியின் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம்.

1) மாற்று y=uv, y’=u’v+v’u. இந்த வெளிப்பாடுகளை அசல் நிலையில் மாற்றுகிறோம்: 2(u’v+v’u)+2uv=xu²v².

2) அடைப்புக்குறிகளைத் திறக்கவும்: 2u'v+2v'u+2uv=xu²v². இப்போது v: +2v’u=xu²v² (II) உள்ள விதிமுறைகளை தொகுக்கலாம். அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்: 2u'+2u=0, எனவே u'+u=0. இது u மற்றும் x க்கு பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடு. அதைத் தீர்த்து உங்களைக் கண்டுபிடிப்போம். du/dx=-u என்ற இடத்திலிருந்து u'=du/dx ஐ மாற்றுகிறோம். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் dx ஆல் பெருக்கி u≠0 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு கிடைக்கும்: du/u=-dx. ஒருங்கிணைப்போம்:

3) (II) =0 மற்றும்

இப்போது நாம் v'=dv/dx ஐ மாற்றி மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:

ஒருங்கிணைப்போம்:

சமத்துவத்தின் இடது பக்கம் ஒரு அட்டவணை ஒருங்கிணைந்தது, வலது பக்கத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு பகுதி சூத்திரத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகிறது:

எங்களிடம் உள்ள பகுதி சூத்திரத்தின் ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தி காணப்படும் v மற்றும் du ஐ மாற்றுவது:

மற்றும் இருந்து

C=-C ஐ உருவாக்குவோம்:

4) y=uv என்பதால், நாம் காணப்படும் செயல்பாடுகளான u மற்றும் v ஐ மாற்றுகிறோம்:

3) x²(x-1)y'-y²-x(x-2)y=0 சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்கவும்.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x²(x-1)≠0 ஆல் வகுத்து, y² உள்ள சொல்லை வலது பக்கம் நகர்த்துவோம்:

இது பெர்னோலியின் சமன்பாடு

1) மாற்று y=uv, y’=u’v+v’u. வழக்கம் போல், இந்த வெளிப்பாடுகளை அசல் நிலையில் மாற்றுகிறோம்: x²(x-1)(u'v+v'u)-u²v²-x(x-2)uv=0.

2) எனவே x²(x-1)u'v+x²(x-1)v'u-x(x-2)uv=u²v². v (v² - தொடாதே):

v+x²(x-1)v'u=u²v² (III). இப்போது அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும்: x²(x-1)u'-x(x-2)u=0, எனவே x²(x-1)u'=x(x-2)u. சமன்பாட்டில் u மற்றும் x, u'=du/dx ஆகிய மாறிகளைப் பிரிக்கிறோம்: x²(x-1)du/dx=x(x-2)u. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் dx ஆல் பெருக்கி x²(x-1)u≠0 ஆல் வகுக்கிறோம்:

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் ஒரு அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பு உள்ளது. பகுத்தறிவு பின்னம்வலது பக்கத்தில் நீங்கள் எளிய பின்னங்களாக சிதைக்க வேண்டும்:

x=1 இல்: 1-2=A·0+B·1, எங்கிருந்து B=-1.

x=0 இல்: 0-2=A(0-1)+B·0, எங்கிருந்து A=2.

ln│u│=2ln│x│-ln│x-1│. மடக்கைகளின் பண்புகளின்படி: ln│u│=ln│x²/(x-1)│, எங்கிருந்து u=x²/(x-1).

3) சமத்துவத்தில் (III) =0 மற்றும் u=x²/(x-1) ஆகியவற்றை மாற்றுகிறோம். நாம் பெறுவது: 0+x²(x-1)v'u=u²v²,

v'=dv/dx, மாற்று:

C க்கு பதிலாக, நாம் - C ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம், அதனால், இரு பக்கங்களையும் (-1) பெருக்குவதன் மூலம், மைனஸ்களை அகற்றுவோம்:

இப்போது வலது பக்கத்தில் உள்ள வெளிப்பாடுகளை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்து, v ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:

4) y=uv என்பதால், கண்டுபிடிக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளான u மற்றும் v ஐ மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்:

சுய பரிசோதனை உதாரணங்கள்:

1) இது பெர்னோலியின் சமன்பாடு என்பதை உறுதி செய்வோம். இரு பக்கங்களையும் x ஆல் வகுத்தால், எங்களிடம் உள்ளது:

1) மாற்று y=uv, y’=u’v+v’u. இந்த y மற்றும் y' ஐ அசல் நிலையில் மாற்றுகிறோம்:

2) விதிமுறைகளை v உடன் தொகுக்கவும்:

அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் மற்றும் இந்த நிலையில் இருந்து u ஐக் கண்டறிய வேண்டும்:

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்:

3) சமன்பாட்டில் (*) =0 மற்றும் u=1/x²:

விளைந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைப்போம்.

