Fourier serilerinin ifadelerini trigonometrik ve karmaşık formda ele alacağız ve Fourier serilerinin yakınsaklığı için Dirichlet koşullarını da dikkate alacağız. Ek olarak, spektral analiz teorisine alışmada sıklıkla zorluk yaratan sinyal spektrumunun negatif frekansı gibi bir kavramın açıklaması üzerinde ayrıntılı olarak duracağız.
Periyodik sinyal. Trigonometrik Fourier serisi
Bir c periyoduyla tekrarlanan sürekli zamanın periyodik bir sinyali olsun; , burada keyfi bir tam sayıdır.
Örnek olarak, Şekil 1, c süresiyle tekrarlanan, c süresindeki dikdörtgen darbe dizisini göstermektedir.
Şekil 1. Periyodik dizi
dikdörtgen darbeler
Matematiksel analiz sürecinden trigonometrik fonksiyonlar sisteminin olduğu bilinmektedir.
Rad/s'nin bir tamsayı olduğu çoklu frekanslarda, Dirichlet koşullarını karşılayan bir periyoda sahip periyodik sinyallerin ayrıştırılması için ortonormal bir temel oluşturur. Fourier serisinin yakınsaması için Dirichlet koşulları, segment üzerinde periyodik bir sinyalin belirtilmesini ve aşağıdaki koşulları karşılamasını gerektirir:
Örneğin periyodik fonksiyon 
fonksiyon Dirichlet koşullarını karşılamamaktadır çünkü fonksiyon ikinci tür süreksizliklere sahiptir ve keyfi bir tamsayı olan sonsuz değerler alır. Yani fonksiyon temsil edilemez Fourier yakınında. Ayrıca fonksiyona bir örnek de verebilirsiniz. 
Sınırlıdır ancak sıfıra yaklaşırken sonsuz sayıda uç noktaya sahip olduğundan Dirichlet koşullarını da karşılamaz. Bir fonksiyonun grafiği Şekil 2'de gösterilmiştir.
Şekil 2. Fonksiyon grafiği :
a - iki tekrar periyodu; b - civarda
Şekil 2a, fonksiyonun iki tekrar periyodunu göstermektedir ve Şekil 2b'de - yakınındaki alan. Sıfıra yaklaştıkça salınım frekansının sonsuz şekilde arttığı ve böyle bir fonksiyonun parçalı monoton olmadığı için Fourier serisi ile temsil edilemeyeceği görülmektedir.
Pratikte sonsuz akım veya gerilim değerlerine sahip hiçbir sinyalin bulunmadığına dikkat edilmelidir. Sonsuz sayıda ekstrema tipine sahip fonksiyonlar uygulanan problemlerde de oluşmaz. Tüm gerçek periyodik sinyaller Dirichlet koşullarını karşılar ve aşağıdaki formdaki sonsuz trigonometrik Fourier serisiyle temsil edilebilir:
İfade (2)'de katsayı periyodik sinyalin sabit bileşenini belirtir.
Sinyalin sürekli olduğu tüm noktalarda, Fourier serisi (2) verilen sinyalin değerlerine ve birinci türden süreksizlik noktalarında - ortalama değere yakınsar ve burada ve soldaki sınırlardır ve sırasıyla süreksizlik noktasının sağında.
Matematiksel analiz sürecinden, sonsuz bir toplam yerine yalnızca ilk terimleri içeren kesik Fourier serisinin kullanımının sinyalin yaklaşık bir temsiline yol açtığı da bilinmektedir:
Minimum ortalama karesel hatanın sağlandığı nokta. Şekil 3, farklı sayıda Fourier serisi terimi kullanıldığında periyodik bir kare dalga dizisinin ve periyodik bir rampa dalgasının yaklaşımını göstermektedir.
Şekil 3. Kesik Fourier serisi kullanılarak sinyallerin yaklaşımı:
a - dikdörtgen darbeler; b - testere dişi sinyali
Fourier serileri karmaşık formda
Önceki bölümde Dirichlet koşullarını sağlayan rastgele bir periyodik sinyalin açılımı için trigonometrik Fourier serisini inceledik. Euler formülünü kullanarak şunu gösterebiliriz:
Daha sonra trigonometrik Fourier serisi (2) dikkate alınarak (4):
Böylece, periyodik bir sinyal, sabit bir bileşenin ve pozitif frekanslar için katsayılara sahip frekanslarda dönen karmaşık üstellerin ve negatif frekanslarda dönen karmaşık üstellerin toplamı ile temsil edilebilir.
Pozitif frekanslarla dönen karmaşık üstellerin katsayılarını ele alalım:
Benzer şekilde, negatif frekanslarla dönen karmaşık üstellerin katsayıları şöyledir:
İfadeler (6) ve (7) çakışmaktadır; ayrıca sabit bileşen sıfır frekansta karmaşık bir üstel aracılığıyla da yazılabilir:
Böylece, (5) (6)-(8) dikkate alınarak eksi sonsuzdan sonsuza endekslendiğinde tek bir toplam olarak temsil edilebilir:
İfade (2)'den, gerçek bir sinyal için (2) serisinin katsayılarının da gerçek olduğu sonucu çıkar. Bununla birlikte, (9) gerçek bir sinyali hem pozitif hem de negatif frekanslarla ilgili bir dizi karmaşık eşlenik katsayıyla ilişkilendirir.
