Belirli integralin geometrik uygulamaları. Belirli bir integralin uygulamaları

Dersler 8. Uygulamalar kesin integral.

İntegralin fiziksel problemlere uygulanması, integralin bir küme üzerindeki toplamsallık özelliğine dayanmaktadır. Bu nedenle, integrali kullanarak, kümeye katkı sağlayan miktarlar hesaplanabilir. Örneğin bir şeklin alanı, parçalarının alanlarının toplamına eşittir. Yayın uzunluğu, yüzey alanı, cismin hacmi ve cismin kütlesi aynı özelliğe sahiptir. Dolayısıyla tüm bu büyüklükler belirli bir integral kullanılarak hesaplanabilir.

Sorunları çözmek için iki yöntem kullanabilirsiniz: İntegral toplamları yöntemi ve diferansiyeller yöntemi.

İntegral toplamları yöntemi, belirli bir integralin oluşturulmasını tekrarlar: bir bölüm oluşturulur, noktalar işaretlenir, bunlarda fonksiyon hesaplanır, integral toplamı hesaplanır ve limite geçiş gerçekleştirilir. Bu yöntemde asıl zorluk, limitteki sonucun problemde tam olarak ihtiyaç duyulan şey olduğunu kanıtlamaktır.

Diferansiyel yöntem kullanır belirsiz integral ve Newton-Leibniz formülü. Belirlenecek miktarın diferansiyeli hesaplanır ve bu diferansiyelin integrali alınarak Newton-Leibniz formülü kullanılarak gerekli miktar elde edilir. Bu yöntemde asıl zorluk, hesaplananın başka bir şey değil, gerekli değerin diferansiyeli olduğunu kanıtlamaktır.

Düzlem figürlerin alanlarının hesaplanması.

1. Şekil, Kartezyen koordinat sisteminde tanımlanan bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlıdır.

Belirli bir integral kavramına kavisli bir yamuğun alanı probleminden (aslında integral toplamları yöntemini kullanarak) geldik. Bir fonksiyon yalnızca negatif olmayan değerler alıyorsa, o zaman bir parça üzerindeki fonksiyonun grafiğinin altındaki alan belirli bir integral kullanılarak hesaplanabilir. dikkat et ki bu nedenle diferansiyel yöntemi burada da görülebilir.

Ancak bir fonksiyon belirli bir segment üzerinde negatif değerler de alabilir, bu durumda bu segment üzerindeki integral, alan tanımıyla çelişen negatif bir alan verecektir.

Formülü kullanarak alanı hesaplayabilirsiniz.S=. Bu, fonksiyonun negatif değer aldığı alanlarda işaretini değiştirmeye eşdeğerdir.

Yukarıda fonksiyon grafiğiyle ve aşağıda fonksiyon grafiğiyle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplamanız gerekiyorsa, o zaman formülü kullanabilirsinizS= , Çünkü .

Örnek. x=0, x=2 düz çizgileriyle ve y=x 2, y=x 3 fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

(0,1) aralığında x 2 > x 3 eşitsizliğinin geçerli olduğunu ve x >1 için x 3 > x 2 eşitsizliğinin geçerli olduğunu unutmayın. Bu yüzden

2. Şekil, kutupsal koordinat sisteminde belirtilen bir fonksiyonun grafiği ile sınırlıdır.

Bir fonksiyonun grafiği kutupsal koordinat sisteminde verilse, iki ışınla sınırlanan eğrisel bir sektörün alanını ve bir işlevin grafiğini kutupsal koordinat sisteminde hesaplamak istiyoruz.

Burada, fonksiyonun grafiğinin dairesel bir yay ile değiştirildiği temel sektörlerin alanlarının toplamının sınırı olarak eğrisel bir sektörün alanını hesaplayan integral toplamlar yöntemini kullanabilirsiniz. .

Diferansiyel yöntemini de kullanabilirsiniz: .

Şöyle düşünebilirsiniz. Merkezi açıya karşılık gelen temel eğrisel sektörü dairesel bir sektörle değiştirerek orantıyı elde ederiz. Buradan . Newton-Leibniz formülünü entegre edip kullanarak şunu elde ederiz: .

Örnek. Çemberin alanını hesaplayalım (formülü kontrol edin). İnanıyoruz. Çemberin alanı .

