Çevrimiçi hesap makinesi Belirsiz integrali (antitürev) hesaplayın. Aptallar için integraller: nasıl çözülür, hesaplama kuralları, açıklama

Terstürev

Antiderivatif fonksiyonun tanımı

• İşlev y=F(x) fonksiyonun antiderivatifi denir y=f(x) belirli bir aralıkta X, eğer herkes için X ∈X eşitlik geçerlidir: F'(x) = f(x)

İki şekilde okunabilir:

1. F bir fonksiyonun türevi F
2. F bir fonksiyonun antiderivatifi F

Antiderivatiflerin özelliği

• Eğer F(x)- bir fonksiyonun antiderivatifi f(x) Belirli bir aralıkta, o zaman f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda antiderivatifi vardır ve tüm bu antiderivatifler şu şekilde yazılabilir: F(x) + C burada C keyfi bir sabittir.

Geometrik yorumlama

• Belirli bir fonksiyonun tüm antiderivatiflerinin grafikleri f(x) herhangi bir antiderivatifin grafiğinden O ekseni boyunca paralel ötelemelerle elde edilir en.

Antiderivatifleri hesaplama kuralları

1. Toplamın ters türevi, ters türevlerin toplamına eşittir. Eğer F(x)- için antiderivatif f(x) ve G(x) bunun için bir terstürevdir. g(x), O F(x) + G(x)- için antiderivatif f(x) + g(x).
2. Sabit faktör türevin işaretinden çıkarılabilir. Eğer F(x)- için antiderivatif f(x), Ve k- sabit o zaman k·F(x)- için antiderivatif kf(x).
3. Eğer F(x)- için antiderivatif f(x), Ve k, b- sabit ve k ≠ 0, O 1/k F(kx + b)- için antiderivatif f(kx + b).

Hatırlamak!

Herhangi bir işlev F(x) = x 2 + C burada C isteğe bağlı bir sabittir ve yalnızca böyle bir fonksiyon, fonksiyonun ters türevidir f(x) = 2x.

• Örneğin:

  F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,Çünkü F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

  f(x) = 2x,Çünkü F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Bir fonksiyonun grafikleri ile terstürevi arasındaki ilişki:

1. Bir fonksiyonun grafiği ise f(x)>0 F(x) bu aralıkta artar.
2. Bir fonksiyonun grafiği ise f(x)<0 aralıkta, ardından antiderivatifinin grafiği F(x) bu aralıkta azalır.
3. Eğer f(x)=0, daha sonra antiderivatifinin grafiği F(x) bu noktada artıştan azalmaya (veya tam tersi) doğru değişir.

Ters türevi belirtmek için belirsiz integralin işareti, yani entegrasyonun sınırlarını belirtmeden integral kullanılır.

Belirsiz integral

Tanım:

• f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali F(x) + C ifadesidir, yani belirli bir f(x) fonksiyonunun tüm antiderivatiflerinin kümesidir. Belirsiz integral şu ​​şekilde gösterilir: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x)- integral işlevi denir;
• f(x)dx- integrand denir;
• X- entegrasyon değişkeni denir;
• F(x)- f(x) fonksiyonunun ters türevlerinden biri;
• İLE- keyfi sabit.

Belirsiz integralin özellikleri

1. Belirsiz integralin türevi integrale eşittir: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. İntegralin sabit faktörü integral işaretinden çıkarılabilir: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Fonksiyonların toplamının (farkının) integrali toplamına eşit Bu fonksiyonların integrallerinin (farklılıkları): \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Eğer k, b sabitler ve k ≠ 0 ise, o zaman \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Antiderivatifler ve belirsiz integraller tablosu

İşlev f(x)	Terstürev F(x) + C	Belirsiz integraller \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\değil =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Newton-Leibniz formülü

İzin vermek f(x) bu fonksiyon F onun keyfi antitürevi.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Nerede F(x)- için antiderivatif f(x)

Yani fonksiyonun integrali f(x) bir aralıktaki noktalardaki antiderivatiflerin farkına eşittir B Ve A.

Kavisli bir yamuğun alanı

Eğrisel yamuk negatif olmayan ve bir aralıkta sürekli olan bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şekildir F, Öküz ekseni ve düz çizgiler x = bir Ve x = b.

