Genel olarak denklemler, doğrusal cebirsel denklemler ve sistemleri ile bunları çözme yöntemleri matematikte hem teorik hem de uygulamalı olarak özel bir yere sahiptir.
Bunun nedeni fiziksel, ekonomik, teknik ve hatta pedagojik sorunların büyük çoğunluğunun çeşitli denklemler ve sistemleri kullanılarak tanımlanıp çözülebilmesidir. İÇİNDE Son zamanlarda araştırmacılar, bilim adamları ve uygulayıcılar arasında özellikle popülerlik kazanmıştır. matematik modelleme hemen hemen tüm konu alanlarında, çeşitli doğadaki nesneleri incelemek için bilinen ve kanıtlanmış diğer yöntemlere göre bariz avantajlarıyla açıklanan, özellikle sözde karmaşık sistemler. Bilim adamları tarafından verilen matematiksel modelin çok çeşitli farklı tanımları vardır. farklı zamanlar ancak bizce en başarılısı aşağıdaki ifadedir. Matematiksel model- bu bir fikir, denklemle ifade edilir. Bu nedenle denklemleri ve sistemlerini oluşturma ve çözme yeteneği, modern bir uzmanın ayrılmaz bir özelliğidir.
Doğrusal sistemleri çözmek cebirsel denklemler En sık kullanılan yöntemler Cramer, Jordan-Gauss ve matris yöntemidir.
Matris çözüm yöntemi, ters matris kullanarak sıfırdan farklı bir determinantı olan doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için kullanılan bir yöntemdir.
A matrisinde bilinmeyen xi miktarlarının katsayılarını yazarsak, bilinmeyen miktarları X vektör sütununda ve serbest terimleri B vektör sütununda toplarsak, doğrusal cebirsel denklemler sistemi şu şekilde yazılabilir: aşağıdaki matris denklemi A · X = B olup, yalnızca A matrisinin determinantı sıfıra eşit olmadığında benzersiz bir çözüme sahiptir. Bu durumda denklem sisteminin çözümü aşağıdaki şekilde bulunabilir. X = A-1 · B, Nerede A -1 - ters matris.
Matris çözüm yöntemi aşağıdaki gibidir.
Sistem verilsin doğrusal denklemlerİle N Bilinmeyen:
Matris formunda yeniden yazılabilir: balta = B, Nerede A- sistemin ana matrisi, B Ve X- sırasıyla sistemin serbest terimleri ve çözümlerinin sütunları:
Bunu çarpalım matris denklemi sol A-1 - matrisin tersi matris A: A -1 (balta) = A -1 B
Çünkü A -1 A = e, alıyoruz X=A -1 B. Sağ kısım Bu denklemin denklemi, orijinal sistemin çözümlerinin bir sütununu verecektir. Uygulanabilirlik koşulu Bu method(ayrıca genel olarak bir çözümün varlığı homojen sistem Denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu doğrusal denklemler), matrisin dejenere olmamasıdır A. Gerekli ve yeterli koşul Bu, matrisin determinantının sıfıra eşit olmadığı anlamına gelir A:det A≠ 0.
Homojen bir doğrusal denklem sistemi için, yani vektör B = 0 aslında tam tersi kural: sistem balta = 0'ın önemsiz olmayan (yani sıfır olmayan) bir çözümü yalnızca det olması durumunda vardır A= 0. Homojen ve homojen olmayan doğrusal denklem sistemlerinin çözümleri arasındaki bu tür bir bağlantıya Fredholm alternatifi denir.
Örnek Homojen olmayan bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümleri.
Lineer cebirsel denklem sisteminin bilinmeyenlerinin katsayılarından oluşan matrisin determinantının sıfıra eşit olmadığından emin olalım.
Bir sonraki adım hesaplamaktır cebirsel eklemeler bilinmeyenlerin katsayılarından oluşan bir matrisin elemanları için. Ters matrisi bulmak için onlara ihtiyaç duyulacak.
(bazen bu yönteme aynı zamanda denir matris yöntemi veya ters matris yöntemi), SLAE gösteriminin matris biçimi gibi bir kavrama önceden aşina olmayı gerektirir. Ters matris yöntemi, sistem matrisinin determinantının sıfırdan farklı olduğu doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için tasarlanmıştır. Doğal olarak bu, sistemin matrisinin kare olduğunu varsayar (determinant kavramı yalnızca kare matrisler için mevcuttur). Ters matris yönteminin özü üç noktada ifade edilebilir:
- Üç matris yazın: sistem matrisi $A$, bilinmeyenler matrisi $X$, serbest terimler matrisi $B$.
- Ters matris $A^(-1)$'ı bulun.
- $X=A^(-1)\cdot B$ eşitliğini kullanarak verilen SLAE'ye bir çözüm elde edin.
Herhangi bir SLAE matris biçiminde $A\cdot X=B$ şeklinde yazılabilir; burada $A$ sistemin matrisidir, $B$ serbest terimlerin matrisidir, $X$ bilinmeyenler matrisidir. $A^(-1)$ matrisinin var olmasına izin verin. $A\cdot X=B$ eşitliğinin her iki tarafını da soldaki $A^(-1)$ matrisiyle çarpalım:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
$A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ birim matris olduğundan), yukarıdaki eşitlik şöyle olur:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
$E\cdot X=X$ olduğundan, o zaman:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Örnek No.1
Ters matrisi kullanarak SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11.\end(aligned) \right.$'ı çözün.
$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$
Sistem matrisinin ters matrisini bulalım, yani. $A^(-1)$'ı hesaplayalım. 2 numaralı örnekte
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$
Şimdi üç matrisin tamamını ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ eşitliğinde yerine koyalım. Daha sonra matris çarpımını yapıyoruz
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(dizi)\sağ)\cdot \left(\begin(dizi) (c) 29\\ -11 \end(dizi)\sağ)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(dizi)\sağ)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(dizi) (c) 309\\ -206 \end(dizi)\sağ)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$
Böylece $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end( eşitliğini elde ettik. dizi )\sağ)$. Bu eşitlikten şunu elde ederiz: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Cevap: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Örnek No.2
SLAE'yi çözün $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(aligned)\right .$ ters matris yöntemini kullanarak.
