Function y = f (x) ay isang batas (panuntunan) ayon sa kung saan ang bawat elemento x ng set X ay nauugnay sa isa at isa lamang elemento y ng set Y.
Elemento x ∈ X tinawag argumento ng function o malayang baryabol.
Elemento y ∈ Y tinawag halaga ng function o dependent variable.
Ang set X ay tinatawag domain ng function.
Set ng mga elemento y ∈ Y, na may mga preimage sa set X, ay tinatawag lugar o hanay ng mga halaga ng function.
Ang aktwal na function ay tinatawag limitado mula sa itaas (mula sa ibaba), kung mayroong numerong M na ang hindi pagkakapantay-pantay ay nananatili para sa lahat:
.
Tinatawag ang function ng numero limitado, kung mayroong isang numerong M para sa lahat:
.
Nangungunang gilid o tumpak itaas na limitasyon
Ang isang tunay na function ay tinatawag na pinakamaliit na numero na naglilimita sa hanay ng mga halaga nito mula sa itaas. Ibig sabihin, ito ay isang numero s kung saan, para sa lahat at para sa alinman, mayroong isang argumento na ang halaga ng paggana ay lumampas sa s′: .
Ang itaas na hangganan ng isang function ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod:
.
Kanya-kanya babang dulo o eksaktong mas mababang limitasyon Ang isang tunay na function ay tinatawag na pinakamalaking numero na naglilimita sa hanay ng mga halaga nito mula sa ibaba. Ibig sabihin, ito ay isang numero i kung saan, para sa lahat at para sa alinman, mayroong isang argumento na ang halaga ng function ay mas mababa sa i′: .
Ang infimum ng isang function ay maaaring tukuyin bilang mga sumusunod:
.
Pagtukoy sa limitasyon ng isang function
Pagpapasiya ng limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy
May hangganang limitasyon ng paggana sa mga dulong punto
Hayaang tukuyin ang function sa ilang kapitbahayan ng end point, kasama ang posibleng pagbubukod sa mismong punto. sa isang punto kung para sa alinman ay mayroong ganoong bagay depende sa na para sa lahat ng x kung saan ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak
.
Ang limitasyon ng isang function ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
O sa .
Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan ng limitasyon ng isang function ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
.
One-sided na mga limitasyon.
Kaliwang limitasyon sa isang punto (kaliwang panig na limitasyon):
.
Kanang limitasyon sa isang punto (limit sa kanang kamay):
.
Ang kaliwa at kanang mga limitasyon ay madalas na tinutukoy bilang mga sumusunod:
;
.
May hangganan na mga limitasyon ng isang function sa mga punto sa infinity
Ang mga limitasyon sa mga punto sa infinity ay tinutukoy sa katulad na paraan.
.
.
.
Sila ay madalas na tinutukoy bilang:
;
;
.
Gamit ang konsepto ng neighborhood ng isang punto
Kung ipinakilala natin ang konsepto ng isang nabutas na kapitbahayan ng isang punto, maaari tayong magbigay ng pinag-isang kahulugan ng may hangganang limitasyon ng isang function sa may hangganan at walang katapusan na malalayong mga punto:
.
Dito para sa mga endpoint
;
;
.
Ang anumang kapitbahayan ng mga punto sa infinity ay nabutas:
;
;
.
Walang-hanggan na Mga Limitasyon sa Pag-andar
Kahulugan
Hayaang tukuyin ang function sa ilang nabutas na kapitbahayan ng isang punto (finite o infinity). Limitasyon ng tungkulin f (x) bilang x → x 0
katumbas ng infinity, kung para sa anumang arbitraryong malaking bilang na M > 0
, mayroong isang numero δ M > 0
, depende sa M, na para sa lahat ng x na kabilang sa nabutas na δ M - kapitbahayan ng punto: , ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:
.
Ang walang katapusang limitasyon ay tinutukoy bilang mga sumusunod:
.
O sa .
Gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan, ang kahulugan ng walang katapusang limitasyon ng isang function ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
.
Maaari mo ring ipakilala ang mga kahulugan ng walang katapusang limitasyon ng ilang partikular na palatandaan na katumbas ng at :
.
.
Pangkalahatang kahulugan ng limitasyon ng isang function
Gamit ang konsepto ng isang kapitbahayan ng isang punto, maaari tayong magbigay ng pangkalahatang kahulugan ng may hangganan at walang katapusan na limitasyon ng isang function, na naaangkop sa parehong may hangganan (two-sided at one-sided) at walang katapusan na malayong mga punto:
.
Pagpapasiya ng limitasyon ng isang function ayon kay Heine
Hayaang tukuyin ang function sa ilang set X: .
Ang numero a ay tinatawag na limitasyon ng function sa punto:
,
kung para sa anumang sequence na nagtatagpo sa x 0
:
,
na ang mga elemento ay kabilang sa set X: ,
.
Isulat natin ang kahulugang ito gamit ang mga lohikal na simbolo ng pagkakaroon at pagiging pangkalahatan:
.
Kung kukunin natin ang kaliwang panig na kapitbahayan ng puntong x bilang isang set X 0 , pagkatapos ay makuha namin ang kahulugan ng kaliwang limitasyon. Kung ito ay kanang kamay, pagkatapos ay makukuha natin ang kahulugan ng tamang limitasyon. Kung gagawin natin ang kapitbahayan ng isang punto sa infinity bilang isang set X, makukuha natin ang kahulugan ng limitasyon ng isang function sa infinity.
