Ang pagkawala ng mga ugat ng equation ay maaaring mangyari kapag. Aralin “Pagkapantay-pantay ng mga equation Pagsusuri ng mga ugat

Ang paksa ng trigonometric equation ay nagsisimula sa isang panayam sa paaralan, na nakabalangkas sa anyo ng isang heuristic na pag-uusap. Tinatalakay ng lecture ang teoretikal na materyal at mga halimbawa ng paglutas ng lahat ng karaniwang problema ayon sa plano:

• Ang pinakasimpleng trigonometriko equation.
• Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko.
• Mga homogenous na equation.

Sa mga sumusunod na aralin, magsisimula ang pag-unlad ng mga independiyenteng kasanayan, batay sa aplikasyon ng prinsipyo ng magkasanib na aktibidad sa pagitan ng guro at mag-aaral. Una, ang mga layunin para sa mga mag-aaral ay itinakda, i.e. natutukoy kung sino ang gustong makaalam ng higit sa kung ano ang kinakailangan ng pamantayan ng estado, at kung sino ang handang gumawa ng higit pa.

Ang pangwakas na diagnosis ay nilikha na isinasaalang-alang ang pagkakaiba sa antas ng account, na nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na sinasadya na matukoy ang pinakamababang kaalaman na kinakailangan upang makatanggap ng grado na "3". Batay dito, pinipili ang mga multi-level na materyales upang masuri ang kaalaman ng mga mag-aaral. Ang ganitong gawain ay nagbibigay-daan para sa isang indibidwal na diskarte sa mga mag-aaral, kabilang ang lahat ng tao sa mulat na mga aktibidad sa pag-aaral, pagbuo ng sariling organisasyon at mga kasanayan sa pag-aaral sa sarili, at pagtiyak ng isang paglipat sa aktibo, malayang pag-iisip.

Ang seminar ay isinasagawa pagkatapos ng pagsasanay sa mga pangunahing kasanayan sa paglutas ng mga trigonometriko equation. Ilang mga aralin bago ang seminar, ang mga mag-aaral ay binibigyan ng mga tanong na tatalakayin sa panahon ng seminar.

Ang seminar ay binubuo ng tatlong bahagi.

1. Ang panimulang bahagi ay sumasaklaw sa lahat ng teoretikal na materyal, kabilang ang isang panimula sa mga problemang lalabas kapag nilutas ang mga kumplikadong equation.

2. Tinatalakay ng ikalawang bahagi ang solusyon ng mga equation ng anyo:

• at cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• nalulusaw ang mga equation sa pamamagitan ng pagbabawas ng antas.

Gumagamit ang mga equation na ito ng unibersal na pagpapalit, mga formula ng pagbabawas ng antas, at ang paraan ng pantulong na argumento.

3. Tinatalakay ng ikatlong bahagi ang mga problema ng pagkawala ng ugat at pagkuha mga panlabas na ugat. Ipinapakita kung paano pumili ng mga ugat.

Ang mga mag-aaral ay nagtatrabaho sa pangkat. Upang malutas ang mga halimbawa, tinawag ang mga mahusay na sinanay na lalaki na maaaring magpakita at ipaliwanag ang materyal.

Ang seminar ay idinisenyo para sa isang mag-aaral na handang-handa, dahil... tinutugunan nito ang mga isyu na medyo lampas sa saklaw ng materyal ng programa. Kabilang dito ang mga equation ng isang mas kumplikadong anyo, at lalo na tinutugunan ang mga problemang nakatagpo sa paglutas ng mga kumplikadong trigonometric equation.

Ginanap ang seminar para sa mga mag-aaral sa grade 10–11. Ang bawat mag-aaral ay nagkaroon ng pagkakataon na palawakin at palalimin ang kanilang kaalaman sa paksang ito, upang ihambing ang antas ng kanilang kaalaman hindi lamang sa mga kinakailangan para sa isang nagtapos sa paaralan, kundi pati na rin sa mga kinakailangan para sa mga papasok sa V.U.Z.

SEMINAR

Paksa:"Paglutas ng mga Trigonometric Equation"

Mga layunin:

• I-generalize ang kaalaman sa paglutas ng mga trigonometric equation ng lahat ng uri.
• Tumutok sa mga problema: pagkawala ng mga ugat; mga panlabas na ugat; pagpili ng ugat.

SA PANAHON NG MGA KLASE.

I. Panimulang bahagi

1. Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometrikong equation

• Factorization.
• Pagpapakilala ng bagong variable.
• Functional na paraan ng graphic.

2. Ilang uri ng trigonometric equation.

• Mga equation na bumababa sa quadratic equation na may kinalaman sa cos x = t, sin x = t.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

Ang mga ito ay malulutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang bagong variable.

• Mga homogenous na equation ng una at pangalawang degree

First degree equation: Asinx + Bcosx = 0 divide sa cos x, makuha namin ang Atg x + B = 0

Second degree equation: Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0 divide by cos 2 x, makuha namin ang Atg 2 x + Btgx + C = 0

Ang mga ito ay nalulutas sa pamamagitan ng factorization at sa pamamagitan ng pagpapakilala ng bagong variable.

Nalalapat ang lahat ng mga pamamaraan.

• I-downgrade:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Nalutas sa pamamagitan ng paraan ng factorization.

2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C.

• Equation ng form: A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

Binawasan sa parisukat na may paggalang sa t = sinx + cosx; sin2x = t 2 – 1.

3. Mga pormula.

x + 2 n; Kinakailangan ang pagsuri!

• Bumababang kapangyarihan: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; kasalanan 2 x = (1 – cos 2x): 2
• Paraan ng pantulong na argumento.

Palitan natin ang Acosx + Bsinx ng Csin (x + ), kung saan ang sin = a/C; cos=v/c;

– pantulong na argumento.

4. Mga Panuntunan.

• Kung makakita ka ng isang parisukat, babaan ang antas.
• Kung nakakita ka ng isang piraso, gumawa ng isang halaga.
• Kung nakita mo ang halaga, gawin ang trabaho.

5. Pagkawala ng mga ugat, dagdag na ugat.

• Pagkawala ng mga ugat: hatiin sa g(x); mapanganib na mga pormula (unibersal na pagpapalit). Sa mga operasyong ito, pinaliit namin ang saklaw ng kahulugan.

• Mga karagdagang ugat: itinaas sa pantay na kapangyarihan; multiply sa g(x) (alisin ang denominator). Sa mga operasyong ito, pinalawak namin ang saklaw ng kahulugan.

II. Mga halimbawa ng trigonometric equation

1. Mga equation ng anyong Asinx + Bcosx = C

1) Pangkalahatang pagpapalit.O.D.Z. x - anumang.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.

Pagsusuri: 3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Ay ang ugat ng equation.

Sagot: x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

2) Functional na paraan ng graphic. O.D.Z. x - anumang.

Sinx – cosx = 1
Sinx = cosx + 1.

I-plot natin ang mga function: y = sinx, y = cosx + 1.

Sagot: x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

3) Pagpapakilala ng isang pantulong na argumento. O.D.Z.: x – kahit ano.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, dahil (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, pagkatapos ay mayroong ganoong kasalanan = 8/17,

cos = 15/17, na nangangahulugang sin cosx + sinx cos = 1; = arcsin 8/17.

Sagot: x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Pagbabawas ng pagkakasunod-sunod: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). sin 2 3x + sin 2 4x + sin 2 6x + sin 2 7x = 2. O.D.Z.: x – any.

1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0
cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

Sagot: x = /20 + n/10, n Z. x = /6 + k/3, k Z, x = /2 + m, m Z.

Sa

k = 1 at m = 0 k = 4 at m = 1.

ang serye ay pareho.

3. Pagbawas sa homogeneity. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.

1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – any.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
Ang 3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) ay hindi maaaring hatiin ng cos 2 x, dahil nawawalan tayo ng mga ugat.
cos 2 x = 0 ay nakakatugon sa equation.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.
x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

Sagot: x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Equation ng form: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.

1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – any.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1.
4 + 2t 2 – 2 – 5t = 0, | t | < 2
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = sin(x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;
x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

Sagot: x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Factorization.

1) cos 2 x – 2 cosx = 4 sinx – sin2x
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, walang ugat.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

Sagot: x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Mga problemang nagmumula sa paglutas ng mga equation ng trigonometriko

1. Pagkawala ng mga ugat: hatiin sa g(x); Gumagamit kami ng mga mapanganib na formula.

1) Hanapin ang error.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 formula.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2 hatiin sa 2 sin 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Nawalang mga ugat sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Tamang solusyon: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

kasalanan 2 x/2 = 0 x = 2k, k Z.

1 – cosx /2 = 0 x = 4p n, n Z.

2. Extraneous roots: inaalis natin ang denominator; itaas sa pantay na kapangyarihan.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. O.D.Z.: sin2x 3/2.

2cos3x sinx – cos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

1). сos3x + 1 = 0 x = /3 + 2n/3, n Z.

2). 2sinx – 1 = 0 x = (–1) k /6 + k, k Z.

I. x = /3 + 2n/3 1. n = 0 kasalanan 2/3 = 3/2 huwag masiyahan. O.D.Z. 2. n = 1 kasalanan 2= 0 masiyahan ang O.D.Z. 3. n = 2 kasalanan 2/3 = –3/2 masiyahan ang O.D.Z.

II. x = (–1) k /6 + k, k Z 1.k = 0 kasalanan 2/6 = 3/2 huwag masiyahan ang O.D.Z. 2. k = 1 kasalanan 2*5/6 = –3/2 masiyahan ang O.D.Z.

Sagot: x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

Sa huling aralin, gumamit kami ng tatlong hakbang upang malutas ang mga equation.

Ang unang yugto ay teknikal. Gamit ang isang kadena ng mga pagbabagong-anyo mula sa orihinal na equation, nakarating tayo sa isang medyo simple, na malulutas natin at hanapin ang mga ugat.

Ang ikalawang yugto ay ang pagsusuri ng solusyon. Sinusuri namin ang mga pagbabagong ginawa namin at alamin kung katumbas ang mga ito.

Ang ikatlong yugto ay ang pagpapatunay. Ang pagsuri sa lahat ng natagpuang ugat sa pamamagitan ng pagpapalit sa mga ito sa orihinal na equation ay sapilitan kapag nagsasagawa ng mga pagbabagong maaaring humantong sa isang corollary equation

Lagi bang kailangan na makilala ang tatlong yugto kapag nilulutas ang isang equation?