$A$ sisteminin matrisini, serbest terimler matrisini $B$ ve bilinmeyenler matrisini $X$ yazalım.
$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$
Şimdi sıra sistem matrisinin tersi olan matrisi bulmada. $A^(-1)$'ı bulun. Ters matrislerin bulunmasına ayrılmış sayfadaki 3 numaralı örnekte, ters matris zaten bulunmuştur. Bitmiş sonucu kullanalım ve $A^(-1)$ yazalım:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(dizi)\sağ). $$
Şimdi üç matrisin tamamını ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ eşitliğine koyalım ve ardından sağ tarafta matris çarpımı gerçekleştirelim. bu eşitlikten.
$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(dizi)\sağ)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(dizi) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(dizi)\sağ)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(dizi) (c) 0\\-104\\234\end(dizi)\sağ)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$
Böylece $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4 eşitliğini elde ettik. \ \9\end(array)\right)$. Bu eşitlikten şunu elde ederiz: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Hadi düşünelim doğrusal cebirsel denklem sistemi(SLAU) nispeten N Bilinmeyen X 1 , X 2 , ..., X N :
Bu sistem “daraltılmış” biçimde şu şekilde yazılabilir:
S N ben=1 A ben X J = b Ben , i=1,2, ..., n.
Matris çarpım kuralına uygun olarak, ele alınan doğrusal denklem sistemi şu şekilde yazılabilir: matris formu Balta=b, Nerede
,
,.
Matris Aİlgili denklemde sütunları karşılık gelen bilinmeyenlerin katsayıları, satırları ise bilinmeyenlerin katsayıları olan denkleme denir. sistemin matrisi. Sütun matrisi B Elemanları sistem denklemlerinin sağ tarafları olan matrise sağ taraf matrisi veya basitçe denir. sistemin sağ tarafı. Sütun matrisi X Elemanları bilinmeyen bilinmeyenler olan şeye denir sistem çözümü.
şeklinde yazılmış bir doğrusal cebirsel denklem sistemi Balta=b, dır-dir matris denklemi.
Sistem matrisi ise dejenere olmayan, o zaman ters bir matrisi vardır ve sistemin çözümü Balta=b aşağıdaki formülle verilir:
x=A -1 B.
Örnek Sistemi çöz 
matris yöntemi.
Çözüm sistemin katsayı matrisinin ters matrisini bulalım
İlk satır boyunca genişleterek determinantı hesaplayalım:
Çünkü Δ ≠ 0 , O A -1 var.
Ters matris doğru bulundu.
Sisteme bir çözüm bulalım 
Buradan, X 1 = 1, x 2 = 2,x 3 = 3 .
Muayene: 
7. Bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin uyumluluğuna ilişkin Kronecker-Capelli teoremi.
Doğrusal denklem sistemişu forma sahiptir:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Burada a i j ve b i (i = ; j = ) verilmiştir ve x j bilinmeyen gerçek sayılardır. Matrislerin çarpımı kavramını kullanarak sistemi (5.1) şu şekilde yeniden yazabiliriz:
burada A = (a i j), sistemin (5.1) bilinmeyenleri için katsayılardan oluşan bir matristir; buna denir sistemin matrisi, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T sırasıyla bilinmeyenler x j ve serbest terimler b i'den oluşan sütun vektörleridir.
Sipariş edilen koleksiyon N reel sayılara (c 1, c 2,..., c n) denir sistem çözümü(5.1), eğer bu sayıların karşılık gelen x 1, x 2,..., xn değişkenleri yerine konulması sonucunda sistemin her denklemi bir aritmetik kimliğe dönüşürse; başka bir deyişle, AC B olacak şekilde bir C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T vektörü varsa.
Sistem (5.1) çağrılır eklem yeri, veya çözülebilir, en az bir çözümü varsa. Sistem denir uyumsuz, veya çözülemez, eğer hiçbir çözümü yoksa.
,
Sağdaki A matrisine serbest terimlerden oluşan bir sütun atanarak oluşturulan matrise denir. Sistemin genişletilmiş matrisi.
Sistemin (5.1) uyumluluğu sorunu aşağıdaki teorem ile çözülür.
Kronecker-Capelli teoremi . Bir doğrusal denklem sistemi ancak ve ancak A veA matrislerinin sıralarının çakışması durumunda tutarlıdır; r(A) = r(A) = r.
(5.1) sisteminin M çözüm kümesi için üç olasılık vardır:
1) M = (bu durumda sistem tutarsızdır);
2) M bir elementten oluşur, yani. sistemin benzersiz bir çözümü vardır (bu durumda sistem denir) kesin);
3) M birden fazla elemandan oluşur (bu durumda sistem denir) belirsiz). Üçüncü durumda (5.1) sisteminin sonsuz sayıda çözümü vardır.