Fourier serisinin karmaşık biçimde bazı açıklamaları
Bir önceki bölümde trigonometrik Fourier serisinden (2) karmaşık formdaki Fourier serisine (9) geçiş yapmıştık. Sonuç olarak, periyodik sinyalleri gerçek trigonometrik fonksiyonlar temelinde ayrıştırmak yerine, karmaşık katsayılar içeren karmaşık üstel sayılar temelinde bir genişleme elde ettik ve genişlemede negatif frekanslar bile ortaya çıktı! Bu konu sıklıkla yanlış anlaşıldığından, bazı açıklamalara ihtiyaç duyulmaktadır.
Birincisi, karmaşık üslerle çalışmak çoğu durumda trigonometrik fonksiyonlarla çalışmaktan daha kolaydır. Örneğin, karmaşık üslü sayıları çarparken ve bölerken, sadece üsleri toplamak (çıkarmak) yeterli olurken, trigonometrik fonksiyonları çarpma ve bölme formülleri daha hantaldır.
Üstel sayıların, hatta karmaşık olanların bile türevini almak ve entegre etmek, türevlendiğinde ve entegre edildiğinde sürekli değişen (sinüs kosinüse veya tam tersi) trigonometrik fonksiyonlardan daha kolaydır.
Sinyal periyodik ve gerçekse, trigonometrik Fourier serisi (2) daha net görünür çünkü tüm genişleme katsayıları ve gerçek kalır. Bununla birlikte, çoğu zaman karmaşık periyodik sinyallerle uğraşmak gerekir (örneğin, modülasyon ve demodüle etme sırasında, karmaşık zarfın karesel bir temsili kullanılır). Bu durumda, trigonometrik Fourier serisi kullanıldığında, tüm katsayılar ve açılımlar (2) karmaşık hale gelirken, Fourier serisi karmaşık biçimde (9) kullanıldığında, hem gerçek hem de karmaşık giriş sinyalleri için aynı genişleme katsayıları kullanılacaktır. .
Ve son olarak (9)’da ortaya çıkan negatif frekansların açıklaması üzerinde durmak gerekir. Bu soru çoğu zaman yanlış anlaşılmalara neden olur. İÇİNDE Gündelik Yaşam negatif frekanslarla karşılaşmıyoruz. Örneğin radyomuzu hiçbir zaman negatif frekansa ayarlamayız. Mekanikten aşağıdaki benzetmeyi ele alalım. Belirli bir frekansta serbestçe salınan mekanik bir yaylı sarkaç olsun. Bir sarkaç negatif frekansta salınabilir mi? Tabii ki değil. Negatif frekanslarda yayın yapan radyo istasyonları olmadığı gibi, sarkacın salınımlarının frekansı da negatif olamaz. Ancak yaylı sarkaç tek boyutlu bir nesnedir (sarkaç tek bir düz çizgi boyunca salınır).
Mekanikten bir benzetme daha yapabiliriz: frekansıyla dönen bir tekerlek. Sarkaçtan farklı olarak tekerlek döner, yani. Tekerleğin yüzeyindeki bir nokta bir düzlemde hareket eder ve tek bir düz çizgi boyunca salınmaz. Bu nedenle, tekerleğin dönüşünü benzersiz bir şekilde belirlemek için dönüş hızını ayarlamak yeterli değildir çünkü dönüş yönünü de ayarlamak gerekir. İşte tam da bu yüzden frekans işaretini kullanabiliriz.
Dolayısıyla, eğer tekerlek saat yönünün tersine rad/s açısal frekansıyla dönüyorsa, o zaman tekerleğin pozitif bir frekansla döndüğünü, saat yönünde ise dönme frekansının negatif olacağını düşünüyoruz. Böylece, bir dönüş komutu için negatif frekans anlamsız olmaktan çıkar ve dönüş yönünü belirtir.
Ve şimdi anlamamız gereken en önemli şey. Tek boyutlu bir nesnenin (örneğin bir yay sarkacının) salınımı, Şekil 4'te gösterilen iki vektörün dönüşlerinin toplamı olarak temsil edilebilir.
Şekil 4. Yay sarkacının salınımı
iki vektörün dönüşlerinin toplamı olarak
karmaşık düzlemde
Sarkaç, karmaşık düzlemin gerçek ekseni boyunca harmonik yasasına göre bir frekansta salınır. Sarkacın hareketi yatay bir vektör olarak gösterilmiştir. Üstteki vektör karmaşık düzlemde pozitif frekansla (saat yönünün tersine) döner ve alt vektör negatif frekansla (saat yönünde) döner. Şekil 4, trigonometri dersindeki iyi bilinen ilişkiyi açıkça göstermektedir:
Böylece karmaşık formdaki (9) Fourier serisi, pozitif ve negatif frekanslarla dönen karmaşık düzlem üzerindeki vektörlerin toplamı olarak periyodik tek boyutlu sinyalleri temsil eder. Aynı zamanda, (9)'a göre, gerçek bir sinyal durumunda, negatif frekanslar için genişleme katsayılarının, pozitif frekanslar için karşılık gelen katsayılarla karmaşık eşlenik olduğunu da belirtelim. Karmaşık bir sinyal durumunda, katsayıların bu özelliği, ve'nin de karmaşık olması nedeniyle geçerli değildir.
Periyodik sinyal spektrumu
Karmaşık formdaki Fourier serisi, periyodik bir sinyalin, sinyalin spektrumunu belirleyen karşılık gelen karmaşık katsayılarla birlikte, rad/c'nin katları halinde pozitif ve negatif frekanslarda dönen karmaşık üstellerin toplamına ayrıştırılmasıdır. Karmaşık katsayılar Euler formülü kullanılarak şu şekilde temsil edilebilir; burada genlik spektrumu, a ise faz spektrumudur.