Kavisli bir yamuğun alanı Newton-Leibniz formülü kullanılarak bulunur:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

İntegralleri çözmek kolay bir iştir, ancak yalnızca seçilmiş birkaç kişi için. Bu makale integralleri anlamayı öğrenmek isteyen ancak onlar hakkında hiçbir şey bilmeyen veya neredeyse hiçbir şey bilmeyenler içindir. İntegral... Neden gerekli? Nasıl hesaplanır? Kesin olan ve belirsiz integral S? İntegral için bildiğiniz tek kullanım, ulaşılması zor yerlerden yararlı bir şey elde etmek için integral simgesi şeklinde bir tığ işi kanca kullanmaksa, o zaman hoş geldiniz! İntegralleri nasıl çözeceğinizi ve neden onsuz yapamayacağınızı öğrenin.

"İntegral" kavramını inceliyoruz

Entegrasyon Eski Mısır'da biliniyordu. Elbette modern haliyle değil ama yine de. O zamandan bu yana matematikçiler bu konu üzerine pek çok kitap yazdılar. Özellikle kendilerini öne çıkardılar Newton Ve Leibniz ama şeylerin özü değişmedi. İntegraller sıfırdan nasıl anlaşılır? Mümkün değil! Bu konuyu anlamak için yine de matematiksel analizin temelleri hakkında temel bilgiye ihtiyacınız olacak. Blogumuzda bulacağınız bu temel bilgilerdir.

Belirsiz integral

Biraz fonksiyonumuz olsun f(x) .

Belirsiz integral fonksiyonu f(x) bu fonksiyon denir F(x) türevi fonksiyona eşit olan f(x) .

Başka bir deyişle, bir integral ters türev veya ters türevdir. Bu arada, makalemizde nasıl olduğunu okuyun.

Tüm sürekli fonksiyonlar için bir antiderivatif mevcuttur. Ayrıca, sabit bir farklılık gösteren fonksiyonların türevleri çakıştığından, antiderivatife sıklıkla sabit bir işaret eklenir. İntegrali bulma sürecine entegrasyon denir.

Basit örnek:

Temel fonksiyonların ters türevlerini sürekli hesaplamamak için bunları bir tabloya koymak ve hazır değerleri kullanmak uygundur:

Kesin integral

İntegral kavramıyla uğraşırken sonsuz küçük niceliklerle uğraşıyoruz. İntegral, bir şeklin alanını, düzgün olmayan bir cismin kütlesini, düzensiz hareket sırasında kat edilen mesafeyi ve çok daha fazlasını hesaplamaya yardımcı olacaktır. Bir integralin sonsuz sayıda sonsuz küçük terimin toplamı olduğu unutulmamalıdır.

Örnek olarak, bir fonksiyonun grafiğini hayal edin. Bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şeklin alanı nasıl bulunur?

İntegral kullanma! Fonksiyonun koordinat eksenleri ve grafiği ile sınırlanan eğrisel yamuğu sonsuz küçük parçalara bölelim. Bu şekilde şekil ince sütunlara bölünecektir. Sütunların alanlarının toplamı yamuğun alanı olacaktır. Ancak böyle bir hesaplamanın yaklaşık bir sonuç vereceğini unutmayın. Ancak segmentler ne kadar küçük ve dar olursa hesaplama da o kadar doğru olacaktır. Bunları uzunluğu sıfıra yakın olacak kadar azaltırsak, bölümlerin alanlarının toplamı şeklin alanına yönelecektir. Bu belirli bir integraldir ve şu şekilde yazılır:

a ve b noktalarına integralin sınırları denir.

Bari Alibasov ve "İntegral" grubu

Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var.

Aptallar için integral hesaplama kuralları

Belirsiz integralin özellikleri

Belirsiz bir integral nasıl çözülür? Burada örnekleri çözerken işinize yarayacak belirsiz integralin özelliklerine bakacağız.

• İntegralin türevi integrale eşittir:

• Sabit, integral işaretinin altından çıkarılabilir:

• Toplamın integrali, integrallerin toplamına eşittir. Bu aynı zamanda fark için de geçerlidir:

Belirli bir integralin özellikleri

• Doğrusallık:

• İntegral sınırları değiştirilirse integralin işareti değişir:

• Şu tarihte: herhangi puan A, B Ve İle:

Belirli bir integralin bir toplamın limiti olduğunu daha önce öğrenmiştik. Ancak bir örneği çözerken belirli bir değer nasıl elde edilir? Bunun için Newton-Leibniz formülü var:

İntegral çözme örnekleri

Aşağıda belirsiz integralleri bulmanın birkaç örneğini ele alacağız. Sizi çözümün inceliklerini kendiniz anlamaya davet ediyoruz ve net olmayan bir şey varsa yorumlarda sorular sorun.