Sistemin tek çözümü ancak r(A) = n ise vardır. Bu durumda denklem sayısı bilinmeyen sayısından (mn) az değildir; eğer m>n ise m-n denklemleri diğerlerinin sonuçlarıdır. 0 ise Rastgele bir doğrusal denklem sistemini çözmek için, denklem sayısının bilinmeyenlerin sayısına eşit olduğu sistemleri çözebilmeniz gerekir - buna sözde Kramer tipi sistemler: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemler (5.3) aşağıdaki yollardan biriyle çözülür: 1) Gauss yöntemi veya bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi; 2) Cramer'in formüllerine göre; 3) matris yöntemi. Örnek 2.12. Denklem sistemini inceleyin ve tutarlıysa çözün: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Çözüm. Sistemin genişletilmiş matrisini yazıyoruz:
Sistemin ana matrisinin rütbesini hesaplayalım. Örneğin sol üst köşedeki ikinci dereceden minörün = 7 0 olduğu açıktır; onu içeren üçüncü dereceden küçükler sıfıra eşittir: Sonuç olarak, sistemin ana matrisinin sıralaması 2'dir, yani. r(A) = 2. Genişletilmiş matris A'nın sırasını hesaplamak için sınırdaki küçük değeri dikkate alın bu, genişletilmiş matris r(A)'nın rütbesinin = 3 olduğu anlamına gelir. r(A) r(A) olduğundan sistem tutarsızdır. Konu 2. LİNEER CEBİR DENKLEM SİSTEMLERİ. Temel konseptler. Tanım 1. Sistem M ile doğrusal denklemler N bilinmeyenler formdaki bir sistemdir: nerede ve sayılar. Tanım 2. (I) sisteminin çözümü, bu sistemin her denkleminin bir özdeşliğe dönüştüğü bir bilinmeyenler kümesidir. Tanım 3. Sistem (I) denir eklem yeri en az bir çözümü varsa ve ortak olmayan, eğer hiçbir çözümü yoksa. Eklem sistemi denir kesin benzersiz bir çözümü varsa ve belirsiz aksi takdirde. Tanım 4. Formun denklemi isminde sıfır ve denklem şu şekildedir isminde uyumsuz. Açıkçası, uyumsuz bir denklem içeren bir denklem sistemi tutarsızdır. Tanım 5. İki doğrusal denklem sistemi denir eş değer, eğer bir sistemin her çözümü bir başka sistemin çözümü olarak hizmet ediyorsa ve bunun tersine, ikinci sistemin her çözümü birincinin çözümü ise. Bir doğrusal denklem sisteminin matris gösterimi. Sistem (I)'i ele alalım (bkz. §1). Şunu belirtelim: Bilinmeyenler için katsayı matrisi Matris - serbest terimler sütunu Matris – bilinmeyenler sütunu Tanım 1. Matris denir sistemin ana matrisi(I) ve matris, sistemin (I) genişletilmiş matrisidir. Matrislerin eşitliği tanımı gereği, sistem (I) matris eşitliğine karşılık gelir: Matrislerin çarpımının tanımı gereği bu eşitliğin sağ tarafı ( bkz. tanım 3 § 5 bölüm 1) çarpanlara ayrılabilir: Eşitlik (2)
isminde sistemin matris gösterimi (I). Cramer yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme. Sisteme izin ver (I) (bkz. §1) m=n yani denklem sayısı bilinmeyenlerin sayısına eşittir ve sistemin ana matrisi tekil değildir, yani. . O halde §1'deki sistem (I) benzersiz bir çözüme sahiptir nerede Δ = det A ana denir sistemin belirleyicisi(ben), Δ BenΔ determinantı değiştirilerek elde edilir Ben sütununu sistemin serbest üyelerinden oluşan bir sütuna (I) ekleyin. Örnek: Sistemi Cramer yöntemini kullanarak çözün: Formüllere göre (3)
Sistemin belirleyicilerini hesaplıyoruz: Determinantı elde etmek için determinantın ilk sütununu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirdik; Determinanttaki 2. sütunu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek şunu elde ederiz; benzer şekilde, determinantın 3. sütununu serbest terimlerden oluşan bir sütunla değiştirerek elde ederiz. Sistem çözümü: Ters matris kullanarak doğrusal denklem sistemlerini çözme. Sisteme izin ver (I) (bkz. §1) m=n ve sistemin ana matrisi tekil değildir. (I) sistemini matris formunda yazalım ( bkz. §2): Çünkü matris A tekil değilse, ters bir matrise sahiptir ( bkz. Bölüm 1 Teorem 1 §6). Eşitliğin her iki tarafını da çarpalım (2)
matrise, o zaman Ters bir matrisin tanımı gereği. Eşitlikten (3)
sahibiz Ters matrisi kullanarak sistemi çözün Haydi belirtelim Örnekte (§ 3) determinantı hesapladık, dolayısıyla matris A ters matrise sahiptir. Daha sonra fiilen (4)