Periyodik sinyaller yalnızca sabit bir frekans ızgarasında arka arkaya yerleştirildiğinden, periyodik sinyallerin spektrumu çizgidir (ayrık).
Şekil 5. Periyodik bir dizinin spektrumu
dikdörtgen darbeler:
a - genlik spektrumu; b - faz spektrumu
Şekil 5, c, darbe süresi c ve darbe genliği B'deki periyodik dikdörtgen darbe dizisinin (bkz. Şekil 1) genlik ve faz spektrumunun bir örneğini göstermektedir.
Periyodu 2π olan periyodik fonksiyonların Fourier serisi.
Fourier serisi, periyodik fonksiyonları bileşenlerine ayırarak incelememize olanak tanır. Alternatif akımlar ve gerilimler, yer değiştirmeler, krank mekanizmalarının hızı ve ivmesi ile akustik dalgalar tipiktir pratik örnekler Periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarına uygulanması.
Fourier serisi açılımı, -π ≤x≤ π aralığında pratik öneme sahip tüm fonksiyonların yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebileceği varsayımına dayanmaktadır (bir seri, terimlerinden oluşan kısmi toplamlar dizisi yakınsak olarak kabul edilir). yakınsar):
sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani
-π ila π aralığı için Fourier serisi katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:
a o , a n ve b n katsayılarına denir Fourier katsayıları ve bulunabilirlerse seri (1) çağrılır Fourier'in yanında, f(x) fonksiyonuna karşılık gelir. Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik,
Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.
Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x+α 2) denir ikinci harmonik ve benzeri.
Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıda terim gerekir. Ancak birçok pratik problemde yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.
Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.
Periyodik olmayan fonksiyonların genişletilmesi.
Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.
Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Yeni fonksiyon periyodu 2π olan periyodik olduğundan, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).
f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.
Çift ve tek fonksiyonlar.
y=f(x) fonksiyonunu söylüyorlar eşit, x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) ise. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyonlara iki örnek: y=x2 ve y=cosx.
y=f(x) fonksiyonunun olduğunu söylüyorlar garip, x'in tüm değerleri için f(-x)=-f(x) ise. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.
Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.
Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.
Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,
Fourier serisinin katsayıları nerede,
Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).
Buradan,
Fourier serisinin katsayıları nerede,
Yarım çevrimde Fourier serileri.
Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir Yarım döngüde Fourier yakınında.
Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Kosinüslere göre yarım döngü Fourier f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çünkü eşit işlev f(x) eksenine göre simetrik olan AB çizgisini Şekil 2'de gösterildiği gibi çizin. altında. Eğer dikkate alınan aralığın dışında elde edilen sonucu varsayarsak üçgen şekli 2π periyoduyla periyodiktir, o zaman son grafik şöyle görünür, göster. incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.
Eğer almanız gerekiyorsa Fourier yarım döngü sinüs genişlemesi f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda tek bir periyodik fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, CD çizgisini Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B
Keyfi bir aralık için Fourier serileri.
Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.
Periyodik fonksiyon x L kadar arttıkça f(x) tekrarlanır, yani f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.
-L/2≤x≤L/2 aralığında f(x) fonksiyonunun Fourier serisini bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. Eğer u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:
(Entegral limitleri L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)
L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.
u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; V Yarım çevrimde Fourier serisi.
0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir:
, Nerede
.
(-l;l) aralığındaki bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi, şu şekilde bir trigonometrik seridir: 
, Nerede
.
Amaç. Cevrimici hesap makinesi f(x) fonksiyonunu Fourier Serisine genişletmek için tasarlanmıştır.
Modulo işlevleri için ( |x| gibi), şunu kullanın: kosinüs genişlemesi.
İşlev girme kuralları:
Modulo fonksiyonları için kosinüs genişletmeyi kullanın. Örneğin |x| için modül olmadan bir fonksiyona girilmesi gerekir, yani. X.Fourier serisi parçalı sürekli, parçalı monoton ve (-) aralığına bağlı ben;ben Fonksiyonun ) tüm sayı doğrusunda yakınsar.
Fourier serisinin toplamı S(x):
- periyodu 2 olan periyodik bir fonksiyondur ben. R bölgesindeki tüm x'ler için u(x+T)=u(x) ise, bir u(x) fonksiyonuna T periyoduyla periyodik (veya T-periyodik) denir.
- aralıkta (- ben;ben) fonksiyonla çakışıyor F(X), kesme noktaları hariç
- fonksiyonun süreksizlik noktalarında (fonksiyon sınırlı olduğundan birinci türden) F(X) ve aralığın sonunda ortalama değerler alınır:
Fonksiyonun şu aralıkta bir Fourier serisine genişlediğini söylüyorlar (- ben;ben):
.
Eğer F(X) bir çift fonksiyon ise, bu durumda onun açılımına yalnızca çift fonksiyonlar katılır, yani bn=0.
Eğer F(X) tek bir fonksiyonsa, bu durumda onun genişletilmesine yalnızca tek fonksiyonlar katılır, yani BİR=0
Fourier yakınında
işlevler F(X) (0; ben) çoklu yayların kosinüsleri ile
satır denir: 
, Nerede 
.
Fourier yakınında
işlevler F(X) (0; ben) çoklu yayın sinüsleri boyunca
satır denir: 
, Nerede 
.
Çoklu yayların kosinüsleri üzerinden Fourier serisinin toplamı, periyodu 2 olan çift periyodik bir fonksiyondur. ben, çakışan F(X) (0; ben) süreklilik noktalarında.