நேரியல் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் 1 வது ஆர்டர்
மற்றும் பெர்னோலியின் சமன்பாடு

ஒரு முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு என்பது அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் தொடர்பாக நேரியல் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். போல் தெரிகிறது

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

இதில் p(x) மற்றும் q(x) க்கு x இன் செயல்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன, சமன்பாடு (1) ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டிய பகுதியில் தொடர்கிறது.

q(x)\equiv0 என்றால், சமன்பாடு (1) அழைக்கப்படுகிறது நேரியல் ஒரே மாதிரியான. இது ஒரு பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடு மற்றும் உள்ளது பொதுவான தீர்வு

y=C\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right)\!,

பொதுவான தீர்வு இல்லை ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகண்டுபிடிக்க முடியும் தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு (1) வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது என்ற உண்மையைக் கொண்டுள்ளது

y=C(x)\exp\!\left(-\int(p(x))\,dx\right), இதில் C(x) என்பது x இன் புதிய அறியப்படாத செயல்பாடாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் y"+2xy=2xe^(-x^2).

தீர்வு.நிலையான மாறுபாடு முறையைப் பயன்படுத்துவோம். ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு y"+2xy=0, இந்த ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டுடன் தொடர்புடையது. இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். இதன் பொதுவான தீர்வு y=Ce^(-x^2) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

y=C(x)e^(-x^2) வடிவத்தில் உள்ள ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைத் தேடுகிறோம், இதில் C(x) என்பது x இன் அறியப்படாத செயல்பாடாகும். மாற்றாக, நமக்கு C"(x)=2x கிடைக்கும், எங்கிருந்து C(x)=x^2+C. எனவே, ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு y=(x^2+C)e^(-x^2), C என்பது ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலி.

கருத்து.வேறுபட்ட சமன்பாடு y இன் செயல்பாடாக x இல் நேரியல் என்று மாறிவிடும். அத்தகைய சமன்பாட்டின் இயல்பான வடிவம்

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

எடுத்துக்காட்டு 2.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

தீர்வு. x ஐ y இன் செயல்பாடாகக் கருதினால் இந்த சமன்பாடு நேரியல் ஆகும்:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

நாம் ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். முதலில் நாம் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். அதன் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

வடிவத்தில் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம், அங்கு C(y) என்பது y இன் அறியப்படாத செயல்பாடாகும். மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம்

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yஅல்லது C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

இங்கிருந்து, பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைத்து, நாம்

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y)\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(சீரமைக்கப்பட்டது)

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

இந்த சமன்பாட்டை மாற்றுதல் x=C(y)e^(\sin(y)), அசல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம், எனவே இந்த சமன்பாட்டிற்கு:

x=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

அசல் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு ஒருங்கிணைக்க முடியும். நாங்கள் நம்புகிறோம்

y=u(x)v(x),

u(x) மற்றும் v(x) ஆகியவை x இன் அறியப்படாத செயல்பாடுகளாகும், அவற்றில் ஒன்று, எடுத்துக்காட்டாக v(x), தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம்.

y=u(x)v(x) ஐ மாற்றினால், உருமாற்றத்திற்குப் பிறகு நாம் பெறுவோம்

vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 என்ற நிலையில் இருந்து v(x) ஐத் தீர்மானித்தல், பிறகு நாம் கண்டுபிடிப்போம் vu"+(pv+v")u=q(x)செயல்பாடு u(x) மற்றும், அதன் விளைவாக, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு y=uv \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) ஆக நாம் சமன்பாட்டின் அடிக்கடி தீர்வை எடுக்கலாம் v"+pv=0,~v\not\equiv0.

எடுத்துக்காட்டு 3.காச்சி பிரச்சனையை தீர்க்கவும்: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

தீர்வு. y=u(x)v(x) வடிவத்தில் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைத் தேடுகிறோம்; எங்களிடம் y"=u"v+uv" உள்ளது. y மற்றும் y"க்கான வெளிப்பாட்டை மாற்றுகிறது அசல் சமன்பாடு, எங்களிடம் இருக்கும்

x(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)அல்லது x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

x(x-1)v"+v=0 என்ற நிலையில் இருந்து v=v(x) செயல்பாட்டைக் காண்கிறோம். கடைசி சமன்பாட்டின் ஏதேனும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை எடுத்துக் கொண்டால், உதாரணமாக v=\frac(x)(x-1) மற்றும் அதற்குப் பதிலாக, u"=2x-1 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், இதிலிருந்து u(x)=x^2-x+C என்ற செயல்பாட்டைக் காணலாம். எனவே, சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)சாப்பிடுவேன்

y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),அல்லது y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

ஆரம்ப நிலை y|_(x=2)=4 ஐப் பயன்படுத்தி, C ஐக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, எங்கிருந்து C=0 ; எனவே கூறப்பட்ட Cauchy பிரச்சனைக்கான தீர்வு y=x^2 செயல்பாடாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.மின்தடை R மற்றும் சுய-தூண்டல் L கொண்ட சுற்றுவட்டத்தில் தற்போதைய i மற்றும் மின்னோட்ட விசை E ஆகியவற்றுக்கு இடையே ஒரு தொடர்பு உள்ளது என்பது அறியப்படுகிறது. E=Ri+L\frac(di)(dt), R மற்றும் L ஆகியவை மாறிலிகள். E ஐ நேர t இன் செயல்பாடாகக் கருதினால், தற்போதைய வலிமை iக்கு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

வழக்குக்கான தற்போதைய வலிமை i(t) ஐக் கண்டறியவும் E=E_0=\text(const)மற்றும் i(0)=I_0 .