yani Matris'i bulalım ( bkz. §6 bölüm 1) Gauss yöntemi. Bir doğrusal denklem sistemi verilsin: (I) sisteminin tüm çözümlerinin bulunması veya sistemin tutarsız olduğundan emin olunması gerekmektedir. Tanım 1.Sistemin temel dönüşümünü adlandıralım(I) üç eylemden herhangi biri: 1) sıfır denkleminin üzerini çizin; 2) denklemin her iki tarafına başka bir denklemin karşılık gelen kısımlarının l sayısıyla çarpılmasıyla eklenmesi; 3) tüm denklemlerde aynı sayılara sahip bilinmeyenlerin aynı yerleri işgal etmesi için sistemin denklemlerindeki terimlerin değiştirilmesi, yani. örneğin 1. denklemde 2. ve 3. terimleri değiştirmişsek, sistemin tüm denklemlerinde aynı işlemin yapılması gerekir. Gauss yöntemi, sistemin (I) temel dönüşümlerin yardımıyla, çözümü doğrudan bulunan veya çözülemezliği kurulan eşdeğer bir sisteme indirgenmesi gerçeğinden oluşur. §2'de açıklandığı gibi, sistem (I), genişletilmiş matrisi tarafından benzersiz bir şekilde belirlenir ve sistem (I)'in herhangi bir temel dönüşümü, genişletilmiş matrisin temel bir dönüşümüne karşılık gelir: Dönüşüm 1) matristeki sıfır satırın silinmesine karşılık gelir, dönüşüm 2) matrisin karşılık gelen satırına l sayısıyla çarpılarak başka bir satır eklenmesine eşdeğerdir, dönüşüm 3) matristeki sütunların yeniden düzenlenmesine eşdeğerdir. Aksine, matrisin her temel dönüşümünün (I) sisteminin temel bir dönüşümüne karşılık geldiğini görmek kolaydır. Yukarıdakilerden dolayı (I) sistemi ile işlemler yerine bu sistemin genişletilmiş matrisi ile çalışacağız. Matrisin 1. sütunu aşağıdaki katsayılardan oluşur: x 1, 2. sütun - katsayılardan x 2 vesaire. Sütunların yeniden düzenlenmesi durumunda bu koşulun ihlal edildiği dikkate alınmalıdır. Örneğin, 1. ve 2. sütunları değiştirirsek, artık 1. sütun şu katsayıları içerecektir: x 2 ve 2. sütunda - katsayılar x 1. (I) sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözeceğiz. 1. Varsa matristeki tüm sıfır satırların üzerini çizin (yani (I) sistemindeki tüm sıfır denklemlerinin üzerini çizin. 2. Matrisin satırları arasında sonuncusu dışındaki tüm elemanların sıfıra eşit olduğu bir satır olup olmadığını kontrol edelim (böyle bir satıra tutarsız diyelim). Açıkçası böyle bir doğru (I) sistemindeki tutarsız bir denkleme karşılık gelir, dolayısıyla (I) sisteminin çözümü yoktur ve süreç burada sona erer. 3. Matrisin tutarsız satırlar içermemesine izin verin (sistem (I) tutarsız denklemler içermez). Eğer 11 =0, daha sonra 1. satırda sıfır dışında bir öğe (sonuncusu hariç) buluruz ve sütunları, 1. satırda 1. sırada sıfır olmayacak şekilde yeniden düzenleriz. Şimdi bunu varsayacağız (yani (I) sisteminin denklemlerindeki karşılık gelen terimleri değiştireceğiz). 4. 1. satırı çarpın ve sonucu 2. satırla ekleyin, ardından 1. satırı çarpın ve sonucu 3. satırla ekleyin, vb. Açıkçası, bu süreç bilinmeyeni ortadan kaldırmaya eşdeğerdir x 1 1. hariç, sistem (I)'in tüm denklemlerinden. Yeni matriste elemanın altındaki 1. sütunda sıfırlar alıyoruz 11: 5. Matriste varsa tüm sıfır satırların üzerini çizelim ve tutarsız bir satır olup olmadığını kontrol edelim (varsa sistem tutarsızdır ve çözüm burada biter). Olacak mı diye kontrol edelim a 22 / =0, eğer evet ise, 2. satırda sıfır dışında bir öğe buluruz ve sütunları yeniden düzenleriz. Daha sonra 2. satırın elemanlarını şu şekilde çarpın: Alınan aksiyonlar bilinmeyeni ortadan kaldırmaya eşdeğerdir x 2 1. ve 2. hariç, sistem (I)'in tüm denklemlerinden. Satır sayısı sonlu olduğundan, sonlu sayıda adımdan sonra ya sistemin tutarsız olduğunu anlarız ya da bir adım matrisi elde ederiz ( bkz. tanım 2 §7 bölüm 1) : Matrise karşılık gelen denklem sistemini yazalım. Bu sistem (I) sistemine eşdeğerdir. İfade ettiğimiz son denklemden; elde edene kadar önceki denklemi yerine koyun, bulun, vb. Not 1. Böylece, (I) sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözerken aşağıdaki durumlardan birine ulaşırız. 1. Sistem (I) tutarsızdır. 2. Matristeki satır sayısı bilinmeyenlerin sayısına () eşitse Sistem (I)'in benzersiz bir çözümü vardır. 3. Matristeki satır sayısı bilinmeyen sayısından () az ise Sistem (I)'in sonsuz sayıda çözümü vardır. Dolayısıyla aşağıdaki teorem geçerlidir. Teorem. Bir doğrusal denklem sistemi ya tutarsızdır, ya benzersiz bir çözümü vardır ya da sonsuz sayıda çözümü vardır. Örnekler. Denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün veya tutarsızlığını kanıtlayın: B) a) Verilen sistemi şu şekilde yeniden yazalım: Hesaplamaları kolaylaştırmak için orijinal sistemin 1. ve 2. denklemlerini değiştirdik (kesirler yerine bu düzenlemeyi kullanarak sadece tam sayılarla çalışacağız). Genişletilmiş bir matris oluşturalım: Boş satır yok; uyumsuz çizgi yok; 1. bilinmeyeni sistemin 1. dışındaki tüm denklemlerinden çıkaralım. Bunu yapmak için, matrisin 1. satırının elemanlarını "-2" ile çarpın ve bunları 2. satırın karşılık gelen elemanlarıyla ekleyin; bu, 1. denklemi "-2" ile çarpıp 2. denklemle eklemeye eşdeğerdir. denklem. Daha sonra 1. satırın elemanlarını “-3” ile çarpıyoruz ve bunları üçüncü satırın karşılık gelen elemanlarıyla ekliyoruz, yani. verilen sistemin 2. denklemini “-3” ile çarpıp 3. denkleme ekleyin. Aldık Matris bir denklem sistemine karşılık gelir). - (bkz. Bölüm 1, tanım 3§7). Ters matris yöntemi özel bir durumdur matris