Syempre hindi. Bilang, halimbawa, sa paglutas ng equation na ito. SA Araw-araw na buhay karaniwang hindi sila nakahiwalay. Ngunit ang lahat ng mga yugtong ito ay kailangang "iingatan" at isagawa sa isang anyo o iba pa. Kinakailangang pag-aralan ang pagkakapantay-pantay ng mga pagbabago. At kung ang pagsusuri ay nagpapakita na ang isang tseke ay kailangang isagawa, kung gayon ito ay sapilitan. Kung hindi, ang equation ay hindi maituturing na nalutas nang tama.

Posible bang suriin ang mga ugat ng isang equation sa pamamagitan lamang ng pagpapalit?

Kung ang mga katumbas na pagbabagong-anyo ay ginamit sa paglutas ng equation, hindi kinakailangan ang pag-verify. Kapag sinusuri ang mga ugat ng isang equation, ang ODZ (pinahihintulutang hanay ng halaga) ay napakadalas na ginagamit Kung mahirap suriin gamit ang ODZ, ito ay isinasagawa sa pamamagitan ng pagpapalit nito sa orihinal na equation.

Ehersisyo 1

Lutasin ang equation Kuwadrado na ugat ng dalawang x plus tatlo ay katumbas ng isa plus x.

Solusyon

Ang ODZ ng equation ay tinutukoy ng isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay: dalawang x plus tatlo ay mas malaki sa o katumbas ng zero at isang plus x ay mas malaki kaysa o katumbas ng zero. Ang solusyon ay x mas malaki kaysa o katumbas ng minus one.

I-square natin ang magkabilang panig ng equation, ilipat ang mga termino mula sa isang gilid ng equation patungo sa isa pa, magdala ng magkatulad na termino, nakukuha natin quadratic equation Ang X squared ay katumbas ng dalawa. Ang mga ugat nito ay

x una, pangalawa ay katumbas ng plus o minus ang square root ng dalawa.

Pagsusulit

Ang halagang x una ay katumbas ng square root ng dalawa ay ang ugat ng equation, dahil kasama ito sa ODZ.
Ang halaga ng x segundo ay katumbas ng minus ang square root ng dalawa ay hindi ang ugat ng equation, dahil hindi ito kasama sa DZ.
Suriin natin na ang root x ay katumbas ng square root ng dalawa, pinapalitan ito sa orihinal na pagkakapantay-pantay, nakukuha natin

ang pagkakapantay-pantay ay totoo, na nangangahulugan na ang x ay katumbas ng square root ng dalawa ay ang ugat ng equation.

Sagot: square root ng dalawa.

Gawain 2

Lutasin ang equation square root ng x minus walong katumbas ng limang minus x.

Solusyon

Ang ODZ ng isang hindi makatwirang equation ay tinutukoy ng isang sistema ng dalawang hindi pagkakapantay-pantay: x minus walo ay mas malaki sa o katumbas ng zero at limang minus x ay mas malaki kaysa sa o katumbas ng zero. Ang paglutas nito, nakita namin na ang sistemang ito ay walang mga solusyon. Ang ugat ng equation ay hindi maaaring maging alinman sa mga halaga ng variable na x.

Sagot: walang ugat.

Gawain 3

Lutasin ang equation square root ng x cubed plus four x minus one minus walo parisukat na ugat x sa ikaapat na kapangyarihan minus x ay katumbas ng square root ng x cubed minus one plus dalawang square roots ng x.

Solusyon

Ang paghahanap ng ODZ sa equation na ito ay medyo mahirap.

Isagawa natin ang pagbabagong-anyo: parisukat ang magkabilang panig ng equation na ito,

ilipat ang lahat ng mga tuntunin sa kaliwang bahagi equation at magdala ng magkatulad na termino, magsulat ng dalawang ugat sa ilalim ng isa, kumuha ng mga katulad na radical, magdala ng mga katulad, hatiin sa coefficient minus 12, at factor ang radical expression, nakakakuha tayo ng equation sa anyo ng produkto ng dalawang factor na katumbas ng zero. Nang malutas ito, nakita namin ang mga ugat:

Ang x una ay katumbas ng isa, ang x pangalawa ay katumbas ng zero.

Dahil itinaas namin ang magkabilang panig ng equation sa pantay na kapangyarihan, sapilitan ang pagsuri sa mga ugat.

Pagsusulit

Kung ang x ay katumbas ng isa, kung gayon

nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang x katumbas ng isa ay ang ugat ng equation.

Kung ang x ay zero, kung gayon ang square root ng minus one ay hindi natukoy.

Nangangahulugan ito na ang x na katumbas ng zero ay isang extraneous na ugat.

Sagot: isa.

Gawain 4

Lutasin ang equation logarithm ng expression na x squared plus five x plus two base two equals three.

Solusyon

Hanapin natin ang ODZ equation. Upang gawin ito, lutasin namin ang hindi pagkakapantay-pantay x squared plus limang x plus dalawa sa zero.

Malulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay gamit ang paraan ng agwat. Upang gawin ito, isinasali namin ang kaliwang bahagi nito, na dati nang nalutas ang quadratic equation, at isinasaalang-alang ang hindi pagkakapantay-pantay na pag-sign, tinutukoy namin ang ODZ. Ang ODZ ay katumbas ng unyon ng mga bukas na sinag mula minus infinity hanggang minus ang fraction five plus ang square root ng labimpito na hinati ng dalawa, at mula minus ang fraction five minus ang square root ng labimpito na hinati ng dalawa hanggang plus infinity.

Ngayon simulan natin ang paghahanap ng mga ugat ng equation. Dahil ang tatlo ay katumbas ng logarithm ng walo hanggang base two, isinusulat namin ang equation tulad ng sumusunod: ang logarithm ng expression na x square plus five x plus two hanggang base two ay katumbas ng logarithm ng walo hanggang base two. Palakihin natin ang equation, kumuha at lutasin ang isang quadratic equation.

Ang discriminant ay apatnapu't siyam.

Kalkulahin ang mga ugat:

ang x una ay katumbas ng minus anim; Ang x segundo ay katumbas ng isa.

Pagsusulit

Ang minus anim ay kabilang sa ODZ, ang isa ay kabilang sa ODZ, na nangangahulugang ang parehong mga numero ay mga ugat ng equation.

Sagot: minus anim; isa.

Sa huling aralin ay tiningnan natin ang isyu ng paglitaw ng mga extraneous na ugat. Maaari naming makita ang mga ito sa pamamagitan ng pag-verify. Posible bang mawalan ng mga ugat kapag nilulutas ang isang equation at kung paano ito maiiwasan?

Kapag nagsasagawa ng mga ganoong aksyon sa isang equation, tulad ng, una, paghahati sa magkabilang panig ng equation ng parehong expression na ax mula sa x (maliban sa mga kasong iyon kung tiyak na alam na ang ax mula sa x ay hindi katumbas ng zero para sa anumang x mula sa ang domain ng kahulugan ng equation);

pangalawa, ang pagpapaliit ng OD ng equation sa panahon ng proseso ng solusyon ay maaaring humantong sa pagkawala ng mga ugat ng equation.

Tandaan!

Ang equation na nakasulat bilang

ef mula sa x na pinarami ng abo mula sa x ay katumbas ng zhe mula sa x na pinarami ng abo mula sa x ay nalulutas sa ganitong paraan:

kailangan mong i-factorize sa pamamagitan ng pag-alis ng common factor sa mga bracket;

pagkatapos, i-equate ang bawat factor sa zero, sa gayon ay makakakuha ng dalawang equation.

Kinakalkula namin ang kanilang mga ugat.

Ehersisyo 1

Lutasin ang equation na x cube na katumbas ng x.

Unang paraan

Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation na ito sa x, nakukuha natin ang x square na katumbas ng isa, ang pagkakaroon ng mga ugat na x unang katumbas ng isa,

Ang x segundo ay katumbas ng minus one.

Pangalawang paraan

Ang X cube ay katumbas ng X. Ilipat natin ang x sa kaliwang bahagi ng equation, alisin ang x sa mga bracket, at makuha natin ang: x multiplied sa x squared minus one ay katumbas ng zero.

Kalkulahin natin ang mga ugat nito:

Ang X una ay katumbas ng zero, ang x pangalawa ay katumbas ng isa, ang x pangatlo ay katumbas ng minus one.

Ang equation ay may tatlong ugat.

Kapag nilulutas ang unang paraan, nawalan kami ng isang ugat - ang x ay katumbas ng zero.

Sagot: minus one; zero; isa.

Tandaan! Ang pagbabawas ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang salik na naglalaman ng hindi alam ay maaaring magresulta sa mga nawawalang ugat.

Gawain 2

Lutasin ang equation: ang decimal logarithm ng x squared ay katumbas ng dalawa.

Solusyon

Unang paraan

Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang logarithm, nakukuha natin ang quadratic equation x square na katumbas ng isang daan.

Ang mga ugat nito: x unang katumbas ng sampu; Ang X segundo ay katumbas ng minus sampu.

Pangalawang paraan

Sa pamamagitan ng pag-aari ng logarithms, mayroon kaming dalawang decimal logarithms x katumbas ng dalawa.

Ang ugat nito - x ay katumbas ng sampu

Sa pangalawang paraan, ang root x ay katumbas ng minus sampu ay nawala. At ang dahilan ay maling inilapat nila ang formula, na pinaliit ang saklaw ng equation. Ang expression para sa decimal logarithm ng x squared ay tinukoy para sa lahat ng x maliban sa x na katumbas ng zero. Ang expression para sa decimal logarithm ng x ay para sa x na mas malaki sa zero. Ang tamang formula para sa decimal logarithm x squared ay katumbas ng dalawa decimal logarithms modyul x.

Tandaan! Kapag nilulutas ang isang equation, gamitin ang magagamit na mga formula nang matalino.

§ 1. NAWALA AT NABUBUTI NA MGA UGAT KAPAG NAGSOLBA NG MGA EQUATION (SA MGA HALIMBAWA)

MATERYAL NA SANGGUNIAN

1. Dalawang theorems sa § 3 ng Kabanata VII ang nag-usap tungkol sa kung anong mga aksyon sa mga equation ang hindi lumalabag sa kanilang equivalence.

2. Isaalang-alang natin ngayon ang mga operasyon sa mga equation na maaaring humantong sa isang bagong equation na hindi katumbas ng orihinal na equation. Sa halip na mga pangkalahatang pagsasaalang-alang, lilimitahan natin ang ating sarili sa pagsasaalang-alang lamang ng mga partikular na halimbawa.

3. Halimbawa 1. Isang equation ang ibinigay. Buksan natin ang mga bracket sa equation na ito, ilipat ang lahat ng mga termino sa kaliwang bahagi at lutasin ang quadratic equation. Ang mga ugat nito ay

Kung bawasan mo ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang karaniwang kadahilanan, makakakuha ka ng isang equation na hindi katumbas ng orihinal, dahil mayroon lamang itong isang ugat.