Çoklu yayların sinüsleri üzerinden Fourier serisinin toplamı, periyodu 2 olan tek bir periyodik fonksiyondur. ben, çakışan F(X) (0; ben) süreklilik noktalarında.
Belirli bir aralıkta belirli bir fonksiyon için Fourier serisi benzersizlik özelliğine sahiptir, yani genişleme formüller kullanmaktan başka bir şekilde elde edilirse, örneğin katsayılar seçilerek, bu katsayılar formüllerden hesaplananlarla çakışır. .
Örnek No.1. Fonksiyon f'yi genişlet(X)=1:
a) aralıkta tam bir Fourier serisinde(-π ;π);
b) aralıktaki birden fazla yayın sinüsleri boyunca bir seri halinde(0;π); elde edilen Fourier serisinin grafiğini çizin
Çözüm:
a) (-π;π) aralığındaki Fourier serisi açılımı şu şekildedir: 
,
ve tüm katsayılar bn=0, çünkü bu fonksiyon çifttir; Böylece,
Açıkçası, eğer kabul edersek eşitlik sağlanacaktır
A 0 =2, A 1 =A 2 =A 3 =…=0
Teklik özelliği nedeniyle bunlar gerekli katsayılardır. Böylece gerekli ayrıştırma: 
veya sadece 1=1.
Bu durumda, bir seri kendi fonksiyonuyla aynı şekilde çakıştığında, Fourier serisinin grafiği, fonksiyonun grafiğiyle tüm sayı doğrusunda çakışır.
b) (0;π) aralığının çoklu yayların sinüsleri cinsinden açılımı şu şekildedir:
Eşitliğin aynı şekilde geçerli olmasını sağlayacak şekilde katsayıları seçmek elbette imkansızdır. Katsayıları hesaplamak için formülü kullanalım:
Böylece, hatta N (N=2k) sahibiz bn=0, tek sayı için ( N=2k-1) - 
Nihayet, 
.
Elde edilen Fourier serisinin özelliklerini kullanarak grafiğini çizelim (yukarıya bakın).
Öncelikle bu fonksiyonun belirli bir aralıkta grafiğini oluşturuyoruz. Daha sonra serilerin toplamının tuhaflığından yararlanarak grafiği orijine doğru simetrik olarak devam ettiriyoruz: 
Tüm sayı doğrusu boyunca periyodik olarak devam ediyoruz: 
Ve son olarak kırılma noktalarında ortalama (sağ ve sol limitler arası) değerleri dolduruyoruz: 
Örnek No. 2. Bir işlevi genişlet 
çoklu yayın sinüsleri boyunca (0;6) aralığında.
Çözüm: Gerekli genişletme şu şekildedir:
Eşitliğin hem sol hem de sağ tarafı yalnızca işlevler günah farklı argümanlardan, herhangi bir n (doğal!) değeri için soldaki sinüslerin argümanlarının olup olmadığını kontrol etmelisiniz ve doğru parçalar eşitlik:
veya n =18'den itibaren. Bu, böyle bir terimin sağ tarafta yer aldığı ve katsayısının sol taraftaki katsayı ile örtüşmesi gerektiği anlamına gelir: B 18 =1;
veya n =4'ten itibaren. Araç, B 4 =-5.
Böylece katsayıları seçerek istenen genişlemeyi elde etmek mümkün oldu:
Federal eyalet bütçesi Eğitim kurumu Yüksek öğretim
"VOLGA DEVLET ÜNİVERSİTESİ
TELEKOMÜNİKASYON VE BİLİŞİM"
Yüksek Matematik Bölümü
O.V.STAROZHILOVA
MATEMATİĞİN ÖZEL BÖLÜMLERİ
10 Mart 2017 tarihli 45 No'lu Protokol
Starozhilova, O.V.
C Matematiğin özel bölümleri: ders kitabı //Starozhilova O.V.. – Samara: PGUTI, 2017. –221 s.
öğretici Matematiğin özel dallarına değiniyor: matematiksel mantık ve otomata teorisi, önermesel cebir, önermesel hesap, algoritma teorisinin unsurları, regresyon analizi, optimizasyon yöntemleri.
03/09/02 yönünde eğitim gören üniversite öğrencileri ve yüksek lisans öğrencileri için Bilgi sistemleri ve teknolojileri"Matematiğin özel bölümlerini kendi başlarına incelemek isteyenler.
Her bölüm, kursun teorik ustalığını kontrol etmeye yardımcı olacak kontrol sorularıyla biter ve çok sayıda görev içerir. bağımsız karar ve kontrol edilecek cevaplar.
Kılavuz, hesaplamalı matematik yöntemlerinin yazılım uygulamasına vurgu yapan bir laboratuvar kompleksi ve bir dizi mühendislik problemini içermektedir.