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). ஆரம்ப நிலை (13) ஐப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம் C=I_0-\frac(E_0)(R), எனவே விரும்பிய தீர்வு இருக்கும்

i(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

இது t\to+\infty இல் தற்போதைய வலிமை i(t) ஆனது நிலையான மதிப்பு \frac(E_0)(R) க்கு செல்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 5. y"+p(x)y=q(x) என்ற நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் C_\ ஆல்பா குடும்பம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

நேரியல் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட C_\alpha வளைவுகளுக்கு தொடர்புடைய புள்ளிகளில் உள்ள தொடுகோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பதைக் காட்டுங்கள் (படம் 13).

தீர்வு. M(x,y) புள்ளியில் உள்ள எந்த வளைவு C_\alpha க்கும் தொடுகோடு கருதுங்கள் M(x,y) புள்ளியில் உள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாடு

\eta-q(x)(\xi-x)=y, இங்கு \xi,\eta ஆகியவை தொடு புள்ளியின் தற்போதைய ஆயத்தொகுப்புகள்.

வரையறையின்படி, தொடர்புடைய புள்ளிகளில் x நிலையானது மற்றும் y என்பது மாறி. தொடர்புடைய புள்ளிகளில் உள்ள C_\alpha கோடுகளுக்கு ஏதேனும் இரண்டு தொடுகோடுகளை எடுத்து, அவற்றின் குறுக்குவெட்டின் S புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகளுக்கு, நாம் பெறுகிறோம்

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

தொடர்புடைய புள்ளிகளில் (x நிலையானது) C_\alpha வளைவுகளுக்கான அனைத்து தொடுகோடுகளும் ஒரே புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பதை இது காட்டுகிறது.

எஸ்\!\இடது(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\வலது).

கணினியில் உள்ள வாதம் x ஐ நீக்கி, புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் S\colon f(\xi,\eta)=0.

எடுத்துக்காட்டு 6.சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும் y"-y=\cos(x)-\sin(x), நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது: y என்பது y\to+\infty இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

தீர்வு.இந்த சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு y=Ce^x+\sin(x) . C\ne0க்கான பொதுவான தீர்விலிருந்து பெறப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கான எந்தவொரு தீர்வும் வரம்பற்றதாக இருக்கும், ஏனெனில் x\to+\infty க்கு \sin(x) செயல்பாடு வரம்பானது மற்றும் e^x\to+\infty இந்த சமன்பாடு y=\sin(x) என்ற தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, இது x\to+\infty இல் வரம்பானது, இது C=0 இல் உள்ள பொதுவான தீர்விலிருந்து பெறப்படுகிறது.

பெர்னோலியின் சமன்பாடு

பெர்னோலியின் வேறுபாடு சமன்பாடுபோல் தெரிகிறது

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, இங்கு n\ne0;1 (n=0 மற்றும் n=1க்கு இந்த சமன்பாடு நேரியல்).

மாறி மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் z=\frac(1)(y^(n-1))பெர்னோலியின் சமன்பாடு நேரியல் சமன்பாட்டாகக் குறைக்கப்பட்டு நேரியல் சமன்பாடுகளாக ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 7.பெர்னோலியின் சமன்பாடு y"-xy=-xy^3 ஐ தீர்க்கவும்.

தீர்வு.சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் y^3 ஆல் வகுக்கவும்:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

மாறி மாற்றத்தை ஏற்படுத்துதல் \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", எங்கே \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு, கடைசி சமன்பாடு நேரியல் சமன்பாடாக மாறும்

-\frac(z")(2)-xz=-xஅல்லது z"+2xz=2x, இதன் பொதுவான தீர்வு z=1+Ce^(-x^2).

இங்கிருந்து இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுகிறோம்

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)அல்லது y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

கருத்து.பெர்னூலியின் சமன்பாட்டை ஒரு மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையால் ஒருங்கிணைக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு 8.பெர்னோலியின் சமன்பாட்டை xy"+y=y^2\ln(x) தீர்க்கவும்.

தீர்வு.ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். xy"+y=0 என்ற ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு y=\frac(C)(x) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வை y=\frac(C(x)) வடிவத்தில் தேடுகிறோம். (x) , அங்கு C(x) - அசல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக உள்ளது

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

C(x) செயல்பாட்டைக் கண்டறிய, நாம் பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அதில் இருந்து மாறிகளைப் பிரித்து ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

எனவே, அசல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

சில இல்லை நேரியல் சமன்பாடுகள்முதல் வரிசை, மாறிகளின் வெற்றிகரமான மாற்றத்தின் உதவியுடன், நேரியல் சமன்பாடுகள் அல்லது பெர்னௌல்லி சமன்பாடுகளாக குறைக்கப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு 9.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

தீர்வு.இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம் y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வகுத்தல் 2\cos^2\frac(y)(2), நாம் பெறுகிறோம் \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\ஆபரேட்டர் பெயர்(tg)\frac(y)(2)+x=0.