denklemi Sistemi matris yöntemini kullanarak çözün Çözüm: Sistemi matris formunda yazıyoruz, formülü kullanarak sistemin çözümünü buluyoruz (son formüle bakınız) Ters matrisi aşağıdaki formülü kullanarak buluruz: Öncelikle determinantı inceleyelim: Burada determinant ilk satırda genişletilir. Dikkat! Eğer öyleyse, ters matris mevcut değildir ve sistemi matris yöntemini kullanarak çözmek imkansızdır. Bu durumda sistem bilinmeyenlerin elenmesi yöntemi (Gauss yöntemi) ile çözülür. Şimdi 9 minör hesaplayıp bunları minör matrisine yazmamız gerekiyor Referans: Doğrusal cebirde çift indislerin anlamını bilmek faydalıdır. İlk hane, elemanın bulunduğu satırın numarasıdır. İkinci rakam, elemanın bulunduğu sütunun numarasıdır: Çözüm sırasında reşit olmayanların hesaplanmasını ayrıntılı olarak açıklamak daha iyidir, ancak bazı deneyimlerle bunları sözlü olarak hatalarla hesaplamaya alışabilirsiniz. Reşit olmayanların hesaplanma sırası hiç önemli değil, burada soldan sağa satır satır hesapladım. Küçükleri sütunlara göre hesaplamak mümkündü (bu daha da uygundur). Böylece: – cebirsel eklemelerin matrisi. – cebirsel eklemelerin transpoze matrisi. Tekrar ediyorum, derste yapılan adımları detaylı olarak tartıştık. Bir matrisin tersi nasıl bulunur? Şimdi ters matrisi yazıyoruz: Hiçbir durumda matrise girmemeliyiz, bu daha sonraki hesaplamaları ciddi şekilde karmaşıklaştıracaktır.. Matristeki tüm sayıların 60'a kalansız bölünebilmesi durumunda bölme işlemi yapılması gerekir. Ancak bu durumda matrise bir eksi eklemek çok gereklidir, aksine daha sonraki hesaplamaları basitleştirecektir. Geriye kalan tek şey matris çarpımını gerçekleştirmektir. Matrislerin nasıl çarpılacağını sınıfta öğrenebilirsiniz. Matrislerle eylemler. Bu arada, orada da tamamen aynı örnek analiz ediliyor. 60'a bölme işleminin yapıldığını unutmayın sonuncusu. Cevap: Örnek 12 Sistemi ters matrisi kullanarak çözün. Bu, bağımsız bir çözüm örneğidir (son tasarımın bir örneği ve dersin sonundaki cevap). Sistemi çözmenin en evrensel yolu Bilinmeyenleri ortadan kaldırma yöntemi (Gauss yöntemi). Algoritmayı net bir şekilde anlatmak o kadar kolay değil ama denedim! Sana başarılar diliyorum! Yanıtlar: Örnek 3:
Örnek 6:
Örnek 8:
,
. Bu örnek için örnek bir çözümü görüntüleyebilir veya indirebilirsiniz (aşağıdaki bağlantı). Örnek 10, 12: Doğrusal denklem sistemlerini dikkate almaya devam ediyoruz. Bu ders konuyla ilgili üçüncü derstir. Genel olarak doğrusal denklem sisteminin ne olduğuna dair belirsiz bir fikriniz varsa, kendinizi çaydanlık gibi hissediyorsanız, o zaman Sonraki sayfasındaki temel bilgilerle başlamanızı öneririm, dersi incelemenizde fayda var. Gauss yöntemi kolaydır! Neden? Ünlü Alman matematikçi Johann Carl Friedrich Gauss, yaşamı boyunca tüm zamanların en büyük matematikçisi, bir dahi olarak tanındı ve hatta “Matematiğin Kralı” lakabını aldı. Ve bildiğiniz gibi ustaca olan her şey basit! Bu arada, sadece enayiler değil, dahiler de para alıyor - Gauss'un portresi 10 Alman Markı banknotunun üzerindeydi (euro'nun piyasaya sürülmesinden önce) ve Gauss hala sıradan posta pullarından Almanlara gizemli bir şekilde gülümsüyor. Gauss yöntemi basittir, çünkü BEŞİNCİ SINIF ÖĞRENCİSİNİN BİLGİSİ bu konuda uzmanlaşmak için YETERLİDİR. Toplama ve çarpmayı bilmelisiniz!Öğretmenlerin okul matematik seçmeli derslerinde bilinmeyenleri sıralı olarak hariç tutma yöntemini sıklıkla düşünmeleri tesadüf değildir. Bu bir paradoks ama öğrenciler Gauss yöntemini en zor buluyorlar. Şaşırtıcı bir şey yok - her şey metodolojiyle ilgili ve yöntemin algoritması hakkında erişilebilir bir biçimde konuşmaya çalışacağım. Öncelikle doğrusal denklem sistemleri hakkında biraz bilgi verelim. Bir doğrusal denklem sistemi şunları yapabilir: 1) Benzersiz bir çözüme sahip olun. Gauss yöntemi çözüm bulmak için en güçlü ve evrensel araçtır herhangi Doğrusal denklem sistemleri. Hatırladığımız kadarıyla, Cramer kuralı ve matris yöntemi Sistemin sonsuz sayıda çözümü olduğu veya tutarsız olduğu durumlarda uygun değildir. Ve bilinmeyenlerin sıralı olarak ortadan kaldırılması yöntemi Her neyse bizi cevaba götürecek! Bu dersimizde yine 1 numaralı durum (sistemin tek çözümü) için Gauss yöntemini ele alacağız, 2-3 numaralı noktaların durumlarına bir makale ayrılmıştır. Yöntemin algoritmasının her üç durumda da aynı şekilde çalıştığını not ediyorum. Dersten en basit sisteme dönelim Doğrusal denklem sistemi nasıl çözülür? İlk adım yazmaktır genişletilmiş sistem matrisi: Referans:
hatırlamanı tavsiye ederimşartlar
lineer Cebir.Sistem Matrisi
yalnızca bilinmeyenler için katsayılardan oluşan bir matristir; bu örnekte sistemin matrisi:
.