Starozhilova O.V., 2017
Bölüm 1 Harmonik Analiz 6
1.1 Sondaj dizisi problemi 7
1.2 Ortogonal fonksiyon sistemleri 8
1.3 Trigonometrik fonksiyon sistemi için Fourier serileri 10
1.4 Yeterli koşullar Fourier serisinde bir fonksiyonun genişletilmesi 13
1.5 Periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisi açılımı 17
1.6 Çift ve tek fonksiyonlar için Fourier serileri 18
1.7 Herhangi bir periyodun fonksiyonları için Fourier serileri 21
1.8 Fourier integrali 27
1.9 Çift ve tek fonksiyonlar için Fourier integrali 29
1.10 Karmaşık biçim Fourier integrali 30
1.11 Fourier dönüşümü 32
Bölüm 2 Matematiksel mantık ve IV 33
2.1 Mantık gelişiminin aşamaları 34
2.2 Önerme mantığı 38
2.3 Mantıksal bağlaçlar 40
2.4Mantıksal işlemler 41
2.5 Önermeler hesabının alfabesi 42
2.6 Formüller 42.
2.7 Önerme mantığının yasaları 44
2.8 Biçimsel teoriler. Kuluçka kabiliyeti. Yorumlama 46
2.9 Aksiyomatik yöntem 47
2.10 Önermeler hesabının aksiyom sistemi (PS) 52
2.11 Sonuç kuralları 53
2.12 Türetilmiş çıkarım kuralları 56
2.13 Önermeler mantığında bir sonuç oluşturmak 62
2.14 Cebir ve önermeler hesabı arasındaki ilişki 66
Bölüm 3 Regresyon Analizi Sorunları 70
3.1 Yöntem en küçük kareler 74
3.2 Doğrusal regresyon analizi 76
3.3 Regresyon modelinin tahmini 79
3.4 Doğrusal regresyon yöntemini uygulamadaki sorunlar 83
3.5 LR 85 istatistiksel modelinin önkoşulları
3.6 Regresyon analizinin sorunları 86
3.7 Çok değişkenli normal Regresyon modeli 90
3.8 Bağımlı değişkenin değişimi 92
Test soruları 94
Bölüm 4 Genel formülasyon ve karar verme sorunlarının türleri 95
4.1 Optimizasyon probleminin matematiksel formülasyonu 97
4.2 Yerel ve küresel minimum TF 99
4.3 Yöntemler koşulsuz optimizasyon 102
4.4 Koordinat iniş yöntemi 102
4.5 Rosenbrock yöntemi 105
4.6 Yapılandırma yöntemi 105
4.7 Rastgele arama yöntemleri 108
4.8 Newton'un yöntemi 112
Bölüm 5 Fourier Dönüşümü 114
5.1 Fourier fonksiyonu yaklaşımı 114
5.2 Fourier dönüşümü 117
5.3 Hızlı Fourier dönüşümü 120
LABORATUVAR KOMPLEKSİ 123
Harmonik ve spektral analiz 123
Konu 1. “Önermeler mantığı” 131
LP 133 konusuna ilişkin bireysel ödevlerin çeşitleri
Konu 2. Doğrusal ikili regresyon 140
Laboratuvar işi № 1 141
LR denkleminin katsayılarının hesaplanması 141
Laboratuvar çalışması No. 2 144
Örnek korelasyon katsayısının hesaplanması 144
Laboratuvar çalışması No. 3 145
Eşleştirilmiş LR 145'in varyans tahminlerinin hesaplanması
Laboratuvar çalışması No. 4 147
Eşleştirilmiş LR katsayıları için Excel işlevleri 147
Laboratuvar çalışması No. 5 149
Eşleştirilmiş LR fonksiyonu için aralık tahmininin oluşturulması 149
Laboratuvar çalışması No. 6 151
Fisher kriterini kullanarak LR denkleminin öneminin kontrol edilmesi 151
Konu 3 Doğrusal olmayan ikili regresyon 153
Laboratuvar çalışması No. 7 153
153'ü kullanarak doğrusal olmayan bir regresyon oluşturma
Trend Çizgisi Komutları Ekleme 153
Laboratuvar çalışması No. 8 158
En iyi doğrusal olmayan regresyonun seçilmesi 158
Konu 4. Doğrusal çoklu regresyon 161
Laboratuvar çalışması No. 9 162
LMR katsayılarının hesaplanması 162
Laboratuvar çalışması No. 10 166
Regresyon modunda anlamlılık testi 166
Konu 5. Doğrusal olmayan çoklu regresyon 175
Laboratuvar çalışması No. 11 175
Cobb-Douglas fonksiyonunun hesaplanması 175
Ölçek № 1 179
Eşleştirilmiş regresyon 179
Test No. 2 181
Çoğul doğrusal regresyon 181
Koşulsuz bir ekstremumun aranması için sayısal yöntemler 185
Fonksiyonun grafiksel analizi 185
Tek boyutlu arama problemi 187
Svenn'in algoritması 190
Kaba kuvvet yöntemi 193
Bit düzeyinde arama yöntemi 195
İkilik yöntemi. 198
Fibonacci yöntemi 201
Altın oran yöntemi 205
Orta nokta yöntemi 210
Newton'un yöntemi 214
Edebiyat 218
Bölüm 1 Harmonik Analiz
TanımHarmonik analiz- Titreşimlerin harmonik titreşimlere ayrıştırılmasıyla ilgili matematik dalı.
Periyodik (yani zaman içinde tekrarlanan) olguları incelerken şunları dikkate alırız: periyodik fonksiyonlar.
Örneğin harmonik bir salınım, zamanın periyodik bir fonksiyonuyla tanımlanır. T:
Ø TanımPeriyodik fonksiyon- sıfırdan farklı bir sayı çağrıldığında değeri değişmeyen bir işlev dönem işlevler.
İki periyodun toplamı ve farkı yine bir periyot olduğundan ve dolayısıyla bir periyodun herhangi bir katı da bir periyot olduğundan, her periyodik fonksiyonun sonsuz sayıda periyodu vardır.
Periyodik bir fonksiyonun gerçek bir periyodu varsa, sürekliyse ve bir sabitten farklıysa bu durumda en küçük pozitif periyoda sahiptir. T; aynı fonksiyonun herhangi bir diğer gerçek periyodu şu şekilde olacaktır: kT, Nerede k =±1, ±2,....