Teorama
Ang mga kahulugan ng Cauchy at Heine ng limitasyon ng isang function ay katumbas.
Patunay
Mga katangian at teorema ng limitasyon ng isang function
Dagdag pa, ipinapalagay namin na ang mga function na isinasaalang-alang ay tinukoy sa kaukulang kapitbahayan ng punto, na isang may hangganan na numero o isa sa mga simbolo: . Maaari rin itong maging one-sided limit point, ibig sabihin, may form o . Ang kapitbahayan ay may dalawang panig para sa isang dalawang panig na limitasyon at isang panig para sa isang panig na limitasyon.
Mga pangunahing katangian
Kung ang mga halaga ng function f (x) baguhin (o gawing hindi natukoy) ang isang may hangganang bilang ng mga puntos x 1, x 2, x 3, ... x n, kung gayon ang pagbabagong ito ay hindi makakaapekto sa pagkakaroon at halaga ng limitasyon ng function sa isang arbitrary point x 0 .
Kung mayroong isang may hangganang limitasyon, pagkatapos ay mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0
, kung saan ang function f (x) limitado:
.
Hayaang ang function ay nasa point x 0
may hangganan na hindi zero na limitasyon:
.
Pagkatapos, para sa anumang bilang na c mula sa pagitan , mayroong isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0
para saan,
, Kung ;
, Kung .
Kung, sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto, , ay isang pare-pareho, kung gayon .
Kung may mga limitasyon at at sa ilang nabutas na kapitbahayan ng puntong x 0
,
Yung .
Kung , at sa ilang kapitbahayan ng punto
,
Yung .
Sa partikular, kung sa ilang kapitbahayan ng isang punto
,
pagkatapos kung , pagkatapos at ;
kung , pagkatapos at .
Kung sa ilang nabutas na kapitbahayan ng isang punto x 0
:
,
at may mga may hangganan (o walang katapusan ng isang tiyak na tanda) pantay na mga limitasyon:
, Iyon
.
Ang mga patunay ng mga pangunahing katangian ay ibinigay sa pahina
"Mga pangunahing katangian ng mga limitasyon ng isang function."
Arithmetic properties ng limitasyon ng isang function
Hayaan ang mga function at tukuyin sa ilang butas na kapitbahayan ng punto. At magkaroon ng mga limitasyon:
At .
At hayaang ang C ay isang pare-pareho, iyon ay, isang ibinigay na numero. Pagkatapos
;
;
;
, Kung .
Kung, kung gayon.
Ang mga patunay ng arithmetic properties ay ibinigay sa pahina
"Aritmetikong katangian ng mga limitasyon ng isang function".
Cauchy criterion para sa pagkakaroon ng limitasyon ng isang function
Teorama
Para sa isang function na tinukoy sa ilang nabutas na kapitbahayan ng isang may hangganan o walang katapusan na malayong punto x 0
, ay may hangganan sa puntong ito, ito ay kinakailangan at sapat na para sa anumang ε > 0
nagkaroon ng isang butas na kapitbahayan ng puntong x 0
, na para sa anumang mga punto at mula sa kapitbahayan na ito, ang mga sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay ay mayroong:
.
Limitasyon ng isang kumplikadong function
Limitahan ang teorama kumplikadong pag-andar
Hayaang magkaroon ng limitasyon ang function at imapa ang isang nabutas na kapitbahayan ng isang punto sa isang nabutas na kapitbahayan ng isang punto. Hayaang tukuyin ang function sa kapitbahayan na ito at magkaroon ng limitasyon dito.
Narito ang pangwakas o walang katapusan na malayong mga punto: . Ang mga kapitbahayan at ang kanilang mga kaukulang limitasyon ay maaaring dalawahan o isang panig.
Pagkatapos ay mayroong limitasyon ng isang kumplikadong function at ito ay katumbas ng:
.
Ang limit theorem ng isang kumplikadong function ay inilalapat kapag ang function ay hindi tinukoy sa isang punto o may isang halaga na naiiba mula sa limitasyon. Upang mailapat ang theorem na ito, dapat mayroong isang butas na kapitbahayan ng punto kung saan ang hanay ng mga halaga ng function ay hindi naglalaman ng punto:
.
Kung tuloy-tuloy ang function sa point , maaaring ilapat ang limit sign sa argument tuluy-tuloy na pag-andar:
.
Ang sumusunod ay isang teorama na naaayon sa kasong ito.
Theorem sa limitasyon ng isang tuluy-tuloy na function ng isang function
Hayaang magkaroon ng limitasyon ng function g (t) bilang t → t 0
, at ito ay katumbas ng x 0
:
.
Narito ang punto t 0
maaaring may hangganan o walang katapusan ang layo: .
At hayaan ang function f (x) ay tuloy-tuloy sa punto x 0
.
Pagkatapos ay mayroong limitasyon ng kumplikadong function f (g(t)), at ito ay katumbas ng f (x0):
.
Ang mga patunay ng theorems ay ibinigay sa pahina
"Limit at pagpapatuloy ng isang kumplikadong function".
Infinitesimal at walang katapusang malalaking function
Infinitesimal function
Kahulugan
Ang isang function ay sinasabing infinitesimal kung
.
Kabuuan, pagkakaiba at produkto ng isang may hangganan na bilang ng mga infinitesimal function sa ay isang infinitesimal function sa .