Materyali güçlendirmek için integrallerin pratikte nasıl çözüldüğüne dair bir video izleyin. İntegral hemen verilmezse umutsuzluğa kapılmayın. Sorduğunuzda size integrallerin hesaplanmasıyla ilgili bildikleri her şeyi anlatacaklar. Bizim yardımımızla, kapalı bir yüzey üzerindeki herhangi bir üçlü veya eğri integral sizin elinizde olacaktır.

Antiderivatif fonksiyonları bulmanın üç temel kuralı vardır. Karşılık gelen farklılaşma kurallarına çok benzerler.

Kural 1

Eğer F, bir f fonksiyonu için bir ters türev ise ve G, bir g fonksiyonu için bir ters türev ise, o zaman F + G, f + g için bir ters türev olacaktır.

Bir terstürevin tanımı gereği, F' = f. G' = g. Ve bu koşullar karşılandığı için, fonksiyonların toplamının türevini hesaplama kuralına göre sahip olacağız:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Kural 2

Eğer F, bir f fonksiyonu için ters türev ise ve k bir sabittir. O halde k*F, k*f fonksiyonunun ters türevidir. Bu kural, karmaşık bir fonksiyonun türevini hesaplama kuralından kaynaklanır.

Elimizde: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Kural 3

Eğer F(x), f(x) fonksiyonunun bir terstürevi ise ve k ve b bazı sabitlerse ve k sıfıra eşit değilse, o zaman (1/k)*F*(k*x+b) şu şekilde olacaktır: f(k*x+b) fonksiyonu için bir terstürev.

Bu kural, karmaşık bir fonksiyonun türevini hesaplama kuralından kaynaklanır:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Bu kuralların nasıl uygulandığına dair birkaç örneğe bakalım:

örnek 1. f(x) = x^3 +1/x^2 fonksiyonu için ters türevlerin genel formunu bulun. x^3 fonksiyonu için antiderivatiflerden biri (x^4)/4 fonksiyonu olacaktır ve 1/x^2 fonksiyonu için antiderivatiflerden biri -1/x fonksiyonu olacaktır. İlk kuralı kullanarak şunu elde ederiz:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Örnek 2. f(x) = 5*cos(x) fonksiyonunun ters türevlerinin genel formunu bulalım. cos(x) fonksiyonu için antitürevlerden biri sin(x) fonksiyonu olacaktır. Şimdi ikinci kuralı kullanırsak:

F(x) = 5*sin(x).

Örnek 3. y = sin(3*x-2) fonksiyonunun ters türevlerinden birini bulun. sin(x) fonksiyonu için antitürevlerden biri -cos(x) fonksiyonu olacaktır. Şimdi üçüncü kuralı kullanırsak ters türev için bir ifade elde ederiz:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Örnek 4. f(x) = 1/(7-3*x)^5 fonksiyonunun terstürevini bulun

1/x^5 fonksiyonunun terstürevi (-1/(4*x^4)) fonksiyonu olacaktır. Şimdi üçüncü kuralı kullanarak şunu elde ederiz.

Türevin çok sayıda kullanımının olduğunu gördük: Türev, hareketin hızıdır (veya daha genel olarak herhangi bir sürecin hızıdır); türev, fonksiyonun grafiğine teğetin eğimidir; türevi kullanarak bir fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceleyebilirsiniz; türev optimizasyon problemlerinin çözülmesine yardımcı olur.

Ancak gerçek hayatta ters problemleri de çözmek zorundayız: Örneğin bilinen bir hareket yasasına göre hızı bulma probleminin yanı sıra, hareket yasasını bilinen bir hıza göre geri getirme sorunuyla da karşılaşıyoruz. Bu sorunlardan birini ele alalım.

Örnek 1. Maddi bir nokta düz bir çizgide hareket eder; t zamanındaki hızı u = tg formülüyle verilir. Hareket yasasını bulun.