மாற்று \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))இந்த சமன்பாட்டை நேர்கோட்டுக்கு குறைக்கிறது \frac(dz)(dx)+z=-x, இதன் பொதுவான தீர்வு z=1-x+Ce^(-x) .

y இன் அடிப்படையில் z ஐ அதன் வெளிப்பாடு மூலம் மாற்றினால், இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுகிறோம் \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

சில சமன்பாடுகளில், தேவையான செயல்பாடு y(x) ஒருங்கிணைந்த குறியின் கீழ் இருக்கலாம். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், இந்த சமன்பாட்டை வேறுபாட்டின் மூலம் வேறுபாடு சமன்பாட்டாக குறைக்க சில நேரங்களில் சாத்தியமாகும்.

எடுத்துக்காட்டு 10.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

தீர்வு.இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம்

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)அல்லது \int\limits_(0)^(x)y(t)\,dx=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x^2y(x).

x ஐப் பொறுத்து மீண்டும் வேறுபடுத்தினால், y(x)\colon ஐப் பொறுத்து நேரியல் ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைப் பெறுவோம்

y(x)=xy(x)+x^2y"(x)+2xy(x)அல்லது x^2y"(x)+(3x-1)y(x)=0.

மாறிகளை பிரித்து ஒருங்கிணைத்து, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் y=\frac(C)(x^3)e^(-1/x). இந்த தீர்வு, எளிதாக சரிபார்க்க முடியும், அசல் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது.

பெர்னோலியின் வேறுபாடு சமன்பாடு படிவத்தின் சமன்பாடு:
, எங்கே n ≠ 0 , n ≠ 1 , p மற்றும் q ஆகியவை x இன் செயல்பாடுகள்.

நேரியல் சமன்பாட்டிற்குக் குறைப்பதன் மூலம் பெர்னௌலியின் வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

பெர்னௌலி வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்:
(1) ,
எங்கே n ≠ 0 , n ≠ 1 , p மற்றும் q ஆகியவை x இன் செயல்பாடுகள்.
அதை y n ஆல் வகுப்போம். 0 எப்போது y ≠< 0 அல்லது என்
(2) .
எங்களிடம் உள்ளது:
.
இந்த சமன்பாட்டை மாறியின் மாற்றத்தைப் பயன்படுத்தி நேரியல் சமன்பாட்டாகக் குறைக்கலாம்:
;
.
காட்டுவோம். ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியின் படி: (2) பதிலீடு செய்வோம்
;
.
இது ஒரு நேரியல், z உடன் தொடர்புடைய, வேறுபட்ட சமன்பாடு. அதைத் தீர்த்த பிறகு, n >க்கு 0 y = வழக்கை நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும் 0 . 0 போது n > 0 , y = (1) சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகவும் உள்ளது

மற்றும் பதிலில் சேர்க்கப்பட வேண்டும்.

பெர்னோலி முறை மூலம் தீர்வு (1) கேள்விக்குரிய சமன்பாடு
பெர்னோலியின் முறையிலும் தீர்க்க முடியும். இதைச் செய்ய, இரண்டு செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பு வடிவத்தில் அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை நாங்கள் தேடுகிறோம்:
y = u·v,
u மற்றும் v ஆகியவை x இன் செயல்பாடுகள்.
x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துங்கள்: (1) :
;
(3) .
y′ = u′ v + u v′.
(4) .
அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றவும் (4) v என நாம் சமன்பாட்டின் பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வை எடுத்துக்கொள்கிறோம்: சமன்பாடுபிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். நாங்கள் அதை தீர்த்து ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை v = v கண்டுபிடிக்கிறோம் (3) (x) (4) .
;
.
நாங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை மாற்றுகிறோம்

. இது சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்வதால்

, பின்னர் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியமாக மாறும். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

இங்கே v என்பது x இன் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட செயல்பாடாகும்.

இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு. அதன் பொதுவான தீர்வையும், அதனுடன் y = uv என்ற அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வையும் காண்கிறோம்.

பெர்னூலி வேறுபாடு சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு எடுத்துக்காட்டு
;
;
சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் .
தீர்வு 2 முதல் பார்வையில், இந்த வேறுபாடு சமன்பாடு பெர்னோலியின் சமன்பாட்டை ஒத்ததாகத் தெரியவில்லை. நாம் x ஐ சார்பற்ற மாறி மற்றும் y சார்பு மாறி என்று கருதினால் (அதாவது, y என்பது x இன் செயல்பாடாக இருந்தால்), இது உண்மைதான். ஆனால் y ஐ சார்பற்ற மாறி மற்றும் x சார்பு மாறி என்று நாம் கருதினால், இது பெர்னோலியின் சமன்பாடு என்பதை எளிதாகக் காணலாம். (1) எனவே, x என்பது y இன் செயல்பாடு என்று கருதுகிறோம்.
மாற்றுவோம் மற்றும் பெருக்குவோம்:
(P.1)
.
காட்டுவோம். ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியின் படி: சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்:
;
இது n = உடன் பெர்னோலியின் சமன்பாடு ஆகும் .
. இது மேலே விவாதிக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிலிருந்து வேறுபடுகிறது, மாறிகளின் குறிப்பால் மட்டுமே (y க்கு பதிலாக x). பெர்னூலியின் முறையால் தீர்க்கிறோம். மாற்றீடு செய்வோம்:
x = u v, .
u மற்றும் v ஆகியவை y இன் செயல்பாடுகள்.
;
;
.
y ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்துங்கள்: 0 (P.2) x = u v,.
;
.
காட்டுவோம். ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதியின் படி: இது n = உடன் பெர்னோலியின் சமன்பாடு ஆகும்எந்த பூஜ்ஜியமற்ற செயல்பாடு v ஐ நாங்கள் தேடுகிறோம் x = u v,):
;
;
.
(y) 0 அல்லது என்
;
, சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துதல்: ;
.
(P.3)
;
.