Produkto ng isang function bounded sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , sa isang infinitesimal at ay isang infinitesimal function sa .
Upang ang isang function ay magkaroon ng isang may hangganang limitasyon, ito ay kinakailangan at sapat na iyon
,
kung saan - walang hanggan maliit na function sa .
"Properties ng infinitesimal functions".
Walang katapusang malalaking pag-andar
Kahulugan
Ang isang function ay sinasabing walang hanggan malaki kung
.
Ang kabuuan o pagkakaiba ng isang bounded function, sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto, at isang walang katapusang malaking function sa ay infinite mahusay na function sa .
Kung ang function ay walang hanggan malaki para sa , at ang function ay nakatali sa ilang butas na kapitbahayan ng punto, kung gayon
.
Kung ang function , sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay:
,
at ang function ay infinitesimal sa:
, at (sa ilang nabutas na kapitbahayan ng punto), pagkatapos
.
Ang mga patunay ng mga ari-arian ay ipinakita sa seksyon
"Mga katangian ng walang katapusang malalaking pag-andar".
Relasyon sa pagitan ng walang katapusan na malaki at infinitesimal na mga function
Mula sa dalawang nakaraang pag-aari ay sumusunod sa koneksyon sa pagitan ng walang hanggan na malaki at infinitesimal na mga function.
Kung ang isang function ay walang katapusan na malaki sa , kung gayon ang function ay infinitesimal sa .
Kung ang isang function ay infinitesimal para sa , at , kung gayon ang function ay walang katapusan na malaki para sa .
Ang kaugnayan sa pagitan ng isang infinitesimal at isang walang katapusang malaking function ay maaaring ipahayag sa simbolikong paraan:
,
.
Kung ang isang infinitesimal function ay may isang tiyak na sign sa , ibig sabihin, ito ay positibo (o negatibo) sa ilang butas na kapitbahayan ng punto , kung gayon ang katotohanang ito ay maaaring ipahayag bilang mga sumusunod:
.
Sa parehong paraan, kung ang isang walang katapusang malaking function ay may isang tiyak na sign sa , pagkatapos ay isusulat nila:
.
Pagkatapos ang simbolikong koneksyon sa pagitan ng walang hanggan maliit at walang hanggan na malalaking pag-andar ay maaaring dagdagan ng mga sumusunod na relasyon:
,
,
,
.
Ang mga karagdagang formula na nauugnay sa mga simbolo ng infinity ay matatagpuan sa pahina
"Mga puntos sa infinity at ang kanilang mga pag-aari."
Mga limitasyon ng monotonic function
Kahulugan
Ang isang function na tinukoy sa ilang hanay ng mga tunay na numero X ay tinatawag mahigpit na tumataas, kung para sa lahat na mayroong sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
.
Alinsunod dito, para sa mahigpit na bumababa gumagana ang sumusunod na hindi pagkakapantay-pantay:
.
Para sa hindi bumababa:
.
Para sa hindi tumataas:
.
Kasunod nito na ang isang mahigpit na pagtaas ng function ay hindi rin bumababa. Ang isang mahigpit na pagpapababa ng function ay hindi rin tumataas.
Tinatawag ang function monotonous, kung ito ay hindi bumababa o hindi tumataas.
Teorama
Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan kung saan .
Kung ito ay bounded sa itaas ng bilang M: pagkatapos ay mayroong isang may hangganan limitasyon. Kung hindi limitado mula sa itaas, kung gayon .
Kung ito ay nililimitahan mula sa ibaba ng bilang na m: kung gayon ay may hangganang limitasyon. Kung hindi limitado mula sa ibaba, kung gayon .
Kung ang mga punto a at b ay nasa infinity, kung gayon sa mga expression ang mga palatandaan ng limitasyon ay nangangahulugan na .
Ang teorama na ito ay maaaring mabalangkas nang mas compact.
Hayaang hindi bumaba ang function sa pagitan kung saan . Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon sa mga punto a at b:
;
.
Isang katulad na theorem para sa isang hindi tumataas na function.
Hayaang hindi tumaas ang function sa pagitan kung saan . Pagkatapos ay mayroong isang panig na mga limitasyon:
;
.
Ang patunay ng theorem ay ipinakita sa pahina
"Mga limitasyon ng monotonic function".
Mga sanggunian:
L.D. Kudryavtsev. Well pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 2003.
CM. Nikolsky. Kurso ng pagsusuri sa matematika. Tomo 1. Moscow, 1983.