Kaya, ang pagbabawas ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang salik na naglalaman ng hindi alam ay maaaring magresulta sa pagkawala ng mga ugat ng equation.

4. Halimbawa 2. Dahil sa isang equation, ang equation na ito ay may iisang ugat.

Nakikita natin na ang bagong equation ay hindi katumbas ng orihinal na equation Ang ugat ay ang ugat ng equation na, pagkatapos i-square ang magkabilang panig, ay humahantong sa equation

5. Ang mga extraneous na ugat ay maaari ding lumitaw kapag ang magkabilang panig ng equation ay pinarami ng isang salik na naglalaman ng hindi alam, kung ang salik na ito ay naglalaho para sa mga tunay na halaga ng x.

Halimbawa 3. Kung i-multiply natin ang magkabilang panig ng equation, makakakuha tayo ng bagong equation na, pagkatapos ilipat ang termino mula sa kanang bahagi patungo sa kaliwa at i-factor ito, ay nagbibigay ng equation mula sa alinman

Ang ugat ay hindi nakakatugon sa isang equation na may isang ugat

Mula dito ay napagpasyahan namin: kapag pinakuwadrado ang magkabilang panig ng equation (sa pangkalahatan sa isang pantay na kapangyarihan), pati na rin kapag nagpaparami sa pamamagitan ng isang kadahilanan na naglalaman ng isang hindi kilalang at naglalaho sa mga tunay na halaga ng hindi alam, ang mga extraneous na ugat ay maaaring lumitaw.

Ang lahat ng mga pagsasaalang-alang na ipinahayag dito sa isyu ng pagkawala at paglitaw ng mga extraneous na ugat ng isang equation ay nalalapat nang pantay-pantay sa anumang mga equation (algebraic, trigonometriko, atbp.).

6. Ang isang equation ay tinatawag na algebraic kung ang mga algebraic na operasyon lamang ang ginagawa sa hindi alam - karagdagan, pagbabawas, multiplikasyon, paghahati, exponentiation at root extraction na may natural na exponent (at ang bilang ng mga naturang operasyon ay may hangganan).

Kaya, halimbawa, ang mga equation

ay algebraic, at ang mga equation

NGIPIN. Ang mga ngipin ng mga vertebrates ay ganap na katulad sa istraktura at pag-unlad sa mga placoid na kaliskis na sumasakop sa buong balat ng mga isda ng pating. Dahil lahat oral cavity, at bahagyang ang pharyngeal cavity, ay may linya na may ectodermal epithelium, tipikal na placoid... ...

PULMONARY TUBERCULOSIS- PULMONARY TUBERCULOSIS. Nilalaman: I. Pathological anatomy...........110 II. Klasipikasyon ng pulmonary tuberculosis.... 124 III. Klinika.........................128 IV. Diagnostics.........................160 V. Prognosis.................... .......... 190 VI. Paggamot… Great Medical Encyclopedia

PAGLALASON- PAGLALASON. Ang pagkalason ay nangangahulugang "mga karamdaman ng mga pag-andar ng hayop." organismo, sanhi ng exogenous o endogenous, kemikal o pisikal na kemikal aktibong sangkap, na dayuhan sa mga tuntunin ng kalidad, dami o konsentrasyon... ... Great Medical Encyclopedia

Legume nodule bacteria- Ipinahihiwatig ng data ng paleontological na ang pinaka sinaunang legume na may mga nodule ay ilang mga halaman na kabilang sa pangkat na Eucaesalpinioideae. U modernong species natuklasan ang mga bukol ng leguminous plant... Biological encyclopedia

Listahan ng mga episode ng animated na serye na "Luntik"- Ang artikulong ito ay walang mga link sa mga mapagkukunan ng impormasyon. Dapat na ma-verify ang impormasyon, kung hindi, maaari itong tanungin at tanggalin. Maaari kang... Wikipedia

HALAMAN AT KAPALIGIRAN- Ang buhay ng isang halaman, tulad ng anumang iba pang nabubuhay na organismo, ay isang kumplikadong hanay ng mga magkakaugnay na proseso; ang pinakamahalaga sa kanila, gaya ng nalalaman, ay metabolismo sa kapaligiran. Ang kapaligiran ay ang pinagmulan kung saan ...... Biological encyclopedia

Listahan ng mga yugto ng seryeng "Luntik"- Pangunahing artikulo: Ang Mga Pakikipagsapalaran ni Luntik at ng kanyang mga kaibigan Mga Nilalaman 1 Bilang ng mga yugto 2 Listahan ng mga yugto ng animated na serye na si Luntik at ang kanyang mga kaibigan ... Wikipedia

Mga sakit sa puno ng prutas- Ang mga puno ng prutas, salamat sa patuloy na pag-aalaga ng tao para sa kanila, ay dapat umabot sa isang mas matandang edad kaysa sa kanilang hindi nalilinang na mga kamag-anak, kung hindi para sa mga sumasalungat na impluwensya ng maraming mga kondisyon ng kultura mismo, lalo na ang mga hinihingi na ginawa natin... ...

Pagpuputol ng kagubatan- Ang pag-aani ng kagubatan, o pagkuha ng kita sa kagubatan sa anyo ng kahoy at balat, ay maaaring gawin sa dalawang paraan: sa pamamagitan ng paghuhukay o pag-aani ng mga buong puno, ibig sabihin, mga putot kasama ang mga ugat, o hiwalay, sa mga bahagi, unang pinutol, o tinanggal. mula sa...... encyclopedic Dictionary F. Brockhaus at I.A. Efron

Grosh- (Polish grosz, mula sa German Groschen, mula sa Latin na grossus (dēnārius) "makapal na denarius") na barya ng iba't ibang bansa at panahon. Nilalaman 1 Ang hitsura ng isang sentimos ... Wikipedia

US barya- 20 dolyar Ang Saint Gaudens ang pinakamaganda at mamahaling barya USA Coins Mga barya sa USA na ginawa ng United States Mint. Ginawa mula noong 1792... Wikipedia

Mga libro

• Ang mga pangunahing sanhi ng pagkawala ng buhok sa mga kababaihan, Alexey Michman, Anim sa sampung kababaihan ang dumaranas ng pagkawala ng buhok sa ilang mga punto sa kanilang buhay. Maaaring mangyari ang pagkawala ng buhok para sa ilang kadahilanan, tulad ng pagmamana, mga pagbabago sa hormonal sa... Kategorya:

Ang mga sumusunod na pagbabago ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga equation:

Iba pang pagbabago

Sa listahang ipinakita sa nakaraang talata, sadyang hindi namin isinama ang mga pagbabagong tulad ng pagtataas sa magkabilang panig ng equation sa parehong natural na kapangyarihan, logarithm, pagpapalakas ng magkabilang panig ng equation, pagkuha ng ugat ng parehong antas mula sa magkabilang panig ng equation, pagpapalaya panlabas na pag-andar at iba pa. Ang katotohanan ay ang mga pagbabagong ito ay hindi masyadong pangkalahatan: ang mga pagbabagong-anyo mula sa listahan sa itaas ay ginagamit upang malutas ang mga equation ng lahat ng mga uri, at ang mga pagbabagong nabanggit ay ginagamit upang malutas ang ilang mga uri ng mga equation (hindi makatwiran, exponential, logarithmic, atbp.). Ang mga ito ay tinalakay nang detalyado sa loob ng balangkas ng kaukulang mga pamamaraan para sa paglutas ng mga kaukulang uri ng mga equation. Narito ang mga link sa kanilang mga detalyadong paglalarawan:

• Pagtaas ng magkabilang panig ng isang equation sa parehong natural na kapangyarihan.
• Pagkuha ng logarithms ng magkabilang panig ng equation.
• Potentiating magkabilang panig ng equation.
• Pagkuha ng ugat ng parehong kapangyarihan mula sa magkabilang panig ng isang equation.
• Ang pagpapalit ng expression na tumutugma sa isa sa mga bahagi ng orihinal na equation ng isang expression mula sa isa pang bahagi ng orihinal na equation.

Ang mga link na ibinigay ay naglalaman ng komprehensibong impormasyon sa mga nakalistang pagbabago. Samakatuwid, hindi na natin sila tatalakayin sa artikulong ito. Nalalapat ang lahat ng kasunod na impormasyon sa mga pagbabago mula sa listahan ng mga pangunahing pagbabago.

Ano ang mangyayari bilang resulta ng pagbabago ng equation?

Ang pagsasagawa ng lahat ng pagbabago sa itaas ay maaaring magbigay ng alinman sa isang equation na may parehong mga ugat gaya ng orihinal na equation, o isang equation na ang mga ugat ay naglalaman ng lahat ng mga ugat ng orihinal na equation, ngunit maaaring mayroon ding iba pang mga ugat, o isang equation na ang mga ugat ay hindi isama ang lahat ng mga ugat ng binagong equation. Sa mga sumusunod na talata susuriin natin kung alin sa mga pagbabagong ito, sa ilalim ng kung aling mga kondisyon, ang humahantong sa kung aling mga equation. Ito ay napakahalagang malaman para sa matagumpay na paglutas ng mga equation.

Mga katumbas na pagbabagong-anyo ng mga equation

Ang partikular na interes ay ang mga pagbabagong-anyo ng mga equation na nagreresulta sa mga katumbas na equation, iyon ay, mga equation na may parehong hanay ng mga ugat gaya ng orihinal na equation. Ang ganitong mga pagbabago ay tinatawag katumbas na pagbabago. Sa mga aklat-aralin sa paaralan, ang kaukulang kahulugan ay hindi malinaw na ibinigay, ngunit ito ay madaling basahin mula sa konteksto:

Kahulugan

Mga katumbas na pagbabagong-anyo ng mga equation ay mga pagbabagong nagbibigay ng katumbas na equation.

Kaya bakit kawili-wili ang mga katumbas na pagbabagong-anyo? Ang katotohanan ay kung sa kanilang tulong posible na magmula sa equation na nalutas sa isang medyo simpleng katumbas na equation, kung gayon ang paglutas ng equation na ito ay magbibigay ng nais na solusyon sa orihinal na equation.

Sa mga pagbabagong nakalista sa nakaraang talata, hindi lahat ay palaging katumbas. Ang ilang mga pagbabago ay katumbas lamang sa ilalim ng ilang mga kundisyon. Gumawa tayo ng isang listahan ng mga pahayag na tumutukoy kung aling mga pagbabagong-anyo at sa ilalim ng kung anong mga kondisyon ang katumbas na mga pagbabagong-anyo ng equation. Upang gawin ito, gagawin namin ang listahan sa itaas bilang batayan, at sa mga pagbabagong hindi palaging katumbas, magdadagdag kami ng mga kundisyon na nagbibigay sa kanila ng katumbas. Narito ang listahan:

• Ang pagpapalit ng expression sa kaliwa o kanang bahagi ng isang equation ng isang expression na hindi nagbabago sa mga variable para sa equation ay isang katumbas na pagbabagong-anyo ng equation.