ஒரு முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடு என்பது அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் அதன் வழித்தோன்றல் தொடர்பாக நேரியல் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். போல் தெரிகிறது

நாங்கள் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:

C = எனலாம்

, சமன்பாட்டிற்கு ஏதேனும் தீர்வு தேவை என்பதால் நேரியல் ஒரே மாதிரியானஅடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் (காரணமாக

மாறிகளைப் பிரிப்போம். நீங்கள் ≠ போது

(P.4) தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறை, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு (1) வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது என்ற உண்மையைக் கொண்டுள்ளது

இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பில் நாம் மாற்றீடு செய்கிறோம்:\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x),

எடுத்துக்காட்டு 1.இதில் p(x) மற்றும் q(x) க்கு x இன் செயல்பாடுகள் வழங்கப்படுகின்றன, சமன்பாடு (1) ஒருங்கிணைக்கப்பட வேண்டிய பகுதியில் தொடர்கிறது.

தீர்வு.நிலையான மாறுபாடு முறையைப் பயன்படுத்துவோம். ஒரே மாதிரியான சமன்பாடு y"+2xy=0, இந்த ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டுடன் தொடர்புடையது. இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். இதன் பொதுவான தீர்வு y=Ce^(-x^2) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

y=C(x)e^(-x^2) வடிவத்தில் உள்ள ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைத் தேடுகிறோம், இதில் C(x) என்பது x இன் அறியப்படாத செயல்பாடாகும். மாற்றாக, நமக்கு C"(x)=2x, எங்கிருந்து C(x)=x^2+C கிடைக்கும். எனவே, ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு y=(x^2+C)e^(-x^ 2) , சி - ஒருங்கிணைப்பின் மாறிலி.

கருத்து.வேறுபட்ட சமன்பாடு y இன் செயல்பாடாக x இல் நேரியல் என்று மாறிவிடும். அத்தகைய சமன்பாட்டின் இயல்பான வடிவம்

\frac(dx)(dy)+r(y)x=\varphi(y).

எடுத்துக்காட்டு 2.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் \frac(dy)(dx)=\frac(1)(x\cos(y)+\sin2y).

தீர்வு. x ஐ y இன் செயல்பாடாகக் கருதினால் இந்த சமன்பாடு நேரியல் ஆகும்:

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=\sin(2y).

நாம் ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். முதலில் நாம் தொடர்புடைய ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம்

\frac(dx)(dy)-x\cos(y)=0,

இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். அதன் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது x=Ce^(\sin(y)),~C=\text(const).

x=C(y)e^(\sin(y)) வடிவத்தில் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைத் தேடுகிறோம், அங்கு C(y) என்பது y இன் அறியப்படாத செயல்பாடாகும். மாற்றாக, நாம் பெறுகிறோம்

C"(y)e^(\sin(y))=\sin2yஅல்லது C"(y)=e^(-\sin(y))\sin2y.

இங்கிருந்து, பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைத்து, நாம்

\begin(aligned)C(y)&=\int(e^(-\sin(y))\sin2y)\,dy=2\int(e^(-\sin(y))\cos(y) \sin(y))\,dy=2\int\sin(y)\,d(-e^(-\sin(y)))=\\ &=-2\sin(y)\,e^ (-\sin(y))+2\int(e^(-\sin(y))\cos(y)\,dy=C-2(\sin(y)+1)e^(-\ sin(y)),\end(சீரமைக்கப்பட்டது)

எனவே,

C(y)=-2e^(-\sin(y))(1+\sin(y))+C.

இந்த சமன்பாட்டை x=C(y)e^(\sin(y)) க்கு மாற்றினால், அசல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைப் பெறுகிறோம், எனவே இந்த சமன்பாட்டிற்கு:

X=Ce^(\sin(y))-2(1+\sin(y))

அசல் சமன்பாட்டை பின்வருமாறு ஒருங்கிணைக்க முடியும். நாங்கள் நம்புகிறோம்

Y=u(x)v(x),

u(x) மற்றும் v(x) ஆகியவை x இன் அறியப்படாத செயல்பாடுகளாகும், அவற்றில் ஒன்று, எடுத்துக்காட்டாக v(x), தன்னிச்சையாக தேர்ந்தெடுக்கப்படலாம்.

y=u(x)v(x) ஐ மாற்றினால், உருமாற்றத்திற்குப் பிறகு நாம் பெறுவோம்

Vu"+(pv+v")u=q(x).

v"+pv=0 என்ற நிலையில் இருந்து v(x) ஐத் தீர்மானித்தல், vu"+(pv+v")u=q(x) செயல்பாட்டிலிருந்து u(x) மற்றும் அதன் விளைவாக, y=uv இன் தீர்வு சமன்பாடு \frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x). v(x) ஆக நாம் சமன்பாட்டின் அடிக்கடி தீர்வை எடுக்கலாம் v"+pv=0,~v\not\equiv0.