Örnek. Kardioidin sınırladığı alanı hesaplayalım .

3 Şekil parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun grafiği ile sınırlıdır.

Fonksiyon parametrik olarak formda belirtilebilir. Formülü kullanıyoruz S= , yeni değişken üzerindeki entegrasyon sınırlarını onun yerine koyuyoruz. . Genellikle integrali hesaplarken, integral fonksiyonunun belirli bir işarete sahip olduğu alanlar izole edilir ve bir veya başka bir işarete sahip karşılık gelen alan dikkate alınır.

Örnek. Elipsin çevrelediği alanı hesaplayın.

Elipsin simetrisini kullanarak, birinci çeyrekte bulunan elipsin çeyreğinin alanını hesaplıyoruz. Bu çeyrekte. Bu yüzden .

Vücut hacimlerinin hesaplanması.

1. Paralel kesit alanlarından cisimlerin hacimlerinin hesaplanması.

Belirli bir V cismin hacminin, bu cismin bilinen kesit alanlarından, OX doğru parçasının herhangi bir x noktasından çizilen OX çizgisine dik düzlemlerle hesaplanması gerekli olsun.

Diferansiyel yöntemini uygulayalım. Segmentin üzerindeki temel hacmi, taban alanı ve yüksekliği olan dik dairesel bir silindirin hacmi olarak düşünürsek, şunu elde ederiz: . Newton-Leibniz formülünü entegre edip uygulayarak şunu elde ederiz:

2. Devrim cisimlerinin hacimlerinin hesaplanması.

Hesaplamak gerekli olsun ÖKÜZ.

Daha sonra .

Aynı şekilde, bir eksen etrafında dönen cismin hacmiOY Fonksiyon formda verilmişse formül kullanılarak hesaplanabilir.

Fonksiyon formda belirtilmişse ve bir eksen etrafında dönen cismin hacminin belirlenmesi gerekiyorsaOY, daha sonra hacmi hesaplamak için formül aşağıdaki gibi elde edilebilir.

Diferansiyele geçerek ve ikinci dereceden terimleri ihmal ederek, şunu elde ederiz: . Newton-Leibniz formülünü entegre edip uygulayarak, elimizde .

Örnek. Kürenin hacmini hesaplayın.

Örnek. Bir yüzey ve bir düzlemle sınırlanan dik dairesel koninin hacmini hesaplayın.

Hacmi dönen bir cismin hacmi olarak hesaplayalım, rotasyonla oluşturulan OZ ekseni etrafında dik üçgen OXZ düzleminde, bacakları OZ ekseni üzerinde ve z = H doğrusu üzerinde, hipotenüs ise doğru üzerinde yer almaktadır.

X'i z cinsinden ifade edersek şunu elde ederiz: .

Yay uzunluğunun hesaplanması.

Bir yayın uzunluğunu hesaplamaya yönelik formüller elde etmek için, 1. yarıyılda yay uzunluğunun diferansiyeline ilişkin türetilmiş formülleri hatırlayın.

Yay sürekli türevlenebilir bir fonksiyonun grafiği ise yay uzunluğu farkı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir

. Bu yüzden

Düzgün bir yay parametrik olarak belirtilirse, O

. Bu yüzden .

Yay kutupsal bir koordinat sisteminde belirtilmişse, O

. Bu yüzden .

Örnek. Fonksiyonun grafiğinin yayının uzunluğunu hesaplayın, . .

Belirli integralin bazı uygulamalarını sunalım.

Düz bir şeklin alanının hesaplanması

Bir eğri ile sınırlanan kavisli bir yamuğun alanı (burada
), dümdüz
,
ve bir bölüm
eksenler
, formülle hesaplanır

.

Eğrilerle sınırlanmış bir şeklin alanı
Ve
(Nerede
) dümdüz
Ve
formülle hesaplanır

.

Eğri parametrik denklemlerle veriliyorsa
, daha sonra bu eğrinin düz çizgilerle sınırladığı eğrisel bir yamuğun alanı
,
ve bir bölüm
eksenler
, formülle hesaplanır

,

Nerede Ve denklemlerden belirlenir
,
, A
en
.

