Öncelikle problem tanımından biraz bahsedelim. Genel görünüm ve ardından ikame yoluyla entegrasyon örneklerine geçin. Diyelim ki belirli bir integralimiz var $\int g(x) \; dx$. Bununla birlikte, integral tablosu gerekli formülü içermez ve belirli bir integrali birkaç tablo halinde bölmek mümkün değildir (yani doğrudan entegrasyon ortadan kaldırılmıştır). Ancak, $\int g(x) \; integralimizi azaltacak belirli bir $u=\varphi(x)$ ikamesi bulmayı başarırsak sorun çözülecektir. dx$'dan bir tablo integraline $\int f(u) \; du=F(u)+C$. $\int f(u)\; formülünü uyguladıktan sonra; du=F(u)+C$ tek yapmamız gereken $x$ değişkenini geri döndürmek. Resmi olarak bu şu şekilde yazılabilir:

$$\int g(x)\; dx=|u=\varphi(x)|=\int f(u) \; du=F(u)+C=F(\varphi(x))+C.$$

Sorun böyle bir $u$ ikamesinin nasıl seçileceğidir. Bunu yapmak için, öncelikle türev tablosu bilgisine ve bunu karmaşık fonksiyonların türevini almak için kullanma becerisine ve ikinci olarak belirsiz integraller tablosuna ihtiyacınız olacak. Ayrıca aşağıda yazacağım bir formüle de şiddetle ihtiyacımız olacak. Eğer $y=f(x)$ ise:

\begin(denklem)dy=y"dx\end(denklem)

Onlar. bir fonksiyonun diferansiyeli, bu fonksiyonun türevinin bağımsız değişkenin diferansiyeliyle çarpımına eşittir. Bu kural çok önemlidir ve ikame yöntemini kullanmanıza izin verecek olan da bu kuraldır. Burada formül (1)'den elde edilen birkaç özel durumu göstereceğiz. $y=x+C$ olsun; burada $C$ belirli bir sabittir (basitçe söylemek gerekirse bir sayı). Daha sonra formül (1)'de $y$ yerine $x+C$ ifadesini yerine koyarsak aşağıdakini elde ederiz:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx $$

$(x+C)"=x"+C"=1+0=1$ olduğundan yukarıdaki formül şu şekilde olacaktır:

$$ d(x+C)=(x+C)" dx=1\cdot dx=dx.$$

Elde edilen sonucu ayrı ayrı yazalım, yani.

\begin(denklem)dx=d(x+C)\end(denklem)

Ortaya çıkan formül, diferansiyelin altına bir sabit eklemenin bu diferansiyeli değiştirmediği anlamına gelir; $dx=d(x+10)$, $dx=d(x-587)$ vb.

Bir tanesine daha bakalım özel durum formül (1) için. $y=Cx$ olsun, burada $C$ yine bir sabittir. Formül (1)'de $y$ yerine $Cx$ ifadesini koyarak bu fonksiyonun diferansiyelini bulalım:

$$ d(Cx)=(Cx)"dx $$

$(Cx)"=C\cdot (x)"=C\cdot 1=C$ olduğundan, yukarıdaki $d(Cx)=(Cx)"dx$ formülü şöyle olacaktır: $d(Cx)=Cdx $ Bu formülün her iki tarafını da $C$'a bölersek ($C\neq 0$ varsayarak), $\frac(d(Cx))(C)=dx$ elde ederiz. Bu sonuç biraz farklı bir biçimde yeniden yazılabilir. :

\begin(equation)dx=\frac(1)(C)\cdot d(Cx)\;\;\;(C\neq 0)\end(denklem)

Ortaya çıkan formül, diferansiyel altındaki ifadenin sıfır olmayan bir sabitle çarpılmasının, bu tür çarpmayı telafi eden karşılık gelen bir çarpanın eklenmesini gerektirdiğini öne sürer. Örneğin, $dx=\frac(1)(5) d(5x)$, $dx=-\frac(1)(19) d(-19x)$.

1 ve 2 numaralı örneklerde formül (2) ve (3) ayrıntılı olarak ele alınacaktır.

Formüller hakkında bir not

Bu konu, hem 1-3 formüllerini hem de kendi sayılarına sahip olan belirsiz integraller tablosundaki formülleri kullanacaktır. Karışıklığı önlemek için, şu konuda anlaşalım: Konuda "1 numaralı formülü kullanın" metni görünüyorsa, bu tam anlamıyla şu anlama gelir: "1 numaralı formülü kullanın, bu sayfada yer almaktadır". İntegral tablosundan bir formüle ihtiyacımız olursa bunu her seferinde ayrı ayrı belirteceğiz. Örneğin şöyle: “İntegral tablosundan 1 numaralı formülü kullanıyoruz.”

Ve küçük bir not daha

Örneklerle çalışmaya başlamadan önce, belirsiz integral ve kavramına ayrılmış önceki konularda sunulan materyale aşina olmanız önerilir. Bu konudaki materyalin sunumu bahsedilen konularda verilen bilgilere dayanmaktadır.

Örnek No.1

$\int \frac(dx)(x+4)$'ı bulun.