எடுத்துக்காட்டு 3.காச்சி பிரச்சனையை தீர்க்கவும்: x(x-1)y"+y=x^2(2x-1),~y|_(x=2)=4.

தீர்வு. y=u(x)v(x) வடிவத்தில் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைத் தேடுகிறோம்; எங்களிடம் y"=u"v+uv" உள்ளது. அசல் சமன்பாட்டில் y மற்றும் y"க்கான வெளிப்பாட்டை மாற்றினால், நம்மிடம் இருக்கும்

X(x-1)(u"v+uv")+uv=x^2(2x-1)அல்லது x(x-1)vu"+u=x^2(2x-1)

x(x-1)v"+v=0 என்ற நிலையில் இருந்து v=v(x) செயல்பாட்டைக் காண்கிறோம். கடைசி சமன்பாட்டின் ஏதேனும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை எடுத்துக் கொண்டால், உதாரணமாக v=\frac(x)(x-1) மற்றும் அதற்குப் பதிலாக, u"=2x-1 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், இதிலிருந்து u(x)=x^2-x+C என்ற செயல்பாட்டைக் காணலாம். எனவே, சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு x(x-1)y"+y=x^2(2x-1)சாப்பிடுவேன்

Y=uv=(x^2-x+C)\frac(x)(x-1),அல்லது y=\frac(Cx)(x-1)+x^2.

ஆரம்ப நிலை y|_(x=2)=4 ஐப் பயன்படுத்தி, C ஐக் கண்டுபிடிப்பதற்கான சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் 4=\frac(2C)(2-1)+2^2, எங்கிருந்து C=0 ; எனவே கூறப்பட்ட Cauchy பிரச்சனைக்கான தீர்வு y=x^2 செயல்பாடாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 4.மின்தடை R மற்றும் சுய-தூண்டல் L கொண்ட சுற்றுவட்டத்தில் தற்போதைய i மற்றும் மின்னோட்ட விசை E ஆகியவற்றுக்கு இடையே ஒரு தொடர்பு உள்ளது என்பது அறியப்படுகிறது. E=Ri+L\frac(di)(dt), R மற்றும் L ஆகியவை மாறிலிகள். E ஐ நேர t இன் செயல்பாடாகக் கருதினால், தற்போதைய வலிமை iக்கு நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்:

\frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E(t))(L).

வழக்குக்கான தற்போதைய வலிமை i(t) ஐக் கண்டறியவும் E=E_0=\text(const)மற்றும் i(0)=I_0 .

தீர்வு.எங்களிடம் உள்ளது \frac(di)(dt)+\frac(R)(L)i(t)=\frac(E_0)(L),~i(0)=I_0. இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு வடிவம் கொண்டது i(t)=\frac(E_0)(R)+Ce^(-(R/L)t). ஆரம்ப நிலை (13) ஐப் பயன்படுத்தி, நாங்கள் பெறுகிறோம் C=I_0-\frac(E_0)(R), எனவே விரும்பிய தீர்வு இருக்கும்

I(t)=\frac(E_0)(R)+\left(I_0-\frac(E_0)(R)\right)\!e^(-(R/L)t).

இது t\to+\infty இல் தற்போதைய வலிமை i(t) ஆனது நிலையான மதிப்பு \frac(E_0)(R) க்கு செல்கிறது என்பதைக் காட்டுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 5. y"+p(x)y=q(x) என்ற நேரியல் ஒத்திசைவற்ற சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் C_\ ஆல்பா குடும்பம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

நேரியல் சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட C_\alpha வளைவுகளுக்கு தொடர்புடைய புள்ளிகளில் உள்ள தொடுகோடுகள் ஒரு புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பதைக் காட்டுங்கள் (படம் 13).

தீர்வு. M(x,y) புள்ளியில் உள்ள எந்த வளைவு C_\alpha க்கும் தொடுகோடு கருதுங்கள் M(x,y) புள்ளியில் உள்ள தொடுகோட்டின் சமன்பாடு

\eta-q(x)(\xi-x)=y, இங்கு \xi,\eta ஆகியவை தொடு புள்ளியின் தற்போதைய ஆயத்தொகுப்புகள்.

வரையறையின்படி, தொடர்புடைய புள்ளிகளில் x நிலையானது மற்றும் y என்பது மாறி. தொடர்புடைய புள்ளிகளில் உள்ள C_\alpha கோடுகளுக்கு ஏதேனும் இரண்டு தொடுகோடுகளை எடுத்து, அவற்றின் குறுக்குவெட்டின் S புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகளுக்கு, நாம் பெறுகிறோம்

\xi=x+\frac(1)(p(x)), \quad \eta=x+\frac(q(x))(p(x)).

தொடர்புடைய புள்ளிகளில் (x நிலையானது) C_\alpha வளைவுகளுக்கான அனைத்து தொடுகோடுகளும் ஒரே புள்ளியில் வெட்டுகின்றன என்பதை இது காட்டுகிறது

எஸ்\!\இடது(x+\frac(1)(p(x));\,x+\frac(q(x))(p(x))\வலது).

கணினியில் உள்ள வாதம் x ஐ நீக்கி, புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தின் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம் S\colon f(\xi,\eta)=0.

எடுத்துக்காட்டு 6.சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும் y"-y=\cos(x)-\sin(x), நிபந்தனையை திருப்திப்படுத்துகிறது: y என்பது y\to+\infty இல் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.

தீர்வு.இந்த சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு y=Ce^x+\sin(x) . C\ne0க்கான பொதுவான தீர்விலிருந்து பெறப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கான எந்தவொரு தீர்வும் வரம்பற்றதாக இருக்கும், ஏனெனில் x\to+\infty க்கு \sin(x) செயல்பாடு வரம்பானது மற்றும் e^x\to+\infty இந்த சமன்பாடு y=\sin(x) என்ற தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, இது x\to+\infty இல் வரம்பானது, இது C=0 இல் உள்ள பொதுவான தீர்விலிருந்து பெறப்படுகிறது.

பெர்னோலியின் சமன்பாடு

பெர்னோலியின் வேறுபாடு சமன்பாடுபோல் தெரிகிறது

\frac(dy)(dx)+p(x)y=q(x)y^n, இங்கு n\ne0;1 (n=0 மற்றும் n=1க்கு இந்த சமன்பாடு நேரியல்).

மாறி மாற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் z=\frac(1)(y^(n-1))பெர்னோலியின் சமன்பாடு நேரியல் சமன்பாட்டாகக் குறைக்கப்பட்டு நேரியல் சமன்பாடுகளாக ஒருங்கிணைக்கப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 7.பெர்னோலியின் சமன்பாடு y"-xy=-xy^3 ஐ தீர்க்கவும்.

தீர்வு.சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் y^3 ஆல் வகுக்கவும்:

\frac(y")(y^3)-\frac(x)(y^2)=-x

மாறி மாற்றத்தை ஏற்படுத்துதல் \frac(1)(y^2)=z\Rightarrow-\frac(2y")(y^3)=z", எங்கே \frac(y")(y^3)=-\frac(z")(2). மாற்றீட்டிற்குப் பிறகு, கடைசி சமன்பாடு நேரியல் சமன்பாடாக மாறும்

-\frac(z")(2)-xz=-xஅல்லது z"+2xz=2x, இதன் பொதுவான தீர்வு z=1+Ce^(-x^2).

இங்கிருந்து இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுகிறோம்

\frac(1)(y^2)=1+Ce^(-x^2)அல்லது y^2(1+Ce^(-x^2))=1.

கருத்து.பெர்னூலியின் சமன்பாட்டை ஒரு மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையால் ஒருங்கிணைக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு 8.பெர்னோலியின் சமன்பாட்டை xy"+y=y^2\ln(x) தீர்க்கவும்.

தீர்வு.ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மாறுபாட்டின் முறையைப் பயன்படுத்துவோம். xy"+y=0 என்ற ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு y=\frac(C)(x) வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வை y=\frac(C(x)) வடிவத்தில் தேடுகிறோம். (x) , அங்கு C(x) - அசல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக உள்ளது

C"(x)=C^2(x)\frac(\ln(x))(x^2).

C(x) செயல்பாட்டைக் கண்டறிய, நாம் பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், அதில் இருந்து மாறிகளைப் பிரித்து ஒருங்கிணைப்பதன் மூலம், நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

\frac(1)(C(x))=\frac(\ln(x))(x)+\frac(1)(x)+C~\Rightarrow~C(x)=\frac(x)( 1+Cx+\ln(x)).

எனவே, அசல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு y=\frac(1)(1+Cx+\ln(x)).

சில முதல்-வரிசை நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகளை நேரியல் சமன்பாடுகளாக அல்லது பெர்னௌல்லி சமன்பாடுகளாகக் குறைக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 9.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் y"+\sin(y)+x\cos(y)+x=0.

தீர்வு.இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம் y"+2\sin\frac(y)(2)\cos\frac(y)(2)+2x\cos^2\frac(y)(2)=0..

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வகுத்தல் 2\cos^2\frac(y)(2), நாம் பெறுகிறோம் \frac(y")(2\cos^2\dfrac(y)(2))+\ஆபரேட்டர் பெயர்(tg)\frac(y)(2)+x=0.

மாற்று \operatorname(tg)\frac(y)(2)=z\Rightarrow\frac(dz)(dx)=\frac(y")(\cos^2\dfrac(y)(2))இந்த சமன்பாட்டை நேர்கோட்டுக்கு குறைக்கிறது \frac(dz)(dx)+z=-x, இதன் பொதுவான தீர்வு z=1-x+Ce^(-x) .

y இன் அடிப்படையில் z ஐ அதன் வெளிப்பாடு மூலம் மாற்றினால், இந்த சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுகிறோம் \operatorname(tg)\frac(y)(2)=1-x+Ce^(-x).

சில சமன்பாடுகளில், தேவையான செயல்பாடு y(x) ஒருங்கிணைந்த குறியின் கீழ் இருக்கலாம். இந்த சந்தர்ப்பங்களில், சில சமயங்களில் இந்த சமன்பாட்டை வேறுபாட்டின் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு குறைக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு 10.சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் x\int\limits_(x)^(0)y(t)\,dt=(x+1)\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt,~x>0.