Solusyon mga limitasyon sa online na function. Hanapin ang limitasyon ng halaga ng isang function o functional sequence sa isang punto, kalkulahin panghuli ang halaga ng function sa infinity. matukoy ang convergence ng isang serye ng numero at marami pang magagawa salamat sa aming online na serbisyo- . Pinapayagan ka naming mahanap ang mga limitasyon sa paggana online nang mabilis at tumpak. Ikaw mismo ang pumasok variable ng function at ang limitasyon kung saan ito nagsusumikap, isinasagawa ng aming serbisyo ang lahat ng mga kalkulasyon para sa iyo, na nagbibigay ng tumpak at simpleng sagot. At para sa paghahanap ng limitasyon online maaari mong ipasok ang parehong numerical series at analytical function na naglalaman ng mga constant sa literal na expression. Sa kasong ito, ang nahanap na limitasyon ng function ay maglalaman ng mga constant na ito bilang mga pare-parehong argumento sa expression. Niresolba ng aming serbisyo ang anumang kumplikadong problema sa paghahanap mga limitasyon online, ito ay sapat na upang ipahiwatig ang function at ang punto kung saan ito ay kinakailangan upang makalkula limitahan ang halaga ng pag-andar. Nagkalkula online na mga limitasyon, pwede mong gamitin iba't ibang pamamaraan at ang mga panuntunan para sa kanilang solusyon, habang sinusuri ang resulta na nakuha sa paglutas ng mga limitasyon online sa www.site, na hahantong sa matagumpay na pagkumpleto ng gawain - maiiwasan mo ang iyong sariling mga pagkakamali at mga pagkakamali ng klerikal. O maaari mo kaming lubos na pagkatiwalaan at gamitin ang aming resulta sa iyong trabaho, nang hindi gumagasta ng labis na pagsisikap at oras sa hiwalay na pagkalkula ng limitasyon ng function. Pinapayagan namin ang pag-input ng mga halaga ng limitasyon tulad ng infinity. Kinakailangang magpasok ng isang karaniwang miyembro ng isang pagkakasunod-sunod ng numero at www.site ay kalkulahin ang halaga limitasyon online sa plus o minus infinity.
Isa sa mga pangunahing konsepto ng mathematical analysis ay limitasyon ng pag-andar At limitasyon ng pagkakasunud-sunod sa isang punto at sa kawalang-hanggan, ito ay mahalaga upang malutas nang tama mga limitasyon. Sa aming serbisyo hindi ito magiging mahirap. Isang desisyon ang ginawa mga limitasyon online sa loob ng ilang segundo, tumpak at kumpleto ang sagot. Ang pag-aaral ng mathematical analysis ay nagsisimula sa paglipat sa limitasyon, mga limitasyon ay ginagamit sa halos lahat ng mga lugar ng mas mataas na matematika, kaya kapaki-pakinabang na magkaroon ng isang server sa kamay para sa mga solusyon sa limitasyon sa online, na siyang site.
Limitasyon ng isang function sa isang punto at sa
Ang limitasyon ng isang function ay ang pangunahing apparatus ng mathematical analysis. Sa tulong nito, ang pagpapatuloy ng isang function, derivative, integral, at sum ng isang serye ay kasunod na tinutukoy.
Hayaan ang function na y=f(x)tinukoy sa ilang kapitbahayan ng punto 
, maliban marahil sa punto mismo 
.
Bumuo tayo ng dalawang katumbas na kahulugan ng limitasyon ng isang function sa isang punto.
Depinisyon 1 (sa "wika ng mga pagkakasunud-sunod", o ayon kay Heine). Numero b tinawag limitasyon ng function
y=f(x)
sa punto
(o kailan 
), kung para sa anumang pagkakasunod-sunod ng mga wastong halaga ng argumento 
nagtatagpo sa
(mga. 
), pagkakasunud-sunod ng mga katumbas na halaga ng function 
nagtatagpo sa isang numero b(mga. 
).
Sa kasong ito, nagsusulat sila 
o 
sa 
. Geometric na kahulugan ng limitasyon ng isang function: 
nangangahulugan na para sa lahat ng mga punto X, sapat na malapit sa punto
, ang mga katumbas na halaga ng pag-andar ay nag-iiba nang kasing liit ng ninanais mula sa numero b.
Kahulugan 2 (sa "wika", o ayon kay Cauchy). Numero b tinawag limitasyon ng function
y=f(x)
sa punto
(o kailan 
), kung para sa anumang positibong numero mayroong positibong numero na para sa lahat 
nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay 
, nananatili ang hindi pagkakapantay-pantay 
.
Isulat 
.
Ang kahulugan na ito ay maaaring maikli na isulat tulad ng sumusunod:
pansinin mo yan 
maaaring isulat ng ganito 
.
G 
geometric na kahulugan ng limitasyon ng isang function: 
, kung para sa alinmang kapitbahayan ng punto b may ganoong kapitbahayan ng punto
para yan sa lahat 
mula dito kapitbahayan ang mga kaukulang halaga ng function f
(x) nakahiga sa kapitbahayan ng punto b. Sa madaling salita, ang mga punto sa graph ng function y
=
f
(x) nakahiga sa loob ng isang strip na may lapad na 2 na may hangganan ng mga tuwid na linya sa
= b + ,
sa = b (Larawan 17). Malinaw, ang halaga ng ay nakasalalay sa pagpili ng , kaya isinusulat nila ang = ().
Halimbawa Patunayan mo yan 
Solusyon
. Kumuha tayo ng arbitrary 0 at hanapin ang = () 0 para sa lahat X 
, nananatili ang hindi pagkakapantay-pantay 
. Mula noong 
mga. 
, pagkatapos ay kumukuha 
, nakikita natin iyon para sa lahat X, nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay 
, nananatili ang hindi pagkakapantay-pantay 
. Kaya naman, 
Halimbawa Patunayan na kung f
(x) =
Sa, Iyon 
.
Solusyon
. Para sa 
maaari mong kunin ito 
. Pagkatapos sa 
meron kami . Kaya naman, 
.
Sa pagtukoy ng limitasyon ng isang function 
Ito ay pinaniniwalaan na X nagsusumikap para sa
sa anumang paraan: nananatiling mas mababa sa
(sa kaliwa ng
), mahigit sa
(sa kanan ng
), o pabagu-bago sa paligid ng isang punto
.