Ipaliwanag natin kung bakit ganito. Upang gawin ito, kumuha kami ng isang equation na may isang variable (maaaring isagawa ang magkatulad na pangangatwiran para sa mga equation na may ilang mga variable) ng form na A(x)=B(x), tinukoy namin ang mga expression sa kaliwa at kanang bahagi nito bilang A( x) at B(x), ayon sa pagkakabanggit . Hayaang magkapareho ang expression na C(x) sa expression na A(x), at ang ODZ ng variable x ng equation C(x)=B(x) ay tumutugma sa ODZ ng variable x para sa orihinal na equation. Patunayan natin na ang pagbabago ng equation na A(x)=B(x) sa equation na C(x)=B(x) ay isang katumbas na pagbabagong-anyo, ibig sabihin, patunayan natin na ang mga equation na A(x)=B (x) at C(x) =B(x) ay katumbas.

Upang gawin ito, sapat na upang ipakita na ang anumang ugat ng orihinal na equation ay isang ugat ng equation na C(x)=B(x), at anumang ugat ng equation na C(x)=B(x) ay isang ugat. ng orihinal na equation.

Magsimula tayo sa unang bahagi. Hayaang q ang ugat ng equation na A(x)=B(x), at kapag pinalitan natin ito ng x ay makukuha natin ang wastong pagkakapantay-pantay ng numero A(q)=B(q). Dahil ang mga expression na A(x) at C(x) ay magkapareho at ang expression na C(q) ay may katuturan (ito ay sumusunod sa kondisyon na ang OD para sa equation na C(x)=B(x) ay tumutugma sa OD para sa ang orihinal na equation) , kung gayon ang numerical equality A(q)=C(q) ay totoo. Susunod na ginagamit namin ang mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero. Dahil sa katangian ng symmetry, ang pagkakapantay-pantay A(q)=C(q) ay maaaring isulat muli bilang C(q)=A(q) . Pagkatapos, dahil sa transitivity property, ang mga pagkakapantay-pantay na C(q)=A(q) at A(q)=B(q) ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay C(q)=B(q). Ito ay nagpapatunay na ang q ay ang ugat ng equation na C(x)=B(x) .

Ang ikalawang bahagi, at kasama nito ang buong pahayag sa kabuuan, ay pinatunayan sa isang ganap na kahalintulad na paraan.

Ang kakanyahan ng nasuri na katumbas na pagbabagong-anyo ay ang mga sumusunod: pinapayagan kang magtrabaho nang hiwalay sa mga expression sa kaliwa at kanang bahagi ng mga equation, na pinapalitan ang mga ito ng magkaparehong pantay na mga expression sa orihinal na ODZ ng mga variable.

Ang pinakakaraniwang halimbawa: maaari nating palitan ang kabuuan ng mga numero sa kanang bahagi ng equation na x=2+1 sa halaga nito, na magreresulta sa isang katumbas na equation ng form na x=3. Sa katunayan, pinalitan namin ang expression na 2+1 ng magkaparehong expression na 3, at ang ODZ ng equation ay hindi nagbago. Isa pang halimbawa: sa kaliwang bahagi ng equation 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1 magagawa natin, at sa kanan – , na magdadala sa atin sa katumbas na equation na 3·x+ 6=5·x+ 3. Ang resultang equation ay talagang katumbas, dahil pinalitan namin ang mga expression ng magkaparehong mga expression at sa parehong oras ay nakakuha ng isang equation na may isang OD na coincides sa OD para sa orihinal na equation.

• Ang pagdaragdag ng parehong numero sa magkabilang panig ng isang equation o pagbabawas ng parehong numero mula sa magkabilang panig ng isang equation ay isang katumbas na pagbabagong-anyo ng equation.

Patunayan natin na ang pagdaragdag ng parehong numero c sa magkabilang panig ng equation na A(x)=B(x) ay nagbibigay ng katumbas na equation na A(x)+c=B(x)+c at ang pagbabawas mula sa magkabilang panig ng equation Ang A(x) =B(x) ng parehong numero c ay nagbibigay ng katumbas na equation na A(x)−c=B(x)−c.

Hayaang q ang ugat ng equation na A(x)=B(x), kung gayon ang pagkakapantay-pantay A(q)=B(q) ay totoo. Ang mga katangian ng numerical equalities ay nagpapahintulot sa amin na magdagdag sa magkabilang panig ng isang tunay na numerical equality o ibawas ang parehong numero mula sa mga bahagi nito. Tukuyin natin ang bilang na ito bilang c, pagkatapos ay ang mga pagkakapantay-pantay na A(q)+c=B(q)+c at A(q)−c=B(q)−c ay wasto. Mula sa mga pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na ang q ay ang ugat ng equation na A(x)+c=B(x)+c at ang equation na A(x)−c=B(x)−c.

Ngayon bumalik. Hayaang q ang ugat ng equation na A(x)+c=B(x)+c at ang equation na A(x)−c=B(x)−c, pagkatapos ay A(q)+c=B(q) +c at A (q)−c=B(q)−c . Alam namin na ang pagbabawas ng parehong numero mula sa magkabilang panig ng isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero ay nagbubunga ng isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Alam din natin na ang pagdaragdag ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero sa magkabilang panig ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay sa numero. Ibawas natin ang bilang c mula sa magkabilang panig ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero A(q)+c=B(q)+c, at idagdag ang bilang c sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na A(x)−c=B(x) −c. Bibigyan tayo nito ng tamang mga pagkakapantay-pantay ng numero A(q)+c−c=B(q)+c−c at A(q)−c+c=B(q)+c−c, kung saan napagpasyahan natin na A (q) =B(q) . Mula sa huling pagkakapantay-pantay ay sumusunod na ang q ay ang ugat ng equation na A(x)=B(x) .

Ito ay nagpapatunay sa orihinal na pahayag sa kabuuan.

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng gayong pagbabago ng mga equation. Kunin natin ang equation na x−3=1, at ibahin ito sa pamamagitan ng pagdaragdag ng numero 3 sa magkabilang panig, pagkatapos nito makuha natin ang equation na x−3+3=1+3, na katumbas ng orihinal. Malinaw na sa resultang equation maaari kang magsagawa ng mga operasyon na may mga numero, tulad ng tinalakay namin sa nakaraang item sa listahan, bilang isang resulta mayroon kaming equation x=4. Kaya, nagsasagawa ng mga katumbas na pagbabagong-anyo, hindi sinasadyang nalutas namin ang equation na x−3=1, ang ugat nito ay ang numero 4. Ang itinuturing na katumbas na pagbabagong-anyo ay kadalasang ginagamit upang maalis ang magkaparehong mga terminong numero na matatagpuan sa iba't ibang parte mga equation Halimbawa, pareho sa kaliwa at sa tamang bahagi equation x 2 +1=x+1 mayroong parehong term 1, ang pagbabawas ng numero 1 mula sa magkabilang panig ng equation ay nagpapahintulot sa iyo na pumunta sa katumbas na equation x 2 +1−1=x+1−1 at pagkatapos ay sa katumbas na equation x 2 =x, at kaya tanggalin ang magkaparehong terminong ito.

• Ang pagdaragdag sa magkabilang panig ng equation o pagbabawas mula sa magkabilang panig ng equation ng isang expression kung saan ang ODZ ay hindi mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation ay isang katumbas na pagbabago.

Patunayan natin ang pahayag na ito. Iyon ay, pinatutunayan namin na ang mga equation na A(x)=B(x) at A(x)+C(x)=B(x)+C(x) ay katumbas, sa kondisyon na ang ODZ para sa expression na C(x) ) ay hindi pa , kaysa sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x) .

Una naming patunayan ang isang pantulong na punto. Patunayan natin na, sa ilalim ng tinukoy na mga kondisyon, ang mga equation ng OD bago at pagkatapos ng pagbabago ay pareho. Sa katunayan, ang ODZ para sa equation na A(x)+C(x)=B(x)+C(x) ay maaaring ituring bilang intersection ng ODZ para sa equation na A(x)=B(x) at ang ODZ para sa expression na C(x) . Mula dito at mula sa katotohanan na ang ODZ para sa expression na C(x) ay hindi mas makitid ayon sa kundisyon kaysa sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x), sumusunod ito na ang ODZ para sa mga equation na A(x)= B(x) at A (x)+C(x)=B(x)+C(x) ay pareho.

Ngayon ay patunayan natin ang pagkakapareho ng mga equation na A(x)=B(x) at A(x)+C(x)=B(x)+C(x), sa kondisyon na ang mga saklaw ng mga katanggap-tanggap na halaga para sa mga ito ang mga equation ay pareho. Hindi kami magbibigay ng patunay ng pagkakapareho ng mga equation na A(x)=B(x) at A(x)−C(x)=B(x)−C(x) sa ilalim ng tinukoy na kundisyon, dahil ito ay magkapareho .

Hayaang q ang ugat ng equation na A(x)=B(x), kung gayon ang numerical equality A(q)=B(q) ay totoo. Dahil ang ODZ ng mga equation na A(x)=B(x) at A(x)+C(x)=B(x)+C(x) ay pareho, kung gayon ang expression na C(x) ay may katuturan sa x =q, na nangangahulugang ang C(q) ay ilang numero. Kung idaragdag natin ang C(q) sa magkabilang panig ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero A(q)=B(q) , magbibigay ito ng tamang hindi pagkakapantay-pantay ng numero A(q)+C(q)=B(q)+C(q ), kung saan sumusunod na ang q ay ang ugat ng equation na A(x)+C(x)=B(x)+C(x) .

Bumalik. Hayaang q ang ugat ng equation na A(x)+C(x)=B(x)+C(x), pagkatapos ay A(q)+C(q)=B(q)+C(q) ay isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Alam namin na ang pagbabawas ng parehong numero mula sa magkabilang panig ng isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero ay nagbubunga ng isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Ibawas ang C(q) mula sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay A(q)+C(q)=B(q)+C(q) , nagbibigay ito A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q) at higit pa A(q)=B(q) . Samakatuwid, ang q ay ang ugat ng equation na A(x)=B(x) .

Kaya, ang pahayag na pinag-uusapan ay ganap na napatunayan.