Aynı periyoda sahip periyodik fonksiyonların toplamı, çarpımı ve bölümü aynı periyoda sahip periyodik bir fonksiyondur.
Periyodik fonksiyonlar, salınım teorisinde ve genel olarak matematiksel fizikte son derece önemli bir rol oynar. Matematiksel analiz sırasında fonksiyonel seri kavramıyla tanıştık, onun önemli özel durumuyla çalıştık - güç serisi. Çok önemli bir başka konuya bakalım (fiziksel uygulamalar dahil) özel durum fonksiyonel seriler - trigonometrik seriler.
Ø Tanım Fonksiyonel aralık – formun serisi
nerede bir değişkene veya birkaç değişkene bağlı fonksiyonlar vardır.
Her sabit değer için fonksiyonel seri sayısal seriye dönüşür
birleşebilir veya uzaklaşabilir.
Ø Tanım Fonksiyonel serilerin yakınsama noktası- fonksiyonel serinin yakınlaştığı nokta.
Ø Tanım Bütün yakınsaklık noktalarının kümesine denir serinin yakınsama bölgesi.
Bu mümkün mü bu fonksiyon trigonometrik bir seri biçiminde temsil edin, yani. katsayılarını bulmak mümkün mü? BİR Ve bnöyle ki herkes için eşitlik olsun
Serinin toplamı açıkça periyodik bir fonksiyondur. Bu, yalnızca periyodik fonksiyonların trigonometrik bir seriye genişletilebileceği anlamına gelir F.
Ayrıca iki periyodik fonksiyonun uzunluğu periyoda eşit olan bir aralıkta çakışması durumunda her yerde çakıştığı açıktır. Bu nedenle belirli bir uzunluk aralığını kontrol etmek yeterlidir, örneğin .
1.1 Sondaj dizisi sorunu
Trigonometrik serilerin incelenmesi, 18. yüzyılda ortaya çıkan ses çıkaran tel probleminden kaynaklanmıştır.
Bir fonksiyon verildiğinde, yakınsayan ve toplamı bu fonksiyona sahip olan bir trigonometrik seri bulmak mümkün müdür? Kendisine yakınsayan bir trigonometrik serinin aranabilmesi için ona kısıtlamalar getirilmesi gerekir.
Benzer bir görev içindi güç serisi Eğer çözülebilirse böyle bir seri Taylor serisidir.
1.2 Ortogonal fonksiyon sistemleri
Ortogonal fonksiyon sistemlerinin sistematik çalışması, matematiksel fizik denklemlerinin sınır değeri problemlerini çözmek için Fourier yöntemiyle bağlantılı olarak başladı. Ortogonal fonksiyon sistemleri teorisindeki temel problemlerden biri, bir fonksiyonun ayrıştırılması problemidir. F(X) bir dizi formda, burada ortogonal bir fonksiyon sistemidir.
Ø Tanım Fonksiyonlar çağrılır dikey yerine getirildiyse:
Q Örnek , 
- fonksiyonlar 'a diktir çünkü 
Q Örnek on, üzerinde tanımlanan herhangi bir fonksiyona diktir.
Ø Tanım Sonsuz fonksiyonlar sistemine denir dikey eğer
Q Örnek Sonsuz bir fonksiyon sistemi dik bir fonksiyon sistemi oluşturmaz
Q Örnek -trigonometrik fonksiyon sistemi kendisine dik bir işlevler sistemi oluşturur.
, 
, 
.
Ø Tanım Diyelim ki keyfi bir fonksiyon sistemi dik olsun. Sıra
keyfi sayısal katsayılar nerede denir ortogonal fonksiyon sistemine göre yan yanadır.
Ø Tanım Trigonometrik fonksiyon sistemine göre seriler
isminde trigonometrik seriler.
ü Yorum Her noktada yakınsak olan bir trigonometrik serinin toplamı ise periyodiktir, çünkü periyotlu periyodik fonksiyonlardır, o zaman eşitliktedir 
hiçbir şey değişmeyecek, dolayısıyla periyodik.
ü Yorum Segmentte verilmiş ancak verilmemişse, koordinatların orijini kaydırılarak çalışılan duruma indirgenebilir.
ü Yorum Periyodu olan bir periyodik fonksiyon değilse, o zaman trigonometrik bir seriye genişletilir
Q Teorem Bir sayı serisi yakınsaksa trigonometrik seri
tüm eksen boyunca mutlak ve düzgün bir şekilde yakınsar.
Kanıt
Buradan,
seri - belirli bir trigonometrik seriyi büyükleştirir ve Weierstrass testine göre düzgün bir şekilde yakınsar.
Mutlak yakınlaşma açıktır.
1.3 Trigonometrik fonksiyon sistemi için Fourier serileri
Jean Baptiste Joseph Fourier 1768 – 1830 – Fransız matematikçi.
Fourier serisinin katsayılarını hesaplamak için integralleri hesaplıyoruz
, 
, 
, 
,
Q Teorem Herkes için eşitlik varsa
ve trigonometrik seri tüm eksen üzerinde düzgün bir şekilde yakınsarsa, bu serinin katsayıları belirlenir
, 
,
Kanıt
Seri tüm sayı doğrusu üzerinde düzgün yakınsaktır, terimleri sürekli fonksiyonlardır, bu durumda toplamı da süreklidir ve serinin terim terim entegrasyonu mümkündür.
Her integral sıfıra eşittir çünkü trigonometrik fonksiyonlar sistemi diktir ve sonra
Bunu kanıtlamak için her iki tarafı da çarpın
Bu durum serinin düzgün yakınsaklığını bozmayacaktır.