May mga kaso kapag ang paraan ng pagtatantya ng isang argumento X Upang
makabuluhang nakakaapekto sa halaga ng limitasyon ng pag-andar. Samakatuwid, ang mga konsepto ng isang panig na mga limitasyon ay ipinakilala.
Kahulugan. Numero 
tinawag limitasyon ng function
y=f(x)
umalis
sa punto
, kung para sa anumang numero 0 mayroong isang numero = () 0 na para sa 
, nananatili ang hindi pagkakapantay-pantay 
.
Ang limitasyon sa kaliwa ay nakasulat tulad ng sumusunod 
o sa madaling sabi 
(Dirichlet notation) (Figure 18).
Parehong tinukoy limitasyon ng function sa kanan , isulat natin ito gamit ang mga simbolo:
Sa madaling sabi, ang limitasyon sa kanan ay tinutukoy 
.
P 
Tinatawag ang mga bahagi ng isang function sa kaliwa at kanan isang panig na mga limitasyon
. Obviously, kung meron 
, pagkatapos ay umiiral ang parehong isang panig na limitasyon, at 
.
Ang kabaligtaran ay totoo rin: kung ang parehong mga limitasyon ay umiiral 
At 
at sila ay pantay, pagkatapos ay may hangganan 
At .
Kung 
, Iyon 
ay wala.
Kahulugan. Hayaan ang function y=f(x) ay tinukoy sa pagitan 
. Numero b tinawag limitasyon ng function
y=f(x)
sa
X , kung para sa anumang numero 0 mayroong ganoong numero M
= M() 0, na para sa lahat X, nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay 
hindi pagkakapantay-pantay hawak 
. Sa madaling sabi ang kahulugan na ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:
E 
kung X +, tapos nagsusulat sila 
, Kung X , tapos nagsusulat sila 
, Kung 
=
, kung gayon ang kanilang pangkalahatang kahulugan ay karaniwang tinutukoy 
.
Ang geometriko na kahulugan ng kahulugang ito ay ang mga sumusunod: para sa 
, na sa 
At 
kaukulang mga halaga ng function y=f(x) nahuhulog sa kapitbahayan ng punto b, ibig sabihin. ang mga graph point ay nasa isang strip na 2 ang lapad, na may hangganan ng mga tuwid na linya 
At 
(Larawan 19).
Limitasyon sa pag-andar- numero a ang magiging limitasyon ng ilang variable na dami kung, sa proseso ng pagbabago nito, ang variable na dami na ito ay lalapit nang walang katiyakan a.
O sa madaling salita, ang numero A ay ang limitasyon ng function y = f(x) sa punto x 0, kung para sa anumang pagkakasunod-sunod ng mga puntos mula sa domain ng kahulugan ng function , hindi katumbas x 0, at kung saan nagtatagpo sa punto x 0 (lim x n = x0), ang pagkakasunud-sunod ng mga katumbas na halaga ng function ay nagtatagpo sa numero A.
Ang graph ng isang function na ang limitasyon, na binigyan ng argumento na may posibilidad na infinity, ay katumbas ng L:
Ibig sabihin A ay limitasyon (limit value) ng function f(x) sa punto x 0 sa kaso para sa anumang pagkakasunud-sunod ng mga puntos 
, na nagtatagpo sa x 0, ngunit hindi naglalaman ng x 0 bilang isa sa mga elemento nito (i.e. sa nabutas na paligid x 0), pagkakasunud-sunod ng mga halaga ng function 
nagtatagpo sa A.
Limitasyon ng isang Cauchy function.
Ibig sabihin A magiging limitasyon ng function f(x) sa punto x 0 kung para sa anumang hindi negatibong numero na kinuha nang maaga ε ang katumbas na hindi-negatibong numero ay makikita δ = δ(ε) na para sa bawat argumento x, nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon 0 < | x - x0 | < δ , masisiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay | f(x)A |< ε .
Ito ay magiging napaka-simple kung naiintindihan mo ang kakanyahan ng limitasyon at ang mga pangunahing patakaran para sa paghahanap nito. Ano ang limitasyon ng function f (x) sa x nagsusumikap para sa a katumbas A, ay nakasulat na ganito:
Bukod dito, ang halaga kung saan ang variable ay may gawi x, ay maaaring hindi lamang isang numero, kundi pati na rin ang infinity (∞), minsan +∞ o -∞, o maaaring walang limitasyon.
Para maintindihan kung paano hanapin ang mga limitasyon ng isang function, pinakamahusay na tumingin sa mga halimbawa ng mga solusyon.
Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga limitasyon ng pag-andar f (x) = 1/x sa:
x→ 2, x→ 0, x→ ∞.