Çözüm.İstenilen hareket yasası s = s(t) olsun. s"(t) = u"(t) olduğu bilinmektedir. Bu, sorunu çözmek için seçmeniz gereken anlamına gelir işlev s = s(t), türevi tg'ye eşittir. Bunu tahmin etmek zor değil

Örneğin doğru fakat eksik çözüldüğünü hemen belirtelim. Aslında problemin sonsuz sayıda çözümü olduğunu bulduk: herhangi bir fonksiyon keyfi bir sabit hareket kanunu görevi görebilir, çünkü

Görevi daha spesifik hale getirmek için başlangıçtaki durumu düzeltmemiz gerekiyordu: Hareket eden bir noktanın zamanın herhangi bir noktasındaki koordinatını belirtin, örneğin t=0'da. Diyelim ki s(0) = s 0 ise eşitlikten s(0) = 0 + C, yani S 0 = C elde ederiz. Şimdi hareket yasası benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır:
Matematikte karşılıklı ters işlemlere farklı isimler verilir ve özel gösterimler icat edilir: örneğin kare alma (x 2) ve sinüsün (sinх) karekökünü alma ve arksinüs(arcsin x), vb. Belirli bir fonksiyonun türevini bulma sürecine farklılaşma ve ters işlem denir. Belirli bir türevden bir fonksiyon bulma süreci - entegrasyon.
"Türev" teriminin kendisi "günlük yaşamda" haklı gösterilebilir: y - f(x) fonksiyonu yeni bir y"= f"(x) fonksiyonunu "doğurur". y = f(x) fonksiyonu şu şekilde davranır: bir "ebeveyn"dir, ancak matematikçiler doğal olarak ona "ebeveyn" veya "üretici" demezler; bunun y"=f"(x) fonksiyonuyla ilişkili olarak birincil görüntü olduğunu veya kısacası terstürev.

Tanım 1. Eğer X'ten gelen tüm x'ler için F"(x)=f(x) eşitliği geçerliyse, y = F(x) fonksiyonuna belirli bir X aralığında y = f(x) fonksiyonunun ters türevi denir.

Uygulamada, X aralığı genellikle belirtilmez, ancak ima edilir (fonksiyonun tanımının doğal alanı olarak).

İşte bazı örnekler:

1) y = x 2 fonksiyonu, y = 2x fonksiyonunun ters türevidir, çünkü tüm x'ler için (x 2)" = 2x eşitliği doğrudur.
2) y - x 3 fonksiyonu, y-3x 2 fonksiyonunun ters türevidir, çünkü tüm x'ler için (x 3)" = 3x 2 eşitliği doğrudur.
3) y-sinх fonksiyonu, y = cosx fonksiyonunun ters türevidir, çünkü tüm x'ler için (sinx)" = cosx eşitliği doğrudur.
4) Fonksiyon aralıktaki bir fonksiyonun ters türevidir çünkü tüm x > 0 için eşitlik doğrudur
Genel olarak türev bulma formüllerini bilerek, antitürev bulma formülleri tablosu derlemek zor değildir.

Bu tablonun nasıl derlendiğini anladığınızı umuyoruz: ikinci sütunda yazılan fonksiyonun türevi, ilk sütunun karşılık gelen satırında yazılan fonksiyona eşittir (kontrol edin, tembel olmayın, bu çok kullanışlı). Örneğin, y = x 5 fonksiyonunun antitürevi, sizin de belirleyeceğiniz gibi, fonksiyondur (tablonun dördüncü satırına bakınız).

Notlar: 1. Aşağıda, eğer y = F(x), y = f(x) fonksiyonu için bir ters türev ise, o zaman y = f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi olduğu ve hepsinin y = biçiminde olduğu teoremini kanıtlayacağız. F(x) + C. Bu nedenle, C'nin keyfi bir gerçek sayı olduğu tablonun ikinci sütunundaki her yere C terimini eklemek daha doğru olacaktır.
2. Kısaltmak adına, bazen "y = F(x) fonksiyonu y = f(x) fonksiyonunun ters türevidir" ifadesi yerine F(x)'in f(x)'in ters türevi olduğu söylenir. .”

2. Terstürev bulma kuralları

Antitürevleri bulurken ve türevleri bulurken sadece formüller değil (bunlar 196. sayfadaki tabloda listelenmiştir) aynı zamanda bazı kurallar da kullanılır. Türevlerin hesaplanmasına ilişkin ilgili kurallarla doğrudan ilgilidirler.