Serinin düzgün yakınsaklığı nedeniyle
ve bu serinin düzgün yakınsaklığı anlamına gelir.
Entegrasyon yapıyoruz, elimizde
Trigonometrik fonksiyon sisteminin dikliği nedeniyle
, 
ve itibaren 
integrali,
, bu vb.
Bunu hatırlayalım
Bu eşitliklerin geçerliliği trigonometrik formüllerin integrale uygulanmasından kaynaklanır.
Formülü de benzer şekilde kanıtlanmıştır.
ü Yorum Teorem her aralıkta geçerli kalır ve integralin sınırları sırasıyla ve ile değiştirilir.
Ø Tanım Trigonometrik seriler
,
katsayıları formüllerle belirlenen
, ,
,
isminde Fourier yakınında fonksiyon için ve katsayılar denir Fourier katsayıları.
Bir fonksiyonun Fourier serisi ise f(x) tüm süreklilik noktalarında yakınsaksa, o zaman fonksiyona şunu söyleriz: f(x) bir Fourier serisine genişletilir.
ü Yorum Her trigonometrik seri, sayı doğrusunda yakınsasa bile Fourier serisi değildir.
Düzgün olmayan yakınsak serilerin toplamı süreksiz olabilir ve integrallenemez, bu nedenle Fourier katsayılarını belirlemek imkansızdır.
ü Yorum Fourier serisi fonksiyonel serilerin özel bir durumudur.
1.4 Bir fonksiyonun Fourier serisinde genişletilmesi için yeterli koşullar
Ø Tanım Fonksiyon çağrılır segmentte parçalı monotonluk, eğer bu parça sonlu sayıda noktaya bölünebiliyorsa x 1 , x 2 , ..., x n-1 aralıklarla ( A,x 1), (x 1,x 2), ..., (xn-1,B) böylece her aralıkta fonksiyon monoton olur, yani ya artmaz ya da azalmaz.
ü Yorum Tanımdan şu sonuç çıkıyor: eğer bir fonksiyon parçalı monoton ve sınırlıysa [ A,B] ise yalnızca birinci tür süreksizliklere sahiptir.
Ø Tanım Fonksiyon çağrılır parçalı pürüzsüz, eğer her sonlu aralıkta kendisi ve türevi en fazla sonlu sayıda 1. türden süreksizlik noktalarına sahipse.
Q Teorem (Dirichlet koşulu Fourier serisindeki bir fonksiyonun ayrıştırılabilirliği için yeterli koşul): Periyodlu bir periyodik fonksiyon koşullardan birini karşılıyorsa:
bu durumda bu fonksiyon için oluşturulan Fourier serisi her noktada yakınsar
ve sayıya yakınsar 
süreksizliğinin her noktasında.
Ortaya çıkan serilerin toplamı, fonksiyonun süreklilik noktalarındaki değerine eşittir.
Fonksiyonların bileşenlere ayrıştırılması. Alternatif akımlar ve gerilimler, yer değiştirmeler, krank mekanizmalarının hızı ve ivmesi ve akustik dalgalar, periyodik fonksiyonların mühendislik hesaplamalarında kullanımının tipik pratik örnekleridir.
Fourier serisi açılımı, -π ≤x≤ π aralığında pratik öneme sahip tüm fonksiyonların yakınsak trigonometrik seriler biçiminde ifade edilebileceği varsayımına dayanmaktadır (bir seri, terimlerinden oluşan kısmi toplamlar dizisi yakınsak olarak kabul edilir). yakınsar):
sinx ve cosx'in toplamı yoluyla standart (=sıradan) gösterim
f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,
burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. gerçek sabitlerdir, yani
-π ila π aralığı için Fourier serisi katsayıları aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:
a o , a n ve b n katsayılarına denir Fourier katsayıları ve bulunabilirlerse seri (1) çağrılır Fourier'in yanında, f(x) fonksiyonuna karşılık gelir. Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) terimine birinci veya temel harmonik,
Bir dizi yazmanın başka bir yolu da acosx+bsinx=csin(x+α) ilişkisini kullanmaktır.
f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)
a o bir sabit olduğunda, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 çeşitli bileşenlerin genlikleridir ve a n =yay a n'ye eşittir /bn.
Seri (1) için (a 1 cosx+b 1 sinx) veya c 1 sin(x+α 1) terimine birinci veya temel harmonik,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) veya c 2 sin(2x+α 2) denir ikinci harmonik ve benzeri.
Karmaşık bir sinyali doğru bir şekilde temsil etmek için genellikle sonsuz sayıda terim gerekir. Ancak birçok pratik problemde yalnızca ilk birkaç terimi dikkate almak yeterlidir.
Periyodu 2π olan periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serisi.
Periyodik olmayan fonksiyonların Fourier serilerine genişletilmesi.
Eğer f(x) fonksiyonu periyodik değilse, bu, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilemeyeceği anlamına gelir. Ancak 2π genişliğindeki herhangi bir aralıkta bir fonksiyonu temsil eden bir Fourier serisi tanımlamak mümkündür.