Maghanap tayo ng solusyon sa unang limitasyon. Upang gawin ito, maaari mo lamang palitan x ang bilang nito ay may posibilidad, i.e. 2, nakukuha namin:
Hanapin natin ang pangalawang limitasyon ng function. Palitan dito sa purong anyo 0 sa halip x imposible, kasi Hindi mo maaaring hatiin sa 0. Ngunit maaari tayong kumuha ng mga halaga na malapit sa zero, halimbawa, 0.01; 0.001; 0.0001; 0.00001 at iba pa, at ang halaga ng function f (x) tataas: 100; 1000; 10000; 100,000 at iba pa. Kaya, ito ay maaaring maunawaan na kapag x→ 0 ang halaga ng function na nasa ilalim ng limit sign ay tataas nang walang limitasyon, i.e. magsikap patungo sa kawalang-hanggan. Ibig sabihin:
Tungkol sa ikatlong limitasyon. Ang parehong sitwasyon tulad ng sa nakaraang kaso, imposibleng palitan ∞ sa pinakadalisay nitong anyo. Kailangan nating isaalang-alang ang kaso ng walang limitasyong pagtaas x. Isa-isa naming pinapalitan ang 1000; 10000; 100000 at iba pa, mayroon kaming ganoong halaga ng function f (x) = 1/x bababa: 0.001; 0.0001; 0.00001; at iba pa, tending to zero. kaya naman:
Kinakailangang kalkulahin ang limitasyon ng pag-andar 
Simula sa paglutas ng pangalawang halimbawa, nakikita natin ang kawalan ng katiyakan. Mula dito makikita natin ang pinakamataas na antas ng numerator at denominator - ito ay x 3, inaalis namin ito sa mga bracket sa numerator at denominator at pagkatapos ay bawasan ito ng:
Sagot 
Ang unang hakbang sa paghahanap ng limitasyong ito, palitan na lang ang value 1 x, na nagreresulta sa kawalan ng katiyakan. Upang malutas ito, i-factorize natin ang numerator at gawin ito gamit ang paraan ng paghahanap ng mga ugat quadratic equation x 2 + 2x - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1.2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.
Kaya ang numerator ay magiging:
Sagot 
Ito ang kahulugan ng partikular na halaga nito o isang partikular na lugar kung saan bumagsak ang function, na nililimitahan ng limitasyon.
Upang malutas ang mga limitasyon, sundin ang mga patakaran:
Ang pagkakaroon ng naunawaan ang kakanyahan at pangunahing mga panuntunan para sa paglutas ng limitasyon, makakakuha ka ng pangunahing pag-unawa kung paano lutasin ang mga ito.
Patuloy na numero A tinawag limitasyon mga pagkakasunod-sunod(x n ), kung para sa anumang arbitraryong maliit na positibong numeroε > 0 mayroong isang numero N na mayroong lahat ng mga halaga x n, kung saan ang n>N, ay nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
|x n - a|< ε. (6.1)
Isulat ito bilang sumusunod: o x n → a.
Ang hindi pagkakapantay-pantay (6.1) ay katumbas ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
na nangangahulugan na ang mga puntos x n, simula sa ilang numero n>N, nasa loob ng pagitan (a-ε, a+ ε ), ibig sabihin. mahulog sa anumang maliitε -kapitbahayan ng isang punto A.
Ang pagkakasunod-sunod na may limitasyon ay tinatawag convergent, kung hindi - divergent.
Ang konsepto ng limitasyon ng function ay isang generalization ng konsepto ng isang limitasyon ng pagkakasunud-sunod, dahil ang limitasyon ng isang sequence ay maaaring ituring bilang limitasyon ng isang function x n = f(n) ng isang integer argument n.
Hayaang ibigay ang function na f(x) at hayaan a - limitasyon ng punto domain ng kahulugan ng function na ito D(f), i.e. tulad ng isang punto, anumang kapitbahayan na naglalaman ng mga punto ng set D(f) maliban sa a. Dot a maaari o hindi kabilang sa set D(f).
Kahulugan 1.Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→a, kung para sa anumang pagkakasunud-sunod (x n ) ng mga halaga ng argumento A, ang mga kaukulang sequence (f(x n)) ay may parehong limitasyon A.
Ang kahulugang ito ay tinatawag na sa pamamagitan ng pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon kay Heine, o" sa sequence language”.
Kahulugan 2. Ang pare-parehong numero A ay tinatawag limitasyon mga function f(x) sa x→a, kung, sa pamamagitan ng pagtukoy ng isang arbitrary na arbitraryong maliit na positibong numero ε, mahahanap ng isa ang gayong δ>0 (depende sa ε), na para sa lahat x, nakahiga saε-mga kapitbahayan ng bilang A, ibig sabihin. Para sa x, nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay
0 <
x-a< ε
, ang mga halaga ng function na f(x) ay makikitaε-kapitbahayan ng bilang A, i.e.|f(x)-A|<
ε.
Ang kahulugang ito ay tinatawag na sa pamamagitan ng pagtukoy sa limitasyon ng isang function ayon sa Cauchy, o “sa wikang ε - δ “.
Ang mga kahulugan 1 at 2 ay katumbas. Kung ang function na f(x) bilang x →a ay may limitasyon, katumbas ng A, ito ay nakasulat sa anyo
. (6.3)
Kung sakaling tumaas (o bumaba) ang sequence (f(x n)) nang walang limitasyon para sa anumang paraan ng approximation x sa iyong limitasyon A, pagkatapos ay sasabihin natin na mayroon ang function na f(x). walang katapusang limitasyon, at isulat ito sa form:
Ang isang variable (i.e. sequence o function) na ang limitasyon ay zero ay tinatawag walang katapusang maliit.
Ang isang variable na ang limitasyon ay infinity ay tinatawag walang hanggan malaki.
Upang mahanap ang limitasyon sa pagsasanay, ang mga sumusunod na theorems ay ginagamit.
Teorama 1 . Kung ang bawat limitasyon ay umiiral
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Magkomento. Mga expression tulad ng 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - ay hindi tiyak, halimbawa, ang ratio ng dalawang walang katapusan na maliit o walang katapusan na malalaking dami, at ang paghahanap ng limitasyon ng ganitong uri ay tinatawag na "uncovering uncertainties."