Magbigay tayo ng halimbawa ng pagbabagong ito. Kunin natin ang equation na 2 x+1=5 x+2. Maaari nating idagdag sa magkabilang panig, halimbawa, ang expression na −x−1. Ang pagdaragdag ng expression na ito ay hindi magbabago sa ODZ, na nangangahulugan na ang naturang pagbabago ay katumbas. Bilang resulta nito, nakukuha namin ang katumbas na equation 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Ang equation na ito ay maaaring mabago pa: buksan ang mga bracket at bawasan ang mga katulad na termino sa kaliwa at kanang bahagi nito (tingnan ang unang item sa listahan). Pagkatapos isagawa ang mga pagkilos na ito, nakukuha namin ang katumbas na equation x=4·x+1. Ang pagbabagong-anyo ng mga equation na isinasaalang-alang ay kadalasang ginagamit upang alisin ang magkatulad na termino na sabay-sabay sa kaliwa at kanang bahagi ng equation.

• Kung ililipat mo ang isang term sa isang equation mula sa isang bahagi patungo sa isa pa, binabago ang tanda ng terminong ito sa kabaligtaran, makakakuha ka ng katumbas na equation sa ibinigay na isa.

Ang pahayag na ito ay bunga ng mga nauna.

Ipakita natin kung paano isinasagawa ang katumbas na pagbabagong ito ng equation. Kunin natin ang equation na 3·x−1=2·x+3. Ilipat natin ang termino, halimbawa, 2 x mula sa kanang bahagi papunta sa kaliwa, binabago ang sign nito. Sa kasong ito, nakukuha natin ang katumbas na equation na 3·x−1−2·x=3. Maaari mo ring ilipat ang minus one mula sa kaliwang bahagi ng equation sa kanan, na binabago ang sign sa plus: 3 x−2 x=3+1. Sa wakas, ang pagdadala ng mga katulad na termino ay humahantong sa amin sa katumbas na equation x=4.

• Ang pagpaparami o paghahati sa magkabilang panig ng isang equation sa parehong di-zero na numero ay isang katumbas na pagbabago.

Ibigay natin ang patunay.

Hayaang ang A(x)=B(x) ay ilang equation at c ang ilang numerong naiiba sa zero. Patunayan natin na ang pagpaparami o paghahati sa magkabilang panig ng equation na A(x)=B(x) sa bilang na c ay isang katumbas na pagbabagong-anyo ng equation. Upang gawin ito, pinatutunayan namin na ang mga equation na A(x)=B(x) at A(x) c=B(x) c, pati na rin ang mga equation na A(x)=B(x) at A(x) :c= B(x):c - katumbas. Magagawa ito sa ganitong paraan: patunayan na ang anumang ugat ng equation na A(x)=B(x) ay isang ugat ng equation na A(x) c=B(x) c at isang ugat ng equation na A(x) :c=B(x) :c , at pagkatapos ay patunayan na anumang ugat ng equation A(x) c=B(x) c , tulad ng anumang ugat ng equation A(x):c=B(x):c , ay isang ugat ng equation na A(x) =B(x) . Gawin natin.

Hayaang q ang ugat ng equation na A(x)=B(x) . Kung gayon ang numerical equality A(q)=B(q) ay totoo. Nang mapag-aralan ang mga katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng numero, natutunan namin na ang pag-multiply o paghahati sa magkabilang panig ng isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero sa parehong bilang maliban sa zero ay humahantong sa isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Ang pag-multiply ng magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay A(q)=B(q) sa c, nakukuha natin ang wastong pagkakapantay-pantay ng numero A(q) c=B(q) c, kung saan sumusunod na q ang ugat ng equation na A( x) c= B(x)·c . At paghahati sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na A(q)=B(q) sa c, nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero A(q):c=B(q):c, kung saan sumusunod na ang q ang ugat ng equation A(x):c =B(x):c .

Ngayon sa kabilang direksyon. Hayaang q ang ugat ng equation na A(x) c=B(x) c. Kung gayon ang A(q)·c=B(q)·c ay isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Ang paghahati sa parehong bahagi nito sa isang hindi-zero na numerong c, nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero A(q)·c:c=B(q)·c:c at higit pa A(q)=B(q) . Kasunod nito na ang q ay ang ugat ng equation na A(x)=B(x) . Kung q ang ugat ng equation na A(x):c=B(x):c . Kung gayon ang A(q):c=B(q):c ay isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Ang pag-multiply ng parehong bahagi nito sa isang hindi-zero na numero c, nakukuha natin ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero A(q):c·c=B(q):c·c at higit pa A(q)=B(q) . Kasunod nito na ang q ay ang ugat ng equation na A(x)=B(x) .

Ang pahayag ay napatunayan.

Magbigay tayo ng halimbawa ng pagbabagong ito. Sa tulong nito, maaari mong, halimbawa, alisin ang mga fraction sa equation. Upang gawin ito, maaari mong i-multiply ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 12. Ang resulta ay isang katumbas na equation ng form , na maaaring mabago sa katumbas na equation na 7 x−3=10, na hindi naglalaman ng mga fraction sa notasyon nito.

• Ang pag-multiply o paghahati sa magkabilang panig ng isang equation sa parehong expression, ang OD kung saan ay hindi mas makitid kaysa sa OD para sa orihinal na equation at hindi nawawala ng OD para sa orihinal na equation, ay isang katumbas na pagbabago.

Patunayan natin ang pahayag na ito. Upang gawin ito, patunayan namin na kung ang ODZ para sa expression na C(x) ay hindi mas makitid kaysa sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x), at ang C(x) ay hindi nawawala sa ODZ para sa equation. A(x)=B( x) , pagkatapos ay ang mga equation na A(x)=B(x) at A(x) C(x)=B(x) C(x), pati na rin ang mga equation na A(x) =B(x) at A(x):C(x)=B(x):C(x) - katumbas.

Hayaang q ang ugat ng equation na A(x)=B(x) . Kung gayon ang A(q)=B(q) ay isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Mula sa katotohanan na ang ODZ para sa expression na C(x) ay hindi ang parehong ODZ para sa equation na A(x)=B(x), sumusunod na ang expression C(x) ay may katuturan kapag x=q. Nangangahulugan ito na ang C(q) ay ilang numero. Bukod dito, ang C(q) ay nonzero, na sumusunod mula sa kondisyon na ang expression na C(x) ay hindi naglalaho. Kung i-multiply natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na A(q)=B(q) sa isang hindi-zero na numerong C(q), magbibigay ito ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero A(q)·C(q)=B(q)· C(q) , kung saan sumusunod na q ang ugat ng equation na A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Kung hahatiin natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay na A(q)=B(q) sa isang di-zero na numerong C(q), magbibigay ito ng wastong pagkakapantay-pantay ng numero A(q):C(q)=B(q): C(q) , kung saan sumusunod na q ang ugat ng equation na A(x):C(x)=B(x):C(x) .

Bumalik. Hayaang q ang ugat ng equation na A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Pagkatapos ang A(q)·C(q)=B(q)·C(q) ay isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Tandaan na ang ODZ para sa equation na A(x) C(x)=B(x) C(x) ay kapareho ng ODZ para sa equation na A(x)=B(x) (nabigyang-katwiran namin ito sa isa sa nakaraang talata kasalukuyang listahan). Dahil ang C(x) ayon sa kundisyon ay hindi naglalaho sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x), kung gayon ang C(q) ay isang nonzero na numero. Ang paghahati sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay A(q) C(q)=B(q) C(q) sa isang di-zero na numerong C(q) ay nakukuha natin ang wastong pagkakapantay-pantay ng numero A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q) at higit pa A(q)=B(q) . Kasunod nito na ang q ay ang ugat ng equation na A(x)=B(x) . Kung q ang ugat ng equation na A(x):C(x)=B(x):C(x) . Pagkatapos ang A(q):C(q)=B(q):C(q) ay isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Ang pag-multiply sa magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay A(q):C(q)=B(q):C(q) sa isang di-zero na numerong C(q) ay nakukuha natin ang wastong pagkakapantay-pantay ng numero A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q) at higit pa A(q)=B(q) . Kasunod nito na ang q ay ang ugat ng equation na A(x)=B(x) .

Ang pahayag ay napatunayan.

Para sa kalinawan, nagbibigay kami ng isang halimbawa ng pagsasagawa ng isang disassembled transformation. Hatiin natin ang magkabilang panig ng equation x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) sa expression na x 2 +1. Ang pagbabagong ito ay katumbas, dahil ang expression na x 2 +1 ay hindi nawawala sa OD para sa orihinal na equation at ang OD ng expression na ito ay hindi mas makitid kaysa sa OD para sa orihinal na equation. Bilang resulta ng pagbabagong ito, nakukuha namin ang katumbas na equation x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), na maaaring higit pang mabago sa katumbas na equation x 3 =8.

Mga pagbabagong humahantong sa mga corollary equation

Sa nakaraang talata, sinuri namin kung aling mga pagbabago mula sa listahan ng mga pangunahing pagbabago at sa ilalim ng kung anong mga kondisyon ang katumbas. Ngayon tingnan natin kung alin sa mga pagbabagong ito at sa ilalim ng kung anong mga kondisyon ang humahantong sa mga corollary equation, iyon ay, sa mga equation na naglalaman ng lahat ng mga ugat ng transformed equation, ngunit bilang karagdagan sa mga ito ay maaari ding magkaroon ng iba pang mga ugat - extraneous na mga ugat para sa orihinal na equation.

Ang mga pagbabagong humahantong sa mga corollary equation ay hinihiling nang hindi bababa sa katumbas na mga pagbabago. Kung sa kanilang tulong posible na makakuha ng isang equation na medyo simple sa mga tuntunin ng solusyon, kung gayon ang solusyon nito at ang kasunod na pag-aalis ng mga extraneous na ugat ay magbibigay ng solusyon sa orihinal na equation.

Tandaan na ang lahat ng katumbas na pagbabago ay maaaring ituring na mga espesyal na kaso ng mga pagbabagong humahantong sa mga corollary equation. Ito ay naiintindihan, dahil mayroong isang katumbas na equation espesyal na kaso mga equation ng kahihinatnan. Ngunit mula sa praktikal na pananaw, mas kapaki-pakinabang na malaman na ang pagbabagong isinasaalang-alang ay eksaktong katumbas, at hindi humahantong sa isang corollary equation. Ipaliwanag natin kung bakit ganito. Kung alam natin na ang pagbabago ay katumbas, kung gayon ang resultang equation ay tiyak na walang mga ugat na extraneous sa orihinal na equation. At ang pagbabagong-anyo na humahantong sa corollary equation ay maaaring maging sanhi ng paglitaw ng mga extraneous na ugat, na nag-oobliga sa atin sa hinaharap na magsagawa ng karagdagang aksyon - pag-iwas sa mga extraneous na ugat. Samakatuwid, sa seksyong ito ng artikulo ay tututuon tayo sa mga pagbabagong-anyo, bilang isang resulta kung saan maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat para sa orihinal na equation. At ito ay talagang mahalaga na makilala ang mga naturang pagbabago mula sa mga katumbas na pagbabagong-anyo upang malinaw na maunawaan kung kailan kinakailangan upang i-filter ang mga extraneous na ugat, at kapag ito ay hindi kinakailangan.