Denklemin kutupsal koordinatlarında verilen bir eğri ile sınırlanan eğrisel bir sektörün alanı
ve iki kutup yarıçapı
,
(
), formülle bulunur

.

Örnek 1.27. Parabolle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın
ve düz
(Şekil 1.1).

	Çözüm. Düz bir çizgi ile bir parabolün kesişme noktalarını bulalım. Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz , . Nerede , . Daha sonra formül (1.6) ile elimizde .

Bir düzlem eğrinin yay uzunluğunun hesaplanması

Eğri ise
segmentte
- pürüzsüz (yani türev)
sürekli), o zaman bu eğrinin karşılık gelen yayının uzunluğu formülle bulunur

.

Bir eğriyi parametrik olarak belirlerken
(
- sürekli türevlenebilir fonksiyonlar) parametredeki monoton bir değişikliğe karşılık gelen eğri yayının uzunluğu itibaren önce , formülle hesaplanır

Örnek 1.28. Bir eğrinin yay uzunluğunu hesaplama
,
,
.

Çözüm. Parametreye göre türevleri bulalım :
,
. Daha sonra formül (1.7)'den şunu elde ederiz:

.

2. Çok değişkenli fonksiyonların diferansiyel hesabı

Her sıralı sayı çifti olsun
bazı bölgelerden
belirli bir sayıya karşılık gelir
. Daha sonra isminde iki değişkenli fonksiyon Ve ,
-bağımsız değişkenler veya argümanlar ,
-tanım alanı işlevler ve bir dizi tüm fonksiyon değerleri - değerlerinin aralığı ve belirtmek
.

Geometrik olarak bir fonksiyonun tanım bölgesi genellikle düzlemin bir kısmını temsil eder.
, bu alana ait olabilecek veya olmayabilecek çizgilerle sınırlanmıştır.

Örnek 2.1. Tanımın alanını bulun
işlevler
.

Çözüm. Bu fonksiyon düzlemin bu noktalarında tanımlanır , hangisinde , veya . Hangi uçağın noktaları , bölgenin sınırını oluşturur . Denklem bir parabol tanımlar (Şekil 2.1; parabol bölgeye ait olmadığından , o zaman noktalı çizgiyle gösterilir). Ayrıca, hangi noktaların uygun olduğunu doğrudan kontrol etmek kolaydır. , parabolün üzerinde yer alır. Bölge açıktır ve bir eşitsizlik sistemi kullanılarak belirtilebilir:

Değişken ise biraz artış ver
, A sabit bırakın, ardından fonksiyon
bir artış alacak
, isminde fonksiyonun özel artışı değişkene göre :

Aynı şekilde eğer değişken artış alır
, A sabit kalırsa fonksiyon
bir artış alacak
, isminde fonksiyonun özel artışı değişkene göre :

Sınırlar varsa:

,

,

onlar aranmaktadır bir fonksiyonun kısmi türevleri
değişkenlere göre Ve sırasıyla.

Açıklama 2.1. Herhangi bir sayıda bağımsız değişkene ait fonksiyonların kısmi türevleri benzer şekilde belirlenir.

Açıklama 2.2. Herhangi bir değişkene göre kısmi türev, diğer değişkenlerin sabit olması koşuluyla bu değişkene göre türev olduğundan, bir değişkenin fonksiyonlarını ayırt etmeye yönelik tüm kurallar, herhangi bir sayıda değişkenin fonksiyonlarının kısmi türevlerini bulmak için uygulanabilir.

Örnek 2.2.
.

Çözüm. Bulduk:

,

.

Örnek 2.3. Fonksiyonların kısmi türevlerini bulma
.

Çözüm. Bulduk:

,

,

.

Tam fonksiyon artışı
fark denir

Tam fonksiyon artışının ana kısmı
, bağımsız değişkenlerin artışlarına doğrusal olarak bağımlı
Ve
,fonksiyonun toplam diferansiyeli denir ve belirlenmiş
. Bir fonksiyonun sürekli kısmi türevleri varsa, o zaman toplam diferansiyel mevcuttur ve şuna eşittir:

,

Nerede
,
- bağımsız değişkenlerin diferansiyelleri adı verilen keyfi artışları.

Benzer şekilde üç değişkenli bir fonksiyon için
toplam diferansiyel şu şekilde verilir:

.