Genişletilmiş Sistem Matrisi
– bu, sistemin aynı matrisi artı serbest terimlerin bir sütunudur, bu durumda:
. Kısaca belirtmek gerekirse, matrislerden herhangi birine basitçe matris adı verilebilir. Genişletilmiş matris sistemi yazıldıktan sonra onunla bazı eylemlerin gerçekleştirilmesi gerekir. temel dönüşümler. Aşağıdaki temel dönüşümler mevcuttur: 1) Teller matrisler yeniden düzenlenebilir bazı yerlerde. Örneğin, söz konusu matriste birinci ve ikinci satırları ağrısız bir şekilde yeniden düzenleyebilirsiniz: 2) Matriste orantılı (özel bir durum olarak - aynı) satırlar varsa (veya ortaya çıkmışsa), o zaman şunları yapmalısınız: silmek Bu satırların biri hariç tümü matristendir. Örneğin matrisi düşünün 3) Dönüşümler sırasında matriste sıfır satır görünüyorsa, o zaman aynı zamanda silmek. Tabii ki çizmeyeceğim, sıfır çizgisi hangi çizgidir? hepsi sıfır. 4) Matris satırı şu şekilde olabilir: çarpmak (bölmek) herhangi bir numaraya sıfır olmayan. Örneğin matrisi düşünün. Burada ilk satırı –3'e bölmeniz ve ikinci satırı 2 ile çarpmanız önerilir: 5) Bu dönüşüm en çok zorluğa neden olur, ancak aslında karmaşık bir şey de yoktur. Bir matrisin bir satırına şunları yapabilirsiniz: bir sayıyla çarpılan başka bir dize ekle, sıfırdan farklı. Pratik bir örnekten matrisimize bakalım: . İlk önce dönüşümü çok detaylı bir şekilde anlatacağım. İlk satırı –2 ile çarpın: Pratikte elbette bu kadar ayrıntılı yazmıyorlar, kısaca yazıyorlar: “Matrisi yeniden yazıyorum ve ilk satırı yeniden yazıyorum: “ "İlk sütun. En altta sıfır almam gerekiyor. Bu nedenle üsttekini -2: ile çarpıyorum ve ilkini ikinci satıra ekliyorum: 2 + (–2) = 0. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: “Şimdi ikinci sütun. En üstte -1 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: 1 + 2 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: " “Ve üçüncü sütun. En üstte -5 ile -2'yi çarpıyorum: . İlkini ikinci satıra ekliyorum: –7 + 10 = 3. Sonucu ikinci satıra yazıyorum: Lütfen bu örneği dikkatlice anlayın ve sıralı hesaplama algoritmasını anlayın, bunu anlarsanız Gauss yöntemi pratik olarak cebinizde. Ama elbette bu dönüşüm üzerinde çalışmaya devam edeceğiz. Temel dönüşümler denklem sisteminin çözümünü değiştirmez ! DİKKAT: dikkate alınan manipülasyonlar kullanılamaz, matrislerin "kendi başlarına" verildiği bir görev teklif edilirse. Örneğin “klasik” matrislerle işlemler Hiçbir durumda matrislerin içindeki hiçbir şeyi yeniden düzenlememelisiniz! Sistemimize dönelim. Neredeyse çözüldü. Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu şuna indirelim: kademeli görünüm: (1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Bu arada neden ilk satırı –2 ile çarpıyoruz? Altta sıfır elde etmek için bu, ikinci satırda bir değişkenden kurtulmak anlamına gelir. (2) İkinci satırı 3'e bölün. Temel dönüşümlerin amacı–
matrisi aşamalı forma indirgeyin: Temel dönüşümler sonucunda elde ettik eş değer orijinal denklem sistemi: Şimdi sistemin ters yönde "çözülmesi" gerekiyor - aşağıdan yukarıya doğru bu işleme denir Gauss yönteminin tersi. Alt denklemde zaten hazır bir sonucumuz var: . Sistemin ilk denklemini ele alalım ve zaten bilinen “y” değerini onun içine koyalım: Gauss yönteminin üç bilinmeyenli üç doğrusal denklemden oluşan bir sistemin çözülmesini gerektirdiği en yaygın durumu ele alalım. örnek 1 Denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün: Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım: Şimdi çözüm sırasında ulaşacağımız sonucu hemen çizeceğim: İlk önce sol üstteki numaraya bakın: Artık ilk satır çözümün sonuna kadar değişmeden kalacak. Şimdi iyi. Sol üst köşedeki ünite düzenlenmiştir. Şimdi bu yerlerde sıfır almanız gerekiyor: Sıfırları “zor” bir dönüşüm kullanarak elde ederiz. İlk önce ikinci satırla ilgileniyoruz (2, –1, 3, 13). İlk pozisyonda sıfır almak için ne yapılması gerekiyor? Gerekiyor ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –2 ile çarpın: (–2, –4, 2, –18). Ve sürekli olarak (yine zihinsel olarak veya taslak üzerinde) ekleme yapıyoruz, ikinci satıra zaten –2 ile çarpılmış olan ilk satırı ekliyoruz: Sonucu ikinci satıra yazıyoruz: Üçüncü satırı da aynı şekilde ele alıyoruz (3, 2, –5, –1). İlk pozisyonda sıfır almak için ihtiyacınız olan üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Zihinsel olarak veya taslakta ilk satırı –3 ile çarpın: (–3, –6, 3, –27). VE üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekliyoruz: Sonucu üçüncü satıra yazıyoruz: Uygulamada bu eylemler genellikle sözlü olarak gerçekleştirilir ve tek adımda yazılır: Her şeyi aynı anda ve aynı anda saymaya gerek yok. Hesaplamaların sırası ve sonuçların “yazılması” tutarlı ve genellikle şu şekildedir: önce ilk satırı yeniden yazarız ve yavaşça kendimize üfleriz - SÜREKLİ ve DİKKATLİCE: Bu örnekte bunu yapmak çok kolay; ikinci satırı -5'e bölüyoruz (çünkü oradaki tüm sayılar 5'e kalansız bölünebiliyor). Aynı zamanda üçüncü satırı -2'ye bölüyoruz çünkü sayılar ne kadar küçük olursa çözüm o kadar basit olur: Temel dönüşümlerin son aşamasında, burada bir sıfır