Suriin natin ang buong listahan ng mga pangunahing pagbabagong-anyo ng mga equation na ibinigay sa ikalawang talata ng artikulong ito upang maghanap ng mga pagbabagong-anyo, bilang isang resulta kung saan maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat.

• Pinapalitan ang mga expression sa kaliwa at kanang bahagi ng equation na may magkaparehong mga expression.

Napatunayan natin na ang pagbabagong ito ay katumbas kung hindi binabago ng pagpapatupad nito ang OD. At kung magbago ang DL, ano ang mangyayari? Ang pagpapaliit ng ODZ ay maaaring humantong sa pagkawala ng mga ugat, higit pa tungkol dito tayo'y mag-uusap sa susunod na talata. At sa pagpapalawak ng ODZ, maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat. Hindi mahirap bigyang-katwiran ito. Ilahad natin ang kaukulang pangangatwiran.

Hayaan ang expression na C(x) maging tulad na ito ay magkaparehong katumbas ng expression A(x) at ang OD para sa equation C(x)=B(x) ay mas malawak kaysa sa OD para sa equation A(x)=B (x). Patunayan natin na ang equation C(x)=B(x) ay bunga ng equation na A(x)=B(x), at sa mga ugat ng equation na C(x)=B(x) ay maaaring mayroong maging mga ugat na banyaga sa equation na A(x)=B(x) .

Hayaang q ang ugat ng equation na A(x)=B(x) . Kung gayon ang A(q)=B(q) ay isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Dahil ang ODZ para sa equation na C(x)=B(x) ay mas malawak kaysa sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x), kung gayon ang expression na C(x) ay tinukoy sa x=q. Pagkatapos, isinasaalang-alang ang magkaparehong pagkakapantay-pantay ng mga expression na C(x) at A(x) , napagpasyahan namin na C(q)=A(q) . Mula sa mga pagkakapantay-pantay na C(q)=A(q) at A(q)=B(q), dahil sa katangian ng transitivity, sumusunod ang pagkakapantay-pantay na C(q)=B(q). Mula sa pagkakapantay-pantay na ito ay sumusunod na ang q ay ang ugat ng equation C(x)=B(x) . Ito ay nagpapatunay na sa ilalim ng tinukoy na mga kundisyon ang equation C(x)=B(x) ay bunga ng equation A(x)=B(x) .

Ito ay nananatiling patunayan na ang equation na C(x)=B(x) ay maaaring magkaroon ng mga ugat na iba sa mga ugat ng equation na A(x)=B(x). Patunayan natin na ang anumang ugat ng equation na C(x)=B(x) mula sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x) ay isang ugat ng equation na A(x)=B(x). Ang landas p ay ang ugat ng equation na C(x)=B(x), na kabilang sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x). Kung gayon ang C(p)=B(p) ay isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Dahil ang p ay kabilang sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x), kung gayon ang expression na A(x) ay tinukoy para sa x=p. Mula dito at mula sa magkatulad na pagkakapantay-pantay ng mga expression na A(x) at C(x) ito ay sumusunod na A(p)=C(p) . Mula sa mga pagkakapantay-pantay na A(p)=C(p) at C(p)=B(p), dahil sa katangian ng transitivity, sumusunod na ang A(p)=B(p), na nangangahulugang p ang ugat ng equation A(x)= B(x) . Ito ay nagpapatunay na ang anumang ugat ng equation na C(x)=B(x) mula sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x) ay isang ugat ng equation na A(x)=B(x). Sa madaling salita, sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x) ay hindi maaaring magkaroon ng mga ugat ng equation C(x)=B(x), na mga extraneous na ugat para sa equation na A(x)=B( x). Ngunit ayon sa kondisyon, ang ODZ para sa equation na C(x)=B(x) ay mas malawak kaysa sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x). At pinapayagan nito ang pagkakaroon ng isang numero r na kabilang sa ODZ para sa equation na C(x)=B(x) at hindi kabilang sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x), na siyang ugat. ng equation na C(x)=B(x). Iyon ay, ang equation C(x)=B(x) ay maaaring may mga ugat na banyaga sa equation na A(x)=B(x), at lahat ng mga ito ay nabibilang sa set kung saan ang ODZ para sa equation A Ang (x)=B ay pinalawak (x) kapag pinapalitan ang expression na A(x) dito ng magkaparehong expression na C(x).

Kaya, pinapalitan ang mga expression sa kaliwa at kanang bahagi ng equation na may magkaparehong pantay na mga expression, bilang isang resulta kung saan ang ODZ ay lumalawak sa pangkalahatang kaso humahantong sa isang corollary equation (iyon ay, maaari itong humantong sa paglitaw ng mga extraneous na ugat) at sa isang partikular na kaso lamang ay humahantong sa isang katumbas na equation (kung ang resultang equation ay walang mga ugat na extraneous sa orihinal na equation).

Magbigay tayo ng isang halimbawa ng pagsasagawa ng isang parsed transformation. Pinapalitan ang expression sa kaliwang bahagi ng equation magkaparehong katumbas nito sa pamamagitan ng expression na x·(x−1) ay humahantong sa equation na x·(x−1)=0, sa kasong ito ang pagpapalawak ng ODZ ay nangyayari - ang bilang na 0 ay idinagdag dito. Ang resultang equation ay may dalawang ugat 0 at 1, at ang pagpapalit ng mga ugat na ito sa orihinal na equation ay nagpapakita na ang 0 ay isang extraneous na ugat para sa orihinal na equation, at 1 ang ugat ng orihinal na equation. Sa katunayan, ang pagpapalit ng zero sa orihinal na equation ay nagbibigay ng walang kahulugan na pagpapahayag , dahil naglalaman ito ng dibisyon sa pamamagitan ng zero, at ang pagpapalit ng isa ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero , na kapareho ng 0=0 .

Tandaan na ang isang katulad na pagbabago ng isang katulad na equation sa equation (x−1)·(x−2)=0, bilang resulta kung saan lumalawak din ang ODZ, ay hindi humahantong sa paglitaw ng mga extraneous na ugat. Sa katunayan, ang parehong mga ugat ng resultang equation (x−1)·(x−2)=0 - mga numero 1 at 2, ay mga ugat ng orihinal na equation, na madaling i-verify sa pamamagitan ng pagsuri sa pamamagitan ng pagpapalit. Sa mga halimbawang ito, muli naming nais na bigyang-diin na ang pagpapalit ng isang expression sa kaliwa o kanang bahagi ng equation na may magkaparehong pantay na expression, na nagpapalawak ng ODZ, ay hindi kinakailangang humantong sa paglitaw ng mga extraneous na ugat. Ngunit maaari rin itong humantong sa kanilang hitsura. Kaya, kung ang naturang pagbabago ay naganap sa proseso ng paglutas ng equation, kung gayon kinakailangan na magsagawa ng isang tseke upang makilala at mai-filter ang mga extraneous na ugat.

Kadalasan, maaaring lumawak ang equation ng ODZ at maaaring lumitaw ang mga extraneous na ugat dahil sa pagpapalit ng zero ng pagkakaiba ng magkaparehong expression o ang kabuuan ng mga expression na may magkasalungat na mga palatandaan, dahil sa pagpapalit ng zero ng mga produkto na may isa o higit pang zero factor, dahil sa pagbabawas ng mga fraction at dahil sa paggamit ng mga katangian ng mga ugat, kapangyarihan, logarithms, atbp.

• Pagdaragdag ng parehong numero sa magkabilang panig ng isang equation o pagbabawas ng parehong numero mula sa magkabilang panig ng isang equation.

Ipinakita namin sa itaas na ang pagbabagong ito ay palaging katumbas, iyon ay, humahantong sa isang katumbas na equation. Sige lang.

• Pagdaragdag ng parehong expression sa magkabilang panig ng isang equation o pagbabawas ng parehong expression mula sa magkabilang panig ng isang equation.

Sa nakaraang talata, nagdagdag kami ng kundisyon na ang ODZ para sa expression na idinaragdag o ibinabawas ay hindi dapat mas makitid kaysa sa ODZ para sa equation na binabago. Ginawa ng kundisyong ito na katumbas ang pagbabagong pinag-uusapan. Narito ang mga argumento na katulad ng ibinigay sa simula ng talatang ito ng artikulo tungkol sa katotohanan na ang isang katumbas na equation ay isang espesyal na kaso ng isang corollary equation at ang kaalaman tungkol sa pagkakapareho ng isang pagbabago ay halos mas kapaki-pakinabang kaysa sa kaalaman tungkol sa pareho. pagbabagong-anyo, ngunit mula sa pananaw ng katotohanan na ito ay humahantong sa corollary equation.

Posible ba, bilang isang resulta ng pagdaragdag ng parehong expression o pagbabawas ng parehong expression mula sa magkabilang panig ng isang equation, upang makakuha ng isang equation na, bilang karagdagan sa lahat ng mga ugat ng orihinal na equation, ay magkakaroon ng ilang iba pang mga ugat? Hindi, hindi niya kaya. Kung ang ODZ para sa ekspresyong idinaragdag o ibinabawas ay hindi mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation, kung gayon bilang resulta ng pagdaragdag o pagbabawas ay makakakuha ng katumbas na equation. Kung ang ODZ para sa ekspresyong idinaragdag o ibinabawas ay mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation, maaari itong humantong sa pagkawala ng mga ugat, at hindi sa paglitaw ng mga extraneous na ugat. Tatalakayin pa natin ito sa susunod na talata.

• Ang paglilipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may sign na binago sa kabaligtaran.

Ang pagbabagong ito ng equation ay palaging katumbas. Samakatuwid, walang saysay na isaalang-alang ito bilang isang pagbabagong humahantong sa isang equation-consequence, para sa mga kadahilanang nakasaad sa itaas.

• Pag-multiply o paghahati sa magkabilang panig ng isang equation sa parehong numero.

Sa nakaraang talata, napatunayan namin na kung ang multiplikasyon o paghahati ng magkabilang panig ng equation ay isinasagawa ng isang hindi zero na numero, kung gayon ito ay isang katumbas na pagbabagong-anyo ng equation. Samakatuwid, muli, walang saysay na pag-usapan ito bilang isang pagbabagong humahantong sa isang corollary equation.