Fonksiyona izin ver
şu noktada var
tüm değişkenlere göre birinci dereceden kısmi türevler. Daha sonra vektör çağrılır degrade işlevler
noktada
ve belirlenmiş
veya
.

Açıklama 2.3. Sembol
Hamilton operatörü denir ve “nambla” olarak telaffuz edilir.

Örnek 2.4. Bir fonksiyonun bir noktadaki gradyanını bulma
.

Çözüm. Kısmi türevleri bulalım:

,
,

ve noktadaki değerlerini hesaplayın
:

,
,
.

Buradan,
.

Türev işlevler
noktada
vektör yönünde
oranın limiti denir
en
:

, Nerede
.

Eğer fonksiyon
türevlenebilirse, belirli bir yöndeki türev aşağıdaki formülle hesaplanır:

,

Nerede ,- bir vektör olan açılar eksenli formlar
Ve
sırasıyla.

Üç değişkenli bir fonksiyon durumunda
yönlü türev benzer şekilde tanımlanır. İlgili formül

,

Nerede
- vektörün yön kosinüsleri .

Örnek 2.5. Bir fonksiyonun türevini bulun
noktada
vektör yönünde
, Nerede
.

Çözüm. Vektörü bulalım
ve yönü kosinüsler:

,
,
,
.

Kısmi türevlerin noktadaki değerlerini hesaplayalım
:

,
,
;
,
,
.

(2.1)’i değiştirerek şunu elde ederiz:

.

İkinci dereceden kısmi türevler birinci dereceden kısmi türevlerden alınan kısmi türevler denir:

,

,

,

Kısmi türevler
,
arandı karışık . Karışık türevlerin değerleri, bu türevlerin sürekli olduğu noktalarda eşittir.

Örnek 2.6. Bir fonksiyonun ikinci dereceden kısmi türevlerini bulma
.

Çözüm. Önce birinci dereceden kısmi türevleri hesaplayalım:

,
.

Bunları tekrar ayırdığımızda şunu elde ederiz:

,
,

,
.

Son ifadeleri karşılaştırdığımızda şunu görüyoruz:
.

Örnek 2.7. Fonksiyonun olduğunu kanıtlayın
Laplace denklemini karşılar

.

Çözüm. Bulduk:

,
.

,
.

.

Nokta
isminde yerel maksimum nokta (minimum ) işlevler
, eğer tüm noktalar için
, dan farklı
ve yeterince küçük bir mahalleye ait olan eşitsizlik

(
).

Bir fonksiyonun maksimum veya minimumuna denir ekstremum . Fonksiyonun ekstremuma ulaştığı noktaya denir. fonksiyonun ekstrem noktası .

Teorem 2.1 (Bir ekstremum için gerekli koşullar ). Eğer nokta
fonksiyonun ekstrem noktasıdır
veya bu türevlerden en az biri mevcut değil.

Bu koşulların sağlandığı noktalara denir. sabit veya kritik . Ekstrem noktalar her zaman sabittir ancak sabit bir nokta ekstrem nokta olmayabilir. Durağan bir noktanın ekstremum noktası olabilmesi için ekstremum için yeterli koşulların sağlanması gerekir.

İlk önce aşağıdaki gösterimi tanıtalım :

,
,
,
.

Teorem 2.2 (Bir ekstremum için yeterli koşullar ). Fonksiyona izin ver
bir noktanın komşuluğunda iki kez türevlenebilir
ve dönem
fonksiyon için sabittir
. Daha sonra:

1.Eğer
, sonra işaret et
fonksiyonun bir ekstremumu ve
maksimum nokta olacak
(
)ve minimum nokta
(
).

2.Eğer
, o zaman bu noktada

aşırı bir durum yok.

3.Eğer
ise ekstremum mevcut olabilir veya olmayabilir.

Örnek 2.8. Ekstremum fonksiyonunu inceleyin
.

Çözüm. Beri bu durumda birinci dereceden kısmi türevler her zaman mevcuttur, ardından durağan (kritik) noktaları bulmak için sistemi çözeriz:

,
,

Neresi
,
,
,
. Böylece iki sabit nokta elde ettik:
,
.

,
,
.

Bir noktaya kadar
şunu elde ederiz: yani bu noktada hiçbir ekstremum yoktur. Bir noktaya kadar
şunu elde ederiz: ve
, buradan

Bu noktada bu fonksiyon yerel minimuma ulaşır: .

Yukarıda bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı y=f(x), sol ve sağ - düz x=a Ve x=b buna göre, aşağıdan - eksen Öküz, formülle hesaplanır

Sağda bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı x=φ(y), üstünde ve altında - düz y=d Ve y=c buna göre solda - eksen Oy:

Yukarıda bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir şeklin alanı y 2 =f 2 (x), aşağıda - fonksiyon grafiği y 1 =f 1 (x), sol ve sağ - düz x=a Ve x=b:

Fonksiyon grafikleriyle solda ve sağda sınırlanmış eğrisel bir şeklin alanı x 1 =φ 1 (y) Ve x 2 =φ 2 (y), üstünde ve altında - düz y=d Ve y=c sırasıyla:

Eğrisel yamuğu yukarıdan sınırlayan çizginin parametrik denklemlerle verildiği durumu ele alalım. x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Nerede α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Bu denklemler bazı fonksiyonları tanımlar y=f(x) segmentte [ a, b] Kavisli bir yamuğun alanı formülle hesaplanır

Yeni bir değişkene geçelim x = φ 1 (t), Daha sonra dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), dolayısıyla \begin(displaymath)

Kutupsal koordinatlarda alan

Eğrisel bir sektör düşünün OAB, çizgiyle sınırlı denklem tarafından verilen ρ=ρ(φ) kutupsal koordinatlarda iki ışın O.A. Ve O.B., hangisi için φ=α , φ=β .

Sektörü temel sektörlere ayıracağız OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, Mn =B). ile belirtelim Δφkışınlar arasındaki açı OM k-1 Ve OM k kutup ekseniyle açı oluşturan φ k-1 Ve φk sırasıyla. Temel sektörlerin her biri OM k-1 M k yarıçapı olan dairesel bir sektörle değiştirin ρ k =ρ(φ"k), Nerede φ"k- açı değeri φ aralıktan [ φ k-1 , φ k] ve merkez açı Δφk. Son sektörün alanı formülle ifade edilir .

Belirli bir sektörün yaklaşık olarak yerini alan "adımlı" bir sektörün alanını ifade eder OAB.

Sektör alanı OAB“basamaklı” sektörün alanının sınırı denir n → ∞ Ve λ=maks Δφ k → 0:

Çünkü , O

Eğri yay uzunluğu

Bırakın segmenti [ a, b] diferansiyellenebilir bir fonksiyon verilmiştir y=f(x) grafiği yaydır. Çizgi segmenti [ a,b] hadi ikiye bölelim N noktalı parçalar x 1, x 2, …, xn-1. Bu noktalar noktalara karşılık gelecektir M1, M2, …, Mn-1 yaylar, onları yayın içine yazılan kesik çizgi olarak adlandırılan kesik bir çizgiyle bağlarız. Bu kesikli çizginin çevresi şu şekilde gösterilecektir: n, yani

Tanım. Bir çizginin yayının uzunluğu, bağlantıların sayısı dikkate alındığında, içine yazılan kesikli çizginin çevresinin sınırıdır. M k-1 M k sınırsız bir şekilde artar ve en büyüğünün uzunluğu sıfıra yaklaşır:

burada λ en büyük bağlantının uzunluğudur.

Yayın uzunluğunu bir noktadan itibaren sayacağız, örneğin: A. Gelin bu noktada M(x,y) yay uzunluğu S ve bu noktada M"(x+Δ x,y+Δy) yay uzunluğu s+Δ'lar burada i>Δs yayın uzunluğudur. Bir üçgenden MNM" akorun uzunluğunu bulun: .

Geometrik değerlendirmelerden şu sonuç çıkıyor:

yani bir çizginin sonsuz küçük bir yayı ve onu oluşturan akor eşdeğerdir.

Akorun uzunluğunu ifade eden formülü dönüştürelim:

Bu eşitlikte limite geçerek fonksiyonun türevi için bir formül elde ederiz. s=s(x):

nereden buluyoruz

Bu formül, bir düzlem eğrinin yayının diferansiyelini ifade eder ve basit bir formüle sahiptir: geometrik anlamı : Sonsuz küçük bir üçgen için Pisagor teoremini ifade eder MTN (ds=MT, ).

Uzaysal bir eğrinin yayının diferansiyeli, formülle belirlenir.

Parametrik denklemlerle tanımlanan uzaysal bir çizginin yayını düşünün

Nerede α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - argümanın türevlenebilir fonksiyonları T, O

Bu eşitliğin aralık boyunca integrali alınırsa [ α, β ], bu çizgi yayının uzunluğunu hesaplamak için bir formül elde ederiz

Doğru düzlemde yer alıyorsa Oksi, O z=0 herkesin önünde t∈[α, β], Bu yüzden

Denklemin düz bir çizgi vermesi durumunda y=f(x) (a≤x≤b), Nerede f(x) türevlenebilir bir fonksiyondur, son formül şu şekli alır:

Düzlem çizgisi denklem tarafından verilsin ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) kutupsal koordinatlarda. Bu durumda elimizde parametrik denklemlerçizgiler x=ρ(φ) çünkü φ, y=ρ(φ) sin φ burada kutup açısı parametre olarak alınır φ . Çünkü

daha sonra çizginin yayının uzunluğunu ifade eden formül ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) kutupsal koordinatlarda şu forma sahiptir:

Vücut hacmi

Bu cismin belirli bir yöne dik herhangi bir kesitinin alanı biliniyorsa, cismin hacmini bulalım.

Bu gövdeyi eksene dik düzlemlerle temel katmanlara bölelim. Öküz ve denklemlerle tanımlanır x=sabit. Herhangi bir sabit için x∈ bilinen alan S=S(x) enine kesit verilen vücut.

Düzlemlerle kesilen temel katman x=x k-1, x=xk (k=1, …, n, x 0 =a, x n =b), yüksekliği olan bir silindirle değiştirin Δx k =x k -x k-1 ve taban alanı S(ξk), ξ k ∈.

Belirtilen temel silindirin hacmi formülle ifade edilir. Δv k =E(ξ k)Δx k. Tüm bu ürünleri özetleyelim

belirli bir fonksiyonun integral toplamı olan S=S(x) segmentte [ a, b] Temel silindirlerden oluşan ve yaklaşık olarak bu gövdenin yerini alan kademeli bir gövdenin hacmini ifade eder.

Belirli bir cismin hacmi, belirtilen kademeli cismin hacminin sınırıdır. λ→0 , Nerede λ - temel segmentlerin en büyüğünün uzunluğu Δxk. ile belirtelim V belirli bir cismin hacmi, o zaman tanım gereği

Diğer tarafta,

Bu nedenle verilenlere göre cismin hacmi kesitler formülle hesaplanır

Bir cisim bir eksen etrafında döndürülerek oluşuyorsa Öküzüstte sürekli bir çizginin yayı ile sınırlanan kavisli bir yamuk y=f(x), Nerede a≤x≤b, O S(x)=πf 2 (x) ve son formül şu şekli alır:

Yorum. Fonksiyon grafiğiyle sağda sınırlanan kavisli bir yamuğun döndürülmesiyle elde edilen bir cismin hacmi x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), eksen etrafında Oy formülle hesaplanır

Dönme yüzey alanı

Çizginin yayının döndürülmesiyle elde edilen yüzeyi düşünün y=f(x) (a≤x≤b) eksen etrafında Öküz(fonksiyonun olduğunu varsayalım y=f(x) sürekli bir türevi vardır). Değerin sabitlenmesi x∈, fonksiyon argümanına bir artış vereceğiz dx temel yayın döndürülmesiyle elde edilen “temel halkaya” karşılık gelir Δl. Bu "halkayı" silindirik bir halkayla değiştirelim - tabanı yayın diferansiyeline eşit olan bir dikdörtgenin dönmesiyle oluşan bir gövdenin yan yüzeyi dl ve yükseklik h=f(x). Son halkayı kesip açarak genişlikte bir şerit elde ederiz. dl ve uzunluk 2πy, Nerede y=f(x).

Bu nedenle yüzey alanı farkı aşağıdaki formülle ifade edilir:

Bu formül bir çizginin yayının döndürülmesiyle elde edilen yüzey alanını ifade eder y=f(x) (a≤x≤b) eksen etrafında Öküz.