Bir toplamın türevinin, türevlerinin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 1. Bir toplamın terstürevi, antiderivatiflerin toplamına eşittir.

Bu formülasyonun biraz “hafifliğine” dikkatinizi çekiyoruz. Aslında teoremi formüle etmek gerekir: y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarının X aralığında ters türevleri varsa, sırasıyla y-F(x) ve y-G(x), o zaman y fonksiyonlarının toplamı = f(x)+g(x)'in X aralığında bir ters türevi vardır ve bu ters türev y = F(x)+G(x) fonksiyonudur. Ancak genellikle kuralları (teoremleri değil) formüle ederken, yalnızca anahtar kelimeler- bu, kuralın pratikte uygulanmasını daha kolay hale getirir

Örnek 2. y = 2x + cos x fonksiyonunun terstürevini bulun.

Çözüm. 2x'in ters türevi x'tir; cox'un ters türevi sin x'tir. Bu, y = 2x + cos x fonksiyonunun ters türevinin y = x 2 + sin x (ve genel olarak formdaki herhangi bir fonksiyon) olacağı anlamına gelir. Y = x 1 + sinx + C) .
Sabit faktörün türevin işaretinden çıkarılabileceğini biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.

Kural 2. Sabit faktör antiderivatifin işaretinden çıkarılabilir.

Örnek 3.

Çözüm. a) sin x'in ters türevi -soz x'tir; Bu, y = 5 sin x fonksiyonu için ters türev fonksiyonunun y = -5 cos x fonksiyonu olacağı anlamına gelir.

b) cos x'in ters türevi sin x'tir; Bu, bir fonksiyonun terstürevinin fonksiyon olduğu anlamına gelir
c) x 3'ün ters türevi x'in ters türevidir, y = 1 fonksiyonunun ters türevi ise y = x fonksiyonudur. Ters türevleri bulmanın birinci ve ikinci kurallarını kullanarak, y = 12x 3 + 8x-1 fonksiyonunun ters türevinin fonksiyon olduğunu buluruz.
Yorum. Bilindiği gibi bir çarpımın türevi, türevlerin çarpımına eşit değildir (bir çarpımın türevini alma kuralı daha karmaşıktır) ve bir bölümün türevi, türevlerin bölümüne eşit değildir. Bu nedenle çarpımın ters türevini veya iki fonksiyonun bölümünün ters türevini bulmanın hiçbir kuralı yoktur. Dikkat olmak!
Ters türevleri bulmak için başka bir kural elde edelim. y = f(kx+m) fonksiyonunun türevinin şu formülle hesaplandığını biliyoruz:

Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.
Kural 3. Eğer y = F(x), y = f(x) fonksiyonunun ters türevi ise, o zaman y=f(kx+m) fonksiyonunun ters türevi, fonksiyondur.

Aslında,

Bu, y = f(kx+m) fonksiyonunun ters türevi olduğu anlamına gelir.
Üçüncü kuralın anlamı şu şekildedir. y = f(x) fonksiyonunun ters türevinin y = F(x) fonksiyonu olduğunu biliyorsanız ve y = f(kx+m) fonksiyonunun ters türevini bulmanız gerekiyorsa, o zaman şu şekilde ilerleyin: aynı F fonksiyonudur, ancak x argümanı yerine kx+m ifadesini kullanın; Ayrıca fonksiyon işaretinin önüne “düzeltme faktörü” yazmayı da unutmayın.
Örnek 4. Verilen fonksiyonlar için antiderivatifleri bulun:

Çözüm, a) sin x'in terstürevi -soz x'tir; Bu, y = sin2x fonksiyonu için ters türevin fonksiyon olacağı anlamına gelir
b) cos x'in ters türevi sin x'tir; Bu, bir fonksiyonun terstürevinin fonksiyon olduğu anlamına gelir

c) x 7'nin ters türevi, y = (4-5x) 7 fonksiyonu için ters türevin şu fonksiyon olacağı anlamına gelir:

3. Belirsiz integral

Belirli bir y = f(x) fonksiyonu için ters türev bulma probleminin birden fazla çözümü olduğunu yukarıda belirtmiştik. Bu konuyu daha detaylı tartışalım.