Eğer dönersek $\int \frac(dx)(x+4)$ integraliyle tam olarak eşleşen bir formül bulamayız. İntegral tablosunun 2 numaralı formülü bu integrale en yakın olanıdır, yani. $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$. Sorun şudur: $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ formülü, $\int \frac(du)(u)$ integralinde paydadaki ifadelerin ve diferansiyelin altında aynı olmalıdır (her ikisi de aynı $u$ harfine sahiptir). Bizim durumumuzda $\int \frac(dx)(x+4)$'da $x$ harfi diferansiyelin altındadır ve $x+4$ ifadesi paydadadır, yani. Tablo formülüyle açık bir tutarsızlık var. İntegralimizi tablodakine "sığdırmaya" çalışalım. Diferansiyel yerine $x$ yerine $x+4$ koyarsak ne olur? Bu soruyu cevaplamak için $y$ yerine $x+4$ ifadesini kullanarak kullanalım:

$$ d(x+4)=(x+4)"dx $$

$(x+4)"=x"+(4)"=1+0=1$ olduğundan, $ d(x+4)=(x+4)"dx $ eşitliği şöyle olur:

$$ d(x+4)=1\cdot dx=dx $$

Yani $dx=d(x+4)$. Dürüst olmak gerekirse, $C$ sabitinin yerine basitçe $4$ sayısı konularak aynı sonuç elde edilebilirdi. Gelecekte bunu yapacağız ama ilk defa $dx=d(x+4)$ eşitliğini elde etme prosedürünü detaylı olarak inceledik. Peki $dx=d(x+4)$ eşitliği bize ne verir?

Ve bu bize şu sonucu verir: Eğer $dx=d(x+4)$ ise, o zaman $\int \frac(dx)(x+4)$ integralinde $dx$ yerine $d(x) koyabiliriz +4)$ ve sonuç olarak integral değişmeyecek:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)$$

Bu dönüşümü yalnızca sonuçtaki integralin $\int \frac(du)(u)=\ln|u|+C$ tablo formülüne tam olarak karşılık gelmesi için yaptık. Bu yazışmayı tamamen açıklığa kavuşturmak için $x+4$ ifadesini $u$ harfiyle değiştirelim (yani ikame$u=x+4$):

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C.$$

Aslında sorun çoktan çözüldü. Geriye kalan tek şey $x$ değişkenini döndürmek. $u=x+4$ olduğunu hatırlayarak şunu elde ederiz: $\ln|u|+C=\ln|x+4|+C$. Tam çözüm açıklama olmadan şöyle görünür:

$$ \int \frac(dx)(x+4)=\int \frac(d(x+4))(x+4)=|u=x+4|=\int \frac(du)(u )=\ln|u|+C=\ln|x+4|+C.$$

Cevap: $\int \frac(dx)(x+4)=\ln|x+4|+C$.

Örnek No.2

$\int e^(3x) dx$'ı bulun.

Belirsiz integraller tablosuna dönersek $\int e^(3x) dx$ integraline tam olarak karşılık gelen bir formül bulamayız. İntegral tablosundaki 4 numaralı formül bu integrale en yakın olanıdır, yani. $\int e^u du=e^u+C$. Sorun şudur: $\int e^u du=e^u+C$ formülü, $\int e^u du$ integralinde $e$'ın kuvvetlerindeki ve diferansiyel altındaki ifadelerin şu şekilde olması gerektiğini varsayar: aynı (her ikisinde de bir $u$ harfi var). Bizim durumumuzda, $\int e^(3x) dx$'da diferansiyelin altında $x$ harfi vardır ve $e$'nin üssünde $3x$ ifadesi vardır, yani. Tablo formülüyle açık bir tutarsızlık var. İntegralimizi tablodakine "sığdırmaya" çalışalım. Diferansiyel için $x$ yerine $3x$ koyarsanız ne olur? Bu soruyu cevaplamak için $y$ yerine $3x$ ifadesini kullanarak onu kullanalım:

$$ d(3x)=(3x)"dx $$

$(3x)"=3\cdot (x)"=3\cdot 1=3$ olduğundan, $d(3x)=(3x)"dx$ eşitliği şöyle olur:

$$ d(3x)=3dx $$

Ortaya çıkan eşitliğin her iki tarafını da $3$'a bölersek şunu elde ederiz: $\frac(d(3x))(3)=dx$, yani. $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$. Aslında $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ eşitliği, $C$ sabiti yerine $3$ sayısı konularak elde edilebilir. Gelecekte bunu yapacağız, ancak ilk kez $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ eşitliğini elde etme prosedürünü ayrıntılı olarak inceledik.

Ortaya çıkan $dx=\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ eşitliği bize ne verdi? Bu, $dx$ yerine $\frac(1)(3)\cdot d(3x)$ $\int e^(3x) dx$ integralinin yerine konulabileceği ve integralin değişmeyeceği anlamına gelir:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x) $$

İntegral işaretinden $\frac(1)(3)$ sabitini alalım ve $3x$ ifadesini $u$ harfiyle değiştirelim (yani, ikame$u=3x$), ardından $\int e^u du=e^u+C$ tablo formülünü uygularız:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C.$$

Önceki örnekte olduğu gibi, orijinal $x$ değişkenini geri döndürmemiz gerekiyor. $u=3x$ olduğundan, $\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$. Yorum içermeyen tam çözüm şuna benzer:

$$ \int e^(3x) dx= \int e^(3x) \cdot\frac(1)(3) d(3x)=\frac(1)(3)\cdot \int e^(3x) d(3x)=|u=3x|=\frac(1)(3)\cdot\int e^u du=\frac(1)(3)\cdot e^u+C=\frac(1)( 3)\cdot e^(3x)+C.$$

Cevap: $ \int e^(3x) dx= \frac(1)(3)\cdot e^(3x)+C$.

Örnek No.3

$\int (3x+2)^2 dx$'ı bulun.

Bu integrali bulmak için iki yöntem kullanırız. İlk yol parantezleri açmak ve doğrudan entegre etmektir. İkinci yöntem ise ikame yöntemini kullanmaktır.

İlk yol

$(3x+2)^2=9x^2+12x+4$ olduğundan, $\int (3x+2)^2 dx=\int (9x^2+12x+4)dx$. $\int (9x^2+12x+4)dx$ integralini üç integralin toplamı olarak temsil ederek ve sabitleri karşılık gelen integrallerin işaretlerinden çıkararak şunu elde ederiz:

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx $$

$\int x^2 dx$'ı bulmak için, integral tablosunun 1 numaralı formülünde $u=x$ ve $\alpha=2$ yerine koyarız: $\int x^2 dx=\frac(x^(2) +1))( 2+1)+C=\frac(x^3)(3)+C$. Benzer şekilde, tablodaki aynı formülde $u=x$ ve $\alpha=1$ yerine koyarsak şunu elde ederiz: $\int x^1 dx=\frac(x^(1+1))(1+1 )+ C=\frac(x^2)(2)+C$. $\int 1 dx=x+C$ olduğundan, o zaman:

$$ 9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\cdot \int 1 dx=9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^) 2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^2+4x+C. $$

$$ \int (9x^2+12x+4)dx=\int 9x^2 dx+\int 12x dx+\int 4 dx=9\cdot \int x^2 dx+12\cdot \int x dx+4\ cdot \int 1 dx=\\ =9\cdot\frac(x^3)(3)+12\cdot \frac(x^2)(2)+4\cdot x+C=3x^3+6x^ 2+4x+C. $$

İkinci yol

Parantezleri açmayacağız. Diferansiyelin altında $x$ yerine $3x+2$ ifadesinin görünmesini sağlamaya çalışalım. Bu, yeni bir değişken girmenize ve elektronik tablo formülünü uygulamanıza olanak tanır. Diferansiyelin altında görünmesi için $3$ faktörüne ihtiyacımız var, dolayısıyla değere $C=3$ koyarsak $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ elde ederiz. Ayrıca diferansiyelin altında $2$ terimi eksik. Diferansiyel işaretinin altına bir sabitin eklenmesiyle bu diferansiyel değişmez, yani. $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2)$. $d(x)=\frac(1)(3)d(3x)$ ve $\frac(1)(3)d(3x)=\frac(1)(3)d(3x+2) koşullarından ) $ elimizde: $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$.

$dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ eşitliğinin başka bir yolla da elde edilebileceğini belirteyim:

$$ d(3x+2)=(3x+2)"dx=((3x)"+(2)")dx=(3\cdot x"+0)dx=3\cdot 1 dx=3dx;\ \dx=\frac(1)(3)d(3x+2). $$

Ortaya çıkan $dx=\frac(1)(3)d(3x+2)$ eşitliğini kullanırız ve $\frac(1)(3)d(3x) ifadesini $\int (3x+2) integraline koyarız )^2 dx$ +2)$ yerine $dx$. Ortaya çıkan integralin işareti olarak $\frac(1)(3)$ sabitini çıkaralım:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\int (3x+2)^2 \cdot \frac(1)(3)d(3x+2)=\frac(1)(3)\cdot \ int (3x+2)^2 d(3x+2). $$

Diğer çözüm ise $u=3x+2$ yerine koyma işlemini gerçekleştirmek ve integral tablosundaki 1 numaralı formülü uygulamaktır:

$$ \frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\frac(1)(3)\cdot \int u^ 2 du=\frac(1)(3)\cdot \frac(u^(2+1))(2+1)+C=\frac(u^3)(9)+C. $$

$u$ yerine $3x+2$ ifadesini döndürürsek şunu elde ederiz:

$$ \frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Açıklama olmadan tam çözüm:

$$ \int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d(3x+2)=|u=3x+2|=\\ = \frac(1)(3)\cdot \int u^2 du=\frac(u^3)(9)+C=\frac((3x+2)^3)(9)+C. $$

Birkaç soruyu önceden tahmin ediyorum, bu yüzden bunları formüle etmeye ve yanıtlar vermeye çalışacağım.

Soru No.1

Burada bir şeyler anlamlı değil. İlk şekilde çözdüğümüzde $\int (9x^2+12x+4)dx=3x^3+6x^2+4x+C$ sonucunu elde ettik. İkinci yolu çözerken cevap şu oldu: $\int (3x+2)^2 dx=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Ancak ikinci cevaptan birinciye geçmek mümkün değil! Parantezleri açarsak aşağıdakileri elde ederiz:

$$ \frac((3x+2)^3)(9)+C=\frac(27x^3+54x^2+36x+8)(9)+C=\frac(27x^3)(9) +\frac(54x^2)(9)+\frac(36x)(9)+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+ C. $$

Cevaplar eşleşmiyor! $\frac(8)(9)$ ekstra kesri nereden geldi?

Bu soru önceki konulara başvurmanız gerektiğini gösteriyor. Belirsiz integral kavramı ile ilgili konuyu okuyun (şuna dikkat ederek) Özel dikkat sayfa sonundaki 2 numaralı soru) ve doğrudan entegrasyon (4 numaralı soruya dikkat etmekte fayda var). Bu konular bu konuyu ayrıntılı olarak ele almaktadır. Kısacası, $C$ integral sabiti şu şekilde temsil edilebilir: değişik formlar. Örneğin, bizim durumumuzda $C_1=C+\frac(8)(9)$'ı yeniden tasarladığımızda şunu elde ederiz:

$$ 3x^3+6x^2+4x+\frac(8)(9)+C=3x^3+6x^2+4x+C_1. $$

Dolayısıyla bir çelişki yoktur; cevap $3x^3+6x^2+4x+C$ biçiminde veya $\frac((3x+2)^3)(9)+ biçiminde yazılabilir. C $.

2 numaralı soru

İkinci şekilde karar vermek neden gerekliydi? Bu gereksiz bir komplikasyondur! İlk yöntemi kullanarak birkaç adımda elde edilen bir cevabı bulmak için neden bir sürü gereksiz formül kullanasınız ki? Gereken tek şey okul formülünü kullanarak parantezleri açmaktı.

Öncelikle bu öyle bir komplikasyon değil. Yerine koyma yöntemini anladığınızda benzer örnekleri tek satırda çözmeye başlayacaksınız: $\int (3x+2)^2 dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^2 d ( 3x+2)=\frac((3x+2)^3)(9)+C$. Ancak bu örneğe farklı bakalım. $\int (3x+2)^2 dx$ değil, $\int (3x+2)^(200) dx$ hesaplamanız gerektiğini düşünün. İkinci yöntemi kullanarak çözerken, dereceleri yalnızca biraz ayarlamanız yeterlidir ve cevap hazır olacaktır:

$$ \int (3x+2)^(200) dx=\frac(1)(3)\cdot \int (3x+2)^(200) d(3x+2)=|u=3x+2| =\\ =\frac(1)(3)\cdot \int u^(200) du=\frac(u^(201))(603)+C=\frac((3x+2)^(201) )(603)+C. $$

Şimdi ilk olarak aynı $\int (3x+2)^(200) dx$ integralinin alınması gerektiğini düşünün. Öncelikle $(3x+2)^(200)$ parantezini açmanız gerekecek, böylece iki yüz bir terimin toplamı elde edeceksiniz! Ve sonra her terimin de entegre edilmesi gerekecek. Dolayısıyla buradan çıkan sonuç şudur: Büyük güçler için doğrudan entegrasyon yöntemi uygun değildir. İkinci yöntem, görünürdeki karmaşıklığına rağmen daha pratiktir.

Örnek No. 4

$\int \sin2x dx$'ı bulun.

Bu örneği üç farklı şekilde çözeceğiz.

İlk yol

İntegral tablosuna bakalım. Bu tablodaki 5 numaralı formül örneğimize en yakın olanıdır; $\int \sin u du=-\cos u+C$. $\int \sin2x dx$ integralini $\int \sin u du$ biçimine sığdırmak için, diferansiyel işaretinin altına $2$ faktörünü ekleyerek kullanırız. Aslında bunu 2 numaralı örnekte zaten yapmıştık, yani ayrıntılı yorum yapmadan da yapabiliriz:

$$ \int \sin 2x dx=\left|dx=\frac(1)(2)\cdot d(2x) \right|=\int \sin 2x \cdot\frac(1)(2)d(2x) )=\\ =\frac(1)(2) \int \sin 2x d(2x)=|u=2x|=\frac(1)(2) \int \sin u du=-\frac(1) (2)\cos u+C=-\frac(1)(2)\cos 2x+C. $$

Cevap: $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$.

İkinci yol

İkinci yöntemi çözmek için basit bir yöntem uyguluyoruz. trigonometrik formül: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\sin 2x$ yerine $2 \sin x \cos x$ ifadesini kullanalım ve $2$ sabitini integral işaretinden çıkaralım:

Böyle bir dönüşümün amacı nedir? Tabloda $\int \sin x\cos x dx$ integrali yok, ancak $\int \sin x\cos x dx$'yi biraz dönüştürerek tablodakine daha çok benzemesini sağlayabiliriz. Bunu yapmak için $d(\cos x)$'ı kullanarak bulalım. Bahsedilen formülde $y$ yerine $\cos x$ yerine koyalım:

$$ d(\cos x)=(\cos x)"dx=-\sin x dx. $$

$d(\cos x)=-\sin x dx$ olduğuna göre, $\sin x dx=-d(\cos x)$. $\sin x dx=-d(\cos x)$ olduğundan, $\sin x dx$ yerine $\int \sin x\cos x dx$ yerine $-d(\cos x)$ koyabiliriz. İntegralin değeri değişmeyecek:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \cos x \cdot (-d(\cos x))=-2\int\cos x d(\cos x) $$

Başka bir deyişle, biz diferansiyelin altına eklendi$\çünkü x$. Şimdi $u=\cos x$ değişimini yaptıktan sonra integral tablosundaki 1 numaralı formülü uygulayabiliriz:

$$ -2\int\cos x d(\cos x)=|u=\cos x|=-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^ 2+C=-\cos^2x+C. $$

Cevap alındı. Genel olarak $u$ harfini girmenize gerek yoktur. Bu tür integralleri çözmede yeterli beceriye sahip olduğunuzda, ek gösterime olan ihtiyaç ortadan kalkacaktır. Açıklama olmadan tam çözüm:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\sin x dx=-d(\cos x)|=-2\int\cos x d(\cos x)= |u=\cos x|=\\ =-2\int u du=-2\cdot \frac(u^2)(2)+C=-u^2+C=-\cos^2x+C. $$

Cevap: $\int \sin2x dx=-\cos^2x+C$.

Üçüncü yol

Üçüncü şekilde çözmek için aynı trigonometrik formülü uyguluyoruz: $\sin 2x=2\sin x\cos x$. $\sin 2x$ yerine $2 \sin x \cos x$ ifadesini kullanalım ve $2$ sabitini integral işaretinden çıkaralım:

$$ \int \sin 2x dx=\int 2 \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx $$

kullanarak $d(\sin x)$'ı bulalım. Bahsedilen formülde $y$ yerine $\sin x$ yerine koyalım:

$$ d(\sin x)=(\sin x)"dx=\cos x dx. $$

Yani $d(\sin x)=\cos x dx$. Ortaya çıkan eşitlikten, $\cos x dx$ yerine $\int \sin x\cos x dx$ yerine $d(\sin x)$ koyabileceğimiz sonucu çıkar. İntegralin değeri değişmeyecek:

$$ 2\cdot\int \sin x\cos x dx=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x) $$

Başka bir deyişle, biz diferansiyelin altına eklendi$\sin x$. Şimdi, $u=\sin x$ yerine koymayı yaptıktan sonra, integral tablosundan 1 numaralı formülü uygulayabiliriz:

$$ 2\int\sin x d(\sin x)=|u=\sin x|=2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C= \sin^2x+C. $$

Cevap alındı. Açıklama olmadan tam çözüm:

$$ \int \sin 2x dx=2\cdot\int \sin x\cos x dx=|\cos x dx=d(\sin x)|=2\cdot\int \sin x \cdot d(\sin x)=|u=\sin x|=\\ =2\int u du=2\cdot \frac(u^2)(2)+C=u^2+C=\sin^2x+C. $$

Cevap: $\int \sin2x dx=\sin^2x+C$.

Bu örneği okuduktan sonra özellikle üç farklı (ilk bakışta) cevabın ortaya çıkması muhtemeldir. Bunu düşünelim.

Soru 3

Beklemek. Cevaplar aynı olmalı ama farklılar! 3 numaralı örnekte fark yalnızca $\frac(8)(9)$ sabitindeydi, ancak burada cevaplar görünüş olarak bile benzer değil: $-\frac(1)(2)\cos 2x+C $, $-\ cos^2x+C$, $\sin^2x+C$. Gerçekten her şey yine $C$ integral sabitiyle mi ilgili?

Evet, önemli olan tam da bu sabittir. Tüm cevapları tek bir forma indirgeyelim, bundan sonra sabitlerdeki bu fark tamamen netleşecektir. $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ ile başlayalım. Basit bir trigonometrik eşitlik kullanıyoruz: $\cos 2x=1-2\sin^2 x$. O zaman $-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ ifadesi şöyle olacaktır:

$$ -\frac(1)(2)\cos 2x+C=-\frac(1)(2)\cdot(1-2\sin^2 x)+C=-\frac(1)(2) +\frac(1)(2)\cdot 2\sin^2x+C=\sin^2 x+C-\frac(1)(2). $$

Şimdi ikinci cevapla çalışalım, yani. $-\cos^2x+C$. $\cos^2 x=1-\sin^2x$ olduğundan, o zaman:

$$ -\cos^2x+C=-(1-\sin^2x)+C=-1+\sin^2x+C=\sin^2x+C-1 $$

4 numaralı örnekte aldığımız üç yanıt şunlardı: $\sin^2 x+C-\frac(1)(2)$, $\sin^2x+C-1$, $\sin^2x+ C$ . Sanırım artık birbirlerinden yalnızca belirli bir sayıda farklı oldukları açık. Onlar. maddenin yine bir integral sabiti olduğu ortaya çıktı. Gördüğünüz gibi integral sabitindeki küçük bir fark prensipte büyük ölçüde değişebilir. dış görünüş cevap - ancak bu, cevabın doğru olmasını engellemez. Demek istediğim şu: Eğer problemler arasında sizinkiyle örtüşmeyen bir cevap görürseniz, bu kesinlikle cevabınızın yanlış olduğu anlamına gelmez. Sorunun yazarının amaçladığından farklı bir şekilde cevaba ulaşmanız mümkündür. Ve belirsiz integralin tanımına dayalı bir kontrol, cevabın doğruluğunu doğrulamanıza yardımcı olacaktır. Örneğin, $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2)\cos 2x+C$ integrali doğru bulunursa, $\left(-\frac(1)(2)\cos eşitliği) 2x+ C\right)"=\sin 2x$. Öyleyse $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)$'ın türevinin integrale eşit olduğunun doğru olup olmadığını kontrol edelim. $\sin 2x $:

$$ \left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\left(-\frac(1)(2)\cos 2x\right)"+C"=-\frac (1)(2)\cdot(\cos 2x)"+0=\\ =-\frac(1)(2)\cdot (-\sin 2x)\cdot (2x)"=-\frac(1) (2)\cdot (-\sin 2x)\cdot 2=\sin 2x.

Kontrol başarıyla tamamlandı. $\left(-\frac(1)(2)\cos 2x+C\right)"=\sin 2x$ eşitliği sağlanır, dolayısıyla $\int \sin2x dx=-\frac(1)(2) formülü sağlanır )\cos 2x+C$ doğrudur. Örnek 5'te, bazı standart hesaplamalarda gerekli olmasına rağmen, doğruluğundan emin olmak için sonucu da kontrol edeceğiz. testler ah, sonucu kontrol etme zorunluluğu mevcut.

Payın diferansiyel işareti altına alınması

Bu dersin son kısmıdır, ancak bu tür integraller oldukça yaygındır! Eğer yorgunsanız, belki yarın okumak daha iyi olur? ;)

Ele alacağımız integraller önceki paragrafın integrallerine benzer, şu şekildedirler: veya (katsayılar ve sıfıra eşit değildir).

Yani elimizdeki payda doğrusal fonksiyon. Bu tür integraller nasıl çözülür?

Örnek 14

Lütfen dikkatli olun, şimdi tipik bir algoritmaya bakacağız.

1) Formun bir integrali verildiğinde veya (katsayılar ve sıfıra eşit değildir), o zaman yapacağımız ilk şey... bir taslak almaktır. Gerçek şu ki, şimdi küçük bir seçim yapmamız gerekiyor.

2) Bu örnekte, paydadaki ifadeyi (önemli değil - kök altında veya kök olmadan) diferansiyel işaretin altında sonlandırıyoruz:

3) Diferansiyeli açın:

İntegralimizin payına bakalım:

Olaylar biraz farklı gelişti... Şimdi diferansiyel için bir çarpan seçmemiz gerekiyor, böylece açıldığında en az 0 elde edeceğiz. İÇİNDE bu durumda uygun bir çarpan:

4) Otokontrol için diferansiyelimizi tekrar açıyoruz:

İntegralimizin payına tekrar bakalım: .
Daha yakın ama yanlış terimi kullanıyoruz:

5) Diferansiyelimize:
– başlangıçta integrandda sahip olduğumuz terimi atarız:

– Çıkar ( bu durumda bazen çıkarıyoruz, tam tersine eklememiz gerekiyor)“yanlış” terimimiz:
– Her iki sabiti de parantez içine alıyoruz ve sağa bir diferansiyel sembol atadık:

– Çıkarma (bazı örneklerde eklemeniz gerekir) sabitler:

6) Kontrol ediyoruz:

İntegralin payını tam olarak elde ettik, bu da seçimin başarılı olduğu anlamına geliyor.

Çözümün son tasarımı şuna benzer:

(1) Taslaktaki payı yukarıda tartışılan algoritmaya göre seçiyoruz. Seçimin doğru yapılıp yapılmadığını mutlaka kontrol ediyoruz. İntegral çözme konusunda biraz tecrübeniz varsa, seçimi kafanızda gerçekleştirmek zor değildir.

(2) Payı payda terimine ve terime bölün. Pratik problem çözmede bu adım atlanabilir

(3) Doğrusallık özelliğini kullanarak integralleri ayırıyoruz. Tüm sabitlerin integrallerin işaretlerinin dışına taşınması tavsiye edilir.

(4) İlk integral aslında tablo şeklindedir; formülü kullanırız (daha sonra ikinci integrali aldığımızda bir sabit ekleyeceğiz). İkinci integralde tam kareyi seçiyoruz (bu tür integralleri önceki paragrafta incelemiştik).

Gerisi bir teknik meselesidir.

Ve yeni başlayanlar için birkaç örnek bağımsız karar– biri daha basit, diğeri daha zor.

Örnek 15

Belirsiz integrali bulun:

Örnek 16

Belirsiz integrali bulun:

Bu örnekleri çözmek için özel bir entegrasyon durumu faydalı olacaktır. güç fonksiyonu ki bu benim masamda değil:

Gördüğünüz gibi kesirlerin integralini almak zahmetli bir iştir; çoğu zaman yapay teknikler ve seçimler kullanmak zorunda kalırsınız. Ama ne yapmalı…

Kesirli-rasyonel fonksiyonlar olarak adlandırılan başka kesir türleri de vardır, bunlar yöntemle çözülür. belirsiz katsayılar. Ama bu zaten dersin konusu Kesirli rasyonel fonksiyonların entegrasyonu.

§ 5. İntegraller ve uygulamaları

.

5.1. Temel tanımlar ve formüller.İşlev F(X) dır-dir antiderivatif fonksiyon F(X), eğer bir setteyse X eşitlik geçerlidir F (X)= F(X). için tüm antiderivatiflerin kümesi F(X) isminde belirsiz integral ve belirlenir. Aynı zamanda eğer F(X) - ilkellerden herhangi biri F(X), O
, devamlı C tüm gerçek sayılar kümesini çalıştırır. Tablo 2'de temel formüller gösterilmektedir. sen= sen(X).

Tablo 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Formüllerin olduğu açıktır. 10), 12) Ve 14) formüllerin özel durumlarıdır 11), 13) Ve 15) sırasıyla.

Eğer F(X) – segmentte sürekli fonksiyon [ A; B], o zaman var kesin integral tarafından hesaplanabilen bu fonksiyondan Newton-Leibniz formülü:

, (5.1)

Nerede F(X) - için herhangi bir antiderivatif F(X). Belirsiz bir integralin (bir işlevler kümesi olan) aksine, belirli bir integral belirli bir sayıdır.

Hem belirsiz hem de belirli integraller şu özelliğe sahiptir: doğrusallık(fonksiyonların toplamının integrali toplamına eşit integraller ve sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir):

.

Örnek 5.1. Bulmak bir)
; B)
.

Çözüm. Görevde A)Önce paydan paydaya kadar her terimi terimi terime bölerek integrali basitleştiririz, sonra özelliği kullanırız doğrusallık ve “tablo” formüller 1)-3):

Görevde B), Ayrıca doğrusallık ve “tablo” formüller 3), 9), 1), Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz (5.1):

5.2. Diferansiyel işaretinin altına girilmesi ve değişkenin değiştirilmesi. Bazen integralin bir kısmının bazı ifadelerin diferansiyelini oluşturduğunu fark edebilirsiniz, bu da tablo formüllerinin kullanımına izin verir.

Örnek 5.2 Bulmak bir)
; B)
.

Çözüm.Örnekte A) bunu fark edebilirsin
ve ardından formülü kullanın 5) en sen=n X:

Ne zaman B)
ve bu nedenle nedeniyle 11) en
şunu elde ederiz:

Not 1. Diferansiyel işaretini girerken yukarıda kullanılanlarla birlikte aşağıdaki ilişkileri de hesaba katmak faydalıdır:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Not 2.İntegraller örnek 5.2. değişken değişikliği kullanılarak da bulunabilir. Aynı zamanda kesin integral entegrasyonun sınırları da değiştirilmelidir. Dönüşümler 5.2.b)örneğin şu şekilde görünecektir:

İÇİNDE Genel dava değiştirme seçimi integralin türüne göre belirlenir. Bazı durumlarda özel değiştirmeler önerilir. Örneğin, eğer ifade formun mantıksızlığını içeriyorsa
, o zaman koyabiliriz
veya
.

Örnek 5.3 Bulmak bir)
; B)
.

Çözüm. Ne zaman A) sahibiz

(değiştirdikten sonra tablo formülünü uyguladık 11 )).

Karar verirken B) Entegrasyonun sınırlarını mutlaka değiştiriyoruz.

5.3. Parçalara göre entegrasyon. Bazı durumlarda “parçalara göre entegrasyon formülü” yardımcı olur. Belirsiz integral için şu forma sahiptir:

, (5.2)

belli bir süre için

, (5.3)

Aşağıdakileri dikkate almak önemlidir.

1) İntegral bir polinomun çarpımını içeriyorsa X işlevler hakkında
, o zaman sen bir polinom seçilir ve integral işaretinin altında kalan ifade şuna karşılık gelir: dv.

2) İntegral ters trigonometrik ( ) veya logaritmik (
) fonksiyonları, ardından şu şekilde sen bunlardan biri seçilir.

Örnek 5.4. Bulmak bir)
; B)
.

Çözüm. Ne zaman A) formülü uygula (5.2) Ve ikinci kural. Aynen, inanıyoruz
. Daha sonra
. Daha öte,
, ve bu nedenle
. Buradan, . Ortaya çıkan integralde, integralin tüm kısmını seçiyoruz (bu, payın derecesi paydanın derecesinden az olmadığında yapılır):

.

Nihai çözüm şuna benzer:

Örnekte B) kullanırız (5.3) Ve kuralların ilki.

5.4. İkinci Dereceden Trinomial İçeren İfadelerin İntegrasyonu. Ana fikirler vurgulamaktır ikinci dereceden üç terimli tam bir kare ve orijinal integralin tablo şeklinde bir forma indirgenmesini mümkün kılan doğrusal bir ikame gerçekleştirmede 10 )-16 ).

Örnek 5.5. Bulmak bir)
; B)
; V)
.

Çözüm. Ne zaman A)şu şekilde ilerleyin:

bu nedenle (dikkate alınarak 13) )

Örneği çözerken B)İntegralin payında bir değişkenin varlığına ilişkin ek dönüşümler gerekli olacaktır. Paydadaki () mükemmel kareyi seçerek şunu elde ederiz:

İntegrallerden ikincisi için, 11) (Tablo 2) elimizde:
. İlk integralde diferansiyel işaretin altına gireceğiz:

Her şeyi bir araya getirip değişkene geri dönmek X, şunu elde ederiz:

Örnekte V) Ayrıca ilk önce tam bir kare seçiyoruz:

5.5. Basit trigonometrik fonksiyonların integrali. Formun ifadelerini entegre ederken
(Nerede M Ve N – tamsayılar) aşağıdaki kuralları dikkate almanız önerilir.

1) Her iki derece de çift ise “dereceyi azaltma” formülleri uygulanır: ; .

2) Diyelim ki sayılardan herhangi biri M Ve N- garip. Örneğin, N=2 k+1. Bu durumda fonksiyonun derecelerinden biri cosx diferansiyel işaretinin altına getirmek için “bölün” (çünkü ). Kalan ifadede
temel trigonometrik özdeşliği kullanarak
aracılığıyla ifade edildi
(). İntegrali dönüştürdükten sonra (ve doğrusallık özelliğini hesaba katarak), formun integrallerinin cebirsel toplamını elde ederiz.
, bunların her biri aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir 2) tablo 2'den:
.

Ayrıca bazı durumlarda formüller de faydalıdır.

Örnek 5.6. Bulmak bir)
; B)
; V)
.

Çözüm. A)İntegral tek (5.) derece içerir sinx, bu yüzden ona göre hareket ediyoruz ikinci kural, hesaba katıldığında .

Örnekte B) formülü kullanalım (5.4 ), doğrusallık belirsiz integral, eşitlik
ve tablo formülü 4):

Ne zaman V) sırayla dereceyi düşürmek doğrusallığı, diferansiyel işaret altına bir sabit ekleme olasılığını ve gerekli tablo formüllerini dikkate alıyoruz:

5.6. Belirli bir integralin uygulamaları. Bilindiği gibi segment üzerinde negatif olmayan ve sürekliye karşılık gelen eğrisel bir yamuk [ A; B] işlevler F(X), bir fonksiyonun grafiğinin sınırladığı alana denir sen= F(X), eksen ÖKÜZ ve iki dikey çizgi X= A, X= B. Kısaca şu şekilde yazılabilir: (bkz. Şek. 3). ve nerede

Bazı integral türlerini çözerken dedikleri gibi bir dönüşüm gerçekleştirilir diferansiyel işaretinin altına girmek. Bu, tablo şeklinde bir integral elde etmek ve almayı kolaylaştırmak için yapılır. Bunu yapmak için şu formülü kullanın: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

şunu belirtmek isterim önemli nüansöğrencilerin düşündüğü şey. Bu yöntemin bir değişkeni değiştirme (ikame) yönteminden farkı nedir? Aynı şey, sadece kayıtlarda farklı görünüyor. Her ikisi de doğrudur.

Formül

İntegral, biri diğerinin diferansiyeli olan iki fonksiyonun çarpımını gösteriyorsa, istenen fonksiyonu diferansiyel işaretinin altına girin. Şuna benziyor:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x)$$

Ana fonksiyonların özetlenmesi

Bu çözüm yöntemini başarılı bir şekilde kullanabilmek için türev ve entegrasyon tablolarını bilmeniz gerekmektedir. Bunlardan aşağıdaki formüller çıkar:

$ dx = d(x+c), c=sabit $	$ -\sin x dx=d(\cos x) $
$ dx=\frac(1)(a) d(ax) $	$ \cos x dx = d(\sin x) $
$ xdx=\frac(1)(2) d(x^2+a) $	$ \frac(dx)(x) = d(\ln x) $
$ -\frac(dx)(x^2)= d(\frac(1)(x)) $	$ \frac(dx)(\cos^2 x) = d(tg x) $
$$ \int f(kx+b)dx = \frac(1)(k) \int f(kx+b)d(kx+b) = \frac(1)(k) F(kx+b) + C$$

Çözüm örnekleri

örnek 1

$$ \int \sin x \cos x dx $$ integralini bulun

Çözüm

Bu örnekte, önerilen fonksiyonlardan herhangi birini, sinüs veya kosinüs dahil, diferansiyel işaretinin altına koyabilirsiniz. İşaretleri değiştirirken kafanızın karışmaması için $ \cos x $ girmek daha uygundur. Elimizdeki formülleri kullanarak: $$ \int \sin x \cos xdx = \int \sin x d(\sin x) = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$ Sorununuzu çözemezseniz bize gönderin. Detaylı çözüm sunacağız. Hesaplamanın ilerlemesini görüntüleyebilecek ve bilgi alabileceksiniz. Bu, öğretmeninizden notunuzu zamanında almanıza yardımcı olacaktır!

Cevap

$$ \int \sin x \cos x dx = \frac(1)(2) \sin^2 x + C $$

Bu nedenle makalede bazı integral türlerinin diferansiyel işaret altına girilerek nasıl çözüldüğüne baktık. Sıklıkla ortak olanların farklılıklarını hatırladık. temel işlevler. Test görevlerini kendiniz çözemiyorsanız veya yeterli zamanınız yoksa, size yardım edeceğiz. mümkün olan en kısa sürede. Sadece sipariş formunu doldurun, biz sizinle iletişime geçelim.