Teorama 2. (6.7)
mga. ang isa ay maaaring pumunta sa limitasyon batay sa kapangyarihan na may patuloy na exponent, sa partikular, 
;
(6.8)
(6.9)
Teorama 3.
(6.10)
(6.11)
saan e » 2.7 - ang base ng natural na logarithm. Ang mga formula (6.10) at (6.11) ay tinatawag na una kahanga-hangang limitasyon at ang pangalawang kapansin-pansing limitasyon.
Ang mga kahihinatnan ng formula (6.11) ay ginagamit din sa pagsasanay:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
lalo na ang limitasyon,
Kung x → a at sa parehong oras x > a, pagkatapos ay isulat ang x→a + 0. Kung, sa partikular, a = 0, sa halip na ang simbolo ay 0+0 isulat ang +0. Katulad din kung x→a at sa parehong oras x 
at tinatawag nang naaayon tamang limitasyon At kaliwang limitasyon mga function f(x) sa punto A. Para magkaroon ng limitasyon ng function na f(x) bilang x→a ay kailangan at sapat upang 
. Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa punto x 0 kung limitasyon
. (6.15)
Ang kundisyon (6.15) ay maaaring isulat muli bilang:
,
ibig sabihin, ang pagpasa sa limitasyon sa ilalim ng tanda ng isang function ay posible kung ito ay tuloy-tuloy sa isang naibigay na punto.
Kung ang pagkakapantay-pantay (6.15) ay nilabag, kung gayon sasabihin namin iyon sa x = xo function f(x) Mayroon itong gap Isaalang-alang ang function na y = 1/x. Ang domain ng kahulugan ng function na ito ay ang set R, maliban sa x = 0. Ang point x = 0 ay isang limit point ng set D(f), dahil sa alinmang kapitbahayan nito, i.e. sa anumang bukas na pagitan na naglalaman ng punto 0 may mga puntos mula sa D(f), ngunit ito mismo ay hindi kabilang sa set na ito. Ang halaga f(x o)= f(0) ay hindi natukoy, kaya sa puntong x o = 0 ang function ay may discontinuity.
Ang function na f(x) ay tinatawag tuloy-tuloy sa kanan sa punto x o kung ang limitasyon
,
At tuloy-tuloy sa kaliwa sa punto x o, kung ang limitasyon
.
Pagpapatuloy ng isang function sa isang punto x o ay katumbas ng pagpapatuloy nito sa puntong ito sa kanan at kaliwa.
Upang ang function ay maging tuluy-tuloy sa isang punto x o, halimbawa, sa kanan, kinakailangan, una, na may hangganan, at pangalawa, na ang limitasyong ito ay katumbas ng f(x o). Samakatuwid, kung hindi bababa sa isa sa dalawang kundisyong ito ang hindi matugunan, magkakaroon ng discontinuity ang function.
1. Kung ang limitasyon ay umiiral at hindi katumbas ng f(x o), pagkatapos ay sinasabi nila iyon function f(x) sa punto x o mayroon pagkasira ng unang uri, o tumalon.
2. Kung ang limitasyon ay+∞ o -∞ o wala, pagkatapos ay sasabihin nila iyon sa punto x o may discontinuity ang function pangalawang uri.
Halimbawa, function y = cot x sa x→ Ang +0 ay may limitasyon na katumbas ng +∞, na nangangahulugan na sa puntong x=0 ito ay may discontinuity ng pangalawang uri. Function y = E(x) (integer na bahagi ng x) sa mga puntong may buong abscissas ay may mga discontinuities ng unang uri, o mga jump.
Ang isang function na tuluy-tuloy sa bawat punto sa pagitan ay tinatawag tuloy-tuloy V . Ang isang tuluy-tuloy na function ay kinakatawan ng isang solid curve.
Maraming mga problema na nauugnay sa patuloy na paglaki ng ilang dami ang humahantong sa pangalawang kahanga-hangang limitasyon. Ang mga naturang gawain, halimbawa, ay kinabibilangan ng: paglaki ng mga deposito ayon sa batas ng tambalang interes, paglaki ng populasyon ng bansa, pagkabulok ng mga radioactive substance, paglaganap ng bakterya, atbp.
Isaalang-alang natin halimbawa ng Ya I. Perelman, na nagbibigay ng interpretasyon ng numero e sa problema ng tambalang interes. Numero e may hangganan 
. Sa mga savings bank, ang pera ng interes ay idinaragdag sa nakapirming kapital taun-taon. Kung ang pag-akyat ay ginagawa nang mas madalas, kung gayon ang kapital ay lumalaki nang mas mabilis, dahil ang isang mas malaking halaga ay kasangkot sa pagbuo ng interes. Kumuha tayo ng isang purong teoretikal, napakasimpleng halimbawa. Hayaang ma-deposito ang 100 denier sa bangko. mga yunit batay sa 100% kada taon. Kung ang pera ng interes ay idinagdag sa nakapirming kapital pagkatapos lamang ng isang taon, pagkatapos sa panahong ito ay 100 den. mga yunit magiging 200 monetary units. Ngayon tingnan natin kung ano ang magiging 100 denize. mga yunit, kung ang pera ng interes ay idaragdag sa nakapirming kapital tuwing anim na buwan. Pagkatapos ng anim na buwan, 100 den. mga yunit lalago sa 100×
1.5 = 150, at pagkatapos ng isa pang anim na buwan - 150×
1.5 = 225 (den. units). Kung ang pag-akyat ay ginagawa tuwing 1/3 ng taon, pagkatapos ng isang taon 100 den. mga yunit magiging 100× (1 +1/3) 3" 237 (den. units). Dadagdagan namin ang mga tuntunin para sa pagdaragdag ng pera ng interes sa 0.1 taon, sa 0.01 taon, sa 0.001 taon, atbp. Tapos sa 100 den. mga yunit pagkatapos ng isang taon ay magiging:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (den. units),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. units),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. units).