Periyodik olmayan bir fonksiyon verildiğinde, f(x)'in değerleri belirli bir aralıkta seçilip bu aralığın dışında 2π aralıklarla tekrarlanarak yeni bir fonksiyon oluşturulabilir. Yeni fonksiyon periyodu 2π olan periyodik olduğundan, x'in tüm değerleri için Fourier serisine genişletilebilir. Örneğin f(x)=x fonksiyonu periyodik değildir. Bununla birlikte, bunu o ila 2π aralığında bir Fourier serisine genişletmek gerekirse, bu aralığın dışında 2π periyoduna sahip bir periyodik fonksiyon oluşturulur (aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi).
f(x)=x gibi periyodik olmayan fonksiyonlar için Fourier serilerinin toplamı, belirli bir aralıktaki tüm noktalarda f(x) değerine eşittir, ancak noktalar için f(x) değerine eşit değildir aralığın dışında. 2π aralığında periyodik olmayan bir fonksiyonun Fourier serisini bulmak için aynı Fourier katsayıları formülü kullanılır.
Çift ve tek fonksiyonlar.
y=f(x) fonksiyonunu söylüyorlar eşit, x'in tüm değerleri için f(-x)=f(x) ise. Çift fonksiyonların grafikleri her zaman y eksenine göre simetriktir (yani ayna görüntüleridir). Çift fonksiyonlara iki örnek: y=x2 ve y=cosx.
y=f(x) fonksiyonunun olduğunu söylüyorlar garip, x'in tüm değerleri için f(-x)=-f(x) ise. Tek fonksiyonların grafikleri her zaman orijine göre simetriktir.
Birçok fonksiyon ne çift ne de tektir.
Kosinüslerde Fourier serisi açılımı.
Periyodu 2π olan çift periyodik bir f(x) fonksiyonunun Fourier serisi yalnızca kosinüs terimleri içerir (yani sinüs terimleri yoktur) ve bir sabit terim içerebilir. Buradan,
Fourier serisinin katsayıları nerede,
Periyodu 2π olan tek bir periyodik fonksiyonun f(x) Fourier serisi yalnızca sinüslü terimleri içerir (yani kosinüslü terimleri içermez).
Buradan,
Fourier serisinin katsayıları nerede,
Yarım çevrimde Fourier serileri.
Bir fonksiyon, örneğin 0'dan π'ye kadar ve yalnızca 0'dan 2π'ye kadar olmayan bir aralık için tanımlanmışsa, bir seri halinde yalnızca sinüslerde veya yalnızca kosinüslerde genişletilebilir. Ortaya çıkan Fourier serisine denir Yarım döngüde Fourier yakınında.
Ayrışmayı elde etmek istiyorsanız Kosinüslere göre yarım döngü Fourier f(x) fonksiyonunun 0 ila π aralığında olması durumunda çift periyodik bir fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Çift fonksiyon f(x) eksenine göre simetrik olduğundan, Şekil 2'de gösterildiği gibi AB çizgisini çiziyoruz. altında. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan üçgen şeklinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik şöyle görünür: incirde. altında. Fourier açılımını kosinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayılarını a o ve a n hesaplıyoruz.
Eğer f(x) fonksiyonlarını 0 ila π aralığında elde etmek gerekiyorsa, o zaman tek bir periyodik fonksiyon oluşturmak gerekir. İncirde. Aşağıda x=0'dan x=π aralığına dayanan f(x)=x fonksiyonu verilmiştir. Tek fonksiyon orijine göre simetrik olduğundan, CD çizgisini Şekil 2'de gösterildiği gibi oluşturuyoruz. Dikkate alınan aralığın dışında ortaya çıkan testere dişi sinyalinin 2π periyoduyla periyodik olduğunu varsayarsak, son grafik Şekil 2'de gösterilen forma sahip olur. Yarım döngünün Fourier açılımını sinüs cinsinden elde etmemiz gerektiğinden, daha önce olduğu gibi Fourier katsayısını hesaplıyoruz. B
Keyfi bir aralık için Fourier serileri.
Periyodik bir fonksiyonun L periyodu ile açılımı.
Periyodik fonksiyon f(x), x L kadar arttıkça tekrarlanır; f(x+L)=f(x). Daha önce dikkate alınan 2π periyoduna sahip fonksiyonlardan L periyoduna sahip fonksiyonlara geçiş oldukça basittir, çünkü bu bir değişken değişikliği kullanılarak yapılabilir.
-L/2≤x≤L/2 aralığında f(x) fonksiyonunun Fourier serisini bulmak için, f(x) fonksiyonunun u'ya göre 2π periyoduna sahip olması için yeni bir u değişkeni tanıtıyoruz. Eğer u=2πx/L ise u=-π için x=-L/2 ve u=π için x=L/2. Ayrıca f(x)=f(Lu/2π)=F(u) olsun. Fourier serisi F(u) şu şekle sahiptir:
Fourier serisinin katsayıları nerede,
Bununla birlikte, çoğu zaman yukarıdaki formül x'e bağımlılıkla sonuçlanır. u=2πx/L olduğundan du=(2π/L)dx anlamına gelir ve integralin sınırları - π ila π yerine -L/2 ila L/2 arasındadır. Sonuç olarak, x'e bağımlılık için Fourier serisi şu şekildedir:
Fourier serisinin katsayıları -L/2 ila L/2 aralığındadır,
(Entegral limitleri L uzunluğundaki herhangi bir aralıkla değiştirilebilir, örneğin 0'dan L'ye kadar)
L≠2π aralığında belirtilen fonksiyonlar için yarım döngüdeki Fourier serileri.
u=πх/L ikamesi için, x=0'dan x=L'ye kadar olan aralık, u=0'dan u=π'ye kadar olan aralığa karşılık gelir. Sonuç olarak, fonksiyon yalnızca kosinüslerde veya yalnızca sinüslerde bir seriye genişletilebilir; V Yarım çevrimde Fourier serisi.
0'dan L'ye kadar olan aralıktaki kosinüs genişlemesi şu şekildedir:
