தீர்மானிக்கும் போது பல்வேறு பணிகள்இயற்பியல், வேதியியல், கணிதம் மற்றும் பிற சரியான அறிவியல்அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது கணித மாதிரிகள்ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சுயாதீன மாறிகள் தொடர்பான சமன்பாடுகளின் வடிவத்தில், இந்த மாறிகளின் அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் இந்தச் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்கள் (அல்லது வேறுபாடுகள்). இந்த வகையான சமன்பாடுகள் வேறுபாடு எனப்படும்.
ஒரே ஒரு சுயாதீன மாறி இருந்தால், சமன்பாடு சாதாரணமானது என்று அழைக்கப்படுகிறது; இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சுயாதீன மாறிகள் இருந்தால், சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு.துல்லியமான துறைகள் படிக்கப்படும் அனைத்து பல்கலைக்கழகங்களிலும் உயர் தகுதி வாய்ந்த நிபுணர்களைப் பெறுவதற்கு, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் ஒரு பாடநெறி தேவைப்படுகிறது. சில மாணவர்களுக்கு, கோட்பாடு கடினம், பயிற்சி என்பது மற்றவர்களுக்கு ஒரு போராட்டம், கோட்பாடு மற்றும் நடைமுறை இரண்டும் கடினம். நடைமுறைக் கண்ணோட்டத்தில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை நீங்கள் பகுப்பாய்வு செய்தால், அவற்றைக் கணக்கிடுவதற்கு, வழித்தோன்றல்களை ஒருங்கிணைத்து எடுப்பதில் மட்டுமே நீங்கள் திறமையாக இருக்க வேண்டும். மற்ற அனைத்து மாற்றங்களும் புரிந்து கொள்ளக்கூடிய மற்றும் படிக்கக்கூடிய பல திட்டங்களுக்கு வரும். எளிய DR ஐத் தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை வரையறைகள் மற்றும் முறையை கீழே படிப்போம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாடு

வரையறை: சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுசார்பற்ற மாறி x, செயல்பாடு y(x), அதன் வழித்தோன்றல்கள் y"(x), y n (x) ஆகியவற்றை இணைக்கும் சமன்பாடு ஆகும். பொதுவான பார்வைF(x,y(x),y" (x), …, y n (x))=0
வேறுபட்ட சமன்பாடு(DR) ஒரு சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு அல்லது ஒரு பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசைஇந்த வேறுபட்ட சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் (n) வரிசையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வுவேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசையைப் போல பல மாறிலிகளைக் கொண்ட ஒரு சார்பு, மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு மாற்றாக அதை ஒரு அடையாளமாக மாற்றுகிறது, அதாவது, இது y=f(x, C 1, C 2 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. , ..., C n).
y(x) தொடர்பாக தீர்க்கப்படாத மற்றும் F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0 வடிவத்தைக் கொண்ட ஒரு பொதுவான தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு.
C 1, C 2, ..., C n மாறிலிகளின் நிலையான மதிப்புகளுக்கான பொதுவான ஒன்றிலிருந்து கண்டுபிடிக்கப்பட்ட தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது. வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் தனிப்பட்ட தீர்வு.
வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒரே நேரத்தில் விவரக்குறிப்பு மற்றும் ஆரம்ப நிலைகளின் தொடர்புடைய எண்ணிக்கை அழைக்கப்படுகிறது காச்சி பிரச்சனை.
F(x,y,C 1 ,C 2 , …, C n)=0
y(x0)=y0;
….
y n (x0)=y n (0)
முதல் வரிசையின் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுவடிவத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது
F(x, y, y")=0. (1)
சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு(1) Ф (x,y)=0 என்ற படிவத்தின் தொடர்பு எனப்படும், ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான வேறுபடுத்தப்பட்ட செயல்பாடும் மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு (1).
வடிவம் (1) மற்றும் குறைக்க முடியாத சமன்பாடு எளிய பார்வைசமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, வழித்தோன்றல் தொடர்பாக தீர்மானிக்க முடியாதது.வடிவில் எழுதினால்
y" = f(x,y), பின்னர் அது அழைக்கப்படுகிறது வழித்தோன்றலுக்கான சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.
முதல் வரிசை சமன்பாட்டிற்கான காச்சி சிக்கல்ஒரே ஒரு ஆரம்ப நிலை மட்டுமே உள்ளது மற்றும் படிவத்தைக் கொண்டுள்ளது:
F(x,y,y")=0
y(x 0)=y 0 .
படிவத்தின் சமன்பாடுகள்
M(x,y)dx+N(x,y)dx=0 (2)
இதில் x i y மாறிகள் "சமச்சீர்": x என்பது ஒரு சார்பற்ற மாறி என்றும், y ஒரு சார்பு மாறி என்றும், அல்லது நேர்மாறாகவும், y என்பது ஒரு சார்பு மாறி மற்றும் x என்பது சார்பு மாறி, எனப்படும் சமச்சீர் வடிவத்தில் சமன்பாடு.
முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டின் வடிவியல் பொருள்
y"=f(x,y) (3)
பின்வருமாறு உள்ளது.
இந்த சமன்பாடு, புள்ளியின் ஆயத்தொகுப்புகளுக்கும் (x;y) மற்றும் தொடுகோட்டின் சாய்வு y"க்கும் இடையே ஒரு தொடர்பை (சார்புநிலை) நிறுவுகிறது. இந்த புள்ளியின் வழியாக செல்லும் ஒருங்கிணைந்த வளைவு. எனவே, சமன்பாடு y"= f(x,y) ஒரு தொகுப்பு திசைகள் (திசைகள் புலம்)கார்டீசியன் ஆக்ஸி விமானத்தில்.
புலத்தின் திசை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் புள்ளிகளில் கட்டப்பட்ட ஒரு வளைவு ஐசோக்லைன் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் கட்டுமானத்தை தோராயமாக மதிப்பிடுவதற்கு ஐசோக்ளின்கள் பயன்படுத்தப்படலாம். ஐசோக்லைன் சமன்பாட்டை மாறிலி y"=C க்கு சமமான வழித்தோன்றலை வைப்பதன் மூலம் பெறலாம்
f(x, y)=C - ஐசோக்லைன் சமன்பாடு..
சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைந்த கோடு(3) இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வின் வரைபடம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.
பகுப்பாய்வு ரீதியாக y=g(x) தீர்வுகளைக் குறிப்பிடக்கூடிய சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் எனப்படும். ஒருங்கிணைந்த சமன்பாடுகள்.
படிவத்தின் சமன்பாடுகள்
M 0 (x)dx+N 0 (y)dy=0 (3)
அழைக்கப்படுகின்றன தனித்தனி பரிமாற்றம் கொண்ட சமன்பாடுகள்.
அவர்களிடமிருந்து வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுடன் நமது அறிமுகத்தைத் தொடங்குவோம். DRக்கான தீர்வுகளைக் கண்டறியும் செயல்முறை அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு.

பிரிக்கப்பட்ட மாறி சமன்பாடுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும் y"=x.
தீர்வு சரிபார்க்கவும்.
தீர்வு: சமன்பாட்டை வேறுபாடுகளில் எழுதவும்
dy/dx=x அல்லது dy=x*dx.
சமன்பாட்டின் வலது மற்றும் இடது பக்கங்களின் ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்
int(dy)=int(x*dx);
y=x 2/2+C.
இது டிஆர் இன்டெக்ரேல்.
அதன் சரியான தன்மையைச் சரிபார்த்து, செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவோம்
y"=1/2*2x+0=x.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அசல் DR ஐப் பெற்றோம், எனவே கணக்கீடுகள் சரியானவை.
முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வை நாங்கள் கண்டுபிடித்துள்ளோம். இது சரியாக உள்ளது எளிமையான சமன்பாடுகள், கற்பனை செய்யக்கூடியது.

எடுத்துக்காட்டு 2. வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியவும்
(x+1)y"=y+3
தீர்வு: அசல் சமன்பாட்டை வேறுபாடுகளில் எழுதுவோம்
(x+1)dy=(y+3)dx.
இதன் விளைவாக சமன்பாடு குறைக்கப்படுகிறது பிரிக்கப்பட்ட மாறிகள் கொண்ட DR

இரு தரப்பையும் ஒருங்கிணைக்க வேண்டியதுதான் மிச்சம்

அட்டவணை சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்
ln|y+3|=ln|x+1|+C.
நாம் இரண்டு பகுதிகளையும் வெளிப்படுத்தினால், நமக்கு கிடைக்கும்
y+3=e ln|x+1|+C அல்லது y=e ln|x+1|+C -3.
இந்த குறிப்பு சரியானது, ஆனால் சிறியதாக இல்லை.
நடைமுறையில், மற்றொரு நுட்பம் பயன்படுத்தப்படுகிறது, ஒருங்கிணைந்த கணக்கிடும் போது, ​​நிலையானது மடக்கையின் கீழ் உள்ளிடப்படுகிறது
ln|y+3|=ln|x+1|+ln(C).
மடக்கையின் பண்புகளின்படி, இது கடைசி இரண்டு சொற்களைக் குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது
ln|y+3|=ln(С|x+1|).
இப்போது வெளிப்படுத்தும் போது வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கிறதுகச்சிதமாகவும் படிக்க எளிதாகவும் இருக்கும்
y=С|x+1|+3
இந்த விதியை நினைவில் கொள்ளுங்கள், நடைமுறையில் இது ஒரு கணக்கீட்டு தரமாக பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 3. வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்
y"=-y*sin(x).
தீர்வு: அதை எழுதுவோம் வேறுபாடுகளில் சமன்பாடு
dy/dx= y*sin(x)
அல்லது படிவத்தில் உள்ள காரணிகளை மறுசீரமைத்த பிறகு பிரிக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள்
dy/ y=-sin(x)dx.
சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைக்க இது உள்ளது
int(1/y,y)=-int(sin(x), x);
ln|y|=cos(x)-ln(C).
மடக்கையின் கீழ் மாறிலியை உள்ளிடுவது வசதியானது மற்றும் எதிர்மறை மதிப்புடன் கூட, அதை மாற்ற முடியும் இடது பக்கம்கிடைக்கும்
ln|С*y|=cos(x).
சார்பின் இரு பக்கங்களையும் அம்பலப்படுத்துகிறது
С*y=exp(cos(x)).
நீங்கள் அதை அப்படியே விட்டுவிடலாம் அல்லது நிரந்தரமாக நகர்த்தலாம் வலது பக்கம்

கணக்கீடுகள் சிக்கலானவை அல்ல, பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒருங்கிணைப்புகளைக் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4. கௌசி பிரச்சனையை தீர்க்கவும்
y"=y+x, y(1)=e 3 -2.
தீர்வு: பூர்வாங்க மாற்றங்கள் இனி இங்கு நடைபெறாது. இருப்பினும், சமன்பாடு நேரியல் மற்றும் மிகவும் எளிமையானது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்த வேண்டும்
z=y+x.
y=y(x) என்பதை நினைவில் வைத்து z என்பதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.
z"= y"+1,
எங்கிருந்து நாம் பழைய வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்துகிறோம்
y"= z"-1.
இவை அனைத்தையும் அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்
z"-1=z அல்லது z"=z+1.
அதை எழுதுவோம் வேறுபாடுகள் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாடு
dz=(z+1)dx.
சமன்பாட்டில் உள்ள மாறிகளைப் பிரித்தல்

எவரும் செய்யக்கூடிய எளிய ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது

செயல்பாட்டின் மடக்கையிலிருந்து விடுபட சார்புநிலையை அம்பலப்படுத்துகிறோம்
z+1=e x+C அல்லது z=e x+1 -1
முடிக்கப்பட்ட மாற்றீட்டிற்குத் திரும்ப மறக்காதீர்கள்.
z=x+y= e x+С -1,
அதை இங்கிருந்து எழுதுங்கள் பொதுவான தீர்வுவேறுபட்ட சமன்பாடு
y= e x+C -x-1.
DR இல் Cauchy பிரச்சனைக்கு தீர்வு காணவும் இந்த வழக்கில்கடினமாக இல்லை. நாங்கள் கௌச்சி நிலையை எழுதுகிறோம்
y(1)=e 3 -2
மற்றும் நாம் இப்போது கண்டுபிடித்த தீர்வுக்கு மாற்றாக
இ 1 + சி -1-1 = இ 3 -2.
இங்கிருந்து நாம் மாறிலியைக் கணக்கிடுவதற்கான நிபந்தனையைப் பெறுகிறோம்
1+C=3; C=3-1=2.
இப்போது நாம் எழுதலாம் Cauchy பிரச்சனையின் தீர்வு (DR இன் பகுதி தீர்வு)
y= e x+2 -x-1.
எப்படி நன்றாக ஒருங்கிணைக்க வேண்டும் என்று உங்களுக்குத் தெரிந்தால், நீங்கள் டெரிவேடிவ்களுடன் நன்றாகச் செயல்படுகிறீர்கள் என்றால், வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் தலைப்பு உங்கள் கல்வியில் ஒரு தடையாக இருக்காது.
மேலும் ஆய்வில், நீங்கள் பல முக்கியமான வரைபடங்களைப் படிக்க வேண்டும், இதன் மூலம் நீங்கள் சமன்பாடுகளை வேறுபடுத்தி, ஒவ்வொரு சந்தர்ப்பத்திலும் எந்த மாற்று அல்லது நுட்பம் வேலை செய்கிறது என்பதை அறியலாம்.
இதற்குப் பிறகு, ஒரே மாதிரியான மற்றும் ஒத்திசைவற்ற டிஆர், முதல் மற்றும் உயர் ஆர்டர்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் உங்களுக்குக் காத்திருக்கின்றன. கோட்பாட்டின் மூலம் உங்களைச் சுமக்காமல் இருக்க, பின்வரும் பாடங்களில் சமன்பாடுகளின் வகையையும் அவற்றின் கணக்கீடுகளுக்கான சுருக்கமான திட்டத்தையும் மட்டுமே தருவோம். நீங்கள் முழு கோட்பாட்டையும் படிக்கலாம் வழிமுறை பரிந்துரைகள்படிப்பை படிக்க" வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்" (2014) ஆசிரியர்கள் Bokalo Nikolay Mikhailovich, Domanskaya Elena Viktorovna, Chmyr Oksana Yuryevna. நீங்கள் புரிந்துகொள்ளும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் கோட்பாட்டின் விளக்கங்களைக் கொண்ட பிற ஆதாரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். வேறுபாட்டிற்கான ஆயத்த எடுத்துக்காட்டுகள். LNU இன் கணிதவியலாளர்களுக்கான திட்டத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட சமன்பாடுகள் பெயரிடப்பட்டுள்ளன. I. பிராங்க்.
வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது எங்களுக்குத் தெரியும், நாங்கள் முயற்சிப்போம் எளிதான வழிஇந்த அறிவை உங்களுக்குள் புகுத்துங்கள்.

வேறுபட்ட சமன்பாடு (DE) - இது சமன்பாடு,
சார்பற்ற மாறிகள் எங்கே, y என்பது செயல்பாடு மற்றும் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்.

சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு ஒரே ஒரு சார்பற்ற மாறியைக் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடு ஆகும்.

பகுதி வேறுபாடு சமன்பாடு இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சுயாதீன மாறிகளைக் கொண்ட ஒரு வேறுபட்ட சமன்பாடு ஆகும்.

எந்த சமன்பாடு கருத்தில் கொள்ளப்படுகிறது என்பது தெளிவாக இருந்தால், "சாதாரண" மற்றும் "பகுதி வழித்தோன்றல்கள்" என்ற சொற்கள் தவிர்க்கப்படலாம். பின்வருவனவற்றில், சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகள் கருதப்படுகின்றன.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசையாகும்.

முதல் வரிசை சமன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டு இங்கே:

நான்காவது வரிசை சமன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டு இங்கே:

சில நேரங்களில் முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு வேறுபாடுகளின் அடிப்படையில் எழுதப்படுகிறது:

இந்த வழக்கில், மாறிகள் x மற்றும் y சமமாக இருக்கும். அதாவது, சார்பற்ற மாறி x அல்லது y ஆக இருக்கலாம்.
முதல் வழக்கில், y என்பது x இன் செயல்பாடாகும்.
.
இரண்டாவது வழக்கில், x என்பது y இன் செயல்பாடாகும்.
.

தேவைப்பட்டால், இந்த சமன்பாட்டை y′ என்ற வழித்தோன்றலை உள்ளடக்கிய ஒரு வடிவத்திற்கு குறைக்கலாம்.

இந்த சமன்பாட்டை dx ஆல் வகுத்தால் நாம் பெறுவோம்: இருந்து மற்றும், அது பின்வருமாறுவேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

• இருந்து வழித்தோன்றல்கள்

  அடிப்படை செயல்பாடுகள் அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. அடிப்படை செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் பெரும்பாலும் அடிப்படை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுவதில்லை. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுடன் நிலைமை இன்னும் மோசமாக உள்ளது. தீர்வின் விளைவாக நீங்கள் பெறலாம்: ஒரு மாறியில் ஒரு செயல்பாட்டின் வெளிப்படையான சார்பு;வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

• y = u செயல்பாடாகும் (x), இது வரையறுக்கப்படுகிறது, n முறை வேறுபடுத்தக்கூடியது, மற்றும் .

  வகை Φ சமன்பாட்டின் வடிவத்தில் மறைமுக சார்பு (x, y) = 0

• அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள்;

  வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு ஒரு மறைமுகமான வடிவத்தைக் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும்.

• அடிப்படை செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றிலிருந்து ஒருங்கிணைப்புகள் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும் சார்பு;

இருபடிகளில் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது - இது அடிப்படை செயல்பாடுகள் மற்றும் அவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளின் கலவையின் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைக் கண்டறிகிறது. அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் தீர்வு வெளிப்படுத்தப்படாமல் இருக்கலாம்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கு வருவதால், தீர்வு C 1, C 2, C 3, ... C n ஆகிய மாறிலிகளின் தொகுப்பை உள்ளடக்கியது.
மாறிலிகளின் எண்ணிக்கை சமன்பாட்டின் வரிசைக்கு சமம்.
வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பகுதி ஒருங்கிணைப்பு

C 1, C 2, C 3, ..., C n மாறிலிகளின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகளுக்கான பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். பயன்படுத்திய இலக்கியம்:

வி.வி. ஸ்டெபனோவ், வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பாடநெறி, "LKI", 2015. என்.எம். குண்டர், ஆர்.ஓ. குஸ்மின், உயர் கணிதத்தில் சிக்கல்களின் தொகுப்பு, "லான்", 2003.

சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடு இது ஒரு சுயாதீன மாறி, இந்த மாறியின் அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் பல்வேறு ஆர்டர்களின் அதன் வழித்தோன்றல்கள் (அல்லது வேறுபாடுகள்) ஆகியவற்றுடன் தொடர்புடைய ஒரு சமன்பாடு ஆகும். வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை

அதில் உள்ள மிக உயர்ந்த வழித்தோன்றலின் வரிசை என்று அழைக்கப்படுகிறது.

(1) ;

(3) ;

(4) ;

சமன்பாடு (1) நான்காவது வரிசை, சமன்பாடு (2) மூன்றாவது வரிசை, சமன்பாடுகள் (3) மற்றும் (4) இரண்டாவது வரிசை, சமன்பாடு (5) முதல் வரிசை.

வேறுபட்ட சமன்பாடு nவது வரிசையில் ஒரு வெளிப்படையான செயல்பாட்டைக் கொண்டிருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, முதலில் இருந்து அதன் அனைத்து வழித்தோன்றல்களும் n-வது வரிசை மற்றும் சுயாதீன மாறி. இது சில ஆர்டர்கள், செயல்பாடு அல்லது ஒரு சுயாதீன மாறியின் வழித்தோன்றல்களை வெளிப்படையாகக் கொண்டிருக்கக்கூடாது.

எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாட்டில் (1) தெளிவாக மூன்றாம் மற்றும் இரண்டாம் வரிசை வழித்தோன்றல்கள் இல்லை, அதே போல் ஒரு செயல்பாடும் இல்லை; சமன்பாட்டில் (2) - இரண்டாவது வரிசை வழித்தோன்றல் மற்றும் செயல்பாடு; சமன்பாட்டில் (4) - சுயாதீன மாறி; சமன்பாட்டில் (5) - செயல்பாடுகள். சமன்பாடு (3) மட்டுமே வெளிப்படையாக அனைத்து வழித்தோன்றல்கள், செயல்பாடு மற்றும் சுயாதீன மாறி ஆகியவற்றைக் கொண்டுள்ளது.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது ஒவ்வொரு செயல்பாடும் அழைக்கப்படுகிறது y = f(x), சமன்பாட்டில் மாற்றப்படும் போது அது ஒரு அடையாளமாக மாறும்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் கண்டறியும் செயல்முறை அதன் அழைக்கப்படுகிறது ஒருங்கிணைப்பு.

எடுத்துக்காட்டு 1.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. இந்த சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதுவோம். அதன் வழித்தோன்றலில் இருந்து செயல்பாட்டைக் கண்டுபிடிப்பதே தீர்வு. ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸில் இருந்து அறியப்படும் அசல் செயல்பாடு, இதற்கு ஒரு எதிர் வழித்தோன்றலாகும், அதாவது.

இதுதான் இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு . அதில் மாற்றம் சி, நாங்கள் வெவ்வேறு தீர்வுகளைப் பெறுவோம். முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு எண்ணற்ற தீர்வுகள் இருப்பதைக் கண்டறிந்தோம்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு nவது வரிசை அதன் தீர்வாகும், இது அறியப்படாத செயல்பாடு மற்றும் கொண்டிருக்கும் nசுயாதீன தன்னிச்சையான மாறிலிகள், அதாவது.

எடுத்துக்காட்டு 1 இல் உள்ள வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு பொதுவானது.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பகுதி தீர்வு தன்னிச்சையான மாறிலிகளுக்கு குறிப்பிட்ட எண் மதிப்புகள் வழங்கப்படும் ஒரு தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் வெவ்வேறு சமன்பாட்டின் வரிசைக்கு சமமாக பல முறை ஒருங்கிணைப்போம்.

,

.

இதன் விளைவாக, நாங்கள் ஒரு பொதுவான தீர்வைப் பெற்றோம் -

கொடுக்கப்பட்ட மூன்றாம் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடு.

இப்போது குறிப்பிட்ட நிபந்தனைகளின் கீழ் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, தன்னிச்சையான குணகங்களுக்குப் பதிலாக அவற்றின் மதிப்புகளை மாற்றவும் மற்றும் பெறவும்

.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு கூடுதலாக, ஆரம்ப நிலை வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், அத்தகைய சிக்கல் அழைக்கப்படுகிறது காச்சி பிரச்சனை . மதிப்புகள் மற்றும் சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வுக்கு பதிலாக ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலியின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் சி, பின்னர் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பிற்கான சமன்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு சி. இதுவே கௌசி பிரச்சனைக்கு தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 3.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy சிக்கலை எடுத்துக்காட்டு 1 க்கு உட்பட்டது.

தீர்வு. ஆரம்ப நிலையில் இருந்து மதிப்புகளை பொது தீர்வுக்கு மாற்றுவோம் ஒய் = 3, x= 1. நாம் பெறுகிறோம்

இந்த முதல்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான Cauchy பிரச்சனைக்கான தீர்வை நாங்கள் எழுதுகிறோம்:

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு, எளிமையானவை கூட, சிக்கலான செயல்பாடுகள் உட்பட நல்ல ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் வழித்தோன்றல் திறன்கள் தேவை. இதை பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. சமன்பாடு அத்தகைய வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளது, நீங்கள் உடனடியாக இரு பக்கங்களையும் ஒருங்கிணைக்க முடியும்.

.

மாறி (மாற்று) மாற்றத்தின் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். அப்போது இருக்கட்டும்.

எடுக்க வேண்டும் dxஇப்போது - கவனம் - ஒரு சிக்கலான செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் விதிகளின்படி இதைச் செய்கிறோம் xமற்றும் உள்ளது சிக்கலான செயல்பாடு("ஆப்பிள்" - பிரித்தெடுத்தல் சதுர வேர்அல்லது, அதே விஷயம் என்னவென்றால் - "ஒன்றரை" மற்றும் "துண்டு துண்தாக வெட்டப்பட்ட இறைச்சி" சக்திக்கு உயர்த்துவது வேரின் கீழ் உள்ள வெளிப்பாடு):

நாம் ஒருங்கிணைந்ததைக் காண்கிறோம்:

மாறிக்கு திரும்புகிறது x, நாங்கள் பெறுகிறோம்:

.

இந்த முதல் நிலை வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வு இதுவாகும்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உயர் கணிதத்தின் முந்தைய பிரிவுகளின் திறன்கள் மட்டுமல்ல, தொடக்கநிலை, அதாவது பள்ளிக் கணிதத்தின் திறன்களும் தேவைப்படும். ஏற்கனவே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, எந்தவொரு வரிசையின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிலும் ஒரு சுயாதீன மாறி, அதாவது ஒரு மாறி இருக்கக்கூடாது. x. பள்ளியில் இருந்து மறக்கப்படாத (இருப்பினும், யாரைப் பொறுத்து) பள்ளியின் விகிதாச்சாரத்தைப் பற்றிய அறிவு இந்த சிக்கலை தீர்க்க உதவும். இது அடுத்த உதாரணம்.

முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள். தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.
பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (DE). இந்த இரண்டு வார்த்தைகளும் பொதுவாக சராசரி மனிதனை பயமுறுத்துகின்றன. வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பல மாணவர்களுக்கு தடைசெய்யும் மற்றும் தேர்ச்சி பெற கடினமாக உள்ளது. ஊஊஊஊ... வேறுபட்ட சமன்பாடுகள், இதையெல்லாம் நான் எப்படித் தாங்குவது?!

இந்த கருத்தும் இந்த அணுகுமுறையும் அடிப்படையில் தவறானது, ஏனெனில் உண்மையில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் - இது எளிமையானது மற்றும் வேடிக்கையானது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை அறிய நீங்கள் என்ன தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் மற்றும் செய்ய முடியும்? பரவல்களை வெற்றிகரமாகப் படிக்க, நீங்கள் ஒருங்கிணைத்து வேறுபடுத்துவதில் சிறந்தவராக இருக்க வேண்டும். சிறந்த தலைப்புகள் படிக்கப்படும் ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைப் புரிந்துகொள்வது எளிதாக இருக்கும். நான் இன்னும் கூறுவேன், உங்களிடம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ ஒழுக்கமான ஒருங்கிணைப்பு திறன் இருந்தால், தலைப்பு கிட்டத்தட்ட தேர்ச்சி பெற்றுவிட்டது! மேலும் ஒருங்கிணைப்புகள் பல்வேறு வகையானஎப்படி முடிவு செய்வது என்று உங்களுக்குத் தெரியும் - மிகவும் சிறந்தது. ஏன்? நீங்கள் நிறைய ஒருங்கிணைக்க வேண்டும். மற்றும் வேறுபடுத்துங்கள். மேலும் மிகவும் பரிந்துரைக்கிறோம்கண்டுபிடிக்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.

95% வழக்குகளில் சோதனைகள்முதல் வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் 3 வகைகள் உள்ளன: பிரிக்கக்கூடிய சமன்பாடுகள்இந்த பாடத்தில் நாம் பார்ப்போம்; ஒரே மாதிரியான சமன்பாடுகள்மற்றும் நேரியல் சீரற்ற சமன்பாடுகள். டிஃப்பியூசர்களைப் படிக்கத் தொடங்குபவர்களுக்கு, இந்த வரிசையில் பாடங்களை சரியாகப் படிக்க நான் உங்களுக்கு அறிவுறுத்துகிறேன், முதல் இரண்டு கட்டுரைகளைப் படித்த பிறகு, கூடுதல் பட்டறையில் உங்கள் திறமைகளை ஒருங்கிணைப்பது வலிக்காது - சமன்பாடுகள் ஒரே மாதிரியாகக் குறைக்கப்படுகின்றன.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் இன்னும் அரிதான வகைகள் உள்ளன: மொத்த வேறுபாடு சமன்பாடுகள், பெர்னோலி சமன்பாடுகள் மற்றும் சில. கடைசி இரண்டு வகைகளில் மிக முக்கியமானது மொத்த வேறுபாடுகளில் உள்ள சமன்பாடுகள் ஆகும், ஏனெனில் இந்த வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கு கூடுதலாக நான் கருதுகிறேன் புதிய பொருள் – பகுதி ஒருங்கிணைப்பு.

இன்னும் ஒன்றிரண்டு நாள் இருந்தால் போதும், அது அதிவேக தயாரிப்புக்காகஉள்ளது பிளிட்ஸ் நிச்சயமாக pdf வடிவில்.

எனவே, அடையாளங்கள் அமைக்கப்பட்டுள்ளன - போகலாம்:

முதலில், வழக்கமான இயற்கணித சமன்பாடுகளை நினைவில் கொள்வோம். அவை மாறிகள் மற்றும் எண்களைக் கொண்டிருக்கின்றன. எளிமையான உதாரணம்: . ஒரு சாதாரண சமன்பாட்டை தீர்ப்பது என்றால் என்ன? இதன் பொருள் கண்டறிதல் எண்களின் தொகுப்பு, இது இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கிறது. குழந்தைகளின் சமன்பாடு ஒற்றை ரூட்டைக் கொண்டிருப்பதைக் கவனிப்பது எளிது: . வேடிக்கைக்காக, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மூலத்தை நமது சமன்பாட்டில் சரிபார்த்து மாற்றுவோம்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது தீர்வு சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

டிஃப்பியூசர்கள் அதே வழியில் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன!

வேறுபட்ட சமன்பாடு முதல் ஆர்டர்வி பொது வழக்கு கொண்டுள்ளது:
1) சுயாதீன மாறி;
2) சார்பு மாறி (செயல்பாடு);
3) செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றல்: .

சில 1 வது வரிசை சமன்பாடுகளில் "x" மற்றும்/அல்லது "y" இல்லாமல் இருக்கலாம், ஆனால் இது குறிப்பிடத்தக்கது அல்ல - முக்கியமானகட்டுப்பாட்டு அறைக்கு செல்ல வேண்டும் இருந்ததுமுதல் வழித்தோன்றல், மற்றும் அங்கு இல்லைஉயர் ஆர்டர்களின் வழித்தோன்றல்கள் - , போன்றவை.

அது என்ன அர்த்தம்?வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது என்பது கண்டுபிடிப்பதைக் குறிக்கிறது அனைத்து செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு, இது இந்த சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்கிறது. இத்தகைய செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு பெரும்பாலும் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது (– ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி), இது அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு.

எடுத்துக்காட்டு 1

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

முழு வெடிமருந்து. எங்கு தொடங்குவது தீர்வு?

முதலில், நீங்கள் வழித்தோன்றலை சற்று வித்தியாசமான வடிவத்தில் மீண்டும் எழுத வேண்டும். உங்களில் பலர் கேலிக்குரியதாகவும் தேவையற்றதாகவும் தோன்றிய சிக்கலான பதவியை நாங்கள் நினைவுகூருகிறோம். டிஃப்பியூசர்களில் இதுதான் விதி!

இரண்டாவது கட்டத்தில், அது சாத்தியமா என்று பார்ப்போம் தனி மாறிகள்?மாறிகளைப் பிரிப்பதன் அர்த்தம் என்ன? தோராயமாகச் சொன்னால், இடது பக்கத்தில்நாம் வெளியேற வேண்டும் "கிரேக்கர்கள்" மட்டுமே, ஏ வலது பக்கத்தில்ஏற்பாடு "எக்ஸ்" மட்டுமே. மாறிகளின் பிரிவு "பள்ளி" கையாளுதல்களைப் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகிறது: அவற்றை அடைப்புக்குறிக்குள் வைப்பது, குறியீட்டின் மாற்றத்துடன் பகுதியிலிருந்து பகுதிக்கு விதிமுறைகளை மாற்றுவது, விகிதாச்சார விதியின் படி காரணிகளை பகுதியிலிருந்து பகுதிக்கு மாற்றுவது போன்றவை.

வேறுபாடுகள் மற்றும் முழுப் பெருக்கிகள் மற்றும் விரோதப் போக்கில் செயலில் பங்கேற்பாளர்கள். பரிசீலனையில் உள்ள எடுத்துக்காட்டில், விகிதாச்சார விதியின்படி காரணிகளைத் தூக்கி எறிவதன் மூலம் மாறிகள் எளிதில் பிரிக்கப்படுகின்றன:

மாறிகள் பிரிக்கப்படுகின்றன. இடது பக்கத்தில் "Y" மட்டுமே உள்ளன, வலது பக்கத்தில் - "X" மட்டுமே.

அடுத்த கட்டம் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு. இது எளிது, நாங்கள் இருபுறமும் ஒருங்கிணைப்புகளை வைக்கிறோம்:

நிச்சயமாக, நாம் ஒருங்கிணைப்புகளை எடுக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், அவை அட்டவணையில் உள்ளன:

நாம் நினைவில் வைத்துள்ளபடி, எந்த ஒரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்க்கும் ஒரு மாறிலி ஒதுக்கப்படுகிறது. இங்கே இரண்டு ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன, ஆனால் மாறிலியை ஒரு முறை எழுதினால் போதும் (மாற்று + மாறிலி இன்னும் மற்றொரு மாறிலிக்கு சமம் என்பதால்). பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில் இது வைக்கப்படுகிறது வலது பக்கம்.

கண்டிப்பாகச் சொன்னால், ஒருங்கிணைப்புகள் எடுக்கப்பட்ட பிறகு, வேறுபட்ட சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது. ஒரே விஷயம் என்னவென்றால், எங்கள் “y” “x” மூலம் வெளிப்படுத்தப்படவில்லை, அதாவது தீர்வு வழங்கப்படுகிறது ஒரு மறைமுகமாகவடிவம். மறைமுக வடிவில் உள்ள வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு. அதாவது, இது ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பு.

இந்த வடிவத்தில் உள்ள பதில் மிகவும் ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது, ஆனால் ஒரு சிறந்த வழி இருக்கிறதா? பெற முயற்சிப்போம் பொதுவான தீர்வு.

தயவுசெய்து, முதல் நுட்பத்தை நினைவில் கொள்க, இது மிகவும் பொதுவானது மற்றும் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது நடைமுறை பணிகள்: ஒருங்கிணைத்த பிறகு வலது பக்கத்தில் ஒரு மடக்கை தோன்றினால், பல சந்தர்ப்பங்களில் (ஆனால் எப்போதும் இல்லை!) மடக்கையின் கீழ் மாறிலியை எழுதுவதும் அறிவுறுத்தப்படுகிறது..

அதாவது, அதற்கு பதிலாகஉள்ளீடுகள் பொதுவாக எழுதப்படுகின்றன .

இது ஏன் அவசியம்? மேலும் "விளையாட்டை" வெளிப்படுத்துவதை எளிதாக்குவதற்காக. மடக்கைகளின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல் . இந்த வழக்கில்:

இப்போது மடக்கைகள் மற்றும் தொகுதிகள் அகற்றப்படலாம்:

செயல்பாடு வெளிப்படையாக வழங்கப்படுகிறது. இதுவே பொதுவான தீர்வு.

பதில்: பொதுவான தீர்வு: .

பல வேறுபட்ட சமன்பாடுகளுக்கான பதில்களை சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது. எங்கள் விஷயத்தில், இது மிகவும் எளிமையாக செய்யப்படுகிறது, நாங்கள் கண்டறிந்த தீர்வை எடுத்து அதை வேறுபடுத்துகிறோம்:

பின்னர் நாம் வழித்தோன்றலை அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுகிறோம்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது பொதுவான தீர்வு சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது, இது சரிபார்க்கப்பட வேண்டும்.

நிலையான வெவ்வேறு மதிப்புகளைக் கொடுப்பதன் மூலம், நீங்கள் எண்ணற்ற எண்ணைப் பெறலாம் தனிப்பட்ட தீர்வுகள்வேறுபட்ட சமன்பாடு. செயல்பாடுகளில் ஏதேனும் , , போன்றவை என்பது தெளிவாகிறது. வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறது.

சில நேரங்களில் பொதுவான தீர்வு அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாடுகளின் குடும்பம். இந்த எடுத்துக்காட்டில், பொதுவான தீர்வு - இது ஒரு குடும்பம் நேரியல் செயல்பாடுகள், அல்லது மாறாக, நேரடி விகிதாசார குடும்பம்.

முதல் உதாரணத்தின் முழுமையான மதிப்பாய்வுக்குப் பிறகு, வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் பற்றிய பல அப்பாவி கேள்விகளுக்கு பதிலளிப்பது பொருத்தமானது:

1)இந்த எடுத்துக்காட்டில், மாறிகளை பிரிக்க முடிந்தது. இதை எப்போதும் செய்ய முடியுமா?இல்லை, எப்போதும் இல்லை. மேலும் அடிக்கடி, மாறிகளை பிரிக்க முடியாது. உதாரணமாக, இல் ஒரே மாதிரியான முதல் வரிசை சமன்பாடுகள், நீங்கள் முதலில் அதை மாற்ற வேண்டும். மற்ற வகை சமன்பாடுகளில், எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வரிசையில் நேரியல் சீரற்ற சமன்பாட்டில், நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும் பல்வேறு நுட்பங்கள்மற்றும் பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிவதற்கான முறைகள். பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள், முதல் பாடத்தில் நாம் கருதுகிறோம் - எளிமையான வகைவேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

2) வேறுபட்ட சமன்பாட்டை எப்போதும் ஒருங்கிணைக்க முடியுமா?இல்லை, எப்போதும் இல்லை. ஒருங்கிணைக்க முடியாத ஒரு "ஆடம்பரமான" சமன்பாட்டைக் கொண்டு வருவது மிகவும் எளிதானது, மேலும் எடுக்க முடியாத ஒருங்கிணைப்புகள் உள்ளன. ஆனால் இதே போன்ற DE களை தோராயமாக பயன்படுத்தி தீர்க்க முடியும் சிறப்பு முறைகள். D'Alembert மற்றும் Cauchy உத்தரவாதம்... ...அவ், lurkmore.இப்போது நிறைய படிக்க, நான் கிட்டத்தட்ட "மற்ற உலகத்திலிருந்து" சேர்த்துள்ளேன்.

3) இந்த எடுத்துக்காட்டில், பொதுவான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவத்தில் ஒரு தீர்வைப் பெற்றோம் . ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிவது, அதாவது "y" ஐ வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்துவது எப்போதுமே சாத்தியமா?இல்லை, எப்போதும் இல்லை. உதாரணமாக: . சரி, இங்கே "கிரேக்கத்தை" எப்படி வெளிப்படுத்துவது?! இது போன்ற சமயங்களில், பதில் ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பாக எழுதப்பட வேண்டும். கூடுதலாக, சில சமயங்களில் ஒரு பொதுவான தீர்வைக் கண்டுபிடிப்பது சாத்தியமாகும், ஆனால் அது மிகவும் சிக்கலானதாகவும் விகாரமாகவும் எழுதப்பட்டுள்ளது, பதிலை ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பின் வடிவத்தில் விட்டுவிடுவது நல்லது.

4) ...இப்போதைக்கு அது போதும். முதல் உதாரணத்தில் நாம் சந்தித்தோம் மற்றொன்று முக்கியமான புள்ளி , ஆனால் அதனால் "டம்மீஸ்" ஒரு பனிச்சரிவு மூலம் மறைக்க முடியாது புதிய தகவல், அடுத்த பாடம் வரை விட்டு விடுகிறேன்.

நாங்கள் அவசரப்பட மாட்டோம். மற்றொரு எளிய ரிமோட் கண்ட்ரோல் மற்றும் மற்றொரு பொதுவான தீர்வு:

எடுத்துக்காட்டு 2

ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்

தீர்வு: நிபந்தனைக்கு ஏற்ப, நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் தனிப்பட்ட தீர்வுகொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலையை பூர்த்தி செய்யும் DE. கேள்வியின் இந்த உருவாக்கம் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது காச்சி பிரச்சனை.

முதலில் நாம் ஒரு பொதுவான தீர்வைக் காண்கிறோம். சமன்பாட்டில் "x" மாறி இல்லை, ஆனால் இது குழப்பமடையக்கூடாது, முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், அதில் முதல் வழித்தோன்றல் உள்ளது.

தேவையான வடிவத்தில் வழித்தோன்றலை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

வெளிப்படையாக, மாறிகள் பிரிக்கப்படலாம், சிறுவர்கள் இடதுபுறம், பெண்கள் வலதுபுறம்:

சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்போம்:

பொது ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படுகிறது. இங்கே நான் ஒரு நட்சத்திரத்துடன் ஒரு மாறிலியை வரைந்தேன், உண்மை என்னவென்றால், மிக விரைவில் அது மற்றொரு மாறிலியாக மாறும்.

இப்போது நாம் பொது ஒருங்கிணைப்பை ஒரு பொதுவான தீர்வாக மாற்ற முயற்சிக்கிறோம் ("y" ஐ வெளிப்படையாக வெளிப்படுத்தவும்). பள்ளியில் இருந்து நல்ல பழைய விஷயங்களை நினைவில் கொள்வோம்: . இந்த வழக்கில்:

குறிகாட்டியில் உள்ள மாறிலி எப்படியோ அன்கோஷராகத் தெரிகிறது, எனவே இது பொதுவாக பூமிக்குக் கொண்டுவரப்படுகிறது. விரிவாக, இது இப்படித்தான் நடக்கிறது. டிகிரிகளின் சொத்தைப் பயன்படுத்தி, செயல்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

ஒரு மாறிலி என்றால், அதுவும் சில நிலையானது, அதை எழுத்துடன் மறுவடிவமைப்போம்:

"இடிப்பது" ஒரு நிலையானது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள் இரண்டாவது நுட்பம், இது வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எனவே, பொதுவான தீர்வு: . இது அதிவேக செயல்பாடுகளின் ஒரு நல்ல குடும்பம்.

இறுதி கட்டத்தில், கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இதுவும் எளிமையானது.

பணி என்ன? எடுக்க வேண்டும் அத்தகையநிலை திருப்தி அடையும் வகையில் மாறிலியின் மதிப்பு.

இது வெவ்வேறு வழிகளில் வடிவமைக்கப்படலாம், ஆனால் இது அநேகமாக தெளிவான வழியாக இருக்கும். பொதுவான தீர்வில், “X” க்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை மாற்றுகிறோம், மேலும் “Y” க்கு பதிலாக இரண்டை மாற்றுகிறோம்:



அதாவது,

நிலையான வடிவமைப்பு பதிப்பு:

இப்போது நாம் மாறிலியின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை பொதுவான தீர்வுக்கு மாற்றுகிறோம்:
- இது நமக்குத் தேவையான குறிப்பிட்ட தீர்வு.

பதில்: தனிப்பட்ட தீர்வு:

சரிபார்ப்போம். தனிப்பட்ட தீர்வைச் சரிபார்ப்பது இரண்டு நிலைகளை உள்ளடக்கியது:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆரம்ப நிலையை உண்மையில் திருப்திப்படுத்துகிறதா என்பதை முதலில் நீங்கள் சரிபார்க்க வேண்டும்? "X" க்கு பதிலாக நாம் பூஜ்ஜியத்தை மாற்றி என்ன நடக்கிறது என்று பார்க்கிறோம்:
- ஆம், நீங்கள் உண்மையில் இரண்டு பெற்றுள்ளீர்கள், அதாவது ஆரம்ப நிலை பூர்த்தி செய்யப்பட்டது.

இரண்டாவது நிலை ஏற்கனவே தெரிந்ததே. இதன் விளைவாக வரும் குறிப்பிட்ட தீர்வை எடுத்து, வழித்தோன்றலைக் கண்டறிகிறோம்:

அசல் சமன்பாட்டில் நாங்கள் மாற்றுகிறோம்:

- சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது.

முடிவு: குறிப்பிட்ட தீர்வு சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

இன்னும் அர்த்தமுள்ள உதாரணங்களுக்கு செல்லலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

தீர்வு:நமக்குத் தேவையான வடிவத்தில் வழித்தோன்றலை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:

மாறிகளை பிரிக்க முடியுமா என்பதை நாங்கள் மதிப்பிடுகிறோம்? முடியும். அடையாள மாற்றத்துடன் இரண்டாவது காலத்தை வலது பக்கம் நகர்த்துகிறோம்:

மேலும் விகிதாச்சார விதியின்படி பெருக்கிகளை மாற்றுகிறோம்:

மாறிகள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளன, இரண்டு பகுதிகளையும் ஒருங்கிணைப்போம்:

நான் உங்களை எச்சரிக்க வேண்டும், தீர்ப்பு நாள் நெருங்குகிறது. நீங்கள் நன்றாகப் படிக்கவில்லை என்றால் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள், சில எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்த்துவிட்டேன், பின்னர் எங்கும் செல்ல முடியாது - நீங்கள் இப்போது அவற்றை மாஸ்டர் செய்ய வேண்டும்.

இடது பக்கத்தின் ஒருங்கிணைப்பு கண்டுபிடிக்க எளிதானது; முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளை ஒருங்கிணைத்தல்கடந்த ஆண்டு:

வலது பக்கத்தில் எங்களிடம் ஒரு மடக்கை உள்ளது, மேலும் எனது முதல் தொழில்நுட்ப பரிந்துரையின்படி, மாறிலியும் மடக்கையின் கீழ் எழுதப்பட வேண்டும்.

இப்போது நாம் பொது ஒருங்கிணைப்பை எளிதாக்க முயற்சிக்கிறோம். எங்களிடம் மடக்கைகள் மட்டுமே இருப்பதால், அவற்றை அகற்றுவது மிகவும் சாத்தியம் (மற்றும் அவசியம்). பயன்படுத்துவதன் மூலம் அறியப்பட்ட பண்புகள்மடக்கைகளை முடிந்தவரை "பேக்" செய்கிறோம். நான் அதை மிக விரிவாக எழுதுகிறேன்:

பேக்கேஜிங் காட்டுமிராண்டித்தனமாக சிதைந்துவிடும்:

"விளையாட்டை" வெளிப்படுத்த முடியுமா? முடியும். இரண்டு பகுதிகளையும் சதுரமாக்குவது அவசியம்.

ஆனால் நீங்கள் இதைச் செய்ய வேண்டியதில்லை.

மூன்றாவது தொழில்நுட்ப குறிப்பு:ஒரு பொதுவான தீர்வைப் பெறுவதற்கு, அது ஒரு சக்திக்கு உயர்த்தப்பட வேண்டும் அல்லது வேர்களை எடுக்க வேண்டும் பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில்நீங்கள் இந்த செயல்களில் இருந்து விலகி, பதில் ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் விட வேண்டும். உண்மை என்னவென்றால், பொதுவான தீர்வு வெறுமனே பயங்கரமானதாக இருக்கும் - பெரிய வேர்கள், அறிகுறிகள் மற்றும் பிற குப்பைகளுடன்.

எனவே, நாம் ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் பதில் எழுதுகிறோம். அதை வடிவத்தில் வழங்குவது நல்ல நடைமுறையாகக் கருதப்படுகிறது, அதாவது, வலது பக்கத்தில், முடிந்தால், ஒரு மாறிலியை மட்டும் விட்டு விடுங்கள். இதைச் செய்ய வேண்டிய அவசியமில்லை, ஆனால் பேராசிரியரை மகிழ்விப்பது எப்போதும் நன்மை பயக்கும் ;-)

பதில்:பொது ஒருங்கிணைப்பு:

! குறிப்பு: எந்தவொரு சமன்பாட்டின் பொதுவான ஒருங்கிணைப்பையும் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வழிகளில் எழுதலாம். எனவே, உங்கள் முடிவு முன்னர் அறியப்பட்ட பதிலுடன் ஒத்துப்போகவில்லை என்றால், நீங்கள் சமன்பாட்டை தவறாக தீர்த்துவிட்டீர்கள் என்று அர்த்தமல்ல.

பொது ஒருங்கிணைப்பு சரிபார்க்க மிகவும் எளிதானது, முக்கிய விஷயம் கண்டுபிடிக்க முடியும் மறைமுகமாகக் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல். பதிலை வேறுபடுத்துவோம்:

இரண்டு சொற்களையும் நாங்கள் பெருக்குகிறோம்:

மற்றும் பிரிக்கவும்:

அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு சரியாகப் பெறப்பட்டது, அதாவது பொது ஒருங்கிணைப்பு சரியாகக் கண்டறியப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 4

ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்தும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும். சரிபார்ப்பு செய்யவும்.

என்பதற்கு இது ஒரு உதாரணம் சுதந்திரமான முடிவு.

அல்காரிதம் இரண்டு நிலைகளைக் கொண்டுள்ளது என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன்:
1) பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிதல்;
2) தேவையான குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறிதல்.

காசோலை இரண்டு படிகளில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது (எடுத்துக்காட்டு எண். 2 இல் உள்ள மாதிரியைப் பார்க்கவும்), நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:
1) கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வு ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்;
2) ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு பொதுவாக வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என சரிபார்க்கவும்.

முழுமையான தீர்வுமற்றும் பாடத்தின் முடிவில் பதில்.

எடுத்துக்காட்டு 5

வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும் , ஆரம்ப நிலையை திருப்திப்படுத்துகிறது. சரிபார்ப்பு செய்யவும்.

தீர்வு:முதலில், இந்த சமன்பாட்டில் ஏற்கனவே ஆயத்த வேறுபாடுகள் உள்ளன, எனவே தீர்வு எளிமைப்படுத்தப்பட்டுள்ளது. நாங்கள் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:

சமன்பாட்டை ஒருங்கிணைப்போம்:

இடதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு அட்டவணை, வலதுபுறத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு எடுக்கப்பட்டது வேற்றுமைக் குறியின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டைச் சேர்க்கும் முறை:

பொது ஒருங்கிணைப்பு பெறப்பட்டது, பொது தீர்வை வெற்றிகரமாக வெளிப்படுத்த முடியுமா? முடியும். நாங்கள் இருபுறமும் மடக்கைகளை தொங்கவிடுகிறோம். அவை நேர்மறையானவை என்பதால், மாடுலஸ் அறிகுறிகள் தேவையற்றவை:

(அனைவரும் மாற்றத்தைப் புரிந்துகொள்வார்கள் என்று நம்புகிறேன், இதுபோன்ற விஷயங்கள் ஏற்கனவே தெரிந்திருக்க வேண்டும்)

எனவே, பொதுவான தீர்வு:

கொடுக்கப்பட்ட ஆரம்ப நிலைக்குத் தொடர்புடைய ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிப்போம்.
பொதுவான தீர்வுகளில், "X" க்கு பதிலாக பூஜ்ஜியத்தை மாற்றுகிறோம், மேலும் "Y" க்கு பதிலாக இரண்டின் மடக்கையை மாற்றுகிறோம்:

மிகவும் பழக்கமான வடிவமைப்பு:

மாறிலியின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மதிப்பை பொதுவான தீர்வுக்கு மாற்றுகிறோம்.

பதில்:தனிப்பட்ட தீர்வு:

சரிபார்க்கவும்: முதலில், ஆரம்ப நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்பட்டுள்ளதா என்பதைச் சரிபார்க்கவும்:
- எல்லாம் சலசலக்கிறது.

இப்போது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வு வேறுபட்ட சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகிறதா என்று பார்க்கலாம். வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்:

அசல் சமன்பாட்டைப் பார்ப்போம்: - இது வேறுபாடுகளில் வழங்கப்படுகிறது. சரிபார்க்க இரண்டு வழிகள் உள்ளன. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலில் இருந்து வேறுபாட்டை வெளிப்படுத்த முடியும்:

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட குறிப்பிட்ட தீர்வையும் அதன் விளைவாக வரும் வேறுபாட்டையும் அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம் :

நாங்கள் அடிப்படை மடக்கை அடையாளத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது, அதாவது குறிப்பிட்ட தீர்வு சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டது.

சரிபார்க்கும் இரண்டாவது முறை பிரதிபலித்தது மற்றும் மிகவும் பழக்கமானது: சமன்பாட்டிலிருந்து வழித்தோன்றலை வெளிப்படுத்துவோம், இதைச் செய்ய, அனைத்து பகுதிகளையும் பின்வருமாறு பிரிக்கிறோம்:

மாற்றப்பட்ட DE யில் நாம் பெறப்பட்ட பகுதி தீர்வு மற்றும் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வழித்தோன்றலை மாற்றுகிறோம். எளிமைப்படுத்தப்பட்டதன் விளைவாக, சரியான சமத்துவமும் பெறப்பட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 6

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். பதிலை ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு வடிவத்தில் வழங்கவும்.

நீங்களே தீர்க்க, முழுமையான தீர்வு மற்றும் பாடத்தின் முடிவில் பதிலளிக்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் மூலம் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது என்ன சிரமங்கள் காத்திருக்கின்றன?

1) மாறிகள் பிரிக்கப்படலாம் என்பது எப்போதும் தெளிவாக இருக்காது (குறிப்பாக "டீபாட்"). கருத்தில் கொள்வோம் நிபந்தனை உதாரணம்: . இங்கே நீங்கள் அடைப்புக்குறிக்குள் காரணிகளை எடுக்க வேண்டும்: மற்றும் வேர்களை பிரிக்கவும்: . அடுத்து என்ன செய்வது என்பது தெளிவாகிறது.

2) ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள சிரமங்கள். ஒருங்கிணைப்புகள் பெரும்பாலும் எளிமையானவை அல்ல, மேலும் கண்டுபிடிக்கும் திறன்களில் குறைபாடுகள் இருந்தால் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, பின்னர் அது பல டிஃப்பியூசர்களுடன் கடினமாக இருக்கும். கூடுதலாக, "வேறுபட்ட சமன்பாடு எளிமையானது என்பதால், குறைந்தபட்சம் ஒருங்கிணைப்புகள் மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கட்டும்" என்ற தர்க்கம் சேகரிப்புகள் மற்றும் பயிற்சி கையேடுகளின் தொகுப்பாளர்களிடையே பிரபலமாக உள்ளது.

3) மாறிலியுடன் கூடிய மாற்றங்கள். எல்லோரும் கவனித்தபடி, வேறுபட்ட சமன்பாடுகளில் நிலையானது மிகவும் சுதந்திரமாக கையாளப்படலாம், மேலும் சில மாற்றங்கள் ஒரு தொடக்கக்காரருக்கு எப்போதும் தெளிவாக இருக்காது. மற்றொரு நிபந்தனை உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: . அதில் உள்ள அனைத்து சொற்களையும் 2 ஆல் பெருக்குவது நல்லது: . இதன் விளைவாக வரும் மாறிலியும் ஒருவித மாறிலியாகும், இதை இவ்வாறு குறிப்பிடலாம்: . ஆம், வலது பக்கத்தில் ஒரு மடக்கை இருப்பதால், மாறிலியை மற்றொரு மாறிலியின் வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவது நல்லது: .

பிரச்சனை என்னவென்றால், அவர்கள் பெரும்பாலும் குறியீடுகளைப் பற்றி கவலைப்படுவதில்லை மற்றும் அதே கடிதத்தைப் பயன்படுத்துகிறார்கள். இதன் விளைவாக, முடிவு பதிவு பின்வரும் படிவத்தை எடுக்கும்:

என்ன வகையான மதவெறி? அங்கே தவறுகள் உள்ளன! சரியாகச் சொன்னால், ஆம். இருப்பினும், ஒரு கணிசமான பார்வையில், பிழைகள் எதுவும் இல்லை, ஏனெனில் மாறி மாறிலியை மாற்றுவதன் விளைவாக, ஒரு மாறி மாறிலி இன்னும் பெறப்படுகிறது.

அல்லது மற்றொரு உதாரணம், சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது ஒரு பொது ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படுகிறது என்று வைத்துக்கொள்வோம். இந்த பதில் அசிங்கமாகத் தெரிகிறது, எனவே ஒவ்வொரு சொல்லின் அடையாளத்தையும் மாற்றுவது நல்லது: . முறைப்படி, இங்கே மற்றொரு தவறு உள்ளது - அது வலதுபுறத்தில் எழுதப்பட வேண்டும். ஆனால் முறைசாரா முறையில் "மைனஸ் CE" இன்னும் ஒரு நிலையானது ( எந்த அர்த்தத்தையும் எளிதில் எடுக்கக்கூடியது!), எனவே "மைனஸ்" வைப்பதில் அர்த்தமில்லை, அதே எழுத்தை நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

நான் கவனக்குறைவான அணுகுமுறையைத் தவிர்க்க முயற்சிப்பேன், மேலும் அவற்றை மாற்றும்போது மாறிலிகளுக்கு வெவ்வேறு குறியீடுகளை ஒதுக்குவேன்.

எடுத்துக்காட்டு 7

வேறுபட்ட சமன்பாட்டை தீர்க்கவும். சரிபார்ப்பு செய்யவும்.

தீர்வு:இந்த சமன்பாடு மாறிகளை பிரிக்க அனுமதிக்கிறது. நாங்கள் மாறிகளை பிரிக்கிறோம்:

ஒருங்கிணைப்போம்:

இங்கு மாறிலியை ஒரு மடக்கை என வரையறுக்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனெனில் இதில் பயனுள்ள எதுவும் வராது.

பதில்:பொது ஒருங்கிணைப்பு:

சரிபார்க்கவும்: பதிலை வேறுபடுத்தவும் (மறைமுகமான செயல்பாடு):

இரண்டு சொற்களையும் பெருக்குவதன் மூலம் பின்னங்களை அகற்றுவோம்:

அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு பெறப்பட்டது, அதாவது பொது ஒருங்கிணைப்பு சரியாகக் கண்டறியப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 8

DE இன் குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டறியவும்.
,

நீங்களே தீர்க்க இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. ஒரே குறிப்பு என்னவென்றால், இங்கே நீங்கள் ஒரு பொதுவான ஒருங்கிணைப்பைப் பெறுவீர்கள், மேலும் சரியாகச் சொன்னால், ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் முயற்சிக்க வேண்டும், ஆனால் பகுதி ஒருங்கிணைந்த. பாடத்தின் முடிவில் முழு தீர்வு மற்றும் பதில்.

இயற்பியலின் சில சிக்கல்களில், செயல்முறையை விவரிக்கும் அளவுகளுக்கு இடையே நேரடி தொடர்பை ஏற்படுத்த முடியாது. ஆனால் ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்பாடுகளின் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்ட சமத்துவத்தைப் பெறுவது சாத்தியமாகும். இப்படித்தான் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் உருவாகின்றன மற்றும் அறியப்படாத செயல்பாட்டைக் கண்டறிய அவற்றைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியம் உள்ளது.