Sa walang limitasyong pagbawas sa mga tuntunin para sa pagdaragdag ng interes, ang naipon na kapital ay hindi lumalaki nang walang katiyakan, ngunit lumalapit sa isang tiyak na limitasyon na katumbas ng humigit-kumulang 271. Ang kapital na idineposito sa 100% bawat taon ay hindi maaaring tumaas ng higit sa 2.71 beses, kahit na ang naipon na interes ay idinagdag sa kapital bawat segundo dahil ang limitasyon
Halimbawa 3.1.Gamit ang kahulugan ng limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng numero, patunayan na ang sequence x n =(n-1)/n ay may limitasyon na katumbas ng 1.
Solusyon.Kailangan nating patunayan iyon, anuman ang mangyariε > 0 kahit anong gawin natin, may something sa kanya natural na numero N, tulad na para sa lahat n N ang hindi pagkakapantay-pantay ay humahawak|x n -1|< ε.
Kunin natin ang anumang e > 0. Since ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, pagkatapos ay upang mahanap ang N sapat na upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay 1/n< e. Kaya n>1/ e at, samakatuwid, ang N ay maaaring kunin bilang isang integer na bahagi ng 1/ e , N = E(1/ e ). Sa gayon ay napatunayan namin na ang limitasyon .
Halimbawa 3.2
. Hanapin ang limitasyon ng isang sequence na ibinigay ng isang karaniwang termino 
.
Solusyon.Ilapat natin ang limitasyon ng sum theorem at hanapin ang limitasyon ng bawat termino. Kapag n→ ∞ ang numerator at denominator ng bawat termino ay may posibilidad na infinity, at hindi natin direktang mailalapat ang quotient limit theorem. Samakatuwid, mag-transform muna tayo x n, hinahati ang numerator at denominator ng unang termino sa pamamagitan ng n 2, at ang pangalawa sa n. Pagkatapos, ang paglalapat ng limitasyon ng quotient at ang limitasyon ng sum theorem, makikita natin:
.
Halimbawa 3.3. 
. Hanapin ang .
Solusyon. 
.
Dito ginamit namin ang limitasyon ng degree theorem: ang limitasyon ng isang degree ay katumbas ng antas ng limitasyon ng base.
Halimbawa 3.4
. Hanapin ( 
).
Solusyon.Imposibleng ilapat ang limitasyon ng teorama ng pagkakaiba, dahil mayroon tayong kawalan ng katiyakan sa anyo ∞-∞ . Ibahin natin ang pangkalahatang terminong pormula:
.
Halimbawa 3.5 . Ang function na f(x)=2 1/x ay ibinigay. Patunayan na walang limitasyon.
Solusyon.Gamitin natin ang kahulugan 1 ng limitasyon ng isang function sa pamamagitan ng isang sequence. Kumuha tayo ng isang sequence ( x n ) na nagtatagpo sa 0, i.e. Ipakita natin na ang value na f(x n)= ay kumikilos nang iba para sa iba't ibang sequence. Hayaan ang x n = 1/n. Malinaw, pagkatapos ay ang limitasyon 
Pumili tayo ngayon bilang x n isang pagkakasunud-sunod na may karaniwang termino x n = -1/n, na umaabot din sa zero. 
Samakatuwid walang limitasyon.
Halimbawa 3.6 . Patunayan na walang limitasyon.
Solusyon.Hayaang ang x 1 , x 2 ,..., x n ,... ay isang pagkakasunud-sunod kung saan
. Paano gumagana ang sequence (f(x n)) = (sin x n) para sa iba't ibang x n → ∞
Kung x n = p n, kung gayon sin x n = sin p n = 0 para sa lahat n at ang limitasyon Kung
x n =2 p n+ p /2, pagkatapos sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 para sa lahat n at samakatuwid ang limitasyon. Kaya wala ito.
Widget para sa pagkalkula ng mga limitasyon sa online
Sa itaas na window, sa halip na sin(x)/x, ilagay ang function na ang limitasyon ay gusto mong hanapin. Sa ibabang window, ipasok ang numero kung saan ang x ay may posibilidad at i-click ang pindutang Calcular, kunin ang nais na limitasyon. At kung sa window ng resulta ay nag-click ka sa Ipakita ang mga hakbang sa kanang sulok sa itaas, makakakuha ka ng isang detalyadong solusyon.
Mga panuntunan para sa pagpasok ng mga function: sqrt(x)- Kuwadrado na ugat, cbrt(x) - cube root, exp(x) - exponent, ln(x) - natural na logarithm, sin(x) - sine, cos(x) - cosine, tan(x) - tangent, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - arctangent. Mga palatandaan: * multiplikasyon, / dibisyon, ^ exponentiation, sa halip kawalang-hanggan Infinity. Halimbawa: ang function ay ipinasok bilang sqrt(tan(x/2)).