தீர்வு.இந்த சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x ஐப் பொறுத்து வேறுபடுத்தினால், நாம் பெறுகிறோம்

\int\limits_(0)^(x)y(t)\,dt+xy(x)=\int\limits_(0)^(x)ty(t)\,dt+x(x+1)y (x)அல்லது தகவலின் ஆதாரம்

பெர்னோலியின் சமன்பாடுமிகவும் பிரபலமான ஒன்றாகும் முதல் வரிசையின் நேரியல் அல்லாத வேறுபாடு சமன்பாடுகள். இது வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது

எங்கே அ(x) மற்றும் பி(x) தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகளாகும். என்றால் மீ= 0, பின்னர் பெர்னோலியின் சமன்பாடு நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடாக மாறும். வழக்கில் போது மீ= 1, சமன்பாடு பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடாக மாறும். பொதுவாக, எப்போது மீ≠ 0.1, பெர்னோலியின் சமன்பாடு மாற்றீட்டைப் பயன்படுத்தி நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது

செயல்பாட்டிற்கான புதிய வேறுபாடு சமன்பாடு z(x) வடிவம் உள்ளது

மற்றும் பக்கத்தில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறைகளைப் பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் முதல்-வரிசை நேரியல் வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.

பெர்னௌலி முறை.

பரிசீலனையில் உள்ள சமன்பாட்டை பெர்னோலியின் முறை மூலம் தீர்க்க முடியும். இதைச் செய்ய, அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை இரண்டு செயல்பாடுகளின் தயாரிப்பு வடிவத்தில் தேடுகிறோம்: எங்கே u, v- இருந்து செயல்பாடுகள் x. வேறுபடுத்து: அசல் சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக (1): (2) என vசமன்பாட்டிற்கு எந்த பூஜ்ஜியமற்ற தீர்வையும் எடுத்துக் கொள்வோம்: (3) சமன்பாடு (3) என்பது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு ஆகும். அதன் குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறிந்த பிறகு v = v(x), அதை (2) ஆக மாற்றவும். இது சமன்பாட்டை (3) பூர்த்தி செய்வதால், அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடு பூஜ்ஜியமாகிறது. நாங்கள் பெறுகிறோம்: இதுவும் பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுதான். அதன் பொதுவான தீர்வையும், அதனுடன் அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வையும் காண்கிறோம் y = uv.

64. மொத்த வேறுபாடுகளில் சமன்பாடு. ஒருங்கிணைக்கும் காரணி. தீர்வு முறைகள்

படிவத்தின் முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடு

அழைக்கப்பட்டது சமன்பாடு முழு வேறுபாடுகள் , அது என்றால் இடது பக்கம்சில செயல்பாட்டின் மொத்த வேறுபாட்டைக் குறிக்கிறது, அதாவது.

தேற்றம்.சமன்பாடு (1) மொத்த வேறுபாடுகளில் ஒரு சமன்பாடாக இருக்க, மாறிகளின் மாற்றத்தின் சில எளிமையாக இணைக்கப்பட்ட களத்தில் நிபந்தனை திருப்தி அடைவது அவசியம் மற்றும் போதுமானது.

சமன்பாட்டின் பொது ஒருங்கிணைப்பு (1) வடிவம் அல்லது

எடுத்துக்காட்டு 1. வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

தீர்வு. இந்த சமன்பாடு மொத்த வேறுபாடு சமன்பாடு என்பதை சரிபார்க்கலாம்:

அதனால் நிபந்தனை (2) திருப்திகரமாக உள்ளது. எனவே, இந்த சமன்பாடு மொத்த வேறுபாடுகளில் ஒரு சமன்பாடு மற்றும்

எனவே, இன்னும் வரையறுக்கப்படாத செயல்பாடு எங்கே உள்ளது.

ஒருங்கிணைத்தல், நாம் பெறுகிறோம். கண்டுபிடிக்கப்பட்ட செயல்பாட்டின் பகுதி வழித்தோன்றல் சமமாக இருக்க வேண்டும், இது எங்கிருந்து கொடுக்கிறது இவ்வாறு,.

அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு.

சில வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை ஒருங்கிணைக்கும் போது, ​​எளிதில் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய சேர்க்கைகள் கிடைக்கும் வகையில் சொற்களை தொகுக்கலாம்.

65. உயர் வரிசைகளின் சாதாரண வேறுபாடு நேரியல் சமன்பாடுகள்: ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற. நேரியல் வேறுபாடு ஆபரேட்டர், அதன் பண்புகள் (ஆதாரத்துடன்).

நேரியல் வேறுபாடு ஆபரேட்டர் மற்றும் அதன் பண்புகள்.இடைவெளியில் உள்ள செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு ( அ , பி ) குறைவாக இல்லை n வழித்தோன்றல்கள், ஒரு நேரியல் இடத்தை உருவாக்குகிறது. ஆபரேட்டரைக் கவனியுங்கள் எல் n (ஒய் ), இது செயல்பாட்டைக் காட்டுகிறது ஒய் (x ), வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருப்பது, ஒரு செயல்பாடு கொண்டதாக கே - n வழித்தோன்றல்கள்.