daha almanız gerekir: Bunun için üçüncü satıra ikinci satırı –2 ile çarparak ekliyoruz: Gerçekleştirilen son eylem, sonucun saç modelidir, üçüncü satırı 3'e bölün. Temel dönüşümlerin bir sonucu olarak eşdeğer bir doğrusal denklem sistemi elde edildi: Şimdi Gauss yönteminin tersi devreye giriyor. Denklemler aşağıdan yukarıya doğru “gevşemektedir”. Üçüncü denklemde zaten hazır bir sonucumuz var: İkinci denkleme bakalım: . "Zet"in anlamı zaten bilinmektedir, dolayısıyla: Ve son olarak ilk denklem: . "Igrek" ve "zet" biliniyor, bu sadece küçük şeyler meselesi: Cevap: Daha önce birkaç kez belirtildiği gibi, herhangi bir denklem sistemi için bulunan çözümü kontrol etmek mümkün ve gereklidir, neyse ki bu kolay ve hızlıdır. Örnek 2 Bu, bağımsız bir çözüm örneği, nihai tasarımın bir örneği ve dersin sonunda bir cevaptır. Şunu belirtmek gerekir ki kararın ilerlemesi karar sürecimle örtüşmeyebilir, ve bu Gauss yönteminin bir özelliğidir. Ama cevaplar aynı olmalı! Örnek 3 Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim: Sol üstteki “adıma” bakıyoruz. Orada bir tane olmalı. Sorun şu ki, ilk sütunda hiç birim yok, dolayısıyla satırları yeniden düzenlemek hiçbir şeyi çözmeyecek. Bu gibi durumlarda ünitenin temel bir dönüşüm kullanılarak düzenlenmesi gerekir. Bu genellikle birkaç yolla yapılabilir. Bunu yaptım: (1) İlk satıra ikinci satırı -1 ile çarparak ekliyoruz. Yani ikinci satırı zihinsel olarak -1 ile çarpıp birinci ve ikinci satırları ekledik, ikinci satır değişmedi. Şimdi sol üst -1, bu da bize çok yakışıyor. +1 almak isteyen herkes ek bir hareket yapabilir: İlk satırı –1 ile çarpın (işaretini değiştirin). (2) Birinci satırın 5 ile çarpılması ikinci satıra, ilk satırın 3 ile çarpılması üçüncü satıra eklenmiştir. (3) İlk satır -1 ile çarpılmıştır, prensip olarak bu güzellik içindir. Üçüncü satırın işareti de değiştirilerek ikinci sıraya taşındı, böylece ikinci “adım”da gerekli üniteye sahip olduk. (4) İkinci satır üçüncü satıra 2 ile çarpılarak eklendi. (5) Üçüncü satır 3'e bölündü. Hesaplamalarda bir hata olduğunu (daha nadiren bir yazım hatası) gösteren kötü bir işaret, "kötü" bir sonuçtur. Yani, eğer aşağıda , gibi bir şey varsa ve buna göre, Biz bunun tersini uyguluyoruz, örneklerin tasarımında genellikle sistemin kendisini yeniden yazmıyorlar, ancak denklemler "doğrudan verilen matristen alınıyor." Size hatırlatırım, ters hareket aşağıdan yukarıya doğru işe yarar: Cevap: Örnek 4 Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, biraz daha karmaşıktır. Birisinin kafası karışırsa sorun olmaz. Dersin sonunda tam çözüm ve örnek tasarım. Sizin çözümünüz benim çözümümden farklı olabilir. Son bölümde Gauss algoritmasının bazı özelliklerine bakacağız. İkinci özellik şudur. Ele alınan tüm örneklerde “adımlara” –1 veya +1 yerleştirdik. Orada başka numaralar olabilir mi? Bazı durumlarda bunu yapabilirler. Sistemi düşünün: Burada sol üst “adım”da iki tane var. Ancak ilk sütundaki tüm sayıların 2'ye kalansız bölünebildiğini, diğerinin ise iki ve altı olduğunu fark ettik. Ve sol üstteki ikisi bize yakışacak! İlk adımda aşağıdaki dönüşümleri yapmanız gerekir: ilk satırı -1 ile çarparak ikinci satıra ekleyin; üçüncü satıra ilk satırı –3 ile çarparak ekleyin. Bu şekilde ilk sütunda gerekli sıfırları alacağız. Veya başka bir geleneksel örnek: Gauss'un yöntemi evrenseldir ancak bir özelliği vardır. Sistemleri ilk seferde diğer yöntemleri (Cramer yöntemi, matris yöntemi) kullanarak çözmeyi güvenle öğrenebilirsiniz - çok katı bir algoritmaları vardır. Ancak Gauss yöntemine güvenebilmek için en az 5-10 onlu sistemi “işe sokmalı” ve çözmelisiniz. Bu nedenle ilk başta hesaplamalarda karışıklıklar ve hatalar olabilir ve bunda olağandışı veya trajik bir şey yoktur. Pencerenin dışında yağmurlu bir sonbahar havası... Bu nedenle, kendi başına çözmek için daha karmaşık bir örnek isteyen herkes için: Örnek 5 Dört bilinmeyenli 4 doğrusal denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözün. Böyle bir görev pratikte o kadar da nadir değildir. Bu sayfayı iyice inceleyen bir çaydanlığın bile böyle bir sistemi sezgisel olarak çözme algoritmasını anlayacağını düşünüyorum. Temelde her şey aynı; yalnızca daha fazla eylem var. Sistemin çözümünün olmadığı (tutarsız) veya sonsuz sayıda çözümün olduğu durumlar derste tartışılmaktadır. Uyumsuz sistemler ve ortak bir çözüme sahip sistemler. Burada Gauss yönteminin dikkate alınan algoritmasını düzeltebilirsiniz. Sana başarılar diliyorum! Çözümler ve cevaplar: Örnek 2: Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim. Tersi:
Örnek 4: Sistemin genişletilmiş matrisini yazalım ve temel dönüşümleri kullanarak onu adım adım forma getirelim: Gerçekleştirilen dönüşümler: İkinci “adım”la her şey daha da kötüye gidiyor
, bunun için "adaylar" 17 ve 23 sayılarıdır ve bizim ya bir ya da -1'e ihtiyacımız var. Dönüşümler (3) ve (4) istenen birimin elde edilmesini amaçlayacaktır. (3) Üçüncü satıra ikinci satır -1 ile çarpılarak eklendi.
.
.
.
yani
.
.
,
,
. .
. (5)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
. (BEN) .