Kanıt. 1. X aralığında y = f(x) fonksiyonunun ters türevi y = F(x) olsun. Bu, X'ten gelen tüm x'ler için x"(x) = f(x) eşitliğinin geçerli olduğu anlamına gelir. y = F(x)+C formundaki herhangi bir fonksiyonun türevini bulun:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Yani (F(x)+C) = f(x). Bu, y = F(x) + C'nin y = f(x) fonksiyonu için bir ters türev olduğu anlamına gelir.
Böylece, eğer y = f(x) fonksiyonunun bir y=F(x) ters türevi varsa, o zaman (f = f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi olduğunu, örneğin y = formundaki herhangi bir fonksiyonun olduğunu kanıtlamış olduk. F(x) +C bir terstürevdir.
2. Şimdi belirtilen türdeki fonksiyonların tüm antiderivatif setini tükettiğini kanıtlayalım.

y=F 1 (x) ve y=F(x), X aralığında Y = f(x) fonksiyonunun iki ters türevi olsun. Bu, X aralığındaki tüm x'ler için aşağıdaki ilişkilerin geçerli olduğu anlamına gelir: F^ ( x) = f(X); F"(x) = f(x).

y = F 1 (x) -.F(x) fonksiyonunu ele alalım ve türevini bulalım: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Bir fonksiyonun X aralığındaki türevi aynı şekilde sıfıra eşitse, bu durumda fonksiyonun X aralığında sabit olduğu bilinmektedir (bkz. § 35'teki Teorem 3). Bu, F 1 (x) - F (x) = C olduğu anlamına gelir, yani. Fx) = F(x)+C.

Teorem kanıtlandı.

Örnek 5. Hızın zamanla değişimi yasası verilmiştir: v = -5sin2t. Eğer t=0 anında noktanın koordinatının 1,5 sayısına eşit olduğu biliniyorsa (yani s(t) = 1,5) s = s(t) hareket yasasını bulun.

Çözüm. Hız, zamanın bir fonksiyonu olarak koordinatın bir türevi olduğundan, önce hızın ters türevini bulmamız gerekir; v = -5sin2t fonksiyonu için antiderivatif. Bu tür antiderivatiflerden biri fonksiyondur ve tüm antiderivatiflerin kümesi şu şekildedir:

C sabitinin spesifik değerini bulmak için s(0) = 1,5'e göre başlangıç ​​koşullarını kullanırız. T=0, S = 1,5 değerlerini formül (1)'e değiştirerek şunu elde ederiz:

C'nin bulunan değerini formül (1)'e koyarak bizi ilgilendiren hareket yasasını elde ederiz:

Tanım 2. Bir y = f(x) fonksiyonunun bir X aralığında bir ters türevi y = F(x) varsa, o zaman tüm ters türevler kümesi, yani; y = F(x) + C formundaki fonksiyonlar kümesine y = f(x) fonksiyonunun belirsiz integrali denir ve şu şekilde gösterilir:

(okuyun: “x de x'ten belirsiz integral ef”).
Bir sonraki paragrafta ne olduğunu öğreneceğiz gizli anlam belirtilen atama.
Bu bölümde bulunan antiderivatifler tablosuna dayanarak, ana belirsiz integrallerin bir tablosunu derleyeceğiz:

Ters türevleri bulmak için yukarıdaki üç kurala dayanarak, ilgili entegrasyon kurallarını formüle edebiliriz.

Kural 1. Fonksiyonların toplamının integrali, bu fonksiyonların integrallerinin toplamına eşittir:

Kural 2. Sabit faktör integral işaretinden çıkarılabilir:

Kural 3. Eğer

Örnek 6. Belirsiz integralleri bulun:

Çözüm, a) Birinci ve ikinci integral alma kurallarını kullanarak şunu elde ederiz:

Şimdi 3. ve 4. integral formüllerini kullanalım:

Sonuç olarak şunu elde ederiz:

b) Üçüncü integral kuralını ve formül 8'i kullanarak şunu elde ederiz:

c) Belirli bir integrali doğrudan bulmak için elimizde ne karşılık gelen formül ne de karşılık gelen kural vardır. Bu gibi durumlarda, integral işareti altında yer alan ifadenin daha önce gerçekleştirilen özdeş dönüşümleri bazen yardımcı olabilir.

Haydi yararlanalım trigonometrik formül Derece azaltma:

Sonra sırayla buluyoruz:

A.G. Mordkovich Cebiri 10. sınıf

Matematikte takvim-tematik planlama, videoçevrimiçi matematikte, Okulda matematik