அறியப்படாத செயல்பாடு ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக இருக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் சிக்கலை எதிர்கொள்பவர்களுக்காக இந்தக் கட்டுரை உள்ளது. வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் பூஜ்ஜிய அறிவுடன், உங்கள் பணியை நீங்கள் சமாளிக்கும் வகையில் கோட்பாடு கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒவ்வொரு வகை வேறுபட்ட சமன்பாடும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களுக்கான விரிவான விளக்கங்கள் மற்றும் தீர்வுகளுடன் ஒரு தீர்வு முறையுடன் தொடர்புடையது. நீங்கள் செய்ய வேண்டியதெல்லாம், உங்கள் பிரச்சனையின் வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வகையைத் தீர்மானிக்கவும், அதே மாதிரியான பகுப்பாய்வு செய்யப்பட்ட உதாரணத்தைக் கண்டுபிடித்து, அதே போன்ற செயல்களைச் செய்யவும்.

வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை வெற்றிகரமாக தீர்க்க, உங்களுக்கு ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்புகளைக் கண்டறியும் திறனும் தேவைப்படும் ( காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள்) பல்வேறு செயல்பாடுகள். தேவைப்பட்டால், பிரிவைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கிறோம்.

முதலில், வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்கப்படக்கூடிய முதல் வரிசையின் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளின் வகைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம், பின்னர் நாம் இரண்டாம்-வரிசை ODE களுக்குச் செல்வோம், பின்னர் உயர்-வரிசை சமன்பாடுகளில் தங்கி, அமைப்புகளுடன் முடிப்போம். வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

y என்பது வாதத்தின் செயல்பாடாக இருந்தால் x என்பதை நினைவில் கொள்க.

முதல் வரிசை வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.

படிவத்தின் முதல் வரிசையின் எளிமையான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.

அத்தகைய ரிமோட் கண்ட்ரோலின் சில எடுத்துக்காட்டுகளை எழுதுவோம் .

வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் f(x) ஆல் வகுப்பதன் மூலம் வழித்தோன்றலைப் பொறுத்து தீர்க்க முடியும். இந்த நிலையில், f(x) ≠ 0க்கான அசல் சமன்பாட்டிற்குச் சமமான ஒரு சமன்பாட்டிற்கு வருகிறோம். அத்தகைய ODE களின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

f(x) மற்றும் g(x) செயல்பாடுகள் ஒரே நேரத்தில் மறைந்துவிடும் வாதம் x இன் மதிப்புகள் இருந்தால், கூடுதல் தீர்வுகள் தோன்றும். சமன்பாட்டிற்கான கூடுதல் தீர்வுகள் கொடுக்கப்பட்ட x என்பது இந்த வாத மதிப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடுகள். அத்தகைய வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள் பின்வருமாறு:

இரண்டாவது வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாடுகள்.

நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட LDE என்பது மிகவும் பொதுவான வகை வேறுபட்ட சமன்பாடு ஆகும். அவர்களின் தீர்வு குறிப்பாக கடினம் அல்ல. முதலில் வேர்கள் காணப்படும் சிறப்பியல்பு சமன்பாடு . வெவ்வேறு p மற்றும் q க்கு, மூன்று வழக்குகள் சாத்தியமாகும்: குணாதிசய சமன்பாட்டின் வேர்கள் உண்மையானதாகவும் வேறுபட்டதாகவும், உண்மையானதாகவும், ஒத்துப்போகும்தாகவும் இருக்கலாம். அல்லது சிக்கலான இணைப்புகள். சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்களின் மதிப்புகளைப் பொறுத்து, வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வு இவ்வாறு எழுதப்படுகிறது , அல்லது , அல்லது முறையே.

எடுத்துக்காட்டாக, நிலையான குணகங்களுடன் ஒரு நேரியல் ஒரே மாதிரியான இரண்டாம்-வரிசை வேறுபாடு சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். அதன் சிறப்பியல்பு சமன்பாட்டின் வேர்கள் k 1 = -3 மற்றும் k 2 = 0 ஆகும். வேர்கள் உண்மையானவை மற்றும் வேறுபட்டவை, எனவே, நிலையான குணகங்களுடன் LODE இன் பொதுவான தீர்வு வடிவம் உள்ளது


நிலையான குணகங்களுடன் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

நிலையான குணகங்கள் y உடன் இரண்டாவது-வரிசை LDDE இன் பொதுவான தீர்வு, தொடர்புடைய LDDE இன் பொதுவான தீர்வின் கூட்டுத்தொகையின் வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது. மற்றும் அசல் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு ஒத்திசைவற்ற சமன்பாடு, அதாவது, . முந்தைய பத்தி நிலையான குணகங்களுடன் ஒரே மாதிரியான வேறுபாடு சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் கண்டறிவதற்காக அர்ப்பணிக்கப்பட்டுள்ளது. மற்றும் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு வலது பக்கத்தில் f(x) செயல்பாட்டின் ஒரு குறிப்பிட்ட வடிவத்திற்கான காலவரையற்ற குணகங்களின் முறையால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. அசல் சமன்பாடு, அல்லது மாறுபடும் தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் முறையால்.

நிலையான குணகங்களைக் கொண்ட இரண்டாம்-வரிசை LDDE களின் எடுத்துக்காட்டுகளாக, நாங்கள் தருகிறோம்


கோட்பாட்டைப் புரிந்துகொள்வதற்கும் எடுத்துக்காட்டுகளின் விரிவான தீர்வுகளைப் பற்றி அறிந்துகொள்வதற்கும், நிலையான குணகங்களுடன் கூடிய நேரியல் ஒத்திசைவற்ற இரண்டாம்-வரிசை வேறுபட்ட சமன்பாடுகளை பக்கத்தில் உங்களுக்கு வழங்குகிறோம்.

நேரியல் ஒரேவிதமான வேறுபாடு சமன்பாடுகள் (LODE) மற்றும் இரண்டாவது வரிசையின் நேரியல் ஒத்திசைவற்ற வேறுபட்ட சமன்பாடுகள் (LNDEகள்).

இந்த வகையின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு LODE மற்றும் LDDE ஆகியவை நிலையான குணகங்களுடன்.

ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவில் LODE இன் பொதுவான தீர்வு, இந்த சமன்பாட்டின் y 1 மற்றும் y 2 ஆகிய இரண்டு நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகளின் நேரியல் கலவையால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது, .

இந்த வகை வேறுபட்ட சமன்பாட்டிற்கு நேரியல் சார்பற்ற பகுதி தீர்வுகளை கண்டுபிடிப்பதில் முக்கிய சிரமம் உள்ளது. பொதுவாக, குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன பின்வரும் அமைப்புகள்நேரியல் சுயாதீன செயல்பாடுகள்:


இருப்பினும், குறிப்பிட்ட தீர்வுகள் எப்போதும் இந்த வடிவத்தில் வழங்கப்படுவதில்லை.

எல்ஓடிக்கு ஒரு உதாரணம் .

LDDE இன் பொதுவான தீர்வு வடிவத்தில் தேடப்படுகிறது, இது தொடர்புடைய LDDE இன் பொதுவான தீர்வு மற்றும் அசல் வேறுபாடு சமன்பாட்டின் குறிப்பிட்ட தீர்வு. நாங்கள் அதைக் கண்டுபிடிப்பதைப் பற்றி பேசினோம், ஆனால் அது தன்னிச்சையான மாறிலிகளின் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்மானிக்க முடியும்.

LNDU இன் உதாரணத்தைக் கொடுக்கலாம் .

உயர் ஆர்டர்களின் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

வரிசையை குறைக்க அனுமதிக்கும் வேறுபட்ட சமன்பாடுகள்.

வேறுபட்ட சமன்பாட்டின் வரிசை , இது விரும்பிய செயல்பாடு மற்றும் k-1 வரிசை வரை அதன் வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டிருக்கவில்லை, அதை மாற்றுவதன் மூலம் n-k ஆகக் குறைக்கலாம்.

இந்த வழக்கில், அசல் வேறுபாடு சமன்பாடு குறைக்கப்படும். அதன் தீர்வு p(x) ஐக் கண்டறிந்த பிறகு, அது மாற்றீட்டிற்குத் திரும்பி, தெரியாத செயல்பாடு y ஐத் தீர்மானிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, வேறுபாடு சமன்பாடு மாற்றியமைத்த பிறகு, இது பிரிக்கக்கூடிய மாறிகள் கொண்ட ஒரு சமன்பாடாக மாறும், மேலும் அதன் வரிசை மூன்றில் இருந்து முதலாவதாக குறைக்கப்படும்.