Ngunit narito ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay pansin sa reserbasyon tungkol sa pagkakaiba mula sa zero ng numero kung saan ang magkabilang panig ng equation ay pinarami o hinati. Para sa paghahati ang sugnay na ito ay malinaw - may mga pangunahing klase napagtanto namin iyon Hindi mo maaaring hatiin sa zero. Bakit ito sugnay para sa pagpaparami? Isipin natin kung ano ang resulta ng pag-multiply ng magkabilang panig ng equation sa zero. Para sa kalinawan, kumuha tayo ng isang tiyak na equation, halimbawa, 2 x+1=x+5. Ito ay isang linear equation na may iisang ugat, na siyang numero 4. Isulat natin ang equation na makukuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang panig ng equation na ito sa zero: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Malinaw, ang ugat ng equation na ito ay anumang numero, dahil kapag pinalitan mo ang anumang numero sa equation na ito sa halip na ang variable na x, makukuha mo ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero 0=0. Iyon ay, sa aming halimbawa, ang pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa zero ay humantong sa isang corollary equation, na naging sanhi ng paglitaw ng isang walang katapusang bilang ng mga extraneous na ugat para sa orihinal na equation. Bukod dito, nararapat na tandaan na sa kasong ito ang karaniwang mga pamamaraan ng pag-screen ng mga extraneous na ugat ay hindi nakayanan ang kanilang gawain. Nangangahulugan ito na ang pagbabagong ginawa ay walang silbi para sa paglutas ng orihinal na equation. At ito ay isang tipikal na sitwasyon para sa pagbabagong isinasaalang-alang. Ito ang dahilan kung bakit ang isang pagbabagong-anyo tulad ng pagpaparami ng magkabilang panig ng isang equation sa pamamagitan ng zero ay hindi ginagamit upang malutas ang mga equation. Kailangan pa rin nating tingnan ang pagbabagong ito at iba pang mga pagbabagong hindi dapat gamitin upang malutas ang mga equation sa huling talata.

• Pag-multiply o paghahati sa magkabilang panig ng isang equation sa parehong expression.

Sa nakaraang talata, napatunayan namin na ang pagbabagong ito ay katumbas kung ang dalawang kundisyon ay natutugunan. Paalalahanan natin sila. Ang unang kundisyon: ang OD para sa expression na ito ay hindi dapat mas makitid kaysa sa OD para sa orihinal na equation. Ang pangalawang kundisyon: ang expression kung saan isinasagawa ang multiplikasyon o paghahati ay hindi dapat mawala sa ODZ para sa orihinal na equation.

Baguhin natin ang unang kundisyon, iyon ay, ipagpalagay natin na ang OD para sa expression kung saan pinaplano nating i-multiply o hatiin ang magkabilang panig ng equation ay mas makitid kaysa sa OD para sa orihinal na equation. Bilang resulta ng naturang pagbabago, isang equation ang makukuha kung saan ang ODZ ay magiging mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation. Ang ganitong mga pagbabago ay maaaring humantong sa pagkawala ng mga ugat;

Ano ang mangyayari kung aalisin natin ang pangalawang kundisyon tungkol sa mga di-zero na halaga ng expression kung saan ang magkabilang panig ng equation ay pinarami o hinahati ng ODZ para sa orihinal na equation?

Ang paghahati sa magkabilang panig ng equation sa parehong expression, na nawawala ng OD para sa orihinal na equation, ay magreresulta sa isang equation na ang OD ay mas makitid kaysa sa OD para sa orihinal na equation. Sa katunayan, ang mga numero ay mahuhulog mula dito, na magiging zero ang expression kung saan ang paghahati ay ginawa. Ito ay maaaring humantong sa pagkawala ng ugat.

Paano ang tungkol sa pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa parehong expression, na nawawala sa ODZ para sa orihinal na equation? Maipapakita na kapag ang magkabilang panig ng equation na A(x)=B(x) ay pinarami ng expression na C(x), kung saan ang ODZ ay hindi mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation, at nawawala ng ODZ para sa orihinal na equation, ang equation ay nakuha ay isang kahihinatnan na, bilang karagdagan sa lahat ng mga ugat ng equation A(x)=B(x), maaari rin itong magkaroon ng iba pang mga ugat. Gawin natin ito, lalo na dahil ang talatang ito ng artikulo ay tiyak na nakatuon sa mga pagbabagong humahantong sa mga corollary equation.

Hayaan ang expression na C(x) na ang ODZ para dito ay hindi mas makitid kaysa sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x), at ito ay naglalaho sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x). ). Patunayan natin na sa kasong ito ang equation na A(x)·C(x)=B(x)·C(x) ay resulta ng equation na A(x)=B(x) .

Hayaang q ang ugat ng equation na A(x)=B(x) . Kung gayon ang A(q)=B(q) ay isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Dahil ang ODZ para sa expression na C(x) ay hindi mas makitid kaysa sa ODZ para sa equation na A(x)=B(x), kung gayon ang expression na C(x) ay tinukoy sa x=q, na nangangahulugang C(q) ay isang tiyak na numero. Ang pag-multiply sa magkabilang panig ng isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero sa anumang numero ay nagbibigay ng isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero, samakatuwid, ang A(q)·C(q)=B(q)·C(q) ay isang tunay na pagkakapantay-pantay ng numero. Nangangahulugan ito na ang q ay ang ugat ng equation na A(x)·C(x)=B(x)·C(x) . Ito ay nagpapatunay na ang anumang ugat ng equation na A(x)=B(x) ay isang ugat ng equation na A(x) C(x)=B(x) C(x), na nangangahulugang ang equation na A(x) Ang C (x)=B(x)·C(x) ay bunga ng equation na A(x)=B(x) .

Tandaan na sa ilalim ng mga tinukoy na kundisyon, ang equation na A(x)·C(x)=B(x)·C(x) ay maaaring may mga ugat na banyaga sa orihinal na equation na A(x)=B(x). Ang mga ito ay lahat ng mga numero mula sa ODZ para sa orihinal na equation na nagiging zero ang expression na C(x) (lahat ng mga numero na nagiging zero ang expression na C(x) ay ang mga ugat ng equation na A(x) C(x)=B (x) C(x) , dahil ang kanilang pagpapalit sa ipinahiwatig na equation ay nagbibigay ng tamang numerical equality 0=0 ), ngunit hindi mga ugat ng equation na A(x)=B(x) . Ang mga equation na A(x)=B(x) at A(x)·C(x)=B(x)·C(x) sa ilalim ng tinukoy na mga kondisyon ay magiging katumbas kapag ang lahat ng numero mula sa ODZ para sa equation na A(x) )=B (x) , na nagpapawala sa expression na C(x), ay ang mga ugat ng equation na A(x)=B(x) .

Kaya, ang pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa parehong expression, ang ODZ na kung saan ay hindi mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation, at na nawawala ng ODZ para sa orihinal na equation, sa pangkalahatang kaso ay humahantong sa isang corollary equation, na ay, maaari itong humantong sa paglitaw ng mga dayuhang ugat.

Magbigay tayo ng isang halimbawa upang mailarawan. Kunin natin ang equation na x+3=4. Ang tanging ugat nito ay ang numero 1. I-multiply natin ang magkabilang panig ng equation na ito sa parehong expression, na nawawala ng ODZ para sa orihinal na equation, halimbawa, sa pamamagitan ng x·(x−1) . Ang ekspresyong ito ay naglalaho sa x=0 at x=1. Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng expression na ito ay nagbibigay sa atin ng equation (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Ang resultang equation ay may dalawang ugat: 1 at 0. Ang numero 0 ay isang extraneous na ugat para sa orihinal na equation na lumitaw bilang resulta ng pagbabago.

Mga pagbabagong maaaring humantong sa pagkawala ng mga ugat

Ang ilang mga conversion mula sa ilalim ng ilang partikular na kundisyon ay maaaring humantong sa pagkawala ng mga ugat. Halimbawa, kapag hinahati ang magkabilang panig ng equation na x·(x−2)=x−2 sa parehong expression na x−2, nawala ang ugat. Sa katunayan, bilang isang resulta ng naturang pagbabago, ang equation x=1 ay nakuha sa isang solong ugat, na siyang numero 1, at ang orihinal na equation ay may dalawang ugat 1 at 2.

Ito ay kinakailangan upang malinaw na maunawaan kapag ang mga ugat ay nawala bilang isang resulta ng mga pagbabagong-anyo, upang hindi mawalan ng mga ugat kapag nilulutas ang mga equation. Alamin natin ito.

Bilang resulta ng mga pagbabagong ito, ang pagkawala ng mga ugat ay maaaring mangyari kung at kung ang ODZ para sa binagong equation ay lumalabas na mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation.

Upang patunayan ang pahayag na ito, dalawang puntos ang kailangang patunayan. Una, kinakailangan upang patunayan na kung, bilang isang resulta ng ipinahiwatig na mga pagbabagong-anyo ng equation, ang ODZ ay makitid, kung gayon ang pagkawala ng mga ugat ay maaaring mangyari. At, pangalawa, kinakailangang bigyang-katwiran na kung, bilang resulta ng mga pagbabagong ito, ang pagkawala ng mga ugat ay nangyayari, kung gayon ang ODZ para sa nagresultang equation ay mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation.

Kung ang ODZ para sa equation na nakuha bilang resulta ng pagbabago ay mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation, kung gayon, natural, walang isang ugat ng orihinal na equation na matatagpuan sa labas ng ODZ para sa resultang equation ang maaaring maging ugat ng equation. nakuha bilang resulta ng pagbabago. Nangangahulugan ito na ang lahat ng mga ugat na ito ay mawawala kapag lumipat mula sa orihinal na equation patungo sa isang equation kung saan ang ODZ ay mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation.

Ngayon bumalik. Patunayan natin na kung, bilang resulta ng mga pagbabagong ito, ang mga ugat ay nawala, kung gayon ang ODZ para sa resultang equation ay mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation. Ito ay maaaring gawin sa pamamagitan ng kabaligtaran na pamamaraan. Ang palagay na bilang resulta ng mga pagbabagong ito, ang mga ugat ay nawala, ngunit ang ODZ ay hindi makitid, ay sumasalungat sa mga pahayag na napatunayan sa mga nakaraang talata. Sa katunayan, mula sa mga pahayag na ito ay sumusunod na kung, kapag isinasagawa ang ipinahiwatig na mga pagbabagong-anyo, ang ODZ ay hindi makitid, kung gayon ang alinman sa mga katumbas na equation o corollary equation ay nakuha, na nangangahulugan na ang pagkawala ng mga ugat ay hindi maaaring mangyari.

Kaya, ang dahilan para sa posibleng pagkawala ng mga ugat kapag nagsasagawa ng mga pangunahing pagbabagong-anyo ng mga equation ay ang pagpapaliit ng ODZ. Malinaw na kapag nilulutas ang mga equation, hindi tayo dapat mawalan ng mga ugat. Dito, natural, ang tanong ay lumitaw: "Ano ang dapat nating gawin upang maiwasan ang pagkawala ng mga ugat kapag binabago ang mga equation?" Sasagutin natin ito sa susunod na talata. Ngayon ay dumaan tayo sa listahan ng mga pangunahing pagbabago ng mga equation upang makita nang mas detalyado kung aling mga pagbabagong maaaring humantong sa pagkawala ng mga ugat.

• Pinapalitan ang mga expression sa kaliwa at kanang bahagi ng equation na may magkaparehong mga expression.

Kung papalitan mo ang expression sa kaliwa o kanang bahagi ng equation ng magkaparehong expression, ang OD kung saan ay mas makitid kaysa sa OD para sa orihinal na equation, hahantong ito sa pagpapaliit ng OD, at dahil dito, ang mga ugat maaaring mawala. Kadalasan, ang pagpapalit ng mga expression sa kaliwa o kanang bahagi ng mga equation na may magkaparehong pantay na mga expression, na isinasagawa batay sa ilang mga katangian ng mga ugat, kapangyarihan, logarithms at ilang mga formula ng trigonometriko. Halimbawa, ang pagpapalit ng expression sa kaliwang bahagi ng equation na may magkaparehong pantay na expression ay nagpapaliit sa ODZ at humahantong sa pagkawala ng ugat −16. Katulad nito, ang pagpapalit ng expression sa kaliwang bahagi ng equation na may magkaparehong pantay na expression ay humahantong sa isang equation kung saan ang ODZ ay mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation, na nangangailangan ng pagkawala ng root −3.

• Pagdaragdag ng parehong numero sa magkabilang panig ng isang equation o pagbabawas ng parehong numero mula sa magkabilang panig ng isang equation.

Ang pagbabagong ito ay katumbas, samakatuwid, ang mga ugat ay hindi maaaring mawala sa panahon ng pagpapatupad nito.

• Pagdaragdag ng parehong expression sa magkabilang panig ng isang equation o pagbabawas ng parehong expression mula sa magkabilang panig ng isang equation.

Kung magdaragdag o magbawas ka ng isang expression na ang ODZ ay mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation, ito ay hahantong sa pagpapaliit ng ODZ at, bilang resulta, sa isang posibleng pagkawala ng mga ugat. Ito ay nagkakahalaga ng pagpapanatiling ito sa isip. Ngunit narito ito ay nagkakahalaga ng noting na sa pagsasanay ito ay karaniwang kinakailangan upang resort sa pagdaragdag o pagbabawas ng mga expression na naroroon sa pag-record ng orihinal na equation, na hindi humantong sa isang pagbabago sa ODZ at hindi sumasama sa pagkawala ng mga ugat.

• Ang paglilipat ng isang termino mula sa isang bahagi ng equation patungo sa isa pa na may sign na binago sa kabaligtaran.

Ang pagbabagong ito ng equation ay katumbas, samakatuwid, bilang resulta ng pagpapatupad nito, ang mga ugat ay hindi nawala.

• Pag-multiply o paghahati sa magkabilang panig ng isang equation sa parehong numero maliban sa zero.

Ang pagbabagong ito ay katumbas din, at dahil dito, ang pagkawala ng mga ugat ay hindi nangyayari.

• Pag-multiply o paghahati sa magkabilang panig ng isang equation sa parehong expression.

Ang pagbabagong ito ay maaaring humantong sa pagpapaliit ng OD sa dalawang kaso: kapag ang OD para sa expression kung saan isinasagawa ang multiplikasyon o paghahati ay mas makitid kaysa sa OD para sa orihinal na equation, at kapag ang paghahati ay isinasagawa ng isang expression na nagiging zero sa OD para sa orihinal na equation. Tandaan na sa pagsasagawa ay karaniwang hindi kinakailangan na gumamit ng pagpaparami at paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng isang expression na may mas makitid na VA. Ngunit kailangan mong harapin ang paghahati sa pamamagitan ng isang expression na nagiging zero para sa orihinal na equation. Mayroong isang paraan na nagbibigay-daan sa iyo upang makayanan ang pagkawala ng mga ugat sa panahon ng naturang dibisyon, pag-uusapan natin ito sa susunod na talata ng artikulong ito.

Paano maiwasan ang pagkawala ng ugat?

Kung gumamit ka lamang ng mga pagbabagong-anyo mula sa pagbabagong-anyo ng mga equation at sa parehong oras ay hindi pinapayagan ang pagpapaliit ng ODZ, kung gayon ang pagkawala ng mga ugat ay hindi mangyayari.

Nangangahulugan ba ito na walang ibang pagbabago sa mga equation ang maaaring gawin? Hindi, hindi ibig sabihin nun. Kung makabuo ka ng ilang iba pang pagbabago ng equation at ganap na ilarawan ito, iyon ay, ipahiwatig kung kailan ito humahantong sa mga katumbas na equation, kung kailan sa corollary equation, at kapag ito ay maaaring humantong sa pagkawala ng mga ugat, kung gayon maaari itong gamitin.

Dapat ba nating ganap na talikuran ang mga reporma na magpapaliit sa DL? Hindi dapat ginagawa iyon. Hindi masasaktan na panatilihin sa iyong arsenal transformations kung saan ang isang tiyak na bilang ng mga numero ay bumaba sa ODZ para sa orihinal na equation. Bakit hindi dapat iwanan ang mga ganitong pagbabago? Dahil may paraan para maiwasan ang root loss sa mga ganitong pagkakataon. Binubuo ito ng isang hiwalay na pagsusuri ng mga numerong bumabagsak sa ODZ upang makita kung may mga ugat ng orihinal na equation sa kanila. Maaari mong suriin ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga numerong ito sa orihinal na equation. Yaong sa kanila na, kapag pinalitan, ay nagbibigay ng tamang pagkakapantay-pantay ng numero, ay ang mga ugat ng orihinal na equation. Kailangan nilang isama sa sagot. Pagkatapos ng naturang tseke, maaari mong ligtas na maisagawa ang nakaplanong pagbabago nang walang takot na mawala ang iyong mga ugat.

Ang isang tipikal na pagbabagong-anyo kung saan ang ODZ para sa isang equation ay pinaliit pababa sa ilang mga numero ay upang hatiin ang magkabilang panig ng equation sa parehong expression, na nagiging zero sa ilang mga punto mula sa ODZ para sa orihinal na equation. Ang pagbabagong ito ay ang batayan ng paraan ng solusyon reciprocal equation. Ngunit ginagamit din ito upang malutas ang iba pang mga uri ng mga equation. Magbigay tayo ng halimbawa.

Ang equation ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagpapakilala ng isang bagong variable. Upang magpakilala ng bagong variable, kailangan mong hatiin ang magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 1+x. Ngunit sa gayong paghahati, maaaring mangyari ang pagkawala ng ugat, dahil kahit na ang ODZ para sa expression na 1+x ay hindi mas makitid kaysa sa ODZ para sa orihinal na equation, ang expression na 1+x ay nagiging zero sa x=−1, at ang numerong ito nabibilang sa ODZ para sa orihinal na equation. Nangangahulugan ito na ang ugat −1 ay maaaring mawala. Upang alisin ang pagkawala ng isang ugat, dapat mong hiwalay na suriin kung ang −1 ay isang ugat ng orihinal na equation. Upang gawin ito, maaari mong palitan ang −1 sa orihinal na equation at makita kung anong pagkakapantay-pantay ang makukuha mo. Sa aming kaso, ang pagpapalit ay nagbibigay ng pagkakapantay-pantay, na kapareho ng 4=0. Mali ang pagkakapantay-pantay na ito, na nangangahulugang −1 ay hindi ugat ng orihinal na equation. Pagkatapos ng naturang pagsusuri, maaari mong isagawa ang inilaan na paghahati ng magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng 1 + x, nang walang takot na maaaring mangyari ang pagkawala ng mga ugat.

Sa dulo ng talatang ito, muli nating buksan ang mga equation mula sa nakaraang talata at. Pagbabago ng mga equation na ito batay sa mga pagkakakilanlan at humahantong sa isang pagpapaliit ng ODZ, at ito ay nangangailangan ng pagkawala ng mga ugat. Sa puntong ito, sinabi natin na upang hindi mawala ang ating mga ugat, kailangan nating talikuran ang mga repormang nagpapakitid sa DZ. Nangangahulugan ito na ang mga pagbabagong ito ay dapat iwanan. Ngunit ano ang dapat nating gawin? Posibleng magsagawa ng mga pagbabagong hindi batay sa mga pagkakakilanlan at , dahil sa kung saan ang ODZ ay makitid, at sa batayan ng mga pagkakakilanlan at . Bilang resulta ng paglipat mula sa orihinal na mga equation at sa mga equation at walang pagpapaliit ng ODZ, ibig sabihin ay hindi mawawala ang mga ugat.

Dito namin lalo na tandaan na kapag pinapalitan ang mga expression na may magkaparehong mga expression, dapat mong maingat na tiyakin na ang mga expression ay eksaktong magkapareho. Halimbawa, sa Eq. imposibleng palitan ang expression na x+3 ng isang expression upang gawing simple ang hitsura ng kaliwang bahagi sa , dahil ang mga expression na x+3 at ay hindi magkapareho, dahil ang kanilang mga halaga ay hindi nag-tutugma sa x+3<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Mga pagbabagong-anyo ng mga equation na hindi dapat gamitin

Ang mga pagbabagong binanggit sa artikulong ito ay karaniwang sapat para sa mga praktikal na pangangailangan. Iyon ay, hindi ka dapat masyadong mag-abala tungkol sa pagbuo ng anumang iba pang mga pagbabagong-anyo; mas mahusay na tumuon sa tamang paggamit ng mga napatunayan na.

Panitikan

1. Mordkovich A. G. Algebra at simula ng mathematical analysis. Baitang 11. Sa 2 oras Bahagi 1. Textbook para sa mga mag-aaral ng pangkalahatang institusyong pang-edukasyon (antas ng profile) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2nd ed., nabura. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: may sakit. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. Algebra at ang simula ng mathematical analysis. Ika-10 baitang: aklat-aralin. para sa pangkalahatang edukasyon institusyon: basic at profile. mga antas / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; inedit ni A. B. Zhizhchenko. - 3rd ed. - M.: Edukasyon, 2010.- 368 p.: may sakit.-ISBN 978-5-09-022771-1.