.
ve 3. satırın karşılık gelen elemanlarını ekleyin, ardından - 2. satırın elemanlarını ekleyin ve 4. satırın karşılık gelen elemanlarını ekleyin, vb., altında sıfırlar elde edene kadar 22/
.
,
.
;
.
.
.
matrisin karşılık gelen elemanlarının cebirsel tamamlayıcılarının aktarılmış matrisi nerede.
Yani, çift alt simge, öğenin birinci satırda, üçüncü sütunda olduğunu ve örneğin öğenin 3 satır, 2 sütunda olduğunu gösterir.
– matrisin karşılık gelen elemanlarının küçüklerinin matrisi.
Bazen tamamen ayrılmayabilir, yani. “kötü” kesirlerle sonuçlanabilir. Bu tür durumlarda ne yapmanız gerektiğini Cramer kuralını incelediğimizde zaten anlatmıştım.
2) Sonsuz sayıda çözümü var.
3) Çözümünüz yok (olun) ortak olmayan).
Gauss metodunu kullanarak çözelim.
. Katsayıların hangi prensibe göre yazıldığını sanırım herkes görebilir. Matrisin içindeki dikey çizginin herhangi bir matematiksel anlamı yoktur; bu sadece tasarım kolaylığı için üstü çizili bir çizgidir.
. Bu matriste son üç satır orantılı olduğundan yalnızca birini bırakmak yeterlidir: 
.
. Bu eylem çok kullanışlıdır çünkü matrisin daha sonraki dönüşümlerini basitleştirir.
, Ve ikinci satıra ilk satırı -2 ile çarparak ekliyoruz: . Artık ilk satır “geriye” –2 ile bölünebilir: . Gördüğünüz gibi EKLENEN satır LI – değişmedi. Her zaman EKLENEN satır değişir UT.
Bir kez daha: ikinci satıra ilk satırı –2 ile çarparak ekledim. Bir satır genellikle sözlü olarak veya taslak üzerinde çarpılır ve zihinsel hesaplama süreci şöyle olur:
» »
. Görevin tasarımında, sadece "merdivenleri" basit bir kalemle işaretliyorlar ve ayrıca "basamaklarda" bulunan sayıları da daire içine alıyorlar. "Adımlı görünüm" teriminin kendisi tamamen teorik değildir; bilimsel ve eğitimsel literatürde sıklıkla buna denir. yamuk görünüm veya üçgen görünüm.
Tekrar ediyorum, amacımız temel dönüşümleri kullanarak matrisi adım adım forma getirmektir. Nereden başlamalı?
Neredeyse her zaman burada olmalı birim. Genel olarak konuşursak, -1 (ve bazen diğer sayılar) işe yarar, ancak bir şekilde geleneksel olarak bir genellikle oraya yerleştirilir. Bir birim nasıl organize edilir? İlk sütuna bakıyoruz - bitmiş bir birimimiz var! Birinci dönüşüm: birinci ve üçüncü satırları değiştirin: 
Yukarıda hesaplamaların zihinsel sürecini zaten tartışmıştım.
Bu eylemi kendiniz anlamaya çalışın - ikinci satırı zihinsel olarak –2 ile çarpın ve ekleme işlemini gerçekleştirin.
Serin.
, o zaman yüksek bir olasılıkla temel dönüşümler sırasında bir hata yapıldığını söyleyebiliriz.
Evet, işte bir hediye: 
.
İlk özellik bazen sistem denklemlerinde bazı değişkenlerin eksik olmasıdır, örneğin: 
Genişletilmiş sistem matrisi nasıl doğru şekilde yazılır? Derste bu noktadan zaten bahsetmiştim. Cramer kuralı. Matris yöntemi. Sistemin genişletilmiş matrisinde eksik değişkenlerin yerine sıfırları koyarız: 
Bu arada, bu oldukça kolay bir örnek, çünkü ilk sütunda zaten bir sıfır var ve gerçekleştirilecek daha az temel dönüşüm var. .
. Burada ikinci “adım”daki üç de bize uyar, çünkü 12 (sıfır almamız gereken yer) 3'e kalansız bölünebilir. Aşağıdaki dönüşümü gerçekleştirmek gerekir: ikinci satırı üçüncü satıra -4 ile çarparak ekleyin, bunun sonucunda ihtiyacımız olan sıfır elde edilecektir.
Gerçekleştirilen temel dönüşümler:
(1) Birinci satır ikinci satıra –2 ile çarpılarak eklendi. Birinci satır üçüncü satıra -1 ile çarpılarak eklendi.Dikkat!
Burada birinciyi üçüncü satırdan çıkarmak isteyebilirsiniz; çıkarmamanızı şiddetle tavsiye ederim - hata riski büyük ölçüde artar. Sadece katlayın!
(2) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). İkinci ve üçüncü satırlar değiştirildi.Not
, "adımlarda" sadece bir tanesinden değil, aynı zamanda -1'den de memnunuz ki bu daha da uygun.
(3) İkinci satır üçüncü satıra 5 ile çarpılarak eklendi.
(4) İkinci satırın işareti değiştirildi (-1 ile çarpıldı). Üçüncü satır 14'e bölündü.
Cevap: 
.
(1) Birinci satıra ikinci satır eklendi. Böylece sol üstteki “basamak”ta istenilen ünite düzenlenmiştir.
(2) Birinci satırın 7 ile çarpılması ikinci satıra, ilk satırın 6 ile çarpılması üçüncü satıra eklenmiştir.
(4) Üçüncü satır, ikinci satıra -3 ile çarpılarak eklendi.
İkinci adımda gerekli öğe alındı.
.
(5) İkinci satır üçüncü satıra 6 ile çarpılarak eklendi.
(6) İkinci satır -1 ile çarpılır, üçüncü satır -83'e bölünür. Düzlemin aynı doğru üzerinde yer almayan üç farklı nokta tarafından benzersiz bir şekilde tanımlandığı açıktır. Bu nedenle, uçakların üç harfli tanımları oldukça popülerdir - örneğin kendilerine ait noktalara göre; .Ücretsiz üyeler ise
